Matlab ushtrime
-
Upload
burim-guri -
Category
Documents
-
view
420 -
download
24
description
Transcript of Matlab ushtrime
Ing. dip.Ramiz Kastrati
Detyra të Zgjidhura me Programin MATLAB® (Versioni 7.0.0)
Prishtinë Janar 2010
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
2/224
Përmbajtja:
1. Llojet e fajllave në programin Matlab 2. Operatorët: Logjikë, Relacionet dhe aritmtikë 3. Numrat komplekës 4. Vektorët dhe Matricat 5. Ekuacionet algjebrike dhe transandente 6. Paraqitjet grafike, funksionet me një të panohur 7. Kushtëzimet dhe unazat 8. Llogaritja e shumës 9. Llogaritja e limitit 10. Ekuacionet Diferenciale 11. Llogaritja e |Integralit 12. Ekuacionet e Laplasit 13. Inversi i Laplasit, Funksionet Transmetuese 14. Ekuacionet e gjendjes 15. Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit 16. Simulink 17. S- Function 18. Rrjetat Fuzzy Neurale
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
3/224
Llojet e fajllave në programin Matlab
Gjatë përdorimit të programit Matlab, kemi mundësi ti përdorim dy mënyra të shkrimit të kodit:
Përmes linjës komanduese Command window dhe M – fajllave.
Përdorimi i linjës komanduese ka përparësi e veta por edhe mangësitë sepse me përdorimin e kësaj forme kodet e shkruara dhe rezultatet humben pas përfundimit dhe mbylljes së programit Matlab. Për këtë arsye paraqitet nevoja e formimit të fajllave në të cilët mundemi ti fusim kodet programore , rezultatet numerike , grafikën dhe strukturat etj.të cilat mbesin të ruajtura në këto fajlla dhe mundë të thirren sa herë që na nevojiten. Varësisht se çka dëshirojm të ruajmë programi Matlab gjeneron dhe shfrytëzon këto fajlla me këto ekstensione: M, MAT dhe MEX. Ekzistojnë dy lloje të M fajllave : Komandues (script) dhe funksione (function). Ne për shkuarjen e kodit programor po përdorim formën linjore pra comman windows, por të gjithë shembujt janë të realizuar edhe duke përdor M fajllat.
Operatorët Logjikë, Relacionit dhe aritmtikë Në vazhdim po paraqesim tabelat për operacione Logjike, Relacionale dhe aritmetike.
& DHE | OSE ~ JO
Tabelat me vlerat e operacioneve logjike
A B ~A A&V A|B 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
4/224
Vërejtje: MATLAB e trajton çdo vlerë jo zero si vlerë të sakët, kurse vlerën zero si vlerë te pa sakët Operatoret e relacionit janë operator binar dhe shfrytëzohen për krahasimin e shprehjeve. Krahasimi i shprehjeve është i sakët ( true ) me shenjë 1 ose jo i sakët ( false ) me shenjen 0.
Tabelat me vlerat e operacioneve relacionit
Shprehjet aritmetike shfrytëzojnë operacionet e zakonshme aritmetike
+ mbledhja - zbritja * shumëzimi / pjesëtimi ^ fuqizimi \ Pjesëtim nga ana e djathët
Tabelat me vlerat e operacioneve aritmetike Shembull 1: Llogarit vlerën e shprehjes: >> 2+4-6
ans = 0
Vërejtje : Nga ky Shembull shohim se MATLAB- i vet e krijon shprehjen me emër ans (answer-përgjigjeje )
< Më e vogël <= bartë ose më e vogël se > Më e madhe <= Më e madhe ose e barabartë = = E barabartë ~ = Jobarabartë
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
5/224
Shembulli 2:
Te llogaritet
1422x
. >> x=2+(2*4-pi)
x = 27.1327 Vërejtje: Numri je si madhësi konstante në MATLAB. Mjafton ta shtypim simbolin pi ( e jo 3.14) Shembulli 3: Të llogaritet vlera e shprehjes y=3x për x=32 : >> x=3^2; >> y=3*x
y = 27
Vërejtje : Nëse nuk duam menjëherë të paraqitet në ekran, atëherë në fund të komandës vendosim ; (pikëpresje). Shembulli 4: Të llogariten shprehjet :
1. 2 + 4 + 6 2. 4*25+6*22+2*99 3. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6 4. E=B*25+C*22+A*99 për A=2 , B=4 , C=6 5. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6
% llogaritja e shprehjes a >> 2 + 4 + 6
Ans = 12
% llogaritja e shprehjes b >> 4*25+6*22+2*99
ans = 430
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
6/224
% llogaritja e shprehjes c >> A=2
A = 2
>> B=4; >>C=6
C = 6
>> D=A+B+C
D = 12
% Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: % llogaritja e shprehjes d >> E=B*25+C*22+A*99
E = 430
% llogaritja e shprehjes e % Vrejtje : Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: >>A=2; >>B=4; >>C=6; >>D=A+B+C
D= 12
Shembull 5: >> %shembulli 5.a
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
7/224
>> ~4 ans = 0
>> %shembulli 5.b >>5 <=9
ans= 1
>> %shembulli 5.c >>9<=5
ans= 0
>> %shembulli 5.d >> 2*5
ans = 10
>> %shembulli 5.e >> 3*8 ; % për shkak‘;’ rezultati nuk do të paraqitet.
ans = 24
shembull 6: >> a=1; b=3; % vlerat për variabla >> if a==b % shprehja logjike për vlerat a dhe b disp ('a më e madhe se b') else disp ('b më e madhe se a') end Rezultati nga kompjuteri b me e madhe se a Shembulli 7: Llogarit vlerën e shprehjes: 5<3
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
8/224
>> 5<3
ans = 0
Numrat komplekës
Pjesa Imagjinare është e definuar si vlerë e përhershme. Shfrytëzohet zakonisht shprehja
1i ose 1j . >> i=sqrt(-1)
i = 0 + 1.0000i
Numrat kompleksë munden sikurse në matematikë të definohen në dy mënyra. z x iy Forma algjebrike ku x pjesa reale , kurse pjesa imagjinare e numrit kompleks.
irew Forma eksponenciale. Ku r moduli, kurse b argumenti i numrit kompleks. Shembulli 8: Të shkruhet numri 2 3z i . >> z=2+3*i
z = 2.0000 + 3.0000i
Shembulli 9:
Të shkruhet numri 62i
ew . >> w=2*exp(i*pi/6)
w = 1.7321 + 1.0000i
Sqarim:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
9/224
Moduli, argumenti, pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks fitohet duke shfrytëzuar urdhërat abs, angle, real, imag, conj. Shembull 10: c = a + b për : 3i 2 a dhe i - 1 b >> % shprehja për mbledhjen e dy numrave kompleks. >> format short >> a = 2 + 3i; >> b = 1 - i; >> c = a + b
c = 3.0000 + 2.0000i
Shembull 12: >> c1=1-2i
c1 = 1.0000 - 2.0000i
Shembull 13: Të llogaritet shprehja
a. 3*)1(2(31 c
b. )2(2 c
c. )5.0sin(63 ic d. )5.0sin(64 jc %ekuacioni duke përdor numrat kompleks shprehja a. >> c1= 3*( 2-sqrt ( -1 ) *3 )
c1= 6.0000 - 9.0000i
%llogaritja e shprehjës b
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
10/224
» c2=sqrt ( -2 ) c2 = 0 + 1.4142i
%llogaritja e shprehjes c >> c4=6+sin( .5 )*i
c4 = 6.0000 + 0.4794i
%llogaritja e shprehjes d >> c5=6+sin( .5 )*j
c5 = 6.0000 + 0.4794i
Sqarim: Për caktimin e moduli dhe argumentit të numrave kompleks shfrytëzojmë shprehjen:
jMeiba ku M-moduli , kurse - argumenti për shprehjen e më poshtme vlen :
sincos
)(
22
MbMa
abarctg
baM
Kalimi nga koordinatat e dekartit në polare dhe anasjelltas i realizojmë duke përdor urdhrat : abs, angle, real i imag : Shembull 14: >>c1=1-2i; % shprehja >>mag_c1=abs(c1) % moduli i numrit kompleks
mag_c1 = 2.2361
>>angle_c1=angle(c1) % argumenti i numrit kompleks angle_c1 = -1.1071
>>deg_c1=angle_c1*180/pi % këndi në grad
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
11/224
deg_c1 = -63.4349
>>real_c1=real(c1) % pjesa reale real_c1 = 1
>>imag_c1=imag(c1) % pjesa imagjinare imag_c1 = -2
Shembull 15: >> z = 3 + 4 * i % pjesa reale 3, pjesa imagjinare 4
z = 3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * j z = 3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * sqrt(-1) z = 3.0000 + 4.0000i
Forma polare >> z=5*exp(i*0.927295218) % kendi i dhene ne radiana
z = 3.0000 + 4.0000i
Shembull 16: >> E=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]; >> E=[1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
12/224
E = 1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Funksionet kuadratike
02 cbxax Forma m,matematikore e zgjidhjes
aacbbx , 2
42
21
Shembull 17: Për a=1, b=5 dhe c=6, zgjidhja do të jepet në formën e më poshtme . % detyra për funksionin kuadrarik >>a=1; b=5; c=6; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
x1 = -2
>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -3
>>a*x1^2+b*x1+c % vërtetimi i rezultatit ans = 0 >>a*x2^2+b*x2+c % vërtetimi i rezultatit
ans = 0
Shembull 18:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
13/224
Po i zgjedhim vlerën e koeficientet të ekuacionit të detyrës 02 cbxax a=1, b=4 i c=13. atëherë zgjidhjet e ekuacionit do të jenë. %detyra për funksionin kuadrarik për a=1, b=4 i c=13 >>a=1; b=4; c=13; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
x1 = -2.0000+3.0000i
>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -2.0000-3.0000i
Vrejtje : Rrënjët janë komplekse të konjuguara me rezultat x1 =-2.0000+3.0000i Dhe x2 =-2.0000-3.0000i
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
14/224
Vektorët dhe Matricat Shembull 19: Shkruani vektorin x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10
x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Urdhri length llogaritë gjatësinë e vektorit. Shembull 20.a: >> x=1:10
x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> length(x)
ans = 10
Shembull 20.b: Shkruani vektorin x=(1, 3, 5,7). >> x=1:2:8
x = 1 3 5 7
Shembull 21: >>A=[1; 4; 5 ]; >>B=[2; 3; 3 ]; >>D=[A; B]
D=1 4 5 2 3 3
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
15/224
Shembulli 22: Të gjinden vlerat max dhe min të vektorëve >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A)
ans = 11
>> min(A)
ans = 0
Shembull 23: Produkti i vektorit me vetveten >>J=[0; 3; 4 ]; >>J.*J
a= 25
>>a=sum(J.*J) ans= 0 9 16
Shembulli 24: Të paraqitet matrica A >> A = [-2 2; 4 1 ]
A= -2 2 4 1
Shembulli 25:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
16/224
Të llogaritet prodhimi i matricës (A )me skalar (2). >> A = [-2 2; 4 1 ] >>C=2*A
C= -4 4 8 2
Shembull 26: Matrica e transformuar e matricës A >> A = [-1 2 0; 6 4 1 ]
A= -1 2 0 6 4 1
>> B=A’
B = -1 6 2 4 0 1
Shembull 27: Numri i ai antarëve të matricës >> A = [2;3;3;4;5]; >> length(A)
ans = 5
>> B = [1;1]; >> length(B)
ans =
2 Shembull 28:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
17/224
Numri max i vektorit të dhënë >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A)
ans = 11
>> min(A) ans =
0 Shembull 29.a: >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> sum(u.*u)
ans = 12.
Shembull 29.b: Matrica e transformuar e matricës u >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> v = u'
v =
0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000
Shembull 29.c: >> v = conj(u)
v =
0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000
Shembull 29.d: >> b = sum(v.*u)
b =
22
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
18/224
>> magu = sqrt(b)
magu =
4.6904
Shembull 30: Gjetja e antarit ai të vektorit të dhënë A >> A = [12; 17; –2; 0; 4; 4; 11; 19; 27]; >> A(2)
ans =
17 >> A(8)
ans =
19 Matrica është fushë e numrave e cila definohet me dy indekse mxn, ku indeksi i parë m nënkupton numrin e rreshtit , kurse i dyti n numrin e kolonës. Elementet zakonisht vendosen në rreshta, kurse në kllapa [ , ] vendosen lista e elementeve. Lista e elementeve ndahet me presje apo me pikëpresje. Tasteri Enter ose pikëpresje ( ; ) shfrytëzohet për ndarjen rreshtave të matricës. Shembull 31: shkruaje matricën :
247586421
A
>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]
A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2
Forma e dytë për shkrimin e matricës është : >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
19/224
A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2
Matricat me strukturë speciale Urdhri eye na jep matricën njësi (tabela 1).
Urdhri Përshkrimi eye(n) Matrica njësi me dimensione nxn eye(m,n) Matrica njësi me dimensione mxn eye(size(A)) Matrica njësi me dimensione të matricës A
Shembull 35: Të Formohet matricën me dy rreshta dhe tri kolona elementet e së cilës në diagonalen kryesore janë 1, kurse elementet tjera janë 0 . >> X=eye(2,3)
X = 1 0 0 0 1 0
Shembull 32: Të formohet matricën njësi, dimensionet e matricës janë dhënë nga shembulli i latë shënuar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>X=eye(size(A))
X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Urdhëri ones i jep matricës elementet e së cilës janë të gjithë zero (tabela 2).
Urdhëri Përshkrimi
ones(n) Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet janë një 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
20/224
ones(m,n) Matrica me dimensione mxn nxn ku të gjithë elementet janë një 1
ones(size(A)) Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn ku të gjithë elementet janë një 1
Shembull 33: Të formohet matricën kuadratike të rendit 2 ku të gjithë elementet janë një. >> X=ones(2)
X = 1 1 1 1
Urdhëri zeros i jepet matricës ku elementet e së cilës janë zero (tabela 3).
Urdhëri Përshkrimi
zeros(n) Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet janë zero
zeros(m,n) Matrica me dimensione mxn ku të gjithë elementet janë zero
zeros(size(A)) Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn ku të gjithë elementet janë zero
Shembull 34: Të formohet matricën me dy rreshta dhe dy kolona ku të gjithë elementet janë të njëjtë pra . >> X=zeros(2,3)
X = 0 0 0 0 0 0
Shembull 35: Të formohet matrica e rendit të tretë duke shfrytëzuar urdhrin magic Urdhri magic(n) i jepen matricës me elemente të plotë në mesë 1 dhe n2, dimensioni nxn, duke marrë parasysh që mbledhja e elementeve në rreshta dhe kolona është konstante
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
21/224
>> X3=magic(3)
X3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2
Shembull 46: Urdhri diag(A) fiton matricën diagonale të matricës së dhënë A. Të formohet matrica duke shfrytëzuar urdhrin diag. >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A))
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 X2 = 1 0 0 0 -3 0 0 0 -6
Në operacionet bazike me matricat hyjnë:
mbledhja
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
22/224
zbritja shumëzimi pjesëtimi
Mbledhja dhe zbritja e matricave Mbledhja dhe zbritja e matricave realizohet duke u mbledhur respektivisht duke u zbritur elementet e caktua të matricës. Në këto raste duhet të kihet parasysh që matricat të jenë të njëjtit dimension. Shembull 37: Të mblidhen matricat A dhe B, ku matrica C është matrica e fituar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>B=[2, 3,-4; 1, -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B
B = 2 3 -4 1 -1 1 3 2 -1 C = 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7
Shembull 38: Nga matrica A të zbritet skalari 1 për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=A-1
D = 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7
Vërejtje : Në Shembullin paraprak, skalarin 1 MATLAB-i automatikisht e kupton si matricë me dimensione të njëjta sikurse matrica A me të gjithë elementet e barabartë me 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
23/224
Shumëzimi i matricave Shumëzimi i matricave me skalar realizohet ashtu që secili element i matricës e shumëzojmë me vlerën e skalarit të dhënë. Duhet të kihet parasysh që vlen ligji. kA=Ak. Shembull 39. Nëse k=5, cakto F=5A. Për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A , F=5*A
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30
Shumimi i dy matricave : Prodhimi i matricës A={ jia , } (dimensione mxr) dhe B={ jib , } (dimensione rxn) është matrica e re C (dimensione mxn) elementet e së cilës janë :
, ,1
r
ij i k k jk
c a b
.
Shembull 40: Shumëzo matricën A dhe A1, për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 A1 = 1 2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
24/224
2 -3 1 6 P= 8 14 -3 19 -20 -29
Shembull 41: Nëse kishim dëshiruar që të shumëzojmë matricën me rend jo të njëjtë A1*A, atëherë do të fitojmë mesazhin >> A1*A
??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.
Matrica e transponuar Transponimi i matricave me koeficient real është ndërrimi i rreshtave me shtyllat e matricës . Realizohet me përdorimin e operatorit ' . Shembull 42: Është dhënë matrica e transponuar A, ku E është matrica e fituar për %vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> E=A'
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E = 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6
Shembull 43:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
25/224
Tek matricat e transponuar ku si elemente të matricës janë numrat kompleksë, MATLAB-i kryen të ashtu quajturën transponimin kompleksë, ku njëherësh e transponon matricën dhe njëkohësisht e konjugon çdo element të tij. >> Z=[1+2*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] , W=Z'
Z = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i W = 1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 7.0000i 2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 8.0000i
Determinanta Determinanta e matricës kuadratike është numri i cili llogaritet duke përdor operatorin det. Shembull 44: Të llogaritet determinanta A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=det(A)
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 D= -27
Nëse është në pyetje matrica me elemente komplekse mundemi njëkohësisht të shfrytëzojmë dy format e shkrimit të matricës . Shembull 45: Shkruani matricën .
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
26/224
iiii
Z84736251
Matricën e shënojmë ashtu që në formë të veçanta pjesën reale dhe në formë tjetër pjesën , pra i ndajmë pjesën reale nga ajo imagjinare. >> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i
Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Shembull 46: Shkruaje matricën Z nga shembulli paraprak ashtu që elementet i vendosim menjëherë edhe pjesën reale edhe atë imagjinare. >> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]
Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Në shembujt e më sipërm pamë se si bëhet shkruarja e matricave në programin Matlab. Tani do të njihemi me matrica speciale, operacionet me matrica dhe veprimet tjera me matrica Elementet e matricës A të cilat ndodhen në rreshtin e i-së dhe kolonës j-mundë të fitohen me përdorimin e urdhrit A(i,j). Shembull 47:
654132321
A
Nga matrica ndaj elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë. >> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
27/224
>> A(2 , 3)
ans = 1
Nëse dëshirojmë të ndajmë të gjithë rreshtin apo kolonën shfrytëzojmë komandën A(k,:), A(:,k), ku k paraqet rreshtin e kërkuar, ose kolonën. Shembull 48: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm, duke shfrytëzuar urdhrin size. >> size(A)
ans = 3 3
Shembull 49: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm , duke shfrytëzuar urdhrin [m,n]=size(A). >> [m, n]=size(A)
m = 3 n = 3
Shembull 50: >> A = [-1,6; 7, 11]; >>B = [2,0,1;-1,7,4; 3,0,1] >>A = [-2 2; 4 1]
B =
2 0 1 -1 7 4
3 0 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
28/224
A = -2 2 4 1
>> C = 2*A
C = -4 4 8 2
Shembull 51.: >> A = [5 1; 0 9]; >> B = [2 –2; 1 1]; >> A + B
ans = 7 –1 1 10
>> A – B ans = 3 3 –1 8
Shembull 52.a: >> A = [-1 2 0; 6 4 1]
A = –1 2 0 6 4 1
>> B = A' B = –1 6 2 4 0 1
Shembull 52.b: >> C = [1 + i, 4 -i; 5 + 2*i, 3 -3*i]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
29/224
C = 1.0000 + 1.0000i 4.0000 – 1.0000i 5.0000 + 2.0000i 3.0000 – 3.0000i
>> D = C'
D = 1.0000 – 1.0000i 5.0000 – 2.0000i 4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i
Shembull 52.c: >> A = [12 3; –1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B
C = 48 6 –9 6
Shembull 52.d: >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B
ans = 6 4 5 12
>> A*B
ans = 11 14 13 16
Shembull 52.f: >> A = [1 4; 8 0; –1 3]; B = [–1 7 4; 2 1 –2]; >> C = A*B
C = 7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
30/224
Shembull 52.g: >> A = [1 2 3 4]; >> b = 2; >> C = b + A
C = 3 4 5 6
Shembull 52.h: >>A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1]; >> C = A./B
C = 1 2 2 8
>> C = A.\B
C = 1.0000 0.5000 0.5000 0.1250
Shembull 52.i: >> B = [2 4; -1 6]
B = 2 4 –1 6
>> B.^2 ans = 4 16 1 36
Shembull 53:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
31/224
Caktimi i anëtarit te matricës >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> A(2,3)
ans = 6
>> A(:,2)
ans = 2 5 8
>> A(:,2:3)
ans = 2 3 5 6 8 9
>> A(2:3,1:2)
ans = 4 5 7 8
Matrica inverse
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
32/224
Nga definim matematikë adjA
AA
)det(11
. Matrica inverse 1A , matrica e dhënë A në MATLAB caktohet me ndihmën e operatorit inv(A). Shembull 54: Gjeni matricën inverse, të matricës së dhënë A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A ; Ai=inv(A)
Ai = -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593
Fuqizimi i matricës Nëse A matricë kuadratike , kurse p numër i plotë pozitiv, fuqizimin e matricës mundë
ta definojmë në formën vijuese:
p
p
A AAAA AAAA L1 4 4 2 4 43.
Për matrica rregullare (determinanta e ndryshueshme prej zeros) A, vlen pp AA 1 . Fuqizimi i matricave kuadratike realizohet me ndihmën e operatorit ^ , ashtu që
shprehja pA^ dhe )(^ pA jep p -në dhe p -në shkallën e matricës A .
Shembull 55:
Për matricën rregullare A të caktohet 2 2,A A
dhe të vërtetohet a vlen IAA 22 , ku I matrica njësi me dimensione të njëjta sikurse matrica A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M
J = -7 -19 -13 -8 8 -3 10 37 19
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
33/224
M = 0.3608 -0.1646 0.2209 0.1674 -0.0041 0.1139 -0.5158 0.0947 -0.2853 I = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
Pjesëtimi i matricave Në llogaritjet për matrica operacioni i pjesëtimit nuk është i definuar kurse në MATLAB ekzistojnë dy operator për pjesëtim: \ nënkupton “pjesëtim ” nga e majta / nënkupton “pjesëtim ” nga e djathta Le të jetë A matricë rregullare kuadratike
1\ *A B A B 1/ *A B B A
Rezultati fitohet direkt, pa llogaritjen e matricës inverse. Shembull 56: Në shembullin e ardhshëm mundë të shohim ndryshimin në mesë operatorit “pjesëtimi” nga e majta \ dhe nga e djathta /. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >> A , B , K=A\B , K1=A/B
A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 B = 2 3 -4 1 -1 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
34/224
3 2 -1 K = -2.8148 -3.4815 3.9259 -1.3704 -1.0370 1.1481 2.5185 2.8519 -3.4074 K1 = -2.2000 -3.0000 2.8000 0.9000 3.5000 -1.1000 4.6000 6.0000 -6.4000
Po theksojmë se X=A\B (X= 1A B) paraqet zgjedhjen e ekuacionit AX=B, kurse X=A/B (X=B 1A ), paraqet zgjedhjen e ekuacionit XA=B. Shembull 57: Të zgjidhet ekuacioni i matricës AX=B.
Ku matricat e dhëna janë:
654132321
A
dhe
221
B
. (vërejtje :
1AX B X A B ) >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>B=[1; 2; -2] >> A ; B ; X=inv(A)*B
X = 0.1852 -0.3704 0.5185
%Ose forma tjetër >> X=A\B
X = 0.1852 -0.3704 0.5185
Shembull 58:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
35/224
Të pjesëtohet matrica A me skalarin 2, nga ana e majta dhe e djathta . % pjesëtimi nga ana e majtë >> A\2
??? Error using ==> \ Matrix dimensions must agree.
% pjesëtimi nga ana e djathtë >> A/2
ans = 0.5000 1.0000 1.5000 1.0000 -1.5000 0.5000 -2.0000 -2.5000 -3.0000
Shembull 59.a: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [12 3; -1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B
C = 48 6 -9 6
Shembull 59.b: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B
ans =
6 4 5 12
Shembull 59.c:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
36/224
Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A*B
ans = 11 14 13 16
Shembull 60: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [1 4; 8 0; -1 3]; B = [-1 7 4; 2 1 -2]; >> C = A*B
C =
7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10
Ekuacionet algjebrike dhe transandente Shembull 61.a: Të zgjidhet ekuacioni x+5=0 duke përdor urdhrin (solove). % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> eq1='x+5=0'; >> solve(eq1)
ans = -5 Shembull 61.b: % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve('x+5=0')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
37/224
>> syms x
ans = -5 Shembull 61.c: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve(x+5) ans = -5 Shembull 61.d: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> syms x >> x=solve(x+5)
x = -5 Shembull 62: Të zgjidhet ekuacioni >> solve('exp(2*x)+3*exp(x)=54')
ans = log(6) log(9)+i*pi Shembull 64:
Të zgjidhet ekuacioni 0232 yy
>> eq2='y^2+3*y+2=0';
5432 xx ee
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
38/224
>> solve(eq2)
ans = [-2] [-1] Zgjidhja do të jetë për y1=-2 dhe y2=-1 Shembull 65: >> eq3='x^2+9*y^4=0‘; >> solve(eq3) % Note that x is presumed to ve the unknown variable
ans = [3*i*y^2] [-3*i*y^2]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
39/224
Paraqitjet grafike funksionet me një të panohur Njëra ndër përparësitë ndoshta më të mëdha të programit Matlab është mundësia shumë e madhe e paraqitjeve grafike. Në Programin Matlab ekzistojnë shumë komanda përmes së cilave paraqiten format grafike e të dhënave 2D ose 3D. Forma grafike e fituara mundë të ruhen në formate të tilla ashtu që mundë të ruhen dhe të përdoren ne programet tjera.
MATLABI posedon mundësi të mëdha të paraqitjeve grafike. Urdhri bazikë për vizatimin është plot. Mënyra më e lehtë e paraqitjes grafike në boshtin kordinativ është shfrytëzimi i i urdhrit plot(x). Me rastin e vizatimit bëhet hapja e dritarja për grafikë në të cilën vlejnë të gjitha rregullat sikurse edhe në dritaret e sistemit operativ Windows. Lista e urdhrave dhe funksioneve të shfrytëzuar plot vizatimi linear zplot grafiku i funksionit fplot grafiku i funksionit subplot ndarja në pjesë e dritares grafike figure dritarja për vizatim title emërtimi i grafikut xlabel teksti nën boshtin x ylabel teksti nën boshtin y zlabel teksti nën boshtin z text përshkrimi tekstual gtext vendosja e tekstit me prekjen me mi grid rrjeta hold on mbajtja e grafikut (figurës) në dritare hold off heqja e grafikut (figurës ) nga dritarja syms definohet ndryshorja simbolike meshgrid Shfrytëzohet për vizatim tre dimensional
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
40/224
Shembull 66: Të vizatohet vektori me koordinatat e dhëna . >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Nga ky shembull mundemi të shohim se MATLABI për vlera të ndryshores x ka fituar shumë vlera, kurse grafiku ka vlerat e x-it njashtu pikat e grafikut të vizatuar kanë
koordinatat 1, 1 , 2, 2 ....x x Në rastin e përgjithshëm urdhri plot(x) vizaton grafikë duke i lidhë pikat (i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, ku N gjatësia e vektorit. Vlerat e ndryshores mundë të jepen në formë të pa mvarura. Në këtë rast shfrytëzohet urdhri plot(x,y).
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
41/224
Shembull 67: Të vizatohet vekori me koordinatat e dhëna. x=[1,2,4,8,16]; >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x) >> x=[1 2 3 4 5]; >> y=[-2,3,4,-5,6]; >> plot(x,y)
Figura 7. 1
Shembull 68:
Të paraqitet grafikisht funksioni 2sin xxxy në kufijtë e dhënë. - >> x=-4:.1:4; >> y=x.*sin(pi*x).^2; >> plot(x,y)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
42/224
Vrejtje: Në sistemin e njëjtë kordinativ mundë të vizatohen më shumë funksione. Shembull 69:
Të paraqitet grafikisht funksioni xy 2 dhe xy xe në sistemin e njëjtë kordinativ
>> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,x2,y2)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
43/224
Forma e paraqitjes dhe vijave mundë të përdorin urdhrin plot. Për caktimin e llojit të vijave dhe formën mundë të shfrytëzojmë urdhrin plot(x,y,'lloji i vijave'). Tabela 7. 1 Mundëson zgjedhjen e llojit të vijave.
Simboli I vijave pershkrimi
. Pika o rrethi h h-shenja + plusi * ylli - Vija e plotë -. pikë – vijë : dypika -- Vija me ndërprerje
Tabela 7. 1 Tabela 7. 2 Mundëson zgjedhjen e llojit të ngjyrës së vijës. Tabela me anën e e së cilës mundemi të caktojm ngjyrat e lakoreve në Matlab.
Ngjyra Simboli Bardhe w E zeze k E kalter b E kuqe r E verdhe y vjollce c E gjelber g
Tabela 7. 2
Shembull 70: Nëse shfrytëzojmë shembullin 69 dhe vendosim për llojin e vijave dhe ngjyrën e tyre. >> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,'g',x2,y2,'r+')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
44/224
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Për paraqitje grafike të funksioneve mundemi ta shfrytëzojmë edhe urdhrin fplot(f,xmin,xmax).
Funksionin që e vizatojmë ka formën f x , ku x është vektor ku elementi i parë xmin, kurse elementi i fundit xmax. Në urdhrin fplot funksioni jepet me shkurtesën ' f '. Shembull 71:
Të paraqiten grafikisht funksioni 92 xy në domenin [-3 , 3]. >> f='x^2-9'; >> fplot(f,[-3,3])
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
45/224
-3 -2 -1 0 1 2 3-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Urdhri ezplot mundëson vizatatimin e funksioneve në domenin e definuar:
2 2x .
Për vizatimin e funksioneve të dhëna implicite ,f f x y përdorim urdhrin ezplot(f).
Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit , 0f x y në domenin fikës 2 2x dhe 2 2y .
Nëse është e nevojshme të ndërrohet domeni i funksionit atëherë mundë të nderohet dhe
urdhri ka formën ezplot(f,[a,b]). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit f x në intervalin a x b .
Urdhri ezplot(f,[a,b]) bën vizatimin e grafikut të funksionit , 0f x y në domenin a x b dhe a y b . Shembull 72:
Të vizatohet grafiku i funksionit xy xe .
>> y='x*exp(x)';ezplot(y)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
46/224
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x
x exp(x)
Vrejtje: Mënyra tjetër që simbolikisht ta paraqesim funksionin është që së pari definojmë ndryshoret e pa varura x si ndryshore simbolike duke shfrytëzuar urdhrin syms. Shfrytëzimin e këtij urdhri mundë ta shohim në shembullin e më poshtëm. Shembull 73: Të vizatohet grafiku i funksionit nga shembulli i më sipërm duke përdor urdhrin sym. >> syms x >> y=x*exp(x);ezplot(y)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
47/224
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x
x exp(x)
Shembull 74: Të vizatohet grafiku i funksionit implicit .
2 2
12 4x y
.
>> ezplot('x^2/2+y^2/4-1')
x
y
x2/2+y2/4-1 = 0
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
48/224
Shënimet në boshtet e grafikut Programi Matlab mundëson vendosjen e shënimeve në boshte si tekste të ndryshme dhe forma të ndryshme të paraqitjes plotësuese me qëllim të sqarimeve më të mira. Disa nga ato janë paraqitur në tabelën 7. 3.
shënjimi përshkrimi title Emri i grafikut xlabel Emri i boshtit x ylabel Emri i boshtit y text Emetimi i tekstit në grafikë
gtext Teksti në pozicionin e vendosjes së miut
grid Vizatimi i vijave të rrjetës
Tabela 7. 3 Teksti në urdhëratë e lartshënuara (tabelë) futet në kllapa dhe mbyllet në shojza . Urdhri hold on e mbanë foton në ekran. E kundërta me atë është urdhri hold off . Shembull 75: Të vizatohet grafiku i funksionit siny x dhe të shfrytëzohen urdhëratë nga tabela 3 >> syms x >> y=sin(x); >> ezplot(y) >> hold on >> title('sinus') >> xlabel('boshti x') >> ylabel('boshti y') >> text(0,0,'zero') >> gtext('max') >> grid
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
49/224
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
boshti x
sinus
bosh
ti y
zero
Shembull 76:
Të vizatohet grafiku i funksionit 2 2y a x .
>> x=-5 : .5 : 5; >> a=1 : 5; >> [xx , aa]=meshgrid(x .^ 2 , a .^ 2); >> plot(x , xx-aa , 'k')
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
50/224
Me shfrytëzimin e urdhrit meshgrid i cili transformon vektorin x dhe y në fusha dy dimensionale të cilat mundë të shfrytëzohen për vizatimin edhe në fusha tre dimensionale Urdhri subplot(m,n,p) nderon dimensionin e grafikut e cila mundëson në formimin e më shumë grafikeve në dritare. Dritarja ndahet në m n pjesë, kurse grafiku vizatohet në përpjesën p të ndarjes së dritares. Shembull 77: Me shfrytëzimin e urdhrit subplot të vizatohet grafiku i katër funksioneve: y1=x1 y2=x2*exp(x2) y3=cos(x3) z=exp(x4*i)
Zgjidhje >> x1=-1:1:1;y1=x1; >> x2=0:0.5:1;y2=x2.*exp(x2); >> x3=-pi:pi;y3=cos(x3); >> x4=0:pi/8:2*pi;z=exp(x4*i); >> subplot(221), plot(x1,y1) >> subplot(222), plot(x2,y2) >> subplot(223), plot(x3,y3) >> subplot(224), plot(z)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.5 10
1
2
3
-4 -2 0 2 4-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
51/224
Paraqitjet grafike e funksioneve të ndryshme. Shembull 78: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2 . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2 . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x, y )
Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Shembull 79: y=x 2 në intervalin prej -2 deri 2. >> x = -2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y )
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
52/224
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Shembull 80: Me shfrytëzimin e komandës plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. y=sin ( x ); z=cos ( x ); >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >>plot ( x, y, x, z )
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
53/224
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Shënimi i grafikës dhe boshteve duke përdor urdhrat : title, xlabel dhe ylabel Shembull 81: >> x=-4*pi : pi/100 : 4*pi ; >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y ) >> title ( ' Grafiku i funksionit y=sin ( x ) ' ) >> xlabel ( ' vlera e ndryshores x ' )
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
54/224
-15 -10 -5 0 5 10 15-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Grafiku i funksionit y=sin ( x )
vlera e ndryshores x
Shembull 82: Të vizatohet grafiku me pika në vendet e prerjes >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y , x , y , '+' )
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Në shembujt e deritanishëm grafiku është paraqitur në një ekran të plotë, por ka mundësi që të paraqiten më shumë forma grafike të ndryshme në më shumë ekrane (maksimalisht 4) për çka përdoret komanda subPLOT. Forma e përgjithshme e kësaj komande është subplot(mnp).
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
55/224
Forma tre dimensionale e grafikut Siç thamë më lartë funksionet grafike në Matlab mundë të paraqiten edhe në formë 3D Shembull 83: Të paraqitet grafikisht funksioni Z=cos(x)sin(x) >> [x,y] = meshgrid(-2*pi:0.1:2*pi); >> z = cos(x).*sin(y); >> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
-10-5
05
10
-10-5
0
510-1
-0.5
0
0.5
1
xy
z
Shembull 84: Të paraqitet grafikisht funksioni
22 yxyeZ
>> [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2); >> z = y.*exp(-x.^2-y.^2); >> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') >> surf(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
56/224
-2-1
01
2
-2-1
0
12
-0.5
0
0.5
xy
z
Shembull 85: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2 . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2 . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >>y=sin ( x ); >>plot ( x, y ) Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.
Shembull 86: Ose për shembull funksioni y=x 2 në interval prej -2 deri 2. >>x =-2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y )
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
57/224
Shembull 87: Me shfrytëyimin e komandes plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >> plot ( x, y, x, z )
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
58/224
Shembull 88: )sin()( tetf t Per kufijt 0 deri në 4 me hap 0,01
Zgjidhje
>> t = [0:0.01:4]; >> f = exp(-2*t).*sin(t); >> plot(t, f)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Shembull 89: Të vizatohen dy funksione
t
t
etgetf
2)()(
për intervalin 0 ≤t≤5: Zgjidhje
% se pari definohet intervali i perkufizimit >> t = [0:0.01:5]; % pastaj definohen te dy funksionet : >> f=exp(-t); >> g = exp(-2*t); %paraqitja grafike >> plot(t,f,t,g,'--')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
59/224
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Shembull 90: Të definohen funksionet trigonometrike dhe hiperbollike y = sinh(x); z = cosh(x); per kufijte 0<x<2 për hapin 0,01
Zgjidhje
% se pari e definojm vlerat per x: >> x = [0:0.01:2]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); % po paraqesim formen e paraqitjes grafike >> plot(x,y,x,z,'-.'),xlabel('x'),ylabel('Potenciali'),legend('sinh(x)','cosh(x)')
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
Pot
enci
ali
sinh(x)cosh(x)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
60/224
Shembull 91: y = sinh(x); z = cosh(x); Për vlera -5<x<5.
Zgjidhje >> x = [-5:0.01:5]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); %forma e paraqitjes se grafikut permes ngjyrave te kuqe >> plot(x,y,'r',x,z,'b') %forma e paraqitjes se grafikut me nderprerje permes ngjyrave te kalter >> plot(x,y,'r',x,z,'b--')
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
61/224
Shembull 92: Të paraqitet grafiku për funksionin y = sin(2x + 3) për 0 <x <5.
Zgjidhje >> x = [0:0.01:5]; >> y = sin(2*x + 3); >> plot(x,y), axis([0 5 -1 1])
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Shembull 93: x(t) = t y(t) = t2 z(t) = t3 0 ≤ t ≤ 2.0
Zgjidhje
>> t = linspace(0, 2,100) ; >> x = t ; y = t.^2 ; z = t.^3; >> plot3(x, y, z), grid
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
62/224
00.5
11.5
2
01
2
340
2
4
6
8
Shembull 94: Të vizatohet grafiku i funksionit xexy x sin)( 7.0 Nëse w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hap rritje prej 0.1.
Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 15; >> y = exp(- 0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x, y) >> title('y(x) = e^-^0^.^7^x sin\omega x') >> xlabel('x') >> ylabel('y')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
63/224
0 5 10 15-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1y(x) = e-0.7x sin x
x
y
Shembull 95: Të vizatohet grafiku i funksionit xexy x cos)( 6.0 Nëse ω =10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hapë të rritjes prej 0.05.
Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 10; >> y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x); >> plot(x, y) >> title('y(x) = e^-^0^.^6^x cos\omega x') >> xlabel('x') >> ylabel('y')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
64/224
0 5 10 15-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1y(x) = e-0.6x cos x
x
y
Shembull 96: Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.7x sin x nese w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet per 0,1
Zgjidhje . >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 15; >> y = exp(– 0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x, y)
0 5 10 15-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
65/224
Shembull 97: Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.6x cos x Nëse = 10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet për 0.05. Zgjidhje . x = [0 : 0.1 : 15]; w = 10; y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x); plot(x, y)
0 5 10 15-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Shembull 98: Të vizatohet grafiku i funksionit polar.
tr 3cos52 për 0≤t≤2π
Zgjidhje >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> % forma polare e grafikut >> polar(t, r)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
66/224
0.5
1
1.5
2
2.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Shembull 99: Të vizatohet grafiku i funksionit polar.
tr 3cos52 për 0≤t≤2π trx cos try sin
Zgjidhje
>> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> polar(t, r) >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> x = r.*cos(t); >> y = r.*sin(t); >> fill(x, y,' k'), >> axis('square')
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
67/224
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Shembull 100: Të vizatohet grafiku i funksionit
xey x cos.21
për 0≤t≤20 .2
1xey
Zgjidhje
>> x = 1 : 0.1 : 20; >> y1 = exp(- 2*x).*cos(x); >> y2 = exp(2*x); >> Ax = plotyy(x, y1, x, y2); >> hy1 = get(Ax(1), 'ylabel'); >> hy2 = get(Ax(2), 'ylabel'); >> set(hy1, 'string', 'exp(- 2x).cos(x) ') >> set(hy2, 'string', 'exp(-2x) ');
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
68/224
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
exp(
- 2x)
.cos
(x)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
17
exp(
-2x)
Shembull 101: Të vizatohet grafiku i funksionit
tef t cos5/3 për 0≤t≤2π
Zgjidhje >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> f = exp(- 0.6*t).*sin(t); >> stem(t, f)
0 1 2 3 4 5 6 7-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
69/224
Kushtëzimet dhe unazat
Programi Matlab në paketën e tij ka edhe urdhëra për kushtëzim dhe unaza si : if, for, while, else, break, error, while... Urdhëri if Shfrytëzohet për realizim (përfundim )të programit me kushtë . Forma e kushtit :
Forma I: if kushti urdhëri end
Forma II: if kushti
urdhëri 1 else urdhëri 2 end
Forma III: if kushti 1 urdhëri 1 elseif kushti 2 urdhëri 2 else urdhëri 3 end Vlera e ndryshores së pa mvarur mundë të futet duke shfrytëzuar urdhrin input(‘teksti’).
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
70/224
Psh. >> x=input('sheno vlerën e ndryshores x='); >> y=input(''shëno vlerën e ndryshores y='); Për paraqitjen e rezultateve në ekran përdorim urdhrin disp(‘tekst’). Forma e unazës for: for ndryshorja=shprehja
urdhri end Forma e unazës While: While unaza e përfundon programin deri sa të plotësohen më parë kushtet. while shprehja urdhri end
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
71/224
Shembull 102: Për moshën e dhënë merrni këto vendime : Nëse mosha është më e re se 21 vjet paraqit në dalje 'ndalohet alkoholi ', në të kundërtën dil nga programi .
Fillimi
Sh;no vitet
Nëse vitet janë më
pakë se 21
Dalje, nuk ka alkohol
Fundi
>> vitet = input('vitet janë :')
vitet janë :20 >> if vite <21
disp(' ndalohet alkoholi') end
ndalohet alkoholi
Vërejtje : Për moshen më të re se 21 vjeqare paraqitet shprehja ndalohet alkoholi , kurse për moshat më të mëdha se 21 vjeqare nuk na paraqitet shprehje sepse sipas algoritmit kemi vetem një degë. Shembull 103: Për moshën e përsonit vendos: Nëse mosha është më e vogël se 21 vjet shkruaj në dalje 'ndalohet alkoholi', në të kundërtën 'lejohet alkoholi'.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
72/224
% .m fajlli mosha =input('mosha eshte:'); if mosha <21
disp( 'ndalohet alkoholi' ) else
disp( 'lejohet alkoholi' ) end % sheno moshen % shprehja e paraqitur ne ekran
Rezultati në Command Window:
>> mosha eshte: 25 >> lejohet alkoholi
Si rezultat na paraqitet shprehja e më poshtme : mosha eshte: 25 dhe ne kemi zgjedhur 17 dhe në dalje do të fitojm shprehjen lejohet alkooli
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
73/224
Shembull 104: Për vlerat e ndryshoreve të dhëna x, y llogaritën vlerat e ndryshores c, ashtu që venë për x y , yxc 2
, përndryshe, ln /c y x % .m fajlli x =input(x=:'); y =input(y=:'); if x>=y c=x^2-y; elseif y/x>0.0 c=log(y/x); else disp( 'c nuk eshte e definuar' ) end %shprehja e kërkuar ne dalje c For unaza mundëson përsëritjen e pjesëve të programit disa herë. Përfundon me komandën end. Rezultatet e paraqitura në Command Window:
x=:1 y=:2
c =
0.6931 Ose nëse japim vlera tjera:
x=:2 y=:1 c = 3
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
74/224
Shembull 105: Me shfrytëzimin e urdhrit for mundemi të njoftohemi në shembullin e më poshtëm.
% .m fajlli for i=1:5 a(i)=sin(2*i); end %shprehja e kërkuar ne dalje a Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin
a = 0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
75/224
Shembull 106: Të shkruhet matrica A elementet e së cilit janë llogariten sipas ligjit
1,
2 2a i j
i j
, e cila ka 4 rreshta dhe 3 kolona. % .m fajlli for i=1:4 for j=1:3 A(i,j)=1/(2*i+j-2); end end % shprehja e kërkuar ne dalje A Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin >> A
A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1429 0.1250 0.1111
Në këtë shembull shfrytëzojmë urdhrin e dyfishtë të unazës for. Me shfrytëzimin e urdhrit while mundë të shohim shembullin e më poshtëm. >> x=1; while x > 0.01 x=x/2; end >> x
x = 0.0078
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
76/224
Shembull 107: Për të parë më mirë se si funksionon urdhri në shembullin e njëjtë i provojmë të gjitha rezultatet për ndryshoren x . >> x=1; while x>0.01 x=x/2 end
x = 0.5000 x = 0.2500 x = 0.1250 x = 0.0625 x = 0.0313 x = 0.0156 x = 0.0078
Vrejtje: Një pjesë e programit në mes while dhe end kryhet vetëm atëherë kur shprehja e cila vije pas urdhrit WIHLE është e sakët.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
77/224
Shembull 108: Të gjenerohet matrica 5x5 ashtu që të gjithë elementet në diagonalen kryesore janë të njejtë pra 2 , kurse të tjerat elemente ku mbledhja e indekseve (i+j=6) janë 6 kurse të gjithë elementet tjera të barabarta me zero % 2 0 0 0 6 % 0 2 0 6 0 % 0 0 2 0 0 % 0 6 0 2 0 % 6 0 0 0 2 n=5; a=ones(5,5); for i = 1:n for j = 1:n if i == j a(i,j) = 2; elseif (i + j) == 6 a(i,j) = 6; else a(i,j) = 0; end end end % shprehja e kërkuar ne dalje a Rezultatet e paraqitura në Command Window: a = 2 0 0 0 6 0 2 0 6 0 0 0 2 0 0 0 6 0 2 0 6 0 0 0 2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
78/224
Shembull 109: Të gjenerohet matrica e cila elementet e diagonales janë 2, kurse të gjithë elementet e tjera të rendit të parë janë 1 kurse elementet tjera janë zero. n=5; for i=1:n for j=1:n if i==j a(i,j)=2; elseif abs(i)==1 a(i,j)=1; else a(i,j)=0; end end end % shprehja e kërkuar ne dalje a Rezultatet e paraqitura në Command Window: a = 2 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
79/224
Llogaritja e shumës
Shuma (E) Forma e përgjithshme e llogaritjes së shumës S = symsum (E, a, b) Shembull 110.: Të llogariten shprehjet për shumë. 108.a. 108. b. 108.c. Shembull 110.a. %Shprehja nën a >> syms k n >> symsum(k,0,10)
ans =
55 Shembull 110.b: >> %Shprehja nën b >> symsum(k,0,n-1)
)1()2()1()0()(1
0
xEEEExEx
x
)()2()1()()( bEaEaEaExEb
ax
55109321010
0
k
k
nnnkn
k 21
2113210 2
1
0
30169414
1
2 k
k
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
80/224
ans =
1/2*n^2-1/2*n
Shembull 110.c: >> %Shprehja nën a >> symsum(k^2,1,4)
ans =
30
Shembull 111: Të llogaritet shuma e serisë për sakësinë 10-4. % permes .m fajllit s=0; n=1; while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4) s=s+(-1)^n/n^2; n=n+1; end Në command Windows shkruajm : >> s Dhe fitohet rezultati :
s = -0.8225
12
)1(n
n
n
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
81/224
Llogaritja e limitit
Shembull 112: Të llogaritet shprehja për limitin e dhënë: >> syms a x >> limit(sin(a*x)/x) ans = a
Shembull 113:
Të zgjidhen limitet e dhëna sipas formës së përgjithshme të dhënë limiti (E, v, a) për limitin
61
93lim 23
xx
x
Zgjidhje
>> syms h x >> limit((x-3)/(x^2-9),3) ans = 1/6 Shembull 114:
>> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
ans = cos(x)
axax
)sin(lim
av
hxhx )sin()sin(lim
0h
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
82/224
Ekuacionet Diferenciale
Zgjidhja simbolike duke përdor funksionin dsolove Shembull 115:
Të llogaritet ekuacioni diferencial
Zgjidhja analitike është kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë: >> dsolve('Dy+2*y=12')
ans =
6+exp(-2*t)*C1 Shembull 116:
Të llogaritet ekuacioni diferencial duke përdor formën :
dsolve(‘eqn’,’cond1’,’cond2’) Zgjidhja analitike është: Kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë: >> Dsolve('D2y=c^2*y','y(0)=1','Dy(0)=0')
ans =
1/2*exp(-c*t)+1/2*exp(c*t)
teCty 216)(
22
2 , (0) 1, (0) 0d y c y y ydt
&
2/)()( ctct eety
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
83/224
Shembull 117:
Të zgjidhet shprehja >> syms n x y >> diff(x^n)
ans = x^n*n/x
Shembull 118: Të zgjidhet shprehja
>> diff(log(x))
ans = 1/x
Shembull 119:
Të zgjidhet shprehja
>> diff((sin(x)^2))
ans =
2*sin(x)*cos(x)
1 nn
nxdxdx
xdxxd 1ln
xxdx
xd cossin2sin 2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
84/224
Shembull 120:
Të zgjidhet shprehja >> diff((sin(y))
ans = cos(y)
Shembull 121:
Të zgjidhet shprehja
>> diff(sin(x*y))
ans = cos(x*y)*y
Shembull 122:
Të zgjidhet shprehja
>> syms x y >> diff(x*sin(x*y),y)
ans =
x^2*cos(x*y)
ydy
yd cossin
)sin(),( xyyxf
)cos()]sin([ 2 xyxy
xyx
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
85/224
Shembull 123: Të zgjidhet shprehja
>> syms x >> diff(x^3,2)
ans =
6*x Shembull 124:
Të zgjidhet shprehja
>> syms x y >> diff(x*sin(x*y),y,2)
ans = -x^3*sin(x*y)
xdx
xd 6)(2
32
)sin()]sin([ 32
2
xyxy
xyx
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
86/224
Llogaritja e integralit Shembull 125:
Të zgjidhen integralet e më poshtme duke përdor softuerin Matlab
a. b.
c.
d. Shembull 125.a: >> % shembulli a >> syms n x y >> int(x^n)
ans =
x^(n+1)/(n+1) Shembull 125.b: % shembulli b >> int(1/x)
ans =
log(x) Shembull 125.c: % shembulli c >> int(cos(x))
1
1
nxdxx
nn
xdxx
ln1
xxdx sincos
yydy cossin
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
87/224
ans =
sin(x)
Shembull 125.d >> % shembulli d >> int(sin(y))
ans =
-cos(y) Shembull 126: Të zgjidhet integrali Përdorim formën int (E, a, b) >> syms n x >> int(x^n,n)
ans =
1/log(x)*x^n
Shembull 127:
Të zgjidhet integrali Për integralet të cilët kanë kufijt e integrimit përdorim formën int (E, v, a, b)
>> syms x y >> int(x*y^2,y,0,5)
ans =
125/3*x
xxdnx
nn
ln
xyxdyxy3
1253
50
35
0
2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
88/224
Shembull 128: Të zgjidhet integrali
>> syms a b x >> int(x^2,a,b)
ans = 1/3*b^3-1/3*a^3
Shembull 129: Të zgjidhet integrali
Përdorim formën int (E, v, a, b)
>> syms x y >> int(x*y^2,y,0,5)
ans =
125/3*x
Shembull 130: Të zgjidhet integrali >> syms a b x >> int(x^2,a,b)
ans = 1/3*b^3-1/3*a^3
33
332 abdxx
b
a
xyxdyxy3
1253
50
35
0
2
33
332 abdxx
b
a
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
89/224
Shembull 131:
Të zgjidhet integrali
>> syms t x >> int(x,1 ,t)
ans = 1/2*t^2-1/2
Shembull 32:
texxdx te
t
et
tt
cos)cos(cossin
>> int(sin(x),t,exp(t))
ans = -cos(exp(t))+cos(t)
Shembull 133: Të zgjidhet integrali >> syms x >> int(1/(x-1))
ans =
log(x-1) >> int(1/(x-1),0,2)
21
21
22
1
2
1 txdxx tt
1ln1
1
xdxx
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
90/224
ans =
NaN
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
91/224
Ekuacionet e Laplasit
MATLAB mund te ndarjen e polinomit ne pjese ; Shprehja për polinomin B(s)/A(s) po e paraqesim me shembujt në vazhdim . Gjetja e poleve dhe zerove të funksioneve për B(s)/A(s)
Komanda e Programit Matlab [z, p, k] = tf2zp(num,den) e cila mundë ta gjejë polet , zerot dhe përforcimin K të B(s)/A(s). Shembull 134:
Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab
f(t) = - 7te- 5t
Zgjidhje >>syms t x >>f = -7*t*exp(-5*t); >> laplace(f, x)
ans =
- 7/(x + 5)^2 Shembulli 135: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab
f(t) = - 3 cos 5t
>>syms t x >>f = - 3*cos(5*t); >> laplace(f, x)
ans = - 3*x/(x^2 + 25)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
92/224
Shembull 136: Të grindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab
f(t) = t sin 7t
>>syms t x >>f = t*sin(7*t); >> laplace(f, x)
ans = 1/(x^2 + 49)*sin(2*atan(7/x))
Shembull 137: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab
f(t) = 5 e–2t cos 5t
>>syms t x >>f = 5*exp(– 2*t)*cos(5*t); >> laplace(f, x)
ans =
5*(x + 2)/((x + 2)^2 + 25) Shembull 138: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab
f(t) = 3 sin(5t + 45º) >>syms t x >>f = 3*sin(5*t + (pi/4)); >> laplace(f, x)
ans = 3*(1/2*x*2^(1/2) + 5/2*2^(1/2))/(x^2 + 25)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
93/224
Shembull 139: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab .
f(t) = 5 e–3t cos(t – 45º) >>syms t x >>f = 5*exp(- 3*t)*cos(t - (pi/4)); >> laplace(f, x)
ans =
5*(1/2*(x + 3)*2^(1/2)+1/2*2^(1/2))/((x + 3)^2 + 1) Shembull 140: Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të
vizatohet odziv të ekuacionit diferencial të dhënë: xydt
yd 32
2
ku )()( ttx ,
]20,0t kurse hapi është: 0.01 >> syms s t; >> Y=-(s^2+3*s+1)/(s+1)/(s^2+s+5)
Y = (-s^2-3*s-1)/(s+1)/(s^2+s+5)
>>y=ilaplace(Y)
y = -6/5*exp(-1/2*t)*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)
>>t=0:0.01:20; >>x=exp(-t); >>plot(t,x,t,y);
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
94/224
y=-6/5*exp(-1/2*t).*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(- 1/2*t).*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Shembull 141: Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të vizatohet pergjigjeja të ekuacionit diferencial të dhënë:
teydtdy
dtyd 52
2
për y(0)=y,(0)=-1: ]20,0t ; për hapin 0,01 në të njëjtin grafik të
vizatohet edhe
>>syms s t; >>Y=3/(s^2+1)
Y =
3/(s^2+1) >>y=ilaplace(Y)
y =
3*sin(t)
>>t=0:0.01:20; >>y=3.*sin(t);
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
95/224
plot(t,y);
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3
-2
-1
0
1
2
3
Shembull 142: Të shkruhet programi ashtu që përmes metodës së transformimit të laplasit të caktohet
dhe vizatohet pergjigjeja sistemi i ekuacionit diferencial të dhënë. )(352
2
txydt
yd
ku )sin()( ttx
]20.0[t me hap 0,01 Në grafikun e njëjtë të paraqitet dhe pergjigjeja nëse kushtet fillestare janë zero. Zgjidhje: >>syms s t; Y=
3/(s^2+1)/(s^2+5) >>y=ilaplace(Y)
Y =
-3/20*5^(1/2)*sin(5^(1/2)*t)+3/4*sin(t)
>>t=0:0.01:20;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
96/224
>>x=sin(t); Y=
-3/20*5^(1/2).*sin(5^(1/2)*t)+3/4.*sin(t); >>plot(t,x,t,y);
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
97/224
Inversi i Laplasit
Shembull 143: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna .
)6)(2()(
sssssF
>> syms s >> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6))); >> ilaplace(f)
ans = 1/2*exp(– 4*t)*sinh(2*t)
Shembull 143.b: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna
)5(1)( 2
ss
sF
>> syms s >> f = 1/((s^2)*(s + 5)); >> ilaplace(f)
ans = 1/3*t – 2/9*exp(– 3/2*t)*sinh(3/2*t)
Shembull 143. c. Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna
)92(13)( 2
ssssF
>>syms s >> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9); >> ilaplace(f)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
98/224
ans = 3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)
Shembull 143.d: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna
)203(25)( 2
sssssF
>>syms s >> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 25)); >> ilaplace(f)
ans = 5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin (1/2*71^(1/2)*t) – 5/4
Shembull 144: Të gjindet transformimi invers i Laplasit për funksionin e dhënë.
)15012)(3)(2()7)(79()( 2
2
ssss
ssssG
Zgjidhje
% Programi ne matlab >> syms s % s është simbol >> % definimi i funksionit >>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)]; >>pretty(G) % funksioni pretty e printon simboliken ne dalje. (s2 + 9 s + 7) (s + 7) --------------------------------- (s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
99/224
>> g = ilaplace(G); % transformimi invers i Laplasit >>pretty(g)
Shembull 144: Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues duke përdor programin Matlab . Shembull 144.a.
)6)(2(
)(
sss
ssF
>> syms s >> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6))); >> ilaplace(f)
ans = 1/2*exp(-4*t)*sinh(2*t)
2915 1/2 889 1/2 1/2 ---- exp(-6 t) cos(114 t) + ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t) 3198 20254 44 - 7/26 exp(-2 t) + --- exp(-3 t) 123
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
100/224
Shembull 144. b.
)5(1)( 2
ss
sF
>> syms s >> f = 1/((s^2)*(s + 5)); >> ilaplace(f)
ans = 1/5*t-2/25*exp(-5/2*t)*sinh(5/2*t)
Shembull 144.c.
)92(13)( 2
ssssF
>>syms s >> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9); >> ilaplace(f)
ans = 3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)
Shembull 144.d.
)203()( 2
sssssF
>>syms s >> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 20); >> ilaplace(f)
ans = 5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin (1/2*71^(1/2)*t) – 5/4
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
101/224
Shembull 145: Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues të dhënë.
)15012)(3)(2()7)(79()( 2
2
ssss
ssssF
Zgjidhje : % Programi MATLAB >> syms s % i tregohet programit Matlab se “s” është një simbol. >>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)]; % definimi i funksionit. >>pretty(G) % funksioni ne dalje i paraqitur ne forme matematikore
>> g = ilaplace(G); % forma inverse e laplasit >>pretty(g) Shembull 146: The MATLAB program for determining the partial-fraction expansion is given below:
Zgjidhje
44 2915 1/2 --- exp(-3 t) + ---- exp(-6 t) cos(114 t) 123 3198 889 1/2 1/2 + ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t) - 7/26 exp(-2 t) 20254
(s2 + 9 s + 7) (s + 7) --------------------------------- (s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
102/224
>> b = [0 0 5 3 6]; >> a = [1 3 7 9 12]; >> [r, p, k] = residue(b, a)
r = – 0.5357 – 1.0394i – 0.5357 + 1.0394i 0.5357 – 0.1856i 0.5357 + 0.1856i p = – 1.5000 + 1.3229i – 1.5000 – 1.3229i – 0.0000 + 1.7321i – 0.0000 – 1.7321i k = [ ]
Rezultatet e fituara nga programi matlab i zëvendësojm më poshtë do të fitojm:
)732.10(1856.05357.0
)732.10(1856.05357.0
)3229.1500.1()039.15357.0(
)3229.1500.1(0394.15357.0)(
jsj
jsj
isj
jsjsF
Programi matlab për caktimin e fitimin e transormimit invers të Laplasit do të fitojmë: >> syms s >> f = (5*s^2 + 3*s +6)/(s^4 + 3*s^3 + 7*s^2 + 9*s +12); >> ilaplace(f)
ans = 11/14*exp(– 3/2*t)*7^(1/2)*sin(1/2*7^(1/2)*t) – 15/14*exp (– 3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t) + 3/14*3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t)+15/14*cos(3^(1/2)*t)
)()()()()(
4
4
3
3
2
2
1
1
psr
psr
psr
psrsF
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
103/224
Shembull 147: Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit , pra të gjindet transformimi invers i Laplasit për këtë funksion.
454020525753)( 234
234
ssss
sssssF
Zgjidhje >> num = [ 1 3 5 7 25]; >> den = [1 5 20 40 45]; >> [r, p, k] = residue(num, den)
r = – 1.3849 + 1.2313i – 1.3849 – 1.2313i 0.3849 – 0.4702i 0.3849 + 0.4702i p = – 0.8554 + 3.0054i – 0.8554 – 3.0054i – 1.6446 + 1.3799i – 1.6446 – 1.3799i k = 1
Nga paraqitja ne dalje e programit për ndarjen e funksionit dotë shkruajm.
1)3779.16446.1(
)4702.03849.0()3799.16446.1(
)4702.03849.0)005.38554.0()2313.13849.1(
)005.38554.0()2313.13849.1()(
jsj
jsj
jsj
jsjsF
)()()()()(
4
4
3
3
2
2
1
1
psr
psr
psr
psrsF
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
104/224
Shembull 148: Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit , pra të gjindet transformimi invers i Laplasit pëtr këtë funksion.
2)6)(4)(2()3)(1(8)(
ssssssF
Zgjidhje
)3612)(86()3)(88(
)6)(4)(2()3)(1(8)( 222
ssss
sssss
sssF
Ndarja e funksionit përmes programit Matlab është. >> num = conv([8 8], [1 3]); >> den = conv([1 6 8], [1 12 36]); >> [r, p, k] = residue(num, den)
r = 3.2500 15.0000 -3.0000 -0.2500 p = -6.0000 -6.0000 -4.0000 -2.0000 k = []
Nga rezultatet e fituara nga programi matlab do të kemi këtë vijim të zgjerimit të funksionit.
)()()()()(
4
4
3
3
2
2
1
1
psr
psr
psr
psrsF
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
105/224
tttt eeeesF 25.03156 25.031525.3)(
0)25.0(
25.0)3(
3)15(
15)6(
25.3)(4
pssss
sF
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
106/224
Funksionet Transmetuese
Urdhërat për caktimin e funksioneve transmetuese të sistemit:
PRINTSYS SERIES, PARALLEL, CLOOP, FEEDBACK PRINTSYS():
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Sqarim: SERIES(): [num,den]=series(num1,den1,num2,den2): Llogaritja e lidhjes serike të dy funksioneve transmetuese, ku në këtë rast num1,den1 është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues G1(s), num2,den2 është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues G2(s). Ndërsa num,den është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues e lidhjes serike të funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s) Shembull 149
21)(1
sssG 2500
1)(2 ssG
Zgjidhje
>> num1=[1 1]; den1=[1 2]; >> num2=[1]; den2=[500 0 0]; >> [num,den]=series(num1,den1,num2,den2); >> printsys(num,den)
num/den = s + 1 ------------------ 500 s^3 + 1000 s^2
Shembull 150: Sqarim: PARALLEL(): [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2): Bëhet llogaritja e lidhjës paralele të dy funksioneve transmetuese ku me num1,den1 emruesi dhe numruesi i funksioni transmetues G1(s) , me num2,den2 emruesi dhe numruesi i funksioni transmetues G2(s). Ndërsa num,den lidhja e dy funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
108/224
21)(1
sssG
43)(2
sssG
>> num1=[1 1]; den1=[1 2]; >> num2=[1 3]; den2=[1 4]; >> [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2); >> printsys(num,den)
num/den = 2 s^2 + 10 s + 10 ----------------- s^2 + 6 s + 8
Shembull 151: CLOOP(): Sqarim: [num,den]=cloop(num1,den1,sign): Bën llogartitjen e funksionit transmetues të qarkut të mbyllur me riveprim njësi, ku na paraqiten num1,den1 emruesi dhe numruesi i degës direkte G(s) , me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose +1) e nënkuptueshme -1 num,den emruesi dhe numruesi i qarkut të mbyllur
11)( 21
ss
sG
>> %funksioni i qarkut direkt të shembullit : >> num1=[1]; den1=[1 1 1]; >> [num,den]=cloop(num1,den1); >> printsys(num,den)
num/den = 1 ------------ s^2 + s + 2
Shembull 152: FEEDBACK():
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
109/224
Sqarim: [num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H,sign): Llogaritja e funksionit transmetues me lidhje rivepruese ku num_G,den_G paraqitet emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues i degës direkte G(s) ndërsa num_H,den_H emruesi dhe numruesi i i degës rivepruese të funksionit transmetues. Me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose +1) e nënkuptueshme -1. ndërsa num,den emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues i qarkut të mbyllur. Të llogaritet funksioni transmetues i qarkut të mbyllur me lidhje rivepruese.
25001)(
ssG kurse qarku riveprues
21)(
sssH
>> num_G=[1]; den_G=[500 0 0]; >> num_H=[1 1]; den_H=[1 2]; >> [num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H); >> printsys(num,den)
num/den = s + 2 --------------------------- 500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1
Urdhërat për caktimin e POLEVE, ZEROS PZM AP Shembull 153: PZMAP() Llogaritja dhe vizatimi i poleve dhe zeros të funksionit transmetues në rrafshin komplekës .
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
110/224
pzmap(num,den): Vizatimi [P,Z]=pzmap(num,den): Logaritja e zeros dhe poleve të funksionit transmetues në rrafshin komplekës ku : P: polet e matricës, Z Zerot e matricës Të llogaritet polet dhe zerot e funksionit transmetues
>> num=[1 5 4]; den=[1 7 13 9]; >> [P,Z]=pzmap(num,den) >> % te llogaritet P = -4.5987 -1.2007 + 0.7180i -1.2007 - 0.7180i Z = -4 -1 >> pzmap(num,den) Pamja e vendosjes se zero dhe poleve ne rrafshin komplekes: P = -4.5987 -1.2007 + 0.7180i -1.2007 - 0.7180i Z = -4 -1
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Shembull 154:
913745)( 23
2
sss
sssG
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
111/224
11s 2
1s
1224
2
sss
142
ss
a. Duke përdor programin Matlab të reduktohen blloqet dhe të llogariten funksionet transmetuese
W(s)=Y(s)/X(s). b. Të vizatohet për zerot dhe polet e funksionit transmetues duke përdor urdhërin pzmap(). c. të vizatohen zerot dhe polet e funksionit transmetues duke shfrytëzuar urdhërin rots( ). >> nr_A1=[1]; emr_A1=[1 1]; >> nr_A2=[1 0]; emr_A2=[1 2]; >> [nr_A,emr_A]=series(nr_A1,emr_A1,nr_A2,emr_A2); >> printsys(nr_A,emr_A)
num/den = s ------------- s^2 + 3 s + 2
>> nr_A=[1 0]; emr_A=[1 3 2]; >> nr_H1=[4 2]; emr_H1=[1 2 1]; >> [nr_B, emr_B]=feedback(nr_A, emr_A,nr_H1, emr_H1); >> printsys(nr_B, emr_B)
num/den = s^3 + 2 s^2 + s ------------------------------ s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 9 s + 2
>> nr_C=[1]; emr_C=[1 0];
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
112/224
>> nr_H2=[50]; emr_H2=[1]; >> [nr_D,emr_D]=feedback(nr_C,emr_C,nr_H1,emr_H1); >> printsys(nr_D,emr_D)
num/den = s^2 + 2 s + 1 --------------------- s^3 + 2 s^2 + 5 s + 2
>>nr_B=[1 2 1 0]; emr_B=[1 5 13 9 2]; >>nr_D=[1 2 1]; emr_D=[1 2 5 2]; >> [nr_E,emr_E]=series(nr_B,emr_B,nr_D,emr_D); >>printsys(nr_E,emr_E)
num/den = s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s ---------------------------------------------------------- s^7 + 7 s^6 + 28 s^5 + 62 s^4 + 95 s^3 + 75 s^2 + 28 s + 4
>> nr_E=[1 4 6 4 1 0]; emr_E=[1 7 28 62 95 75 28 4]; >> nr_H3=[1 2]; emr_H3=[1 14]; >> [nr_F,emr_F]=feedback(nr_E,emr_E,nr_H3,emr_H3); >>printsys(nr_F,emr_F)
num/den = s^6 + 18 s^5 + 62 s^4 + 88 s^3 + 57 s^2 + 14 s
-------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56 >> nr_F=[1 18 62 88 57 14 0]; emr_F=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56]; >> nr_G=[4]; emr_G=[1]; >> [nr_I,emr_I]=series(nr_F,emr_F,nr_G,emr_G); >>printsys(nr_I,emr_I)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
113/224
num/den =
4 s^6 + 72 s^5 + 248 s^4 + 352 s^3 + 228 s^2 + 56 s --------------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56 >>nr_I=[4 72 248 352 228 56 0]; emr_I=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56]; >> [P,Z]=pzmap(nr_I,emr_I)
P = -13.9265 -2.0730 + 2.2500i -2.0730 - 2.2500i -0.7873 + 1.9007i -0.7873 - 1.9007i -0.4465 + 0.1461i -0.4465 - 0.1461i -0.4599 Z = 0 -14.0000 -1.0002 + 0.0002i -1.0002 - 0.0002i -0.9998 + 0.0002i -0.9998 - 0.0002i
>>pzmap(nr_I,emr_I)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
114/224
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole zero map
Shembull 155: Funksioni transmetues i Sistemit me degës direkte dhe degës rivepruese është?
10641)( 23
sssssG
Duke shfrytëzuar programin Matlab të caktohen zerot dhe polet e funksioni transmetues. >> nr_G=[1 0]; emr_G=[1 4 6 10]; >> [nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G); >> printsys(nr_W,emr_W)
num/den =
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
115/224
s ---------------------- s^3 + 4 s^2 + 7 s + 10
>>nr_W=[1 0]; emr_W=[1 4 7 10]; >> [P]=residue(nr_W,emr_W)
P = -0.3509 0.1755 - 0.0670i 0.1755 + 0.0670i
Shembull 156:
Është dhënë funksioni transmetues 12
1)( 23
ssssT
Të llogariten polet e funksionit transmetues , e pastaj të vizatohen pergjigjeja kur në hyrje sjellim : a. step funksioni. b. Impulsin e dirakut c. Sinjalin sinusoidal x(t)=5sin(3t)
>> nr_T=[1]; emr_T=[1 2 1 1]; >> [P]=pzmap(nr_T,emr_T)
P = -1.7549 -0.1226 + 0.7449i -0.1226 - 0.7449i
>>step(nr_T,emr_T);
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
116/224
Time (sec.)
Am
plitu
de
Step Response
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6From: U(1)
To: Y
(1)
>> impulse(nr_T,emr_T);
Time (sec.)
Am
plitu
de
Impulse Response
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6From: U(1)
To: Y
(1)
>> t=0:0.01:5; >> u=5*sin(3*t); >> y=lsim(nr_T,emr_T,u,t); >> plot(t,u,t,y)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
117/224
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Shembull 157.a: Përcakto polet e funksionit transmetues përmes programit Matlab.
1211951576
)()(
2345
23
sssss
ssssRsC
Zgjidhje . >> % Programi MATLAB >> den = [1 1 -5 -9 11 -12]; >> A = roots (den) Shembull 157.b:
A = -2.1586 + 1.2396i -2.1586 - 1.2396i 2.3339 0.4917 + 0.7669i 0.4917 - 0.7669i
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
118/224
>> den=[1 1 -5 -9 11 -12 ]; >> A = roots (den) Shembull 158: Përcakto polet e funksionit transmetues përmes degën kthyes përmes programit Matlab.
)11)(9)(7)(5(150)(
sssssG
Zgjidhje . >> % Programi MATLAB >> numg = 150
numg = 150
>> deng = poly([-5 -7 -9 -11]); >> 'G(s)'
ans =
G(s) >> G = tf (numg, deng)
A = -2.1586 + 1.2396i -2.1586 - 1.2396i 2.3339 0.4917 + 0.7669i 0.4917 - 0.7669i
Transfer function: 150 -------------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3465
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
119/224
>> 'polet e G(s)'
ans =
polet e G(s) >> pole (G) >> 'T(s)'
ans =
T(s) >> T = feedback (G, 1) >> pole (T) Shembull 159:
ans = -11.0000 -9.0000 -7.0000 -5.0000
Transfer function: 150 -------------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3615
ans = -10.9673 + 1.9506i -10.9673 - 1.9506i -5.0327 + 1.9506i -5.0327 - 1.9506i
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
120/224
Për qarkun me riveprim si në figurë Fig. Blloku , G(s) ka vlerën )5)(4)(2)(1(
)35(30)(2
ssss
sssG
Të caktohet përmes programit Matlab reagimi i qarkut të mbyllur
Zgjidhje .
>> % Programi MATLAB >> numg =30*[1 -5 3 ]; >> deng = poly([-1 -2 -4 -5 ]); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G,1) >> step(T) Përgjigjja përmes kompjuterit:
Fig.
Transfer function: 30 s^2 – 150 s + 90 ---------------------------------- s^4 + 12 s^3 + 79 s^2 - 72 s + 130
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
121/224
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2
0
2
4
6
8
10Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Ekuacionet e gjendjes Shembull 160: Sistemi i kontrollit është i dhënë më anë të ekuacionit të gjendjes.
uxx
xx
31
3214
2
1
2
1
2
121xx
y
Të gjindet funksioni transmetues i sistemit G(s)përmes programit Matlab.
Zgjidhje .
3214
A
31
B 21C
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
122/224
Funksioni transmetues G(s) për sistemin e dhënë.
147
491224512
21147
1
52
4213
2)3)(4(121
31
3214
21)()(
22
1
sss
ss
ss
ss
ssss
BAsICsG
>> A = [-4 -1 ; 2 -3]; >> B = [1 ; 3]; >> C = [1 2]; >> D = 0; >> [num, den] = ss2tf(A, B, C, D) Rezultati është i njëjtë sikurse ai i derivimit, i zgjidhur në fillim. Shembull 161: Llogarit funksionin transmetues G(s) = Y(s)/R(s), për sistemin pasues i prezantuar nga ekuacioni i gjendjes.
rxx
2750
5965100001000730
num = 0 7.0000 28.0000 den = 1.0000 7.0000 14.0000
a = x1 x2 x3 x4 x1 0 3 5 0 x2 0 0 1 0 x3 0 0 0 1 x4 -5 -6 8 5 b = u1 x1 0 x2 5 x3 7 x4 2 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 3 7 5 d = u1 y1 0
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
123/224
xy 5631
Zgjidhje . >> A = [0 3 5 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; -5 -6 8 5]; >> B = [0; 5; 7; 2]; >> C = [1 3 7 5]; >> D = 0; >> statespace = ss(A, B, C, D)
Vazhdueshmëria e sistemit . >> [A, B, C, D] = tf2ss(num,den); >>G = tf(num, den)
Shembull 162: Të gjindet ekuacioni i gjendjes për funksionin në vijim përmes programit MATLAB.
)7365735
)()(
23
sss
ssRsC
Zgjidhje . >>% MATLAB programi >> num = [0 0 35 7];
Transfer function: 7 s + 28 -------------- s^2 + 7 s + 14
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
124/224
>> den = [1 5 36 7]; >> g = tf(num,den) >>%paraqitja e rezultateve për caktimin e ekuacionit te gjendjes >> [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
Transfer function: 35 s + 7 ---------------------- s^3 + 5 s^2 + 36 s + 7
A = -5 -36 -7 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 0 35 7 D = 0
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
125/224
Përmes rezultateve të marra nga programi Matlab në mundë të shkruajm ekuacionin e gjendjeve si më poshtë.
uxxx
xxx
001
0100017365
3
2
1
3
2
1
uoxxx
y
37350 2
1
Shembull 163: Të llogaritet ekuacioni gjendjes phase-variable për sistemin e dhënë .
Zgjidhje . >>% MATLAB Program >> den = [1 7 10 8 1 25]; >> G = tf(num, den)
Transfer function: 50 ------------------------------------- s^5 + 7 s^4 + 10 s^3 + 8 s^2 + s + 25
>> [AC, BC, CC, DC] = tf2ss(num, den); >>Af = flipud(AC)
Af = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -7 -10 -8 -1 -25
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
126/224
>>A = fliplr(Af)
A = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -25 -1 -8 -10 -7
>>B = flipud(BC)
B = 0 0 0 0 1
>>C = fliplr(CC)
C = 28.0000 7.0000 0 0 0
Shembull 164: Përmes Programit Matlab të shkruhet ekuacioni i gjendjes dhe ekuacioni dalës për Variablat e Gjendjes për sistemet e paraqitura më
poshtë.
Zgjidhje . Shembull 164.a: >>num = [5 7]
num =
5 7
>> den = [1 7 3 9 8]
den =
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
127/224
1 7 3 9 8
>> G = tf(num,den)
Transfer function: 5 s + 7
----------------------------- s^4 + 7 s^3 + 3 s^2 + 9 s + 8
>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num, den); >> Af = flipud(Ac)
Af = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -7 -3 -9 -8
>> A = fliplr(Ac)
A = -8 -9 -3 -7 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
>> B = flipud(Bc)
B = 0 0 0 1
>> C = fliplr(Cc)
C = 7 5 0 0
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
128/224
Shembull 164. b:
%Pjesa e dyte >> num = [1 3 10 5 6]; >> den = [1 7 8 6 0 0]; >> G = tf(num, den)
Transfer function: s^4 + 3 s^3 + 10 s^2 + 5 s + 6 ------------------------------ s^5 + 7 s^4 + 8 s^3 + 6 s^2
>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num,den); >> Af = flipud(Ac); >> A = fliplr(Af)
A = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -6 -8 -7
>> B = flipud(Bc)
B = 0 0 0 0 1
>> C = fliplr(Cc) C = 6 5 10 3 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
129/224
Shembull 165: Të gjindet funksioni transmetues për sistemin e dhënë përmes Matlabit.
uxxx
xxx
0513
00
620025010
3
2
1
3
2
1
3100001
2
1
xxx
y
Zgjidhje . Nga matricat e dhëna të caktohet shprehja G(s)=C[sI-A]-1B
0513
00B
100001
C
0513
00
62002501
100001
)(s
ss
sG
>> %Programi Matlab >> syms s >> C = [1 0 0; 0 0 1]; >> M=[s -1 0 ; 5 s+2 0; 0 -2 s+6];
620025010
A
ans = [ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)] [ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
130/224
>> B = [0 0; 3 -1; 5 0 ]; >> C*inv(M)*B
Shembulli 166: Modeli i sistemit të dhënë në ekuacionet e gjendjes është:
211052006
A ;
111
b ; 81616 td ; 8h
>> A=[-6,-2,-1;0,-5,-1;0,0,-2]; >> B=[1;1;1];D=[-16,-16,-8]; >> H=8; >> [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H) Rezultati i fituar : Z = -4.0000 -1.0000 -3.0000 p = -6 -5 -2 k = 8 Atëherë funksioni transmetues do të jetë:
ans = [ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)] [ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
131/224
)6)(5)(2()4)(3)(1(8)(
sssssssW
Shembulli 167: Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:
653124)( 23
23
sssssssW
>>NUM=[8,4,2,1];den=[1,3,5,6]; >> [A,B,D,H]=tf2ss(NUM,den)
A = -3 -5 -6 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 D = -20 -38 -47 H = 8
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
132/224
uxxx
x
x
x
001
010001653
3
2
1
3
2
1
uxxx
c 8473820
3
2
1
Shembulli 168: Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:
)6)(5)(2()4)(3)(1(8)(
sssssssW
>>z=[-1;-3;-4]; >>p=[-2;-5;-6]; >>k=8; >> [A,B,D,H]=zp2ss(z,p,k) A = -2.0000 0 0 -1.0000 -11.0000 -5.4772 0 5.4772 0 B = 1 1 0 D = -8.0000 -32.0000 -26.2907
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
133/224
H = 8
Pra modeli i ekuacioni të gjendjeve do të jetë:
uxxx
x
x
x
011
04772.504772.5111002
3
2
1
3
2
1
uxxx
c 82907.26328
3
2
1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
134/224
Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit Shembull:169: Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues
)57.0)(3(15)(
ssssG
Zgjidhje
>> % Programi ne Matlab >> %diagrami i bodeut >> clf >> num = 15; >> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5])); >> bode(num, den) Paraqitja grafike nga programi :
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
135/224
Shembulli 170: Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues
)11070128()807157()( 234
23
ssss
ssssG
Zgjidhja >> %MATLAB Program >> %Bode plot >> clf >> num=[0 7 15 7 80]; >> den=[1 8 12 70 110]; >> bode(num,den) Paraqitja grafike nga programi :
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
136/224
Shembull 171: Të shkruhet programi në Matlab që mundëson të vizatohet diagrami i Bodeut për funksioniet transmetues të dhënëna.
)57.0)(3(15)(
sssG
Zgjidhje . >> % Program ne MATLAB >> % diagrami i bodeut >> clf >> num = 15; >> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5])); >> bode(num, den) Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Shembull 172:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
137/224
>> %Programi ne Matlab >> %Vizato diagramin e Bodeut >> clf >> num=[0 7 15 7 80]; >> den=[1 8 12 70 110]; >> bode(num,den) Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Shembulli 173: Për sistemin e dhënë të funksionit transmetues me qark të hapur të vizatohet diagrami amplitudor dhe i Bodeut .
)11070128()807157()( 234
23
ssss
ssssG
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
138/224
)5)(2(20)(0
sss
sW
Zgjidhje
Forma e zgjidhjes në formë matematike:
12.01*
15.01*1*2
)12.0)(15.0(2
)12.0)(15.0(5220
)5)(2(20)(0
ssssssssssss
sW
Në grafikun e njëjtë do të vizatojmë diagramin e bode-ut për të gjitha funksionet elementare pra për të gjitha funksionet W0. % duke përdor .m fajllin num_K=[2]; emr_K=[1] % Definimi elementar i funksionit K num_W1=[1]; emr_W1=[1 0]; % Definimi elementar i funksioni W1 num_W2=[1]; emr_W2=[0.5 1]; % Definimi elementar i funksioni W2 num_W3=[1]; emr_W3=[0.2 1]; % Definimi elementar i funksioni W3 num_Wo=[20]; emr_Wo=conv([1 2 0],[1 5]) % definim i funksionit transmetues % i qarkut te hapur Wo % vizatimi i diagramit te bode-ut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze Si rezultat i programit përfundimtar kemi fituar diagramin për amplitudë dhe fazën në diagramin e bodeut.
emr_K = 1 emr_Wo = 1 7 10 0
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
139/224
-150
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Shembulli 174: Të vizatohet karakteristika amplitudo fazo, frekuencore e funksionit transmetues të dhënë përshkruar në funksionin transmetues:
2)5(2)(
ssssW
% duke përdor .m fajllin num_K=[2]; emr_K=[25] num_W1=[1]; emr_W1=[1 0]; num_W2=[0.5 1]; emr_W2=[1]; num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.2 1],[0.2 1]); num_Wo=[1 2]; emr_Wo=conv([1 0],conv([1 5],[1 5])) % definimi i qarkut te hapur Wo % vizatimi i diagramit te bode-ut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdh bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te zeze bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze Rezultati i fituar:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
140/224
emr_K = 25 emr_Wo = 1 10 25 0
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Shembulli 175: Të vizatohet diagrami i bodeut për karakteristika amplitude dhe karakteristika fazo frekuencore e sistemit të dhënë me funksionin transmetues të qarkut të hapur.
)15.0()133.0)(12.0()11.0(10)( 20
sssssW
% duke përdor .m fajllin num_K=[10]; emr_K=[1]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
141/224
num_W1=[0.1 1]; emr_W1=[1]; num_W2=[1]; emr_W2=[0.2 1]; num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.33 1],[0.33 1]); num_W4=[1]; emr_W4=[0.5 1]; num_Wo=[1 10]; % Definimi i F.T. te qarkut te hapur Wo emr_Wo=conv(emr_W2,conv(emr_W3,emr_W4)) % vizatimi i diagramit te bodeut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_W4,emr_W4,'m'); % grafiku me ngjyre vjollce bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze
Rezultati i fituar : emr_K = 1 emr_Wo = 0.0109 0.1422 0.6709 1.3600 1.0000
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
142/224
-100
-50
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270-225-180-135-90-45
04590
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Shembulli 176 Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues
)11070128()807157()( 234
23
ssss
ssssG
Zgjidhja % duke përdor .m fajllin % Program ne MATLAB % diagrami i bodeut clf num=[0 7 15 7 80]; den=[1 8 12 70 110]; bode(num,den) Paraqitja grafike nga programi :
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
143/224
-30
-20
-10
0
10M
agni
tude
(dB)
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Shembull 177:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
144/224
Kontrolleri PID është dhënë me :
sssGc
2)057(125.29)(
Të vizatohet diagrami i bodeut duke përdor programin Matlab
Zgjidhje
ssss
sssGc
4627.92025.33125.29
)3249.014.1(125.29)(
2
2
>> % Programi ne Matlab >> %Bode diagram >> num= [29.125 33.2025 9.4627]; >> den= [0 1 0]; >> bode (num, den) >> title ('Diagrami i Bodeut G(s)')
30
40
50
60
70
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102-90
-45
0
45
90
Pha
se (d
eg)
Diagrami i Bodeut G(s)
Frequency (rad/sec) Shembulli 178: Të konstruktohet diagrami i bodeut për amplitude dhe faze të sistemit me që rastë funksioni idegës këthyesë është:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
145/224
)4)(5.0()2(10)(
sssssW
Të shqyrtohet stabiliteti i sistemit: Në Matlab, analiza mundet të realizohet me ndihmen e funksionit bode dhe margin. Funksioni bode vizaton sakësisht amplituden dhe fazën e diagramit të bodeut, ndërsa margin llogaritë pikat e stabilitetit. % programi ne Matlab sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10); bode(sys1); hold on plot([0.1 0.5 2 4 10], [40 26.0206 1.9382 -4.0824 -20],'r') [d,Fpf,wpi,wpf]=margin(sys1); hold off % po i paraqesim rrjetën grid on
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Rezultati i stabilitetit: d = Inf wpi = Inf Fpf = 30.2997 wpf = 2.5981 ddB=20log(d)=Inf
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
146/224
Shembulli 179:
Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitud dhe fazë për sistemin me degë këthyese dhe të shqyrtohet stabiliteti.
)16)(4(256)(
SSsSw
% programi ne Matlab sys2=zpk([ ],[0 -4 -16],256); bode(sys2); [d2,Fpf2,wpi2,wpf2]=margin(sys2); ddB2=20*log10(d2); grid on
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) d2=5.0000 wpi2=8.0000 Fpf2=41.2246 wpf2=3.1028 ddB2=13.9794 Fpf2>0 dhe ddB2>0 → Sistemi është stabil edhe kur mbyllet dega këthyese.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
147/224
Shembulli 180: Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitudë dhe fazë nëse funksioni transmetues i të cilit është.
)14
)4
((
110)(22
sss
ssW
Dhe të caktohen kufijt e stabilitetit. sys3=tf([10 10],[1/16 1/4 1 0 0]); bode(sys3) [d3,Fpf3,wpi3,wpf3]=margin(sys3); ddB3=20*log10(d3) % vendosja e rrjetes ne grafike grid on
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) d3=0.3000 wpi3=3.4641 Fpf3= -46.1198 wpf3=5.7239 ddB3= -10.4577 Fpf3<0 dhe ddB3<0 → sistemi është jo stabil kur të mbyllet dega këthyese.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
148/224
Shembull 181: Të shkruhet programi në Matlab që të fitohet diagrami i Nyquist-it dhe Nichols-it për funksionin transmetues në vijim për k=30.
)73)(73)(3)(1()73)(73)(1()(
isisssisissksG
Zgjidhje .
>> %MATLAB Programi >> %shembull i diagramit te nikvistit dhe nikollsit >> % Program MATLAB >> numg = 15*[1 3 7]; >> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3])); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G, 1); >> step(T) Përgjigjja nga kompjuteri
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
149/224
>> clf >> z = [-1 -3+7*i -3-7*i]; >> p = [-1 -3 -5 -3+7i -3 -7*i]; >> k=30; >> [num, den] = zp2tf (z', p', k'); >> subplot (211), nyquist (num, den) >> subplot (212), Nichols (num, den) >> ngrid >> axis ([50 360 -40 30])
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1
-0.5
0
0.5
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
90 135 180 225 270 315 360-40
-20
0
20
6 dB 3 dB
1 dB 0.5 dB 0.25 dB
-1 dB
-3 dB -6 dB
-12 dB -20 dB
-40 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB)
Shembull 182:
Sistemi i kontrollit është definuar me.
2
1
2
1
2
1
1011
73010
uu
xx
x
x
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
150/224
2
1
1
1
1001
xx
y
y
Të vizatohen katër forma të caktuara të diagramin e Bodeut për sistemin [dy për input1,dhe dy për input 2]përmes Matlabit. Zgjidhje . >> %Diagrami i Bodeut >> A = [0 1;-30 -7]; >> B = [1 1; 0 1]; >> C = [1 0; 0 1]; >> D = [0 0; 0 0]; >> bode(A, B, C, D)
-100
-50
0From: In(1)
To: O
ut(1
)
-135
-90
-45
0
To: O
ut(1
)
-100
0
100
To: O
ut(2
)
100
102
-180
0
180
To: O
ut(2
)
From: In(2)
100
102
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B) ;
Phas
e (d
eg)
Shembull 183: Të vizatohet diagrami i Nyquist-it për sistemin e definuar me.
uxx
x
x
300
73010
2
1
2
1 uxx
y 0012
1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
151/224
Përmes programit Matlab . Zgjidhje . Diagrami i nikuistit mundë të fitohet përmes komandës nyquist (A, B, C, D) ose nyquist (A, B, C, D, 1). >> %MATLAB Programi >> A = [0 1; - 30 7]; >> B = [0; 30]; >> C = [1 0]; >> D = [0]; >> nyquist(A, B, C, D) >> grid >> title('Diagrami i nikuistit')
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
10 dB
-20 dB
-10 dB
-6 dB
-4 dB-2 dB
20 dB
10 dB
6 dB
4 dB2 dB
Diagrami i nikuistit
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Shembull 184: Kontrolleri komplekes eshte dhene permes funksionit transmetues
)257(5)( 2
sssG
Te gjinden lokusi i rrënjëve përmes programit Matlab.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
152/224
Zgjidhje . >> %MATLAB Programi >> clf >> num = [1 5]; >> den = [1 7 25]; >> rlocus(num, den); Rezultatin është dhëne ne Figurë.
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Shembull 185: Të vizatohet diagrami për lokusin e rrënjeve për sistemin e hapur të funksionit transmetues e dhën G(s) dhe H(s)
)72)(73()3()()( 22
sssssKsHsG
)2829175()3(
)72)(43()3()()( 23422
ssss
sKssss
sKsHsG
>> %MATLAB Programi >> num = [0 0 0 1 3]; >> den = [1 5 17 29 28]; >> K1 = 0:0.1:2; >> K2 = 2:0.02:2.5; >> K3 = 2.5:0.5:10; >> K4 = 10:1:50;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
153/224
>> K5 = 50:5:800; >> K = [K1 K2 K3 K4 K5]; >> r = rlocus(num, den, K); >> plot(r, 'o') >> v = [-10 5 -8 8]; >> axis(v) >> grid >> title('llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)') >> xlabel('boshti real') >> ylabel('boshti imagjinar ')
-10 -5 0 5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)
boshti real
bosh
ti im
agjin
ar
Shembull 186: Sistemi i kontrollit është dhënë me .
2
1
3
2
1
3
2
1
100220
540010003
uu
xxx
x
x
x
3
2
1
010021
xxx
y
Të caktohet kontrollabiliteti dhe observabilitetit përmes programit Matlab.
Zgjidhje :
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
154/224
>> %MATLAB Programi >> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 4 5]; >> B = [0 2; 2 0; 0 1]; >> C = [1 2 0; 0 1 0]; >> D = [0 0; 0 0]; >> rank ([B A*B A^2*B])
ans = 3
>> rank ([C' A*C' A^2*C'])
ans = 3
>> rank ([C*B C*A*B C*A^2*B])
ans = 2
Nga paraqitja sistemi është në gjendje të kontrollabilitetit por nuk është komplet observatibil. Dalja e tijë është e kontrollueshme.
Shembull 187: Të konsiderohet sistemi
3
2
1
3
2
1
230010003
xxx
x
x
x
Dalja e tijë është :
3
2
1
111xxx
y
Të shqyrtohet observabiliteti i sistemit me programin Matlab.
3
2
1
2
1
231111
xxx
yy
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
155/224
Zgjidhje . >> % Programi ne Matlab >> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 3 2]; >> C = [1 1 1]; >> rank ([C' A' *C' A'^2*C'])
ans = 3
Nga rezultati ne shohim se sistemi është observabil dhe i kontrollueshem.
Shembull 188:
1211951576
)()(
2345
23
sssss
ssssRsC
Zgjidhje
>> %Programi ne Matlab >> den = [1 1 - 5 - 9 11 -12]; >> A = roots (den)
A = 12.1776 0.4112 + 0.9035i
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
156/224
0.4112 - 0.9035i0.4917 – 0.7669i Shembull 189: Të përcaktohet me sakësi ekuacioni i rendit të dytë i përafërt me Programin Matlab dhe të simulohet sistemi këthyesë .
)3)(1)(73()73(15)( 2
2
ssss
sssG
Zgjidhje.
>> % Programi ne Matlab >> numg = 15*[1 3 7]; >> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3])); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G, 1); >> step(T)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
157/224
Shembull 190: Është dhënë sistemi me lidhje rivepruese si në figurë. a. Të llogaritet përmes Matlab-ut funksioni transmetues i qarkut të mbyllur dhe të paraqitet rezultati duke përdor urdhërin printsys
Zgjidhje % m-fajlli: sistemi transmetues.m nr_G1=[1]; emr_G1=[1 1]; nr_G2=[1 -2]; emr_G2=[1 10]; [nr_G,emr_G]=series(nr_G1,emr_G1,nr_G2,emr_G2); % funksioni transmetues i degës direkte [nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G); % funksioni transmetues I sistemit printsys(nr_W,emr_W) step(nr_W,emr_W); title('funksioni transmetues me dege njesi') xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') Rezultati :
num/den = s - 2 –------------- s^2 + 12 s + 8
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
158/224
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1funksioni transmetues me dege njesi
t(s) (sec)
y(t)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
159/224
Shembull 191: Është dhënë sistemi mekanik i dhënë në figurë. Të llogaritet dhe të vizatohet çvendosja e masës nëse në të veprojm:
a. Forcë konstante prej 5N. b. Forcën në formë f(t)=3sin(t)
Janë dhënë : M=10kg; k=1N/m; b=0.5Ns/m
Zgjidhje: Funksionin transmetues do ta caktoj si : Mx''(t)=f(t)-kx(t)-bx'(t) / L s
2MX(s)=F(s)-kX(s)-bsX(s)
X(s)[s
2M+bs+k]=F(s)
15.01011
)()(
22
sskbsMssFsX
Për caktimin e emruesit të sistemit do ta përdorim urdhërin lsim x=lsim[nr,emr,u,t]; % m-fajlli: nr=[1]; emr=[10 0.5 1]; t=1:0.1:200; % zgjidhja nen a): u=5*ones(1,length(t)) % vektori ku te gjithe elementet jane =5; y_a=lsim(nr,emr,u,t);
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
160/224
% zgjidhja nen b): u=3*sin(t); y_b=lsim(nr,emr,u,t); % vizatimi i emruesit subplot(211); plot(t,y_a); title('forca qe vepron f(t)=5N'), ylabel('x(m)') subplot(212); plot(t,y_b); title(' forca qe vepron f(t)=3sin(t)'), xlabel('t(s)'), ylabel('x(m)')
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10forca qe vepron f(t)=5N
x(m
)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
-0.5
0
0.5
1 forca qe vepron f(t)=3sin(t)
t(s)
x(m
)
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
161/224
Simulink Shembulli 193: Të simulohet ekuacioni duke përdor Simulinkun e programit Matlab intervali 0 ≤ t ≤ 13. Zgjidhja e së cilit është :
Modeli i Simulinkut
Sine Wave Scope
1s
Integrator
10
Gain
Parametrat për bllokun Sine Wave: Amplitude= 1, Frequency= 1, Phase= 0, Sample time= 0
)sin(10.
ty
)sin(10 tdtdy
0)0( y
)cos1(10)( tty
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
162/224
Parametrat për bllokun Gain:
Hapi i simulimit është : 25 Pas simulimit klikojm dy here në Scope block fitohet paraqitja grafike.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
163/224
Shembulli 194: Funksioni transmetues i dhënë me ekuacionin:
952146
23
sss
sG
Të vizatohet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjes dhe dhe bllok diagrami duke përdor funksioni STEP Duke i bërë zëvendësimet e më poshtëme:
)()(
9521
)()(*
)()(
952146
2323 sUsZ
ssssUsZ
sZsY
ssssG
uzzzzsZsYs 9'5''2''')()(146
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
164/224
zzy 14'6 1.
I vendosim variablat e gjendjeve në formë:
ZxZx 11 2.
122 xZxZx
dhe 12 xx
3.
233 xZxZx
dhe 23 xx
4. Me kombinimin e ek. 1 dhe ek. 2 do të kemi :
uxxxx
3211 952 ek. 5 Nga ekuacioni 2 , 3, 4 do të paraqesim në formë matricore:
uxxx
x
x
x
001
*010001952
3
2
1
3
2
1
3
2
1
32 *4160146xxx
yxxy
Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:
1Out1
1s
ntegratori 3
1s
ntegratori 2
Step Scope1s
Integratori 1
14
Gain5
6
Gain4
6
Gain3
2
Gain2
5
Gain1
9
Gain Add1
Add
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
165/224
Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :
Shembulli 195
Sistemi dinamik është dhënë me 8147
623
sss
Gp
Të zgjidhet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjës. Variablat e gjendjës janë dhënë
yx1
yx2 yx Të gjenerohet ndryshimi i kohës i variablave përmes Simulinkut
)()(
81476
23 sUsY
sssGp
UYYYsYs 68147 23
uYYYY 68'14''7''' ek.1
yxyx 11 ek.2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
166/224
122 xyxyx
dhe 12 xx
ek.3
233 xyxyx
dhe 23 xx
ek.4 Me kombinimin e ekuacionit m1 dhe ekuacionit 2 do të kemi:
uxxxx 68147 3211 ek 5 Ekuacionet 2 ,3 dhe 4 do ti shkruajm në formën matricore:
uxxx
x
x
x
006
*0100018147
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3 *0100xxx
yxy
Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:
1Out1
1s
ntegratori 3
1s
ntegratori 2
Step Scope1s
Integratori 1
6
Gain3
7
Gain2
14
Gain1
8
Gain
Add
Parametrat për bllokun e ngacmimit :
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
167/224
Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
168/224
Shembulli 196: Përmes metodës së variablave të gjendjës: Për një qark elektrik pas ekujvalentimit ekuacioni i tijë është :
)(0 tuvdtdiLRi c
Ll
1)1(41
cLcL viv
dtdi
444 cLc
L vidtdi 1
Më pastaj po definojm variablat e gjendjës: Lix 1 dhe cix 2 2
dtdix L
1 dhe dtdvx c
2 .3
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
169/224
Atëher: dtdvCi c
L
221 34
xxCdtdvCix c
L
Ose
1243 xx
.4
Nga ekuacionet e lartëshënuara do të shprehim ekuacionet e gjendjës:
444 211
xxx
1243 xx
Kurse forma matricore është:
)(04
04/344
02
1
2
1 tuxx
xx
.5
Atëher zgjidhja e ekuaciuonit 5 do të jetë:
tt
tt
eeee
xx
3
3
2
1
25.075.01
Atëherë:
ttL eeix 3
1
tt
c eevx 32 25.075.01
Detyra për ekuacionet diferenciale do të zgjidhet përmesë simulink-ut në dy mënyra: Mënyra e parë: Duke shfrytëzuar ekuacione e më sipërme formojm modelin në Simulink i cili ka formën si më poshtë:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
170/224 simout
To Workspace
Step
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space Scope
Step
Scope
1s
Integrator1
1s
Integrator
-3
Gain5
-4
Gain1
3
Gain
Add
Paraqitja grafike për hapë simulimi 10 është paraqitur në figurën e më poshtëme.
Mënyra e dytë përtmes ekuacionit të gjendjeve: Nga ekuacioni 5 do të kemi
)(04
04/344
02
1
2
1 tuxx
xx
duCxy ose uxx
y 0102
1
Modeli i simulinkut ka këtë formë :
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
171/224
Atëher në bllokun për parametrat e funksionit do të shenojmë: Shenojmë vlerën në command window: >> x1=0;x2=0.5;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
172/224
Shembulli 197: Është dhënë ekuacioni diferencial :
)()(012
2
23
3
34
4
tutyadt
ydadt
ydadt
ydadt
yd
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
173/224
Nëse me y(t) marrim madhësin dalëse kurse me u(t) atë hyrëse y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0 nga forma matematike dihet se zgjidhja e ekuacionit diferencial është:
ttydt
yddt
yd sin)(2 3
3
4
4
duke përdor vlerat fillestare y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0
]cos3)3[(125.0)( 2 tttty Për ta shëndërruar ekuacionin ek. 2 përmes variablave të gjendjës duhet të përdorim katër variabla, pra do të përdorim variablat e gjendjës x1 x2 x3 dhe x4 ekuacionet diferenciale do të jenë:
)(1 tyx dt
tyx )(2 2
2
3)(
dttyx 3
3
4)(
dttyx
Ne vijmë në përfundim se
21 xx
32 xx
43 xx
)(4332211044
4
tuxaxaxaxaxdt
yd
Kurse forma matricore është:
)(
1000
100001000010
4
3
2
1
32104
3
2
1
tu
xxxx
aaaax
x
x
x
duAxx
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
174/224
duxy
4
3
2
1
x
x
x
x
x
3210
100001000010
aaaa
A
4
3
2
1
xxxx
x
1000
b u=u(t)
1)( xty
)(00001
4
3
2
1
tu
xxxx
y
Duke zëvendësuar ekuacionet e lartëposhtëm në ekuacionin 1 do të fitojmë. 03 a 22 a 01 a 10 a ttu sin)(
t
xxxx
ax
x
x
x
sin
1000
020100001000010
4
3
2
1
04
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
020100001000010
0a
A
4
3
2
1
xxxx
x
1000
b u=sint
y(t)=x1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
175/224
t
xxxx
y sin00001
4
3
2
1
Modeli i simulinkut ka këtë formë :
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-SpaceSignalGenerator
Scope
0
Display
Amplitude: 1 Frequency: 2 Units: Hertz Parametrat në bllokun State –Space
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
176/224
Shkruajm ne : Command windows >> a0=1; a1=0; a2=2; a3=0; x0=[0 0 0 0]'; Paraqitja grafike për modelin e simulinkut është dhënë në figurën e më poshtëme:
Shembulli 198
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
177/224
Është dhënë funksioni transmetues:
1)()()( 2
sss
sVsVsG
h
d
Duke përdor Programin Matlab të vizatohet modeli dhe të paraqitet grafikisht funksioni nëse në hyrje vepron sinjali Step. Modeli duke u bazuar në shprehjen e funksionit transmetues.
s
s +s+12
Transfer FcnStep Scope
Parametrat për bllokun STEP.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
178/224
Parametrat për bllokun Transfer Fcn
Paraqitja grafike e funksionit
Shembulli 199:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
179/224
Për funksionin e dhëne )4)(2)(1(
)3(5)(
ssssssG
Duke i marrë parasysh tre modelet e me poshtme të modelit supozojm se vlerat fillestare të gjendjes janë: -0,1,0 dhe 0. Ne mundë ti caktojm matricat A,B,C dhe D përmesë Programit Matlab me funksionin zp2ss. Modeli i simulinkut ka këtë formë :
5s(s+3)
(s+1)(s+2)(s+4)
Zero-Pole1
5s(s+3)
(s+1)(s+2)(s+4)
Zero-Pole
Step
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
Scope3
Scope2
Scope1
Për këtë shembull funksioni transmetues në variabla të gjendjes është paraqitur përmes shprehjës. Shprehja në: Command Window >> z=[0 -3]; p=[-1 -2 -4]'; k=5; [A B C D]=zp2ss(z,p,k) Kurse rezultati eshtë: A = -1.0000 0 0 1.0000 -6.0000 -2.8284 0 2.8284 0 B = 1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
180/224
0 0 C = 5.0000 -15.0000 -14.1421 D = 0 Parametrat në bllokun Step
Parametrat në bllokun Zero-Pole
Parametrat në bllokun State – Space
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
181/224
Parametrat në bllokun Zero- Pole1
Paraqitja grafike e simulinkut për tri modelet është paraqitur në figurat e më poshtme.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
182/224
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
183/224
Shembulli 200: Le të jetë dhënë ekuacioni diferencial i një osilatori të thjeshtë.
02
2
bydtdya
dtyd
Ose
02
2
bydtdya
dtyd
Duke u bazuar në ekuacionet e më sipërme fitojm modelin:
Scope1
1s
Integrator1
1s
Integrator
b
Gain2
a
Gain1Add
Në Command Window: >> a=0.1; >> b=3;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
184/224
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
185/224
Shembulli 2001:
Modelet me funksione diferenciale te rendit të dytë për figuren e më poshtme të llogariten përmes Simulinkut të programit Matlab :
f(t) – k x – b x’ – m x” = 0 Përmes veprimeve matematikore fitojm shprehjen: x" = 1/m[bx' + kx + f(t)]
b
perforcuesi1
1/m
perforcuesi 3
k
perforcuesi 2
1s
integratori 1Step
Scope
1s
Integratori 2
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
186/224
Përgjigjëja për sinjalin step ka këto vlera:
Simulation time =10s Në: command windows:
>> m = 2;
>> b = 5;
>> k = 3;
Ku fitohet grafiku për ekuacionin e rendit të dytë , ku si ngacmim kemi marrë sinjalin step.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
187/224
Shembulli 202:
))((1 kxxcxf
mx
Modeli simulues.
k
vlera per 'k'
c
vlera per 'c'
m
masa1s
integrali x''
1s
integral i x'Step
Scope
Parametrat e bllokut Step:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
188/224
Vlerat e dhena në Command Window: >> m=0.5; >> c=0.35; >> k=0.5; Paraqitja grafike:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
189/224
Shembulli 203: Të simulohet sistemi i dhënë në Simulink. Me këto vlera: m1=5, m2=3, c1=4, c2=8, k1=1, dhe k2=4
m 1
m 2
k 1
k 2
c 1
c 2
x 1
x 2
f
Ekuacioni i lëvizjës është: Ekuacioni i më sipërm mundë ta shndërrojmë në ekuacione të gjendjes:
Forma matricore:
)(48483
0485125
11222
22111
....
....
tfxxxxx
xxxxx
)4(31.
)5(51.
)(848
8412
43214
43212
tfzzzzz
zzzzz
43
21
.
.
zz
zz
)(.
tBfAzz
2
2
1
1
.
.
x
x
x
x
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
190/224
m 1
m 2
k 1
k 2
c 1
c 2
x 1
x 2
f
Të dhënat inicuese janë: Ekuacionet dalëse: Modeli për variablat e gjendjes:
Step
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space Scope
Parametrat për bllokun Step:
0)0(2,5.0)0(2,0)0(1,2.0)0(1..
xxxx
)(tBfCzy
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
191/224
Parametrat për bllokun State Space:
Paraqitja grafike e ekuacionit të gjendjes:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
192/224
S- Function Shembulli 204: Zgjidhja e një ekuacioni diferencial të rendit të dytë në funksion të kohës.
)sin(2'' txx ose në Mekanikë: )sin(2 txx
ekuacioni (1) Për kushtet fillestare t=0, x=0, 5.0'' x
Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse dhe në të shumtën e rasteve “të pazgjidhshme me dorë” në vijim le të realizojmë zgjidhjen e ekuacionit paraprak në Matlab. Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime:
)1()2(
)1(
dxxx
xx
ekuacioni (2)
Prej nga :
)1()2()2(
xxdxx Ekuacionin fillestar do ta shprehim si :
)sin(*2 txx
ekuacioni (3)
Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nën-programit të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (2) dhe (3) paraqesin dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i rendit të dytë (1). Një veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale nëpërmjet variablave të gjendjes. Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin zgjidhja.m do kenë formën:
uxdx
xdx
)1(*2)2(
)2()1(
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
193/224
Scope
zgjidhja
S-Function
[t,M]
FromWorkspace
Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim: function [dx,x0,str,ts] = int(t,x,u,flag) switch flag case 0 dx=[2, % 0, 2, 1, 0, 2, 1]; x0 = [0,0.5]; str=[]; ts=[0 0]; case 1 dx(1)=x(2); dx(2)=-2*x(1) + u; case 2 dx=[]; case 3 dx=x; case 9 dx=[]; otherwise error(['unhndled flag = ' ,num2str(flag)]) ; end Commande Window: >> t = ( 0 : 0.01 : 10 )'; >>M = sin( t );
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
194/224
Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim për lexim të të dhëna nga “Command Window” përkatësisht modulin “From Workspace” dhe aty shënojmë se ky modul duhet të lexoj funksionin M.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
195/224
Shembulli 205: Të zgjidhet qarku i më poshtëm për i1 , i2, Vc dhe të paraqitet ndryshimi i këtyre madhësive në raport me kohën dhe këto të paraqiten grafikisht duke përdor Programin Matlab.
Janë dhënë këto vlera: Lp=0.1H, Ls=0.2H, Rp=1Ω, Rs=2Ω,R1=1Ω,Mi=0,1H, C=1μF, V=10V Sinjali hyrës STEP
Metoda I
Vetem me kodin ne MATLAB % Vetem me kodin ne MATLAB clear all Lp = 0.1; Ls = 0.2; Mi = 0.1; Rp = 1; Rs = 2; R1 = 1; C = 1e-6; V = 10; alpha = 0.1; R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+R1) -1; 0 1 0] D = [1;0;0] L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C] Linv = inv(L); A = Linv*R; B = Linv*D; X = [0;0;0]; U = V; T = 0.0001; % Koha e ngacmimit
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
196/224
for n = 1:10000 n1(n) = n; Xest = X + T*(A*X + B*U); Xdotest = A*Xest + B*U; alpha1 = 1 + alpha; alpha2 = 1 - alpha; term1 = alpha1*Xdotest; termint = A*X + B*U; term2 = alpha2 + termint; X = X + (T/2)*(term1 + term2); i1(n) = X(1); i2(n) = X(2); Vc(n) = X(3); end figure (1) subplot(3,1,1) plot(n1*T,i1) grid ylabel('i_1 [A]') title('i_1 vs time') subplot(3,1,2) plot(n1*T,i2) grid axis([0 1 -0.01 0.01]) ylabel('i_2 [A]') title('i_2 vs time') subplot(3,1,3) plot(n1*T,Vc) grid axis([0 1 -5 10]) xlabel('Time') ylabel('V_c [V]') title('V_c vs time')
Rezultati
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
197/224
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10i 1 [A
]i1 vs time
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01
0
0.01
i 2 [A]
i2 vs time
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5
0
5
10
Time
Vc [V
]
Vc vs time
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
198/224
Metoda II Matlab + Simulink: S-function
Vc
To Workspace3
i2
To Workspace2
i1
To Workspace1
time
To Workspace
Scope
funksioni
S-Function
10
Constant
Clock
Parametrat për bllokun To Workspace:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
199/224
% fajlli funksioni function [sys, x0]=prob1(t,x,u,flag) Lp = 0.1; Ls = 0.2; Mi = 0.1; Rp = 1; Rs = 2; Rl = 1; C = 1e-6; V = 10; alpha = 0.1; R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+Rl) -1; 0 1 0] D = [1;0;0] L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C] Linv = inv(L); A = Linv*R; B = Linv*D; if abs(flag)==1 sys(1:3)=A*x(1:3)+B*u; elseif abs(flag)==3 sys(1:3)= x(1:3); elseif flag==0 sys(1)=3; sys(2)=0; sys(3)=3; sys(4)=1; sys(5)=0; sys(6)=0; x0= [0; 0; 0]; else sys=[]; end; Parametrat për bllokun S- Function
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
200/224
% fajlli plot_1 figure(1) subplot(3,1,1) plot(time,i1) grid ylabel('i_1 [A]') title('i_1 Vs koha') subplot(3,1,2) plot(time,i2) grid ylabel('i_2 [A]') title('i_2 Vs koha') subplot(3,1,3) plot(time,Vc) grid xlabel('koha') xlabel('V_c [V]') title('V_c Vs koha') Parametrat për bllokun Scope:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
201/224
Vetitë e modelit:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
202/224
Paraqitja Grafike e Simulimit të modelit:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
203/224
Shembulli 206: Të shkruhet S funksioni i cili e modelon sistemin nga figura e më poshtme. Së simulohet puna e sistemit për 8 sekonda në vazhdim për sinjalin e paraqitur.
1)0(3.0)0(
54
pp
epppp p3
2s
Zgjidhje
1)0(3.0)0(
54
pp
epppp
21
2
1
xx
px
px
21132
3
45)2(
2
xxxxux
xue
313
13
2112
32
323
2
45
xxx
xpqyx
yqysQ
Y
xxxex
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
204/224
Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function
Scope1
Scope
sistem
S-Function
sinjal
FromWorkspace
Listingu i nën programit sistem.m % .m fajlli me emertim sistem.m function [sys,x0] = sistem2(t,x,u,flag) if flag == 0 sys = [3;0;1;1;0;0]; x0 = [-0.3;1;0]; elseif flag == 1 sys(1) = x(2); sys(2) = (u-2*x(3))-5*x(1)-4*x(1)*x(2); sys(3) = 2*sqrt(abs(x(1)))-3*x(3); elseif flag == 3 sys = x(3); else sys =[]; end Sinjali: Në Command Window: t=0:0.01:8; u=min(abs(2*sin(t)),(t<4).*(1/2).*t+(t>=4).*(4-t/2)); sinjal=[t' u'];
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
205/224
Paraqitja grafike e simulimit të modelit në Simulink.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
206/224
Shembulli 207:
Është Dhënë ekuacioni për lavjerrës sin2
2
mgLdtdc
dtdJM
Ose
)sin(12
2
mgLdtdcM
Jdtd
Le të jetë 1x dhe 2/ xdtd
Atëher : 21 xx
dhe )(1/ 1222
2 mgLxcxMJ
dtdx
Per: J=2, M=1, c=0.2, mgL=2
Ekuacioni i gjendjes është: 21 xx
5.01.0 212
xxx
uxx
x
x
10
1.0110
2
1
2
1
Nese u=M=hyrje Ateher:
DuCxyBuAxx
1.01
10A
10
B
11C
10
D
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
207/224
Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function
Scope
lavjerresi
S-Function
1
Constant
Listingu i nenprogramit: function [sys,x0,str,ts]=lavjerresi(t,x,u,flag) % A=[0 1; -1 -0.1]; B=[0; 1]; C=[0 1]; D=[0; 1]; % switch flag case 0 [sys, x0,str, ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D); % Derivimi case 1 sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D); % % daljet % case 3 sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D); case 9 end % S-funksionet function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D) sizes=simsizes; sizes.NumContStates=size(A,1); sizes.NumDiscStates=0;
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
208/224
sizes.NumOutputs=size(D,1); sizes.NumInputs=size(D,2); sizes.DirFeedthrough=any(any(D~=0)); sizes.NumSampleTimes=1; sys=simsizes(sizes); x0=ones(size(A,1),1); str=[]; ts=[0 0]; function sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D) sys=A*x+B*u; function sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D) sys=C*x+D*u; % % fundi Paraqitja grafike e simulimit të modelit i cili pëmban edhe S- Function
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
209/224
Rrjetat Fuzzy Neurale
Shembulli 208: Llogaritja e vlerës mesatare në dalje në disa intervale për funksionin Y(t)=4sin(t).
Zgjidhje
Në detyrën tonë ne do të zbatojmë metodën Sugeno ku fillimisht e bëjmë definimin e hyrjeve apo intervaleve të vlerave hyrëse në nënintervale. Amplituda e funksionit është -4 dhe 4 dhe këtë e ndajmë në nënintervalet e që do të jenë: [-4 -2] , [-1 0] , [0 0] , [0 2] , [2 4]. Me zbatimin e paketës MATLAB 7.4.0 (R2007) ne do të zbatojmë metodën Sugeno. Me fillimin e programit dhe me zgjedhjen Start, Toolboxes, Fuzzy Logic, Fis Editor Viewer dhe do të fitojmë dritaren e Fis Editor Viewer. Pasi kemi ndar nën intervalet dhe kemi filluar punën me zgjedhjen e metodës Sugeno dhe përcaktimit të hyrjeve dhe daljeve ne fillojmë futjen e të dhënave një nga një për hyrje dhe dalje të veçanta. Më pastaj fillojmë definimi i rregullave ku bëjmë lidhjen e hyrjeve me daljet e caktuara ku secilës hyrje i korrespondon nga një nëninterval e cila lidhet me daljen përkatëse. Me pastaj do të shohim se si ndërron dalja e caktuar në varshmëri të hyrjes së caktuar dhe pamja rules dhe surface për rastin e daljes 1 deri te dalja 5. Dhe në fund me paraqitjen e skemën në Simulink ku modeli i paraqitur do të na mundësoj pamjen grafike të ndryshimeve e në rastin tonë kemi pesë paraqitje të grafikut për intervalin kohor prej 10s. Në pjesën e më poshtme po paraqesim procedurën e zgjidhjes së detyrës së dhënë hap pas hapi duke e ilustruar me pamje.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
210/224
Me startimin e editorit FIS dhe caktimit të daljeve sipas intervaleve të parapërcaktuara (pesë) fillimisht përcaktojmë amplitudën e që në rastin tone, është -4 dhe 4.
Figura.2.1. Fis Editor Sugeno me parametra e caktuar me hyrje dhe pesë daljet Intervalin e parë [-4 -2]
Figura.2.2. Definimi i hyrjes së parë me intervalin e parë [-4 -2]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
211/224
Intervalin e dytë [-2 0]
Figura 2.3. Definimi i hyrjes së dytë, në intervalin e dytë [-2 0]
Intervalin e tretë [0 0]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
212/224
Figura 2.4. Definimi i hyrjes së tretë, në intervalin e tretë [0 0] Intervalin e katërt [0 2]
Figura 2.5. Definimi i hyrjes së katërt, në intervalin e katërt [0 2] Intervalin e pestë [2 4]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
213/224
Figura 2.6. Definimi i hyrjes së pestë, në intervalin e pestë [2 4] Pas caktimit të intervaleve për hyrje fillojmë caktimin e definimi i daljeve për secilin rast veç e veç .
Definimi i vlerës së parë dalëse (D1) është marrë mesi i intervalit [-4 -2] respektivisht (-3).
Figura 2.7. Definimi i daljes së parë.
Definimi i vlerës së parë dalëse (D2) është marrë mesi i intervalit [-2 -0] respektivisht (-1).
Figura 2.8. Definimi i daljes së dytë.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
214/224
Definimi i vlerës së parë dalëse (D3) është marrë mesi i intervalit [0 0] respektivisht (0).
Figura 2.9. Definimi i daljes së tretë.
Definimi i vlerës së parë dalëse (D4) është marrë mesi i intervalit [0 2] respektivisht (1).
Figura 2.10. Definimi i daljes së katërt.
Definimi i vlerës së parë dalëse (D5) është marrë mesi i intervalit [2 4] respektivisht (3).
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
215/224
Figura 2.11. Definimi i daljes së pestë.
Hapi i tretë më radhë është definimi i kushteve ku zgjedhim edits rule dhe paraqitet pamja dhe
nga forma zgjedhim kushtet e me poshtme të paraqitura në figurën 2.16
Figura 2.12. Definimi i rregullave.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
216/224
Për pamje të varshëmëris së daljes nga hyrja kemi marrë hyrjen e katërt dhe daljen e katërt.
Figura 2.13. Ndërrimi i daljes së katërt në varshmëri të hyrjes së katërt.
Figura 2.14. Ndërrimi i daljes së dytë në varshmëri të hyrjes së dytë.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
217/224
Pamja surface viewer për secilin rast të intervalit.
Figura 2.15. dalja e parë .
Figura 2.16. dalja e dytë.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
218/224
Figura 2.17. dalja tretë.
Figura 2.18. dalja katërt.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
219/224
Figura 2.19. dalja pestë.
Me zgjedhjen e menynë Edit, Anfis do të fitojmë dritaren si në figurën 2.21. dhe me zgjedhjen e opcionit Structure do të fitojmë pamjen si në figurën e më poshtme.
Figura 2.20. Dritarja Anfis Editori.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
220/224
Kurse me zgjedhjen e opcionit Anfis model structure, na paraqitet pamja e lidhjes së hyrjeve dhe daljeve.
Figura 2.21. Dritarja Anfis Model Structure. Dhe në fund kemi paraqitur modelin e SIMULINK-ut ku janë paraqitur grafikisht hyrja dhe daljet e modelit si dhe blloku kryesor Fuzzy Logic Controller me anë të secilit është bërë lidhja e fis editorit me modelin .
Figura 2.22. Pamja e modelit në Simulink
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
221/224
Dhe me ekzekutimin e modelit paraqiten format grafike të intervaleve në dalje .
Figura 2.23. Grafiku për daljen: [-3]
Figura 2.24. Grafiku për daljen: [-1]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
222/224
Figura 2.25. Grafiku për daljen: [0]
Figura 2.26. Grafiku për daljen: [1]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
223/224
Figura 2.27. Grafiku për daljent: [3]
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB
224/224
Literatura:
[1]: Prof Dr. Sc.Ramë Likaj “Simulimi i Sistemeve Mekanike /” shembuj të zgjidhur / Dispencë
U.Prishtinës. [2]: Dr. sc. Ahmet SHALA “Softuerët Aplikativë “ Dispencë PRISHTINË, 2004 [3]: Brian D. Hahn and Daniel T. Valentine “Essential MATLAB For Engineers and Scientists “,
Butterworth-Heinemann 2007 [4]: Dingy¨u Xue, YangQuan Chen, Derek P. Atherton “Linear Feedback Control analysis
and Design with MATLAB”, pringer-Verlag 2002. [5]: Sergey E. Lyshevsk,” Engineering and Scientific Computations Using MATLAB”, A John
Wiley & Sons, Inc., Publication 2003 [6]: O. BEUCHER and M. WEEKS “ INTRODUCTION TO MATLAB® & SIMULINK” , Infinity
Science Press LLC 2006 [7]: Jamal T. Manassah , “ELEMENTARY MATHEMATICAL and Computational Tools For
Electrical and Computer Engineers Using Matlab®”, CRC Press 2001 [8]: Jaan Kiusalaas, “Numerical Methods In Engineering With Matlab® “ , Cambridge
university press 2005 [9]: Rao V. Dukkipati, “ANALYSIS AND DESIGN OF CONTROL SYSTEMS USING MATLAB”,
PUBLISHING FOR ONE WORLD 2006 [10]: Steven T. Karris, “ Introduction to Simulink® with Engineering Applications”, Orchard
Publications 2008 [11]: Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris, “APPLIED Numerical
Methods Using Matlab”, A John Wiley & Sons, Inc., Publication 2005 [12]: Ionut Danaila, Pascal Joly, Sidi Mahmoud Kaber, Marie Postel” An Introduction to
Scientific Computing”, Springer 2006 [13] Dr.Sc Ahmet Shala, “Rrjetat Fuzzy Neurale”, EALGA, Prishtinë 2006 [14[ www.mathworks.com, “Fuzzy Logic Toolbox” [15] Gyla Mester “ Intelegentni Roboti i Sistemi’’ Subotica 2001 [16] Huaguang Zhang“ Fuzzy Modeling and Fuzzy Control’’ 2006 Boston
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)