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Mathématiques Mathématiques SNSN
La fonctionLa fonctionRACINE CARRÉERACINE CARRÉE
DéfinitionDéfinition
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉERACINE CARRÉE - -
La La racine carréeracine carrée d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x . d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x .
ExemplesExemples : : car 3 x 3 = 9 ou (3)car 3 x 3 = 9 ou (3)22 = 9 = 9
On note On note la racine carrée de x .la racine carrée de x .x
39
car 7 x 7 = 49 ou (7)car 7 x 7 = 49 ou (7)22 = 49 = 49749
PropriétésPropriétés : :
baba 155353: Exemple
2
1
aa
b
a
b
a
5
3
5
3: Exemple
aa 2 5255: 2 Exemple
Attention !Attention !
- 5 = Ø- 5 = Ø
Attention !Attention !
- 5 = Ø- 5 = Ø
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉERACINE CARRÉE - -
Rationalisation du dénominateurRationalisation du dénominateur
Lorsqu’une Lorsqu’une fractionfraction comporte un nombre comporte un nombre irrationnelirrationnel au au dénominateurdénominateur, la rationalisation consiste à le rendre, la rationalisation consiste à le rendre rationnelrationnel..
Exemple #1 :Exemple #1 : 11
22Rationnaliser Rationnaliser . .
11
22==
11
22xx
22
22==
22
( 2 )( 2 )22==
22
22
IrrationnelIrrationnel RationnelRationnel
Exemple #2 :Exemple #2 : Rationnaliser Rationnaliser . .66
4 + 74 + 7
66
4 + 74 + 7==
66
4 + 74 + 7xx 4 – 74 – 7
4 – 74 – 7
6 x ( 4 – 7 )6 x ( 4 – 7 )
( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 )( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 )==
24 – 6 724 – 6 7
16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )22==
24 – 6 724 – 6 7
16 – 716 – 7==
24 – 6 724 – 6 7
99==
8 – 2 78 – 2 7
33==
IrrationnelIrrationnel
RationnelRationnel
Exemple #3 :Exemple #3 : Rationnaliser Rationnaliser . .1010
11 – 711 – 7
1010
11 – 711 – 7==
1010
11 – 711 – 7xx 11 + 711 + 7
11 + 711 + 7
10 x ( 11 + 7 )10 x ( 11 + 7 )
( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 )( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 )==
10 11 + 10 710 11 + 10 7
( 11 )( 11 )2 2 + 11 7 – 11 7 – ( 7 )+ 11 7 – 11 7 – ( 7 )22==
IrrationnelIrrationnel
10 11 + 10 710 11 + 10 7
( 11 )( 11 )2 2 – ( 7 )– ( 7 )22==
10 11 + 10 710 11 + 10 7
1111 – 7– 7==
10 11 + 10 710 11 + 10 7
44==
5 11 + 5 75 11 + 5 7
22==
RationnelRationnel
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (hh, , kk).).
Exemple :Exemple :
aa bb hh kk
a a == - 2 - 2b b == 3 3h h == 1 1k k == 4 4
f(x) = x f(x) = x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa bb ( x – ( x – hh ) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
f(x) = f(x) = aa x – x – h h + + kk
f(x) = f(x) = -2-2 33 ( x – ( x – 11 ) + ) + 44
f(x) = f(x) = aa - ( x – - ( x – hh ) + ) + kk (formes CANONIQUES)(formes CANONIQUES)
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉERACINE CARRÉE - -
xx f(x)f(x)
00 00
11 11
22 1,411,41
44 22
99 33
1616 44
-1-1 ØØ
f(x) = x f(x) = x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
car f(0) = 0 = 0car f(0) = 0 = 0
car f(1) = 1 = 1car f(1) = 1 = 1
car f(2) = 2 = 1,41car f(2) = 2 = 1,41
car f(4) = 4 = 2car f(4) = 4 = 2
car f(9) = 9 = 3car f(9) = 9 = 3
car f(16) = 16 = 4car f(16) = 16 = 4
car f(-1) = -1 = Impossiblecar f(-1) = -1 = Impossible
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
xx f(x)f(x)
00 00
11 11
44 22
99 33
1616 44
2525 55
3636 66
SommetSommet
f(x) = x f(x) = x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
Sommet (0, 0)Sommet (0, 0)
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
xx f(x)f(x)
00 00
11 -1-1
44 -2-2
99 -3-3
1616 -4-4
2525 -5-5
3636 -6-6
SommetSommet
f(x) = - x f(x) = - x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)
Sommet (0, 0)Sommet (0, 0)
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
xx f(x)f(x)
00 00
-1-1 11
-4-4 22
-9-9 33
-16-16 44
-25-25 55
-36-36 66
SommetSommet
f(x) = -x f(x) = -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)
Sommet (0, 0)Sommet (0, 0)
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
xx f(x)f(x)
00 ØØ
11 ØØ
22 ØØ
33 44
44 22
77 00
1212 -2-2
SommetSommet
f(x) = - 2 x – 3 + 4 f(x) = - 2 x – 3 + 4
Sommet (3, 4)Sommet (3, 4)
11
11
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Sommet (Sommet (hh, , kk))
((hh, , kk) = sommet) = sommet
f(x) = f(x) = aa bb ( x – ( x – hh ) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
a : + b : +a : + b : –
a : – b : – a : – b : +
Forme canonique <---> généraleForme canonique <---> générale
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Exemple #1 :Exemple #1 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = - 3 4x + 8 – 2f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique. sous la forme canonique.
f(x) = - 3 4x + 8 – 2f(x) = - 3 4x + 8 – 2
f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2
f(x) = - 3 4 x + 2 – 2f(x) = - 3 4 x + 2 – 2
f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2
f(x) = -6 x + 2 – 2f(x) = -6 x + 2 – 2
Sommet (-2, -2)Sommet (-2, -2)
11
11
Exemple #2 :Exemple #2 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique. sous la forme canonique.
f(x) = 12 – 4x + 6f(x) = 12 – 4x + 6
f(x) = - 4x + 12 + 6f(x) = - 4x + 12 + 6
f(x) = 4 - (x – 3) + 6f(x) = 4 - (x – 3) + 6
f(x) = - 4 (x – 3) + 6f(x) = - 4 (x – 3) + 6
f(x) = 2 - (x – 3) + 6f(x) = 2 - (x – 3) + 6
Sommet (3, 6)Sommet (3, 6)
11
11
Exemple #3 :Exemple #3 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique. sous la forme canonique.
f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3
f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3
f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3
Sommet (2, 3)Sommet (2, 3)
11
11
f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3
Recherche de l’équationRecherche de l’équation
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Exemple :Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.fonction.
S(8, -5)S(8, -5)
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
22
22P(-1, 7)P(-1, 7)
Exemple :Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.fonction.
S(8, -5)S(8, -5)
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
22
22P(-1, 7)P(-1, 7)
7 = 7 = aa - (-1 – 8 ) – 5 - (-1 – 8 ) – 5
f(x) = f(x) = aa x – x – h h + + kk
f(x) = f(x) = aa - ( x – - ( x – hh ) + ) + kk (formes CANONIQUES)(formes CANONIQUES)
7 = 7 = aa - (-9) – 5 - (-9) – 57 = 7 = aa 9 – 5 9 – 57 = 7 = aa (3) – 5 (3) – 5
12 = 312 = 3aa
4 = 4 = aa
Réponse :Réponse : f(x) = f(x) = 44 - ( x – - ( x – 88 ) – ) – 55
a : + b : –
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Exemple #1 :Exemple #1 :
Réponse :Réponse : x x { 7 } { 7 }
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphiqueTrouver les zéros de Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4f(x) = 2 x – 3 – 4 . .
0 = 2 x – 3 – 4 0 = 2 x – 3 – 4
4 = 2 x – 34 = 2 x – 3
2 = x – 32 = x – 3
(2)(2)22 = ( x – 3 ) = ( x – 3 )22
4 = x – 34 = x – 3
7 = x7 = x11
11
Sommet (3, -4)Sommet (3, -4)
Il faut que x – 3 ≥Il faut que x – 3 ≥ 0 0
Alors que Alors que x ≥ 3x ≥ 3
VALIDATONVALIDATON
0 = 2 (7) – 3 – 4 0 = 2 (7) – 3 – 4
0 = 2 4 – 4 0 = 2 4 – 4
0 = 4 – 4 0 = 4 – 4
0 = 00 = 0
Exemple #2 :Exemple #2 :
Réponse :Réponse : x x { - 2 } { - 2 }
Résoudre Résoudre 4 4 5 – 2x = 125 – 2x = 12 . .
5 – 2x = 35 – 2x = 3
x = - 2x = - 2
Il faut que 5 – 2x ≥Il faut que 5 – 2x ≥ 0 0
Alors que Alors que x ≤ 5/2x ≤ 5/2( 5 – 2x )( 5 – 2x )2 2 = = (3)(3)22
5 – 2x5 – 2x = = 99
- 2x- 2x = = 44 Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (5/2, 0)Sommet (5/2, 0)
- 2x + 5 = 3- 2x + 5 = 3
- 2 (x – 5/2) = 3- 2 (x – 5/2) = 3
y = 3y = 3
VALIDATONVALIDATON
4 5 – 2(-2) = 124 5 – 2(-2) = 12
4 5 – -4 = 124 5 – -4 = 12
4 9 = 124 9 = 12
4 (3) = 124 (3) = 12
12 = 1212 = 12
Exemple #3 :Exemple #3 :
Réponse :Réponse : x x { { } }
Résoudre Résoudre 2 2 x + 4 = 0x + 4 = 0 . .
2 x = - 42 x = - 4 Il faut que x ≥Il faut que x ≥ 0 0
( x )( x )2 2 = = (- 2)(- 2)22
x = x = 44 Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (0, 4)Sommet (0, 4)
x = - 2x = - 2
Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !
À rejeterÀ rejeter
VALIDATONVALIDATON
2 4 + 4 = 02 4 + 4 = 0
2 (2) + 4 = 02 (2) + 4 = 0
4 + 4 = 04 + 4 = 0
8 8 0 0
Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -
Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)
Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x
x + 1 = 2xx + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0
Alors que Alors que x ≥ -1x ≥ -1( x + 1 )( x + 1 )2 2 = = (2x)(2x)22
x + 1 x + 1 = = 4x4x22
0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1
f(x) f(x) = = g(x)g(x)
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)x = x = -b -b b b22 – 4ac – 4ac
2a2a
x = x = -1 -1 (-1) (-1)22 – 4(4)(- – 4(4)(-
1)1)
2(4)2(4)
x = x = -3 -3 17 17
88
xx11 ≈≈ -0,39 -0,39 et et xx22 ≈≈ 0,64 0,64
Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x
x + 1 = 2xx + 1 = 2x
-0,39 ≈ x-0,39 ≈ x11
Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0
Alors que Alors que x ≥ -1x ≥ -1( x + 1 )( x + 1 )2 2 = = (2x)(2x)22
x + 1 x + 1 = = 4x4x22
0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1
f(x) f(x) = = g(x)g(x)
0,64 ≈ x0,64 ≈ x22
À rejeterÀ rejeter
Réponse :Réponse : x x ] 0,64, + ∞ ] 0,64, + ∞
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)
VALIDATON de xVALIDATON de x11
(-0,39) + 1 = 2(-0,39)(-0,39) + 1 = 2(-0,39)
0,61 = -0,780,61 = -0,78
0,78 0,78 -0,78 -0,78
VALIDATON de xVALIDATON de x22
(0,64) + 1 = 2(0,64)(0,64) + 1 = 2(0,64)
1,64 = 1,281,64 = 1,28
1,28 = 1,281,28 = 1,28
Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) ≥≥ g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x
Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique
11
11
Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)
Réponse :Réponse : x x [ -1 ; 0,64 ] [ -1 ; 0,64 ]
x + 1 = 2xx + 1 = 2x
-0,39 ≈ x-0,39 ≈ x11
Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0
Alors que Alors que x ≥ -1x ≥ -1( x + 1 )( x + 1 )2 2 = = (2x)(2x)22
x + 1 x + 1 = = 4x4x22
0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1
f(x) f(x) = = g(x)g(x)
0,64 ≈ x0,64 ≈ x22
À rejeterÀ rejeter