Diplme : Master Mtiers de lEnseignement, de l'ducation et de laFormation

1er degr : Professorat des coles.

PREUVE MASTER 1 UE2 SEMESTRE 1PREUVE MASTER 2 Parcours spcifique UE4 SEMESTRE 3

Mathmatiques

Date : mercredi 9 dcembre 2015Dure : 4h

Lusage de la calculatrice lectronique ainsi que l'usage des instruments de gomtrie (rgle,querre, compas) sont autoriss.

Ce sujet comporte 14 pages. Assurez-vous que cet exemplaire est complet.Sil est incomplet, demandez un autre exemplaire au chef de salle.

Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur,signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez lpreuve en consquence. Demme, si cela vous conduit formuler une ou plusieurs hypothses, il vous est demand de la (oules) mentionner explicitement.

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Premire partie13 points

Cette premire partie est compose de trois exercices indpendants.

Exercice 1 : Vrai ou Faux ? (5 points)Indiquer si les cinq affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la rponse.

Une rponse exacte mais non justifie ne rapporte aucun point. Une rponse fausse n'enlve pas depoint.

1. Dans un ensemble de cinq nombres, la moyenne des trois premiers nombres est 15 et la moyennedes deux derniers nombres est 10.

Affirmation n1 : La moyenne de ces cinq nombres est 12,5.

2. On donne un programme de calcul. Choisir un nombre.

Lui ajouter 4.

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

Ajouter 4 ce produit.

crire le rsultat.

Affirmation n2 : Lorsqu'on choisit un nombre entier au dpart de ce programme de calcul, onpeut toujours crire le rsultat obtenu sous la forme du carr d'un autre nombre entier.

3. Soit un nombre N 3 chiffres dont l'criture en base 10 est N=8 ab .

Affirmation n3 : Si N est divisible par 9 alors a+b=1 .

4. En empilant dix cubes identiques comme ci-dessous, on construit un escalier de hauteur h=4.

Affirmation n4 : Pour construire un escalier de hauteur h=10, il faut 54 cubes.

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5. On lance simultanment deux ds six faces (numrotes de 1 6).

Affirmation n5 : La probabilit que l'un au moins des deux ds ait fait un 6 est gale 13 .

Exercice 2 (4 points)Des lves de cycle 2 ont travaill partir du support ci-dessous :

La question tait Combien vois-tu d'arbres ? Tu peux crire sur la feuille. Le rsultat peut trecrit dans le cadre noir. .

Les productions de quatre lves de cycle 2 sont proposes dans l'Annexe 2.

1. Analyser les procdures mises en uvre par les lves A (Nomie) et C (La) en faisant ressortirles comptences matrises par ces lves.

2. Analyser les procdures mises en uvre par les lves B (Lucie) et D (Floriane) en dcrivant leserreurs commises et en mettant une hypothse sur lorigine de ces erreurs.

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Exercice 3 (4 points)

On fabrique une suite de nombres avec la mthode suivante : le premier nombre est gal 13 , le

deuxime nombre est gal 25 , et chaque nombre partir du troisime est gal au quotient du

prcdent augment de 1 par celui d'avant.

Ainsi, le troisime nombre est gal 1+ 2

513

, c'est--dire 215 .

1. Exprimer les 4me, 5me, 6me et 7me nombres de cette suite.

2. En dduire en justifiant votre rponse le 2015me nombre de cette suite.

3. Gnralisation : dans cette question, on choisit (dans cet ordre) A et B comme premiers nombresnon nuls distincts de cette suite de nombres.

a) Exprimer les 3me, 4me et 5me nombres de cette suite en fonction de A et de B.

b) Montrer que le 6me nombre de cette suite est gal A et que le 7me nombre de cette suite estgal B.

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Deuxime partie13 points

Cette deuxime partie est compose de deux problmes indpendants.

Problme n1 (9 points)

PRSENTATIONSur la figure ci-dessous :

ABCD est un rectangle dont les diagonales se coupent en F ;

et tel que ABF est un triangle quilatral ;

(d1) est la droite perpendiculaire (AC) passant par F ;

(d1) coupe (CD) en E ;

Les droites (FE) et (AD) sont scantes en J.

PARTIE A (3,5 POINTS)1. Construire, sur votre copie sans suivre les lignes, cette figure en utilisant seulement une rgle nongradue et un compas (on ne tiendra pas compte des dimensions du dessin ci-dessus et les traits deconstruction resteront apparents).

2. a) Dterminer la mesure des angles des triangles BFC et DFC.

b) Dmontrer que le triangle AEC est quilatral.

3. Dmontrer que le quadrilatre ABDE est un paralllogramme.

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PARTIE B (5,5 POINTS)Dans les questions 1 et 2 on suppose que AB = 5 cm.

1. a) Montrer que la mesure exacte en cm de la longueur BC est gale 53 .

b) Calculer les mesures exactes en cm des longueurs FE et BE.

2. Calculer les aires en cm des triangles AEC et AFD. On donnera les mesures exactes.

3. Calculer les mesures des angles du triangle FJD.

4. Construire le cercle circonscrit au rectangle ABCD. Il coupe [AE] en G.

Dmontrer que G est le milieu de [AE].

5. Montrer que les points G, J et C sont aligns.

Problme n2 (4 points)

PRSENTATIONSur la figure ci-dessus, [AB] est un segment de mesure de longueur 6 cm. On note I son milieu.

On a construit la mdiatrice du segment [AB]. On a plac un point M sur cette mdiatrice.

On note x la mesure de la longueur AM.

On a construit ensuite la hauteur issue de B du triangle ABM. Elle coupe (AM) en un point not N.

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QUESTIONS1. a) Tracer nouveau sur votre copie sans suivre les lignes la figure ci-dessus, en utilisant la rglegradue et le compas seuls, en laissant les traits de construction visibles.

b) Dcrire votre programme de construction de la mdiatrice de [AB] (on ne demande pas leprogramme de construction de toute la figure).

c) Justifier que la droite obtenue est bien la mdiatrice de [AB].

2. On a trac en Annexe 1 la courbe reprsentative de la fonction f qui a x associe la mesure de lalongueur B N .

Rpondre l'aide du graphique aux questions suivantes :

a) Que vaut B N si x=6 cm ?

b) Que vaut x si B N=4,8 cm ?

Donner une valeur approche de chaque solution 0,1 cm prs.

3. a) Exprimer A M (en cm) en fonction de x .

b) En dduire l'expression de B N (en cm) en fonction de x .

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Troisime partie14 points

Cette troisime partie est compose de deux exercices indpendants.

Exercice 1 (7 points)L'exercice de l'Annexe 3 a t propos des lves de diffrents niveaux de l'cole lmentairedans le cadre d'une squence sur la proportionnalit.

1. D'aprs les instructions officielles, en quelle(s) classe(s) de l'cole lmentaire peut-il trepropos ?

2. Donner trois variables didactiques de la situation qui peuvent avoir une influence sur la difficultde l'exercice.

3. Indiquer deux procdures correctes que peuvent utiliser des lves de CM2 pour rpondre autest.

4. A partir des rponses des lves donnes en Annexe 4, relever les erreurs commises et mettreune hypothse plausible sur l'origine de chacune d'entre elles.

Exercice 2 (7 points)En Annexe 5 sont prsents quatre exercices tirs du manuel de mathmatiques Vive Les MathsCE1, dition Nathan, 2015.

1. En utilisant la classification de Grard Vergnaud, dans quelle catgorie de problmes additifssont classs ces quatre problmes ?

2. Classer les problmes 1, 3 et 4 par ordre de difficult, en justifiant votre classement.

3. Proposer, sur le modle de l'Annexe 5, un problme de comparaison d'tat, pouvant tre propos des lves de CE1. Vous justifierez brivement votre proposition.

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Annexe 1

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Annexe 2

lve A : Nomie

lve B : Lucie

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lve C : La

lve D : Floriane

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Production agrandie

Annexe 3

ExerciceVoici quatre traits A, B, C et D ; on veut les agrandir.

On a effectu l'agrandissement des traits A et B.

Effectue le mme agrandissement pour les traits C et D.

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Annexe 4

Rponses des lves

Les longueurs des segments sont exprimes en carreaux.

Longueur du segment C Longueur du segment D

lve 1 16 18

lve 2 18 20

lve 3 18 21

lve 4 12 14

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Annexe 5

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Exercice 1: Vrai ou Faux? (5 points)5. On lance simultanment deux ds six faces (numrotes de 1 6).

Exercice 2 (4 points)Exercice 3 (4 points)PrsentationPartie A (3,5 points)Partie B (5,5 points)PrsentationQuestionsExercice 1 (7 points)Exercice 2 (7 points)