Matlab Pdetool Lezione 5 - Elettrotecnica · Definizione!Parametri!SondaPiao! Sonda Parametri...
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Matlab Pdetool Lezione 5
Corren' Indo*e
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Formulazione nel caso di corren' indo*e
EJB
JJH
BE
σ==⋅∇
+=×∇∂∂−=×∇
eddy
seddy
0
tSonda con corrente imposta Js
Pia*o condu*ore sede di corren' indo*e Jeddy
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Formulazione
gaugedicondizione00
0
=⇒=⋅∇
+∇−∂∂−=×∇
∇−∂∂−=
⇓∂∂×−∇=×∇
×∇=⇒=⋅∇
ϕ
ϕσσ
ϕ
A
JAH
AE
AE
ABB
st
t
t
Il potenziale vettore A è univocamente determinato dalla gauge di Coulomb
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Equazione risolvente
∇× 1µ0
∇×A = −σ ∂A∂t
+ Js
∇×∇×A = −∇2A +∇(∇⋅A)A = AMe
jωt
⇓
−∇2A = − jωµ0σA + µ0Js
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Caso Assial-‐simmetrico
ΦΦΦΦ =⇒= iAiJ ˆAˆJs
Φ=+∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂− J1)1()1( 00 µ
ρσωµ
ρρρρPhijPhi
zzPhi
Φ= APhi ρx
y
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Pdetool
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Configurazione Geometrica
Sonda
Pia*o condu*ore
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Definizione Parametri Sonda-‐Pia*o
Sonda
Parametri geometrici Rmin Rmax Zmin Zmax Nspire Corrente Lift off sonda-piatto Conducibilità
Rmin_disk=[0]; Rmax_disk=[0.04]; Zmin_disk=[-0.0015/2]; Zmax_disk=[0.0015/2]; sigma_disk=1/(0.027e-6); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% liftoff=0.5e-3; Rmin_transmitter=[0.005]; Rmax_transmitter=[0.005+1e-3]; Zmin_transmitter=[liftoff+0.0015/2]; Zmax_transmitter=[liftoff+4.5e-3+0.0015/2]; sigma_transmitter=0; I_transmitter_pp=1;%corrente unitaria I_transmitter=[I_transmitter_pp/(2*sqrt(2))]; % corrente rms N_transmitter=[16]; areat=(Rmax_transmitter-Rmin_transmitter)*(Zmax_transmitter-Zmin_transmitter); Jt=(I_transmitter*N_transmitter)/areat; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rmin_grid=[0]; Rmax_grid=[5e-2]; Zmin_grid=[-5e-2]; Zmax_grid=[5e-2]; sigma_grid=0; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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Creazione Geometria e Mesh [pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',1); set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'XLim',[Rmin_grid-0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid) Rmax_grid+0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid)]); set(ax,'YLim',[Zmin_grid-0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid) Zmax_grid+0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid)]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); pderect([0 Rmax_grid Zmin_grid Zmax_grid],'R1'); pderect([Rmin_disk Rmax_disk Zmin_disk Zmax_disk],'R2') pderect([Rmin_transmitter Rmax_transmitter Zmin_transmitter Zmax_transmitter], 'R3') set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+R2+R3'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mesh generation: gd=get(findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEMeshMenu'),'UserData'); dl=decsg(gd); [p,e,t]=initmesh(dl,'Hmax',5e-1,'init','off'); [p,e,t]=refinemesh(dl,p,e,t,'regular'); [p,e,t]=refinemesh(dl,p,e,t,'regular'); pdeplot(p,e,t)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
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Condizioni al contorno %%%condizioni al contorno pdetool('changemode',0) pdesetbd(11,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(10,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(9,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(6,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(2,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(1,... 'dir',... 1,... '1',... '0') % PDE coefficients: h=findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMenu'); bl=get(findobj(get(h,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMode'),'UserData');
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Definizione parametri regioni box=find(t(4,:)==1); %indici delle regioni sonda=find(t(4,:)==2); piatto=find(t(4,:)==3); Js=zeros(size(t,2),1); %densità di corrente imposta Js(sonda)=Jt; sigma(box)=0; sigma(piatto)=sigma_disk; sigma(sonda)=0; figure pdeplot(p,e,t(:,box)) %%%verifica regioni title('mesh box’); axis equal figure pdeplot(p,e,t(:,piatto)) title('mesh piatto'); axis equal figure pdeplot(p,e,t(:,sonda)) title('mesh sonda'); axis equal
Definendo le regioni del dominio totale è possibile evitare l’utilizzo dei cicli for sui triangoli della mesh
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Equazione Risolvente
Phi=assempde(bl,p,e,t,c,a,f) %assembla e risolve
-div(c grad(Phi))+a Phi=f
Φ=+∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂− J1)1()1( 00 µ
ρσωµ
ρρρρPhijPhi
zzPhi
c=1/r a=jωµ0σ/r f=µ0JF
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Soluzione
rc=pdeintrp(p,t,p(1,:)');% r area=abs(pdetrg(p,t));%area di ogni triangolo mu0=4*pi*1e-7; f=20*1e3; % freq aa=j*2*pi.*f.*mu0.*sigma./rc; ff=mu0.*Js; Phi = assempde(bl,p,e,t,1./rc,aa,ff','0'); figure %plot linee di flusso subplot(1,2,1) pdegplot(dl) hold on pdecont(p,t,real(Phi)'*2*pi,10) title('Real') subplot(1,2,2) pdegplot(dl) hold on pdecont(p,t,imag(Phi)'*2*pi,10) title('Imag‘)
Φ=+∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂− J1)1()1( 00 µ
ρσωµ
ρρρρPhijPhi
zzPhi
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0 0.02 0.04 0.06-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Real
0 0.02 0.04 0.06-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Imag
0 0.02 0.04 0.06-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Real
0 0.02 0.04 0.06-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Imag
Linee di flusso
Conducibilità piastra=0 Conducibilità piastra alluminio=37 MS/m
Inserendo il piatto conduttore il flusso ha anche una componente immaginaria; la tensione indotta presenta uno sfasamento che dipende dalla frequenza di eccitazione e dalla conducibilità del piatto.
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Esercitazione Laboratorio
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Configurazione geometrica
Sonda trasmi*ente
Sonda ricevente
Pia*o condu*ore
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Geometria Rmin_disk=[0]; Rmax_disk=[0.04]; Zmin_disk=[-0.0015/2]; Zmax_disk=[0.0015/2]; sigma_disk=1/(0.027e-6); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% liftoff=0.5e-3; Rmin_transmitter=[0.005]; Rmax_transmitter=[0.005+1e-3]; Zmin_transmitter=[liftoff+0.0015/2]; Zmax_transmitter=[liftoff+4.5e-3+0.0015/2]; sigma_transmitter=0; I_transmitter_pp=1;%corrente unitaria I_transmitter=[I_transmitter_pp/(2*sqrt(2))]; % corrente rms N_transmitter=[16]; areat=(Rmax_transmitter-Rmin_transmitter)*(Zmax_transmitter-Zmin_transmitter); Jt=(I_transmitter*N_transmitter)/areat; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rmin_receiver=[0.005]; Rmax_receiver=[0.005+1e-3]; Zmin_receiver=[-0.0015/2-liftoff-4.5e-3]; Zmax_receiver=[-0.0015/2-liftoff]; sigma_receiver=0; N_receiver=[16]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rmin_grid=[0]; Rmax_grid=[5e-2]; Zmin_grid=[-5e-2]; Zmax_grid=[5e-2]; sigma_grid=0; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Sonda
Parametri geometrici Rmin Rmax Zmin Zmax Nspire Corrente Lift off sonda-piatto Conducibilità
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Creazione geometria e mesh
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
[pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',1); set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'XLim',[Rmin_grid-0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid) Rmax_grid+0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid)]); set(ax,'YLim',[Zmin_grid-0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid) Zmax_grid+0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid)]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); pderect([0 Rmax_grid Zmin_grid Zmax_grid],'R1'); pderect([Rmin_disk Rmax_disk Zmin_disk Zmax_disk],'R2') pderect([Rmin_transmitter Rmax_transmitter Zmin_transmitter Zmax_transmitter], 'R3') pderect([Rmin_receiver Rmax_receiver Zmin_receiver Zmax_receiver], 'R4') set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+R2+R3+R4'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mesh generation: gd=get(findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEMeshMenu'),'UserData'); dl=decsg(gd); [p,e,t]=initmesh(dl,'Hmax',5e-1,'init','off'); [p,e,t]=refinemesh(dl,p,e,t,'regular'); [p,e,t]=refinemesh(dl,p,e,t,'regular'); pdeplot(p,e,t)
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Condizioni al contorno % Boundary conditions: pdetool('changemode',0) pdesetbd(9,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(8,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(7,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(6,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(2,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(1,... 'dir',... 1,... '1',... '0') % PDE coefficients: h=findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMenu'); bl=get(findobj(get(h,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMode'),'UserData');
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Definizione parametri regioni
box=find(t(4,:)==1); %indici delle regioni piatto=find(t(4,:)==2); ric=find(t(4,:)==3); trasm=find(t(4,:)==4); Js=zeros(size(t,2),1); Js(trasm)=Jt; sigma(box)=0; sigma(piatto)=sigma_disk; sigma(trasm)=0; sigma(ric)=0; rc=pdeintrp(p,t,p(1,:)');%baricentro triangoli area=abs(pdetrg(p,t));%area di ogni triangolo mu0=4*pi*1e-7;
Definendo le regioni del dominio totale è possibile evitare l’utilizzo dei cicli for sui triangoli della mesh
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Calcolo della tensione sulla bobina ricevente
f=[0.5 1 2 5 10 20]*1e3; % freq for kf=1:length(f) %calcolo su più frequenze aa=j*2*pi.*f(kf).*mu0.*sigma./rc; ff=mu0.*Js; Phi = assempde(bl,p,e,t,1./rc,aa,ff','0'); omega(kf)=2*pi*f(kf); PhiT=pdeintrp(p,t,Phi); ee=2*pi*(Jt.*PhiT(ric).*area(ric)); energiamutua=sum(ee); Vreceiver(kf)=energiamutua*j*omega(kf); figure subplot(1,2,1) pdegplot(dl) hold on pdecont(p,t,real(Phi)'*2*pi,10) title('Real') subplot(1,2,2) pdegplot(dl) hold on pdecont(p,t,imag(Phi)'*2*pi,10) title('Imag') end
12121
22121
21
2
1
iMjV
dVJAii
MV
ω=
= ∫
Tensione indotta sulla bobina ricevente (2)
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Plot flusso campo magne'co
0 0.05 0.1-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Real
0 0.05 0.1-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Imag
0 0.05 0.1-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Real
0 0.05 0.1-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Imag
Conducibilità piastra=0 Conducibilità piastra alluminio=37 MS/m
Inserendo il piatto conduttore il flusso ha anche una componente immaginaria; la tensione indotta presenta uno sfasamento che dipende dalla frequenza di eccitazione e dalla conducibilità del piatto.
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Flusso a diverse frequenze Sigma=58 MS/m conducibilità rame
1 KHz 10 KHz
100 KHz
All’aumentare della frequenza diminuisce lo spessore di penetrazione d e il campo viene schermato quasi completamente dalla piastra conduttrice
0
2σωµ
=δ
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Calcolo conducibilità Effettuando misure sperimentali è possibile risalire alla conducibilità dell’oggetto in esame, valutando la variazione della fase della tensione indotta a varie frequenze e inserendo nel calcolo numerico una conducibilità di tentativo vicina a quella del tipo di materiale considerato.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
x 104
-150
-100
-50
0
50
f (Hz)
V ph
ase
(deg
)
Numerico sigma=37 MS/mNumerico sigma=50 MS/mNumerico sigma=20 MS/mSperimentale
figure, plot(f,angle(Vreceiver)*180/pi,f,angle(Vreceiver2)*180/pi,f,angle(Vreceiver3)*180/pi,f,exp,'or') xlabel('f (Hz)') ylabel('V phase (deg)') legend('Numerico sigma=37 MS/m','Numerico sigma=50 MS/m','Numerico sigma=20 MS/m','Sperimentale') axis([0 22000 -180 80])
NB: le vreceiver vanno calcolate singolarmente al variare di sigma_disk