MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Statistique et Probabilités.
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MATHÉMATIQUESMATHÉMATIQUESSERIE SCIENCES ET SERIE SCIENCES ET
TECHNOLOGIES DE LA GESTIONTECHNOLOGIES DE LA GESTION
Statistique et Statistique et ProbabilitésProbabilités
Statistique et probabilitésStatistique et probabilités Des programmes identiques en 1Des programmes identiques en 1èreère et en Terminale pour et en Terminale pour
toutes les spécialitéstoutes les spécialités.
Introduction des probabilités en s’appuyant sur des Introduction des probabilités en s’appuyant sur des simulationssimulations
« Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité, en s’appuyant sur les notions de fluctuation d’échantillonnage et de simulation abordées dans la partie statistique du programme de la classe de seconde pour souligner les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. »
La calculatrice et le tableurLa calculatrice et le tableur : des outils à privilégier« L’usage de la calculatrice ou d’un tableur permet d’enrichir le
champ des épreuves aléatoires simulées. »
STATISTIQUESTATISTIQUE
Niveau premièreNiveau première
Étude de séries de données à une variable Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en secteurs ou en bâtons. Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de
sous population) - médiane Dispersion : - quartiles, déciles - intervalle interquartile,intervalle interdécile. - écart type Rédiger l’interprétation d’un résultat ou d’un graphique
Tableaux croisés d’effectifs Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B
Caractéristiques de Caractéristiques de positionposition et de dispersionet de dispersion
Moyenne + écart type(Sensibles aux valeurs extrêmes)
ou
Médiane + écart interquartile
Dans un lycée, on a relevé
les pointures de trois groupes d’élèves :
Pour le groupe 1 : (15 élèves) 36_ 38_38_3838_39_39_39_39_40_40_41_4343_ 43_45_46
Pour le groupe 2 : (16 élèves) 35,5_36_36_3636_37_37_37.5_38_38_38_38_3939_41_41_42_42
La médiane n’est pas toujours une valeur de la série.La médiane n’est pas toujours une valeur de la série.
Les quartiles sont des Les quartiles sont des valeursvaleurs de la série de la série..
Calcul de la médiane et des quartilesCalcul de la médiane et des quartiles.
•Pour le groupe 3 : (16 élèves) 35,5_36_36_3636_37_37_37.5_37,5_38_38_38_3939_41_41_42_42
MédianeMédiane = 37,7537,75
Exemple de calcul de Q3Exemple de calcul de Q3:
Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des données y soient inférieures ou égales
36 38 38 38 39 39 39 39 40 40 41 43 43 45 46
0,75×15 = 11,25
Le troisième quartile est la 12ème valeur
Q3 = 43
Calcul à la mainAvec la
calculatriceAvec un tableur
Quartile 1 36 36,5 36,5
Médiane 38 38 38
Quartile 3 39 40 39,5
Comparons ces valeurs à celles données par la calculatrice et celles trouvées sur tableur:
35,5 36 36 36 37 37 37.5 38 38 38 38 39 41 41 42 42
Diagrammes en boîtes calculatrice site académique Euler (n°63) tableur
35,5 36 38 39 42 43 46
min Q1 me Q3 max
Série 1
Série 2
Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes
Tableau des salaires en euro des employés d’une entreprise au 31 -12- 02
A 898,93 F 1474,16 K 1665,49 Q 898,93 V 1 303,36
B 1883,54 G 1295,06 L 898,93 R 1 303,66 W 2 057,93
C 2 295,9 H 827,93 M 898,93 S 1 491,54 X 898,93
D 898,93 I 1146,08 N 947,2 T 898,93 Y 1 200,51
E 1099,44 J 1303,75 P 4 106,25 U 1 007,13 Z 1 303,36
Le salaire médian : 1 200,51 € écart interquartile : 574,9 €le salaire moyen : 1 360,18 € s = 678,96 €
si on ne tient pas compte des salaires extrêmes :
Le salaire médian : 1200,51 € écart interquartile : 574.9 € le salaire moyen = 1263,92 € s = 389,39 €
la moyenne et l’écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes
Tableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielleTableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielle
Effectifs Familles
traditionnellesFamilles
monoparentalesFamilles
recomposées.Total
Moins de 30ans 712 197 92 1 001
De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344
De 40 à 49 ans 2 460 656 255 3 371
Plus de 50 ans 842 229 35 1 106
Total 6 474 1 640 708 8 822
Répartition des familles (en milliers) selon l’âge de la femmeEn bleu les marges.
Fréquence conjointeFréquence conjointe : :
Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans
Familles
traditionnellesFamilles
monoparentalesFamilles
recomposéesTotal
Moins de 30 ans 712 197 92 1 001
De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344
De 40 à 49 ans 2 46O 656 255 3 371
Plus de 50 ans 842 229 35 1 106
Total 6 474 1 640 708 8 822
656 / 8 822 soit 8%
Les familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.
Tableau des fréquences conjointes Tableau des fréquences conjointes
Famillestraditionnelles
Famillesmonoparentales
Famillesrecomposées.
Total
Moins de 30 ans
De 30 à 39 ans
De 40 à 49 ans
8
Plus de 50 ans
Total 100
Fréquences marginalesFréquences marginales
Famillestraditionnelles
Famillesmonoparentales
Famillesrecomposées
Total
Moins de 30 ans 712 197 92 1 001
De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344
De 40 à 49 ans 2 460 656 255 3 371
Plus de 50 ans 842 229 35 1 106
Total 6 474 1 640 708 8 822
Exemple : fréquence des familles monoparentales
1 640 / 8 822 = 0,186 soit 18,6%
Les familles monoparentales représentent 18,6% des familles
Fréquences conditionnelles
Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont moins de 30 ans
FamillesTraditionnelles
FamillesMonoparentales
FamillesRecomposées
Total
Moins de 30 ans A
712 197 92 1 001
De 30 à 39 ans
2 460 558 326 3 344
De 40 à 49 ans
2 460 656 255 3 371
Plus de 50 ans
842 229 35 1 106
Total 6 474 1 640 708 8 822
La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les familles traditionnelles :
fT (A) = 712 / 6 474 soit 11%
Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes
Familles traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles recomposées
Moins de 30 ans 11% 12% 13%
De 30 à 39 ans 38% 34% 46%
De 40 à 49 ans 38% 40% 36%
Plus de 50 ans 13% 14% 5%
Total 100% 100% 100%
l’ordre des fréquences conjointes n’est pas le même que celui des fréquences conditionnelles
:Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses chez les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtantla proportion des familles où la femme a moins de 30 ans est plus petite
chez les traditionnelles .
Niveau terminaleNiveau terminale
Nuage de points, point moyen.
Ajustement affine réalisé : - soit par une méthode graphique
- soit par la méthode des moindres carrés à l’aide de la calculatrice ou du tableur
Séries chronologiques
Comparaison des droites obtenues par la méthode des
moindres carrés et par la méthode de Mayer.
Utilisation d’un tableur(voir fichier dte_mayer.xls)
o
M1
M2
M3
M4
M5
M6
P1
P2
P3 P4
P5
P6
Droite d’ajustement : méthode des moindres carrésun nuage de points Mi (xi ; yi ) et une droite D d’équation
y = ax +b Pi (xi ; axi + b) le point de D de même abscisse xi que le point Mi
La droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yi et celles du modèle : axi + b , soit la quantité: Σ MiPi²
MATHÉMATIQUESMATHÉMATIQUESSERIE SCIENCES ET SERIE SCIENCES ET
TECHNOLOGIES DE LA GESTIONTECHNOLOGIES DE LA GESTION
ProbabilitésProbabilités
ProbabilitésProbabilités
Expérimentation et simulation : Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique. Dans
des situations élémentaires, reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues de différents types de tirages aléatoires.
En PremièreEn Première : Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers, répartition
de probabilité.
Connaître les symboles , et la notation pour l’événement contraire.A
Calculer la probabilité d’événements : Faire le lien avec les propriétés des fréquences.
Introduire la notion de probabilité en 1ère STG
« Pour étudier une épreuve aléatoire, on a besoin d'un modèle, qui précise d'une part les issues (on les suppose ici en nombre fini), d'autre part la distribution de probabilité entre ces issues. » Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique et le vivant » chez Flammarion
En 1ère STG, il s’agit d’un premier contact avec les probabilités. Cette partie du programme doit constituer un moment important de la formation en classe de première et il est nécessaire que les élèves disposent d’un temps suffisant pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités.
IntroduireIntroduire la notion de
probabilité en 1ère STG
Introduction de la notion de probabilité par une approche statistique simulée.
Validation d’un modèle par la confrontation avec une simulation.
Dans la continuité du travail effectué en 2nde, intervient alors :- la notion de fluctuation d’échantillonnage, - l’analyse des trois approches d’un problème : « Réaliser l’expérience », « Utiliser un modèle mathématique », « Simuler l’expérience », - la relative stabilité des fréquences lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.
Introduire la notion de probabilité en Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples
A propos de « pile ou face »A propos de « pile ou face »
1. Approche théoriqueApproche théoriqueOn peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux d'obtenir « face ».
2. Contrôle statistiqueContrôle statistiqueSimulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur.
Pile – Face (voir fichier pf.xls)
Introduire la notion de probabilité Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : en 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples
A propos de désA propos de dés
L’expérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer la somme des deux faces supérieures. Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées.
1. Approche théorique
Introduction d’arbres ou de tableaux
Définition d’une loi de probabilité
Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples
Somme obtenue
D’après le tableau ci-dessus ou l’arbre, il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6 chances sur 36 » d’être obtenue.
Introduire la notion de probabilité Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : en 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples
2. Contrôle statistiqueContrôle statistiqueSimulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur.
3. Probabilité d’évènementsProbabilité d’évènementsRègle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un multiple de 3 »Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
Somme de deux dés(voir fichier somme.xls)
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues.
Conditionnement, probabilité, sachant B, de A :
Déterminer P(AB) connaissant PB(A) et P(B).
ProbabilitésProbabilités
Indépendance de deux événements : Caractériser l’indépendance par chacune des égalités :
Démontrer ou utiliser l’indépendance de deux événements.
( ) ( )BP A P A ( ) ( ) ( )P A B P A P B
En TerminaleEn Terminale : :
Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes.
Déterminer PB(A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés d’effectifs, cas de deux tirages successifs.
( )( ) si ( ) 0
( ) B
P A BP A P B
P B
Le personnel d’une entreprise est composé d’hommes et de femmes qui sont cadres ou ouvriers.
Approche de la notion de Approche de la notion de probabilité conditionnelleprobabilité conditionnelle
Fréquences conjointes
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,10 0,30 0,40
Hommes 0,20 0,40 0,60
Total 0,30 0,70 1
Cf
CHfHfC
et
Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?
Hf
CHfCfH
et
Fréquences conditionnelles
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,25 0,75 1
Hommes 0,33 0,67 1
Total 0,30 0,70 1
Fréquences conditionnelles
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,33 0,43 0,40
Hommes 0,67 0,57 0,60
Total 1 1 1
25% des femmes et 33% des hommes sont cadres
33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes
On dispose d’un tableau de fréquences conditionnelles.
Peut-on calculer les fréquences conjointes ?
0,15 =0,25.x + 0,125.(1x)
0,125x = 0,025 x = 0,2
Fréquences conditionnelles
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,25 0,125 0,15
Hommes 0,75 0,875 0,85
Total 1 1 1
Fréquences conjointes
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,25.x 0,125.(1 x) 0,15
Hommes 0,75.x 0,875 .(1 x) 0,85
Total x 1 x 1,00
x = 0,2
Fréquences conjointes
Cadres Ouvriers Total
Femmes0,25.x=0,05
0,125.(1 x)=0,1
0,15
Hommes0,75.x=0,15
0,875 .(1 x)=0,7
0,85
Total x = 0,2 1 x = 0,8 1,00
Fréquences conjointes
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,030 0,120 0,150
Hommes 0,170 0,680 0,850
Total 0,200 0,800 1
Fréquences conditionnelles
Cadres Ouvriers Total
Femmes 0,150 0,150 0,150
Hommes 0,850 0,850 0,850
Total 1 1 1
fC(F)=f(F) f(F et C) = f(F)f(C)
Effet de structure
Dans un même lycée :
Classe A
Taille
moyenneEffectif
Garçons 1,75 12
Filles 1,68 28
Total 40
Classe B
Taille
moyenneEffectif
Garçons 1,73 32
Filles 1,66 8
Total 40
Taille moyenne
70140
6812875112 :A Classe ,
,,x A
72140
661873132 : B Classe ,
,,xB
1,70 1,72
Effet de structureDans un même lycée :
Classe A
Taille
moyenneEffectif
Garçons 1,75 12
Filles 1,68 28
Total 40
Classe B
Taille
moyenneFréquence
Garçons 1,73 t
Filles 1,66 1 t
Total 1,72 1
Taille moyenne
701
40
6812875112
A
A
,
,,
x
x
: A Classe
7
6
661772,1
661173172,1
t
t
tt
: B Classe
,
,,
1,70