TPS63020-Q1 High-Efficiency Single-Inductor Buck-Boost Converter ...
Mathcad Trabalho 2 Buck Boost
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4 - MODELAGEM DO CONVERSOR CC-CC BUCK-BOOST EQUIVALENTE
O conversor CC-CC flyback pode ser representado pelo conversor buck-boostequivalente para facilitar o estudo do seu comportamento.
4.1 - Conversor Flyback
4.1.1 - Projeto do conversor
Especificaes do conversor flyback:
Vi 150:= [V]
Vo 48:= [V]
Po 200:= [W]
IoPoVo
:= [A]
[A]Ii
PoVi
:=
As consideraes de projeto so:
Ii Ii 10 %:= [A]
Vc Vo 0.5 %:= [V]
fs 20 103
:= [Hz]
D 0.35:=
Dl 1 D( ):=
nVo 1 D( )
Vi D:=
4.1.2 Dimensionamento do circuito de potncia
Indutor Magnetizante
LmVi D
Ii fs:= [H]
Capacitor de Sada
-
CoIo D
fs Vc:= [F]
Resistncia de Carga
RoVoIo
:= []
Resistncia Srie do Capacitor de Sada
RseVc
Ii
2
:= []
4.2 - Conversor Buck-Boost Equivalente
Para simplificar a anlise do conversor flyback utilizado o modelo do conversorbuck-boost equivalente referido para o lado secundrio do transformador. A topologia doconversor buck-boost equivalente mostrada na Figura 55.
+
oC. inV oR
D
mL
S
+
+
+
Figura 55 - Topologia do modelo do conversor buck-boost equivalente.
4.2.1 - Projeto do Conversor Equivalente
Especificaes do conversor boost equivalente:
Vieq n Vi:= [V]
fseq fs:= [Hz]
Deq D:=
Dleq 1 Deq:=
IieqPo
Vieq:= [A]
-
4.2.2 - Dimensionamento do Circuito de Potncia
Capacitor de Sada Equivalente
Coeq Co n2
:= [F]
Resistncia Srie Equivalente do Capacitor de Sada
RseqVcIieq
2
:= []
O valor do capacitor de sada escolhido foi de 330uF:
Co2 330 106
:= [F]
Rse2 0.5:= []
4.3 - Conversor Buck-Boost Equivalente com o Modelo da Chave PWM
A Figura 56 mostra a topologia do conversor buck-boost equivalente com a inserodo modelo da chave PWM.
iv
seRoR
osC1
o
v
+
msL
D
1
.
DV dD
ci
ai
cI d
+
Figura 56 - Topologia do conversor com a insero da chave PWM.
-
Consideraes sobre o modelo para a razo cclica constante:
ia D ic= 1( )
vcp D vap= 2( )
Consideraes sobre o modelo com pertubaes em todos os parmetros::
ia D ic Ic d+= 3( )
vapvcpD
VDD
+= 4( )
Aplicando as Leis das tenses e das correntes de Kirchhoff no modelo, obtem-se as seguintesequaes:
ia ic ip+= 5( )
Para D constante:
vo D vo+ s Li iL+ vi D+ 0= 6( )
Para perturbaes em todos os parmetros:
vovo
D+
s Li ic
D
viD
+VDD
d+ 0= 7( )
Para efeito de simplificao considera-se as seguintes igualdades:
VD Vi:= [A]
Ic Iieq Io+:= [A]
Rci Rse2:= []
Ci Co2:= [F]
4.4 - Funes de Transferncia do Conversor Buck-Boost Equivalente
4.4.1 - Funo de Transferncia para controlar a tenso de sada variando a tensode entrada.
0
?
o
i d
v
v=
=
-
A Figura 57 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razocclica igual a zero (d=0), ou seja, razo cclica constante.
ivseR
oR
osC1
o
v
+
msL
D
1
ci
ai
+
Figura 57 - Modelo do equivalente conversor.
Clculo da Funo de transferncia (Gvo1=vo/vi), a partir do modelo equivalente.
Aplicando a Lei das tenses de Kirchhoff:
vo vo D+ s Lm ic+ vi D+ 0=
iLmvo
Dl Z=
vo vo D s Lmvo
Dl Z
+ vi D+=
vo Dls Lm
Z Dl
vi D=
vo
vi
D Dl Z
Z Dl2
s L=
Onde,
Zs Rse Co 1+( ) Ro
s Co Rse Ro+( ) 1+=
Assim,
vo
vi
s Rse Co 1+( ) Ro D Dls Rse Co 1+( ) Ro Dl2 s Lm s Co Rse Ro+( ) 1+
=
-
vo
vi
s Rse Co 1+( ) Ro D Dls Lm s Co Rse Ro+( ) 1+ s Rse Co 1+( ) Ro Dl2+
=
vo
vi
s Rse Co 1+( ) Ro D Dls( )2 Lm Co Rse Ro+( ) s Lm Rse Ro Co Dl2+ + Ro Dl2+
=
A funo de transferncia (Gvo1=vo/vi) apresentada a seguir:
Gvo1 w( )Co2 Rse2 j w( ) 1+ Ro Deq Dleq
Co2 Lm Ro Rse2+( ) j w( )2 Lm Rse2 Ro Co2 Dl2+ j w( )+ Ro Dleq2+:=
FTMAvo1 w( ) Gvo1 w( ):=
Valor obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo1:
Ax
1021.54434690000000146.415888340000002
100215.44346899999999464.15888339999998
10002154.43469
4641.588834000000110000
5.64583349499999983.8042773859999999
1.65269140620.11894964
34.38494005999999847.25661219999999958.39377813000000167.122537300000005
76.3246369779.9331739
173.6308167162.4052902999999965.62344568999999719.00860782000000217.77497574999999927.78774802999999946.70590725999999662.737585410000001
141.6273606145.53622480000001
:=
Freq1 Ax 0
:= Ganho1 Ax 1
:= Fase1 Ax 2
:=
w 6.283 30, 628318.5..:=
-
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100TericoSimulao
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180TericoSimulao
(b)
Figura 58 - Diagrama de bode da funo FTMAvo1(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.2 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a razocclica.
0
?
i
o
v
v
d=
=
A Figura 59 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso deentrada igual a zero (vi=0).
-
seRoR
osC1
o
v
+
msL
D
1
.
DV dD
ci
ai
cI d
+
Figura 59 - Modelo do conversor considerando vi=0.
Clculo da Funo de transferncia (Gvo2=vo/d), a partir do modelo equivalente.
A partir das Equaes (3), (4) e considerando:
ia ic io+=
ic io+ D ic Ic d+=
icIc d
Dl
vo
Z Dl=
Aplicando a Lei das tenses de Kirchhoff:
vo vo D+ s L ic VD d+ 0=
vo Dl s LmIc d
Dl
vo
Z Dl
VD d+=
Onde,
Zs Rse Co 1+( ) Ro
s Co Rse Ro+( ) 1+=Assim,
( )
-
vo
d
s Lm Ic VD Dl+( )s Rse Co 1+( ) Ro
s Cso Rse Ro+( ) 1+
Dl2 s Rse Co 1+( ) Ro
s Cso Rse Ro+( ) 1+
s Lm+
=
Efetuando as devidas manipulaes matemticas encontra-se a equao:
vo
d
s2
Lm Ic Rse2 Ro Co2 s Lm Ic Ro( ) Rse2 Co2 Ro VD Dl+ + VD Ro Dl+ s2 Lm Co2 Rse2 Ro+( ) s Lm Ro Rse2 Co2 Dl2+ + Ro Dl2+
=
A funo de transferncia (Gvo2=vo/d) apresentada a seguir:
Gvo2 w( )Ro Rse2 Lm Ic Co2 j w( )
2 j w( ) Ro Ic Lm Ro Rse2 Co2 VD Dleq+( )+ VD Dleq R+
j w( )2 Lm Co2 Rse2 Ro+( ) j w( ) Lm Ro Rse2 Co2 Dleq2+ + Ro Dleq2+:=
FTMAvo2 w( ) Gvo2 w( ):=
Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo2:
Bx
1021.54434690000000146.415888340000002
100215.44346899999999464.15888339999998
10002154.43469
4641.588834000000110000
50.91605879000000152.77504915000000154.95005780999999736.616559520000003
22.8629562511.5404419199999992.73212215499999994.536761681999999912.10976050999999914.027242080000001
171.72882670000001158.4125423000000156.9736786200000010.54026632829999999
20.55373635999999844.23307299999999766.462359649999996
81.46756723111.6538671999999976.561349030000002
:=
Freq2 Bx 0
:= Ganho2 Bx 1
:= Fase2 Bx 2
:=
w 6.283 30, 628318.5..:=
-
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100TericoSimulao
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180TericoSimulao
(b)
Figura 60 - Diagrama de Bode da funo FTMAvo2(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.3 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (exata).
0
?
i
Li
v
id
=
=
A Figura 61 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando a perturbao natenso de entrada a zero (vi=0).
-
seRoR
osC1
o
v
+
msL
D
1
.
DV dD
ci
ai
cI d
+
Figura 61 - Topologia do conversor com vi=0.
Clculo da Funo de transferncia (GiL1=iLi/d), funo exata, a partir do modelo equivalenteconsiderando a tenso de entrada igual a zero (vi=0).
A partir das Equaes (3), (4) e considerando:
ic ia io+=
ia D ic Ic d=
ic io+ D ic Ic d+=
Aplicando a Lei das tenses de Kirchhoff:
vo
vo
D
s L ic
D+
VDD
d+ 0=
vo D 1( ) s L ic VD d=
Para,
ic Dl Ic dvo
Z=
vo Ic d ic Dl( ) Z=Substituindo vo na equao:
vo Dl s L iL VD d=
Ic d ic Dl( ) Z Dl s L iL VD d=
-
Para,
iL ic=
iL Dl2 Z s L+( ) Ic Z VD( ) d=
iLd
Ic Z VD
Z Dl2 s L+=
Onde,
Zs Rse Co 1+( ) Ro
s Co Rse Ro+( ) 1+=
Assim,
iLd
Ics Re Co 1+( ) Ro
s Co Re Ro+( ) 1+
Dl VD
Dl2s Re Co 1+( ) Ro
s Co Re Ro+( ) 1+
s L+=
Efetuando as devidas manipulaes matemticas na equao encontra-se a funo:
iLd
s Co Rse Ro Ic VD Rse Ro+( ) Ic Ro+ VDs2 Lm Co Rse Ro+( ) s Lm Rse Co Ro Dl2+ + Ro Dl2+
=
A funo de transferncia GiL1 :
GiL1 w( )j w( ) Co2 Ro Rse2 Dleq Ic VD Rse2 Ro+( ) VD Ic Ro+( )+
Lm Co2 Ro Rse2+( ) j w( )2 Co2 Ro Rse2 Dleq2 Lm+ j w( )+ Ro Dleq2+:=
FTMAiL1 w( ) GiL1 w( ):=
w 6.283 30, 628318.5..:=
-
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180
(b)
Figura 62 - Diagrama de Bode da funo FTMAiL1(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.4 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (aproximada).
0
?
o i
Lo
v v
id
= =
=
A Figura 63 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando perturbaesnas tenses de entrada e de sada iguais a zero (vi=vo=0).
-
msL
D
1
.
DV dD
ci
ai
cI d
+
pi
Figura 63 - Topologia do conversor com vi=vo=0.
+
msL
.DV d
Li
Figura 64 - Modelo equivalente simplificado do conversor.
Clculo da funo de transferncia (GiL2=iLi/d), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.
iLmVD d
s Lm=
iLmd
VD
s Lm=
A funo de transferncia GiL2 :
GiL2 w( )VD
j w( ) Lm:=
-
FTMAiL2 w( ) GiL2 w( ):=
w 6.283 30, 628318.5..:=
100
50
0
50
100
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180
(b)
Figura 65 - Diagrama de Bode da funo FTMAiL2(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.5 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a correnteno indutor.
0
?
i
o
L v d
v
i= =
=
-
A Figura 66 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes na tenso deentrada e na razo cclica iguais a zero (vi=d=0)..
seR
oR
osC1
ov
+
msL
D
1
ci
ai
+
Figura 66 - Modelo simplificado do conversor.
Clculo da funo de transferncia (Gvo3=vo/iL), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.
vo
vo
D
s Lm iL
D 0=
vo 1 D( ) s Lm iL=
vo Dl s Lm iL=
vo
iL
s Lm
Dl=
A funo de transferncia (Gvo3=vo/iL) apresentada a seguir:
Gvo3 w( )Lm j w( )
Dleq:=
FTMAvo3 w( ) Gvo3 w( ):=
w 6.283 30, 628318.5..:=
-
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180
(b)
Figura 67 - Diagrama de Bode da funo FTMAvo3(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.6 - Funo de transferncia para impedncia de entrada.
0in dZ =
A Figura 68 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razo cclicaigual a zero (vd=0).
-
iv
seR
oR
osC1
o
v
+
msL
D
1
ci
ai
+
Figura 68 - Modelo do conversor com d=0.
Clculo da funo de transferncia (GZin=vi/ia) a partir do modelo simplicado do conversor.
vi DiaD
Z=
viia
Dl2 Z s Lm
1D
=
viia
Dl2 s Rse Co 1+( ) Ro
s Co Rse Ro+( ) 1+
s Lm
1D
=
viia
Dl2
s Rse Co 1+( ) Ro D s L s Co Rse Ro+( ) 1+ Ds Co Rse Ro+( ) 1+ D2
=
GZinviia
=
s2
Lm Co Rse Ro+( ) D s Rse Co Ro D Dl2 Lm D + Dl2 Ro D+s Co Rse Ro+( ) D2 D2+
=
A funo de transferncia (GZin) apresentada a seguir:
GZin w( )Lm Co2 Rse2 Ro+( ) D j w( )2 Rse2 Co2 Ro D Dleq2 Lm D j w( )+ Ro Dleq2+
Co2 D2
Ro Rse2+( ) j w( ) D2+:=
FTMAZin w( ) GZin w( ):=
-
w 6.283 30, 628318.5..:=
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180
(b)
Figura 69 - Diagrama de Bode da funo FTMAZin(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.7 - Funo de transferncia para impedncia de sada.
0 ?o vi dZ = = =
A Figura 70 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes natenso de entrada e na razo cclica iguais a zero (vi=d=0).
-
seR
oR
osC1
o
v
+
msL
D
1
ci
ai
+
Figura 70 - Modelo do conversor com vi=d=0.
Clculo da funo de transferncia (GZout=vo/io), funo aproximada, a partir do modelo doconversor.
vo Dl s Lm iL 0=
Para,
iL ic=io
Dl=
vo Dl s LmioDl
=
vo
io
s Lm
Dl2
=
A funo de transferncia (GZout) apresentada a seguir:
GZout w( )j w( ) Lm
Dleq2
:=
FTMAZout w( ) GZout w( ):=
w 6.283 30, 628318.5..:=
-
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100
(a)
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180
(b)
Figura 71 - Diagrama de Bode da funo FTMAZout(w): (a) ganho; (b) fase.
4.4.8 - Funo de Transferncia para controlar a tenso de entrada variando a razocclica.
0
?
o
i
v
v
d=
=
A Figura 72 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso de sadaigual a zero (vo=0).
-
msL
D
1
.
DV dD
ci
ai
cI d
+
ciR
1isC
fI
cii
Figura 73 - Modelo equivalente do conversor.
Clculo da funo de transferncia (Gvi=vi/d) a partir do modelo equivalente.
iLvi
Rci1
s Ci+
=
vi s Ci
s Rci Ci 1+=
vi VD d+ s Li iL 0=
vi VD d+ s Livi s Ci
s Rci Ci 1+ 0=
vi 1s2 Li Ci
s Rci Ci 1+
VD d=
vid
VD
1s2 Li Ci
s Rci Ci 1+
=
vid
VD s Rci Ci 1+( )s Rci Ci 1+ s
2 Li Ci
=
A funo de transferncia (Gvi1=vi/d) apresentada a seguir:
-
Gvi1 w( )VD j w( ) Rci Ci 1+
j w( )2 Lm Ci j w( ) Rci Ci+ 1+:=
FTMAvi1 w( ) Gvi1 w( ):=
Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvi1:
Cx
1021.54434690000000146.415888340000002
100215.44346899999999464.15888339999998
10002154.43469
4641.588834000000110000
40.58733225999999736.75642265999999836.097566290000003
17.368906796.531469628
1.30987239199999998.2558355829999996
14.9712484220.37989308999999924.215182800000001
106.2240889113.3143451
47.72808934999999832.90272791999999756.87500571999999773.19965704000000581.15071525999999884.17541701000000479.813459559999998
109.6141204
:=
Freq3 Cx 0
:= Ganho3 Cx 1
:= Fase3 Cx 2
:=
w 6.283 30, 628318.5..:=
10 100 1 103 1 104 1 105100
50
0
50
100TericoSimulao
(a)
-
10 100 1 103 1 104 1 105180
90
0
90
180TericoSimulao
(b)
Figura 74 - Diagrama de Bode da funo FTMAvo1(w): (a) ganho; (b) fase.
4.5 - Resultados da Anlise em Frequncia do Conversor Buck-BoostEquivalente
As funes de transferncia do conversor buck-boost equivalente no foramvalidadas por meio da anlise em frequncia. Porm, os valores obtidos na simulaoponto-a-ponto ficaram prximos aos tericos.