matlab-dersi-03-dizilerin matematiksel işlemleri-2a
-
Upload
ridvan-firat-cinar -
Category
Documents
-
view
158 -
download
7
Transcript of matlab-dersi-03-dizilerin matematiksel işlemleri-2a
MATLAB DERS NOTLARIBLM 3DZLER VE MATEMATKSEL LEMLER
Prof. Dr. Asaf Varol
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
1
TOPLAMA VE IKARTMA> vektor1=[4 6 2];vektor2=[3 7 7]; >> vektor=vektor1+vektor2 vektor = 7 13 9 >> vek=vektor1-vektor2 vek = 1 -1 -5Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 2
DZ ARPIMLARI
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
3
MATLAB ile arpmA= 1 4 8 B= 3 2 4 3 6 2 -7 10 12 6 -1 7>> AVV=[3 4 6] AVV = 3 4 6 >> BVV=[2; -1; 5] BVV = 2 -1 5 >> AVV*BVV ans = 32 >> BVV*AVV ans = 6 8 12 -3 -4 -6 15 20 30Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 4
>> A*B ans = 33 45 -12 -27 92 122
zde Matris zde matrisler kare matris olup diyagonal elemanlar 1 ve dier elemanlar ise sfr olan matristir. Byle bir matris MATLABda eye komutu ile elde edilebilir. zde bir matris dier bir matris ile arplrsa, sonu deimez ayn kalr.>> A=[4 3 1;-2 5 7] A= 4 3 1 -2 5 7 >> B=[1 0 0;0 1 0;0 0 1] B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> A*B ans = 4 3 1 -2 5 75
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
Eye ile matris arpm>> A A= 4 3 1 -2 5 7 >> B=eye(3) B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> A*B ans = 4 3 1 -2 5 7 Kare matrislerde AI=IA=A kural geerlidir. Yani bir matrisin sadan veya soldan zde matris ile arpmnn sonucu, gene kendisidir.
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
6
nvers matrisBir A matrisinin invers matrisi B matrisi ise, A ve B matrisinin arpm, zde matrisi verir. >> A=[1 3 -5;5 7 -1;4 2 8] A= 1 3 -5 5 7 -1 4 2 8 >> inv(A) ans = 3.6250 -2.1250 2.0000 -2.7500 1.7500 -1.5000 -1.1250 0.6250 -0.5000
>> A*inv(A) ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0 0.0000 1.0000>> A*A^-1 ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0 0.0000 1.00007
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
Determinantlar Determinantlar kare matris ile ilikilidir.>> A=[1 2;3 4] A= 1 2 3 4 >> det(A) ans = -2Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 8
Blme MATLABda iki trl blme ilemi vardr. Bunlar sa ve sol blmedir. Sol Blme: Sol blme AX=B matris denklemlerinin zm iin kullanlr. Bu denklemde X ve B kolon vektrleridir.Bu denklem A invers matrisinin soldan arplmas ile elde edilir. A-1AX=A-1BProf. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 9
Sol Blme A-1AX=IX=X AX=Bnin zm X=A-1B MATLABda sol blme karakteri kullanlarak denklem aadaki gibi yazlr: X=A\BProf. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 10
Sa Blme Sa blme XC=D matris denkleminin zmnde kullanlr. Bu denklemde X ve D satr vektrdr. C matrisinin inversi alnarak, denklemin her iki taraf ile arplmas ile zlr. X.CC-1=D.C-1 X=D. C-1 X=D/C
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
11
rnek
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
12
zm>> A=[2 -4 3;1 3 5;5 9 -3]; >> B=[8; 6; -2]; >> X=A\B AX=B eklinde zm X=A\B sol blme kullanlarak yaplan zm
X= 1.1933 -0.4706 1.2437Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 13
nvers kullanlarak zm>> Xb=inv(A)*B A matrisinin inversi kullanlarak X=A-1B eklindeki zm
Xb =1.1933 -0.4706 1.2437Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 14
Sa blme>> C=[2 1 5;-4 3 9;3 5 -3]; >> D=[8 6 -2]; >> Xc=D/C XC=D eklinde zm X=D/C sa blme ile zm
Xc = 1.1933 -0.4706 1.243715
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
nvers kullanlarak zmC matrisinin inversi kullanlarak X=D.C-1 eklindeki zm
>> Xd=D*inv(C) Xd = 1.1933 -0.4706
1.243716
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
Elemanlar baznda ilemler ki vektr veya matrisin elemanlar baznda arpma, blme ve s alma ilemleri iin aritmetik operatrn nne nokta konulur.
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
17
Eleman baznda ilemlera=[a1 a2 a3 a4] ve b=[b1 b2 b3 b4] vektrleri verilsin. arpma: a.*b=[a1b1 a2b2 a3b3 a4b4] Blme: a./b=[a1/b1 a2/b2 a3/b3 a4/b4]
s alma:
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
18
lemler
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
19
arpma ve blme>> A=[1 5 7;3 4 2] A= 1 5 7 3 4 2 >> B=[6 8 9;10 12 13] B= 6 8 9 10 12 13 >> A.*B ans = 6 40 63 30 48 26
>> C=A./B C= 0.1667 0.6250 0.3000 0.3333>> B.^2 ans = 36 64 81 100 144 169
0.7778 0.1538
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
20
rnek>> x=[1:8] x= 1 2 3 >> y=x.^3-3*x y= -2 2 18
4
5
6
7
8
52 110 198 322 488
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
21
rnek>> z=[1:2:15] z= 1 3 5 7 9 11 13 >> y=(z.^3+5*z)./(4*z.^2-10)
15
y= -1.0000 1.6154 1.6667 2.0323 2.4650 2.9241 3.3964 3.8764 (z vektrnn her bir eleman iin ayr ayr y deerlerinin hesaplanmas)
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
22
Hazr fonksiyonlarla ilemler>> x=[0:pi/6:pi] x= 0 0.5236 1.0472 1.5708 2.0944 2.6180 3.1416 >> y=cos(x) y= 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000 -0.5000 -0.8660 -1.0000 >> d=[1 4 9;16 25 36;49 64 81]; >> h=sqrt(d) h= 1 2 3 4 5 6 7 8 9Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 23
Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarmean(A)A bir vektr ise, elemanlarn ortalamasn bulur.A bir vektr ise, elemanlar iinden en yksek olan bulur. >> A=[4 3 6 7]; >> mean(A) ans = 5 >> A=[ 1 3 5 -2 9 4]; >> C=max(A) C= 9
C=max(A)
[d,n]=max(A)
A bir vektr ise, d >> [d,n]=max(A) elemanlardan en d= bydr ve n ise kanc 9 eleman olduunu saptar. n= 5Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 24
Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarmin(A)Max(A) ya benzerdir ancak en kk sayy bulur.>> A A= 1 3 5 4 >> min(A) ans = -2
-2
9
[d,n]=min(A)
Dizi iindeki en kk sayy ve kanc srada olduunu belirler.
>> [d,n]=min(A) d= -2 n= 425
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarsum(A)A bir vektr ise, elemanlarnn toplamn bulur.>> A=[1 -3 6 2]; >> sum(A) ans = 6
sort(A)median(A)Rakamlarn dizililerinin artan srada olduuna dikkat ediniz.
A vektrnn elemanlarn >> sort(A) kkten bye sralar. ans = -3 1 2A bir vektr ise, vektr elemanlarnn medyan deerini bulur. Tek rakaml dizilerde elemanlardan ortadakini bulur. iftlerde ise ortadakilerin toplamnn aritmetik ortalamasn alr.Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar >> A=[-5 13 20]; >> median(A) ans = 13 >> A=[-5 13 17 20]; >> median(A) ans = 15
6
26
Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarstd(A)Standart sapmay bulur.>> A=[5 9 2 4]; >> std(A) ans = 2.9439 >> A=[1 6;-3 7]; >> det(A) ans = 25>> a=[1 3 2]; >> b=[2 4 1]; >> dot(a,b) ans = 1627
det(A)
A kare matrisinin determinantn verir.
dot(a,b)
a ve b den oluan iki vektrn, skalar arpmn hesaplar.
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
Kros vektr ki vektrn kros arpm, bu iki vektrn dzlemine dik bir nc vektr oluturur.
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
28
Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarcross(a,b)a ve b vektrlerinin kros arpmn yapar. Her iki vektrn 3 eleman olmaldr.Bir kare matrisin inversini bulur.
>> a=[1 3 2]; >> b=[2 4 1]; >> cross(a,b) ans = -5 3 -2
inv(A)
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
29
Kaynaklar Gilat, A.: MATLAB, An Introduction With Applications, 2nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2005 Celik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001
Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar
30