Matrices Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil. Definición de Matriz Una matriz es un arreglo...
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Matrices
Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil
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Definición de Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis.Ejemplo:
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Tipos de Matrices
Matriz CuadradaSe llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.Ejemplo:
Es una matriz cuadrada de orden 3x3 o simplemente diremos que tiene orden 3.
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Matriz Nula
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Por ejemplo, la matriz sería la matriz:
0 =
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Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I:
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Matriz EscalarEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo:
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Transpuesta de una matriz Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por . Por ejemplo:
Sea entonces
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Propiedades
1.2.(AT)T = A.3. (si K es un escalar)
4.
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OPERACIONES CON MATRICES
Adición de matrices
Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A+B,
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Diferencia de Matrices
Ejemplo 1:
Calcular la matriz C=A - B, si:
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Multiplicación de una matriz por un escalar
Ejemplo:
Sea K = 5 y A =
Hallar KA.
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Producto de dos matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si
el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B.
Es decir :
Am x n x Bn x p = C m x p
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Ejemplo
a. Hallar AxB, si
b. Si y Calcular AxB.
c. Si A= y B= Calcular A.B
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El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada
asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su
determinante se denota como:
Se lee “determinante de A”.
Determinante de una matriz
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Determinante de una matriz de orden 2x2
Sea la matriz
entonces el determinante de A es :
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Ejemplo:
Calcular el determinante de
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Determinante de una matriz de orden 3
Sea la matriz
Entonces el determinante de la matriz A es:
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Ejemplo
Sea
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Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn= b2
.
.
am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn =bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
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Características del sistema
aij : Matriz de coeficientes.
xi : Vector columna de incógnitas
bj : Vector columna de términos independientes.
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La matriz:
A = se llama matriz de coeficientes.
La matriz:
x = se llama matriz de incógnitas.
La matriz:
B = se llama matriz de términos independientes.
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Ejemplo
El sistema:
x + y − z = 5
x + y = 7
x + 2y − z = 12
escrito matricialmente es?
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Tipos de sistemas
Según el número de soluciones, los sistemas se
clasifican en:
1) Sistema incompatible No tiene soluciones
2) Sistema compatible determinado Tiene
solución única
3) Sistema compatible indeterminado Tiene
infinitas soluciones.
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Regla de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que
cumplan las dos condiciones siguientes:
1. El número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes es
distinto de cero.
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Regla de Cramer
=
Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Δ =
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Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 , ... , Δ n los determinantes que
se obtiene al sustituir los coeficientes de la columna
de los términos independientes en la 1ª columna , en
la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima
columna respectivamente.
Luego:
X1= X2= X3= …. Xn=
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Asi:
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Ejemplo:
1. Calcular el valor de X, Y , Z por el método de
Cramer en el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = 1
x – 2y + 3z = 2
x + z = 5
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Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
utilizando la regla de Cramer:
x – y + 2z = 5
2x – 4y + 3z = 11
3x + 3y – z = 2
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Teoría de Logaritmos DEFINICIÓN
Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un
número N de la siguiente manera:
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Ejemplos:
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Observación:
Los logaritmos más utilizados son los
logaritmos decimales (de base 10) y los
logaritmos neperianos(de base el número e
2'71828182....). Ambos tienen una notación
especial
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PROPIEDADES.
a) loga1=0
b) logaa=1
c) loga (N·M)=loga N + loga M
d) loga (N:M)=loga N - loga M
e) loga (NM)= M . loga N
f) *
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Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas
ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada
por un logaritmo. Tener en cuenta:
Las propiedades de los logaritmos.
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Resolver:
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Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en
la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a
tener en cuenta:
1. a> 0 , a
2. Las propiedades de las potencias:
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Propiedades
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Propiedades
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Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales
5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651
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Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales