Mathchem Skript CAS WS14
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Einf ̈uhrung in die
mathematische Behandlungder Naturwissenschaften
Prof. Dr. H Ebert und Dr. D Ködderitzsch
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0.30.4
The general theory of quantum mechanics is now almost complete. [...] The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, [...]
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A123 (1929) Seite 714-33
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 41.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Verknüpfungen und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . 211.5.2 Ganze, rationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Analytische Geometrie und Lineare Algebra 342.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Einf ̈uhrung des Vektorbegriffs in Anlehnung an dieEuklidsche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einemSkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.3 Das skalare Produkt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.4 Das Kreuzprodukt und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.5 Geraden- und Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.6 Lineare Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem
Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.4 Elementare Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.5 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2 Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.3.3 Berechnung einer Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.2 Lösbarkeit eines LGS’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5 Basistransformation und Symmetrieoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 90
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2 Inhaltsverzeichnis
2.5.1 Koordinaten eines Vektors bezüglich einer festen Basis . . . . . . . 902.5.2 Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.5.3 Symmetrieoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.6 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.2 Lösung eines Eigenwertproblemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.3 Eigenschaften eines Eigenwertproblemes . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 Funktionen einer Variablen 1053.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.1.2 Darstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.1.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.4 Verknüpfung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.2 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2.3 Methoden der Grenzwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.2 Eigenschaften von stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.4.1 Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.3 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4.5 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.1 Definitionen und geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.2 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.5.3 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.5.4 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.5.5 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.5.6 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1633.5.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.1 Geometrische Deutung und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.2 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.6.3 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . 1743.6.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.6.5 Integration gebrochen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . 1833.6.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.6.7 Interpolation und numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.7 Potenzreihenentwicklung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.7.1 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
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INHALTSVERZEICHNIS 3
3.7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Funktionen mehrerer Veränderlicher 2044.1 Definition, Einf ̈uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.2 Der Begriff der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3 Mehrdimensionale Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.3.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.3.4 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.3.5 Kettenregeln f ̈ur die partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . 226
4.4 Mehrdimensionale Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.4.1 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.4.2 Wegintegrale (2. Art) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.4.3 Wegintegrale f ̈ur Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4.4 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5 Verwendete Abkürzungen 251
Index 253
Liste der CAS Beispiele 257
c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition
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Kapitel 1
Grundlagen
1.1 Literatur
• L. PapulaMathematik f ̈ur ChemikerEnke Verlag, StuttgartISBN 3-432-88133-9, vergriffenSignatur: Ausgabe 1982: VC 6000 P218(2),Ausgabe 1991: VC 6000 P218(3) (10 Exemplare)
• L. PapulaÜbungen und Anwendungenzur Mathematik f ̈ur ChemikerEnke Verlag, StuttgartISBN 3-432-88953-4, vergriffenSignatur: Ausgabe 1988: VC 6000 P218 U2(2),Ausgabe 1992: VC 6000 PC218 U2(3)
• L. ZachmannMathematik f ̈ur Chemiker
Verlag Wiley-VCHISBN 3-527-29224-1, EUR 52,95Signatur: Ausgabe 1972: VC 6000 Z16,Ausgabe 1974: A 813,Ausgabe 1977: VC 6000 Z16(3),Ausgabe 1984: VC 6000 Z16(4)+2,Ausgabe 1990: VC 6000 Z16(4)
• N. RöschMathematik f ̈ur ChemikerSpringer Verlag, Berlin
ISBN 3-540-56824-7, EUR 24,95Signatur: Ausgabe 1993: VC 6000 R718 (12 Exemplare)
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 5
• M. StockhausenMathematik f ̈ur Chemiker
Steinkopff VerlagISBN 3-7985-1025-3, vergriffenbestellbar über Zentralbibliothek
• K. JugMathematik in der ChemieSpringer Verlag, BerlinISBN 3-540-55771-7, vergriffenSignatur: Ausgabe 1993: VC 6000 J93(2)
• I. N. Bronstein, K. A. SemendjajewTaschenbuch der MathematikB. G. Teubner Verlagsgesselschaft, Stuttgart, EUR 29,95Signatur: Ausgabe 1964: SK 110 B869(4)
• G. BrunnerMathematik f ̈ur ChemikerSpektrum VerlagBand I und Band II, ca EUR 31,00
• E.A. ReinschMathematik f ̈ur Chemiker
Teubner, Wiesbaden 2004 ISBN 3-519-00443-7Signatur: Ausgabe 2004: VC 6000 R374 +4
• D. GuedjDas Theorem des PapageisLübbe, 2001ISBN 3-4550-2546-3, EUR 9,95
• S. SinghFermats letzter SatzTaschenbuch, DTV, München 2000
ISBN 3-4233-3052x, EUR 10,00bestellbar über Zentralbibliothek
Leider sind die Bücher von Papula vergriffen und daher nur in der Bibliothek erhältlich.Die letzten beiden Bücher sind zwei Beispiele daf ̈ur, daß Mathematik durchaus unterhal-tend und spannend sein kann.
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6 1.2. Mengen
1.2 Mengen
D ”Unter einer Menge M versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl-unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Gan-zen.” (Georg Cantor 1845-1918)
M
m1
m2
m3
m4
NM = {m1, m2, m3, m4}M = {m3, m4, m1, m2} d.h. die Reihenfolge ist beliebig
oder M = {mi|i = 1,.., 4}oder M = {mi|mi erf ̈ullt die Eigenschaft ...}
speziell M = {}oder M = Ø bezeichnet die leere Menge
D Die Bestandteile oder Objekte in einer Menge nennt man Elemente. F ̈ ur “ m ist Element der Menge M ” schreibt man: m ∈ M . Geh ̈ ort ein Objekt n nicht zur Menge M,so sagt man “n ist nicht Element von M”: n ∈ M .
Beispiel: M = {a,b,c} : a ∈ M , d ∈ M
CAS-Beispiel
Definition der Mengen M und N . Vergleiche M und N .
M : { a ,b , c, d };N : { a , b, c , d ,d , a };
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 7
Offensichtlich sind beide Mengen gleich, da die Elemente d und a in N nicht zweifach zuberücksichtigen sind.
Die Abfrage ob die Menge M das Element a bzw. x enthält erfolgt über elementp:
e l e m e n t p ( a , M ) ;
e l e m e n t p ( x , M ) ;
Liste die Elemente einer Menge M auf und bestimme die Anzahl der Elemente.
reset ();
M : { a ,b , c, d };
n : 0;
fo r i in M do
(
print ( " D ie M en g e M h at d as E l em e nt " , i ) ,n : n + 1
);
print ( " A n z ah l d e r E l e me n t e in d er M e ng e M : " ,n ) ;
Zunächst wurden mit reset() alle internen Speicher gelöscht. Die Variable i durchläuftdurch die Schleifenkonstruktion for i in M do ... nacheinander alle Elemente derMenge M . Um die Anzahl der Elemente festzustellen wird dabei die Variable n hoch-gezählt. n muß zunächst initialisiert werden, d.h. auf den Wert 0 gesetzt werden. DieAnweisung n : n + 1 ist nicht im Sinne einer mathematischen Gleichung zu verstehen,sondern bewirkt daß der Variablen n als neuer Wert das Ergebnis der Operation n + 1
zugewiesen wird.
D Sind alle Elemente a einer Menge A gleichzeitig auch in einer Menge B enthalten, sonennt man A Teilmenge von B: A ⊆ B. B wird als Obermenge von A bezeichnet: B ⊇A. Besitzt B Elemente, die nicht in A enthalten sind, so wird A als echte Teilmengevon B bezeichnet: A ⊂ B.
Symbolisch lassen sich Zusammenhänge zwischen Mengen durch sogenannte Venn-Diagrammedarstellen:
A
B
A ⊆ BA ist Teilmenge von B
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8 1.2. Mengen
Beispiel: A = {a,b,c}, B = {a,b,c,d} : A ⊆ B bzw. B ⊇ A
D Die Vereinigungsmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente,die zur Menge A oder zur Menge B geh ̈ oren.
M = A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
A
B
A ∪ BA vereinigt mit B
Beispiel: A =
{a,b,c,d
}, B =
{c,d,e,f
} : A
∪ B =
{a,b,c,d,e,f
}
CAS-Beispiel
Bilden der Vereinigungsmenge zweier Mengen mittels des Operators union:
reset () ;
M : { a ,b , c, d };
N : { a ,b , c, d };
P : { c ,d , e, f };
Q : { x ,x , z };
union ( M ,N ) ;
union ( M ,P ) ;
union ( M ,Q ) ;
D Die Schnittmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zur Menge A als auch zur Menge B geh ̈ oren.
M = A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 9
A
B
A ∩ BA geschnitten mit B
Beispiel: A = {a,b,c,d}, B = {c,d,e,f } : A ∩ B = {c, d}
CAS-Beispiel
Bilden der Schnittmenge zweier Mengen mittels des Operators intersection:
reset ();
M : { a,b ,c ,d }; N : { a,b ,c ,d }; P : { c,d ,e ,f }; Q : { x,x ,z };
i n t e r s e c t i o n ( M ,N ) ;
i n t e r s e c t i o n ( M ,P ) ;
i n t e r s e c t i o n ( M ,Q ) ;
D Die Differenzmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente,die zur Menge A aber nicht zur Menge B geh ̈ oren.
M = A \ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
A
B
A \ BDifferenzmenge von A und B
Beispiel: A = {a,b,c,d}, B = {c, f , g} : A \ B = {a,b,d}
CAS-BeispielBilden der Differenzmenge zweier Mengen mittels des Operators setdifference:
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10 1.2. Mengen
reset () ;
M : { a, b, c, d}; N : { a,b ,c ,d }; P : { c,d ,e ,f }; Q : { x,x ,z };
s e t d i f f e r e n c e ( M ,N ) ;s e t d i f f e r e n c e ( M ,P ) ;
s e t d i f f e r e n c e ( M ,Q ) ;
Mit setdifference läßt sich feststellen, ob A eine Teilmenge von B ist, da dann A\B dieleere Menge ergeben muß.
A : {a ,b ,c }; B : {a ,b ,c ,d };
s e t d i f f e r e n c e ( A ,B ) ;
s e t d i f f e r e n c e ( B ,A ) ;
Im obigen Beispiel gilt offensichtlich A ⊂
B aber B ⊂
A, d.h. B ist nicht Teilmenge vonA.
S RechenregelnKommutativ- bzw. Vertauschungsgesetze
A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A
Assoziativ- bzw. Verkn ̈ upfungsgesetze
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
Distributiv- bzw. Verteilungsgesetze
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
CAS-Beispiel
Überprüfung der Rechenregeln:
reset () ;
A : { a ,b , c , d }; B : { c , d ,e , f }; C : { e ,f , g , h ,i } ;
union ( A , B ) ; union ( B , A ) ;
i n t e r s e c t i o n ( A , B ) ; i n t e r s e c t i o n ( B , A ) ;
union ( union ( A , B ) , C ) ; union ( A , union ( B , C ) ) ;i n t e r s e c t i o n ( i n t e r s e c t i o n ( A , B ) , C ) ; i n t e r s e c t i o n (A , i n t e r s e c t i o n ( B , C ) ) ;
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 11
union ( A , i n t e r s e c t i o n ( B , C ) ) ;
i n t e r s e c t i o n ( union ( A , B ) , union ( A , C ) ) ;
i n t e r s e c t i o n ( A , union ( B , C ) ) ;
union ( i n t e r s e c t i o n ( A , B ) , i n t e r s e c t i o n ( A , C ) ) ;
D Sind a und b beliebige Elemente, so bezeichnet (a,b) ein geordnetes Paar oder Dupel. Entsprechend wird (a,b,c) als Tripel und (x 1,x 2,x 3,...,x n) als n-Tupel bezeichnet.
D Das kartesische Produkt M zweier Mengen A und B ist die Menge aller geord-neten Paare (a,b), die sich aus den Elementen a ∈ A und b ∈ B bilden lassen.
M = A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
entsprechend:
A × B × C = {(a,b,c)|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }A × A = A2 = {(a1, a2)|a1 ∈ A, a2 ∈ A}
CAS-Beispiel
Bilden des kartesischen Produktes zweier Mengen:
reset ();
A : { a ,b , c, d }; B : { c ,d };
c a r t e s i a n _ p r o d u c t ( A , B );
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12 1.3. Verknüpfungen und Gruppen
1.3 Verknüpfungen und Gruppen
D Eine Verknüpfung – repr ̈ asentiert durch das Symbol ◦ – ist eine eindeutige Vor-schrift, die zwei Elementen a und b einer Menge M ein drittes Element c zuordnet.
c = a ◦ b
Die Menge M heißt bzgl. der Verkn ̈ upfung ◦ abgeschlossen, falls c ∈ M ist; d.h. es gilt:c = a ◦ b ∈ M ∀a, b ∈ M
! Die Reihenfolge einer Verknüpfung zweier Elemente ist nicht notwendigerweise belie-big, d.h. a ◦ b muß nicht gleich b ◦ a sein !
Beispiel: M = {C n3 |Drehungen‡ um n3 · 360◦ (n = 0, 1, 2)}
1
2 3
3
1 2
2
3 1
3
1 2
C 03 = E
C 13 = C 3C 23
Die Verknüpfung ◦ zweier Elemente von M läßt sich hier als Hintereinanderausf ̈uhrungzweier Drehungen interpretieren. Das Ergebnis aller möglichen Verknüpfungen, die sichdabei ergeben wird in der Verknüpfungstafel zusammengefaßt:
‡Drehungen sind immer im mathematischen Sinn zu verstehen; d.h. bei positivem Drehwinkel gegenden Uhrzeigersinn
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 13
b
◦ E C 3 C 23
a
E C 3C 23
E C 3 C 23
C 3 C 23 E
C 23 E C 3
a ◦ b
a ◦ b impliziert daß zuerst Rotation b und dann Rotation a auszuf ̈uhren ist.
D Ist auf einer Menge G eine Verkn ̈ upfung ◦ definiert, so wird G als Gruppe bez ̈ uglich ◦ bezeichnet, falls folgende Gruppenaxiome erf ̈ ullt sind:
a) die Menge G ist bzgl. ◦ abgeschlossen:a ◦ b = c ∈ G ∀a, b ∈ G
b) es gilt das Assoziativgesetz:a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a,b,c ∈ G
c) es existiert ein linksneutrales Element e, so daß gilt:e ◦ a = a ∀a ∈ G
d) es existiert zu jedem Element a ∈ G ein linksinverses Element a−1 ∈ G, so daß gilt:
a−1
◦ a = e ∀a ∈ G
D Eine Gruppe G wird abelsch oder kommutativ genannt, falls die Verkn ̈ upfung ◦kommutativ ist, d.h. es gilt:
a ◦ b = b ◦ a ∀a, b ∈ G
D Gruppen mit endlich vielen Elementen nennt man endlich. Die Ordnung einer
Gruppe gibt die Anzahl der Elemente an. Statt Verkn ̈ upfungstafel spricht man bei einer Gruppe von einer Gruppentafel.
D Ist U ⊆ G, wobei G eine Gruppe bzgl. ◦ ist, und ist U ebenfalls eine Gruppe bzgl.◦, so nennt man U Untergruppe von G.
S Kürzungsregel 1c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition
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14 1.3. Verknüpfungen und Gruppen
G sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:
a ◦ b = a ◦ c =⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G (1.1)
Ba ◦ b = a ◦ c
a−1 ◦ a
◦ b = a−1 ◦ a ◦ ce ◦ b = c
S Jedes linksneutrale Element einer Gruppe G ist gleichzeitig auch rechtsneutrales Ele-ment (einfach: neutrales Element).
B Es gilta = e ◦ a
a−1 ◦ a = a−1 ◦ (e ◦ a)e = a−1 ◦ (e ◦ a) (1.2)
Weiterhin gilt auch
e = e ◦ ee = (a−1 ◦ a) ◦ ee = a−1 ◦ (a ◦ e) (1.3)
Gleichsetzen von (1.2) und (1.3) f ̈uhrt auf a−1 ◦ (e ◦ a) = a−1 ◦ (a ◦ e). Anwendung derKürzungsregel 1 f ̈uhrt schliesslich auf e ◦ a = a ◦ e, d.h. e ist links- und rechtsneutralesElement. Zusätzlich ist noch strenggenommen die Eindeutigkeit zu zeigen.
S F ̈ ur alle Elemente a einer Gruppe G gilt:(a−1)−1 = a
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 15
B Sei b ∈ G. Dann ist wegen d) b−1 ◦ b = e. Setze b = a−1. Dann folgt:(a−1)−1 ◦ a−1 = e
((a−1)−1 ◦ a−1) ◦ a = e ◦ a(a−1)−1 ◦ (a−1 ◦ a) = a
(a−1)−1 ◦ e = a(a−1)−1 = a
S Jedes linksinverse Element einer Gruppe G ist gleichzeitig auch rechtsinverses Ele-ment (einfach: inverses Element).
B Sei b ∈ G. Dann ist b−1 ◦ b = e. Setze b = a−1:(a−1)−1
◦a−1 = e
a ◦ a−1 = eD.h. a−1 ist links- und rechtsinverses Element von a.
S Kürzungsregel 2G sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:
b ◦ a = c ◦ a =⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G (1.4)
B siehe Kürzungsregel 1
S Eindeutige Lösung einer GleichungG sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:
1) a ◦ x = b =⇒ x = a−1 ◦ b2) x ◦ a = b =⇒ x = b ◦ a−1
∀a, b ∈ Gc H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition
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16 1.3. Verknüpfungen und Gruppen
B1) a ◦ x = b
a−1 ◦ a ◦ x = a−1 ◦ bx = a−1 ◦ b
2) entsprechend
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 17
1.4 Funktionen
D Seien A und B zwei beliebige Mengen, so versteht man unter einer Funktion oder Abbildung f von A nach B
f : A −→ Beine eindeutige Vorschrift, die einem x ∈ A genau ein y ∈ B zuordnet:
f : x −→ y = f (x)y heißt Funktionswert oder Bildpunkt von x.
Die Menge aller x ∈ A, denen durch f ein y ∈ B zugeordnet wird ist der Definitions-bereich D(f ) der Funktion.
Die Menge B ist der Wertevorrat W (f ) der Funktion.
Die Menge aller Bildpunkte der Elemente einer Teilmenge U von A heißt Bildmengevon U .
f (U ) = {f (x)|x ∈ U ⊆ A}Offensichtlich gilt: f (U ) ⊆ B.
Die Bildmenge von A wird als die Bildmenge der Funktion f bzw. Wertebreich derFunktion f , kurz Im(f ), bezeichnet.
AB
f
f (A) = I m(f )
Fallen B und f (A) = Im(f ) zusammen, so spricht man von einer Abbildung von Aauf B. Die Funktion f : A −→ B wird dann als surjektiv bezeichnet.Gilt
f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ Ad.h. zwei verschiedene Elemente x1, x2 besitzen immer verschiedene Bildpunkte, dann
nennt man die Funktion injektiv oder eineindeutig.Ist f : A −→ B sowohl surjektiv als auch injektiv, so nennt man f bijektiv.
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18 1.4. Funktionen
Zu jeder bijektiven Abbildung f : A −→ B gibt es eine Umkehrfunktion f −1 mit:
f −1 : B −→ Ay −→ x ∈ A (mit f (x) = y)
Zu jeder Funktion f : A −→ B geh ̈ ort ihr Graph G(f ), der als Teilmenge des direkten Produktes von A und B definiert ist:
G(f ) = {(x, y)|x ∈ A ∧ y = f (x) ∈ B}
G(f ) ⊂ A × B
Anmerkung: Zu jedem x ∈ A gibt es genau ein y ∈ B mit (x, y) ∈ G. Dieser Sachverhaltbietet eine alternative Möglichkeit den Funktionsbegriff einzuf ̈uhren ohne den Ausdruck“Vorschrift” zu verwenden.
Beispiele:• A und B sind endliche Mengen
B
•••••
Im(f ) =
f (A)
G(f )
A × B
• • • • • • • • • • • A
• A, B ⊂ IRIR ist die Menge aller reellen Zahlen (s.u.)
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 19
G(f ) ⊂ A × B
B
y = f (x)
Im(f ) = f (A)A x
(x, y)
A × B
• surjektive FunktionA, B ⊂ IR, f (A) = BJedes y ∈ B wird mindestens einmal als Funktionswert angenommen.
xA
y
f (A) = B
• injektive FunktionA, B ⊂ IR, f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2Jedes y ∈ B wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen.
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20 1.4. Funktionen
xA
y
B
• bijektiv Funktion mit UmkehrfunktionA, B ⊂ IR, f und f −1 sind surjektiv und injektiv d.h. bijektiv jedes y ∈ B wird genau einmal als Funktionswert angenommen.
x
A
x y
B
y
BA
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 21
1.5 Zahlen
1.5.1 Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion
D Der “nat ̈ urliche Z ̈ ahlprozeß”, der ausgehend von der “0” die natürlichen Zahlen(IN = {0, 1, 2, 3, . . .}) erzeugt, l ̈ aßt sich durch die Peano-Axiome formalisieren:
a) Die nat ̈ urlichen Zahlen bilden eine Menge IN mit dem ausgezeichneten Element “0”.
b) Auf IN ist eine Abbildung ν : IN
−→ IN
\ {0
} erkl ̈ art, die zu n
∈ IN den Nachfolger
ν (n) angibt.
c) n1 = n2 =⇒ ν (n1) = ν (n2)
d) Enth ̈ alt eine Teilmenge A ⊆ IN die Zahl 0 und ist mit jedem n ∈ A auch ν (n) ∈ A,so ist A = IN (Prinzip der vollst ̈ andigen Induktion).
Statt 0, ν (0), ν (ν (0)), ν (ν (ν (0))), . . . schreibt man 0, 1, 2, 3, . . .
! Alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen lassen sich “rein logisch” aus den Peano-Axiomen ableiten. Insbesondere ist festzuhalten:
• Auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine Ordnung (kleiner, gleich, größer)gegeben, mit der Eigenschaft: f ̈ur beliebige x, y ∈ IN gilt entweder x < y oder x = yoder x > y.
• Es lassen sich die bekannten Rechenoperationen einf ̈uhren:
−Addition−Multiplikation
kommutativ
−Subtraktion−Division
Alternative Formulierung f ̈ur das Prinzip der vollständigen Induktion:
A(n) sei eine Aussage über die Zahl n (n ∈ IN). Ist die Aussage f ̈ur n = n0 richtig undfolgt aus der Richtigkeit von A(k) f ̈ur ein beliebiges k ∈ IN, k ≥ n0, diejenige von A(k +1),
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22 1.5. Zahlen
so ist A(n) f ̈ur alle n ∈ IN, n ≥ n0 erf ̈ullt.
! Die “Aussagenkette” muß nicht unbedingt bei n0 = 0 gestartet werden.
Beispiel:
S F ̈ ur jedes n ≥ 1 gilt:n
i=1 i = 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)
2
Induktionsanfang: Die Aussage ist richtig f ̈ur n = n0 = 1.
Induktionsannahme: Die Aussage ist richtig f ̈ur ein k ≥ 1.Induktionsschritt:
k+1i=1
i = ki=1
i + (k + 1)=
k(k + 1)
2 + (k + 1)
= k(k + 1) + 2(k + 1)
2
= (k + 1)(k + 2)
2
= (k + 1)[(k + 1) + 1]
2
Dies ist genau die Beziehung die f ̈ur (k+1) erwartet wird! Damit folgt aus der Korrektheitder Aussage f ̈ur k die f ̈ur (k + 1). Da die Aussage f ̈ur n = n0 = 1 korrekt ist, ist sie somitf ̈ur alle n ≥ 1 korrekt.
CAS-Beispiel
Berechne die Summe s = 100
k=1 k aller natürlichen Zahlen k von 1 bis 100.
reset () ;
s : 0;
for i : 1 thru 100 do s : s +i ;s ;
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 23
Durch die Schleifenkonstruktion for i: 1 thru 100 do ... ; werden alle natürlichenZahlen i von 1 bis 100 durchlaufen. Die Zahlen i werden dabei aufsummiert, wobei die
Zwischensumme in der Variable s gespeichert wird.Kürzer geht es mit der Funktion sum:
su m ( i , i , 1 , 1 0 0 ) ;
Für eine unbestimmte obere Summationsgrenze n schreibt man:
nusum ( i , i , 1 , n ) ;
Vollkommen entsprechend lassen sich kompliziertere Summen wie
nk=m k,
(n−1)l=0 (2 l +1),nk=1 k2 oder nk=1 k3 auswerten:
nusum ( k , k , m , n ) ;
nusum ( 2 * l +1 , l , 0 , ( n - 1 ) );
nusum ( k ^2 , k , 1 , n );
nusum ( k ^3 , k , 1 , n );
1.5.2 Ganze, rationale und reelle Zahlen
IN bildet bzgl. der Addition keine Gruppe.
D Die Menge ZZ der ganzen Zahlen entsteht durch Erweiterung der Menge IN durch Erg ̈ anzung mit den inversen Elementen bzgl. der Addition.
Es gilt: IN ⊂ ZZ
S ZZ bildet bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe.
Die Ordnung von IN wird auf ZZ übertragen.
ZZ∗ = ZZ \ {0} bildet bzgl. der Multiplikation keine Gruppe.
D Die Menge Q der rationalen Zahlen ist die Menge aller Zahlen, die sich durch p/q mit p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ = IN \ {0} darstellen lassen.
Q = {x|x = p/q, p ∈ ZZ, q ∈ IN∗}
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24 1.5. Zahlen
Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q
D Auf einer Menge K sei eine Addition + und eine Multiplikation · definiert. K wird Körper genannt, falls
a) K eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition bildet mit dem neutralen Element ”0”
b) K ∗ = K \ {0} eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation bildet c) das Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ K gilt.
S Q ist ein geordneter K ̈ orper. Die Ordnung von ZZ ¨ ubertr ̈ agt sich auf Q durch p
q
< p
q ⇐⇒ p
·q < p
·q
S Jede rationale Zahl l ̈ aßt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen und umgekehrt.
Beispiel:
1
6 = 0, 166666 . . . = 0, 16
0, 16 = 1
10(1 + 0, 6)
= 1
10(1 +
1
10(6 + 0, 6))
Nebenrechnung: 0, 6 = 1
10(6 + 0, 6)
9 · 0, 6 = 6
0, 6 =
2
3
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 25
Damit: 0, 16 = 1
10(1 +
2
3)
= 1
10 · 5
3
= 1
6
S Die Gleichung x2 = 2 besitzt keine L¨ osung in Q.∃x(x2 = 2, x = p/q ∈ Q)
B Annahme: Behauptung doch erf ̈ullt (*):( p/q )2 = 2 mit p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ .
Es gilt: p und q sind nicht beide gleichzeitig gerade (**) – ansonsten wird solange gekürztbis dies erf ̈ullt ist. Nun ist aber nach Annahme:
p2 = 2q 2 ,⇓
d.h. p ist gerade.§ Setze p = 2m
(2m)2 = 2q 2
4m2 = 2q 2
2m2 = q 2
⇓q ist gerade
Dies stellt einen Widerspruch zu obiger Aussage (**) dar. Damit muß die ursprünglicheAnnahme (*) falsch sein; d.h. die Aussage des Satzes ist richtig!
Dennoch muß es Zahlen r mit der Eigenschaft r2 = 2 geben.
Satz des Pythagoras r2 = a2 + b2
§ Dies gilt, da f ̈ur p = 2n gerade =⇒ p2 = 4n2 gerade und p = (2n+1) ungerade =⇒ p2 = 4n2+ 4n+ 1ungerade.
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26 1.5. Zahlen
a
br
speziell
a = 1
b = 1 r2 = 2
r nennt man irrationale Zahl.
Jede irrationale Zahl läßt sich durch einen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruchdarstellen.
D Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellenZahlen IR.
Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IRIR ist ein geordneter Körper
d.h. u.a.
x > y =⇒ x + z > y + z
und
x > 0, y > 0 =⇒ x · y > 0
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 27
Graphische Darstellung mittels der Zahlengeraden:
0 1
Nullpunkt
y1 < x x y3 > x
y2 = x
Intervalle (Teilmengen) von IR
[a, b] = {x |a ≤ x ≤ b, x ∈ IR} abgeschlossen a b
] a, b] = {x |a < x ≤ b, x ∈ IR} halboffen )a b
[a, b [ = {x |a ≤ x < b, x ∈ IR} halboffen (a b
] a, b [ = {x |a < x < b, x ∈ IR} offen ) (a b
CAS-Beispiel
Löse die Gleichung x2 = 2:
solve ( x ^2 = 2 , x );
Auch Maxima liefert keine rationale Zahl als Ergebnis, sondern die beiden Lösungen +√
2und −√ 2, die zu einer Lösungsmenge zusammengefaßt sind.Natürlich läßt sich mit der Funktion solve auch die sogenannte Mitternachtsformel er-halten, d.h. die Lösungen der Gleichung a x2 + b x + c = 0 erhält man mit:
solve ( a * x ^2 + b * x + c = 0 , x );
Die einzelnen Lösungen werden in einer Lösungsmenge A abgelegt.
kill ( A , a , b , c , x ) ;
A : solve ( a * x ^2 + b * x + c = 0 , x );
a : 2;
b : 3;
c : -1 ;
fo r l :1 th ru 2 doblock ( [ x , T E S T ] ,
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28 1.5. Zahlen
print (" Lo es un g " ,l ,": " , ev ( rhs ( A [ l ] ) ) ) ,
x : ev ( rh s ( A [ l ] ) ) ,
TEST : a * x ^2 + b * x + c ,
print ( " E i n s e tz e n l i e fe r t ( s y m b o l is c h ) : " , T E S T ) ,
print ( " E in s et z en l i ef e rt ( n u m er i sc h ) : " , float ( T E S T ) )
);
In der vorausgegangen Auflistung der Lösungen wurden die einzelnen Lösungen in derListe A abgespeichert. Auf die Lösung l kann nun über A[l] direkt zugegriffen werden.Wie man sieht muß die Gleichung nicht neu gelöst werden, sondern es wird bei einernachträglichen Festlegung der Koeffizienten a, b und c auf die zuvor erfolgte allgemeineLösung zurückgegriffen.
Für die getroffene Wahl der Koeffizienten a, b und c ist das Ganze gut gegangen, d.h. die
Lösungen der Gleichung sind reelle Zahlen. Hätten wir f ̈ur c = +2 gewählt, so würde diesnicht mehr zutreffen. Dies gilt bereits f ̈ur den Spezialfall a = 1, b = 0 und c = 1, der imfolgenden behandelt wird.
Der Befehl kill löst Variablenbindungen im Speicher. rhs entnimmt einer Gleichung(x = y) die rechte Seite und ev forciert das Auswerten eines Ausdrucks.
1.5.3 Komplexe Zahlen
S Die Gleichung r2 = −1 besitzt keine L¨ osung in IR.∃r (r2 = −1, r ∈ IR)
B
x > 0, y > 0 =⇒ x · y > 0x 0
damit gilt f ̈ur r ∈ IR
r = 0 =⇒ r2 = 0r = 0 =⇒ r2 > 0
d.h. der Fall r 2
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 29
i2 = −1.
D Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller Zahlen der Form z = x + iy mit x, y ∈ IR
x wird Realteil von z genannt; x = Re (z )
y wird Imaginärteil von z genannt; y = Im (z )
N Alternative Schreibweise: z = (x, y) ∈ IR2
D Die Addition auf C ist definiert durch:(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ∈ C
⇑Abgeschlossenheit
Beispiel:
(5 + i3) + (7 − i2) = 12 + i
D Die Multiplikation auf C ist definiert durch:
(x + iy) · (u + iv) = x · u + x · iv + iy · u + iy · iv= (x · u + i2y · v) + i(x · v + y · u)= (x · u − y · v)
+i (x · v + y · u)
∈ C
∈ IR
∈ IR
⇑Abgeschlossenheit
Beispiel:
(5 + i3) · (7 − i2) = 35 − (−6) + i(−10 + 21)= 41 + i11
S C ist ein K ̈ orper bzgl. der Addition und Multiplikation.
Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C
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30 1.5. Zahlen
C ist nicht geordnet; d.h. z 1 < z 2 ergibt keinen Sinn
CAS-Beispiel
Löse die Gleichung x2 = −1 nach x auf:reset () ;
solve ( x ^2= -1 , x );
Die imaginäre Zahl i wird also von MAXIMA durch %i dargestellt. %i ist daher ein reser-vierter Variablennamen und darf vom Nutzer nicht verwendet werden.
Das Rechnen mit komplexen Zahlen erfolgt nun in der Weise wie man es vom Umgangmit reellen Zahlen gewohnt ist:
( 5+ % i * 3) + ( 7 -% i * 2 );
r e c t f o r m ( (5 + % i *3 ) * ( 7 -% i * 2 )) ;
Einige kompliziertere Beispiele sind:
r e c t f o r m ( (5 + % i *3 ) / ( 7 -% i * 2 )) ;
r e c t f o r m ( ( 1 + % i ) ^ 4 ) ;
r e c t f o r m ( ( 5 +% i * 3 ) ^ 2 / ( 1 +% i ) ) ; ;
Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
x
y Im(z )
Re(z )
z = x + iy = (x, y)
z ∗ = x − iy
|z | = r
|z ∗
|
φ
D z ∗ = x − iy wird die zu z = x + iy komplex konjugierte Zahl genannt.
D Der Ausdruck |
z
| =
√ z z ∗ wird Absolutbetrag der komplexen Zahl z genannt.
√ z z ∗ =
(x + iy)(x − iy) = x2 + y2
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 31
CAS-Beispiel
Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gibt es einige spezielle Funktionen: conjugateliefert zu z das kompex konjugierte z ∗, den Real- und Imaginärteil von z erhält man mitrealpart bzw. imagpart und den Absolutbetrag schließlich mit abs:
z : 5 + 12*% i;
c o n j u g a t e ( z ) ;
r e a l p a r t ( z ) ;
i m a g p a r t ( z ) ;
ab s ( z ) ;
sqrt ( r e a l p a r t ( z )^ 2 + i m a g p a r t ( z ) ^2 ) ;
Damit kann man sich leicht von der Korrektheit der Relationen (z ∗)∗ = z , Re(z ) =12
(z + z ∗) sowie Im(z ) = 12i
(z − z ∗) überzeugen:z : 5 + 12*% i;
c o n j u g a t e ( c o n j u g a t e ( z ) ) ;
( z + c o n j u g a t e ( z ) ) / 2 ;
( z - c o n j u g a t e ( z) ) / ( 2* %i );
Darstellung in Polarkoordinaten (r, φ):
Aus der Eulerschen Formel (Ableitung erfolgt später)
eiφ = cos φ + i sin φ
ergibt sich die Darstellung (f ̈ur z = 0):
z = x + iy φ = sign(y) arccos x
|z | , −π < φ ≤ π= |z | cos φ + i |z | sin φ=
|z
|(cos φ + i sin φ)
= |z | eiφ= reiφ
r ist der Absolutbetrag und φ die Phase der komplexen Zahl z . Die Vorzeichenfunktionist definiert als
sign(x) =
−1 f ̈ur x 0
In dieser Darstellung lassen sich die Multiplikation, Division und das Potenzieren kom-plexer Zahlen besonders einfach ausf ̈uhren. Mit z 1 = r1e
iφ1 und z 2 = r2eiφ2 gilt:
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32 1.5. Zahlen
Multiplikation:
z = z 1 · z 2= r1e
iφ1 · r2eiφ2= r1r2e
iφ1eiφ2
= r1r2ei(φ1+φ2)
φ1
z = z 1z 2
φ1
Re(z )
Im(z )
z 1z 2
Division:
z = z 1/z 2
= r1
r2 ei(φ1−φ2)
φ2
z = z 1/z 2
φ2
Re(z )
Im(z )
z 1
z 2
Potenzieren:
z
n
= z
n
1= rn1 e
iφn
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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 33
Re(z )
Im(z )z 3
z 1
z 2
z 4
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Kapitel 2
Analytische Geometrie undLineare Algebra
2.1 Vektoralgebra
Motivation:- geometrisch anschauliche Zusammenhänge mathematisch auszudrücken- Möglichkeit geometrische Objekte Rechenoperationen zu unterwerfen- Einf ̈uhrung von Begriffen, die in vielen anderen Bereichen Anwendung finden
2.1.1 Einf ̈uhrung des Vektorbegriffs in Anlehnung an dieEuklidsche Geometrie
Repräsentation von Punkten im Ortsraum durch n-Tupel
- Punkte auf einer Geraden
P ←→ x ∈ IRxE
0 P
- Punkte in einer Ebene
P ←→
(x1, x2) ∈
IR2 = IR×
IR
x1
E 1
x2
E 2
P
34
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 35
- Punkte im 3-dimensionalen Ortsraum
P
←→ (x1, x2, x3)
∈ IR3 = IR
×IR
×IRx1
x3
x2
P
E 2
E 3
E 1
Jeder Punkt im Ortsraum läßt sich eindeutig einem Punkt eines abstrakten Raumes zu-ordnen.
! Bei der Zuordnung von Punkten des Ortsraumes zu Zahlentripeln hängen die Koor-dinaten von der Wahl des Koordinatensystems ab.
! Es wird im folgenden immer ein (rechtwinkliges) kartesisches Koordinatensystemvorausgesetzt
D Unter dem n-dimensionalen Raum IRn versteht man die Menge aller geordneten n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) mit xi ∈ IR. Jedes n-Tupel repr ̈ asentiert einen Punkt im Raum IRn. Die Gr ̈ oßen xi sind seine Koordinaten.
D Unter einem Vektor v des IRn versteht man das n-Tupel, das sich aus der Differenz der Koordinaten zweier Punkte des IRn ergibt.
v =
x1,B − x1,Ax2,B − x2,A
.
.. .
..xn,B − xn,A
=
v1v2...
vn
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36 2.1. Vektoralgebra
N Schreibweise in der Regel als Spaltenvektor gelegentlich als Zeilenvektor(v1, v2, . . ., vn)
Symbol: v, v, v u.s.w.
Geometrische Deutung:
x2
x3
x1
v
v1
v2
v3
B
A
v =−→AB
- Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke- Der Aufpunkt (A) ist nicht in Raum festgelegt
! Die Koordinaten v1, v2, . . . , vn bzw. Komponenten v1, v2, . . . , vn eines Vektorshängen von der Wahl des Koordinatensystems ab.
D Ortsvektoren sind ortsfeste Vektoren mit dem Ursprung als Aufpunkt.
O
P
P
r =
−→
OP
r =−→
OP
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 37
2.1.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation miteinem Skalar
D Zwei Vektoren a und b aus IRn sind gleich wenn ihre Koordinaten gleich sind.ai = bi i = 1, . . . , n
Beispiel:
a b b b
b
b
gleich gleich ungleich ungleich ungleich
D Zwei Vektoren a und b aus IRn werden zu einem Vektor c addiert indem man die Koordinaten addiert.
c = a + b mit ci = ai + bi i = 1, . . . , n
bzw.
c1...
cn
=
a1 + b1...
an + bn
Beispiel:
a b
a
b
a + b = c = b + aa
b
S Die Addition von Vektoren ist kommutativ.a + b = b + a
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38 2.1. Vektoralgebra
B
a + b =
a1 + b1
...an + bn
=
b1 + a1...
bn + an
= b + a
D Zwei Vektoren werden voneinander subtrahiert indem ihre Koordinaten vonein-ander subtrahiert werden:
c = a − b =
a1 − b1
...an − bn
=
c1...
cn
Beispiel:
a
b
a
− b
a − b
D Der Nullvektor ist ein Vektor dessen Koordinaten alle gleich Null sind.
0 =
00...0
S Die Menge aller Vektoren aus IRn bildet bzgl. der Vektoraddition eine kommutativeGruppe, da die Gruppenaxiome
G1: Abgeschlossenheit a, b ∈ IRn =⇒ a + b = c ∈ IRn
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 39
G2: Assoziativgesetz a + ( b + c) = (a + b) + c
G3: Existenz eines neutralen Elements 0 + a = a, 0
∈ IRn
G4: Existenz eines inversen Elements a−1 + a = 0, mit a−1 = −asowie das Kommutativgesetz a + b = b + a
erf ̈ ullt sind.
D Multiplikation eines Vektors mit einem SkalarEin Vektor a ∈ IRn wird mit einem Skalar λ ∈ IR multipliziert indem jede Koordinate des
Vektors mit λ
multipliziert wird. b = λa mit bi = λai i = 1, . . . , n
Beispiel:
a b b b b
λ > 1 0 < λ
-
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40 2.1. Vektoralgebra
f ̈uhren auf den Nullvektor c = 0 mit ci = 0, i = 1, . . . , n
D Die Addition von k Vektoren ai (i = 1, . . . , k), die mit Vorfaktoren λi versehen sind,nennt man Linearkombination.
b =k
i=1
λiai = λ1a1 + . . . + λkak
=
λ1a1,1 + λ2a1,2 + . . . + λka1,k...
λ1an,1 + λ2an,2 + . . . + λkan,k
Beispiel:
a1
λ1a1
a2
λ2a2
a3
λ3a3
b
Schwerpunkt:
rSp =
i
mirii
mi
elektrisches Dipolmoment:
d =
i
q iri
Im folgenden wird zunächst der Typ eines Vektors definiert, dessen Koordinaten reelleZahlen sind. vs und vs sind Spalten- bzw. Zeilenvektoren. Die Funktion transposef ̈uhrt den Spaltenvektor vs in einen Zeilenvektor über - umgekehrtes gilt f ̈ur den Vektor
vz. Es werden die drei Spaltenvektoren a, b und c definiert, a und b addiert und schließlicheine Linearkombination gebildet.
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 41
2.1.3 Das skalare Produkt zweier Vektoren
D Das innere oder skalare Produkt (a, b) zweier Vektoren a und b ∈ IRn ist gegeben durch die reelle Zahl:
(a, b) =n
i=1
aibi
= a1b1 + a2b2 + . . . + anbn
! Unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems (Beweis folgt später).
Allgemein definiert man f ̈ur komplexwertige Koordinaten:
(a, b) =n
i=1
a∗i bi mit a, b ∈ Cn
=
ni=1
aib∗i
∗= ( b, a)∗
S Rechenregeln (λ ∈ IR; a, b, c ∈ IRn)a) (a, b) = ( b, a) Kommutativgesetz
b) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) Distributivgesetz
c) λ(a, b) = (λa, b) = (a, λ b)
Bzu a) (a, b) =
ni=1
aibi =n
i=1
biai = ( b, a)
D Die Länge eines Vektors a ∈ IRn ist definiert durch die reelle Zahl a mit:
a = (a, a) = ( ni=1
a2i )1/2 bzw. (
ni=1
a∗i ai)1/2 f ̈ ur a ∈ Cn
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42 2.1. Vektoralgebra
N |a| = a “a-Betrag”
Beispiel:
n = 2 : Satz des Pythagoras:a1
a2a |a| =
a21 + a
22•
D Unter Normierung eines Vektors versteht man die Multiplikation mit einem Ska-lar, so daß der neue Vektor a eine vorgegebene L¨ ange λ besitzt:
a = λ|a|a
Speziell: λ = 1 f ̈uhrt a in einen sogenannten Einheitsvektor über.
a = e = 1|a|a mit |e | = 1
Beispiel:
a = 1−12 =⇒ |a| = √ 6 und e = 1√ 6a = 1√ 6
1
−12 = 1/
√ 6
−1/√ 62/
√ 6
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 43
N ea, êa oder â.
Speziell: Einheitsvektoren längs der Koordinatenachsen ex, ey, ez oder x̂, ŷ, ẑ
D Zwei Vektoren a und b sind orthogonal zueinander falls (a, b) = 0 ist.
Bedeutung des skalaren Produkts im Ortsraum
N In diesem Zusammenhang schreibt man üblicherweise a · b statt (a, b)
Speziell: b ist Einheitsvektor parallel zu einer der Koordinatenachsen, z.B. b = e1.
x1
x2
a
e1
a1 = a cos α
a · e1 = a1
a2a3 ·
1
00
= a1= a cos α
α
Da das Skalarprodukt unabhängig vom Koordinatensystem ist, gilt allgemein:
a · b = ab cos
-
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44 2.1. Vektoralgebra
B
m
Zeeman-Energie E = − m · B
Arbeit W gegen eine konstante Kraft F (Erdanziehung) längs eines Weges s
W = F · s F =
− F grav
F grav = mg = mg
00−1
s = a
123
W = mga(0 · 1 + 0 · 2 + 1 · 3)
= 3mga
Berechnung des skalaren Produktes zweier Vektoren a und b oder über eine SchleifeBerechnung über die interne Funktion scalarProduct Positionen der H-Atome in CH4mit C am Ursprung Die folgende graphische Darstellung kann übersprungen werden.Berechnung des Tetraederwinkels
2.1.4 Das Kreuzprodukt und Spatprodukt
D Das Kreuzprodukt a × b zweier Vektoren a und b ∈ IR3 ist definiert durch:
c =
c1c2c3
= a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1
= a × bMerkregel
c =
e1 e2 e3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
+ + + − − −
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 45
= e1a2b3 + e2a3b1 + e3a1b2
− e1a3b2 − e2a1b3 − e3a2b1
Bedeutung des Kreuzprodukts im Ortsraum
α
A
a
b
A = a × b gibt die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms an:
A = a × b = |a| b sin αwobei  die Orientierung der Fläche angibt. Die Vektoren a, b und A bilden ein Rechts-system.
Für den Speziallfall a =
a1a20
, b = b1b2
0
ist dieser Zusammenhang leicht zu zeigen:
b2
b1 a1
a
b
a2
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46 2.1. Vektoralgebra
A = a ×
b mit A3 = (a1b2 − a2b1)
d.h. die Fläche des Parallelograms, das von a und b aufgespannt wird, ist gleich derDifferenz der Rechteckflächen a1b2 und a2b1.
S Rechenregelna) a × b = − b × ab) λ(a × b) = (λa) × b = a × (λ b)
c) a × ( b + c) = a × b + a × cd) a × ( b × c) = (a × b) × ce) Zyklische Vertauschung:
(a × b) · c = ( b × c) · a = (c × a) · b f ) Grassmannscher Entwicklungssatz:
a × ( b × c) = b(a · c) − c(a · b)g) Lagrangesche Identit ̈ at:
(a × b) · (c × d) = (a · c)( b · d) − (a · d)( b · c)
Anwendungen:
Drehmoment D = r × F
×
F r
D
Drehimpuls L = r × p
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 47
p = mvr
m
Lorentzkraft F = qv × B
D Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ∈ IR3 ist definiert durch:(a × b) · c
a
bc
S Das Spatprodukt (a × b) ·c gibt das Volumen des durch die Vektoren a, b, c aufge-spannten Parallelepipeds an:V = (a × b) · c
! V ≥ 0 falls a, b, c ein Rechtssystem bilden; sonst gilt V
-
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48 2.1. Vektoralgebra
Den Rauminhalt der primitiven Elementarzelle errechnet man mittels des Spatproduktes.Der Würfel als nichtprimitive Elementarzelle hat das doppelte Volumen, nämlich 1. Daf ̈ur
enthält er aber 2 Atome/Elementarzelle
2.1.5 Geraden- und Ebenengleichung
Im folgenden wird i.allg. von a, b, . . . ∈ IR3 ausgegangen.
D Der Abstand zweier Punkte A und B ist die L¨ ange des Vektors, der sich als Differenz ihrer Ortsvektoren rA und rB ergibt:
dAB = dBA = |rA − rB|
S Alle Punkte deren Ortsvektoren durch r = a + λ b λ ∈ IR; b = 0
gegeben sind, liegen auf einer Geraden.
0 r = a + λ b
a
b
Abstand eines Punktes zu einer Geraden:
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 49
P λ
P
b rP λ = a + λ b
dλ × b
dλ = rP λ − rP
drP
O
a
Es gilt:
d b = dλ × b mit dλ = rP λ − rP wobei λ willkürlich gewählt werden kann
d =
dλ × b b=
dλ × b̂Speziell: λ = 0
d = (a − rP ) × b̂=
a × b̂ − rP × b̂
S Alle Punkte deren Ortsvektoren durch r = a + λ b + µc λ, µ ∈ IR; b × c = 0
gegeben sind, liegen auf einer Ebene.
0
µca
λ b
S Hessesche Normalformc H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition
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50 2.1. Vektoralgebra
Alle Punkte deren Ortsvektoren die Gleichung
n̂ · r = d d ∈ IR; n̂ = 0
erf ̈ ullen, liegen auf einer Ebene senkrecht zum Einheitsvektor n̂ im Abstand d zum Ur-sprung.
n̂
dn̂r
2.1.6 Lineare Vektorräume
D Sei V eine abelsche Gruppe bzgl. +, K ein K ̈ orper und α eine Abbildung mit der Eigenschaft:
α : K × V −→ V (λ, a) −→ α(λ, a) = λa
dann heißt V linearer Vektorraum falls die Eigenschaften
Abgeschlossenheit
a) λa + µ b ∈V Assoziativgesetz b) λ(µa) = (λµ)aDistributivgesetze
c) (λ + µ)a = λa + µad) λ(a + b) = λa + λ b
∀λ, µ ∈ K ∀a, b ∈ V
erf ̈ ullt sind.
a ∈ V heißt Vektorλ ∈ K heißt Skalar
! Im allgemeinen wird im folgenden V = IRn und K = IR vorausgezetzt; das Adjektiv
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 51
“linear” entf ̈allt.
D p Vektoren a1, . . . ,a p eines Vektorraumes V heißen linear abhängig wenn es λ1, . . . , λ p ∈ IR gibt, die nicht alle gleichzeitig 0 sind, so daß
λ1a1 + . . . + λ pa p = 0
Nicht linear abh ̈ angige Vektoren heißen linear unabhängig.
a
linear abhängig linear unabhängig
c
b
D Gibt es in einem Vektorraum eine maximale Zahl k von linear unabh ̈ angigen Vek-toren, so heißt k die Dimension von V , sonst heißt V unendlich dimensional.
Ndim V = k oder V k statt V
D Ist V k ein Vektorraum der Dimension k, so heißen je k linear unabh ̈ angige Vektoren eine Basis von V k.
N Die Basisvektoren a1, . . . ,ak spannen den Vektorraum V k auf .
S Ist V k ein Vektorraum der Dimension k und bilden a1, . . . ,ak eine Basis, so l ̈ aßt sich c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition
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52 2.1. Vektoralgebra
jeder Vektor b aus V auf eindeutige Weise als Linearkombination
b =
ki=1
λiai
darstellen.
Ba1, . . . ,ak sind linear unabhängig
b, a1, . . . ,ak sind damit linear abhängig
=⇒ λb b + λ1a1 + . . . + λkak = 0
b = −λ1λb
a1 − . . . − λkλb
ak
oder b = λ1a1 + . . . + λkak
damit ist b als Linearkombination darstellbar.
Eindeutigkeit:Annahme es gelte weiter: b = µ1a1 + . . . + µkakDifferenz bilden =⇒ 0 = (λ1 − µ1)a1 + . . . + (λk − µk)ak
= ν 1a1 + . . . + ν kak
Es gilt ν i = 0 ∀i wegen der linearen Unabhängigkeit der ai.Damit λi = µi ∀i und damit ist die Eindeutigkeit bewiesen.
S Alternative Formulierung: Jedem Vektor b eines linearen Vektorraumes V k der Di-
mension k wird bez ̈ uglich der festen Basis a1, . . . ,ak durch die Vektorgleichung
b = λ1a1 + . . . + λkak
in umkehrbar eindeutiger Weise ein geordnetes k-Tupel (λ1, . . . , λk) zugeordnet
b ←→ (λ1, . . . , λk) .
N Die λi heißen Komponenten von b bzgl. der Basis a1, . . . ,ak
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 53
Alternativ:
λi : Koordinaten
λiai : Komponenten
Berechnung der Komponenten
λ1a1 + . . . + λkak = b
ai = a1,i...
ak,i
f ̈uhrt auf
λ1a1,1 + λ2a1,2 + . . . + λka1,k...
λ1ai,1 + λ2ai,2 + . . . + λkai,k...λ1ak,1 + λ2ak,2 + . . . + λkak,k
=
b1...
bi...bk
Dies stellt ein System von k linearen Gleichungen in den Unbekannten λ1,...,λk dar. DerLösungsweg wird später behandelt.
D Den ¨ Ubergang bei der Festlegung der Komponenten eines Vektors bzgl. einer Basis a1, . . . ,ak zu einer Festlegung bzgl. einer Basis a
1, . . . ,a
k nennt man Basistransforma-
tion.
a2
a1
a2
a1
b1 = λ1 a1
b2 = λ2 a2
b2 = λ2 a
2
λ1 a1 =
b1 b
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54 2.1. Vektoralgebra
Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
Basisvektoren müssen nicht notwendigerweise orthogonal zueinander sein.
Ein Verfahren einen Satz von orthogonalen Basisvektoren zu erhalten ist das SchmidtscheOrthogonalisierungsverfahren.
Sei ai i = 1,...,k ein Satz von Basisvektoren. Setze:
b1 = a1
b2 = a2 − (a2 · b1) b1 b12 = a2 − (a2 · e b1)e b1
b3 = a3 − (a3 · b1) b1b21
− (a3 · b2) b2b22
= a3 − (a3 · e b1)e b1 − (a3 · e b2)e b2allg.
bi = ai −i−1
j=1
ai · b jb2 j
b j = ai −i−1
j=1
(ai · e bj ) e bj
Beispiel:
a1 =
112
a2 =
201
a3 =
310
b1 = a1 =
112
b2 = a2 − (a2 · b1)
b1 b12=
201
− 4 · 1
6 ·
112
=
4/3−2/3−1/3
b3 = a3 − (a3 · b1)
b1b21
− (a3 · b2) b2b22
=
310
− 4 · 16 · 11
2
− 103 · 3
7 · 4/3−2/3
−1/3
= 3/7
9/7−6/7
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 55
Normierung (auf 1) f ̈uhrt zu einem Satz von orthonormalen Basisvektoren ei (orthogonalund normiert):
e1 = a1
a1
ei =
ai −i−1
j=1
(ai · e j)e jai −i−1
j=1
(ai · e j)e j
Gegeben sei ein Satz von 3 Basisvektoren a1, a2, a3. Finden Sie ein orthogonales Basis-system mittels des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens
Überprüfung der Normierung Überprüfung der Orthogonalität
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56 2.2. Matrizen
2.2 Matrizen
Motivation- Lösung linearer Gleichungssysteme- Beschreibung von Basistransformationen
u.s.w.
2.2.1 Definitionen
D Ein Schema
A = (Aij) i=1...mj=1...n
=
A11 A12 . . . A1nA21 A22 . . . A2n
... ...
... ...
Am1 Am2 . . . Amn
von m ·n Elementen Aij ∈ IR heißt eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, kurz m × n-Matrix.
Nm = n die Matrix heißt quadratisch
Ai1 Ai2 . . . Ain i-te Zeile
A1 jA2 j
...
Anj
j-te Spalte
Ai1 Ai2 . . . Ain
i-ter Zeilenvektor
A1 jA2 j
...Anj
j-ter Spaltenvektor
Diagonalelemente alle Aij mit i = j
Nicht – oder Außer –
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 57
diagonalelemente alle Aij mit i = j
Diagonalmatrix
A11
A22 0. . .
0 . . .
Ann
d.h. Aij = 0 f ̈ur i = j
Einheitsmatrix
11 0
. . .
0 .
. .1
d.h. Aij = 0 f ̈ur i = j
Aij = 1 f ̈ur i = j
Nullmatrix
0 d.h. Aij = 0 f ̈ur alle i, j
Obere Dreiecksmatrix
0
d.h. Aij = 0 j < i
Untere Dreiecksmatrix
0
d.h. Aij = 0 j > i
Bandmatrix
0
0
d.h. Aij = 0 f ̈ur |i − j| > l
Symmetrische Matrix Aij = A ji
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58 2.2. Matrizen
Antisymm. Matrix Aij = −A ji
Transponierte Matrixzur Matrix A = (Aij)
A11 A21 A31 . . . Am1
A22... A33
.... . .
A1n . . . . . . . . . Amn
A = (Aij) i=1...m
j=1...n
AT = (A ji) j=1...ni=1...m
2.2.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikationmit einem Skalar
D Zwei m × n-Matrizen A = (Aij) und B = (Bij) (Aij, Bij ∈ IR) heißen gleich wenn f ̈ ur alle Elemente
Aij = Bij i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , n
gilt.
D Zwei m× n-Matrizen A und B werden addiert/subtrahiert indem ihre Elemente addiert/subtrahiert werden.
C = A ± Bbzw. (C ij) = (Aij) ± (Bij) mit C ij = Aij ± Bij
S Die Addition von Matrizen ist kommutativ.
S Die Menge aller m × n-Matrizen A = (Aij) mit Aij ∈ IR bildet bzgl. der Matrixad-dition eine abelsche Gruppe.
D Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.
λA = (λAij)
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 59
d.h. λ
A11 . . . A1n
... ...
Am1 . . . Amn
=
λA11 . . . λA1n
... ...
λAm1 . . . λAmn
Matrizen lassen sich durch arrays darstellen, die als solche zunächst definiert werden
müssen. Im folgenden wird eine 2×3-Matrix definiert und die Elemente A[i,j] belegt:Definition und Wertzuweisung lassen sich in einem machen, indem die Werte reihenweiseangegeben werden. Die Addition der beiden Matrizen kann nun wie folgt durchgef ̈uhrtwerden: Einfacher lassen sich Matrizen mittels der Anweisung matrix erzeugen: lieferteine 3×2-Nullmatrix.Die vorausgegangene Addition der Matrizen A und B ergibt sich aus:
2.2.3 Matrixmultiplikation
D Das Produkt einer m × n-Matrix A mit einer n × p-Matrix B ist definiert durch die m × p-Matrix C mit dem Elementen
C ij =n
k=1
AikBkj (i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , p)
C A B
m = m · n
p pn
! Die Matrixmultiplikation ist im allg. nicht kommutativd.h. i.allg. : AB = BA
Beispiel:
1 23 1
0 12 2
= 4 52 5
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60 2.2. Matrizen
0 12 2
1 23 1
=
3 18 6
D Eine Matrix B heißt Links- bzw. Rechtsinverse einer Matrix A falls gilt BA = E bzw. A B = E
D Eine Matrix A heißt regulär, falls es eine Matrix B gibt, die gleichzeitig Links-und Rechtsinverse von A ist; sonst singulär.
! A und B müssen notwendigerweise quadratisch sein.
NB = A−1
Operationen mit Matrizen lassen sich am einfachsten ausf ̈uhren, wenn vordefinierte
Funktionen verwendet werden. Dazu müssen die Matrizen entsprechend definiert werden.Addition: Multiplikation: Die Multiplikation der 2×3-Matrix mit der 3×2-Matrix f ̈uhrt je nach Reihenfolge auf eine 2×2- bzw. eine 3×3-Matrix, d. h. die Multiplikation ist nichtkommutativ A*C f ̈uhrt natürlich zu nichts, da die Dimensionen nicht passen.
Transposition: Inversion Die letzten beiden Anweisungen müssen natürlich zum selbenErgebnis f ̈uhren, da f ̈ur quadratische Matrizen eine linksinverse Matrix gleichzeitig einerechtsinverse Matrix ist.
Darstellung von Vektoren als Matrizen:
a =
a1...
an
= a b =
b1...
bn
= bEntsprechende Berechnung des Skalarprodukts:
a· b =
n
i=1 aibi = a1 a2 . . . an
b1b2...
an
-
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 61
= aTb
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62 2.2. Matrizen
2.2.4 Elementare Umformungen
D Unter einer elementaren Umformung einer Matrix versteht man die Manipula-tion einer einzelnen Zeile oder Spalte dieser Matrix und die einfache Kombination solcher Manipulationen.
! Im folgenden nur Zeilenumformungen – Spaltenumformungen laufen analog!
1. Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einem Skalar λ:
A =
A11 A12 . . . A1 j . . . A1mA21 . . . . . . A2 j . . . A2m. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ai1 Ai2 . . . Aij . . . Aim. . . . . . . . . . . . . . . . . .
An1 An2 . . . Anj . . . Anm
→ A =
A11 A12 . . . A1 j . . . A1mA21 . . . . . . A2 j . . . A2m. . . . . . . . . . . . . . . . . .
λAi1 λAi2 . . . λAij . . . λAim. . . . . . . . . . . . . . . . . .An1 An2 . . . Anj . . . Anm
kompakter durch Zeilenvektoren ai ausgedrückt:
A =
a1...
ai...
an
→ A =
a1...
λai...
an
Dies läßt sich ausdrücken durch eine Matrixmultiplikation:
A = U 1A mit U 1 =
1 0 . . . 0 . . . 0 00 1 . . . 0 . . . 0 0
... . . . ... ...0 0 . . . λ . . . 0 0...
... . . .
...0 0 . . . 0 . . . 1 00 0 . . . 0 . . . 0 1
← i
CAS-Beispiel
Es wird zunächst eine beliebige 4
×4-Matrix A erzeugt. Der folgende Aufruf von UMAT1
liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U1, die die 3. Zeile mit 13 multiplizieren soll. DieMultiplikation U 1 A liefert das gewünschte Ergebnis:
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 63
B : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;
U M AT 1 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U M A T 1 [ 3 , 3 ] : 1 / 3 ;U M A T 1 . B ;
Alternative:
rowop ( B , 3 , 3 , 1 - ( 1 / 3 ) ) ;
UMAT1 und auch die folgenden Prozeduren UMAT2, UMAT3 und UMAT4 legen die aufgestelltenMatrizen U 1,...,U 4 unter den Variablen U1,..., U4 ab. Diese Variablen sind nach Aufruf der jeweiligen Prozedur global verf ̈ugbar.
2. Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile:
A =
a1...
aia j...
an
→ A =
a1...
ai + a ja j...
an
=
A11 A12 . . . A1m. . . . . . . . . . . .
Ai1 + A j1 Ai2 + A j2 . . . Aim + A jmA j1 A j2 . . . A jm. . . . . . . . . . . .
An1 An2 . . . Anm
Ausdrücken durch Matrixmultiplikation:
A = U 2A mit U 2 =
1 0 0 . . . 0 0 00 1 0 . . . 0 0 0...
.... . .
... . . . ...
0 0 1 . . . 1. . .
0 0 1... ...
0 0 0 . . . 0 1 00 0 0 . . . 0 0 1
← i
↑ j
CAS-Beispiel
Der folgende Aufruf von UMAT2 liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U2, die Zeile 1 zu Zeile3 addieren soll. Die Multiplikation U 2 A liefert das Ergebnis:
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64 2.2. Matrizen
A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;
U MA T 2 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T 2 [3 , 1] : 1 ;U M A T 2 ;
U M A T 2 . A ;
Alternative:
rowop ( A , 3 , 1 , - 1 ) ;
3. Addition einer mit einem Skalar λ ∈ IR \ {0} multiplizierten Zeile zu einer anderenZeile:
a1...
aia j...
an
1→
a1...
λaia j...
an
2→
a1...
λaia j + λai
...an
1→
a1...
1λ
λaia j + λai
...an
=
a1...
aia j + λai
...an
A = U 3A mit U 3 = U 1U 2U 1
alternative Möglichkeit den i-ten zum j-ten Zeilenvektor zu addieren:
1
λa j
→ 1
λa j + ai
→ λ(
1
λa j + ai) = a j + λai
CAS-Beispiel
Der folgende Aufruf von UMAT3 liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U3, die das -2-Facheder Zeile 1 zu Zeile 4 addieren soll. Die Multiplikation U 3 A liefert das Ergebnis:
A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;
U MA T 3 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T 3 [4 , 1] : - 2;
U M A T 3 ;
U M A T 3 . A ;
Alternative:
rowop ( A , 4 , 1 , 2 ) ;
4. Vertauschen zweier Zeilen:
a1...
aia j...
an
2→
a1...
aia j + ai
.
..an
1−→λ=−1
a1...
−aia j + ai
.
..an
2→
a1...
a ja j + ai
.
..an
3−→λ=−1
a1...
a jai...
an
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 65
Als Kombination von elementaren Umformungen ausgedrückt:
A = U 4A mit U 4 = U 3U 2U 1U 2
CAS-Beispiel
Der folgende Aufruf von UMAT4 liefert eine 4
×4-Umformungsmatrix U4, die Zeile 2 und 4
vertauschen soll. Die Multiplikation U 4 A liefert das Ergebnis:
A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;
U MAT4 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U M AT 4 [ 4 , 4] : 0 ;
U M AT 4 [ 2 , 2] : 0 ;
U M AT 4 [ 2 , 4] : 1 ;
U M AT 4 [ 4 , 2] : 1 ;
U M A T 4 ;
U M A T 4 . A ;
Alternative:
r o w s w a p ( A , 2 , 4 ) ;
Im folgenden wird gezeigt, daß sich U4 aus den anderen U-Matrizen erhalten läßt. Da 2U2-Matrizen auftauchen, wird nach dem ersten Aufruf von UMAT2 die Matrix U2 unter U2agespeichert.
UMA T2 a : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T 2a [ 4 , 2] : 1 ;
U MAT1 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T1 [ 2 ,2] : - 1;
U MAT2 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T2 [ 2 ,4] : 1;
U MAT3 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;
U MA T3 [ 4 ,2] : - 1;
U M A T 3 ;
U M A T 3 . U M A T 2 . U M A T 1 . U M A T 2 a . A ;
Das Ergebnis der Multiplikation U 3 U 2 U 1 U 2a stimmt mit U4 überein.
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66 2.2. Matrizen
S Mittels elementarer Umformungen l ̈ aßt sich jede quadratische Matrix auf die Form
1 0 0 0 0 0 0 00 1 00 0 1
. . .
0 1 00 1 00 0 00 0 0
0 . . . 00 0 0 0 0 0 0 0
bringen.
B1) A11 durch Vertauschen von Zeilen (Spalten) zu einem Element = 0 überf ̈uhren.
2) Durch Multiplikation der 1. Zeile mit 1
A11 erreicht man, daß A11 = 1 wird.
3) 1. Spalte und 1. Zeile bis auf A11 auf 0 bringen.
4) Behandeln der Restmatrix wie zuvor.
5) Vollständige Induktion.
2.2.5 Rang einer Matrix
D Die maximale Anzahl linear unabh ̈ angiger Zeilen-/Spaltenvektoren einer Matrix heißt der Zeilen-/Spaltenrang dieser Matrix.
S Eine elementare Umformung ¨ andert den Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix nicht.
B zu Umformung vom Typ 1: Zeilenrang r, ai Zeilenvektoren, r ≤ n
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 67
vorher:
ri=1
λiai!
= 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, . . . , r
nachher:
ai =
λa j f ̈ur i = jai sonst
ri=1
λiai != 0 ⇒
ri=1
λi ai = 0
λi = λi ∀i = j
λ j
= λ j
λ f ̈ur i = j ⇒
λi
= 0 ∀
i = 1, . . . , r
⇒ λi = 0 ∀i = 1, . . . , r
S Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich ihrem Spaltenrang und wird kurz mit Rangbezeichnet.
B Der letzte Satz zusammen mit der Tatsache, daß jede Matrix auf die Form
Spaltenrang
Zeilenrang
1 0 0 0 0 0 0 00 1 00 0 1
. . .
0 1 00 1 0
0 0 00 0 0
0 . . . 0
0 0 0 0 0 0 0 0
gebracht werden kann.
CAS-Beispiel
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68 2.2. Matrizen
Im folgenden wird durch mehrere elementare Umformungen die 3×3-Matrix A auf dieForm einer Einheitsmatrix gebracht.
A : matrix (
[ 1, 2 , 3 ] ,
[ 2 , -3 , 6 ] ,
[ 3, 0 , 1 ]
);
load ( m a t h c h e m ) ;
U M A T 3 ( 3 , 3 , 1 , - 3 ) . % ;
U M A T 3 ( 3 , 2 , 1 , - 2 ) . % ;
U M A T 1 ( 3 , 2 , - 1 / 7 ) . % ;
U M AT 3 ( 3 , 3 , 2 , 6 ) . % ;
U M A T 1 ( 3 , 3 , - 1 / 8 ) . % ;
U M A T 3 ( 3 , 1 , 2 , - 2 ) . % ;
U M A T 3 ( 3 , 1 , 3 , - 3 ) . % ;
Mann kann auch die einzelne Operationen in einem Schritt rechnen lassen:
A : matrix ( [ 1 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 6 ] , [ 3 , 0 , 1 ] ) ;
u ma t : U MA T 3 (3 , 1 , 3 , -3 ). U M A T3 ( 3 , 1 ,2 , - 2 )
. U M A T 1 ( 3 , 3 , - 1 / 8 ) . U M A T 3 ( 3 , 3 , 2 , 6 )
. U M A T 1 ( 3 , 2 , - 1 / 7 ) . U M A T 3 ( 3 , 2 , 1 , - 2 )
. U M A T 3 ( 3 , 3 , 1 , - 3 ) ;
u m a t . A ;
Man kommt in diesem Beispiel nur mit Zeilenumformungen aus. Warum?Versuchen Sie die Matrix B umzuformen:
B : m a t r i x ( [ 3 , 4 , 5 ] , [ 1 / 8 , 6 , 1 2 ] , [ 0 , 2 , 4 ] )
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 69
! Die Zeilen-/Spaltenvektoren einer Matrix spannen einen Vektorraum der Dimensionr auf.
D (alternativ) Eine quadratische n × n-Matrix deren Rang r = n ist, heißt regulär,sonst singulär.
2.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen
S Ist der Rang r einer n × n-Matrix A gleich der Dimension n dieser Matrix, soexistiert ihre inverse Matrix A−1, die gleichzeitig Links- und Rechtsinverse ist, mit der Eigenschaft:
A A−1 = E = A−1 A
B Invertierbarkeit von Matrizen.Ist r = n, so gibt es eine Reihe von k elementaren Umformungen U i (i = 1, . . . , k) mit
ki=1
U i
A = E ⇒
ki=1
U i = A−1
Die rechtsinverse Matrix A−1r ist gleich der linksinversen Matrix A−1l :
Es gilt: A−1l A = E und A A−1r = E
A A−1r A = E A = A
A−1l A E
A−1r A = A−1l A E
E A−1r A = E
A−1r A = E ⇒ A−1r = A−1l
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70 2.2. Matrizen
Das Gauß-Jordan Verfahren zur Matrixinversion:
Forme eine n
×n-Matrix A, deren Rang gleich ihrer Dimension ist, mittels elementarer
Umformungen auf die Einheitsmatrix E um. Wende die gleichen Umformungen auf dieEinheitsmatrix E an: es entsteht dabei die inverse Matrix A−1.
CAS-Beispiel
Im folgenden wird die Matrix A schrittweise in eine Einheitsmatrix übergef ̈uhrt. Die selbenUmformungen werden auf die Einheitsmatrix E angewendet.
A : matrix ( [ 1 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 6 ] , [ 3 , 0 , 1 ] ) ;
E : d i a g m a t r i x ( 3 , 1 ) ;
A1 : rowop ( A , 3 , 1 , 3 ) ;
A2 : rowop ( A 1 , 2 , 1 , 2 ) ;
A3 : rowop ( A 2 , 2 , 2 , 1 - ( - 1 / 7 ) ) ;
A4 : rowop ( A 3 , 3 , 2 , - 6 ) ;
A5 : rowop ( A 4 , 3 , 3 , 1 - ( - 1 / 8 ) ) ;
A6 : rowop ( A 5 , 1 , 2 , 2 ) ;
A7 : rowop ( A 6 , 1 , 3 , 3 ) ;
E1 : rowop ( E , 3 , 1 , 3 ) ;
E2 : rowop ( E 1 , 2 , 1 , 2 ) ;
E3 : rowop ( E 2 , 2 , 2 , 1 - ( - 1 / 7 ) ) ;E4 : rowop ( E 3 , 3 , 2 , - 6 ) ;
E5 : rowop ( E 4 , 3 , 3 , 1 - ( - 1 / 8 ) ) ;
E6 : rowop ( E 5 , 1 , 2 , 2 ) ;
E7 : rowop ( E 6 , 1 , 3 , 3 ) ;
E7 sollte am Ende die inverse Matrix A−1 enthalten.Überprüfen sie dies.
A ^ ^ - 1 ;
Das Gauß Verfahren:
Ausgangspunkt: A A−1 = E
1) Bringe A durch elementare Umformungen auf obere Dreiecksform A:
i
U i A
A−1 =
i
U i E
A E A A−1 = E
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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 71
a j
0
ai
j
A jj
Aij
ai → ai − a jAij/A jjei → ei − e jE ij/E jjai, a j, ei, e j : Zeilenvektoren
Für jede Spalte j = 1, . . . , nFür jede Zeile i = ( j + 1), . . . , n
2) Löse das Gleichungssystem A A−1 = E f ̈ur A−1:
i
0
X = A
·
Y = A−1
j
=
Z = E
j
i
nk=1
X ikY kj = Z ij
X iiY ij +n
k=i+1
X ikY kj = Z ij
Y ij = (Z ij −n
k=i+1
X ikY kj )/X ii
Für jede Spalte j = 1, . . . , nFür jede Zeile i = n, . . . , 1
Beispiel:
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72 2.2. Matrizen
1) Forme A in eine obere Dreiecksmatrix um. Wende dieselben elementaren Umfor-mungen auf E an.
A 1 2 02 0 21 1 1
E 1 0 00 1 0
0 0 1
1 2 00 −4 2