Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo...
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___________________________________________________________________ Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo Coral e Carla Regina Kuss Ferreira Atualizado por Milton Procópio de Borba
Este texto é apenas um resumo para orientação e auxilio do aluno, maiores informações sobre a matéria devem ser extraídas dos livros. Os alunos não devem se apegar apenas neste material.
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1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas
tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.
As tabelas sem perda de informação são construídas listando-se os valores da
variável referentes à amostra ou população, um em cada linha e marcando-se quantas
vezes cada um desses valores se repete. Essa quantidade recebe o nome de freqüência.
Por isso, a tabela que relaciona o valor da variável com a freqüência correspondente
recebe o nome de “Tabela de Distribuição de Freqüência”.
Quando a variável assume muitos valores a tabela sem perda de informação
pode ficar muito grande. Daí surge a necessidade de agrupar os dados em intervalos de
classe, com limite inferior e limite superior. Essa tabela mostra uma perda de
informação, pois os valores originais da variável não aparecem mais individualmente.
Ao usar a Tabela de Distribuição de Freqüências com intervalos de classe ganhamos em
simplicidade, mas perdemos em pormenores.
Para cada classe a quantidade de vezes em que cada valor aparece é marcada.
Cada valor da variável deve pertencer a apenas uma das classes.
A Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação reorganiza
os valores em ordem crescente ou decrescente de grandeza, tal que uma característica da
população é dividida em classes, indicando-se a quantidade de ocorrências em cada
classe, relacionando cada valor (ou intervalo) com a sua freqüência.
Uma companhia fabrica tubos de PVC. De cada lote fabricado, alguns tubos são
inspecionados pelo controle de qualidade da empresa. Nesta inspeção são coletadas
algumas medidas como: diâmetro interno, diâmetro externo e comprimento do tubo. Os
dados a seguir são referentes aos diâmetros internos (em milímetros) de 60 tubos de
PVC.
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Tabela 1: Tabela Primitiva
73,8 72,9 74,3 74,0 73,6 74,1 73,5 73,4 72,8 73,7 73,6 73,5 72,5 73,3 74,2 72,0 72,4 74,5 73,6 74,2 74,0 72,8 73,8 72,5 72,5 73,3 73,0 73,2 73,0 73,9 73,4 73,8 74,0 73,5 73,2 73,5 72,7 73,4 73,2 73,6 72,6 73,2 73,7 73,1 74,6 73,5 73,5 72,9 73,9 73,1 73,6 73,3 73,9 74,1 73,4 73,0 73,0 74,2 74,6 72,7
Esses dados são chamados de dados primitivos e são mostrados sem seguir
ordem alguma. O ideal seria ordená-los para então poder separá-los em classes. Quando
ordenamos os dados transformamos a “Tabela Primitiva” em uma tabela ordenada,
chamada de Rol.
Tabela 2: Rol
72,0 72,7 73,0 73,2 73,3 73,5 73,6 73,8 74,0 74,2 72,4 72,7 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74,2 72,5 72,8 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74,3 72,5 72,8 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,9 74,1 74,5 72,5 72,9 73,1 73,3 73,4 73,5 73,7 73,9 74,1 74,6 72,6 72,9 73,1 73,3 73,5 73,6 73,7 73,9 74,2 74,6
Com a tabela ordenada fica fácil visualizarmos o menor valor de diâmetro e o
maior valor de diâmetro. Assim, podemos calcular a amplitude amostral (AA), que é a
diferença entre o maior valor e o menor valor que a variável assume no problema.
AA = xmax - xmin
Nesse caso, a amplitude amostral é AA = 74,6 – 72,0 = 2,6 mm.
Para calcular o número de classes (i) ou categorias que devemos utilizar para os
60 diâmetros, usamos a Regra de Sturges:
i = 1 + 3,3. log n
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Essa regra nos dá o número de classes em função do tamanho da amostra.
Assim, i = 1 + 3,3. log 60 = 6,8678 ~ 7 (arredonda-se sempre para o número inteiro
mais próximo, pois o número de classes deve ser inteiro).
A Tabela de Distribuição de Freqüências terá 7 classes e amplitude amostral 2,6
mm.
A amplitude do intervalo de cada uma das classes (h) é encontrado através da
fórmula:
iAA
=h
A amplitude do intervalo de classe é 4,0~3714,0=76,2
=i
AA=h
Com os valores de AA , i e h podemos iniciar a construção da Tabela de
Distribuição de Freqüência.
A tabela deverá ter 8 linhas, uma para o cabeçalho e uma para cada uma das 7
classes. Inicialmente o número de colunas deve ser 3 ( uma para numerar as classes,
outra para os intervalos de classe e a 3ª. para as freqüências simples (f i) de cada classe,
como mostra a tabela a seguir.
Tabela 3: Tabela de Distribuição de Freqüência Simples
i Diâmetros (mm) f i
1 72,0├ 72,4 1
2 72,4├ 72,8 7
3 72,8 ├ 73,2 10
4 73,2├ 73,6 17
5 73,6 ├ 74,0 13
6 74,0├ 74,4 9
7 74,4├ 74,8 3
Importante: o arredondamento do i deve ser sempre e fetuado
para cima usando o mesmo número de casas decimais d os elementos
da amostra para que nenhum elemento fique fora da t abela.
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Como foi montada a Tabela de Distribuição de Freqüência
Para montar a tabela você deverá seguir os passos:
1ª. COLUNA: i
Inicialmente numeramos a 1ª. coluna de 1 a 7, pois temos 7 classes.
2ª. COLUNA: diâmetros (mm)
A primeira classe deve ter como limite inferior (li) o menor valor que a variável
diâmetro assume no problema, ou seja, l1 =72,0 mm. Como o valor de h = 0,4 o limite
superior (Li) deve ser 72,0 acrescido de h = 0,4. Logo, o limite superior da primeira
classe será L 1 = 72,4 mm.
O limite superior de uma classe aparece sempre como o limite inferior da
classe seguinte. Assim, o limite inferior da 2ª classe será l2 = 72,4 mm. O limite
superior da 2ª classe é igual ao limite inferior da desta classe acrescido de h (L 2 = 72,8
mm). Desta forma calculamos todos os limites inferiores e superiores como mostra a
tabela acima.
O símbolo├ colocado entre o limite inferior e o limite superior de cada classe
representa a notação de intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Isso significa
que em cada uma das classes o limite superior não entra na contagem, mas entra como
limite inferior da classe seguinte. Apenas a última classe pode incluir os dois limites
(inferior e superior) se o valor de h for exato (sem a necessidade de arredondamento).
Como já citado anteriormente, cada valor da variável deve pertencer a apenas uma das
classes.
Se olharmos na tabela ordenada (Rol) notamos que o valor de diâmetro 72,4 mm
aparece uma vez. O valor 72,4 mm é o limite inferior da 1ª classe e também o limite
superior da 2ª classe.
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3ª. COLUNA: f i
Em qual das duas classes essa freqüência deve aparecer? Usando a notação
de intervalos adotada aqui (├) devemos inserir essa freqüência (o valor 72,4 mm
aparecendo uma vez) na 2ª classe.
Assim, sistematizamos da seguinte forma:
• na 1ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 72,0 mm e
72,4 mm, exceto o diâmetro 72,4 mm já que este entrará na próxima
classe (f1 = 1);
• na 2ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 72,4 mm e
72,8 mm, exceto o diâmetro 72,8 mm já que este entrará na próxima
classe (f2 = 7);
• na 3ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 72,8 mm e
73,2 mm, exceto o diâmetro 73,2 mm já que este entrará na próxima
classe (f3 = 10);
• na 4ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 73,2 mm e
73,6 mm, exceto o diâmetro 73,6 mm já que este entrará na próxima
classe (f4 = 17);
• na 5ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 73,6 mm e
74,0 mm, exceto o diâmetro 74,0 mm já que este entrará na próxima
classe (f5 = 13);
• na 6ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 74,0 mm e
74,4 mm, exceto o diâmetro 74,4 mm já que este entrará na próxima
classe(f6 = 9);
• na 7ª e última classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre
74,4 mm e 74,8 mm. Como esta é a última classe o valor pode ser
contado, se houver, pois não existe uma classe posterior à última (f7 = 3).
• A soma de todas as freqüências simples (f i) é igual ao tamanho da
amostra (n). Assim, f1+ f2+ f3+ f4+ f5+f6+ f7 = n ou Σ fi = n.
Mas a Tabela de Distribuição de Freqüências não pára por aí. Existem outras
freqüências que podem ser calculadas.
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Freqüências Relativas (fri): são as freqüências simples transformadas em
percentuais. Calculamos pela razão entre a freqüência simples e o tamanho da amostra.
As freqüências relativas têm o intuito de permitir a análise ou facilitar comparações.
100.nf
=fr ii e Σ fr i = 100%
Calculando as freqüências relativas das 7 classes temos:
%7,1...66666,1100.60
1100.1
1 ≈===n
ffr
%7,11...66666,11100.60
7100.2
2 ≈===n
ffr
%7,16...66666,16100.60
10100.3
3 ≈===n
ffr
%3,28...33333,28100.60
17100.4
4 ≈===n
ffr
%7,21...66666,21100.60
13100.5
5 ≈===n
ffr
%0,15100.60
9100.6
6 ===n
ffr
%0,5100.60
3100.7
7 ===n
ffr
%1,1000,50,157,213,287,167,117,1 =++++++=Σ ifr
O somatório das freqüências relativas deve ser igual a 100% e não igual a
100,1%. Isso acontece devido aos arredondamentos. Quando ocorre de termos um
somatório diferente de 100% devemos compensar essa diferença na maior parcela, pois
nessa parcela ocorre o menor erro percentual. Nesse caso a maior parcela é o valor da
freqüência relativa da 4ª classe (fr 4 = 28,3%). Para que a soma das freqüências relativas
passe de 100,1% para 100% a freqüência relativa da 4ª classe deve passar de 28,3% para
28,2% (fr 4 = 28,2%).
Assim, %0,100=0,5+0,15+7,21+2,28+7,16+7,11+7,1=frΣ i .
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Freqüências Acumuladas (Fi): é o total das freqüências de todos os valores
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = Σf i (i = 1, 2,..., k)
Calculando as freqüências acumuladas das 7 classes temos:
1=f=F 11
8=7+1=f+F=f+f=F 21212
18=10+8=f+F=f+f+f=F 323213
35=17+18=f+F=f+f+f+f=F 4343214
48=13+35=f+F=f+f+f+f+f=F 54543215
57=9+48=f+F=f+f+f+f+f+f=F 656543216
60=3+57=f+F=f+f+f+f+f+f+f=F 7676543217
Freqüências Relativas Acumuladas (Fri): é a soma das freqüências relativas
de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
Fr k = fr1 + fr2 + ... + frk ou Fr k = Σfr i =100% (i = 1, 2,..., k)
Calculando as freqüências relativas acumuladas das 7 classes temos:
%7,1=fr=Fr 11
%4,13=7,11+7,1=fr+Fr=fr+fr=Fr 21212
%1,30=7,16+4,13=fr+Fr=fr+fr+fr=Fr 323213
%3,58=2,28+1,30=fr+Fr=fr+fr+fr+fr=Fr 4343214
%0,80=7,21+3,58=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr=Fr 54543215
%0,95=0,15+0,80=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr+fr=Fr 656543216
%0,100=0,5+0,95=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr+fr+fr=Fr 7676543217
Ponto Médio (xi): é o ponto que divide uma classe em duas partes iguais.
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8
2L+l
=x iii
Calculando os pontos médios de cada uma das 7 classes temos:
2,72=2
4,72+0,72=
2L+l
=x 111
6,72=2
8,72+4,72=
2L+l
=x 222
0,73=2
2,73+8,72=
2L+l
=x 333
4,73=2
6,73+2,73=
2L+l
=x 444
8,73=2
0,74+6,73=
2L+l
=x 555
2,74=2
4,74+0,74=
2L+l
=x 666
6,74=2
8,74+4,74=
2L+l
=x 777
Repare que: x2 – x1 = x3 – x2 = x4 – x3 = x5 – x4 = x6 – x5 = x7 – x6 = h = 0,4.
Assim:
x2 = x1 +h = 72,2 + 0,4 = 72,6
x3 = x2 +h = 72,6 + 0,4 = 73,0
x4 = x3 +h = 73,0 + 0,4 = 73,4
x5 = x4 +h = 73,4 + 0,4 = 73,8
x6 = x5 +h = 73,8 + 0,4 = 74,2
x7 = x6 +h = 74,2 + 0,4 = 74,6
A seguir você pode visualizar a Tabela de Distribuição de Freqüência
Completa.
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Tabela 4: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa
Histograma
É um gráfico de barras verticais, fornecendo a freqüência para cada intervalo de
classe.
Exercícios Propostos
1. Um radar da polícia rodoviária registrou as velocidades de 50 veículos em
uma rodovia, obtendo-se os seguintes dados (velocidades em km/h), já ordenados de
forma crescente. Construa a tabela de distribuição de freqüência completa e o
Histograma.
35,9 65,6 68,0 74,0 77,2 78,5 79,3 80,0 80,7 83,0 36,8 65,7 70,2 75,0 77,9 78,6 79,6 80,0 80,9 83,1 50,3 67,2 71,9 75,3 78,1 79,0 79,6 80,0 81,0 83,7 55,4 67,8 73,6 75,6 78,2 79,2 79,9 80,2 81,6 85,0 60,7 68,0 73,9 77,0 78,3 79,2 80,0 80,5 82,0 90,6
i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6
Σ fi = 60 Σ fr i =100,0
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2. Foram ensaiados 100 corpos de prova de aço ABNT 1020, e obtidas as
seguintes medidas referentes à sua tensão de ruptura (em kgf/mm2), já ordenadas de
forma crescente. Com base nos dados, construa a tabela de distribuição de freqüência
completa e o Histograma.
3. A tabela abaixo traz os comprimentos (em cm) de 28 componentes
eletrônicos. Construa a tabela de distribuição completa e o Histograma.
4,3 3,9 4,5 4,6 4,3 4,1 4,3 4,5 3,2 3,7 3,5 2,9 4,1 4,0 3,8 4,2 4,2 4,2 4,5 4,3 4,3 4,4 4,2 3,8 4,5 4,5 4,0 4,5
4. Uma empresa fabricante de lâmpadas deseja testar uma parte de sua produção.
Selecionou 60 lâmpadas de 100W e deixou-as ligadas até te que queimassem. O tempo
de vida útil de cada uma delas está registrado na tabela abaixo. Construa a tabela de
distribuição completa e o Histograma.
35,8 36,5 37,2 37,9 38,6 38,8 39,1 39,9 40,5 41,3 36,0 36,6 37,3 38,0 38,6 38,8 39,2 40,0 40,5 41,5 36,0 36,7 37,3 38,0 38,7 38,9 39,2 40,0 40,6 41,5 36,0 36,7 37,3 38,1 38,7 38,9 39,2 40,1 40,7 41,5 36,1 36,7 37,4 38,1 38,7 39,0 39,2 40,1 41,0 41,7 36,1 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,7 36,2 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,9 36,3 37,0 37,4 38,5 38,8 39,0 39,3 40,3 41,2 42,0 36,4 37,1 37,5 38,5 38,8 39,0 39,7 40,4 41,3 42,0 36,5 37,1 37,5 38,6 38,8 39,1 39,8 40,5 41,3 42,2
684 796 859 939 773 697 693 721 832 902 1004 857 819 907 1038 912 1005 952 836 888 962 1096 994 918 868 905 926 786 852 870 893 922 1016 760 860 899 911 938 1093 1016 859 971 924 1041 742 920 848 977 1005 1080 821 852 876 1014 1052 773 909 762 984 954
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2. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇ ÃO
Para melhor caracterizar um conjunto de valores que uma variável pode assumir
é preciso escolher um valor único que represente todos os valores dessa amostra. As
medidas de posição ou tendência central sugerem uma concentração dos dados em torno
delas. Essas medidas são:
• Média;
• Moda;
• Mediana.
2.1 Média da Amostra (x )
“A média de um conjunto de números é um valor que, levando em conta a
totalidade dos elementos do conjunto, pode substituir a todos, sem alterar determinada
característica desse conjunto”. (LOPES, 1999, p.24)
Para calcular a média deve-se multiplicar cada valor pelo número atribuído à sua
importância no conjunto, somar todos os produtos obtidos e dividir o total pela soma
dos pesos.
Dados agrupados
i
ii
fΣf.xΣ
=x
Lembre-se que ifΣ = n.
Dados não agrupados
n
xx iΣ
=
onde,
x é a média da amostra de n elementos (é uma estatística);
n é o números de elementos da amostra;
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ix (i = 1, 2, 3, ... , n) são os valores das n observações.
1. Um aluno fez 3 avaliações. Na 1ª. obteve nota 8,0, na 2ª. obteve nota 4,0 e na
3ª. obteve nota 6,0. Qual foi a sua média?
Resolução: As 3 provas tem pesos iguais, logo devemos somar as 3 notas e
dividir o resultado da soma por 3. Daí: 0,6=3
0,6+0,4+0,8=x .
2. Um aluno fez 3 avaliações, 2 provas e 1 trabalho. Obteve nas provas 5,0 e 9,0,
respectivamente. No trabalho obteve nota 9,0. O trabalho tem peso 1 e cada prova tem
peso 2. Qual foi a sua média?
Resolução: Devemos multiplicar cada nota pelo peso que lhe é atribuído, somar
todos esses produtos e dividir pela soma dos pesos. Daí:
4,7=1+2+2
1.0,9+2.0,9+2.0,5=x .
3. Calcule a média da tabela 4.
Resolução: O ideal é criar uma coluna na Tabela de Distribuição de
Freqüência responsável pelos resultados dos produtos de cada valor pelo peso
correspondente (xi.fi), como mostra a tabela 6.
Tabela 5: Tabela de Distribuição de Freqüências com o Cálculo da Média
i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi xi.fi
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8
Σ fi = 60 Σ fr i =100,0 Σ xi.fi = 4409,2
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13
Os cálculos:
2,72=1.2,72=f.x=f.x 11ii
2,508=7.6,72=f.x 22
0,730=10.0,73=f.x 33
8,1247=17.4,73=f.x 44
4,959=13.8,73=f.x 55
8,667=9.2,74=f.x 66
8,223=3.6,74=f.x 77
Assim,
2,4409=8,223+8,667+4,959+8,1247+0,730+2,508+2,72=f.xΣ ii
A média será mmfi
fxx ii 5,73...486666,73
60
2,4409. ≈==Σ
Σ= (usando uma casa
decimal, pois todos os elementos da amostra têm uma casa decimal).
2.2 Moda da Amostra (Mo)
A moda é o valor da variável que aprece com mais freqüência, ou seja, o valor
que aparece mais vezes.
Numa Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação a
classe com maior freqüência é chamada de classe modal e o valor da moda é dado pelo
ponto médio da classe modal.
Dados agrupados
2L+l
=Mo ii
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14
Dados não agrupados: Valor que ocorre com maior freqüência de uma
sequencia de dados numéricos dispostos em ordem crescente ou decrescente.
Observação: Quando há apenas uma moda a amostra denomina-se modal; duas
ou mais modas, bimodal. Se todos os valores ocorrerem a mesma quantidade de vezes a
amostra é considerada amodal.
1. Considere os valores: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da moda?
Resolução: A moda é o valor que mais vezes se repete. Assim, para os dados
acima, Mo = 3.
2. Calcule a moda dos dados contidos na tabela 4.
Resolução: A tabela 4 mostra uma freqüência 17 (marcada em cinza na tabela)
como a maior delas. Logo, a 4ª. classe é a classe modal. O valor da moda é o ponto
médio da classe modal. Assim, Mo = 73,4 mm (marcada em cinza na tabela).
Tabela 6: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa com o Cálculo da
Moda
i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6
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15
Σ fi = 60 Σ fr i =100,0
2.3 Mediana da Amostra (Md)
A mediana é o valor que se encontra no centro de um conjunto de valores,
estando a amostra ordenada.
Numa Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação a
mediana é calculada seguindo os passos:
• Calculamos 2n
;
• Calculamos as freqüências acumuladas de todas as classes (Fi);
• Marcamos na Tabela de Distribuição de Freqüência qual é a
freqüência acumulada imediatamente superior à 2n
- está é a classe
mediana;
Dados agrupados:
• Usamos a fórmula: h.f
F-2
1n
lMdi
(ant)
i
−
+= , onde:
l i é o limite inferior da classe mediana;
n é o tamanho da amostra;
F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f i é a freqüência simples da classe mediana;
h é a amplitude do intervalo de classe.
Dados não agrupados:
A mediana assim como a média também fornece uma medida de posição central.
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16
Para a obtenção do valor da mediana é necessário que os dados sejam arranjados em
ordem crescente (do menor para o maior).
A mediana é o valor situado no meio da seqüência de observações.
Definição da mediana:
Com os dados já arranjados em ordem crescente, temos duas formas para
obtenção da mediana:
a) Para um número ímpar de observações a mediana é o valor central das observações.
Usamos a fórmula do posicionamento:
2
1+= nentoPosicionam
onde,
n é o número de observações da amostra.
Exercício ilustrativo: retornemos ao exemplo do número de alunos nas salas de aula do
IST. Em nosso exemplo temos 5 salas de aula (número ímpar de observações) com as
seguintes observações:
46 54 42 46 32
Devemos então ordenar os dados de forma crescente:
32 42 46 46 54
Deve-se então localizar o posicionamento da mediana através da formula do
posicionamento:
32
15
2
1 =+=+= nentoPosicionam
então temos,
32 42 46 46 54
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17
1 2 3 4 5
MEDIANA = 46
Para um número par de observações a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exercício ilustrativo: retornemos exercício dos alunos recém formados no curso de
Tecnologia em Qualidade e Produtividade, neste exemplo temos uma amostra com um
número par de observações (12 observações).
2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Podemos notar nos dados acima (já em forma ordenada), não temos nem um valor
central específico, e se usarmos a fórmula do posicionamento teremos o seguinte
resultado:
5,62
112
2
1 =+=+= nentoPosicionam
desta forma, pagamos os dois valores centrais (posição 6 e posição 7) e fazemos a
média.
24052
24202390 =+=MEDIANA
1. Considere os valores: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da mediana?
Resolução: A mediana é o valor central da série. Assim, Md = 3.
2. Considere os valores: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Qual é o valor da mediana?
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18
Resolução: A mediana é o valor central da série. Como está série tem n = 8,
calculamos a mediana pela média entre os valores centrais. Assim,
5,10=2
11+10=Md .
3. Calcule a mediana dos dados da tabela 4.
Resolução: Para calcular a mediana devemos seguir os passos:
• 30=2
60=
2n
;
• As freqüências acumuladas estão na tabela marcadas em cinza;
• A classe mediana é a 4ª classe (marcada em negrito), pois é a que tem
freqüência acumulada imediatamente superior a 30;
• mmhf
n
lMdi
i 5,73...47,734,0.17
)18-5,29(2,73.
F-2
1(ant)
≈=+=
−
+=
(usando uma casa decimal, pois todos os elementos da amostra têm uma casa
decimal).
Tabela 7: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa com o Cálculo da
Mediana
i Diâmetros (mm) f i fr i (%) Fi Fr i (%) xi
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6
Σ fi = 60 Σ fr i =100,0
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19
Exercícios Propostos
1. Calcule a média, a moda e a mediana das amostras A, B e C:
• Amostra A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16;
• Amostra B: 3, 6, 9, 11, 12, 13;
• Amostra C: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9.
2. Calcule as medidas de posição do exercício proposto1 do capítulo 1.
3. Calcule as medidas de posição do exercício proposto 2 do capítulo 1.
4. Calcule as medidas de posição do exercício proposto 3 do capítulo 1.
5. Calcule as medidas de posição do exercício proposto 4 do capítulo 1.
3. MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU MEDIDAS DE DISPERSÃO
Verificou-se, ao longo da história da Estatística, que a mais importante e
também a mais usada medida de posição é a média. Porém, sozinha, a média não
fornece toda a informação necessária para descrevermos todos os valores referentes a
uma amostra.
Considere, por exemplo, os valores de duas amostras, A e B:
• Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.
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20
• Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.
Embora as duas amostras tenham a mesma média, 12, percebemos que a amostra
A tem uma variabilidade maior do que a amostra B.
Isto indica que é necessário um outro tipo de medida para distinguir os dois
conjuntos dados. Observando os dados, percebemos que o conjunto B apresenta valores
concentrados em relação a média, enquanto que o conjunto A apresenta valores
dispersos (espalhados) em relação à média.
Por isso, além de uma medida de posição, necessitamos de uma outra medida
que possa exprimir a variabilidade dos valores em relação a uma determinada
referência.
As medidas que tratam desta característica são chamadas medidas de
variabilidade ou medidas de dispersão.
São elas:
• Amplitude Total (AT);
• Variância da Amostra (σσσσ 2);
• Desvio Padrão ou Erro Padrão da Amostra (σσσσ);
• Coeficiente de Variação (CV) e
Ainda:
• Dervio Médio;
• Amplitude Modal.
3.1 Amplitude Total da Amostra (AT)
A amplitude total da amostra é a diferença entre o maior e o menor valor
observado.
AT = xmax - xmin
Evidentemente, quanto maior for o valor da amplitude total, maior será a
variabilidade do conjunto.
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21
Numa Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação a
amplitude total da amostra é calculada pela fórmula:
AT = L k – l1
onde L k é o limite superior da última classe e l1 é o limite inferior da 1a. classe.
A amplitude total é uma medida que considera somente os valores extremos,
ignorando todos os outros, o que poderia levar a uma interpretação pouco acertada a
respeito dos dados.
1. Calcule a amplitude total do exemplo para dados não agrupados:
• Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.
• Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.
Resolução:
Amostra A: AT = xmax - xmin = 22 – 1 = 21
Amostra B: AT = xmax - xmin = 14 – 10 = 4
2. Calcule a amplitude amostral dos dados da tabela 6 para dados agrupados.
Tabela 6: Tabela de Distribuição de Freqüências com o Cálculo da Média
i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi xi.fi
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8
Σ fi = 60 Σ fr i =100,0 Σ xi.fi = 4409,2
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22
Resolução:
Lk =74,8 mm (marcado na tabela em cinza)
l1 = 72,0 mm (marcado na tabela em cinza)
AT = Lk – l1 = 74,8 – 72,0 = 2,8 mm.
3.2 Variância da Amostra (σσσσ 2)
A amplitude total é uma medida de variabilidade instável, pois tem o
inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos. Essa medida indica
apenas uma aproximação da dispersão do conjunto.
Por esse motivo, buscou-se outra medida que levasse em consideração todos os
valores da amostra e não somente os extremos. A média revelou-se o ponto de
referência adequado. Tendo a média como ponto de referência calcularemos as
diferenças de cada um dos valores em relação à média e somaremos essas diferenças
para obter um total geral.
Ainda considerando o exemplo da amostras A e B, podemos calcular:
Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.
Média da amostra A: 12=11
22+21+18+15+12+12+11+9+6+5+1=x
Para a amostra A temos: (12 – 1) + (12 – 5) + (12 – 6) + (12 – 9) + (12 – 11) +
(12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 15) + (12 – 18) + (12 – 21) + (12 – 22) = 11 + 7 + 6 + 3 +
1 + 0 + 0 + (-3) + (-6) + (-9) + (-10) = 0
Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.
Média da amostra B:
12=11
14+14+13+12+12+12+12+11+11+11+10=x
Para a amostra B temos: (12 – 10) + (12 – 11) + (12 – 11) + (12 – 11) + (12 –
12) + (12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 13) + (12 – 14) + (12 – 14) = 2 + 1 + 1 +
1 + 0 + 0 + 0 + 0 + (-1) + (-2) + (-2) = 0
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23
Embora seja uma medida intuitiva, essa soma sempre será igual a zero, pois o
total das diferenças positivas anula-se com o total das diferenças negativas.
Observando-se as parcelas, notamos que o que torna o total igual a zero é o sinal
da diferença. Sendo assim, uma segunda tentativa foi ignorar o sinal, trabalhando com
essas diferenças em módulo.
Para a amostra A, considerando todas as diferenças em módulo teremos como
resultado da soma: 11 + 7 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 + 3 + 6 + 9 + 10 = 56.
Para a amostra B, considerando todas as diferenças em módulo teremos como
resultado da soma: 2 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 2 = 10.
Repare que novamente caracterizamos a amostra A com variabilidade maior
do que a amostra B.
Mas em Matemática, efetuar operações com módulos é geralmente muito
trabalhoso. Optou-se, então, por tentar tirar o sinal de diferença sem a utilização do
módulo. A solução encontrada foi elevar ao quadrado cada uma dessas diferenças e
somá-las. Daí:
Para a amostra A:
112 + 72 + 62 + 32 + 12+ 02 + 02 + (-3)2 + (-6)2 + (-9)2 + (-10)2 = 442.
Para a amostra B:
22 + 12 + 12 + 12 + 02 + 02 + 02 + 02 + (-1)2 + (-2)2 + (-2)2 = 16.
Comprovamos mais uma vez que a amostra A é mais dispersa que a amostra B.
Como a variabilidade ou dispersão das séries de dados deve ser expressa por
uma síntese, desejamos encontrar um único valor que, levando em conta todos os
outros, não altere a sua característica e que possa representar toda a série. Esse valor
denomina-se variância da amostra e calcula-se através da fórmula:
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24
1-n
)x-x.(f 2ii2 Σσ =
Onde:
2i )x-x( é o valor de cada diferença entre o valor da variável e a média da
amostra ao quadrado.
if é a quantidade de vezes que cada desvio acontece
1-n representa o grau de liberdade, ou seja, a quantidade de comparações
independentes que podem ser feitas entre as n unidade da amostra.
Ainda para as amostras A e B, temos os seguintes valores de variância:
Para a amostra A:
2,4410
442
1-n
)x-x.(f 2ii2 ===
Σσ
Para a amostra B:
6,110
16
1-n
)x-x.(f 2ii2 ===
Σσ
A variância da amostra é a medida de variabilidade resultante da divisão por
(n-1) da soma das diferenças ao quadrado entre cada valor da amostra e a média da
amostra.
Ocorre que no cálculo da variância, ao elevar ao quadrado a diferença entre
cada valor e a média da amostra, a unidade de medidas dos valores originais é também
elevada ao quadrado. Ou, seja, resolvemos o problema da dificuldade de trabalhar com
módulos e criamos um problema com as unidades de medida, havendo uma unidade
para a medida de posição e outra para a medida de dispersão. Para que as unidades
sejam iguais, torna-se necessário extrair a raiz quadrada positiva da variância da
amostra. Fazendo isso, define-se a mais importante medida de dispersão de uma
amostra, chamada desvio padrão.
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25
3.3 Desvio Padrão da Amostra (σσσσ )
O desvio padrão da amostra é calculado por:
1-n
)x-x.(f 2ii2 Σσσ ==
Calcule a variância e o desvio padrão dos dados da tabela 6.
Resolução: Inicialmente, para facilitar os cálculos incluiremos uma coluna para
colocar os resultados de 2ii )x-x.(f . A média dos dados foi calculada no item 1.7
(exemplo 3). Na tabela 1.8.1 a coluna está marcada em cinza.
Os cálculos:
mm5,73=x
69,1=73,5)-2,72.(1=)x-x.(f=)x-x.(f 2211
2ii
67,5=73,5)-6,72.(7=)x-x.(f 2222
50,2=73,5)-0,73.(10=)x-x.(f 2233
17,0=73,5)-4,73.(17=)x-x.(f 2244
17,1=73,5)-8,73.(13=)x-x.(f 2255
41,4=73,5)-2,74.(9=)x-x.(f 2266
63,3=73,5)-6,74.(3=)x-x.(f 2277
24,19=63,3+41,4+17,1+17,0+50,2+67,5+69,1=)x-x.(fΣ 2ii
A variância da amostra é:
22
ii2 mm33,0...32610169,059
24,19
1-n
)x-x.(f≈===
Σσ
O desvio padrão da amostra é:
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26
mm6,0...57105314,059
24,19
1-n
)x-x.(f 2ii ≈===
Σσ .
Tabela 7: Tabela Distribuição de Freqüência com Desvio Padrão
3.4 Coeficiente de Variação (CV)
Karl Pearson, matemático inglês (1857-1936), que contribuiu
significativamente para a ciência Estatística, desenvolveu uma medida denominada
coeficiente de variação e calculada da seguinte forma:
100.x
CVσ=
O coeficiente de variação é a grandeza relativa do desvio padrão da amostra
quando este é comparado com a média da amostra e é expresso em forma de
porcentagem.
i Diâmetros
(mm)
f i fr i
(%)
Fi Fr i
(%)
xi xi.fi 2ii )x-x.(f
1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2 1,69
2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2 5,67
3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0 2,50
4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8 0,17
5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4 1,17
6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8 4,41
7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8 3,63
Σ fi
=
60
Σ fr i
=
100,0
Σ xi.fi
=
4409,2
2ii )x-x.(fΣ =19,24
___________________________________________________________________ Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo Coral e Carla Regina Kuss Ferreira Atualizado por Milton Procópio de Borba
Este texto é apenas um resumo para orientação e auxilio do aluno, maiores informações sobre a matéria devem ser extraídas dos livros. Os alunos não devem se apegar apenas neste material.
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27
Karl Pearson (1857 – 1936)
Calcule o coeficiente de variação dos dados da tabela 7.
Resolução: Como a média é igual a mm5,73=x e o desvio padrão igual a
mm6,0=s , o coeficiente de variação será:
%8,0816326,0100.5,73
6,0 ≈==CV
3.5 Desvio Médio
No lugar de elevar ao quadrado os desvios de cada medida (para anular o efeito do sinal), usa-se o módulo.
Desvio Médio n
x-x.f iiΣ=
3.6 Amplitude Modal Na media de posição Moda, só nos interessava a medida mais freqüente. Como medida de dispersão, queremos saber qual é esta freqüência. Amplitude Modal = quantidade de medidas iguais á Moda
Conheça a biografia de Karl Pearson no endereço ele trônico
http://www.ccet.ufrn.br/hp_estatistica/biografias/p earson.html .
___________________________________________________________________ Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo Coral e Carla Regina Kuss Ferreira Atualizado por Milton Procópio de Borba
Este texto é apenas um resumo para orientação e auxilio do aluno, maiores informações sobre a matéria devem ser extraídas dos livros. Os alunos não devem se apegar apenas neste material.
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28
Exercícios Propostos
1. Calcule a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de
variação das amostras A e B para os dados não agrupados:
• Amostra A: 30 km, 30 km, 30 km;
• Amostra B: 20 km, 30 km, 40 km.
2. Calcule a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de
variação das amostras X, Y e Z para os dados não agrupados:
• Amostra X: 70, 70, 70, 70, 70;
• Amostra Y: 68, 69, 70, 71, 72;
• Amostra Z: 5, 15, 50, 120, 160.
3. Calcule as medidas de dispersão do exercício proposto 1 do capítulo 1.
4. Calcule as medidas de dispersão do exercício proposto 2 do capítulo 1.
5. Calcule as medidas de dispersão do exercício proposto 3 do capítulo 1.
6. Calcule as medidas de dispersão do exercício proposto 4 do capítulo 1.