Mathematical Literacy - hvad er det?

Mogens Niss IMFUFA/NSM Roskilde Universitet

Danmark

Begrebet ”mathematical literacy”

Matematikundervisere og matematikdidaktikere har altid modarbejdet reduktionistiske tiltag til at sætte

(a) Læring af grundlæggende matematik

lig med (b) udenadslæren af fakta, regler og procedurer.

Hvorfor det? Fordi identifikation overser / ignorerer •  Vigtigheden af forståelse og vurdering af hvornår, og

under hvilke betingelser (vilkår), matematisk viden og kunnen kan/skal aktiveres fleksibelt i ikke-rutineprægede sammenhænge og situationer.

Så, der skal mere til end fakta, regler og procedurer! Men hvad er så dette ”yderligere”?

Lad os se på nogle eksempler: FIMS (IEA), 1967, opererer med emner samt Cognitive behaviours: (a) Knowledge and information: recall of definitions, notations, concepts; (b) techniques and skills: solutions; (c) translation of data into symbols and schema and vice versa; (d) comprehension: capacity to analyse problems, to follow reasoning, and (e) inventiveness: reasoning creatively in mathematics. (c), (d) og (e) er ”yderligere” ting.

NCTM: ”An Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980’s”, 1980: •  ”The full scope of what is basic should contain at least

[…] problem solving; applying mathematics in everyday situations; alertness to the reasonableness of results; estimation and approximation; appropriate computational skills; geometry; measurement; reading, interpreting, and constructing tables, charts, and graphs; using mathematics to predict; and computer literacy.”

Indeholder adskillige ”yderligere” ting

D’Ambrosio (1985): I sammenhæng med etnomatematik: •  ”Mathematics comes close to being a variant of

common language, associated with the concept of codifying popular practices and daily needs. These would include uses of numbers, of quantities, the capability of qualifying and quantifying, and some patterns of inference. This is what we call, borrowing a term introduced by Tadasu Kawaguchi, matheracy.”

Ole Skovsmose (1994): I sammenhæng med kritisk matematikundervisning: •  ”Mathematicy [m.i.], as a radical construct, has to be

rooted in the spirit of critique and the project of possibility that enables people to participate in the understanding and transformation of their society, and, therefore, mathematicy becomes a precondition for social and cultural emancipation.”

Mathematical literacy kommer ind som en anden term som skal fange mere end fakta, regler, og procedurer. Termen på banen i det mindste så tidligt som i 1944. NCTM’s Commission on Post-War Plans fordrer at ”the school should ensure mathematical literacy for all who can possibly achieve it”

(der gives ingen definition) Den canadiske Hope Commission, 1950, anbefalede, at ”literacy in mathematics be stressed, particularly in Grades IX and X”

(der gives ingen definition)

NCTM 1989 Standards:

•  ”In summary, today’s society expects schools to insure that all students have an opportunity to become mathematically literate.”

og ”Educational goals for students reflect the importance of mathematical literacy. Toward this end, the K-12 standards articulate five general goals for all students: (1) that they learn to value mathematics, (2) that they become confident with their ability to do mathematics, (3) that they become mathematical problem solvers, (4) that they learn to communicate mathematically, and (5) that they learn to reason mathematically.”

Igen, ingen præcis definition. Bare en beskrivelse. •  Den første egentlige definition på ”mathematical

literacy” ser ud til at blive indført i OECD PISA, 1999:

”Mathematical literacy [m.i] is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgments and to engage in mathematics in ways that meet the needs of that individual’s current and future life as a constructive, concerned and reflective citizen.” Med senere revisioner. Den seneste lyder:

•  Mathematical literacy [m.i.] is an individual’s capacity to formulate, employ and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts and tools to describe, explain, and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-foundedd judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflected citizens. (PISA 2012 Framework)

Men der findes andre beslægtede termer: •  Numeracy; quantitative literacy; matematisk

kompetence (kompetencer); mathematical proficiency; mathematical practice(s).

De har en fælles kerne – at fremme matematisk myndighed ved at gøre matematikken funktionel / operativ i intra- og ekstra-matematiske samenhængde. Men er disse forskellige ord for den samme ting? Eller betyder ordene forskellige ting? Vi får se senere!

Hvorfor ”mathematical literacy”?

Inspireret af linguistic literacy, evnen til at læse og skrive, en grundlæggende kulturteknik. •  Ej så klart hvad det betyder! Literacy for hvem? •  Et bredt spektrum af ”literacies”, fra noget meget

basalt til noget meget sofistikeret – hvilke slags tekster er der tale om?

•  Indholdet – ikke definitionen – forandres med tid og sted som svar på samfundsmæssige dynamikker.

Literacy rækker langt ud over ortografi og grammatik.

De funktionelle og operative aspekter af matematik representer en anden fundamental kulturteknik, mathematical literacy: Anvendelse af matematiske begreber, konventioner, resultater, regler, procedurer og teknikker i omgangen med forskellige slags ekstra-matematiske sammenhænge og situationer. •  Rummer et bredt spektrum af ”mathematical

literacies”, fra det basale (fx aktivering af elementær aritmetik i dagligdags situationer) til det sofistikerede (fx sammenligning af forskellige skattesystemer i samfundet). Denne bredde giver forvirring og uenighed!

Går langt ud over faktuel og procedurel kundskab!

•  Begrebet ”literacy” kan ikke rigtigt oversættes til flere sprog, fx Skandinaviske sprog, tysk og spansk.

•  Derfor må begrebet tillægges sin mening gennem definitioner frem for fra daglig sprogbrug. Men så er der et problem hvis definitioner mangler! (Nogle steder har man helt enkelt beholdt den engelske term!)

Under så forvirrende forhold, hvordan gik det til, at ”mathematical literacy” og dens slægtninge overhovedet kom ind på scenen?

To mulige hovedforklaringer: (1)  Den nytteorientede forklaring. Hovedformålet er at

bringe ”ren” matematik i anvendelse i ekstra-matematiske sammenhænge, men dette sker ikke automatisk! Det skal læres, hvilket forudsætter undervisning. Der skal altså noget mere til: Mathematical literacy!

(2)  Den proces-orienterede forklaring. Matematik som

disciplin og fagområde er meget mere end et system af produkter (begreber, resultater, regler, teknikker). Matematiske processer (fx at løse problemer, at ræsonnere, at kommunikere) er mindst lige så vigtige, om ikke vigtigere. Der skal altså mere til: Mathematical literacy!

ML og dets slægtninge - nære og fjernere

Er der tale om identiske eller forskellige begreber bag de forskellige termer? Numeracy (Crowther Report, 1959; Cockcroft Report, 1982): Fokuserer på even til at to behandle, kommunikere, og fortolke numerisk information i diverse sammenhænge. Quantitative literacy (introduceret af Steen, 1997, i ”Why Numbers Count”)

Her findes en mangfoldighed af definitioner og beskrivelser, e.g. •  ”Quantitative literacy (QL) – also known as Numeracy

or Quantitative Reasoning (QR) – is a ”habit of mind” competency, and comfort in working with numerical data. Individuals with strong QL skills possess the ability to reason and solve quantitative problems from a wide array of authentic contexts and everyday life situations. They understand and can create sophisticated arguments supported by quantitative evidence and they can clearly communicate those arguments in a variety of formats (tables, graphs, mathematical equations, etc., as appropriate)”

(Association of American Colleges and Universities)

En jungle af beskrivelser og definitioner på numeracy, quantitative literacy, mathematical literacy etc. Nogle gange defineres de til at stemme overens, andre gange til at være forskellige. A mess!

To mulige og fornuftige veje ud af forvirringen: •  (a) Fremsætte definitioner der lader termerne stå for

forskellige begreber, hvor numeracy fokuserer på tal og numeriske spørgsmål, QL på data, størrelser og kvantitative spørgsmål, mens ML fokuserer på funktionaliteten af matematik som helhed.

•  (b) Vedtage at numeracy, QL og ML er forskellige termer for det samme begreb.

Løsning (a) er svært at håndhæve (folk respekterer kun nødigt definitioner!), men er den mest tilfredsstillende fra et intellektuelt synspunkt. På grund af de mange overlap i brugen af termerne, er det nok pragmatisk set mere realistisk på pege på løsning (b), men så foreslå mathematical literacy som fælles term, eftersom den omfatter de andre to, mens disse ikke omfatter ML.

Imidlertid er situationen helt anderledes, når det gælder matematisk kompetence og kompetencer, såvel som mathematical proficiency samt mathematical practice(s). Disse er IKKE identiske med de andre tre (heller ikke indbyrdes identiske):

•  Eftersom de omhandler matematik i både intra- og ekstra-matematiske sammenhænge og situationer er de ikke specielt fokuserede på anvendelsen af matematik i ekstra-matematical sammenhænge.

Kilpatrick, Swafford & Findell (”Adding It Up”, 2001): •  ”…we have chosen mathematical proficiency to

capture what is necssary for everyone to learn mathematics sucessfully”

Fem sammenvævede og indbyrdes afhængige tråde: Begrebsforståelse; beherskelse af procedurer; strategisk kompetence; situationstilpasset ræsonneren; produktiv disposition.

Common Core State Standards – Mathematics (2012): Otte Standards for Mathematical Practice •  Make sense of problems and persevere in solving

them •  Reason abstractly and quantitatively •  Construct viable arguments and critique the

reasoning of others •  Model with mathematics •  Use appropriate tools strategically •  Attend to precision •  Look for and make use of structure •  Look for and express regularity in repeated

reasoning

•  Matematisk kompetence er en persons evne til på indsigtsbaseret vis at handle hensigtsmæssigt i situationer og sammenhænge hvori matematik aktuelt spiller eller potentielt kunne spille en rolle. (KOM Project, 2002)

Otte matematiske kompetencer er hovedkomponenterne i matematisk kompetence: •  Matematisk tankegangskompetence;

problembehandlingskompetence; modelleringskompetence; ræsonnementskompetence; repræsentationskompetence; symbol- og formalismekompetence; kommunikationskompetence; hjælpemiddelskompetence.

Proficiencies, practices og kompetencer underbygger, men går langt videre end numeracy, QL, and ML

Kompetenceblomsten

Morale: •  Der er fortsat udbredt enighed om at

matematikundervisningen skal levere meget mere end interne matematikkundskaber.

•  Der er en vis uenighed – eller rettere forskelle i betoning - om hvad dette mere skal omfatte.

Men det skal findes!

Tak for opmærksomheden!