Materiālu pretestība

H.Dobelis Tehniskā mehānika

3. Materiālu pretestība

Pamatjēdzieni

Projektējot jebkuru tehnisku ierīci, neatkarīgi no tās nozīmes, ir jāizvēlas materiāls un jānosaka detaļas konstrukcijas, tās formas un izmēri. Jāievēro apstākļi, kādos strādā detaļa, jāievēro stiprības, stingrības, stabilitātes noteikumi, kā arī jāzina detaļas kalpošanas laiks. Pie kam, projektējot detaļas, jāievēro to tehnoloģiju, izgatavojot detaļas ar vienkāršiem paņēmieniem un ekonomiski izdevīgi. Tas nozīmē, ka materiālu pretestība ir zinātne par materiālu stiprību, stingrību un stabilitāti.

Materiālu pretestība ir cieši saistīta ar metālu mācību, matemātiku, rasēšanu un teorētisko mehāniku.

Materiālu pretestība apskata reālus ķermeņus, kuri maina savu formu un izmērus t.i. deformējas.

Ķermeņa formas un izmēru izmaiņu, pieliktā spēka vai temperatūras izmaiņas rezultātā, sauc par deformāciju. Deformācijas lielums un raksturs ir atkarīgs no materiāla īpašībām, ķermeņa izmēriem, ārējā spēka lieluma, pieliktā spēka lieluma un pielikšanas punkta. Ja pēc pieliktā spēka noņemšanas ķermenis atjauno savus sākotnējos izmērus un formu, tad ir elastīgā deformācija. Ja pēc spēka noņemšanas, ķermenis pilnībā neatjauno sākotnējos izmērus un formu, tad ir paliekošā vai plastiskā deformācija.

Kā likums visas detaļas projektē tā, lai tajās parādītos tikai elastīgās deformācijas.Plastiskā deformācija ir līdzvērtīga detaļas sagrūšanai. Konstrukcijas detaļām jāatbilst

šādām īpašībām:1. Stiprība ir detaļas spēja pretoties ārējiem spēkiem nesagrūstot un neiegūstot

plastiskās deformācijas.2. Stingrība. Deformāciju rezultātā atsevišķi konstrukciju punkti iegūst elastīgos

pārvietojumus.

Tā, piemēram sija, kas noslogota, kā parādīts zīmējumā, vislielāko pārvietojumu iegūst punktā c, kur pielikts spēks F. Nevar pieļaut, ka sija iegūst paliekošās deformācijas. Pārvietojumiem jābūt līdz kaut kādam pieļaujamam lielumam, lai neizveidotos paliekošās deformācijas.

Aprēķinu, kura pamatā ir prasība, lai pieļaujamie pārvietojumi nepārsniedz pieļaujamos lielumus, sauc par stingrību.

Dažiem konstrukcijas elementiem vajadzīgi stabilitātes aprēķini. Stabilitātē aprēķina tievas un garas detaļas. Par tievu un garu sauc detaļu, kuras šķērsizmēri ir daudzkārt mazāki par tās garumu. Piemēram, vārpsta ir tieva un gara, ja tās garums ir l>25 d. Piemēram, tievs un garš stienis pieliktā spēka iedarbībā zaudē uzdoto līdzsvara stāvokli > (Pieliektais spēks ir lielāks par kaut kādu pielikto lielumu). Aprēķinus, kura pamatā ir prasība, lai stienis saglabātu uzdoto līdzsvara stāvokli sauc par stabilitāti.

36

li

c

Km

ax

F>Fkr


Jēdziens par stieni, plāksnīti un masīvu ķermeni

Materiālu pretestībā un citās zinātnēs apskatāmos ķermeņus pēc ģeometriskajām pazīmēm var iedalīt trīs grupās.

1) Stienis. Ķermeni, kura šķērsizmēri ir daudzkārt mazāki par tās garumu sauc par stieni. Ģeometrisko figūru, kuru iegūst sašķeļot stieni ar plakni, kas perpendikulāra stieņa garenasij, sauc par šķēlumu. Stieņa šķēlums var būt nemainīgs pa visu garumu, mainīties pakāpjveidā vai pēc lineārā likuma. Atkarībā no stieņa ass ģeometriskās formas stieņi ir taisni un līki.

2) Plāksnīte. Ķermeni, kam viens izmērs ir niecīgs salīdzinot ar pārējiem diviem, sauc par plāksnīti. Pie plāksnītēm pieskaita katlus, cisternas, mucas, tvertnes.

3) Masīvs ķermenis. Ķermeni, kam visi trīs izmēri ir vienas dimensijas, sauc par masīvu ķermeni. Pie masīviem ķermeņiem pieder ēku pamati, hidroelektrostaciju aizsprosti.

Materiālu pretestības kursā galvenokārt prasa stieņu aprēķinus. Šeit atrastās aprēķinu formulas ir pietiekoši precīzas visiem praktiskajiem gadījumiem.

37

hd

c

ab

lb

a

b

S


Šķēluma metode

Deformācijas veidi

Iepriekš tika minēts, ka ārējie spēki iedarbojoties uz ķermeni rada tanī elastīgos iekšējos pretestības spēkus. Šie elastīgie iekšējie spēki cenšas iznīcināt ķermeņa iegūto deformāciju.

Atklāt noslogotā ķermenī iekšējos spēkus var pielietojot, tā saucamo, šķēluma metodi. Apskatīsim kaut kādu ķermeni, kas atrodas līdzsvarā spēku F1, F2, F3, F4 un F5 ietekmē un kuri veido deformāciju. Iedomāti sadalīsim ķermeni pa brīvi izvēlētu šķēlumu a b c d divās daļās. Lai saglabātu kreisās nošķeltās daļas līdzsvaru bez spēkiem F1, F2, F3 pieliksim šķēlumā a b c d iekšējos spēkus. To pašu var teikt arī par labo nošķelto daļu.

Pēc darbības un pretdarbības aksiomas, iekšējie spēki, kas darbojas šķēlumā a b c d uz kreiso un labo daļu ir vienādi, bet pretēji vērsti. Šķēluma metodi bieži pielietosim sakarību atrašanai starp ārējiem un iekšējiem spēkiem.

38

F2 F5

F3 F4

F1

a

b

c

d

F5

F4

a

b

c

d

F3

F1

F2

a

b

c

d

I II


Ārējie spēki, kas pielikti nošķeltajai stieņa daļai līdzsvarojas ar iekšējiem spēkiem šķēlumā a b c d. Rezultātā iegūstam telpā izkaisītu spēku sistēmu. Šādai spēku sistēmai var sastādīt sešus līdzsvara vienādojumus:

Tā kā galvenā vektora un momenta virzieni nav zināmi, sadalām tos komponentēs attiecībā pret koordinātu asīm. Šīm komponentēm ir attiecīgi nosaukumi un tie rada attiecīgās deformācijas.

- aksiālspēks – stiepe un spiede un - šķērsspēki – cirpe un bīde - vērpes moments – vērpe un - lieces momenti – liece

39

F3

F1

F2

Qy

My

Qx

Mx

Mz Tzz

xy


Spriegumi

Šķēluma metode nevar noteikt likumu pēc kāda iekšējie spēki sadalās pa šķēlumu. Tam vajadzīgi papildus pieļāvumi par deformāciju raksturu. Materiālu pretestībā ir pieņemts uzskatīt, ka iekšējie spēki pa visu šķēlumu sadalās nepārtraukti. Šī iemesla dēļ mehānikā ievieš jaunu jēdzienu - spriegums. Spriegums ir iekšējo spēku lielums uz vienu laukuma vienību.

Pamatmērvienība spriegumam SI sistēmā ir Ņūtons uz kvadrātmetru , kas ir ļoti mazs

lielums un neērts aprēķiniem, tādēļ valsts standarts atļāvis lietot ārpussistēmas mērvienību 1Mpa,

kas skaitliski vienāds ar . MKGSS sistēmā spriegumu mērīja.

var noapaļot

Pieņemsim, ka ķermeņa šķēluma punktā A darbojas pilnais spriegums kaut kādā leņķī pret šo šķēlumu.

Sadalīsim šo spriegumu divās komponentēs. Pa normāli pret šo šķēlumu komponentē un nosauksim to par normālo spriegumu, un komponentē , kas darbojas šķēluma plaknē. Šo spriegumu sauc par tangenciālo spriegumu.

Parasti risinot uzdevumus ir jāaprēķina tikai viena komponente vai . Zinot pilno spriegumu vienmēr var noteikt kādu no komponentēm.

40

A


Stiepe un spiedeAsiālspēki stiepē un spiedē

Kad stieņa galos pielikti vienādi pretēji vērsti spēki, kas darbojas stieņa ass virzienā, tad atkarībā no spēku virziena stienis ir pakļauts stiepei un spiedei.

Var šīs deformācijas apskatīt abas vienlaicīgi. Izstiepjot stieņa garums palielinās, saspiežot saīsinās. Saīsinājumu var uzskatīt par negatīvu pagarinājumu. Stieņa pašsvaru parasti neņem vērā, jo tas ir niecīgs salīdzinājumā ar slodzēm, kas pieliktas stienim. Lai atrastu iekšējos spēkus, pielietosim šķēluma

metodi. Iedomāti šķelsim stieni brīvi izvēlētā šķēlumā 1 – 1 un vienu daļu, piemēram, augšējo atmetīsim. Apskatīsim apakšējās daļas līdzsvaru. Lai augšējā nošķeltā daļa būtu līdzsvarā, pieliksim šķēlumā 1 – 1 aksiālspēku, kas virzīts pa stieņa asi. Sastādīsim līdzsvara vienādojumu.

Nz – F = 0Nz = F

Tas nozīmē, ka aksiālspēks jebkurā stieņa šķēlumā, ja spēki pielikti stieņa galos, skaitliski vienāds ar pielikto spēku.

Dažos gadījumos stieņus noslogo ar spēku sistēmām. Iedomāti šķeļam stieni šķēluma 3 – 3. Apakšējo nošķelto daļu atmetam. Apskatam augšējās nošķeltās daļas līdzsvaru. Augšējās nošķeltās daļas līdzsvarojam ar aksiālspēku N3. Sastādām līdzsvara vienādojumu

Ja stienis ir noslogots ar spēku sistēmu, tad aksiālspēks jebkurā stieņa šķēlumā skaitliski vienāds ar ārējo spēku projekciju algebrisko summu uz vienu vai otru pusi no apskatāmā šķēluma.

Normālie spriegumi

Ja stieņa šķēlums ir A un aksiālspēks Nz, tad normālie spriegumi stiepē un spiedē ir

41

F F

F

F

1 1

F

z

F

Nz

F1

3 3

F5

z

N3

F2F2

F3

F4

F1

F3


gadījumā, ja Nz = F

Garendeformācija un šķērsdeformācija

Ja stieni izstiepj divi spēki, tas pagarinās par lielu, ko sauc par absolūto pagarinājumu.

Tā kā gara izmērā stieņus izmērīt ir grūti, tad lieto jēdzienu relatīvais pagarinājums, kas ir absolūtā pagarinājuma attiecība pret stieņa sākotnējo pagarinājumu.

Dažreiz to izsaka procentos

Atbilstoši garendeformācijai ir arī šķērsdeformācija. Absolūtais sašaurinājums

Relatīvais sašaurinājums

Puasons eksperimentāli pierādīja, ka šķērsdeformācija ir tieši proporcionāla garendeformācija , kur ir Puasona koeficients, ko katram materiālam nosaka eksperimentāli, un tā skaitliskās vērtības atrodamas izziņu literatūrā.

42

FF

2l

2l

l1

l

b12b

2b

bb1


Huka likums

Huks 1678.gadā eksperimentāli pierādīja, ka normālie spriegumi stiepes deformācijā ir tieši proporcionāli relatīvajam pagarinājumam.

Proporcionalitāte tiek izjaukta, ja spēks pārsniedz proporcionalitātes robežu. Koeficientu E, kas ietilpst formulā, sauc par elastības moduli. Ja apskatīsim Huka likumu, tad redzam, ka šim koeficientam ir normālā sprieguma mērvienība [MPa]. Tas nozīmē, ka elastības modulis raksturo materiāla stingrību t.i. spēju pretoties deformācijai.

Absolūtā pagarinājuma analītiskā noteikšana

Uzrakstīsim Huka likumu šādā veidā

;

Ievietosim šīs izteiksmes Huka likumā

,

no kā iegūstam .

No formulas redzams, ka absolūtais pagarinājums ir tieši proporcionāls aksiālspēkam un stieņa garumam un apgriezti proporcionāls stieņa šķērsgriezuma laukumam un materiāla elastības modulim.

Reizinājumu EA sauc par stieņa stingrību. Stingrība vienlaicīgi raksturo materiāla fiziskās īpašības un šķērsgriezuma ģeometriskos izmērus.

43


Materiālu mehāniskās pārbaudes

Lai veiktu konstrukcijas aprēķinus ir jāzina materiālu īpašības, no kurām izgatavo konstrukcijas detaļas.

Materiālu mehāniskās īpašības iegūst, pārbaudot tos zem slodzes. Pati izplatītākā pārbaude ir pārbaude stiepē. Tas ir tādēļ, ka šo pārbaudi var ļoti vienkārši veikt, un arī tās mehāniskās īpašības, ko iegūst šajā stiepes pārbaudē, daudzos gadījumos ļauj spriest par materiālu uzvedību citās deformācijās: spiedē, bīdē, vērpē un liecē. Pie kam materiālu pārbaudi stiepē ļoti viegli izpildīt. Pārbaudāmo materiālu paraugus izdara speciālās raušanas mašīnās. Parasti pārbauda apaļus standartizētus paraugus.

Ir šādas materiālu mehāniskās īpašības. Elastība – materiāla spēja atgūt sākotnējo formu un izmērus pēc slodzes. Plastiskums – materiāla spēja pie noteiktām slodžu vērtībām nesagrūstot iegūt lielas

paliekošās deformācijas. Stiprība – materiāla spēja nesagrūstot pretoties slodžu iedarbībai, kamēr spriegumi

nesasniedz noteiktu lielumu. Cietība – materiāla spēja pretoties cita ķermeņa iespiešanai tajā.

Elastīgos materiālus raksturo tecēšanas robeža. Trauslos materiālus raksturo stiprības robeža.

Pieļaujamie spriegumi un pieļaujamie drošības koeficienti stiepē un spiedē

Zinot materiālu mehāniskos raksturojumus, var pāriet pie pieļaujamo spriegumu lielumu noteikšanas.

Pieļaujamo spriegumu lielumam jābūt kaut kādai daļai no spriegumiem, kas ir bīstami materiālam, kurš strādā konstrukcijai apskatāmos darba apstākļos. Pieļaujamos spriegumus stiepē un spiedē, ja tie ir vienādi apzīmē , ja dažādi, tad ar atbilstošiem indeksiem st. un st.

Tā kā trauslie materiāli sagrūst pie nelielām paliekošām deformācijām, tad par bīstamiem pieņem spriegumus, kas atbilst stiprības robežai st. Pieļaujamie spriegumi trausliem materiāliem tiek nozīmēti kā daļa no stiprības robežas un pieļaujamā drošības koeficienta, kas ir robežsprieguma un maksimālo spriegumu attiecība darbībai esošai konstrukcijai.

Maksimālais spriegums, kas izveidojas konstrukcijas elementos, vispārējos gadījumos atšķiras no pieļaujamiem spriegumiem, parasti uz mazo pusi. , tādēļ faktiskie pieļaujamie drošības spriegumi ir mazāki par uzdotajiem.

Nozīmējot pieļaujamo drošības koeficientu, jāievēro pielietojamais materiāls, aprēķinu precizitāte, pieliktās slodzes raksturs, konstrukcijas īpatnības un darba apstākļi.

44


Trīs uzdevumu veidi, veicot stiprības aprēķinus

Stiepē vai spiedē stiprība ir nodrošināta, ja katram šķēlumam ir ievērotas šādas prasības

Šī formula nosaka stiprības noteikumus stiepē un spiedē. Ar šīs formulas palīdzību var atrisināt trīs stiprības uzdevumus.

1. Uzdevums. Stiprības pārbaude.Pie zināma aksiālspēka N un šķērsgriezuma laukuma A nosaka faktiskos spriegumus un salīdzina tos ar pieļaujamiem pēc stiprības noteikuma

Pēc tam aprēķina atšķirības procentos nenospriegojumus vai pārspriegumus. Ja pārspriegumi ir lielāki par 5%, tad aprēķināmās detaļas stiprība ir nepietiekoša.

Mašīnu detaļām pārbaudes aprēķinus parasti izdara pēc citas formas. Nosaka faktisko drošības koeficientu, vadoties no zināmā bīstamā sprieguma, faktiskā sprieguma un zināmā normatīvā drošības koeficienta

Kad atšķirības starp faktisko un uzdoto drošības koeficientu pārsniedz 5%, tad konstrukcija ir vai nu nepietiekoši stipra vai ekonomiski nederīga

2. Uzdevums. Šķēluma izvēle (projekta aprēķins).Vadoties no stiprības noteikumiem, var atrast vajadzīgos šķēluma izmērus, zinot pieliktā spēka lielumu un pieļaujamos spriegumus. Atrisinot nevienādību attiecībā pret A, iegūstam

3. Uzdevums. Pieļaujamās slodzes noteikšana.Pieļaujamā aksiālspēka noteikšana zināmu izmēru stieņa šķēlumā un pie zināmiem pieļaujamiem spriegumiem var atrast pēc formulas noteikumiem

Pieļaujamās slodzes noteikšana, tāpat kā stiprības pārbaude ir pārbaudes aprēķins.

45


Bīde un virsmas spiede

Ja uz stieni darbojas divi vienādi spēki F, ļoti tuvu izvietoti viens pie otra perpendikulāri stieņa asij un virzīti pretējos virzienos, kā tas notiek saspiežot metāliskus stieņus vai lokšņu materiālu ar šķērēm, tad pie pietiekama spēku lieluma notiks cirpe. Ķermeņa kreisā daļa atdalīsies no labās daļas pa kaut kādu šķēlumu AB. Raksturīgs cirpei ir spēku F tuvums viens otram. Deformācija, kas notiek pirms bīdes, kuras rezultātā tiek izjaukti elementārā paralēlskaldņa taisnie leņķi, ir bīde.

Zīmējumā ir bīde paralēlskaldnī pirms cirpes, taisnstūris abcd pārvērties paralelogramā a’b’c’d’. Lielumu cc’, par kādu pārvietojas šķēlums cd attiecībā pret blakus esošo šķēlumu ab, kas ir ļoti tuvu novietots, sauc par absolūto bīdi.

Absolūtā bīde ir atkarīga no attāluma starp blakus esošiem šķēlumiem ab un cd. Jo lielāks ir šis attālums, jo lielāka būs absolūtā bīde.

Leņķi par kādu izmainīsies paralēlskaldņa taisnie leņķi, sauc par relatīvo bīdi. Elastīgo deformāciju robežas tas ir ļoti mazs lielums. Relatīvo bīdi var noteikt no attiecības

Par bīdes mērvienību ir pieņemta relatīvā bīde . t.i., absolūtās bīdes attiecība starp diviem ļoti tuviem šķēlumiem.

Ja stienī izdarītu šķēlumu diviem cirpes spēkiem un nošķelto daļu atmestu, lai līdzsvarotu paliekošo daļu, tās iedarbību jāaizstāj ar iekšējiem spēkiem. Šie spēki darbosies šķēluma plaknē, tas nozīmē, ka bīde rada tangensiālos spriegumus. Tad seko, ka tangensiālie spriegumi ir vienādi

46

a

b c

d

A

B

F

F

F

F

a

b

c’

d’

h

a

c c’a

F

b

d d’


Eksperimentāli ir pierādīts, ka bīdes lielums elastīgām robeždeformācijām ir tieši proporcionāls bīdes spēkam F un attālumam h uz kura notiek bīde, un apgriezti proporcionāls šķēluma laukumam un bīdes modulim.

Pieņemot, ka

un , iegūstam

Šo formulu sauc par Huka likumu bīdei.Starp lielumiem E un G ir šādas sakarības:

Tēraudam

Čugunam

Pieļaujamie spriegumi bīdē

Jautājums par pieļaujamo spriegumu izvēli bīdei ir daudz sarežģītāks nekā stiepē.Spriegumus pieņem:Trausliem materiāliem

Elastīgiem materiāliem

47

I II

F

F

I

F


Virsmas spiede

Cirpe, kā likums, ir saistīta ar materiālu saplacināšanu konstrukciju elementu saskares vietās. Tā, piemēram, spēka F pārnešana cenšas nocirpt kniedi šķēlumā ab, spiežot ar cauruma virsmu uz kniedes virsmu. Pie pietiekoši liela spiediena var notikt cauruma virsmas saplacināšana, vai arī kniedes serdeņa saspiešana. Par virsmas spiedi sauc vietējo deformāciju, kas notiek uz laukumiņiem ar ko konstrukcijas elementi iedarbojas viens uz otru.Virsmas spiedes laukums ir vienāds

,kurd – kniedes diametrs,

– loksnes biezumsCirpes deformācijas laukums

Bultskrūvju un kniežu savienojumu aprēķini

Kniežu un bultskrūvju savienojumus aprēķina cirpē un virsmas spiedē. Vienkāršais kniežu savienojums ir divu lokšņu pārlaidsavienojums.

Kā tika atzīmēts iepriekš, kniede tiek nocirpta pa laukumu , bet virsmas spiede

darbojas uz laukumu . Pieņemsim, ka savienojumā ir n kniedes. Tad stiprības noteikumus var uzrakstīt šādi:

1. Cirpē

Virsmas spiedē

2. Vajadzīgā kniežu skaita noteikšana. Zinot pielikto slodzi, kniežu diametru un pieļaujamos spriegumus, var noteikt vajadzīgo kniežu skaitu

Cirpē

Virsmas spiedē

48

F

F a b d

F

F

d

a b


3. Pieļaujamo slodzi

Cirpē

Virsmas spiedē

49


Pamatjēdzieni par apļa un gredzenveida šķēluma stieņa vērpi

Pieņemsim, ka stieņa galā šķēlumā, kas perpendikulārs stieņa garenasij, darbojas divi vienādi pretēji vērsti spēku pāru momenti m. Šo spēku pāru iedarbībā stienis iegūst vērpes deformāciju.

Ja spēku pāra momenta lielums nepārsniedz kaut kādu pieļaujamo lielumu, tad stieņa ass paliek taisna un materiāls pakļaujas Huka likumam.

Pieņemsim, ka stieņa kreisais gals ir nostiprināts nekustīgi, tad visi stieņa šķēlumi pagriezīsies par kaut kādu leņķi, kas ir jo lielāks, jo šķēlums atrodas tālāk no iespīlējuma.

Jebkura veidule AB, kas paralēla stieņa asij, pārvērtīsies vītnes līnijā AB1. Rādijs OB pārvietosies stāvoklī OB1. Starp rādijiem OB un OB1 izveidosies leņķis . Šo leņķi sauc par saverpes leņķi .

Pielietosim šķēluma metodi. Iedomāti šķelsim stieni par plakni, kas perpendikulāra stieņa asij. Vienu no nošķeltajām atmetīsim. Lai nošķeltā daļa būtu līdzsvarā, iekšējiem elastības spēkiem jālīdzsvarojas ar spēku pāri, kura momenti ir m, kas pielikts šķēlumā. Šo iekšējo spēku pāra momentu apzīmē ar Tz un sauc par vērpes momentu. Sastādām līdzsvara vienādojumu

Ja stienis ir noslogots ar ārējo spēku momentu tikai tā galos, tad vērpes moments, jebkurā stieņa šķēlumā ir vienāds ar ārējo spēku pāra momentu.

50

m m

z A

Occ1

O1

ZBB1

O

z

lm

m

ZO

l – zz

OTz

O1

Tz

z

m1

m5

3m2 m3

Tz3

3

m4

l1 l2 l3 l4


Ja ir spēku pāru sistēma, tad

Ja stienis noslogots ar spēku pāru sistēmu, tad vērpes moments jebkurā stieņa šķēlumā ir vienāds ar ārējo spēku pāru momentu algebrisko summu uz vienu vai otru pusi no apskatāmā šķēluma.

Vērpes momentu epīras

Uzdevums

Uz vārpstas esošais skriemelis A no siksnas pārvada palīdzību saņem jaudu 44,5 kw, bet skriemeļi B, C, D, kas atrodas uz vārpstas, pārnes jaudu uz darba mašīnām ,

un . Vārpstas griežas ar frekvenci n = 152

Atrisinājums

Atrodam griezes momentus, kas pielikti skriemeļiem

Pārbaudām vārpstas līdzsvara noteikumus

2798-943-692-1193=00=0

51

NA

A

Tz1

1

1

NB

B

Tz2

2

2

NC

C

Tz3

3

3

ND

Dz

2798 Nm

Epīra Tz

1855 Nm1163 Nm


Vārpstas atrodas līdzsvarā.

Pielietojot šķēluma metodi, atrodam vērpes momentus katrā vārpstas šķēlumā

1-1

2-2

3-3

Pēc iegūtajiem aprēķiniem zīmējam vērpes momentu epīras.

Tangensiālie spriegumi

Tangensiālos spriegumus jebkurā šķēluma punktā var noteikt pēc formulas

– attālums no šķēluma centra līdz punktam, kurā nosaka spriegumuIp – polārais inerces moments.

Acīm redzot, maksimālie spriegumi darbojas uz kontūras virsmas

Izdalīsim formulas skaitītāju un saucēju ar r

Apzīmēsim

un sauksim to par polāro pretestības momentu.

Seko, ka

Polārais pretestības moments ir stieņa šķēluma ģeometriskais stiprības raksturojums. Tā mērvienība ir garuma vienība kubā.

Šķēluma centrā r = 0 un = 0

52

Tzmax

0r

d

max


Šo parādību izmanto praksē. Liela diametra vārpstas izgatavo gredzenveidīgas.

Polārie inerces un pretestības momenti

Riņķim

Gredzenam

kur

Saverpes

Tz – vērpes moments Nmml – stieņa garumsG – bīdes modulisIp – polārais inerces moments

Daudzpakāpju stienim

53


Stiprības aprēķini vērpē

Stiprības noteikumus vērpē apaļa vai gredzenveida šķēluma stienim var uzrakstīt šādi

Ar šiem noteikumiem var atrisināt trīs stiprības uzdevumus vērpē.

1. Stiprības pārbaude . Ja ir zināms lielākais vērpes moments un stieņa šķēluma izmēri, tad var aprēķināt faktiskos maksimālos un salīdzināt tos ar pieļaujamiem spriegumiem pēc stiprības noteikumiem.

2. Šķēluma izmēru izvēle (projekta aprēķini) Atrisinot nevienādību attiecībā , iegūsim formulu vārpstas diametra aprēķināšanai, vadoties no stiprības noteikuma

Izvēloties šķēluma formu apļa vai gredzenveida un pielietojot formulas riņķim un gredzenam vai vienkārši polāro pretestību, jāizvēlas vajadzīgo vārpstas diametru pēc stiprības noteikuma.

Atrodam diametru apļa šķēluma vārpstai

Ārējais diametrs gredzenveida šķēluma vārpstai

,

kur

3. Pieļaujamā vērpes momenta noteikšana.

Ja zināma forma un šķēluma izmēri un pieļaujamie spriegumi, tad var aprēķināt pieļaujamo

vērpes momentu

54


Vārpstas stingrības aprēķini

Stiprības pārbaude projektējot vārpstas nav pietiekoša. Bieži vārpstām tiek uzstādītas

stingrības pārbaudes, t.i., lai saverpes leņķis nepārsniegtu iepriekš paredzēto pieļaujamo lielumu.

Apzīmēsim ar O saverpes leņķa lieluma uz vārpstas vienu garuma vienību, var sastādīt stingrības

pārbaudes formulu

Šajā formulā pieļaujamo saverpes leņķi jāievieto mediānos.

Atkarībā no nozīmes pieļaujamais saverpes leņķis var būt:

kas apmēram atbilst

Ja aprēķina relatīvo saverpes leņķi grādos uz vienu vārpstas garuma vienību, tad iegūst

Ar šīs formulas palīdzību var atrisināt trīs stingrības uzdevumus.

1. Stingrības pārbaude.

Ja ir zināmi uzdotais vērpes moments, šķēluma forma un izmēri, vārpstas materiāls kā arī

pieļaujamais saverpes leņķis, tad var aprēķināt faktisko saverpes leņķi un salīdzināt to ar

pieļaujamo saverpes leņķi ar kādu no šīm formulām

2. Šķēluma izvēle pēc stingrības noteikuma (projekta aprēķins).

Atrisinot nevienādību attiecībā pret Ip

, iegūsim formulu vārpstas diametra noteikšanai pēc

stingrības noteikuma

55


vai izmantojot polārā inerces momenta formulu riņķim vai gredzenam, iegūsim:

Apaļas vārpstas diametru

Gredzenveida šķēluma vārpstai ārējo diametru

3. Pieļaujamā vērpes momenta noteikšana pēc stingrības noteikuma

56


Liece

Lieces pamatjēdzieni

Taisna stieņa lieci rada spēku pāri vai

spēki, kas darbojas perpendikulāri stieņa

garenasijai. Stieņus, kas darbojas liecē sauc par

sijām.

Visizplatītākā ir tāda liece, kad ārējie spēki darbojas vienā no galvenajām inerces

plaknēm. Par galveno šķēluma inerces plakni sauc plakni, kas iet caur tā asi un vienu no

galvenajām centrālajām inerces asīm. Tādu lieci sauc par taisno lieci. Daudzas celtniecības

konstrukciju un mašīnu detaļas ekspuatācijas procesā ir

pakļautas lieces deformācijai.

Piemēram, jebkura ass, kas notur mašīnas rotācijas tipa

detaļas, no aprēķina viedokļa ir sija. To pašu var teikt arī par rekuktoru vārpstām.

Lai noteiktu spriegumus sijās, ir jānoskaidro kādi ārējie spēki darbojas uz siju. Spēku

nozīmi var iedalīt aktīvajos, kurus jāuzņem sijai, un pasīvajos, tas ir balstu reakcijās.

57

q

mm

F F


Šķērsspēki un lieces moments

Mācoties par lieci ir jāprot novērtēt sijas stiprības noteikumus, tādēļ ir jāprot aprēķināt

spriegumus, kas veidojas sijas šķēlumos. Lielākā vairums gadījumos, lai nodrošinātu sijas

stiprību, jāpanāk, lai lielākie spriegumi nepārsniegtu pieļaujamos spriegumus.

Pieņemsim, ka uz siju darbojas spēki F1

, F2

, F3

. Zināmas arī balstu reakcijas RA

un RB

.

Iedomāti šķelsim siju šķēlumā m-m, attālumā z no kreisā balsta un apskatīsim kreisās un labās

nošķeltās daļas līdzsvaru. Kreisajai daļai jārodas līdzsvarā ārējo spēku F1

, F2

, RA

un iekšējo

elastības spēku, kas darbojas šķēlumā m-m. Labā daļa atrodas līdzsvarā ārējo spēku F3

un RB

un

iekšējo spēku, kas darbojas šķēlumā m-m.

58


Atbilstoši darbības un pretdarbības likumam, iekšējie elastības spēki šķēlumā m-m

kreisajai un labajai daļai ir vienādi, bet pretēji vērsti. Iekšējie spēki jebkurā sijas šķēlumā var tikt

nomainīti ar spēku Qy

, kas darbojas šķēluma plaknē perpendikulāri sijas asij un spēku pāri ar

momentu Mx

, kas atrodas ārējo spēku darbības plaknē.

Spēks Qy

un spēka pāris ar momentu Mx

ir iekšējo spēku statistiskais ekvivalents, kas

izveidojas sijas šķēlumā m-m sijas taisnā liecē.

Sijas taisnā liecē jebkurā sijas šķēlumā iekšējie elastības spēki reducējas uz spēku Qy1

,

kas darbojas šķēluma plaknē perpendikulāri sijas asij un spēku pāri ar momentu Mx

, kas atrodas

59

zm-my

F1 F2 m

m

F3

A

RAa1

a2

a3

l

zB

RB

A

RA

z

z-a1

z-a2

F1 F2

MxC

Qy

F3Mx

C B

RBQy

a3-z

l-z


ārējo spēku darbības plaknē perpendikulāri šķēluma plaknei. Spēku Qy

sauc par šķērsspēku, bet

momentu Mx

– par lieces momentu.

Sastādīsim līdzsvara vienādojumus kreisajai nošķeltajai daļai

No formulām seko, ka:

šķērsspēks kaut kādā sijas šķēlumā ir vienāds ar ārējo spēku projekciju algebrisko summu

uz y ass uz vienu vai otru pusi no apskatāmā šķēluma. Lieces moments ārējo spēku momentu

algebriskai summai uz vienu vai otru pusi no apskatāmā šķēluma attiecībā pret šķēluma

smaguma centru.

Zīmju likums liecē

Lai aprēķinātu lieces momentu Mx

un šķērsspēku Qy

kaut kādā sijas šķēlumā, pēc ārējiem

spēkiem, kas darbojas pa kreisi vai pa labi no šī šķēluma un iegūtu lielumus, kas vienādi ne tikai

pēc lieluma, bet arī pēc zīmes, jāpieņem pretēji zīmju likumi spēkiem un to momentiem pa kreisi

un pa labi no šķēluma.

Ja sijas ass ir horizontāla, tad par pozitīviem pieņem šādus virzienus:

- Ārējiem spēkiem pa kreisi no šķēluma uz augšu.

- Ārējiem spēkiem pa labi no šķēluma uz leju.

- Ārējo spēku momentiem pa kreisi no šķēluma – pulksteņa rādītāja kustības virzienā attiecībā

pret šķēluma smaguma centru.

60


- Ārējo spēku momentiem pa labi no šķēluma pretim pulksteņa rādītāja kustības virzienam

attiecībā pret šķēluma smaguma centru.

Šķērsspēku un lieces momentu epīras

Vadoties no sijas stiprības noteikumiem, spriegumi, kas izveidojas sijā, nedrīkst pārsniegt

pieļaujamos spriegumus. Sakarā ar to ir vajadzība prast noteikt maksimālos spriegumus. Sijas

liecē normālo spriegumu lielums ir atkarīgs no lieces momenta lieluma, bet tangensiālo

spriegumu lielums no šķērsspēku lieluma, tādēļ ir jāprot noteikt Mx

un Oy

izmaiņas pa sijas

garumu.

Sijas šķēlums, kurā lieces momentam ir maksimālā vērtība ir sijas bīstamais šķēlums.

Sijas stiprību jāpārbauda pēc lielākiem normālajiem spriegumiem bīstamajā šķēlumā.

Šķērsspēks Qy

un lieces moments Mx

mainās pa sijas garumu. Šo izmaiņu likumi notiek

pēc kaut kādiem vienādojumiem, kur arguments ir koordināte z sijas šķēlumiem, bet par

funkcijām Mx

vai Qy

. Šos vienādojumus ir izdevīgi attēlot grafiku veidā, kur abcisas z jebkuram

šķēlumam nosaka lieces momentu Mx vai šķērsspēku Qy

.

Šīs diagrammas sauc par epīrām. Zīmējot epīras pozitīvās vērtības jāatliek virs epīras ass,

bet negatīvās vērtības zem epīras ass. Epīras ass ir paralēla sijas asij.

Šķērsspēku un lieces momentu epīras

61


Noteikt šķērsspēkus un lieces momentus, uzzīmēt to epīras!

Nosākam balstu reakcijas

Pārbaude

62


Nosākam šķērsspēkus

63

y

RA

AzB

F1=30 KN

1

1

C2

2

D 3

3z3 RB

3 m

F2=40 KN

4 m

z2

3 m

z1

Epīra Qy

9 KN

21 KN

13 KN

Epīra Mx27 KNm

57 KNm


Stieņa AC

Sijas daļai CD

Sijas daļai BD

Pēc iegūtajiem datiem zīmējam šķērsspēku epīras.

Lieces momenti

Sijas daļai AC

Sijas daļai CD

Sijas daļai CB

Pēc iegūtajiem datiem zīmējam lieces momenta epīras.

64


Neitrālais slānis un neitrālā ass

Atradīsim sakarības starp normālā sprieguma lielumu, kas veidojas sijas šķēlumos un

ārējiem spēkiem, kas rada lieci. Šinī gadījumā norobežosimies apskatīt gadījumu, kad sijas ass ir

taisna un šķēlums pa visu garumu ir nemainīgs un šķēlumam ir viena simetrijas ass. Pieņemsim,

ka uz sijas sānu virsmas ir uzzīmēta tās garenass OO1

un dažas vertikālas savstarpēji paralēlas

līnijas ab, cd, ef, hg, u.c.

Noslogosim siju tās galos ar diviem vienādiem pretēji vērstiem spēku pāriem ar

momentiem, kas darbojas garenšķēluma simetrijas plaknē. Sija izlieksies ar ieliekumu uz leju.

Līnijas ab, cd, ef, hg, uc. paliks taisnas, bet to paralelitāte būs izjaukta. Attālumi starp līniju

galiem būs citādi nekā pirms deformācijas, izliektajā daļa tie palielinās, bet ieliektajā samazinās.

Attālumi starp šīm līnijām uz sijas garenass palikuši nemainīgi, kā pirms deformācijas. No šī var

secināt, ka liecē garenšķiedras, kas atrodas sijas izliektā daļā pagarinās, bet ieliektā daļā saīsinās.

Šķiedru slānis, kas atrodas uz sijas augstuma puses, kaut gan izlokās, to garums nemainās.

65

O O1

a

b

c

d

e

f

g

h

j

i

l

k

n

m

Neitrālā assO O1

a’

m m

b’

c‘

d‘

e‘

f‘

g‘

h‘

j‘

i‘

l‘

k‘

n‘

m‘


Stiepes un spiedes spriegumi sijas šķēlumos rada atbilstošus šķiedru pagarinājumus un

saīsinājumus. Slāni, kas lieces deformācijā nemaina savu garumu un neiegūst spriegumus, sauc

par neitrālo slāni. Vispārējā gadījumā neitrāls slānis šķērso šķēluma smaguma centru, tas

nozīmē, ka ne vienmēr atrodas uz šķēluma simetrijas ass. Līnijas, kas atrodas uz sijas sānu

virsmas noliecas viena attiecībā pret otru, kas norāda, ka sijas šķēlumi pagriežas viens pret otru

ap kaut kādām asīm, kas atrodas šķēluma plaknēs. Katra šķēluma plakne pagriežas ap līniju, kas

izveidojas tai krustojoties ar neitrālo slāni. Šo līniju sauc par neitrālo asi.

No teiktā var secināt, ka sijas šķēlums tīrā bīdē pagriežas ap savām neitrālām asīm,

paliekot plakanas un perpendikulāras sijas izliektajai asij.

66


Normālie spriegumi liecē

Zīmējumā parādīts normālo spriegumu sadalījums pa sijas šķēlumu.

No šīs formulas redzams, ka normālie spriegumi kaut kādā šķēluma punktā ir tieši proporcionāli

šī punkta attālumam no neitrālā slāņa un mainās pēc šķēluma augstuma pēc lineārā likuma.

Pa siju platumu normālo spriegumu lielums ir nemainīgs. Lielākie spriegumi ir uz sijas

virsmas. Uz šķēluma neitrālās ass spriegumi ir vienādi ar nulli. Seko, ka normālos spriegumus

jebkurā šķēluma punktā var noteikt pēc formulas

kur

Mx

– lieces moments apskatāmā šķēlumā.

Y – attālums no neitrālā slāņa līdz apskatāmajam punktam.

Ix

– šķēluma aksiālais inerces moments.

67

mmax

y

0

z

xm

y max

min

x

y


Sijas šķēluma inerces momenti attiecībā pret šķēluma simetrijas asīm

Aksiālais inerces moments ir atkarīgs no šķēluma formas.

Riņķis

Gredzens

kur

Kvadrāts

Taisnstūris

Maksimālie normālie spriegumi

Pieņemsim, ka ymax

ir lielākais attālums no neitrālā slāņa līdz punktam, kur ir maksimālie

spriegumi

Izdalīsim šīs formulas skaitītāju un saucēju ar lielumu ymax

Apzīmēsim un nosauksim to par aksiālo pretestības momentu

68


tad iegūsim

Aksiālie pretestības momenti

Aksiālie pretestības momenti ir atkarīgi no šķēluma formas.

Riņķis

Gredzens

Kvadrāts

Taisnstūris

Stiprības aprēķini liecē

Stiprības pārbaudi liecē un šķēluma izmēru noteikšanu parasti izdara vadoties no stiprības

noteikumiem, lai lielākie normālie nepārsniegtu pieļaujamos spriegumus sijas bīstamajos

šķēlumos.

No šī stiprības noteikuma seko, ka var atrisināt trīs stiprības uzdevumus.

69


1. Stiprības pārbaude.

Zinot pielikto slodzi, sijas materiālu (pieļaujamos spriegumus), šķēluma formu un izmērus, var

atrast maksimālos normālos spriegumus un salīdzināt tos ar pieļaujamiem spriegumiem pēc

stiprības noteikumiem

2. Šķēlumu izmēru noteikšana (projekta aprēķins).

Ja ir zināma pieliktā slodze, stieņa materiāls, tad atrisinot nevienādību attiecībā aksiālo

pretestības momentu, iegūstam

Pēc vajadzīgā aksiālā pretestības momenta Wx

, izvēloties šķēluma formu, var atrast šķēluma

izmērus.

3. Lielākā lieces momenta noteikšana.

Kad ir zināma šķēluma forma un izmēri, kā arī sijas materiāls var noteikt lielāko lieces momentu.

70


Pamatjēdzieni par materiāla nogurumu

Daudziem mašīnu un konstrukciju elementiem jāstrādā pie periodiski mainīgiem (pēc

lieluma un zīmes) spriegumiem. Tādos apstākļos strādā, piemēram, vagonu riteņu asis, sliedes,

plakanās atsperes, virzuļu kāti, vārpstas un citas mašīnu detaļas. Mainīgie spriegumi, kā šāda

prakse un speciālie pētījumi rāda, kaitīgi iedarbojas uz konstrukcijas stiprību. Virzuļu kātu, asu

un atsperu salūšana pēc ilgstoša kalpošanas laika, bet pie spriegumiem, kas vēl ir tāli no

stiprības, vēl nesen bija samērā bieži sastopama parādība. Starp citu mainīgo spriegumu, kas

pakāpeniski tuvina materiālu sagrūšanai gandrīz nav atklājama ar parastajām materiālu

pārbaudes metodēm. Vēl vairāk, ja no šādi salūzušas detaļas izgrieztu pārbaudes paraugu un to

pārbaudītu, tad atklātos, ka ne materiāls, ne plastiskums nav mainījušies, tikai raksturīgs ir

materiāla lūzums, tas atgādina trausla materiāla lūzumu.

Materiāla stiprības samazināšanās, ja uz to iedarbojas daudzkārt mainīgās slodzes, sauc

par materiāla nogurumu.

Pētījumi parādīja, ka materiāla sagrūšana mainīgu slodžu rezultātā ir saistīta ar plaisu

parādīšanos materiālā, kas aug dziļumā. Mainīgie spriegumi veicina plaisas ātru attīstību, jo

darba laikā plaisas malas gan tuvinās, gan attālinās. Līdz ar plaisas attīstīšanos arvien vairāk

vājinās detaļas šķērsgriezuma laukums. Kādā laika momentā šis vājinājums sasniedz tādu

lielumu, ka jebkurš ārējais trieciens liek detaļai sagrūt. Jāpiezīmē, ka detaļas sagrūšana notiek

krasi, momentāni, pat plastiski materiāli sagrūst kā trauslas vielas.

Noguruma plaisām detaļā vienmēr ir vietējs raksturs, tās neietekmē visu konstrukcijas

materiālu kopumā. Tomēr daudzos gadījumos noguruma plaisu rašanās ir ļoti bīstama parādība.

71


Tā, piemēram, noguruma plaisu rašanās var izraisīt vagona ass lūzumus un kļūt par cēloni

dzelzceļa katastrofai.

Liela nozīme aprēķinam, kas ievēro laikā mainīgos spriegumus ir mašīnbūvē, kur

visbiežāk sastopama daudzkārtēja ciklisko spriegumu atkārtošanās. Apmēram 90% visu mašīnu

daļu lūzumu ir nogurumu plaisu attīstības sekas. Termins “aprēķins uz nogurumu” nav precīzs.

Īstenībā materiāls nekādu nogurumu neizjūt, bet sagrūst plaisu pakāpeniskas padziļināšanās

rezultātā. Tieši šādā nozīmē arī jāsaprot izteiciens “sagrūšana noguruma dēļ”.

72

Materiālu pretestība

Documents

Transcript of Materiālu pretestība