Mathematische und statistische Methoden...
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Statistik &Methodenlehree ode e e
Prof. Dr. G. Meinhardt6. Stock, Wallstr. 3(Raum 06-206)
Mathematische und statistische Methoden II
( )
Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. statistische Methoden IIg
Dr. Malte PersikeDr. Malte [email protected]
http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/methods/
SS 2010Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches InstitutJohannes Gutenberg Universität MainzJohannes Gutenberg Universität Mainz
Statistik &Methodenlehre Tests für Ordinaldaten Tests für Intervalldatene ode e e
Tests für OrdinaldatenU-TestDas Problem der Verteilungsannahme
Die theoretische Verteilung ordinalskalierter Daten istVorzeichentest
Die theoretische Verteilung ordinalskalierter Daten ist nicht nur unbekannt, sie ist auch als mathematische Formalisierung nicht ermittelbar, da das Merkmal nicht metrisch (intervallskaliert) istWilcoxon nicht metrisch (intervallskaliert) ist.
Das Problem entsteht, weil bei ordinalskalierten Daten nicht nur die gesamte Skala transformiert werden darf
WilcoxonVorzeichen-rangtest
nicht nur die gesamte Skala transformiert werden darf (z.B. von °C zu °F), sondern jeder einzelne Punktseparat, solange die Ordnung erhalten bleibt.
Damit sind die numerischen Beobachtungen als Abszissenwerte (x-Werte) in einer mathematischen Funktion nicht zu gebrauchen.g
Statistik &Methodenlehre Tests für Ordinaldaten Tests für Intervalldatene ode e e
Tests für OrdinaldatenU-TestU-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Ziel: Test ob sich zwei unabhängige Stichproben inVorzeichentest Ziel: Test, ob sich zwei unabhängige Stichproben in
ihrer Ausprägung auf einem ordinalskalierten Merkmal unterscheiden
WilcoxonBeispiele: Sind mündliche Bewertungen von Schülern zwischen zwei Schulklassen unterschiedlich? Sind junge Frauen anders mit einem bestimmten Produkt
WilcoxonVorzeichen-rangtest
junge Frauen anders mit einem bestimmten Produkt zufrieden als ältere Frauen (Zufriedenheitseinschätzung z.B. von 0-100%)
Voraussetzungen: Die Stichproben müssen unabhängig sein. Die dem Merkmal tatsächlich zugrunde liegende Verteilungsfunktion soll stetig sein.g g g g
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Datenlage: Man hat an zwei unabhängigen
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Vorzeichentest Datenlage: Man hat an zwei unabhängigen Stichproben der Größen n1 und n2 ein ordinalskaliertes Merkmal erhoben.
WilcoxonBewertet worden sei die Leistung von Studierenden mit ländlicher Sozialisation vs. urbaner Sozialisation in einer mündlichen Prüfung (Punkteskala von 0 – 50)
WilcoxonVorzeichen-rangtest
einer mündlichen Prüfung (Punkteskala von 0 50)
X1: 22, 47, 50, 35, 33, 2, 48, 7, 8, 34, 41, 49, 45,39, 23, 3839, 23, 38
X2: 13, 16, 27, 24, 11, 12, 18, 17, 40, 19, 31, 32
Frage: Erreichen die Stichproben unterschiedliche Punktzahlen?
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Testidee: Zwar kann keine theoretische
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Vorzeichentest Testidee: Zwar kann keine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung formal abgeleitet werden, aber die empirischen Verteilungen können verglichen werdenWilcoxon verglichen werden.
Wenn zwei Stichproben aus derselben Population stammen sollten ihre Wahrscheinlichkeitsverteil-
WilcoxonVorzeichen-rangtest
stammen, sollten ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen p(X=x) bzw. ihre Verteilungsfunktionenp(X≤x) gleich sein (wenn auch unbekannt)
Sei xi ein Wert, der in Stichprobe 1 beobachtet wurde, und yj ein Wert aus Stichprobe 2, dann sollte für jedes Wertepaar gelten, dass p(xi>yj) = 0.5, wenn die p g , p( i yj) ,Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Nun kann jeder Merkmalsträger in Stichprobe 1 paarweise
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Vorzeichentest j g p pverglichen werden mit jedem Merkmalsträger in Stichprobe 2 und festgestellt werden ob gilt
Fall 1: X Y>Wilcoxon Fall 1:Fall 2 :Fall 2 :
X YX YX Y
><=
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Dies ist äquivalent mit der Prüfung, ob der Rang des Merkmalsträgers in Stichprobe 1 größer, kleiner oder gleich d R d V l i h bj kt i Sti h b 2 i t
Fall 2 : X Y
dem Rang des Vergleichssubjektes in Stichprobe 2 ist
Fall 1: ( ) ( )Fall 2 : ( ) ( )
rg X rg Yrg X rg Y
<>
Niedrigere Zahl, Fall 2 : ( ) ( )
Fall 2 : ( ) ( )rg X rg Yrg X rg Y
>=
,niedrigerer Rang
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Methode: Das x y x1, x2 Stichprobe
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestVerfahren der Rangbildung beim U-Test
22 13
47 16
50 27
35 24
22 1
47 1
50 1Wilcoxon
Die Daten werden zunächst in
35 24
33 11
2 12
48 18
… …
39 1
23 1
38 1
WilcoxonVorzeichen-rangtest
zunächst in eine Tabelle geschrieben und die
7 17
8 40
34 19
41 31
13 2
16 2
27 2
und die Zugehörigkeit festgehalten
41 31
49 32
45
39
… …
19 2
31 2
32 2
23
38
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Tests für OrdinaldatenU-Test
N dx1, x2 Stichprobe Rangplatz
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestNun werden Rangplätze für die Daten vergeben
x1, x2 Stichprobe Rangplatz
22 1 11
47 1 25
50 1 28WilcoxonAchtung: Datei erhält die kleinste Zahl den kleinsten Rang
50 1 28
… … …
39 1 21
23 1 12
WilcoxonVorzeichen-rangtest
kleinsten Rang.
Bei Ties (Rang-bindungen) wird ein
23 1 12
38 1 20
13 2 6
16 2 7bindungen) wird ein mittlerer Rangvergeben
16 2 7
27 2 14
… … …
19 2 1019 2 10
31 2 15
32 2 16
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Die Anzahl dieser Vergleiche jedes Merkmalsträgers in Sti h b 1 it j d i Sti h b 2 i t
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestStichprobe 1 mit jedem in Stichprobe 2 ist
1 2paarweiseN n n= ⋅Wilcoxon
Aus dem Vergleich der Ränge erhält man nun die Summen der Rangunterschreitungen, der Rangüberschreitungen sowie der Ties. Man definiere
WilcoxonVorzeichen-rangtest
( ) ( )( )( ) ( )( )
Summe d. Rangunterschreitungen
' Summe d. Rangüberschreitungen
U h rg X rg Y
U h rg X rg Y
= < →
= > →
Lässt man Ties außer acht, so muss gelten:
( ) ( )( ) Summe d. RangbindungenTie h rg X rg Y= = →
, g
1 2 1 2' 'U U n n U n n U+ = ⋅ ⇔ = ⋅ −
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Man kann nun einen Binomialtest durchführen um
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestMan kann nun einen Binomialtest durchführen, um folgende Hypothesen zu prüfen:
0 1: ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5H p rg X rg Y H p rg X rg Y< = > ≠Wilcoxon 0 1
0 1
0 1
( ( ) ( )) ( ( ) ( )): ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5: ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5
p g g p g gH p rg X rg Y H p rg X rg YH p rg X rg Y H p rg X rg Y
< ≤ > >< ≥ > <
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Oft wird dies gleichgesetzt mit der Prüfung, ob der Median der einen Stichprobe anders ist als der MedianMedian der einen Stichprobe anders ist als der Median der anderen.
Dies trifft nur zu, wenn die Wahrscheinlichkeits-,verteilungen von X und Y gleich sind.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Hinweis: Für den Binomialtest wäre die Rangbildung
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Vorzeichentest Hinweis: Für den Binomialtest wäre die Rangbildung noch nicht erforderlich, man könnte auch die Rohdaten selbst vergleichen und auszählen.
WilcoxonProblem: Die Zahl der notwendigen paarweisen Vergleiche wird bei zunehmendem Stichprobenumfang sehr schnell sehr groß (n1·n2)
WilcoxonVorzeichen-rangtest
sehr schnell sehr groß (n1 n2).
Zur vereinfachten Berechnung wird das Verfahren von Mann-Whitney verwendet.Mann Whitney verwendet.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
G did U t d H0 llt i b id Sti h b
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestGrundidee: Unter der H0 sollten in beiden Stichproben die Ränge ähnlich (bzw. gleich) sein
Damit sollten auch die Summen der Ränge ähnlichWilcoxon g(bzw. gleich) sein
Seien R1 und R2 die Rangsummen der beiden Stich-proben und R die gesamte Rangsumme so muss gelten
WilcoxonVorzeichen-rangtest
proben und R die gesamte Rangsumme, so muss gelten
mit N = n1+n21 2( 1)2
N NR R R ⋅ += + =
Wir haben zudem bereits gesehen, dass gilt
1 2 2
1 2 'U n n U= ⋅ −
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Tests für OrdinaldatenU-Test
D l i h B h f l fü A hl d
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestDaraus lassen sich Berechnungsformeln für Anzahl der Rangunter-/überschreitungen herleiten. Es gilt:
( 1)n n +Wilcoxon1 1
1 2 1( 1)2( 1)
n nU n n R
n n
⋅ += ⋅ + −
+
WilcoxonVorzeichen-rangtest
2 21 2 2
( 1)'2
n nU n n R⋅ += ⋅ + −
Der kleinere der U-Werte ist bereits die Prüfgröße. Sie ist U-verteilt mit den Parametern n1 und n2.
Die U-Verteilung ist tabelliert für kleine n.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
B i öß Sti h b ( i d t i 10) i t di
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
VorzeichentestBei größeren Stichproben (mindestens ein n > 10) ist die Prüfgröße U approximativ normalverteilt.
Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichenWilcoxon Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichen Vergleiche (dies ist der Wert, wenn U = U‘)
1 2n n⋅
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Die Standardabweichung lautet
1 2
2Uμ =
Die Standardabweichung lautet
( )1 2 1 2 112U
n n n nσ
⋅ ⋅ + +=
12U
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Damit ergibt sich die Prüfgröße (mit Yates-Korrektur)
U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.
Vorzeichentest0.5U
U
Uz
μσ
− −=
WilcoxonDabei ist U der kleinere oder größere beider U-Werte.
Sie ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Bei Ties berechnet sich der korrigierte Standardfehler als
3 3k
N N t t∑( )
11 2, 1 12
i ii
U Korr
N N t tn n
N Nσ =
− − −⋅
= ⋅ ⋅⋅ −
∑
mit ti = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung)k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Hinweis: Der U Test nach Mann Whitney ist
U-Test und Wilcoxon Rangsummentest
Vorzeichentest Hinweis: Der U-Test nach Mann-Whitney ist mathematisch äquivalent zum so genannten Wilcoxon Rangsummentest, der von einer ähnlichen Testidee ausgehtWilcoxon ausgeht.
Der U-Test wird daher manchmal auch als MWW-Test (Mann-Whitney-Wilcoxon Test) bezeichnet
WilcoxonVorzeichen-rangtest
(Mann Whitney Wilcoxon Test) bezeichnet.
Er ist nicht zu verwechseln mit dem Wilcoxon Vorzeichenrangtest für abhängige Stichproben.Vorzeichenrangtest für abhängige Stichproben.
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Oft ist man bei einem ordinalskalierten Merkmal beiVorzeichentestOft ist man bei einem ordinalskalierten Merkmal bei abhängigen Stichproben lediglich an einem höher/niedriger Urteil interessiert.
WilcoxonBeispiele: Verringert sich eine Zwangsstörung nach einer Therapie? Verbessert sich Führungsverhalten infolge eines Outdoor-Selbstfindungstrainings?
WilcoxonVorzeichen-rangtest
infolge eines Outdoor Selbstfindungstrainings?
Hier findet der Vorzeichentest Anwendung, der aufgrund seiner Einfachheit sehr rasch zu berechnenaufgrund seiner Einfachheit sehr rasch zu berechnen ist.
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Datenlage: Bei abhängigen Stichproben liegen zweiVorzeichentest Datenlage: Bei abhängigen Stichproben liegen zwei
Messungen vor, für die eine Höher/Niedriger/Gleich Beziehung formuliert werden kann.
WilcoxonBeispiel: Bei N = 13 Probanden urbaner Herkunft wird ein Rhetoriktraining für mündliche Prüfungsleis-tungen angewandt und die Verbesserung gemessen
WilcoxonVorzeichen-rangtest
tungen angewandt und die Verbesserung gemessen.
Verbesserungen werden mit „+“ kodiert, Verschlechterungen mit „-“,Verschlechterungen mit „ ,konstante Konzentrastionsleistungen mit „=„.
Daten: -, +, +, -, =, -, +, +, +, +, +, +, +, , , , , , , , , , , ,
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Sei n die Anzahl von +“ Beobachtungen und n dieVorzeichentest
Sei n+ die Anzahl von „+“ Beobachtungen und n- die Anzahl von „-“ Beobachtungen, so sollte unter der H0gelten, dass
Wilcoxonn n N n∗+ − += = −
WilcoxonVorzeichen-rangtest
mit (m = Anzahl „=“)N N m n n m∗+ −= − = + −
Gleiche Beobachtungen („=“) werden beim Vorzeichentest ignoriert, da sie ohnehin die H0 (kein Unterschied) unterstützen)
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Die Wahrscheinlichkeit für +“ (ebenso wie die für “)Vorzeichentest
Die Wahrscheinlichkeit für „+“ (ebenso wie die für „-“) sollte nun binomialverteilt sein mit p=0.5 und n = N*
Man könnte nun einen 1-Stichproben BinomialtestWilcoxon Man könnte nun einen 1-Stichproben Binomialtestdurchführen, um folgende Hypothesen zu prüfen:
0 1: ; :H p p H p p= ≠
WilcoxonVorzeichen-rangtest
0 1
0 1
: ; :: ; :
H p p H p pH p p H p pH H
+ − + −
+ − + −
≠
≤ >≥ <
Man nimmt nun an, dass wegen der Symmetrie von p und
0 1: ; :H p p H p p+ − + −≥ <
, g y pq unter H0 praktisch immer die Normalverteilungs-approximation verwendet werden kann.
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Der Erwartungswert der Summe positiver (bzwVorzeichentest
Der Erwartungswert der Summe positiver (bzw. negativer) Vorzeichen ist
*NWilcoxon*( ) ( )
2NE n E n N p+ −= = ⋅ =
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Die Standardabweichung ist
*N*( )
4Nn N p qσ + = ⋅ ⋅ =
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Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben
Man gelangt zu der Prüfgröße (mit Yates Korrektur):Vorzeichentest
Man gelangt zu der Prüfgröße (mit Yates-Korrektur):
0.52
Nn∗
− −Wilcoxon 2
4
zN ∗
=WilcoxonVorzeichen-rangtest
mit n = n+ oder n-
4
z ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.
Es gelten also zur Bewertung der Prüfgröße beim g g gVorzeichentest die üblichen kritischen Werte
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Tests für OrdinaldatenU-TestWilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
Ziel: Test ob sich zwei abhängige Stichproben in ihrerVorzeichentest Ziel: Test, ob sich zwei abhängige Stichproben in ihrer
Ausprägung auf einem ordinalskalierten Merkmal unterscheiden
WilcoxonBeispiele: Verbessert sich die Leistung in mündlichen Prüfungen nach einem Rhetorik-Training? Sinkt das subjektive Laustärke-Empfinden von Bewohnern in der
WilcoxonVorzeichen-rangtest
subjektive Laustärke Empfinden von Bewohnern in der Einflugschneise des Frankfurter Flughafens nach einem Volkshochschulkurs Zen-Meditation?
Voraussetzungen: Die Merkmalsträger in den Stichproben müssen paarweise zuordenbar sein. Die dem Merkmal tatsächlich zugrunde liegende Verteilungs-g g gfunktion soll stetig sein.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Datenlage: Man hat an zwei abhängigen Stichproben
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
Vorzeichentestder Größe N ein ordinalskaliertes Merkmal erhoben.
Es werden die Leistungen von N=13 Schülern in zwei ä i l t M th tikt t b t ilt ( iWilcoxon äquivalenten Mathematiktests beurteilt (von einem Prüfer). Vor der Korrektur des zweiten Tests erhält der Prüfer die Information, die Schüler stammten aus einer Hochbegabtenklasse
WilcoxonVorzeichen-rangtest
einer Hochbegabtenklasse.
X1: 22, 47, 50, 35, 33, 12, 48, 17, 18, 34, 41X2: 13 16 27 24 11 12 18 17 40 19 35X2: 13, 16, 27, 24, 11, 12, 18, 17, 40, 19, 35
Frage: Werden die Leistungen im 2. Test besser beurteilt?beurteilt?
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Testidee: Für jede Beobachtungseinheit können
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
VorzeichentestTestidee: Für jede Beobachtungseinheit können Differenzen zwischen den beiden Stichproben berechnet werden (di = yi – xi).WilcoxonZwar ist der absolute Betrag dieser Differenzen nicht interpretierbar, die Differenzen sind aber ordinalskaliert Größere Differenzen bedeuten also
WilcoxonVorzeichen-rangtest
ordinalskaliert. Größere Differenzen bedeuten also größere Veränderungen zwischen den Stichproben.
Unter der H0, d.h. bei gleichen Wahrscheinlichkeitsver-Unter der H0, d.h. bei gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen in beiden Stichproben, sollten nun die Verbundwahrscheinlichkeiten, dass eine gegebene Differenz ein positives bzw. negatives Vorzeichen hat, p g ,identisch sein (p(D=d ∩ d>0) = 0.5)
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Methode: Zur Durchführung des Wilcoxon Vo ei hen ng Te t e den n n nä h t die
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
VorzeichentestVorzeichenrang Tests werden nun zunächst die Differenzen di zwischen beiden Stichproben gebildet.
Nr. t1 t2 dWilcoxon1 8 5 -3
2 5 10 5
3 5 9 4
4 11 5 6
WilcoxonVorzeichen-rangtest
4 11 5 -6
5 22 22 0
6 12 5 -7
7 18 49 31
8 24 49 25
9 16 46 30
10 5 7 2
11 18 42 2411 18 42 24
12 14 43 29
13 12 37 25
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Dann werden die Absolutwerte |di|dieser Differenzen gebildet
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
Vorzeichentestgebildet.
Nr. t1 t2 d |d|Wilcoxon | |
1 8 5 -3 3
2 5 10 5 5
3 5 9 4 4
WilcoxonVorzeichen-rangtest
4 11 5 -6 6
5 22 22 0 0
6 12 5 -7 7
7 18 49 31 31
8 24 49 25 25
9 16 46 30 30
10 5 7 2 2
11 18 42 24 24
12 14 43 29 29
13 12 37 25 25
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Nun erhalten diesen Absolutwerte Rangplätze rg(|di|).ff
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
VorzeichentestAchtung: Dabei erhält die kleinste Differenz den kleinsten Rang.
Nr. t1 t2 d |d| rg(d)Wilcoxon1 8 5 -3 3 2
2 5 10 5 5 4
3 5 9 4 4 3
4 11 5 6 6 5
WilcoxonVorzeichen-rangtest
4 11 5 -6 6 5
5 22 22 0 0
6 12 5 -7 7 6
7 18 49 31 31 12
8 24 49 25 25 8.5
9 16 46 30 30 11
10 5 7 2 2 1
11 18 42 24 24 711 18 42 24 24 7
12 14 43 29 29 10
13 12 37 25 25 8.5
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Schließlich werden die Vorzeichen der Differenzen fe tge tellt Die e e den fü die Be e hn ng de
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
Vorzeichentestfestgestellt. Diese werden für die Berechnung der Prüfgröße
Nr. t1 t2 d |d| rg(d) + - =Wilcoxon1 8 5 -3 3 2 + -
2 5 10 5 5 4 + -
3 5 9 4 4 3 + -
4 11 5 -6 6 5 + -
WilcoxonVorzeichen-rangtest
4 11 5 -6 6 5 + -
5 22 22 0 0 0 + =
6 12 5 -7 7 6 + -
7 18 49 31 31 12 + -
8 24 49 25 25 8.5 +
9 16 46 30 30 11 +
10 5 7 2 2 1 +
11 18 42 24 24 7 +11 18 42 24 24 7 +
12 14 43 29 29 10 + -
13 12 37 25 25 8.5 +
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Tests für OrdinaldatenU-Test
N lldiff (A hl ) d i i d
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
VorzeichentestNulldifferenzen (Anzahl: m) werden a priori von der Rangplatzvergabe ausgeschlossen. Damit reduziert sich die Anzahl zu berücksichtigender Differenzen auf
Wilcoxon
Sei T die Rangsumme der Differenzen mit positivem
*N N m= −WilcoxonVorzeichen-rangtest
Sei T+ die Rangsumme der Differenzen mit positivem Vorzeichen und T- die Rangsumme der di mit negativem Vorzeichen, so gilt für die Summe aller Ränge R
* *( 1)2
N NR T T+ −
⋅ += + =
Der kleinere der beiden T-Werte ist bereits die Prüfgröße. Die Verteilung ist tabelliert für kleine N.
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Tests für OrdinaldatenU-Test
B i öß Sti h b (N 25) i t di P üf öß T
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
VorzeichentestBei größeren Stichproben (N>25) ist die Prüfgröße T approximativ normalverteilt.
Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichenWilcoxon Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichen Vergleiche (dies ist der Wert, wenn T+ = T-)
( )* * 1N N⋅ +
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Die Standardabweichung lautet
( )4Tμ =
Die Standardabweichung lautet
( ) ( )* * *2 1 1T
N N Nσ
⋅ + ⋅ +=
24T
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Tests für OrdinaldatenU-Test
Damit ergibt sich die Prüfgröße (mit Yates-Korrektur)
Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.
Vorzeichentest0.5T
T
Tz
μσ
− −=
WilcoxonT = T+ oder T-.
Sie ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.
WilcoxonVorzeichen-rangtest
Sie ist standardnormalverteilt mit μ 0 und σ 1.
Bei Ties berechnet sich die korrigierte Standardabw. als
( ) ( ) ( )1 k
( ) ( ) ( )* * * 3
1,
12 1 12
24
i ii
T Korr
N N N t tσ =
⋅ + ⋅ + − ⋅ −=
∑
mit ti = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung)
k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen