MSICA DAS ESFERAS

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Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) (Shirlene Vila Arruda - Bibliotecria)

INSTITUTO ARTE NA ESCOLA

Msica das esferas / Instituto Arte na Escola ; autoria de Solange Utuari ; coordenao de Mirian Celeste Martins e Gisa Picosque. So Paulo : Instituto Arte na Escola, 2010.

(DVDteca Arte na Escola Material educativo para professor-propositor ; 138)

Foco: CT-B-8/2010 Conexes TransdisciplinaresContm: 1 DVD ; Biografias; Glossrio ; BibliografiaISBN 978-85-7762-043-2

1. Artes - Estudo e ensino 2. Msica 3. Matemtica 4. Arte e cincia 5. Matemtica na arte I. Utuari, Solange II. Martins, Mirian Celeste III. Picosque, Gisa IV. Ttulo V. Srie

CDD-700.7

MSICA DAS ESFERAS Copyright: Instituto Arte na Escola

Autor deste material: Solange Utuari

Assessoria em Matemtica: Marcelo Lellis

Reviso de textos: Nelson Luis Barbosa

Padronizao bibliogrfica: Shirlene Vila Arruda

Diagramao e arte final: Jorge Monge

Autorizao de imagens: Cesar Millan de Brito

Fotolito, impresso e acabamento: Indusplan Express

Tiragem: 200 exemplares

CrditosMATERIAIS EDUCATIVOS DVDTECA ARTE NA ESCOLAOrganizao: Instituto Arte na Escola

Coordenao: Mirian Celeste Martins Gisa Picosque

Projeto grfico e direo de arte: Oliva Teles Comunicao

MAPA RIZOMTICO

Copyright: Instituto Arte na Escola

Concepo: Mirian Celeste Martins Gisa Picosque

Concepo grfica: Bia Fioretti

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DVDMSICA DAS ESFERAS

Ficha tcnicaGnero: Documentrio.

Palavras-chave: Msica; som; escala musical; ritmo; timbre; matemtica; logaritmo; cdigos de representao; linguagem; instrumentos musicais.

Foco: Conexes Transdisciplinares

Tema: Stimo programa da srie. Apresenta conceitos em ma-temtica presentes na msica.

Personalidades abordadas: Alberto Marsicano, John Napier, Johann Sebastian Bach, Pitgoras, Vivaldi e percussionistas, entre outros.

Indicao: A partir do 9 ano do Ensino Fundamental.

N da categoria: CT-B-8

Direo: Srgio Zeigler.

Realizao/Produo: Fundao Padre Anchieta - Centro Paulista de Rdio e TV Educativas, So Paulo. Coproduo: TV Escola.

Ano de produo: 2001.

Durao: 25.

Coleo/Srie: Arte & matemtica.

SinopseSons articulados, arranjos harmoniosos, combinaes de clculos matemticos esto por trs dos sons musicais que se desenvol-veram em diferentes culturas. A msica da China, da ndia, do Ocidente, erudita ou popular, no passado ou no presente, move ritmos e sentimentos. A investigao de Pitgoras na organizao dos sons na escala musical e a obra de Bach com sua escala temperada evidenciam a criao da linguagem da msica. Ao ouvir

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2Bach estamos ouvindo complexos arranjos logartmicos, mas os sons suscitam a elevao do esprito e sentimentos.

Trama inventivaPonto de contato, conexo, enlaado em Os olhos da Arte com um outro territrio provocando novas zonas de contgio e reflexo. Abertura para atravessar e ultrapassar saberes: olhar transdisciplinar. A arte se pe a dialogar, a fazer contato, a contaminar temticas, fatos e contedos. Nessa interseco, arte e outros saberes se alimentam mutuamente, ora se com-plementando, ora se tensionando, ora acrescentando, uns aos outros, novas significaes. A arte, ao abordar e abraar, com imagens visionrias, questes to diversas como a ecologia, a poltica, a cincia, a tecnologia, a geometria, a mdia, o incons-ciente coletivo, a sexualidade, as relaes sociais, a tica, entre tantas outras, permite que na cartografia proposta se desloque o documentrio para o territrio das Conexes Transdisciplinares. Que sejam estas ento: livres, inmeras e arriscadas.

O passeio da cmeraO documentrio se divide em dois blocos. No primeiro, depois de questes iniciais provocadoras, so mostrados diferentes tipos de msica, orquestras e solistas, ritmos como rap, blues, jazz, a percusso nos sons dos tambores africanos, negras culturas no ritmo da mistura afro-brasileira. A matria-prima o som destrinchado em explicaes visuais. Maneiras diversas de fazer msica so apresentadas: Alberto Marsicano nos apresenta a msica indiana e seu ritmo que faz contraponto percusso de Caito Marcondes e Vitor da Trindade.

A msica espiritual de Johann Sebastian Bach abre a segunda parte do documentrio. A escala temperada de Bach marca histria e vira regra a ser ensinada nas futuras geraes. Esse msico visto como grande pesquisador, assim como Pitgoras que, tempos antes, j havia criado a escala musical visualizada como uma espi-ral, enquanto a escala temperada cria uma geometria musical em

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forma de crculo. A explicao a partir dos logaritmos de John Napier contribui para compreender a msica de Bach. Dedilhar Bach como dedilhar sobre logaritmos.

Inmeras so as possibilidades de construo de conceitos a partir deste documentrio. Alm do territrio das Conexes Transdisciplinares, o som como matria da linguagem musical nos leva para o territrio da Materialidade focalizando tambm as ferramentas e os procedimentos especficos dessa linguagem, retomada ainda nos territrios de Forma-Contedo, Saberes Estticos e Culturais e Linguagens Artsticas.

Os olhos da ArteA msica uma harmonia agradvel pela honra de Deus e os deleites permissveis da alma.

(Johann Sebastian Bach)

Sentimentos sagrados, profanos, reaes emotivas, equaes matemticas, pensamento lgico aliado ao fazer esttico, bele-zas construdas nas investigaes de matemticos e msicos, materializados no som que se comprime e se rarefaz no ritmo da imaginao humana. Pautado pelos contextos culturais, o som se faz linguagem.

na materialidade dos instrumentos musicais, da voz humana ou mesmo no batucar dos dedos que a linguagem da msica vai encontrando sonoridades, modos de execuo e de registro. No sitar, tocado por Alberto Marsicano, o som ganha uma sonoridade especial. Esse instrumento, criado no sculo XIII, smbolo da msica da ndia e nos provoca pensar: como foram inventados os instrumentos? O que nos dizem com suas sonoridades?

Para Vitor da Trindade, o tambor um convite para outras per-cepes. Cada instrumento tem sua prpria caracterstica, seu prprio timbre que o distingue dos demais, como uma voz se distingue de outras. Para Schafer (1991, p. 75), o timbre a cor do som estrutura os harmnicos. Se um trompete, uma clarineta e um violino tocarem a mesma nota, o timbre que diferencia o som de cada um. E a busca desses timbres fez

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4Ravi Varma - Saraswati pintura

Phintias - Lio de msica, c.550-500 aC. pintura em vaso, 47 cmStaatliche Antikensammlungen, Munique/Alemanha

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nascer os instrumentos, que se modificam pela inventividade humana e pelas transformaes tecnolgicas.

Johann Sebastian Bach reinventou o cravo, instigado pela fsica de seu tempo. Foi uma transformao tecnolgica, pois antes, era co-mum usar o cravo afinado no temperamento (equilbrio) desigual: as distncias sonoras das notas no eram iguais. Com Bach as notas da escala musical receberam um temperamento diferenciado:

O sistema de temperamento igual ou afinao temperada que j vinha sendo postulado pelos tericos da msica desde o sculo XVI, foi popularizado por Bach em sua obra O cravo bem temperado (1722-1744), na qual ele experimenta as tonalidades maiores e menores em afinao temperada em 24 peas denominadas Preldios e Fugas. Foi uma obra composta para estudantes de instrumentos de teclado de temperamento igual, e que se tornou pea de estudos bsica para alunos de nvel intermedirio de instrumentos mais modernos, como o piano e o vibrafone. (So Paulo, 2009, v.3, p. 18-19)

Avanos na tecnologia da construo de instrumentos musicais e a busca inquieta dos msicos geram novos instrumentos ou recursos outros. H muitas possibilidades de classificar os instrumentos. A mais tradicional dividi-los em instrumentos de cordas, de sopro e de percusso. Podemos classificar tam-bm pelo modo de se tocar o instrumento: friccionando (cuca, violoncello...), percutindo (piano, carrilho, pandeiro...), pinan-do (violo, cravo...). Podemos distinguir os acsticos (piano, atabaque, xilofone, harpa etc.); os eltricos (rgos eltricos, violinos eltricos etc.) e os eletroeletrnicos (sintetizadores e samplers, equipamentos que guardam sons em uma memria digital para posterior reproduo).

No monocrdio, um instrumento de uma nota s, Pitgoras criou uma escala musical, dividindo a corda do monocrdio mais ou menos assim: primeiro d corda inteira, segundo d da corda. Quando se dividia a corda ao meio encontrava-se um som igual, porm com um tom acima, e quando tocados simultaneamente os dois sons entravam em harmonia, isto , combinavam. Assim, percebeu intervalos entre as notas como relao de frequncias e chamou de oitava a nota que d um novo ciclo de notas em sequncia como em uma espiral, bem explicada no documentrio. As notas foram separadas em sete

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6sons d, r, mi, f, sol, l, si em uma relao aritmtica entre tamanho da corda e sons produzidos. Pitgoras acreditava que cada um dos planetas e estrelas fazia msica quando se movia nos cu a msica das esferas. Uma ordem perfeita reinava no universo e elas deviam soar do mesmo modo que a vibrao da corda produzia harmnicos perfeitos.

Como disse o velho mestre hindu, entretanto, a msica como gua a correr por infinitos fluxos, permitindo infinitas divises. Na China e no Japo a base musical tem cinco notas, mesma base do blues norte-americano, mas no mundo rabe so 136 possi-bilidades de dividir os sons. Na concepo dos sons tocados em tambores ritmados nas festas profanas e religiosas, encontramos complexas combinaes de batidas que cadenciam em consonn-cia com a natureza e nos convidam a outros estados da alma.

Bach mudou a forma de diviso da escala musical em 12 partes, para compor sons agradveis ao ouvido e alma com sua escala temperada, pois a afinao pitagrica parecia inadequada para os instrumentos que iam sendo criados, com mais alcance, com mais sons agudos e graves. Em suas pesquisas provvel que Bach tenha encontrado a teoria dos logaritmos de Napier, que tinha proposto em 1614 uma forma de clculo que agradou muito as contas do comrcio, da navegao e da astronomia. Sua proposio de potenciao usada para multiplicar um nmero base tantas vezes quantas for o expoente foi alm dos clculos cotidianos. Essa maneira de fazer matemtica seria imortalizada na linguagem da msica, na beleza das possibilidades descritas em clculos temperados na escala musical de Bach. A afinao temperada consistia em dividir a distncia entre os dois ds em 12 intervalos sonoros iguais e no em fraes simples. Nessa diviso, passa-se de uma nota para a nota aguda seguinte mul-tiplicando a frequncia da primeira por 2 1/12.

Como afirma Luiz Barco no documentrio, dedilhar Bach dedilhar sobre logaritmos!. E nossos ouvidos podem apreciar a msica de muitos e diversos modos. Esse o convite!

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O passeio dos olhos do professorConvidamos voc para a viagem no universo da matemtica e da msica. Mas para uma boa viagem acontecer importante pensar sobre os melhores caminhos a trilhar. Anotar suas impresses no momento em que assiste ao documentrio fundamental. Voc pode pensar em uma pauta do olhar para apoiar/provocar/ levantar questes. Algumas possibilidades so aqui apresentadas:

Quais instrumentos musicais presentes no documentrio voc conhece?

Quais tipos de msica so os seus preferidos?

O que provoca estranhamento em voc? E o que causaria em seus alunos?

O que exigido de voc para pensar o som como uma relao matemtica?

Como o contexto cultural interfere na produo e audio da linguagem musical?

Em quais aspectos as duas disciplinas Arte e Matemtica parecem dialogar neste documentrio?

Voc sente necessidade de pesquisar sobre algum assunto para melhor compreender ou aprofundar contedos que o documentrio suscita?

Para voc, quais focos de trabalho podem ser desencadeados partindo dos assuntos abordados no documentrio?

Suas anotaes, durante ou aps a exibio, podem revelar modos singulares de analisar o documentrio que marquem o incio de seu dirio de bordo como um instrumento para o seu pensar pedaggico para melhor utilizao deste documentrio, tanto na formao de educadores como com alunos a partir do 9 ano do Ensino Fundamental e Ensino Mdio.

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8 Percursos com desafios estticos

O passeio dos olhos dos alunosAlgumas possibilidades para provocar a entrada no documentrio:

Como uma forma de instigar a percepo dos alunos pro-ponha que eles se lembrem das produes musicais que conhecem ou tragam para a sala de aula seus CD para compartilhar com a turma suas msicas preferidas, artistas e estilos. Uma primeira cartografia pode ser feita a partir desse levantamento, que pode abordar tambm os instrumentos musicais presentes, os gneros e ritmos. Eles imaginam que h matemtica na msica? A partir dessa discusso, apresente o documentrio, todo ou em partes.

Na primeira parte do documentrio Msica das esferas, h uma srie de imagens e sonoridades que mostram musicas de vrios tempos e estilos. Voc pode iniciar a projeo jus-tamente por esse trecho. O que percebem? Volte a projetar o mesmo trecho para melhor percepo: O que reconhe-cem? Quais tipos de instrumentos sonoros aparecem? De que poca so? O importante educar o ouvido, aguar a percepo para o universo da msica de maneira prazerosa e significativa, levantando questes para a exibio do do-cumentrio completo. Ou voc daria continuidade a partir de outro trecho determinado?

Seus alunos tm instrumentos musicais em casa? Sabem toc-los? Se houver possibilidade, pea para que tragam, se apresentem e sejam entrevistados pelos demais alunos. Voc tambm pode trazer instrumentos de percusso, de cordas ou sopro. Ou diferenciar pelo modo como so usados, por exemplo, cordas batidas (piano), cordas beliscadas (violo), percusso com as mos (pandeiro), com baquetas (bateria). Ou ainda trazer imagens, tanto de instrumentos tradicionais como tambm exploraes sonoras feitos por msicos como Hermeto Pascoal, grupo Uakti ou Walter Smetak. Para seus alunos, os msicos apenas aprendem a tocar os

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instrumentos ou so tambm pesquisadores? O que sabem da escala musical? Neste momento da conversa voc pode exibir o documentrio com os clculos e divises de escalas musicais criadas por Pitgoras e Bach.

Ampliando o olhar Vamos construir um monocrdio? Para faz-lo vamos precisar

de uma caixa de madeira, sobre a qual esticado um fio, que ser tangido para provocar tenso quando for tocado o instru-mento. Na confeco podemos usar uma caixa de madeira de 75 cm 15 cm 10 cm, feita com tbuas de madeira macia com 1,5 cm de espessura. Nas extremidades da caixa no lado interno use blocos de madeira para reforar e ter apoio para a fico dos eixos que vo prender o fio, a corda sonora: uma corda de violo ou guitarra vendida em lojas especializadas ou fio de ao. Os eixos para fixao da corda podem ser feitos com pequenas barras ou parafusos de ao para que a corda fique bem esticada para criar uma tenso. Para fazer as divi-ses das notas e fracionar os sons podemos usar uma pea de acrlico ou metal que seja maior que a altura dos eixos para criar tenso na corda e produzir sons (a pea colocada entre a base de madeira e o fio). Lembramos que Pitgoras criou uma escala musical dividindo a corda do monocrdio mais ou menos assim: primeiro d corda inteira, segundo d da corda. Usando outras fraes (3/4, 3/5 etc.) foram criadas as notas que chamamos r, mi, f etc.

Bach criou a afinao temperada que consistia em dividir a distncia entre os dois ds em 12 intervalos sonoros iguais e no em fraes simples. Nessa diviso, passa-se de uma nota para a nota aguda seguinte multiplicando a frequncia da primeira por 2 1/12; desse modo, temos: d(1), d# - l-se o smbolo como sustenido (21/12), r ( 22/12), r# (23/12), mi (24/12), f (25/12), f# (26/12), sol (27/12), sol# (28/12), l (29/12), l# (210/12), si (211/12), d em escala acima (2). O d considerado com frequncia 1 (frequncia o nmero de oscilaes por segundo). Assim sendo, o sustenido teria a frequncia da

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elementos da linguagem musical

matemtica, logartmo

arte, cinciae tecnologia

sociologia da arte

msica

qual FOCO? qual CONTEDO? o que PESQUISAR?

Zarpando

SaberesEstticos eCulturais

histria da arte

ConexesTransdisciplinares

arte e cinciashumanas

procedimentos

Materialidade

Forma - Contedo

procedimentos tradicionais, procedimentos tcnicosinventivos

Linguagens Artsticas

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cultura oriental, cultura ocidental, histria, religio

ferramentas

instrumentos musicais, computador

natureza da matria

som, matrias no convencionais

msica oriental, msica ocidental, msica religiosa, percusso

som, escala musical, escala pitagrica, escala temperada, ritmo,

parmetros do som,

timbre,

altura, durao e intensidade

arte afro-brasileira, arte oriental

cdigos de representao, linguagem, sistema simblico, signos da cultura

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nota anterior multiplicada por 1/12, o r teria a frequncia do d multiplicada 2 2/12 etc. De um som d para o seguinte, mais agudo, dizemos que h uma oitava de diferena (porque de um d ao seguinte h oito notas brancas no piano) essas duas notas tm mesmo som, reconhecemos isso, mas uma mais grave que a outra; isso se deve ao nmero de vibraes da corda que produz a nota. Isso leva a uma afinao dos instrumentos ligeiramente diferentes da afinao pitagrica. Talvez essas relaes sejam complicadas, mas trs ideias so interessantes: uma afinao por meio de fraes, uma afinao logartmica levando a pesquisar sobre logaritmo, e uma explorao sonora.

Uma espcie de curadoria musical pode ser feita com a se-leo de trechos de msicas para um jogo sonoro. Primeiro podemos colocar as msicas, gravadas em um CD, para que todos possam ouvir. Proponha o desafio: que gneros musicais eles distinguem? Samba, chorinho, bossa nova, rock, msica erudita de vrias pocas, rap, forr, cantigas folclricas etc. podem fazer parte dessa curadoria sonora. Voc pode tambm variar esse jogo perguntando sobre quais os instrumentos que eles percebem. Ao ouvir, por exemplo, um trecho de msica como o forr, percebemos um destaque para alguns instrumentos como o tringulo; no rock pode haver solos de bateria ou guitarra, entre outras possibilidades. Esse jogo pode ser ampliado voltando exi-bio do documentrio, reconhecendo os instrumentos que ali so apresentados e pesquisando sobre ritmos de musicas e confeco de instrumentos a partir de vrios materiais, motivando os alunos a produzirem msica.

Propor parcerias com outros educadores um timo jeito de fazer crescer um projeto de ao educativa entre arte e cincias. Busque parcerias que estejam atentas s interlocu-es entre saberes, que valorizem a integrao sem perder a complexidade do conhecimento de cada rea. Estudos e experincias sobre o som e como se propaga pelo ar so importantes. As vibraes produzem oscilaes de presso

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no ar em volta que se propagam afastando-se sempre do ponto de origem, tal como acontece em um lago quando jogamos uma pedra. Nosso ouvido capta as ondas sonoras que vibram ao chegarem ao tmpano, produzindo impulsos nervosos e interpretaes sobre o tipo de sons. Estudar esses aspectos abre espao para projetos que envolvam toda a escola nas diferentes reas dos saberes.

Uma forma de fazer experincias com sons criar instru-mentos de sopro com garrafas com gua, para perceber como os sons se relacionam em ondas que se propagam no ar com influncia de lquidos. Para experimentar fazer msica com materiais que esto em nosso cotidiano, pea aos alunos para trazer cinco garrafas de vidro do mesmo tamanho. Encha a primeira garrafa com gua quase at a boca, a segunda com trs quartos de gua, a terceira pela metade, a quarta com um quarto de gua, e deixe a quinta vazia. Para enxergar melhor os nveis de gua, voc pode colorir a gua com algumas gotas de tinta ou anilina. Proponha que os alunos experimentem soprar por cima de cada garrafa. Sons diferentes podem surgir, com mais gua o som mais grave e a garrafa sem gua produz um som mais agudo. Faa vrias experincias com os alunos e pesquise sobre aparelhos que medem o som, hoje h vrios programas de computador que apresentam esses resultados. Uma dica a pesquisa feita em escolas com alunos do Ensino Mdio, disponvel em: .

Experimentos sonoros com um xilofone podem ser feitos tambm com garrafas de vidro, utilizando dessa vez sete garrafas: uma para cada nota musical. Nveis de gua dife-rentes em cada garrafa vo produzir sons distintos. Depois pendure em um cabo de vassoura com barbantes. Com um basto de madeiras as garrafas viram notas musicais. O som de cada nota vai depender do tipo (tamanho) da garrafa e da quantidade de gua. O que os alunos inventam?

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Conhecendo pela pesquisa Quais materiais podem se transformar em instrumentos? O

povo de Trinidad, ilha do Caribe, transformou lixo da poca da Segunda Guerra Mundial: tambores de ao usados para leo de navios deixados na ilha pelos soldados norte-americanos. O povo percebeu que esse material produzia um som diferente. Assim criaram os Pans, que marcam uma forma de msica que faz parte do patrimnio cultural do povo de Trinidad. Uma pesquisa pode ser desenvolvida sobre a msica nas diversas culturas e seus instrumentos feitos de materiais do cotidiano ou instrumentos tradicionais. Essas pesquisas podem lev-los a descobrir msicos que exploram e inventam instrumentos, como Hermeto Pascoal, grupo Uakti ou Walter Smetak, ou que tiram som do prprio corpo, como o grupo Barbatuques.

O que os alunos conhecem da notao musical? So muitos os smbolos das partituras convencionais que podem ser apresentados aos alunos, se voc, professor, tem formao na rea ou h algum aluno que tenha. Msicos contem-porneos tambm tm criado partituras inusitadas que se utilizam de recursos visuais, palavras etc. Vale pesquisar a obra Patria de Murray Schafer, disponvel em: e a esfera Acronon de Koellreutter que permite infinitas possibilidades de leituras, disponvel em: , entre outros.

O que os alunos gostam de ouvir? O que sabem sobre essas linguagens musicais? Sabem que, por exemplo, a palavra rap tem origem nas palavras em ingls: rhythm and poetry ritmo e poesia, que por suas iniciais formam a palavra rap? Sua prin-cipal caracterstica o discurso rtmico com rimas, nasceu na Jamaica na dcada de 1960 e um dos elementos da msica e cultura hip hop entre outras particularidades desse estilo que os alunos podem descobrir. Assim como o rap, o rock norte-americano, a electrohouse (eletrnica/techno/dance), o forr universitrio ou o rock brasileiro tem sua histria e

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esto ligados a contextos culturais que influenciam a vida e comportamento dos jovens. Uma pesquisa a partir da realidade dos estudantes pode ser instigante.

Na primeira parte do documentrio Msica das esferas, h uma explicao de como o som se propaga pelo ar no pro-cesso de compresso e rarefao. Em uma parceria com a disciplina de fsica, o que pode ser pesquisado sobre o som e suas propriedades, timbre, altura, intensidade, durao entre outras possibilidades?

Vamos calcular as notas de Bach pela teoria de Napier? Por exemplo: A nota mi tem valor na escala de Bach de 24/12..

Desenvolva essa operao usando os logaritmos de Napier e encontre o valor. Voc pode usar uma tabela de logaritmos de base 2 ou uma calculadora cientifica. Na calculadora para encontrar o valor de 24/12, digite a sequncia: 2 yx (412)= x. Quanto fizer isso ir obter o valor x= 1.25999105, dessa forma voc descobrir o valor da altura do som da nota mi. Proponha que os alunos pesquisem o valor das outras notas. Busque parcerias com o professor de Matemtica. Voc pode conhecer mais sobre a tabela logartmica no site: . Com um programa de computadores tambm se podem fazer clcu-los para saber o valor da altura das outras notas da escala temperada de Bach. Imagine que no tempo de Napier esses clculos eram feitos na ponta do lpis, mas agora h muitos recursos. A planilha Excel (Office) apresenta vrias possibili-dades: h uma opo no cone frmulas, opo matemtica, trigonometria. Nesse momento escolha a sigla LN (Logaritmo Neperiano ou natural de um nmero). Essa ao abre uma janela de digitao onde voc pode escrever a sentena matemtica: 2^(4/12). Assim voc obter o mesmo valor da calculadora da nota mi. Brinque com esse recurso e descubra o valor das outras notas da escala de Bach; as referncias so: d(1), d#(21/12), r(22/12), r#(23/12), mi(24/12), f(25/12), f#(26/12),

sol(27/12), sol#(28/12), l(29/12), l#(210/12), si(211/12), d em escala acima (2). O smbolo # lido como sustenido.

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Pesquise se prximo escola ou entre a comunidade (pais ou familiares dos alunos) h msicos para convid-lo para uma conversa com a turma. Essa proposta, alm de ampliar saberes, pode valorizar a cultura local e aproximar comuni-dade e escola.

Desvelando a potica pessoalUm espao para que os alunos se sintam motivados a criar e a descobrir sua potica pessoal a partir das conexes impul-sionadas pelo documentrio um desafio tambm para ns, professores. Uma das possibilidades construir o monocrdio de Pitgoras j explicado em Ampliando o Olhar, que permite a anlise de sons emitidos para o estudo da materialidade do som e construo de conceitos na msica e na cincia. Que sonoridades os alunos podem inventar?

Outra proposio procurar saber se entre os alunos h grupos de msica, como bandas de garagem, grupos de hip hop, gru-pos de coral, entre outros. A partir dos interesses dos jovens, voc, professor, pode propor a organizao de apresentaes ou mesmo um festival de msica.

Poticas pessoais, modos singulares de criao podem gerar boas produes, envolvendo arte e matemtica. Fotos que registrem percursos, CD com msicas gravadas, depoimentos dos alunos e anotaes podem compor um portflio que conte a histria do projeto.

Amarraes de sentidos: portflioO universo da msica oferece muitas descobertas e para dar sentido ao que se estudou importante que os alunos se apro-priem dos conceitos construdos. Uma ideia construir uma enciclopdia virtual de msica, ou mesmo criar um blog para deixar disponveis as informaes colhidas durante o projeto e tambm espao aberto para que outros jovens de diferentes partes do mundo possam tambm se manifestar sobre o universo

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da msica, alm de novos links e fruns de discusso sobre a msica, direito autorais e pirataria da produo artstica musical. Como essas questes afetam a vida dos jovens hoje? Quais as diferentes opinies a respeito do assunto?

Um portflio pode ser tambm criado por meio eletrnico, grava-do em CD com msicas que fizeram parte do projeto, pequenos filmes que mostram a interao dos alunos nas experincias e apresentaes musicais, alm de depoimentos e relatos de alunos, professores e membros da comunidade envolvidos.

Valorizando a processualidadeNa anlise do portflio e na leitura das aes realizadas, o que conseguimos aprofundar com os nossos alunos? Algo mudou em relao ao seu gosto musical? E sobre a histria da msica? E sobre a msica e suas relaes com as cincias? Os alunos se envolveram no projeto realizado? As discusses sobre m-sica e mdias de comunicao de massa tornam os alunos mais crticos em relao ao consumo de produes musicais? A fala dos alunos sobre o que mais gostaram e o que menos gostaram sobre o que foi mais importante, sobre as dificuldades e sobre o que faltou no desenrolar do trabalho um valioso instrumen-to de avaliao. importante, tambm, perceber e valorizar o percurso trilhado composto pelas diversas aes concretizadas que se transformam em dados para avaliar e perceber que outros caminhos poderiam ser traados e o que poderia ser apresen-tado para outras turmas, o que nos faz refletir, juntamente com o dirio de bordo, em nosso prprio aprendizado.

Personalidades abordadasAlberto Marsicano (So Paulo/SP, 1962) Msico, filsofo e pesquisador dos ritmos hindus. autor de vrios livros e tradues de escritos musicais de peas clssicas indianas. Introduziu o instrumento indiano sitar no Brasil. Faz shows por todo o Brasil e no exterior.

Caito Marcondes (Rio de Janeiro/RJ, 1954) Msico percussionista. Cria e explora muitos instrumentos com materiais inusitados. Faz uma msica de

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atmosfera mgica, fruto de profunda pesquisa rtmica de vrias culturas. considerando pela critica brasileira um dos maiores msicos percussionista do Brasil.

Johann Sebastian Bach (Alemanha, 1685-1750) Organista e compositor alemo luterano do perodo barroco. Considerado por muitos o maior com-positor da histria da msica. Muitas de suas obras refletem uma grande profundidade intelectual, uma expresso emocional profunda e, sobretudo, um grande domnio tcnico. Pesquisador, props a escala temperada com notaes matemticas descritas em logaritmos.

John Napier (Esccia, 1550-1617) Matemtico, astrlogo e telogo. Foi responsvel por enorme avano para a matemtica pela formulao do conceito de logaritmo como um artifcio capaz de facilitar os clculos. Seus clculos modificaram a maneira de fazer contas na matemtica financeira, alm dos avanos nas navegaes e clculos em astronomia.

Pitgoras de Samos (Grcia, c.570 a.C. - c.496 a.C.) Filsofo, matemtico, msico. Sustentava que o cosmos regido por relaes matemticas. Na msica deixou experimentos que influenciaram a msica ocidental, como a Escala Pitagrica; na geometria, o Teorema de Pitgoras; na astronomia, estudos sobre a ordem no universo a partir da observao das estrelas, rotao da Terra e ciclo das estaes do ano. Foi fundador da Escola Pitagrica, que tem por essncia o princpio de que todas as coisas so compostas por nmeros, configuradas em relaes matemticas combinadas que demonstram harmonias, essncias, belezas.

Vitor da Trindade (Rio de Janeiro/RJ, 1957) Compositor, percussionista e violonista popular. Ensina ritmos e danas tradicionais afro-brasileiras, tendo vivido na Alemanha e ministrado cursos no exterior. Comps para peas de teatro e para o bal As Yabs.

Vivaldi (Itlia, 1678 - ustria, 1741) Compositor de msica barroca. Nas-cido Antonio Lucio Vivaldi, autor de mais de quinhentos concertos (210 dos quais para violino ou violoncelo solo), peras, sinfonias, 73 sonatas, msica de cmara e msica sacra. As quatro estaes - Opus 8 sua obra mais conhecida. Ele rompeu com a estrutura da poca, fugiu das formas acadmicas e adicionando contrastes harmnicos e meldicos.

GlossrioLogaritmo Como instrumento de clculo, surgiram para realizar simplifica-es, uma vez que transformam multiplicaes e divises nas operaes mais simples de soma e subtrao. um estudo da matemtica que depende do conhecimento sobre potenciao e suas propriedades. Para encontrarmos o valor numrico de um logaritmo preciso desenvolver uma potncia ou toda potncia pode ser transformada em um logaritmo. Fonte: Disponvel

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material educativo para o professor-propositor

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MSICA DAS ESFERAS

em: . Acesso em: ago. 2009.

Msica das esferas Pitgoras descobriu a relao matemtica entre som e harmonia, mostrando que os sons que chamamos de harmnicos, prazerosos, obedecem a uma relao matemtica simples. Ele as lanou para as esferas celestes, onde, segundo a lenda, apenas o mestre podia ouvir a msica das esferas. Fonte: JACQUEMARD, Simonne. Pitgoras e a harmonia das esferas. Rio de Janeiro: Difel, 2007.

Parmetros do som Elementos constitutivos de qualquer som. Embora haja msicos que trabalhem com mais outros, so considerados quatro os parmetros: Altura indica agudos e graves. Popularmente grosso e fino. Alguns instrumentos musicais so reconhecidamente instrumentos que tocam sons graves: contrabaixo, tuba, tmpano; outros so reconheci-damente agudos: tringulo, flauta piccolo, ocarina. Durao tempo que o som existe no espao, longos e curtos. Pela sua alternncia se constri ritmos. Intensidade determina som forte e fraco. Timbre identidade do som, por exemplo sabemos se uma colher que caiu no cho de metal ou plstico pelo seu timbre. Fonte: SO PAULO (Estado) Secretaria de Educao. Caderno do professor: arte, ensino fundamental - 6 srie. So Paulo: SEE, 2009. v. 3.

Rarefao e compresso do som O som uma forma de energia observada pelo aumento ou reduo peridica da densidade do ar, ou seja, compresso e rarefao. O movimento de vaivm do diafragma produz a onda sonora, que consiste numa compresso seguida de uma rarefao. A distncia entre duas compresses sucessivas ou duas rarefaes sucessivas o comprimento de onda Sonora. O som pode apresentar variaes. Essas variaes so dadas pela mudana de frequncia, timbre ou intensidade. Um som grave produzido por uma frequncia baixa de ciclos, algo em torno de 20 ou 30 Hertz. Os sons agudos so gerados por frequncias muito altas at o limite da faixa audvel de 20 kHz. Fonte: MATRAS, Jean-Jacques. O som. So Paulo: Martins Fontes, 1991.

BibliografiaABDOUNUR, Oscar Joo. Matemtica e msica: o pensamento analgico na construo de significados. So Paulo: Escrituras, 2006.

CAND, Roland de. Histria universal da msica. 2.ed. So Paulo: Martins Fontes, 2001. v.1.

FELIZ, Jlio. Instrumentos sonoros alternativos: manual de construo e sugestes de utilizao. Campo Grande: Oeste, 2002.

JACQUEMARD, Simonne. Pitgoras e a harmonia das esferas. Rio de Janeiro: Difel, 2007.

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MATRAS, Jean-Jacques. O som. So Paulo: Martins Fontes, 1991.

OXLADE, Chris. Cincia e mgica com som. So Paulo: Nobel, 1995. p. 20-21.

RIBEIRO, Artur Andrs. Uakti: um estudo sobre a construo de novos instrumentos musicais acsticos. Belo Horizonte: C/ Arte, 2004.

SO PAULO (Estado) Secretaria de Educao. Caderno do professor: arte, ensino fundamental - 6 srie. So Paulo: SEE, 2009. v. 3.

SCHAFER, Murray. O ouvido pensante. So Paulo: Ed. da Unesp, 1991.

WISNIK, Jos Miguel. O som e o sentido: uma outra histria das msicas. So Paulo: Crculo do Livro: Companhia das Letras, 1989.

Webgrafiaos sites a seguir foram acessados em 29 jun. 2009.

ALBERTO Marsicano. Disponvel em: .

ARTE & matemtica: 13 programas da srie (pesquisas, conceitos e entre-vistas). Disponvel em: .

BARBATUQUES. Disponvel em: .

CONSTRUO de instrumentos e a fsica na msica. Disponvel em: .

HISTRIA da msica. Disponvel em: .

______. Disponvel em: .

______. Disponvel em: .

A MATEMTICA da Msica (ou uma aplicao curiosa dos logaritmos). Disponvel em: .

MONOCRDIO. Disponvel em: .

TABELA de logaritmos. Disponvel em: .

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Mapa potencial

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