maths grade 9 - Mblackstar.. · 2012. 6. 19. ·

បជវគណតវទកទ៩ សបវវ

បកែបេយៈ ែកវ សរ"

1 វ ទ១

. ប ក នមង ម

( )2 4 6 2 5 10 2A = + − −

21 1 2

111 1

a aB

aa a

− + = + − ++ − ច , 10a a> ≠

. ច ប mប 3( ) 2

2:d y x m= + !" #"ប$ 23

) :(4

P y x= − ងព&ចន'ច

ផ)ង*+ ?

-. ./0យប ម& ន2ងបព3ន4ម&

.a 25 1x x− = −

3 42

).4 5

3

x yb

x y

− = − =

2 2). 2 2 34 2 8 5c xx x x− + − + − =− ++

5. )a គ78ព&ចនន9 2ជ;<ន ,x y ផ =ង> 3x y xy+ = ? គ@ x

y ?

)b កប ចននគ9 2ជ;<ន ,x y ផ =ង> 1 1 1

2x y+ =

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច ( AB AC< ), <នកព AH ? Hង ,D E Iង*+ C

ចន'ចក ប AB ន2ង AC ?

)a . /0យបJ; កK DE Cប ប"មបងLងព& M Nក O& @ DBH ន2ង ECH ?

).b Hង F Cចន'ចបពLទ&ព&បងLងM Nក OBងព&ង Q? /0យបJ; កK HF Hម

ចន'ចក ប DE ?

)c . /0យបJ; កK ងLងM Nក O& @ ADE Hមចន'ច F ?

''''(((())))&&&&



2 សយ

. ( ) ( ) ( ) ( )216 4 5 1 10 2 16 4 5 1 10 2A

= + − − = + − −

( ) ( ) ( ) ( )22 6 2 5 10 2 2 5 1 10 2A

= + − = + −

( )( ) ( )( )2 5 1 10 2 10 2 10 2 8A = + − = + − =

21 1 2 2 1 2 1. 1

1 11 1

a a a a a aB

a aa a

− + − + + + + = + − + −+ − =

22( 1) 1 2( 1).

1 1 1

a a a

a a a

+ − − = − + +=

ច , 10a a> ≠

. ម&Rប'&ចន'ចបពLប ( )d ន2ង ( )P គS

2 23 32 3

28 )

46 0 (*x x mm xx ⇔ + + =+ = −

កT@U QមV&78 ( )d ( )P ងព&ចន'ច ផ)ង*+ គS (*) <នWព& ផ)ង*+

23

89 4 0m m′⇔ ∆ = − > ⇔ < ?

-. ).a 22 2 2

0 1

5 ( 1) 2 2 4

15 1

0x

xx

x x

x

xx

− − = − ≥ ≥

⇔ ⇔− = − − = −

1

1, 2

x

xx

=

≥⇔

= −2x⇔ =

)b . កTខ@U 0, 0x y≠ ≠ ?

Hង 1 1;u

xv

y== , បព3ន478<ន#ង 3 4 2 2

4 5 3 1

u v u

u v v⇔

− = = − = =

ច 2u = , យQង!ន 1 12

2x

x⇒= =

ច 1v = , យQង!ន 11 1

yy= ⇒ =



3 ប=ប ធIបនNងកTខ@U យQង!ន ; 11

2x y= = ?

)c . ពកTខ@U ក@Z9!ន ផ =ង> យQង!ន

2 22 ( 2) 24 2 xxx +− = − −− ≤

2 22 3 2(8 25 ) 3x xx − −+− − ≤=

$ច 2 22 24 32 8 5x xx x+ − + −− ≤+ − +

J[ " "= កQ<ន 2x⇔ = ?

$ច ន ម&<នWមយគគS 2x = ?

5. )a . យQង<ន 3 1 3 (1)x x

x y xyy y

+ =⇔+ =

Hង 0x

uy

= >

2

2 3 1 03 5 (3 5)

(1)2 4

ux

u uy

= ± ±=⇔ − + = ⇔ ⇔

).b .យទ&ប xន2ង y គS$ច*+ យQងRច\ប<K x y≥ ?

យQង!ន 01 1 1 1 1

; 22 2

x yx y y

> ⇔ < ⇒+ = >

1 1 1 1 1 2

20 4x

y yy y

x x y= +≥ > ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤

$ច 2 4y< ≤ ? y Cចននគ9 2ជ;<ន (Hមប#ប) 3y = S 4y =

ច 3 6y x= ⇒ = ? HមកT@ឆ^' យQងក_!ន 3x = ន2ង 6y =

ច 4 4y x= ⇒ = ?

9 2ធ& ផ)ង ទI

យQង<ន 1 1 12( ) 2 2 0

2x y xy x xy y

x y+ = + = − +⇒ =⇒

(2 ) 2(2 ) 4 (2 )(2 ) 4x y y x y− − − = − − −⇔ =⇔ .

.យ , 0x y > 2 2,2 2yx− < − < ? $ច យQង!នប ក@& ង ម



4 2 1

2 4

2 2

x

x

x

• − = −• − = −• − = −

ន2ង 2 4 3 & 6

2 1 6 & 3

2 2 4 & 4

y x y

y x y

y x y

− = − = =− = − = =− = =

⇔

⇔− =⇔ (យក)

$ច ន យQង!នប គ$ចននគ9 2ជ;<ន ( ; )x y គS (6;3),(3;6), (4;4) ?

A. )a . យQង<ន ||DE BC HDE BHD=

& @កង ABH <ន HD C ម`ន DH DB= ,

Bញ!ន BHD DBH= ? $ច HDE DBH= ?

Bញ!ន DE ប"នNងងLងM Nក O& @ DBH ង D ?

$ច*+ នNងង Q, យQង!ន DE ប"នNងងLងM Nក O& @ ECH ង E ?

$ច ន DE Cប ប"មបងLងM Nក O& @ DBH ន2ង ECH ?

)b . យQង<ន IDF IHD= ន2ង ( )IFD IDH DBF= =

$ច & @Bងព& IDF ន2ង IHD <ន#ង$ច*+ ?

Bញ!ន 2 .ID IF

IDIH ID

IF IH⇒ == (1)

$ច*+ យQង!ន 2 .I HI FE I= (2)

ព& (1) &(2) , Bញ!ន ID IE= S HF Hមចន'ចក I ប DE ?

).c .យប ច' @ BDFH ន2ង CEFH MNកក+'ង

0180DFH DBH+ = ន2ង 0180EFH ECH+ =

ក+'ង& @ ABC <ន 0180BAC DBH CEH+ + =

ម "ង ទI 0360DFH EFH DFE+ + = Bញ!ន 0180BAC DFE+ = ?

$ច ន ងLងM Nក O& @ ADE Hម F ? '()&'()&'()&'()&

F

A

D

E I

B H C



5 វ ទ២

. ./0យបព3ន4ម& ន2ងម&ង ម

3 2 1).

5 3 4

x ya

x y

+ = + = −

2 2). 2 3 3 0b x x+ − = 4 289 0. 1) xc x + − = ?

. ក នមង ម

15 12 1

5 2 2 3A

−= −− −

, 2 2 4.

2 2

a ab a

a a a

− + = − − + − (ច , 40a a> ≠ )

-. គ78&មយកន^ង<ន#ងCច' @កង<នកbផ 2360m ? បQ គប ងcQនប9ងទទNង 2m ន2ង

បនdយប9ងប យ6m កbផ បeម2នបបD ទ? កប 2<ប&មយកន^ង

ក+'ង ពប$ង?

5. )a . ម&ប ( )d /បនNងប 3 1y x= + ន2ងf3ក)f . នងចន'ច<ន

f . ន gQ 4?

).b ងបHងfន'គមនh 3 4y x= + ន2ង 2

2

xy = − i Q'យមយ?

កក$f . នចន'ចបពLបបBងព& .យ9 2ធ&គ@?

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច ន2ង AB AC< ? ងLងផj2O fងcផj2 BC ប

ជkង ,AB AC Hម.បង E ន2ង D ?

).a /0យបJ; កK . .AD AC AE AB=

).b Hង H Cចន'ចបពLប BD ន2ង CE , Hង K Cចន'ចបពLប AH ន2ង BC ?

/0យបJ; កK AH កងនNង BC ?

).c ព& A គងប ប ប" ,AM AN lនNងងLង ( )O ,M N Cប ចន'ចប"?

បmn ញK ANM AKN= ?

).d /0យបJ; កK ប&ចន'ច , ,M H N ងជ*+ ?

''''(((())))&&&&



6 សយ

. 3 2 1 9 6 3 11

).5 3 4 10 6 8 17

x y x y xa

x y x y y

+ = − − = − = − + = − + = − =

⇔ ⇔

$ច ន បព3ន4ម&<នច Qយ ( ; ) ( 11;17)x y = −

2 2) 2 3 3 0b x x+ − =

<ន 39′ ′∆ = ⇒ =∆

ម&<នWព& ផ)ង*+ 1 23 3 3 3

;2 2

x x− + − −= =

4 289 0. 1) xc x + − =

Hង 2 ( 0)t x t= ≥ , ម&78<ន#ង 29 8 1 0tt −+ =

.យ 1 21

0 ,9

1a b c t t⇒ = −− =+ =

HមកTខ@U 0t ≥ , យQងយក 1

9t =

ច 21 1 1

9 93 3t x x= ⇒ =⇒ ±=

$ច ន ម&78<នWព& 1 1;

3 3− ?

. ( ) ( )

( ) ( )3 5 2 1. 2 315 12 1

5 2 2 3 5 2 2 2 2 3A

− +−= − = −− − − − +

3 2 3 2= − − = − ?

( ) ( )

( ) ( )

2 22 22 2 4 4

.2 2 2 2

a aa a aB a

a a a aa a

− + − + −= − − = + − + −

−

8 4. 8

4

a a

a a

− −= = −−

-. Hង ប9ងទទNងប& ព&ប$ង .យ ( 0)( ),x m x >



7 គ!ន ប9ងប យប& ព&ប$ងគS 360( )m

x

ប9ងទទNងប& យ ពប ងcQន 2m គS 2( )x m+

ប9ងប យប& យ ពបនdយ 6m គS 3606( )m

x−

ព&កTខ@U បបoន យQង!នម& 360( 2) 6 360x

x + − =

./0យម& ន យQង!ន 1 10x = (យក) ន2ង 2 12x = − ( M)

$ច ន ប9ងទទNងប& ពប$ងគS 10m

ប9ងប យប& ពប$ងគS 36036

10m=

78 ប 2<ប& ពប$ងគS (36 10) 2 92( )m× =+ ?

5. )a . ម& ( )d /បនNងប 3 1y x= + <ន#ង , )3 (y x b d= + f3ក)f . នង

ចន'ច<នf . ន gQ 4 4b⇒ =

$ច ន 4( ) : 3d y x= + ?

).b H#ង

ម&Rប'&ចន'ចបពLប 2

( ) :2

P yx= − ន2ង 4( ) : 3d y x= + គS

2

213 4 6 2

28 0

xx x xx⇔ + + = ⇔− + = −= ន2ង 2 4x = −

ច 1 2x = − 1 2y⇒ = −

ច 2 4 8x y= − ⇒ = −

$ច ន ក$f . នចន'ចបពLប ( )P ន2ង ( )d គS ( 2;2)− ន2ង ( 4;8)− ?

A. )a . យQង<ន ABD AEC= (<នធ+0c ម*+ DE ) ?

Bញ!ន & @កង ABD ន2ង ACE <ន#ង$ច*+ ?

$ច . .AB AD

AD AC AE ABAC AE

= =⇒

).b យQង<ន 090BEC BDC= = (ម'M Nកក+'ងកន^ងLង) ?



8 Bញ!ន BD AC⊥ ន2ង CE AB⊥

S BD ន2ង CE CកពBងព&ប& @ ABC ?

.យ H Cចន'ចបពLប BD ន2ង CE H Cf$ងប& @ ABC ?

Bញ!ន AH BC⊥

).c យQង<ន 1

2ANM MON= (ម'ប ងcQ .យកន^ប ប" ន2ងខ)<នម'ផj2មធ+$ MN )?

.យ OACកន^ប ព'បម' MON (កT@ប ប"ព&*+ )

1

2AON MON= , Bញ!ន (1)AMN AON=

ម "ង ទI 090ANO AMO= = , ច' @ ANKO MNកក+'ង (ច' @<នកព$

Bងព& iកV*+ មQ lជkងមយ មម'ព& gQ*+ ), Bញ!ន (2)AKN AON=

ព& (1) ន2ង (2) , Bញ!ន ANM AKN= ?

)d . យQង<ន ANE ABN= (ម'ប ងcQ .យកន^ប ប" ន2ងខ)<នម'M Nកក+'ងមនNងធ+$

0c NE ) ? pQយ NAB Cម'មប& @ ANB ន2ង ANE ?

Bញ!ន ANE ABN∆ ∼ ∆ (ម.ម) 2 . (3)AN AE

A AENAB AN

AB⇒ ⇒= =

ម "ង ទI 090AEH AKB= =

Bញ!ន AEH AKB∼∆ ∆ (ម.ម) . . (4)AE ABAE AH

AHA AB

KK

A⇒ ⇒ ==

ព& (3)ន2ង 2(4) .AN AH AK⇒ =

ព2ន28 AHN∆ ន2ង ANK∆ <ន NAK ម*+ ន2ង AN AH

AK AN= ?

Bញ!ន ANH AKN∆ ∼ ∆ (ជ.ម.ជ) ANH AKN⇒ =

i Qកក ប^ងមយ<នផ 'កកន^ប NA , យQង<ន ANH ANM=

Bញ!ន កន^ប Bងព& NH ន2ង NM D'&*+ ?

$ច ន ប&ចន'ច , ,M H N ងជ*+ ?

'()&'()&'()&'()&



9 វ ទ៣

. ).a ក@ m QមV&78ម&Bងព& 2 0x x m+ + = ន2ង 2 1 0mxx + + = <នWម*+ q"ង

2ចមយ ?

).b គ78 , ,a b c Cប9ងជkងBងប&ប& @មយ? /0យបJ; កKម&

2 2 2 2 2 2( ) 0x b c a cb x+ + − + = *g នW?

. ./0យម& ន2ងបព3ន4ម&

3 3 3( )

1).

y x yx

ya

x

− = −+ = −

2 2

2 13). 6

3 35 2 2xb

x

x x

x x+

+ + +=

−

-. ).a /0យបJ; កK 4 4 3 2 2 22 ) 2( b ab aa b a b+ ≥ + + ច គប ,a b ?

).b /0យបJ; កK 2 2 22a a bb b a+ −− > ច 0a b> > ?

5. កប ចននគ9 2ជ;<ន <ន ខព&ខ ង, .យNងKចនន Cពp'គ'@ នផគ'@

បប ខHមខ ងបចនន > ?

A. គ78ប r$ម ABCD <នម' A/Dច, AB AD< ? កន^ប ព'បម' BAD BC ង

M pQយ DC ង N ? Hង K Cផj2បងLងM Nក O& @ MCN ?

)a . /0យបJ; កK DN BC= ន2ង CK MN⊥

).b /0យបJ; កK BKCD Cច' @MNកក+'ង?

s. គ78& @ ABC <ន 2A B= ? /0យបJ; កK 2 2 .BC AC AB AC= + ?

''''(((())))&&&&



10 វ ទ៤

. គ78ម& (<នft[2 x ) 2 2: 2(3 2 )4 3 2 0m x m mx + − + − + = ?

).a បmn ញK ម&ង Q<នWCន2ចjច គបប!"#" ម" m?

).b ក m QមV&78ផគ'@បWBងព&ន<&<ន$ចបផ'?

. ./0យប ម& ន2ងបព3ន4ម&

).a 2 2 2( 2)

6

xy

x y

x y+ = ++ =

).b 2

22

2511

( 5)

xx

x=

++ ?

-. ).a គ78 , , 0cc ba c> >> ? /0យបJ; កK ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤

).b គ78 , 00a b> > ? /0យបJ; កK 2 abab

a b+≤ ?

5. កចនន !ក<ន ខបនខ ង .យNងK ពប ងcQន ខន&មយu មយvកH

ចននថg&ប ងcQ!នក_C !ក?

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&/Dច M Nកក+'ងងLង ( ; )O R , mL ម'C gQ 045 ? ងLងfងcផj2

AB ប ជkង AC ន2ង BC Iង*+ ង M ន2ង N ?

).a បmn ញK MN កងនNងOC

).b បmn ញK 2

ABMN = ?

s. គ78& @ ABC <នម'Bងប&/Dច M Nកក+'ងងLង ( ; )O R ? ចន'ច M ច3 i Qធ+$$ច BC ?

ព& M ងប ប ,MH MK Iង*+ កងនNង ,AB AC ( H d2 i Qប ,AB K d2 i Q

ប AC )?

).a /0យបJ; កK & @ MBC ន2ង MHK <ន#ង$ច*+ ?

).b កទ&Hងប M QមV&78ប9ងfងc HK 9ងបផ'? ''''(((())))&&&&



11 វ ទ៥

. ./0យបព3ន4

3 61

2

1 10

2

x y x y

x y x y

− = − − + − = − +

. គ78 0x > ផ =ង> 22

17x

x+ = ? គ@ 5

5

1x

x+ ?

-. ./0យម& 33 1 1

3 10

xx

x= + −

+

5. ).a ក$ចបផ'ប 2 29 12 24 48 825 y xy yP xx + − + − +=

).b កប ចននគ , ,x y z ផ =ង> បព3ន4 3 3 3 3

3x y z

x y z+ +

+ + =

=

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&/Dច M Nកក+'ងងLងផj2O ( )AB AC< ? ងងLងផj2 I Hម

ព&ចន'ច ,A C fងc ,AB BC Iង*+ ង ,M N ? ងងLងផj2 J Hមប&ចន'ច , ,B M N

ងLង ( )O ងចន'ច H ( ផ)ងព& B )?

).a /0យបJ; កK OB កងនNង MN ?

).b /0យបJ; កK ច' @ IOBJ Cប r$ម?

).c /0យបJ; កK BH កងនNង IH ?

s. គ78ប r$ម ABCD ? Hមចន'ច S ក+'ងប r$ម ABCD គងប /បនNង AD

,AB CD Hម.បង ,N Q ? /0យបJ; កKប Bងប& , ,AS BQ DP បពL*+ ? ''''(((())))&&&&



12 វ ទ៦

. គ78ម& 2 2 6 9 0mxx m− − − = (<នft[2 x ) ?

).a ក m QមV&78ម&<នWព& ផ)ង*+ 'ទ4f9 2ជ;<ន?

).b Hង 1 2,x x CWBងព&បម&? ក m QមV&78!ន 2 21 2 13xx + = ?

. ).a គ78 , 00x y> > ន2ង 1x y+ ≤ ? បmn ញK 2 2

1 14

x xyyxy≥

+ ++ ?

).b ក$ចបផ'បក នម 22 7

3

2A

x x+ − += ?

-. ./0យបព3ន4ម&

).a 2 2

11

30

x y xy

x y xy+

+ + =

=

).b 64

1 1 1

4

xy

x y

= − − =

5. /0យបJ; កK បQ 12a b+ ≥ q"ង2ចម&មយក+'ងច មម&Bងព&ង ម

<នW 2 22 0; 2 0x xax b bx a+ + = + + = ?

A. គ78ងLងផj2O fងcផj2 AB ? Hង K Cចន'ចក បធ+$ AB , M Cចន'ចច3 i Qធ+$$ច

AK ( M ផ)ងព&ចន'ច A ន2ង K )? xចន'ច N i Qfងc BM q"ង78 BN AM= ?

).a /0យបJ; កK AMK BNK=

).b /0យបJ; កK & @ MNK C& @កងម!?

).c ប Bងព& AM ន2ងOK *+ ង D ? /0យបJ; កK MK Cប ព'បម'DMN ?

).d /0យបJ; កK ប កងនNង BM ង N ងHមចន'ចនNងមយ?

s. គ78& @ ABC <ន , ,Ca A B cB bC A= == ន2ង<ន R CងLងM Nក O ផ =ង> ទក

ទនង ( )R b c a bc+ = ? ច$ក@#ងប& @ ABC ? ''''(((())))&&&&



13 វ ទ៧

. ).a ក នម 1 3 2 2 3.

2 3 3 2 2 3A

−=− +

?

).b ក$ចបផ'ប 1 2 2 7 6 2y x x x x= − − − + + − − ?


).a 2 2 6

2 3 2x y xy

y x

+ + =

=

+

+

).b 3

2

244 0

xx

x+ − =

−

-. បបកCផគ'@កH 4 35 10 4xA x x− + += ?

fន'9នh ./0យម& 4

25

4

2

xx

x

+−

= ?

5. គ78ម&ព& 2 0, 0 (1)bx ca ax + + = ≠ ន2ង 2 0, 0 (2)nx pm mx + + = ≠ ?

/0យបJ; កK បQq"ង2ច<នម&មយក+'ងច មម&Bងព&ង Q*g នW

ម&ង ម<នWCន2ចj 2 ) 0( 2() ap mc xan pb x ncm b+ − + − =− ?

A. គ78& @ ABC កងង A (AB AC< ) <នកព AH ន2ង ម`ន AM ? ងងLងផj2 H

AH , AB ងចន'ច D , AC ងចន'ច E ( D ន2ង E ខ'ព&ចន'ច A )?

).a /0យបJ; កK , ,D H E ងជ?

).b /0យបJ; កK MAE ADE= pQយ MA កងនNង DE ?

).c /0យបJ; កKបនចន'ច , , ,B C D E d2 i QងLងមយ<ន O Cផj2?

ច' @ AMOH Cច' @fL&?

).d គ78ម' 030ACB = ន2ង AH a= ? គ@កbផ & @ HEC ?

s. គ78ច' @+ យ ABCD <នfងcទZងBងព& AC ន2ង BD gQនNងជkង!ធ AB ? Hង M C

ចន'ចក CD ? NងK MBC CAB= ? គ@ប ម'បច' @+ យ ABCD ? ''''(((())))&&&&



14 វ ទ៨

. កប m QមV&78ម&ង ម<នW ន2ងគ@ប W Cfន'គមនhន :m

2 2 0x mx x − ++ = ?

. បបកCផគ'@កH 10 5 1A x x+ += ?


).a 2

2

48 410

3 3

x x

xx

+ = −

).b 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − =

).c 2 2

2 2

2 3 0

2 0

y x

y x y x

xy − + =

+ + =

5. កធបផ' ន2ង$ចបផ'ប 2

2 5 7x

xy

x − +=

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ងងLង ( )O ន2ង<ន AB AC< ? xចន'ច M

d2 i Qធ+$ BC ម2ន<នផ 'កចន'ច A បងLង ( )O ? ង MH កងនNង ,BC MK កងនNង ,CA MI

កងនNង AB ( H d2 i Q ,BC K d2 i Q ,AC I d2 i Q AB )?

/0យបJ; កK BC AC AB

MH MK MI= + ?

s. គ78& @ ABC ? \ប<K ប ប ព'ក+'ង ន2ងព' Oបម' A ន& @ ABC Iង*+

ប BC ង D , E ន2ង<ន AD AE= ?

/0យបJ; កK 2 2 24ACAB R+ = R CងLងM Nក O& @ ABC ? ''''(((())))&&&&



15 វ ទ៩

. ./0យម& 2 2( 2)( 1) 3 0m x mm x − + + −+ = (<ន x Cft[2)?

).a ក@ m QមV&78ម&<នW?

).b ក@ m QមV&78ម&<នWព& 1 2,x x ផ =ង> 1 21)(4(4 1) 18x x+ + = ?

. /0យបJ; កប 9 2មyពង ម

).a 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ច គប , ,a b c

8 8 8

3 3 3

1 1 1). ( 0, 0, 0)

ab a b c

a

b c

b b ca c

+ + ≥ + + > > >

2 2 2 2 2). ( )b c d e a b c dc ea + + + + ≥ + + + ច គប , , , ,a b c d e ?

-. ./0យប ម&

2 2). 8

1

xa x

x −+ =

2 2

4 5

8 7 101

7).

x xb

x xx x− + − ++ = − ?

5. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ងងLងផj2O ន2ងf$ង H ? xចន'ច M

d2 i Qធ+$$ច BC ?

).a ក@ទ&Hងបចន'ច M QមV&78ច' @ BHCM Cប r$ម?

).b ច M Z9!ន គ x i Qធ+$$ច BC , Hង ,N E Iង*+ Cប ចន'ចឆ^'ប M ធIបនNង

AB ន2ង AC ? /0យបJ; កK ប&ចន'ច , ,N H E ងជ?

).c ក@ទ&Hងប M d2 i Qធ+$$ច BC QមV&78 NE <នប9ងធបផ'?

A. គ78ងLងនNងផj2O , gQ1? & @ ABC បបD pQយងM Nក OនNងងLង ( )O ? ប

មយHមផj2O ប fងc ,AB AC Iង*+ ង ,M N ?

ក@$ចបផ' បកbផ & @ AMN ? ''''(((())))&&&&



16 វ ទ១០

. កគបប ចននគ x ផ =ង> 3 8 7 8 1x x+ = + ?

. គ78 n Cចននគ9 2ជ;<ន? /0យបJ; កK គង<ន92មyពង ម

2 4

1 2 3 3.

3 43 3 3..

n

n+ + + <+ ?

-. កគបប ចននព2 x ផ =ង> 34 44 ( 2)(4 ) 2 4 6 3 30x x x x x x x− − + − + − + ≤ + ?

5. គ78ប ចននព29 2ជ;<ន , ,a b c ផ =ង> 2 2 2 27ba c+ + = ?

ក$ចបផ'ប 3 3 3b cS a + += ?

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច? D Cចន'ចមយd2 i Qfងc BC ? Hង ,BC a=

, , , ,AB c AD d DB m DC nCA b = = = == ?

).a /0យបJ; កK 2 2 2a b m md c n a n= + − ?

).b គNងK AD Cប ព'ក+'ងម' A? /0យបt; កK 2 .A CA BD A< ? ''''(((())))&&&&

វ ទ១១

. គ78ម& 2 22( 1) 4 5 0m x mx m− + + − + = (<នft[2C x ) ?

).a ក@ m QមV&78ម&<នW

).b ក@ m QមV&78ម&<នWព& ផ)ង*+ 'ទ49 2ជ;<ន?


3 2. 0) 3 3 1xa x x+ + + = 3 3

3).

9

x y

x yb

−

=

=

−

-. ច 0 00, ,b ca > >> , ច$/0យបJ; កប 9 2មyពង ម

2).ab bc

ac a

b+ ≥ ).ab bc a

a bc

bc a b

c+ + ≥ + +

3 3 3 3 3 3

).2 2 2

a b cc

ab b

b ca

c ca

ab c

+ + ≥++ + ++ ?

5. គ78ងLង ( ; )O R <នfងcផj2 AB ន2ងចន'ចC មយ i QងLងខ'ព& A ន2ង B ? Hង ,M N Iង*+



17 Cចន'ចក បធ+$$ច AC ន2ងCB ?

).a ង ND កងនNង AC ( D d2 i Q AC ) ? /0យបJ; កK ND Cប ប"បងLង ( )O

.

).b Hង E Cចន'ចក បfងc BC ? ប OE ងLង ( )O ងចន'ច K ( ផ)ងព& N )?

/0យបJ; កK ច' @ ADEK Cប r$ម?

).c /0យបJ; កK ពC ច3 i QងLង ( )O MN ងប"នNងងLងនNងមយ?

A. គ78& @ព& ABC ន2ង DEF <នប ម''ទ4Cម'/Dច ន2ង<ន ,ABC DEF=

, 3BAC EDF AB DE= = ?

/0យបJ; កK ងLងM Nក O& @ ABC gQនNងប&ងងLងM Nក O& @ DEF ?

''''(((())))&&&&

វ ទ១២

. /0យបJ; កK A a B b B b C c C c A a

A a B b c d B b C c a d C c A a b d

+ + + + + + + + ++ >+ + + + + + + + + + + + + + +

,

ក+'ង , , , , , ,A a B b C c d Cប ចនន9 2ជ;<ន?

. គ78 , 0x y > pQយ 1x y+ ≤ ? ក$ចបផ'បក នម 2 2

1 24

yA xy

xyx= + +

+ ?

-. ចននគ9 2ជ;<ន N <នចក(9 2ជ;<ន)ចនន12 ផ)ង*+ គ2Bងខនeន2ង 1 , <នចកCចនន

បzម3 ផ)ង*+ ប"' ? \ប<K ផប$កប ចកCចននបzម gQនNង 20,

គ@ $ចបផ'បផ'Rច<នប N ?

5. កគបប ចននគ , ,x y z ផ =ង> ម& 2 2 2 2 26 2 3 18 6 03x y z y z x+ + + − − = ?

A. ផ កb& @ ABC gQនNង1? Hង 1 1 1, ,A B C Iង*+ Cចន'ចក ប , ,BC CA AB ?

i Qប fងc 1 1 1, ,CAA BCB Iង*+ គ xប ចន'ច , ,K L M ?

ក$ចបផ'បផ កbនផ+កម*+ ប& @Bងព& KLM ន2ង 1 1 1A B C ? ''''(((())))&&&&



18 វ ទ១៣

. គ78 ( )( )( )P a b b c c a abc= + + + − , ,a b c Cប ចននគ?

/0យបJ; កK បQ a b c+ + ចក.ចនNង 4 P ចក.ចនNង 4?

. គ78បព3ន4ម& 4 2 2

2 2

1

(

) 3( 6

)

x y m

y

x

xy x m

y + + = +

+ =

).a ./0យម&ច 10m = − ?

).b /0យបJ; កK ម2ន<នប m ធLQ78បព3ន4<នច Qយមយគ ទ?

-. ប&ចនន9 2ជ;<ន , ,x y z ផ =ង> ទកទនង 1 2 36

x y z+ + = ? ព2ន28ក នម 2 3P x y z+ += ?

).a /0យបJ; កK 2 3 3x yP z≥ + + −

).b ក$ចបផ'ប P ?

5. គ78& @ ABC , xប&ចន'ច , ,D E F Hម.ប i Qប ជkង , ,BC CA AB q"ង78

AEDF Cច' @MNកក+'ង? i Qកន^ប AD xចន'ច P ( D d2 iច Aន2ង P )

q"ង78 . .DA DP DB DC= ?

).a /0យបJ; កKច' @ ABPC MNកក+'ង pQយ& @Bងព& ,DEF PCB <ន#ង$ច*+ .

).b Hង S ន2ង 'S Iង*+ Cផ កb& @ ABC ន2ង DEF ?

/0យបJ; កK 2

' 2

S EF

S AD

≤ ?

A. គ78 ABCD ន2ង 2005ប ផ =ង> ពម*+ ន$9កTខ@U Bងព&ង ម

.a ប ន&មយu 'ទ4ជkងព&ឈម*+ ប ?

.b ប ន&មយu 'ទ4ចក Cព&ផ+ក <ន<<កbផ gQនNង 0,5?

/0យបJ; កK ក+'ង 2005ប <នq"ង2ច502ប បពL*+ ងចន'ចមយ? ''''(((())))&&&&



19 វ ទ១៤

. គ78ក នម 1 1 1x x x x xP

x x x x x

− + += − +− +

.a P .b ក x QមV&78 9

2P =

. គ789 2ម& 3( 1) 1 2m x m x− + > + ( mC!" #" ម")?

).a ./0យ9 2ម&ច 1 2 2m = −

).b ក m QមV&789 2ម&<នច Qយ 1x > ?

-. ក+'ងប^ងក$f . ន Oxy គ78ប 2( 0) : 2x yd a− − = ន2ង!"#"ប$ 2( ) :P ax ( a C!"#" ម

9 2ជ;<ន)?

.a ក a QមV&78 ( )d ( )P ងព&ចន'ច ផ)ង*+ ,A B ? /0យបJ; កK ព ,A B d2

iង0 f3ក)f . ន?

.b Hង ,u v Hម.បCRប'&ប ,A B ? ក$ចបផ'បក នម 4 1T

u v uv= +

+?

5. ងLងផj2O <នខ)ធ+$ AB iនNង ន2ង I Cចន'ចក បធ+$ធ AB ? xចន'ច M មយ i Qធ+$

ធ AB , ងកនប Ax កងនNងប MI ង H pQយ BM ងC ?

.a /0យបJ; កK ប & @ AIB ន2ង ACM Cប & @ម!?

.b ពចន'ច M ច3 i Qធ+$ធ AB ? /0យបJ; កK ចន'ចC ច3 i Qធ+$នNងមយ?

.c ក@ទ&Hងបចន'ច M QមV&78ប 2<& @ AMC <នធបផ'?

A. គ78& @កងង A <ន AB AC< ន2ង ម`ន ,AM ACB = α , AMB = β ?

/0យបJ; កK 2co(sin s ) 1 sinα + α = + β ? ''''(((())))&&&&



20 វ ទ១៥

. /0យបJ; កKចននគធមgC2

1 1 1 11.2.3. 1

2... .2003.2004. ..

3 2003 2004.A

= + + + +

+

ចក.ចនNង 2005 ?

. គ78ម& 2 23( 3 ) mx m x+ − = ?

).a ./0យម& ច 2m = ?

).b ក m QមV&78ម&<នW?

-. ./0យ9 2ម& 23 25 (2 9) 43

x xx

x+ ≥ + ?

5. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច, ងកព ,BE CF ?

).a គNងKmL ម' BAC gQ 060 , គ@ប9ង EF Cfន'គមនhន BC a= ?

).b i Qកន^ងLងfងcផj2 BC ម2ន<នផ 'ក ,E F គ xចន'ច M មយ? Hង , ,H I K Iង*+ C

ច កងប M i Q , ,BC CE EB ?

ក$ចបផ'បផប$ក BC CE EBS

MH MI MK= + + ?

A. គ78ពp' @មយ<នប 2< gQ1? /0យបJ; កK <នងLងមយ<ន gQ 1

4r =

ផ 'កBង/kងន$9ពp' @ ?

''''(((())))&&&&

វ ទ១៦

. គ78ក នម 2

1 1 1

21 1 2

x x xP

x x x

− += − − + −

.a P .b ក x QមV&78 2P

x> ?

. គ78ម& 2 2( 2) 3 4 0m x mx m− − − + − = ( mC!"#" ម")?

.a /0យបJ; កK ម&<នWព& ផ)ង*+ ច គបប m ?

.b ក m QមV&78ផ ធIបeងWBងព&បម&<ន.ច gQ 2 ?



21 -. i Qបងក$f . ន គ78ប ( )d <នម& 2 ( 1) 2kx k y+ − = ( k C!"#" ម")

.a ច ប k ទQបប ( )d /បនNងប 3y x= ? ព ច$គ@ម'

ប ងcQ .យ ( )d នNងf3ក)Ox ?

.b ក k QមV&78ប9ងព&គ'យ lប ( )d គS9ងបផ'?

5. គ78ម'កង xOy ន2ងព&ចន'ច ,A B i QជkងOx ( Ad2 iច O ន2ង B ), ចន'ច M មយd2

i QជkងOy ? ងLង ( )T <នfងcផj2 AB កនប ,MA MB Iង*+ ងចន'ចទ&ព&គS ,C E ?

កន^ប OE ងLង ( )T ងចន'ចទ&ព&គS F ?

.a /0យបJ; កKបនចន'ច , , ,O A E M d2 i QងLងមយ, ច$ក@ផj2បងLង ?

.b ច' @OCFM Cច' @fL&? fL&?

.c /0យបJ; កទកទនង 2. .OE OF BE BM OB+ =

.d ក@ទ&Hងបចន'ច M QមV&78ច' @OCFM Cប r$ម? កទកទនងeង

OA ន2ង AB QមV&78ច' @ នCច' @ gQ? ''''(((())))&&&&

វ ទ១៧

. គ78ក នម 2 2 2( 1)

1 1

x x x x xP

x x x x

+ −= − ++

−+ −

.a P .b ក$ចបផ'ប P ?

.c ក x QមV&78ក នម 2 xQ

P= <នCចននគ?

. ក+'ងប^ងក$f . នOxy , គ78!" #"ប$ 2( ) : y xP = − ន2ងប ( )d Hមចន'ច (0; 1)I − <ន

មគ'@!បទ2 k ?

.a ម&ប ( )d ? /0យបJ; កK គប k , ( )d ង ( )P ងព&ចន'ច ផ)ង

*+ A ន2ង B ?

.b HងRប'&ប A ន2ង B .យ 1x ន2ង 2x , /0យK 1 2 | 2| xx − ≥ ?

.c /0យបJ; កK & @OAB C& @កង?

-. គ78fងc 2AB a= <នចន'ចក O ? i Qកក បងមយ<នពន



22 AB គងកន^ងLង ( )O fងcផj2 AB ន2ងកន^ងLង ( ')O fងcផj2 AO? i Q ( ')O xចន'ច M

( ផ)ងព& Aន2ងO ), កន^ប OM ( )O ងC , Hង D Cចន'ចបពLទ&ព&បCAនNង ( ')O ?

.a /0យបJ; កK& @ ADM C& @ម!?

.b ប ប"ងC ប ( )O កន^ប OD ង E , ក@ទ&Hង ធIបបប EA lនNង

( )O ន2ង ( ')O ?

.c ប AM OD ង H , ងLងM Nក O& @COH ( )O ងចន'ចទ&ព&គS N ?

/0យបJ; កK ប&ចន'ច ,A M ន2ង N ងជ*+ ?

.d ងទ&Hងប M ||ME AB , ច$គ@ប9ងfងcOM Cfន'គមនhន a ?

''''(((())))&&&&

វ ទ១៨

. គ78ព&ចននគធមgC2 a ន2ងb , /0យបJ; កK បQ 2 2a b+ ចក.ចនNង3 a ន2ងb ក_ចក

.ចនNង3?

. គ78ម& 2 21 1

1x xm

+

+ = ?

.a ./0យម&ច 15m =

.b ក m QមV&78ម&<ន Nបន ផ)ង*+ ?

-. គ78 ,x y Cប ចននគ9 2ជ;<ន ផ =ង> 2003x y+ = ?

ក$ចបផ', ធបផ'បក នម 2 2)( ( )y y yx xP x + += + ?

5. គ78ងLង ( )O ខ) BC iនNង ( 2 )BC R< ន2ងចន'ច A i Qធ+$ធ BC ( Aម2នDនNង ,B C

ចន'ច iចក បធ+$)? Hង H Cច កងប A l Q ,BC E ន2ង F Iង*+ C

ច កងប B ន2ងC l Qfងcផj2 'AA ?

.a /0យបJ; កK HE កងនNង AC ?

.b /0យបJ; កK & @ HEF <ន#ង$ច*+ នNង& @ ABC ?

.c ព Aច3, /0យបJ; កK ផj2ងLងM Nក O& @ HEF iនNង?

A. គ xបនចន'ច iផ+កងក+'ងច' @មយ QមV&ម*+ នNងកព$Bងបន យQង!ន8ចន'ច, ក+'ង



23 ម2ន<នប&ចន'ចងជ ទ? NងKផ កbបច' @ gQ1? /0យបJ; កK <ន

& @មយ<នកព$Bងប& យក ចញព&8 ចន'ច!ន78 <នផ កbម2ន Qព&

1

10? .យ ធLQ78កT@ទ$ lន ន គ78ពp' @ !" ង<នចននជkង gQ n ន2ង

<ន n ចន'ច iផ+កងក+'ងពp' @ ? ''''(((())))&&&&

វ ទ១៩

. ./0យម& 22 2 4 2x x x− + + + − =

. ./0យបព3ន4ម& 3 3 2

4 4

1

4 4

y xy

x y x y

x + − =

+ = +

-. \ប<K ,x y Cប ចននម2នf9 2ជ;<ន បបDន2ង ផ =ង> កTខ@U 2 2 1x y+ = ?

.a /0យបJ; កK 1 2x y≤ + ≤

.b កធបផ' ន2ង$ចបផ'បក នម 1 2 1 2P x y= + + +

5. គ78 ABCD ន2ងចន'ច P d2 iក+'ង& @ ABC ?

.a \ប<K 0135BPC = ? /0យបJ; កK 2 2 22 PC APB P+ = ?

.b ប ប AP ន2ងCP ប ជkង BC ន2ង BA Hម.បងចន'ច M ន2ង N ? HងQ

Cចន'ចឆ^'នNង B ធIបនNងចន'ចក បfងc MN ? /0យបJ; កK ព P បបDក+'ង

& @ ABC , ប PQ ងHម D Cន2ចj?

A. a . គ78ពp' @ ( )H <ន14កព$? /0យបJ; កK ក+'ង6កព$ក_ .យប ( )H ង

<ន 4កព$Cកព$បច' @+ យមយ?

.b Q<នបyគម2ន!ន m

nធCង1 ចននប"'g ន ( ,m n Cប ចននគ9 2ជ;<ន) ផ =ង>

កTខ@U 13860mn = ? ''''(((())))&&&&



24 វ ទ២០

. ./0យបព3ន4ម& 2 2

3

2

x y xy

x y+

+ + =

=

. ./0យម& 4 3 2 3 2 11x x x+ + + − = ?

-. កWCចននគបម& 2 217 34 51( ) 1740y xy x yx + + + + = ?

5. គ78ងLងព& ( )), (O O′ d2 i O*+ <នផj2 Iង*+ គS O ន2ង 'O ? ប ប" Oម*+ មយប

ងLងBងព& ប"នNង ( )O ង A ន2ង ( ')O ង B ? ប ប"ក+'ងម*+ មយបងLងBងព& AB

ង I , ប"នNង ( )O ងC ន2ង ( ')O ង D ? NងKC d2 iច I ន2ង D ?

.a ប ,OC O B′ *+ ង M ? /0យបJ; កK 'OM O M>

.b Hង ( )S CងLងHម , ,A C B pQយ ( ')S CងLងHម , ,A D B ? ប CD ( )S ង

E ផ)ងព& C ន2ង ( ')S ង F ផ)ងព& D ?

/0យបJ; កK AF កងនNង BE ?

A. \ប<K , ,x y z Cប ចនន9 2ជ;<ន បបDន2ង ផ =ង> កTខ@U 2 2 2 23z x z zx yy + + = ?

ច$កធបផ'បក នម 4

4 4 4(1 )y

zP

xz=

+ + ?

''''(((())))&&&&

វ ទ២១

. ./0យម& 3 1 2x x+ + − = ?

. ./0យបព3ន4ម& 2 2

2 2

) 15

(

(

)( ) 3

)( y

x

x

y

y

x y

x + =

− − =

+

-. ក$ចបផ'បក នម3 3 2 2) ((

( 1)

)

( 1)

y x yxP

x y

+ − +=− −

,ក+'ង ,x y Cប ចននព2ធCង1?

5. គ78 ABCD ន2ងចន'ច M d2 iក+'ងងLង?

.a កគបប ទ&Hងបចន'ច M QមV&78 MAB MBC MCD MDA= = = ?

.b ព2ន28ចន'ច M d2 i QfងcទZង AC ? Hង N C ជQងកពទ~កព& M ច' l Q



25 ជkង AB pQយO Cចន'ចក បfងc AM ? /0យបJ; កK ផ ធIប OB

CN <នម2ន

បបD ព M ច3 i QfងcទZង AC ?

.c .យ\ប<K M d2 i QfងcទZង AC , ព2ន28ប ងLង 1( )S ន2ង 2( )S <នfងcផj2 Iង

*+ គS AM ន2ងCN ? ប ប"ម*+ ព&ប 1( )S ន2ង 2( )S ប"នNង 2( )S ង P ន2ងQ ?

/0យបJ; កK ប PQ ប"នNង 1( )S ?

A. ច ចននព2 a , គក@ន2យមន3យផ+កគបចនន a KCចននគធបផ'ម2ន Qព& a

ន2ងHង .យ [ ]a ? L'&ប ចនន 0 1 2, , , ... , , ...nx x xx Z9!នក@ .យ$បមន

1

2 2n

n nx

+ −

= ? K Qក+'ង 200ចនន 0 1 2 199, , , ...,xx x x <នប"'g នចននខ'ព&

0? ( គNងK 1,41 2 1,42< < ) ?

''''(((())))&&&&

វ ទ២២

. .a ./0យម& 2| 1| 1| 1| | 1|x xx + −+ = + − ?

.b កWCចននគបបព3ន4 2 2

3 3

2 2 72

8

x xy y x

x y

y

x y

− − + − =

+ + − =

. គ78ប ចននព29 2ជ;<ន a ន2ងb ផ =ង> 100 100 101 101 102 102ba a b a b+ = + = + ?

ច$គ@បក នម 2004 2004bP a += ?

-. គ78& @ ABC <ន 4, 53 ,AB c BC cm Cm A cm= == ? កព, ប ព', ម`នប

& @គ$ ចញព& B ចក& @Cបនផ+ក? ច$គ@កbផ នផ+កន&មយu?

5. គ78ច' @ ABCD M Nកក+'ងងLង <នfងcទZងBងព& AC ន2ង BD កង*+ ង H ( H ម2នD

*+ នNងផj2បងLង)? Hង M ន2ង N Iង*+ C ជQងប កពទ~កព& H ច' l Qប

ប AB ន2ង ,BC P ន2ងQ Iង*+ Cចន'ចបពLបប MH ន2ងCD ន2ងប NH ន2ង AD ?

/0យបJ; កK ប PQ /បនNងប AC pQយបនចន'ច , , ,M N P Q d2 i QងLងមយ.

A. ក$ចបផ'បក នម ( ) ( )10 10 216 16 2 22 2

1 11

2 4

x yQ

xy x

yyx

= + + − +

+ ?



26

''''(((())))&&&&

វ ទ២៣

. ./0យម& ( ) ( )2 7 105 2 1 3x x x x++ ++ − + =

. ./0យបព3ន4ម& 3 2

3 2

3 5

6 7

2 x y

y y

x

x

+ =

+ =

?

-. កប ចននគ ,x y ផ =ង> មyព 2 2 22 1 2x x y x y xy y+ + + = + + ?

5. គ78កក ងLង ( )O <នកTខ@U 2AB R= ( R Cប9ង គ78)? ,M N Cចន'ចព&

i Qកក ងLង ( )O q"ង78 M d2 i Qធ+$ AN pQយផប$កប ប9ងព& ,A B

lប MN gQ 3R ?

.a គ@ប9ងfងc MN Cfន'គមនhន R

.b Hងចន'ចបពLបខ) AN ន2ង BM .យ I , ចន'ចបពLបប ប AM ន2ង BN

.យ K ? /0យបJ; កK បនចន'ច , , ,M N I K d2 i QងLងមយ? គ@បងLង

Cfន'គមនhន R ?

.c កធបផ'បផ កb& @ KAB Cfន'គមនhន R ព ,M N បបD i

ផ =ង> \ប<បបoន?

A. \ប<K , ,x y z Cប ចននព2 ផ =ង> កTខ@U 6x y z xy yz zx+ + + + + = ?

/0យបJ; កK 2 2 2 3yx z+ + ≥ ? ''''(((())))&&&&



27 វ ទ២៤

. គ78ម& 4 22 4 0mxx + + = ? កប!" #" ម" m QមV&78ម&<នW 4 ផ)ង*+

1 2 3 4, , ,xx x x ផ =ង> 4 4 4 41 2 3 4 32x x xx + + =+ ?

. ./0យបព3ន4ម& 2 2

2 2

5 02 2

4 0

xy y x y

x y x y

x + − − + + =

+ + + − =

-. កប ចននគ ,x y ផ =ង> មyព 2 2 2 2xy yx x y+ + = ?

5. ងLងផj2O M Nកក+'ង& @ ABC ប"នNងជkង , ,BC CA AB Hម.បង , ,D E F ? ងLងផj2 'O

M Nកក+'ងម' BAC ប& @ ABC ប"នNង BC ន2ងផ+កបយបជkង ,AB AC Iង*+ ង

ប ចន'ច , ,P M N ?

.a /0យបJ; កK BP CD= ?

.b i Qប MN គ xប ចន'ច I ន2ង K q"ង78 || , ||BICK AB AC ?

/0យបJ; កK ប ច' @ BICE ន2ង BKCF Cប ប r$ម?

.c Hង ( )S CងLងHមប&ចន'ច , ,I K P ? /0យបJ; កK ( )S ប"នNងប

ប , ,BC BI CK ?

A. ចននព2 x បបDន2ង ផ =ង> កTខ@U 2 2(3 ) 5x x+ − ≥ ?

ក$ចបផ' បក នម 4 4 2 2(3 ) 6 (3 )P x x x x+ − + −= ? ''''(((())))&&&&

វ ទ២៥

. .a ./0យម& 2 23 33 22 2x xx x x x+ + = + +−− + − ?

.b កWCចននគបម& 9x xy y+ + = ?

. ./0យបព3ន4ម& 2 2

3 3

1

3

y xy

x x y

x

y

+ =

+ = +

+

-. គ78បចននគ9 2ជ;<ន ..1,2, .,10? Iបបចនន Hម បIបមយ lCជ កមយ? ប$ក

ចននន&មយuនNង ខ.បបeក+'ងជ ក , គ!នបផប$ក? /0យបJ; កK ក+'ងប



28 ផប$ក <នq"ង2ចព&ផប$ក<ន ខច'ង$ច*+ ?

5. ក$ចបផ'បក នម 4 9 16a b cP

b c a a c b a b c= + +

+ − + − + −, ក+'ង , ,a b c Cប9ង

ជkងBងប&ប& @មយ?

A. ងLង ( )C ផj2 I M Nកក+'ង& @ ABC ប"នNងប ជkង , ,BC CA AB Hម.បងប ចន'ច

', ', 'A B C ?

.a Hងប ចន'បពLបងLង ( )C នNងប fងc , ,IA IB IC Iង*+ .យ , ,M N P ?

/0យបJ; កK ប ប ' , ,B CA NM P′ ′ បពL*+ ងចន'ចមយ?

.b បយfងc AI ងLងM Nក O& @ ABC ង D ( ផ)ងព& A ) ?

/0យបJ; កK .2

IB ICr

ID= , ក+'ង r CបងLង ( )C ?

''''(((())))&&&&

វ ទ២៦

. .a ./0យម& 8 5 5x x+ + − = ?

.b ./0យបព3ន4ម& ( 1)( 1) 8

( 1) ( 1) 17

x y

x x y y xy

+ + = + + + + =

?

. គ78 , ,a b c Cប9ងជkងBងប&ប& @មយ? /0យបJ; កKម&

2 ( ) 0a b c x ab bx c ca+ + + + + + = *g នW?

-. កគបប ចននគ n QមV&78 2 2002n + C !ក?

5. ក$ចបផ'បក នម 1 1 1

1 1 1P

xy yz zx= + +

+ + +, ក+'ង , ,x y z Cប ចនន9 2ជ;<ន

បបD ផ =ង> កTខ@U 2 2 2 3yx z+ + ≤ ?

A. គ78 ,ABCD M Cចន'ចបបD i Qជkង BC ( M ម2នDនNង B ) pQយ N Cចន'ចប

បD i QជkងCD ( N ម2នDនNង D ) q"ង78 MAN MAB NAD= + ?

.a BD AN ន2ង AM Iង*+ ង P ន2ងQ ? /0យបJ; កK !ចន'ច , , , ,P Q M C N d2 i

QងLងមយ?



29 .b /0យបJ; កK ប MN បបD ងប"នNងងLងនNងមយ ព M ន2ង N បបD?

.c Hងកbផ & @ APQ .យ 1S pQយកbផ ច' @ PQMN .យ 2S ?

/0យបJ; កK ផ ធIប 1

2

S

S ម2នបបD ព M ន2ង N បបD?

''''(((())))&&&&

វ ទ២៧

. .a ក m QមV&78!"#"ប$ 2 2) :( 2y x mP mx= + − + ប"នNងប :( ) yd x m= + ?

.b \ប<Kម& 2 2(2 1) 1 0m x mmx + + + − = <នWព& ផ)ង*+ 1 2,x x ?

ច$គ@ផប$ក S ន2ងផគ'@ P បប W, កទកទនងeង S ន2ង P .យ*g ន m?

. .a ./0យបព3ន4ម& 3 3

1

21

x y

x y+ =

+ = −

−

.b ./0យម& |0 |3 22 32 x x− − = − ?

-. .a ក k QមV&78ពp'o 4 222( 2) 51xf kx x x− + += ចក.ចនNងពp'o 2( 3)g x x x−=

(<នន3យK <នពp'o ( )h x q"ង78 ( ) ( ). ( )f x h x g x= )? ./0យម& ( ) 0f x =

ច k ទQបក!ន?

.b ក នម 2 2 2 2

2 2 2 2

3 3:

2 4

2 23

ab b ab b

ab b ab b

a aR

a a

− − − ++ − + −

= ?

5. គ78& @ ABC កងងកព$ A pQយ 075ABC = ? ម`ទ3ប BC ប ប

,BC AC ន2ង AB Iង*+ ងប ចន'ច ,M N ន2ង P ?

.a គ@ AN

NC

.b Hង I Cចន'ចបពLបប ប BN ន2ង PC ? ប=ប ធIប MAន2ង MI ?

.c xចន'ចQ i Qប កងនNងបង ( )ABC ង B q"ង78 BQ BI= , ទ~ក QJ កងនNង

,PC J d2 i Q PC ? គ@ QJ

AB ?

A. ទ&កkងព& A ន2ង B iចmយព&*+ 48km , ខ8បកព& A l B .យ Vនម2នបបD 6 /km h ?

i <" ង8h , មន')<+ កជ2ម"$$ព& A l B , ឈប#កf30mn ចrបមក A9 2ញ, *rប



30 មក A9 2ញ i <"ង10 50h mn ? Vនបម"$$Z9!នប$កថម SកនNង Vនបខ8,

R/3យ l Q ពម"$$ជ2/ប SបJj ខ8? ច$គ@ Vន> បម"$$ ( Vនម"$$ ព

Vនខ8 gQ0 ) ?

''''(((())))&&&&

វ ទ២៨

. .a ./0យម& 4 3 2x x+ − = ?

.b ក@ m QមV&78ម& 2 ( 1) 2 0mx m x− + + = <នWព& ផ)ង*+ 1 2,x x q"ង78

1 2,x x Cប9ងជkងកងប& @កងមយ<នf'&ប"$ ន' gQ5 ?

. គ78 , ,a b c Cប ចននព29 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )b c a b b ca c a+ + = − + − + − ?

.a គ@ a b c+ + .យNងK 9ab bc ca+ + = ?

.b /0យបJ; កK បQ ,c a c b≥ ≥ c a b≥ + ?

-. ក+'ង ពមយ, ម"$$ AX Mប ផQម ចញ @Q ព&ទ&កkង A lទ&កkង B pQយ<នម"$ BX Mប

ផQម ចញ @Q ព&ទ&កkង B lទ&កkង A? ពក* ធLQ @Q .យ Vន> ម2នបបD

pQយជប*+ Qកប$ងងចន'ចមយ iចmយព& A ប9ង 20km ? ម"$$Bងព&, យ ព l

B ន2ង AHម.ប, ក_rបមក9 2ញyម pQយពក*ជប*+ Qកទ&ព&ងចន'ចC ? NងKយ

ពម"$$ BX lC gQនNង10ទ& pQយយ ពម"$$Bងព&ជប*+ Bងព& Qក

gQនNង1h , ច$គ@ Vនបម"$$ន&មយ?

5. Hង ,I O Iង*+ Cផj2ងLងM Nកក+'ង ន2ងងLងM Nក O ( )C ប& @/Dច ABC ? កនប

AI ងLង ( )C ង K ( K A≠ ) pQយ J Cចន'ចឆ^'នNង I ធIបនNង K ? Hង P ន2ងQ Iង*+ C

ប ចន'ចឆ^'*+ ប I ន2ងO ធIបនNង BC ?

.a /0យបJ; កK & @ IBJ កងង B

.b គ@ម' BAC បQ Q d2 i Q ( )C

.c /0យបJ; កK បQQ d2 i Q ( )C P d2 i Q ( )C ?

A. /0យបJ; កK ព&8ចននគ9 2ជ;<នក_ .យម2នធCង 20 , គងក!នប&ចនន , ,x y z



31 Cប9ងជkងBងប&ប& @មយ?

''''(((())))&&&&

វ ទ២៩

. .a ./0យបព3ន4ម& 5 1

5 1

x y

y x

+ + =

+ + = ?

.b គ78 ,x y Cប ចននព2 ផ =ង> កTខ@U 1,| | | | 1x y< < ?

/0យបJ; កK | || |1

xy

xyx

y++ ≥+

?

.c កគបប ចននគ 0m ≥ QមV&78ម& 2 2( 1) 0m xx m− − + = <នW'ទ4Cចនន

គ?

. .a កគបប ចននគ9 2ជ;<ន n QមV&78ពp'o 3 1 2 1n nx x+ + + ចក.ចនNង 2 1x x+ + ?

.b ក@ក+'ងប<@92ធ&ចក 8 6 200433 3A + += នNង91 ?

-. គ78& @ម3ង) ABC ម2នចន'ច P មយd2 iក+'ង& @? ទ~ក 1 1 1, ,PBP PCA កងនNង

, ,BC CA AB Hម.ប? កន'ចន'ច ប ចន'ច P QមV&78& @ 1 1 1A B C ម! ?

5. គ78& @/Dច ABC M Nកក+'ងងLង ( )C pQយ M Cចន'ចមយបបD i Qធ+$$ច BC ? N

Cចន'ចឆ^'ប M ធIបនNងចន'ចក I ប AB ?

.a /0យបJ; កK f$ចង K ប& @ NAB d2 i QងLងនNងមយ?

.b \ប<K NK AB ង D , ទ~ក KE កងនNង BC ? Hង H Cf$ងប& @

ABC ? /0យបJ; កK DE Hមចន'ចក J ប HK ?

A. .a ក+'ងបក$នmL ន!Bមយ <ន k កkមច$ម, បក9 2ជ'មង ( 2កkមក_ .យ

បកCមយ*+ មយបក ទ) ? កkមឈ+!ន3ព2ន ', កkម gQ!ន1ព2ន ' pQយកkមMញម2ន!ន

ព2ន ' ទ? បtj បបក, គ ឃQញK ចននបកឈ+-Mញ gQព&ងនបក gQ*+ pQយ

ផប$កព2ន 'បប កkម gQនNង 176? ច$ក k ?

.b កគបប ចននគ9 2ជ;<ន A <ន ខព&ខ ង QមV&78 A ផ =ង> កTខ@U ព&គក+'ងបន

កTខ@U ង ម



32 )i ACពp'គ'@ន5 )ii ACពp'គ'@ន 21

)iii 7A + C !ក )iv 20A − C !ក?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣០

. គ78ម& 2 22 3 3 0mx mm mx + + + − = (1)

.a ក@ m QមV&78ម& (1)*g នW

.b ក@ m QមV&78ម& (1)<នWព&ផ)ង*+ 1 2,x x ផ =ង> 1 2 | 1| xx − = ?

. .a ./0យម& ( 2) ( 5) ( 3)x x x x x x− + − = +

.b ./0យបព3ន4ម& 2 2 2 2

2 2 2 2

)( ) 4( 14y x y

x y x y y

x + − =

+ − − =

-. គ78& @ ABC <ន 045A = ? Hង M ន2ង N Iង*+ C ជQងកពទ~កព& B ន2ងC

ប& @ ABC ?

.a គ@ផ ធIប MN

BC

.b HងO Cផj2ងLងM Nក O& @ ABC ? /0យបJ; កK OA MN⊥ ?

5. គ78ព&#"ម& .S ABCD <ន! ABCD C <នជkង gQ a , បងង SAB C& @ម3ង),

ប^ងង SCD C& @កងម!ង S ? Hង ,I J Iង*+ Cចន'ចក ប AB

ន2ងCD ?

.a គ@កbផ & @ SIJ Cfន'គមនhន a ?

.b Hង H C ជQងកពគ$ ចញព& S ប& @ SIJ ? /0យបJ; កK SH AC⊥ ?

A. K+ កទ&9A <ន2)28ក !នច' g បrងច$K+ កជញគ@2 , $ប, គ&ម&ប0~ ឆ+Qម,

ក+'ង ម2ន<ន2) ជQ QបrងK+ ក$ប S ជQ QបrងK+ កគ&ម& ទ?

<នq" ង2ច 2)3ក ជQ Qបrងច$Bងប&K+ ក គ@2 , $ប, គ&ម&? ចនន2)

ជQ Qបrងច$K+ កគ@2 ន2ង$ប gQចនន2) ជQ Qបrងច$K+ កគ@2 ?

<ន2)6ក ជQ Qបrងច$K+ កគ@2 ន2ងគ&ម&? ចនន2)បrងច$K+ កគ&ម&



33 ន2ងគ@2 gQ5ង ចនន2)បrងច$Bងប&K+ ក គ@2 , $ប, គ&ម&?

Qចនន2) ជQ Qបrងច$K+ កន&មយu gQប"'g ន?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣១

. គ78ម& 1 (1)x x m− + = , ក+'ង m C!" #" ម?

.a ./0យម& (1) ព 1m = ?

.b កគប m QមV&78ម& (1)<នWព& ផ)ង*+ ?

. គ78 , ,x y z Cប ចននគ ផ =ង> ម& 2 2 2x y z+ = ?

.a /0យបJ; កK ក+'ងព&ចនន ,x y <នq"ង2ចមយចក.ចនNង3

.b /0យបJ; កK ផគ'@ xy ចក.ចនNង12 ?

-. គ78ងLង ( )C fងcផj2 2BC R= ន2ងចន'ច AបបD i Q ( )C ( Aម2នDនNង ,B C )? ប ព'

ក+'ងបម' A ន& @ ABC ងLងងចន'ច K ( K A≠ )? ទ~ក AH កងនNង BC ?

.a Hង AH x= ? គ@ផ កb S ប& @ AHK Cfន'គមនhន R ន2ង x?

ក x QមV&78 S <នធបផ'?

.b /0យបJ; កK ព A បបD, ផប$ក 2 2AH HK+ Cទpមយ ថCន2ចj? គ@ម' B

ប& @ ABC .យNងK 3

5

AH

HK= ?

5. គ78ប ចននព2 , ,a b c ផ =ង> កTខ@U 1 1 1a b c

b c a+ = + = + ?

.a 78 1a = , ច$ក ,b c ?

.b /0យបJ; កK បQ , ,a b c ខ'*+ ព&មយ lមយ 2 2 2 1a b c = ?

.c /0យបJ; កK បQ , ,a b c 'ទ49 2ជ;<ន a b c= = ?

A. ក+'ងបក!Bមយ<ន N កkម!នច$មបកHមកT@9 2ជ'មយង (ព&កkមក_

.យ'ទ4ជប*+ មងគ)? យបក$មងu, កkមឈ+!នប&ព2ន ', កkមMញម2ន!នព2ន ' ទ

pQយ បQបក!នទ4ផ gQ*+ កkមន&មយu!នមយព2ន '$ច*+ ? ប កkមZ9!ន Iប

CជផកHមព2ន ''ប? ក+'ងក@& កkមមយចនន<នព2ន ''ប gQ*+ ប កkម នZ9



34 !ន IបHមប ន )នhង? បtj បបក គ ឃQញKម2ន<នបកបtj ប

.យផ ធIប gQ, ប កkម!ន Iបក+'ង.ប ខមយ, ខព&, ខប& <នព2ន ''ប

Iង*+ គS 15,12,12ន2ងគបប កkម IបCបនប បមក ទI<នព2ន ''បខ'*+ ព&មយ lមយ?

.a /0យបJ; កK 7N ≥

.b ក N ន2ងព2ន ''បបកkមន&មយ!នច$មបក?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣២

. គ78ម& 2 6 11 02 1 mx x m + −+ − =− ?

.a ./0យម& ព 2m = ?

.b /0យបJ; កK ម&<នWច គប m ?

. គ78បព3ន4ម& 3 2 2 3( 2 | || | ) 1

.

2

|

|

6|

|m x x y xy yx y m

x y

+ + + + + = −= −

.a ./0យបព3ន4ម& ព 0m = ?

.b ./0យបព3ន4ម& ព 1m = ?

-. Hង ,M N Iង*+ Cចន'ចក ប ជkង ,AB CD បច' @កង ABCD ? NងK ងLង

M Nក Oច' @កង ABCD <នfងcផj2 gQ 8 2 3+ ន2ង<នចន'ច I មយd2 i Qfងc

MN q"ង78 0 045 , 30DAI IDA= = ?

.a គ@កbផ ច' @កង ABCD ?

.b Hង ,K H Iង*+ Cទ&បជ'ទងនបប & @ AID ន2ង BIC ?

គ@ កbផ & @ NKH ?

5. & @ ABC <ន 030ABC = ន2ង 015ACB = ? HងO Cផj2ងLងM Nក O& @ ABC

pQយ , , ,M N P I Iង*+ Cចន'ចក ប , , ,BC CA AB OC ?

.a គ@PON ? /0យK , ,A M I ងជ*+ ?

.b /0យK P Cf$ងប& @OMN ?

A. .a កគបចននព2 a ន2ងb QមV&78 | 2 | | 5 |x a bx= ++ ច គបចននព2 x ?



35 .b គ78 , , , , ,a b c d e f Cប ចននព2 ផ =ង> កTខ@U | | | || | cx d xb ex fa + + = ++ ,

ច គបចននព2 x ? NងK ,a c ន2ងe ខ'ព& 0? /0យបJ; កK ad bc= ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣៣

. .a កចននគ9 2ជ;<ន a $ចបផ' QមV&78 a ចក.ចនNង6 pQយ1000.a Cចនន !ក?

.b កចននគ9 2ជ;<នb $ចបផ' QមV&78 ( 1)b − ម2នមនCពp'គ'@ន9 pQយb Cពp'គ'@ន

បនចននបzម*+ pQយ 2002.b C !ក?

. គ78 ,x y Cប ចននព2 1x

y+ ន2ង 1

yx

+ 'ទ4Cប ចននគ?

.a /0យបJ; កK 2 22 2

1x

xy

y+ Cចននគ

.b កគបប ចននគ9 2ជ;<ន n QមV&78 1n nn n

xx

yy

+ Cចននគ?

-. .a គ78ប ចនន9 2ជ;<ន ,a b ផ =ង> កTខ@U 1ab = ? ក$ចបផ'បក នម

2 2( )( )4

1A a b aa

bb

+ += + ++

?

.b គ78 ,m n Cចននគ ផ =ង> កTខ@U 1 1 1

2 3m n+ = ? កធបផ'ប .B m n= ?

5. គ78ងLងព& 1( )C ន2ង 2( )C <នផj2 Iង*+ 1 2,O O ន2ង Iង*+ 1 2,R R , ងLងBងព& នប" OC

មយ*+ ង A? ព&ចន'ច ,B C Hម.បច3 i Q 1( )C ន2ង 2( )C q"ង78ម' BAC កង?

.a /0យបJ; កK ចន'ចក M ប BC ងd2 i QងLងនNងមយ?

.b ទ~ក AH កងនNង BC ? កន' ប ចន'ច H ? /0យបJ; កKប9ងfងc AH

ម2នធCង 1 2

1 2

2R

R

R

R+ ?

.c /0យបJ; កK rQង9 2ញ$ចន a ន2ងb ក+'ងក@& 1( )C ន2ង 2( )C ប"ក+'ងង A?

A. ./0យបព3ន4ម& 2 2

1 3 5

8

1 3

0

5x x x y y y

x y yx

+ + + +

+ =

+ = − + − + −

+ +

?

''''(((())))&&&&



36 វ ទ៣៤

. .a ./0យ92ម& 1 2 1x x+ > − ?

.b ./0យបព3ន4ម&

1 7

2

1 7

3

xy

yx

+ = + =

. គ78 , ,a b c Cប ចននព2 ផ)ង*+ q"ង78ម&ង ម

2 1 0axx + + = ន2ង 2 0bxx c+ + = <នWម*+ , ពមBងម& 2 0x x a+ + = ន2ង

2 0cxx b+ + = ក_<នWម*+ ? ច$កផប$ក a b c+ + ?

-. .a i Qប ជkង AB ន2ងCD ប ABCD Iង*+ គ xប ចន'ច ,M N q"ង78

3

ABAM CN= = ? Hង K Cចន'ចបពLប AN ន2ង DM ?

/0យបJ; កK f$ងប& @ ADK d2 i Qជkង BC ?

.b គ78 ABCD <នចន'ចបពLបfងcទZងBងព&គSO ? ប d មយកងនNងបង

( )ABCD ង O ? xចន'ច S មយ i Q d ? /0យបJ; កK (( ))AC SBD⊥ pQយ

( ( ))SAC SBD⊥ ?

5. គ78ច' @ !" ង ABCD <ន AB កងនNងCD pQយ 13,2, 8, 5BC CD DAAB = = = = ?

.a ប ( )BA ប ( )DC ង E ? ច$គ@ AE ?

.b គ@កbផ ច' @ ABCD ?

A. ក+'ងបក ងf'កមយ <ន<ជ2ក8កច$មបក, បក9 2ជ'មង, ឈ+!ន1ព2ន ', gQ

!ន 1

2ព2ន ', Mញ!ន0ព2ន '? NងK យ ពបកBងf!នបtj ប គS<ជ2កBង8ក

ទទ!នព2ន 'ខ'u*+ pQយ<ជ2ក!ន ខព&<នចននព2ន ' gQព2ន ''បប<ជ2ក 4ក

!នចK+ កច'ង យ? Q ប$ងeង<ជ2កចK+ ក ខបន ន2ង<ជ2កច

K+ ក ខ!!នបtj ប .យទ4ផ$ច មច?

''''(((())))&&&&



37 វ ទ៣៥

. .a គ78ចននគម2នf9 2ជ;<ន A? ច$ក@ A .យNងKក+'ង @Q Bងប& , ,P Q R ង ម

ន <ន @Q ព2ព& ន2ង @Q ម2នព2មយ

.d 1:" 5P A + Cចនន !ក"

.e ":Q ខច'ងប A គS ខ1"

.f : 8" 3R A − Cចនន !ក" ?

.b Q គRច Iប!ន S ទ ន$9ប ចនន0,1,2,..., 9 i Qប កព$បពp' @ន2យ3មយ

<ន10កព$ q"ង78ផងនព&ចនន i Qព&កព$ iកV*+ ក_ .យ <នមយ

ក+'ងប 3, 4, 5,3,4− − − S 5?

. ./0យប បព3ន4ម&

.a 3

2(2 )

3(3 2 )

xy x y

yz y z

zx z x

= + = + = +

.b

3

3

3

3

12(

( ) 12

( ) 1

(

)

2

) 12

t

y z t x

z t x y

t x z

x y

z

z =

+ + =

+ + =

+ + =

+ +

-. .a គ78 4ចននគ9 2ជ;<ន 1 2 3 4, , ,aa a a q"ង78 1 ka k≤ ≤ ច គប 1,2,3,4k = ន2ងផប$ក

1 2 3 4a aS a a+ + += Cចននគ$មយ? /0យបJ; កK <នq"ង2ចមយក+'ងប ច មចនន

<ន#ង 1 2 3 4a a a a± ± ± ± <ន gQ0 ?

.b គ78 1000ចននគ9 2ជ;<ន 1 2 1000, , ... ,aa a q"ង78 1 ka k≤ ≤ ច គប

2, ... , 001, 10k = pQយផប$ក 1 2 1000...a aS a + + += Cចននគ$?

Qក+'ងប ចនន<ន#ង 1 2 1000...a a a± ± ± ± <នចនន gQ 0 S ទ? ច$បក/0យ?

5. .a គ78ម'កង xAy ន2ងងLង ( )Ω ផj2O ប"នNង Ax ន2ង Ay Iង*+ ង P ន2ងQ ? d Cប ប"

បបDប ( )Ω ? Hង , ,a p q Iង*+ Cប ប9ងព& , ,A P Q lប d ?

/0យបJ; កK ព d បបDគSផ ធIប2a

pq ម2នបបD ទ?

.b Qន+2. នង Q iNមZ9 S ទ បQម' xAy ម2នមនCម'កង?



38 A. .a គ78 , ,a b c C3ចននម2នf9 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U 2 2 2 2( ) (1)b c ab bc caa + + ≤ + + ?

/0យបJ; ក9 2មyព ( ) 2( (2) )a b c ab bc ca+ +≤+ +

Qព& (2)RចBញ!ន (1) 9 2ញ S ទ? fL&?

.b គ78 , ,a b c Cប&ចននម2នf9 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U (1)ន2ង , ,p q r Cប&ចននព2 ផ =ង>

កTខ@U 0p q r+ + = ?

/0យបJ; ក9 2មyព 0apq bqr crp+ ≤+ ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣៦

. គ78ម& 2 1 0pxx + + = <នWព& ផ)ង*+ 1 2,a a ន2ងម& 2 1 0qxx + + = <នWព&

ផ)ង*+ 1 2,b b ? /0យបJ; កK 2 21 1 2 1 2 21 2)( )( )( )( b a b a b a b p qa − − + + = − ?

. គ78ប ចនន , , , , ,a b c x y z ផ =ង> ,, , 0y ax cz zx by cz x y zax by= + = += + + ≠+ ?

/0យបJ; កK 1 1 12

1 1 1a b c+ + =

+ + + ?

-. .a ក ,x y ផ =ង> 2 25 25 8 2 2 0y xy x yx + + + − + = ?

.b គ78ប ចនន , ,x y z ផ =ង> 3 3 3 1yx z+ + = ?

/0យបJ; កK 2 2 2

2 2 22

1 1 1

x y z

x y z+ +

− −≥

− ?

5. /0យបJ; កK ម2នRច<នប ចននគ ,x y ផ =ង> ម& 3 3 1993yx − = ទ?

A. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ងងLង ( )O ( )AB AC< ? ងLងផj2 1O ប"ក+'ង

នNងងLង ( )O ង M , ប"នNងជkងBងព& ,AB AC Iង*+ ង L ន2ង K ? Hង E Cចន'ចបពLទ&

ព&ប MK នNងងLង ( )O ?

.a /0យបJ; កK ME Cកន^ប ព'បម' AMC ?

.b កនប ព' Mx បម' BMC LK ង I ? /0យបJ; កK បនចន'ច , , ,M I K C d2 i

QងLងមយ?

.c /0យបJ; កK CI Cកន^ប ព'បម' BAC ?



39 s. គ78& @ ABC <នប ព'ក+'ង AD D d2 i Qfងc BC q"ង78 BC a= ន2ង

( )D bC b a= > ? ប ប"ង A បងLងM Nក O& @ ABC ប BC ង E ?

គ@ AE Cfន'គមនhន a ន2ងb ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៣៧

. គ78ម& 4 2(3 14) (4 12)(2 ) 0m x m mx − + + + − = (<នft[2គS x )?

.a ក@ m QមV&78ម&<នWបន ផ)ង*+ ?

.b ក@ m QមV&78ផគ'@នWBងបនង Q<នធបផ'?

. ./0យម&

.a 2 22 1 1 2x x x+ − = −+ .b 2

124

62 2

1

82

9

xx x

x

−+ =+

− − ?

-. គ78 ,x y Cព&ចននព2ខ'ព& 0? /0យបJ; កK 2 2

2 234

x y x y

y xy x

+ + +

≥ ?

5. កប ចននគ ,x y 9 2ជ;<ន ផ =ង> ម& 2 2 2 2xy yx x y+ + = ?

A. គ78 ABC∆ ម!ង A M Nកក+'ងងLង ( ; )O R ? ង& @ម3ង) ACD ( D ន2ង B i

កក បង ផ)ង*+ <នពមគS AC )? Hង E Cចន'ចបពLប BD ន2ងងLង ( )O ,

Hង M Cចន'ចបពLប BD ន2ងកព AH ប& @ ABC ?

.a /0យបJ; កK MADB Cច' @MNកក+'ង?

.b គ@ ED Cfន'គមនhន R ?

s. គ78 ABC∆ ម!ង B M Nកក+'ងងLងផj2O ? i Qធ+$ AC ម2ន<នផ 'យចន'ច B គ xព&ចន'ច

M ន2ង K Hម.បគS , , ,A K M C ? ប fងc AM ន2ង BK *+ ង E , vប fងc KC

ន2ង BM *+ ង D ? /0យបJ; កK ED /បនNង AC ?

''''(((())))&&&&



40 វ ទ៣៨

. គ78ម& 2 (2 3) 3 0mx m x− + + − = (<នft[2គS x )?

.a /0យបJ; កK ម&<នWCន2ចjច គប m?

.b Hង 1 2,x x CWបម&ង Q? ក m QមV&78 1 2| |x x− <ន$ចបផ'?

គ@$ចបផ' ?

-. .a គ78 , 00x y< < ? /0យK 2 2

x y x yxy xy x y

+ +− + + = + ?

.b គ78 1 1 2 1x y a+ + + = + ? /0យបJ; កK 2x y a+ ≥ ?

5. ./0យប ម& ន2ងបព3ន4ម&

.a 4 3 24 19 106 120 0x x xx − − + − = .b 2 2

4 4 2 2

7

21

y xy

x y x y

x + + =

+ + =

A. /0យបJ; កKម& 6 5 4 3 2 30

4x x x x xx − + − + − + = *g នW?

s. គ78ព&ចន'ច ,A B d2 i QងLង ( )O ( AB ម2នHមO ) pQយ<នព&ចន'ច ,C D ច3 i Q

ធ+$ធAB q" ង78 AD /បនNង BC ( ,C D ផ)ងព& Aន2ង B pQយ AD BC> )? Hង M Cចន'ច

បពLប BD ន2ង AC ? ប ប"Bងព&បងLង ( )O ង Aន2ង D *+ ង I ?

.a /0យបJ; កK ប&ចន'ច , ,I O M ងជ*+

.b /0យបJ; កK ងLងM Nក O& @ MCD ម2នបបD?

s. ក+'ង& @ ABC ម2នមនC& @ម3ង) ន2ង<នម'Bងប&Cម'/Dច,កព AH , ម`ន BM ,

ប ព'ក+'ងCE ? ប Bងប& , ,AH BM CE *+ ប ងcQ!នC& @ PQR ?

/0យបJ; កK & @ PQR ម2នRចC& @ម3ង)?

''''(((())))&&&&



41 វ ទ៣៩

. ./0យប ម&

2. (6 7) (3 4)( 1) 6xa xx + ++ = 2. 4( 5)( 6)( 10)( 12) 3b x x x x x+ + + + = ?

. គ78 0, 0, 0yx z≥ ≥ ≥ ផ =ង> 4 2 4

3 6 2 6

x y z

x y z

+ + = + − =

ក$ចបផ' ន2ងធបផ'ប 5 6 7A x y z= − + ?

-. បបកCផគ'@កH 5 55( )( ) ( )y z zA x y x+ − + −= − ?

5. គ78ម& 2 0pxx q+ + = ?

.a /0យបJ; កK បQ 22 9 0p q− = ម&<នWព& pQយWមយ gQនNងព&ងW

មយ ទI?

.b គ78 ,p q Cប ចននគ? /0យបJ; កK បQម&<នWន2Bន គSW Z9

Cចននគ ?

A. គ78& @ម3ង) ABC <នជkង gQ a ? ព&ចន'ច ,M N Iង*+ ច3 i Qfងcព& ,AB AC

q"ង78 1AM AN

MB NC+ = ? Hង AM x= ន2ង AN y= ?

.a /0យបJ; កK 2 2 2N x xyM y= + −

.b /0យបJ; កK MN a x y= − −

.c បmn ញK MN ងប"នNងងLងM Nកក+'ង ABC∆ ?

s. គ78ម' xOy iនNង? <នព&ចន'ច ,M N Iង*+ ច3 i Qកន^ប Bងព& ,Ox Oy q"ង

78 2OM ON k+ = ( k Cចនន ថ9 2ជ;<ន)?

Q ចន'ចក I ប MN ច3 i Qប នNង?

''''(((())))&&&&



42 វ ទ៤០

. គ78 1x ន2ង 2x CWBងព&បម& 2 7 3 0xx − − = ?

.a ច$ប ងcQម&S កទ&ព&<នWBងព&គS 1 22x x− ន2ង 2 12x x− ?

.b ច$គ@បក នម 1 2 2 12 2A x xx x= +− − ?

. ./0យបព3ន4ម&

2 6

.8

x ya

xy

− = =

2

. 2( )

2( 1)

x y z

b x y z

xy z

+ =

= + = +

-. .a ./0យម& 11x x

x+ + =

.b Hង ,α βCmL ម'ក+'ងន&មយuបពp' @ន2យ3ព&<នចននជkង Iង*+ គS mន2ង n?

ក m ន2ង n បQ 5

7

αβ

= ?

5. គ78& @ ABC <នកព BD ? \ប<K ( )O CងLងមយ<នផj2O i Qfងc AC pQយ

ប"នNង ,BA BC Iង*+ ង M ន2ង N ?

.a /0យបJ; កKបនចន'ច , , ,B M D N d2 i QងLងមយ?

.b /0យបJ; កK ADM CDN= ?

A. ក+'ងបកនmL ន!Bមយ<ន10កkមច$មបក9 2ជ'មង? ក+'ងបកមងu, កkម

ឈ+!ន3ព2ន ', កkម gQ!ន1ព2ន ' ន2ងកkមMញម2ន!នព2ន '? ប កkម!នព2ន ' gQ*+ នNងZ9

!នចK+ កHមប ន )នhងមយ?

.a Hង A Cកkមមយ!នច$មបក, Qកkម A Rចទទ!នប ព2ន '?

.b \ប<Kកkម A Z9!នចK+ ក ខព& ពបtj បបក? កចននព2ន 'f2ប<,

ចននព2ន 'fបVប<កkម A Rចទទ!ន?

''''(((())))&&&&



43 វ ទ៤១

. គ78ម& 2 2( 2) 0mm mx x− + + = (<នft[2គS x ) ?

.a ក@ m QមV&78ម&<នW?

.b ក@ m QមV&78ម&<នWព& ផ)ង*+ 'ទ4f9 2ជ;<ន?

. ./0យប ម&

.a 22 3 15 1xx x− + = − .b 2 2 2x x+− = − ?

-. ./0យប បព3ន4ម&

3

3

2.

2

y x

y x y

xa

= −

= −

( )

3 3

(1 ).

54

x

y

y y x xyb

x + =

− = − +

5. /0យបJ; កK9 2មyព 2 2 1y xy xx y+ + ≥ + + ?

A. គ78ងLង ( ; )O R ន2ងចន'ច P d2 i Q ( )O ? ព& P គងកន^ប ,Px Py Iង*+ ងLង ( )O

ង Aន2ង B ? គ78ម'xPy Cម'/Dច?

.a ងប r$ម APBM ? Hង K Cf$ងប& @ ABM ?

/0យបJ; កK K d2 i QងLង ( )O ?

.b Hង H Cf$ងប& @ APB ន2ង I Cចន'ចក បfងc AB ?

/0យបJ; កK , ,H I K ងជ*+ ?

.c ពកន^ប Bងព& ,Px Py 9 2ជ'9 2ញ P iនNង q"ង78 ,Px Py i ( )O , pQយម'

ម2នបបD ចន'ច H ច3 i Qប នNង?

''''(((())))&&&&



44 វ ទ៤២

. គ78ម& 2 28 05 mxx + − = (<ន x Cft[2)?

ក m QមV&78ម&<នWព& 1 2,x x ផ =ង> 1 22 15 xx + = ?

. គ78ម& 2 ( 0)bxa cx a+ + ≠ , <នWព& 1 2,x x ផ =ង> 21 2x x= ?

/0យបJ; កK 3 2 2 3a c ab c abc+ + = ?


2. 03 3a x x− + + = 2

2

4( ) 12

( ) 2( ) 3

( ).

x y

x

x

y x y

yb

− + =

− − − =

+

5. ក នម 6 2 2 12 18 8 2A = − + + − ?

A. គ78 , ,a b c Cប9ងជkងBងប& pQយ p Cកន^ប 2<ប& @មយ?

.a /0យK 1( )( )( )

8p a p b p c abc− ≤− −

.b /0យK ម&ង ម*g នW 2 2 2 2 2 2( ) 0x a b c bc x+ − − + = ( x Cft[2)?

s. គ78ងLង ( ; )O R <នfងcផj2 AB iនNង ន2ងfងcផj2CD បបD (CD ម2នDនNង AB )?

ងប ប" ( )d បងLង ( )O ង B ? ប ប ,AC AD Iង*+ ប ( )d ង ,P Q?

.a បmn ញKច' @CPQD Cច' @MNកក+'ង?

.b បmn ញK ម`ន AI ប& @ APQ កងនNងCD ?

.c Hង E Cផj2ងLងM Nក O& @CDP ? /0យK E ច3 i QងLងនNងមយ ពfងc

ផj2CD បបD?

''''(((())))&&&&



45 វ ទ៤៣

. ./0យបព3ន4ម& 2 2

4 2 2 4

19

931

xy y

x

x

x y y

− + =

+ + =

. /0យបJ; កK ម&ង ម*g នW ( 2) 1 2 1x x x+ + = + ?

-. បmn ញK ( )83 3 63 2 2 3 2 2 3+ + − > ?

5. .a បmn ញK ចនន2004618n = <នកT@ គS<នព&ចននគ9 2ជ;<នព& p ន2ង q

ផ =ង> កTខ@U

0

( ( 1) ( 2) ... )q

p q n

p p p n

< < < + + + + ++ ⋮

.b ចនន 2004616n = <នកT@ង Q S ទ?

A. គ78& @ ABC <ន 040ABC = ន2ងចន'ច P iក+'ង& @ ABC q"ង78 010PAC = ,

0 020 , 30PCA PAB= = ? \ប<K Q Cចន'ចឆ^'ប P ធIបនNង ម`ទ3បfងc AB ?

.a & @CPQ C& @fL&?

.b គ@ CPB ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៤៤

. គ78ក នម 2 1

11 2 1 2 1

x x x x x x x xM

xx x x x x

+ − + −= − + −− + − − ?

.a ច$កកTខ@U ប x QមV&78ក នម M <នន3យ, យមក M ?

.b ច ប x ទQបក នម M <ន$ចបផ' pQយក$ចបផ' ?

. .a ./0យម& 2 23 2)( 7 2) 24( 1x x xx + + + + = ?

.b ក$ចបផ'បក នម 2 2 22 45 y xP x y x−− += − ?

-. ./0យបព3ន4ម& 2

2 2

3 1

1

6 xy x yx

x y

− + = −

+ =

?



46 5. គ78ងLង ( )O ន2ងខ)ធ+$ BC iនNង? Hង A Cចន'ចច3 i Qធ+$ធ BC បងLង ( )O , (A ផ)ង

ព& , )B C ? កន^ប ព'ម'បម' ACB ងLង ( )O ងចន'ច D ផ)ងព&ចន'ចC , xចន'ច I d2

i QfងcCD q"ង78 DI DB= ? ប BI ងLង ( )O ង K ផ)ងព& B ?

.a បmn ញK& @ KAC C& @ម!?

.b បmn ញKប AI ងHមចន'ច J iនNង, ព& ច$ក@ទ&Hងប A QមV&78ប9ង

fងc AI 9ងបផ'?

.c i Qកន^ប ឈមនNងកន^ប AB គ xចន'ច M q"ង78 AM AC= ?

កន'ចចន'ច ចន'ច M ព Aច3 i Qធ+$ធ AB បងLង ( )O ?

A. ច$កគ$ចនន ( ; )x y QមV&78 y $ចបផ' ន2ង ផ =ង> 2 25 2 4 3 0y y yx x+ + − − = ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៤៥

. .a ក ខច'ងបចនន 2005619 ?

.b កគបប ចននគធមgC2 n QមV&78 2 14 256nn − − Cចនន !ក?

. ./0យបព3ន4ម&

12

12

xy

yx

+ = + =

-. កប ចននគ , ,a b c ផ =ង> 2 2 2 3 2 4b c ab b ca + + ≤ + + − ?

5. គ78& @ម3ង) ABC ជkង gQ a ( 0a > ) ន2ងចន'ច M មយច3 i QងLងM Nក Oប

& @ ABC ?

.a បmn ញK បQ M d2 i Qធ+$$ច AB MA MB MC+ =

.b កធបផ' ន2ង$ចបផ'បក នម MA MB MC+ + ?

A. គ78 ABCD <ន 14AB cm= ? ក+'ង <នគ$76ចន'ច ផ)ង*+ ? /0យបJ; កK <នងLង

មយ<ន gQ 2cm <នផ 'កq"ង2ច 4ចន'ច ក+'ងច មប ចន'ចង Q?

''''(((())))&&&&



47 វ ទ៤៦

. .a ក នមង ម 8 15 8 15

2 2A

+ −= +

.b ./0យម& 5 3 4x x+ + − = ?

. /0យបJ; កK 3 17 ) 1( 6n n+ ⋮ ច គបចននគធមgC2 n ?

-. \ប<K 1 2,x x CWBងព&បម& 2

31

4xxx m

x= +

−− , ក+'ង m C!" #" ម"?

ក m QមV&78ក នម 1 2| |x x− <ន$ចបផ'?

5. គ78 ABCD ? ព&ចន'ច ,I J Iង*+ d2 i Qជkង BC ន2ងCD q"ង78 045IAJ = ?

fងcទZង BD AI ន2ង AJ Hម.បង H ន2ង K ? គ@ផ ធIប HK

IJ ?

A. គ78ងLងព& 1 1( ; )O R ន2ង 2 2( ; )O R <ន 1 2R R> ប" OCមយ*+ ង A? ប d Hម A

ងLង 1 1( ; )O R ង M ន2ងងLង 2 2( ; )O R ង N (ប ចន'ច ,M N ផ)ងព& A )?

.a ក@ទ&Hងបប d QមV&78ប9ងfងc MN 9ងបផ'?

.b កន'ចន'ច ប ចន'ចក I បប fងc MN ពប d 9 2ជ'9 2ញចន'ច A ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៤៧

. .a គ@បក នម 3 3 3( ) 2004y xx yP + − + += , .យNងK

3 3 3 33 2 2 3 2 2 ; 17 12 2 17 12 2x y= =+ + − + + − ?

.b ក នមង ម 1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 20 5...

0P += + + +

+ + + + ?

. ./0យប ម&

2. 2004 2004a x x + =+ 3 2 3. 03 2 2b x x x− + =+ ?

-. \ប<K& @ ABC <នកbផ gQ1, Hង , ,a b c ន2ង ,,a b ch h h Hម.បCប9ងប

ជkង ន2ងប កពប& @ ABC ?

/0យបJ; កK ( ) ( )2 2 2 2 2 2 36a b cca hhb h+ + + + ≥ , J[ gQ កQ<ន i ព?



48 5. គ78& @ ABC <ន 0, ,60 ACA b AB c== = ( )b c> ? fងcផj2 EF បងLងM Nក

O& @ ABC កងនNង BC ង M ? Hង I ន2ង J C ជQងកពទ~កព& E l Qប

ប AB ន2ង AC ? Hង H ន2ង K C ជQងកពទ~កព& F l Qប ប AB ន2ង AC ?

.a បmn ញKប ច' @ AIEJ ន2ងCMJE Cច' @MNកក+'ង?

.b បmn ញK , ,I J M ងជ pQយ IJ កងនNង HK ?

.c គ@ប9ងជkង BC ន2ងងLងM Nក O& @ ABC Cfន'គមនhន ,b c ?

.d គ@ IH JK+ Cfន'គមនhន ,b c ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៤៨

. /0យបJ; កK ង<នចននមយ<ន#ង 20022002...2002, ចនន ចក.ចនNង

2003 ?

. ./0យម& ( 9)( 10)( 11) 8 0x x x x+ + + − =

-. /0យបJ; កK បQ , ,a b c Cប ចននព29 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U abc ab bc ca= + +

1 1 1 3

2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c+ + <

+ + + + + + ?

5. ./0យ ន2ងព2yកម& 32 2 2 23 ( ) ( ( )1)x m m x xm mm− − = +− + , ក+'ង m C

!"#" ម"?

A. \ប<K H Cf$ងប& @/Dច ABC ? i Qfងc HB ន2ង HC គ xព&ចន'ច ,M N

q"ង78ប ម' AMC ន2ង ANB 'ទ4Cម'កង? បmn ញK AN AM= ?

''''(((())))&&&&



49 វ ទ៤៩

. គ78ក នម 2 2 2 2

( )(1 ) ( )(1 ) (1 )(1 )

x y xP

x y y x y x x

y

y= − −

+ − + + + − ?

.a កកTខ@U ,x y QមV&78 P ក@!ន? P ?

.b ក ,x y Cចននគ ផ =ង> ម& 2P = ?

. គ78ម& 2 2( 2( 2) 0) 4 8m x mx m x + + + − + − =

(1)

.a ./0យម& (1) ព 2m =

.b កគបប m QមV&78ម& (1) <នWព&9 2ជ;<ន ន2ងWមយCចននf9 2ជ;<ន?

-. .a គ78បព3ន4ម& 1mx y

x y m

+ = − + = −

ក m QមV&78បព3ន4<នច Qយមយគ ( ; )x y ផ =ង> 2y x= ?

.b គ78 , , 1a b c > ? /0យបJ; កK 1 1

121

a b c

b c a+ +

−≥

− − ?

មyព កQ<ន i ព?

5. គ78ងLងផj2O fងcផj2 2AB R= ន2ងC Cចន'ចមយd2 i QងLង ;( )C A C B≠ ≠ ? i Q

កក បង<នពន AB <នផ 'កចន'ចC , គងកន^ប Ax ប"នNងងLង ( )O ?

Hង M Cចន'ចក ធ+$$ច AC ? កន^ប BC Ax ងQ , កន^ប AM BC ង

ចន'ច N ?

.a /0យបJ; កK ប & @ BAN ន2ង MCN ម!

.b ព MB MQ= ? គ@ BC Cfន'គមនhន R ?

A. .a Hង ( )S n Cផប$កគបប ចនន ធបផ'បប ចននគធមgC2

..., 21, 2,3 0, ( )n n ≥ ? /0យបJ; កK 4( )

3

2n

S n+= ?

.b គ78& @ ABC ? ប ( )d មយ9 2ជ'9 2ញចន'ច A q"ង78 B ន2ងC d2 i Qផ+ក

មយប ( )d ? Hង 1 1,B C Hម.បCច កងប B ន2ងC l Q ( )d ? M Cចន'ច

d2 i Q ( )d q"ង78 M ន2ង B d2 iងង AC ន2ង AM ? គ78 1 1 0B C k= > ?



50 /0យបJ; កK ព ( )d បបD, M ងd2 i Qប នNងមយ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៥០

. គ78ម&ft[2 :x 2 2( 1) 4 0 (1)m xx m− + + − =

.a /0យបJ; កKម& (1)<នWព& ផ)ង*+ ? ក m QមV&78ម& <នWព&Cចនន

9 2ជ;<ន?

.b Hង 1 2,x x CWបម& (1)? ក$ចបផ'បក នម

2 21 2

1 2 2 1(1 ) (1 )

xM

x

x

x x x

+− + −

= ?

. .a ./0យម& 2 210 2 )7 (15 x xx x= +−+ + ?

.b ./0យបព3ន4ម& 2

2 2

4 4 2

5

x x y

x y

x − + + =

+ =

-. គ78ប&ចនន9 2ជ;<ន , ,x y z <នផប$ក gQ1? /0យបJ; កK

1x yz y xz z xy xy yz zx+ + + + + + +≥ + ?

5. i QងLងផj2O , fងcផj2 AB , គ xចន'ច P មយ ផ)ងព& ,A B ? ង APQR q"ង78

& @ APB ន2ង នd2 i Qកក បងមយ<នពន AP ?

.a /0យបJ; កK ផj2 I បងLងM Nកក+'ង& @ APB ន2ងប&ចន'ច , ,A B Q d2 i QងLង

មយ?

.b Hង H Cច កងប P i Q AB pQយ 1 2 3, ,R R R CងLងM Nកក+'ងប & @

APB , ,APH BPH Hម.ប? ក@ទ&Hងប P i QងLង ( )O QមV&78ផប$ក

1 2 3R R R+ + <នធបផ'?

A. ច n Cចននគ9 2ជ;<ន, Hង 2

1

3 1!( )n

knS k kk

=+ +=∑ , ក+'ង ! 1.2....k k= ន2ង

11

2 ...n

k nk

a a a a=

= + + +∑ ? ក@ ពចក 400S ន2ង 2005 ?

''''(((())))&&&&



51 វ ទ៥១

. គ78ក នម 2b ab a

Aa a

−= −

.a កកTខ@U ច ,a b QមV&78ក នម A Z9!នក@?

.b ក នម A?

. .a ./0យបព3ន4ម& 2

2

3 1

3 1

y

x y

x + =

− =

.b ./0យ92ម& 5| 1|x x+ − > ?

-. /0យបJ; កK, បQម& 2 2 0 (1)mx nx + + = <នW ម&

2

2 12 0 (2)

1x k mx n k

k k + + +

=

+ ក_<នW, ( , ,m n k Cប !"#" ម" 0k ≠ )?

5. គ78fន'គមនh y ax b= + <នប ( )D ន2ងfន'គមនh 2y kx= <នប ( )P ?

.a ក ,a b .យNងK ( )D Hមចន'ច ( 1;3)A − ន2ង (2;0)B ?

.b ក 0k ≠ QមV&78 ( )P ប"នNងប ( )D ទQបក!ន? ម&ប ( )P ?

A. គ78& @ ABC ម2នម! <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ងងLងផj2O ? កពBងព& AI ន2ង

BE *+ ង H ?

.a /0យបJ; កK CHI CBA= .b /0យK EI CO⊥

.c គ78 060ACB = ? /0យបJ; កK CH CO= ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៥២

. .a ក$ចបផ'បក នម 2 21 4 4 4 12 9xx x x −+ + ++ ?

.b បmn ញK 3 370 4091 70 4091 5− + + =

. គ78បព3ន4ម& 4 4

2 2

(1)

3 4 4 0 (2

697

81

)

y

x y x

x

y x y

+ =

+ +

− − + =



52 .a បQ<ន ( ; )x y ផ =ង> (2), /0យបJ; កK 71

3y≤ ≤ ?

.b ./0យបព3ន4ម&ង Q?

-. Q<ន S ទ ព&ចននគ ,x y q"ង78 2 27 0023 2 ?x y+ =

5. i Qបង គ78ពp' @ !"ង<ន12ជkង? Q<ន& @ប"'g នប កព$បe C

កព$បច' @ !"ង78 ?

A. គ78ច' @ gQ ABCD <នម' 040BAD = , O Cចន'ចបពLបfងcទZងBងព&? Hង H

Cច កងប O l Qជkង AB ? i Qកន^ប ឈមនNងកន^ប BC , កន^ប

ឈមនNងកន^ប DC គ x Iង*+ ន$9ប ចន'ច ,M N q"ង78 ||HM AN ?

គ@mL ម' MON ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៥៣

. .a ធLQប<@92ធ& ( ) 9992 3 2 6

111+ − + ?

.b គ78ក នម 1 1 2

42 2

xA

xx x= + −

−+ −, ច 0x ≥ ន2ង 4x ≠ ?

ក នម A ន2ងកប x QមV&78 1

4A = ?

.c ./0យម& ន2ងបព3ន4ម&

2 99 0. 2xa x − + =

2 611

.4 9

1

x yc

x y

+ = − =

. .a កគបប m QមV&78fន'គមនh (2 1) 3y m x= + + Cfន'គមនhច' pQយបបe

Hមចន'ច (1;2) ?

.b ក m QមV&78បព3ន4ម& 2

2

4 22y

x y m

x m

− =

=

− <នច Qយមយគ?



53 .c គ78ម& 2 2(2 1) 6 0m x m mx − + + + − =

1. កគបWបម&Cfន'គមនhន m ?

2. កគបប m QមV&78ម&<នWព&'ទ4f9 2ជ;<ន?

-. គ78 M Cចន'ចមយ i Qកក ងLងផj2O fងcផj2 2AB R= ( M ម2នDនNង ,A B )?

ងប ប ប" , ,Ax By Mz បកក ងLង ? ប Mz ,Ax By Iង*+ ង N

ន2ង P ? ប AM By ងC ? ប BM Ax ង D ? /0យបJ; កK

.a ច' @ AOMN MNកក+'ងងLងមយ?

.b & @ NOP C& @កង?

.c ប ចន'ច N ន2ង P Iង*+ Cចន'ចក បប fងc ADន2ង BC ?

5. គ78& @ ABC កងង A <ន AD Cប ព'បម' A? NងK , ,Ac bA CB = = ន2ង

AD d= ? /0យបJ; កK 2 1 1

d b c= + ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៥៤

. ក នមង ម

2.

m n m n mna P

m n m n

− + += +− +

ច 0,m ≥ 0n ≥ ន2ង m n≠

2 2

. :a bab a b

b Qab a b

−= −+

ច , 00a b> > ?

. ./0យម& 6 2 2x x− + − = ?

-. គ78ប ប 1 2 3) : 2 2; ( ) : 2( ; ) :(y x d y x y mxd d= + = − + = ( mC!"#" ម")

.a កក$f . នប ចន'ចបពL , ,A B C Hម.បប 1( )d Cមយន2ង 2 1);( ( )dd CមយនNង

f3ក)Rប'& ន2ង 2( )d Cមយf3ក)Rប'&?

.b កគបប m QមV&78 3( )d ប Bងព& 1 2),( ( )dd ?

.c កគបប ប m QមV&78 3( )d កនប Bងព& AB ន2ង AC ?

5. គ78& @ម3ង) ABC M Nកក+'ងងLង ( )O pQយ D Cចន'ចមយd2 i Qធ+$ BC ម2ន<នផ 'ក



54 ចន'ច A? i Qកន^ប AD គ xចន'ច E q"ង78 AE DC= ?

.a បmn ញK ABE CBD∆ = ∆

.b ក@ទ&Hងប D QមV&78ផប$ក DA DB DC+ + ធបផ'?

A. ក ,x y 9 2ជ;<ន ផ =ង> បព3ន4 4 4)

1

18( 5

x y

yxxy

+ +

+ = =

?

''''(((())))&&&& វ ទ៥៥

. .a ធLQប<@92ធ& 5 9 4 5− −

.b ./0យម& 4 25 36 0xx − − = ?

. គ78fន'គមនh 3(2 3) ( ) (4 )

2y m x n d m= − + − ≠ ?

1. កប m ន2ង n QមV&78ប ( )d :

.a Hមព&ចន'ច (1;2), (3;4)A B ?

.b f3ក)f . ន<នf . ន 3 2 1y = − f3ក)Rប'&ងចន'ច<នRប'&

1 2x = + ?

2. គ78 0n = , ក m QមV&78ប ( )d ប ( ')d <នម& 2 0x y− + = ងចន'ច

( ; )M x y q"ង78ក នម 2 22P xy= − <នធបផ'?

-. នចមយ<ន#ងCច' @កង <នផ កb gQ 2720m , បQប ងcQនប9ងប យថម6m

ន2ងបនdយប9ងទទNងf 4m កbផ បនច ម2នបបD ទ?

ច$គ@9 2<បនច ?

5. គ78កន^ងLង ( )O <នfងcផj2 2AB R= ? i Qកន^ប^ង<នពន AB <នផ 'កកន^ងLង, គ

ងប ប"ព& Ax ន2ង By ? Hមចន'ច M d2 i QងLង (M ផ)ងព& Aន2ង )B គងប ប"ប&

,Ax By Hម.បង ,C D ?

1.បmn ញK .a CD AC BD= + 2. .b AC BD R=

2.កនទ&Hងបចន'ច M QមV&78ច' @ ABCD <នកbផ $ចបផ'?



55 3. គ78 2R m= , កbផ ច' @ ABCD gQ 232cm ? គ@ផ កb& @ ABM ?

A. គ78ប ចនន9 2ជ;<ន , ,x y z ផ =ង> 1x y z+ + = ?

/0យបJ; កK 2 2 2 2 2 22 2 22 52 2xy y yx z z xy xz z+ + + + + ++ ≥+ ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៥៦

. គ78fន'គមនh 2( 4) 4f x xx −= + ?

.a គ@ ( 1), ( 5)f f− − .b ក x QមV&78 ( ) 10f x =

.b ក នម 2

( )

4

f xA

x=

− ព 2x ≠ ± ?

. កWCចននគ9 2ជ;<ន , , ,x y z t បម& 2 2 2 2

1 1 1 11

x y z t+ + + = ?

-. គ78ព&ចនន9 2ជ;<ន ,a b ? /0យបJ; កK

2( )

2 4

a b a bb b aa

+ + +≥+ ? Qមyព កQ<ន i ព?

5. គ78ម&S កទ&ព&(ft[2 x ) : 2 1 0mxx m− + − = ?

.a ក@ m QមV&78ម&ង Q<នWព& 1 2,x x ?

.b គ@ 1 22 21 2 1 2

3

1 )

2

2(

x

x x x

xA

x

++ + +

= Cfន'គមនhន m ?

A. ព&ចន'ច P d2 i OងLងផj2O R , គងប ប"ព& PA ន2ង PB ? Hង H C ជQងកព

ទ~កព& A lfងcផj2 BC ?

a . /0យបJ; កK PC AH ងចន'ចក E ប AH ?

.b \ប<K PO d= ? គ@ AH Cfន'គមនhន R ន2ង d ?

s. គ78& @ ABC កងង , 2A BC = , កព 2

2AH = ?

/0យបJ; កK ABC C& @កងម!?

''''(((())))&&&&



56 វ ទ៥៧

.A ផ+កទN& បកTជន ជQ Qមយក+'ងច មBងព&

ទ&1: ច$ ន2យមន3យ បបព3ន4ម&ព&មម$*+ ?

fន'9នh បក/0យK p'fL&!នCបព3ន4ម&Bងព&ង មគSមម$*+

1

3

x y

x y

+ = − =

ន2ង 1

3

x y

x y

+ = − = −

?

ទ& 2 : $បមនគ@<បព&#"ម&មយ?

fន'9នh គ78ព&#"ម&ច' @ន2យ3 .S ABCD ,! ABCD C ,ផj2គSចន'ចO ,ជkង 8AB cm=

កព 13SO cm= ? គ@<បព&#"ម& .S ABCD ?

.B ផ+កM!ច

. .a គ78 9 3 7A = + ន2ង 9 3 7B = − ? ច$ ប=ប ធIប A B+ ន2ង .A B ?

.b គ@ក នម 1 1 5 5:

3 5 3 5 5 1M

−= − − + − ?

. .a ./0យម& 4 224 25 0xx − − =

.b ./0យបព3ន4ម& 2 2

9 8 34

x y

x y

− = + =

?

-. គ78ម& 2 32 ( 1) 0 (1)mx mx − + − =

.a ./0យម& (1) ព 1m = − ?

.b ក@ m QមV&78ម& (1)<នWព& ផ)ង*+ , ក+'ង Wមយ gQនNង នWមយ ទI.

5. គ78& @ ABC <នប ម''ទ4/Dច, 045A = ? ងប កព BD ន2ងCE ប&

@ ABC ? Hង H Cចន'ចបពLប BD ន2ងCE ?

.a /0យបJ; កKច' @ ADHE M Nកក+'ងងLងមយ?

.b /0យបJ; កK HD DC= .c គ@ផ ធIប DE

BC

.d HងO Cផj2ងLងM Nក O& @ ABC ? /0យបJ; កK OA កងនNង DE ?

''''(((())))&&&&



57 វ ទ៥៨

. .a ក នម 2 3 6 8 4

2 3 4P

+ + + +=+ +

.b គ@ក នម x yQ

x y

−=+

, NងK 2 22yx xy− = ន2ង 0, 0xy y≠ + ≠ ?

. ./0យប ម&ង ម

3 2 35 3. 2a x x− = 3 2 1.

3xb x x− − = ?

-. .a កព&ចននគធមgC2 a ន2ងb ផ =ង> aa b

b− = ?

.b គ78ចនន9 2ជ;<នព& ,a b pQយ 5a b+ = ?

ក$ចបផ'បផប$ក 1 1P

a b= + ?

5. គ78បព3ន4ម& 2 2 2

3

0

3

9

0

2y x y

x y

x + − − −

− − =

=

Hង 1 1( ; )x y ន2ង 2 2( ; )x y Cច QយBងព&បបព3ន4ម&ង Q?

ច$គ@បក នម 2 21 2 1 2) ( )( yM x x y− + −= ?

A. គ78ងLងផj2O ន2ងខ) AB បងLង ប ប ប"គ$ ចញព& A ន2ង B បងLង*+

ងC ? គ$ខ)CD បងLង<នfងcផj2OC ( D ផ)ងព& Aន2ង B )? CD ធ+$AB ប

ងLង ( )O ង E ( E d2 iច C ន2ង D )? /0យបJ; កK

. BEDa DAE= 2. .b E DA BD D= ?

''''(((())))&&&&



58 វ ទ៥៩

. គ@ក នម

1 1

1 1A

a b= +

+ +, ច 1

2 3a =

+ ន2ង 1

2 3b =

− ?

. ./0យម& 2 4 84 xxx − + + = ?

-. គ78fន'គមនh 2y x= <នប ( )P ន2ងព&ចន'ច ,A B d2 i Q ( )P <នRប'& Iង*+ គS 1,2− .

.a ម&ប AB ?

.b ងប ( )P ន2ងកក$f . នចន'ច M d2 i Qធ+$ AB បប ( )P QមV&78& @

MAB <នកbផ ធបផ'?

5. គ78& @ ABC MNកក+'ងងLងផj2O <នf$ង H ? ប ព'ក+'ងម' AងLង ( )O ង M ?

ងកព AK ប& @? /0យបJ; កK

.a ប OM Hមចន'ចក N ប BC ?

.b ប ម'KAM ន2ង MAO gQ*+ ?

.c 2AH NO= ?

A. គ@ផប$ក 1.2 2.3 3.4 ... ( 1)nS n+ ++ += + ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦០

.A ផ+កទN& បកTជន ជQ Qមយក+'ងព&នង ម QមV& ធLQ

1. ច$ ន2យមន3យ ន2ងបmn ញប កT@បfន'គមនhS កទ&មយ?

fន'9នh គ78fន'គមនhS កទ&មយ 3 5y x= − ? ច$កធបផ' ន2ង$ចបផ'ប y ព

1 2x≤ ≤ ?

2. $បមនគ@ប9ងបងLង, ប9ងបធ+$ងLង?

fន'9នh គ78ប&ចន'ច , ,A B C ងជ (B d2 iច Aន2ង )C ? /0យបJ; កK ប9ង

បកន^ងLងfងcផj2 AC gQផប$កប9ងបកនងLងព&<នfងcផj2 AB ន2ង BC ?



59 .B ប M!ច

. /0យបJ; កK

2 2 1 2

1 12 1

a a a

a aa a a

+ − +− = − −+ + ច ; 10a a> ≠ ?

. គ78!" #"ប$ ( )P <នម& 2y x= ន2ងប ( )D <នម& 2 12y x m= + + ?

.a /0យបJ; កK ច គប m , ( )D ង ( )P ងព&ចន'ច ផ)ង*+ A ន2ង B ?

.b Hង ;A Bx x Iង*+ CRប'&បចន'ច A ន2ង B ? ច$ក@ប!"#" ម" m QមV&78

2 2 10A Bx x+ = ?

-. គ78កន^ងLងផj2O , fងcផj2 2AB R= ? ព& B , គគ$ប មយកន^ងLងងC pQយ

ប ប" Ax បកន^ងLងង P ?

.a /0យបJ; កK .BC BP ម2នបបD

.b ក+'ងក@& 2BP AP= , ច$គ@ផ កbប$បក@ .យ ,PA PC ន2ងធ+$ AC ?

5. គ@ 3 320 14 2 20 14 2+ + − ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦១

. ./0យប ម& ន2ងបព3ន4ម&ង ម

2 28 0. 1xa x − − = 2 3 3

.5 6 12

x yb

x y

+ = − =

4 2. 2 3 0xc x − − = 2 2. 3 6 2 0d x x− + = ?

. .a ងប ( )P បfន'គមនh 2

2

xy = ន2ងប ( 4) : yD x= + i Q'យមយ?

.b កក$f . នចន'ចបពLប ( )P ន2ង ( )D .យគ@?

-. ក នមង ម

4 8 15

3 5 1 5 5A = − +

+ + :

11 1

x y x y x xyB

xyxy xy

+ − += + −− +

5. គ78ម& 2 2(5 1) 6 2 0m x m mx − − + − = ( mC!"#" ម")



60 .a /0យបJ; កK ម&<នWCន2ចjច គប m ?

.b Hង 1 2,x x Cប Wបម&? ក m QមV&78 2 21 2 1xx + = ?

A. គ78& @ ABC ( AB AC< ) <នម'Bងប&Cម'/Dច, M Nកក+'ងងLង ( )O <នផj2O , R ?

Hង H Cចន'ចបពLបកពBងប& , ,AD BE CF ប& @ ABC ? Hង S Cកbផ

& @ ABC ?

.a /0យបJ; កK AEHF ន2ង AEDB Cច' @MNកក+'ងងLង?

.b ងfងcផj2 AK បងLង ( )O ? /0យបJ; កK & @ ABD ន2ង& @ AKC <ន#ង

$ច*+ ? Bញ78!នK . 2 .AB AC R AD= ន2ង . .

4

AB BC CAS

R= ?

.c Hង M Cចន'ចក ប BC ? /0យបJ; កK EFDM Cច' @MNកក+'ងងLង?

.d /0យបJ; កK OC កងនNង DE pQយ ( ). 2DE EF FD R S+ + = ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦២

. គ78ក នម 1 1

4 2 2

xA

x x x= + +

− − + ច 0x ≥ ន2ង 4x ≠ ?

.a ក នម A ?

.b គ@បក នម A ព 25x =

.c កប x QមV&78 1

3A = − ?

. ./0យង ម .យ9 2ធ&ប ងcQម& Sបព3ន4ម&

កkមផ2ព& ម*+ R9មយប ភទ? បQកkមទ&មយ ក+'ង ព-ថ, កkមទ&ព& ក+'ង ពAថ

កkមBងព& !ន1310R9? .យNងKក+'ងមយថ កkមទ&មយ !ន ចQនCកkមទ&មយ

!នR9? Qកkមន&មយu ក+'ងមយថ !នR9ប"'g ន?

-. គ78ម& (ft[2 x ) 2 22( 1): 2 0m x mx − + + + = ?

1. ./0យម& ព 1m =

2. កប m QមV&78ម&78<នWព& ផ)ង*+ 2 21 2 10xx + = ?



61 5. គ78ងLង ( ; )O R ន2ងចន'ច A d2 iង OងLង? ងប ប ប" ,AB AC lនNងងLង( ,B C

Cប ចន'ចប")?

1. /0យបJ; កK ABOC Cច' @MNកក+'ង?

2. Hង E Cចន'ចបពLប BC ន2ងOA? /0យបJ; កK BE កងនNងOA

pQយ 2.OE OA R= ?

3. i Qធ+$$ច BC បងLង ( ; )O R គ xចន'ច K មយ ( K ផ)ងព& B ន2ងC )? ប ប"ង K

បងLង ( ; )O R ,AB AC Hម.បងប ចន'ច ,P Q? /0យបJ; កK& @ APQ

<នប 2<ម2នបបD ព K ច3 i Qធ+$$ច BC ?

4. ប HមO pQយកងនNងOAប ប ,AB AC Hម.បងប ចន'ច ,M N

/0យបJ; កK PM MQN N+ ≥ ?

A. ./0យម& ( )2 2 3 2 21 1 1

24 4 2

1x x x xx x+ =− + + + + + ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦៣

. 1. ./0យបព3ន4ម& 2 2

1

2y xy

x y xy

x − =

− − = −

2. គ78ម& 2 22 16 5 0x mx m− − + = ( xCft[2)

.a ក m QមV&78ម&<នW?

.b Hង 1 2,x x Cប Wបម&? គ@ធបផ' ន2ង$ចបផ'បក នម

1 1 2 2 2 1(5 3 17) (5 3 17)x x x x xA x= + − + + − ?

. 1. ក នម 3 2 3 245 27 2 45 27 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2A

+ + −+ + −= −+ − − + − −

2. គ78 , ,x y z Cប&ចនន9 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U 2xyz = ?

គ@បក នម 2

2 1 2 2

x y zB

xy x xy y zx z= + +

+ + + + + + ?



62 -. 1. គ78ប&ចននព2 , ,a b c ? /0យបJ; កK

2 2 2

2 2 2 ( ) ( ) ( )

26 6 2009

a b b c c aa b c ab bc ca

− − −+ ++ + ≥ + + + ?

2. គ78 0a > ន2ង 0b < ? /0យបJ; កK 1 2 8

2a b a b+

−≥ ?

5. 1. ./0យបព3ន4ម& ax 5

5

by

bx ay

+ = + =

( ,a b Cចននគ9 2ជ;<ន pQយ a ខ'ព&b ) ?

ក ,a b QមV&78បព3ន4<នW ( ; )x y Cប ចននគ9 2ជ;<ន?

2. /0យបJ; កK ម2ន<នប ចននគ , ,x y z ផ =ង> បព3ន4

2 2 2

2 2

3 3 31

8 100

xy y z

x x

x

y z

− + − =

+ + =

?

A. គ78& @ ( )ABC AB AC< <ន ម`ន AM ន2ងប ព'ក+'ង ( ,AD M D d2 i Q )BC ?

ងLងM Nក O& @ ADM ប ជkង ,AB AC Iង*+ ង E ន2ង F ? /0យបJ; កK

BE CF= ?

s. គ78 ABCD Cច' @ gQ<នជkង gQ1? \ប<K<នចន'ច M មយd2 i Qជkង BC ន2ង

N d2 i QជkងCD q"ង78& @CMN <នប 2< gQ 2 ន2ង 2BAD MAN= ?

គ@ប ម'បច' @ gQ ABCD ?

. គ78 ,a b Cប ចនន9 2ជ;<ន ផ =ង> 21

1 1

a b

a b+ =

+ +? /0យបJ; កK 2 1

8ab ≤ ?

''''(((())))&&&&



63 វ ទ៦៤

. 1. កប ចននគ9 2ជ;<ន n QមV&78 2 4( 88)

5

nA

n

−−=+

<នCចននគ9 2ជ;<ន?

2. កប ចននគ9 2ជ;<ន ,x y ផ =ង> មyព 2 2( 3 ) 0x y y y x+ + − = ?

. ./0យបព3ន4ម& ( , ,x y z Cft[2)

2 2

2 2

2 2

(

(

1) 2

1)

(

2

1) 2

y x

z y

x z

x

y

z

+ =

+

=

+

=

-. គ78 ABC∆ <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ង ( )O ? Hង BD ន2ងCE CកពBងព&ប& @

ABC ?

1. /0យបJ; កK . .AD AC AE AB=

2. កនប AO BC ង 1A pQយធ+$$ច BC ង 2A ? កន^ប BO AC ង 1B

pQយធ+$$ច AC ង 2B ? កន^ប CO BA ង 1C pQយធ+$$ច AB ង 2C ?

/0យបJ; កK 1 2 1 2 1 2

1 1 11

AA

A B C

BB C

A B C

C+ + = ?

3. ព& A គង Ax DE⊥ ? គ78ជkង BC iនNង, កព$ Aច3 i Qធ+$ធ BC q"ង78

ABC∆ <នម'Bងប&Cម'/Dច? /0យបJ; កKកនប Ax ងHមចន'ចនNងមយ?

5. គ78ពp'o 4 3 2( ) axP x cx bx x d+ + + += ( , , ,a b c d Cប ចនន ថ)? NងK (1) 10,P =

(2) 20, (3) 30P P= = ? គ@បក នម (12) (8)25

10

P P− + ?

A. /0យបJ; កK បQប&ចន'ច , ,A B C ម2ន<នចន'ចd2 i Q OងLង ( )O & @

ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច ប 2<បងLងM Nក O& @ ABC ម2នធCងប 2<ប

ងLង ( )O ទ?

''''(((())))&&&&



64 វ ទ៦៥

. គ78ម& 2 1 0mxx m− − − = ( m C!"#" ម")

.a កគបប m QមV&78ម&ង Q<នWព& ផ)ង*+ 1 2,x x ?

.b ក$ចបផ'បក នម 2

2 21 2

2

2

mS

x

m

x

++ +

= ?

. .a គ78ម& 2 0bx cax + + = <នWព& ផ)ង*+ ? /0យបJ; កK ម&

2 0bx acx + + = ក_<នWព& ផ)ង*+ ?

.b ./0យម& 2 42 1 0

4 2

x x

x x

− +− + =+ −

?

.c /0យបJ; កK <នបព3ន4ចននព2 ( ; ; )x y z មយគ ផ =ង> កTខ@U

12008 2009 2010 3012 ( )

2x y z x y z− + − + − + = + + ?

-. គ78ម' xOy <នmL gQ 060 ? ងLង<នផj2 K d2 iក+'ងម' xOy ប"នNងកន^ប Ox ង M

pQយប"នNងកន^ប Oy ង N ? i Qកន^ប Ox គ xចន'ច P មយq"ង78

3OP OM= ? ប ប"បងLង ( )K Hម P កន^ប Oy ងQ ផ)ងព&O ? ប

PK ប MN ង E ? ប QK ប MN ង F ?

.a /0យបJ; កK & @ MPE <ន#ង$ច*+ នNង& @ KPQ

.b /0យបJ; កKច' @ PQEF M Nកក+'ងងLងមយ?

.c Hង D Cចន'ចក បfងc PQ ? /0យបJ; កK & @ DEF C& @ម3ង).

5. កគបប គ$ចននគ ( ; )a b ផ =ង> កTខ@U

2 2 2( 9) 4 20 25( 1) a b ba = + +− + ?

A. គ " ( )V KMNក Oច' @ !"ង ABCD

ពច' @ ABCD d2 iក+'ង ( )V pQយ i Qជkង

ន&មយuប ( )V <នផ 'យកព$មយគបច' @ "ABCD

( មQ$ប)? \ប<K ច' @ !"ង ABCD <ន M Nក

Q

N B

C

P

A

M D



65 Oព& ផ)ង*+ ? /0យបJ; កK ច' @ ន<ន M Nក Oបe ចQន#បម2នf?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦៦

. .a ក នម 3 1 3 1

3 31 1 1 1

2 2

A+ += +

+ + − −

?

.b កព&ចនន a ន2ងb QមV&78 2 25 25 8 2 2 0b ab a ba + − + + + = ?

. .a គ78ម& 2 2(2 1) 0mx m x+ − + = ( m C!" #" ម")? កចននគ m ធបផ' QមV&78

ម&<នWព& 1 2,x x pQយ 2

1 2

1 2

) 7

1

(x x

x x

− ++ +

Cចននគ ?

.b ./0យបព3ន4ម& 2 2

2 2

) 3

( )( ) 15

( )( y

x y

y x

x y

x − =

+ + =

−

-. .a គ78 , ,a b c Cប&ចននព2 ផ =ង> កTខ@U 2 2 2 1ba c+ + = ? /0យបJ; កK

2( ) 01abc a b c ab bc ca+ + + + + + ≥+ ?

.b /0យបJ; កK ម&ង មម2ន<នWCចន$នគ

4 4 4 41 2 3 8... 2009x x xx + + + + = ?

5. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច? ងកពBងប& , ,AD BE CF *+ ង H ?

Hង M Cចន'ចឆ^'ប H ធIបនNង BC ?

.a /0យបJ; កK ច' @ ABMC MNកក+'ងងLង (HងងLង .យ ( )O )?

.b HងQ Cចន'ចក ប AB ? /0យបJ; កK EQ ប"នNងងLងM Nក O EHC∆ ?

.c NងK BE ( )O ងចន'ចទ&ព&គS N pQយCF ( )O ងចន'ចទ&ព&គS P ?

គ@ក នម AM BN CPT

AD BE CF= + + ?

A. ក+'ងប^ង, គ78& @ ABC ន2ងចន'ច M មយ 1, 21BMAM CM= == ?

/0យបJ; កK 8 3ABCS ≤ ?

''''(((())))&&&&



66 វ ទ៦៧

. .a ./0យម&ង ម .យ បQft[2ជនយ 5

4

xt

x = −

:

2 400 535 24

4

xx

x x = + −

+

?

.b គ78ម& 2 3( 1) 2 3 0m xm mx + + − + = ? ក m QមV&78ម&78<នWព& ផ)ង

*+ 1 2,x x ផ =ង> 2 21 2 34xx + = ?

. ព2ន28ក នម 2 3 3 4 5

1 5 4 5

x x x xR

x x x x

+ + + −= − −+ − − −

?

.a R ?

.b កចននព2 x QមV&78 2R > − ? កចននគធមgC2 x Cចនន !កq"ង78 R C

ចននគ?

-. .a ./0យម& 2 2

0

8

x xy y

x y+

+ + =

=

.b គ78 , ,a b c Cប9ងជkងBងប&ន& @ ABC ? \ប<Kម&

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x a x b x b x c x c x a− − + − − + − − = <នW'ប? គ@mL ម'Bងប&ប

& @ ABC ?

5. គ78& @ ABC , <ន 0 060 , 45ABC ACB= = ? ង AH BC⊥ ( H d2 i Q BC )ន2ង

ង HK AB⊥ ( K d2 i Q AB )? Hង M Cចន'ចក ប AC ? NងK 3AH = ,

គ@ BC ? /0យបJ; កK BKMC Cច' @MNកក+'ង?

A. ក+'ងបrងDព2ន28ម'ខ9 2C; គ@2 បK+ ក Iនមយ<នប&កkម ,A B ន2ងC , ព2ន 'មធ8មប

2) iប កkមន&មយuZ9!ន/ងd22ច$ក+'ងH#ងង ម

កkម A B C Aន2ង B B ន2ងC

ព2ន 'មធ8ម 9,0 8,8 7,8 8,9 8,2

គNងKកkម A<ន2)10ក, ច$ក@ចនន2) ន2ងព2ន 'មធ8មបK+ ក Iន ?



67 s. គ78ច' @ !" ង ABCD MNកក+'ងងLង ( )O , <នកព$ A iនNង pQយប កព$ , ,B C D

ច3 i Q ( )O q"ង78 090BAD > ? ងកន^ប Ax កងនNង AD BC ង E ,

ងកនប Ay កងនNង AB CD ង F ? Hង K Cចន'ចឆ^'ប A ធIបនNង EF ?

/0យបJ; កK ច' @ EFKC M Nកក+'ងងLង pQយប EF ងHមចន'ចនNងមយ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៦៨

. .a ./0យម& 3 32 7 3x x+ + − = ?

.b ./0យបព3ន4ម& 3

3 2

82 3

6

xy

xy

− =

+ =

?

. កចននព2 a QមV&78ម&ង ម<នWCចននគ 2 2 0axx a− + + = ?

-. គ78& @ ABC កងង A <នប ព'ក+'ង BE ( E d2 i Q AC )? ងLងfងcផj2 AB

,BE BC Iង*+ ង ,M N ( ផ)ងព& B )? ប AM BC ង K ?

/0យបJ; កK . .AE AN AM AK= ?

5. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច, ម`ន AO <នប9ង gQប9ងជkង BC ? ងLងfងc

ផj2 BC ប ជkង ,AB AC Hម.បង ,M N ( M ផ)ងព& ,B N ផ)ងព&C )? ងLងM Nក O

& @ AMN ន2ងងLងM Nក O& @ ABC ប AO Iង*+ ង I ន2ង K ?

/0យបJ; កK ច' @ BOIM MNកក+'ងងLងមយ pQយច' @ BICK Cប r$ម?

A. .a iក+'ងងLងផj2O gQ1 គ78& @ ABC <នកbផ ធCង S gQ1? /0យបJ; កK

ចន'ចO d2 iក+'ង Sd2 i Qជkងប& @ ABC ?

.b គ78 , ,a b c Cប ចននព29 2ជ;<ន បបDន2ង ផ =ង> 3a b c+ + = ?

ក$ចបផ'បក នម 2 2 22 2 2

ab bcb c

b b cP

c

caa

a a+ +

+++

+= + ?

''''(((())))&&&&



68 វ ទ៦៩

. ./0យប ម& ន2ងបព3ន4ម&ង ម

2 32 0. 5xa x + − = 4 2. 3 4 0xb x − − =

2 1

.3 4 1

x yc

x y

+ = + = −

. .a ងប ( )P បfន'គមនh 2y x= − ន2ងប ( 2) : yD x= − i Q'យមយ?

.b កក$f . នចន'ចបពLប ( )P ន2ង ( )D iនង Q .យ ធLQ បQប<@92ធ&?

-. ក នមង ម

. 7 4 3 7 4 3a A = − − +

1 1 2 4 8. . ( 0;

4)

4 44

x x x x x xb x

xB

x xx

x

+ − + − −− > − + +≠

=

5. គ78ម& 2 2 1 0mxx − − = ( mC!"#" ម)

.a /0យបJ; កK ម&ង Q<នWព& ផ)ង*+ Cន2ចj?

.b Hង 1 2,x x CWBងព&បម&ង Q? ក m QមV&78 2 21 2 1 2 7x x x x+ − = ?

A. ព&ចន'ច M d2 iង OងLង ( )O គងប MCD ម2នHមផj2O ន2ងប ប"ព&

,MA MB lនNងងLង ( )O , iទ& ន ,A B Cប ចន'ចប" pQយC d2 iច ,M D ?

.a /0យបJ; កK 2 .M DM CA M= ?

.b Hង I Cចន'ចក បCD ? /0យបJ; កK Aចន'ច , , , ,M A O I B d2 i QងLងមយ.

.c Hង H Cចន'ចបពLប AB ន2ង MO ? /0យបJ; កK ច' @CHOD MNកក+'ងងLង

មយ? Bញ78!នK AB Cប ព'បCHD ?

.d Hង K Cចន'ចបពLបប ប ប"ងC ន2ង D បងLង ( )O ?

/0យបJ; កK , ,A B K ងជ$?

''''(((())))&&&&



69 វ ទ៧០

. គ78ក នម 1:

1

x xP

x x x x

= + + +

?

1. P

2. កប P ព 4x =

3. ក x QមV&78 13

3P = ?

. ./0យ .យ បQប ងcQម&

iខទ&មយ កkមផ2ព&កkម ផ2!ន<"'&ន900 គង? ខទ&ព& កkមទ&ផ2!ន Qក 2

15% pQយកkមទ&ផ2!ន Qក 210% ធIបនNងខទ&មយ? $ច ន កkមBងព&ផ2!ន

<"'&នចនន1010 គង? Qក+'ងខទ&មយ កkមន&មយuផ2!ន<"'&នប"'g ន គង?

-. គ78!" #"ប$ 21)

4:( yP x= ន2ងប 1( ) :d y mx= + ?

1. /0យបJ; កKប ( )d ង!"#"ប$ ( )P ងព&ចន'ច ផ)ង*+ ច គបប m ?

2. Hង ,A B Cចន'ចបពLBងព&ប ( )d ន2ង ( )P ? គ@ផ កb OAB∆ Cfន'គមនhន m

(O Cគ'យ)?

5. គ78ងLងផj2O fងcផj2 2AB R= ន2ង E Cចន'ចមយ i QងLង (E ផ)ងព& Aន2ង )B ?

ប ព'ម' AEB fងc AB ង F ន2ងងLង ( )O ងចន'ចទ&ព&គS K ផ)ងព& A?

1./0យបJ; កK KAF KEA∆ ∼ ∆ ?

2. Hង I Cចន'ចបពLប ម`ទ3នfងc EF ន2ងOE ? /0យបJ; កK ងLង ( ; )I IE ប"នNង

ប AB ង F ?

3. Hង M ន2ង N Iង*+ Cចន'ចបពLទ&ព&ប ,AE BE lនNងងLង ( ; )I IE ?

/0យបJ; កK ||MN AB ?

4.Hង P Cចន'ចបពLប NF ន2ង AK ,Q Cចន'ចបពLប MF ន2ង BK ? ក$ចបផ'

បប 2< KPQ∆ Cfន'គមនhន R ព E >ទ& i QងLង ( )O ?

A. ក$ចបផ'បក នម 4 4 2 2( 3)( 6( 1) ( 3)1)A x x x x+ − + − −= − ?



70 វ ទ៧១

. គ78ម& 2 22

((2 1) 1)62

xm x

x m

mx m = − ++

+ −

.a ./0យម& (1) ព 1m = −

.b កគបប ប m QមV&78ម& (1)<នW?

. .a ./0យម& 2 1 2 1 1x x− − − = − ?

.b ./0យបព3ន4ម& 2

2

2

2

2 4

4

x y xy

x

x

xy

− + =

+ =

-. .a /0យបJ; កK ក នមង មម2នR/3យនNងft[2 x (ច 1x > ):

( ) ( )

( ) ( ) ( )4 3 1

1 3

x x x x x xA

x x x x x x

+ + −=

− + + + ?

.b គ78 , ,a b c Cប ចននព2ខ'ព& 0 ផ =ង> 2 3 0

2 3 0

a b c

bc ca ba

+ − = + − =

?

/0យបJ; កK a b c= = ?

5. គ78ច' @MNកក+'ង ABCD <ន 0;90A AC< កងនNង BD ង M , P Cចន'ចក ប

;CD H Cf$ងប ABD∆ ?

.a ច$ក@ផ ធIប PM

DH

.b Hង N ន2ង K Iង*+ C ជQងកពគ$ព& B ន2ង D ប& @ ;ABD Q Cចន'ចបពLប

ប Bងព& KM ន2ង BC ? /0យបJ; កK MN MQ= ?

.c /0យបJ; កK ច' @ BQNK MNកក+'ងងLង?

A. 2)មយកkមZ9បងចកc*ប lC$$ចu? បQ$ន&មយuបនdយc6*ប

2)<+ កuនNង!នថម<+ ក5$ ទI, pQយ បQ$ន&មយuបនdយf10*ប 2)

<+ កuនNង!នថ<+ ក10$ ទI? Qកkម2)ង Q<នc*បប"'g ន*ប?

''''(((())))&&&&



71 វ ទ៧២

. \ប<K 1 2,x x CWBងព&បម& 2 ( 3) 2 1 0m xm mx − + + + = ?

.a គ@ផប$ក S ន2ងផគ'@ P បWBងព&Cfន'គមនhន m ? NងK 1S P− = ,

គ@ 1 2,,m x x .

.b កទកទនងeង S ន2ង P .យម2នR/3យនNង*+ ?

. .a ./0យបព3ន4ម& 2 2

2 2

3 0,192

5 7 0,83x

x y

y

= −

+

−

= (ច 0xy < )

.b ./0យម& 22 ( 1) 1x x x+ − = ?

-. គ78បyគ ( )3

aP

aa +=

+∈ℤ ? បQyគបង កQនថមមយ បបyគថយ 11

325?

គ@ P ?

5. គ78& @ ABC <ន 0; 690 ; 8AB cmA AC cm= == ?

.a ងLងM Nកក+'ង ABC∆ <នផj2 I , r ? គ@ IA?

.b ងLងM Nក O ABC∆ <នផj2O , R ? គ@ 2 2

IO

R Rr− ?

.c ង AH BC⊥ ន2ង HK AC⊥ ? ងLងM Nក O BKC∆ AB ងចន'ចទ&ព& E B≠ ?

គ@ AEH ?

A. 2)<+ កន2qយK " ពកព'ង Q i Q0 នក ( បQ#បថ ភ^Qង) ប9ង120m គSខ' ឃQញ

ថ ភ^Qងមយ គងកព'ង !ពយមក? ខ'Mទ2 xថ ភ^Qង .យ Vន18 /km h ? ពខ'

l0 នង ន គS9 2ទ& យមក ថ ភ^Qង ទQបមក!នCខ' គច l<T ង ទIBន? ព

<ន0g & rQង9 2ញ, ខ'គ2K បQខ'Hមទ2 x$ចនNងថ ភ^Qង ព lច'ង0 ន<T ង ទI

yម ខ'នNងZ9 ភ^Qងប'កCម2នន? ព2Cងមន!" ? .យNងK ថ ភ^Qង .យ Vន

72 /km h , Q ពMប ផQម, 2)<+ ក iចmយប"'g នម"ព&ច'ង0 នង ន ? ''''(((())))&&&&



72 វ ទ៧៣

. .a ក m QមV&78ម& 2 (4 1) 2( 4) 0m xx m+ + + − = <នWព& 1 2,x x ផ =ង>

1 2 | 17| x x− = ?

.b ក m QមV&78បព3ន49 2ម& 1

1

2 m

m

x

x

≥ −≥

<នច Qយមយគ?

. ក នមង ម

.( )( ) ( )( ) ( )( )

a b ca S

a b a c b a b c c a c b= + +

− − − − − − ( , ,a b c ខ'*+ ព&មយ lមយ)

2 1 2 1.

2 1 2 1( 2)

x x x xb P

x x x xx

+ − + − −=+ − − − −

≥ ?

-. គ78 , , ,a b c d Cប ចននគ ផ =ង> a b c d≤ ≤ ≤ ន2ង a d b c+ = + ? /0យបJ; កK

2 2 2 2.a da b c+ + + Cផប$កនប&ចនន !ក?

.b bc ad≥ ?

5. .a គ78 ,a b Cព&ចននព25 22a b+ = ? NងKម& 2 0axx b+ + = <នWព&Cចនន

គ9 2ជ;<ន? ច$កWBងព& ?

.b គ78ព&ចននព2 ,x y q"ង78 2 2 4 4, ,x yx x yy + ++ Cប ចននគ?

/0យបJ; កK 3 3x y+ ក_Cចននគ?

A. គ78ងLង ( )O fងcផj2 AB ? ព&ចន'ចC d2 i QងLង ( )O គងCH កងនNង AB (C ផ)ងព& A

ន2ង ;B H d2 i Q AB )? ងLងផj2C CH ងLង ( )O ង D ន2ង E ? /0យបJ; កK DE

Hមចន'ចក បCH ?

s. គ78& @ ABC C& @ម3ង)<នជkង gQ1? i Qជkង AC គ xចន'ច ,D E q"ង

78 020ABD CBE= = ? Hង M Cចន'ក ប BE pQយ N Cចន'ច i Qជkង BC q"ង

78 BN BM= ? គ@ផប$កកbផ & @ព& BCE ន2ង BEN ?

. គ78 ,a b Cព&ចននព2 3 3 2a b+ = ? /0យបJ; កK 0 2a b< + ≤ ?

''''(((())))&&&&



73 វ ទ៧៤

. គ78បព3ន4ម& 19 6 ( 2008) 1

19 6 ( 2008) 1

x y m y

y x m x

+ − + = − +

+ − + = − +

?

.a ./0យបព3ន4ម& ព 2008m = ?

.b /0យបJ; កKបព3ន4ម&78<នច Qយម2ន Qព&មយ ព 2008m ≥ ?

. ច ចននគធមgC2 nន&មយu, គHង 23 6 13n na n= + + ?

1. /0យបJ; កK, បQព&ចនន ,i ka a ចកម2ន.ចនNង5 pQយចកនNង5!ន@ ផ)ង*+

( )i ka a+ ចក.ចនNង5 ?

2. កចននគធមgC2 n QមV&78 na Cចនន !ក?

-. គ78 a CចននបបD ផ =ង> 11 a− ≤ ≤ ? កធបផ'បb QមV&789 2មyពង ម

ព2Cន2ចj ( )4 2 22 1 ( 1 4 01) 1a b a a b− + − + − − + ≤− ?

5. គ78& @ ABC កងង A? ងងLងព& 1( )O ន2ង 2( )O Iង*+ <នfងcផj2 AB ន2ង AC ?

Hង H Cចន'ចបពLទ&ព&ប 1( )O ន2ង 2( )O ?ប d បបDHម A ប ងLង 1( )O

ន2ង 2( )O Iង*+ ងប ចន'ច ,D E q"ង78 Ad2 iច D ន2ង E ?

1. /0យបJ; កK ម`ទ3បfងc DE ងHមចន'ចនNងមយ ពប d បបD?

2. ក@ទ&Hងបប d QមV&78កbផ ច' @ BDEC <នធបផ'? គ@

ធបផ' Cfន'គមនhន b ន2ង c , , Ab AC c B= = ?

3. ប Hមចន'ចក fងc DE pQយកងនNង BC BC ង K ?

/0យបJ; កK 2 2 2BDK HB K= + ?

A. គ78 ACន'<ន6o'ក_!នd2 iក+'ងន' 1; 2; .0; .. ;14 ? /0យបJ; កK <ន

ន'ងព& 1B ន2ង 2B បន' A ( 1 2,B B ផ)ងព&*+ pQយខ'ព&ន'ទ ទ)q"ង78 ផប$កគប

o'បន' 1B gQនNងផប$កគបo'បន' 2B ?

''''(((())))&&&&



74 វ ទ៧៥

. .a /0យបJ; កមyព 2 2 2 21) 4 (2 1) (2 1(2 )a a a a aa + + − + = + − ?

.b កកTខ@U ច !"#" ម" a QមV&78ម& 2 2(2 1) (2 1) 0a xa a ax+ − + + + = <នW

ព& ផ)ង*+ ខ'ព&1 ?

. .a ./0យបព3ន4ម& 2

2

4

3 3 5 5 4

xy x y

x x y

x

xy

− + − =

− − + =

?

.b ./0យម& 2 5 4 12xx x− + = − ?

-. .a Hង 1 2,x x CWព& ផ)ង*+ បម& 2 10 0xx − − = ? .យម2នM!ច ./0យ

ម&, ច$គ@បក នម 2

1 2 1 27 ) 9( (3 2 ) 5772 x xx xP + + − −= .

.b គ78ក នម 21 6 2008 9 10P x xy y x= − + − + ?

កកTខ@U ច ft[2 x ន2ង y QមV&78ក នម P <នន3យ? ក នម P <ន$ចបផ' S ទ?

fL&?

5. $ចកមធបផ'បប ចននគ x ន2ង y ( x ន2ង y ម2ន gQ$ន8ក+'ង ពមយ)Hង .យ ( , )x y .

.a គ78បនចននគ , , ,a b c d ផ =ង> 0, 0, ( , ) ( , ) 1b d a b c d> > = = ?

/0យបJ; កK បQ a c

b d+ Cចននគ b d= ?

.b កគបប ចននគ9 2ជ;<ន , ,a b c QមV&78 1 1 1

a b c+ + Cចននគ pQយ ( , ) ( , ) 1a b b c= = ?

A. គ78 H C <នផj2O ន2ងប9ងជkង gQ1? កចននព29 2ជ;<ន r QមV&78ងLង ( ; )O r គប

ប ជkងប H pQយប ចន'ចបពLបeប ងcQ!នCកព$ប& @ម3ង)មយ?

s. គ78ងLង ( ; )O R ន2ងព&ចន'ច ,B C iនNង i Q ( ; )O R ផ =ង> 0120BOC = ?

ក$ចបផ'បក នម 1 1

MB MC+ ព M ច3 i Qធ+$$ច BC បងLង ( ; )O R

M B≠ ន2ង M C≠ ?

''''(((())))&&&&



75 វ ទ៧៦

. គ78ម& 2 2 ( 1) 32

01

x m m m

x

x + + − =−

− (1)

.a ក m QមV&78 1x = − CWមយបម& (1) ?

.b ក m QមV&78ម& (1) *g នW?

. .a ./0យ9 2ម& 2( 1)( 3) 2 71x x x x− + − < −−

.b ./0យបព3ន4ម& 2 3 2 1

2 3 2 1

x y y x x x

y x x y y y

+ = −

+ = −

-. .a គ78 ,a b Cព&ចននព2 ផ =ង> កTខ@U

2 2 2 23 2 2 5 7 0ab b a b a ab b a ba − + + − = − + − + = ?

បmn ញK 12 15 0ab a b− + = ?

.b គ78 ( ) ( ) ( )

( )2 22 1 2 2 14

1

4x x x x x xA

x x x

+ +− + + + − +=

−

ច$កគបប ប x QមV&78 0A ≥ ?

5. គ78& @ ABC C& @/Dច <នf$ង H ន2ង 060BAC = ? Hង , ,M N P Iង*+ C

ជQងប កពគ$ព& , ,A B C ប& @ ABC pQយ I Cចន'ចក ប BC ?

.a /0យបJ; កK & @ INP C& @ម3ង)?

.b Hង E ន2ង K Iង*+ Cចន'ចក ប PB ន2ង NC ? /0យបJ; កK ប ចន'ច

, , ,I M E K d2 i QងLងមយ?

.c \ប<K AI Cប ព'បNAP ? ច$គ@mL ម' BCP ?

A. កkមp'ន មយ !នM78កkម A 16800#ប, កkម B 16500#ប pQយMប ផQម

fន'9នhmក+'ង ពមយ? បQ យ ពsថ, កkម AZ9!នជយបនdមកមgកក

ពក គបtj បmក+'ង ពមយនNងកkម B ? បQកkម A ជយបនdមកមgកកHងព& ពប$ង

ពក គនNង ចm!ន នCងកkម B មយថ? ច$ក@ ចននកមgកប$ងបកkមន&



76 មយ? NងKកមgកន&មយu !ន#បក+'ងមយថ?

''''(((())))&&&&

វ ទ៧៧

. គ78ម& 2 23 2 2 10 4 0y xx y x y− + − − + = (1)

1. កW ( ; )x y បម& (1) ផ =ង> 2 2 10x y+ = ?

2. កWCចននគបម& (1) ?

. គ78ចន'ច Aច3 i QងLងផj2O fងcផj2 2BC R= ( Aម2នDនNង B ន2ងC ), i Qកន^ប

AB គ xចន'ច M q"ង78 B Cចន'ចក ប AM ? Hង H Cច កងប A

l Q BC pQយ I Cចន'ចក ប HC ?

1. /0យបJ; កK M >ទ& QងLងនNងមយ?

2. /0យបJ; កK AHM CIA∆ ∼ ∆ ?

3. /0យបJ; កK MH កងនNង AI ?

4. MH ងLង ( )O ង E ន2ង F , AI ងLង ( )O ងចន'ចទ&ព&G ? /0យបJ; កK ប

នគបជkងបច' @ AEGF ម2នបបD?

-. កចនន$ចបផ' ក+'ងប ចននគ9 2ជ;<នCពp'គ'@ន 2007 ន2ង<ន ខបនខ ងច'ង

យគS 2008 ?

5. គ78ញ 9 2< 5 5× ? គប ពញច$ប bន&មយuបញន$9ចននមយក+'ង

ប ចនន 1;0;1− ? ព2ន28ផប$កបប ចននZ9!នគ2Hមជឈន&មយ, Hមជ កន&

មយu ន2ងHមfងcទZងន&មយu? /0យបJ; កK ក+'ងគបប ផប$ក ង<ន ផប$កព&

<ន gQ*+ ?

A. គ@ផប$កង មCfន'គមនhន n *( )n∈ℕ :

1 2 32.2 3.2 ... ( 1).22n n n n nS − − −+ + + + − += ?

''''(((())))&&&&



77 វ ទ៧៨

. .a /0យបJ; កK ច គបចននព2 , , ,x y z t គង!ន9 2មyពង ម

2 2 2 2 ( )y z t x tx y z+ + + ≥ + + , មyព កQ<ន i ព?

.b /0យបJ; កKច គបចននព2 ,a b ខ'ព& 0 គង!ន9 2មyពង ម

2 2

2 234

a b a b

b ab a

+ + +

≥ ?

. កWCចននគ ,x y បម&ង ម 2 6 5 8xy xx y− = − − ?

-. គ78បព3ន4ម& 2 2 2 2 11

( 2)( 2)

x y x y

xy x y m

+ + + =+ + =

.a ./0យបព3ន4ម& ព 24m = ?

.b ក m QមV&78បព3ន4ម&<នW?

5. គ78 ( ) ( )2 22007 2007 2007x x y y =++++ ? គ@ S x y= + ?

A. គ78 ,a b Cប ចននគ9 2ជ;<ន 1 1a b

a b

+ ++ ក_Cចននគ? Hង d Cចកមប a

ន2ងb ? /0យបJ; កK d a b≤ + ?

s. គ78& @ ABC <នម'Bងប&Cម'/Dច M Nកក+'ងងLង ( )O ( )AB AC< ? ប ប ប"នNង

( )O ង B ន2ងC *+ ង N ? ងខ) AM /បនNង BC ? ប MN ងLង ( )O ង P ?

.a NងK 2 2

1 1 1

16OB NC+ = , គ@ប9ងfងc BC ?

.b /0យបJ; កK BP CP

AC AB= ?

.c /0យបJ; កK ,BC ON ន2ង AP បពL*+ ងចន'ចមយ?

''''(((())))&&&&



78 វ ទ៧៩

. 1. ./0យម& 2 214 2 2 1x x x x x= −+ + +− ?

2. ./0យបព3ន4ម& 3 3

)

4

( 2

y x

y y

x y

x x

+ + +

=

=

+

?

. 1. \ប<K 1 2,x x CWBងព&បម& 2 4 1 0xx − + = ? /0យបJ; កK 5 51 2x x+ Cចនន

គមយ?

2. ច ,a b Cប ចននគ9 2ជ;<ន 1a + ន2ង 2007b + ចក.ចនNង6?

/0យបJ; កK 4a a b+ + ចក.ចនNង6 ?

-. គ78ងLងផj2O ន2ងព&ចន'ច ,A B iនNងd2 i QងLង ( AB ម2នមនCfងcផj2)? Hង M

Cចន'ចក បធ+$$ចAB ? i Qfងc AB គ xព&ចន'ច ,C D ផ)ង*+ pQយម2នd2 i

QងLង? ប ប ,MC MD ងLង78Hម.បង ,E F ផ)ងព& M ?

1. /0យបJ; កK បនចន'ច , , ,C D E F d2 i QងLងមយ?

2. Hង 1 2,O O Hម.បCផj2ងLងM Nក O& @ ACE ន2ង BDF ? /0យបJ; កK ព

,C D បបD i Qfងc AB ប ប 1AO ន2ង 2BO ង*+ ងចន'ចនNងមយ?

5. ច ប ចនន , ,a b c Cប ចននព29 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U 1abc = ?

/0យបJ; កK 2 2 2

1

( 1) ( 1) ( 1)

a b c

a b cab a bc b ca c≥+ +

+ ++ + + + + + ?

''''(((())))&&&&



79 វ ទ៨០

. ).a ./0យបព3ន4ម& 2 24 5

4 2 7

y

xy y

x

x

+ =+ + =

).b \ប<K , ,a b c Cប ចននព29 2ជ;<ន ផ =ង> កTខ@U 2 2 2b c a+ ≤ ?

ក$ចបផ'បក នម ( )2 2 22 2 2

1 1 1cP b a

a b c

= + +

+ ?

. ).a កWCចននគបម& 2 25 17 2y xx y+ = + ?

).b កគបប ចននបzម p 4 2p + ក_Cចននបzម?

-. គ78ប ព& 1∆ ន2ង 2∆ កង*+ ងO , iង 1∆ គងងLងព& ងLង 1( )O ប"នNង 1∆ ន2ង 2∆

Iង*+ ង ,A B , ងLង 2( )O ប"នNង 1∆ ន2ង 2∆ Iង*+ ងC ន2ង D , 1( )O ន2ង 2( )O d2 iង

ង 2∆ pQយ OB OD< ?

).a /0យបJ; កK B Cf$ងប& @ DAC ?

).b ប AD 2( )O ង E ផ)ងព& D , ប BC 1( )O ង F ផ)ងព& B ? /0យបJ; ក

K ច' @ ACEF Cច' @+ យម!?

5. ក+'ងច' @ !"ង<នប9ងជkងប& gQ*+ pQយ gQនNង a ( a Cចនន9 2ជ;<ន គ78),

ច$ក ច' @<នកbផ ធបផ'?

A. គ78L'& 0 1, , ..., , ...na aa Z9!នក@ .យ$បមន 0 1 20; )3(1n n na a a a+ += = +

ច គបចននគម2នf9 2ជ;<ន?

/0យបJ; កK ( ) ( )21

2 3 2 34

n nna + −

= − ?

''''(((())))&&&&

maths grade 9 - Mblackstar.. · 2012. 6. 19. ·

Documents

Transcript of maths grade 9 - Mblackstar.. · 2012. 6. 19. ·