Matlab Tutorial
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Introdução ao MATLAB
Afonso PaivaFaculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
O que é o MATLAB?
MATrix LABoratory é um software para computação científica
resolve numericamente problemas matemáticos de forma rápida e eficiente
possui uma família de pacotes específicos (toolboxes):◦ otimização◦ redes neurais◦ processamento de imagens◦ simulação de sistemas, etc.
Anatomia da interface
workspace
histórico
diretórios
janela de comandos
Variáveis no MATLAB
existe somente um tipo de variável:◦ matriz
o tipo matriz pode ser expresso como:◦ escalar: matriz 1 x 1◦ vetor: matriz 1 x n ou n x 1◦ matriz propriamente: matriz m x n
Declaração de uma variável
variáveis são alocadas na memória ao serem declaradas
nomes de variáveis são sensíveis a letras maiúsculas e minúsculas
vetores e matrizes devem ser declarados entre [ ]
elementos de uma mesma linha numa matriz são separados por espaço(s) ou vírgula
ponto-e-vírgula(;) indica o final de uma linha de uma matriz ou expressão
Exemplos
Vetor linha:>> A = [1 2 3 4];
Vetor coluna:>> B = [1; 2; 3; 4]; % ou>> B = Aꞌ;
Exemplos
Matriz:>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
Matriz transposta:>> B = Aꞌ
1 2 34 5 67 8 9
A =
1 4 72 5 83 6 9
B =
Operadores matemáticos
Símbolo Operação+ adição- subtração* multiplicação/ divisão^ potenciação
Exemplos
>> A=[1 2; 3 4];>> B=[5 6; 7 8];
>> C0 = A+BC0 =
6 810 12
>> C1 = A-BC1=
-4 -4-4 -4
>> C2 = A*BC2=
19 2243 50
>> C3 = A/B % = A*inv(B)C3=
3.0000 -2.00002.0000 -1.0000
1 23 4
A =
5 67 8
B =
Operadores ponto-a-ponto
Símbolo Operação.* multiplicação./ divisão.^ potenciação
Exemplos
>> A=[1 2; 3 4];>> B=[5 6; 7 8];
>> C0 = A.*BC0 =
5 1221 32
>> C1 = A./BC1=
0.2000 0.33330.4286 0.5000
>> C2 = A.^BC2=
1 642187 65536
>> C3 = A.^3C3=
1 827 64
1 23 4
A =
5 67 8
B =
Declaração de uma variável
v=[inicio:incremento:fim] v=[inicio:fim] % incremento=1ou v=inicio:incremento:fim v=inicio:fim
Exemplo>> A = 1:9
A =1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exemplos
>> v=[2:2:10]v =2 4 6 8 10
>> x=1:100; % ou linspace(1,100)
>> M = [1:1:3; 4:1:6; 7:1:9]M =
1 2 34 5 67 8 9
Manipulação de matrizes
acessando um elemento de uma matriz
>> A (3)ans=
5
referência deve ser sempre (linha, coluna)
[ ]51 3 7A =
1 2 34 57 8 9
6B =
>> B (2,3)ans=
6
Manipulação de matrizes
é possível incluir matrizes em matrizes
>>A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % A é uma matriz 3X3>> a = [10 20 30]; >> A = [A;a] % A é uma matriz 4X3
A =1 2 34 5 67 8 9
10 20 30
Manipulação de matrizes
podemos extrair uma linha da matriz
>> linha = A(2,:)
linha =4 5 6
1 2 34 5 67 8 9
A =
1 2 34 5 67 8 9
A =
Manipulação de matrizes
e também acessar uma coluna da matriz
>> coluna = A(:,1)
coluna =147
1 2 34 5 67 8 9
A =
Manipulação de matrizes
podemos extrair submatrizes de uma matriz
>> B = A(1:2,2:3) % ou B = A([1 2],[2 3])
B =2 35 6
1 2 34 5 67 8 9
A =
Manipulação de matrizes
podemos acessar diretamente elementos da diagonal
>>d =diag(A)
d =1 59
Dimensão de vetores e matrizes
>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8]A =
1 2 3 45 6 7 8
>> s = size(A)s =
2 4
>> l = size(A,1) % numero de linhasl =
2>> c = size(A,2) % numero de colunas
c =4
Dimensão de vetores e matrizes
>> length(A) % retorna o numero de linhas ou de colunasans =
4
>> v= 1:7;>> size(v) % número de colunas
ans =1 7
>> length(v) % retorna o comprimento do vetorans =
7
Funções matriciais
Comando Descriçãodet(A) calcula o determinante da matriz
[V,D] = eig(A) determina os autovetores e autovalores de A
inv(A) calcula a inversa da matriz
rank(A) determina o posto linha ou coluna de A
max(A) retorna um vetor com o máximo de cada coluna A
min(A) retorna um vetor com o mínimo de cada coluna A
norm(A,1) calcula a norma coluna
norm(A,ꞌfroꞌ) calcula a norma de Frobenius
norm(A,inf) calcula a norma linha
Exemplos
>> A = [ 1 7 3; -6 2 1; 9 2 -2];
>> det(A)ans =
-117
>> I = inv(A)I =
0.0513 -0.1709 -0.00850.0256 0.2479 0.16240.2564 -0.5214 -0.3761
>> max(A)ans =
9 7 3
>> norm(A,1)ans =
16
>> norm(A,inf)ans =
13
>> norm(A,ꞌfroꞌ)ans =
13.7477
Matrizes especiais
Comando DescriçãoA = rand(m,n) gera matriz com elementos aleatórios
A = eye(n) gera matriz identidade
A= ones(m,n) gera matriz com todos elementos iguais a 1
A= zeros(m,n) gera matriz com todos elementos iguais a 0
Funções matemáticas elementares
Função Descriçãosin(x) senocos(x) cossenotan(x) tangenteasin(x) arco-senoacos(x) arco-cossenoatan(x) arco-tangenteexp(x) exponenciallog(x) logaritmo natural
log10(x) logaritmo na base 10
Funções matemáticas elementares
Função Descriçãoabs(x) valor absolutoceil(x) arredondamento na direção de mais infinitofloor(x) arredondamento na direção de menos infinitoround(x) arredondamento para o inteiro mais próximosign(x) função sinalsqrt(x) raiz quadrada
gcd(x,y) máximo divisor comum dos inteiros x e ylcm(x,y) mínimo múltiplo comum dos inteiros x e yrem(x,y) resto da divisão de x por y
Variáveis especiais
Variável Valorans variável padrão usada para resultadospi 3.14159 26535...
eps precisão de máquinainf infinito
NaN ou nan not a numberrealmin menor número de ponto flutuanterealmax maior número de ponto flutuante
i, j unidade imaginária ( )1i j= = −
Workspace do MATLAB
Os dados e variáveis criados na janela de comandos são armazenados no que é chamado de workspace.
Comandos Descriçãowho ou whos mostra os nomes das variáveis que
estão no workspaceclear apaga as variáveis do workspaceclc limpa a tela de comando
help comando fornece uma ajuda rápida sobre o comando
Formatos de números
Comando Exemplo Observaçõesformat short 50.833 5 dígitos
format long 50.83333333333334 16 dígitos
format short e 5.0833e+01 5 dígitos+expoente
format long e 5.083333333333334e+01 16 dígitos+expoente
format short g 50.833 melhor entre short - short e
format long g 50.83333333333333 melhor entre long - long e
format hex 40496aaaaaaaaaab hexadecimal
format bank 50.83 2 dígitos decimais
format rat 305/6 aproximação racional
Para mudar o padrão de formato de números no MATLAB, basta ir em File > Preferences.
Números complexos
Criando um número complexo>> z = 3+2*i
z =3.0000 + 2.0000i
Parte real de z>> real(z)
ans =3
Parte imaginária de z>> imag(z)
ans =2
Números complexos
Módulo de z>> abs(z)
ans =3.6056
Argumento de z>> angle(z)
ans =0.5880
Complexo conjugado>> conj(z)
ans =3.0000 - 2.0000i
Dado o sistema linear
Como encontrar a solução x no MATLAB?
1
2
3
1 2 3 3664 5 6 . 8047 8 0 351
xxx
=
Sistemas lineares
A x b⋅ =
Sistemas lineares
Através do cálculo explícito da inversa de A:
>> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0];>> det(A) %primeiro vamos ver se o sistema tem solução única
ans =27
>> b = [366; 804;351];
>> x = inv(A)*bx =
25.000022.000099.0000
1x A b−= ⋅
Sistemas lineares
Outra maneira é utilizar a decomposição LU, representada no MATLAB pelo operador de divisão à esquerda (\):
>> x = A\bx =
25.000022.000099.0000
Polinômios
No MATLAB , um polinômio é representado por um vetor linha contendo seus coeficientes em ordem decrescente.
Exemplo:
>> p = [1 -12 0 25 116];
4 312 25 116x x x− + +
Polinômios
Cálculo das raízes de p:>> r = roots(p)
r =11.74732.7028-1.2251 + 1.4672i-1.2251 - 1.4672i
Dadas as raízes, podemos construir o polinômio associado:
>> r=[-2;2];>> pp = poly(r)
pp =1 0 -4
Polinômios
Podemos derivar polinômio:>> p=[1 -7 3 1];>> pd = polyder(p)
pd =3 -14 3
Multiplicando p e pd:
>> conv(p,pd) % na divisão usa-se deconv(p,pd)ans =
3 -35 110 -60 -5 -3
Polinômios
Ajuste de curvas:>> x=0:.1*pi:2*pi;>> x = xꞌ;>> y = sin(x);>> p = polyfit(x,y,4) % aproxima o seno por um polinômio de grau 4
p =-0.0000 0.0886 -0.8347 1.7861 -0.1192
Avaliando o polinômio p:>> f = polyval(p,x);>> plot(x, y, ꞌoꞌ, x, f, ꞌ-ꞌ);
Operadores relacionais
Símbolo Operador== igual~= diferente> maior< menor
>= maior ou igual<= menor ou igual
Operadores lógicos
Símbolo Operador& e| ou~ não
xor ou exclusivo
Exemplos
>> 2 + 2 == 4ans =
1 % verdadeiro
>> 10 > 100ans =
0 % falso
>> A = [1 2; 3 4];>> B = 2*ones(2);>> A == B
ans =0 10 0
>> C = [1 2 3; 4 5 6]C =
1 2 34 5 6
>> C >= 4ans =
0 0 01 1 1
Exemplos
>>x = eye(2)x =
1 00 1
>>y = [1 1; 0 0]y =
1 10 0
>> x & yans =
1 00 0
>> x | yans =
1 10 1
>> xor(x,y)ans =
0 10 1
Programação em MATLAB
programas muito mais simples: escrita mais rápida e com menos erros
versatilidade, mais fácil de adaptar a diferentes tipos de dados
agiliza os comandos mais digitados
é uma linguagem interpretada
pode ser criada utilizando qualquer editor de texto
possui interface com C/C++
Controladores de fluxo
if : cria caminhos alternativo no programa
if expressão1instruções
elseif expressão2instruções
elseinstruções
end
Controladores de fluxo
Exemplo com if:
x=rand(1);y=rand(1);if x < y
disp(ꞌy eh maior do que xꞌ)else
disp(ꞌx eh maior do que yꞌ)end
Controladores de fluxo
for : permite que um comando ou um grupo de comandos se repitam
for variável = expressãoinstruções
end
Controladores de fluxo
Exemplo com for:
n=3;A = zeros(n);for i = 1:n
A(i,i) = 2*i;end
Controladores de fluxo
while : permite que um ou mais comandos sejam repetidos enquanto a expressão de controle for verdadeira
while (expressão de controle)instruções
end
Controladores de fluxo
Exemplo com while:
i=0;while ( sqrt(i) < 5 )
i = i+1end
Funções auxiliares nocontrole de fluxo
input –recebe dados através do teclado, que podem ser ou não armazenados em uma variável
break – encerra um laço mais interno controlado pelo comando for
pause – pára a execução do programa até que uma nova tecla seja pressionada
Arquivos .m
podemos criar novas funções ou scripts
MATLAB possui um editor próprio e um debugger
comentários começam por %
ao se criar uma função ou script ela dever ser definida no path
Arquivos .m
scripts : executam os argumentos diretamente, automatizando uma série de comandos
função : argumentos podem ser passados para a função, havendo uma manipulação de variáveis
function[res1, res2,...] = nome_da_função (arg1,arg2,...) % comentário para helplista de procedimentos da função
return
Scripts
Exemplo de hipotenusa.m:
% Calcula a hipotenusa de um triangulo retânguloclcc1=input(ꞌCateto 1 = ꞌ);c2=input(ꞌCateto 2 = ꞌ);hipotenusa = sqrt( c1^2 + c2^2)
Funções
Exemplo de fatorial.m:
% Calcula o fatorial de nfunction f = fatorial(n)f=1;for i=1:n
f = f*i;endreturn
Repositório de arquivos .m
MATLAB Central http://www.mathworks.com/matlabcentral
Gráficos no MATLAB
existem muitas funções para gerar gráficos 2D e 3D
os gráficos podem ser armazenados em arquivos, coloridos ou em preto e branco
Gráficos 2D
Pode-se desenhar gráficos simples como y = f(x)
>> x=linspace(0,2*pi,30);>> y1 = cos(x);>> y2 = sin(x);>> hold on>> plot(x,y1,ꞌr-sꞌ);>> plot(x,y2,ꞌg-*ꞌ);>> grid>> xlabel(ꞌeixo xꞌ); % legenda no eixo horizontal>> ylabel(ꞌeixo yꞌ); % legenda no eixo vertical>> title(ꞌGrafico do seno e do cossenoꞌ); % título do gráfico>> legend (ꞌsen(x) ꞌ, ꞌcos(x) ꞌ); % legenda>> hold off
Gráficos 2D
Pode-se desenhar gráficos simples como y = f(x)
>> x=linspace(0,2*pi,30);>> y1 = cos(x);>> y2 = sin(x);>> hold on>> plot(x,y1,ꞌr-sꞌ);>> plot(x,y2,ꞌg-*ꞌ);>> grid>> xlabel(ꞌeixo xꞌ); % legenda no eixo horizontal>> ylabel(ꞌeixo yꞌ); % legenda no eixo vertical>> title(ꞌGrafico do seno e do cossenoꞌ); % título do gráfico>> legend (ꞌsen(x) ꞌ, ꞌcos(x) ꞌ); % legenda>> hold off
Gráficos 2D
Dados os vetores x e y, o gráfico pode ser construído ligando-se os pontos (x(i),y(i)):
>> x = [1.5 2.7 3.9 4.6 5.7 7.3 9.4];>> y = [2.5 3.2 4.3 8.1 4.5 2.8 3.1];>> plot(x,y);>> box off % retira a caixa do gráfico
Gráfico de torta>> pie(x,x==max(x));
Características dos gráficos
Símbolo Corr vermelhog verdeb azulc cianom magentay amarelok pretow branco
Características dos gráficos
Símbolo Marcador. pontoo círculox x+ +* estrelas quadradod losango^ triângulop pentagramah hexagrama
Características dos gráficos
Símbolo Tipo de linha- linha contínua: linha pontilhada-. traços e pontos-- linha tracejada
Gráficos 3D
Comando Descriçãoplot3 curvas 3d
surf, surfc, surfl superfícies 3dmesh, meshc, meshz linhas em perspectiva 3d
contour curvas de níveis
Gráficos 3D
Curvas no espaço>> t = 0:pi/50:10*pi;>> plot3(sin(t),cos(t),t)
Faixas no espaço>> x=linspace(0,2*pi,30);>> ribbon(x,sin(x))
Gráficos 3D
Superfícies>> [X,Y] =meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8);>> r =sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;>> Z = sin(r)./r;>> subplot(221)>> mesh(X,Y,Z);>> subplot(222)>> surf(X,Y,Z);>> subplot(223)>> hold on>> mesh(X,Y,Z);>> meshc(X,Y,Z)>> hold off>> subplot(224)>> contour(X,Y,Z)
Help MATLAB on-line
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/ref.shtml
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab.shtml