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MATLAB演習（線形システム） • 微分方程式の数値解法 • １次遅れ系と時定数

1. ステップ応答の解析解　 2. 数値計算　　（オイラー法とRunge-Kutta法の精度比較） 3. 周波数応答とボード線図

• ２次振動系と共振 1. ステップ応答の解析解 2. 数値計算 3. 周波数応答とボード線図

• レポート課題

微分方程式

€

dxdt

= f x, t( ) 状態（場所）xでの速度ベクトル

微分方程式はベクトル場を規定

次にどの方向にどれだけ進むか！

微分方程式の解法＝速度ベクトルを繋ぎ合わせて（＝積分）、時刻tの場所xを計算する。

オイラー法の導出

€

dx t( )dt

= limΔt→∞

x t + Δt( ) − x t( )Δt

微分の定義

離散化による近似

€

t = nΔt

€

n = 0,1,2,3,4,5,

€

Δt が十分小さい場合

€

xn+1 − xnΔt

= f xn,nΔt( )

€

xn = x nΔt( )

時間

として

€

dxdt

= f x, t( )

オイラー法

€

xn+1 = xn + Δtf xn,nΔt( )2．更新則

1．初期値

€

xn = x0

€

n = 0 を与える

€

n = n +1を繰り返す

€

t = nΔt

ベクトルを単純に足し合わせるだけ

€

Δt が十分小さくないと近似精度が悪い

２次のRunge-Kutta法

€

xn+1 = xn + Δtf x∗,t +Δt2

更新則

€

x∗ = xn +Δt2f xn ,t( )

ただし

€

t = nΔt

配布プログラム

• オイラー法　 Euler.m

• ２次のRunge-Kutta法 RK2.m

オイラー法　Euler.m

function [t x] = Euler(func,tintv,init,dt,para)

t = tintv(1):dt:tintv(2); x0 = init; x = [];

for ti = tintv(1):dt:tintv(2) x = cat(2,x,x0); x1 = x0 + dt.*func(ti,x0,para); x0 = x1; end;

end

ベクトル場の関数のポインタ

最初と最後の時間

初期値

ベクトル場のパラメータ

時間刻み

時間解（軌道）

離散時間のセット

初期値セット

解を記憶する行列をセット

オイラー法の更新則

縦ベクトルx0を行列xに付け加える

function [t x] = RK2(func,tintv,init,dt,para)

t = tintv(1):dt:tintv(2); x0 = init; x = [];

for ti = tintv(1):dt:tintv(2) x = cat(2,x,x0); xas = x0 + 0.5.*dt.*func(ti,x0,para); x1 = x0 + dt.*func(ti+0.5.*dt,xas,para); x0 = x1; end;

end

ベクトル場の関数のポインタ

最初と最後の時間

初期値

ベクトル場のパラメータ

時間刻み

離散時間のセット

初期値セット

解を記憶する行列をセット

２次のRunge-Kutta法 RK2.m

２次のRunge-Kutta法の更新則

時間解(軌道)

縦ベクトルx0を行列xに付け加える

MATLAB演習（線形システム） • 微分方程式の数値解法（復習） • １次遅れ系と時定数




１次遅れ系

€

τdx t( )dt

= −x t( ) + u t( )

伝達関数

€

G s( ) =X s( )U s( )

=1

1+ τs

初期値x（０）＝０とする。

ラプラス変換

€

L x t( ){ } = X s( )

€

L u t( ){ } =U s( )入力出力

ステップ応答単位ステップ入力

€

U s( ) =1s

ステップ応答

€

X s( ) =1

1+ τs1s

=1s−

1s+1 τ

部分分数展開

逆ラプラス変換

€

x t( ) =1− exp − t τ( )

ステップ応答の解析解

時定数


• オイラー法　Euler.m • ２次のRunge-Kutta法 RK2.m • ベクトル場 FOL.m • メイン部分　FOL_main.m　

function x = FOL(t,y,para) x = (-y(1) + para(2))./para(1); end

ベクトル場の関数（FOL.m）

€

dx t( )dt

=−x t( ) + u t( )

τ

ステップ入力の大きさ時定数

時間状態ベクトルパラメータ速度ベクトル

メイン部分 FOL_main.m

function main

tau = 2; %時定数 In = 1;　%ステップ入力の大きさ

dt = 0.3;　% 時間刻み T = 10; %最終時間

xinit =[0];　%初期値セット　 para = [tau,In];　%パラメータのセット %@FOLで関数のポインタの受け渡し [t1,x] = Euler(@FOL,[0,T],xinit,dt,para); %オイラー法 xe = x(1,:); xmin = min(xe)-0.1; xmax = max(xe)+0.1; %@FOLで関数のポインタの受け渡し [t2,x] = RK2(@FOL,[0,T],xinit,dt,para);　%2次Runge-Kutta　 xr2 = x(1,:);

t3 = 0:dt:T;　%離散時間の設定（横ベクトル） xas = In.*(1-exp(-t3./tau)); %解析解の計算

plot(t3,xas,‘-’,t1,xe,‘-.’,t2,xr2,‘:’);　%グラフの表示 axis([0 T xmin xmax]);

end

時定数を変えて、収束時間の変化を観察する

オイラー法とRunge-Kutta法の精度比較


1. ステップ応答の解析解　 2. 数値計算（オイラー法とRunge-Kutta法の精度比較）

3. 周波数応答とボード線図 • ２次振動系と共振

1. ステップ応答の解析解 2. 数値計算 3. 周波数応答とボード線図



• ２次のRunge-Kutta法 RK2.m • ベクトル場 FOL_FR.m • メイン部分　FOL_FR_main.m　

ベクトル場の関数（FOL_FR.m）

€

dx t( )dt

=−x t( ) + Asin ωt( )

τ

正弦波の振幅角周波数


function x = FOL_FR(t,y,para) x = (-y(1) + para(2).*sin(para(3).*t))./para(1); end

時定数

function main

tau = 1; %時定数 In = 1; %正弦波の振幅 omega = 10;角周波数

dt = 0.02; % 時間刻み T = 20; %最終時間

xinit =[0]; %初期値セット para = [tau,In,omega]; %パラメータのセット

%@FOL_FRで関数のポインタの受け渡し [t,x] = RK2(@FOL_FR,[0,T],xinit,dt,para); %2次Runge-Kutta xr = x(1,:); xmin = min(xr)-0.1; xmax = max(xr)+0.1;

plot(t,xr); %グラフの表示 axis([0 T xmin xmax]);

メイン部分 FOL_FR_main.

m

角周波数を変えて、出力の振幅の変化を観察する

周波数応答

€

dx t( )dt

=−x t( ) + sin ωt( )

τ

正弦波入力

時間が十分経つと

€

x t( ) = G jω( ) sin ωt + tan−1G jω( )( )

€

G jω( ) =1

1+ jτω

ボード線図


• 伝達関数　TF_FOL.m • メイン部分 FOL_boad_main.m　

伝達関数　（TF_FOL.m）

function [ y ] = TF_FOL(s,para)

y = 1./(ones(size(s))+para(1).*s);

€

G s( ) =1

1+ τs

時定数

パラメータ出力複素数s

Matlabは複素数が扱える

sがベクトルの場合に対応

メイン部分 FOL_boad_ma

in.m

function main

tau = 1; %時定数 j=sqrt(-1);%虚数の設定

para = [tau];%パラメータのセット

omega = 10.^(-2:0.1:2); %角周波数のセット G = TF_FOL(j.*omega,para);%周波数伝達関数の計算

gain = 20.*log10(abs(G));　%ゲインの計算 kaku = angle(G);　%位相の計算

subplot(2,1,1);　%2つのグラフを縦に並べて表示 semilogx(omega,gain); %x軸を対数にしてグラフ表示 xlabel(‘omega’); ylabel(‘dB’);%軸のラベル

subplot(2,1,2); %2つのグラフを縦に並べて表示 semilogx(omega,kaku); %x軸を対数にしてグラフ表示 xlabel(‘omega’); ylabel(‘rad’); %軸のラベル

end

時定数を変えて、周波数応答の変化を観察

２次振動系

€

d2x t( )dt 2

+ 2ζωn2 dx t( )dt

+ωn2x t( ) =ωn

2u t( )

伝達関数

€

G s( ) =X s( )U s( )

=ωn2

s2 + 2ζωns+ωn2

初期値x（０）＝０、x’(0)=0とする。

ラプラス変換

€

L x t( ){ } = X s( )

€

L u t( ){ } =U s( )入力出力

ステップ応答単位ステップ入力

€

U s( ) =1s

ステップ応答

次の3つの場合に分ける

€

X s( ) =ωn2

s2 + 2ζωns+ωn21s

€

ζ <1

€

ζ =1

€

ζ >1

€

ζ <1 の場合

€

X s( ) =1s−ωn2

21

β β + jα( )1

s+α − jβ−ωn2

21

β β − jα( )1

s+α + jβ

部分分数展開


€

x t( ) =1− 11−ζ 2

exp −ωnζt( )sin 1−ζ 2ωnt + φ( )

€

φ = tan−1 1−ζ 2

ζ

€

β =ωn 1−ζ 2

€

α =ωnζ

€

ζ =1 の場合

€

X s( ) =1s−

1s+ωn

−ωn

s+ωn( )2

部分分数展開


€

x t( ) =1− 1+ωnt( )exp −ωnt( )

€

ζ >1 の場合部分分数展開

€

X s( ) =1s

+s2

s1 − s21

s− s1+

s1s2 − s1

1s− s2


€

s1= −ζωn +ωn ζ 2 −1

€

s2= −ζωn −ωn ζ 2 −1

€

x t( ) =1+s2

s1 − s2exp s1t( ) +

s1s2 − s1

exp s2t( )

ステップ応答の解析解

2次振動系の状態空間表現

€

d2x t( )dt 2

+ 2ζωn2 dx t( )dt

+ωn2x t( ) =ωn

2u t( )

€

dx t( )dt

= y t( ) とおくと

€

d2x t( )dt 2

=dy t( )dt

= −2ζωn2y t( ) −ωn

2x t( ) +ωn2u t( )

よって、以下の状態空間表現が得られる

€

ddt

xy

=

0 1−ωn

2 −2ζωn2

xy

+

0ωn2

u t( )

€

x = 1 0[ ]xy


• ２次のRunge-Kutta法 RK2.m • ベクトル場 SOE.m • メイン部分　SOE_main.m　

ベクトル場の関数(SOE.m)

function xy = SOE(t,y,para) xy = [y(2);-para(2).^2.*y(1)-2.*para(1).*para(2).*y(2)+para(2).^2.*para(3)]; end

€

ddt

xy

=

縦ベクトル

ステップ入力の大きさ

€

y−ωn

2x − 2ζωn2y +ωn

2u t( )


function main

xi = 0.2; %減衰係数 wn = 2; %固有振動数 In = 1;%ステップ入力の大きさ dt = 0.1;%時間刻み T = 15;%最終時間

xinit =[0;0];%初期値セット para = [xi,wn,In];%パラメータセット %@SOEで関数のポインタの受け渡し [t1,xy] = RK2(@SOE,[0,T],xinit,dt,para); %2次Runge-Kutta x = xy(1,:); xmin = min(x)-0.1; xmax = max(x)+0.1; y = xy(2,:); ymin = min(y)-0.1; ymax = max(y)+0.1;

subplot(2,1,1); %2つのグラフを縦に並べて表示 plot(t1,x);%ステップ応答の時間発展をプロット axis([0 T xmin xmax]); xlabel('t'); ylabel('x');

subplot(2,1,2); %2つのグラフを縦に並べて表示 plot(x,y);%状態空間プロット axis([xmin xmax ymin ymax]); xlabel('x'); ylabel('dx/dt'); end

メイン部分 SOE_main.m

減衰係数を変えて、ステップ応答の変化を観察


• ２次のRunge-Kutta法 RK2.m • ベクトル場 SOE_FR.m • メイン部分　SOE_FR_main.m　

ベクトル場の関数(SOE.m)

€

ddt

xy

=

縦ベクトル

正弦波の振幅

€

y−ωn

2x − 2ζωn2y +ωn

2Asin ωt( )


function xy = SOE(t,y,para) xy = [y(2);… %改行する場合、… -para(2).^2.*y(1)-2.*para(1).*para(2).*y(2)+para(2).^2.*para(3).*sin(para(4).*t)]; end

メイン部分 SOE_FR_mai

n.m

減衰係数を変えて、応答の振幅変化を観察

xi = 0.5; %減衰係数 wn = 1; %固有振動数 In = 1; %正弦波の振幅 omega = 1.5; %正弦波の角周波数 dt = 0.01; %時間刻み T = 60; %最終時間

xinit =[0;0]; %初期値セット para = [xi,wn,In,omega]; %パラメータセット %@SOE_FRで関数のポインタの受け渡し [t1,xy] = RK2(@SOE_FR,[0,T],xinit,dt,para); %2次Runge-Kutta x = xy(1,:); xmin = min(x)-0.1; xmax = max(x)+0.1; y = xy(2,:); ymin = min(y)-0.1; ymax = max(y)+0.1;

subplot(2,1,1); %2つのグラフを縦に並べて表示 plot(t1,x); %正弦波に対する応答の時間発展をプロット axis([0 T xmin xmax]); xlabel('t'); ylabel('x');

subplot(2,1,2); %2つのグラフを縦に並べて表示 plot(x,y); %状態空間プロット axis([xmin xmax ymin ymax]); xlabel('x'); ylabel('dx/dt');

周波数応答正弦波入力

時間が十分経つと

€

x t( ) = G jω( ) sin ωt + tan−1G jω( )( )

€

G jω( ) =ωn2

−ω 2 + 2 jζωnω +ωn2

€

d2x t( )dt 2

+ 2ζωn2 dx t( )dt

+ωn2x t( ) =ωn

2 sin ωt( )

€

=1

−ω 2 ωn2 + 2 jζω ωn +1

ボード線図

€

ωωn


• 伝達関数　TF_SOE.m • メイン部分 FOL_boad_main.m　

function [ y ] = TF_SOE(s,para)

y = para(2).^2./(s.^2 + 2.*para(1).*para(2).*s +… para(2).^2.*ones(size(s)));

end

伝達関数　（TF_SOE.m）パラメータ出力複素数s

Matlabは複素数が扱える

sがベクトルの場合に対応

€

G s( ) =ωn2

s2 + 2ζωns+ωn2

メイン部分SOE_boad_ma

in.m

減衰係数を変えて、周波数応答の変化を観察

function main

xi = 0.05;%減衰係数 wn = 1;%固有振動数 j=sqrt(-1);%虚数の設定

para = [xi,wn]; %パラメータのセット

omega = 10.^(-1:0.05:1); %角周波数のセット G = TF_SOE(j.*omega,para); %周波数伝達関数の計算

gain = 20.*log10(abs(G)); %ゲインの計算 kaku = angle(G); %位相の計算

subplot(2,1,1); %2つのグラフを縦に並べて表示 semilogx(omega,gain); %x軸を対数にしてグラフ表示 xlabel('omega'); ylabel('dB'); %軸のラベル

subplot(2,1,2); %2つのグラフを縦に並べて表示 semilogx(omega,kaku); %x軸を対数にしてグラフ表示 xlabel('omega'); ylabel('rad'); %軸のラベル

end

レポート

• 関数RK2.mを改造し、4次のRunge-Kutta法による数値積分を実行する関数を作成せよ。

• 作成した4次のRunge-Kutta法の関数を用いて、2次振動系のステップ応答を数値計算し、グラフを描け。

4次のRunge-Kutta法

€

xn+1 = xn +Δt6

F1 + 2F2 + 2F3 + F4[ ]

更新則

€

F1 = f xn,t( )ただし

€

t = nΔt

€

F2 = f xn +Δt2F1,t +

Δt2

€

F3 = f xn +Δt2F2,t +

Δt2

€

F4 = f xn + ΔtF3,t + Δt( )

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