Mathe Rechnen und Sachaufgaben in 15 Minuten 6. Klasse · 2017. 3. 10. · Duden Rechnen und...
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in 15 Minuten
KlasseKlasse
Mathe
Rechnen und Sachaufgaben
Rechnen und Sachaufgaben
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6. Klasse
ISBN 978-3-411-72862-65,99 3 (D) · 6,20 3 (A)
6. K
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Duden
Rechnen und Sachaufgaben 6. Klasse
in MinutenMathe
DudenverlagMannheim · Zürich
6.6. KlasseKlasse
15
2., aktualisierte Aufl age
001-064_Ueh_Ma6.indd 1 11.10.2011 12:27:52 Uhr
Inhalt
1 Rechnen mit BrüchenDarstellung von Brüchen und Anteilen ............ 4
Vergleichen, erweitern, kürzen ........................... 6
Addieren und subtrahieren von Brüchen ......... 8
Multiplizieren und dividieren von Brüchen ..... 10
Rechenausdrücke mit Bruchzahlen lösen ........ 12
2 Rechnen mit DezimalzahlenDarstellung von Dezimalzahlen ......................... 14
Addieren und subtrahieren .................................. 16
Multiplizieren und dividieren .............................. 18
Dezimal- und Bruchschreibweise ....................... 20
3 Rechnen mit rationalen ZahlenDarstellung rationaler Zahlen ............................. 22
Zahlenmengen und Begriffe ............................... 24
Vorzeichenregeln beim Rechnen ........................ 26
4 Rechenstrategien und geschicktes RechnenRegeln für geschicktes Rechnen ......................... 28
Teilen und vervielfachen ....................................... 38
Rechnen mit Zehnerpotenzen und Größen ..... 40
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5 Anwendungs- und SachaufgabenTerme mit einer Variablen .................................... 42
Von der Textaufgabe zum Term .......................... 44
Sachverhalte als Rechenbäume darstellen ...... 46
Einfache Gleichungen ............................................ 48
Lösen von Gleichungen ......................................... 50
Von der Textaufgabe zur Gleichung .................. 52
6 Abhängigkeiten zwischen GrößenZuordnungen, Häufigkeiten, Mittelwerte ........ 54
Proportionalität und Dreisatz ............................. 56
Prozentrechnung .................................................... 58
Schaubilder und Diagramme .............................. 60
Abschlusstest .................................................................. 62
Lösungsheft zum Herausnehmen ........................ L1– L8
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4
Darstellung von Brüchen und Anteilen
Gib den Anteil der Bälle an, die …
a) ein Punktemuster haben:
c) nicht mehr ganz rund sind:
e) ein Muster haben:
Brüche können auf dem Zahlenstrahl angeordnet werden. Die Strecke zwischen 0 und 1 entspricht einem Ganzen, das aufgeteilt wird.■ Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird.■ Der Zähler gibt an, wie viele Teile vorhanden (gemeint) sind.■ Der Bruchstrich bedeutet das Gleiche wie das Geteilt-Zeichen (:). 6
3 = 6 : 3
■ Im Nenner eines Bruchs darf nie die Zahl 0 stehen! ■ Ist der Zähler eines Bruchs null, so ist der ganze Bruch gleich null.
Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, so heißt der Bruch echter Bruch. Ist der Zähler gleich dem oder größer als der Nenner, so ist der beschrie-bene Bruchteil ein Ganzes oder größer und heißt unechter Bruch.Einen unechten Bruch kann man als gemischte Zahl schreiben. Dies ist die Summe aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch. Das Pluszeichen wird nicht geschrieben. 1
12
= 1 + 12 = 2
2 + 12 = 3
2 ; 3 34
= 3 + 34 = 12
4 + 34 = 15
4
1
Trage die angegebenen Zahlen am Zahlenstrahl ein. Verwende für die
unechten Brüche eine andere Farbe.
2
b) ein Streifenmuster haben:
d) einfarbig sind:
f) ganz rund sind:
12
; 32
; 42
; 43
; 1 13
; 63
; 24
; 56
; 94
; 1 28
0 1 2
Rechnen mit Brüchen1
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5
Rechnen mit Brüchen
1
2
3
4
5
6
3
4
5
Schreibe die gemischte Zahl in Bruchschreibweise.
Beispiel: 3 25
soll umgewandelt werden. Schreibe die natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1. Rechne: 3
1 + 25 = 15
5 + 25 = 17
5 , also 3 25 = 175 .
Der neue Zähler ist 17, der Nenner bleibt 5.
a) 1 12 =
c) 5 14 =
e) 2 89 =
g) 7 17 =
Schreibe die Brüche in der gemischten Schreibweise. Ordne sie dann der
Größe nach. Arbeite in deinem Übungsheft.
Beispiel: Der Bruch 236 soll umgewandelt werden. Der Nenner bleibt
erhalten. Teile den Zähler durch den Nenner und schreibe die Ganzen vor den Bruchstrich: Rechne 23 : 6 = 3 Rest 5 23
6 = 3 5
6.
Der Rest ergibt den neuen Zähler 5. Der Nenner 6 bleibt erhalten.
73
; 236
; 113
; 114
; 133
1 l1 l 1 l 1 l 1 l
Gib den Inhalt der Messbecher jeweils als Bruchteil von 1 Liter an.
b) 2 14 =
d) 3 23 =
f) 1 110 =
h) 9 89 =
a) b) c) d) e)
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6
Vergleichen, erweitern, kürzen
Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnamig.■ Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige größer, der den kleineren
Nenner hat. 23 > 2
5■ Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige größer, der den
größeren Zähler hat. 67 > 4
7
Ungleichnamige Brüche kannst du besser vergleichen, wenn du sie auf einen gemeinsamen Nenner erweiterst (oder kürzt) und sie so gleichnamig machst. ■ Erweitern: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl.■ Kürzen: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.
Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind, d. h. nicht weiter geteilt werden können. Am schnellsten geht das, wenn du einen Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT, \ S. 38) von Zähler und Nenner kürzt. Du kannst aber auch schrittweise kürzen.
1
2
Kürze die Brüche so weit wie möglich. Schreibe in dein Übungsheft.
a) 24
c) 1530
e) 2736
g) 45120
b) 39
d) 2128
f) 1860
h) 13052
Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), erweitere
dann beide Brüche auf diesen. Vergleiche sie miteinander.
a) 34
und 56
c) 29
und 16
b) 215
und 310
d) 38 und 5
12
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7
Rechnen mit Brüchen
1
2
3
4
5
6
3
4
5
Claudia hat einen Geheimtext geschrieben. Entschlüssle ihn, indem du
die blau gedruckten Bruchzahlen als Bruch schreibst, dann möglichst
weit kürzt und Scheinbrüche als natürliche Zahlen schreibst.
Hinweis: Scheinbrüche sind eigentlich natürliche Zahlen, weil der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist.
Gestern habe ich sechs achtel Stunden Fußball
gespielt. Ich schoss insgesamt fünfzehn drittel
Eckbälle und vier halbe Tore. Vor lauter Durst trank
ich dreißig zwanzigstel Liter Mineralwasser.
Leider wurde ich fünfzig zehntel Minuten vor Schluss
ausgewechselt. Am Ende haben wir acht Halbe zu
acht Achtel gewonnen.
Markiere die Brüche, die dieselbe Bruchzahl darstellen, jeweils in
derselben Farbe. Denke an das vollständige Kürzen.
a) 12
; 23
; 46
; 24
; 48
; 69
b) 35
; 915
; 814
; 3050
; 710
; 47
Bei den gemischten Brüchen ist etwas schiefgegangen. Kürze die Brüche
so weit wie möglich. Forme so um, dass der Bruchanteil der gemischten
Schreibweise ein echter Bruch ist. Rechne im Übungsheft.
Beispiele: Kürze: 1 1216
= 1 34
; oder vereinfache:
2 52
= 2 + 52
= 2 + 42
+ 12
= 2 + 2 + 12
= 4 + 12
= 4 12
a) 1 26 =
c) 5 4221
=
b) 10 510
=
d) 2 92
=
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8
Addieren und subtrahieren von Brüchen
1
2
Willst du ungleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren, musst du sie zuerst durch Erweitern (\ S. 6) gleichnamig machen. Als gemeinsamen Nenner wählst du dazu das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV, \ S. 38) der beiden Nenner. Dieser kleinste gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner.■ Gleichnamige Brüche addierst du, indem du die Zähler addierst und den
gemeinsamen Nenner beibehältst.■ Gleichnamige Brüche subtrahierst du, indem du die Zähler subtrahierst und
den gemeinsamen Nenner beibehältst.
Berechne die Summen und Differenzen der gleichnamigen Brüche. Bei
den Aufgaben e) bis h) kannst du das Ergebnis noch kürzen.
a) 13
+ 13
= 3
c) 1723
+ 723
= 23
e) 154
– 94
= 4 =
2
g) 139
– 19
= 9 =
3
b) 27
+ 47
= 7
d) 85
– 25
= 5
f) 710
+ 910
= 10 =
5
h) 3316
– 2116
= 16 =
4
Fülle die Lücken in den Rechnungen.
a) 110
+ 210
= 10
c) 25
+ 1320
= 20 +
20 = 20
e) 127
– 107
= 7
g) 56
– 49
= 18 –
18 = 18
b) 12
+ 34
= 4 +
4 = 4
d) 16
+ 38
= 4 + 9 = 24
f) 112
– 113
= 6 –
6 = 6
h) 34
– 917
= 51 – 36 = 68
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9
Rechnen mit Brüchen
1
2
3
4
5
6
3
4
5
Gib zu den beiden Brüchen jeweils drei mögliche gemeinsame Nenner an
und kreise den Hauptnenner ein.
a) 75
und 43
15 30 45
b) 14
und 52
c) 215
und 310
d) 29
und 116
Schreibe das Ergebnis als Bruch und in der gemischten Schreibweise.
Beispiel: 12
+ 13
+ 14
= 612
+ 412
+ 312
= 1312
= 1 112
a) 13
+ 14
+ 15
= = =
b) 17
+ 23
+ 43
+ 114 = = =
c) 910
– 15
– 23
= = =
Löse das Rätsel durch Zeichnen und durch Rechnen im Heft.
Pizzatag: Frau Margherita bekommt zwei Fünftel, Herr Margherita bekommt drei Zehntel der gesamten Pizza. Von dem, was dann noch übrig ist, bekommt Kater Tom ein Drittel. Den Rest bekommt Emilio.Welchen Anteil an der gesamten Pizza erhält der Sohn Emilio?
Antwort:
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10
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Zwei Brüche multiplizierst du, indem du die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multiplizierst. Die Ergebnisse werden gekürzt.■ Durch Multiplikation mit einem Bruch kannst du bestimmen, wie viel ein
Anteil an einer Sache ausmacht. Das Wort „von“ musst du als Malzeichen übersetzen.
23 von 12 kg sind 8 kg, denn 2
3 ‚ 12 = 23 ‚ 12
1 = 243 = 8
1 = 8.
■ Auch einen Anteil an einem Anteil kannst du durch Bruchmultiplikation bestimmen.
310 von 5
2 Liter sind 34 Liter, denn 3
10 „ 52 = 15
20 = 34 .
Den Kehrwert eines Bruchs erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner. 5
2 ist der Kehrwert von 25 .
Einen Bruch dividierst du durch einen zweiten Bruch, indem du ihn mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst. 3
5 : 47 = 3
5 · 74 = 3 · 7
5 · 4 = 2120
Berechne die Produkte.
a) 12
· 12
= „
„ =
b) 37
· 52
= „
„ =
c) 725
· 114
= „
„ =
d) 13
· 45
· 73 = „ „
„ „ =
1
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