Matemàtiques -...

Matemàtiques

3

eSO

SOLUCIONARISOLUCIONARIO

Autors del Llibre de l’alumne

Carme Bartomeu i Calzada

Jordi Besora i Torradefl ot

Teresa Capella i Minguell

Àngela Jané i Sanahuja

Josep M. Guiteras i Piella

Autores del Quadern d’activitats

Núria Montserrat i Grau

Sònia Geli i Roig

BARCELONA • MADRID • BOGOTÀ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALAMÈXIC • NOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO

AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO

PROJECTE[2012]FLUVIÀ

Matemàtiques 3 • ESO • Solucionari

No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográ-ficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o esca nejar algun fragment d’aquesta obra.

Drets reservats © 2012, respecte a la tercera edició en català per:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid)

Editors del projecte: Dolors Velasco Ataz, Xavier Juez MirallesEditors: Teo Prat Camós, Francina Ciurans, Guillem PujadesTècnica editorial: Mercè Pérez RigauDisseny d’interiors: Meritxell Carceller BarralIl·lustracions: N. Film Ideal 2000, Eximpre slComposició: N. Film Ideal 2000

índex

3

Solucionari del Llibre de l’alumne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Unitat 1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Unitat 2. Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Unitat 3. Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Unitat 4. Movimen ts en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Unitat 5. Geometria en l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Unitat 6. Funcions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Unitat 7. Funcions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Unitat 8. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Unitat 9. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Unitat 10. La dispersió en estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Solucionari senzill del Llibre de l’alumne . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Unitat 1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Unitat 2. Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Unitat 3. Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Unitat 4. Moviments en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Unitat 5. Geometria en l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Unitat 6. Funcions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Unitat 7. Funcions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Unitat 8. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Unitat 9. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Unitat 10. La dispersió en estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Solucionari del Quadern d’activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Unitat 1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Unitat 2. Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Unitat 3. Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Unitat 4. Moviments en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Unitat 5. Geometria en l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Unitat 6. Funcions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Unitat 7. Funcions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Unitat 8. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Unitat 9. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Unitat 10. La dispersió en estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Solucionari del Llibre de l’alumne

4

MATeMÀTIQUeS 3LA

Unitat 1. nombres racionals

Coneixements previs

• Calcula: 3 ( 5) 12 35 : ( 7)⋅ − + − − .

3 ( 5) 12 35 : ( 7) 15 12 5 2⋅ − + − − = − + + =

• Quin és el resultat de: 4 3 11 147 2 28 33

+ − ⋅ .

⋅ ⋅+ − ⋅ = + − = + − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + − = =

4 3 11 14 4 3 11 2 7 4 3 1

7 2 28 33 7 2 2 2 7 3 11 7 2 624 63 7 80 40

42 42 42 42 21

• Expressa de forma decimal: 3 11 7

, ,4 2 10

.

3

0,754

= ; 11

5,52

= ; 7

0,710

=

• Escriu en forma de fracció: 3,5; 0,02; 1,25; 0,6.

35 73,5

10 2= = ;

2 10,02

100 50= = ;

125 51,25

100 4= = ;

6 30,6

10 5= =

• Calcula les potències: (–3)5, 53, 104, (–2)6, 72.

− = −5( 3) 243 ; 35 125= ; 410 10000= 10 000 ; − =6( 2) 64 ; 27 49=

• Calcula: 1 3 3

2 :2 4 8

+ − .

1 3 3 1 6 3 1 3 1 8 4

2 : 2 : 2 : 2 22 4 8 2 8 8 2 8 2 3 3

6 4 10

3 3 3

+ − = + − = + = + ⋅ = + = = + =

Activitats

Proposades

1. Troba la fracció irreductible equivalent a:

a) 11778

b) 240360

− c) 3672

−−

d) 143187−

e) 529253

a) 117 3

78 2= b)

240 2

360 3− = − c)

36 1

72 2

− =−

d) 143 13

187 17= −

− e)

529 23

253 11=

2. Troba el valor de x en cadascun dels parells de fraccions:

a) 13

7 42x=

− b)

6 35x

−=−

c) 7

8 4x− −= d)

3 98 x

− =−

a) 13 546

7 546 787 42 7

xx x= → − = → = = −

− −

b) − −= → − = − → = =− −

6 3 303 30 10

5 3x x

x

c) − − −= → − = − → = =

−7 56

4 56 148 4 4

xx x

d) − = → = → = =−

3 9 723 72 24

8 3x x

x

3. Expressa en forma de nombre decimal les fraccions següents. Digues de quin tipus de decimal es tracta en cada cas:

a) 7

27 b)

2524

− c) 235

d) 458

e) 589

− f) 3918

g) 27

−

h) 1710

a) =70,259

27 decimal periòdic pur.

b) − = −25

1,041624

decimal periòdic mixt.

c) =234,6

5 decimal exacte.

d) =455,625

8 decimal exacte.

e) − = −58

6,49

decimal periòdic pur.

f) =39

2,1618


g) − = −20,285714

7− = −2

0,2857147


h) =171,7

10 decimal exacte.

4. Troba la fracció generatriu dels nombres decimals següents:

a) 5,42 b) –0,235 c) 3,3

d) 1,032−

e) 2,15 f)

0,04

a) 542 271

5,42100 50

= =

b) 235 47

0,2351000 200

− = − = −

c) 3,3x =

10 33,3x =

30 109 30

9 3x x= → = =

10

3,33

=

d) 1,032x =

100 103,2x =

1 000 x1000 1032,2x =

929900 929

900x x= → =

9291,032

900− = −

e) 2,15x =

100 215,15x =

213 7199 213

99 33x x= → = =

712,15

33=

f) 0,04x =

10 0,4x =

100 4,4x =

4 290 4

90 45x x= → = =

20,04

45=

5. Comprova les igualtats numèriques següents:

a) 2,9 3=

b) 0, 49 0,5=

c) 0,9 1=

d) 1,239 1,24=

Què observes?

a) =

2,9x

=

10 29,9x

= → = =27

9 27 39

x x

=

2,9 3

b) =

0,49x

=

10 4,9x

100 x = 49,=

100 44,9x

= → = = =45 1

90 45 0,590 2

x x

=

0,49 0,5

c) =

0,9x

=

10 9,9x

= → =9 9 1x x

=

0,9 1

d) =

1,239x

=

100 123,9x

=

1 000 1 239,9x

= → = = =1 116 31

900 1 116 1,24900 25

x x

=

1,239 1,24

Qualsevol nombre enter es pot expressar com un nom-bre decimal periòdic pur de període 9, i qualsevol nombre decimal exacte es pot expressar com un nom-bre decimal periòdic mixt, també de període 9.

6. Les fraccions ab

i a cb c

⋅⋅

, on b ≠ 0 i c ≠ 0 representen el

mateix nombre racional? Per què?

Sí, perquè si simplifiquem la fracció a c

b c

⋅⋅

, per c ≠ 0, s’obté

la fracció a

b.

7. Amb els nombres racionals 56

, 73

− i 34

comprova la

propietat associativa de la suma.

Hem de comprovar que es verifica la igualtat:

+ − + = + − +

5 7 3 5 7 3

6 3 4 6 3 4

Efectivament:

+ − + = − + = − + = − + = = − + = − + = −

5 7 3 5 7 3 5 14 3 9 3

6 3 4 6 3 4 6 6 4 6 43 3 6 3 3

2 4 4 4 4

+ − + = + − + = + − = − = = − = −

5 7 3 5 28 9 5 19 10 19

6 3 4 6 12 12 6 12 12 129 3

12 4

8. Calcula:

a) 5 43 5

+ − b) 3 1

32 3

− − − + c) 5 3 2

6 4 3 − − − −

d) 2,7 3,6 0,27+ −

a) 5 4 5 4 25 12 13

3 5 3 5 15 25 25 + − = − = − =

b) 3 1 3 1 18 9 2 11

3 32 3 2 3 6 6 6 6

− − − + = − + − = − + − = −

c) 5 3 2 5 3 2 10 9 8 7

6 4 3 6 4 3 12 12 12 12 − − − − = − + + = − + + =

d) + − = + − = + − =

= = =

27 11 5 486 660 502,7 3,6 0,27

10 3 18 180 180 1801 096 274

6,08180 45

9. Determina en cada cas la fracció q en les igualtats:

a) 2 13 2

q+ = b) − = −3 15 2

q c) − + =3 37 2

q

d) 1 12 3

q − − = −

MATeMÀTIQUeS 3

5

LA

6

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) + = → = − = − = −2 1 1 2 3 4 1

3 2 2 3 6 6 6q q

b) − = − → = − + = − + =3 1 1 3 5 6 1

5 2 2 5 10 10 10q q

c) − + = → = + = + =3 3 3 3 21 6 27

7 2 2 7 14 14 14q q

d) − − = − → = − − = − − = − 1 1 1 1 2 3 5

2 3 3 2 6 6 6q q

10. Escriu l’invers dels nombres racionals:

a) 35

− b) 74

c) 1

12−

d) 49−

e) 911

− −

a) − 5

3 b)

4

7 c) −12 d) − 9

4 e)

11

9

11. Calcula els productes:

a) 3 147 15

⋅ − b) 11 39

13 44 − ⋅ −

c) 6 4 155 9 8

⋅ ⋅ −

d) 20 21 2 127 10 7 4

⋅ − ⋅ ⋅ −

a) ⋅ ⋅ − = − = − ⋅

3 14 3 14 2

7 15 7 15 5

b) ⋅ − ⋅ − = = ⋅

11 39 11 39 3

13 44 13 44 4

c) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = − ⋅ ⋅

6 4 15 6 4 151

5 9 8 5 9 8

d) ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = = ⋅ ⋅ ⋅

20 21 2 1 20 21 2 1

27 10 7 4 27 10 7 4 9

12. Calcula de dues maneres diferents:

a) 2 1 59 3 2

− ⋅ b) 3 1 3

5 4 8 − ⋅ − +

a) Fent les operacions indicades:

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − = − ⋅ 2 1 5 2 3 5 1 5 5 5

9 3 2 9 9 2 9 2 9 2 18

Aplicant la propietat distributiva:

− ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − = − 2 1 5 2 5 1 5 5 5 10 15 5

9 3 2 9 2 3 2 9 6 18 18 18

b) Fent les operacions indicades:

− ⋅ − + = − ⋅ − + = − ⋅ = − 3 1 3 3 2 3 3 1 3

5 4 8 5 8 8 5 8 40


− ⋅ − + = − ⋅ − + − ⋅ = − =

= − = −

3 1 3 3 1 3 3 3 9

5 4 8 5 4 5 8 20 406 9 3

40 40 40

13. Calcula:

a) 5 20:

3 9− b) 0,3 : (1,6 2,5)+

c) 2 1 6

:3 2 7

− −

a) ⋅− = − ⋅ = − = −⋅

5 20 5 9 5 9 3:

3 9 3 20 3 20 4

b) + = + = + = = = ⋅ = = =

⋅

1 5 5 1 10 150,3 : (1,6 2,5) : :

3 3 2 3 6 61 25 1 6 6 2

: 0,083 6 3 25 3 25 25

c) − − = − − = − = − ⋅ =

⋅= − = −⋅

2 1 6 4 3 6 7 6 7 7: : :

3 2 7 6 6 7 6 7 6 67 7 49

6 6 36

14. Efectua les operacions combinades següents:

a) 1 8 17 : 2

2 5 4 − + ⋅

b) 0,5 0,75 : 0,25 0,61 0,25

+ −−

c)

24

522

55

−+

− d)

72

2 638

− +−

e)

11

41

18

−

− f)

11

11

211

14

++

++

g)

1 1 3 52 2 :

3 2 4 82 3 13 5 3

+ ⋅ − +

⋅ −

a) − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ = 1 8 1 1 4 1 73 1 73

7 : 2 72 5 4 2 5 4 10 4 40

b) + − + −+ − = = =

− −

= = =

1 3 1 2 1 2: 30,5 0,75 : 0,25 0,6 2 4 4 3 2 3

1 31 0,25 14 4

17 3 34: 3,7

6 4 9

c) − + = + − − = + = −

24 18 23 18 6452 2 : 2

2 5 5 23 2355

d) − +

− = − = − = −

72 3 32 6 : 6 4 6 2

3 2 88

MATeMÀTIQUeS 3

7

LA

e) − = − = − −

11 3 7 64 :1 4 8 718

f) + = + = + = + =+ + +

++

1 1 1 5 161 1 1 1

1 3 5 6 11 111 1 : 12 2 4 511

14

g)

+ ⋅ − + + ⋅ + + + = = = =⋅ − −

1 1 3 5 1 3 6 1 62 2 : 2 3 68 13 2 4 8 3 2 5 3 5 : 682 3 1 2 1 1 15 153 5 3 5 3 15

15. Representa sobre la recta numèrica els nombres racio-nals següents:

45

− ; 0,6; 59

; 76

− ; 0,6

; 94

; 1,3

i 1,4

Cal expressar prèviament els nombres decimals en fracció.

= 3

0,65

; = 2

0,63

; = = + 4 1

1,3 13 3

; = = +7 21,4 1

5 5

= +7 1

16 6

; = +9 12

4 4

1 2 30–1–2

45

−

45

76

−76

94

1,3

0,6

1 20

0,6

59

1,4

16. Ordena de més petit a més gran els nombres racionals de l’exercici anterior.

− < − < − < < < < < 7 4 5 9

1,3 0,6 0,6 1,46 5 9 4

17. Si ab

< cd

, aleshores: ab

− > cd

− . Comprova-ho amb

els nombres racionals 34

i 79

.

<3 7

4 9, ja que =3

0,754

i =7

0,79

. En canvi − > −3 7

4 9.

18. Ordena de més gran a més petit els nombres:

a) 23

; 0,66; 35

; 0,67 i 47

b) 13

− ; –0,3; 14

− ; 25

− i –0,34

a) > > > >2 3 40,67 0,66

3 5 7

b) − > − > − > − > −1 1 20,3 0,34

4 3 5


i 12

, i prenent com a

exponents m = 3 i n = 2, comprova les propietats de la

potenciació.

⋅ =

3 2 52 2 2

3 3 3. Efectivament:

⋅ = ⋅ = =

3 2

5

2 2 8 4 32

3 3 27 9 2432 32

3 243

=

3 22 2 2

:3 3 3

. Efectivament:

= =

3 22 2 8 4 2

: :3 3 27 9 3

=

23 62 2

3 3. Efectivament:

= = =

23 2

6

2 8 64

3 27 729

2 64

3 729

⋅ = ⋅

3 3 32 1 2 1

3 2 3 2. Efectivament:

⋅ = = ⋅ = ⋅ =

3 3

3 3

2 1 1 1

3 2 3 272 1 8 1 1

3 2 27 8 27

=

3 3 32 1 2 1

: :3 2 3 2

. Efectivament:

= = = =

3 3

3 3

2 1 4 64:

3 2 3 272 1 8 1 64

: :3 2 27 8 27

20. Calcula les potències:

a) 23−− b) 33

2 −

c) 31

4

−

d) 1( 9)−− − e) 26

11

−

f) 42

5 −

8

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) − − = − = −

22 1 1

33 9

b) − = −

33 27

2 8

c) −

= =

331

4 644

d) − − − = − − = 1 1 1

( 9)9 9

e) −

= =

2 26 11 121

11 6 36 f) − =

42 16

5 625

21. Expressa en forma d’una sola potència, amb exponent positiu:

a) 2 43 3

5 5

− ⋅

b) 3 21 1

6 6

− ⋅

c) 233

4

−−

d) 3 4 22 2 2

:3 3 3

⋅

a) − −

⋅ = =

2 4 2 23 3 3 5

5 5 5 3

b) − −

⋅ = =

3 2 11 1 1

66 6 6

c)

−− =

23 63 3

4 4

d) ⋅ =

3 4 2 52 2 2 2

:3 3 3 3

22. Calcula:

a) 2 31 2 3

23 5 2

− − + − −

b) 4 2 30,5 ( 0, 4) 0,8−− + − ⋅

c)

2

2

2 13 42 13 4

⋅ − − −

d)2

3

0,6 2 ( 0,5)1,3 ( 0,5)

− − ⋅ −− −

e) 33 3

4 8 − +

f) 2

3 105 9

− ⋅ −

g) 2

3 1 22 ( 2)

2 3 − − + ⋅ −

h) 1( 2,7 3,13)−− +

i) 2

1 5 7:

2 8 16 − −

a)−

− + − − = − + − − = + − − = = + + =

2 3 2 31 2 3 1 2 1 8

2 2 23 5 2 15 3 225 27

1 5531 82

225 27 675

b) −

− − + − ⋅ = − + − ⋅ = − + + − ⋅ = − + ⋅ = − + = =

4 2 3 44 2 3

2 3

1 2 4 10,5 ( 0,4) 0,8

2 5 5 25 4 1 25 64 1 16 251

3,13752 5 16 4 125 16 5 80

c)

⋅ − ⋅ = = = −− −

2

2

2 1 2 11 29 23 4 3 16 :

2 1 24 48 292 13 163 4

d)

−

− − ⋅ − + − ⋅ − = = =

− − − −− − +

= = = =+

2 2

2

33

2 1 32 1

0,6 2 ( 0,5) 3 2 24 11,3 ( 0,5) 4 13 83 2

91 13 35 784 : 2,2285714

4 1 4 24 353 8

−

− − ⋅ − + − ⋅ − = = =

− − − −− − +

= = = =+

2 2

2

33

2 1 32 1

0,6 2 ( 0,5) 3 2 24 11,3 ( 0,5) 4 13 83 2

91 13 35 784 : 2,2285714

4 1 4 24 353 8

e) − + = − = −

3 33 3 3 27

4 8 8 512

f) − − ⋅ − = − = − =

2 2 23 10 2 3 9

5 9 3 2 4

g) − − + ⋅ − = − − + ⋅ = + + =

23 1 2 1 4 2 92

2 ( 2) 2 ( 8) 2 82 3 2 9 9 9

h) − −

− − + = − + = = =

1 11 25 47 16 45

( 2,7 3,13) 2,81259 15 45 16

i) − − = − = − =

2 2 21 5 7 9 7 18 324

: :2 8 16 8 16 7 49


− i 13

i n = 3, comprova que:

n n na c a c

b d b d + ≠ +

Efectivament: − + ≠ − +

3 3 32 3 2 3

5 10 5 10, ja que:

− + = − + = − = −

3 3 32 3 4 3 1 1

5 10 10 10 10 1 000

− + = − + = − + = −

3 32 3 8 27 64 27 37

5 10 125 1 000 1 000 1 000 1 000

24. L’aigua augmenta de volum en una desena part quan es glaça. En un dipòsit d’1,2 kL de capacitat hi posem 1 100 L d’aigua. Si l’aigua es glaça, hi cabrà al dipòsit?

1,2 kL = 1 200 L

1 100 L + 1 100

10 L = 1 100 L + 110 L = 1 210 L

Com que 1 210 > 1 200, l’aigua no hi cabrà.

25. Calcula l’àrea d’un cercle de 15 cm de diàmetre. Dó-na’n la mesura exacta i la mesura aproximada. Quina de les dues no és un nombre racional? Per què?

MATeMÀTIQUeS 3

9

LA

π = π⋅ = π⋅ = π⋅ =

22 2 215 225 225

cm cm cm2 4 4

S r és la

mesura exacta.

= π⋅ = ⋅ ≅ ⋅ =2 2 2 23,14 (7,5 cm) 3,14 56,25 cm 176,625 cmS r és la mesura aproximada, si es pren ,π ≅ 3 143,14.

La mesura exacta no és un nombre racional, ja que no es pot expressar en forma de fracció, perquè el nombre π és un nombre decimal que no és ni exacte ni periòdic.

26. Després d’haver gastat els 47

del total del dipòsit de

benzina d’un cotxe, encara n’hi queden 18 L. Quina és la capacitat del dipòsit en daL?

− =4 31

7 7; els

3

7 de la capacitat del dipòsit són 18 L.

Per tant, la capacitat total del dipòsit és:

⋅ = ⋅ =18 7

L 6 7 L 42 L3

27. En Josep i en Lluís són dos amics que corren la marató. A l’última que van córrer junts, en Lluís va fer un temps de 2:55.47 i en Josep, de 2:58.23. Calcula en minuts el temps que en Lluís va treure a en Josep.

2 h 58 min 23 s – 2h 55 min 47 s = 2 min 36 s

En Josep va trigar 2 min 36 s més que en Lluís, que, ex-pressat en minuts, són 2,6 min.

28. Disposem d’una ampolla de 32

L plena d’aigua.

a) Si amb tota l’aigua de l’ampolla s’han omplert 8 gots, quina és la capacitat en cL de cada got?

b) Calcula quantes ampolles de capacitat igual a la indicada es podran omplir amb 48 gots iguals als anteriors.

c) Quants gots de 0,1 L es podran omplir amb l’aigua de les ampolles de l’apartat anterior?

a) = →31,5 1,5L : 8 gots = 0,1875 L/got = 18,75 cL/got

2

b) 48 gots · 0,1875 L/got = 9 L

=9 : 1,5 6; es podran omplir 6 ampolles d’aigua de 3

2 L.

c) =9 : 0,1 90; es podran omplir 90 gots de 0,1 L.

29. La distància que hi ha entre dues àrees de descans consecutives en una autopista és de 42 km. Els senyals per demanar ajuda es posen cada 1 360 m. Si el primer d’aquests senyals es posa a 12 hm de la primera àrea de descans i l’últim es posa just on hi ha la segona àrea de descans, quants senyals caldrà posar-hi?

− = − =42 km 12 hm 42 km 1,2 km 40,8 km

=1 630 m 1,36 km

+ = + = →40,8

1 30 1 31 31senyals1,36

30. Si la densitat del mercuri és d’ 41,3595 10⋅ kg/m3, cal-cula quants litres ocupen 32,719 10⋅ kg de mercuri.

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =⋅

= ⋅ =

3 33 2

4 3

2

1 m 10 L 2,7192,719 10 kg 10 L

1,3595 10 kg 1 m 1,35952 10 L 200 L

Activitats fi nals

Reforç

1. Seguint l’exemple de l’apartat 1.1, escriu els cinc pri-mers valors on se situaria l’extrem de la molla si l’esti-

réssim fi ns a la posició 32

i la deixéssim anar.

3

4 a l’esquerra,

3

8 a la dreta,

3

16 a l’esquerra,

3

32 a la

dreta i 3

64 a l’esquerra.

2. Escriu quatre nombres de cada tipus dels que s’indi-quen a continuació:

a) Racionals que no siguin enters.

b) Racionals que siguin decimals no periòdics.

c) Decimals periòdics.

d) Racionals que no siguin decimals.

a) − 3

2;

4

7;

1,2 ; 2,3

b) 4

5; –13,21;

1

2; –1,6

c) 0,13 ; − 7

6;

1

3; −

13,27

d) 3; –5; 0; –2

3. Escriu tres fraccions equivalents a cadascuna de les fraccions següents:

a) 37

b) 104

− c) 29

d) −136

a) −= = = −− −

3 6 9 12

7 14 21 28

b) − = − = = −

−10 5 15 20

4 2 6 8

c) −= = =−

2 4 6 8

9 18 27 36

d) −− = − = =

−13 26 39 52

6 12 18 24

4. Classifi ca en decimals exactes, decimals periòdics purs o decimals periòdics mixtos els nombres racionals següents:

− 31

12, 7

43710

, 79

− , −125

2318

i 133

10

MATeMÀTIQUeS 3LA

− = −31

2,58312


=7

1,754

decimal exacte.

=37

3,710

decimal exacte.

− = −

70,7


− = −12

2,45

decimal exacte.

=

231,27

18 decimal periòdic mixt.

=

134,3


5. Expressa en forma de fracció aquests nombres deci-mals:

3,2; 1,7−

; 2,75; 3,25; –0,04; 2,143

i 1,1234

= =32 163,2

10 5

==

= → =

− = −

1,710 17,7

169 16

916

1,79

xx

x x

, = =275 112 75

100 4

==

− − − − − − − − −

= → =

=

3,25100 325,25

32299 322

99322

3,2599

xx

x x

− = − = −4 1

0,04100 25

==

=

= → = =

2,143100 214,31 000 2 143,3

1 929 643900 1 929

900 300

xx

x

x x

= 643

2,143300

==

=

= → =

1,1234100 112,3410 000 11 234,34

11 1229 900 11 122

9 900

xx

x

x x

= 11 1221,1234

9 900

6. Indica l’oposat d’aquests nombres racionals:

a) 67

− b) 85

c) 1311

−−

d) 83−

e) 5

6− − −

a) 6

7 b) − 8

5 c) −13

11 d)

8

3 e)

5

6

7. L’oposat de la suma de dos nombres racionals coinci-deix amb la suma dels seus oposats? Comprova-ho amb un exemple.

Sí, ja que: − + = − + − 1 2 1 2

2 3 2 3

Efectivament: − + = − + = − 1 2 3 4 7

2 3 6 6 6

− + − = − + − = − 1 2 3 4 7

2 3 6 6 6

8. Hi ha algun nombre racional tal que el seu invers sigui ell mateix? Quin és? Justifica la resposta.

Ha de ser un nombre que multiplicat per si mateix resulti igual a 1; pot ser 1 o bé –1:

⋅ =− ⋅ − =

1 1 1( 1) ( 1) 1

9. Representa sobre la recta numèrica els nombres racio-nals següents: 0,5; 2,3−

; –1,75 i 1,2

.

Els nombres positius, expressats en fraccions són:

= 1

0,52

; = = + 7 1

2,3 23 3

; 1,75 = = +7 31

4 4; = = + 11 2

1,2 19 9

1 2 30–1–2–3

2,3−

1,75−

0,5 1,75 2,3

1,2

1 20

10. Expressa en forma de decimal els nombres racionals representats a la recta numèrica:

7A 1,4

5→ − = − ;

3B 0,75

4→ − = − ;

2 1C 0,3

6 3→ = =

;

5D 0,83

6→ =

; 4

E 1,33

→ =

MATeMÀTIQUeS 3

11

LA

11. Ordena de més petit a més gran els nombres:

a) 0,234

; 0,234; 0,234 ; 0,234 ; 0,0234

b) 43

; –0,8; 23

− ; 12

; 1; 54

− ; 65

a) < < < <

0,0234 0,234 0,234 0,234 0,234

b) − < − < − < < < <5 2 1 6 40,8 1

4 3 2 5 3

12. Calcula:

a) 1 1 3

12 4 5

− + ⋅ − b)

1 1 4: 2

2 3 3 − − − +

c)

2 13

3 56 1

15 2

− ⋅ − ⋅ −

d) 7 1

7 : 13 3

− −

e) 2 1 20,5 0,3

3 4 5 + − ⋅ − +

f) 2 (2 0,2) : (0,75 0,6)⋅ − −

g) 2 32 1

3 3

− − ⋅ −

h) −

− − − + −

2 133 4

( 2)2 3

i) 2 2( 0,3) 0,5 0,25−− − +

a) 1 1 3 1 1 2 1 1 4 2

12 4 5 2 4 5 2 10 10 5

− + ⋅ − = − + ⋅ = − + = − = −

b) 1 1 4 1 1 2 1 1

: 2 : 02 3 3 2 3 3 2 2

− − − + = − − − = − =

c)

2 1 2 14328 3 283 5 3 5 :

6 1 6 1 15 5 915 2 5 2

− ⋅ − − ⋅ = = − − = ⋅ − ⋅ −

d) 7 1 14 2

7 : 1 : 73 3 3 3

− − = − − =

e) + − ⋅ − + = + − ⋅ − + = + + + + = =

2 1 2 2 1 1 2 1 2 10,5 0,3

3 4 5 3 2 4 5 3 3 21 1 48 8

10 3 30 5

f) ⋅ − − = ⋅ − − = ⋅ =

= = =

2 3 2 16 12 (2 0,2) : (0,75 0,6) 2 2 : 2 :

9 4 3 9 1232 1 128

: 42,69 12 3

g) 2 3 2 3

2 1 3 1 9 1 1

3 3 2 3 4 27 12

− − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ − = −

h) 2 1 2 3

33 4 3 1 3( 2)

2 3 2 2 49 1 3 9 1 3 13

4 8 4 4 8 4 8

−− − − + − = − − + − =

= − − + − = + − =

i) −

− − − + = − − + = − − + = = − + = − = −

2 2 22 2 21 1 1 1 1

( 0,3) 0,5 0,25 23 2 4 3 4

1 1 1314 3,638

9 4 36

13. Calcula de dues maneres diferents:

a) 22 3

5 4

− ⋅

b) 3

3 6:

7 5 − −

c) 25 4 10

:2 3 9

− ⋅

a) 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 3 10 100

5 4 10 3 92 3 2 3 5 4 25 16 100

5 4 5 4 2 3 4 9 9

− −

− − −

⋅ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

b) − − = = − − = − − = − − =

3 3

3 3 3

3 6 5 125:

7 5 14 2 744

3 6 3 6 27 216 125: : :

7 5 7 5 343 125 2 744

c) 2 2

2

2 2 2 2

5 4 10 10 10: : ( 3) 9

2 3 9 3 95 4 10 5 4 10 25 16 100 100 100

: : : : 92 3 9 2 3 9 4 9 81 9 81

− ⋅ = − = − = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = =

14. Comprova que:

a) 3 3 33 1 3 1

4 2 4 2 − ≠ −

b) ⋅ = ⋅

2 2 24 1 4 13 2 3 2

a) − = = − = − =

3 3

3 3

3 1 1 1

4 2 4 643 1 27 1 19

4 2 64 8 64

b) ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

2 2

2 2

4 1 2 4

3 2 3 94 1 16 1 4

3 2 9 4 9

15. Escriu en una sola potència 12 3( 2 )

− − i calcula-la.

− − − = − = − =

612 3 6 1 1

(( 2) ) ( 2)2 64

16. Expressa en forma d’una sola potència:

a) 3

4

a aa

−

−

⋅ b)

43 5

24

1

1

a aa

aa

−

−−

⋅ ⋅ ⋅

c) 22 5

:a ab b

− −

d)

23 1 4

:a a ab b b

−− ⋅

a) 3 2

24 4

a a aa

a a

− −

− −

⋅ = =

b)

43 5

3 5 4 64

2 2 4 24

1

1

a aa a a aa

aa a a

aa

−− − −

−− − −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = =⋅ ⋅

c)

2 22 5 3 6

:a a a a

b b b b

− − = =

d)

2 23 1 4 2 4 4 4 8

: : :a a a a a a a a

b b b b b b b b

− −− − − ⋅ = = =

17. Calcula en metres quadrats l’àrea d’un quadrat de 12 dm de costat. Expressa el resultat en forma de nombre decimal i en forma de fracció.

= = = = = =2 2 2 2 2 2144 36

(12 dm) 144 dm 1,44 m m m100 25

S c

18. Les pàgines d’un llibre fan 2 dm d’amplada i 26 cm de llargada. Si el llibre té 145 pàgines, podríem decorar una paret de 3 m de llargada per 25 dm d’alçada amb les pàgines del llibre? Quants metres quadrats de pa-per sobrarien o faltarien?

= ⋅ =⋅ = =

= ⋅ =− = =

21

2 2 2

22

2 2 2 2

20 cm 26 cm 520 cm520 cm 145 75 400 cm 754 dm

30 dm 25 dm 750 dm754 dm 750 dm 4 dm 0,04 m

S

S

Sí, i sobrarien 0,04 m2.

19. D’una finca de 70 ha, se’n ven 14

per fer-hi un camp de

golf, 13

com a parcel·les per a una urbanització i 29

per

a la construcció d’una zona comercial. La resta de la finca s’ha de destinar a carrers i places. Quina fracció queda per a carrers i places? Quants metres quadrats representa cada fracció?

− + + = − = 1 1 2 29 7

1 14 3 9 36 36

per a carrers i places.

1

4 de 70 ha → 17,5 ha = 175 000 m2 per al camp de golf.

1

3 de 70 ha →

23,3 ha = 233 ,

333 3 m2 per urbanitzar.

2

9 de 70 ha → ,

15 5 ha = 155 ,

555 5 m2 per a la zona comercial.

7

36 de 70 ha → ,

13 6 1 ha = 136 ,

111 1 m2 per a carrers i places.

20. Al marcador digital d’un vídeo es llegeix 2:12.56. Re-bobinem la cinta i s’atura quan marca –0:54.28. Calcula en segons el recorregut de la cinta.

2 h 12 min 56 s + 54 min 28 s = 3 h 7 min 24 s = 11 244 s

21. A un dipòsit que contenia 12

kL d’aigua, se n’hi ha afe-

git 12,5 daL més. Després, es decideix buidar el dipòsit omplint ampolles d’1,5 L, de 200 mL i de 50 cL. Si s’han omplert 150 ampolles d’1,5 L i 750 ampolles de 200 mL, quantes ampolles de 50 cL es podran omplir?

, , ,+ = + = + =1

kL 12 5 daL 0 5kL 12 5 daL 500 L 125L 625L2

,=200 mL 0 2 L

150 ·1,5 L + 750 · 0,2 L = 225 L + 150 L = 375 L

625 L – 375 L = 250 L

,=50 cL 0 5L

250 L : 0,5 = 500 → 500 ampolles de 50 cl

22. El diàmetre exterior d’un tub és de 3,5 cm. La paret del

tub té 35

cm de gruix. Quin és el radi interior del tub?

= = =

=

′ = − =

: 2 3,5 cm : 2 1,75 cm3

cm 0,6 cm5

1,75 cm 0,6 cm 1,15 cm

r d

r

23. A finals de l’any 1642, el matemàtic francès Blaise Pas-cal va crear la pascalina, la primera màquina que su-mava del món. Fins al principi de l’any 1958 no va aparèixer la primera calculadora, fabricada per Nor-man Kitz. Calcula, de manera aproximada, quants se-gons van passar entre la fabricació de la pascalina i la de la calculadora de Kitz. Expressa el resultat en nota-ció científica.

1958 – 1642 = 316

316 – 1 = 315 → 315 anys

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 9365 dies 24 h 60 min 60 s

315 anys 9,93384 10 s1any 1dia 1h 1min

24. Un carrer de 400 m de llargada i 10 m d’amplada té dues voreres d’1,8 m cadascuna. Si el paviment de la vo-rera costa 5,42 € el metre quadrat i el paviment de la calçada, 3,36 € el metre quadrat, calcula quant cos-tarà pavimentar tot el carrer.

− ⋅ = − =⋅ =

⋅ =

⋅ =

⋅ =

+ =

2

22

2

22

10 m 2 1,8 m 10 m 3,6 m 6,4 m3,6 m 400 m 1440 m

5,42 €1440 m 7804,8 €

1m6,4 m 400 m 2 560 m

3,36 €2 560 m 8 601,6 €

1m7 804,8 € 8 601,6 € 16 406,4 €

12

MATeMÀTIQUeS 3LA

25. Si un euro costa 1,285 dòlars, quants euros són 6,23 $? I quants dòlars són 12,65 €?

⋅ =1€6,23 $ 4,85€

1,285 $

⋅ =1,285 $

12,65 € 16,26 $1€

Ampliació

1. Troba els valors de x per als quals les fraccions 4

x−

i 9

x−

són equivalents.

− = → = → = = ±

−24

36 36 69

xx x

x

2. Expressa les fraccions següents en forma de decimal i digues de quin tipus de decimal es tracta en cada cas:

a) 2132

b) 3118

c) 127

− d) 12325

e) −1 147900

a) =210,65625

32 decimal exacte.

b) =31

1,7218


c) − = −121,714285

7− = −12

1,7142857


d) ,=1234 92

25 decimal exacte.

e) − = −1 147

1,274900


3. Expressa en forma de fracció:

a) 10,01−

b) 6,1237

c) 0,02

d) −13,13 e) 23,752

a)

===

− − − − − − − − −

= → =

= → − = −

10,0 110 100, 1100 1001, 1

90190 901

90901 901

10,0 1 10,0 190 90

xx

x

x x

b)

==

=

= → = =

=

6,12371 000 6 123,710 000 61 237,7

55 114 27 5579 000 55 114

9 000 4 50027 557

6,12374 500

xx

x

x x

c)

==

− − − − − − −

= → =

=

0,02100 2,02

299 2

992

0,0299

xx

x x

d)

==

= → =

= → − = −

13,13100 1 313,13

1 30099 1 300

991 300 1 300

13,13 13,1399 99

xx

x x

e) = =23 752 2 96923,752

1 000 125

4. Expressa en forma de decimal la fracció 1413

. De quin tipus és?

=141,076923

13=14

1,07692313

és un nombre decimal periòdic pur.

5. En el cas que el denominador d’una fracció irreducti-ble tingui com a factors primers només 2 o 5, la fracció té expressió decimal exacta. Sense efectuar la divisió, digues quines d’aquestes fraccions no tenen expressió decimal exacta:

14325

, 79

− , 116

, 5920

− , 7

16,

1130

−

Per què? Comprova-ho.

143

25 decimal exacte; el denominador només té el 5

com a factor primer, ja que = 225 5 .

− 7

9 decimal periòdic; = 29 3 , no té ni el 2 ni el 5 com

a factors primers.

11

6 decimal periòdic; = ⋅6 2 3, a part del 2, també té el

3 com a factor primer.

− 59

20 decimal exacte; = ⋅220 2 5= ⋅220 2 5, els únics factors pri-

mers són el 2 i el 5.

7

16 decimal exacte; = 416 2 , l’únic factor primer del

denominador és el 2.

− 11

30 decimal periòdic; =30 2 · 3 · 5 , a més del 2 i del 5,

també té el 3 com a factor primer.

Comprovació:

,=143

5 7225

; ,− = −7

0 79

; ,=11

1 836

; ,− = −592 95

20;

,=70 4375

16; ,− = −

110 36

30

MATeMÀTIQUeS 3

13

LA

14

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. Calcula l’invers de l’oposat del nombre racional 73

− − − − .

− − − = − 7 7

3 3. L’oposat és − 7

3; l’invers de l’oposat, − 3

7

7. Escriu un nombre racional de denominador 5 que esti-gui comprès entre –2 i –3. Representa’l sobre la recta numèrica i comprova la resposta.

22 112,2

10 5− = − = −

Per representar-lo expressem: = +11 12

5 5

1 2 30–1–2–3 115

115

−

Efectivament, el nombre racional −11

5 està entre –2 i –3.

8. Si ab

< cd

, sempre és possible trobar un altre nombre

racional ef

tal que: ab

< ef

< cd

. Troba un nombre racio-

nal expressat en forma de fracció que estigui comprès

entre 34

− i 45

− .

Com que ,− = −30 75

4 i ,− = −4

0 85

, prenem, per exem-

ple, ,− = −190 76

25. Tenim que: − < − < −4 19 3

5 25 4

9. Escriu el símbol <, > o =, segons convingui:

a) 2,8 1,2+

... 4,

1 b) 3,9− ... 3,9−

c) 4, 49

... 4,5 d) 79

... 0,76

a) + =

2,8 1,2 4,1 b) , ,− > −

3 9 3 9

c) , ,=

4 49 4 5 d) ,>7

0 769

10. Comprova la igualtat següent:

− − − − − − − −− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =2 2 2 2 2 2 2 2 5(1 2 ) (1 3 ) (1 4 ) (1 5 ) (1 6 ) (1 7 ) (1 8 ) (1 9 )

9

− − − − − − − −− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 2 2 2 2(1 2 ) (1 3 ) (1 4 ) (1 5 ) (1 6 ) (1 7 ) (1 8 ) (1 9 )

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

4 9 16 25 36 49 64 81

3 8 15 24 35 48 63 80 3 8

4 9 16 25 36 49 64 81

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

15 24 35 48 63 80 5

4 9 16 25 36 49 64 81 9

11. Calcula:

a)

11,3 : 0,6

29

1,165

−

⋅

b)

1 2:

5 9 63

1 25

+ + ⋅

c) 1,27 : 3, 45

1: 2, 41,5

+ d) 2 1 1 4 1

: 35 2 4 3 2

− − ⋅ − − ⋅ +

e)

2 5 1 1:

7 3 2 32 1 2 15 3 5 4

− + + ⋅ −

f) 2

2 3 41 ( 2) :

3 4 5

− − ⋅ − + −

g)

23

2 13

1 22 ( 2)

2 31 2 1

23 5 2

−−

− − + ⋅ − ⋅ − + − −

h) −

− − − −

2 33 5 1 54 3 2 6

i) 3 1

1 2

0,5 20,25 4

− −

− −

⋅⋅

a)

−− −= = = = =

⋅ ⋅

4 2 11 1:1,3 : 0,6 2 3 21 53 3 22 2 : 0,714285

9 7 9 21 2 10 71,165 6 5 10

−− −= = = = =

⋅ ⋅

4 2 11 1:1,3 : 0,6 2 3 21 53 3 22 2 : 0,714285

9 7 9 21 2 10 71,165 6 5 10

b)

1 2 9: 9 16 9 2015 9 106 6 : 6 6

83 10 5 32 3221 255

+ = + = + = + = ⋅+ ⋅

c)

14 38:1,27 : 3,45 12 7 3 5 14 5 15111 111: 2,4 1: :31,5 5 19 2 12 57 12 2282

+ = + = + = + =

d)− − ⋅ − − ⋅ + = − − − − + = − − − + =

= − ⋅ + = − + =

2 1 1 4 1 2 2 2 8: 3 2 3 3

5 2 4 3 2 5 3 5 32 8 16 29

3 35 3 15 15

e)

2 5 1 1 2 5 5 2: : 2 12 9 807 3 2 3 7 3 6 7 :2 1 3 2 12 1 2 1 7 20 215 3 20 5 205 3 5 4

− + − − = = = − = − + ⋅ ++ ⋅ −

f) − −

− − ⋅ − + − = + − = − = − =

2 22 22 3 4 1 5

1 ( 2) : 1 ( 1) ( 1) 13 4 5 2 2

g) −−

− − + ⋅ − − − + ⋅ + = = = − −⋅ − + − − ⋅ + − −

= − = −

23

2 1 33

1 2 1 4 22 ( 2) 2 ( 8) 102 3 2 9 9

8 110 2 1 10 4 1 22 ( 2) 15 83 5 2 3 25 23 68092 191

:9 120 573

h) 2 3 2 3 2 3

3 5 1 5 11 4 11 3

4 3 2 6 12 3 12 4121 27 121 27 727

144 64 144 64 576

− − − − − − = − − − = − − − =

= − − = + =

i)

3

23 12

1 21 2

1 10,5 2 1 1 1 12 2

: 2 : 4 : 160,25 4 2 4 4 41 1

4 4

−

−− −

−− −

⋅ ⋅ = = = = = ⋅ ⋅

MATeMÀTIQUeS 3

15

LA

12. Escriu les potències següents amb base i exponent positius:

a) 32

3

− −

b) 23

4

− −

c) 4( 2)−− d) 51

5

− −

a) −

− = − = −

3 3 32 3 3

3 2 2

b) −

− = − =

2 2 23 4 4

4 3 3

c) 4 4

4 1 12

2 2− − = − =

( )

d) −

− = − = −

55 51

( 5) 55

13. Troba la fracció ab

en cada cas:

a) 3

0,65

ab

− − =

b) − = −6 4:

7 5ab

c) 0,75 0,8ab

⋅ = −

d) 3 67 11

ab

− − − =

a) − − = → − = + = + = → = − 3 3 2 3 19 19

0,6 0,65 5 3 5 15 15

a a a

b b b

b) − = − → = − − = 6 4 6 4 15

: :7 5 7 5 14

a a

b b

c) ⋅ = − → = − = − = − 8 3 32

0,75 0,8 0,8 : 0,75 :9 4 27

a a

b b

d) − − − = → − = + − = − = → = − 3 6 6 3 6 3 9 9

7 11 11 7 11 7 77 77

a a a

b b b

14. Simplifica tant com puguis l’expressió 12 3( )p

−− i cal-

cula’n el valor per a 41

10p

− =

.

−− =

12 3 6( )p p . Per a −

= = → = =

44 6 4 6 241

10 (10 ) 1010

p p

15. Expressa en forma d’una sola potència de base i expo-nent positius:

a) 3 55 5

9 9

− − ⋅

b) 3 22 7

:7 2

− −

c) 221

3

− − −

d) 3 4 23 4 3

:4 3 4

− ⋅ −

a) 3 5 3 5 2 2

5 5 5 5 5 9

9 9 9 9 9 5

− − − − ⋅ = − ⋅ = − = −

b) 3 2 3 2 5

2 7 7 7 7: :

7 2 2 2 2

− − − = =

c)

− − − − − = − = =

2 22 2 441 1 1

33 3 3

d) 3 4 2 3 4 2 3 4 2

9

3 4 3 4 4 3 4 4 4: : :

4 3 4 3 3 4 3 3 34

3

− − ⋅ − = ⋅ = ⋅ =

=

16. Un nombre racional no enter sempre es pot expressar com a suma d’un enter i una fracció pròpia positiva.

Fes-ho amb els nombres racionals 143

i 85

− .

14 2

43 3

= +

8 3 8 3 21 1 2

5 5 5 5 5= + → − = − − = − +

17. Qualsevol nombre racional es pot expressar com un nombre decimal periòdic. Justifica-ho amb el nombre enter –4 i amb el decimal exacte 2,36.

Es verifica que 4 3,9− = −

, tal com es demostra a conti-nuació:

3,910 39,9

369 36 4

93,9 4 3,9 4

xx

x x

==

− − − − − − −

= → = =

= → − = −

2,36 2,359=

, efectivament:

==

=− − − − − − − − − −

= → = = =

=

2,359100 235,91 000 2 359,9

2 124 59900 2 124 2,36

900 252,359 2,36

xx

x

x x

18. En un dipòsit hi ha 210 kg d’aigua amb una salinitat del 7%. Per tal que disminueixi la salinitat, s’hi afegei-xen 350 kg d’aigua amb el 4% de sal. Quina serà la sali-nitat de la mescla?

210 0,07 350 0,04 14,7 14 28,7⋅ + ⋅ = + = → 28,7 kg de sal.

210 350 560+ = → 560 kg d’aigua salada.

28,7100 0,05125 100 5,125

560⋅ = ⋅ = → 5,125% de salinitat.

19. L’Enric posa una cinta al vídeo per rebobinar-la i en el visor es llegeix 1:38.54. Atura el rebobinatge quan marca –1:14.27, posa el visor a 0:00.00, mira el que hi té gravat fins que en el visor hi apareix 0:12.56, torna a aturar-lo i continua rebobinant la cinta, que s’atura quan marca –0:45.19. Quants segons ha recorregut en total la cinta?

1 h 38 min 54 s + 1 h 14 min 27 s + (12 min 56 s) · 2 + + 45 min 19 s = 4 h 4 min 32 s = 14 672 s.

16

MATeMÀTIQUeS 3LA

20. Un rellotge digital endarrereix 4 s cada hora. Si es posa a l’hora a les 21 h del dia de Nadal, quina hora marcarà quan comencin a sonar les campanades de Cap d’Any?

24 h · 6 + 3 h = 147 h

147 · 4 = 588 → S’haurà endarrerit 588 s, que són 9 min 48 s.

24 h – 9 min 48 s = 23 h 50 min 12 s.

Marcarà les 23 h 50 min 12 s.

21. Calcula quants dies són un milió de segons. El resultat és un nombre racional? Justifica la resposta.

Un milió de segons són 1000 000 s = 106 s.

⋅ ⋅ ⋅ =6 1min 1h 1dia

10 s 11,5740 dies.60 s 60 min 24 h

Sí, perquè és un nombre decimal periòdic mixt.

22. La massa d’un electró és de 239,27 10−⋅ g. Calcula la massa de mil milions d’electrons i expressa el resultat en notació científica.

Mil milions d’electrons són 1000 000 000 electrons = 109 electrons.

−−⋅⋅ = ⋅

239 149,27 10 g

10 electrons 9,27 10 g1 electró

.

23. A la sang d’una persona hi ha aproximadament 131,5 10⋅ glòbuls vermells. Si el diàmetre de cadascun

d’aquests glòbuls és de 310− mm, quina seria la longi-tud d’una filera formada per tots els glòbuls vermells d’una persona? Calcula quantes vegades aquesta file-ra podria recórrer una longitud de 56 10⋅ km.

−

⋅ ⋅ = ⋅3

13 1010 mm1,5 10 glòbuls 1,5 10 mm =

1 glòbul

41,5 10 km = 15 000 km= ⋅ ; seria la longitud de la filera.

5

4

6 1040

1,5 10

⋅ =⋅

→ 40 vegades.

24. La llei d’un lingot d’or és el tant per u d’or que hi ha en el lingot. Si es fonen i es barregen dos lingots d’or, un d’1,5 kg i de llei 0,725, i l’altre de 3 kg i de llei 0,915, quina serà la llei del nou lingot d’or?

1,5 0,725 3 0,915 3,8325⋅ + ⋅ = → 3,8325 kg d’or pur.

1,5 3 4,5+ = → 4,5 kg d’or impur.

3,83250,8516

4,5=

→ llei del nou lingot d’or: 0,8516

.

d’avaluació

Digues si és certa o falsa cadascuna de les afirmacions següents:

1. Tot nombre natural és enter.

Fals

2. El nombre π és racional.

Fals

3. Hi ha alguns nombres racionals que no es poden ex-pressar en forma de fracció.

Fals

4. Tots els nombres decimals amb infinites xifres deci-mals són periòdics.

Fals

5. Tota fracció amb denominador diferent de zero repre-senta un nombre racional.

Cert

6. Hi ha nombres racionals que no són enters.

Cert

7. Tots els nombres decimals periòdics tenen infinites xi-fres decimals.

Cert

8. Hi ha nombres decimals que no són racionals.

Cert

9. Un nombre enter es pot expressar com un nombre decimal periòdic.

Cert

10. L’oposat de l’invers d’un nombre racional no coinci-deix amb l’invers de l’oposat.

Fals

11. Un nombre racional i el seu invers tenen diferent signe.

Fals

12. 4 42 3

3 2

− − = −

Fals

13. L’invers del nombre racional 67

és 16

7

−

.

Cert

14. L’oposat de 925

− és −

−

253

.

Cert

MATeMÀTIQUeS 3

17

LA

15. 3

0,310

− = −

Fals

16. 0,6 0,7 1, 4+ =

Cert

17. Si 2 33 4

q+ = − , aleshores 112

q = − .

Fals

18. 34 125

5 64

− − = −

Cert

19.

32

92

−

− < 0

Fals

20. 1 1 1 1 1

1 1 1 12 3 4 5 5

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

Cert

Unitat 2. equacions i sistemes de primer grau

Coneixements previs

• Digues si les igualtats algèbriques següents són identi-tats o equacions. Justifi ca les respostes:

a) (x – 3)2 = x2 + 9 b) x + 6 = –2

c) 2 · (x – 7) = 2x – 14 d) (x + 4) · (x – 4) = x2 – 16

a) És una equació, atès que si desenvolupem el producte notable obtenim: (x – 3)2 = x2 + 9 → 2 26 9 9x x x− + = + i es pot veure a simple vista que els dos membres de la igualtat no són iguals, i si substituïm la x, per exemple per 1, per 2, per –3, no es verifi ca la igualtat.

b) També és una equació, pels mateixos motius que el cas anterior.

c) És una identitat, perquè si apliquem la propietat distribu-tiva obtenim: 2 · (x – 7) = 2x – 14 → 2x – 14 = 2x – 14.

d) També és una identitat, ja que si apliquem la propietat distributiva obtenim: x 2 + 4 x – 4 x – 16 = x 2 – 16 → → x

2 – 16 = x 2 – 16

• Determina per a quin valor de a es verifi quen les igual-tats següents:

a) 8 : a = –4 b) 9 – 0,1a = 8 c) a : 48 = –1

a) 8 : a = – 4 2a→ = −

b) 9 – 0,1a = 8 10a→ =

c) a : 48 = –1 → a = –48

• Expressa en llenguatge algèbric les igualtats que es de-dueixen d’aquests enunciats:

a) Si restem 9 del triple d’un nombre, obtenim el doble del mateix nombre.

b) La suma de dos nombres enters consecutius és 5.

c) El triple de la suma de dos nombres és 21.

a) Si restem 9 al triple d’un nombre, obtenim el doble del mateix nombre: 3x – 9 = 2x.

b) La suma de dos nombres enters consecutius és 5 →→ x + (x + 1) = 5.

c) El triple de la suma de dos nombres és 21 → → 3 · (x + y) = 21.

• Determina tres parells de nombres racionals que verifi -quin l’equació x + y = 12.

x + y = 12 → x = 1, y = 11; x = 2, y = 10; x = –1, y = 13; etc.

• Multiplicant per 9 l’edat de l’avi Manel i sumant 790 al resultat, obtenim l’any en què Colom va descobrir Amè-rica. Quants anys té l’avi Manel?

Anomenem x l’edat de l’avi Manel i plantegem una equa-ció de primer grau amb una incògnita: 9x + 790 = 1492 → 9x = 1492 – 790 → 9x = 702.

x = 792 : 9 = 78

L’avi Manel té 78 anys.

• Jo tinc dos anys més que la meva germana i entre tots dos tenim els mateixos anys que dies té el mes de febrer quan no és any de traspàs. Quina edat tinc? I la meva germana, quina edat té?

Si anomenem x els anys que té la meva germana, jo en tinc x + 2. Plantegem l’equació → x + x + 2 = 28 → → 2x = 26 → x = 26 : 2 = 13.

La meva germana té 13 anys i jo en tinc 15.

Activitats

Proposades

1. Donades les igualtats següents, indica en cada cas si es tracta d’una identitat o d’una equació. En el cas que sigui una equació, troba’n la solució.

a) 3 · ( + 1) = 2 · ( 2)x x −

b) ( 5) · 2 + 3 · (2 1) = 2 13a a a− − −

c) 2 5

+ = 5 3x x

x

d) 2 25 = ( + 5) · ( 5)p p p− −

18

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) És una equació:

+ = −3 · ( 1) 2 · ( 2)x x → 3 3 2 4 7x x x+ = − → = −

b) És una equació:

− + − = −( 5) · 2 3 · (2 1) 2 13a a a2 10 6 3 2 13 6 0 0a a a a a→ − + − = − → = → =

c) És una equació, perquè 2 5

5 3

x xx + =

→ 15x + 6x = 25x → 21x – 25x = 0 → –4x = 0 → x = 0

d) És una identitat: − = + −2 25 ( 5) · ( 5)p p p → p2 – 25 =

2 2 25 5 25 25 25p p p p p→ + − − → − = −

2. Indica quin dels valors proposats per a x és solució de cadascuna de les equacions següents:

a) 2 · (x + 1) – 5x = 3 – 2 · (x – 1)

x = 3 x = 34

x = –3

b) 1

· ( 2) + 2 · (3 ) = 82

x x− −

x = 12

x = –2 x = 0

a) 2 · (x + 1) – 5x = 3 – 2 · (x – 1)

x = 3 x = 3

4 x = 3−

Podem substituir la x pels valors corresponents en cada cas, i observar si es verifica la igualtat. També podem resoldre l’equació i veure quin d’aquests va-lors és la solució.

2x + 2 – 5x = 3 – 2x + 2 → 2x – 5x + 2x = 3 + 2 – 2 → − x = 3 → x = –3

La solució és x = 3− .

b) − + − =1· ( 2) 2 · (3 ) 8

2x x x =

1

2 x = −2 x = 0

Procedim de la mateixa manera:

→ − + − = → − + − = →

→ − = → = −

11 6 2 8 2 12 4 16

23 6 2

x x x x

x x

La solució és x = −2.

3. Resol les equacions següents:

a) 7 + 3 · ( 2 + x) – 3x = 2x + 9

b) − − 1

2,5 = 6 · 1,53

x x

c) − −− − 3 1

= 12 7

x x

d) 3 1 2

= 2 · (1 )2 6

x xx

− −− − −

e) (2x – 5) · (1 – x) = (4 – 2x) · (x – 12

)

f) 5 · ( 1)3 · ( + 3)

= 4 2

xx −−

a) 7 + 3 · (2 + x) − 3x = 2x + 9 → 7 + 6 + 3x − 3x = 2x + 9 →→ 2x = 4 → x = 2

b) 1

2,5 6 · 1,53

x x − = −

→ − = − → =2,5 2 9 8x x x = − → = −0,5 0,0625x

= − → = −0,5 0,0625x

c) 3 1

12 7

x x− −− = − → − − + = − →7 21 2 2 14x x → = → =5 5 1x x

→ = → =5 5 1x x

d) − −− = − −3 1 2

2 · (1 )2 6

x xx → − − + = − + →3 9 1 2 12 12x x x

→ − = − → = 27 2

7x x

e) (2x − 5) · (1 − x) = (4 − 2x) · (x –1

2) →

→ 2 2 32 2 5 5 4 2 2 2 3

2x x x x x x x x− − + = − − + → = → =

f) − + −=3 · ( 3) 5 · ( 1)

4 2

x x → − − −= → − − =3 9 5 56 18

4 2

x xx

− − −= → − − =3 9 5 56 18

4 2

x xx = − → − = − → = 1

20 20 26 213

x x x

4. Aïlla x en cadascuna de les igualtats següents:

a) ax + b = 0 b) ax + b = x

c) = a bx c

d) −1 1

= a x

a) ax + b = 0 → ax = −b → x = b

a

−

b) ax + b = x → ax – x = −b → x · (a − 1) = −b →1

bx

a

−=−

c) a b

x c= → bx = ac → x =

ac

b

d) 1 1

a x

− = → −x = a → x = −a


a) 1 – (3x – 2) – 2 · (x – 1) = 5 · (1 – 2x)

b) x + 5 · (x + 3) = 3 · (2x + 4)

c) −2 + 4 1

= 5 3

x x

d) 2 2( + 1) = 9x x−

e) (x – 2) · (x + 2) = x · (x – 1)

f) 2( 2) · = 0x x x− −

g) − −1 5 + 5 = 0

2 3 6x

x x

a) 1 – (3x – 2) – 2 · (x – 1) = 5 · (1 – 2x) → 1 – 3x + 2 – 2x + + 2 = 5 – 10x → 5x = 0 → x = 0

2

MATeMÀTIQUeS 3

19

LA

b) x + 5 · (x + 3) = 3 · (2x + 4) → x + 5x + 15 = 6x + 12 → x + 5x + 15 = 6x + 12 → 0x = –3

L’equació no té solució.

c) 2 4 1

5 3

x x+ −= → 3 · (2x + 4) = 5 · (x – 1) →

→ 6x + 12 = 5x – 5 → x = –17

d) + − =2 2( 1) 9x x → x2 + 2x + 1– x2 = 9 → 2x + 1 = 9 → → x = 4

e) (x – 2) · (x + 2) = x · (x – 1) 2 24 4x x x x→ − = − → =

f) − − =2( 2) · 0x x x 2 22 0 2 0 0x x x x x→ − − = → − = → =

g) 1 5

5 02 3 6

xx x+ − − = → 3x + 2x – 5x – 30 = 0 →

→ 0x = 30

L’equació no té solució.

6. Troba quatre solucions per a cadascuna de les equa-cions següents:

a) 3x – 4y = 1 b) x – 3y = 0

c) –x + y = –1 d) 4x – 5y = –20

Resposta lliure. Els valors triats cal que verifiquin la igualtat.

7. Esbrina si els valors de x i y donats són solució de ca-dascuna d’aquestes equacions:

a) 3x – 7y = 4 x = 0 y = 74

b) 12

x + y = 7 x = 2 y = 6

c) x – y = 9 x = 10 y = –1

d) 5x – 1 = y x = 15

y = 0

a) 3x – 7y = 4 x = 0 y = 7

4→ 3 · 0 – 7 ·

7

4 =

49

4−

No són solució.

b) 1

72

x y+ = x = 2 y = 6 → ⋅ + = + =12 6 1 6 7

2

Són solució.

c) x – y = 9 x = 10 y = –1 → 10 – (–1) = 11

No són solució.

d) 5x – 1 = y x = 1

5 y = 0 → ⋅ − = − =1

5 1 1 1 05

Són solució.

8. Indica quins dels parells de valors següents són solu-ció de l’equació 7x – 3y = 4:

a) x = 4, y = –8 b) x = 1, y = 1 c) x = 27

, y = − 23

a) x = 4, y = –8 → 7 · 4 – 3 · (–8) = 28 + 24 = 52

No són solució.

b) x = 1, y = 1 → 7 · 1 – 3 · 1 = 7 – 3 = 4

Són solució.

c) x = 2

7, y =

2

3− → ⋅ − ⋅ − = + =

2 27 3 2 2 4

7 3

Són solució.

9. En representar gràficament les solucions d’una equa-ció de primer grau amb dues incògnites, hem obtin-gut aquesta recta. Indica quatre solucions d’aquesta equació.

O x

y

Les coordenades de qualsevol punt que formi part de la recta són solució de l’equació de primer grau. Per exem-ple, P (0, –1).

10. Esbrina, sense dibuixar-la, si la recta que resulta de representar gràficament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa per cadascun dels punts següents:

a) 1(4, 1)P (4, 1) b) − 2

131,

3P

c) −

3

110,

3P d) 4 (4, 1)P −

a) 1(4, 1)P (4, 1) → 2 · 4 – 3 · 1 = 8 – 3 = 5

No passa per aquest punt.

b) 2

131,

3P

− → 13

2 ( 1) 3 2 13 153

⋅ − − ⋅ = − − = −

No passa per aquest punt.

c) 3

110,

3P

−

→ ⋅ − ⋅ − = + = 11

2 0 3 0 11 113

Passa per aquest punt.

d) −4 (4, 1)P → 2 · 4 – 3 · (–1 ) = 8 + 3 = 11

Passa per aquest punt.

11. Troba tres solucions de l’equació 4x – 6y = 10 i compro-va que també són solucions de l’equació 2x – 3y = 5. Sabries esbrinar el motiu d’aquesta coincidència?

Resposta oberta. També són solució de l’equació 2x – 3y = 5, perquè les dues equacions són equivalents. La segona resulta de dividir entre 2 tots els termes de la primera equació.

12. Representa gràficament les solucions de l’equació –6x + y = 7. Quin és el nombre mínim de solucions que cal trobar per fer-ne la representació gràfica? Justifi-ca’n la resposta.

20

MATeMÀTIQUeS 3LA

El mínim nombre de solucions que cal trobar per repre-sentar gràficament l’equació –6x + y = 7 és dos, perquè és una recta i una recta queda determinada per dos punts.

13. La representació gràfica d’una equació de primer grau amb dues incògnites passa pels punts P1 (2, –3) i P2 (–4, 2). Representa gràficament algunes de les mol-tes altres solucions d’aquesta equació.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

P1 (2,–3)

P2 (–4,2)

14. Resol gràficament els sistemes d’equacions següents:

a)− −

−

2 = 74 = 0x y

x y b)

− −

2 2 = 6 = 3x y

x y

c) −

+ = 53 3 = 9x y

x y d)

−

2 = 02 + = 0x y

x y

e)−

3 2 = 3 + = 6x y

x y f)

−

= 02 + = 3y x

x y

a) P (1, 4) x = 1, y = 4

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

P (1,4)x–2y=7

4x–y=0

b) Sistema compatible indeterminat. Nombre il·limitat de solucions.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

x–y=32x–2y=6

c) P (4, 1) x = 4, y = 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

56

x+y=5

P (4,1)

3x–3y=9

d) O (0, 0) x = 0, y = 0

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

O (0,0)

2x+y=0

x–2y=0

e) P (3, 3) x = 3, y = 3

2 4

2

4

0

1

5

1–2–3 –1–1–2

3

3

y

x7

67

–3–4

5 6

3x–2y=3

P (3,3)

x+y=6

f) P (1, 1) x = 1, y = 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

y–x=0

2x+y=3

P (1,1)

15. Sabem que el sistema −

2 + 5 = 74 = 14

x yx py

és compatible

indeterminat. Quin és el valor de p?

Es pot veure a simple vista que perquè aquest sistema sigui compatible indeterminat cal que p sigui –10, ja que d’aquesta manera la segona equació s’obté de multipli-car els termes de la primera per 2, i així les dues equa-cions són equivalents; tenen les mateixes solucions.

16. Troba el valor de m i n perquè x = 1, y = 2 sigui la solu-

ció del sistema −

2 + =

4 = 2

x y ny

x m

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

P1 (0,7)

P2 (1,–1)

MATeMÀTIQUeS 3

21

LA

Si x = 1 i y = 2 són solució del sistema, han de verificar alhora les dues igualtats.

2 · 1 + 2 = n → n = 4 2

4 13

m⋅ − = → 4 – 1 = m → m = 3

17. Indica de quin tipus és cadascun dels sistemes se-güents, sense fer-ne la representació gràfica:

a)

6 + 15 = 212 + 5 = 7

x yx y

b)

+ = 82 + 2 = 5x y

x y

c)−

− −

3 + = 5x y = 3

x y d)

−− −

2 = 4 + 2 = 4

x yx y

Si observem els coeficients de les dues incògnites en les dues equacions i els termes independents, podem dir que:

a) És compatible indeterminat.

b) És incompatible.

c) És compatible determinat.

d) És compatible indeterminat.

18. Resol per reducció els sistemes següents:

a)−

= 5 + = 3

x yx y

b) −

+ = 252 = 35x y

x y

c)− −

−

3 + 6 = 9 + 7 = 3

x yx y

d)−

3 = 103 + 4 = 4x y

x y

a) 5

3

x y

x y

− = + =

Si sumem membre a membre les dues equacions, obtenim 2x = 8 → x = 4.

Si substituïm la x per 4 en qualsevol de les dues equa-cions trobarem la y → 4 – y = 5 → y = –1.

La solució del sistema és x = 4, y = 1− .

b) 25

2 35

x y

x y

+ = − =

Si sumem membre a membre les dues equacions, obtenim 3x = 60 → x = 20.

Si substituïm la x per 20 en qualsevol de les dues equacions trobem la y → 20 + y = 25 → y = 5.

La solució del sistema és x = 20, y = 5.

c) 3 6 9

7 3

x y

x y

− + = − + = −

Podem multiplicar la segona equació per 3:

3 6 9

3 21 9

x y

x y

− + = − + = −− − − − − − − − −

27 y = – 18 → y = 2

3−

Substituïm la y en qualsevol de les dues equacions per trobar la x:

+ ⋅ − = − 2

7 33

x → 143

3x − = − → 3x – 14 = – 9 →

→ x = 5

3

La solució del sistema és x = 5

3, y =

2

3−

d) 3 10

3 4 4

x y

x y

− = + =

Podem multiplicar la primera equació per 3− .

3 9 30

3 4 4

x y

x y

− + = − + =− − − − − − − − − − −

13 y = – 26 → y = – 2

Substituïm la y en qualsevol de les dues equacions per trobar la x:

x – 3 · (– 2) = 10 → x + 6 = 10 → x = 4

La solució del sistema és x = 4, y = –2

19. Resol per igualació els sistemes següents:

a)−

− −

2 = 17 9 = 2

x yx y

b)−

−

6 = 42 3 = 11x y

x y

c)−

−

3 = 15 + 3 = 13x y

x y d)

2 + 3 = 46 + 4 = 9

x yy x

a) 2 1

7 9 2

x y

x y

− = − = −

Aïllem la x en totes dues equacions, i igualem:

11 2 92 7 7 4 18 1

2 9 2 77

yx

y yy y y

yx

+ = + − + → = → + = − + → = − + =

Trobem x en qualsevol de les dues equacions:

1 11

2x

+= = .


b) 6 4

2 3 11

x y

x y

− = − =


= + + → + = → + = + → =+ =

4 611 3 1

4 6 8 12 11 311 32 3

2

x yy

y y y yyx

Substituïm el valor de y en qualsevol de les dues equacions:

+= = =

111 3 · 123 6

2 2x

La solució del sistema és x = 6, y = 1

3.

c) 3 1

5 3 13

x y

x y

− = + = −


2

22

MATeMÀTIQUeS 3LA

= + − − → + = → + = − − → = −− − =

1 313 3

1 3 5 15 13 3 113 35

5

x yy

y y y yyx

Substituïm el valor de y en qualsevol de les dues equacions:

x = 1 + 3 · (−1) = −2

La solució del sistema és x = 2− , y = 1− .

d) 2 3 4

6 4 9

x y

y x

+ = + =

Aïllem la y en totes dues equacions, i igualem:

4 24 2 9 43 8 4 9 4 0 1

9 4 3 66

xy

x xx x x

xy

− = − − → = → − = − → = − =

Aquest sistema no té solució. És incompatible.

20. Resol per substitució els sistemes següents:

a)− −

2 3 = 24 + 5 = 40

x yx y

b)−

− −

5 = 233 = 13

x yy x

c)− −

2 + 3 = 153 2 = 9x y

y x d)

− −

3 = 03 = 0y x

x y

a)2 3 2

4 5 40

x y

x y

− = − + =

Aïllem x en la primera equació i substituïm:

2 32 3

4 5 40 4 6 5 40 4224 5 40

yx y

y y y yx y

− + = − + → + = → − + + = → = + = Substituïm el valor de y, per trobar el valor de x:

2 3 · 4

52

x− += =


b) 5 23

3 13

x y

y x

− = − = −

Aïllem la y en la primera equació i substituïm:

= −→ − − = − → − − = − → = − = −

5 233 · (5 23) 13 15 69 13 4

3 13

y xx x x x x

y x

Trobem el valor de y: y = 5 · 4 – 23 = –3.

La solució del sistema és x = 4, y = –3.

c) 2 3 15

3 2 9

x y

y x

+ =− − =

Aïllem la x en la primera equació i substituïm:

15 315 3

3 2 · 9 3 15 3 9 0 24223 2 9

yx y

y y y yy x

− = − → − − = → − − + = → = − − = Aquest sistema no té solució. És incompatible.

d) 3 0

3 0

y x

x y

− = − =

Aïllem la y en la primera equació i substituïm:

33 3 0 0 0

3 0

y xx x x

x y

=→ − = → = − =

Aquest sistema és compatible indeterminat. Té infini-tes solucions.

21. Resol pel mètode més apropiat els sistemes següents:

a)4 3 · ( 2) = 103 · ( ) 8 = 2

y xx y x y− − −

− − − b)

+ 2 5 =

3 62 · ( + 2) = 5

x y

x y

− −

c)

+ + = 927 + 9 + 3 = 938 + 4 + 2 = 36

x y zx y z

x y z d)

− −

7 + + 3 = 524 5 + 6 = 13

+ 15 9 = 52

x y zx y z

x y z

a)4 3 · ( 2) 10 4 3 6 10

3 · ( ) 8 2 3 3 8 2

3 4 16

2 8

y x y x

x y x y x y x y

x y

x y

− − = − − + = − → → − − = − − − = −

− + = −→ − =

Resolem el sistema per substitució:

− + = −→ → − ⋅ + + = − → = +→ − − + = − → = −

3 4 163 (8 2 ) 4 16

8 2

24 6 4 16 4

x yy y

x y

y y y

Trobem x: x = 8 + 2 · (−4) = 0.

La solució del sistema és x = 0, y = −4.

b) + − + = −= → + = − + = −

2 52 4 5

3 62 4 5

2 · ( 2) 5

x yx y

x yx y

Les dues equacions són iguals. És un sistema compa-tible indeterminat. Té infinites solucions.

c)

9

27 9 3 93

8 4 2 36

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

Podem dividir tots els termes de la segona equació entre 3 i tots els termes de la tercera equació entre 2, i així obtenim equacions equivalents més senzilles.

9 9

9 3 31 9 3 31

4 2 18 4 2 18

x y z z x y

x y z x y z

x y z x y z

+ + = = − − + + = → + + = + + = + + =

Substituïm la z de la segona i tercera equacions per la primera expressió, i resolem el sistema d’equacions que hem obtingut:

9 3 9 31 8 2 22

4 2 9 18 3 9

4 11 4 11

3 9 3 9

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y x y

+ + − − = + = → → + + − − = + =

+ = + = → + = − − = −

x / = 2

Trobem y → 4 · 2 + y = 11 → y = 3.

Trobem z → z = 9 – 2 – 3 = 4.

La solució del sistema és: x = 2, y = 3, z = 4.

MATeMÀTIQUeS 3

23

LA

d)

7 3 52

4 5 6 13

15 9 52

x y z

x y z

x y z

+ + = − + = + − =

Aïllem la y de la primera equació, substituïm l’expres-sió que hem obtingut en la segona i tercera equa-cions, i resolem el sistema:

+ + = = − − − + = → − + = → + − = + − =

− ⋅ − − + =→ + ⋅ − − − =

− + + + =→ + − − − =

+ = +→− − = −

7 3 52 52 7 3

4 5 6 13 4 5 6 13

15 9 52 15 9 52

4 5 (52 7 3 ) 6 13

15 (52 7 3 ) 9 52

4 260 35 15 6 13

780 105 45 9 52

39 21 273 13 7

104 54 728

x y z y x z

x y z x y z

x y z x y z

x x z z

x x z z

x x z z

x x z z

x z x

x z

=− − = −

91

52 27 364

z

x z

Multipliquem la primera equació per 4 i resolem el sistema per reducció:

13 7 91 52 28 364

52 27 364 52 27 364

x z x z

x z x z

+ = + = → − − = − − − = −

/ z = 0

Trobem x → 13x + 0 = 91 → x = 7.

Trobem y → y = 52 – 49 – 0 = 3.

La solució del sistema és: x = 7, y = 3, z = 0.

22. En temporada de rebaixes, en Jordi compra un microones i li fan un descompte del 12%. Si paga 237,60 €, quin era el preu de venda del microones abans de les rebaixes?

Anomenem x el preu de venda del microones abans de les rebaixes. Plantegem l’equació:

− = → − = → = →12

237,60 100 12 23 760 88 23 760100

x x x x x

→ x = 270 €

El preu de venda abans de les rebaixes era de 270 €.

23. La raó entre dos nombres és 53

. Si restem 10 del pri-

mer i sumem 10 al segon, la raó s’inverteix. Quins són aquests nombres?

Anomenem x i y els dos nombres. Plantegem dues equa-cions segons les dues condicions que descriu el problema:

55

3 533

10 3 5 50 3 305 3 80

10 5

xy

x yy x

x x yx y

y

= = = → → − − = + − == +


5 255 · 3 80 3 80 25 9 240

3 316 240 15

yy y y y y

y y

− = → − = → − = →

→ = → =

Llavors, x = 5 ·15

253

=

Els dos nombres que buscàvem són 25 i 15.

24. Una garrafa és plena de vi. Se’n treu la tercera part i, després, la meitat del que hi queda. Si en finalitzar la segona extracció encara queden 24 L a la garrafa, qui-na quantitat de vi hi havia al principi?

Anomenem x els litres de vi que té la garrafa al principi, i plantegem l’equació:

1 1 1 1 1 1· 24 24

3 2 3 3 2 6

6 2 3 144 72

x x x x x x x x

x x x x x

− − − = → − − + = → → − − + = → =

La garrafa tenia, al principi, 72 L de vi.

25. Un pare té actualment 5 vegades l’edat del seu fill. D’aquí a tres anys, la seva edat només serà quatre ve-gades superior. Quina edat té ara cadascú?

Representem amb x l’edat del fill i amb 5x l’edat del pare, i plantegem l’equació:

5x + 3 = 4 · (x + 3) → 5x + 3 = 4x + 12 → x = 9

El pare té 45 anys i el fill en té 9.

26. Dos nombres sumen 70. Si dividim el més gran entre 10 i el més petit entre 3 i sumem els quocients, el re-sultat és 14. Quins són aquests nombres?

Anomenem x i 70 – x els dos nombres que busquem, i plantegem l’equació:

7014 3 700 10 420 40

10 3

x xx x x

−+ = → + − = → =

Trobem l’altre nombre 70 – 40 = 30.

Els dos nombres són 40 i 30.

27. Si augmentem en 3 cm el costat d’un quadrat, obte-nim un altre quadrat l’àrea del qual supera en 51 cm2 la del quadrat original. Quant mesura el costat del pri-mer quadrat?

Anomenem x la longitud del quadrat expressada en cen-tímetres. L’àrea del primer quadrat serà A = 2x i la del segon quadrat serà A = + 2( 3)x . Plantegem i resolem l’equació:

+ = + → + = + + → = → =2 2 2 251 ( 3) 51 6 9 6 42 7x x x x x x x

El costat del quadrat mesura 7 cm.

28. Divideix el nombre 571 en dues parts tals que si divi-dim la gran entre la petita s’obtingui 3 de quocient i 87 de residu.

Representem amb x i amb 571 – x les dues parts del nombre 571, i plantegem l’equació sense oblidar que el dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient més el residu.

24

MATeMÀTIQUeS 3LA

x = 3 · (571 – x ) + 87 → x = 1713 – 3x + 87 → 4x = 1800 → x = 450

L’altra part serà 571 – 450 = 121.

Les dues parts són 450 i 121.

29. Un comerciant compra dos rellotges per 3 000 € i els ven per 3 225 €. Quant ha pagat per cada rellotge, si en la venda del primer hi ha guanyat un 20% i en la del segon hi ha perdut un 5%?

Anomenem x el preu de compra del primer rellotge i 3 000 – x el preu de compra del segon rellotge. Plante-gem i resolem l’equació:

+ + − − − = →

→ + + − − − =

20 5(3 000 ) · (3 000 ) 3 225

100 1001 1

(3 000 ) · (3 000 ) 3 2255 20

x x x x

x x x x

+ + − − + = →

→ + + − − + =

1 13 000 150 3 225

5 2020 4 60 000 20 3 000 64 500

x x x x

x x x x

→ 5x = 7500 → x = 1500

Per cada rellotge va pagar 1500 €.

30. La diferència entre dos nombres és 9. Si dividim l’un entre l’altre, obtenim 2 de quocient i 3 de residu. Quins són aquests nombres?

Anomenem x i 9 – x els dos nombres, i plantegem l’equació :

x = 2 · (9 – x) + 3 → x = 18 – 2x + 3 → 3x = 21 → x = 7


31. L’import de dues factures puja 2750 €. Si en l’una ens haguessin fet un descompte del 5%, i en l’altra, del 10%, hauríem pagat 2 550 €. Determina l’import de cada factura.

Representem amb x i 2 750 – x l’import de les dues factu-res, i plantegem l’equació:

− + − − − =5 10

2 750 · (2 750 ) 2 550100 100

x x x x

1 12 750 (2 750 ) 2 550

20 101 1

2 750 275 2 55020 10

x x x x

x x x x

− + − − ⋅ − = →

→ − + − − + =

− + − − + = → =20 55 000 20 5 500 2 51000 1500x x x x x

Una factura puja 1500 € i l’altra 2750 – 1500 = 1250 €.

32. Quina és l’edat dels pares de la Mariona sabent que el pare té tres anys més que la mare i que la setena part de l’edat del pare més la desena part de l’edat de la mare és 15.

Anomenem x l’edat del pare de la Mariona i y l’edat de la mare, i plantegem el sistema d’equacions:

3

157 10

x y

x y

= + + =


+ + = → + + = → = → =3

15 10 30 7 1050 17 1020 607 10

y yy y y y

La mare té 60 anys; el pare, 63 anys.

33. En una taula d’un bar es consumeixen 3 cafès i 2 ensaï-mades i es paguen 7,60 €. En una altra taula consumei-xen 2 cafès i 3 ensaïmades i paguen 8,40 €. Quin és el preu d’un cafè en aquest bar? I d’una ensaïmada?

Anomenem x el preu d’un cafè i y el preu d’una ensaï-mada (expressats en euros), i plantegem el sistema d’equacions:

7,60 23 2 7,60 7,60 2 8,40 332 3 8,40 8,40 3 3 2

215,2 4 25,2 9 5 10 2

yxx y y y

x y yx

y y y y

− =+ = − −→ → = → + = − =

→ − = − → = → =

Trobem x → 7,60 2 · 2 7,60 4

1,23 3

x− −= = =

Un cafè costa 1,2 € i una ensaïmada en costa 2.

34. En un parc hi ha pins, avets i alzines. Quants exemplars de cada espècie hi ha al parc, si sabem que el nombre d’avets i de pins junts suma 27, que el nombre d’avets i d’alzines junts és 22 i que el nombre de pins i d’alzi-nes junts és 25?

Anomenem x el nombre de pins; y, el nombre d’avets, i z, el nombre d’alzines, plantegem el sistema d’equacions i el resolem:

27 2725 27 2

22 2222 22

25 25

x y x yz y y z

y z y zy z y z

x z x z

+ = + = − + = − = + = → + = → → + = + = + = = −

2y / = 24 → y = 12

Trobem z → 12 – z = 2 → z = 10

Trobem x → x + 12 = 27 → x = 15

En el parc hi ha 15 pins, 12 avets i 10 alzines.

35. En Marc ha fet tres exàmens de matemàtiques. La suma de les tres notes és 18. La primera nota supera la segona en dos punts. I la diferència entre la tercera nota i la segona és d’un punt. Quines són les notes obtingudes pel Marc si la nota d’un examen és de 10 punts com a màxim?

Anomenem x, y i z les tres notes dels tres exàmens, i plantegem el sistema d’equacions:

MATeMÀTIQUeS 3

25

LA

182 18 2 16

21 1

1

2 16

1

x y zy y z y z

x yz y y z

z y

y z

y z

+ + =+ + + = + = = + → → → − = − + = − =

+ =→ − = −

3y / = 15 → y = 5

Trobem z → 2 · 5 + z = 16 → z = 6

Trobem x → x = 5 + 2 → x = 7

En els exàmens de matemàtiques en Marc ha obtingut un 7, un 5 i un 6.

Activitats fi nals

Reforç

1. Els nombres − −1 5

, , 12 3

i 0 són les solucions de les

equacions següents. Relaciona cada equació amb la seva solució:

a) 6 · (x – 1) = x + 3 · (x – 2)

b) 2x + 1 = x + 32

c) 4 – 2 · (x + 3) = 13 – 5 · (x + 4)

d) 3 + (x – 1)(x + 4) = (x +2)(x – 2)

a) 6 (x – 1) = x + 3 (x – 2) → 6x – 6 = x + 3x – 6 → 2x = 0 → x = 0

b) 2x + 1 = x + 3

2 → 4x + 2 = 2x + 3 → 2x = 1 →

1

2x =

c) 4 – 2 (x + 3) = 13 – 5 (x + 4) → 4 – 2x – 6 = 13 – 5x – 20

→ 3x = –5 → x = − 5

3

d) 3 + (x – 1) (x + 4) = (x +2) (x – 2) → 2 23 4 4 4 3 3 1x x x x x x+ + − − = − → = − → = −


a) 3 · (x – 3) – 4 · (2 – 3x) = 2 · (1 – 2x)

b) − − − 2 1

· 3 = 2 · 3 5 3 2 5

x x x

c) − − −− − 2 4 3

= 02 4 3

x x x

d) −

3 1 =

2 + 5 1x x

e) −2 25 + = ( 2)x x

f) (3x – 2) · 8 – 4 · (5 + 6x) = 6 · (4 – x)

g) − − −2 210 = 4 ( 3)x x x

h) − − − − + 4 2

2 · ( 5) = 5 · 3 15 5

x xx

a) 3 · (x – 3) – 4 · (2 – 3x) = 2 · (1 – 2x) → → 3x – 9 – 8 + 12x = 2 – 4x → 19x = 19 → x = 1

b)

→ 2x – 30 = 10x – 15 – 6x → 2x = –15 → x =

c) 2 4 3

0 6 12 3 12 4 12 02 4 3

12 12

x x xx x x

x x

− − −− − = → − − + − + = →

→ − = − → =

d) 3 1

3 3 2 5 82 5 1

x x xx x

= → − = + → =+ −

e) −+ = − → + = − + → = − → =2 2 2 2 1

5 ( 2) 5 4 4 4 14

x x x x x x x

f) (3x – 2) · 8 – 4 · (5 + 6x) = 6 · (4 – x) → → 24x – 16 – 20 – 24x = 24 – 6x → 6x = 60 → x = 10

g) 2 2 2 2

2 2

10 4 ( 3) 10 4 ( 6 9)

1910 4 6 9 10 19

10

x x x x x x x

x x x x x x

− = − − → − = − − + →

→ − = − + − → = → =

h) + + − − ⋅ − = − ⋅ − → − + = + →

→ + − + = − + → =

4 2 42 ( 5) 5 2 10 2

3 15 5 3 3

4 6 30 6 7

x x x xx x

x x x x

3. Esbrina si els valors de x i y proposats són solució de cadascuna de les equacions següents:

a) 7x + 2y = 26 x = − 17

i y = 13 x = 277

i y = − 12

b) 2x – 5y = –1 x = 0 i y = 5 x = –5 i y = − 95

a) 7x + 2y = 26

x = 1

7− i y = 13 → ⋅ − + ⋅ = − + =

17 2 13 1 26 25

7

No és solució.

27

7x = i y =

1

2− → ⋅ + ⋅ − = − =

27 17 2 27 1 26

7 2

És solució.

b) 2x – 5y = – 1

x = 0 i y = 5 → 0 – 5 · 5 = – 25

No és solució.

x = – 5 i y = 9

5− → 2 · (–5) – 5 · −

9

5= –10 + 9 = –1

És solució.

4. Troba cinc solucions per a cada una de les equacions:

a) 2x – 2y = 0 b) 3x + y = 20 c) 2x – y = 5

d) 3x + 2y = 10 e) x – 4y = 12

Resposta oberta. Per exemple: a) x = 1, y = 1; b) x = 0,

y = 20; c) x = 1, y = – 3; d) x = –1, y = 13

2; e) x = 4, y = –2.

5. Troba el valor de m perquè l’equació 5x – my = 18 tin-gui com a solució x = 3 i y = 1.

5 · 3 – m = 18 → 15 – m = 18 → m = –3

2 1 2 2· 3 2 · 2 1

3 5 3 2 5 15 3

152 30 10 15 8 15

8

x x x x x

x x x x

− = − − → − = − → −→ − = − → = − → =

2 1 2 2· 3 2 · 2 1

3 5 3 2 5 15 3

152 30 10 15 8 15

8

x x x x x

x x x x

− = − − → − = − → −→ − = − → = − → =

2 1 2 2· 3 2 · 2 1

3 5 3 2 5 15 3

152 30 10 15 8 15

8

x x x x x

x x x x

− = − − → − = − → −→ − = − → = − → =

→

2

26

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. Representa en un mateix gràfic algunes de les solu-cions de les equacions –4x + y = 9 i –3x + y = 7. Tenen cap solució en comú? Comprova la teva resposta reso-lent algèbricament el sistema d’equacions.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

6789

10

P (–2,1)

–3x+y=7

–4x+y=9y

4 9 4 9

3 7 3 7

x y x y

x y x y

− + = − = − → − + = − + =

x / = –2

–4 · (–2) + y = 9 → 8 + y = 9 → y = 1

La solució del sistema és x = –2, y = 1. Les dues rectes es tallen en el punt P (–2, 1).

7. Digues de quin tipus són els sistemes següents:

a)

2 + 5 = 74 + 10 = 14

x yx y

b) −

−

= 72 + 2 = 0

x yx y

c) −

−

= 42 = 8x y

x y d)

−

+ = 7 = 1

x yx y

a) Si observem els coeficients de x i de y en les dues equacions, es pot veure que la segona equació resulta de multiplicar la primera equació per 2; per tant, és un sistema compatible indeterminat.

b) Si multipliquem per –2 els termes de la primera equa-ció, podem veure que aquest sistema no té solució. És incompatible.

c) Si observem els coeficients de x i de y, per eliminació, podem deduir que es tracta d’un sistema compatible determinat.

d) En aquest cas, també es tracta d’un sistema compati-ble determinat.

8. Troba el valor de m perquè el sistema següent sigui incompatible:

2 + = 54 + 2 =

x yx y m

Comprova la solució resolent el sistema algèbrica-ment.

Si m = 10, el sistema seria compatible indeterminat. El sis-tema serà incompatible si el valor de m és diferent de 10.

Per exemple, si agafem m = 1 i resolem el sistema:

2 5 5 2

4 2 · (5 2 ) 14 2 1 4 2 1

4 10 4 1 0 9

x y y xx x

x y x y

x x x

+ = = − → → + − = → + = + =

→ + − = → = −

Efectivament, el sistema no té solució.

9. Resol per igualació els sistemes següents:

a) −

2 + = 114 + 3 = 22

x yy x

b) −

−

7 + 2 = 34 + 14 = 2

y xx y

c) − −

= 26 = 5x y

x y

a)11 2

2 11 22 311 222 3

4 3 22 44

44 8 22 3 2

y xx y x

xxy x y

x x x

= +− + = − → + = →− + = = → + = − → = −

y = 11 + 2 · (–2) = 11 – 4 = 7

La solució del sistema és x = –2, y = 7.

b)

3 77 2 3 3 7 2 1424 14 2 2 14 2 4

412 28 4 28 0 16

yxy x y y

x y yx

y y y

+ =− + = + −→ → = → − + = − − = −

→ − − = − → =

No té solució. Sistema incompatible.

c) 2

2 525

6 5 66

12 6 5 12

x yx y y

yyx y x

y y y

= − +− = − → → − + = → = = → − + = → =

x = −2 + 12 = 10


10. Resol per substitució els sistemes següents:

a) − −

2 + 3 = 26 6 =1x y

y x b)

2 3 = 03 · ( 2) = +

x yx x y− −

−

c) −

2 = = 1,5 + 7x y y

y x

a) −+ = = − → → − − ⋅ = → − − = − − =

→ − − + = → = → =

2 32 3 2 2 3

6 6 126 6 1 26 6 1

76 6 9 1 3 7

3

yx y x y

yy x

y x

y y y y

− ⋅ − −= = =

72 3 2 7 53

2 2 2x

La solució del sistema és x = −5

2, y =

7

3.

b) − − = = −

→ → − = − → = − = + − = +

2 3 0 2 32 6 2 3 0 3

3·( 2) 3 6

x y y xx x x

x x y x x y

El sistema no té solució. És incompatible.

MATeMÀTIQUeS 3

27

LA

c) 2 2 2

1,5 7 1,5 7 1,5 7

1,5 7 0,5 7 14

x y y y x y x

y x y x y x

x x x x

− = = = → → → = + = + = +

→ = + → = − → = −


11. Resol per reducció els sistemes següents:

a) −

− −

5 + 9 = 42 7 = 5

x yx y

b)

−

2 11 + =

3 2 65

= 2

x y

y x

c) −

13 + 19 = 3239 7 = 32

x yx y

a) 5 9 4

2 7 5

x y

x y

− + = − = −

Multipliquem la primera equació per 2 i la segona per 5.

10 18 8

10 35 25

x y

x y

− + = − = −− − − − − − − − − − −

17− y = 17− → y = 1

Trobem x → 2x – 7 = −5 → 2x = 2 → x = 1


b)

2 114 3 11 4 3 113 2 62 2 5 2 2 55

2

x yx y x y

y x x yy x

+ = + = + = → → − = − + = − =

Multipliquem la segona equació per 2.

4 3 11

4 4 10

x y

x y

+ =− + =− − − − − − − − −

/ 7y = 21 → y = 3

Trobem x → 4x + 3 · 3 = 11 → 4x = 2 → x = 1

2 La solució del sistema és x =

1

2, y = 3.

c) 13 19 32

39 7 32

x y

x y

+ = − =

Multipliquem la primera equació per −3 .

39 57 96

39 7 32

x y

x y

− − = − − =− − − − − − − − − − − −

/ – 64 y = – 64 → y = 1

Trobem x → 13x + 19 = 32 → x = 1


12. Resol algèbricament els sistemes següents:

a) −

−

3 4 = 13 + 1 3

= 5 2

x yy x b)

− −

= 2 9

14 = 0

x y

x y

c) 2 · ( + 2) = 5

5x + 2 =

2

x yy

− −

−

a) 3 4 13

3 4 13 3 4 131 3

2 2 5 15 5 2 175 2

3 4 13

10 4 34

x yx y x y

y xy x x y

x y

x y

− = − = − = → → →+ − + = − − + = −= − =

→ − + = − --------------------

– 7 x / = – 21 → x = 3

Trobem y → 3 · 3 – 4y = 13 → 9 – 4y = 13 → y = 1−

La solució del sistema és x = 3, y = 1− .

b) 2

9 22 9 9

1414 0 14

214 2 9 126 18

9

x y yx y x

x yx y x y

yy y y y

== = → → → − = − − = − =

→ − = → − = → = −

Trobem x → ⋅ −= = −2 ( 18)

49

x


c) ⋅ + − = − + − = − − = − → →− + = − − = −+ =

2 ( 2) 52 4 5 2 9

52 4 5 2 92

2

x yx y x y

yx y x yx

Aquest sistema és compatible indeterminat. Té infini-tes solucions.


a) − −

2 = 103

= 4

x yxy

b)

− − −

1 + 3 =

2 3

+ = 23

x yx y

yx

c) −

− −

2 + = 7 = 1

3 = 1

x y zy z

z y d)

+ = 1 + = 9 + + z = 0

x yy zx y

a)

2 10 10 22 10

3 34 3

4 4

310 2 40 8 3 8

4

x y x yx y

x yx y x

y

yy y y y

− = − = − +− = − → → → = = =

→ − + = → − + = → =

Trobem x → ⋅= =3 86

4x


28

MATeMÀTIQUeS 3LA

b)

1 33 3 2 6 6 62 33 6

23

3 4 9

3 6

x yx y x y x y

y x yx

x y

x y

− + − = − − − − = − → → + = + =

− + =→ + = --------------------

/ 5y = 15 → y = 3

Trobem x → 3x + 3 = 6 → 3x = 3 → x = 1


c)

2 7

1

3 1

x y z

y z

z y

+ − = − = − =

Substituint y – z = 1 a la 1a equació → 2x + 1 = 7 → → x = 3.

Tenint en compte la 2a equació i la 3a:

1

3 1

2 2 1

y z

y z

z z

− =− + =

= → = Trobem y → y – 1 = 1 → y = 2

La solució del sistema és x = 3, y = 2, z = 1.

d)

1

9

0

x y

y z

x y z

+ = + = + + =

Tenint en compte la 1a equació i la 3a → 1 + z = 0 → → z = –1.

Tenint en compte la 2a equació i la 3a → x + 9 = 0 → → x = –9.

Trobem y → y = 1 – x → y = 1 – (–9) = 10.

La solució del sistema és x = 9− , y = 10, z = 1− .

14. Per una bicicleta rebaixada un 8% hem pagat 115 €. Quin era el preu abans de la rebaixa?

Anomenem x el preu de la bicicleta abans de la rebaixa (en euros), i plantegem l’equació:

− = → − = → = → =8

115 100 8 11 500 92 11 500 125100

x x x x x x

La bicicleta costava 125 €, abans de la rebaixa.

15. Troba dos nombres enters consecutius que sumin 60.

Anomenem x i x + 1 els dos nombres enters consecutius, i plantegem l’equació:

x + x + 1 = 60 → 2x = 59 → x = 29,5

La solució de l’equació no té cap sentit, perquè 29,5 no és un nombre enter. Aquest problema no té solució.

16. El perímetre d’un rectangle fa 28 cm. Calcula l’àrea d’aquest rectangle sabent que una de les seves di-mensions és 4 cm més gran que l’altra.

Anomenem x l’altura del rectangle i x + 4 la base, i plan-tegem l’equació:

2x + 2 · (x + 4) = 28 → 2x + 2x + 8 = 28 → 4x = 20 → x = 5

L’altura del rectangle mesura 5 cm, i la base, 9 cm.

L’àrea del rectangle és A = 5 · 9 = 45 cm2.

17. Determina una fracció tal que, en sumar 2 al seu nu-merador, es transformi en 1, i en sumar 5 al denomina-

dor, s’obtingui una fracció equivalent a 12

.

Anomenem x

y la fracció que busquem, i plantegem el

sistema:

21

22 2 5 7

1 2 5

5 2

x

x yyx x x

x x y

y

+ = + = → → = + + → = = + = +

Trobem y → 7 + 2 = y → y = 9

La fracció és 7

9.

18. Un pare té 49 anys, i el seu fill, 26. Quants anys fa que l’edat del pare era el doble de la del fill?

Anomenem x els anys que fa que l’edat del pare era el doble de la del fill, i plantegem l’equació:

49 – x = 2 · (26 – x) → 49 – x = 52 – 2x → x = 3

Fa tres anys, l’edat del pare era el doble de la del fill.

19. La Mercè té 20 monedes a la seva guardiola, unes de 50 cèntims i unes altres de 20 cèntims. Quantes mone-des té de cada tipus si sumen un total de 5,50 €?

Anomenem x el nombre de monedes de 50 cèntims i 20 – x el nombre de monedes de 20 cèntims:

5,50 € són 550 cèntims.

50x + 20 · (20 – x) = 550 → 50x + 400 – 20x = 550 → → 30x = 150 → x = 5

La Mercè té 5 monedes de 50 cèntims i 15 monedes de 20 cèntims.

20. Un nombre consta de dues xifres que sumen 9. Troba’l sabent que supera en 9 unitats el nombre que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres.

Anomenem x i y les xifres del nombre. El nombre és 10x + y, i el que resulta d’invertir-ne les xifres és 10y + x. Així, plantegem el sistema d’equacions:

9 9 9

10 10 9 9 9 9 1

x y x y x y

x y y x x y x y

+ = + = + = → → + = + + − = − =

---------------

2x / = 10 → x = 5 Trobem y → 5 + y = 9 → y = 4

És el nombre 54.

MATeMÀTIQUeS 3

29

LA

21. Per tancar una finca rectangular, s’utilitzen 1300 m de filat. Calcula les dimensions del terreny sabent que si tingués 100 m menys de llargada i 100 m més d’am-plada, seria quadrat.

Anomenem x la llargada de la finca i y l’amplada (en me-tres). Plantegem el sistema d’equacions:

+ = + = → − = + − =

2 2 1 300 650

100 100 200

x y x y

x y x y

---------------

2x / = 850 → x = 425

Trobem y → 425 + y = 650 → y = 225

Les dimensions del terreny són 425 m de llargada i 225 m d’amplada.

22. Un comerciant té dues classes de sucre de canya, l’una a 2 €/kg i l’altra a 2,50 €/kg. Quants quilograms de cada classe ha de barrejar per obtenir 80 kg de sucre a 2,20 €/kg si no pretén guanyar ni perdre diners en l’operació?

Anomenem x els quilograms de sucre de 2 €/kg i (80 – x) els quilograms de sucre de 2,50 €/kg, i plantegem l’equació:

2x + 2,50 · (80 – x) = 80 · 2,20 → 2x + 200 – 2,50x = 176 → − 0,50x = 24− → x = 48

Trobem 80 – x = 80 – 48 = 32.

Ha d’agafar 48 kg de sucre de 2 €/kg i 32 kg de sucre de 2,50 €/kg.

23. Uns pantalons i una americana valen 210 €. Quin és el preu de cada peça de roba si el preu dels pantalons és 37

del de l’americana?

Anomenem x el preu de l’americana, i plantegem l’equació:

+ = → + = → = → =3

210 7 3 1 470 10 1 470 1477

x x x x x x

Trobem el preu dels pantalons → ⋅ =3147 63.

7 El preu de l’americana és de 147 €, i el dels pantalons, 63 €.

24. En Martí té una gallina, un gos i un gat. Ajuda’l a esbri-nar el pes de cada animal si sap que la gallina i el gos pesen conjuntament 10 kg; el gos i el gat, 11 kg, i la gallina i el gat, 7 kg.

Anomenem x, y i z el pes de la gallina, el gos i el gat, res-pectivament, i plantegem el sistema d’equacions:

10 1011 11

11 1110 7 3

7 7

x y x yy z y z

y z y zy z y z

x z x z

+ = = − + = + = + = → + = → → − + = − + = − + = + =

-------------- / 2z = 8 → z = 4

Trobem y → y + 4 = 11 → y = 7.

Trobem x → x = 10 – 7 = 3.

El pes de la gallina és de 3 kg; el del gos, de 7 kg, i el del gat, de 4 kg.

25. Busca dos nombres tals que si sumes 7 al primer, ob-tens el segon, i si afegeixes 3 al segon, obtens el doble del primer.

Anomenem x i y els dos nombres, i plantegem el sistema d’equacions:

77 3 2 10

3 2

x yx x x

y x

+ =→ + + = → = + =

Trobem y → y = 10 + 7 = 17.


26. En una parada del mercat hi ha llebres i galls dindi. Si en total es compten 23 caps i 68 potes, quantes llebres i quants galls dindi tenen per vendre?

Anomenem x el nombre de llebres i (23 – x) el nombre de galls dindi. Plantegem i resolem l’equació:

4x + 2 · (23 – x) = 68 → 4x + 46 – 2x = 68 → 2x = 22 → → x = 11

Trobem 23 – x = 23 – 11 = 12.

A la parada del mercat, hi ha 11 llebres i 12 galls dindi.

Ampliació

1. Aïlla la lletra x en cadascuna de les igualtats següents:

a) 2ax = ax + 3b

b) qx + 2x – a = 3x + 2c

c) − − − − − 37

2 = 3 + 4 5 10 4 20a a a a

x x x x

a) 2ax = ax + 3b → 2ax – ax = 3b → x · (2a – a) = 3b →

→ x · a = 3b → 3bx

a=

b) qx + 2x – a = 3x + 2c → qx + 2x – 3x = a + 2c → → x · (q + 2 – 3) = a + 2c → x (q – 1) = a + 2c

2

1

a cx

q

+=−

c) 37

2 3 45 10 4 20

a a a ax x x x

− − − = − + −

372 3 4

5 10 4 2020 4 40 2 60 5 80 37

160 404

a a a ax x x x

x a x a x a x a

ax a x

− − + = − + − →

→ − − + = − + − →

→ − = − → =

2. Resol:

a) − −

3 2 =

2 · (2 + 3 ) 4 · ( + 3)x x

30

MATeMÀTIQUeS 3LA

b) 2 2(2 + 1) (2 1) = 208x x− −

c) −

1 + 52 = 3

1 2

x

x

d) 9 · ( + 4) · ( 5) = 3 · (2 3 )x x x x− − −

e) 1 + 3 2

· (3 + 1) = + 53 5 10

x xx x

−− −

f) −−

1+

2 12 = 03 4

xx

g) 1 1

1 + = 1 + 1 1

+ 1 + 2 3

x

h) − −− −

3 5 =

4 6x xx x

a) 3 2

12 ( 3) 4 (2 3 )2 (2 3 ) 4 ( 3)

12 36 8 12 0 28

x xx x

x x x

= → − ⋅ + = − ⋅ + →− ⋅ + − ⋅ +→ − − = − − → =

Aquesta equació no té solució.

b) 2 2 2 2(2 1) (2 1) 208 4 4 1 4 4 1 208

8 208 26

x x x x x x

x x

+ − − = → + + − + − = →→ = → =

c)

21

5 5 2 52 2

3 2 3 2 31

2 21

6 3 10 5 8 42

x xx

x x x

x x x x

+++= → = → = →

− −−

→ + = − → = → =

d)

e) 1 3 2

(3 1) 53 5 10

10 (3 1) 6 18 3 6 30 150

30 10 6 18 3 6 30 150

1529 152

9

x xx x

x x x x

x x x x

x x

+ −⋅ + − − = + →

→ ⋅ + − − − + = + →→ + − − − + = + →

−→ − = → =

f)

1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2

0 0 03 4 3 4 6 4

54 2 6 3 0 2 5

2

xx

x x x x

x x x x

++− − + −− = → − = → − = →

→ + − + = → − = − → =

g)

h)

2 2

3 5( 3) ( 6) ( 4) ( 5)

4 69 18 9 20 0 2

x xx x x x

x x

x x x x x

− −= → − ⋅ − = − ⋅ − →− −

→ − + = − + → =


3. Troba el valor de m perquè l’equació ⋅ − −−+ 2 (1 2 ) 3

= 3 6 2

x m x x

tingui com a solució x = –2.

Substituïm la x per –2, i resolem l’equació:

2 2 (1 4) 2 3 5 50

3 6 2 6 25 15 3

m m

m m

− + ⋅ + − − −− = → − = →

→ − = − → =

4. Representa en un mateix gràfic algunes de les solu-cions de les equacions següents:

x – y = 4 x + 2y = 10 x + y = 0

Determina les coordenades dels tres vèrtexs del trian-gle que determinen les rectes corresponents.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

5

6789

10

–6–7–8–9–10 6 x7

–3

y11

P1(–10, 10)

x – y = 4

x + 2y = 10

P3(6, 2)

P2(2, –2)

x – y = 0

P1 (–10, 10), P

2 (2, –2), P

3 (6, 2)

5. La representació gràfica de l’equació ax + by = 15 pas-sa pels punts de coordenades P1 (2, –1) i P2 (–2, –29). Troba els valors de a i b.

Substituïm les coordenades dels punts en l’equació ax + by = 15 i resolem el sistema d’equacions que hem obtingut:

2 15

2 29 15

a b

a b

− =− − =− − − − − − − − −

/ –30 b = 30 → b = –1

Trobem a → 2a – ( 1− ) = 15 → 2a + 1 = 15 → 2a = 14 → a = 7

El valor de a és 7 i el de b és 1− .

6. Sigui el sistema: −

−

2 = 8 4 = 16

x ymx y

Quin ha de ser el valor de m perquè el sistema sigui compatible indeterminat?

Es pot veure a simple vista que m ha de ser 2.

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

2 2 2 2

9 ( 4) ( 5) 3 (2 3 )

9 ( 5 4 20) 6 9 9 45 36 180 6 9

3 180 60

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ − →

→ − ⋅ − + − = − − + − + = − →→ = − → = −

1 1 1 1 2 31 1 1 1 1 1

1 1 2 1 4 2 1 412 3 2 3

2 1 2 7 2 1 2 7 2 3 7

2 1 4 2 1 4 2 1 45

8 12 14 7 6 56

x xx

x x x

x x x

x x x x

+ = + → + = + → + = + →+ ++ +

+ + + + +→ = → = → = →+ + +

→ + = + → = → =

1 1 1 1 2 31 1 1 1 1 1

1 1 2 1 4 2 1 412 3 2 3

2 1 2 7 2 1 2 7 2 3 7

2 1 4 2 1 4 2 1 45

8 12 14 7 6 56

x xx

x x x

x x x

x x x x

+ = + → + = + → + = + →+ ++ +

+ + + + +→ = → = → = →+ + +

→ + = + → = → =

1 1 1 1 2 31 1 1 1 1 1

1 1 2 1 4 2 1 412 3 2 3

2 1 2 7 2 1 2 7 2 3 7

2 1 4 2 1 4 2 1 45

8 12 14 7 6 56

x xx

x x x

x x x

x x x x

+ = + → + = + → + = + →+ ++ +

+ + + + +→ = → = → = →+ + +

→ + = + → = → =

MATeMÀTIQUeS 3

31

LA

7. Considera el sistema: −

−

= 43 3 = x y

x y m

Quins valors pot tenir m perquè el sistema sigui in-compatible?

Es pot veure a simple vista que m ha de prendre qualse-vol valor diferent de 12, ja que tots els termes de la sego-na equació són el resultat de multiplicar la primera equació per 3. Si m fos 12, llavors el sistema seria compa-tible indeterminat.


a)

− − − − − − −

7 6 = 1

11 3 + 2 11

= + 1 2

x yx y

x yx y

b) 2 2

2 = 5

+ 1

( 2) 3 = 24

xy

x y x

− − − −

c)

− −

1 1 + = 5

1 1 = 1

x y

x y

d)

−

2 3 + = 2

7 6 3 =

2

x y

x y

a)

7 61

3 21 11 66 33 33 3311 32 11 2 2 4 11 11 111 2

30 22 78

9 13 15

x yx y

x y x y

x y x y x yx y

x y

x y

− − − = − − − − + = − − → → + − + − = − + = − +

− + = −→ − + =

78 2230 22 78 78 22 15 13309 13 15 15 13 30 9

9702 198 450 390 192 1 152 6

yxx y y y

x y yx

y y y y

+ =− = + − +→ → = → − = − − + =

→ + = − + → − = − → =

Trobem x → 15 13 · 6 15 78 63

79 9 9

x− + − += = = = .

La solució del sistema és x =7, y = 6.

b) 2 2

2 2

25 2 5 5

14 4 3 24

( 2) 3 24

5 7 4 20 28

4 3 28 4 3 28

xx y

yx x y x

x y x

x y x y

x y x y

− = − = + + → → − + − = − − − = −− = − =

→ → − − = − − − = −

-------------------------

/ –23y = 0 → y = 0

Trobem x → x – 5 · 0 = 7 → x = 7.


c)

1 15

1 11

x y

x y

+ = − = −

Si sumem directament, terme a terme, podem resol-dre el sistema per reducció:

1 15

1 11

x y

x y

+ = − = −

-----------------

2

x / = 4

12 4

2x x→ = → =

Trobem y 1 1 1 1 1

5 2 5 31 32

yy y y

→ + = → + = → = → =

La solució del sistema és x = 1

2, y =

1

3.

d)

2 32

7 6 3

2

x y

x y

+ = − =

Si multipliquem per 2 tots els termes de la primera equació, podem resoldre el sistema per reducció:

2 3 4 62 4

7 6 3 7 6 3

2 2

x y x y

x y x y

+ = + = → − = − =

--------------

11/x / = 11/2 11 22 2x x→ = → =

Trobem y 2 3 3 3

2 1 2 1 32

yy y y

→ + = → + = → = → = .


9. Resol els sistemes d’equacions següents:

a)

− −

+ = 72 3

+ + = 112 3

+ = 53 2

x yz

y zx

x zy

b)

+ 2 7 =

5 + 6 93 + 4 8

= + 2 7

+ + = 128

x yx zy z

x yx y z

a)

72 3

112 3

53 2

x yz

y zx

x zy

− + = + + = + − =

78 2230 22 78 78 22 15 13309 13 15 15 13 30 9

9702 198 450 390 192 1 152 6

yxx y y y

x y yx

y y y y

+ =− = + − +→ → = → − = − − + =

→ + = − + → − = − → =

78 2230 22 78 78 22 15 13309 13 15 15 13 30 9

9702 198 450 390 192 1 152 6

yxx y y y

x y yx

y y y y

+ =− = + − +→ → = → − = − − + =

→ + = − + → − = − → =

78 2230 22 78 78 22 15 13309 13 15 15 13 30 9

9702 198 450 390 192 1 152 6

yxx y y y

x y yx

y y y y

+ =− = + − +→ → = → − = − − + =

→ + = − + → − = − → =→

32

MATeMÀTIQUeS 3LA

Primer traiem denominadors

3 2 6 42

6 3 2 66

2 6 3 30

x y z

x y z

x y z

− + = + + = + − =

Resoldrem el sistema per reducció. Primer, agafem la primera i la tercera equacions i multipliquem els ter-mes de la tercera equació per 2.

3 2 6 42

4 12 6 60

x y z

x y z

− + = + − =− − − − − − − − − − − −

7x + 10 y / = 102

Ara, agafem la primera i la segona equacions i multi-pliquem els termes de la segona equació per 3− :

3 2 6 42

18 9 6 198

x y z

x y z

− + =− − − = −− − − − − − − − − − − − − −

− 15x – 11y / = 156−

Agafem el sistema format per les dues equacions ob-tingudes, i el resolem:

7 10 102

15 11 156

x y

x y

+ =→− − = −

77 110 1 122

150 110 1 560

x y

x y

+ =− − = −− − − − − − − − − − − − − −

− 73x / = − 438 → x = 6

Trobem y → 7 · 6 + 10 y = 102 → y = 6.

Trobem z → 3 · 6 – 2 · 6 + 6z = 42 → 6z = 36 → z = 6.


b)

2 7

5 6 93 4 8

2 7

128

x y

x zy z

x y

x y z

+ = ++ = +

+ + =

Primer traiem denominadors:

9 18 35 42 26 18 42 0

21 28 8 16 8 5 28 0

128 128

26 18 42 026 18 (128 ) 42 0

8 5 28 08 5 (128 ) 28 0

128

26 2 304 18 18 42 0

8

x y x z x y z

y z x y x y z

x y z x y z

x y zx x z z

x y zx x z z

y x z

x x z z

+ = + − + − = + = + → − + + = → + + = + + =

− + − =− + ⋅ − − − =→ − + + = → → − + ⋅ − − + = = − −

− + − − − =→

− 640 5 5 28 0

44 60 2 304 11 15 576

13 23 640 13 23 640

576 15576 15

13 23 640111113 23 640

7 488 195 253 7 040 448 448 1

x x z z

x z x z

x z x z

zx z

zx z

z z z z

→ + − − + =

− − = − − − = − → → → − + = − − + = −

− = − → → − ⋅ + = − → − + = −→ − + + = − → = → =

Trobem x 576 15 1

51.11

x− ⋅→ = =

Trobem y → y = 128 – 51 – 1 = 76.


10. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la dife-rència entre els seus quadrats és 384. Quins són aquests nombres?

Anomenem x i (x − 4) els dos nombres naturals, i plante-gem l’equació:

2 2 2 2

2 2

( 4) 384 ( 8 16) 384

8 16 384 8 400

x x x x x

x x x x

− − = → − − + = →

→ − + − = → =

x = 50

Un nombre és 50, i l’altre, 50 – 4 = 46.

11. En una fracció, el denominador és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al numerador, la fracció que en resulta és igual a la inversa de la frac-ció original. Quina és aquesta fracció?

Anomenem x el numerador de la fracció i (x + 4) el deno-minador. Si afegim 24 al numerador, en resulta la fracció

inversa, que és 4x

x

+. Plantegem l’equació:

2 224 424 8 16 16 16 1

4

x xx x x x x x

x x

+ += → + = + + → = → =+

La fracció és 1

5.

12. Un venedor ha fet un viatge amb cotxe. Ha dividit el trajecte en dues etapes: en la primera ha consumit la meitat de la benzina que tenia al dipòsit, i en la sego-na, la meitat de la que hi quedava. Si al dipòsit de l’au-tomòbil hi han quedat encara 10 L de carburant, quants litres de benzina ha consumit en cada etapa? Quants quilòmetres ha recorregut en total si el cotxe consumeix una mitjana de 6,25 L cada 100 km?

Anomenem x els litres de benzina que hi havia en el di-pòsit, i plantegem l’equació:

1 1 1 1 110 10

2 2 2 2 4

4 2 40 40

x x x x x x

x x x x

− − ⋅ = → − − = → → − − = → =

En el dipòsit hi havia 40 L de benzina. En la primera etapa va consumir 20 L de carburant, i en la segona, 10 L.

Si el cotxe va consumir una mitjana de 6,25 L a cada 100 km, calculem els quilòmetres que va recórrer amb 30 L:

6,25 L 30 L480 km

100 kmx

x= → =

Va recórrer 480 km.

MATeMÀTIQUeS 3

33

LA

13. Dos comerciants compren, respectivament, 90 i 100 llaunes de conserva a 3 € la unitat. El primer les ven 0,50 € més cares que el segon, però els dos hi guanyen el mateix quan les venen. Troba el preu de venda que ha establert cada comerciant.

Anomenem x el preu de venda del segon comerciant, i (x + 0,50) el preu de venda del primer comerciant. El be-nefici del primer és 90 · (x + 0,50) – 90 · 3, i el benefici del segon és 100x – 100 · 3.

Com que guanyen el mateix, podem plantejar i resoldre l’equació:

90 · (x + 0,50) – 90 · 3 = 100x – 100 · 3 → → 90x + 45 – 270 = 100x – 300 → x = 7,5

El preu de venda del segon comerciant és de 7,5 €, i el preu de venda del primer comerciant és de 8 €.

14. Les edats d’una mare i el seu fill sumen 83 anys. Quan la mare tenia l’edat del fill, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrina l’edat de cadascun.

Anomenem x i y les edats actuals de la mare i del fill, i plantegem el sistema d’equacions segons les dues con-dicions del problema:

+ = + = + = → → + − − = − = − + =

83 83 83

( ) 33 3 33 3 33

x y x y x y

y y x y y x x y

---------------

/ 4 y = 116 → y = 29

Trobem x → x + 29 = 83 → x = 54.

La mare té 54 anys, i el seu fill, 29.

15. Esbrina l’edat del pare de la Gemma sabent que el nombre que expressa els anys que té és 6 vegades la suma de les seves dues xifres, i que fa 9 anys la seva edat s’expressava amb les mateixes xifres que les de l’edat que té ara.

Anomenem x i y les dues xifres del nombre que repre-senta l’edat actual del pare de la Gemma i (10x + y) és aquest nombre. Plantegem el sistema d’equacions se-guint les condicions de l’enunciat del problema:

10 6 ( ) 10 6 6

10 9 10 9 9 9

4 5 0 4 5 0

1 1

4 ( 1) 5 0 4 4 5 0 4

x y x y x y x y

x y y x x y

x y x y

x y x y

y y y y y

+ = ⋅ + + = + → → + − = + − =

− = − = → → → − = = + → ⋅ + − = → + − = → =

Trobem x → x = 4 + 1 = 5.

L’edat del pare de la Gemma és de 54 anys.

16. El perímetre d’un rectangle fa 22 cm. En augmentar 3 cm una de les dimensions del rectangle i 2 cm l’altra, la seva àrea augmenta 32 cm2. Determina les longi-tuds dels costats d’aquest rectangle.

Anomenem x la longitud de la base del rectangle i y la longitud de l’altura, i plantegem el sistema d’equacions respectant les condicions de l’enunciat:

2 2 22 11

( 3) ( 2) 32 2 3 6 32

11 112 (11 ) 3 26

2 3 26 2 3 26

22 2 3 26 4

x y x y

x y xy xy x y xy

x y x yy y

x y x y

y y y

+ = + = → → + ⋅ + = + + + + = +

+ = = − → → → ⋅ − + = → + = + = → − + = → =

Trobem x → x = 11 – 4 = 7.

La base del rectangle mesura 7 cm, i l’altura, 4 cm.

17. Esbrina la quantitat de diners que tenen tres persones sabent que si afegim al que té la primera la meitat del que tenen les altres dues juntes, resulten 150 €; si afe-gim al que té la segona la meitat del que tenen les al-tres dues juntes, obtenim 165 €; sumant el que té la tercera i la meitat del que tenen les altres dues juntes, resulten 185 €.

Anomenem x, y i z la quantitat de diners que tenen les tres persones, respectivament, i plantegem el sistema d’equacions:

1502 2 300 300 2

165 2 330 2 3302

2 370 2 370185

2

2 (300 2 ) 330 600 4 2 330

2 300 2 370 70

3 270

70

y zx

x y z y x zx z

y y x z y x z

z x y z x yx yz

x z x z x z x z

z x x z x z

x z

x z

+ + =+ + = = − −

+ + = → + + = → + + = → + + = + + = + + =

⋅ − − + + = − − + + = → → + + − − = − + =

− − = −→

− + =

--------------------

− 4x / = − 200 → x = 50

Trobem z: − 50 + z = 70 → z = 120.

Trobem y: y = 300 – 100 – 120 = 80.

La primera persona té 50 €; la segona, 80 €, i la tercera, 120 €.

18. Un lladre fuig a 70 km/h, i 90 km més enrere el perse-gueix un policia a 85 km/h. Quan i on l’atraparà?

Anomenem e l’espai que ha recorregut (km) el lladre, i t el temps (h) que trigarà el policia a atrapar-lo. Atès que e = v · t, plantegem i resolem el sistema d’equacions:

70 907090 85 90 70 85

8585 6 300 70 420

ete t e e

e t et

e e e

== ⋅ +→ → = → + = ⋅ + =

→ = + → =

Trobem t: 420

670

t = = .

34

MATeMÀTIQUeS 3LA

L’agafarà quan el lladre hagi recorregut 420 km, i això serà al cap de 6 hores d’haver començat a perseguir-lo.

19. Els costats d’un triangle mesuren 13 cm, 14 cm i 17 cm. Amb centre als seus tres vèrtexs dibuixem tres circum-ferències que són tangents entre si, dues a dues. Determina els radis de les circumferències.

17

13 14

x

x z

z

yy

Anomenem x, y i z els radis respectius de les tres circum-ferències, i plantegem el sistema d’equacions següent:

13 1314 14

14 1413 17 4

17 17

x y x yy z y z

y z y zy z y z

x z x z

+ = = − + = + = + = → + = → → − + = − + = + = + =

---------------

/ 2z = 18 → z = 9

Trobem y: y + 9 = 14 → y = 5.

Trobem x: x = 13 – 5 = 8.

Els radis de les tres circumferències mesuren, respectiva-ment, 8 cm, 5 cm i 9 cm.

d’avaluació

Indica quina resposta és la correcta.

1. La solució de l’equació + 3 1 + 2 + 3

= 2 6 3

x x x− és:

a) 1 b) –4 c) 0 d) cap de les anteriors

a)

2. Si x és un nombre parell, aleshores la tercera part del nombre parell anterior a x és:

a) 3 · ( 2)x − b) − 23

x c)

− 13

x d)

3x

b)

3. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la dife-rència entre els seus quadrats, 384. Quina equació ens pot ajudar a trobar aquests nombres?

a) 2 2 ( + 4) = 384x x− b) 2 2 ( 4) = 384x x− −

c) 2 2( 4) = 384x x− − d) 2 2 + ( 4) = 384x x −

b)

4. La igualtat ( + 2) · ( 2) = ( 3) · ( + 1) + 2 1x x x x x− − − :

a) És una equació, però no té solució.

b) No és equació, és una identitat.

c) És una equació de solució x = 0.

d) És una equació de solució x = 3.

b)

5. Si la diferència entre dos nombres és 500 i el gran l’anomenem x, l’altre nombre es pot representar per:

a) 500 – x b) x – 500 c) x + 500 d) 250

b)

6. Una solució de l’equació 7x + 2y = 26 és:

a) x = 2, y = 7 b) x = 0, y = 132

c) x = 3, y = 52

d) x = 4, y = –2

c)

7. La recta que resulta de representar gràficament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa pel punt:

a) P (1, –4) b) Q 11

0,3

c) R 11

0,2

d) S (4, –1)

d)

8. Una de les solucions de l’equació 5x – by = 18 és x = 3 i y = 1. Podem afirmar que:

a) b = 13

b) b = 3 c) b = –3 d) b = 0

c)

9. La solució del sistema −

= 72 + 3 = 1x y

x y és:

a) x = 4, y = –3 b) x = 225

, y = −135

c) x = 0, y = 7 d) x = 225

, y = 135

b)

10. Sabem que el sistema

2 + = 54 + 2 =

x yx y p

és incompatible. Podem afirmar que:

a) p = 10

b) p pot ser qualsevol nombre excepte 10.

c) p pot ser qualsevol nombre parell.

d) p pot ser qualsevol nombre senar.

a)

Indica si les afirmacions següents són certes o falses:

1. Una igualtat sempre té dos termes.

Fals

MATeMÀTIQUeS 3

35

LA

2. Si aïllem x en la igualtat a · (x + b) = c, obtenim: −

= c b

xa

.

Fals

3. La igualtat 7

+ = 3 4 12x x x

és una equació.

Fals

4. Si aïllem x en la igualtat 1

= b

ax c, obtenim: =

cx

ab.

Cert

5. L’edat d’un pare de família és el triple de la del seu fi ll, i d’aquí a 16 anys només serà el doble. Quants anys té cadascú? Podem trobar l’edat del fi ll resolent l’equació 3x + 16 = 2 · (x + 16).

Cert

6. Les dues rectes que resulten de representar gràfi ca-ment les dues equacions d’un sistema es tallen en el punt P (3, –2). Pot ser que una de les equacions sigui 4x – 2y = 15.

Fals

7. Una solució de l’equació –3x – y = –7 és x = − 12

,

y = −112

.

Fals

8. Els sistema d’equacions −

−

2 = 44 2 = 8

x yx y

és incompatible.

Fals

9. En Jordi té monedes de 5 cèntims i de 20 cèntims. Si en total disposa de 26 monedes i d’1,70 €, quantes monedes de cada tipus té? Podem trobar la resposta

resolent el sistema

+ = 265 + 20 = 170x y

x y.

Cert

10. El sistema d’equacions

2 + 4 =7 + 2 = 8x y

x y és compatible in-

determinat.

Fals

Unitat 3. equacions de segon grau

Coneixements previs

• Expressa en llenguatge algèbric:

a) El quadrat de la diferència de dos nombres és 64.

b) El costat c d’un quadrat sabent que la seva àrea és A.

c) La superfície d’un rectangle mesura 28 cm2 i la base mesura 3 cm més que l’altura.

a) 2( ) 64x y− =

b) c A=

c) x · (x + 3) = 28

• Troba el valor numèric de l’expressió algè brica següent:

3a2 + b per a a = –2 i b = 10

3 · (–2)2 + 10 = 3 · 4 + 10 = 12 + 10 = 22

• Desenvolupa:

a) (x – 2)2 b) (2y + 1)2 c) (a + 3) · (a – 3)

a) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4

b) (2y + 1)2 = 4y2 + 4y + 1

c) (a + 3) · (a – 3) = a2 – 9

• Expressa en forma d’identitat notable les expressions següents:

a) 9a2 + 12a + 4 b) 4x2 – y2 c) 49 – 14x + x2

a) 9a2 + 12a + 4 = (3a + 2)2

b) 4x2 – y2 = (2x + y) · (2x – y)

c) 49 – 14x + x2 = (7 – x)2

• Extreu factor comú:

a) x2 – 2x b) 25a – 5b c) 3a – 6b + 9

a) x2 – 2x = x · (x – 2)

b) 25a – 5b = 5 · (5a – b)

c) 3a – 6b + 9 = 3 · (a – 2b + 3)

• Troba tots els valors de a que verifi quen a2 + 4 = 85.

Els valors de a que verifi quen aquesta igualtat són 9 i –9.

• Hi ha algun valor de x que verifi qui −2 = 16x ?

No, ja que no hi ha cap nombre que elevat al quadrat doni negatiu.

Activitats

Proposades

1. Indica quines de les igualtats següents són equacions de segon grau:

a) x2 + 1 = 10 b) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

c) x2 – (x + 3)2 = 5 d) −2 2 · ( + 2 ) + 1 = · ( 3)x x x x x

e) − −2 2

2 = 2 2x x

x

f) 2 2

26 11 + = + 3

2 5x x

x

36

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) x2 + 1 =10

És una equació de segon grau.

b) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x2 + 2x + 1 = x2 + 2x + 1

No és una equació, és una identitat.

c) x2 – (x + 3)2 = 5

x2 – (x2 + 6x + 9) = 5 → –6x – 9 = 5

No és una equació de segon grau, és una equació de primer grau.

d) 2 2 3 2 3 2

2

( 2 ) 1 ( 3) 2 1 3

5 1 0

x x x x x x x x x

x

⋅ + + = ⋅ − → + + = − →

→ + = És una equació de segon grau.

e) 2 2

2 2 2 2 22 0 02 2

x xx x x x x− = − → − = − → =

No és una equació, és una identitat.

f) 2 2

2 2 2 2 26 113 30 10 22 30 18 30

2 5

x xx x x x x+ = + → + = + → =

És una equació de segon grau.

2. Analitza si els valors de la incògnita són solució de l’equació donada en cada apartat:

a) −( + 3) · ( 2) = 0x x x = –3 x = 2

b) −225 5 = 0x x x = 0 x = 5

c) 3 12

+ = + 3 12x x

x x x = 1 x = –6

d) −2x + 1 = x · (x 2) = 12

x x = –1

e) − 2( 3) = 9x x = 6 x = –6

f) −2 9 = 0x x = 3 x = –3

a) ( 3) ( 2) 0x x+ ⋅ − = x = −3 i x = 2 són solució de l’equació.

b) 225 5 0x x− = x = 0 és solució i x = 5 no és solució.

c) 1 3 12 1

3 1 1 12+ ≠ + x = 1 no és solució.

6 3 12 6

3 6 6 12

− − + = + − − x = −6 és solució.

d) 2

1 1 51 1

2 4 4 + = + =

1 1 1 3

2 12 2 4 4

− ⋅ − = − =

1

2x = no és solució.

2( 1) 1 2− + = 1 ( 1 2) 1 ( 3) 3− ⋅ − − = − ⋅ − =

x = −1 no és solució.

e) 2( 3) 9x − = x = 6 és solució i x = −6 no ho és.

f) 2 9 0x − = x = 3 i x = −3 són solucions de l’equació.

3. Comprova si x1 = 2 i x2 = –2 són solucions de les equa-cions següents:

a) x · (x – 1) = 4 – x b) −(x + 4) · (x 4) = 0

c) −2 4 + 4 = 0x x d) 25 = 100x

e) −23 11 + 10 = 0x x f) − 2 + 2 = 0 x x

a) x · (x – 1) = 4 – x

2 · (2 – 1) = 4 – 2 → 2 = 2 → x = 2 és solució.

–2 · (–2 – 1) = 4 – (–2) → 6 = 6 →

x = –2 també és solució.

b) ( 4) ( 4) 0x x+ ⋅ − =

x = 2 i x = –2 no són solució de l’equació.

c) 2 4 4 0x x− + =

4 – 8 + 4 = 0 → x = 2 és solució.

4 + 8 + 4 = 16 → x = –2 no és solució.

d) 25 100x =

5 · 4 = 20 100≠ → x = 2 no és solució.

5 · (–2) 2 = 5 · 4 = 20 100≠ → x = –2 no és solució.

e) 23 11 10 0x x− + =

3 4 11 2 10 12 22 10 0⋅ − ⋅ + = − + = → x = 2 és solució.

23 ( 2) 11 ( 2) 10 3 4 22 10 12 22 10 44 0⋅ − − ⋅ − + = ⋅ + + = + + = ≠→ x = –2 no és solució.

f) 2 2 0x x− + =

–2+2 −− + ⋅ = − + =22 2 2 4 4 0 → x = 2 és solució.

2( 2) 2 ( 2) 4 4 8 0− − + ⋅ − = − − = − ≠ → x = –2 no és solució.

4. Siguin els nombres 1, –1, 12

i 2. Digues quins són solu-

ció de l’equació 2x2 – 3x + 1 = 0.

2 · 1 – 3 · 1 + 1 = 2 – 3 + 1 = 0 → 1 és solució.

2 · (–1)2 - 3 · (–1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 → –1 no és solució.

− ⋅ + = ⋅ − + = − + =

21 1 1 3 1 3

2 3 1 2 1 1 02 2 4 2 2 2

→

→ 1

2 és solució.

2 · 4 – 3 · 2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 → 2 no és solució.


a) 4x2 = 36 b) –9x2 + 81 = 0

c) –3x2 + 75 = 0 d) 2 – x2 = x2 – 6

e) 2x2 – 90 = x2 + 10 f) 8x2 – x – 9 = –1 – x

a) 4x2 = 36 2 369

4x→ = = 1 3x = i 2 3x = −

b) –9x2 + 81 = 0 2 819

9x

−→ = =−

1 3x = i 2 3x = −

c) –3x2 + 75 = 0 → 2 7525

3x

−= =−

1 5x = i 2 5x = −

d) 2 – x2 = x2 – 6 2 2 82 6 2 4

2x x

−→ − = − − → = =−

1 2x = i 2 2x = −

MATeMÀTIQUeS 3

37

LA

e) 2x2 – 90 = x2 + 10 2 2 22 10 90 100x x x→ − = + → = =1 10x i 2 10x = −

f) 8x2 – x – 9 = –1 – x

2 2 28 1 9 8 8 1x x x x x→ − + = − + → = → =

1 1x = i 2 1x = −


a) x2 – x = 0 b) 8x2 – 16x = 0

c) –x2 + 9x = 0 d) 3x2 = 39x

e) 6x2 = 2x f) (3x – 1) · x = 0

a) x2 – x = 0 ( 1) 0x x→ ⋅ − = 1 0x = i 2 1x =

b) 8x2 – 16x = 0 8 ( 2) 0x x→ ⋅ − = 1 0x = i 2 2x =

c) –x2 + 9x = 0 ( 9) 0x x→ ⋅ − + = 1 0x = i 2 9x =

d) 3x2 = 39x 23 39 0 3 ( 13) 0x x x x→ − = → ⋅ − =

1 0x = i 2 13x =

e) 6x2 = 2x 26 2 0 2 (3 1) 0x x x x→ − = → ⋅ − =

1 0x = i 2

1

3x =

f) (3x – 1) · x = 0 1 0x = i 2

1

3x =


a) (x – 1)2 = 4 b) (x + 3)2 = 0

c) (2x + 5)2 = 25 d) (x + 3) · (x + 2) = 0

e) (x – 5) · (x + 5) = 0 f) (3x + 1)2 = –4

g) −225 5 = 0x x h) − −( 4) · (2 1) = 0x x

i) −236 1 = 0x j) x2 – 100 = 0

k) +24 25 = 0x

a) (x – 1)2 = 4 1 2 1 2 3x x x− = ± → − = → = 1 2 1x x− = − → = − 1 3x = i 2 1x = −

b) (x + 3)2 = 0 1 23 0 3x x x→ + = → = = −

c) (2x + 5)2 = 25 2 5 5 2 5 5 2 0 0x x x x→ + = ± → + = → = → = 2 5 5 2 10 5x x x+ = − → = − → = − 1 0x = i 2 5x = −

d) (x + 3) · (x + 2) = 0 1 3x = − i 2 2x = −

e) (x – 5) · (x + 5) = 0 1 5x = i 2 5x = −

f) (3x + 1)2 = –4 3 1 4x→ + = ± − No té solució.

g) 225 5 0 5 (5 1) 0x x x x− = → ⋅ − = 1 0x = i =2

1

5x

h) ( 4) (2 1) 0x x− ⋅ − = 1 4x = i 2

1

2x =

i) 2 2 2 136 1 0 36 1

36x x x− = → = → = 1

1

6x =

2

1

6x

−=

j) 2 2100 0 100x x− = → = 1 10x = i 2 10x = −

k) −+ = → = − → =2 2 2 25

4 25 0 4 254

x x x No té solució.


a) 12

x2 = 8 b) 27

= 3x

x

c) 49

x2 = 1 d) (9x – 27)2 = 0

e) (2x – 1) · (4x – 8) = 0 f) −2

5x

= 5x

g) −

23 1 =

2 4x

a) 1

2x2 = 8 2 16x→ = 1 4x = i 2 4x = −

b) 22781

3

xx

x= → = 1 9x = i 2 9x = −

c) 4

9x2 = 1 2 2 9

4 94

x x→ = → = 1

3

2x =

i

2

3

2x

−=

d) (9x – 27)2 = 0 1 29 27 0 9 27 3x x x x→ − = → = → = =

e) (2x – 1) · (4x – 8) = 0 1

1

2x =

i

2 2x =

f) 2

5

x− = 5x

2 2 225 25 0 25 0 ( 25) 0x x x x x x x x→ − = → − − = → + = → ⋅ + = 1 0x = i 2 25x = −

g) 2

3 1 3 1 1 3 42

2 4 2 2 2 2 2x x x − = → − = ± → = + = =

1 3 2

12 2 2

x−= + = = 1 2x = i x

2 = 1


a) x2 – 21x + 108 = 0 b) x2 – x – 12 = 0

c) 4x2 – 20x + 25 = 0 d) 3x2 + 10x – 8 = 0

e) x2 + 6x + 5 = 0 f) 6x2+ x – 1 = 0

g) 9x2 + 6x + 1 = 4 h) 3x2 = 15 · (2x – 5)

i) 5x · (x + 2) = –5

a) x2 – 21x + 108 = 0

− − ± − − ⋅ ⋅ ± −→ = = =⋅

±=

2( 21) ( 21) 4 1 108 21 441 432

2 1 221 3

2

x

1 12x = i 2 9x =

b) x2 – x – 12 = 0

2( 1) ( 1) 4 1 ( 12) 1 1 48 1 7

2 1 2 2x

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±→ = = =⋅

1 4x = i 2 3x = −

c) 4x2 – 20x + 25 = 0

2( 20) ( 20) 4 4 25 20 400 400

2 4 820 0

8

x− − ± − − ⋅ ⋅ ± −→ = = =

⋅±=

1 2

5

2x x= =

38

MATeMÀTIQUeS 3LA

d) 3x2 + 10x – 8 = 0

210 10 4 3 ( 8) 10 100 96

2 3 610 14

6

x− ± − ⋅ ⋅ − − ± +→ = = =

⋅− ±=

1

2

3x = i 2 4x = −

e) x2 + 6x + 5 = 0

26 6 4 1 5 6 36 20 6 4

2 1 2 2x

− ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±→ = = =⋅

1 1x = − i 2 5x = −

f) 6x2 + x – 1 = 0

21 1 4 6 ( 1) 1 1 24 1 5

2 6 12 12x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±→ = = =⋅

1

1

3x = i 2

1

2x = −

g) 9x2 + 6x + 1 = 4

→ + − = → − − = →

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±→ = = =⋅

2 2

2

9 6 3 0 3 2 1 0

( 2) ( 2) 4 3 ( 1) 2 4 12 2 4

2 3 6 6

x x x x

x

1 1x = i 2

1

3x = −

h) 3x2 = 15 · (2x – 5)

2 2

2 2

3 30 75 3 30 75 0

10 25 0 ( 5) 0

x x x x

x x x

→ = − → − + = →

→ − + = → − =

1 2 5x x= =

i) 5x · (x + 2) = –5

2 2

2 2

5 10 5 5 10 5 0

2 1 0 ( 1) 0

x x x x

x x x

→ + = − → + + = →

→ + + = → + =

1 2 1x x= = −


a) x2 – 9x + 18 = 0 b) 5x2 – 4x – 1 = 0

c) x2 + 4x + 4 = 0 d) 12x2 + 5x – 2 = 0

a) x2 – 9x + 18 = 0

2( 9) ( 9) 4 1 18 9 81 32 9 7

2 1 2 2x

− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =⋅

1 8x = 6 i =2 1x 3

b) 5x2 – 4x – 1 = 0

2( 4) ( 4) 4 5 ( 1) 4 16 20 4 6

2 5 10 10x

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±→ = = =⋅

1 1x = i 2

1

5x = −

c) x2 + 4x + 4 = 0 2( 2) 0x→ + = 1 2 2x x= = −

d) 12x2 + 5x – 2 = 0

25 5 4 12 ( 2) 5 25 96 5 11

2 12 24 24x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±→ = = =⋅

1

1

4x = i 2

2

3x = −

11. Troba dos nombres naturals consecutius tals que la suma dels seus quadrats sigui 181.

Representem per x i x +1 els dos nombres naturals con-secutius.

+ + = → + + + = →

→ + − = → + − =

2 2 2 2

2 2

( 1) 181 2 1 181

2 2 180 0 90 0

x x x x x

x x x x

21 1 4 1 ( 90) 1 1 360 1 19

2 1 2 2x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±= = =⋅

= = −1 29 10x x

Atès que l’enunciat del problema parla de dos nombres naturals, hem de rebutjar la solució negativa. Si x = 9, llavors el seu consecutiu és 10.

Els dos nombres naturals consecutius són el 9 i el 10.

12. Troba un nombre tal que el triple del seu quadrat sigui igual a sis vegades aquest nombre.

Si anomenem x al nombre plantegem l’equació:

2 2 23 6 3 6 0 2 0 ( 2) 0x x x x x x x x= → − = → − = → ⋅ − =

1 0x = i 2 2x =

El nombre que verifica les condicions de l’enunciat és el 2 o el 0.

13. El quadrat de la suma d’un nombre i el seu consecutiu és igual a 49. De quin nombre es tracta?

Anomenem x el nombre; x + 1, el seu consecutiu, i plan-tegem l’equació:

2 2( 1) 49 (2 1) 49 2 1 49 2 1 7x x x x x+ + = → + = → + = ± → + = ±

2 1 7 3x x+ = → =

2 1 7 4x x+ = − → = −

Si el nombre és 3, llavors el seu consecutiu és 4. Si el nombre és –4, llavors el seu consecutiu és –3.

Aquest problema té dues solucions. Hi ha dos parells de nombres que verifiquen les condicions de l’enunciat: 3 i 4; –3 i –4.

14. Relaciona cada equació amb el seu enunciat:

a) El triple d’un nombre més el doble del seu quadrat és 100.

b) El quadrat d’un nombre més el seu doble és 100.

c) El doble del quadrat d’un nombre és 100.

d) Dues vegades el quadrat d’un nombre és igual al nombre més 100.

37

MATeMÀTIQUeS 3

39

LA

e) Si multipliquem un nombre més una unitat pel ma-teix nombre menys 2 unitats obtenim 100.

1) (x + 1) · ( x – 2) = 100

2) − − =22 100 0x x

3) + =2 2 100x x

4) =22 100x

5) + =23 2 100x x

a5, b3, c4, d2, e1

15. Troba les dimensions d’un triangle rectangle de 12 cm de perímetre, sabent que la hipotenusa mesura 5 cm.

+ − =

+ − = → + − + = →

→ − + = → − + = →

± − − ⋅ ⋅ ±= = = =

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

1 2

(7 ) 5

(7 ) 5 49 14 25

2 14 24 0 7 12 0

7 ( 7) 4 1 12 7 14 3

2 2

x x

x x x x x

x x x x

x x x

Els 2 catets del triangle mesuren 4 cm i 3 cm.

16. Troba un nombre tal que el doble del seu quadrat si-gui igual a vint vegades aquest nombre.

= → − = → − = → ⋅ − =2 2 22 20 2 20 0 10 0 ( 10) 0x x x x x x x x

1 0x = i 2 10x =

El nombre és el 10 o el 0.

17. Sabent que la generatriu d’un con mesura 26 cm i l’al-tura 24 cm, quant mesura el radi de la base? Calcula el volum del con.

La generatriu del con, l’altura i el radi de la base són els costats d’un triangle rectangle.

24 cm26 cm

x cm

Apliquem el teorema de Pitàgores:

2 2 2 226 24 676 576x x= + → = +

2 100x =

1 10x = i 2 10x = −

Com que es tracta de la longitud del radi de la base, no podem considerar la solució negativa.

El radi de la base del con és de 10 cm.

El volum del con és:

V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 31 13,14 10 24 2 512 cm

3 3r h

El volum del con és de 2 512 cm3.

18. El producte d’un nombre per la seva tercera part és 27. De quin nombre es tracta?

Anomenem x el nombre, i plantegem l’equació:

2227 27 81

3 3

x xx x⋅ = → = → = 1 9x = i 2 9x = −

Hi ha dos nombres que verifiquen les condicions de l’enunciat, 9 i −9.

19. L’edat de la Mercè és, avui, el quadrat de la del seu fill Jordi, però d’aquí a 24 anys només serà el doble. Quants anys tenen ara la Mercè i el seu fill Jordi?

Edat actual (anys) D’aquí a 24 anys

Mercè x2 x2 + 24

Jordi x x + 24

Plantegem l’equació: x2 + 24 = 2 · (x + 24)

→ + = + → − − = →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ =⋅

2 2

2

24 2 48 2 24 0

( 2) ( 2) 4 1 ( 24)

2 1

x x x x

x

2 4 96 2 10

2 2x

± + ±→ = =

1 6x = i 2 4x = −

Com que es tracta de l’edat d’una persona, no podem considerar la solució negativa.

Així, la Mercè té 36 anys, i en Jordi, 6.

20. La superfície d’un menjador és de 28 m2. Determina’n les dimensions sabent que mesura 3 m més de llarg que d’ample.

El menjador té forma rectangular; per tant, l’àrea és troba multiplicant la base per l’altura. Si anomenem x l’ampla-da, llavors la llargada serà x + 3. Plantegem l’equació:

⋅ + = → + = → + − = →

− ± − ⋅ ⋅ − − ± +→ = = →

− ± − ±→ = =

2 2( 3) 28 3 28 3 28 0

3 9 4 1 ( 28) 3 9 112

2 2

3 121 3 11

2 2

x x x x x x

x

x

1 7x = − i 2 4x =

En tractar-se d’una longitud, no podem considerar la so-lució negativa. Així, el menjador mesura 4 m d’amplada i 7 m de llargada.

21. El dividend d’una divisió entera és 1275. El quocient i el residu són iguals, i el divisor és el doble que el quo-cient. Quin és el divisor?

Sabem que el dividend és igual al divisor pel quocient més el residu. Si anomenem x el quocient i el residu, lla-vors el divisor serà 2x.

π

40

MATeMÀTIQUeS 3LA

Plantegem l’equació:

= ⋅ + → = + → + − =2 21 275 2 1 275 2 2 1 275 0x x x x x x x

− ± − ⋅ ⋅ −→ + − = → = =

⋅− ± + − ±= =

22 1 1 4 2 ( 1 275)

2 1 275 02 2

1 1 10 200 1 101

4 4

x x x

1 25x = i −=2

51

2x

Només té sentit la solució entera.

El divisor és 2x; per tant, serà 50.

Activitats fi nals

Reforç

1. Indica quines de les equacions següents són de segon grau:

a) 1 – (1 – x)2 = x – x2 b) 2x + 3x2 = 2x – 48

c) 2x2 + 1 = 2x · (1 + x) d) 2x2 – 7x = x2 – 7x + 5

e)2 225 + 3 5 + 6

= 10 2

x x x

a) 1 – (1 – x)2 = x – x2 → 1 – (1 – 2x + x2) = x – x2 → → 1 – 1 + 2x – x2 = x – x2 no és una equació de segon

grau.

b) 2x + 3x2 = 2x – 48 és una equació de segon grau.

c) 2x2 + 1 = 2x (1 + x) 2 22 1 2 2x x x→ + = + no és una equació de segon grau.

d) 2x2 – 7x = x2 – 7x + 5 és una equació de segon grau.

e) 2 2

2 225 3 5 650 6 50 60

10 2

x x xx x x

+ += → + = + no és

equació de segon grau.

2. Esbrina, en cada cas, si els nombres donats són solució de l’equació corresponent:

a) (x – 1) · (2 – x) = 0 x = 1 x = –2

b) 16x2 – 1 = 0 x = 14

x = − 14

c) –2x + x2 = 0 x = –2 x = 2

d) 3x2 – 10x = –3 x = 3 x = 13

a) (x – 1) (2 – x) = 0 (1 – 1) (2 – x) = 0 x = 1 és solució. (–2 – 1) (2 +2) ≠ 0 x = –2 no és solució.

b) 16x2 – 1 = 0

16 2

1

4

– 1 = 16 · 1

1 016

− = x = 1

4 és solució.

16 2

1

4 −

– 1 = 16 · 1

1 016

− = x = 1

4

− és solució.

c) –2x + x2 = 0 –2 · (–2) + (–2)2 = 4 + 4 = 8 0≠ x = –2 no és solució. –2 · 2 + 22 = –4 + 4 = 0 x = 2 és solució.

d) 3x2 – 10x = –3

3 · 32 – 10 · 3 = 27 – 30 = –3 x = 3 és solució.

3 · 2

1

3

– 10 · 1

3 =

1 10 1 10 93· 3

9 3 3 3 3

−− = − = = −

x = 1

3 és solució.

3. Resol les equacions següents sense aplicar la fórmula:

a) 3x2 – 27 = 0 b) 2x2 – 3x = 0

c) –4x2 – 9 = 0 d) (x + 2) · (x – 3) = 0

e) –x2 + 2x = 0 f) (3x + 4) · (–x + 3) = 0

g) (x + 4)2 = 0 h) (2x – 1)2 = 49

i) (x – 5)2 = –25 j) (x – 1)2 + x2 = 1

k) 3x2 – 4 = 28 + x2 l) (x – 10)2 = 144

a) 3x2 – 27 = 0 2 279

3x→ = = 1 3x = i 2 3x = −

b) 2x2 – 3x = 0 → ⋅ − =(2 3) 0x x 1 0x = i 2

3

2x =

c) –4x2 – 9 = 0 2 2 94 9

4x x

−→ − = → =

Aquesta equació no té solució. No hi ha cap nombre que elevat al quadrat doni negatiu.

d) (x + 2) · (x – 3) = 0 1 2x = − i 2 3x =

e) –x2 + 2x = 0 → − + =( 2) 0x x 1 0x = i 2 2x =

f) (3x + 4) · (–x + 3) = 0 1

4

3x

−= i 2 3x =

g) (x + 4)2 =0 4 0x→ + = 1 2 4x x= = −

h) (2x – 1)2 = 49 2 1 7 2 1 7 4x x x→ − = ± → − = → =

2 1 7 3x x− = − → = − 1 4x = i 2 3x = −

i) (x – 5)2 = –25 5 25x→ − = ± −


j) (x – 1)2 + x2 = 1

→ − + + = → − = → − = → ⋅ − =2 2 2 22 1 1 2 2 0 0 ( 1) 0x x x x x x x x x

→ − + + = → − = → − = → ⋅ − =2 2 2 22 1 1 2 2 0 0 ( 1) 0x x x x x x x x x 1 0x = i 2 1x =

k) 3x2 – 4 = 28 + x2 2 22 32 16x x→ = → =

1 4x = i 2 4x = −

l) (x – 10)2 = 144 10 12 10 12 22x x x→ − = ± → − = → =

10 12 2x x− = − → = − 1 22x = i 2 2x = −

4. Resol les equacions següents sense aplicar la fórmula:

a) x2 + 5x = 0 b) 3x2 = 0

c) 4x2 = 1 d) 25x2 – 81 = 0

e) (x – 3) · (x + 1) = 0 f) (x – 7)2 = 1

g) (–x + 2)2 = 0 h) (2x – 3) · (4x + 2) = 0

a) x2 + 5x = 0 ( 5) 0x x→ ⋅ + = 1 0x = i 2 5x = −

b) 3x2 = 0 1 2 0x x= =

MATeMÀTIQUeS 3

41

LA

c) 4x2 = 1 2 1

4x→ = 1

1

2x = i 2

1

2x

−=

d) 25x2 – 81 = 0 2 81

25x→ = 1

9

5x = i 2

9

5x

−=

e) (x – 3) · (x + 1) = 0 1 3x = i 2 1x = −

f) (x – 7)2 = 1 7 1x→ − = ± 1 8x = i 2 6x =

g) (–x + 2)2 = 0 2 0x→ − + = 1 2 2x x= =

h) (2x – 3) · (4x + 2) = 0 1

3

2x = i 2

1

2x

−=


a) − −22 9 5 = 0x x b) −225 20 + 4 = 0x x

c) − −23 17 20 = 0x x

a) 2

2 ( 9) ( 9) 4 2 ( 5)2 9 5 0

2 2

9 81 40 9 11

4 4

x x x− − ± − − ⋅ ⋅ −− − = → = =

⋅± + ±= =

1 5x = i 2

1

2x

−=

b) 2

2 ( 20) ( 20) 4 25 425 20 4 0

2 25

20 400 400 20 0

50 50

x x x− − ± − − ⋅ ⋅− + = → = =

⋅± − ±= =

1 2

2

5x x= =

c) − − ± − − ⋅ ⋅ −− − = → = =

⋅± + ±= =

22 ( 17) ( 17) 4 3 ( 20)

3 17 20 02 3

17 289 240 17 23

6 6

x x x

1

20

3x = i 2 1x = −


a) 8x2 – 10x – 7 = 0 b) 4x2 + 10x + 6 = 0

c) 25

x2 + 2x + 52

= 0 d) (5 – 2x)2 + 4x · (5 – 2x) = 9

a) 8x2 – 10x – 7 = 0

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± +→ = = =⋅

±=

2( 10) ( 10) 4 8 ( 7) 10 100 224

2 8 1610 18

16

x

1

7

4x = i 2

1

2x = −

b) − ± − ⋅ ⋅→ = =

⋅− ± − − ±= =

22 10 10 4 4 6

4x + 10x + 6 = 0 2 4

10 100 96 10 2

8 8

x

1 1x = − i 2

3

2x = −

c) 2

5x2 + 2x +

5

2 = 0 2 24 20 25 0 (2 5) 0x x x→ + + = → + =

1 2

5

2x x

−= =

d) (5 – 2x)2 + 4x · (5 – 2x) = 9

2 2 2 225 20 4 20 8 9 4 16 4x x x x x x→ − + + − = → − = − → =

1 2x = i 2 2x = −

7. Llegeix detingudament aquests enunciats i planteja l’equació corresponent:

a) El producte d’un nombre i la seva tercera part és 27.

b) El producte de dos nombres consecutius és 72.

c) La suma d’un nombre i el seu quadrat és 30.

d) La diferència entre els quadrats de dos nombres consecutius és 41.

a) El producte d’un nombre i la seva tercera part és 27.

273

xx→ ⋅ =

b) El producte de dos nombres consecutius és 72. ( 1) 72x x→ ⋅ + = o bé ( 1) 72x x→ ⋅ − =

c) La suma d’un nombre i el seu quadrat és 30 2 30x x→ + =

d) La diferència dels quadrats de dos nombres consecu-tius és 41.

2 2( 1) 41x x→ − − = o bé 2 2( 1) 41x x→ + − =

8. La suma de dos nombres és 18 i la diferència dels seus quadrats és 72. Quins són aquests nombres?

Anomenem x un dels dos nombres i 18 – x a l’altre, i plantegem l’equació:

2 2 2 2(18 ) 72 324 36 72

36 252 7

x x x x x

x x

− − = → − + − = →→ − = − → =

Un nombre és 7 i l’altre és 11.

9. Troba les dimensions d’un rectangle sabent que és el triple de llarg que d’ample i que la seva superfície és de 27 dm2.

Anomenem x l’amplada del rectangle i 3x la llargada (en decímetres), i plantegem l’equació:

2 23 · 27 3 27 9x x x x= → = → =

1 3x = i 2 3x = −

Atès que es tracta d’una longitud, no podem considerar la solució negativa. Així, el rectangle mesura 3 dm d’am-plada i 9 dm de llargada.

10. En Manel pregunta al seu professor de submarinisme a quina profunditat comença a faltar l’oxigen. El pro-fessor li respon: «Resol l’equació + − =2 30 1800 0x x i tu mateix trobaràs la resposta expressada en metres». Quina és la resposta a la pregunta d’en Manel?

42

MATeMÀTIQUeS 3LA

− ± − ⋅ ⋅ −+ − = → = =

⋅− ± +

=

22 30 30 4 1 ( 1800)

30 1800 02 1

30 900 7 200

2

x x x

30 90

2x

− ±= 1 30x = i 2 60x = −

Comença a faltar oxigen a una profunditat de 60 m.

11. Si a un nombre li restem el seu quadrat, obtenim la meitat del nombre inicial. Quin és aquest nombre?


2 2 2

2

2 2 2 02

2 0 (2 1) 0

xx x x x x x x

x x x x

− = → − = → − + = →

→ − = → ⋅ − =

1 0x = i 2

1

2x =

El nombre és 1

2 o 0.

12. La suma d’un nombre i el seu quadrat és 56. De quin nombre es tracta?


22 2 1 1 4 1 ( 56)

56 56 02 1

1 1 224 1 15

2 2

x x x x x− ± − ⋅ ⋅ −+ = → + − = → = =

⋅− ± + − ±= =

1 7x = i 2 8x = −

Aquest problema té dues possibles solucions. Hi ha dos nombres que verifiquen les condicions de l’enunciat: el 7 i el –8.

13. Troba l’àrea i el perímetre d’un rombe sabent que la

diagonal gran mesura 8 cm i la petita mesura 34

de la diagonal gran.

Si la diagonal gran mesura 8 cm, la petita mesura 3

8 cm 6 cm4

⋅ = .

Trobem l’àrea del rombe: 28 624 cm

2 2

D dA

⋅ ⋅= = = .

Per calcular el perímetre del rombe, cal conèixer la longi-tud d’un dels costats i multiplicar-la per quatre. Si trian-gulem el rombe en quatre triangles rectangles, i n’aga-fem un, llavors les semidiagonals són els catets (3 cm i 4 cm, respectivament) i la hipotenusa del triangle és el costat del rombe.

Anomenem c el costat del rombe i apliquem el teorema de Pitàgores:

2 2 23 4 9 16 25c = + = + = 1 5x = i 2 5x = −

En tractar-se d’una longitud, considerem la solució positiva.

El costat del rombe mesura 5 cm, i el seu perímetre és de 20 cm.

14. El quadrat del doble d’un nombre és igual a quatre vegades aquest nombre. De quin nombre es tracta?

Anomenem x el nombre i plantegem l’equació:

2 2 2(2 ) 4 4 4 0 0 ( 1) 0x x x x x x x x= → − = → − = → ⋅ − =

1 0x = i 2 1x =

El nombre que verifica les condicions de l’enunciat és 1 o 0.

15. El quadrat de la suma de dos nombres consecutius és 121. Quins són aquests nombres?

Anomenem x i x + 1 els dos nombres consecutius, i plan-tegem l’equació:

2 2( 1) 121 (2 1) 121 2 1 11x x x x+ + = → + = → + = ±

2 1 11 5x x+ = → = i 2 1 11 6x x+ = − → = −

Aquest problema té dues solucions: els dos nombres consecutius poden ser 5 i 6 o bé −6 i −5.

16. El jardí de casa de la Maria té forma de triangle rectan-gle. Un catet és 10 m més curt que l’altre i la hipotenu-sa del triangle és 10 m més llarga que el catet més gran. Quina és la longitud de la tanca del jardí que la Maria ha de posar, si el catet més petit queda cobert, ja que dóna a la casa?

Anomenem x i x – 10 els catets del triangle rectangle i x + 10 la hipotenusa, i apliquem el teorema de Pitàgores.

2 2 2 2 2 2

2 2

( 10) ( 10) 20 100 20 100

40 0 40 0 ( 40) 0

x x x x x x x x

x x x x x x

+ = + − → + + = + − + →

→ − + = → − = → ⋅ − =

1 0x = i 2 40x =

Els catets mesuren 40 m i 30 m, i la hipotenusa, 50 m.

La longitud de la tanca del jardí que la Maria ha de posar és de 90 m.

17. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 15 cm. Quant mesuren els catets si sabem que un dels dos fa 3 cm menys que l’altre?

Anomenem x un dels catets i x – 3, l’altre, i plantegem una equació aplicant el teorema de Pitàgores:

2 2 2 2 2

2 2

2

15 ( 3) 225 6 9

2 6 216 0 3 108 0

( 3) ( 3) 4 1 ( 108)

2 1

3 9 432 3 21

2 2

x x x x x

x x x x

x

= + − → = + − + →

− − = → − − = →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ = =⋅

± + ±= =

1 12x = i 2 9x = −

Els catets mesuren 12 cm i 9 cm.

18. L’àrea d’un triangle rectangle és de 120 cm2. Troba la longitud dels seus catets, sabent que un és 14 cm més llarg que l’altre.

MATeMÀTIQUeS 3

43

LA

Anomenem x un dels catets, i x + 14, l’altre catet (longi-tuds expressades en centímetres), i plantegem una equa-ció, considerant que l’àrea del triangle rectangle es pot trobar multiplicant les longituds dels dos catets i dividint entre 2, ja que un catet és la base i l’altre és l’altura.

22

( 14)120 ( 14) 240

2

14 14 4 1 ( 240)14 240 0

2

x xx x

x x x

⋅ + = → ⋅ + = →

− ± − ⋅ ⋅ −→ + − = → =

14 196 960 14 34

2 2x

− ± + − ±= =

1 10x = i 2 24x = −

Atès que es tracta d’una longitud, només considera- rem la solució positiva. Un catet mesura 10 cm, i l’altre, 24 cm.

Ampliació


a) − −22 + 2 2 = 0x x b) − 29 + 12 = 4x x

c) −26 1 2 =

5 6 3x d)

+ 3 4 =

9 + 3x

x e) −2 + 5 = (2 + 1) · ( 1)x x x

f ) − −

−2 1

= + 1 1x

xx

g) 2 · ( + 1) = 2 · ( + 2 )

4x x

x x

a) 2 2

2

2 2 2 0 1 0

( 1) ( 1) 4 1 1 1 1 4

2 2

x x x x

x

− + − = → − + = →

− − ± − − ⋅ ⋅ ± −→ = =


b) 2 2

2 2

9 12 4 9 12 4 0

9 12 4 0 (3 2) 0

x x x x

x x x

− + = → − + − = →

→ − + = → − =

1 2

2

3x x= =

c) 2 2 2 26 1 2 2536 5 20 36 25

5 6 3 36x x x x− = → − = → = → =

1

5

6x = i 2

5

6x = −

d) 23 4( 3) 36 3 6

9 33 6 3

xx x

xx x

+ = → + = → + = ± →+

→ + = → =

3 6 9x x+ = − → = −

1 3x = i 2 9x = −

e) + = + ⋅ − → + = − + − →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =⋅

± + ±= =

2 2 2

22

5 (2 1) ( 1) 5 2 2 1

( 1) ( 1) 4 1 ( 6)6 0

2 1

1 1 24 1 5

2 2

x x x x x x x

x x x

1 3x = i 2 2x = −

f)

2 2

2 11 2 1 ( 1) ( 1)

12 1 1 2 0 ( 2) 0

xx x x x

xx x x x x x

− − = + → − − = + ⋅ − →−

→ − − = − → + = → ⋅ + =

1 0x = i 2 2x = −

g) 2 2 2

2

( 1)2 ( 2 ) 8 16

47 15 0 (7 15) 0

x xx x x x x x

x x x x

⋅ + = ⋅ + → + = + →

→ + = → ⋅ + =

1 0x = i 2

15

7x = −


a) (2x + 3 )2 =1

25

b) − − 1 5 2

· 1 = 02 3 5

x x

c) − − − −2 2(3 2) 1 = ( 1)x x

d) − 2 2 2( 1) + = ( + 1)x x x

e) −2 2 + (21 ) = 225x x

f) − − −2 2 2(5 ) + (6 ) = (7 )x x x

g) −−

2 + 2 13 + + x = 1

2 4x x

a) (2x + 3 )2 = 1

25

+ = ± → + = ± → + = → = −1 1 72 3 2 3

5 5 5x x x x

1 8

2 3 10 15 15 5

x x x− −+ = → + = − → =

+ = ± → + = ± → + = → = −1 1 72 3 2 3 10 15 1

5 5 5x x x x

1

7

5x

−= i 2

8

5x = −

b) 1 5 2 1 5 3

1 0 0 3 10 02 3 5 2 3 10

x x x x x − ⋅ − = → − = → − = → =

2 5

1 0 5 2 05 2

x x x− = → − = → =

1

3

10x = i 2

5

2x =

c) 2 2 2 2

2 2 2

22

(3 2) 1 ( 1) 9 12 4 1 ( 2 1)

9 12 3 2 1 10 14 4 0

( 7) ( 7) 4 5 25 7 2 0

2 5

7 49 40 7 3

10 10

x x x x x x

x x x x x x

x x x

− − = − − → − + − = − − + →

→ − + = − + − → − + = →

− − ± − − ⋅ ⋅→ − + = → = =⋅

± − ±= =

1 1x = i 2

2

5x =

d) 2 2 2 2 2 2

2

( 1) ( 1) 2 1 2 1

4 0 ( 4) 0

x x x x x x x x

x x x x

− + = + → − + + = + + →

→ − = → ⋅ − =

1 0x = i 2 4x =

44

MATeMÀTIQUeS 3LA

e) 2 2 2 2

2 2

2

(21 ) 225 441 42 225

2 42 216 0 21 108 0

( 21) ( 21) 4 1 108 21 441 432 21 3

2 1 2 2

x x x x x

x x x x

x

+ − = → + − + = →

→ − + = → − + = →

− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =⋅

1 12x = i 2 9x =

f) − + − = − →

→ − + + − + = − + → − + = →

− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =⋅

2 2 2

2 2 2 2

2

(5 ) (6 ) (7 )

25 10 36 12 49 14 8 12 0

( 8) ( 8) 4 1 12 8 64 48 8 4

2 1 2 2

x x x

x x x x x x x x

x

1 6x = i 2 2x =

g) 2

2

22

2 13 1 12 2 4 4 4 1

2 4

6 6 4 1 116 11 0

2 1

6 36 44 6 8

2 2

x xx x x x

x x x

+ −+ + = − → + + + = − + →

− ± − ⋅ ⋅→ + + = → = =⋅

− ± − − ± −= =

No te solució.

3. Resol les equacions següents completant el quadrat:

a) x2 + 9x + 14 = 0 b) x2 – 5x + 4 = 0

c) x2 + 3x + 8 = 0 d) x2 + 2x + 3 = 0

a) x2 + 9x + 14 = 0

2 2 22 2

2

9 9 9 819 14 9 14

2 2 2 4

9 25 9 5 9 52

2 4 2 2 2 2

x x x x

x x x x

→ + + = − + → + + = − + →

→ + = → + = ± → + = → = −

9 57

2 2x x

−+ = → = −

1 2x = − i 2 7x = −

b) x 2 – 5x + 4 = 0

2 2 22 2

2

5 5 5 255 4 5 4

2 2 2 4

5 9 5 3 5 3

2 4 2 2 2 2

x x x x

x x x

→ − + = − + → − + = − + →

→ − = → − = ± → − =

5 3

2 2x

−− =

1 4x = i 2 1x =

c) x2 + 3x + 8 = 0

2 2 22 2

2

3 3 3 93 8 3 8

2 2 2 4

3 23 3 23

2 4 2 4

x x x x

x x

→ + + = − + → + + = − + → − − → + = → + = ±


d) x2 + 2x + 3 = 0

2 22 1 3 1 ( 1) 2 1 2x x x x→ + + = − + → + = − → + = ± −



a) − −−

2 1 5 2 + 2 =

2 6 3x x x

b) − − −−

22 1 1 1 =

2 3 6x x x

c) − −−

2 2 2( 4) ( 19) (x + 1) =

2 5 3x x

a) 2

2

22

1 5 2 23 3 5 4 4

2 6 3

( 5) ( 5) 4 3 ( 2)3 5 2 0

2 3

5 25 24 5 7

6 6

x x xx x x

x x x

− − +− = → − − + = + →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =⋅

± + ±= =

1 2x = i 2

1

3x = −

b)

1

2

3x = i 2

1

2x = −

c)

1 2 44x x= =

5. A l’equació x2 – mx + 6 = 0, una de les solucions és 3. Quin és el valor de m?

− ⋅ + = → − + = → − = − → =23 3 6 0 9 3 6 0 3 15 5m m m m

El valor de m és 5.

6. Troba el valor de c en l’equació –2x2 – 8x + c = 0, de

manera que una de les solucions sigui 12

.

21 1 1 1 9

2 8 0 2 4 0 42 2 4 2 2

c c c − ⋅ − ⋅ + = → − ⋅ − + = → = + =

El valor de c és 9

2.

7. La raó entre dos nombres a i b és 45

. Troba el valor de

a si sabem que b és la solució positiva de l’equació x2 – 5x – 50 = 0.

Primer resolem l’equació:

→ x1 = 4

→ x2 = 1

22

22

2 1 1 16 3 2 2 1

2 3 6

( 1) ( 1) 4 6 ( 2)6 2 0

2 6

1 1 48 1 7

12 12

x x xx x x

x x x

− − −− = → − − + = − →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =⋅

± + ±= =

22

22

2 1 1 16 3 2 2 1

2 3 6

( 1) ( 1) 4 6 ( 2)6 2 0

2 6

1 1 48 1 7

12 12

x x xx x x

x x x

− − −− = → − − + = − →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =⋅

± + ±= =

22

22

2 1 1 16 3 2 2 1

2 3 6

( 1) ( 1) 4 6 ( 2)6 2 0

2 6

1 1 48 1 7

12 12

x x xx x x

x x x

− − −− = → − − + = − →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =⋅

± + ±= =

− − +− = →

− + − + + +→ − = →

→ − + − + − = + + → − + = →

± − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 4) ( 19) ( 1)

2 5 38 16 38 361 2 1

2 5 315 120 240 6 228 2 166 10 20 10 88 1936 0

88 88 4 1 1936 88 7 744 7 744 88 0

2 2 2

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

− − +− = →

− + − + + +→ − = →

→ − + − + − = + + → − + = →

± − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 4) ( 19) ( 1)

2 5 38 16 38 361 2 1

2 5 315 120 240 6 228 2 166 10 20 10 88 1936 0

88 88 4 1 1936 88 7 744 7 744 88 0

2 2 2

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

− − +− = →

− + − + + +→ − = →

→ − + − + − = + + → − + = →

± − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 4) ( 19) ( 1)

2 5 38 16 38 361 2 1

2 5 315 120 240 6 228 2 166 10 20 10 88 1936 0

88 88 4 1 1936 88 7 744 7 744 88 0

2 2 2

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

− − +− = →

− + − + + +→ − = →

→ − + − + − = + + → − + = →

± − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 4) ( 19) ( 1)

2 5 38 16 38 361 2 1

2 5 315 120 240 6 228 2 166 10 20 10 88 1936 0

88 88 4 1 1936 88 7 744 7 744 88 0

2 2 2

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

− − +− = →

− + − + + +→ − = →

→ − + − + − = + + → − + = →

± − ⋅ ⋅ ± − ±→ = = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 4) ( 19) ( 1)

2 5 38 16 38 361 2 1

2 5 315 120 240 6 228 2 166 10 20 10 88 1936 0

88 88 4 1 1936 88 7 744 7 744 88 0

2 2 2

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

MATeMÀTIQUeS 3

45

LA

2( 5) ( 5) 4 1 ( 50) 5 25 200 5 15

2 1 2 2x

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±→ = = =⋅

1 10x = i 2 5x = −

Considerem la solució positiva: 4 4

85 10 5

a aa

b= → = → =

El valor de a és 8.

8. Si dos nombres són iguals, els seus quadrats també ho són. Podem afirmar que, si els quadrats de dos nom-bres són iguals, els dos nombres també ho són?

No. Si els quadrats de dos nombres són iguals, pot ser que els dos nombres ho siguin, o bé que tinguin signe oposat.

9. Determina les longituds dels costats d’un triangle rec-tangle sabent que un catet mesura 3 cm més que l’al-tre i que la hipotenusa fa 3 cm més que el catet gran.

Segons l’enunciat, anomenem x i x + 3 els dos catets i x + 6 la hipotenusa del triangle rectangle. Apliquem el teorema de Pitàgores, i plantegem l’equació:

2 2 2 2 2 2

22

( 3) ( 6) 6 9 12 36

( 6) ( 6) 4 1 ( 27)6 27 0

2

6 36 108 6 12

2 2

x x x x x x x x

x x x

+ + = + → + + + = + + →

− − ± − − ⋅ ⋅ −→ − − = → = =

± + ±= =

1 9x = i 2 3x = −

Atès que es tracta d’una longitud, només considerem la solució positiva.

Els catets mesuren 9 cm i 12 cm, i la hipotenusa, 15 cm.

10. En un grup de teatre hi ha més de vint persones. Dotze són homes i el nombre de dones és igual al quadrat de la vuitena part dels membres del grup. Quantes perso-nes formen aquest grup de teatre? Quantes dones hi ha al grup?

Anomenem x el nombre total de persones que formen

el grup. El nombre de dones serà 2

8

x

. Podem plantejar l’equació:

+ = → + = → + = →

± − − ⋅ ⋅→ − + = → = =

± − ±= =

2 22

22

12 12 768 648 64

64 ( 64) 4 1 76864 768 0

2

64 4 096 3 072 64 32

2 2

x xx x x x

x x x

1 48x = i 2 16x =

Com que l’enunciat diu que el grup de teatre està format per més de 20 persones, no podem considerar 16 com a solució.

El grup de teatre està format per 48 persones: 12 homes i 36 dones.

11. Troba les dimensions d’un rectangle de 56 cm de perí-metre i 180 dm2 d’àrea.

Si anomenem x la base del rectangle en centímetres, lla-vors 56 – x – x serà la suma de les dues altures en centí-metres. Una de les altures del rectangle es pot expressar de la manera següent:

56 228

2

xx

− = −

Així, si la base és x i l’altura 28 – x, podem plantejar l’equació:

⋅ − = → − + − = → − + = →

± − − ⋅ ± − ±→ = = =

2 2

2

(28 ) 180 28 180 0 28 180 0

28 ( 28) 4 180 28 784 720 28 8

2 2 2

x x x x x x

x

1 18x = i 2 10x =

Si la base és 18 cm, llavors l’altura mesura 10 cm.

Si la base és 10 cm, llavors l’altura mesura 18 cm.

Les dimensions del rectangle són 18 cm i 10 cm.

12. La Maria vol fer un marc d’un mirall amb un llistó de fusta de 2 m de longitud sense que li sobri ni li falti res. Sabent que el mirall té forma rectangular i té una su-perfície de 24 dm2, quina longitud han de tenir els trossos que ha de tallar?

La longitud del llistó és de 2 m = 20 dm.

Anomenem x la base del rectangle en decímetres, i l’al-

tura serà 20 2

102

xx

− = − .

Podem plantejar l’equació:

⋅ − = → − = → − + =2 2(10 ) 24 10 24 10 24 0x x x x x x

10 100 96 10 2

2 2x

± − ±= = 1 6x = i 2 4x =

Si la base del rectangle mesura 6 dm, llavors l’altura me-sura 4 dm.

Si la base del rectangle mesura 4 dm, llavors l’altura me-sura 6 dm.

Els trossos que ha de tallar han de mesurar 6 dm, 6 dm, 4 dm i 4 dm.

13. El club de futbol FC Pilota Ràpida vol canviar la gespa del seu camp. Per cobrir tot el terreny, utilitzen 1650 peces de gespa quadrades, cadascuna de les quals mesura 2 m de costat. Si el camp tingués 10 m més de llarg, aquesta dimensió seria el doble de l’amplada. Quines són les mides del camp de futbol?

La superfície del camp és 1650 · 2 2 = 6 600 m 2

Si anomenem x i y les dues dimensions del rectangle, en metres, que forma el camp, podem relacionar l’una amb l’altra, segons la condició de l’enunciat x + 10 = 2y.

Així y = 10

2

x +

Podem plantejar l’equació que resulta d’expressar que la superfície és de 6 600 m2:

46

MATeMÀTIQUeS 3LA

1 110x = i 2 120x = −

No podem considerar la solució negativa, ja que es tracta d’una longitud.

Així, si la base mesura 110 m, l’altura mesura 110 10

602

+ = m.

Les dimensions del camp són 110 m i 60 m.

14. Un dipòsit d’aigua que té forma de prisma quadrangu-lar regular mesura 10 dm d’altura i té una capacitat de 4 000 L. Quant mesura el perímetre de la base d’aquest dipòsit?

4 000 L = 4 000 dm3

El volum d’un prisma quadrangular regular es pot calcu-lar multiplicant l’àrea de la base per l’altura. Així:

= ⋅bV A h

= ⋅ → =4 000 10 400b bA A

L’àrea de la base mesura 400 dm2.

Atès que la base és un quadrat, el costat d’aquest me-sura 400c = ±

1 20x = i 2 20x = −

Considerem la solució positiva.

El perímetre de la base mesura 80 dm.

15. Per construir una piràmide quadrangular regular de 3 m d’altura, han calgut 225 m3 de pedra. Quant mesu-ra el costat de la base de la piràmide?

El volum de la piràmide és:

= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ → = → = ±1 1

225 3 225 2253 3b b bV A h A A c

1 15x = i 2 15x = −

No podem considerar la solució negativa.

El costat de la base de la piràmide mesura 15 m.

16. La Paula vol plantar mongetes al petit hort de forma quadrada que té al jardí de casa seva. El cost total de la plantació és de 13 200 € i inclou:

Preu de la instal·lació del sistema de reg automàtic ..................120 €

Preu de les mongeteres ........................ 12 €/m2

Tanca per encerclar l’hort ......................19 €/m

Quines són les dimensions de l’hort de la Paula?

Anomenem x el costat del petit hort quadrangular (expressat en metres), i plantegem l’equació:

+ + ⋅ = → + − = →

→ + − =

2 2

2

120 12 19 4 13 200 12 76 13 080 0

6 38 6 540 0

x x x x

x x

− ± − ⋅ ⋅ −+ − = → = =

⋅− ± − ±= =

2 38 1444 4 6 ( 6 540)6 38 6 540 0

2 6

38 158 404 38 398

12 12

x x x

1 30x = i 2

109

3x = −

Només podem considerar la solució com a positiva, ja que es tracta d’una longitud.

Les dimensions de l’hort de la Paula són les d’un quadrat de 30 m x 30 m.

17. Un polígon regular té 252 diagonals. Quants costats té aquest polígon?

Anomenem x el nombre de costats. Des de cada vèrtex, tracem x – 3 diagonals. El nombre de diagonals repeti-des dues vegades és x · (x – 3).

El nombre de diagonals diferents és: ( 3)

2

x xD

⋅ −=

Sabem el nombre de diagonals, podem trobar el nom-bre de costats:

⋅ −= → ⋅ − = → − − = →

± +− − ± − − ⋅ ⋅ − ±→ = = =

2

2

( 3)252 ( 3) 504 3 504 0

2

3 9 2 016( 3) ( 3) 4 1 ( 504) 3 45

2 2 2

x xx x x x

x

1 24x = i 2 21x = −

Com que el nombre de costats d’un polígon no pot ser negatiu, el polígon té 24 costats.

d’avaluació

Llegeix detingudament les afirmacions següents i digues si són certes o falses:

1. Una equació de segon grau pot tenir una solució.

Cert

2. Les equacions −2 + 6 = 0x x i − −2 + 6 = 0x x són equivalents, és a dir, tenen les mateixes solucions.

Cert

3. Si multipliquem els dos membres de l’equació − −22 5 + 3 = 0x x per un nombre qualsevol obtenim una altra equació equivalent.

Cert

4. Donada l’equació −2 = 0ax c , podem afirmar que si c < 0, l’equació no té solució.

Fals

+ ⋅ = → + = → + − = → − ± − ⋅ ⋅ − ± − ±→ = = =

2 2106 600 10 13 200 10 13 200 0

2

10 100 4 1 13 200 10 52 900 10 230

2 2 2

xx x x x x

x

+ ⋅ = → + = → + − = → − ± − ⋅ ⋅ − ± − ±→ = = =

2 2106 600 10 13 200 10 13 200 0

2

10 100 4 1 13 200 10 52 900 10 230

2 2 2

xx x x x x

x

+ ⋅ = → + = → + − = → − ± − ⋅ ⋅ − ± − ±→ = = =

2 2106 600 10 13 200 10 13 200 0

2

10 100 4 1 13 200 10 52 900 10 230

2 2 2

xx x x x x

x–106 100 – 4 ·1· (–13 200)

2

MATeMÀTIQUeS 3

47

LA

5. Totes les equacions del tipus 2 + = 0ax bx tenen com a una de les solucions x = 0.

Cert

6. Si d’un nombre natural en restem 3 unitats i després multipliquem el resultat pel nombre inicial més 1, ob-tenim 96. L’equació que resol aquest problema pot ser

−( 3) · ( + 1) = 96x x .

Cert

7. Els nombres 2 i –2 són solució de l’equació x2 + 4 = 0.

Fals

8. L’equació de segon grau (x + 2)2 = –16 no té solució.

Cert

9. Per resoldre una equació de segon grau podem apli-

car la fórmula general: −2 ± 4

= 2

b b acx

a.

Fals

10. L’equació − 2 + 9 = 0x té solucions 1 = 3x i −2 = 3x .

Cert

11. L’equació − − 2( 2) · (x + 3) = ( 1)x x és de segon grau.

Fals

12. x = –6 és una solució de l’equació 2( + 3) = 9x .

Cert

13. L’equació −3 · (2 3) = 0x x té solució =1 0x i =2

32

x .

Cert

14. x = –3 és una solució de l’equació − 2 + 5 + 6 = 0x x .

Fals

15. L’equació 2 + 25 = 0x no té solució.

Cert

16. L’equació 24 = 9x té dues solucions que són dos nom-bres de signe oposat.

Cert

17. L’equació −2 4 = 0x x té només una solució, x = 4.

Fals

18. L’equació 249 = 1x té dues solucions, 1 = 7x i −2 = 7x .

Fals

19. En les equacions del tipus 2( + ) = rx p q , si q < 0 l’equa-ció té dues solucions diferents.

Fals

20. Les equacions de segon grau del tipus: (px + r) · (qx + s) = 0

tenen dues solucions −

1 = r

xp

i −

2 = s

xq

.

Cert

Unitat 4. Moviments en el pla

Coneixements previs

• Dos triangles que tenen els angles iguals, són neces-sàriament iguals?

No, també poden ser semblants.

• Dos quadrilàters són semblants. Com són els seus an-gles? I els seus costats?

Els angles són iguals, i els costats, proporcionals.

• Considera dos triangles rectangles semblants. Els ca-tets d’un d’aquests triangles mesuren 3 cm i 4 cm, i la hipotenusa de l’altre mesura 15 cm. Quina és la raó de semblança del triangle petit en relació amb el gran? I la raó de semblança del triangle rectangle gran en re-lació amb el petit?

La hipotenusa a del triangle rectangle petit mesura:

2 2 2 2 2(3 cm) (4 cm) 9 cm 16 cm 25 cm 5 cma = + = + = =

Per tant, la raó de semblança del triangle rectangle petit en relació amb el gran és:

5 cm 1

' 15 cm 3

ak

a= = =

Naturalment, la raó de semblança del triangle rectangle gran en relació amb el petit és:

1' 3k

k= =

• La recta que conté la diagonal d’un quadrat, n’és un eix de simetria? I la que conté la diagonal d’un rectan-gle? Justifi ca les respostes.

Sí que ho és en el cas del quadrat, i no ho és en el cas del rectangle, tal com s’observa en la fi gura:

48

MATeMÀTIQUeS 3LA

• Dibuixa un triangle i una recta r exterior al triangle. Construeix el triangle simètric del primer respecte de la recta r.

C

r

C’

B’B

A A’

• Dibuixa un segment AB i traça’n la mediatriu. Què vol dir que la mediatriu és l’eix de simetria del segment AB?

A

B

m

La mediatriu m divideix perpendicularment el segment AB en dues parts iguals.

• Dues o més rectes paral·leles determinen la mateixa direcció?

Sí, sempre.

Activitats Proposades

1. Indica quins dels vectors dibuixats en la fi gura tenen:

a) El mateix mòdul.

b) La mateixa direcció.

c) El mateix sentit.

d) Diferent direcció.

e) Sentit contrari.

a) v

, s

i t

b) v

, s

i t

c) v

i t

d) v

i w

; s

i w

; t

i w

e) v

i s

; s

i t

2. Si apliquem el vector = −

( 2, 4)q al punt M, el transfor-ma en el punt O (0, 0). Esbrina les coordenades de M.

= − → − − − = − → −

( 2, 4)(0 ( 2), 0 4) (2, 4) (2, 4)

(0, 0)

qM

O

3. Considera els punts A (–2, 4) i B (3, –2). Quins són els components del vector

r que permet passar del punt A al punt B? I els components del vector s

que permet passar del punt B al punt A?

− → = − − − − = − → = −−

( 2, 4)(3 ( 2), 2 4) (5, 6) (5, 6)

(3, 2)

Ar r

B

− → = − − − − = − → = −−

(3, 2)( 2 3, 4 ( 2)) ( 5, 6) ( 5, 6)

( 2, 4)

Bs s

A

4. Indica els components de cada un dels vectors repre-sentats en la fi gura.

En la fi gura s’observa que:

(3, 1)p =

; (0, 3)q =

; (2, 0)r =

; (4, 4)s = −

5. Observa la transformació representada en la fi gura. Es tracta d’una isometria o d’una semblança? És directa o inversa? Justifi ca en cada cas la resposta.

Es tracta d’una isometria directa, ja que es conserven les distàncies i el sentit de gir dels angles.

6. S’aplica una isometria a un triangle rectangle de catets 5 cm i 12 cm. Determina la longitud dels tres costats del triangle que en resulta.

MATeMÀTIQUeS 3

49

LA

La hipotenusa del triangle rectangle original mesura:

2 2 2 2 2(5 cm) (12 cm) 25 cm 144 cm 169 cm 13 cma = + = + = =

2 2 2 2 2(5 cm) (12 cm) 25 cm 144 cm 169 cm 13 cma = + = + = =

Com que es tracta d’una isometria, es conserven les distàncies; per tant, els catets del triangle transformat mesuren 5 cm i 12 cm, i la seva hipotenusa, 13 cm.

7. Els extrems d’un segment són els punts A (–4, 3) i B (2, –1). Si s’aplica al segment AB una translació de vector t

, les coordenades del punt A’, homòleg del punt A, són A’ (3, 2). Determina els components del vector t

i les coordenades del punt B’, homòleg del punt B.

Components dels vector ( 4, 3)

(3 ( 4), 2 3) (7, 1) (7, 1)'(3, 2)

At t

A

− → = − − − = − → = −

:

− → = − − − = − → = −

( 4, 3)(3 ( 4), 2 3) (7, 1) (7, 1)

' (3, 2)

At t

A

Coordenades del punt B’:

− → + − + − = − → −= −

(2, 1)(2 7, 1 ( 1)) (9, 2) ' (9, 2)

(7, 1)

BB

t

8. Traça un segment PQ de 4 cm de longitud i aplica-hi un gir de 135º en sentit negatiu, de centre un punt O que no pertanyi a la recta que conté el segment.

QP

Q’

P’

O

135ª

4 cm

9. Considera un sistema de referència cartesià. Defineix el gir que transforma l’eix de les abscisses en l’eix de les ordenades.

O

y

x

90º

És un gir de 90o, en sentit positiu i amb centre a l’origen de coordenades O.

10. Dibuixa un sistema de referència cartesià en un paper quadriculat i assenyala-hi:

a) El punt A’, simètric del punt A (2, –3) respecte de l’origen de coordenades.

b) El punt B’, simètric del punt B (2, 0) respecte del punt P (1, 1).

c) El punt C’, simètric del punt C (4, 6) respecte del punt Q (0, 6).

O x

y

C’ C

B

B’A’

A

a) A’ (–2, 3)

b) B’ (0, 2)

c) C’ (–4, 6)

11. Indica quants eixos de simetria té cadascun dels polí-gons següents:

a) Un rectangle.

b) Un rombe.

c) Un triangle rectangle isòsceles.

d) Un octàgon regular.

e1

e2

e1

e2

Dos eixos de simetria. Dos eixos de simetria.

e2

e1

e3

e4

e5

e6

e7

e8

e

Un eix de simetria. Vuit eixos de simetria.

c) d)

a) b)

12. Quina és la figura simètrica d’una circumferència res-pecte d’un qualsevol dels seus diàmetres? Quins punts de la circumferència no modifiquen la seva posició en aquesta transformació?

50

MATeMÀTIQUeS 3LA

És la mateixa circumferència. En aquesta transformació no modifiquen la posició els dos punts d’intersecció de la circumferència amb el diàmetre; és a dir, els dos punts que són extrems del diàmetre.

13. Què succeiria si la raó d’una homotècia fos = 1k ? Justifica la teva resposta.

Que les dues figures homotètiques serien la mateixa figura, perquè en tractar-se d’una homotècia, els angles homòlegs tindrien la mateixa amplitud, i en ser de raó k = 1, els costats homòlegs serien iguals.

14. Dibuixa un rectangle de costats 4 cm i 2 cm i assenyala un punt O que sigui exterior al rectangle. Aplica al rec-

tangle una homotècia de centre O i raó 3

= 2

k .

A’

C’

CB

B’

A

D’

D

O

4 cm

2 cm

Es verifica ' ' ' ' 3

2

OA OB OC ODk

OA OB OC OD= = = = =

I també ' ' ' ' ' ' ' ' 3

2

A B B C C D D Ak

AB BC CD DA= = = = =

Els costats del rectangle homotètic mesuren:

3' ' ' ' 2 cm 3 cm

2A B D C= = ⋅ =

3' ' ' ' 4 cm 6 cm

2B C A D= = ⋅ =

15. Dos dels costats corresponents de dos triangles ho-motètics mesuren 4 cm i 2 cm. Quins dos valors pot tenir la raó d’homotècia k?

La raó k pot tenir dos valors:

1

4 cm2

2 cmk = =

o bé:

2

2 cm 1

4 cm 2k = =

Observa que 21

1k

k=

16. Dibuixa un quadrat de 2 unitats de costat en un siste-ma de referència cartesià, de manera que tingui un vèrtex en el punt O, origen de coordenades, i un altre

dels vèrtexs estigui situat en un punt del primer qua-drant. Troba les coordenades dels vèrtexs del quadrat que s’obté en aplicar-hi una homotècia de centre O i

3k = .

Hi ha diverses possibilitats, però la més senzilla és aquesta:

O (O’) x

y

R’

R

P P’

Q’

Q

Els vèrtexs del nou quadrat O’ P’ Q’ R’ són:

O’ (0, 0); P’ (6, 0); Q’ (6, 6); R’ (0, 6)

17. Dibuixa en uns eixos de coordenades cartesianes el segment d’extrems els punts A (–6, –4) i B (–4, 1). Apli-ca-hi de manera consecutiva els vectors translació

(6, 4)a =

i = −

(3, 2)b .

a) Quins són els components del vector

c que traslla-da directament del primer segment al tercer?

b) I els components del vector

d que permet passar del tercer segment al primer?

B’

B’’

A’’

A’

a

B

A

x

y

c

b

ac

b

a) (6, 4)

(6 3, 4 ( 2)) (9, 2) (9, 2)(3, 2)

ac c

b

= → = + + − = → == −

b) Si per passar del primer al tercer, el vector translació és (9, 2)c =

, per passar del tercer al primer serà ( 9, 2)d = − −

.

18. En quin cas dos girs del mateix centre equivalen a una simetria central? No oblidis especificar-ne el sentit.

Sempre que les amplituds sumin 180o o bé –180o. Per exemple, un de 100o i un altre de 80o, o bé un de –120o i l’altre de –60o.

En cas que els dos girs es produeixin en sentits contraris, les amplituds també han de sumar 180o o –180o. Per exemple 240o i –60o, o bé –250o i 70o.

MATeMÀTIQUeS 3

51

LA

19. Quantes simetries centrals de centre un punt qualse-vol cal aplicar de manera consecutiva a una figura plana perquè es transformi en si mateixa? Per què?

Cal aplicar dues simetries centrals consecutives, perquè dues simetries centrals equivalen a un gir de 360o en qualsevol dels dos sentits possibles.

20. El perímetre d’un triangle isòsceles mesura 13 cm, i el costat desigual, 5 cm. Dibuixa el triangle i aplica-hi un gir de 90º en sentit negatiu, de centre un punt O exte-rior al triangle.

Cadascun dels costats iguals del triangle isòsceles mesura:

(13 cm – 5 cm): 2 = 8 cm: 2 = 4 cm

B

C’

O

A’

B’

C’A–90º

4 cm

4 cm5 cm

21. Dibuixa el quadrilàter de vèrtexs els punts A (1, –2), B (3, –4), C (5, 0) i D (7, –1), i aplica-hi separadament les transformacions següents:

a) Una simetria respecte de l’origen de coordenades.

b) Una simetria respecte de l’eix d’abscisses.

Indica les coordenades dels vèrtexs d’ambdós quadri-làters i identifica la transformació geomètrica que permet obtenir un dels dos quadrilàters a partir de l’altre.

Ax

y

B

D

C (C’’)D’’

B’’

A’’A’

B’

D’

C’ O

a) A’ (–1, 2); B’ (–3, 4); C’ (–5, 0); D’ (–7, 1)

b) A’’(1, 2); B’’ (3, 4); C’’ (5, 0); D’’ (7, 1)

La transformació que permet obtenir el quadrilàter A’’ B’’ C’’ D’’ a partir del quadrilàter A’ B’ C’ D’ és una simetria axial respecte de l’eix de les ordenades.

22. Aplica al triangle de la figura una simetria de centre el punt P. Quines són les coordenades dels vèrtexs del triangle transformat?

x

y

O

A’

B’

C’A

B

C

P

A’ (4, 3); B’ (2, –2); C’ (7, 0)

23. Troba les coordenades dels punts homòlegs del punt P (2, 4) mitjançant cadascun dels girs següents, tots ells amb centre a l’origen de coordenades.

a) 90º en sentit positiu.

b) 90º en sentit negatiu.

c) 180º.

d) 270º en sentit positiu.

x

y

O

P

90ºP1

P3

P2 (P4)

–90º

270º

a) P1 (–4, 2)

b) P2 (4, –2)

c) P3 (–2, –4)

d) P4 (4, –2)

52

MATeMÀTIQUeS 3LA

24. Dibuixa un triangle equilàter de 4 cm de costat i apli-

ca-hi una homotècia de raó 1

= 2

k i centre un punt O,

situat a 6 cm de dos dels vèrtexs del triangle. Determi-na el costat, el perímetre i l’àrea del triangle que has obtingut.

C’

A’

A

C

O

B’

B

4 cm

2 cm

6 cm

Com que la raó de semblança entre els dos triangles

equilàters és 1

2k = , el costat c’ del triangle equilàter

transformat mesura:

1 1' 4 cm 2 cm

2 2c c= ⋅ = ⋅ =

El perímetre p’ mesura: p’ = 3 · c’ = 3 · 2 cm = 6 cm

Per calcular l’àrea, ens cal conèixer l’altura h’, per la qual cosa utilitzem el teorema de Pitàgores:

22 2 2

2 2 2

'' ' (2 cm) (1cm)

2

4 cm 1cm 3 cm 1,73 cm

ah a = − = − =

= − = ≅

L’àrea del triangle A’ B’ C’ és:

2' ' 2 cm 1,73 cm' 1,73 cm

2 2

a hS

⋅ ⋅= ≅ =

25. En un triangle rectangle ABC, la hipotenusa mesura 15 cm i un dels catets 9 cm. Apliquem al triangle una ho-

motècia de raó 4

= 3

k . Calcula:

a) L’altre catet del triangle ABC.

b) Els costats del triangle homotètic A’B’C’.

c) El perímetre i l’àrea de cada triangle.

d) Comprova que la raó entre els perímetres és k i que la raó entre les àrees és k2.

a) Emprant el teorema de Pitàgores, trobem el catet que falta:

2 2 2 2

2 2 2

(15 cm) (9 cm)

225 cm 81cm 144 cm 12 cm

b a c= − = − =

= − = =

b) A partir de la raó de l’homotècia, obtenim els costats del triangle transformat:

' 4 ' 4 4' 15 cm 20 cm

3 15 cm 3 3

a aa

a= → = → = ⋅ =

' 4 ' 4 4' 12 cm 16 cm

3 12 cm 3 3

b bb

b= → = → = ⋅ =

' 4 ' 4 4' 9 cm 12 cm

3 9 cm 3 3

c cc

c= → = → = ⋅ =

c) Perímetres:

p = a + b + c = 15 cm + 12 cm + 9 cm = 36 cm

p’ = a’ + b’ + c’ = 20 cm + 16 cm + 12 cm = 48 cm

Àrees:

212 cm 9 cm54 cm

2 2

b cS

⋅⋅= = =

216 cm 12 cm' '' 96 cm

2 2

b cS

⋅⋅= = =

d) En efecte:

48 cm' 4

36 cm 3

pk

p= = =

222

2

96 cm' 16 4

54 cm 9 3

Sk

S = = = =

26. Dibuixa el segment d’extrems els punts A (0, 2) i B (0, 6). Determina les coordenades dels extrems del segment que resulta d’aplicar-hi de manera consecutiva les transformacions següents:

a) Un gir de 90º en sentit negatiu.

b) Una homotècia de centre l’origen de coordenades i

raó 1

= 4

k .

x

y

O A’ B’

A

B

–90º

A’’ B’’

a) Observant la figura es dedueix que: A’ (2, 0) i B’ (6, 0)

b) S’ha de complir:

'' 1 '' 1 1 1

'' '' , 0' 4 2 4 2 2

OA OAOA A

OA = → = → = →

i

'' 1 '' 1 3 3

'' '' , 0' 4 6 4 2 2

OB OBOB B

OB = → = → = →

MATeMÀTIQUeS 3

53

LA

Activitats fi nals

Reforç

1. Apliquem de manera successiva al punt A de la fi gura els vectors

p i

q .

a) Quins són els components de cadascun d’aquests vectors?

b) Identifi ca les coordenades dels punts A’ i A’’.

c) Quins són els components del vector

r que aplicat al punt A el transforma en el punt A’’?

y

xO

A’’

A

A’p

q

Observant la fi gura es dedueix que:

a) (4, 2)p = −

i ( 2, 1)q = − −

b) A’ (2, 2) i A’’ (0, 1)

c) (2, 3)r = −

2. Dibuixa un quadrat ABCD de 2,5 cm de costat i aplica-hi la translació determinada pel vector que permet passar del vèrtex A al vèrtex C del quadrat.

A

C (A’ )

B

D

D’ C’

B’

v

2,5 cm

3. Es diu que una fi gura és simètrica respecte d’un punt, anomenat centre de simetria de la figura, quan es transforma en si mateixa mitjançant una simetria de centre aquest punt, tot i que no cal que cada punt de la fi gura sigui homòleg de si mateix. Esbrina quins dels polígons següents tenen centre de simetria.

a) Triangle equilàter

b) Rectangle

c) Quadrat

d) Rombe

e) Hexàgon regular

Dels polígons proposats, tots tenen centre de simetria, excepte el triangle equilàter. El centre de simetria és el punt d’intersecció de les seves diagonals.

4. Dibuixa el triangle de vèrtexs els punts A (–5, 2), B (–2, 2) i C (–2, 8). Quines són les coordenades del tri-

angle que s’obté en aplicar-hi una simetria d’eix la recta que passa pel punt P (2, 0) i és paral·lela a l’eix de les ordenades?

x

y

O

B’

e

A’

C’C

AB

P

A’ (9, 2); B’ (6, 2); C’ (6, 8)

5. Determina la raó de l’homotècia de centre A que hi ha representada a la fi gura. Quina és la raó de semblança entre els dos hexàgons? Si CD mesura 2 cm, quant me-sura C’D’?

La raó de l’homotècia és 8 cm' 8

3 cm 3

ABk

AB= = = , que coinci-

deix amb la raó de semblança entre l’hexàgon gran i el petit.

' ' ' ' 8 8' ' 2 cm 5,3 cm

2 cm 3 3

C D C Dk C D

CD= → = → = ⋅ =

54

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. Apliquem de manera successiva a un pentàgon les transformacions següents: una translació, un gir, una simetria central, una simetria axial, una homotècia i una simetria axial. Justifica el motiu pel qual la trans-formació que permet obtenir directament l’últim pen-tàgon a partir del primer no pot ser inversa.

La transformació que permet obtenir directament l’últim pentàgon a partir del primer no pot ser inversa, perquè durant el procés s’han fet dues simetries axials, és a dir, un nombre parell de transformacions inverses, que equi-val a una transformació directa.

7. Una simetria central es pot considerar com el resultat de compondre dos girs de centre el mateix punt. Qui-na condició han de verificar les amplituds d’aquests girs?

Que les amplituds dels angles de gir sumin 180o o bé –180o.

8. Dibuixa un rectangle de costats 3 cm i 2 cm. Aplica-hi una simetria centrada en un dels vèrtexs i, tot seguit,

una homotècia de raó 3

= 2

k amb centre en el punt en

què es tallen les diagonals del rectangle original. Quant mesuren els costats del tercer rectangle que has dibuixat?

C B

D

B’

B’’

C’

D’

D’’

C’’

A’’

A (A’ )

O

Els costats del rectangle A’’ B’’ C’’ D’’ mesuren:

33 cm 4,5 cm

2⋅ = cadascun dels dos costats grans, i

32 cm 3 cm

2⋅ = cadascun dels dos costats petits.

9. Representa per A1 l’àrea del primer rectangle de l’acti-vitat anterior, i per A3 l’àrea del tercer rectangle. Com-

prova que es verifica la proporció 3

1

9 =

4AA

= k2.

A1 = 3 cm · 2 cm = 6 cm2

A3 = 4,5 cm · 3 cm = 13,5 cm2

223

21

13,5 cm 135 9

6 cm 60 4

Ak

A= = = =

10. Dibuixa un triangle rectangle i aplica-hi dues simetries axials successives d’eixos paral·lels. Quina és la trans-formació que et permet passar de la primera figura a la tercera? Indica si es tracta d’una isometria o no, i si és directa o inversa.

C’’A’’A’C’CA

B B’ B’’

e e’

La transformació que fa passar del triangle rectangle ABC al triangle rectangle A’’ B’’ C’’ és una translació, de manera que el mòdul del vector corresponent és el doble de la distància que hi ha entre els dos eixos de simetria. Aquesta transformació, com que és una translació, és una isometria directa.

11. Aplica a un rombe de diagonals 8 cm i 6 cm una ho-motècia de raó = 0,5k i centre qualsevol dels vèrtexs. Quant mesuren les diagonals del rombe transformat? Calcula el perímetre i l’àrea de cada rombe.

C’ A (A’ )C

B

B’

D’

D

4 cm

3 cm

Les diagonals del rombe transformat mesuren:

D’ = 8 cm · 0,5 = 4 cm, la diagonal gran, i

d ‘ = 6 cm · 0,5 = 3 cm, la diagonal petita.

El costat del rombe gran mesura:

2 22 2

2 2 2

(4 cm) (3 cm)2 2

16 cm 9 cm 25 cm 5 cm

D dc = + = + =

= + = =

El costat del rombe transformat: c’ = 5 cm · 0,5 = 2,5 cm.

Perímetres:

p = 4 · c = 4 · 5 cm = 20 cm

p’ = 4 · c’ = 4 · 2,5 cm = 10 cm, o també p’ = 20 cm · 0,5 = = 10 cm

Àrees:

28 cm 6 cm24 cm

2 2

D dS

⋅⋅= = =

MATeMÀTIQUeS 3

55

LA

24 cm 3 cm' '' 6 cm

2 2

D dS

⋅⋅= = = , o també

S’ = 24 cm2 · 0,52 = 24 cm2 · 0,25 = 6 cm2

12. Dibuixa un rectangle de 10 cm de perímetre de mane-ra que una de les seves dimensions superi en 1 cm l’altra. Aplica al rectangle un gir de 90o centrat en el punt en què es tallen les diagonals.

Primer hem de calcular les dimensions del rectangle:

+ + = → + = → + = →

= → =[2 ( 1) 10 2(2 1) 10 2 1 5

2 4 2

]x x x x

x x

Les dimensions del rectangle són 2 cm i 3 cm:

A’ D’

B’ C’DC

AB

O

3 cm

90º

2 cm

13. Considera el triangle de vèrtexs els punts A (–1, 2), B (–2, 5) i C (4, 3). Determina les coordenades del nou triangle que s’obté en aplicar-hi una simetria de centre l’origen de coordenades. Com són entre si els dos triangles?

y

xO

B’

A’C’

AC

B

A’ (1, –2); B’ (2, –5); C’ (–4, –3)

Els dos triangles són iguals.

14. Apliquem una homotècia a un hexàgon regular. De-termina l’amplitud de cadascun dels angles de l’hexà-gon homotètic.

Sigui quin sigui el valor de la raó k, no fa variar l’amplitud dels angles, ja que una homotècia és una semblança i, per tant, manté l’amplitud dels angles. És a dir, els angles mesuraran igual que els de l’hexàgon regular original, d’on tenim que:

004 180

1206

A⋅= =

és l’amplitud de cadascun dels sis

angles iguals.

15. En la taula següent s’han indicat diferents transforma-cions geomètriques. Assenyala el que correspongui en cada cas:

Transformació Isometria Semblança Directa Inversa

Una simetria central X X

Un gir X X

Una homotècia X X

Una translació X X

Una simetria axial X X

Ampliació

1. L’ortocentre, l’incentre, el circumcentre i el baricentre d’un triangle equilàter se situen en un mateix punt. Dibuixa un triangle equilàter de 3 cm de costat i apli-ca-hi una simetria central de centre aquest punt. Si uneixes mitjançant segments els vèrtexs dels dos triangles homòlegs, quin polígon obtens?

B’

A

C’

C

A’

B

Tal com s’observa en la figura, en unir mitjançant seg-ments els vèrtexs dels dos triangles homòlegs s’obté un hexàgon regular.

2. Apliquem una translació de vector =

( , )t a b a una fi-gura. Si representem per

't el vector que ens permet obtenir, també per translació, la primera figura a partir de la segona:

a) Indica el mòdul, la direcció i el sentit del vector

't .

b) Determina’n els components.

a) El vector ' ( , )t a b= − −

té el mateix mòdul, la mateixa direcció i el sentit contrari que el vector t

.

b) ' ( , )t a b= − −

3. Quina és l’equació de la recta els punts de la qual s’ob-tenen en traslladar els punts de la recta = 2y x segons el vector =

(0, 3)t ? Verifica la resposta representant gràficament les dues rectes en un mateix sistema de referència cartesià.

S’obtindrà una recta paral·lela a la recta y = 2x, que tallarà l’eix de les ordenades en el punt P (0, 3). Per tant, l’equa-ció de la recta traslladada serà y = 2x + 3.

56

MATeMÀTIQUeS 3LA

y

xO

rr’

t

t

y = 2x

+ 3

y = 2x

4. Dibuixa dos segments AB i A’B’ no paral·lels que tin-guin la mateixa longitud. Determina geomètricament el centre i l’angle del gir que transforma el segment AB en el segment A’B’.

A’

B’B

A

O

m

m’

A continuació, detallem com s’ha trobat gràficament:

a) Dibuixem els segments AB i A’B’, que siguin no paral-lels i de la mateixa longitud.

b) Tracem les mediatrius dels segments AA’ (m) i BB’ (m’). Les mediatrius m i m’ es tallen en el punt O, que és el centre de gir.

c) L’angle 'AOA és l’angle de gir. En el nostre cas, el gir s’ha fet en sentit negatiu.

5. Calcula l’àrea de la regió plana limitada per les quatre circumferències següents:

a) De centre el punt C (2, 2) i tangent als eixos de coor-denades.

b) Simètrica de l’anterior respecte de l’eix d’ordenades.

c) Simètrica de l’anterior respecte de l’eix d’abscisses.

d) Simètrica de l’anterior respecte de l’eix d’ordenades.

y

xO

C’ C

C’’ C’’’

L’àrea que ens demanen és quatre vegades l’àrea asse-nyalada en la figura. Aquesta àrea, tal com es pot veure, s’obté restant de l’àrea d’un quadrat de 2 unitats de cos-tat, l’àrea d’un quart de cercle de 2 unitats de radi:

2 22 2

1

22 2 2 2

3,14 (2 )(2 )

4 43,14 4

4 4 3,14 0,864

r uA c u

uu u u u

p ⋅= − ≅ − =

⋅= − = − =

En definitiva, l’àrea de la figura és:

2 214 4 0,86 3,44A A u u= ≅ ⋅ =

6. Observa atentament cada parell de figures homòlo-gues i identifica’n la transformació geomètrica corres-ponent.

La de l’esquerra és una simetria central que té com a centre el vèrtex A del triangle ABC, i la de la dreta és una simetria axial que té com a eix la recta que passa pel vèr-tex A i és paral·lela al costat BC.

7. Dues circumferències concèntriques de diferent radi, són sempre homotètiques? Si la resposta és afirmativa:

a) Quin és el centre d’homotècia?

b) Quina és la raó de l’homotècia que transforma una circumferència de centre un punt O i radi 2,5 cm en una altra circumferència de centre el mateix punt i radi 3,5 cm? Expressa-la mitjançant una frac-ció irreductible.

Sí, sempre són homotètiques.

a) El centre de l’homotècia és el centre comú a les dues circumferències.

b) 3,5' 7

2,5 5

cmrk

r cm= = =

MATeMÀTIQUeS 3

57

LA

8. Comenta des d’un punt de vista geomètric la frase: «Tinc ganes de canviar totalment la meva manera de veure les coses: he de fer un gir de 360º a la meva vida». En cas que no et sembli correcta, com l’enunciaries?

La frase no sembla gaire encertada, perquè si algú dóna un gir de 360o a la seva vida, no canviarà res perquè es quedarà com estava. Per aconseguir aquest canvi total,

el gir hauria de ser, en tot cas, de 180o.

9. Determina el camí més curt que permet anar des del punt A fins al punt B, si cal travessar el riu perpendicu-larment a les dues ribes.

v

v

A

P

Q

B

El camí més curt, travessant el riu perpendicularment a les dues ribes, és:

A → P → Q → B

10. Apliquem de manera consecutiva a un triangle les transformacions següents: una translació, un gir, una simetria central i una homotècia. Si els costats del pri-mer triangle mesuren 4 cm, 5 cm i 5 cm i la raó de

l’homotècia és 7

= 10

k , quant mesuren els costats del

tercer triangle? I els del cinquè?

Els triangles primer i quart són iguals, ja que la composi-ció de les tres primeres transformacions geomètriques dóna una isometria directa. Per tant, els costats del quart triangle també mesuren 4 cm, 5 cm i 5 cm.

El cinquè triangle és semblant al primer, i la raó de sem-blança coincideix amb la raó d’homotècia. Tenim, doncs, que els costats del cinquè triangle mesuraran:

7' 4 cm 2,8 cm

10a a k= ⋅ = ⋅ = , el petit.

7' 5 cm 3,5 cm

10b b k= ⋅ = ⋅ = , cadascun dels altres dos.

11. Inscriu un hexàgon regular en una circumferència de 3 cm de radi i aplica a l’hexàgon una homotècia de centre el centre de la circumferència i raó k = 1,5. Indica, sense fer el dibuix ni prendre cap mesura, quina és la longitud del radi de la circumferència circumscrita a l’hexàgon homotètic.

Homotècia de centre O i raó k = 1,5:

C’ F’

A’B’

E’D’

F

AB

C

DE

O 3 cm

El radi de la circumferència circumscrita mesura: ' 3 cm 1,5 4,5 cmr r k= ⋅ = ⋅ =

12. La mesura dels angles d’un quadrilàter ABCD són nombres senars consecutius. Apliquem al quadrilàter una homotècia de raó

= 0,6k .

a) Determina la mesura dels angles del quadrilàter homotètic A’B’C’D’.

b) Si el perímetre del triangle ABCD és p, quin serà el perímetre del quadrilàter A’B’C’D’?

c) Indica l’àrea del quadrilàter ABCD si l’àrea del A’B’C’D’ és s’.

Primer caldrà calcular l’amplitud de cadascun dels qua-tre angles del quadrilàter ABCD.

Indiquem amb x l’amplitud del més petit dels quatre angles, i aleshores tindrem que:

x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 360 → 4x = 348 → x = 87

Els angles del quadrilàter ABCD mesuren: 87o, 89o, 91o i 93o.

a) Com que és homotètic, els angles mesuraran igual que els del quadrilàter ABCD; és a dir, 87o, 89o, 91o i 93o.

b) 2 2

' 0,63 3

pp p k p p= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

c) 222 2

' ' ' ' 9 ''

4 40,6 293

s s s s ss s k s

k= ⋅ → = = = = =

13. Quan una figura, formada per un o més polígons, és un motiu mínim per construir un mosaic, diem que tessel·la el pla. Perquè això sigui possible, els angles que concorren en un vèrtex han de sumar 360º, per no deixar espais buits. Quins són els únics polígons regu-lars que permeten una tessel·lació del pla? Justifica la resposta.

Els únics polígons regulars que permeten una tessel·lació del pla són:

58

MATeMÀTIQUeS 3LA


Angle interior del triangle equilàter: 60o.

6 · 60o = 360o

Es pot aconseguir el mosaic fent coincidir sis triangles equilàters en cada vèrtex.

b) Quadrat

Angle interior del quadrat: 90o.

4 · 90o = 360o

Obtindríem un mosaic unint quatre quadrats amb un vèrtex comú.

c) Hexàgon regular

Angle interior de l’hexàgon regular: 120o.

3 · 120o = 360o

Si fem coincidir tres hexàgons regulars en cada vèrtex es tessel·la el pla.

No hi ha més polígons regulars perquè cap dels nom-bres que expressen la mesura en graus dels seus an-gles interiors és divisor de 360o.

14. Justifica raonadament perquè no és possible tessel·lar el pla mitjançant pentàgons regulars.

En el cas del pentàgon regular, no és possible, perquè la mesura en graus d’un dels angles interiors és de 108o, i 108 no és divisor de 360.

3 · 108o + 36o = 360o

15. En la taula següent s’han indicat dues transformacions geomètriques consecutives. Assenyala el que corres-pongui en cada cas, comparant la primera figura amb la tercera.

Transformacions Isometria Semblança Directa Inversa

Una simetria axial i una homotècia X X

Un gir i una simetria axial X X

Una homotècia i una translació X X

Una translació i un gir X X

Una simetria axial i una translació X X

Dues simetries, una d’axial i una de central X X

Una homotècia i un gir X X

d’avaluació

Indica si són certes o falses les afirmacions següents:

1. Dues rectes que són perpendiculars tenen diferent direcció.

Cert

2. Tots els vectors que es troben situats sobre rectes paral·leles tenen el mateix sentit.

Fals

3. Les isometries transformen una figura plana en una altra que té la mateixa superfície.

Cert

4. Els polígons irregulars no tenen eixos de simetria.

Fals

5. En aplicar una homotècia de raó = 2k a un polígon, se n’obté un altre de semblant l’àrea del qual és el do-ble de l’àrea del polígon original.

Fals

6. La composició de dues translacions de vectors

= ( , )r a b i

= ( , )s c d és una altra translació de vector ( )

= + , + t a c b d(a + c, b + d).

Cert

7. En un període de temps d’un minut, l’extrem de la busca minutera d’un rellotge realitza un gir de 6º en sentit negatiu.

Cert

8. Dues figures que són semblants són sempre homotè-tiques.

Fals

MATeMÀTIQUeS 3

59

LA

9. El vector translació que transforma el punt A (–3, 2) en el punt B (4, –1) és el vector

v que té per components cartesians

= (7, 3)v .

Fals

10. Una simetria axial transforma una recta r en una altra recta r’, de manera que l’eix e de simetria és la bisectriu de l’angle que formen les rectes r i r’.

Cert

11. L’angle de gir equivalent a 390º és 30º.

Cert

12. La fi gura que determinen dos triangles rectangles ho-mòlegs en una simetria axial que té per eix la recta que en conté les hipotenuses és un rectangle.

Cert

13. El punt homòleg del punt P (0, 4) que s’obté en apli-car-hi el vector translació − −

= ( 2, 5)u és el punt P’ (–2, –1).

Cert

14. En un gir, l’únic punt del pla que és l’homòleg d’ell mateix és el centre de gir.

Cert

15. Dues circumferències concèntriques de diferent radi són sempre homotètiques.

Cert

16. El vector

p que trasllada l’origen de coordenades al punt P (a, b) és

= ( , )p a b .

Cert

17. Qualsevol translació es pot caracteritzar a partir d’un punt i del seu punt homòleg.

Cert

18. Si apliquem a una fi gura plana un gir de 360º amb centre en un punt qualsevol i en qualsevol dels dos sentits possibles, s’obté la fi gura inicial.

Cert

19. Les simetries centrals conserven les distàncies, però no el sentit dels angles.

Fals

20. Si el punt homòleg del punt A en una translació de vector −

= (3, 2)p és A’ (1, –4), aleshores el punt A té per coordenades A (2, 2).

Fals

Unitat 5. Geometria en l’espai

Coneixements previs

• Utilitza un transportador d’angles per mesurar els an-gles d’un escaire i d’un cartabó.

En un escaire els angles mesuren 90º i 45º els altres dos angles. En un cartabó: 90º, 60º i 30º.

• Recordes la posició relativa de dues rectes d’un pla?

Dues rectes o són paral·leles o són secants.

• Com s’anomenen dues rectes secants que determinen quatre angles iguals?

Rectes perpendiculars.

• Quantes altures pots traçar en un triangle? Quants cen-tímetres cúbics hi ha en 1 m3?

En un triangle es poden traçar tres altures.

1 m3 = 1000 000 cm3

• Quina és l’àrea i quin és el volum d’un cub de 3 cm d’aresta?

A = 6 · 9 cm2 = 54 cm2; V = 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm3.

Activitats

Proposades

(En totes les activitats es pren 3,14π = )

1. Es vol formar un angle políedre de quatre cares. Dues mesuren 80° cadascuna, i la tercera, 120°. Pot tenir qualsevol amplitud la quarta? Raona la resposta.

Les tres cares sumen 2 · 80º + 120º = 280º. La quarta cara ha de ser inferior a la diferència entre 360º i 280º; és a dir, inferior a 80º.

2. Considera un cub i explica com pots mesurar la distàn-cia entre dues cares paral·leles.

La distància entre dues cares paral·leles es pot mesurar per l’aresta del cub.

3. Construeix un angle políedre amb quatre cares de 70° cadascuna. Pots fer el mateix amb cinc cares com aquestes? I amb sis?

Amb quatre cares: 4 · 70º = 280º. Amb cinc cares: 5 · 70º = 350º. Amb 6 cares: 6 · 70º = 420º, que és més gran que 360º i, per tant, no es pot construir l’angle políedre.

4. El rectilini d’un díedre mesura 65° 30’ 50”. Calcula la mesura del díedre complementari i del suplementari.

60

MATeMÀTIQUeS 3LA

El complementari el trobem restant de 90º:

89º 59’ 60” –65º 30’ 50” 14º 29’ 10”

Per calcular el suplementari n’hi ha prou de sumar 90º al complementari. Per tant, el complementari és 14º 29’ 10”, i el suplementari, 104º 29’ 10”.

5. Manipula els políedres regulars, copia al teu quadern aquesta taula i completa-la.

Cares Vèrtexs Arestes Angles díedres

Angles políedres

Tetràedre 4 4 6 6 4Octàedre 8 6 12 12 6Icosàedre 20 12 30 30 12Cub 6 8 12 12 8Dodecàedre 12 20 30 30 20

6. Descriu les figures que formen les cares laterals i les cares bàsiques dels políedres següents:

a) Prisma pentagonal regular

b) Piràmide quadrangular regular

c) Prisma triangular regular

d) Piràmide hexagonal regular

a) Bases pentàgons regulars, i cares laterals rectangles.

b) Base un quadrat, i cares laterals triangles isòsceles.

c) Bases triangles equilàters, i cares laterals rectangles.

d) Base hexàgon regular, i cares laterals triangles isòsceles.

7. Descriu un prisma octogonal regular. Compta el nom-bre de cares i vèrtexs que té. Pots aplicar la igualtat d’Euler per trobar-ne el nombre d’arestes?

Un prisma octogonal regular té com a bases octògons regulars, i de cares laterals, rectangles. Té 10 cares, 16 vèrtexs i 24 cares. Sí, verifica la igualtat d’Euler.

8. L’altura d’una piràmide pentagonal regular mesura 8 cm, i l’aresta bàsica, 6 cm. Es talla la piràmide per un pla perpendicular a la seva altura a 3 cm de la base. Calcula l’altura i l’aresta bàsica de la piràmide que en resulta.

La piràmide que en resulta fa 5 cm d’altura. Les longituds de les dues piràmides són proporcionals i podem ex-

pressar 8 6

5 a= , d’on en resulta que a = 3,75.

L’aresta bàsica mesura 3,75 cm.

9. Un tub de canalera s’ha de pintar. El tub mesura 18 cm de diàmetre i 3 m de llarg. Quina és la superfície que cal pintar? En tindrem prou amb un pot que conté pintura per a una superfície de 2 m2?

La superfície que cal pintar és l’àrea lateral d’un cilindre A = 2 · π · r · g.

El radi és 9 cm 0,09 m= . 2A = 2 3,14 0,09 m 3 m = 1,695 m⋅ ⋅ ⋅ . La superfície és inferior a 2 m2; per tant, en tindrem prou amb el pot de pintura.

10. L’àrea total d’un cub és 8,64 m2. Expressa en decíme-tres la longitud d’una aresta.

L’àrea d’una cara del cub és 8,64 m2: 6 = 1,44 m2. L’àrea d’una cara, que és un quadrat, és a2 = 1,44 m2; l’aresta és

a = 21,44 m = 1,2 m. L’aresta fa 1,2 m = 12 dm.

11. Calcula l’àrea total d’un octàedre de 2 dm d’aresta.

Les 8 cares d’un octàedre són triangles equilàters. Apli-cant el teorema de Pitàgores, calculem l’altura del trian-gle equilàter:

h = 22 1 3 1,73− = ≈

Àrea del triangle A = 1

2· 2 cm · 1,73 cm = 1,73 cm2.

Àrea de l’octàedre: A = 8 · 1,73 cm2 = 13,84 cm2.

12. L’aresta bàsica d’un prisma hexagonal regular mesura 3 cm, i l’altura, 6 cm. Calcula’n l’àrea total.

L’àrea de les bases és la de dos hexàgons regulars que tenen iguals el costat i el radi de la circumferència cir-cumscrita. Calculem l’apotema:

2 23 1,5 2,6a = − ≈ .

Àrea de les dues bases:

2b

16 3 cm 2,6 cm 2 46,8 cm

2A = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2

lA 6 3 cm 6 cm 108 cm= ⋅ ⋅ = .

Àrea total: At = 46,8 cm2 + 108 cm2 = 154,8 cm2.

13. La longitud de circumferència de la base d’un con me-sura 31,4 cm, i l’altura, 12 cm. Quina és la longitud de la generatriu? Calcula l’àrea total del con.

Calculem el radi de la base del con: 31,4 = 2 · 3,14 · r → → r = 5 cm. La generatriu verifica que g2 = r2 + h2 = 52 + + 122 = 169 → g = 13 cm. L’àrea total és la suma de l’àrea lateral i la de la base:

At = 3,14 · (5 cm)2 + 3,14 · 5 cm · 13 cm = 282,6 cm2.

14. L’àrea total d’un cub és de 216 cm2. Quin volum té?

Cal calcular l’aresta del cub: 2 2216 cm 6 6 cma a= ⋅ → = .

El volum del cub és V = a3 = (6 cm)3 = 216 cm3.

15. Un dipòsit té forma d’ortòedre de 4,8 m de llargària, 2,4 m d’amplària i 2,2 m de fondària. És ple d’aigua fins a tres quartes parts de la seva capacitat. Calcula quants litres falten per omplir-lo.

MATeMÀTIQUeS 3

61

LA

Volum de l’ortòedre: V = 4,8 m · 2,4 m · 2,2 m = 25,344 m3. El dipòsit té una capacitat de 25 344 L. Falta per omplir la quarta part del dipòsit, que correspon a 6 336 L.

16. Observa la figura i descriu els cossos que la formen. Calcula’n l’àrea total i el volum total:

Formen la figura un prisma i una piràmide quadrangular regular. L’àrea total està formada per un quadrat de 6 cm de costat, quatre rectangles i quatre triangles de base 6 cm i d’altura 6 cm.

At = (6 cm)2 + 4 · 8 cm · 6 cm +

1

2· 6 cm · 6 cm · 4 = 300 cm2

El volum està format pel volum del prisma i el de la pirà-mide, que té 4 cm d’altura:

V = 6 cm · 6 cm · 8 cm + 1

3 · 6 cm · 6 cm · 4 cm = 336 cm3.

17. El volum d’un con és de 4,71 dm3 i el diàmetre de la base és de 15 cm. Calcula’n l’altura, la generatriu i l’àrea total expressada en centímetres quadrats.

El volum del con expressat en cm3 és:

= ⋅ ⋅ ⋅ →3 2 14 710 cm 3,14 (7,5 cm) h h = 80 cm.

3

La generatriu verifica que 2 2 27,5 80 80,35 cmg g= + → = .

L’àrea total: 23,14 (7,5 cm) 3,14 7,5 cm 80,35 cmA = ⋅ + ⋅ ⋅ .

A = 2 068,86 cm2.

18. Un rectangle de costats 4 cm i 6 cm pot girar al voltant d’un costat o de l’altre per generar dos cilindres dife-rents. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total de cadascun dels cilindres. Són iguals les àrees obtingudes?

El cilindre que s’obté en girar a l’entorn del costat de 4 cm té aquesta longitud de generatriu, i de radi de la base, 6 cm.

22 3,14 6 cm 4 cm 150,72 cmlA = ⋅ ⋅ ⋅ =

At = 3,14 · (6 cm)2 · 2 + 150,72 cm2 = 376,8 cm2

L’altre cilindre té 6 cm de generatriu, i 4 cm de radi de la base.

22 3,14 4 cm 6 cm 150,72 cmlA = ⋅ ⋅ ⋅ =

At = 2 · 3,14 · (4 cm)2 + 150,72 cm2 = 251,2 cm2.

Els dos cilindres tenen la mateixa àrea lateral, i diferent l’àrea total.

19. Calcula el volum de cadascun dels cilindres de l’exer-cici anterior. Són iguals, aquests volums?

El volum del primer cilindre és V = 3,14 · (6 cm)2 · 4 cm = = 452,16 cm3.

El volum del segon cilindre és V = 3,14 · (4 cm)2 · 6 cm = = 301,44 cm3.

Els dos volums són diferents.

20. Un prisma recte té per base un triangle rectangle els catets del qual mesuren 4 m i 3 m. L’altura del prisma és de 15 m. Quin és el seu volum? Quants litres d’aigua poden cabre en un dipòsit que tingui aquesta forma i aquestes dimensions?

V = 1

2 · 3 m · 4 m · 15 m = 90 m3. Hi poden cabre 90 000 L

d’aigua.

21. La mesura aproximada del radi de la Terra és 6 370 km. Si la Terra fos una esfera, quina seria la mesura de la seva superfície?

S = 4 · 3,14 · (6 370 km)2 = 509 645 864 km2.

22. Calcula quin és el volum d’un prisma quadrangular regular d’aresta bàsica 6 cm i d’aresta lateral 2 dm. Hi cap 1 L d’aigua, en aquest prisma?

2 3(0,6 dm) 2 dm 0,72 dmV = ⋅ = . No hi cap 1 L d’aigua,

perquè el volum no arriba a 1 dm3.

23. Un prisma hexagonal regular i una piràmide que tin-guin igual base tenen el mateix volum. Quin dels dos cossos té més altura? Quina és la relació que hi ha en-tre les dues altures?

En igualar els volums, podem escriure que:

Ab · h = A

b · h’ ·

1

3, d’on es dedueix que l’altura de la pirà-

mide cal que sigui el triple de la del prisma.

24. Calcula el volum d’una esfera que ha estat generada per un semicercle de superfície 14,13 dm2.

La superfície del cercle seria 28,26 dm2.

Calculem el radi: 28,26 dm2 = 3,14 · r2 → r = 3 dm.

Volum de l’esfera: V = 4

3 · 3,14 · (3 dm)3= 113,04 dm3.

25. Es construeix una cisterna en forma de pou cònic de 10 m de profunditat i 2,5 m de diàmetre de la base. Calcula el volum d’aigua que hi cap i expressa la seva capacitat en la unitat més adequada.

Volum de la cisterna:

V = 1

3 · 3,14 · (1,25 m)2 · 10 m = 16,354 m3.

La capacitat és de 16 354 L.

62

MATeMÀTIQUeS 3LA

26. Calcula el radi de la base d’un gerro d’aigua cilíndric d’1,5 L de capacitat si té una altura de 30 cm.

1,5 L de capacitat equival a 1,5 dm3 de volum.

1,5 dm3 = 3,14 · r2 · 3 dm → r = 0,4 dm.

27. Un armari té les dimensions següents: 185 cm d’alçària, 70 cm de fondària i 2 m de llargària. Cal envernissar-lo per la part de fora. Un pot de vernís costa 45 € i n’hi ha per envernissar una superfície d’1,5 m2. Calcula el cost del material que necessitarem.

Caldrà envernissar dos laterals i el frontal. Expressem to-tes les mides en metres:

S = 1,85 m · 0,7 m · 2 + 1,85 m · 2 m = 6,29 m2. Si amb un pot en tenim per a 1,5 m2, en caldran 6,29 : 1,5 = 4,2. Caldrà comprar 5 pots, que costaran 5 · 45 € = 225 €.

28. S’ha construït un pou amb forma cònica de 15 m de profunditat i una boca de 2,5 m de diàmetre, i cal reco-brir-ne les parets laterals. Calcula l’àrea de la zona que s’ha de recobrir.

La zona que s’ha de recobrir correspon a l’àrea lateral del con. Cal calcular la generatriu: g2 = 152 + 1,252 → g = 15,05 m. A

l = 3,14 · 1,25 m · 15,05 m = 59 m2.

29. Per construir pots de llauna cilíndrics per a conserves, s’han utilitzat 47,1 m2 de llauna. El diàmetre de la base de cada pot, que és igual que l’altura, mesura 1 dm. Calcula quants pots s’han construït. En els càlculs uti-litza π = 3,14.

La quantitat de llauna és l’àrea total de tots els cilindres. Calculem l’àrea d’un cilindre:

At = 2 · 3,14 · (5 cm)2 + 2 · 3,14 · 5 cm · 10 cm = 471 cm2 =

= 0,0471 m2.

Amb els 47,1 m2 es poden fer 1 000 pots de llauna.

30. Un bric de suc té forma d’ortòedre de mesures 3,6 cm, 5 cm i 11,8 cm. Quina és la seva capacitat? Quants en-vasos calen per tenir 1 L de suc? Cada envàs està mar-cat a 0,60 € i si comprem un envàs d’un litre, ens costa 2,25 €. És més econòmic comprar aquest envàs?

Volum del bric: V = 3,6 cm · 5 cm · 11,8 cm = 212,4 cm3, que equivalen a 0,2124 L. Per tenir un litre de suc, en ca-len 1 : 0,2124 = 4,7; és a dir, 5 envasos. Cinc brics costen 5 · 0,60 € = 3 €. És més econòmic comprar l’envàs d’un litre, de 2,25 €.

31. Les pilotes de tennis es venen envasades en una capsa cilíndrica que en conté sis. El diàmetre d’una de les pilotes mesura 7 cm. Calcula:

a) El volum d’una pilota.

b) El volum mínim que ocupa la capsa.

c) El volum de l’espai buit que queda a la capsa.

a) Volum d’una pilota: V = 4/3 · 3,14 · (3,5 cm)3 = 179,5 cm3.

b) Volum de la capsa cilíndrica:

V = 3,14 · (3,5 cm)2 · 42 cm = 1 615,53 cm3.

c) Les 6 pilotes ocupen 6 · 179,5 cm3 = 1 077 cm3.

L’espai buit és la diferència: 1 615,53 cm3 – 1 077 cm3 = = 538,53 cm3.

32. Un pot de llauna de tomàquet fa 10,5 cm d’altura i 11 cm de diàmetre de la base. Esbrina si hi cap un litre de tomàquet triturat. Un altre pot de tomàquet fa la mateixa altura, però només té la meitat de capacitat que l’anterior. Quina serà la longitud del diàmetre de la base?

Volum del pot: V = 3,14 · (5,5 cm)2 · 10,5 cm = 997,34 cm3. 1 L és la capacitat de 1 000 cm3. Aproximadament, hi cap 1 L de tomàquet triturat. Si el volum es redueix a la meitat, amb la mateixa altura, cal calcular el radi de la base: 498,67 cm3 = 3,14 · r2 · 10,5 cm. El radi és 3,89 cm, i el diàmetre de la base és 7,78 cm.

33. Un paquet de 6 ampolles d’aigua d’1,5 L, quants litres conté? Quants centilitres? A quantes ampolles de 50 cL equivalen? Si l’ampolla de mig litre costa 0,25 € i el paquet de 6 ampolles val 2 €, quantifi ca l’estalvi en comprar el paquet.

Sis ampolles d’1,5 L cadascuna contenen 9 L, que són 900 cL i equivalen a 18 ampolles de 50 cL o mig litre. Aquestes ampolles costen: 18 · 0,25 € = 4,50 €. L’estalvi és de 2,5 €.

34. El vi embotellat és una mica més car que el que es ven a granel per als socis d’una cooperativa. Una ampolla de vi de 75 cL costa 1,85 € i una garrafa de 5 L a granel costa 7,25 €. Quantifi ca l’estalvi per litre que tenen els socis de la cooperativa.

Una garrafa de 5 L = 500 cL → es poden omplir 500 : 75 = = 6,7 ampolles, que costarien 6,7 · 1,85 € = 12,395 €.

L’estalvi en els 5 L és de 12,395 € − 7,25 € = 5,145 € i, per cada litre, l’estalvi és 5,145 € : 5 = 1,029 €.

35. Calcula l’àrea total i el volum d’un ortoèdre de dimen-sions 1 m, 120 cm i 34 dm. Expressa’n la capacitat en litres.

Expressem totes les dimensions en decímetres i calcu-lem el volum:

V = 10 dm · 12 dm · 34 dm = 4 080 dm3


Activitats fi nals

Reforç

1. Observa un octàedre i descriu-lo. Calcula la mesura de l’angle polièdric que pots observar en cadascun dels seus vèrtexs.

MATeMÀTIQUeS 3

63

LA

Octàedre: 8 cares; triangles equilàters, 6 vèrtexs i 12 arestes. A cada vèrtex hi concorren 4 triangles equi- làters amb angles de 60º. L’angle polièdric mesura 60º · 4 = 240º.

2. Considera un ortòedre que tingui les dimensions se-güents: a = 10 cm, b = 8 cm i c = 12 cm. Calcula’n:

a) L’àrea total.

b) El volum, considerant com a base la cara de dimen-sions a i b.

c) El volum, considerant com a base la cara de dimen-sions a i c.

d) Has obtingut el mateix volum? Per què?

e) Si l’ortòedre fos buit, hi cabria 1 L de llet?

a) Àrea total: A = 2 · 10 cm · 8 cm + 2 · 10 cm · 12 cm + 2 · · 8 cm · 12 cm = 592 cm2.

b) Volum: V = 10 cm · 8 cm · 12 cm = 960 cm3.

c) Volum: V = 10 cm · 12 cm · 8 cm = 960 cm3.

d) El volum és el mateix, es multipliquen les mateixes dimensions.

e) No hi cabria exactament 1 L de llet, perquè 960 cm3 < < 1 000 cm3.

3. L’àrea de la base d’un prisma quadrangular regular és 9 cm2 i la longitud de l’aresta lateral mesura el doble de la de l’aresta bàsica. Calcula’n l’àrea total i el volum.

Si l’àrea de la base és de 9 cm2, l’aresta bàsica és de 3 cm i la lateral de 6 cm.

At = 2 · 9 cm2 + 4 · 3 cm · 6 cm = 90 cm2

V = 9 cm2 · 6 cm = 54 cm3.

4. Si el centre d’una circumferència és O i els extrems d’un diàmetre són A i B respectivament, els punts O, A i B determinen un únic pla? Quants fulls de paper pots fer passar per aquests tres punts?

Els punts O, A i B no determinen un pla, perquè estan alineats. Es poden fer passar molts fulls de paper, per aquests tres punts.

5. Un pot de llauna de conserva cilíndric té una capacitat aproximada d’1 L. L’àrea de la base és 78,5 cm2. Calcula l’altura del pot. Quina és la superfície de llauna neces-sària per fer un d’aquests pots?

1 L → 1 000 cm3 → V = 78,5 cm2 · h = 1 000 cm3 → h = = 12,74 cm. Per al radi de la base: 78,5 cm2 = 3,14 · r2 → r = 5 cm.

At = 2 · 78,5 cm2 + 2 · 3,14 · 5 cm · 12,74 cm = 557 cm2

La superfície de la llauna és de 557 cm2.

6. Observa un racó del terra de la teva habitació. Quants plans hi concorren? Quantes rectes? Explica la posició relativa entre els plans i les rectes.

En cada racó hi concorren tres plans i tres rectes. Els plans són perpendiculars dos a dos, i les rectes, també.

7. En una cooperativa d’un poble del Penedès, quan fan la verema, aboquen el vi en tines cilíndriques de 2,5 m de diàmetre i 3,5 m d’alçada. Durant la collita d’aquest any, han aconseguit omplir tres d’aquestes tines. Amb el vi que han recollit, podran omplir 50 000 ampolles d’1 L amb denominació d’origen?

Volum d’una tina: V = 3,14 · (1,25 m)2 · 3,5 m = 17,172 m3→→ 17 172 L. En 3 tines: 17 172 L · 3 = 51 516 L > 50 000 L. Podran omplir les ampolles.

8. Una tenda d’acampada té la forma que pots observar en la figura. El frontal té forma de triangle equilàter, els costats del qual fan 1,5 m, i la llargària és de 2,5 m. Calcula la superfície de lona que cal per construir-la.

La tenda està formada per dos triangles equilàters i dos rectangles. Per a l’àrea del triangle, cal calcular l’altura:

h = 2 21,5 0,75 1,3− ≈

At =

1

2 · 1,5 m · 1,3 m = 0,975 m2

S = 2 · 0,975 m2 + 2 · 2,5 m · 1,5 m = 9,45 m2

9. Descriu un cos que tingui les dimensions i la forma de la figura de l’exercici anterior. Calcula’n el volum.

El cos de la figura anterior pot ser el d’un prisma triangu-lar regular de base un triangle equilàter d’àrea 0,975 m2 i altura 2,5 m. El volum és V = 0,975 m2 · 2,5 m = 2,44 m3.

10. Una família consumeix aproximadament 1,5 L de llet al dia. La llet que compren costa 0,89 € l’envàs d’un li-tre. Si compren caixes de 6 envasos, la botiga els fa un descompte del 5%. Calcula la despesa anual de llet d’aquesta família.

Consum: 1,5 L · 365 = 547,5 L. Caixes de 6 ampolles: 547,5 L : 6 = 91,25 L. Compren 92 caixes que costarien: 92 · 6 · 0,89 € = 491,28 €. Amb el descompte, només pa-guen el 95 % de 491,28 = 446,72 €.

11. El volum d’una piràmide regular és de 54,6 cm3. Calcula’n l’altura sabent que l’àrea de la base és de 23,4 cm2.

El volum: 2 3123,4 cm 54,6 cm

3V h= ⋅ ⋅ = → h = 7 cm.

64

MATeMÀTIQUeS 3LA

12. Una cisterna de carburant té forma de cilindre acabat en una semiesfera, tal com mostra la figura. Calcula els litres de carburant que pot contenir.

La cisterna està formada per una semiesfera i un cilindre.

El volum és V = 1

2·

4

3 · 3,14 · (1,5 m)3 + 3,14 · (1,5 m)2 · 6 dm =

= 49,455 m3. La cisterna pot contenir 49 455 L de carburant.

13. Vols pintar la teva habitació. Prens mides i veus que mesura 4 m d’ample, 3,5 m de llarg i 2,5 m d’alt. Hi ha una porta de 190 cm per 90 cm i una finestra d’1 m per 90 cm. Calcula la superfície que has de pintar.

Calculem les superfícies.

Sostre: A = 3,5 m · 4 m = 14 m2.

Parets: 2 · 3,5 m · 2,5 m + 2 · 4 m · 2,5 m = 37,5 m2.

Cal descomptar la finestra i la porta: 1 m · 0,9 m + 1,9 m · 0,9 = 2,61 m2.

Superfície per pintar: 14 m2 + 37,5 m2 – 2,61 m2 = 48,89 m2.

14. Per berenar, una colla de set amics compren llaunes de refresc de 33 cL i les buiden en diferents gerros. Si es preveu que cada persona es beu mig litre de refresc, quantes llaunes caldrà comprar? Si cada llauna costa 0,75 €, en tindran prou amb 10 €?

Els 7 amics beuen 3,5 L de refresc. 3,5 : 0,33 = 10,6. Hauran de comprar 11 llaunes, que els costen 11 · 0,75 = 8,25 €. Sí, en tenen prou amb 10 €.

15. En una cooperativa d’un poble del Penedès tenen el vi de la collita en tines cilíndriques de 5 m d’altura i 80 cm de radi de la base. El vi d’una d’aquestes tines s’envasa en garrafes de 5 L. El d’una altra tina s’envasa en am-polles de 75 cL. Quantes garrafes i quantes ampolles poden omplir?

Volum d’una tina: V = 3,14 · (0,80 m)2 · 5 m = 10,048 m3. La capacitat de la tina és de 10 048 L.

Garrafes de 5 L → 10 048 : 5 = 2 009,6 → 2 009 garrafes.

Ampolles de 75 cL = 0,75 L → 10 048 : 0,75 = 13 397,3 → → 13 397 ampolles.

Ampliació

1. Calcula la mesura de l’angle d’un heptàgon regular. Raona per què no es pot construir cap angle polièdric amb cares que siguin heptàgons.

Un heptàgon regular es pot descompondre, des d’un vèrtex, en 5 triangles tals que la mesura dels seus angles és la dels 7 angles iguals del polígon. 5 · 180º = 900º; 900º : 7 = 128,57º. L’angle polièdric mínim és el tríedre: 3 · 128,57º = 385,71º > 360º. No es pot construir cap angle polièdric.

2. Considera un prisma hexagonal regular d’aresta bàsi-ca c, apotema del polígon de la base a i aresta lateral h. Dedueix una expressió per calcular-ne:

a) L’àrea lateral.

b) L’àrea total.

c) El volum.

a) Àrea lateral: Al = 6 · c · h .

b) Àrea total: At = 2 ·

1

2 · 6 · c · a + 6 · c · h = 6 · c (a + h).

c) Volum: V = 1

2 · 6 · c · a · h = 3 · c · a · h.

3. En l’octàedre de la figura, pots observar que la distàn-cia entre dos vèrtexs oposats és la diagonal d’un qua-drat els costats del qual són quatre de les arestes de l’octàedre. Si l’aresta fa 6 cm, calcula l’àrea total i el vo-lum del cos.

L’àrea total està formada per l’àrea de 8 triangles equi-làters iguals, de 6 cm de costat.

Altura d’un triangle: h = 2 26 3 5,2 cm− ≈ .

Àrea d’un triangle: 1

2 · 6 cm · 5,2 cm = 15,6 cm2.

Àrea total: 8 · 15,6 cm2 = 124,8 cm2.

El volum del cos està format pel de dues piràmides iguals, de base un quadrat i d’altura la meitat de la diago-nal del quadrat.

Diagonal del quadrat: d = 2 26 6 8,48+ ≈ . L’altura és 4,24 cm.

Volum: V = 2 · 1

3 · (6 cm)2 · 4,24 cm = 101,76 cm3.

MATeMÀTIQUeS 3

65

LA

4. Durant molt temps, s’ha definit el metre com la deumi-lionèsima part d’un quadrant d’un meridià ter restre. Un meridià terrestre és una circumferència imaginària de radi igual al de la Terra. D’acord amb aquesta defini-ció, calcula, de manera aproximada:

a) El radi mitjà de la Terra expressat en quilòmetres.

b) La superfície de la Terra suposant que fos esfèrica.

c) El volum de la Terra si la considerem una esfera.

Un quadrant són 10 milions de metres, és a dir, 10 000 km, i un meridià, 40 000 km.

a) Radi: 40 000 km = 2 . 3,14 · R → R = 6 369,4 km.

b) Superfície: S = 4 · 3,14 · (6 369,4 km)2 = 509 549 859,9 km2.

c) Volum:

V = 4

3 · 3,14 · (6 369,4 km)3 = 1,081 842 293 · 1012 km3.

5. El savi grec Arquimedes va establir de manera experi-mental que la raó entre el volum Ve d’una esfera i el volum Vc d’un cilindre circumscrit en aquesta esfera és de 2 a 3. Si el radi de l’esfera és r, quin és el radi de la base del cilindre? I la seva altura? Expressa els volums

dels dos cossos i comprova que e

c

2 =

3VV

.

El radi de la base del cilindre és el mateix que el de l’esfera. L’altura del cilindre és el diàmetre de l’esfera. Te-nim:

Ve = 3 2 34

· · · · 2 · 2 · ·3 cr V r r r= =p p p

Dividint terme a terme les dues expressions, i simplifi-cant, tenim:

4 2: 2

3 3e

c

V

V= =

6. Calcula el volum de terra ado bada que es necessita per omplir 1 000 testos com el de la figura. El test té forma de tronc de con invertit, de 15 cm d’altura, i els radis de les bases mesuren 5 cm i 9 cm. Cal tenir en

compte que només s’omplen els 34

de la capacitat del test.

El test té forma de tronc de con. El seu volum és la diferèn-cia entre els volums de dos cons. Anomenem h l’altura del

con petit, i expressem la proporció: 9 5

15 h h= →

+

9 5

15 h h= →

+ h = 18,75 cm. L’altura del con gran és 15 cm + 18,75 cm =

= 33,75 cm.

Volum del tronc: V = 1

3 · 3,14 · (9 cm)2 · 33,75 cm –

1

3 ·

· 3,14 · (5 cm)2 · 18,75 cm = 2 370,7 cm3. Només s’omplen

els 3

4 que són:

3

4 · 2 370,7 cm3 = 1 778,025 cm3. Per a

1 000 testos: 1 778 025 cm3.

7. Es diu que dues figures són equivalents en superfície si, malgrat que són de formes diferents, tenen la mateixa àrea. Si un prisma i una piràmide tenen bases equiva-lents en superfície i també el mateix volum, quina rela-ció hi ha entre l’altura del prisma i la de la piràmide?

L’altura de la piràmide cal que sigui tres vegades la del prisma.

8. La generatriu d’un con mesura 3,25 dm, i l’altura, 17,5 cm. Expressa en graus l’amplitud del sector circular que correspon al desenvolupament pla de la superfí-cie cònica.

El sector circular té de longitud la de la circumferència de la base del con. La generatriu del con és el radi del sector. Per a la longitud, cal calcular el radi de la base del con:

r = 2 23,25 1,75− = 2,74

Longitud de la circumferència: l = 2 · 3,14 · 2,74 dm = 17,2 dm.

Longitud del sector: 2 3,14 3,25 dm

17,2 303º360

⋅ ⋅ ⋅α= → α = .

9. Als fabricants de llaunes de conserva els interessa que la quantitat de llauna per fabricar un envàs sigui la mínima possible per a una capacitat fixada. Tot seguit, tens les mides de diferents llaunes cilíndriques. Com-prova que tenen aproximadament un litre de capaci-tat. Calcula, per a cadascuna, la superfície de llauna per construir-la. Quina és la llauna que requereix menys material?

a) h = 9 cm i d = 12 cm

b) h = d = 11 cm

c) h = 20 cm i d = 8 cm

d) h = d = 10,9 cm

Capacitat 1 L → 1 000 cm3. Calculem els volums:

a) V = 3,14 · (6 cm)2 · 9 cm = 1 017,36 cm3

b) V = 3,14 · (5,5 cm)2 · 11 cm = 1 044,83 cm3

c) V = 3,14 · (4 cm)2 · 20 cm = 1 004,8 cm3

d) V = 3,14 · (5,45 cm)2 · 10,9 cm = 1 016,6 cm3

La quantitat de llauna correspon a l’àrea total del cilindre.

a) A = 2 · 3,14 · (6 cm)2 + 2 · 3,14 : 6 cm · 9 cm = 565,2 cm2

b) A = 2 · 3,14 · (5,5 cm)2 + 2 · 3,14 · 5,5 cm · 11 cm = = 569,91 cm2

c) A = 2 · 3,14 · (4 cm)2 + 2 · 3,14 · 4 cm · 20 cm = 602,88 cm2

66

MATeMÀTIQUeS 3LA

d) A = 2 · 3,14 · (5,45 cm)2 + 2 · 3,14 · 5,45 cm · 10,9 cm = = 559,59 cm2

La llauna que requereix menys material és la d.

10. Una bassa d’aigua mesura 4,6 m de llargària, 2,5 m d’amplària i 1,2 m de fondària, i l’aigua arriba fins a les dues terceres parts de la seva altura. Es vol omplir del tot amb una aixeta que raja 0,125 L cada segon, però per una escletxa es perd 1 L d’aigua cada hora. Quant temps trigarà a omplir-se la bassa?

Volum de la bassa: V = 4,6 m · 2,5 m · 1,2 m = 13,8 m3. La

capacitat de la bassa és de 13 800 L. Falta per omplir 1

3

de la bassa · 13 800 = 4 600 L. En una hora s’omple:

0,125L· 3 600 s 1 L

s− = 449 L

4 600 : 449 = 10,24. Trigarà a omplir-se 10 h 14 min 24 s.

11. La capsa d’una llauna de sardines fa 10,5 cm de llarg, 6,2 cm d’ample i 2,7 cm d’alt. Calcula el volum de la capsa i compara’l amb la inscripció que porta la llauna: 125 cm3. A la llauna hi ha tres sardines en oli. Si l’oli ocupa el 25% de la capacitat de la llauna, quin és el volum que ocupa una sardina, suposant que totes són iguals?

Volum de la capsa: V = 10,5 cm · 6,2 cm · 2,7 cm = 175,77 cm3 > >125 cm3. Les sardines ocupen el 75% de la llauna. 75% de 125 cm3 = 93,75 cm3. Una sardina ocupa 93,75 cm3 : 3 = 31,25 cm3.

12. Explica un procediment per calcular la diagonal d’un ortòedre en el qual les tres arestes que concorren en un vèrtex tenen com a longituds a, b i c. Aplica l’expressió obtinguda per calcular la diagonal d’un or-tòedre amb arestes de 5 cm, 12 cm i 10 cm.

Sigui D la diagonal de l’ortòedre i d la diagonal d’un dels rectangles d’una cara. Es verifica que D2 = d2 + a2 i d2 = b2 + + c2 que, en substituir, dóna D2 = b2 + c2 + a2.

D2 = 122 + 102 + 52 = 269 → D = 16,4 cm

13. El líquid contingut en un envàs cilíndric de 8 cm de diàmetre assoleix una altura de 18 cm. Si aboquem el líquid en una proveta de 6 cm de diàmetre, fins a qui-na altura arribarà?

Volum del líquid: V = 3,14 · (4 cm)2 · 18 cm = 904,32 cm3. El mateix volum en la proveta: 904,32 cm3 = 3,14 · (3 cm)2 · · h → h = 32 cm.

14. Indica els cossos geomètrics que formen la figura i calcula’n el volum total.

La figura està formada per un prisma triangular regular i la meitat d’un con, d’altura com la del triangle. Calculem aquesta altura:

h = 2 24 2 3,46− ≈

Volum del prisma: Vp =

1

2 · 4 m · 3,46 m · 5 m = 34,6 m3.

Volum del mig con: V = 1

2 ·

1

3 · 3,14 · (2 m)2 · 3,46 m =

= 7,24 m3.

Volum total: Vt = 34,6 m3 + 7,24 m3 = 41,84 m3.

15. Les llaunes de refresc de 33 cL es poden reciclar en uns contenidors que primer les aixafen fins a reduir-ne el volum a un 10%. Un d’aquests contenidors té forma cilíndrica d’1 m d’altura i un diàmetre de la base de 70 cm. Calcula quantes llaunes reciclades hi poden cabre aproximadament.

Volum del contenidor: V = 3,14 · (35 cm)2 . 100 cm = = 384 650 cm3 que equivalen a 384,65 L. Les llaunes de 33 cL = 0,33 L aixafades ocupen el 10% de l’espai, és a dir, 0,033 L. En el contenidor hi cabran 384,65 : 0,033 = = 11 656 llaunes.

d’avaluació

Indica si és certa o falsa cadascuna de les afirmacions següents:

1. Dues rectes que es tallen perpendicularment determi-nen un pla.

Cert

2. Un hexàedre és un políedre format per sis cares que són hexàgons.

Fals

3. En un vèrtex d’un ortòedre s’hi pot veure un tríedre trirectangle.

Cert

4. La distància del vèrtex d’un con a la base és la genera-triu del con.

Fals

5. El volum dels prismes regulars i dels cilindres es calcu-la multiplicant l’àrea de la base per l’altura.

Cert

6. Les dues bases d’un tronc de piràmide regular són dos polígons semblants.

Cert

MATeMÀTIQUeS 3

67

LA

7. El volum d’un cub de 6 cm d’aresta és 36 cm2.

Fals

8. Un cub de 10 cm d’aresta té una capacitat d’1 L.

Cert

9. Dos plans perpendiculars determinen quatre díedres rectes.

Cert

10. Un icosàedre té 20 cares iguals.

Cert

11. L’àrea lateral d’un cilindre d’altura i diàmetre de la base iguals a 10 cm és 62,8 cm2.

Fals

12. En un cub de 2 dm d’aresta hi caben 2 L d’aigua.

Fals

13. Una piràmide triangular regular és un políedre regular.

Cert

14. Un prisma heptagonal regular té set cares.

Fals

15. El volum d’una piràmide és un terç del volum d’un prisma d’igual base i altura.

Cert

16. En un con es verifi ca: h2 = g2 – r2.

Cert

17. Un metre cúbic té de capacitat 100 L.

Fals

18. La rotació d’un triangle rectangle al voltant de la hipo-tenusa dóna lloc a dos cons units per la base.

Cert

19. Si en una cara d’un dau hi ha el 6, en la cara oposada hi ha el 2.

Fals

20. Unint dos tetraèdres idèntics per una de les seves ca-res s’obté un políedre regular.

Fals

Unitat 6. Funcions de primer grau

Coneixements previs

• Un cotxe circula a una velocitat mitjana de 55 km/h. Qui-na distància haurà recorregut en 2 h? I en 3 h 30 min? Si el seu trajecte ha de ser de 288,75 km, quant temps tri-garà a recórrer-lo?

55km· 2 h = 110 km

1 h

55km· 3,5h = 192,5 km

1 h

1 h288,75 km · = 5,25 h

55 km=

= 5 h 15 min

• Representa gràfi cament en un sistema de coordenades cartesianes els punts de coordenades: A (3, 4), B (–2, 3), C (–3, –2) i D (1, –1).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

B (–2, 3)

A (3, 4)

D (1, –1)

C (–3, –2)

• Com s’anomena el punt on es tallen l’eix de les abscisses i l’eix de les ordenades? Quines coordenades té aquest punt?

Origen de coordenades. Les seves coordenades són O (0, 0).

• Expressa mitjançant una igualtat algèbrica la relació de dependència que hi ha entre la longitud L d’una cir-cumferència i la del seu diàmetre d.

L = dπ

Activitats

Proposades

1. Indica quines d’aquestes relacions entre variables són funcions i quines no ho són.

a) L’import de la gasolina i la quantitat que en posem en el dipòsit del cotxe.

b) La longitud d’una circumferència i la longitud del seu diàmetre.

c) L’import de la factura d’un rebut de l’aigua i el vo-lum que se’n consumeix.

d) Les hores d’estudi abans d’un examen i la puntua-ció obtinguda.

e) El nombre de pàgines que formen un llibre i el seu preu de venda.

68

MATeMÀTIQUeS 3LA

Les relacions entre variables dels apartats a, b i c són fun-cions perquè el valor de la primera variable depèn del de la segona. En les relacions dels apartats d i e no succeeix això i, per tant, no ho són.

2. Identifica la variable independent i la dependent en les relacions de l’apartat anterior que siguin funcions.

a) V. Independent → Quantitat de gasolina V. Depen-dent → Import.

b) V. Independent → Longitud del diàmetre V. Depen-dent → Longitud de la circumferència.

c) V. Independent → Volum d’aigua V. Dependent → Import de la factura.

3. Completa la taula següent i representa en un sistema de coordenades cartesianes els parells de valors que s’obtenen:

Longitud del costat d’un quadrat (cm) 1 2 3 4

Superfície del quadrat (cm2) 1 4 9 16

2 4

2

4

0

1

1–2–1–2

3

3

Long

itud

(cm

)

5

Superficie (cm2)

5

7

9

6

8

10

12

14

11

13

151617

6 7–3

(1,1)

(2,4)

(3,9)

(4,16)

4. Donada la funció f(x) =14

x , calcula les imatges de 20,

–8 i –3. Calcula també les antiimatges de –6 i –23

.

Imatge de 20 → =1· 20 5

4→ f(20) = 5

Imatge de –8 → − = −1· ( 8) 2

4→ f(–8) = –2

Imatge de –3 → − = −1 3· ( 3)

4 4→ f(–3) = − 3

4

Antiimatge de –6 → –6 = 1

4x → x = –24

Antiimatge de − 2

3 → − 2

3 =

1

4x → –8 = 3x → x = − 8

3

5. Representa en un sistema de coordenades car tesianes quatre parells de valors de la funció f(x) = –2x – 1.

x –2 –1 0 2

f(x) = –2x –1 3 1 –1 –5

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

(–2,3)

(2,–5)

(0,–1)

(–1,1)

6. Donada la funció f(x) = –4x + 12

:

a) Calcula f(3) i f(–12

).

b) Troba l’antiimatge de –72

.

a) f(3) = –4 · 3 + 1

2 = –12 +

1

2 = − 23

2

f( − 1

2) = –4 · ( − 1

2) +

1

2= 2 +

1

2 =

5

2

b) − 7

2 = –4x +

1

2 → –7 = –8x + 1 → 8x = 8 → x = 1

7. Escriu l’equació d’una funció lineal i representa-la gràficament.

Resposta oberta. Ha de ser una expressió algèbrica del tipus f(x) = mx. La representació gràfica ha de ser una recta que passi per (0,0).

8. Donada la funció lineal f(x) = –4x, construeix una taula amb cinc parells de valors de la funció. És una funció creixent o decreixent?

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –4x 8 4 0 –4 –8

És una funció decreixent perquè quan la x creix, f(x) decreix.

9. L’entrada individual al Museu de Ciències Naturals per als estudiants costa 2,75 €. Si es contracta una visita guiada, s’hi han d’afegir 60 € per grup. Escriu l’expres-sió de la funció que relaciona el cost C de la visita al museu per a un grup escolar amb el nombre d’estu-diants x que hi assisteixen. De quin tipus és aquesta funció? Quin és el cost si el grup està format per 20 estudiants? Quants estudiants han assistit al museu si el grup ha pagat 128,75 €?

C = 2,75x + 60

És una funció afí perquè l’expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b

C (20) = 2,75 · 20 + 60 C (20) = 55 + 60 = 115 €

128,75 = 2,75x + 60 → 68,75 = 2,75x → x = 68,75

2,75 →

→ x = 25 estudiants

MATeMÀTIQUeS 3

69

LA

10. Quina és l’expressió algèbrica d’una funció que fa correspondre a cada nombre racional la seva desena part? Quina és la seva representació gràfica? En quins quadrants es troba aquesta gràfica?

f(x) = 10

x

La representació gràfica d’aquesta funció és una recta que passa per l’origen de coordenades i que es troba en els quadrants 1 i 3 perquè és una funció creixent.

11. Elabora una taula de valors per a la funció f(x) = –3x + 2. Representa-la gràficament.

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –3x + 2 8 5 2 –1 –4

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

9y

–5

(–2,8)

(2,–4)

(0,2)

(–1,5) 5678

(1,–1)

f(x)=–3x+2

12. Una empresa de transport cobra 12 € per encàrrec i 3 € per cada paquet. Escriu l’expressió algèbrica de la fun-ció que relaciona l’import total de l’encàrrec amb el nombre de paquets carregats.

I → Import

x → nombre de paquets

I(x) = 3x + 12

13. Calcula les imatges de –34

, 0 i 4, i les antiimatges de 4 i 13

per a la funció afí f(x) = 1

15x – 3.

f( − 3

4) =

−− − = − − =1 3 1 61· ( ) 3 3

15 4 20 20

f(0) = –3

f(4) = 1

15· 4 – 3 =

−− =4 413

15 15

4 = 1

15x – 3 → 60 = x – 45 → x = 105

1

3 =

1

15x –3 → 5 = x – 45 → x = 50

14. Representa gràficament les funcions següents:

a) f(x) = –3x – 1

b) f(x) = 1

12

x +

a)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x)=–3x–1

b)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

1( ) 1

2f x x= +

15. Si el preu d’un quilogram de patates és 1,10 €, escriu l’expressió algèbrica de la funció que representa la re-lació entre el nombre de quilograms comprats i el preu total que cal pagar. Com es modifica la funció si per cada compra, independentment del nombre de quilograms de patates, hem de pagar 0,01 € per la bossa de l’envàs? Escriu l’expressió algèbrica de la nova funció.

I → import x → nombre de quilograms

I(x) = 1,10x

La funció es modifica tot afegint 0,01 € al preu calculat per la compra de x quilograms de patates.

I(x) = 1,10x + 0,01

16. Donada la funció f(x) = –3x – 4, respon:

a) Quina és la imatge de –3?

b) Quina és l’antiimatge de 34

?

c) Troba f(–2).

d) Troba x i y en els punts P (x, 0) i Q (0, y) de la seva gràfica.

a) f(–3) = –3 · (–3) – 4 = 9 – 4 = 5

b) 3

4 = –3x – 4 → 3 = –12x – 16 → 12x = –19 → x = −19

12

c) f(–2) = –3 · (–2) – 4 = 6 – 4 = 2

d) (x, 0) → 0 = –3x – 4 → 3x = –4 → x = − 4

3 → P ( − 4

3,0)

(0, y) → y = –4 → Q (0, –4)

70

MATeMÀTIQUeS 3LA

17. Representa gràficament la funció f(x) = –6.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

y

–5f(x)=–6

–6–7

18. Escriu quatre parells de valors que corresponguin a la

funció constant f(x) = 14

.

Per exemple: (–2, 1

4), (6,

1

4), (0,

1

4) i ( − 3

5,

1

4)

19. La gràfica d’una funció que passa pels punts P (2, 1), Q (–3, 1) i R (0, –1) es correspon amb la representació gràfica d’una funció constant?

No, perquè les imatges dels tres parells de valors no són iguals. En el cas que el tercer parell fos (0, 1), aleshores sí que es correspondria amb una funció constant.

Si es representen els tres punts donats, es pot comprovar com la gràfica no és una recta paral·lela a l’eix de les abs-cisses.

20. Indica les rectes de la gràfica següent que representen funcions constants. Justifica la resposta.

2 4 6 8

2

4

6

0

1

5

1 5 7 9–8 –6 –4 –2–9 –7 –5 –3 –1

–5

–1

–6

–4

–2–3

y = –3

3

x = 3

y = 33

y

x

Les rectes y = 3 i y = –3 representen funcions constants perquè per a qualsevol valor de la variable independent x, la imatge sempre és la mateixa. La recta x = 3 no és una funció perquè el valor de la variable independent x té més d’una imatge.

21. La recta d’equació y = 6x passa pel punt P (0, 3)? Per què?

No. Perquè si substituïm les coordenades del punt a l’equació de la recta, la igualtat no es verifica:

3 ≠ 6 · 0

22. Indica en quins punts les rectes següents tallen els eixos x i y:

a) y = 2x – 3 b) y = –x + 4

a) (x, 0) → 0 = 2x – 3 → x = 3

2 → P (

3

2, 0)

(0, y) → y = –3 → Q (0, –3)

b) (x, 0) → 0 = –x + 4 → x = 4 → (4, 0)

(0, y) → y = 4 → (0, 4)

23. Quin és el pendent de la recta que passa pels punts O (0, 0) i P (4, 7)? Com és l’angle que forma amb el semieix positiu de les abscisses?

Pendent → m m = 7

4

L’angle que forma aquesta recta amb el semieix positiu de les abscisses és agut perquè el valor del pendent és positiu.

24. Escriu l’equació de les rectes representades en la gràfi-ca següent:

2 4 6 8

2

4

6

0

1

5

1 5 7 9–8 –6 –4 –2–9 –7 –5 –3 –1

–5

–1

–6

–4

–2–3

3

a)

3

y

x

b)

c)

d)

a) y = mx + b → y = mx – 2

Passa pel punt (3, 4) → 4 = 3m – 2 → m = 2 → y = 2x – 2

b) y = mx + b → y = mx + 1

Passa pel punt (3, 4) → 4 = 3m + 1 → m = 1 → y = x + 1

c) y = mx

Passa pel punt (2, –1) → m = − 1

2 → y = − 1

2x

d) y = mx + b → y = mx + 1

Passa pel punt (–1, 4) → 4 = –m + 1 → m = –3 → → y = –3x + 1

25. Escriu l’expressió algèbrica de la funció lineal la repre-sentació gràfica de la qual és una recta que passa pel punt P (3, 4).

Com que es tracta de la representació gràfica d’una fun-ció lineal, només necessitem trobar el valor del pendent m perquè aquesta recta passa per l’origen de coordena-des i, per tant, l’ordenada a l’origen, b, és 0:

m = 4

3 f(x) =

4

3x

26. Sense representar-les gràficament, troba el punt on es tallen les rectes d’equacions y = x + 3 i y = 4x – 5.

Plantegem i resolem un sistema amb les dues equacions de les rectes donades: la solució del sistema ens propor-ciona les coordenades del punt de tall.

MATeMÀTIQUeS 3

71

LA

3

4 5

y x

y x

= + = −

x + 3 = 4x – 5 → –3x = –8 → x = 8

3

y = 8

3 + 3 → y =

17

3

El punt de tall és P 1 8

3,

17

3 227. Troba el punt on es tallen la recta d’equació y = 2x + 5 i

la bisectriu del primer quadrant.

2 5

y x

y x

= = +

x = 2x + 5 → –x = 5 → x = –5

El punt de tall és P (–5, –5)

28. Escriu l’equació de la recta de pendent –1 i ordenada a l’origen –3. En quins punts la recta d’aquesta funció talla els eixos de coordenades? És la gràfica d’una fun-ció creixent o decreixent? Com és l’angle que forma amb el semieix positiu de les abscisses?

m = –1 b = –3 → y = –x – 3

Punts de tall amb els eixos:

(x, 0) → 0 = –x – 3 → x = –3 → P (–3, 0)

(0, y) → y = –3 → Q (0, –3)

La recta d’equació y = –x – 3 és la gràfica d’una funció decreixent. L’angle que forma aquesta recta amb el se-mieix positiu de les abscisses és obtús perquè el seu pendent és negatiu.

29. Escriu l’equació de la recta que passa pels punts P (2, –4) i Q (1, –1).

(2, –4) → –4 = 2m + b

(1, –1) → –1 = m + b

Plantegem i resolem el sistema d’equacions per trobar les incògnites m i b:

4 2

1

m b

m b

− = +− = +

2 4

1

b m

b m

= − − = − −

–2m – 4 = –m –1 → –m = 3 → m = –3

b = 3 – 1 → b = 2

L’equació de la recta que passa pels punts P i Q és y = –3x + 2.

30. Escriu l’equació d’una recta paral·lela a la recta d’equació y = x – 3 i representa-les les dues gràficament.

Si ha de ser l’equació d’una recta paral·lela a y = x – 3, el seu pendent ha de ser igual, per tant, m = 1. Donem qual-sevol valor a l’ordenada a l’origen, per exemple, b = 5:

y = x + 5

Per representar gràficament les dues rectes necessitem dos parells de valors, per tal de tenir dos punts per di-buixar cada una de les dues rectes:

y = x – 3 → (0, –3)

y = 1 – 3 = –2 → (1, –2)

y = x + 5 → (0, 5)

y = 1 + 5 = 6 → (1, 6)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

567

y = x + 5

y = x – 3

31. Resol gràficament el sistema: + = 3 5 = 1

y xy x

− −

Com són les dues rectes que resulten de la representa-ció gràfica? De quin tipus de sistema es tracta?

Aïllem y en cada una de les equacions del sistema i re-presentem les rectes que en resulten:

y = –x + 3

y = 5x – 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = –x + 3

y = 5x – 1

2 7,

3 3p

2 7

,3 3

p

Les dues rectes són secants i es tallen en el punt

P

2 7,

3 3. El sistema és compatible i determinat amb so-

lució x = 2

3 y =

7

3.

32. Indica per quins quadrants passen les rectes següents i digues si representen funcions creixents o funcions decreixents:

a) y = –x

b) y = 1

46

x− +

c) y = 6x – 7

d) y = 3 15 5

x −

72

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) És una funció decreixent perquè el valor de m és ne-gatiu. La recta passa pels quadrants 2n i 4t.

b) És una funció decreixent perquè el valor de m és ne-gatiu. La recta està orientada del 2n al 4t quadrant.

c) És una funció creixent perquè el valor de m és posi-tiu. La recta està orientada del 1r al 3r quadrant.

d) És una funció creixent perquè el valor de m és posi-tiu. La recta està orientada del 1r al 3r quadrant.

33. Representa gràfi cament la funció f(x) = 8x

.

4 4

4

8

0

2

2–8 –4–10 –6 –2–2

–8

–4–6

6

6

x10

10y

–10

x ±1 ±2 ±4 ±8

f (x) ±8 ±4 ±2 ±1

Activitats fi nals

Reforç

1. Escriu tres parells de valors que verifi quin la funció f(x) = 5x.

Resposta oberta. Per exemple, (1, 5), (0, 0) i (3, 15).

2. Escriu un parell de magnituds que es relacionin mit-jançant una funció matemàtica. Escriu un altre parell de magnituds que no es relacionin per una funció.

Resposta oberta. Per exemple:

Funció → La velocitat mitjana que aconsegueix un tren en el seu trajecte i el temps que triga en recorre’l.

No funció → L’edat i l’alçada d’una persona.

3. Representa gràfi cament la funció afí f(x) = 3x – 4.

x –1 0 2

f(x) = 3x – 4 –7 –4 2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

y

–5

f(x) = 3x – 4

–6–7(–1, –7)

(0, –4)

(2, 2)

4. Quina és la imatge de 6 per la funció f(x) = x + 6? I l’antiimatge de 10?

f(6) = 6 + 6 = 12 → La imatge de 6 és 12.

10 = x + 6 → x = 4 → La antiimatge de 10 és 4.

5. Representa gràfi cament la funció f(x) = –4x. Quin tipus de funció és?

x –1 0 2

f(x) = –4x 4 0 –8

(2, –8)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5

f(x) = –4x

–6–7

(0, 0)

–8

43

y(–1, 4)

És una funció lineal decreixent.

6. Indica el valor del pendent i l’ordenada a l’origen de cadascuna de les rectes següents:

a) y = 41

5x− +

b) y = 4x + 1

c) y = –2x – 2

d) y = 4x – 2

a) m = − 4

5 b = 1

b) m = 4 b = 1

c) m = –2 b = –2

d) m = 4 b = –2

7. Quines de les rectes de l’exercici anterior són paral·leles? Per què?

Són paral·leles les rectes b) i d) perquè tenen el mateix pendent m = 4.

8. Dibuixa, en un sistema de coordenades cartesianes, una recta que passi pels punts P (3, 0) i Q (0, –1). Quins són els punts de tall de la recta amb els eixos de coor-denades?

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

P (3, 0)

Q (0, –1)

MATeMÀTIQUeS 3

73

LA

Els punts de tall amb els eixos de coordenades són els dos punts donats: P (3, 0) i Q (0, –1).

9. En quins punts la recta de la gràfica talla els eixos de coordenades? Comprova la teva resposta mitjançant càlcul algèbric.

x2 4 6

2

4

0

1

5

1 5 7–2 –1

–5

–1

–4

–2–3

3

3

y

y= —x –553

En els punts P (3, 0) i Q (0, –5).

Comprovem que els dos punts verifiquen l’equació de la recta de la gràfica:

(3, 0) → 0 = − =5· 3 5 0

3

(0, –5) → –5 = 0 – 5 = –5

10. Quin tipus de funció és f(x) = 6? Representa-la gràficament.

És una funció constant.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3

x5

567

y

f(x) = 6

11. Completa la taula de valors següent per a la funció f(x) = –3x. Representa-la gràficament. De quin tipus de funció es tracta?

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –3x 6 3 0 –3 –6

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5

y

–5

(–2, 6)6

–6

(–1, 3)

(0, 0)

(1, –3)

(2, –6)

f(x) = –3x


12. Escriu l’expressió algèbrica d’una funció la representa-ció gràfica de la qual sigui una hipèrbola equilàtera.

Resposta oberta. Per exemple: f(x) = 2

x

13. Representa gràficament les funcions següents:

a) f(x) = –x – 4

b) f(x) = 14

x + 2

c) f(x) = 4x – 3

a)

x –1 0 2

f(x) = –x – 4 –3 –4 –6

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5–6

(–1, 3) (0, –4)

(2, –6)

f(x) = –x – 4

b)

x –1 0 2

f(x) = 1

4x + 2

7

42

5

2

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = 1

4x + 2

c)

x –1 0 2

f(x) = 4x – 3 –7 –3 5

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5–6–7

(0, –3)

–8

43

y

(2, 5)

(–1, –7)

5

f(x) = 4x – 3

74

MATeMÀTIQUeS 3LA

14. Escriu l’expressió algèbrica d’una funció que té com a representació gràfica una recta que passa pels punts P (0, 2) i Q (2, 0).

L’expressió algèbrica ha de ser del tipus f(x) = mx + b.

Si passa per (0, 2), l’ordenada a l’origen b és 2.

Per trobar el valor del pendent m, substituïm les coorde-nades del punt (2, 0) a l’equació de la funció i calculem:

0 = 2m + 2 → –2m = 2 → m = –1

L’expressió algèbrica de la funció és f(x) = –x + 2.

15. Escriu l’equació de la recta de pendent 4 i ordenada a l’origen –1. Representa-la gràficament.

y = 4x – 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = 4x – 1

16. Donada la funció f(x) = –8x, troba la imatge de –1 i 0. Quina és l’antiimatge de 16?

f(–1) = –8 · (–1) = 8 La imatge de –1 és 8.

f(0) = 0 La imatge de 0 és 0.

16 = –8x → x = 16

8− = –2 L’antiimatge de 16 és –2.

17. Indica a quins tipus de funcions corresponen les rectes de les gràfiques següents:

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

a)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

b)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

c)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

d)

Les rectes a, c i d corresponen a funcions creixents, i la recta b, a una funció decreixent.

La recta a) correspon a la representació gràfica d’una funció lineal perquè passa pel punt (0, 0). Les rectes b), c) i d) corresponen a les representacions gràfiques de fun-cions afins perquè no passen pel punt (0, 0) sinó per un altre punt (0, b).

18. Donada la funció f(x) = 6x – 1, troba:

a) f(3)

b) L’antiimatge de –1.

c) La imatge de –1.

d) f(13

)

a) f(3) = 6 · 3 – 1 = 18 – 1 = 17 → f(3) = 17

b) Antiimatge de –1 → –1 = 6x – 1 → x = 0 L’antiimatge de –1 és 0.

c) f(–1) = –6 – 1 = –7 → La imatge de –1 és –7.

d) f(1

3) = 6 ·

1

3 – 1 = 1 → f(

1

3) = 1

19. En quins punts talla els eixos de coordenades la recta d’equació y = 5x +2?

La recta talla els eixos de coordenades en els punts P (0, y) i Q (x, 0):

(0, y) → y = 2 → P (0, 2)

(x, 0) → 0 = 5x + 2 → –5x = 2 → x = –2

5 → Q (–

2

5, 0)

La recta talla els eixos en els punts P (0, 2) i Q (–2

5, 0).

20. Escriu l’expressió algèbrica de la funció que relaciona la longitud d’una circumferència i la del seu diàmetre. Elabora una taula de valors d’aquesta funció.

L → longitud de la circumferència

d → diàmetre de la circumferència

L = πd → L = 3,14d

Les dues magnituds han d’estar expressades en la ma-teixa unitat i només poden prendre valors positius:

x 1 2 3,5

L = 3,14d 3,14 6,28 10,99

21. Escriu l’expressió algèbrica d’una funció tal que a cada nombre racional li fa correspondre el seu doble menys dos. De quin tipus de funció es tracta?

x → nombre racional

f(x) = 2x – 2

És una funció afí perquè la seva expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b.

22. Imagina una situació de la vida quotidiana que es pu-gui representar mitjançant una funció constant. Quina és l’expressió algèbrica d’aquesta funció? Com és la seva representació gràfica?

Resposta oberta. Per exemple, la relació que s’estableix entre el primer dia de cada mes i el nombre que li corres-pon al calendari

MATeMÀTIQUeS 3

75

LA

x → 1r dia de qualsevol mes de l’any

f(x) = 1

La seva representació gràfica és una recta paral·lela a l’eix de les abscisses, els punts de la qual passen sempre per (x, 1).

23. Resol gràficament aquest sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites:

= 3 = 2 + 1

y xy x

−

Representem gràficament cada una de les dues equa-cions del sistema, tot triant dos punts per determinar les rectes i trobem el punt d’intersecció entre elles:

y = x – 3 → (0, –3) i (1, –2)

y = 2x +1 → (0, 1) i (1, 3)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5

y = x – 3

–6–7

(0, –3)

–8

43

y

(1, –2)

(0, 1)

(1, 3)

(–4, –7)

y = 2x + 1

Les rectes es tallen al punt P (–4, –7), per tant, la solució del sistema és:

x = –4 y = –7

24. Considera la funció f(x) = 2x + 6. Imagina’t una situació de la vida quotidiana que pugui ser expressada per aquesta funció. Escriu un petit text que l’expliqui.

Resposta oberta. Per exemple: la relació que s’estableix entre el nombre d’alumnes d’una classe i el nombre de carpetes de material comunitari en el grup, si cada alum-ne rep dues carpetes i n’hi ha sis per a l’arxiu del grup.

25. El lloguer dels esquís en una botiga d’esports costa 20 euros cada dia, més una quantitat fixa de 35 euros. Es-criu l’expressió algèbrica de la funció que dóna el preu total que cal pagar pels esquís llogats en funció del nombre de dies de lloguer. Representa gràficament la funció a partir d’una taula de valors.

x → nombre de dies de lloguer

f(x) → import a pagar

f(x) = 20x + 35

x només pot prendre valors que siguin nombres naturals.

x (dies) 1 2 3 4 5 6 7

f(x) = 20x + 35 (€) 55 75 95 115 135 155 175

1 2 3 7Dies

20

Impo

rt (€

)

0 4 5 6

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Els punts representats gràficament no s’uneixen perquè no existeixen per a aquesta funció valors de x que siguin nombres racionals.

26. Representa gràficament en uns mateixos eixos de coordenades les funcions f(x) = –3x i f(x) = –3x + 1. Quina posició relativa tenen aquests dues gràfiques?

x –1 0 2

f(x) = –3x 3 0 –6

f(x) = –3x + 1 4 1 –5

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5

y = –3x + 1

–6–7

43

y

y = –3x

Aquestes dues rectes són paral·leles perquè tenen el mateix pendent m = –3.

27. Quina és l’expressió algèbrica de la funció que relacio-na el cost y en euros amb el nombre de litres x de combustible que omplen un dipòsit, si el preu d’un li-tre és 1 €? Representa gràficament aquesta funció. De quin tipus és?

y = x

Els valors de x, els litres de combustible, només poden ser positius.

x (L) 0 1 2

f(x) = x (€) 0 1 2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3 x5

43

y

y = x

76

MATeMÀTIQUeS 3LA

És una funció lineal, amb valors de la variable indepen-dent positius, x > 0.

28. Escriu l’equació d’una recta de pendent 4 i ordenada a l’origen 6. Representa gràficament aquesta recta.

y = 4x + 6

La representació gràfica és una recta que passa per (0, 6). Determinem un altre punt de la recta, per exemple, (1, 10).

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

3 x5

43

y

y = 4x + 6

65

87

109

29. Representa gràficament la funció f(x) = 3x – 7. Quin ti-pus de funció és? Per què?

x –1 0 2

f(x) = 3x – 7 –10 –7 –1

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5

y = 3x – 7

–6–7–8

y

–9

–10

És una funció afí perquè la seva expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b i és creixent perquè el pendent és positiu.

30. Donada la funció f(x) = –x – 5, calcula:

a) f(–1)

b) La imatge de 0.

c) L’antiimatge de 5.

a) f(–1) = 1 – 5 = –4 f(–1) = –4

b) Imatge de 0 → f(0) = –5

c) Antiimatge de 5 → 5 = –x – 5 → x = –10

Ampliació

1. Donada la funció f(x) =2

+ 35

x , troba les imatges de 6 i

de 34

i les antiimatges de –3 i 3

10.

Imatge de 6 → f(6) = + = + =2 12 27· 6 3 3

5 5 5 f(6) =

27

5

Imatge de 3

4 → f(

3

4) = + = + =2 3 3 33

· 3 35 4 10 10

f(3

4) =

33

10

Antiimatge de –3 → –3 = +23

5x → –15 = 2x + 15 → x =

−30

2 x = –15

Antiimatge de –3 → –15

Antiimatge de 3

10 →

3

10 = +2

35

x → 3 = 4x + 30 → x = −27

4

Antiimatge de 3

10 →

−27

4

2. Representa gràficament en un mateix sistema de coor-denades cartesianes les funcions següents. Quina és la característica comuna a les quatres gràfiques?

a) f(x) = x – 2 b) f(x) = 14

x – 2

c) f(x) = –2x – 42

d) f(x) = –2

x –1 0 2

f(x) = x – 2 –3 –2 0

f(x) =

12

4x − –

9

4–2 –

3

2

f(x) = –2x – 2 0 –2 –6

f(x) = –2 –2 –2 –2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5–6–7

43

y

y = x – 2

y = 1

24

x − y = –2x – 2

y = – 2

Les quatre rectes passen pel punt P (0, –2). La seva orde-nada a l’origen és, en les quatre rectes, b = –2.

3. Resol gràficament els sistemes d’equacions següents. Com són entre si les dues rectes corresponents a cada sistema?

a) = 2 = + 1

y xy x

−

MATeMÀTIQUeS 3

77

LA

b) = + 5

1 = 2 +

2

y x

y x

−

c)

1 = + 1

21

= x 32

y x

y

−

d) = 4 + 2

8 6 = +

2 3

y x

y x

Representem, en cada apartat, les dues rectes correspo-nents a cada una de les equacions del sistema i trobem el seu punt d’intersecció, el qual és la solució del sistema. Determinem dos punts per a cada una de les rectes a representar.

a) y = x – 2 → (0, –2) i (1, –1)

y = x + 1 → (0, 1) i (1, 2)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = x – 2

y = x + 1

Les dues rectes són paral·leles i, per tant, no es tallen. El sistema d’equacions no té solució: és incompatible.

b) y = x + 5 → (0, 5) i (1, 6)

y = –2x + 1

2 → (0,

1

2) i (1, − 3

2)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

5

y

6

7

y = –2x + 12

y = x + 5

Les dues rectes es tallen en el punt P ( − 3 7,

2 2). El siste-

ma és compatible i determinat. La solució del siste-

ma és x = − 3

2.

y = 7

2.

c) Tal com succeeix a l’apartat a), les dues rectes seran

paral·leles perquè tenen el mateix pendent m = 1

2 i

diferent ordenada a l’origen, per tant el sistema és incompatible perquè no té solució.

d) y = 4x + 2 → (0, 2) i (1, 6)

y = +8 6

2 3x → (0,

6

3) i (1,

36

6), és a dir, (0, 2) i (1, 6).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

5

y

6

7

y = 4x + 2

Les dues equacions corresponen a la mateixa recta. El sistema té infinites solucions i és compatible inde-terminat.

4. Determina les coordenades del punt P en la gràfica de la figura. Escriu un sis tema de dues equacions de pri-mer grau amb dues incògnites corresponents a les rectes de la figura i tindrà com a solució el valor de x i el de y de les coordenades del punt P.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1

–5

–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

P

Les coordenades del punt P són (1, –2). Aquestes coorde-nades corresponen a la solució d’un sistema de dues equacions cada una de les quals és l’equació d’una de les dues rectes que es tallen en el punt P. Determinem aquestes equacions a partir de dos punts per on passa cada recta i de l’expressió general y = mx + b:

Recta lila → (1, –2) i (–2, 2)

2

2 2

m b

m b

− = + = − +

2

2 2

b m

b m

= − − = +

→ –2 – m = 2 + 2m → –3m = 4 → m = − 4

3

b = –2 + 4

3 = –

2

3

Recta verda → (1, –2) i (–3, –5)

2

5 3

m b

m b

− = +− = − +

2

5 3

b m

b m

= − − = − +

→ –2 – m = –5 + 3m → –4m = –3 → m = 3

4

b = − − = −3 112

4 4

78

MATeMÀTIQUeS 3LA

El sistema d’equacions demanat és:

= − − = −

4 2

3 33 11

4 4

y x

y x

5. El preu que cobren en un aparcament per la primera hora o fracció és 2 €. Per cada hora o fracció següent cobren 1,50 €. Elabora una taula de valors per a un in-terval de 5 hores i representa gràficament la funció que relaciona el temps que un cotxe està aparcat i el cost del servei. És una funció afí? Per què?

Núm. hores 1 2 3 4 5

Import (€) 2 3,5 5 6,5 8

1 2 3Núm. hores

2

Impo

rt (€

)

0 4 5

3,5

5

6,5

8

No és una funció afí perquè la seva representació gràfica no és una recta i, per tant, els parells de valors que la de-terminen no es relacionen mitjançant l’expressió algèbri-ca f(x) = mx + b.

6. Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades

de la recta d’equació y = –x + 25

.

(0, y) → y = 2

5

(x, 0) → x = 2

5

Els punts de tall de la recta amb els eixos de coordena-

des són P (0, 2

5) i Q (

2

5, 0).

7. Indica el valor del pendent i el de l’ordenada a l’origen de cadascuna de les rectes representades a la figura.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

a)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

b)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

c)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

d)

Atès que en els gràfics no es pot llegir el valor de l’ordenada a l’origen, determinem per a cada recta 2 punts dels quals puguem llegir les seves coordenades i plantegem el sistema d’equacions que ens permet tro-bar els valors de m i b.

a) P (2, 1) i Q (5, 2)

1 2

2 5

m b

m b

= + = +

1 2

2 5

b m

b m

= − = −

→ 1 – 2m = 2 – 5m → 3m = 1 → m = 1

3

b = 1 – 2

3 → b =

1

3

b) P (1, 1) i Q (3, 0)

1

0 3

m b

m b

= + = +

1

3

b m

b m

= − = −

→ 1 – m = –3m → 2m = –1 → m = − 1

2

b = –3 · − 1

2 → b =

3

2

c) P (1, 3) i Q (–3, –3)

3

3 3

m b

m b

= +− = − +

3

3 3

b m

b m

= − = − +

→ 3 – m = –3 + 3m → –4m = –6 →

→ m = 3

2

b = − =3 33

2 2 → b =

3

2

d) P (1, 0) i Q (0, 3,5)

b = 3,5

0 = m + b → m = –3,5

8. Escriu l’equació de la recta que passa pel punt 3 1

, 4 2

i és paral·lela a la recta d’equació y = –5x + 3.

Aquesta recta té pendent m = –5 perquè és paral·lela a la recta d’equació.

y = –5x + 3 i, per tant, el seu pendent ha de ser el mateix. Trobem l’ordenada a l’origen:

= − +1 3

5 ·2 4

b

2 = –15 + 4b → –4b = –17 → b = 17

4

L’equació demanada és y = –5x + 17

4.

9. Escriu l’expressió algèbrica d’una funció que permeti calcular el cost del consum d’aigua si la taxa pel servei és 13 € i el metre cúbic costa 0,75 €. Quants metres cúbics va consumir un ciutadà que el darrer mes va pagar una factura de 56 €?

MATeMÀTIQUeS 3

79

LA

x → núm. de metres cúbics consumits.

f(x) → cost del consum, en euros.

f(x) = 0,75x + 13

56 = 0,75x +13 → –0,75x = –43 → x = =43

57,30,75

Aquest ciutadà va consumir 57,3

m3 d’aigua.

10. Escriu les equacions de tres rectes que tinguin la ma-teixa ordenada a l’origen. Una d’aquestes rectes ha de representar una funció creixent. Una altra, una funció decreixent, i la darrera, una funció constant.

Resposta oberta, per exemple:

Funció creixent → y = 4x + 6 pendent positiu.

Funció decreixent → y = –2x + 6 pendent negatiu.

Funció constant → y = 6 pendent = 0.

11. Representa gràficament la funció lineal f(x) = 23

x. Tras-

llada la recta obtinguda tres unitats verticalment cap avall. Quina és l’equació de la nova recta obtinguda?

f(x) = 2

3x és una funció lineal i, per tant, passa per (0, 0).

Una altra parella de valors que la verifica és, per exemple, (6, 4). La seva representació gràfica és una recta que passa per aquests dos punts:

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = 23

x – 3

y = 23

x

Si traslladem cada punt de la recta tres unitats vertical-ment cap avall, s’obté una altra recta paral·lela a la prime-ra i que passa per (0, –3). Aquesta nova recta té pendent

m = 2

3 i ordenada a l’origen b = –3. La seva equació és:

y = −23

3x .

12. Indica el signe del pendent i de l’ordenada a l’origen de les rectes de la gràfica següent:

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

a)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

b)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

c)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3y

x5

d)

a) Pendent positiu perquè és una funció creixent i orde-nada a l’origen negativa.

b) Pendent negatiu perquè és una funció decreixent i ordenada a l’origen positiva.

c) Pendent negatiu i ordenada a l’origen negativa.

d) Pendent positiu i ordenada a l’origen 0.

13. Un automòbil surt d’una ciutat i comença a circular a una velocitat mitjana de 100 km/h. Una hora més tard, surt de la mateixa ciutat un altre automòbil en la ma-teixa direcció i sentit, a la velocitat mitjana de 120 km/h. Quan es trobaran i a quants quilòmetres de la ciutat de sortida seran? Resol el problema gràficament i al-gèbricament.

Representem gràficament el moviment de cada au-tomòbil en un mateix sistema d’eixos cartesians: el temps, expressat en hores, a l’eix de les abscisses i la lon-gitud del trajecte realitzada, expressada en km, a l’eix de les ordenades:

1 2 3 7Hores

100

km

0 4 5 6

200

300

400

500

600

700

x

y

El moviment de cada automòbil es representa per una semirecta que passa pel 1r quadrant. Les dues semirec-tes es tallen en el punt (6, 600) que representa el mo-ment i la distància des de l’origen on es troben els dos automòbils: després de 6 h d’haver iniciat el moviment el primer d’ells i a 600 km del punt de sortida.

Per resoldre el problema algèbricament, plantegem un sistema de dues equacions amb dues incògnites que són la distància d i el temps t que és el temps del 1r dels automòbils. Cada equació del sistema explica la relació entre la distància recorreguda i el temps emprat per cada automòbil, a partir de les seves velocitats mitjanes.

= =

−

100

1201

d

td

t

100

120 120

d t

d t

= = −

→ 100t = 120t – 120 → 20t = 120

→

t = 6 h → d = 100 · 6

→ d = 600 km

80

MATeMÀTIQUeS 3LA

14. Escriu l’equació de la recta que passa pels punts P (4, –3) i Q (5, –9).

3 4

9 5

m b

m b

− = +− = +

3 4

9 5

b m

b m

= − − = − −

→ –3 – 4m = –9 –5m → m = –6

b = –3 + 24 = 21 → b = 21

L’equació de la recta demanada és y = –6x + 21.

15. Troba la imatge de 23

per la funció f(x) = 5 6

6x −

.

f(2

3) =

−− −= = = − = −

2 10 85 · 6 6 8 1 43 3 3 ·

6 6 6 3 6 9

16. Els punts P (6, 8), Q (3, 4) i R (–3, 4), pertanyen a la ma-teixa recta? Justifica la resposta utilitzant l’equació de la recta PQ.

Trobem l’equació de la recta PQ, és a dir, de la recta que passa per P i Q:

8 6

4 3

m b

m b

= + = +

8 6

4 3

b m

b m

= − = −

→ 8 – 6m = 4 – 3m → –3m = –4

→ m =

4

3

b = − ⋅ 48 6

3 = 8 – 8 = 0

→ b = 0

L’equació de la recta PQ és y = 4

3x .

Comprovem si les coordenades del punt R verifiquen la igualtat anterior:

– = − ⋅ 44 3

3 → –4 ≠ –4

Els tres punts no pertanyen a la mateixa recta perquè les coordenades del punt R no verifiquen l’equació de la recta PQ.

17. Donada la funció f (x) = 1( )l x

x, calcula la imatge d’

12

i l’antiimatge d’1,5.

1 1

2122

f = =

Antiimatge d’1,5 →1 1

1,5 0,61,5

xx

= → = =

18. Representa gràficament les funcions f(x) = 6x + 3 i f(x) = 6x – 3. Com són entre elles les rectes que les representen? En quin punt es tallen?

Les dues funcions són afins. Les seves representacions gràfiques són dues rectes, paral·leles entre elles perquè tenen el mateix pendent m = 6. Les dues rectes no es tallen en cap punt.

f(x) = 6x + 3 → (0, 3) i (1, 9)

f(x) = 6x – 3 → (0, –3) i (1, 3)

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

6789

y10

–3

y = 6x – 3

y = 6x + 3

19. En quin punt es tallen les rectes d’equació y = –4x – 8 i y = –5x – 3?

Les dues rectes es tallen en el punt P (x, y) les coordena-des del qual verifiquen alhora les dues equacions. Plan-tegem un sistema de dues equacions amb les incògnites x i y per trobar el punt de tall entre totes dues rectes:

4 8

5 3

y x

y x

= − − = − −

→ –4x – 8 = –5x – 3 → x = 5

y = –5 · 5 – 3 → y = –28

Les rectes es tallen en el punt (5, –28).

20. Escriu l’equació d’una recta que passi pel punt P (5, 4) i sigui paral·lela a una altra recta d’equació y = x + 10.

Ha de ser l’equació d’una recta amb pendent m = 1 per-què és paral·lela a una altra recta d’equació y = x + 10. Substituïm les coordenades (5, 4) a l’expressió y = x + b per trobar l’ordenada a l’origen:

4 = 5 + b → b = –1

L’equació de la recta que es demana és y = x – 1.

d’avaluació

Indica si és cert o fals cadascun dels enunciats següents. Justifica la resposta:

1. En la funció matemàtica que relaciona el nombre d’articles comprats d’un mateix producte i l’import que cal pagar per la compra, el nombre d’articles és la variable dependent.

Fals. El nombre d’articles és la variable independent.

2. La variable dependent de la funció que relaciona cada nombre racional amb el seu doble és el producte de cada nombre per 2.

Cert. f(x) = 2x.

3. Els valors de la variable dependent d’una funció es re-presenten en l’eix de les abscisses en un sistema de coordenades cartesianes.

MATeMÀTIQUeS 3

81

LA

Fals. Els valors de la variable dependent es representen a l’eix de les ordenades.

4. La representació gràfi ca d’una funció lineal és una rec-ta que passa per l’origen de coordenades.

Cert. És una recta que passa per O (0, 0).

5. La imatge de 4 per la funció f(x) = 2x és 6.

Fals. f(4) = 2 · 4 = 8.

6. La imatge de 4

5 per la funció f(x) = 5x és 4.

Cert. f(4

5) = ⋅ 4

55

= 4.

7. L’antiimatge de 9 per la funció f(x) = 3x és 27.

Fals. 9 = 3x → x = 3.

8. L’antiimatge de 15 per la funció f(x) = 5x és 3.

Cert. 15 = 5x → x = 3.

9. La representació gràfi ca de la funció f(x) = 4x – 7 és una recta que passa pel punt (0, 4).

Fals. És una recta que passa pel punt (0, –7).

10. Una funció l’expressió algèbrica de la qual és f (x)−= 2

( )l xx

és afí.

Fals. És una funció de proporcionalitat inversa.

11. La imatge de 20 per la funció f(x) = 5 és 5.

Cert. f(20) = 5.

12. La funció f(x) = –x + 6 és creixent.

Fals. És decreixent perquè el pendent és negatiu, m = –1.

13. La imatge de 10 per la funció f(x) = x – 3 és 7.

Cert. f(10) = 10 – 3 = 7.

14. L’antiimatge de 6 per la funció f(x) = 2x – 4 és 1.

Fals. 6 = 2x – 4 → x = 5.

15. La recta d’equació y = x + 2 té pendent 2.

Fals. Té pendent m = 1.

16. La recta y = –x és la bisectriu del primer quadrant i del tercer del sistema de coordenades cartesianes.

Fals. És la bisectriu dels 2n i 4t quadrants.

17. La representació gràfi ca de la funció f(x) = 6 és una recta que passa pel punt P (6, 0).

Fals. És una recta que passa pel punt (0, 6).

18. Les rectes que representen les dues equacions de dues incògnites d’un sistema incompatible es tallen en el punt O (0, 0).

Fals. No es tallen en cap punt: són rectes paral·leles.

19. Les coordenades dels punts de tall d’una recta amb els eixos de coordenades són P (0, x) i Q (y, 0).

Fals. Són (x, 0) i (0, y).

20. El pendent d’una recta que és paral·lela a una altra

d’equació y = –7x + 34

és –7.

Cert. m = –7.

Unitat 7. Funcions de segon grau

Coneixements previs

• Desenvolupa les expressions següents:

a) (x + 3)2 b) (2x – 1)2

c) 3(x – 2)2 + 5 d) + −

21 12

2 2x

a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

b) (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1

c) 3(x – 2)2 = 3x2 – 12x + 12

d) 2

21 12 2 2

2 2x x x + − = +

• Expressa en forma d’identitat notable:

a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 10x + 25

c) 9x2 + 6x + 1 d) 4x2 – 43

x + 19

a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

b) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

c) 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2

d) 4x2 – 4

3 x +

1

9 = (2x –

1

3)2

• Donada la funció f(x) = 14

x – 2, troba:

a) Les imatges de 2, –4, 0 i 5.

b) Les antiimatges de –1, 3, 4 i –2.

c) El valor de x que anul·la la funció.

a) f(2) = − 3

2 ; f(−4) = −3; f(0) = − 2; f(5) = − 3

4

b) 1

4x – 2 = –1 → x = 4;

1

4x – 2 = 3 → x = 20;

1

4x – 2 = 4 → x = 24;

1

4x – 2 = –2 → x = 0

82

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) 1

4x – 2 = 0 → x = 8

• Resol les equacions:

a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 3x = 0 c) 9x2 = 1

a) x2 – 5x + 6 = 0 → x1 = 2 i x

2 = 3

b) x2 – 3x = 0 → x1 = 0 i x

2 = 3

c) 9x2 = 1 → x1 =

1

3 i x

2 = − 1

3

Activitats

Proposades

1. Identifica la gràfica de cada una de les funcions següents:

a) f(x) = –2x2 b) f(x) = 3x2 c) f(x) = 12

x2

d) f(x) = 14

x2 e) f(x) = 2x2

a) taronja b) verda c) blava d) vermella e) marró

2. Troba les imatges de –2 i 2 de la funció f(x) = –x2 – x. Quines són les antiimatges de 0?

f(–2) = –4 + 2 = –2; f(2) = –4 – 2 = –6. Les antiimatges del 0 són les solucions de l’equació: –x2 – x = 0 → x

1= 0

i x2 = –1.

3. f(x) = –2x2 + c és l’expressió d’una funció de segon grau. La paràbola que la representa passa pel punt P(–1, –1). Quin és el valor numèric de c? Quines són les coordenades del vèrtex? És un màxim o un mínim?

f(–1) = –1 → –2(–1)2 + c = –1 → c = 1. El vèrtex V(0, 1) i és un màxim.

4. Considera la funció f(x) = 2x2 – 3 i la seva gràfi ca. Quin és el vètex de la paràbola? Si desplacem la paràbola 2 unitats cap amunt, quin és el nou vèrtex? Quina és l’equació de la funció que correspon a la paràbola desplaçada?

V(0, –3); el vèrtex de la desplaçada és V(0, –1) i la funció, f(x) = 2x2 – 1.

5. La gràfi ca de la funció f(x) = 3x2 + c talla l’eix de les ordenades en el punt P(0, –6). Troba c.

c = –6.

6. Considera la funció f(x) = –x2 + 5x. Troba les coordena-des del vèrtex i digues si aquest punt és un màxim o un mínim. Quina és l’equació de la recta que és l’eix de simetria de la paràbola?

xV =

5

2 ; f(

5

2) =

25

4 → V(

5

2,

25

4) i és un màxim; eix de

simetria: x =5

2.

7. Completa les equacions de les paràboles representa-des en la fi gura:

Segons els colors, blava: f(x) = 1

2x2 – 3; lila: f(x) =

1

2x2 + 4.

8. Sabem que el punt P1(5, 252

) pertany a una paràbola

que és la gràfica de la funció f(x) = ax2. Determina el valor del coeficient a. Hi pertany també el punt

P2(–5, 252

)? Per què?

Substituïm: 25

2 = a · 52 → a =

1

2 → f(x) =

1

2x2. Per la

simetria, també hi pertany el punt P2 → f(–5) =

25

2.

9. Representa gràfi cament la funció f(x) = 2x2 – 5x. Troba els punts de tall amb els eixos i un parell de punts si-mètrics per elaborar la taula de valors.

Punts de tall amb els eixos: (0, 0) i (5

2, 0).

x 05

21

3

2

5

4

f(x) 0 0 –3 –3 − 25

8

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = 2x2 – 5x

MATeMÀTIQUeS 3

83

LA

10. Observa el coeficient de x2 en els parells de funcions següents. Indica, en cada cas, quina de les dues parà-boles tindrà les branques més obertes:

a) f(x) = 2x2 i f(x) = –4x2

b) f(x) = 12

x2 i f(x) = –x2

c) f(x) = − 13

x2 i f(x) = 12

x2

Indica quines de les sis funcions anteriors tenen les branques obertes cap avall.

Branques més obertes:

a) f(x) = 2x2 b) f(x) = 1

2x2 c) f(x) = − 1

3x2.

Són obertes cap avall: f(x) = –4x2; f(x) = –x2 i f(x) = − 1

3x2.

11. Troba el valor de c tal que la gràfica de la funció f(x) = 2x2 – 3x + c passi pel punt P(2, 1).

f(2) = 1 → 2 · 22 – 3 · 2 + c = 1 → c = –1.

12. Determina les coordenades del vèrtex de cadascuna de les paràboles que són gràfica de les funcions següents:

a) f(x) = –7x2 – 7

b) f(x) = x2 – 14x + 49

c) f(x) = –x2 + 10x – 26

d) f(x) = x2 – 12x

a) V(0, –7)

b) xV =

14

2 = 7 → f(7) = 0 → V(7, 0)

c) xV =

−−10

2 = 5 → f(5) = –1 → V(5, –1)

d) xV =

12

2 = 6 → f(6) = –36 → V(6, –36)

13. Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de les paràboles que són representació gràfica de cada una d’aquestes funcions:

a) f(x) = 2x2 + 18

b) f(x) = –x2 + 3x

c) f(x) = x2 – 2x + 1

d) f(x) = x2 – x + 3

a) Talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 18). No talla l’eix de les abscisses, perquè l’equació 2x2 + 18 = 0 no té solució.

b) Punts de tall: (0, 0) i (3, 0).

c) Punts de tall: (0,1) i (1, 0).

d) Només talla l’eix d’ordenades (0, 3).

14. Representa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions: f(x) = x2 – 8x + 12 i f(x) = –x2 + 8x – 12. Tenen el mateix vèrtex? I el mateix eix de simetria? En què es diferencien?

El vèrtex de f(x) = x2 – 8x + 12 és V(4, –4) i el de f(x) = –x2 + 8x –12 és V(4, 4). Sí, tenen el mateix eix de

simetria, és la recta x = 4.

x 0 2 6 4 1 7

f(x)= x2 – 8x + 12 12 0 0 –4 5 5

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

9

y

–5

5678

12

1011

6 7

f(x) = x2 – 8x + 12

f(x) = x2 + 8x – 12

Els valors de la segona funció són els oposats de la pri-mera per a cada valor de x. Tenen la mateixa forma, però les branques s’obren en sentits oposats.

15. Representa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions f(x) = x2 – 10x + 25 i f(x) = –x2 + 10x – 25. Ob-serva la relació entre els signes dels coeficients de les dues funcions.

El vèrtex de les dues és el mateix: V(5, 0) i es troba en l’eix de les abscisses. Les dues funcions són oposades, simè-triques respecte de l’eix de les abscisses i d’eix de sime-tria tenen la recta x = 5.

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5

5

6 7 6 7

f(x) = x2 – 10x + 25

f(x) = x2 + 10x – 25

16. Determina les coordenades del vèrtex i els punts de tall amb els eixos de les paràboles que són gràfiques de les funcions:

a) f(x) = x2 – 5x + 4

b) f(x) = –2x2 + 8x

c) f(x) = x2 + x – 12

d) f(x) = x2 – 2x – 3

84

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) Punts de tall: (0, 4) amb l’eix d’ordenades, i per trobar els de l’eix de les abscisses resolem l’equació x2 – 5x + 4 = 0 → x

1 = 1 i x

2 = 4. Els punts són: (1, 0) i (4, 0 ). El

vèrtex és V(5

2, − 9

4).

b) Punts de tall: (0, 0) i (4, 0). Vèrtex: V(2, 0).

c) Punts de tall: (0, –12), (3, 0) i (–4, 0). V( − 1

2, − 49

4).

d) Punts de tall: (0, –3), (–1, 0) i (3, 0). V(1, –4).

17. Explica en quins casos una paràbola no talla l’eix de les abscisses.

Una paràbola no talla l’eix de les abscisses quan l’equació de la funció associada no té cap solució.

18. En la funció f(x) = x2 – 4x + 6, quines són les antiimat-ges de 3? Quins són els punts simètrics de la paràbola que tenen d’ordenada 3?

Antiimatges de 3: x2 – 4x + 6 = 3 → x2 – 4x + 3 = 0 → → x

1 = 1 i x

2 = 3. Els punts simètrics són els que tenen la

mateixa ordenada: (1, 3) i (3, 3).

19. Per a cadascuna de les paràboles de la fi gura, determina:

a) El signe de a.

b) El signe de b tot observant el signe de l’abscissa del vèrtex.

c) El signe de c.

d) El signe del discriminant b2 – 4ac.

a) b)

c) d)

A: a > 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac > 0

B: a < 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac > 0

C: a < 0; b > 0; c < 0; b2 – 4ac = 0

D: a > 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac < 0

20. Determina els punts de tall amb els eixos de coorde-nades de cadascuna de les paràboles que representen les funcions següents:

a) f(x) = x2 + 7 b) f(x) = 6x2 – 5x + 1

c) f(x) = 3x2 + 5x d) f(x) = 2(x – 3)2 + 10

a) Només talla l’eix d’ordenades, (0, 7).

b) (0, 1), (1

2, 0) i (

1

3, 0)

c) (0, 0) i ( − 5

3, 0)

d) Només talla l’eix d’ordenades, (0, 28), perquè l’equació (x – 3)2 = –5 no té solució.

Activitats fi nals

Reforç

1. Troba les imatges de 1, –1, 12

i − 13

de la funció f(x) = –2x2

i les antiimatges de –4. Té antiimatge 1? Per què?

Imatges: f(1) = –2; f(–1) = –2; f(1

2) = − 1

2; f( − 1

3) =

2

9− .

Antiimatges: –2x2 = –4 2 2 2x x→ = → = ± dues anti-imatges. 1 no té antiimatge, perquè –2x2 < 0 per a qual-sevol valor de x.

2. Representa gràfi cament la funció f(x) = x2 – 4. Elabora una taula de valors adient i descriu les caraterístiques de la paràbola obtinguda.

Els punts de tall amb els eixos són (0, –4), (2, 0) i (–2, 0). La taula:

x 0 2 –2 3 –3

f(x) = x2 – 4 –4 0 0 5 5

El vèrtex és V(0, –4) i és un mínim. Les branques s’obren cap amunt.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = x2 – 4

3. Identifi ca cadascuna de les funcions següents amb la seva gràfi ca:

a) f(x) = 2x2 b) f(x) = 13

− x2

c) f(x) = 13

x2 d) f(x) = –2x2

MATeMÀTIQUeS 3

85

LA

f(x) = 2x2

f(x) = –2x2

f(x) = – 13x2

f(x) = 13x2

4. Considera la funció f(x) = x2 + 3x. Sense necessitat de representar-la gràficament, troba els punts de tall amb els eixos, el vèrtex i l’equació de l’eix de simetria, i di-gues si les branques de la paràbola s’obren cap amunt o cap avall.

Punts de tall: (0, 0) i (–3, 0). Vèrtex: V( − 3

2, − 9

4). L’eix de

simetria és la recta d’equació x = − 3

2. Les branques

s’obren cap amunt.

5. La gràfica de la funció f(x) = ax2 + 5 passa pel punt P(1, 1).

a) Troba a.

b) Quin és el vèrtex de la paràbola? Es tracta d’un mà-xim o d’un mínim?

c) Les branques s’obren cap amunt o cap avall?

d) Per a quins valors de x la funció és creixent?

a) f(1) = a · 12 + 5 = 1 → a = –4 → f(x) = –4x2 + 5.

b) Vèrtex V(0, 5), i és un màxim.

c) Les branques s’obren cap avall.

d) La funció és creixent per a x < 0.

6. Les paràboles següents són la representació gràfica de funcions del tipus f(x) = ax2 + c. Indica, en cada cas, quin és el signe de a i c.

A: a > 0 i c < 0

B: a > 0 i c > 0

C: a < 0 i c > 0

7. Fixa’t en els coeficients de x2 dels parells de funcions següents i indica, en cada cas, quina de les dues parà-boles té les branques més tancades:

a) f(x) = 3x2 i f(x) = 2x2

b) f(x) = –3x2 i f(x) = –5x2

c) f(x) = 13

x2 i f(x) = − 13

x2

d) f(x) = 4x2 i f(x) = –5x2

a) f(x) = 3x2 b) f(x) = –5x2 c) f(x) = –5x2

Les funcions de l’apartat c tenen la mateixa obertura.

8. Representa gràficament la funció f(x) = x2 – 6x + 5. Bus-ca primer les solucions de l’equació x2 – 6x + 5 = 0 per obtenir els punts de tall amb l’eix de les abscisses i la imatge de 0. A partir d’aquestes dades et serà fàcil tro-bar el vèrtex i algun punt més per poder dibuixar la paràbola.

86

MATeMÀTIQUeS 3LA

x2 – 6x + 5 = 0 → x1 = 1 i x

2 = 5. Els punts de tall són

(1, 0), (5, 0) i (0, 5). El vèrtex és V(3, –4).

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5

5

6 7 6 7

V(3, –4)

9. La gràfica de la funció f(x) = x2 – 4x + c passa pel punt P(2, 6). Troba el valor de c i esbrina si aquesta paràbola talla l’eix de les abscisses.

f(2) = 22 – 4 · 2 + c = 6 → c = 10 → f(x) = x2 – 4x + 10. La gràfica no talla l’eix de les abscisses, perquè b2 – 4ac = –24 < 0.

10. Representa en un mateix sistema de coordenades les funcions següents i explica quines són les característi-ques que tenen en comú i quines característiques te-nen diferents.

a) f(x) = x2 b) f(x) = 4x2 c) f(x) = 14

x2

Les tres funcions tenen de vèrtex el punt (0, 0) i d’eix de simetria la recta x = 0, i les branques s’obren cap amunt. La funció c és la que té les branques més obertes, i la b és la que les té més tancades.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67 f(x) = x2

f(x) = 4x2

f(x) = 14

x2

11. Troba el vèrtex de cadascuna de les paràboles que són representació de les funcions següents i indica, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un mínim:

a) f(x) = − 34

x2 + 2 b) f(x) = 3x2 – 12x

c) f(x) = 4 + 4x + 4x2 d) f(x) = –x2 + 3x + 4

a) V(0, 2), i és un màxim.

b) V(2, –12), i és un mínim.

c) V(1

2− , 3), i és un mínim.

d) V(3

2,25

4), i és un màxim.

12. Determina els punts de tall amb els eixos de coorde-nades de les gràfiques corresponents a cadascuna de les funcions següents:

a) f(x) = 9x2 – 12x + 4 b) f(x) = 5x2 – x

c) f(x) = 14

x2 + 4x + 16 d) f(x) = –2x2 + x + 12

Punts de tall: a) (0, 4) i (2

3, 0) b) (0, 0) i (

1

5, 0) c) (0, 16) i

(–8, 0) d) (0, 1

2), i les abscisses de les dues solucions de

l’equació donen, aproximadament, (–0,31, 0) i (–0,81, 0).

13. Determina els valors de b i c sabent que la gràfica de la funció f(x) = x2 + bx + c passa pels punts M(3, 8) i N(1, 2).

En substituir les coordenades dels dos punts a la funció tenim:

M(3, 8) → 9 + 3b + c = 8 3b + c = –1y x

y x

= − = −

3

5 4( 5) N(1, 2) → 1 + b + c = 2 b + c = 1

En resoldre el sistema, tenim que

b = –1 i c = 2

f(x) = x2 – x + 2

14. Quins punts tenen en comú les gràfiques de les fun-cions f(x) = x2 – 5x i f(x) = –6? Troba’ls gràficament i reso-lent una equació per donar exactament les coordena-des dels punts.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 x5

–5

f(x) = –6–6–7–8

43

y

f(x) = x2 – 5x

Els punts que tenen en comú es troben igualant les dues funcions i resolent l’equació que en resulta:

x2 – 5x = –6 → x2 – 5x + 6 = 0 → x1 = 2 i x

2 = 3

Els punts que tenen en comú són (2, –6) i (3, –6).

15. Prenent la gràfica de f(x) = x2 com a model, representa gràficament les funcions:

a) f(x) = –x2 + 3 b) f(x) = x2 + 8x + 16

c) f(x) = –x2 – 4x d) f(x) = x2 – 4x – 5

x

ya)

MATeMÀTIQUeS 3

87

LA

x

yb)

x

yc)

x

yd)

Ampliació

1. Troba les antiimatges de 3 en la funció d’equació f(x) = x2 – 4x +6.

f(x) = 3 → x2 – 4x + 6 = 3 → x2 – 4x + 3 = 0 → x1 = 1 i

x2 = 3 són les antiimatges.

2. Una paràbola talla l’eix de les abscisses en els punts P(–2, 0) i Q(4, 0). Quina és l’abscissa del seu vèrtex? Si aquesta paràbola té la mateixa forma que la gràfica de f(x) = 2x2, quina és la seva equació?

Si observem les abscisses dels dos punts, tenim que x

V = 1, i si apliquem la fórmula

1 = 2

b

a− = −

4

b → b = – 4 → f(x) = 2x2 – 4x + c, si pas-

sa pel punt (–2, 0) → 2(–2)2 – 4(-2) + c = 0 → c = –16. La funció és f(x) = 2x2 – 4x – 16.

3. Donada la funció f(x) = –2x2 + 3, troba les antiimatges de –5. Qualsevol nombre té antiimatges? Té antiimat-ges 11? Per què? Raona les teves respostes.

f(x) = –5 → –2x2 + 3 = –5 → –2x2 = –8 → x1 = 2 i

x2 = –2 són les antiimatges de – 5.

–2x2 + 3 = 11 → –2x2 = 8 no té solució, per tant, 11 no té antiimatges, com pot passar per a altres nombres i pas-

sarà per als nombres més grans que 3, com 11, ja que en restar 3 donarà positiu i –2x2 < 0, per a qualsevol x.

4. La gràfica de la funció f(x) = ax2 + bx + c passa per l’ori-gen de coordenades i presenta un mínim en el punt (3, –9). Determina els coeficients a, b i c, i representa gràficament la funció.

Si la gràfica passa per l’origen de coordenades c = 0, el mínim de la funció és el vèrtex de la paràbola:

xV = 3 =

2

b

a− → b = –6a i f(3) = –9 → a · 32 – 6a · 3 = –9 →

→ a = 1 i b = –6 → f(x) = x2 – 6x.

5. Indica el signe dels coeficients a, b i c de cada una de les paràboles representades tot seguit:

1. 2.

3. 4.

y

x

y

x

y

x

y

x

1. a > 0; b < 0 i c > 0

2. a < 0; b > 0 i c > 0

3. a < 0; b > 0 i c < 0

4. a > 0; b < 0 i c > 0

6. Donada la funció f(x) = x2 + bx + 9, troba el valor o els valors de b que fan que la seva gràfica tingui un sol punt de tall amb l’eix de les abscisses. Interpreta el nombre de solucions obtingudes.

Perquè la gràfica tingui un sol punt de tall amb l’eix de les abscisses, cal que l’equació associada tingui només una solució; és a dir, b2 – 4ac = 0 → b2 – 36 = 0 → → b

1 = –6 i b

2 = 6. Hi ha dues funcions que verifiquen

aquesta condició: f(x) = x2 + 6x +9, amb vèrtex en el punt (–3, 0) i f(x) = x2 – 6x + 9, amb vèrtex en el punt (3, 0).

88

MATeMÀTIQUeS 3LA

7. Indica, en cadascun dels casos següents, quants punts de tall té amb l’eix de les abscisses la gràfica d’una fun-ció de segon grau que verifica:

a) a > 0 i vèrtex per damunt de l’eix de les abscisses.

b) a > 0 i vèrtex en l’eix de les abscisses.

c) a < 0 i vèrtex en l’eix de les abscisses.

d) a < 0 i vèrtex per sota l’eix de les abscisses.

a) Cap punt. b) Un punt.

c) Un punt. d) Cap punt.

8. En representar gràficament una funció de segon grau del tipus f(x) = x2 + bx + c s’obté la paràbola que passa pels punts (0, 12) i (8, 12). Calcula b i c, i identifica les coordenades del vèrtex d’aquesta paràbola.

Si f(x) = x2 + bx + c passa pel punt (0, 12) implica que

c = 12. Els dos punts són simètrics i xV = 4 → −

2

b = 4 →

→ b = –8. La funció és f(x) = x2 – 8x + 12, i el vèrtex, el punt (4, –4).

9. Determina la paràbola que passa pels punts P(2, 1), Q(–2, –7) i R(4, –1).

P(2, 1) → a · 22+ b · 2 + c = 1 → 4a + 2b + c = 1

Q(–2, –7) → a · (–2)2 + b(–2) + c = –7 → 4a – 2b + c = –7

R(4, –1) → a · 42 + b · 4 + c = –1 → 16a + 4b + c = –1

S’obté un senzill sistema de tres equacions amb tres in-cògnites que es resol amb successives reduccions:

a = − 1

2, b = 2 i c = –1

f(x) = − 1

2x2 + 2x – 1

10. Representa en un mateix gràfic les funcions: f(x) = x2 i f(x) = –x2 + 8. Tenen algun punt en comú? Si és així, dóna les coordenades d’aquests punts.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

f(x) = x28

f(x) = –x2 + 8

Igualem les dues funcions: x2 = –x2 + 8 → 2x2 = 8 →→ x2 = 4 → x

1 = 2 i x

2 = –2. Tenen dos punts en comú:

(2, 4) i (–2, 4).

11. Considera els rectangles que tenen un perímetre constant de 12 cm, i representa per x una de les dues dimensions d’un qualsevol d’aquests rectangles.

a) Expressa la superfície, en centímetres quadrats, en funció de x.

b) Representa gràficament la funció que correspon a l’apartat anterior. Quina corba has obtingut?

c) De tots els rectangles de 12 cm de perímetre, qui-nes són les dimensions del que té la superfície més gran? Quina és la mesura d’aquesta superfície?

a) Les dues dimensions del rectangle es poden repre-sentar per x i per 6 – x. A = f(x) = = x(6 – x) = 6x – x2.

b)

2 4

2

4

0

1

5

1 3

3

y

x5

67

8

6 7

9

c) La gràfica és una paràbola amb el vèrtex en el punt (3, 9), i és un màxim. El rectangle de més superfície és un quadrat de costat 3 cm i d’àrea 9 cm2.

12. En llançar un objecte verticalment cap amunt, l’altura que assoleix en cada instant ve determinada per la funció h = f(t) = 30t – 5t2, on h és l’altura en metres i t el temps en segons. Representa gràficament aquesta funció. Per a quin valor de t s’assoleix l’altura màxima? Quina és aquesta altura?

2 4

10

20

0

5

25

1 3

15

y

x5

3035

40

6 7

45

El vèrtex de la paràbola és el punt (3, 45), i és un màxim. Per a t = 3 s s’assoleix la màxima altura, h = 45 m.

d’avaluació

Digues si són certes o falses les afirmacions següents:

1. El punt P(–2, 4) pertany a la gràfica de la funció f(x) = –x2.

Fals

2. La gràfica de la funció f(x) = –3x2 + 4 és una paràbola que té el vèrtex en el punt V(4, 0).

Fals

MATeMÀTIQUeS 3

89

LA

3. La gràfi ca de la funció f(x) = 5x2 + 3 té la mateixa forma que la de f(x) = 5x2.

Cert

4. La paràbola que és representació gràfi ca de la funció f(x) = –3x2 + 7 té com a eix de simetria l’eix de les abscisses.

Fals

5. La gràfi ca de la funció f(x) = –x2 + 7 té el seu màxim en el vèrtex de la paràbola.

Cert

6. Les paràboles que són gràfiques de les funcions f(x) = –3x2 i f(x) = 3x2 són simètriques respecte de l’eix de les abscisses.

Fals

7. Els punts (–2, 0) i (2, 0) són simètrics respecte de l’eix de les abscisses.

Fals

8. Les branques de la paràbola de funció: f(x) = –x2 + 3x + 5 s’obren cap avall.

Cert

9. Les branques de la paràbola y = 5x2 són més obertes que les de la paràbola y = x2 + 5x + 8.

Fals

10. La gràfi ca de la funció f(x) = (x – 2)2 talla l’eix de les abscisses en un sol punt.

Cert

11. La gràfi ca d’una funció de segon grau pot tallar l’eix de les ordenades en dos punts.

Fals

12. El vèrtex d’una paràbola sempre és un màxim de la funció.

Fals

13. Si el vèrtex d’una paràbola és el punt V(3, 1), l’eix de simetria de la paràbola és la recta x = 3.

Cert

14. Totes les funcions f(x) = ax2 + c tenen d’eix de simetria de la seva gràfi ca la recta y = 0.

Fals

15. L’antiimatge de 0 en la funció f(x) = x2 + 3x – 4 és única.

Fals

16. La imatge de 0 en una funció de segon grau és única.

Cert

17. Si l’eix de simetria d’una paràbola és l’eix d’ordenades, aquesta correspon a una funció del tipus f(x) = ax2 + c.

Cert

18. Si desplacem cap avall 3 unitats la gràfi ca de la funció f(x) = –x2 + 3, la nova funció és: f(x) = –x2 – 3.

Fals

19. El punt mitjà del segment determinat per dos punts simètrics d’una paràbola té d’abscissa la del vèrtex de la paràbola.

Cert

20. La paràbola que és representació gràfi ca de la funció f(x) = x2 + x + 1 no talla cap punt de l’eix de les abscisses.

Cert

Unitat 8. estadística

Coneixements previs

• Les freqüències absolutes dels diferents valors d’una variable estadística són: 4, 5, 8, 10, 7 i 6. Calcula cadascu-na de les fregüències relatives i els tants per cent.

n = 4 + 5 + 8 + 10 + 7 + 6 = 40

Les freqüències relatives són:

4 5 8 10 7 6 = 0,1; = 0,125; = 0,2; = 0,25; = 0,175; = 0,15

40 40 40 40 40 40

Els tants per cent són: 10 %; 12,5 %; 20 %; 25 %; 17,5 %; 15 % .

• Comprova que la suma de les freqüències relatives de l’exercici anterior és 1. Quant val la suma dels tants per cent?

Suma de les freqüències relatives:

0,1 + 0,125 + 0,2 + 0,25 + 0,175 + 0,15 = 1

La suma dels tants per cent és 100, tal com es detalla a continuació:

10 + 12,5 + 20 + 25 + 17,5 + 15 = 100

• Calcula la suma dels cinc, dels sis, dels set i dels vuit pri-mers nombres naturals.

90

MATeMÀTIQUeS 3LA

Dels cinc primers: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Dels sis primers: 15 + 6 = 21.

Dels set primers: 21 + 7 = 28.

Dels vuit primers: 28 + 8 = 36.

• Escriu en ordre creixent els quinze primers nombres parells i indica el nombre que ocupa la posició central.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30

La posició central és el vuitè lloc, i l’ocupa el nombre 16.

• Calcula mentalment la mitjana dels deu primers nom-bres naturals.

(10 + 1) 5 11 5 11

= = = 5,510 10 2

⋅ ⋅

Activitats

Proposades

1. A partir de l’histograma:

2 Temps (min)

456

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

3

4 6 8 10 12

2

a) Representa l’histograma de freqüències acumulades.

b) Determina les tres mesures de centralització.

a)

2

Temps (min)

14

18

20

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

8

4 6 8 10 12

3

b) La classe modal és l’interval [6, 8).

Mitjana:

Tenint en compte les corresponents marques de clas-se: 3, 5, 7, 9 i 11, obtenim:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = =3 3 5 5 7 6 9 4 11 2 9 25 42 36 22 1346,7

20 20 20

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = =3 3 5 5 7 6 9 4 11 2 9 25 42 36 22 1346,7

20 20 20

= 6,7x min.

Mediana:

n = 20 → lloc 10è.

8 614 8

→→ } − − ⋅→ → = → = → = = = → + =→ −

14 8 8 6 6 2 2 2 2

10 8 2 6 3c

c c

⋅→ = → = → = = = → + = 14 8 8 6 6 2 2 2 2

[4,6) 80,6 6 0,6 6,6

[6,8) 14

} 0,6 6 0,6 6,6[6,8) 14 10 8 2 6 3

cc c

=

6,6M min.

2. Per què no és possible elaborar una taula de freqüèn-cies acumulades en una variable qualitativa nominal? Justifi ca la resposta.

Perquè els caràcters de la variable qualitativa no es po-den ordenar a partir de cap criteri, si aquesta és nominal.

3. Representa el polígon de freqüències i el polígon de freqüències acumulades de la variable discreta dona-da en la taula següent:

Nombre de germans 0 1 2 3 4

Freqüència absoluta 7 13 11 6 3

1 2 3 4Nombre de germans

67

11

13

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

3


20

37

31

40

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

7

4. Elabora la taula de freqüències i de tants per cent corresponent, així com els acumulats, de la variable “volum” representada en l’histograma següent:

Volum (L)

19

2730

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

10

10 20 30 40 50

4

Volum (L)

Freqüènciaabsoluta

acumulada


Freqüènciarelativa


acumulada% %

acumulat

[0, 10) 4 4 0,1

3 0,1

3 13,

3 13,

3

[10, 20) 10 6 0,2 0,3

3 20,0 33,

3

[20, 30) 19 9 0,3 0,6

3 30,0 63,

3

[30, 40) 27 8 0,2

6 0,9 26,

6 90,0

[40, 50) 30 3 0,1 1 10,0 100,0

30 1 100

MATeMÀTIQUeS 3

91

LA

5. En l’estudi de la variable “nota obtinguda en una prova”, s’han observat els valors següents: 8, 6, 9, 7, 6, 5, 4, 6, 7, 9, 8, 5, 6, 4, 4, 7, 8, 6, 6, 7 i 9.

a) Escriu la taula de freqüències i de tants per cent i les corresponents acumulacions.

b) Calcula la mitjana de les tres maneres explicades en l’activitat resolta 5.

c) Determina la mediana de dues maneres, ordenant prèviament els 21 valors de la variable i a partir de la freqüència absoluta acumulada.

a)

Nota Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

4 3 3 0,143 0,143 14,3 14,3

5 2 5 0,095 0,238 9,5 23,8

6 6 11 0,286 0,524 28,6 52,4

7 4 15 0,19 0,714 19 71,4

8 3 18 0,143 0,857 14,3 85,7

9 3 21 0,143 1 14,3 100,0

21 1 100,0

b) Amb les freqüències absolutes:

4 3 + 5 2 + 6 6 + 7 4 + 8 3 + 9 3 = =

21x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 × 3 + 5 × 2 + 6 × 6 + 7 × 4 + 8 × 3 + 9 × 3 12 + 10 + 36 + 24 + 24 + 27 137 = = = = 6,524

21 21 21x

Amb les freqüències relatives:

= 4 0,143 + 5 0,095 + 6 0,286 + 7 0,19 + 8 0,143 + 9 0,143 == 0,572 + 0,475 + 1,716 + 1,33 + 1,144 + 1,287 = 6,525x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Amb els tants per cent:

4 14,3 + 5 9,5 + 6 28,6 + 7 19 + 8 14,3 + 9 14,3 = =

10057,2 + 47,5 + 171,6 + 133 + 114,4 + 128,7 652,4

= = = 6,524100 100

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) Primera manera: 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9 → M = 6.

Segona manera: = → + 1 22 21 = = 11

2 2

nn ; 11è

lloc → M = 6.

6. La taula següent indica les temperatures mínimes que s’han obtingut durant 30 dies consecutius.

Temperatura (ºC) –2 –1 0 1 2 3 4 5

Freqüència absoluta 1 2 3 5 8 6 3 2

Calcula les mesures de centralització de la variable.

La moda és m = 2 oC.

Càlcul de la mitjana:

2 + ( 1) 2 + 5 + 2 8 + 3 6 + 4 3 + 5 2 =

302 2 + 5 + 16 + 18 + 12 + 10 57

= = = 1,930 30

− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− −

La mitjana és: =x 1,9 oC.

Càlcul de la mediana:

}11 1

19 2→→ } Als dos llocs centrals 15è i 16è, els correspon

el valor 2 de la variable.

La mediana és M = 2 oC.

7. A partir d’aquest polígon de freqüències d’una varia-ble discreta determina les mesures de centralització.

4 5 6 7

2

4

6

7

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

1

8 9 10

8

La moda és 7, perquè és el valor de la variable que té més freqüència absoluta.


4 + 5 6 + 6 4 + 7 8 + 8 7 + 9 2 + 10 = =

294 + 30 + 24 + 56 + 56 + 18 + 10 198

= = = 6,8329 29

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


n = 29 → el lloc central és el 15è, perquè + 1 29 + 1

= = 2 2 2

n

+ 1 29 + 1 30 = = = 15

2 2 2

n, que li correspon el valor 7 de la variable; per

tant, la mediana és M = 7.

8. Calcula les mesures de centralització de la variable de l’activitat resolta 4.

La classe modal és l’interval (86, 90].

Per calcular la mitjana, necessitem les marques de classe de cadascun dels intervals en què s’agrupen els diferents valors de la variable contínua, amb les corresponents freqüències absolutes, per la qual cosa considerem la taula següent:

Pulsacions per minut Marca de classe Freqüència absoluta

(70, 74] 72 3

(74, 78] 76 4

(78, 82] 80 7

(82, 86] 84 10

(86, 90] 88 12

(90, 94] 92 9

28

6,524

92

MATeMÀTIQUeS 3LA

D’on obtenim:

72 3 + 76 4 + 80 7 + 84 10 + 88 12 + 92 9 =

45216 + 304 + 560 + 840 + 1056 + 828 3 804

= = = 84,5345 45

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La mitjana és = 84,53x

pulsacions per minut.


n = 45 → el lloc central és el 23è, perquè:

+ 1 45 + 1 46

= = = 232 2 2

n

14 8224 86

→→ } →

24 14 86 82 10 4 = =

23 14 9c c

− − → →−

→ →24 - 14 86 - 82 10 4 9 × 4

= = = = 3,623 - 14 9 10

cc c

→ 82 + 3,6 = 85,6

La mediana és M = 85,6 pulsacions per minut.

9. Calcula la mitjana de la variable de la taula de l’activi-tat resolta 7 a partir de les freqüències relatives i a partir dels tants per cent.

Necessitem les freqüències relatives i els tants per cent de la taula de l’activitat 7:

Pes en quilograms

Marca de classe

Freqüència absoluta

Freqüència relativa

Tant per cent

[65, 70) 67,5 2 0,1 10

[70, 75) 72,5 4 0,2 20

[75, 80) 77,5 6 0,3 30

[80, 85) 82,5 5 0,25 25

[85, 90) 87,5 3 0,15 15


67,5 0,1 + 72,5 0,2 + 77,5 0,3 + 82,5 0,25 + 87,5 0,15 = = 6,75 + 14,5 + 23,25 + 20,625 + 13,125 = 78,25

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


67,5 10 + 72,5 20 + 77,5 30 + 82,5 25 + 87,5 15 =

100675 + 1450 + 2 325 + 2 062,5 + 1312,5 7 825

= = = 78,25100 100

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

En ambdós casos dóna el mateix; per tant, la mitjana és = 78,25x kg.

10. Amb les dades de la taula:

Hores Freqüència absoluta

[2, 3) 2

[3, 4) 5

[4, 5) 6

[5, 6) 8

[6, 7) 9

[7, 8) 2

a) Calcula la mitjana de tres maneres diferents.

b) Determina la mediana.

Hores Marca de classe



acumulada

Freqüència relativa

Tant per cent

[2, 3) 2,5 2 2 0,0625 6,25

[3, 4) 3,5 5 7 0,15625 15,625

[4, 5) 4,5 6 13 0,1875 18,75

[5, 6) 5,5 8 21 0,25 25

[6, 7) 6,5 9 30 0,28125 28,125

[7, 8) 7,5 2 32 0,0625 6,25

a) Amb les freqüències absolutes:

2,5 2 + 3,5 5 + 4,5 6 + 5,5 8 + 6,5 9 + 7,5 2 =

325 + 17,5 + 27 + 44 + 58,5 + 15 167

= = = 5,2187532 32

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


2,5 0,0625 + 3,5 0,15625 + 4,5 0,1875 + 5,5 0,25 + + 6,5 0,28125 + 7,5 0,0625 = 0,15625 + 0,546875 + + 0,84375 + 1,375 + 1,828125 + 0,46875 = 5,21875

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅


2,5 6,25 + 3,5 15,625 + 4,5 18,75 + 5,5 25 + 6,5 28,125 + 7,5 6,25 =

10015,625 + 54,6875 + 84,375 + 137,5 + 182,8125 + 46,875

= = 100

521,875= = 5,21875

100

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La mitjana és 5,21875x = h.

b) n = 32 → 16è lloc

13 521 6

→→ } 21 13 6 5 8 1

= 16 13 3c c

− −→ = → →−

}− −→ → = → → →→ −

21 13 6 5 8 1 3(4,5] 13 = = = 0,375 5 + 0,375 = 5,375

(5,6] 21 16 13 3 8c

c c La mediana és M = 5,375 h.

11. Calcula les mesures de centralització de la variable “temps” que hem representat en l’histograma següent:

Temps (min)

8

10

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

4

10 15 20 25 30

2

La classe modal és l’interval [15, 20).

12,5 4 + 17,5 10 + 22,5 8 + 27,5 2 =

2450 + 175 + 180 + 55 460

= = = 19,1624 24

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

MATeMÀTIQUeS 3

93

LA

Mitjana: =

19,16x min.

n = 24 → 12è lloc.

Com que [15, 20) → 12, tenim que la mediana és M = 20 min.

12. A les 3 de la matinada d’un dia d’hivern s’ha anotat la temperatura ambient en 15 poblacions d’una mateixa comarca. Les dades obtingudes són:

0 ºC, –2 ºC, 1 ºC, 0 ºC, –1 ºC, 2 ºC, –1 ºC, –2 ºC, 0 ºC, 2 ºC, 1 ºC, –2 ºC, –1 ºC, –3 ºC i –1 ºC.

a) Fes-ne la taula de freqüències acumulades i de tants per cent acumulats.

b) Calcula’n les tres mesures de centralització.

a)

Temp. ºC Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

–3 1 1 0,0

6 0,0

6 6,

6 6,

6

–2 3 4 0,2 0,2

6 20 26,

6

–1 4 8 0,2

6 0,5

3 26,

6 53,

3

0 3 11 0,2 0,7

3 20 73,

3

1 2 13 0,1

3 0,8

6 13,

3 86,

6

2 2 15 0,1

3 1 13,

3 100

15 1 100

b) La moda és m = –1 oC

Mitjana:

− + − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ − − − + + −= = = −3 ( 2) 3 ( 1) 4 2 2 2 3 6 4 2 4 70,46

15 15 15

− + − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ − − − + + −= = = −3 ( 2) 3 ( 1) 4 2 2 2 3 6 4 2 4 70,46

15 15 15 → = −0,46x oC

Mediana:

n = 15 → 8è lloc; la mediana és M = –1 oC.

13. La taula següent ens dóna el nom dels nou jugadors de camp d’un equip de futbol sala, els gols marcats i el temps que ha jugat cadascun en tota la temporada.

Nom Gols Temps (h)

Andreu 9 5,8

Ramon 12 6,2

Lluís 11 6,4

Miquel 5 4,5

Jordi 6 7,3

Albert 7 8,4

Toni 10 5,2

Carles 4 3,5

Joan 3 2,7

a) Calcula la mitjana i la mediana de gols marcats.

b) Calcula la mitjana del temps jugat.

c) Interpreta el resultat obtingut en l’apartat anterior.

a) Mitjana de la variable nombre de gols marcats:

+ + + + + + + + = =9 12 11 5 6 7 10 4 3 67

7,49 9

=

7,4x gols.

Si ordenem de més petit a més gran els valors de la variable nombre de gols marcats obtenim: 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11 i 12. El valor que és just en el centre de la sèrie és el 7; per tant, la mediana és M = 7 gols.

b) Mitjana de la variable temps jugat:

+ + + + + + + + = =5,8 6,2 6,4 4,5 7,3 8,4 5,2 3,5 2,7 50

5,59 9

+ + + + + + + + = =5,8 6,2 6,4 4,5 7,3 8,4 5,2 3,5 2,7 50

5,59 9

→ =

5,5y h.

c) Entre tots els jugadors han jugat 50 hores. La mitjana anterior indica que si cadascun dels nou jugadors ha-gués jugat =

5,5y hores la suma total dels temps jugats també seria de 50 hores.

14. Sabent que la mitjana de la variable discreta de la tau-la és 6,3x = :

Valors de la variable 4 6 8 9

Freqüència absoluta 8 3 f 4

a) Troba el valor de f.

b) Elabora la taula de freqüències i de tants per cent, i els acumulats.

c) Determina la moda i la mediana.

a) Sabem que: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+4 8 6 3 8 9 4

6,315

f

f

D’on obtenim que + + + =

+32 18 8 36

6,315

f

f, i resolem

aquesta equació:

86 8 6,3(15 ) 86 8 94,5 6,38,5

1,7 8,5 51,7

f f f f

f f

+ = + → + = + →

→ = → = =

b)

Valors Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

4 8 8 0,4 0,4 40 40

6 3 11 0,15 0,55 15 55

8 5 16 0,25 0,8 25 80

9 4 20 0,2 1 20 100

20 1 100

94

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) La moda és m = 4.

n = 20 → Als llocs 10è i 11è els correspon el mateix valor, que és 6; per tant, la mediana és M = 6.

15. En una mostra amb un nombre parell d’individus, un dels dos valors centrals de la variable és 12,5 i la media-na és 13,25. Determina l’altre valor central.

Si anomenem a el valor central demanat, tenim que:

+ = → + = → =12,513,25 12,5 26,5 14

2

aa a

16. La distribució per edats de les persones assistents a l’estrena d’una pel·lícula ens la dóna la taula següent:

Edat Freqüència absoluta

[10, 20) 14

[20, 30) 36

[30, 40) 42

[40, 50) 38

[50, 60) 34

[60, 70) 25

[70, 80) 6

a) Representa els dos tipus d’histograma amb els polí-gons de freqüències corresponents.

b) Calcula les tres mesures de centralització.

a)

10Edat (anys)

14

25

36

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

38

34

6

42

20 30 40 50 60 70 80

10Edat (anys)

92

130

164

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

50

189

20 30 40 50 60 70 80

14

195


Mitjana:

15 14 25 36 35 42 45 38 55 34 65 25 75 6

195210 900 1470 1710 1870 1625 450

1958 235

42,23195

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + + += =

= ≅

≅ 42,23x anys.

Mediana:

n = 195 → lloc 98è.

Les freqüències absolutes acumulades són 14, 50, 92, 130, 164, 189 i 195.

92 40130 50

→→ } − − ⋅→ → = → = → = = = → + =→ −

130 92 50 40 38 10 6 10 60

98 92 6 38 38c

c c [30,40) 921,58 40 1,58 41,58

[40,50) 130

}− − ⋅→ → = → = → = = = → + =→ −130 92 50 40 38 10 6 10 60[30,40) 92

1,58 40 1,58 41,58[40,50) 130 98 92 6 38 38

cc c

M = 41,58 anys.

17. Les dades corresponents a un exercici de flexió de cames fet per 250 alumnes de 3r d’ESO són a la taula següent:

Flexions Freqüència absoluta

[0, 5) 3

[5, 10) 24

[10, 15) 36

[15, 20) 54

[20, 25) 68

[25, 30) 50

[30, 35) 10

[35, 40) 3

[40, 45) 2

Calcula’n la mitjana i la mediana.

Flexions Marca de classe Freqüència absoluta


acumulada

[0, 5) 2,5 3 3

[5, 10) 7,5 24 27

[10, 15) 12,5 36 63

[15, 20) 17,5 54 117

[20, 25) 22,5 68 185

[25, 30) 27,5 50 235

[30, 35) 32,5 10 245

[35, 40) 37,5 3 248

[40, 45) 42,5 2 250

MATeMÀTIQUeS 3

95

LA

Mitjana:

2,5 3 7,5 24 12,5 36 17,5 54 22,5 68 27,5 50 32,5 10 37,5 3 42,5 2

2507,5 180 450 945 1 530 1 375 325 112,5 85 5 010

20,04250 250

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + + + + += = =

= 20,04x fl exions.

Mediana:

n = 250 → lloc 125è.

117 20185 25

→→ } − − ⋅→ → = → = → = = ≅ → + =→ −

185 117 25 20 68 5 8 5 40[15,20) 1170,588 40 0,588 40,588

[20,25) 185 125 117 8 68 68c

c c

}− − ⋅→ → = → = → = = ≅ → + =→ −

185 117 25 20 68 5 8 5 40[15,20) 1170,588 40 0,588 40,588

[20,25) 185 125 117 8 68 68c

c c

M ≅ 40,588 anys.

Activitats fi nals

Reforç

1. En un mitjà de comunicació apareix la notícia següent: “El 20,5% dels europeus no segueixen estudis quan fi -nalitzen la secundària obligatòria”. En la mateixa notí-cia es fa referència al fet que un de cada cinc europeus deixa els estudis quan acaba l’ensenyament secundari obligatori. Hi ha algun error en aquesta informació? Justifi ca’n la resposta.

Sí, hi ha un error, ja que un de cada cinc europeus és

=10,2

5, i això seria el 20%, i no el 20,5%.

2. Les freqüències absolutes dels diferents valors d’una variable estadística són: 4, 6, 9, 11, 7 i 3. Calcula les fre-qüències relatives i els tants per cent.

n = 4 + 6 + 9 + 11 + 7 + 3 = 40

Per calcular les freqüències relatives, cal dividir cada valor de la freqüència absoluta entre 40, d’on s’obté:

= = = = = =4 6 9 11 7 3

0,1; 0,15; 0,225; 0,275; 0,175; 0,07540 40 40 40 40 40

= = = = = =4 6 9 11 7 3

0,1; 0,15; 0,225; 0,275; 0,175; 0,07540 40 40 40 40 40

Per calcular els tants per cent, multipliquem cada valor de la freqüència relativa per 100, i obtenim:

10%; 15%; 22,5%; 27,5%; 17,5%; 7,5%

3. Prenent com a mostra 35 companys, fes un estudi so-bre la variable “nombre de telèfons mòbils” que tenen a casa:

a) Elabora’n la taula de freqüències.

b) Calcula la moda, la mitjana i la mediana.

Són respostes obertes, que depenen de la resposta de les persones enquestades.

4. Els valors que pren una variable discreta són: 6, 5, 1, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 5, 5, 6, 4, 7, 3, 6, 7 i 5. Calcula les mesures de centralització:

A partir de la taula:

ValorsFreqüència

absoluta


acumulada

1 1 1

2 1 2

3 2 4

4 3 7

5 5 12

6 4 16

7 2 18

18

Calculem les mesures de centralització:

La moda és m = 5.


1 2 3 2 4 3 5 5 6 4 7 2

181 2 6 12 25 24 14 84

4,618 18

x+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + + + += = =

Mediana:

n = 18 → els llocs centrals són el 9è i el 10è. Per la tercera columna de la taula, s’observa que en tots dos llocs es correspon el valor 5; per tant, la mediana és M = 5.

5. Se sap que la moda de la variable és 8. Troba el valor de x i calcula’n la mitjana i la mediana de la variable de la següent taula:

Valors de la variable 5 7 x 9 10


Si m = 8, per la taula sabem que x = 8, ja que és el que té més freqüència absoluta.

Per calcular la mitjana necessitem saber el nombre total d’individus de la mostra, per obtenir-lo sumem els valors de la freqüència absoluta: n = 2 + 4 + 8 + 5 + 1 = 20.

Mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + += = = =5 2 7 4 8 8 9 5 10 10 28 64 45 10 1577,85

20 20 20x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + += = = =5 2 7 4 8 8 9 5 10 10 28 64 45 10 1577,85

20 20 20x

Mediana:

n = 20 → els llocs centrals són el 10è i l’11è → M = 8.

96

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. El nombre de punts anotats per un equip de voleibol en els últims 15 sets que han disputat són: 20, 25, 14, 21, 25, 23, 12, 20, 22, 25, 19, 12, 18, 25 i 21. Calcula:

a) La mitjana de tres maneres diferents.

b) La mediana de dues maneres diferents.

La moda és m = 25 punts.

⋅ + + + + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + + + + + + += = =12 2 14 18 19 20 2 21 2 22 23 25 4 24 14 18 19 40 42 22 23 100 302

20,1315 15 15

⋅ + + + + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + + + + + + += = =12 2 14 18 19 20 2 21 2 22 23 25 4 24 14 18 19 40 42 22 23 100 302

20,1315 15 15

La mitjana és =

20,13x punts.

n = 15 → el lloc central és el 8è → M = 21 punts.

7. Calcula la mitjana dels valors 2, 3, 4, 6, 7, 9 i 10. Multi-plica cadascun dels valors per 5 i calcula la nova mitja-na. Què observes?

+ + + + + += = ≅2 3 4 6 7 9 10 41

5,8577 7

x

Si multipliquem tots els valors per 5, obtenim uns nous valors que són: 10, 15, 20, 30, 35, 45 i 50, la mitjana dels quals és:

+ + + + + += = ≅10 15 20 30 35 45 50 20529,285

7 7y

La mitjana també queda multiplicada per 5, ja que = ⋅5y x .

8. Les temperatures que ha marcat un termòmetre els diferents dies de la setmana han estat:

Temperaturamínima (ºC)

Temperatura màxima (ºC)

Dilluns 4 11

Dimarts –2 10

Dimecres –2 9

Dijous 1 10

Divendres –4 4

Dissabte 0 8

Diumenge 2 12

Troba:

a) La temperatura mitjana mínima.

b) La temperatura mitjana màxima.

c) La mitjana de les oscil·lacions tèrmiques diàries.

a) + − + − + + − + −= ≅ −4 ( 2) ( 2) 1 ( 4) 2 1

0,1437 7

→ 0,143 Cx ≅ − °

b) + + + + + + = ≅11 10 9 10 4 8 12 64

9,1437 7

→ 9,143 Cy ≅ °

c) Les oscil·lacions tèrmiques són:

11 oC – 4 oC = 7 oC; 10 oC – (–2 oC) = 12 oC ; 9 oC – (–2 oC) = = 11 oC; 10 oC – 1 oC = 9 oC; 4 oC – (–4 oC) = 8 oC; 8 oC – 0 oC = = 8 oC; 12 oC – 2 oC = 10 oC

+ + + + + + = ≅7 12 11 9 8 8 10 659,286

7 7 → 9,286 Cz ≅ °

També es pot calcular més fàcilment fent:

z y x= − ≅ 9,143 oC – (–0,143 oC) = 9,286 oC

9. A partir del diagrama de barres següent:

a) Elabora la taula de freqüències, de freqüències acu-mulades, de tants per cent i de tants per cent acu-mulats.

b) Calcula la mitjana de tres maneres diferents.

c) Determina la mediana.

a)

€ Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

1 5 5 0,119 0,119 11,9 11,9

2 10 15 0,238 0,357 23,8 35,7

3 15 30 0,357 0,714 35,7 71,4

4 8 38 0,191 0,905 19,1 90,5

5 4 42 0,095 1 9,5 100,0

42 1 100,0


1€ 5 2 € 10 3 € 15 4 € 8 5 € 4

425 € 20 € 45 € 32 € 20 € 122 €

2,91€42 42

x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + += = ≅


1€ 0,119 2 € 0,238 3 € 0,357 4 € 0,191 5 € 0,095

0,119 € 0,476 € 1,071€ 0,764 € 0,475 € 2,91€x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ == + + + + ≅


1€ 11,9 2 € 23,8 3 € 35,7 4 € 19,1 5 € 9,5

10011,9 € 47,6 € 107,1€ 76,4 € 47,5 €

100290,5€

2,91€100

x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + += =

= ≅

c) n = 42 → llocs 21è i 22è → M = 3 €.

MATeMÀTIQUeS 3

97

LA

10. S’ha llançat un dau 80 vegades i s’han obtingut els re-sultats següents:

Punts 1 2 3 4 5 6

Freqüència absoluta 11 12 14 18 10 15

Troba la mitjana i la mediana.

11 2 12 3 14 4 18 5 10 6 15

8011 24 42 72 50 90 289

3,612580 80

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + += = =

La mitjana és = 3,6125x punts.

n = 80 → llocs 40è i 41è → la mediana és M = 4 punts.

11. Els pesos de 100 joves aspirants a mosso d’esquadra es reflecteixen a la taula:

Pes (kg) [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90)


a) Representa l’histograma de freqüències amb el po-lígon corresponent.

b) Calcula’n les tres mesures de centralització.

a)

60

Pes (kg)

12

18

24

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

10

65 70 75 80 85

26

90


62,5 10 67,5 24 72,5 26 77,5 18 82,5 12 87,5 10

100625 1620 1885 1395 990 875 7 390

73,9100 100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + += = =

La mitjana és = 73,9x kg.

n = 100 → lloc 50è.

− − ⋅= → = → = ≅−

60 34 75 70 26 5 16 53,077

50 34 16 26c

c c

70 + 3,077 = 73,077

La mediana és M ≅ 73,077 kg

12. Les puntuacions obtingudes per 25 alumnes en un test es recullen en l’histograma següent:

Punts

3

5

7

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

2

50 90 110 130 150

8

70

a) Calcula la mitjana.

b) Determina la mediana.

a) 60 3 80 5 100 8 120 7 140 2

252 500180 400 800 840 280

10025 25

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + += = =

La mitjana és = 100x punts.

b) n = 25 → lloc 13è.

− − ⋅= → = → = =−

16 8 110 90 8 20 20 512,5

13 8 5 8c

c c

90 + 12,5 = 102,5

La mediana és M = 102,5 punts.

13. Les dades següents corresponen a les mesures del tò-rax, en cm, de 100 adults:

Mesura (cm) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100) [100, 105) [105, 110)


a) Dibuixa els dos histogrames amb els corresponents polígons de freqüències.

b) Determina la classe modal, la mitjana i la mediana.

a)

80Mesura (cm)

810

22

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

4

85 90 95 100 105

24

110

32

80Mesura (cm)

14

38

70

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

4

85 90 95 100 105

100

110

92


82,5 4 87,5 10 92,5 24 97,5 32 102,5 22 107,5 8

100330 875 2 220 3 120 2 255 860 9 660

96,6100 100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + + = =

Mitjana: = 96,6x cm.

n = 100 → lloc 50è.

− − ⋅= → = → = =−

70 38 100 95 32 5 12 51,875

50 38 12 32c

c c

95 + 1,875 = 96,875

Mediana: M = 96,875 cm.

14. L’Anna ha obtingut una mitjana de 5,6 punts en les quatre proves escrites que ha fet aquest mes. Les dues últimes notes van ser 6,5 i 4,8; i recorda que la primera nota era mig punt més alta que la segona. Quina nota va treure en les dues primeres proves?

Indicant amb x la segona nota, de l’enunciat del problema obtenim:

0,5 6,5 4,8 2 11,85,6 5,6

4 410,6

2 11,8 22,4 2 10,6 5,32

x x x

x x x

+ + + + += → =

+ = → = → = =

En la primera prova va treure un 5,8, i en la segona, un 5,3.

15. Han arribat a la meta set dels vuit participants en una cursa de 100 m llisos. Els temps aconseguits, en se-gons, són: 11,3; 12,1; 11,5; 12,4; 10,8; 11,7; i 11,2. Calcula la mediana d’aquests temps. Si l’atleta que encara no havia arribat a la meta va fer un temps de 2,2 s més que el guanyador, quin és el valor de la mediana final?

Si ordenem de més petit a més gran els diferents temps:

10,8; 11,2; 11,3; 11,5; 11,7; 12,1; 12,4

S’observa que el valor central és 11,5; per tant, la mediana és: M

1 = 11,5 s.

L’últim atleta en arribar ha fet un temps de 10,8 s + 2,2 s = =13 s.

De manera que els nous temps ara són:

10,8; 11,2; 11,3; 11,5; 11,7; 12,1; 12,4; 13

Hi ha dos valors centrals; tenim, doncs:

+ = =11,5 11,7 23,211,6

2 2 → M

2 = 11,6 s.

Ampliació

1. A partir de la relació entre la mitjana x i la mediana M indicada en cada cas, dedueix quina informació ens dóna sobre la distribució de les freqüències absolutes dels valors de la variable.

a) x M> b) x M< c) x M=

a) Els valors de la variable que són més petits que la mit-jana tenen més freqüència absoluta.

b) Aquí passa al revés, els valors més grans de x tenen la freqüència absoluta més gran.

c) Els valors més grans i més petits que la mitjana estan equilibrats.

2. És possible que la mitjana dels valors d’una variable sigui 0? Si la resposta és afirmativa indica quina condi-ció han de verificar els diferents valors de la variable i posa’n un exemple.

Sí que és possible; perquè això passi, la variable ha de prendre valors positius i negatius. Per exemple, la mitja-na dels valors –2, –1, 1 i 2 és 0.

3. Esbrina el valor de la mediana en cadascun dels casos següents, en què el primer nombre és el valor de la variable i el segon, la seva freqüència absoluta acumu-lada. Tingues en compte que entre els dos valors que s’hi indiquen, la variable no en pren cap altre:

a) 12 → 21 b) 7 → 18 c) –2 → 10 13 → 30 9 → 25 –1 → 16 50n = 31n = 20n =

a) n = 50 → llocs 25è i 26è → M = 13.

b) n = 31 → lloc 16è → M = 7.

c) n = 20 → llocs 10è i 11è → − + − −= = = −2 ( 1) 3

1,52 2

M .

4. La mediana dels valors de la variable “alçada” en una mostra de 50 individus és de 1,72 m. Sabem que no hi ha cap persona de la mostra que mesuri el valor de la mediana. Això vol dir que hi ha 25 persones amb una alçada inferior a 1,72 m i 25 persones més amb una al-çada superior a 1,72 m. És certa aquesta afirmació? Justifica’n la resposta.

Sí, ja que si n = 50, la mediana serà la mitjana dels valors corresponents als individus 25è i 26è. Si cap individu mesura 1,72 m, vol dir que x

25 < 1,72 m i x

26 > 1,72 m i, per

tant, just la meitat dels individus de la mostra mesuren menys d’1,72 m, i l’altra meitat mesuren més d’1,72 m.

5. En David està molt content perquè ha aprovat el curs de 3r d’ESO. Les qualificacions que ha obtingut són: tres excel·lents, quatre notables i tres béns. Calcula les possibles notes mitjanes que poden figurar en el seu expedient. Recorda que excel·lent és 9 o 10, notable 7 o 8 i bé 6.

Màxima puntuació mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = =10 3 8 4 6 3 30 32 18 80

810 10 10

Mínima puntuació mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = =9 3 7 4 6 3 27 28 18 73

7,310 10 10

Per tant, les possibles notes mitjanes són: 7,3; 7,4; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9 o 8.

98

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. Un tren té l’hora d’arribada a les 9 h 37 min. Durant 16 dies seguits anotem els minuts de retard que té: 4, 8, 10, 12, 2, 1, –1, 2, 15, 9, 10, –2, 4, 8, 7 i –1. Calcula l’hora mitjana d’arribada del tren en els 16 dies.

+ + + + + + − + + + + + − + + + + − = =4 8 10 12 2 1 ( 1) 2 15 9 10 ( 2) 4 8 7 ( 1) 885,5

16 16

+ + + + + + − + + + + + − + + + + − = =4 8 10 12 2 1 ( 1) 2 15 9 10 ( 2) 4 8 7 ( 1) 885,5

16 16

La mitjana dels retards és = 5,5x min = 5 min 30 s.

D’on obtenim l’hora mitjana d’arribada que és:

9 h 37 min + 5 min 30 s = 9 h 42 min 30 s.

7. Les sumes de punts obtinguts en llançar dos daus han estat:

Suma Freqüència absoluta

2 4

3 5

4 8

5 12

6 13

7 19

8 11

9 9

10 9

11 8

12 2

a) Representa el polígon de freqüències.

b) Completa la taula amb les freqüències relatives acumulades i els tants per cent acumulats sense calcular prèviament les freqüències relatives ni els tants per cent.

c) Calcula la mitjana i determina’n la mediana.

a)

Suma de punts

45

8

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

2

2

11

19

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9

1213

0

b) Les freqüències relatives acumulades es poden obte-nir dividint cada freqüència absoluta acumulada pel nombre total d’individus; en aquest, cas per n = 100.

Si es multiplica per 100 cada freqüència relativa acu-mulada, s’obtenen els diferents tants per cent acumu-lats; així, obtenim la taula:

Suma Freqüènciaabsoluta


acumulada


acumulada

%acumulat

2 4 4 0,04 4

3 5 9 0,09 9

4 8 17 0,17 17

5 12 29 0,29 29

6 13 42 0,42 42

7 19 61 0,61 61

8 11 72 0,72 72

9 9 81 0,81 81

10 9 90 0,9 90

11 8 98 0,98 98

12 2 100 1 100

100

c) ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + + + + + += = =2 4 3 5 4 8 5 12 6 13 7 19 8 11 9 9 10 9 11 8 12 2 8 15 32 60 78 133 88 81 90 88 24 697

6,97100 100 100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + + + + + += = =2 4 3 5 4 8 5 12 6 13 7 19 8 11 9 9 10 9 11 8 12 2 8 15 32 60 78 133 88 81 90 88 24 6976,97

100 100 100

La mitjana és = 6,97x punts.

n = 100 → llocs 50è i 51è → M = 7 punts.

8. A la taula següent hi falten algunes freqüències:

Valors Freqüència absoluta Freqüència relativa

[2,75; 3) 4

[3; 3,25) 0,36

[3,25; 3,5) 0,4

[3,5; 3,75) 6

[3,75; 4)

50

Completa la taula, i calcula’n les mesures de centralització.

Primer valor de la freqüència relativa: =40,08

50.

Segon valor de la freqüència absoluta: ⋅ =0,36 50 18.

Tercer valor de la freqüència absoluta: ⋅ =0,4 50 20 .

Quart valor de la freqüència relativa: =60,12

50.

Cinquè valor de la freqüència absoluta:

− + + + = − =50 (4 18 20 6) 50 48 2.

Cinquè valor de la freqüència relativa: =20,04

50.

MATeMÀTIQUeS 3

99

LA

Ja podem completar la taula:


[2,75; 3) 4 0,08

[3; 3,25) 18 0,36

[3,25; 3,5) 20 0,4

[3,5; 3,75) 6 0,12

[3,75; 4) 2 0,04

50

A continuació calculem les mesures de centralització:

La classe modal és l’interval [3,25; 3,5)


⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =2,875 4 3,125 18 3,375 20 3,625 6 3,875 2 11,5 56,25 67,5 21,75 7,75 164,753,295

50 50 50x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =2,875 4 3,125 18 3,375 20 3,625 6 3,875 2 11,5 56,25 67,5 21,75 7,75 164,753,295

50 50 50x


n = 50 → lloc 25è.

− − ⋅= → = → = =−

42 22 3,5 3,25 20 0,25 3 0,250,0375

25 22 3 20c

c c

M = 3,25 + 0,0375 = 3,2875

9. Les qualificacions obtingudes per un grup d’alumnes en una prova de matemàtiques són les següents:

8,8; 3,1; 4,7; 6,3; 4,5; 9,6; 8,8; 8,3; 3,3; 7,2; 2; 8,4; 4,4; 8,7; 5,6; 2,2; 7,3; 2,4; 7,6; 5,5; 6,3; 4,5; 3,8; 7,5; 5,4; 8; 3,9; 4,6; 8,4; 6,8; 5,3; 3,4; 4,3; 2,5; 7,2; 5; 3,6; 5,6; 7,2; 9,2; 1,8; 4,4; 6; 5,4; 5,5; 5,8; 4; 5,9; 8,2 i 7,6.

a) Agrupa les dades en els intervals [0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8) i [8, 10) i troba’n les freqüències.

b) Representa l’histograma de freqüències acumula-des i dibuixa el polígon de freqüències.

c) Indica la classe modal, i determina’n la mediana.

d) Calcula la mitjana de dues maneres diferents.

a)

Qualificacions [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)


b)

2Notes

29

40

50

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

11

4 6 8 101

c) La classe modal és l’interval [4, 6).


n = 50 → lloc 25è.

− − ⋅= → = → = =−

29 11 6 4 18 2 14 21,5

25 11 14 18c

c c

= + =

4 1,5 5,5M

d) A partir de les freqüències absolutes:

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =1 3 10 5 18 7 11 9 10 1 30 90 77 90 2885,76

50 50 50x

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =1 3 10 5 18 7 11 9 10 1 30 90 77 90 2885,76

50 50 50x

A partir de les freqüències relatives:

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + + =0,02 3 0,2 5 0,36 7 0,22 9 0,2 0,02 0,6 1,8 1,54 1,8 5,76x

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + + =0,02 3 0,2 5 0,36 7 0,22 9 0,2 0,02 0,6 1,8 1,54 1,8 5,76x

10. A partir de l’histograma:

60Pes (kg)

34

60

78

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

10

65 70 75 80 85

90

90

100

a) Elabora la taula de freqüències i tants per cent i els acumulats.

b) Representa l’altre histograma.

c) Calcula les tres mesures de centralització.

a)

Pes (kg)Freqüència

absoluta acumulada




acumulada% %

acumulat

[60, 65) 10 10 0,1 0,1 10 10

[65, 70) 34 24 0,24 0,34 24 34

[70, 75) 60 26 0,26 0,6 26 60

[75, 80) 78 18 0,18 0,78 18 78

[80, 85) 90 12 0,12 0,9 12 90

[85, 90) 100 10 0,1 1 10 100

100 1 100

100

MATeMÀTIQUeS 3LA

b)

60Pes (kg)

1012

18

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

65 70 75 80 85

24

90

26

c) Classe modal: [70, 75)

Mitjana:

62,5 10 67,5 24 72,5 26 77,5 18 82,5 12 87,5 10

100625 1620 1885 1395 990 875 7 390

73,9100 100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + + + += = =

= 73,9x kg

Mediana:

n = 100 → lloc 50è.

− − ⋅= → = → = ≅−

60 34 75 70 26 5 16 53,077

50 34 16 26c

c c

+ =70 3,077 73,077

M ≅ 73,077 kg

11. Per dur a terme un estudi estadístic de la talla dels alumnes d’una escola, s’ha pres una mostra de 70 alumnes i se n’ha anotat l’alçada. Els resultats obtin-guts, s’expressen en la taula:

Alçada en cm Número

[150, 154) 2

[154, 158) 4

[158, 162) 8

[162, 166) 16

[166, 170) 19

[170, 174) 12

[174, 178) 5

[178, 182) 3

[182, 186) 1

a) Fes la taula de freqüències absolutes, relatives i acumulades.

b) Calcula la mitjana i la mediana.

a)

Alçada (cm) Marca de classe



acumulada



acumulada

[150, 154) 152 2 2 0,02857 0,02857

[154, 158) 156 4 6 0,05715 0,08572

[158, 162) 160 8 14 0,11428 0,2

[162, 166) 164 16 30 0,22856 0,42856

[166, 170) 168 19 49 0,27143 0,7

[170, 174) 172 12 61 0,17144 0,87144

[174, 178) 176 5 66 0,07143 0,94286

[178, 182) 180 3 69 0,04286 0,98572

[182, 186) 184 1 70 0,01428 1

70 1

b) Càlcul de la mitjana:

152 2 156 4 160 8 164 16 168 19 172 12 176 5 180 3 184

70304 624 1 280 2 624 3 192 2 064 880 540 184 11 692

167,0370 70

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

+ + + + + + + += = ≅

≅ 167,03x cm


n = 70 → lloc 35è.

− − ⋅= → = → = ≅−

49 30 170 166 19 4 5 41,053

35 30 5 19c

c c

+ =166 1,053 167,053

M ≅ 167,053 cm

12. Els resultats d’una mateixa prova d’estadística en dos grups diferents de 3r d’ESO, han estat:

Grup A: 3, 7, 10, 5, 6, 6, 4, 7, 3, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 4, 8, 7, 6 i 3.

Grup B: 4, 3, 5, 6, 5, 4, 6, 5, 6, 7, 9, 7, 5, 9, 3, 3, 5, 8, 9 i 10

a) Compara’n les mitjanes i les medianes. Què observes?

b) Aconsegueix que tinguin la mateixa mitjana i la ma-teixa mediana, només canviant una nota dels dos grups.

a)

Grup A


Freqüènciaabsoluta acumulada

3 3 3

4 2 5

5 2 7

6 5 12

7 4 16

8 2 18

9 1 19

10 1 20

20

MATeMÀTIQUeS 3

101

LA

Per la taula tenim que:

Mediana: M1 = 6

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + + + + += =3 3 4 2 5 2 6 5 7 4 8 2 9 10

620

x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 2 6 5 7 4 8 2 9 10 9 8 10 30 28 16 9 10 1206

20 20 20x

Grup B


Freqüènciaabsoluta acumulada

3 3 3

4 2 5

5 5 10

6 3 13

7 2 15

8 1 16

9 3 19

10 1 20

20

Mediana: 2

115 65,5

2 2M

+= = =

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += =3 3 4 2 5 5 6 3 7 2 8 9 3 10

5,9520

y

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 5 6 3 7 2 8 9 3 10 9 8 25 18 14 8 27 10 1195,95

20 20 20y

Observem que les mitjanes són pràcticament iguals, i que les medianes difereixen només en 0,5 punts. Per tant, si en el grup B canviem un 5 per un 6, aconseguim que:

Mediana: M3 = 6

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += =3 3 4 2 5 4 6 4 7 2 8 9 3 10

620

z

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 4 6 4 7 2 8 9 3 10 9 8 20 24 14 8 27 10 1206

20 20 20z

Amb el canvi indicat, tenen la mateixa mitjana i la matei-xa mediana.

d’avaluació


1. Si tots els valors d’una variable numèrica estan com-presos entre 4 i 9, la mitjana no pot ser 3.

Cert

2. La mediana d’una variable numèrica discreta que pren els valors: 2, 0, 1, 0, 3, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 1, 6 i 4 és 2.

Fals

3. Les mesures de centralització es poden calcular per qualsevol variable estadística.

Fals

4. Els histogrames són gràfics estadístics que només es poden utilitzar per variables numèriques contínues.

Cert

5. Una variable numèrica discreta, no pot prendre valors negatius.

Fals

6. Els tants per cent de cadascun dels sis valors d’una va-riable numèrica són:

3,5%; 12%; 35%; 25,5%; 15% i 10%.

Fals

7. La mitjana d’una variable numèrica pot ser 0.

Cert

8. Hi ha variables estadístiques que tenen més d’una moda.

Cert

9. La mitjana dels 25 primers nombres naturals és 12,5.

Fals

10. Per calcular les freqüències absolutes acumulades, cal ordenar prèviament els valors de la variable.

Cert

Contesta a, b, c o d segons convingui:

11. La variable color dels ulls és una:

a) variable numèrica

b) variable qualitativa nominal

c) variable qualitativa ordinal

d) cap de les anteriors

b) variable qualitativa nominal.

12. La mitjana dels valors: 2, 1, 3, 4, 2, 4, 3, 1, 2 i 3 és:

a) 2 b) 3 c) 2,5 d) cap de les anteriors

c) 2,5.

102

MATeMÀTIQUeS 3LA

13. El polígon de freqüències es pot representar només per a variables:

a) numèriques discretes

b) numèriques contínues

c) qualitatives


d) cap de les anteriors.

14. La mediana de la variable numèrica contínua de la taula següent:

Intervals Freqüència absoluta

(1, 4] 6

(4, 7] 10

(7, 10] 9

(10, 13] 5

és:

a) 6,7 b) 6,8 c) 6,7


a) 6,7.

15. La marca de classe de l’interval [2,5; 3,2) és:

a) 2,8 b) 2,9 c) 2,85 d) cap de les anteriors

c) 2,85.

16. La mitjana de la variable de la taula de l’apartat 14 és:

a) 6,9 b) 6,8 c) 6,8


b) 6,8

.

17. El tant per cent d’un dels valors d’una variable estadís-tica, en una mostra de 75 individus, és 12%. La fre-qüència absoluta d’aquest valor és:

a) 0,12 b) 16 c) 12 d) cap de les anteriors

d) cap de les anteriors.

18. Tenint en compte que els diferents valors de les fre-qüències absolutes d’una variable numèrica són: 12, 25, 38, 31, 20, 14 i 9; aleshores, el valor de la penúltima freqüència absoluta acumulada és:

a) 149 b) 140 c) 126 d) cap de les anteriors

b) 140.

19. Sabent que els 10 valors diferents que pren una varia-ble numèrica estan compresos entre 35 i 40, ambdós inclosos, la mitjana pot ser:

a) 35 b) 40 c) 38 d) cap de les anteriors

c) 38.

20. La mediana dels valors de la variable de l’apartat 12 és:

a) 2,5 b) 2,4 c) 2,6 d) cap de les anteriors

a) 2,5.

Unitat 9. Probabilitat

Coneixements previs

• Una bossa conté 20 caramels, 8 dels quals són de xoco-lata. Dels 10 caramels que hi ha en una altra bossa, 4 són de xocolata. Si sense mirar has d’agafar un caramel d’una de les dues bosses, de quina l’agafaries per tenir més possibilitats que fos de xocolata? Per què?

En les dues bosses hi ha la mateixa proporció de caramels de xocolata. És indiferent la bossa que es triï.

• Quants resultats diferents es poden obtenir en llançar enlaire dues monedes? Es consideren resultats el fet que surti cara i creu, creu i cara, creu i creu, etc. En quants d’aquests resultats apareix una cara com a mí-nim? I cap cara? I tres creus?

En llançar enlaire dues monedes hi ha 4 resultats possi-bles. En 3 resultats apareix una cara com a mínim. No apareix cap cara en un resultat. I no poden aparèixer mai tres creus.

• Es llança un dau cúbic damunt d’una taula i s’observa la cara superior del dau. Calcula la probabilitat de cadas-cun d’aquests successos:

a) Obtenir el nombre 6.

b) Obtenir un nombre parell.

c) No obtenir un nombre primer.

d) Obtenir un nombre més petit que 6.

e) Obtenir el nombre 8.

Les probabilitats són:

a) 1

6 b)

1

2 c)

1

2 d)

5

6 e) 0

Activitats

Proposades

1. Es considera l’experiment aleatori d’extreure una bola d’una urna. Si en aquesta urna hi ha nou boles nume-rades de l’1 al 9:

a) Escriu els elements de l’espai mostral E.

b) Escriu els elements dels successos A: «obtenir nom-bre parell», B: «obtenir nombre primer» i C: «obtenir un múltiple de 3».

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} C = {3, 6, 9}

MATeMÀTIQUeS 3

103

LA

2. Se sap que dels 2 547 habitants que té un poble, les cinc novenes parts són del sexe femení. Si es tria a l’at-zar un habitant d’aquest poble, quina és la probabili-tat que sigui del sexe femení? I que sigui del sexe masculí?

Probabilitat que sigui del sexe femení → 5

9. Probabilitat

que sigui del sexe masculí 5 4

19 9

→ − = .

3. La probabilitat d’un succés S és p(S) = 0,45. Expressa aquesta probabilitat en forma de fracció irreductible i en percentatge. Quina és la probabilitat del succés S ?

45 9 ( ) 0,45 45 %

100 20p S = = = →

( ) 1 ( ) 1 0,45 0,55p S p S= − = − =

4. Es llança una moneda no regular 400 vegades i s’obte-nen 275 cares. Quina probabilitat podem assignar al succés «obtenir creu» en llançar aquesta moneda?

Nombre de creus: 400 − 275 = 125;

p (obtenir creu) = 125 5

400 16= .

5. Un llibre té 180 pàgines. Si esculls a l’atzar una pàgina d’aquest llibre, quina és la probabilitat que la pàgina que hagis escollit correspongui a un nombre múltiple de 5?

A cada 10 pàgines hi ha 2 múltiples de 5. Hi ha 36 múlti-

ples de 5. La probabilitat és p (múltiple de 5) = 36 1

180 5= .

6. En una bossa hi ha 5 boles vermelles i 5 de blaves. Si extreus una bola de la bossa, quina és la probabilitat que sigui vermella? Si extreus després una segona bola sense retornar la primera a la bossa, quina és la probabilitat que torni a ser vermella? I la probabilitat que aquesta segona bola sigui blava?

p (vermella) = 5 1

10 2= .

En extreure una segona bola sense reposició de la pri-mera, tenim:

P (vermella) = 4

9; p (blava) =

5

9.

7. En una empresa hi ha 500 treballadors repartits de la manera que mostra la taula següent:

Homes Dones

Fumadors 65 36

No fumadors 215 184

a) Quin percentatge de treballadors fumadors hi ha en aquesta empresa?

b) I de dones no fumadores?

c) Si es tria un treballador a l’atzar, quina és la probabi-litat que sigui una dona?

d) I que sigui una dona que no fuma?

a) Nombre total de treballadors fumadors: 65 + 36 = 101.

Percentatge: 101

100 20,2 20,2 %500

⋅ = → .

b) A l’empresa hi ha 36 + 184 = 220 dones, de les quals 184 no fumen. Percentatge de dones no fumadores:

184

100 83,64 83,64 %220

⋅ = →

c) A l’empresa hi ha 500 treballadors, 220 dels quals són

dones, p (dona) = 220 11

500 25= .

d) p (dona no fumadora) = 184 46

500 125= .

8. Un ratolí té la mateixa probabilitat d’entrar en un cau que de no entrar-hi. Al cau hi ha una ratera i el ratolí també té la mateixa probabilitat de quedar-hi atrapat que de no quedar-hi atrapat. Quina és la probabilitat que el ratolí acabi a la ratera? I que no hi caigui? Es tracta de dos successos equiprobables?

A partir de l’enunciat es dedueix que:

p (entrar al cau) = 1

2; p (no entrar al cau) =

1

2;

p (caure a la ratera) = 1

2; p (no caure a la ratera) =

1

2.

El ratolí acabarà atrapat a la ratera si entra al cau i és atrapat.

La probabilitat d’aquest succés és 1 1 1

2 2 4⋅ = .

La probabilitat que no hi caigui és 1 3

14 4

− = → no són equiprobables.

9. Si a la màquina de la figura es deixa caure una bola des de P, quina és la probabilitat que surti per cadascun dels canals Q, R, S o T?

La probabilitat en cadascuna de les branques és 1

2.

104

MATeMÀTIQUeS 3LA

A partir del dibuix es dedueix que:

p (Q) = 1

2; p (R) =

1

2 ·

1

2 =

1

4; p (S) =

1

8 = p (T).

10. En l’experiment aleatori d’extreure una carta d’un joc de 48, calcula la probabilitat dels successos següents:

a) A: «no obtenir una carta de copes»

b) B: «obtenir una figura»

c) C: «obtenir una copa, una espasa o un oro»

d) D: «no obtenir un cavall»

a) Hi ha 36 cartes que no són copes: p (A) = 36 3

48 4= .

b) Hi ha 12 cartes que són figures: p (B) = 12 1

48 4= .

c) Hi ha 36 cartes: p (C) = 36 3

48 4= .

d) Hi ha 44 cartes que no són cavall: p (D) = 44 11

48 12= .

11. En un joc de la ruleta poden sortir 37 nombres, tots amb les mateixes possibilitats. Si es fan 300 tirades, quantes vegades es pot esperar que surti el 7?

La probabilitat que surti el 7 és 1

37. S’espera que surti

300 · 1

8,137

⋅ ≈ . L’esperança és que surti 7 al voltant de 8

vegades.

12. Una urna conté 3 boles blaves i 2 boles verdes. Ex- traiem dues boles, una després de l’altra sense tornar la primera, quina és la probabilitat que siguin blaves? I que siguin verdes? I que siguin del mateix color?

p (bb) = 3 2 3

5 4 10⋅ = ; p (vv) =

2 1 1

5 4 10⋅ = ; La probabilitat

que siguin del mateix color és la suma de les anteriors: 3 1 2

10 10 5+ = .

13. En una ciutat la població més gran de 65 anys arriba al 21%. Si es considera aleatòriament una persona que viu en aquesta ciutat, calcula:

a) La probabilitat que tingui més de 65 anys.

b) La probabilitat que en tingui menys de 65.

a) p = 21

100 b) p’ = 1 −

21

100 =

79

100

14. En una bossa hi ha 6 boles blanques, 4 de vermelles i un nombre desconegut de verdes. Determina quantes boles hi ha a la bossa sabent que si n’extreus una, la

probabilitat que sigui verda és 13

.

Anomenem n el nombre total de boles. Les probabilitats

verifiquen: 6 4 1 10 1 2

1 1 153 3 3

nn n n

+ + = → = − = → = .

15. En un partit d’handbol, quina és la probabilitat que els dos equips no empatin suposant que els tres resultats possibles són igual de probables?

La probabilitat que empatin és 1

3, la probabilitat que no

empatin és la contrària: 2

3.

16. Considera un dau tetraèdric perfecte amb les cares numerades de l’1 al 4. Si el dau es llança 500 vegades i s’anota el nombre que queda a la cara inferior, quantes vegades podem esperar que surti el 3? I un nombre parell? I un nombre més gran o igual que 2?

La probabilitat que surti cada número és 1

4.

Pot sortir el 3 → 1

300 75 vegades4

⋅ = .

P (parell) = 1

2. Sortirà parell en

1

2· 300 = 150 vegades.

p

3( 2)

4p n ≥ = . Sortirà 2n ≥ en

3300 225 vegades

4⋅ = .

17. Una urna conté 7 boles blanques, 5 boles vermelles i 3 boles negres. Si s’extreu a l’atzar una bola de l’urna, calcula la probabilitat dels successos següents:

a) A: «la bola és blanca».

b) B: «la bola és negra».

c) C: «la bola no és vermella».

d) D: «la bola no és ni blanca ni negra».

a) p (A) = 7

15 b) P (B) =

3 1

15 5=

c) p (C) = 10 2

15 3= d) p (D) =

5 1

15 3=

18. Una enquesta afirma que el 40% de les famílies catala-nes disposen d’ordinador a casa seva i que la meitat d’aquestes famílies tenen connexió a Internet.

a) Quin percentatge de famílies catalanes disposa de connexió a internet?

b) Si es considera una família catalana a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui ordinador? I que tingui internet?

c) En un poble de Catalunya amb 300 famílies, quan-tes es podria preveure que disposessin d’ordinador? I de connexió a internet?

a) Tenen connexió a internet el 20%.

b) p (ord.) = 40 2

100 5= ; p (int.) =

20 1

100 5=

c) Es pot preveure que tinguin ordinador:

2

300 120 famílies5

⋅ = .

I que tinguin internet, la meitat: 60.

MATeMÀTIQUeS 3

105

LA

19. S’introdueixen 4 boles blaves, 4 de vermelles i 2 de verdes en una bossa. Es remena la bossa i, tot seguit, s’extreuen successivament, sense retorn, quatre boles. Calcula la probabilitat que les dues primeres siguin vermelles, la tercera sigui blava i la quarta sigui:

a) Blava

b) Vermella

c) Verda

La probabilitat d’extreure 2 boles vermelles i una de bla-

va successivament és 4 3 4 1

10 9 8 15⋅ ⋅ = . En l’extracció se-

güent cal tenir en compte aquesta probabilitat.

a) p (b) = 1 3 3

15 7 105⋅ =

b) p (verm.) = 1 2 2

15 7 105⋅ =

c) p (verd) = 1 2 2

15 7 105⋅ =

20. Es llancen enlaire 4 monedes. Quants resultats possi-bles es poden obtenir? Determina la probabilitat dels resultats següents:

a) Obtenir tres creus.

b) Obtenir almenys una cara.

Amb les 4 monedes es poden donar 16 resultats dife-

rents. I tots tenen la mateixa probabilitat de sortir: 1

16.

a) Si surten 3 creus vol dir que també sortirà una cara:

p (3 creus) = 1

16.

b) Almenys una cara és el succés contrari de sortir 4

creus: p = 1 − 1

16 =

15

16.

21. Una empresa sotmet cada unitat d’un nou producte a tres controls de qualitat. La probabilitat que passi cada control és 0,92 per al primer, 0,85 per al segon i 0,96 per al tercer.

a) Quina és la probabilitat que no passi el primer control?

b) Quina és la probabilitat que passi els tres controls?

c) Quina és la probabilitat que no en passi cap?

d) Si l’empresa ha fabricat 1800 unitats d’aquest pro-ducte, quantes d’aquestes unitats podem esperar que es considerin aptes per sortir al mercat?

a) p = 1 – 0,92 = 0,08

b) p (3 cont.) = 0,92 · 0,85 · 0,96 = 0,75

c) p (cap cont.) = 0,08 · 0,15 · 0,04 = 0,00 064

d) Superen els tres controls: 0,75 · 1 800 = 1 350 unitats.

22. Tenim una urna amb 3 boles blaves i 2 de verdes. Ex-traiem una bola, la tornem a l’urna i en tornem a ex-treure una altra. Quina és la probabilitat que les dues boles siguin blaves? I que siguin verdes? I que n’hi hagi una de cada color?

p (bb) = 3 3 9

5 5 25⋅ = ; p (vv) =

2 2 4

5 5 25⋅ = .

La probabilitat que n’hi hagi una de cada color és el suc-cés contrari als dos anteriors:

p (bv, vb) = 1− 9 4 12

( )25 25 25

+ = .

23. El PIN dels telèfons mòbils consta de quatre xifres en un ordre determinat. Quants pins diferents es poden donar? Si no recordes el del teu mòbil, quina és la pro-babilitat d’encertar-lo a la primera?

Es poden donar 104 = 10 000 pins diferents. La probabili-

tat d’encertar-ne un és p = 1

10 000.

24. En les travesses del futbol cal posar 1, X o 2 en cada un dels 15 partits que hi fi guren. Quantes travesses dife-rents es poden fer? Quina és la probabilitat d’encertar els 15 resultats d’una travessa si admetem que tots els resultats possibles són equiprobables?

A cada una de les 15 caselles es pot posar un dels 3 resul-tats; per tant, hi ha 315 travesses possibles. La probabilitat

d’encertar-ne una és p = 15

1

3.

Activitats fi nals

Reforç

1. Es llança quatre vegades un dau cúbic regular i s’obté el nombre 3 cada vegada. Indica quina de les afi rma-cions següents et sembla més correcta:

a) La pròxima vegada que es llanci el dau és més pro-bable que no surti 3.

b) La pròxima vegada que es llanci el dau és més pro-bable que torni a sortir 3.

c) La pròxima vegada que es llanci el dau, tots els re-sultats possibles tenen la mateixa probabilitat de sortir.

L’afi rmació més correcta és la que correspon a l’apartat c.

2. Qualifi ca de quasi segur, força probable, poc probable o quasi impossible cadascun dels successos següents:

a) Que dues noies o dos nois de la teva classe hagin nascut en el mateix poble o ciutat.

b) Que algun company o companya de la teva classe arribi a presidir la Generalitat de Catalunya.

c) Que al fi nal de curs tots els alumnes de la teva clas-se aprovin totes les matèries.

d) Que algun dels teus companys o companyes acabi una carrera universitària.

106

MATeMÀTIQUeS 3LA

a) Quasi segur. b) Quasi impossible.

c) Poc probable. d) Força probable.

3. En una pregunta hi ha quatre respostes possibles, una de les quals és la correcta. Si contestes a l’atzar, quina probabilitat tens d’encertar la resposta? I de no encer-tar-la?

p (encertar) = 1

4; p (no encertar) = 1 −

1 3

4 4= .

4. Els daus per fer una travessa a l’atzar són cúbics, de manera que en dues de les cares hi ha un 1, en dues hi ha una X i en les altres dues hi ha un 2. En llançar un d’aquests daus, quina és la probabilitat que no surti X? I la del succés contrari a l’anterior?

Perquè no surti X cal que surti 1 o 2.

p (no sortir X) = 4 2

6 3= . El succés contrari a no sortir X és

sortir X i la probabilitat és 1 − 2 1

3 3= .

5. En l’experiència de llançar un dau cúbic regular, deter-mina la probabilitat que el nombre n que s’obté a la cara superior verifiqui:

a) n ≥ 4

b) n < 6

c) n ≥ 6

d) 1 ≤ n ≤ 6

a) n pot ser 4, 5 o 6 → 3 1

( 4)6 2

p n ≥ = = .

b) n pot ser 1, 2, 3, 4 o 5 → 5

( 6)6

p n < = .

c) n només pot ser 6 → 1

( 6)6

p n ≥ = .

d) n pot ser qualsevol dels números del dau → → p (1 ≤ n ≤ 6) = 1.

6. El 2,5% dels cargols que fabrica una empresa són de-fectuosos. Si s’agafa a l’atzar un cargol fabricat en aquesta empresa, quina és la probabilitat que no sigui defectuós? D’una remesa de 5 400 cargols, quants po-dem esperar que siguin defectuosos?

p (defectuós) = 0,025 → p (no defectuós) = 1 – 0,025 = 0,975. Podem esperar que en aquesta remesa hi hagi 5 400 · 0,025 = 135 cargols que siguin defectuosos.

7. Si A i B són dos successos contraris i p (A) = 4 · p(B), quina és la probabilitat de cada succés?

Es verifica que p (A) = 4 · p (B) i p (A) + p (B) = 1 →

4 · p (B) + p (B) = 1 → 5 · p (B) = 1 → p (B) = 1

5 →

p (A) = 4

5.

8. En llançar dos daus cúbics regulars i calcular la suma dels punts obtinguts a les cares superiors, quina és la probabilitat que aquesta suma sigui més gran que 7?

En el text de la unitat hi ha les taules que corresponen a aquest experiment. D’observar-les es dedueix que hi ha 36 casos possibles i 15 de favorables al fet que la suma

sigui més gran de 7. Per tant, p = 15 5

36 12= .

9. Es llança un dau tetraèdric regular i es considera la suma dels punts obtinguts a les tres cares que són visibles. Quins valors pot tenir aquesta suma? Quina és la proba-bilitat que la suma obtinguda sigui múltiple de 3?

Punts no visibles Punts visibles Sumes

1 2, 3 i 4 9

2 1, 3 i 4 8

3 1, 2 i 4 7

4 1, 2 i 3 6

Dos dels 4 resultats són múltiples de 3: 6 i 9; per tant, p = 1

2.

10. S’extreu una carta d’una baralla de 48 i resulta ser una figura de copes. La carta extreta es deixa fora de la ba-ralla i se n’extreu una altra. Indica raonadament si, per a la segona extracció, són certes o falses les afirma-cions següents:

a) Els successos «obtenir oros», «obtenir espases» i «obtenir bastons» són equiprobables.

b) És menys probable obtenir un as que en la primera extracció.

c) La probabilitat d’obtenir una figura d’espases és 4

47.

d) La probabilitat d’obtenir una copa que no sigui fi-

gura és 3

16.

a) Certa, perquè p (oros) = p (espases) = p (bastons) = 12

47.

b) Falsa, perquè 4 4

48 47< .

c) Falsa, perquè la probabilitat és 3

47.

d) Falsa, perquè la probabilitat és 9 3

47 16≠ .

11. En una urna hi ha 10 boles numerades. De l’1 al 4 són blanques, i del 5 al 10, negres. S’extreu una bola a l’at-zar i se’n mira el color i el nombre. Calcula la probabili-tat de treure:

a) Una bola blanca o un nombre parell.

b) Una bola negra i un múltiple de 3.

c) Una bola amb un nombre més petit que 9.

MATeMÀTIQUeS 3

107

LA

a) Aquest succés ocorre quan s’obté una de les 4 boles blanques o una de les 3 boles negres que porten els nombres 6, 8 o 10. Hi ha 7 casos favorables:

p (bola blanca o nombre parell) = 7

10.

b) Aquest succés es produeix quan es treu una bola ne-gra numerada amb el 6 o el 9.

p (bola negra i múltiple de 3) = 2 1

10 5= .

c) Hi ha 8 boles que tenen un nombre més petit que 9; per tant:

p (bola amb nombre més petit que 9) = 8 4

10 5= .

12. En Joan té més de 25 anys i menys de 35. Determina la probabilitat que l’edat d’en Joan s’expressi mitjançant:

a) Un nombre primer.

b) Un múltiple de 3.

c) Un nombre parell.

a) Entre el 26 i el 34 hi ha dos nombres primers: 29 i 31.

p (nombre primer) = 2

9.

b) Hi ha 3 múltiples de 3: 27, 30 i 33,

p (múltiple de 3) = 3 1

9 3= .

c) Hi ha 5 nombres parells; p (nombre parell) = 5

9.

13. Un concessionari de cotxes ha venut 80 unitats d’un model determinat. Se sap que 1 de cada 5 automòbils d’aquest model poden tenir problemes en el sistema electrònic. Quants dels cotxes que ha venut el conces-sionari podem esperar que no presentin aquest pro-blema?

Si 1 de cada 5 automòbils poden tenir problemes, 4 de

cada 5 poden no tenir-ne. Podem esperar que 4

80 645

⋅ =

automòbils no presentin el problema en qüestió.

14. Un jugador de bàsquet té un percentatge d’encerts en els llançaments de 3 punts del 65%. Quina és la proba-bilitat que falli en un llançament des de fora de la línia de 6,25 m?

La probabilitat que encerti és 65 13

100 20= .

La probabilitat que no encerti és la del succés contrari:

p (no encerti) = 13 7

120 20

− = .

Ampliació

1. Un experiment aleatori consta de tres successos A, B i C no equiprobables. Calcula p (A), p (B) i p (C) sabent

que p (A) = ⋅23

p (B) i p (B) = 3

·4

p (C).

Plantegem les condicions:

p (A) = 2

3p (B)

p (B) = 3

4 p (C)

I a més sabem:

p (A) + p (B) + p (C) = 1

Amb substitucions successives arribem a p (C) = 4

9;

p (B) = 1

3 i p (A) =

2

9.

2. En un calaix hi ha 3 parells de mitjons completament desordenats. Si agafes a l’atzar dos dels mitjons del calaix:

a) De quantes maneres diferents ho pots fer?

b) Quina és la probabilitat que els dos mitjons siguin del mateix parell?

a) Agafar 2 dels 6 mitjons es podria fer de 6 · 5 = 30 ma-neres diferents, però com que agafar els mitjons A i B o B i A és el mateix, només tenim la meitat de maneres diferents de fer-ho: 15.

b) Al calaix hi ha 3 parells de mitjons; per tant,

p (dos mitjons del mateix parell) = 3 1

15 5= .

3. En una bossa hi ha tres boles vermelles i quatre de verdes. Es fa l’experiment de treure’n una bola i des-prés una altra, sense tornar la primera a la bossa. Cal-cula la probabilitat que:

a) Les dues boles siguin del mateix color.

b) Les dues boles siguin de colors diferents.

c) Almenys una bola sigui verda.

d) Com a màxim una bola sigui vermella.

a) p (verm., verm.) + p (verd, verd) = 3 2 4 3 3

7 6 7 6 7⋅ + ⋅ =

b) p (verm., verd) + p (verd, verm.) = 3 4 4 3 4

7 6 7 6 7⋅ + ⋅ =

c) p (verm., verd) + p (verd, verm.) + p (verd, verd) =

= 3 4 4 3 4 3 6

7 6 7 6 7 6 7⋅ + ⋅ + ⋅ = .

d) Això vol dir obtenir una bola vermella o no obtenir-ne cap. Es tracta, per tant, de la mateixa probabilitat que

hem obtingut en l’apartat c: 6

7.

4. Si llancem dos daus:

a) Quina és la probabilitat d’obtenir la mateixa puntua-ció en cada dau?

b) Quina és la probabilitat d’obtenir un 6 en algun dels dos daus?

108

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) Quina és la probabilitat d’obtenir una puntuació més gran en un dau que en l’altre?

En el text d’aquesta unitat hi ha les taules que permeten obtenir els casos favorables i els possibles.

a) 6 casos favorables dels 36 possibles: 6 1

36 6p = = .

b) Hi ha 11 casos favorables: 11

36p = .

c) Aquest succés és el contrari del de l’apartat a; per

tant, 1 5

16 6

p = − = .

5. Després de llançar 800 vegades una xinxeta, s’observa que ha caigut amb la punta cap avall en 360 casos. Si es llancen dues xinxetes idèntiques a la que s’ha utilit-zat per realitzar l’experiència, quina serà la probabilitat que les dues caiguin de mane ra diferent?

Anomenem A: “la xinxeta cau amb la punta cap avall”.

360 9 9 11 ( ) ( ) 1

800 20 20 20p A p A= = → = − =

La probabilitat que ens demanen és:

9 11 11 9 99 ( , ) ( , )

20 20 20 20 200p A A p A A+ = ⋅ + ⋅ = .

6. Una urna conté tres boles marcades amb els nombres 7, 8 i 9. S’extreu una bola de l’urna a l’atzar, després una altra i, finalment, una tercera. Calcula la probabilitat que la primera bola no sigui la que té el 7, la segona no sigui la que té el 8 i la tercera no sigui la que té el 9.

Dibuixem el diagrama en arbre corresponent.

7

8

9

8

9

9

8

7

9

9

7

7

8

8

7

Comprovem que dels sis casos possibles només n’hi ha dos de favorables.

987 i 9 8 7

1a 2a 3a 1a 2a 3a

Per tant, la probabilitat que ens demanen és:

2 1

6 3= .

7. En repetir moltes vegades una experiència aleatòria, les freqüències relatives d’un dels esdeveniments pos-sibles prenen valors cada cop més propers a 0,43. A quin valor s’aniran aproximant les freqüències relati-ves de l’esdeveniment contrari a l’an terior?

S’aproparan a 1 – 0,43 = 0,57.

8. Un dau cúbic està trucat, de manera que la probabili-tat d’obtenir cadascuna de les cares és directament proporcional al nombre que hi figura. Si es llança el dau, determina:

a) La probabilitat d’obtenir cada cara.

b) La probabilitat d’obtenir un nombre parell.

a) Si anomenem p (1) = k, es compleix p (2) = 2k; p (3) = 3k; p (4) = 4k; p (5) = 5k i p (6) = 6k i la suma de totes les probabilitats ha de ser 1:

k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 → 21k = 1 → k = 1

21

Les probabilitats són: p (1) = 1

21; p (2) =

2

21;

p (3) = 3 1

21 7= ; p (4) =

4

21; p (5) =

5

21; p (6) =

6 2

21 7= .

b) La probabilitat d’obtenir un nombre parell és:

p (2) + p (4) + p (6) = 2 4 2 4

21 21 7 7+ + = .

9. Es llança una moneda quatre vegades. Quants resul-tats es poden obtenir? Calcula la probabilitat de cada resultat i comprova que els successos «obtenir al-menys una cara» i «no obtenir cap cara» són contraris.

Es poden obtenir 24 = 16 resultats possibles. Tots ells

equiprobables amb probabilitat 1

16.

p (obtenir almenys una cara) = 15

16.

p (no obtenir cap cara) = p (obtenir 4 creus) = 1

16.

Es tracta, en efecte, de dos successos contraris, ja que quan ocorre un no ocorre l’altre, i les seves probabilitats sumen 1.

10. En un edifici d’oficines s’hi ha instal·lat dues alarmes. La probabilitat que funcioni la primera alarma és 0,92, i la probabilitat que funcioni la se gona, 0,94. Calcula la pro-babilitat que, si es produeix algun problema en aquest edifici, almenys una de les dues alarmes funcioni.

El succés almenys una de les dues alarmes funcioni és el contrari del succés no funcioni cap de les dues alarmes.

La probabilitat que no funcioni la primera és 1 – 0,92 = 0,08.

La probabilitat que no funcioni la segona és 1 – 0,94 = 0,06.

La probabilitat que no funcioni cap de les dues és p = 0,08 · 0,06 = 0,0048.

MATeMÀTIQUeS 3

109

LA

La probabilitat p (almenys una de les dues alarmes funcioni) = = 1 – 0,0048 = 0,9952.

11. En el llançament de dos daus cúbics, quina és la pro-babilitat d’obtenir almenys un 6? I la de no obtenir-ne cap? Es tracta de dos successos contraris? Per què?

Si s’observa l’arbre del text de la unitat, es pot comprovar

que la probabilitat d’obtenir almenys un 6 és 11

36, i la de

no obtenir cap 6 és 25

36. Són dos successos contraris,

perquè les probabilitats sumen 1 i no es poden donar simultàniament.

12. En una urna hi ha p boles blanques, q boles negres i r boles vermelles. Se sap que q = 2p i r = p + q. Si s’extreu a l’atzar una bola d’aquesta urna, calcula la probabilitat que:

a) Sigui blanca.

b) No sigui vermella.

c) No sigui ni blanca ni vermella.

d) Sigui vermella.

p boles blanques; q = 2p boles negres i r = p + q = 3p bo-les vermelles. Nombre total de boles: p + 2p + 3p = 6p.

p (blanca) = 1

6 6

p

p= ; p (negra) =

2 1

6 3

p

p= .

p (vermella) = 3 1

6 2

p

p= .

a) p (blanca) = 1

6.

b) p (no vermella) = 1 1 1

6 3 2+ = .

c) p (no blanca ni vermella) = p (negra) = 1

3.

d) p (vermella) = 1

2.

13. Si escrivim a l’atzar les lletres s, c, a i o sense repetir-ne cap, quina és la probabilitat que la paraula que en re-sulti tingui sentit en català (amb accent o sense)?

Amb les 4 lletres es poden escriure 4 · 3 · 2 · 1 = 24 paraules, de les quals només 3 tenen sentit: caos, cosa i soca. La

probabilitat és 3 1

24 8= . També es pot escriure ocàs si

s’accepten paraules amb accent. Llavors, la probabilitat

és 4 1

24 6= .

14. Una persona escriu en un paper un nombre de dues xifres més petit que 50. Determina la probabilitat que el nombre escrit:

a) Sigui divisor de 60.

b) Tingui les dues xifres iguals.

c) Sigui un quadrat perfecte.

Nombres de dues xifres inferiors a 50 n’hi ha 40.

a) De divisors de 60 n’hi ha 5: 10, 12, 15, 20 i 30. 5 1

40 8p = = .

b) Hi ha 4 nombres que tenen les dues xifres iguals: 11,

22, 33 i 44; la probabilitat és p = 4 1

40 10= .

c) Hi ha 4 quadrats perfectes: 16, 25, 36 i 49; p = 4 1

40 10= .

15. En una classe hi ha 12 noies i 15 nois. Si es trien dos alumnes de la classe a l’atzar, quina és la probabilitat que siguin dues noies? I que siguin dos nois? I que si-guin una noia i un noi?

15 14 35 ( )

27 26 117p dues noies = ⋅ = ;

12 11 22 ( )

27 26 117p dos nois = ⋅ = .

35 22 60 20 ( ) 1 ( )

117 117 117 39p una noia i un noi = − + = = .

d’avaluació

1. El nombre d’elements de l’espai mostral de tirar enlai-re 3 monedes i observar-ne el resultat és:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 3

c) 8.

2. El succés contrari de sortir un nombre més gran que 4 en tirar un dau és:

a) {1, 2, 3} b) {1, 2, 3, 4} c) {4, 5, 6} d) {5, 6}

b) {1, 2, 3, 4}.

3. La freqüència relativa d’un succés repetit moltes vega-des s’acosta a:

a) 1 b) 12

c) la probabilitat d) cap de les anteriors

c) la probabilitat.

4. Si la probabilitat d’un succés és 0,9, el succés és:

a) Segur b) Molt segur

c) Poc segur d) Impossible

b) molt segur.

5. Si la probabilitat d’un succés és 12

, la del succés con-trari és:

a) 1 b) 0 c) − 12

− 12

d) 12

d) 1

2.

110

MATeMÀTIQUeS 3LA

6. En un institut hi ha 800 alumnes. La probabilitat que

un alumne sigui pèl-roig és 1

16. Quants alumnes pèl-

rojos es pot esperar que hi hagi?

a) 50 b) 16 c) 80 d) 32

a) 50.

7. La suma de les probabilitats dels successos elementals d’un experiment aleatori és:

a) 0 b) 1 c) –1 d) 0,5

b) 1.

8. En una bossa hi ha 3 boles verdes i 5 de vermelles. La probabilitat del succés contrari de sortir bola verda és:

a) 0,6 b) 0,62 c) 0,75 d) 0,625

d) 0,625.

9. En una moneda trucada té el doble de probabilitat de sortir cara que creu. La probabilitat de sortir creu és:

a) 13

b) 12

c) 0 d) 0,3

a) 1

3.

10. La probabilitat de treure un as en un joc de 48 cartes és:

a) 1

48 b)

112

c) 3

48 d)

14

b) 1

12.

11. En una bossa hi ha 3 boles blanques i altres de verdes.

Treure una bola verda té probabilitat 23

. Quantes bo-les verdes hi ha a la bossa?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6

d) 6.

12. Un experiment aleatori està format per tres successos.

Un té probabilitat 15

, un altre 0,4 i el tercer:

a) 0,6 b) 45

c) 35

d) 0,4

d) 0,4.

13. En tirar enlaire tres monedes, el succés contrari de sor-tir almenys una cara és sortir:

a) 2 creus b) 3 creus

c) Cap creu d) Almenys una creu

b) 3 creus.

14. Quants resultats possibles es poden donar en tirar en-laire 4 monedes?

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16

d) 16.

15. La probabilitat de treure una figura d’oros en un joc de 48 cartes és:

a) 1

12 b)

148

c) 1

47 d)

116

d) 1

16.

16. La probabilitat de sortir un 6 en llançar un dau és 16

. Després de 50 tirades, la probabilitat és:

a) Més gran b) Igual

c) Més petita d) 15

b) igual.

17. Una alarma funciona amb probabilitat 0,9 i una altra amb probabilitat 0,85. La probabilitat que funcionin les dues alhora és:

a) 1,75 b) 0,985 c) 0,765 d) 1

c) 0,765.

18. Els meteoròlegs diuen que la probabilitat que plogui

és 13

. Per tant, la probabilitat que faci vent és:

a) 23

b) 1 c) 13

d) no es pot saber amb aquestes dades

d) no es pot saber amb aquestes dades.

19. D’una rifa de 1 000 butlletes, en compres 10. La proba-bilitat que et toqui és:

a) 1

10 b)

1100

c) 1

1000 d) cap de les anteriors

b) 1

100.

20. En una loteria, es dóna el reintegrament als números que tenen la xifra de les unitats igual a la del número premiat. La probabilitat de tenir reintegrament amb un número és:

a) 1 b) 18

c) 19

d) 1

10

d) 1

10.

MATeMÀTIQUeS 3

111

LA

Unitat 10. La dispersió en estadística

Coneixements previs

• Calcula mentalment la mitjana i la mediana dels 100 primers nombres naturals.

⋅= = =101 50 10150,5

100 2x

+= = =50 51 10150,5

2 2M

• Les precipitacions totals en litres per metre quadrat en cada un dels 12 mesos de l’any en una estació meteoro-lògica van ser: 12, 8, 10, 6, 32, 16, 14, 2, 28, 16, 6 i 12. Calcula la mediana i la mitjana.

2, 6, 6, 8, 10, 12, 12, 14, 16, 16, 28, 32

M = 12 L/m2

+ ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + + = =2 2 6 8 10 2 12 14 2 16 28 32 16213,5

12 12

=x 13,5 L/m2

• Les qualifi cacions obtingudes per la Mireia en un tri-mestre són: dos EX, tres NOT, tres BÉ i un SUF. Quina és la nota mitjana obtinguda? (Considera EX: 9; NOT: 7,5; BÉ: 6,5; i SUF: 5,5).

⋅ + ⋅ + ⋅ += = =2 9 3 7,5 3 6,5 5,5 65,5

7,279 9

x

• A la pedalada popular del poble, en Lluís va recórrer els 45 km de l’itinerari en 2 h 15 min. Quina va ser la seva velocitat mitjana expressada en quilòmetres per hora?

1 h15 min 0,25h

60 min⋅ = ; 2 h + 0,25 h = 2,25 h

= =45km

v 20 km/h2,25h

• La mitjana dels nombres 11, 15 i x és 12. Determina el valor de x i la mediana dels tres nombres.

11 1512

3

x+ + = → + =26 36x → = 10x

10, 11, 15 → M = 11

Activitats

Proposades

1. Raona cadascuna de les qüestions següents:

a) La meitat dels alumnes de les universitats catalanes tenen més de 20 anys. En quina mesura de centra-lització ens basem per fer aquesta afi rmació?

En la mediana.

b) El que és més habitual és que els adolescents vagin amb amics de l’altre sexe per primera vegada a par-tir dels 13 anys. Per afi rmar això, en quina mesura ens basem?

En la mediana.

c) Per saber quin és l’esport que té més aficionats, quina mesura de centralització utilitzaries?

La moda.

d) Es diu que el preu d’un model de cotxe determinat se situa en el setè decil dels preus de tots els altres cotxes que s’ofereixen al mercat. Què vol dir això?

Que el 70 % dels cotxes del mercat valen menys o igual que aquest.

2. El temps de durada de 1 000 bombetes, expressat en hores, és el que indica la taula:

Temps (min) [400, 450) [450, 500) [500, 550) [550, 600) [600, 650)

f 30 100 270 320 280

mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =+ + + +

30 425 100 475 270 525 320 575 280 625561

30 100 270 320 280

561 000561

1 000= = → = 561x min

a) Calcula les mesures de dispersió.

Recorregut: R = 650 min – 400 min = 250 min

25 % de 1000 és 250; 250 – 130 = 120

⋅= → = =1

1

270 50 120 5022,22

120 270q

q

Q1 = 500 min + 22,22 min = 522,22 min

75 % de 1000 és 750; 750 – 720 = 30

⋅= → = =3

3

280 50 30 505,36

30 280q

q

Q3 = 600 min + 5,36 min = 605,36 min

Rang interquartílic: r = Q3 – Q

1 = 605,36 min – 522,22 min =

= 83,14 min

Desviació mitjana:

30 136 100 86 270 36 320 14 280 64

1000

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

44 800

44,81000

= = → d = 44,8 min

112

MATeMÀTIQUeS 3LA

Variància:

2 2 2 2 2230 425 100 475 270 525 320 575 280 625

5611000

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

2317 575 000561 317 575 314 721 2 854

1000= − = − =

s =2 2854 min2

Desviació típica: 2 854 53,42= → s = 53,42 min

b) Quina és la durada tal que només la superen el 10 % de les bombetes?

Cal calcular el novè decil, és a dir, el valor de D9:

90 % de 1000 és 900; 900 – 720 = 180

⋅= → = =280 50 180 50

32,14180 280

dd

D9 = 600 min + 32,14 min = 632,14 min

El 10 % de les bombetes duren més de 632,14 min.

3. Les longituds expressades en centímetres, de les ba-rres fabricades per una màquina en una hora són:

Longitud (cm) [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)

N. de barres 5 10 60 22 23

n = 5 + 10 + 60 + 22 + 23 = 120

a) Calcula els tres quartils.

25 % de 120 és 30; 30 – 15 = 15

⋅= → = =1

1

60 10 15 102,5

15 60q

q

Q1 = 20 cm + 2,5 cm = 22,5 cm

50 % de 120 és 60; 60 – 15 = 45

⋅= → = =2

2

60 10 45 107,5

45 60q

q

Q2 = M = 20 cm + 7,5 cm = 27,5 cm

75 % de 120 és 90; 90 – 75 = 15

⋅= → = =3

3

22 10 15 106,82

15 22q

q

Q3 = 30 cm + 6,82 cm = 36,82 cm

b) Determina el valor del segon decil.

20 % de 120 és 24; 24 – 15 = 9

⋅= → = =60 10 9 10

1,59 60

dd

D2 = 20 cm + 1,5 cm = 21,5 cm

c) Quina és la longitud tal que el 15 % de les barres en tenen una d’inferior?

Hem de calcular el 15è centil, és a dir, el valor de C15

:

15 % de 120 és 18; 18 – 15 = 3

⋅= → = =60 10 3 10

0,53 60

cc

C15

= 20 cm + 0,5 cm = 20,5 cm

El 15 % de les barres tenen una longitud inferior a 20,5 cm.

4. Les edats, en anys, de tres grups de cinc persones són:

Grup 1 22 18 20 21 19

Grup 2 31 29 30 32 28

Grup 3 25 15 20 30 10

Calcula la mitjana, la mediana, la desviació típica i el coeficient de variació de Pearson de cada grup. Què observes?

Grup 1: variable x

Mitjana: + + + + = =22 18 20 21 19 100

205 5

→ = 20x anys.

Mediana: 18, 19, 20, 21, 22 → MX = 20 anys.

Desviació típica:

2 2 2 2 22 22 01022 18 20 21 19

20 205 5

+ + + + − = − =

+ + + + − = − = − = =2 2 2 2 2

2 222 18 20 21 19 201020 20 402 400 2 1,41

5 5 → s = 1,41X anys.

Coeficient de variació de Pearson:

1,41 anys

0,070520 anys

XXv

x= = =s

Grup 2: variable y

Mitjana: 31 29 30 32 28 150

305 5

+ + + + = = → = 30y anys.

Mediana: 28, 29, 30, 31, 32 → MY = 30 anys.

Desviació típica:

2 2 2 2 22 24 51031 29 30 32 28

30 305 5

+ + + + − = − =

+ + + + − = − = − = =2 2 2 2 2

2 231 29 30 32 28 451030 30 902 900 2 1,41

5 5 → s = 1,41Y anys.


1,41 anys

0,047130 anys

YYv

y= = =s

Grup 3: variable z

Mitjana: + + + + = =25 15 20 30 10 100

205 5

→ = 20z anys.

Mediana: 10, 15, 20, 25, 30 → MZ = 20 anys.

MATeMÀTIQUeS 3

113

LA

Desviació típica:

2 2 2 2 22 22 25025 15 20 30 10

20 205 5

+ + + + − = − =

+ + + + − = − = − = =2 2 2 2 2

2 225 15 20 30 10 225020 20 450 400 50 7,07

5 5 → s = 7,07Z anys.


s= = =7,07 anys

0,353520 anys

ZZv

z

Els grups 1 i 3 tenen la mateixa mitjana i la mateixa media-na, però tenen diferent desviació típica. Els grups 1 i 2 tenen diferent la mitjana i la mediana, en canvi, tenen la mateixa desviació típica, això és degut que els valors de la variable y són iguals als de la variable x sumats en 10 unitats. De tots els grups, el que té la mitjana més repre-sentativa és el segon, ja que els valors de la variable d’aquest grup tenen el coeficient de variació de Pearson més petit.

5. La taula següent relaciona el nombre de gols marcats en partits de futbol:

Nombre de gols 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de partits 12 16 22 20 21 4 4 2

Mitjana:

16 22 2 20 3 21 4 4 5 4 6 2 7 2622,6

12 16 22 20 21 4 4 2 101

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =+ + + + + + +

= 2,6x gols.

a) Determina el valor de la desviació mitjana, de la va-riància i de la desviació típica.

Desviació mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =12 2,6 16 1,6 22 0,6 20 0,4 21 1,4 4 2,4 4 3,4 2 4,4 139,41,38

101 101

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =12 2,6 16 1,6 22 0,6 20 0,4 21 1,4 4 2,4 4 3,4 2 4,4 139,41,38

101 101 → = 1,38d gols.

Variància:

2 2 2 2 2 2216 22 2 20 3 21 4 4 5 4 6 2 7

2,6101

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − = − =2 2 2 2 2 2

2 216 22 2 20 3 21 4 4 5 4 6 2 7 9622,6 2,6 9,52 7,76 2,76

101 101→ 2 2,76s = gols2.

Desviació típica: =2,76 1,66 → s = 1,66 gols.

b) Quin és el coeficient de variació de Pearson?

s= = =1,66 gols0,64

2,6 golsv

x

6. La taula mostra les qualificacions de la primera avalua-ció en l’àrea de matemàtiques de dos grups diferents, prenent com a mostra 10 alumnes de cada grup:

Grup A 0 1 1 3 5 5 6 8 8 9

Grup B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8

Grup A: variable x. Grup B: variable y.

a) Quin grup va obtenir la millor nota mitjana?

Mitjanes:

+ + ⋅ + + ⋅ += = =2 3 2 5 6 2 8 9 464,6

10 10x ;

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =2 2 3 4 2 5 2 6 8 46

4,610 10

y

Van obtenir la mateixa nota mitjana.

b) Quin és més homogeni en els resultats?

Desviacions típiques:

s

+ + ⋅ + + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 3 2 5 6 2 8 9 3064,6 4,6 30,6 21,16 9,44 3,07

10 10X

s

+ + ⋅ + + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 3 2 5 6 2 8 9 3064,6 4,6 30,6 21,16 9,44 3,07

10 10X

s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 2 3 4 2 5 2 6 8 2424,6 4,6 24,2 21,16 3,04 1,74

10 10Y

s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 2 3 4 2 5 2 6 8 2424,6 4,6 24,2 21,16 3,04 1,74

10 10Y

Com que s Y < s X vol dir que és més homogeni el grup B. Si comparem els coeficients de variació de Pearson, com que tenen la mateixa mitjana, obtin-drem que Yv < Xv , cosa que també confirma la millor homogeneïtat del grup B.

7. Un fabricant vol comprar una màquina que li produeixi una mitjana de 100 peces en una hora. Amb la màqui-na que li ofereix la casa A fa deu proves i obté: 106, 98, 100, 99, 103, 96, 102, 100, 103 i 93. Amb la màquina que li ofereix la casa B també fa deu proves i obté: 103, 102, 98, 97, 96, 98, 99, 101, 104 i 102. Quina de les dues mà-quines li interessa més comprar? Justifica la resposta.

Màquina de la casa A: variable x. Màquina de la casa B: variable y.

Tenen la mateixa mitjana, ja que:

+ + + + + + + + + = =106 98 100 99 103 96 102 100 103 93 1000100

10 10

1 000100

10= =

+ + + + + + + + + = =103 102 98 97 96 98 99 101 104 102 1000100

10 10

1 000100

10= =

= = 100 peces/hx y .

114

MATeMÀTIQUeS 3LA

Calculem la desviació típica:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

106 98 100 99 103 96 102 100 103 93100

10

100 128100 10 012,8 10 000 12,8 3,58

10

+ + + + + + + + + − =

= − = − = =

s = 3,58X peces/h.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

103 102 98 97 96 98 99 101 104 102100

10

100 068100 10 006,8 10 000 6,8 2,61

10

+ + + + + + + + + − =

= − = − = =

s = 2,61Y peces/h.

Li interessa més comprar la màquina que li ofereix la casa B, perquè tenint la mateixa mitjana té menys desviació típica i, per tant, tindrà una producció més regular.

8. Recorda que la variància d’una variable es pot calcular de dues maneres diferents. Calcula la variància i la des-viació típica de la variable de la taula 4 de manera dife-rent a com s’ha fet en l’activitat resolta 5.

En l’activitat resolta 5 s’ha calculat a partir de les desviacions quadràtiques, que és la manera més laboriosa de fer-ho; per tant, aquí ho farem de la manera més ràpida i senzilla. Per la qual cosa necessitem la taula següent:

Puntuacions x f x2 f · x2

[10, 20) 15 9 225 2 025

[20, 30) 25 24 625 15 000

[30, 40) 35 45 1 225 55 125

[40, 50) 45 95 2 025 192 375

[50, 60) 55 27 3 025 346 200

200

Anotem el valor de la mitjana: = 40,35x punts.

Calculem la variància:

2346 200

40,35 1 731 1 628,1225 102,8775200

− = − =

s =2 102,8775 punts2.

Tal com s’observa, dóna el mateix que en l’activitat resolta 5.

A continuació calculem la desviació típica:

=102,8775 10,14 → s = 10,14 punts.

9. Calcula la mitjana i la desviació típica de la variable:

x 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f 1 4 6 8 5 4 3 2 2

MATeMÀTIQUeS 3

115

LA

x f f · x x2 f · x2

4 1 4 16 16

5 4 20 25 100

6 6 36 36 216

7 8 56 49 392

8 5 40 64 320

9 4 36 81 324

10 3 30 100 300

11 2 22 121 242

12 2 24 144 288

35 268 2 198

Mitjana: = =2687,66

35x .

Desviació típica:

22 1987,66 62,8 58,68 4,12 2,03

35X = − = − = =s

Després calcula la nova mitjana i la nova desviació típi-ca i compara-les amb les obtingudes anteriorment, en els casos següents:

a) Resta el valor 2 a cadascun dels valors de la variable.

y f f · y y2 f · y2

2 1 2 4 4

3 4 12 9 36

4 6 24 16 96

5 8 40 25 200

6 5 30 36 180

7 4 28 49 196

8 3 24 64 192

9 2 18 81 162

10 2 20 100 200

35 198 1266

Mitjana: = =1985,66

35y .

Desviació típica:

s = − = − = =212665,66 36,17 32,04 4,13 2,03

35Y

Tenim que = − 2y x i s s=X Y ; és a dir, la mitjana també queda restada en 2 unitats menys, mentre la desviació típica queda igual.

116

MATeMÀTIQUeS 3LA

b) Multiplica per 3 els diferents valors.

z f f · z z2 f · z2

12 1 12 144 144

15 4 60 225 900

18 6 108 324 1 944

21 8 168 441 3 528

24 5 120 576 2 880

27 4 108 729 2 916

30 3 90 900 2 700

33 2 66 1 089 2 178

36 2 72 1 296 2 592

35 804 19 782

Mitjana: = =80422,98

35z .

Desviació típica:

219 78222,98 565,2 528,08 37,12 6,09

35Z = − = − = =s

S’observa que = 3z x i s s= 3Z X ; és a dir, tant la mit-jana com la desviació típica també queden multipli-cades per 3.

c) Resta 2 a cada valor de la variable i multiplica’l per 3.

t f f · t t2 f · t2

6 1 6 36 36

9 4 36 81 324

12 6 72 144 864

15 8 120 225 1 800

18 5 90 324 1 620

21 4 84 441 1 764

24 3 72 576 1 728

27 2 54 729 1 458

30 2 60 900 1 800

35 594 11 394

Mitjana: = =59416,98

35t .

Desviació típica:

211 39416,98 325,54 288,32 37,22 6,1

35T = − = − = =s

Tenim que = = −3 3( 2)t y x i s s s= = 3T Z X ; és a dir, la mitjana també queda restada en 2 unitats i multipli-cada per 3, mentre la desviació típica només queda multiplicada per 3.

10. Calcula totes les mesures de dispersió de les variables donades en les taules següents:

a)

x 2 3 4 5 6 7 8

f 10 13 16 20 15 11 5

b)

Alçada (cm) f

[140, 145) 6

[145, 150) 9

[150, 155) 12

[155, 160) 10

[160, 165) 8

[165, 170) 5

a) mitjana:

10 2 13 3 16 4 20 5 15 6 11 7 5 8

10 13 16 20 15 11 5x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =+ + + + + +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =+ + + + + +

10 2 13 3 16 4 20 5 15 6 11 7 5 8 4304,8

10 13 16 20 15 11 5 90x

Recorregut: RX = 8 – 2 = 6 .

25 % de 90 és 22,5: → → =123 3 3è Q .

75 % de 90 és 67,5: → → =368 6 6è Q .

Rang interquartílic: = − = − =3 1 6 3 3Xr Q Q .

Desviació mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =10 2,8 13 1,8 16 0,8 20 0,2 15 1,2 11 2,2 5 3,2 126,41,4

90 90Xd

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =10 2,8 13 1,8 16 0,8 20 0,2 15 1,2 11 2,2 5 3,2 126,41,4

90 90Xd

Variància:

2 2 2 2 2 2 22 2

2

10 2 13 3 16 4 20 5 15 6 11 7 5 84,8

902 312

4,8 25,69 23,04 2,6590

X

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − =

s

Desviació típica: s = =2,65 1,63X .

b) Mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =+ + + + +

6 142,5 9 147,5 12 152,5 10 157,5 8 162,5 5 167,5 7725154,5

6 9 12 10 8 5 50

7 725154,5

50= =

= 154,5y cm

Recorregut: RY = 170 cm – 140 cm = 30 cm.

25 % de 50 és 12,5; 12 – 6 = 6

⋅= → = =1

1

9 5 6 53,3

6 9q

q.

Q1 = 145 cm + 3,3 cm = 148,3 cm.

75 % de 50 és 37,5; 38è → 160.

Q3 = 160 cm.

Rang interquartílic:

= − = − =3 1 160 cm 148,3 cm 11,7 cmYr Q Q

MATeMÀTIQUeS 3

117

LA

Desviació mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =6 12 9 7 12 2 10 3 8 8 5 13 3186,36

50 50

= 6,36Yd cm

Variància:

2 2 2 2 2 22

2

6 142,5 9 147,5 12 152,5 10 157,5 8 162,5 5 167,5154,5

501 196 312,5

154,5 23 926,25 23 870,25 5650

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

= − = − =

s =2 56Y cm2

Desviació típica: =56 7,48 → s = 7,48Y cm.

11. L’any 1798, el científic anglès Henry Cavendish va me-surar la densitat de la Terra mitjançant una balança de torsió. Va fer 29 observacions i va obtenir els resultats següents (en g/cm3):

5,50; 5,61; 4,88; 5,07; 5,26; 5,55; 5,36; 5,29; 5,58; 5,65; 5,57; 5,53; 5,63; 5,29; 5,44; 5,34; 5,79; 5,10; 5,27; 5,39; 5,42; 5,47; 5,63; 5,34; 5,46; 5,30; 5,75; 5,68; 5,85.

Calcula la mitjana i la desviació típica de les 29 mesu-res obtingudes.

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + ++ +

+ ++ = =

5,5 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,63

295,29 5,44 5,34 5,79 5,1 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,3

295,75 5,68 5,85 158

5,4529 29

Mitjana: = 5,45x g/cm3.

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + ++ +

+ + + ++ − = −

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2

5,5 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53

295,63 5,29 5,44 5,34 5,79 5,1 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34

295,46 5,3 5,75 5,68 5,85 862,192

5,45 5,4529 29

= − =29,73 29,7 0,03

=0,03 0,17

Desviació típica: s = 0,17 g/cm3.

12. Els joves als 17 anys tenen un pes mitjà de 60,8 kg, amb una desviació típica de 6,69 kg. Els nens de 10 anys tenen un pes mitjà de 30,5 kg, amb una desviació típica de 5,37 kg.

Podem afirmar que el pes és més variable als 10 anys que als 17? Per què?

Variable x: pesos dels joves als 17 anys.

ss

= → = = ==

60,8 kg 6,69 kg0,11

6,69 kg 60,8 kgX

XX

xv

x

Variable y: pesos dels nens als 10 anys.

ss

= → = = ==

30,5kg 5,37 kg0,176

5,37 kg 30,5kgY

YY

yv

y

Els pesos dels nens als 10 anys, tot i tenir menys desvia-ció típica tenen el coeficient de variació més gran. Per tant, efectivament el pes és més variable als 10 anys que als 17.

13. Calcula el coeficient de variació de Pearson de cadas-cuna de les variables de l’activitat 10.

En quina de les dues distribucions és més representa-tiva la mitjana? Justifica la resposta.

a) s= = =1,63

0,344,8

XXv

x

b) s= = =7,48 cm

0,05154,5 cm

YYv

y

La mitjana és més representativa en la segona variable, ja que el coeficient de variació de Pearson és més petit, és a dir, hi ha menys variació.

14. Les alçàries, en centímetres, dels components de tres grups P, Q i R de set persones cadascun es distribuei-xen segons els gràfics següents:

cm

1

2

4

182,5 187,5 197,5192,5

f

cm

1

2

3

182,5 187,5 192,5

f

172,5 177,5

cm

1

2

182,5 187,5 192,5

f

172,5 177,5 197,5

Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de Pearson de les alçàries de cada grup.

Grup P: variable x

1 3252 185 4 190 195

189,282 4 1 7

⋅ + ⋅ + = =+ +


2 22 2 2 1 325 250 875 1 3252 185 4 190 195

7 7 7 7

35 839,286 35 829,082 10,204 3,19

⋅ + ⋅ + − = − = = − = =

Desviació típica: s = 3,19X cm.


s= = =3,19 cm

0,017189,28 cm

XXv

x

118

MATeMÀTIQUeS 3LA

Grup Q: variable y

1 275175 3 180 2 185 190

182,141 3 2 1 7

+ ⋅ + ⋅ + = =+ + +

Mitjana: = 182,14y cm.

2 22 2 2 2 1275 232 375 1275175 3 180 2 185 190

7 7 7 7

33 196,429 33 176,02 20,409 4,52

+ ⋅ + ⋅ + − = − = = − = =

Desviació típica: s = 4,52Y cm.

Coefi cient de variació de Pearson:

s= = =4,52 cm

0,025182,14 cm

YYv

y

Grup R: variable z

+ ⋅ + + ⋅ + = =

+ + + +175 2 180 185 2 190 195 1295

1851 2 1 2 1 7

Mitjana: = 185z cm.

2 2 2 2 22 2239 875175 2 180 185 2 190 195

185 1857 7

34 267,857 34 225 42,857 6,55

+ ⋅ + + ⋅ + − = − =

= − = =

Desviació típica: s = 6,55Z cm.

Coefi cient de variació de Pearson:

s= = =6,55 cm

0,035185 cm

ZZv

z

15. Els temps d’estada en una empresa, expressats en anys, de quinze treballadors són: 10, 15, 16, 20, 22, 24, 30, 29, 24, 5, 12, 21, 2, 6 i 13.

a) Distribueix aquestes dades en sis intervals de la mateixa amplitud, si el primer interval és (0, 5]. Elabora la taula de freqüències absolutes.

Temps en anys x f

(0, 5] 2,5 2

(5, 10] 7,5 2

(10, 15] 12,5 3

(15, 20] 17,5 2

(20, 25] 22,5 4

(25, 30] 27,5 2

15

b) Calcula la mitjana, la desviació mitjana i la desviació típica.

Temps en anys x f f · x

(0, 5] 2,5 2 5

(5, 10] 7,5 2 15

(10, 15] 12,5 3 37,5

(15, 20] 17,5 2 35

(20, 25] 22,5 4 90

(25, 30] 27,5 2 55

15 237,5

Mitjana: =237,515,83

15 → = 15,83x anys.

Temps

en anys x f d f · d x2 f · x2

(0, 5] 2,5 2 13,33 26,66 6,25 12,5

(5, 10] 7,5 2 8,33 16,66 56,25 112,5

(10, 15] 12,5 3 3,33 9,99 156,25 468,75

(15, 20] 17,5 2 1,67 3,34 306,25 612,5

(20, 25] 22,5 4 6,67 26,68 506,25 2025

(25, 30] 27,5 2 11,67 23,34 756,25 1 512,5

15 106,67 4 743,75

Desviació mitjana: =106,677,11

15 → = 7,11d anys.

24 743,75 237,5

316,25 250,69 65,5615 15

− = − =

Desviació típica: =65,56 8,097 → s = 8,097 anys.

Activitats fi nals

Reforç

1. Calcula el tercer decil i el centil 82 de:

a) La variable discreta de la taula 3.

30 % de 70 és 21; el 21è i el 22è són iguals a 37.

D3 = 37

82 % de 70 és 57,4; 58è → 39

C82

= 39

b) La variable contínua de la taula 4.

30 % de 200 és 60; 60 – 33 = 27

⋅= → = =45 10 27 10

627 45

dd

D3 = 30 punts + 6 punts = 36 punts.

82 % de 200 és 164; 164 – 78 = 86

⋅= → = =95 10 86 10

9,0586 95

cc

C82

= 40 punts + 9,05 punts = 49,05 punts.

2. Els valors d’una variable discreta són: 7, –2, a, 3 i 4. Sabent que la mitjana corresponent és 4, determina:

a) El valor de a.

− + + + += → = → + = → =7 2 3 4 124 4 12 20 8

5 5

a aa a

b) La desviació mitjana.

− + + + − + −= = =(7 4) (4 2) (8 4) (4 3) 142,8

5 5d

MATeMÀTIQUeS 3

119

LA

c) La variància.

s

+ − + + += − = − = − =2 2 2 2 2

2 2 27 ( 2) 8 3 4 1424 4 28,4 16 12,4

5 5

d) La desviació típica.

s = =12,4 3,52

3. Els jugadors de bàsquet de l’equip A tenen una mitja-na de 18 punts, amb una desviació típica de 4 punts, mentre que en l’equip B la mitjana és de 21 punts, amb una desviació típica de 9 punts.

Quin dels dos equips és més regular? Justifica la resposta.

Equip A: variable x

ss

= → = = ==

18 punts 4 punts0,2

4 punts 18 puntsX

XX

xv

x

Equip B: variable y

ss

= → = = ==

21punts 9 punts0,43

9 punts 21puntsY

YY

yv

y

Com que Xv < Yv , indica que és més regular l’equip A.

4. Les alçades, en centímetres, dels 300 alumnes d’una escola s’expressen en la taula següent:

Alçada (cm) f

[153, 155) 15

[155, 157) 40

[157, 159) 35

[159, 161) 25

[161, 163) 35

[163, 165) 70

[165, 167) 55

[167, 169) 25

a) Calcula les tres mesures de centralització.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =15 154 40 156 35 158 25 160 35 162 70 164 55 166 25 168 48560

161,86300 300

48 560161,86

300= =

Mitjana: =

161,86x cm.

Classe modal: l’interval [163, 165).

300 : 2 = 150; 150è → 163

Mediana: M = 163 cm.

b) Determina els tres quartils, el sisè decil i el centil 35.

25 % de 300 és 75; 75 – 55 = 20

⋅= → = =1

1

35 2 20 21,14

20 35q

q

Q1 = 157 cm + 1,14 cm = 158,14 cm

Q2 = M = 163 cm

75 % de 300 és 225; 225 – 220 = 5

⋅= → = =3

3

55 2 5 20,18

5 55q

q

Q3 = 165 cm + 0,18 cm = 165,18 cm

60 % de 300 és 180; 180 – 150 = 30

⋅= → = =70 2 30 2

0,8630 70

dd

D6 = 163 cm + 0,86 cm = 163,86 cm

35 % de 300 és 105; 105 – 90 = 15

⋅= → = =25 2 15 2

1,215 25

cc

C35

= 159 cm + 1,2 cm = 160,2 cm

c) Calcula totes les mesures de dispersió.

Recorregut: R = 169 cm – 153 cm = 16 cm.


1= 165,18 cm – 158,14 cm=

= 7,04 cm.

15 7,87 40 5,87 35 3,87 25 1,87 35 0,13 70 2,13 55 4,13 25 6,13

3001 069,1

3,56300

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

Desviació mitjana: = 3,56d cm.

22 2 2 2 2 2 2 2

2

48 56015 154 40 156 35 158 25 160 35 162 70 164 55 166 25 168

300 300

7 865 360 48 56026 217,87 26 200,82 17,05

300 300

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

= − = − =

Variància: s =2 17,05 cm2.

Desviació típica: =17,05 4,13 → s = 4,13 cm.

d) Quin és el valor del coeficient de variació de Pear-son de la distribució?

s= = =4,130,0255

161,87

cmv

x cm

5. Sabem que les dades corresponents a les dues gràfiques següents són: Ax = 5,4; As = 3,3 per a un dels gràfics i

Bx = 5,6; Bs = 2,5 per a l’altre.

x

f

0

120

MATeMÀTIQUeS 3LA

x

f

0

a) Dedueix raonadament quin gràfic correspon a cada parell de valors de x i de s .

S’observa que en el segon gràfic les desviacions res-pecte a la mitjana són més petites que en el primer, per tant, la distribució que té menys desviació típica és la del segon gràfic, que es correspon amb = 5,6Bx i s = 2,5B .

b) Quina de les dues variables té el coeficient de varia-ció de Pearson més petit?

s= = =3,3

0,6 15,4

AA

A

vx

s= = =2,50,45

5,6B

BB

vx

Com era previsible, té menys variació la distribució corresponent al segon gràfic.

6. Els resultats de llançar 50 vegades dos daus cúbics i sumar els punts obtinguts s’expressen en la taula.

Punts f

2 2

3 3

4 4

5 5

6 7

7 8

8 6

9 6

10 4

11 3

12 2

a) Calcula la mitjana i la mediana.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

2 2 3 3 4 4 5 5 7 6 8 7 6 8 6 9 4 10 3 11 2 12

50351

7,0250

Mitjana: = 7,02x punts.

→ →→

25 7

26 7

è

è mediana: M = 7 punts.

b) Calcula la desviació mitjana i la desviació típica.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

2 5,02 3 4,02 4 3,02 5 2,02 7 1,02 8 0,02 6 0,98 6 1,98 4 2,98 3 3,98 2 4,98

50103,16

2,0650

Desviació mitjana: = 2,06d punts.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

2 2 3 3 4 4 5 5 7 6 8 7 6 8 6 9 4 10 3 11 2 127,02

502 789

7,02 55,78 49,28 6,5 6,5 2,5550

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

= − = − = → =

Desviació típica: s = 2,55 punts.

7. Si multipliquem per 9 una sèrie de valors, obtenim una nova sèrie, que és: 18, 27, 36, 54 i 72. Calcula la mitjana i la desviació típica de cada una de les dues sèries i compara els resultats.

La sèrie nova: 18, 27, 36, 54 i 72

+ + + += = =18 27 36 54 72 20741,4

5 5x

2 2 2 2 22 210 44918 27 36 54 72

41,4 41,45 5

2 089,8 1 713,96 375,84 19,39

X

+ + + += − = − =

= − = =

s

18 : 9 = 2; 27 : 9 = 3; 36 : 9 = 4; 54 : 9 = 6 i 72 : 9 = 8

La sèrie inicial és: 2, 3, 4, 6 i 8.

+ + + += = =2 3 4 6 8 234,6

5 5y

+ + + += − = − =

= − = =

2 2 2 2 22 22 3 4 6 8 129

4,6 4,65 5

25,8 21,16 4,64 2,15

Ys

S’observa que tant la mitjana com la desviació típica també queden multiplicades per 9, ja que: = ⋅9x y i s s= ⋅9X Y .

8. La ciutat A, amb una població de 500 000 habitants, té un ingrés anual mitjà per habitant de 12 500 €, i la ciu-tat B, amb 750 000 habitants, té un ingrés anual mitjà per habitant d’11 900 €.

a) Quin és l’ingrés anual total de cada ciutat?

Ciutat A: 500 000 h 12 500 €/h 6 250 000 000 €⋅ = .

Ciutat B: 750 000 h 11900 €/h 8 925 000 000 €⋅ = .

b) Si considerem junts els habitants de les dues ciu-tats, quin serà l’ingrés anual mitjà?

6 250 000 000 8 925 000 000 15175 000 00012 140

500 000 750 000 1250 000

+ = =+

12 140 €/hx =

9. Per comparar el consum de benzina, s’han controlat dos cotxes dotze vegades consecutives en el moment d’omplir el dipòsit amb el qual s’han recorregut els quilòmetres següents:

Cotxe A: 250, 320, 270, 350, 360, 280, 330, 290, 320, 360, 280 i 360.

MATeMÀTIQUeS 3

121

LA

Cotxe B: 280, 300, 350, 320, 270, 320, 290, 300, 350, 290, 340 i 370.

Quina de les dues distribucions presenta més dispersió?

Justifica la resposta.

Cotxe A: variable x

250 320 270 350 360 280 330 290 320 360 280 360

123 770

314,1612

+ + + + + + + + + + + =

= =

Mitjana: =

314,16x km.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

250 320 270 350 360 280 330 290 320 360 280 360314,16

121 201 300

314,16 100 108,33 98 700,69 1 407,64 1 407,64 37,5212

+ + + + + + + + + + + − =

= − = − = → =

Desviació típica: s = 37,52X km.


s= = =

37,52 km0,12

314,16 kmX

Xvx

Cotxe B: variable y

280 300 350 320 270 320 290 300 350 290 340 370

123 780

31512

+ + + + + + + + + + + =

= =

Mitjana: = 315y km

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

280 300 350 320 270 320 290 300 350 290 340 370315

121 201 800

315 100 150 99 225 925 925 30,4112

+ + + + + + + + + + + − =

= − = − = → =

Desviació típica: s = 30,41Y km.


s= = =30,41km

0,096315km

YYv

y

Presenta més dispersió la distribució del cotxe A, ja que Xv > Yv .

10. Donada la sèrie de valors 2, 4, 2, 5, 3, 2, 4, 6, 8, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 6, 5, 3, 8 i 7, calcula la variància de dues maneres diferents.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= = =5 2 3 3 4 4 3 5 2 6 7 2 8 854,25

20 20x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= − =

= − = − =

2 2 2 2 2 2 22 2

2

5 2 3 3 4 4 3 5 2 6 7 2 84,25

20435

4,25 21,75 18,06 3,6920

s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= =

= =

2 2 2 2 2 2 22 5 2,25 3 1,25 4 0,25 3 0,75 2 1,75 2,75 2 3,75

2073,75

3,6920

s

11. Amb les respostes donades per 50 persones sobre el nombre d’hores diàries que dediquen a veure la televi-sió i a dormir, s’ha elaborat la taula següent:

Hores veient la televisió

Hores dormintNombre de

persones

4 6 3

3 7 16

3 8 20

2 9 10

1 10 1

Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de Pearson de cadascuna de les dues variables.

Hores veient la televisió: variable x

Mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + = =3 4 36 3 10 2 1 1412,82

50 50 → = 2,82x h

⋅ + ⋅ + ⋅ + − = − =

= − = → =

2 2 22 23 4 36 3 10 2 1 413

2,82 2,8250 50

8,26 7,95 0,31 0,31 0,56

Desviació típica: s = 0,56X h.

Coeficient de variació de Pearson: 0,56 h

0,22,82 h

xx

vv

x= = = .

Hores dormint: variable y

Mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = =3 6 16 7 20 8 10 9 10 3907,8

50 50 → = 7,8y h

2 2 2 2 22 23 0823 6 16 7 20 8 10 9 10

7,8 7,850 50

61,64 60,84 0,8

0,8 0,89

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − = − =

= − =

=

Desviació típica: s = 0,89Y h.


0,117,8 h

yy

vv

y= = = .

12. Les edats dels deu components de la plantilla d’un equip de futbol sala són: 18, 20, 21, 22, 19, 24, 20, 25, 20 i 21. Calcula la mitjana i la desviació típica de les edats.

Mitjana:

+ + + + + + + + + = =18 20 21 22 19 24 20 25 20 21 210

2110 10

= 21x anys

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

18 20 21 22 19 24 20 25 20 2121

104 452

21 445,2 441 4,2 4,2 2,0510

+ + + + + + + + + − =

= − = − = → =

Desviació típica: s = 2,05 anys.

122

MATeMÀTIQUeS 3LA

Ampliació

1. Donada la distribució de la taula següent:

x 1 2 3 4 5

f 10 20 40 20 10

Calcula el valor de l’expressió:

E = Q3 – M0 + Q1 – M

on M0 la moda i M la mediana.

M0 = 3

100 : 2 = 50

→ → =→

50è 33

51è 3M

25 % de 100 és 25; 25è → 2 i 26è →2

Q1 = 2

75 % de 100 és 75; 75è → 4 i 76è → 4

Q3 = 4

E = Q3 – M

0 + Q

1 – M = 4 – 3 + 2 – 3 = 0

2. L’histograma següent representa les notes correspo-nents a una prova de matemàtiques de 100 alumnes:

2 Notes

64

90

100

0

24

4 6 8 10

4

F

a) Determina les notes entre les quals hi ha el 50 % dels alumnes situats en el centre de la distribució.

Cal trobar el 1r i 3er quartils:

25 % de 100 és 25; 25 – 24 = 1

= → = =11

2 240 0,05

40q

q

Q1 = 4 + 0,05 = 4,05

75 % de 100 és 75; 75 – 64 = 11

⋅= → = =3

3

26 2 11 20,85

11 26q

q

Q3 = 6 + 0,85 = 6,85

Entre les notes 4,05 i 6,85 hi ha el 50 % de l’alumnat situat al centre de la distribució.

b) Quina nota deixa per sota el 60 % dels alumnes? I quina deixa per sobre el 70 %?

60 % de 100 és 60; 60 – 24 = 36

⋅= → = =40 2 36 2

1,836 40

dd

D6 = 4 + 1,8 = 5,8

El 60 % de l’alumnat té una nota inferior a 5,8.

30 % de 100 és 30; 30 – 24 = 6

⋅= → = =40 2 6 2

0,26 40

cc

0,3

D3 = 4 + 0,3 = 4,3

El 30 % de l’alumnat té una nota inferior a 4,3; per tant, el 70 % de l’alumnat supera aquesta nota.

3. Considera els valors de la variable y = 2x + 3, on x són els valors de la variable de la taula:

x 6 7 8 9 10

f 3 16 20 10 1

a) Calcula la mitjana i la desviació típica de les varia-bles x i y.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =+ + + +

3 6 16 7 20 8 10 9 10 3907,8

3 16 20 10 1 50x

2 2 2 2 22

2

3 6 16 7 20 8 10 9 107,8

50

3 0827,8 61,64 60,84 0,8 0,89

50

X

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − =

= − = − = =

s

Els diferents valors de la variable y = 2x + 3 són:

2 · 6 + 3 = 15

2 · 7 + 3 = 17

2 · 8 + 3 = 19

2 · 9 + 3 = 21

2 · 10 + 3 = 23

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =3 15 16 17 20 19 10 21 23 93018,6

50 50y

2 2 2 2 22

2

3 15 16 17 20 19 10 21 2318,6

50

17 45818,6 349,16 345,96 3,2 1,78

50

Y

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − =

= − = − = =

s

b) Compara els resultats. Què observes?

MATeMÀTIQUeS 3

123

LA

S’observa que 2 · 7,8 + 3 = 15,6 + 3 = 18,6

= +2 3y x

2 · 0, 89 = 1,78 → s s= 2Y X

4. A partir de la taula de freqüències absolutes acumula-des següents:

Edat [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)

F 4 11 24 34 40

a) Calcula la mitjana i la desviació típica.

A partir dels valors de F s’obtenen els diferents valors de f:

4; 11 – 4 = 7; 24 – 11 = 13; 34 – 24 = 10 i 40 – 34 = 6

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =4 7 3 13 5 10 7 6 9 2145,35

40 40

Mitjana: = 5,35x anys.

2 2 2 22 21 3684 7 3 13 5 10 7 6 9

5,35 5,3540 40

34,2 28,6225 5,5775 2,36

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − =

= − = =


b) Entre quins valors es troben les 10 edats centrals?

Com que a la mostra hi ha 40 individus, les 10 edats centrals es troben entre les edats dels individus 15è i 25è:

15 – 11 = 4 → ⋅= → = =13 2 4 2

0,624 13

cc

15è: 4 anys + 0,62 anys = 4,62 anys.

25 – 24 = 1 → = → = =2 210 0,2

10d

d

25è: 6 anys + 0,2 anys = 6,2 anys.

Les 10 edats centrals es troben entre 4,62 i 6,2 anys.

5. La suma de les dades d’una variable és 25, i la dels seus quadrats és 250. Si la mitjana i la desviació típica són iguals, calcula la variància.

Per les dades del problema, tenim que

2 2 22

2 2

25

250 25 250 25 25 250 25

1 250625 250 625625 250 625 250 1 250 5

250

xn

xn n n n n n n

x

n n nn n n

= = − → = − → = − =

= − → = − → = → = =

s

s

s s= = = = → = =2 225 255 5 25

5x

n

6. Sabem que el recorregut de la distribució d’una varia-ble és 60, i que la distribució està dividida en sis inter-vals de la mateixa amplitud. Les freqüències de cadas-cun dels intervals són, per ordre, 7, 11, 15, 10, 5 i 2. Sabent que la mitjana és 35,2, determina:

a) La mediana.

La diferència entre dues marques de classe consecuti-

ves és 10, ja que: =6010

6.

Si a és la primera marca de classe, tenim que:

+ + + + + + + + + + =+ + + + +

7 11( 10) 15( 20) 10( 30) 5( 40) 2( 50)35,2

7 11 15 10 5 2

a a a a a a

D’on obtenim:

+ + + + + + + + + + =7 11 110 15 300 10 300 5 200 2 10035,2

50

a a a a a a

50 1 010 75035,2 50 1 010 1 760 50 750 15

50 50

aa a a

+ = → + = → = → = =

Considerem la taula:

Intervals x f F[10, 20) 15 7 7

[20, 30) 25 11 18

[30, 40) 35 15 33

[40, 50) 45 10 43

[50, 60) 55 5 48

[60, 70) 65 2 50

50

50 : 2 = 25; 25 – 18 = 7 → ⋅= → = =

15 10 7 104,6

7 15c

c

Mediana: = + =

30 4,6 34,6M .

b) La variància.

2 2 2 2 2 22 2

2

7 15 11 25 15 35 10 45 5 55 2 6535,2

5070 650

35,2 1 413 1 239,04 173,9650

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − =

s

c) La desviació típica.

s = =173,96 13,2

7. A la prova atlètica de 100 m llisos, els alumnes de ter-cer d’ESO d’una escola han aconseguit una mitjana de 12,5 s, amb una desviació típica de 2 s. A la prova de 1 500 m, la mitjana ha estat de 5 min 25 s, amb una desviació típica d’1 min. En Marc, un dels alumnes, ha invertit 15 s, en els 100 m, i 5 min 40 s, en els 1 500 m. Quin dels dos temps et sembla més meritori? Justifica la resposta.

Prova de 100 m → = 12,5sx s; s = 2sX s

Prova de 1500 m → = =5 min 25 s 325 sy ; s = =1 min 60sY s

124

MATeMÀTIQUeS 3LA

Marc:

100 m → 15 s – 12,5 s = 2,5 s > s X

1 500 m → 5 min 40 s = 340 s; 340 s – 325 s = 15 s < s Y

És més meritori el temps de 1 500 m, ja que la diferència respecte a la mitjana és inferior a la desviació típica, men-tre que en la prova de 100 m la diferència és superior a la desviació típica.

8. S’ha aplicat un test de comprensió lectora a dos grups de 40 alumnes de primària de dues escoles diferents. Els resultats obtinguts són els següents:

Puntuació fA fB

[15, 20) 2 2

[20, 25) 7 6

[25, 30) 14 9

[30, 35) 8 9

[35, 40) 5 7

[40, 45) 3 5

[45, 50) 1 2

Quines conclusions pots treure de la comparació d’aquests resultats?

Grup A: variable x

2 17,5 7 22,5 14 27,5 8 32,5 5 37,5 3 42,5 47,5

401 200

3040

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

= =

Mitjana: = 30x punts.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − =

= − = − = =

2 2 2 2 2 2 22

2

2 17,5 7 22,5 14 27,5 8 32,5 5 37,5 3 42,5 47,530

40

3790030 947,5 900 47,5 6,89

40

Desviació típica: s = 6,89X punts.


s= = =6,89 punts

0,2330 punts

XXv

x

Grup B: variable y

2 17,5 6 22,5 9 27,5 9 32,5 7 37,5 5 42,5 2 47,5

401 280

3240

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

Mitjana: = 32y punts.

2 2 2 2 2 2 22

2

2 17,5 6 22,5 9 27,5 9 32,5 7 37,5 5 42,5 2 47,532

40

43 35032 1 083,75 1 024 59,57 7,73

40

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

= − = − = =

Desviació típica: s = 7,73Y punts.


s= = =7,73 punts

0,2432 punts

YYv

y

Tot i que el grup B té una mitjana millor, el grup A és més homogeni perquè el coeficient de variació de Pearson és menor.

9. En estudiar la distribució d’edats d’una mostra de n persones s’han obtingut els resultats següents:

Edat en anys (0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80]

Freqüència absoluta 15 f 15 16

Tal com es pot observar, en la taula no hi consta el va-lor de la freqüència absoluta corresponent a l’interval (20, 40]. Calcula el valor de f, sabent que la mitjana de les edats de les n persones és 35x = anys. Determina el valor de la desviació típica i el coeficient de variació de Pearson.

Per les dades de la taula tenim:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =+ + +

15 10 30 15 50 16 7035

15 15 16

f

f

150 30 750 1 120 2 020 3035 35 2 020 30

46 461 610 35

4105 410 82

5

f ff

f ff

f f

+ + + += → = → + =+ +

= +

= → = =

2 2 2 22 2191 20015 10 82 30 15 50 16 70

35 3546 82 128

1 493,75 1 225 268,75 16,39

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − =+

= − = =



s= = =16,39 anys

0,4735 anys

vx

10. A partir dels valors de la variable x s’obtenen els de la variable y mitjançant l’expressió y = 4x – 5. Quina rela-ció hi ha entre les dues mitjanes? I entre les dues des-viacions típiques? Justifica les respostes.

Considerem la variable z = 4x, per a la segona propietat de la mitjana, tenim que = 4z x . Si a continuació consi-derem la variable y = z – 5, per a la primera propietat de la mitjana tindrem que = − 5y z , i per tant:

= → = −= −

44 5

5

z xy x

y z

Repetint el procés per la desviació típica, i aplicant-hi les dues propietats, tenim:

s ss s

s s=

→ ==

44Z X

Y XY Z

59,75

MATeMÀTIQUeS 3

125

LA

11. Es tira n vegades un dau cúbic i es calcula en cada tirada la suma dels punts de les cares visibles. S’han obtingut les freqüencies absolutes següents en ordre decreixent respecte a la suma indicada:

Suma de les cares visibles


a) Determina el valor de n.

n = 5 + 3 + 6 + 3 + 7 + 6 = 30

b) Completa la taula.

Cara invisible 1 → 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20

Cara invisible 2 → 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19

Cara invisible 3 → 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 18

Cara invisible 4 → 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17

Cara invisible 5 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Cara invisible 6 → 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Suma de les cares visibles 20 19 18 17 16 15


c) Calcula’n la mitjana i la desviació típica.

Mitjana:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =5 20 3 19 6 18 3 17 7 16 6 15 518

17,2630 30

x

Desviació típica:

2 2 2 2 2 22

2

5 20 3 19 6 18 3 17 7 16 6 1517,26

30

9 03617,26 301,2 298,138 3,062 1,75

30

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − = =

s

12. L’histograma següent mostra de manera gràfica com es calcula exactament la moda d’una variable contínua.

kg

12

16

f

3,25 3,50 3,752,75 3 4

8

4

2

Mo

a) Calcula la moda de la variable de l’histograma.

r: recta que passa pels punts (3,25; 16) i (3,5; 8):

+ == + → + =

3,25 16

3,5 8

a by ax b

a b

a = –32 i b = 120 → r: y = –32x + 120

s: recta que passa pels punts (3,25; 12) i (3,5; 16):

+ == + → + =

3,25 12

3,5 16

c dy cx d

c d

c = 16 i d = –40 → s: y = 16x – 40

El valor de x del punt on es tallen les rectes r i s, és la moda:

32 12032 120 16 40

16 40

16048 160 3,3

48

y xx x

y x

x x

= − + → − + = −= −

= → = =

Moda: =

0 3,3M kg.

b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =+ + + +

= =

4 2,875 12 3,125 16 3,375 8 3,625 2 3,875

4 12 16 8 2139,75

3,3342

Mitjana: = 3,33x kg.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

= − = − = =

2 2 2 2 22

2

4 2,875 12 3,125 16 3,375 8 3,625 2 3,8753,33

42

467,656253,33 11,1347 11,0889 0,0458 0,214

42

Desviació típica: s = 0,214 kg.

d’avaluació


1. El 30 % dels valors d’una variable són més grans o iguals que el valor de D7.

Cert

2. Si la relació entre els valors de dues variables x i y és y = 3x + 2, aleshores la relació entre les desviacions típiques és: 3 2Y Xs s= + .

Fals

3. La desviació típica dels 10 primers nombres naturals

és =s332Y .

Cert

126

MATeMÀTIQUeS 3LA

4. El valor del coeficient de variació de Pearson no pot ser negatiu.

Fals

5. La desviació quadràtica es calcula mitjançant l’expres-sió: 2 2( )d x x= − .

Cert

6. La desviació típica mesura el grau de dispersió dels valors de la variable estadística respecte a la mediana.

Fals

7. Si 0x = aleshores v = 0.

Fals

8. La variància és el quadrat de la desviació típica.

Cert

9. Si x i y són els valors de dues variables tals que x y= i 3X Ys s= , aleshores 3 X Yv v= .

Fals

10. La desviació mitjana dels deu primers nombres natu-rals és = 2,5d .

Cert

11. El segon quartil dels cent primers nombres naturals és Q2 = 50.

Fals

12. La meitat dels valors d’una variable són més petits que Q1 o més grans que Q3.

Cert

13. La desviació típica dels quinze primers nombres pa-rells és s 8,64.

Cert

14. La desviació dels valors de la variable és d x x= − .

Fals

15. El 65 % dels valors d’una variable són més petits que el valor de C65.

Cert

16. La variància dels cinc primers nombres naturals és 2 2s = .

Cert

17. Si la relació entre els valors de dues variables x i y és y = 3x + 2, aleshores la relació entre les mitjanes és:

3 2x y= + .

Fals

18. En una distribució estadística, es poden calcular cent decils.

Fals

19. El recorregut dels valors d’una variable pot ser negatiu.

Fals

20. Si x i y són els valors de dues variables tals que 2x y= i X Ys s= , aleshores = 2Y Xv v .

Cert

Solucionari senzill del Llibre de l’alumne

Solucionari del Llibre de l’alumne

128

MATEMÀTIQUES 3LA


Coneixements previs

• 3 ( 5) 12 35 : ( 7) 15 12 5 2⋅ − + − − = − + + =

• ⋅ ⋅

+ − ⋅ = + − = + − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + − = =

4 3 11 14 4 3 11 2 7 4 3 1

7 2 28 33 7 2 2 2 7 3 11 7 2 624 63 7 80 40

42 42 42 42 21

• 3

0,754

= ; 11

5,52

= ; 7

0,710

=

• 35 73,5

10 2= = ;

2 10,02

100 50= = ;

125 51,25

100 4= = ;

6 30,6

10 5= =

• − = −5( 3) 243 ; 35 125= ; 410 10000= 10 000 ; − =6( 2) 64 ; 27 49=

• 1 3 3 1 6 3 1 3 1 8 42 : 2 : 2 : 2 2

2 4 8 2 8 8 2 8 2 3 36 4 10

3 3 3

+ − = + − = + = + ⋅ = + =

= + =

Activitats

Proposades

1. a) 117 3

78 2= b)

240 2

360 3− = − c)

36 1

72 2

−=

− d) 143 13

187 17= −

− e) 529 23

253 11=

2. a) x = –78 b) x = 10 c) x = 14 d) x = 24

3. a) =7

0,25927


b) − = −25

1,041624


c) =23

4,65

decimal exacte.

d) =45

5,6258

decimal exacte.

e) − = −58

6,49


f) =39

2,1618


g) − = −2

0,2857147− = −

20,285714

7decimal periòdic pur.

h) =17

1,710

decimal exacte.

4. a) 542 271

5,42100 50

= =

b) 235 47

0,2351000 200

− = − = −

c) 10

3,33

=

d)

9291,032

900− = −

e)

712,15

33=

f) 2

0,0445

=

5. a) =

2,9x

=

10 29,9x

= → = =

279 27 3

9x x

=

2,9 3

b) =

0,49x

=

10 4,9x

=

100 49,9x

= → = = =

45 190 45 0,5

90 2x x

=

0,49 0,5

c) =

0,9x

=

10 9,9x

= → =9 9 1x x

=

0,9 1

d) =

1,239x

=

100 123,9x

=

1 000 1 239,9x

= → = = =

1 116 31900 1 116 1,24

900 25x x

=

1,239 1,24

Qualsevol nombre enter es pot expressar com un nom-bre decimal periòdic pur de període 9, i qualsevol nombre decimal exacte es pot expressar com un nom-bre decimal periòdic mixt, també de període 9.

6. Sí, perquè si simplifi quem la fracció a c

b c

⋅⋅

, per c ≠ 0, s’obté

la fracció a

b.

7. Hem de comprovar que es verifi ca la igualtat:

+ − + = + − +

5 7 3 5 7 3

6 3 4 6 3 4

Efectivament:

+ − + = − + = − + = − + =

= − + = − + = −

5 7 3 5 7 3 5 14 3 9 3

6 3 4 6 3 4 6 6 4 6 43 3 6 3 3

2 4 4 4 4

+ − + = + − + = + − = − =

= − = −

5 7 3 5 28 9 5 19 10 19

6 3 4 6 12 12 6 12 12 129 3

12 4

8. a) 5 4 5 4 25 12 13

3 5 3 5 15 25 25 + − = − = − =

b) 3 1 3 1 18 9 2 11

3 32 3 2 3 6 6 6 6

− − − + = − + − = − + − = −

c) 5 3 2 5 3 2 10 9 8 7

6 4 3 6 4 3 12 12 12 12 − − − − = − + + = − + + =

d)

+ − = + − = + − =

= = =

27 11 5 486 660 502,7 3,6 0,27

10 3 18 180 180 1801 096 274

6,08180 45

MATeMÀTIQUeS 3

129

LA

9. a) q = + = → = − = − = −2 1 1 2 3 4 1

3 2 2 3 6 6 6q q b) q = − = − → = − + = − + =3 1 1 3 5 6 1

5 2 2 5 10 10 10q q c) q = − + = → = + = + =3 3 3 3 21 6 27

7 2 2 7 14 14 14q q d) q = − − = − → = − − = − − = −

1 1 1 1 2 3 5

2 3 3 2 6 6 6q q

10. a) − 5

3 b)

4

7 c) −12 d) − 9

4 e)

11

9

11. a) ⋅ ⋅ − = − = − ⋅

3 14 3 14 2

7 15 7 15 5 b) ⋅ − ⋅ − = = ⋅

11 39 11 39 3

13 44 13 44 4 c)

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = − ⋅ ⋅ 6 4 15 6 4 15

15 9 8 5 9 8

d) ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = = ⋅ ⋅ ⋅

20 21 2 1 20 21 2 1

27 10 7 4 27 10 7 4 9

12. a) Fent les operacions indicades:

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − = − ⋅ 2 1 5 2 3 5 1 5 5 5

9 3 2 9 9 2 9 2 9 2 18


− ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − = − 2 1 5 2 5 1 5 5 5 10 15 5

9 3 2 9 2 3 2 9 6 18 18 18

b) Fent les operacions indicades:

− ⋅ − + = − ⋅ − + = − ⋅ = − 3 1 3 3 2 3 3 1 3

5 4 8 5 8 8 5 8 40


− ⋅ − + = − ⋅ − + − ⋅ = − =

= − = −

3 1 3 3 1 3 3 3 9

5 4 8 5 4 5 8 20 406 9 3

40 40 40

13. a) ⋅− = − ⋅ = − = −⋅

5 20 5 9 5 9 3:

3 9 3 20 3 20 4 b) 0,08 c)

− − = − − = − = − ⋅ = ⋅= − = −⋅

2 1 6 4 3 6 7 6 7 7: : :

3 2 7 6 6 7 6 7 6 67 7 49

6 6 36

14. a) − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ = 1 8 1 1 4 1 73 1 73

7 : 2 72 5 4 2 5 4 10 4 40

b)

+ − + −+ − = = =− −

= = =

1 3 1 2 1 2: 30,5 0,75 : 0,25 0,6 2 4 4 3 2 3

1 31 0,25 14 4

17 3 34: 3,7

6 4 9 c)

− + = + − − = + = −

24 18 23 18 6452 2 : 2

2 5 5 23 2355

d) –2

e) − = − = − −

11 3 7 64 :1 4 8 718

f) + = + = + = + =+ + +

++

1 1 1 5 161 1 1 1

1 3 5 6 11 111 1 : 12 2 4 511

14

g) 68

15. Cal expressar prèviament els nombres decimals en fracció.

= 3

0,65

; = 2

0,63

; = = + 4 1

1,3 13 3

; = = +7 21,4 1

5 5

= +7 1

16 6

; = +9 12

4 4

1 2 30–1–2

45

−

45

76

−76

94

1,3

0,6

1 20

0,6

59

1,4

16. − < − < − < < < < < 7 4 5 9

1,3 0,6 0,6 1,46 5 9 4

17. <3 7

4 9, ja que =3

0,754

i =7

0,79

. En canvi − > −3 7

4 9.

18. a) > > > >2 3 40,67 0,66

3 5 7

b) − > − > − > − > −1 1 20,3 0,34

4 3 5

19. ⋅ =

3 2 52 2 2

3 3 3. Efectivament:

⋅ = ⋅ = =

3 2

5

2 2 8 4 32

3 3 27 9 2432 32

3 243

=

3 22 2 2

:3 3 3

. Efectivament:

= =

3 22 2 8 4 2

: :3 3 27 9 3

=

23 62 2

3 3. Efectivament:

= = =

23 2

6

2 8 64

3 27 729

2 64

3 729

⋅ = ⋅

3 3 32 1 2 1

3 2 3 2. Efectivament:

⋅ = = ⋅ = ⋅ =

3 3

3 3

2 1 1 1

3 2 3 272 1 8 1 1

3 2 27 8 27

=

3 3 32 1 2 1

: :3 2 3 2

. Efectivament:

= = = =

3 3

3 3

2 1 4 64:

3 2 3 272 1 8 1 64

: :3 2 27 8 27

20. a) − − = − = −

22 1 1

33 9

b) − = −

33 27

2 8 c)

− = =

331

4 644

d) − − − = − − = 1 1 1

( 9)9 9

e) −

= =

2 26 11 121

11 6 36 f) − =

42 16

5 625

21. a) − −

⋅ = =

2 4 2 23 3 3 5

5 5 5 3 b)

− − ⋅ = =

3 2 11 1 1

66 6 6

c)

−− =

23 63 3

4 4 d) ⋅ =

3 4 2 52 2 2 2

:3 3 3 3

22. a)

− − + − − = − + − − = + − − = = + + =

2 3 2 31 2 3 1 2 1 8

2 2 23 5 2 15 3 225 27

1 5531 82

225 27 675 b)

−− − + − ⋅ = − + − ⋅ = − +

+ − ⋅ = − + ⋅ = − + = =

4 2 3 44 2 3

2 3

1 2 4 10,5 ( 0,4) 0,8

2 5 5 25 4 1 25 64 1 16 251

3,13752 5 16 4 125 16 5 80

c)

⋅ − ⋅ = = = −− −

2

2

2 1 2 11 29 23 4 3 16 :

2 1 24 48 292 13 163 4

d)

−

− − ⋅ − + − ⋅ − = = =

− − − −− − +

= = = =+

2 2

2

33

2 1 32 1

0,6 2 ( 0,5) 3 2 24 11,3 ( 0,5) 4 13 83 2

91 13 35 784 : 2,2285714

4 1 4 24 353 8

−

− − ⋅ − + − ⋅ − = = =

− − − −− − +

= = = =+

2 2

2

33

2 1 32 1

0,6 2 ( 0,5) 3 2 24 11,3 ( 0,5) 4 13 83 2

91 13 35 784 : 2,2285714

4 1 4 24 353 8 e) − + = − = −

3 33 3 3 27

4 8 8 512 f)

− − ⋅ − = − = − =

2 2 23 10 2 3 9

5 9 3 2 4 g) − − + ⋅ − = − − + ⋅ = + + =

23 1 2 1 4 2 92

2 ( 2) 2 ( 8) 2 82 3 2 9 9 9

h) − −

− − + = − + = = =

1 11 25 47 16 45

( 2,7 3,13) 2,81259 15 45 16

i) − − = − = − =

2 2 21 5 7 9 7 18 324

: :2 8 16 8 16 7 49

23. Efectivament: − + ≠ − +

3 3 32 3 2 3

5 10 5 10, ja que:

− + = − + = − = −

3 3 32 3 4 3 1 1

5 10 10 10 10 1 000

− + = − + = − + = −

3 32 3 8 27 64 27 37

5 10 125 1 000 1 000 1 000 1 000

24. 1,2 kL = 1 200 L

1 100 L + 1 100

10 L = 1 100 L + 110 L = 1 210 L

Com que 1 210 > 1 200, l’aigua no hi cabrà.

130

25. π = π⋅ = π⋅ = π⋅ =

22 2 215 225 225

cm cm cm2 4 4

S r és la mesura exacta.

= π⋅ = ⋅ ≅ ⋅ =2 2 2 23,14 (7,5 cm) 3,14 56,25 cm 176,625 cmS r és la mesura aproximada.

La mesura exacta no és un nombre racional, ja que no es pot expressar en forma de fracció, perquè el nombre π és un nombre decimal que no és ni exacte ni periòdic.

26. 42 L

27. 2 min 36 s

En Josep va trigar 2 min 36 s més que en Lluís, que, ex-pressat en minuts, són 2,6 min.

28. a) = →31,5 1,5L : 8 gots = 0,1875 L/got = 18,75 cL/got

2 b) 6 ampolles d’aigua de

3

2 L.

c) 90 gots de 0,1 L.

29. 31 senyals

30. 200 L

Activitats fi nals

Reforç

1. 3

4 a l’esquerra,

3

8 a la dreta,

3

16 a l’esquerra,

3

32 a la

dreta i 3

64 a l’esquerra.

2. a) − 3

2;

4

7;

1,2 ; 2,3

b) 4

5; –13,21;

1

2; –1,6

c) 0,13 ; − 7

6;

1

3; −

13,27

d) 3; –5; 0; –2

3. a) −= = = −− −

3 6 9 12

7 14 21 28 b)

− = − = = −−

10 5 15 20

4 2 6 8

c) −= = =−

2 4 6 8

9 18 27 36 d)

−− = − = =−

13 26 39 52

6 12 18 24

4. − = −31

2,58312


=7

1,754

decimal exacte.

=37

3,710

decimal exacte.

− = −

70,7


− = −12

2,45

decimal exacte.

=

231,27

18 decimal periòdic mixt.

=

134,3


5. = =32 163,2

10 5;

==

= → =

− = −

1,710 17,7

169 16

916

1,79

xx

x x

; 11

4;

==

− − − − − − − − −

= → =

=

3,25100 325,25

32299 322

99322

3,2599

xx

x x

; 1

25− ; = 643

2,143300

; = 11 1221,1234

9 900

6. a) 6

7 b) − 8

5 c) −13

11 d)

8

3 e)

5

6

7. Sí, ja que: − + = − + − 1 2 1 2

2 3 2 3

Efectivament: − + = − + = − 1 2 3 4 7

2 3 6 6 6

− + − = − + − = − 1 2 3 4 7

2 3 6 6 6

8. Ha de ser un nombre que multiplicat per si mateix resulti igual a 1; pot ser 1 o bé –1:

⋅ =− ⋅ − =

1 1 1( 1) ( 1) 1

9. Els nombres positius, expressats en fraccions són:

= 1

0,52

; = = + 7 1

2,3 23 3

; 1,75 = = +7 31

4 4; = = + 11 2

1,2 19 9

1 2 30–1–2–3

2,3−

1,75−

0,5 1,75 2,3

1,2

1 20

10. A →7A 1,45

→ − = − ; B →3B 0,754

→ − = − ; C →2 1C 0,3

6 3→ = =

; D →5D 0,836

→ =

; E →4E 1,33

→ =

11. a) < < < <

0,0234 0,234 0,234 0,234 0,234

b) − < − < − < < < <5 2 1 6 40,8 1

4 3 2 5 3

12. a) 1 1 3 1 1 2 1 1 4 2

12 4 5 2 4 5 2 10 10 5

− + ⋅ − = − + ⋅ = − + = − = − b)

1 1 4 1 1 2 1 1: 2 : 0

2 3 3 2 3 3 2 2 − − − + = − − − = − =

c)

2 1 2 14328 3 283 5 3 5 :

6 1 6 1 15 5 915 2 5 2

− ⋅ − − ⋅ = = − − = ⋅ − ⋅ −

d) 7 1 14 2

7 : 1 : 73 3 3 3

− − = − − = e)

+ − ⋅ − + = + − ⋅ − + = + + + + = =

2 1 2 2 1 1 2 1 2 10,5 0,3

3 4 5 3 2 4 5 3 3 21 1 48 8

10 3 30 5

f)

⋅ − − = ⋅ − − = ⋅ = = = =

2 3 2 16 12 (2 0,2) : (0,75 0,6) 2 2 : 2 :

9 4 3 9 1232 1 128

: 42,69 12 3

g) 2 3 2 3

2 1 3 1 9 1 1

3 3 2 3 4 27 12

− − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ − = −

h)

2 1 2 333 4 3 1 3

( 2)2 3 2 2 49 1 3 9 1 3 13

4 8 4 4 8 4 8

−− − − + − = − − + − =

= − − + − = + − = i)

−− − − + = − − + = − − + =

= − + = − = −

2 2 22 2 21 1 1 1 1

( 0,3) 0,5 0,25 23 2 4 3 4

1 1 1314 3,638

9 4 36

13. a) 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 3 10 100

5 4 10 3 92 3 2 3 5 4 25 16 100

5 4 5 4 2 3 4 9 9

− −

− − −

⋅ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

b) − − = = − − = − − = − − =

3 3

3 3 3

3 6 5 125:

7 5 14 2 744

3 6 3 6 27 216 125: : :

7 5 7 5 343 125 2 744

c) 2 2

2

2 2 2 2

5 4 10 10 10: : ( 3) 9

2 3 9 3 95 4 10 5 4 10 25 16 100 100 100

: : : : 92 3 9 2 3 9 4 9 81 9 81

− ⋅ = − = − = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = =

MATeMÀTIQUeS 3LA

MATeMÀTIQUeS 3

131

LA

14. a) − = = − = − =

3 3

3 3

3 1 1 1

4 2 4 643 1 27 1 19

4 2 64 8 64

b) ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

2 2

2 2

4 1 2 4

3 2 3 94 1 16 1 4

3 2 9 4 9

15. − − − = − = − =

612 3 6 1 1

(( 2) ) ( 2)2 64

16. a) 3 2

24 4

a a aa

a a

− −

− −

⋅ = = b)

43 5

3 5 4 64

2 2 4 24

1

1

a aa a a aa

aa a a

aa

−− − −

−− − −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = =⋅ ⋅

c)

2 22 5 3 6

:a a a a

b b b b

− − = = d)

2 23 1 4 2 4 4 4 8

: : :a a a a a a a a

b b b b b b b b

− −− − − ⋅ = = =

17. = = = = = =2 2 2 2 2 2144 36(12 dm) 144 dm 1,44 m m m

100 25S c

18. = ⋅ =⋅ = =

= ⋅ =− = =

21

2 2 2

22

2 2 2 2

20 cm 26 cm 520 cm520 cm 145 75 400 cm 754 dm

30 dm 25 dm 750 dm754 dm 750 dm 4 dm 0,04 m

S

S

Sí, i sobrarien 0,04 m2.

19. − + + = − = 1 1 2 29 7

1 14 3 9 36 36

per a carrers i places.

175 000 m2 per al camp de golf.

233 ,

333 3 m2 per urbanitzar.

155 ,

555 5 m2 per a la zona comercial.

136 ,

111 1 m2 per a carrers i places.

20. 11 244 s

21. 500 ampolles de 50 cL

22. 1,15 cm

23. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 9365 dies 24 h 60 min 60 s315 anys 9,93384 10 s

1any 1dia 1h 1min

24.

− ⋅ = − =⋅ =

⋅ =

⋅ =

⋅ =

+ =

2

22

2

22

10 m 2 1,8 m 10 m 3,6 m 6,4 m3,6 m 400 m 1440 m

5,42 €1440 m 7804,8 €

1m6,4 m 400 m 2 560 m

3,36 €2 560 m 8 601,6 €

1m7 804,8 € 8 601,6 € 16 406,4 €

25. ⋅ =1€6,23 $ 4,85€

1,285 $

⋅ =1,285 $

12,65 € 16,26 $1€

Ampliació

1. − = → = → = = ±

−24

36 36 69

xx x

x

2. a) =210,65625

32 decimal exacte.

b) =31

1,7218


c) − = −121,714285

7− = −12

1,7142857


d) ,=1234 92

25 decimal exacte.

e) − = −1 147

1,274900


3. a)

===

− − − − − − − − −

= → =

= → − = −

10,0 110 100, 1100 1001, 1

90190 901

90901 901

10,0 1 10,0 190 90

xx

x

x x

b)

==

=

= → = =

=

6,12371 000 6 123,710 000 61 237,7

55 114 27 5579 000 55 114

9 000 4 50027 557

6,12374 500

xx

x

x x

c)

==

− − − − − − −

= → =

=

0,02100 2,02

299 2

992

0,0299

xx

x x

d)

==

= → =

= → − = −

13,13100 1 313,13

1 30099 1 300

991 300 1 300

13,13 13,1399 99

xx

x x

e) = =23 752 2 96923,752

1 000 125

4. =141,076923

13=14

1,07692313

és un nombre decimal periòdic pur.

5. 143

25 decimal exacte; el denominador només té el 5

com a factor primer, ja que = 225 5 .

− 7

9 decimal periòdic; = 29 3 , no té ni el 2 ni el 5 com

a factors primers.

11

6 decimal periòdic; = ⋅6 2 3, a part del 2, també té el

3 com a factor primer.

− 59

20 decimal exacte; = ⋅220 2 5= ⋅2 , els únics factors pri-

mers són el 2 i el 5.

7

16 decimal exacte; = 416 2 , l’únic factor primer del

denominador és el 2.

− 11

30 decimal periòdic; =30 2 · 3 · 5 , a més del 2 i del 5,

també té el 3 com a factor primer.

Comprovació:

,=143

5 7225

; ,− = −7

0 79

; ,=11

1 836

; ,− = −592 95

20;

,=70 4375

16; ,− = −

110 36

30

6. − − − = −

7 7

3 3. L’oposat és − 7

3; l’invers de l’oposat, − 3

7

7. 22 11

2,210 5

− = − = −

Per representar-lo expressem: = +11 12

5 5

1 2 30–1–2–3 115

115

−

Efectivament, el nombre racional −11

5 està entre –2 i –3.

8. Com que ,− = −30 75

4 i ,− = −4

0 85

, prenem, per exem-

ple, ,− = −190 76

25. Tenim que: − < − < −4 19 3

5 25 4

9. a) = b) > c) = d) >

10. − − − − − − − −− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 2 2 2 2(1 2 ) (1 3 ) (1 4 ) (1 5 ) (1 6 ) (1 7 ) (1 8 ) (1 9 )

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

4 9 16 25 36 49 64 81

3 8 15 24 35 48 63 80 3 8

4 9 16 25 36 49 64 81

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

15 24 35 48 63 80 5

4 9 16 25 36 49 64 81 9

132

MATeMÀTIQUeS 3LA

11. a) −− −

= = = = =⋅ ⋅

4 2 11 1:1,3 : 0,6 2 3 21 53 3 22 2 : 0,714285

9 7 9 21 2 10 71,165 6 5 10

−− −= = = = =

⋅ ⋅

4 2 11 1:1,3 : 0,6 2 3 21 53 3 22 2 : 0,714285

9 7 9 21 2 10 71,165 6 5 10

b)

1 2 9: 9 16 9 2015 9 106 6 : 6 6

83 10 5 32 3221 255

+ = + = + = + = ⋅+ ⋅

c)

14 38:1,27 : 3,45 12 7 3 5 14 5 15111 111: 2,4 1: :31,5 5 19 2 12 57 12 2282

+ = + = + = + = d)

− − ⋅ − − ⋅ + = − − − − + = − − − + = = − ⋅ + = − + =

2 1 1 4 1 2 2 2 8: 3 2 3 3

5 2 4 3 2 5 3 5 32 8 16 29

3 35 3 15 15

e)

2 5 1 1 2 5 5 2: : 2 12 9 807 3 6 7 :2 1 3 2 12 1 2 1 7 20 215 3 20 5 205 3 5 4

− + − − = = = − = − + ⋅ ++ ⋅ −

f) − −

− − ⋅ − + − = + − = − = − =

2 22 22 3 4 1 5

1 ( 2) : 1 ( 1) ( 1) 13 4 5 2 2

g)

−−

− − + ⋅ − − − + ⋅ + = = = − −⋅ − + − − ⋅ + − −

= − = −

23

2 1 33

1 2 1 4 22 ( 2) 2 ( 8) 102 3 2 9 9

8 110 2 1 10 4 1 22 ( 2) 15 83 5 2 3 25 23 68092 191

:9 120 573

h)

2 3 2 3 2 33 5 1 5 11 4 11 3

4 3 2 6 12 3 12 4121 27 121 27 727

144 64 144 64 576

− − − − − − = − − − = − − − =

= − − = + = i)

3

23 12

1 21 2

1 10,5 2 1 1 1 12 2

: 2 : 4 : 160,25 4 2 4 4 41 1

4 4

−

−− −

−− −

⋅ ⋅ = = = = = ⋅ ⋅

12. a) −

− = − = −

3 3 32 3 3

3 2 2 b)

− − = − =

2 2 23 4 4

4 3 3 c)

4 44 1 1

22 2

− − = − = ( ) d)

− − = − = −

55 51

( 5) 55

13. a) − − = → − = + = + = → = − 3 3 2 3 19 19

0,6 0,65 5 3 5 15 15

a a a

b b b b) − = − → = − − =

6 4 6 4 15: :

7 5 7 5 14

a a

b b c) ⋅ = − → = − = − = −

8 3 320,75 0,8 0,8 : 0,75 :

9 4 27

a a

b b d) − − − = → − = + − = − = → = −

3 6 6 3 6 3 9 9

7 11 11 7 11 7 77 77

a a a

b b b

14. −− =

12 3 6( )p p . Per a −

= = → = =

44 6 4 6 241

10 (10 ) 1010

p p

15. a) 3 5 3 5 2 2

5 5 5 5 5 9

9 9 9 9 9 5

− − − − ⋅ = − ⋅ = − = −

b) 3 2 3 2 5

2 7 7 7 7: :

7 2 2 2 2

− − − = =

c)

− − − − − = − = =

2 22 2 441 1 1

33 3 3

d)

3 4 2 3 4 2 3 4 2

9

3 4 3 4 4 3 4 4 4: : :

4 3 4 3 3 4 3 3 34

3

− − ⋅ − = ⋅ = ⋅ =

=

16. 14 2

43 3

= +

8 3 8 3 21 1 2

5 5 5 5 5= + → − = − − = − +

17.

3,910 39,9

369 36 4

93,9 4 3,9 4

xx

x x

==

− − − − − − −

= → = =

= → − = −

==

=− − − − − − − − − −

= → = = =

=

2,359100 235,91 000 2 359,9

2 124 59900 2 124 2,36

900 252,359 2,36

xx

x

x x

18. 5,125% de salinitat.

19. 14 672 s.

20. 23 h 50 min 12 s.

Marcarà les 23 h 50 min 12 s.

21. ⋅ ⋅ ⋅ =6 1min 1h 1dia10 s 11,5740 dies.

60 s 60 min 24 h Sí, perquè és un nombre decimal periòdic mixt.

22. −

−⋅⋅ = ⋅23

9 149,27 10 g10 electrons 9,27 10 g

1 electró.

23. 41,5 10 km = 15 000 km= ⋅

40 vegades.

24. Llei del nou lingot d’or: 0,8516

.

d’avaluació

Digues si és cert o fals:

1. Fals

2. Fals

3. Fals

4. Fals

5. Cert

6. Cert

7. Cert

8. Cert

9. Cert

10. Fals

11. Fals

12. Fals

13. Cert

14. Cert

15. Fals

16. Cert

17. Fals

18. Cert

19. Fals

20. Cert

Unitat 2. equacions i sistemes de primer grau

Coneixements previs

• a) És una equació, atès que si desenvolupem el producte notable obtenim: (x – 3)2 = x2 + 9 → 2 26 9 9x x x− + = + i es pot veure a simple vista que els dos membres de la igualtat no són iguals, i si substituïm la x, per exemple per 1, per 2, per –3, no es verifi ca la igualtat.

b) També és una equació, pels mateixos motius que el cas anterior.

c) És una identitat, perquè si apliquem la propietat distribu-tiva obtenim: 2 · (x – 7) = 2x – 14 → 2x – 14 = 2x – 14.

d) També és una identitat, ja que si apliquem la propietat distributiva obtenim: x 2 + 4 x – 4 x – 16 = x 2 – 16 → → x

2 – 16 = x 2 – 16.

• a) 2a→ = −

b) 10a→ =

c) a = –48

• a) 3x – 9 = 2x.

b) x + (x + 1) = 5.

c) 3 · (x + y) = 21.

• x = 1, y = 11; x = 2, y = 10; x = –1, y = 13

• 78

L’avi Manel té 78 anys.

• 13

La meva germana té 13 anys i jo en tinc 15.

MATeMÀTIQUeS 3

133

LA

Activitats

Proposades

1. a) És una equació:

+ = −3 · ( 1) 2 · ( 2)x x → 3 3 2 4 7x x x+ = − → = −

b) És una equació:

− + − = −( 5) · 2 3 · (2 1) 2 13a a a2 10 6 3 2 13 6 0 0a a a a a→ − + − = − → = → =

c) És una equació, perquè 2 5

5 3

x xx + =

→ 15x + 6x = 25x → 21x – 25x = 0 → –4x = 0 → x = 0

d) És una identitat: − = + −2 25 ( 5) · ( 5)p p p→ p

2 – 25 = 2 2 25 5 25 25 25p p p p p→ + − − → − = −

2. a) x = 3− . b) x = −2.

3. a) x = 2 b) = − → = −0,5 0,0625x c) → = → =5 5 1x x

d) → − = − → = 27 2

7x x e) 2 2 3

2 2 5 5 4 2 2 2 32

x x x x x x x x− − + = − − + → = → = f) = − → − = − → = 120 20 26 2

13x x x

4. a) x = b

a

− b)

1

bx

a

−=−

c) x = ac

b d) x = −a

5. a) x = 0

b) 0x = –3 L’equació no té solució.

c) x = –17

d) x = 4

e) 2 24 4x x x x→ − = − → =

f) 2 22 0 2 0 0x x x x x→ − − = → − = → =

g) 0x = 30 L’equació no té solució.

6. Resposta lliure. Els valors triats cal que verifi quin la igualtat.

7. a) No són solució.

b) Són solució.

c) No són solució.

d) Són solució.

8. a) No són solució.

b) Són solució.

c) Són solució.

9. Les coordenades de qualsevol punt que formi part de la recta són solució de l’equació de primer grau. Per exem-ple, P (0, –1).

10. a) No passa per aquest punt.

b) No passa per aquest punt.

c) Passa per aquest punt.

d) Passa per aquest punt.

11. Resposta oberta. També són solució de l’equació 2x – 3y = 5, perquè les dues equacions són equivalents. La segona resulta de dividir entre 2 tots els termes de la primera equació.

12.

El mínim nombre de solucions que cal trobar per repre-sentar gràfi cament l’equació –6x + y = 7 és dos, perquè és una recta i una recta queda determinada per dos punts.

13.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

P1 (2,–3)

P2 (–4,2)

14. a) P (1, 4) x = 1, y = 4

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

P (1,4)x–2y=7

4x–y=0

b) Sistema compatible indeterminat. Nombre il·limitat de solucions.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

x–y=32x–2y=6

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

P1 (0,7)

P2 (1,–1)

134

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) P (4, 1) x = 4, y = 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

56

x+y=5

P (4,1)

3x–3y=9

d) O (0, 0) x = 0, y = 0

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

O (0,0)

2x+y=0

x–2y=0

e) P (3, 3) x = 3, y = 3

2 4

2

4

0

1

5

1–2–3 –1–1–2

3

3

y

x7

67

–3–4

5 6

3x–2y=3

P (3,3)

x+y=6

f) P (1, 1) x = 1, y = 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

y

x5

y–x=0

2x+y=3

P (1,1)

15. Es pot veure a simple vista que perquè aquest sistema sigui compatible indeterminat cal que p sigui –10, ja que d’aquesta manera la segona equació s’obté de multipli-car els termes de la primera per 2, i així les dues equa-cions són equivalents; tenen les mateixes solucions.

16. n = 4, m = 3

17. a) És compatible indeterminat.

b) És incompatible.

c) És compatible determinat.

d) És compatible indeterminat.

18. a) x = 4, y = 1− .

b) x = 20, y = 5.

c) x = 5

3, y =

2

3−

d) x = 4, y = –2

19. a) x = 1, y = 1.

b) x = 6, y = 1

3.

c) x = 2− , y = 1− .

d) Aquest sistema no té solució. És incompatible.

20. a)

x = 5, y = 4.

b) x = 4, y = –3.

c) Aquest sistema no té solució. És incompatible.

d) Aquest sistema és compatible indeterminat. Té infini-tes solucions.

21. a)

x = 0, y = −4.

b) Les dues equacions són iguals. És un sistema compa-tible indeterminat. Té infinites solucions.

c) x = 2, y = 3, z = 4.

d) x = 7, y = 3, z = 0.

22. x = 270 €

El preu de venda abans de les rebaixes era de 270 €.

23. y = 15 x = 25

Els dos nombres que buscàvem són 25 i 15.

24. x = 72

La garrafa tenia, al principi, 72 L de vi.

25. x = 9

El pare té 45 anys i el fill en té 9.

26. x = 40

70 – 40 = 30.


27. x = 7

El costat del quadrat mesura 7 cm.

28. x = 450

L’altra part serà 571 – 450 = 121.

Les dues parts són 450 i 121.

29. x = 1500

Per cada rellotge va pagar 1500 €.

MATeMÀTIQUeS 3

135

LA

30. x = 7


31. x = 1 500

Una factura puja 1500 € i l’altra 2750 – 1500 = 1250 €.

32. y = 60

La mare té 60 anys; el pare, 63 anys.

33. y = 2, x = 1,2

Un cafè costa 1,2 € i una ensaïmada en costa 2.

34. y = 12, z = 10, x = 15

En el parc hi ha 15 pins, 12 avets i 10 alzines.

35. y = 5, z = 6, x = 7

En els exàmens de matemàtiques en Marc ha obtingut un 7, un 5 i un 6.

Activitats fi nals

Reforç

1. a) x = 0 b) 1

2x = c) x = − 5

3 d) x = –1

2. a) x = 1 b)

2 1 2 2· 3 2 · 2 1

3 5 3 2 5 15 3

152 30 10 15 8 15

8

x x x x x

x x x x

− = − − → − = − → −→ − = − → = − → = c) x = 12 d) x = 8

e) −+ = − → + = − + → = − → =2 2 2 2 1

5 ( 2) 5 4 4 4 14

x x x x x x x f) x = 10 g)

2 2 2 2

2 2

10 4 ( 3) 10 4 ( 6 9)

1910 4 6 9 10 19

10

x x x x x x x

x x x x x x

− = − − → − = − − + →

→ − = − + − → = → = h) x = 7

3. a) No és solució.

És solució.

b) No és solució.

És solució.

4. Resposta oberta. Per exemple: a) x = 1, y = 1; b) x = 0,

y = 20; c) x = 1, y = – 3; d) x = –1, y = 13

2; e) x = 4, y = –2.

5. m = –3

6.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

6789

10

P (–2,1)

–3x+y=7

–4x+y=9y

La solució del sistema és x = –2, y = 1. Les dues rectes es tallen en el punt P (–2, 1).

7. a) Si observem els coefi cients de x i de y en les dues equacions, es pot veure que la segona equació resulta de multiplicar la primera equació per 2; per tant, és un sistema compatible indeterminat.

b) Si multipliquem per –2 els termes de la primera equa-ció, podem veure que aquest sistema no té solució. És incompatible.

c) Si observem els coefi cients de x i de y, per eliminació, podem deduir que es tracta d’un sistema compatible determinat.

d) En aquest cas, també es tracta d’un sistema compati-ble determinat.

8. Si m = 10, el sistema seria compatible indeterminat. El sis-tema serà incompatible si el valor de m és diferent de 10.

Per exemple, si agafem m = 1 i resolem el sistema:

2 5 5 2

4 2 · (5 2 ) 14 2 1 4 2 1

4 10 4 1 0 9

x y y xx x

x y x y

x x x

+ = = − → → + − = → + = + =

→ + − = → = −

Efectivament, el sistema no té solució.

9. a)

x = –2, y = 7.

b)

No té solució. Sistema incompatible.

c) x = 10, y = 12.

10. a) x = −5

2, y =

7

3.

b) El sistema no té solució. És incompatible.

c) x = 14− , y = 14− .

11. a) x = 1, y = 1.

b) x = 1

2, y = 3.

c) x = 1, y = 1.

12. a) x = 3, y = 1− .

b) x = 4− , y = 18− .

c) Aquest sistema és compatible indeterminat. Té infi ni-tes solucions.

13. a) x = 6, y = 8.

b) x = 1, y = 3.

c) x = 3, y = 2, z = 1.

d) x = 9− , y = 10, z = 1− .

14. x = 125

La bicicleta costava 125 €, abans de la rebaixa.

15. x = 29,5

La solució de l’equació no té cap sentit, perquè 29,5 no és un nombre enter. Aquest problema no té solució.

2

136

MATeMÀTIQUeS 3LA

16. L’altura del rectangle mesura 5 cm, i la base, 9 cm.

L’àrea del rectangle és A = 5 · 9 = 45 cm2.

17. La fracció és 7

9.

18. x = 3

Fa tres anys, l’edat del pare era el doble de la del fill.

19. x = 5

La Mercè té 5 monedes de 50 cèntims i 15 monedes de 20 cèntims.

20. x = 5, y = 4

És el nombre 54.

21. x = 425, y = 225

Les dimensions del terreny són 425 m de llargada i 225 m d’amplada.

22. x = 48

32

Ha d’agafar 48 kg de sucre de 2 €/kg i 32 kg de sucre de 2,50 €/kg.

23. x = 147

63

El preu de l’americana és de 147 €, i el dels pantalons, 63 €.

24. z = 4, y = 7, x = 3

El pes de la gallina és de 3 kg; el del gos, de 7 kg, i el del gat, de 4 kg.

25. x = 10, y = 17


26. x = 11

12

A la parada del mercat, hi ha 11 llebres i 12 galls dindi.

Ampliació

1. a) 3b

xa

= b) 2

1

a cx

q

+=−

c)

372 3 4

5 10 4 2020 4 40 2 60 5 80 37

160 404

a a a ax x x x

x a x a x a x a

ax a x

− − + = − + − →

→ − − + = − + − →

→ − = − → =

2. a) Aquesta equació no té solució.

b)

x = 26

c)

21

5 5 2 52 2

3 2 3 2 31

2 21

6 3 10 5 8 42

x xx

x x x

x x x x

+++= → = → = →

− −−

→ + = − → = → =

d) x = –60

e)

1 3 2(3 1) 5

3 5 1010 (3 1) 6 18 3 6 30 150

30 10 6 18 3 6 30 150

1529 152

9

x xx x

x x x x

x x x x

x x

+ −⋅ + − − = + →

→ ⋅ + − − − + = + →→ + − − − + = + →

−→ − = → =

f)

1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2

0 0 03 4 3 4 6 4

54 2 6 3 0 2 5

2

xx

x x x x

x x x x

++− − + −− = → − = → − = →

→ + − + = → − = − → =

g)

1 1 1 1 2 31 1 1 1 1 1

1 1 2 1 4 2 1 412 3 2 3

2 1 2 7 2 1 2 7 2 3 7

2 1 4 2 1 4 2 1 45

8 12 14 7 6 56

x xx

x x x

x x x

x x x x

+ = + → + = + → + = + →+ ++ +

+ + + + +→ = → = → = →+ + +

→ + = + → = → =

h) Aquesta equació no té solució.

3. m = 3

4.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

5

6789

10

–6–7–8–9–10 6x

7

–3

y11

P1(–10, 10)

x – y = 4

x + 2y = 10

P3(6, 2)

P2(2, –2)

x – y = 0

P1 (–10, 10), P

2 (2, –2), P

3 (6, 2)

5. b = –1, a = 7

El valor de a és 7 i el de b és 1− .

6. Es pot veure a simple vista que m ha de ser 2.

7. Es pot veure a simple vista que m ha de prendre qualse-vol valor diferent de 12, ja que tots els termes de la sego-na equació són el resultat de multiplicar la primera equació per 3. Si m fos 12, llavors el sistema seria compa-tible indeterminat.

8. a) x =7, y = 6. b) x = 7, y = 0.

c) x = 1

2, y =

1

3. d) x = 2, y = 3.

9. a) x = 6, y = 6, z = 6. b)

x = 51, y = 76, z = 1.

10. x = 50

Un nombre és 50, i l’altre, 50 – 4 = 46.

11. La fracció és 1

5.

12. x = 40

En el dipòsit hi havia 40 L de benzina. En la primera etapa va consumir 20 L de carburant, i en la segona, 10 L.

x = 480 km

Va recórrer 480 km.

13. x = 7,5

El preu de venda del segon comerciant és de 7,5 €, i el preu de venda del primer comerciant és de 8 €.

MATeMÀTIQUeS 3

137

LA

14. y = 29, x = 54

La mare té 54 anys, i el seu fi ll, 29.

15. y = 4, x = 5

L’edat del pare de la Gemma és de 54 anys.

16. y = 4, x = 7

La base del rectangle mesura 7 cm, i l’altura, 4 cm.

17. x = 50, z = 120, y = 80

La primera persona té 50 €; la segona, 80 €, i la tercera, 120 €.

18. e = 420, t = 6

L’agafarà quan el lladre hagi recorregut 420 km, i això serà al cap de 6 hores d’haver començat a perseguir-lo.

19. z = 9, y = 5, x = 8

Els radis de les tres circumferències mesuren, respectiva-ment, 8 cm, 5 cm i 9 cm.

d’avaluació

Indica quina resposta és la correcta.

1. a)

2. b)

3. b)

4. b)

5. b)

6. c)

7. d)

8. c)

9. b)

10. a)

Indica si les afi rmacions següents són certes o falses:

1. Fals

2. Fals

3. Fals

4. Cert

5. Cert

6. Fals

7. Fals

8. Fals

9. Cert

10. Fals


Coneixements previs

• a) 2( ) 64x y− =

b) c A=

c) x · (x + 3) = 28

• 3 · (–2)2 + 10 = 3 · 4 + 10 = 12 + 10 = 22

• a) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4

b) (2y + 1)2 = 4y2 + 4y + 1

c) (a + 3) · (a – 3) = a2 – 9

• a) 9a2 + 12a + 4 = (3a + 2)2

b) 4x2 – y2 = (2x + y) · (2x – y)

c) 49 – 14x + x2 = (7 – x)2

• a) x2 – 2x = x · (x – 2)

b) 25a – 5b = 5 · (5a – b)

c) 3a – 6b + 9 = 3 · (a – 2b + 3)

• 9 i –9.

• No, ja que no hi ha cap nombre que elevat al quadrat doni negatiu.

Activitats

Proposades

1. a) És una equació de segon grau.

b) No és una equació, és una identitat.

c) No és una equació de segon grau, és una equació de primer grau.

d) És una equació de segon grau.

e) No és una equació, és una identitat.

f) És una equació de segon grau.

2. a) x = −3 i x = 2 són solució de l’equació.

b) x = 0 és solució i x = 5 no és solució.

c) x = 1 no és solució.

x = −6 és solució.

d) 1

2x = no és solució.

x = −1 no és solució.

138

MATeMÀTIQUeS 3LA

e) x = 6 és solució i x = −6 no ho és.

f) x = 3 i x = −3 són solucions de l’equació.

3. a) x = 2 és solució.

x = –2 també és solució.

b) x = 2 i x = –2 no són solució de l’equació.

c) x = 2 és solució.

x = –2 no és solució.

d) x = 2 no és solució.


e) x = 2 és solució.


f) x = 2 és solució.


4. 1 és solució.

–1 no és solució.

1

2 és solució.

2 no és solució.

5. a) 1 3x = i 2 3x = −

b) 1 3x = i 2 3x = −

c) 1 5x = i 2 5x = −

d) 1 2x = i 2 2x = −

e) =1 10x i 2 10x = −

f) 1 1x = i 2 1x = −

6. a) 1 0x = i 2 1x =

b) 1 0x = i 2 2x =

c) 1 0x = i 2 9x =

d) 1 0x = i 2 13x =

e) 1 0x = i 2

1

3x =

f) 1 0x = i 2

1

3x =

7. a) 1 3x = i 2 1x = −

b) 1 23 0 3x x x→ + = → = = −

c) 1 0x = i 2 5x = −d) 1 3x = − i 2 2x = −

e) 1 5x = i 2 5x = −

f) No té solució.

g) 1 0x = i =2

1

5x

h) 1 4x = i 2

1

2x =

i) 1

1

6x =

2

1

6x

−=

j) 1 10x = i 2 10x = −

k) No té solució.

8. a) 1 4x = i 2 4x = −

b) 1 9x = i 2 9x = −

c) 1

3

2x =

i

2

3

2x

−=

d) 1 29 27 0 9 27 3x x x x→ − = → = → = =

e) 1

1

2x =

i

2 2x =

f) 1 0x = i 2 25x = −

g)

1 2x = i x2 = 1

9. a) 1 12x = i 2 9x =

b) 1 4x = i 2 3x = −

c) 1 2

5

2x x= =

d) 1

2

3x = i 2 4x = −

e) 1 1x = − i 2 5x = −

f) 1

1

3x = i 2

1

2x = −

g) 1 1x = i 2

1

3x = −

h) 1 2 5x x= =

i) 1 2 1x x= = −

10. a) 1 8x = 6 i =2 1x 3

b) 1 1x = i 2

1

5x = −

c) 1 2 2x x= = −

d) 1

1

4x = i 2

2

3x = −

11. = = −1 29 10x x

Atès que l’enunciat del problema parla de dos nombres naturals, hem de rebutjar la solució negativa. Si x = 9, llavors el seu consecutiu és 10.

Els dos nombres naturals consecutius són el 9 i el 10.

12. 1 0x = i 2 2x =

El nombre que verifica les condicions de l’enunciat és el 2 o el 0.

13. Aquest problema té dues solucions. Hi ha dos parells de nombres que verifiquen les condicions de l’enunciat: 3 i 4; –3 i –4.

MATeMÀTIQUeS 3

139

LA

14. a5, b3, c4, d2, e1

15.

+ − =

+ − = → + − + = →

→ − + = → − + = →

± − − ⋅ ⋅ ±= = = =

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

1 2

(7 ) 5

(7 ) 5 49 14 25

2 14 24 0 7 12 0

7 ( 7) 4 1 12 7 14 3

2 2

x x

x x x x x

x x x x

x x x

Els 2 catets del triangle mesuren 4 cm i 3 cm.

16. 1 0x = i 2 10x =

El nombre és el 10 o el 0.

17. El radi de la base del con és de 10 cm.

El volum del con és de 2 512 cm3.

18. Hi ha dos nombres que verifiquen les condicions de l’enunciat, 9 i −9.

19. Així, la Mercè té 36 anys, i en Jordi, 6.

20. El menjador mesura 4 m d’amplada i 7 m de llargada.

21. 50.

Activitats fi nals

Reforç

1. a) no és una equació de segon grau.

b) és una equació de segon grau.

c) no és una equació de segon grau.

d) és una equació de segon grau.

e) no és equació de segon grau.

2. a) x = 1 és solució.


b) x = 1

4 és solució.

x = 1

4

− és solució.

c) x = –2 no és solució.

x = 2 és solució.

d) x = 3 és solució.

x = 1

3 és solució.

3. a) 1 3x = i 2 3x = −

b) 1 0x = i 2

3

2x =

c) Aquesta equació no té solució. No hi ha cap nombre que elevat al quadrat doni negatiu.

d) 1 2x = − i 2 3x =

e) 1 0x = i 2 2x =

f) 1

4

3x

−= i 2 3x =

g) 1 2 4x x= = −

h) 1 4x = i 2 3x = −

i) Aquesta equació no té solució.

j) 1 0x = i 2 1x =

k) 1 4x = i 2 4x = −

l) 1 22x = i 2 2x = −

4. a) 1 0x = i 2 5x = −

b) 1 2 0x x= =

c) 1

1

2x = i 2

1

2x

−=

d) 1

9

5x = i 2

9

5x

−=

e) 1 3x = i 2 1x = −

f) 1 8x = i 2 6x =

g) 1 2 2x x= =

h) 1

3

2x = i 2

1

2x

−=

5. a) 1 5x = i 2

1

2x

−=

b)

1 2

2

5x x= =

c) 1

20

3x = i 2 1x = −

6. a) 1

7

4x = i 2

1

2x = −

b) 1 1x = − i 2

3

2x = −

c) 1 2

5

2x x

−= =

d) 1 2x = i 2 2x = −

7. a) 273

xx→ ⋅ =

b) ( 1) 72x x→ ⋅ + = o bé ( 1) 72x x→ ⋅ − =

c) 2 30x x→ + =

d) 2 2( 1) 41x x→ − − = o bé 2 2( 1) 41x x→ + − =

8. Un nombre és 7 i l’altre és 11.

9. El rectangle mesura 3 dm d’amplada i 9 dm de llargada.

10. Comença a faltar oxigen a una profunditat de 60 m.

11. El nombre és 1

2 o 0.

12. Aquest problema té dues possibles solucions. Hi ha dos nombres que verifi quen les condicions de l’enunciat: el 7 i el –8.

13. 28 624 cm

2 2

D dA

⋅ ⋅= = =28 624 cm

2 2

D dA

⋅ ⋅= = =

El costat del rombe mesura 5 cm, i el seu perímetre és de 20 cm.

140

MATeMÀTIQUeS 3LA

14. El nombre que verifica les condicions de l’enunciat és 1 o 0.

15. Aquest problema té dues solucions: els dos nombres consecutius poden ser 5 i 6 o bé −6 i −5.

16. La longitud de la tanca del jardí que la Maria ha de posar és de 90 m.

17. Els catets mesuren 12 cm i 9 cm.

18. Un catet mesura 10 cm, i l’altre, 24 cm.

Ampliació

1. a) Aquesta equació no té solució.

b) 1 2

2

3x x= =

c) 1

5

6x = i 2

5

6x = −

d) 1 3x = i 2 9x = −

e) 1 3x = i 2 2x = −

f) 1 0x = i 2 2x = −

g) 1 0x = i 2

15

7x = −

2. a) 1

7

5x

−= i 2

8

5x = −

b) 1

3

10x = i 2

5

2x =

c) 1 1x = i 2

2

5x =

d) 1 0x = i 2 4x =

e) 1 12x = i 2 9x =

f) 1 6x = i 2 2x =

g) No te solució.

3. a) 1 2x = − i 2 7x = −

b) 1 4x = i 2 1x =

c) Aquesta equació no té solució.

d) Aquesta equació no té solució.

4. a) 1 2x = i 2

1

3x = −

b) 1

2

3x = i 2

1

2x = −

c) 1 2 44x x= =

5. m = 5

El valor de m és 5.

6. 2

1 1 1 1 92 8 0 2 4 0 4

2 2 4 2 2c c c − ⋅ − ⋅ + = → − ⋅ − + = → = + =

21 1 1 1 9

2 8 0 2 4 0 42 2 4 2 2

c c c − ⋅ − ⋅ + = → − ⋅ − + = → = + =

El valor de c és 9

2.

7. a = 8

El valor de a és 8.

8. No. Si els quadrats de dos nombres són iguals, pot ser que els dos nombres ho siguin, o bé que tinguin signe oposat.

9. Els catets mesuren 9 cm i 12 cm, i la hipotenusa, 15 cm.

10. El grup de teatre està format per 48 persones: 12 homes i 36 dones.

11. Les dimensions del rectangle són 18 cm i 10 cm.

12. Els trossos que ha de tallar han de mesurar 6 dm, 6 dm, 4 dm i 4 dm.

13. Les dimensions del camp són 110 m i 60 m.

14. El perímetre de la base mesura 80 dm.

15. El costat de la base de la piràmide mesura 15 m.

16. Les dimensions de l’hort de la Paula són les d’un quadrat de 30 m x 30 m.

17. Com que el nombre de costats d’un polígon no pot ser negatiu, el polígon té 24 costats.

d’avaluació

Llegeix detingudament les afirmacions següents i digues si són certes o falses:

1. Cert

2. Cert

3. Cert

4. Fals

5. Cert

6. Cert

7. Fals

8. Cert

9. Fals

10. Cert

11. Fals

12. Cert

13. Cert

14. Fals

15. Cert

16. Cert

17. Fals

MATeMÀTIQUeS 3

141

LA

18. Fals

19. Fals

20. Cert


Coneixements previs

• No, també poden ser semblants.

• Els angles són iguals, i els costats, proporcionals.

• La hipotenusa a del triangle rectangle petit mesura:

2 2 2 2 2(3 cm) (4 cm) 9 cm 16 cm 25 cm 5 cma = + = + = =

Per tant, la raó de semblança del triangle rectangle petit en relació amb el gran és:

5 cm 1

' 15 cm 3

ak

a= = =

Naturalment, la raó de semblança del triangle rectangle gran en relació amb el petit és:

1' 3k

k= =

• Sí que ho és en el cas del quadrat, i no ho és en el cas del rectangle, tal com s’observa en la fi gura:

•

C

r

C’

B’B

A A’

•

A

B

m

La mediatriu m divideix perpendicularment el segment AB en dues parts iguals.

• Sí, sempre.

Activitats Proposades

1. a) v

, s

i t

b) v

, s

i t

c) v

i t

d) v

i w

; s

i w

; t

i w

e) v

i s

; s

i t

2. = −

→ − − − = − → −

( 2, 4)(0 ( 2), 0 4) (2, 4) (2, 4)

(0, 0)

qM

O

3. −

→ = − − − − = − → = −−

( 2, 4)(3 ( 2), 2 4) (5, 6) (5, 6)

(3, 2)

Ar r

B

− → = − − − − = − → = −−

(3, 2)( 2 3, 4 ( 2)) ( 5, 6) ( 5, 6)

( 2, 4)

Bs s

A

4. (3, 1)p =

; (0, 3)q =

; (2, 0)r =

; (4, 4)s = −

5. Es tracta d’una isometria directa, ja que es conserven les distàncies i el sentit de gir dels angles.

6. Com que es tracta d’una isometria, es conserven les distàncies; per tant, els catets del triangle transformat mesuren 5 cm i 12 cm, i la seva hipotenusa, 13 cm.

7. −

→ = − − − = − → = −

( 4, 3)(3 ( 4), 2 3) (7, 1) (7, 1)

' (3, 2)

At t

A

− → + − + − = − → −= −

(2, 1)(2 7, 1 ( 1)) (9, 2) ' (9, 2)

(7, 1)

BB

t

8.

QP

Q’

P’

O

135ª

4 cm

9. És un gir de 90o, en sentit positiu i amb centre a l’origen de coordenades O.

10.

O x

y

C’ C

B

B’A’

A

a) A’ (–2, 3)

b) B’ (0, 2)

c) C’ (–4, 6)

142

MATeMÀTIQUeS 3LA

11. a) Dos eixos de simetria.

b) Dos eixos de simetria.

c) Un eix de simetria.

d) Vuit eixos de simetria.

12. És la mateixa circumferència. En aquesta transformació no modifiquen la posició els dos punts d’intersecció de la circumferència amb el diàmetre; és a dir, els dos punts que són extrems del diàmetre.

13. Que les dues figures homotètiques serien la mateixa figura, perquè en tractar-se d’una homotècia, els angles homòlegs tindrien la mateixa amplitud, i en ser de raó k = 1, els costats homòlegs serien iguals.

14.

A’

C’

CB

B’

A

D’

D

O

4 cm

2 cm

Els costats del rectangle homotètic mesuren:

3' ' ' ' 2 cm 3 cm

2A B D C= = ⋅ =

3' ' ' ' 4 cm 6 cm

2B C A D= = ⋅ =

15. La raó k pot tenir dos valors:

1

4 cm2

2 cmk = =

o bé:

2

2 cm 1

4 cm 2k = =

Observa que 21

1k

k=

16. Hi ha diverses possibilitats, però la més senzilla és aquesta:

O (O’) x

y

R’

R

P P’

Q’

Q

Els vèrtexs del nou quadrat O’ P’ Q’ R’ són:

O’ (0, 0); P’ (6, 0); Q’ (6, 6); R’ (0, 6)

17.

B’

B’’

A’’

A’

a

B

A

x

y

c

b

ac

b

a) (6, 4)

(6 3, 4 ( 2)) (9, 2) (9, 2)(3, 2)

ac c

b

= → = + + − = → == −

b) ( 9, 2)d = − −

18. Sempre que les amplituds sumin 180o o bé –180o. Per exemple, un de 100o i un altre de 80o, o bé un de –120o i l’altre de –60o.

En cas que els dos girs es produeixin en sentits contraris, les amplituds també han de sumar 180o o –180o. Per exemple 240o i –60o, o bé –250o i 70o.

19. Cal aplicar dues simetries centrals consecutives, perquè dues simetries centrals equivalen a un gir de 360o en qualsevol dels dos sentits possibles.

20. Cadascun dels costats iguals del triangle isòsceles mesura:

(13 cm – 5 cm): 2 = 8 cm: 2 = 4 cm

B

C’

O

A’

B’

C’A–90º

4 cm

4 cm5 cm

21.

Ax

y

B

D

C (C’’)D’’

B’’

A’’A’

B’

D’

C’ O

a) A’ (–1, 2); B’ (–3, 4); C’ (–5, 0); D’ (–7, 1)

MATeMÀTIQUeS 3

143

LA

b) A’’(1, 2); B’’ (3, 4); C’’ (5, 0); D’’ (7, 1)

La transformació que permet obtenir el quadrilàter A’’ B’’ C’’ D’’ a partir del quadrilàter A’ B’ C’ D’ és una simetria axial respecte de l’eix de les ordenades.

22.

x

y

O

A’

B’

C’A

B

C

P

A’ (4, 3); B’ (2, –2); C’ (7, 0)

23. a) P1 (–4, 2)

b) P2 (4, –2)

c) P3 (–2, –4)

d) P4 (4, –2)

24.

C’

A’

A

C

O

B’

B

4 cm

2 cm

6 cm

Com que la raó de semblança entre els dos triangles

equilàters és 1

2k = , el costat c’ del triangle equilàter

transformat mesura:

1 1' 4 cm 2 cm

2 2c c= ⋅ = ⋅ =

El perímetre p’ mesura: p’ = 3 · c’ = 3 · 2 cm = 6 cm

Per calcular l’àrea, ens cal conèixer l’altura h’, per la qual cosa utilitzem el teorema de Pitàgores:

22 2 2

2 2 2

'' ' (2 cm) (1cm)

2

4 cm 1cm 3 cm 1,73 cm

ah a = − = − =

= − = ≅

L’àrea del triangle A’ B’ C’ és:

2' ' 2 cm 1,73 cm' 1,73 cm

2 2

a hS

⋅ ⋅= ≅ =

25. a) 12 cm

b) 20 cm, 16 cm, 12 cm

c) Perímetres:

p = 36 cm

p’ = 48 cm

Àrees:

S = 54 cm2

S’ = 96 cm2

d) En efecte:

48 cm' 4

36 cm 3

pk

p= = =

222

2

96 cm' 16 4

54 cm 9 3

Sk

S = = = =

26.

x

y

O A’ B’

A

B

–90º

A’’ B’’

a) Observant la fi gura es dedueix que: A’ (2, 0) i B’ (6, 0)

b) S’ha de complir:

'' 1 '' 1 1 1

'' '' , 0' 4 2 4 2 2

OA OAOA A

OA = → = → = →

i '' 1 '' 1 3 3

'' '' , 0' 4 6 4 2 2

OB OBOB B

OB = → = → = →

Activitats fi nals

Reforç

1. a) (4, 2)p = −

i ( 2, 1)q = − −

b) A’ (2, 2) i A’’ (0, 1)

c) (2, 3)r = −

2.

A

C (A’ )

B

D

D’ C’

B’

v

2,5 cm

144

MATeMÀTIQUeS 3LA

3. Dels polígons proposats, tots tenen centre de simetria, excepte el triangle equilàter. El centre de simetria és el punt d’intersecció de les seves diagonals.

4.

x

y

O

B’

e

A’

C’C

AB

P

A’ (9, 2); B’ (6, 2); C’ (6, 8)

5. La raó de l’homotècia és 8 cm' 8

3 cm 3

ABk

AB= = = , que coinci-

deix amb la raó de semblança entre l’hexàgon gran i el petit.

' ' ' ' 8 8' ' 2 cm 5,3 cm

2 cm 3 3

C D C Dk C D

CD= → = → = ⋅ =

6. La transformació que permet obtenir directament l’últim pentàgon a partir del primer no pot ser inversa, perquè durant el procés s’han fet dues simetries axials, és a dir, un nombre parell de transformacions inverses, que equi-val a una transformació directa.

7. Que les amplituds dels angles de gir sumin 180o o bé –180o.

8. C B

D

B’

B’’

C’

D’

D’’

C’’

A’’

A (A’ )

O

Els costats del rectangle A’’ B’’ C’’ D’’ mesuren:

33 cm 4,5 cm

2⋅ = cadascun dels dos costats grans, i

32 cm 3 cm

2⋅ = cadascun dels dos costats petits.

9. A1 = 3 cm · 2 cm = 6 cm2

A3 = 4,5 cm · 3 cm = 13,5 cm2

223

21

13,5 cm 135 9

6 cm 60 4

Ak

A= = = =

10.

C’’A’’A’C’CA

B B’ B’’

e e’

La transformació que fa passar del triangle rectangle ABC al triangle rectangle A’’ B’’ C’’ és una translació, de manera que el mòdul del vector corresponent és el doble de la distància que hi ha entre els dos eixos de simetria. Aquesta transformació, com que és una translació, és una isometria directa.

11.

C’ A (A’ )C

B

B’

D’

D

4 cm

3 cm

D’ = 8 cm · 0,5 = 4 cm, la diagonal gran, i

d ‘ = 6 cm · 0,5 = 3 cm, la diagonal petita.

El costat del rombe gran mesura: 5 cm

El costat del rombe transformat: c’ = 5 cm · 0,5 = 2,5 cm.

Perímetres:

p = 20 cm

p’ = 4 · c’ = 4 · 2,5 cm = 10 cm, o també p’ = 20 cm · 0,5 = = 10 cm

Àrees:

28 cm 6 cm24 cm

2 2

D dS

⋅⋅= = =28 cm 6 cm24 cm

2 2

D dS

⋅⋅= = =

24 cm 3 cm' '' 6 cm

2 2

D dS

⋅⋅= = = , o també

S’ = 24 cm2 · 0,52 = 24 cm2 · 0,25 = 6 cm2

12. Primer hem de calcular les dimensions del rectangle:

+ + = → + = → + = →

= → =[2 ( 1) 10 2(2 1) 10 2 1 5

2 4 2

]x x x x

x x

Les dimensions del rectangle són 2 cm i 3 cm:

MATeMÀTIQUeS 3

145

LA

A’ D’

B’ C’DC

AB

O

3 cm

90º

2 cm

13. y

xO

B’

A’C’

AC

B

A’ (1, –2); B’ (2, –5); C’ (–4, –3)

Els dos triangles són iguals.

14. Sigui quin sigui el valor de la raó k, no fa variar l’amplitud dels angles, ja que una homotècia és una semblança i, per tant, manté l’amplitud dels angles. És a dir, els angles mesuraran igual que els de l’hexàgon regular original, d’on tenim que:

004 180

1206

A⋅= =

és l’amplitud de cadascun dels sis

angles iguals.

15.

Transformació Isometria Semblança Directa Inversa

Una simetria central X X

Un gir X X

Una homotècia X X

Una translació X X

Una simetria axial X X

Ampliació

1.

B’

A

C’

C

A’

B

Tal com s’observa en la figura, en unir mitjançant seg-ments els vèrtexs dels dos triangles homòlegs s’obté un hexàgon regular.

2. a) El vector ' ( , )t a b= − −

té el mateix mòdul, la mateixa direcció i el sentit contrari que el vector t

.

b) ' ( , )t a b= − −

3. S’obtindrà una recta paral·lela a la recta y = 2x, que tallarà l’eix de les ordenades en el punt P (0, 3). Per tant, l’equació de la recta traslladada serà y = 2x + 3.

y

xO

rr’

t

t

y = 2x

+ 3

y = 2x

4.

A’

B’B

A

O

m

m’

a) Dibuixem els segments AB i A’B’, que siguin no paral·lels i de la mateixa longitud.

b) Tracem les mediatrius dels segments AA’ (m) i BB’ (m’). Les mediatrius m i m’ es tallen en el punt O, que és el centre de gir.

c) L’angle 'AOA és l’angle de gir. En el nostre cas, el gir s’ha fet en sentit negatiu.

146

MATeMÀTIQUeS 3LA

5. y

xO

C’ C

C’’ C’’’

L’àrea que ens demanen és quatre vegades l’àrea assen-yalada en la figura. Aquesta àrea, tal com es pot veure, s’obté restant de l’àrea d’un quadrat de 2 unitats de cos-tat, l’àrea d’un quart de cercle de 2 unitats de radi:

2 22 2

1

22 2 2 2

3,14 (2 )(2 )

4 43,14 4

4 4 3,14 0,864

r uA c u

uu u u u

p ⋅= − ≅ − =

⋅= − = − =

En definitiva, l’àrea de la figura és:

2 214 4 0,86 3,44A A u u= ≅ ⋅ =

6. La de l’esquerra és una simetria central que té com a centre el vèrtex A del triangle ABC, i la de la dreta és una simetria axial que té com a eix la recta que passa pel vèr-tex A i és paral·lela al costat BC.

7. Sí, sempre són homotètiques.

a) El centre de l’homotècia és el centre comú a les dues circumferències.

b) 3,5' 7

2,5 5

cmrk

r cm= = =

8. La frase no sembla gaire encertada, perquè si algú dóna un gir de 360o a la seva vida, no canviarà res perquè es quedarà com estava. Per aconseguir aquest canvi total,

el gir hauria de ser, en tot cas, de 180o.

9.

v

v

A

P

Q

B

El camí més curt, travessant el riu perpendicularment a les dues ribes, és:

A → P → Q → B

10. Els triangles primer i quart són iguals, ja que la composi-ció de les tres primeres transformacions geomètriques dóna una isometria directa. Per tant, els costats del quart triangle també mesuren 4 cm, 5 cm i 5 cm.

El cinquè triangle és semblant al primer, i la raó de sem-blança coincideix amb la raó d’homotècia. Tenim, doncs, que els costats del cinquè triangle mesuraran:

7' 4 cm 2,8 cm

10a a k= ⋅ = ⋅ = , el petit.

7' 5 cm 3,5 cm

10b b k= ⋅ = ⋅ = , cadascun dels altres dos.

11. Homotècia de centre O i raó k = 1,5:

C’ F’

A’B’

E’D’

F

AB

C

DE

O 3 cm

El radi de la circumferència circumscrita mesura: ' 3 cm 1,5 4,5 cmr r k= ⋅ = ⋅ =

12. a) Com que és homotètic, els angles mesuraran igual que els del quadrilàter ABCD; és a dir, 87o, 89o, 91o i 93o.

b) 2 2

' 0,63 3

pp p k p p= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

c) 222 2

' ' ' ' 9 ''

4 40,6 293

s s s s ss s k s

k= ⋅ → = = = = =

13. Els únics polígons regulars que permeten una tessel·lació del pla són:


b) Quadrat

c) Hexàgon regular

14. En el cas del pentàgon regular, no és possible, perquè la mesura en graus d’un dels angles interiors és de 108o, i 108 no és divisor de 360.

3 · 108o + 36o = 360o

15.

Transformacions Isometria Semblança Directa Inversa

Una simetria axial i una homotècia X X

Un gir i una simetria axial X X

Una homotècia i una translació X X

Una translació i un gir X X

Una simetria axial i una translació X X

Dues simetries, una d’axial i una de central X X

Una homotècia i un gir X X

MATeMÀTIQUeS 3

147

LA

d’avaluació

Indica si són certes o falses les afi rmacions següents:

1. Cert

2. Fals

3. Cert

4. Fals

5. Fals

6. Cert

7. Cert

8. Fals

9. Fals

10. Cert

11. Cert

12. Cert

13. Cert

14. Cert

15. Cert

16. Cert

17. Cert

18. Cert

19. Fals

20. Fals


Coneixements previs

Activitats

Proposades

1. Les tres cares sumen 2 · 80º + 120º = 280º. La quarta cara ha de ser inferior a la diferència entre 360º i 280º; és a dir, inferior a 80º.

2. La distància entre dues cares paral·leles es pot mesurar per l’aresta del cub.

3. Amb quatre cares: 4 · 70º = 280º. Amb cinc cares: 5 · 70º = 350º. Amb 6 cares: 6 · 70º = 420º, que és més gran que 360º i, per tant, no es pot construir l’angle políedre.

4. El complementari el trobem restant de 90º:

89º 59’ 60” –65º 30’ 50” 14º 29’ 10”

Per calcular el suplementari n’hi ha prou de sumar 90º al complementari. Per tant, el complementari és 14º 29’ 10”, i el suplementari, 104º 29’ 10”.

5.

Cares Vèrtexs Arestes Angles díedres

Angles políedres

Tetràedre 4 4 6 6 4Octàedre 8 6 12 12 6Icosàedre 20 12 30 30 12Cub 6 8 12 12 8Dodecàedre 12 20 30 30 20

6. a) Bases pentàgons regulars, i cares laterals rectangles.

b) Base un quadrat, i cares laterals triangles isòsceles.

c) Bases triangles equilàters, i cares laterals rectangles.

d) Base hexàgon regular, i cares laterals triangles isòsceles.

7. Un prisma octogonal regular té com a bases octògons regulars, i de cares laterals, rectangles. Té 10 cares, 16 vèrtexs i 24 cares. Sí, verifi ca la igualtat d’Euler.

8. La piràmide que en resulta fa 5 cm d’altura. Les longituds de les dues piràmides són proporcionals i podem ex-

pressar 8 6

5 a= , d’on en resulta que a = 3,75.

L’aresta bàsica mesura 3,75 cm.

9. A = 1,695 m2.

La superfície és inferior a 2 m2; per tant, en tindrem prou amb el pot de pintura.

10. L’aresta fa 1,2 m = 12 dm.

11. Àrea de l’octàedre: A = 8 · 1,73 cm2 = 13,84 cm2.

12. Àrea total: At = 46,8 cm2 + 108 cm2 = 154,8 cm2.

13. g = 13 cm.

At = 3,14 · (5 cm)2 + 3,14 · 5 cm · 13 cm = 282,6 cm2.

14. El volum del cub és V = a3 = (6 cm)3 = 216 cm3.

15. Falta per omplir la quarta part del dipòsit, que correspon a 6 336 L.

16. At = (6 cm)2 + 4 · 8 cm · 6 cm +

1

2· 6 cm · 6 cm · 4 = 300 cm2

V = 6 cm · 6 cm · 8 cm + 1

3 · 6 cm · 6 cm · 4 cm = 336 cm3.

• En un escaire els angles mesuren 90º i 45º els altres dos angles. En un cartabó: 90º, 60º i 30º.

• Dues rectes o són paral·leles o són secants.

• Rectes perpendiculars.

• En un triangle es poden traçar tres altures.

• 1 m3 = 1000 000 cm3.

• A = 6 · 9 cm2 = 54 cm2; V = 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm3.

148

MATeMÀTIQUeS 3LA

17. h = 80 cm, g = 80,35 cm.

A = 2 068,86 cm2.

18. 22 3,14 6 cm 4 cm 150,72 cmlA = ⋅ ⋅ ⋅ =

At = 3,14 · (6 cm)2 · 2 + 150,72 cm2 = 376,8 cm2

22 3,14 4 cm 6 cm 150,72 cmlA = ⋅ ⋅ ⋅ =

At = 2 · 3,14 · (4 cm)2 + 150,72 cm2 = 251,2 cm2.

Els dos cilindres tenen la mateixa àrea lateral, i diferent l’àrea total.

19. V = 3,14 · (6 cm)2 · 4 cm = 452,16 cm3.

V = 3,14 · (4 cm)2 · 6 cm = 301,44 cm3.

Els dos volums són diferents.

20. V = 1

2 · 3 m · 4 m · 15 m = 90 m3. Hi poden cabre 90 000 L

d’aigua.

21. S = 4 · 3,14 · (6 370 km)2 = 509 645 864 km2.

22. 2 3(0,6 dm) 2 dm 0,72 dmV = ⋅ = . No hi cap 1 L d’aigua, perquè el volum no arriba a 1 dm3.

23. En igualar els volums, podem escriure que:

Ab · h = A

b · h’ ·

1

3, d’on es dedueix que l’altura de la pirà-

mide cal que sigui el triple de la del prisma.

24. Volum de l’esfera: V = 4

3 · 3,14 · (3 dm)3= 113,04 dm3.

25. V = 1

3 · 3,14 · (1,25 m)2 · 10 m = 16,354 m3.


26. r = 0,4 dm.

27. Caldrà comprar 5 pots, que costaran 5 · 45 € = 225 €.

28. Al = 3,14 · 1,25 m · 15,05 m = 59 m2.

29. Amb els 47,1 m2 es poden fer 1 000 pots de llauna.

30. Volum del bric: V = 3,6 cm · 5 cm · 11,8 cm = 212,4 cm3, que equivalen a 0,2124 L. Per tenir un litre de suc, en ca-len 1 : 0,2124 = 4,7; és a dir, 5 envasos. Cinc brics costen 5 · 0,60 € = 3 €. És més econòmic comprar l’envàs d’un litre, de 2,25 €.

31. a) V = 4/3 · 3,14 · (3,5 cm)3 = 179,5 cm3.

b) V = 3,14 · (3,5 cm)2 · 42 cm = 1 615,53 cm3.

c) Les 6 pilotes ocupen 6 · 179,5 cm3 = 1 077 cm3.

L’espai buit és la diferència: 1 615,53 cm3 – 1 077 cm3 = = 538,53 cm3.

32. Volum del pot: V = 3,14 · (5,5 cm)2 · 10,5 cm = 997,34 cm3. 1 L és la capacitat de 1 000 cm3. Aproximadament, hi cap 1 L de tomàquet triturat. Si el volum es redueix a la meitat, amb la mateixa altura, cal calcular el radi de la base: 498,67 cm3 = 3,14 · r2 · 10,5 cm. El radi és 3,89 cm, i el diàmetre de la base és 7,78 cm.

33. Sis ampolles d’1,5 L cadascuna contenen 9 L, que són 900 cL i equivalen a 18 ampolles de 50 cL o mig litre. Aquestes ampolles costen: 18 · 0,25 € = 4,50 €. L’estalvi és de 2,5 €.

34. Una garrafa de 5 L = 500 cL → es poden omplir 500 : 75 = = 6,7 ampolles, que costarien 6,7 · 1,85 € = 12,395 €.

L’estalvi en els 5 L és de 12,395 € − 7,25 € = 5,145 € i, per cada litre, l’estalvi és 5,145 € : 5 = 1,029 €.

35. V = 10 dm · 12 dm · 34 dm = 4 080 dm3


Activitats fi nals

Reforç

1. Octàedre: 8 cares; triangles equilàters, 6 vèrtexs i 12 arestes. A cada vèrtex hi concorren 4 triangles equi- làters amb angles de 60º. L’angle polièdric mesura 60º · 4 = 240º.

2. a) Àrea total: A = 2 · 10 cm · 8 cm + 2 · 10 cm · 12 cm + 2 · · 8 cm · 12 cm = 592 cm2.

b) Volum: V = 10 cm · 8 cm · 12 cm = 960 cm3.

c) Volum: V = 10 cm · 12 cm · 8 cm = 960 cm3.

d) El volum és el mateix, es multipliquen les mateixes dimensions.

e) No hi cabria exactament 1 L de llet, perquè 960 cm3 < < 1 000 cm3.

3. Si l’àrea de la base és de 9 cm2, l’aresta bàsica és de 3 cm i la lateral de 6 cm.

At = 2 · 9 cm2 + 4 · 3 cm · 6 cm = 90 cm2

V = 9 cm2 · 6 cm = 54 cm3.

4. Els punts O, A i B no determinen un pla, perquè estan alineats. Es poden fer passar molts fulls de paper, per aquests tres punts.

5. h = 12,74 cm.

At = 2 · 78,5 cm2 + 2 · 3,14 · 5 cm · 12,74 cm = 557 cm2

La superfície de la llauna és de 557 cm2.

6. En cada racó hi concorren tres plans i tres rectes. Els plans són perpendiculars dos a dos, i les rectes, també.

MATeMÀTIQUeS 3

149

LA

7. Volum d’una tina: V = 3,14 · (1,25 m)2 · 3,5 m = 17,172 m3→→ 17 172 L. En 3 tines: 17 172 L · 3 = 51 516 L > 50 000 L. Podran omplir les ampolles.

8. S = 9,45 m2

9. El cos de la figura anterior pot ser el d’un prisma triangu-lar regular de base un triangle equilàter d’àrea 0,975 m2 i altura 2,5 m. El volum és V = 0,975 m2 · 2,5 m = 2,44 m3.

10. 446,72 €.

11. h = 7 cm.

12. La cisterna pot contenir 49 455 L de carburant.

13. Superfície per pintar: 14 m2 + 37,5 m2 – 2,61 m2 = 48,89 m2.

14. Els 7 amics beuen 3,5 L de refresc. 3,5 : 0,33 = 10,6. Hauran de comprar 11 llaunes, que els costen 11 · 0,75 = 8,25 €. Sí, en tenen prou amb 10 €.

15. 2 009 garrafes.

13 397 ampolles.

Ampliació

2. a) Àrea lateral: Al = 6 · c · h .

b) Àrea total: At = 2 ·

1

2 · 6 · c · a + 6 · c · h = 6 · c (a + h).

c) Volum: V = 1

2 · 6 · c · a · h = 3 · c · a · h.

3. Àrea total: 8 · 15,6 cm2 = 124,8 cm2.

Volum: V = 2 · 1

3 · (6 cm)2 · 4,24 cm = 101,76 cm3.

4. a) R = 6 369,4 km.

b) S = 509 549 859,9 km2.

c) V = 1,081 842 293 · 1012 km3.

5. El radi de la base del cilindre és el mateix que el de l’esfera. L’altura del cilindre és el diàmetre de l’esfera. Te-nim:

Ve = 3 2 34

· · · · 2 · 2 · ·3 cr V r r r= =p p p

Dividint terme a terme les dues expressions, i simplifi-cant, tenim:

4 2: 2

3 3e

c

V

V= =

6. 1 778 025 cm3.

7. L’altura de la piràmide cal que sigui tres vegades la del prisma.

8. 2 3,14 3,25 dm

17,2 303º360

⋅ ⋅ ⋅α= → α = .

9. a) V = 3,14 · (6 cm)2 · 9 cm = 1 017,36 cm3

b) V = 3,14 · (5,5 cm)2 · 11 cm = 1 044,83 cm3

c) V = 3,14 · (4 cm)2 · 20 cm = 1 004,8 cm3

d) V = 3,14 · (5,45 cm)2 · 10,9 cm = 1 016,6 cm3

a) A = 2 · 3,14 · (6 cm)2 + 2 · 3,14 : 6 cm · 9 cm = 565,2 cm2

b) A = 2 · 3,14 · (5,5 cm)2 + 2 · 3,14 · 5,5 cm · 11 cm = = 569,91 cm2

c) A = 2 · 3,14 · (4 cm)2 + 2 · 3,14 · 4 cm · 20 cm = 602,88 cm2

d) A = 2 · 3,14 · (5,45 cm)2 + 2 · 3,14 · 5,45 cm · 10,9 cm = = 559,59 cm2

La llauna que requereix menys material és la d.

10. Trigarà a omplir-se 10 h 14 min 24 s.

11. 31,25 cm3.

12. Sigui D la diagonal de l’ortòedre i d la diagonal d’un dels rectangles d’una cara. Es verifica que D2 = d2 + a2 i d2 = b2 + + c2 que, en substituir, dóna D2 = b2 + c2 + a2.

D2 = 122 + 102 + 52 = 269 → D = 16,4 cm

13. h = 32 cm.

14. Vt = 34,6 m3 + 7,24 m3 = 41,84 m3.

15. 11 656 llaunes.

d’avaluació

Indica si és certa o falsa cadascuna de les afirmacions següents:

1. Cert

2. Fals

3. Cert

4. Fals

5. Cert

6. Cert

7. Fals

8. Cert

9. Cert

10. Cert

11. Fals

12. Fals

13. Cert

14. Fals

15. Cert

150

MATeMÀTIQUeS 3LA

16. Cert

17. Fals

18. Cert

19. Fals

20. Fals


Coneixements previs

• 55km· 2 h = 110 km

1 h

55km· 3,5h = 192,5 km

1 h

1 h288,75 km · = 5,25 h

55 km=

= 5 h 15 min

•

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

B (–2, 3)

A (3, 4)

D (1, –1)

C (–3, –2)

• Origen de coordenades. Les seves coordenades són O (0, 0).

• L = dπ

Activitats

Proposades

1. Les relacions entre variables dels apartats a, b i c són fun-cions perquè el valor de la primera variable depèn del de la segona. En les relacions dels apartats d i e no succeeix això i, per tant, no ho són.

2. a) V. Independent → Quantitat de gasolina V. Depen-dent → Import.

b) V. Independent → Longitud del diàmetre V. Depen-dent → Longitud de la circumferència.

c) V. Independent → Volum d’aigua V. Dependent → Import de la factura.

3.

Longitud del costat d’un quadrat (cm) 1 2 3 4

Superfície del quadrat (cm2) 1 4 9 16

2 4

2

4

0

1

1–2–1–2

3

3

Long

itud

(cm

)

5

Superfi cie (cm2)

5

7

9

6

8

10

12

14

11

13

151617

6 7–3

(1,1)

(2,4)

(3,9)

(4,16)

4. f(20) = 5, f(–8) = –2, f(–3) = − 3

4, x = –24, x = − 8

3

5.

x –2 –1 0 2

f(x) = –2x –1 3 1 –1 –5

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

(–2,3)

(2,–5)

(0,–1)

(–1,1)

6. a) f(3) = − 23

2, f( − 1

2) =

5

2

b) x = 1

7. Resposta oberta. Ha de ser una expressió algèbrica del tipus f(x) = mx. La representació gràfi ca ha de ser una recta que passi per (0,0).

8.

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –4x 8 4 0 –4 –8

És una funció decreixent perquè quan la x creix, f(x) decreix.

9. C = 2,75x + 60

És una funció afí perquè l’expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b

C (20) = 115 €

x = 25 estudiants

10. f(x) = 10

x

La representació gràfi ca d’aquesta funció és una recta que passa per l’origen de coordenades i que es troba en els quadrants 1 i 3 perquè és una funció creixent.

MATeMÀTIQUeS 3

151

LA

11.

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –3x + 2 8 5 2 –1 –4

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

9y

–5

(–2,8)

(2,–4)

(0,2)

(–1,5) 5678

(1,–1)

f(x)=–3x+2

12. I(x) = 3x + 12

13. f( − 3

4) =

−− − = − − =1 3 1 61· ( ) 3 3

15 4 20 20, f(0) = –3, f(4) =

−− =4 413

15 15

x = 105, x = 50

14. a)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x)=–3x–1

b)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

1( ) 1

2f x x= +

15. I(x) = 1,10x

La funció es modifica tot afegint 0,01 € al preu calculat per la compra de x quilograms de patates.

I(x) = 1,10x + 0,01

16. a) f(–3) = 5

b) x = −19

12

c) f(–2) = 2

d) P ( − 4

3,0), Q (0, –4)

17.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

y

–5f(x)=–6

–6–7

18. Per exemple: (–2, 1

4), (6,

1

4), (0,

1

4) i ( − 3

5,

1

4)

19. No, perquè les imatges dels tres parells de valors no són iguals. En el cas que el tercer parell fos (0, 1), aleshores sí que es correspondria amb una funció constant.

Si es representen els tres punts donats, es pot comprovar com la gràfica no és una recta paral·lela a l’eix de les abs-cisses.

20. Les rectes y = 3 i y = –3 representen funcions constants perquè per a qualsevol valor de la variable independent x, la imatge sempre és la mateixa. La recta x = 3 no és una funció perquè el valor de la variable independent x té més d’una imatge.

21. No. Perquè si substituïm les coordenades del punt a l’equació de la recta, la igualtat no es verifica:

3 ≠ 6 · 0

22. a) P (3

2, 0), Q (0, –3)

b) (4, 0), (0, 4)

23. m = 7

4

L’angle que forma aquesta recta amb el semieix positiu de les abscisses és agut perquè el valor del pendent és positiu.

24. a) y = 2x – 2 b) y = x + 1

c) y = − 1

2x d) y = –3x + 1

25. f(x) = 4

3x

26. x = 8

3, y =

17

3

27. El punt de tall és P (–5, –5)

28. y = –x – 3, P (–3, 0), Q (0, –3)

La recta d’equació y = –x – 3 és la gràfica d’una funció decreixent. L’angle que forma aquesta recta amb el se-mieix positiu de les abscisses és obtús perquè el seu pendent és negatiu.

29. y = –3x + 2.

152

MATeMÀTIQUeS 3LA

30. y = x + 5

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

567

y = x + 5

y = x – 3

31.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = –x + 3

y = 5x – 1

2 7,

3 3p

2 7

,3 3

p

Les dues rectes són secants i es tallen en el punt

P

2 7,

3 3. El sistema és compatible i determinat amb so-

lució x = 2

3 y =

7

3.

32. a) És una funció decreixent perquè el valor de m és ne-gatiu. La recta passa pels quadrants 2n i 4t.

b) És una funció decreixent perquè el valor de m és ne-gatiu. La recta està orientada del 2n al 4t quadrant.

c) És una funció creixent perquè el valor de m és posi-tiu. La recta està orientada del 1r al 3r quadrant.

d) És una funció creixent perquè el valor de m és posi-tiu. La recta està orientada del 1r al 3r quadrant.

33.

4 4

4

8

0

2

2–8 –4–10 –6 –2–2

–8

–4–6

6

6

x10

10y

–10

x ±1 ±2 ±4 ±8

f (x) ±8 ±4 ±2 ±1

Activitats fi nals

Reforç

1. Resposta oberta. Per exemple, (1, 5), (0, 0) i (3, 15).

2. Resposta oberta. Per exemple:

Funció → La velocitat mitjana que aconsegueix un tren en el seu trajecte i el temps que triga en recorre’l.

No funció → L’edat i l’alçada d’una persona.

3.

x –1 0 2

f(x) = 3x – 4 –7 –4 2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

y

–5

f(x) = 3x – 4

–6–7(–1, –7)

(0, –4)

(2, 2)

4. f(6) = 12 → La imatge de 6 és 12.

x = 4 → La antiimatge de 10 és 4.

5.

x –1 0 2

f(x) = –4x 4 0 –8

(2, –8)

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5

f(x) = –4x

–6–7

(0, 0)

–8

43

y(–1, 4)


6. a) m = − 4

5 b = 1

b) m = 4 b = 1

c) m = –2 b = –2

d) m = 4 b = –2

7. Són paral·leles les rectes b) i d) perquè tenen el mateix pendent m = 4.

8.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

P (3, 0)

Q (0, –1)

MATeMÀTIQUeS 3

153

LA

Els punts de tall amb els eixos de coordenades són els dos punts donats: P (3, 0) i Q (0, –1).

9. En els punts P (3, 0) i Q (0, –5).

Comprovem que els dos punts verifiquen l’equació de la recta de la gràfica:

(3, 0) → 0 = − =5· 3 5 0

3

(0, –5) → –5 = 0 – 5 = –5

10. És una funció constant.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2–3

3

3

x5

567

y

f(x) = 6

11.

x –2 –1 0 1 2

f(x) = –3x 6 3 0 –3 –6

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5

y

–5

(–2, 6)6

–6

(–1, 3)

(0, 0)

(1, –3)

(2, –6)

f(x) = –3x


12. Resposta oberta. Per exemple: f(x) = 2

x

13. a)

x –1 0 2

f(x) = –x – 4 –3 –4 –6

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5–6

(–1, 3) (0, –4)

(2, –6)

f(x) = –x – 4

b)

x –1 0 2

f(x) = 1

4x + 2

7

42

5

2

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = 1

4x + 2

c)

x –1 0 2

f(x) = 4x – 3 –7 –3 5

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5–6–7

(0, –3)

–8

43

y

(2, 5)

(–1, –7)

5

f(x) = 4x – 3

14. f(x) = –x + 2.

15. y = 4x – 1

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = 4x – 1

16. f(–1) = 8 La imatge de –1 és 8.

f(0) = 0 La imatge de 0 és 0.

x = –2 L’antiimatge de 16 és –2.

17. Les rectes a, c i d corresponen a funcions creixents, i la recta b, a una funció decreixent.

La recta a) correspon a la representació gràfica d’una funció lineal perquè passa pel punt (0, 0). Les rectes b), c) i d) corresponen a les representacions gràfiques de fun-cions afins perquè no passen pel punt (0, 0) sinó per un altre punt (0, b).

154

MATeMÀTIQUeS 3LA

18. a) f(3) = 17

b) x = 0 → L’antiimatge de –1 és 0.

c) f(–1) = –7 → La imatge de –1 és –7.

d) f(1

3) = 1

19. P (0, 2), Q (–2

5, 0)

La recta talla els eixos en els punts P (0, 2) i Q (–2

5, 0).

20. L = πd → L = 3,14d

x 1 2 3,5

L = 3,14d 3,14 6,28 10,99

21. f(x) = 2x – 2

És una funció afí perquè la seva expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b.

22. Resposta oberta. Per exemple, la relació que s’estableix entre el primer dia de cada mes i el nombre que li corres-pon al calendari

x → 1r dia de qualsevol mes de l’any

f(x) = 1

La seva representació gràfica és una recta paral·lela a l’eix de les abscisses, els punts de la qual passen sempre per (x, 1).

23.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5

y = x – 3

–6–7

(0, –3)

–8

43

y

(1, –2)

(0, 1)

(1, 3)

(–4, –7)

y = 2x + 1

Les rectes es tallen al punt P (–4, –7), per tant, la solució del sistema és:

x = –4 y = –7

24. Resposta oberta. Per exemple: la relació que s’estableix entre el nombre d’alumnes d’una classe i el nombre de carpetes de material comunitari en el grup, si cada alum-ne rep dues carpetes i n’hi ha sis per a l’arxiu del grup.

25. f(x) = 20x + 35

x (dies) 1 2 3 4 5 6 7

f(x) = 20x + 35 (€) 55 75 95 115 135 155 175

1 2 3 7Dies

20

Impo

rt (€

)

0 4 5 6

40

60

80

100

120

140

160

180

200

26.

x –1 0 2

f(x) = –3x 3 0 –6

f(x) = –3x + 1 4 1 –5

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5

y = –3x + 1

–6–7

43

y

y = –3x

Aquestes dues rectes són paral·leles perquè tenen el mateix pendent m = –3.

27. y = x

Els valors de x, els litres de combustible, només poden ser positius.

x (L) 0 1 2

f(x) = x (€) 0 1 2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3x

5

43

y

y = x

És una funció lineal, amb valors de la variable indepen-dent positius, x > 0.

28. y = 4x + 6

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1 3x

5

43

y

y = 4x + 6

65

87

109

MATeMÀTIQUeS 3

155

LA

29.

x –1 0 2

f(x) = 3x – 7 –10 –7 –1

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5

y = 3x – 7

–6–7–8

y

–9

–10

És una funció afí perquè la seva expressió algèbrica és del tipus f(x) = mx + b i és creixent perquè el pendent és positiu.

30. a) f(–1) = –4

b) f(0) = –5

c) x = –10

Ampliació

1. f(6) = 27

5, f(

3

4) =

33

10, x = –15, x =

−27

4

2.

x –1 0 2

f(x) = x – 2 –3 –2 0

f(x) =

12

4x − –

9

4–2 –

3

2

f(x) = –2x – 2 0 –2 –6

f(x) = –2 –2 –2 –2

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5–6–7

43

y

y = x – 2

y = 1

24

x − y = –2x – 2

y = – 2

Les quatre rectes passen pel punt P (0, –2). La seva orde-nada a l’origen és, en les quatre rectes, b = –2.

3. a) y = x – 2 → (0, –2) i (1, –1)

y = x + 1 → (0, 1) i (1, 2)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = x – 2

y = x + 1

Les dues rectes són paral·leles i, per tant, no es tallen. El sistema d’equacions no té solució: és incompatible.

b) y = x + 5 → (0, 5) i (1, 6)

y = –2x + 1

2 → (0,

1

2) i (1, − 3

2)

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

5

y

6

7

y = –2x + 12

y = x + 5

Les dues rectes es tallen en el punt P ( − 3 7,

2 2). El siste-

ma és compatible i determinat. La solució del siste-

ma és x = − 3

2.

y = 7

2.

c) Tal com succeeix a l’apartat a), les dues rectes seran

paral·leles perquè tenen el mateix pendent m = 1

2 i

diferent ordenada a l’origen, per tant el sistema és incompatible perquè no té solució.

d) y = 4x + 2 → (0, 2) i (1, 6)

y = +8 6

2 3x → (0,

6

3) i (1,

36

6), és a dir, (0, 2) i (1, 6).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

5

y

6

7

y = 4x + 2

Les dues equacions corresponen a la mateixa recta. El sistema té infinites solucions i és compatible inde-terminat.

156

MATeMÀTIQUeS 3LA

4. El sistema d’equacions demanat és:

= − − = −

4 2

3 33 11

4 4

y x

y x

5.

Núm. hores 1 2 3 4 5

Import (€) 2 3,5 5 6,5 8

1 2 3Núm. hores

2

Impo

rt (€

)

0 4 5

3,5

5

6,5

8

No és una funció afí perquè la seva representació gràfica no és una recta i, per tant, els parells de valors que la de-terminen no es relacionen mitjançant l’expressió algèbri-ca f(x) = mx + b.

6. Els punts de tall de la recta amb els eixos de coordena-

des són P (0, 2

5) i Q (

2

5, 0).

7. a) m = 1

3, b =

1

3

b) m = − 1

2, b =

3

2

c) m = 3

2, b =

3

2

d) b = 3,5, m = –3,5

8. L’equació demanada és y = –5x + 17

4.

9. f(x) = 0,75x + 13

x = =43

57,30,75

Aquest ciutadà va consumir 57,3

m3 d’aigua.

10. Resposta oberta, per exemple:

Funció creixent → y = 4x + 6 pendent positiu.

Funció decreixent → y = –2x + 6 pendent negatiu.

Funció constant → y = 6 pendent = 0.

11. f(x) = 2

3x és una funció lineal i, per tant, passa per (0, 0).

Una altra parella de valors que la verifica és, per exemple, (6, 4). La seva representació gràfica és una recta que passa per aquests dos punts:

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

y = 23

x – 3

y = 23

x

Si traslladem cada punt de la recta tres unitats vertical-ment cap avall, s’obté una altra recta paral·lela a la prime-ra i que passa per (0, –3). Aquesta nova recta té pendent

m = 2

3 i ordenada a l’origen b = –3. La seva equació és:

y = −23

3x .

12. a) Pendent positiu perquè és una funció creixent i orde-nada a l’origen negativa.

b) Pendent negatiu perquè és una funció decreixent i ordenada a l’origen positiva.

c) Pendent negatiu i ordenada a l’origen negativa.

d) Pendent positiu i ordenada a l’origen 0.

13.

1 2 3 7Hores

100

km

0 4 5 6

200

300

400

500

600

700

x

y

t = 6 hd , d = 600 km

14. L’equació de la recta demanada és y = –6x + 21.

15. f(2

3) =

−− −= = = − = −

2 10 85 · 6 6 8 1 43 3 3 ·

6 6 6 3 6 9

16. Trobem l’equació de la recta PQ, és a dir, de la recta que passa per P i Q:

8 6

4 3

m b

m b

= + = +

8 6

4 3

b m

b m

= − = −

→ 8 – 6m = 4 – 3m → –3m = –4

→ m =

4

3

b = − ⋅ 48 6

3 = 8 – 8 = 0

→ b = 0

L’equació de la recta PQ és y = 4

3x .

Comprovem si les coordenades del punt R verifiquen la igualtat anterior:

MATeMÀTIQUeS 3

157

LA

– = − ⋅ 44 3

3 → –4 ≠ –4

Els tres punts no pertanyen a la mateixa recta perquè les coordenades del punt R no verifi quen l’equació de la recta PQ.

17. 1 1

2122

f = =

Antiimatge d’1,5 →1 1

1,5 0,61,5

xx

= → = =

18. Les dues funcions són afi ns. Les seves representacions gràfi ques són dues rectes, paral·leles entre elles perquè tenen el mateix pendent m = 6. Les dues rectes no es tallen en cap punt.

f(x) = 6x + 3 → (0, 3) i (1, 9)

f(x) = 6x – 3 → (0, –3) i (1, 3)

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

x5

6789

y10

–3

y = 6x – 3

y = 6x + 3

19. Les rectes es tallen en el punt (5, –28).

20. L’equació de la recta que es demana és y = x – 1.

d’avaluació

Indica si és cert o fals cadascun dels enunciats següents. Justifi ca la resposta:

1. Fals. El nombre d’articles és la variable independent.

2. Cert. f(x) = 2x.

3. Fals. Els valors de la variable dependent es representen a l’eix de les ordenades.

4. Cert. És una recta que passa per O (0, 0).

5. Fals. f(4) = 2 · 4 = 8.

6. Cert. f(4

5) = ⋅ 4

55

= 4.

7. Fals. 9 = 3x → x = 3.

8. Cert. 15 = 5x → x = 3.

9. Fals. És una recta que passa pel punt (0, –7).

10. Fals. És una funció de proporcionalitat inversa.

11. Cert. f(20) = 5.

12. Fals. És decreixent perquè el pendent és negatiu, m = –1.

13. Cert. f(10) = 10 – 3 = 7.

14. Fals. 6 = 2x – 4 → x = 5.

15. Fals. Té pendent m = 1.

16. Fals. És la bisectriu dels 2n i 4t quadrants.

17. Fals. És una recta que passa pel punt (0, 6).

18. Fals. No es tallen en cap punt: són rectes paral·leles.

19. Fals. Són (x, 0) i (0, y).

20. Cert. m = –7.


Coneixements previs

• a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

b) (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1

c) 3(x – 2)2 = 3x2 – 12x + 12

d) 2

21 12 2 2

2 2x x x + − = +

• a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

b) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

c) 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2

d) 4x2 – 4

3 x +

1

9 = (2x –

1

3)2

• a) f(2) = − 3

2 ; f(−4) = −3; f(0) = − 2; f(5) = − 3

4

b) x = 20; x = 0

c) x = 8

• a) x1 = 2 i x

2 = 3

b) x1 = 0 i x

2 = 3

c) x1 =

1

3 i x

2 = − 1

3

Activitats

Proposades

1. a) taronja b) verda c) blava d) vermella e) marró

2. f(–2) = –4 + 2 = –2; f(2) = –4 – 2 = –6. Les antiimatges del 0 són les solucions de l’equació: –x2 – x = 0 → x

1= 0

i x2 = –1.

3. c = 1. El vèrtex V(0, 1) i és un màxim.

158

MATeMÀTIQUeS 3LA

4. V(0, –3); el vèrtex de la desplaçada és V(0, –1) i la funció, f(x) = 2x2 – 1.

5. c = –6.

6. V(5

2,

25

4) i és un màxim; eix de simetria: x =

5

2.

7. Segons els colors, blava: f(x) = 1

2x2 – 3; lila: f(x) =

1

2x2 + 4.

8. a = 1

2 → f(x) =

1

2x2. Per la simetria, també hi pertany el

punt P2 → f(–5) =

25

2.

9. Punts de tall amb els eixos: (0, 0) i (5

2, 0).

x 05

21

3

2

5

4

f(x) 0 0 –3 –3 − 25

8

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = 2x2 – 5x

10. Branques més obertes:

a) f(x) = 2x2 b) f(x) = 1

2x2 c) f(x) = − 1

3x2.

Són obertes cap avall: f(x) = –4x2; f(x) = –x2 i f(x) = − 1

3x2.

11. c = –1.

12. a) V(0, –7) b) V(7, 0) c) V(5, –1) d) V(6, –36)

13. a) Talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 18). No talla l’eix de les abscisses, perquè l’equació 2x2 + 18 = 0 no té solució.

b) Punts de tall: (0, 0) i (3, 0).

c) Punts de tall: (0,1) i (1, 0).

d) Només talla l’eix d’ordenades (0, 3).

14. El vèrtex de f(x) = x2 – 8x + 12 és V(4, –4) i el de f(x) = –x2 + 8x –12 és V(4, 4). Sí, tenen el mateix eix de

simetria, és la recta x = 4.

x 0 2 6 4 1 7

f(x)= x2 – 8x + 12 12 0 0 –4 5 5

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

9

y

–5

5678

12

1011

6 7

f(x) = x2 – 8x + 12

f(x) = x2 + 8x – 12

Els valors de la segona funció són els oposats de la pri-mera per a cada valor de x. Tenen la mateixa forma, però les branques s’obren en sentits oposats.

15. El vèrtex de les dues és el mateix: V(5, 0) i es troba en l’eix de les abscisses. Les dues funcions són oposades, simè-triques respecte de l’eix de les abscisses i d’eix de sime-tria tenen la recta x = 5.

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5

5

6 7 6 7

f(x) = x2 – 10x + 25

f(x) = x2 + 10x – 25

16. a) Punts de tall: (0, 4) amb l’eix d’ordenades. Els punts

són: (1, 0) i (4, 0 ). El vèrtex és V(5

2, − 9

4).

b) Punts de tall: (0, 0) i (4, 0). Vèrtex: V(2, 0).

c) Punts de tall: (0, –12), (3, 0) i (–4, 0). V( − 1

2, − 49

4).

d) Punts de tall: (0, –3), (–1, 0) i (3, 0). V(1, –4).

17. Una paràbola no talla l’eix de les abscisses quan l’equació de la funció associada no té cap solució.

18. Antiimatges de 3: x1 = 1 i x

2 = 3. Els punts simètrics són

els que tenen la mateixa ordenada: (1, 3) i (3, 3).

19. A: a > 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac > 0

B: a < 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac > 0

C: a < 0; b > 0; c < 0; b2 – 4ac = 0

D: a > 0; b < 0; c > 0; b2 – 4ac < 0

20. a) Només talla l’eix d’ordenades, (0, 7).

b) (0, 1), (1

2, 0) i (

1

3, 0)

MATeMÀTIQUeS 3

159

LA

c) (0, 0) i ( − 5

3, 0)

d) Només talla l’eix d’ordenades, (0, 28), perquè l’equació (x – 3)2 = –5 no té solució.

Activitats fi nals

Reforç

1. Imatges: f(1) = –2; f(–1) = –2; f(1

2) = − 1

2; f( − 1

3) =

2

9− .

Antiimatges: –2x2 = –4 2 2 2x x→ = → = ± dues anti-imatges. 1 no té antiimatge, perquè –2x2 < 0 per a qual-sevol valor de x.

2. Els punts de tall amb els eixos són (0, –4), (2, 0) i (–2, 0). La taula:

x 0 2 –2 3 –3

f(x) = x2 – 4 –4 0 0 5 5

El vèrtex és V(0, –4) i és un mínim. Les branques s’obren cap amunt.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

5y

–5

f(x) = x2 – 4

3. f(x) = 2x2

f(x) = –2x2

f(x) = – 13x2

f(x) = 13x2

4. Punts de tall: (0, 0) i (–3, 0). Vèrtex: V( − 3

2, − 9

4). L’eix de

simetria és la recta d’equació x = − 3

2. Les branques

s’obren cap amunt.

5. a) a = –4 → f(x) = –4x2 + 5.

b) Vèrtex V(0, 5), i és un màxim.

c) Les branques s’obren cap avall.

d) La funció és creixent per a x < 0.

6. A: a > 0 i c < 0

B: a > 0 i c > 0

C: a < 0 i c > 0

7. a) f(x) = 3x2 b) f(x) = –5x2 c) f(x) = –5x2

Les funcions de l’apartat c tenen la mateixa obertura.

8. x2 – 6x + 5 = 0 → x1 = 1 i x

2 = 5. Els punts de tall són

(1, 0), (5, 0) i (0, 5). El vèrtex és V(3, –4).

2 4

2

4

0

1

1–2–3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

–5

5

6 7 6 7

V(3, –4)

9. c = 10

La gràfica no talla l’eix de les abscisses, perquè b2 – 4ac = –24 < 0.

10. Les tres funcions tenen de vèrtex el punt (0, 0) i d’eix de simetria la recta x = 0, i les branques s’obren cap amunt. La funció c és la que té les branques més obertes, i la b és la que les té més tancades.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67 f(x) = x2

f(x) = 4x2

f(x) = 14

x2

11. a) V(0, 2), i és un màxim.

b) V(2, –12), i és un mínim.

c) V(1

2− , 3), i és un mínim.

d) V(3

2,25

4), i és un màxim.

12. Punts de tall: a) (0, 4) i (2

3, 0) b) (0, 0) i (

1

5, 0) c) (0, 16) i

(–8, 0) d) (0, 1

2), i les abscisses de les dues solucions de

l’equació donen, aproximadament, (–0,31, 0) i (–0,81, 0).

13. b = –1 i c = 2

160

MATeMÀTIQUeS 3LA

14.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3x

5

–5

f(x) = –6–6–7–8

43

y

f(x) = x2 – 5x

Els punts que tenen en comú són (2, –6) i (3, –6).

15.

x

ya)

x

yb)

x

yc)

x

yd)

Ampliació

1. x1 = 1 i x

2 = 3 són les antiimatges.

2. xV = 1, c = –16. La funció és f(x) = 2x2 – 4x – 16.

3. x1 = 2 i x

2 = –2 són les antiimatges de – 5.

–2x2 + 3 = 11 → –2x2 = 8 no té solució, per tant, 11 no té antiimatges, com pot passar per a altres nombres i pas-sarà per als nombres més grans que 3, com 11, ja que en restar 3 donarà positiu i –2x2 < 0, per a qualsevol x.

4. c = 0, a = 1 i b = –6..

5. 1. a > 0; b < 0 i c > 0

2. a < 0; b > 0 i c > 0

3. a < 0; b > 0 i c < 0

4. a > 0; b < 0 i c > 0

6. b1 = –6 i b

2 = 6. Hi ha dues funcions que verifiquen

aquesta condició: f(x) = x2 + 6x +9, amb vèrtex en el punt (–3, 0) i f(x) = x2 – 6x + 9, amb vèrtex en el punt (3, 0).

7. a) Cap punt. b) Un punt.

c) Dos punts. d) Cap punt.

8. c = 12, b = –8.

9. f(x) = − 1

2x2 + 2x – 1

10.

2 4

2

4

0

1

5

1–4 –2–5 –3 –1–1–2

3

3

y

x5

67

f(x) = x28

f(x) = –x2 + 8

Tenen dos punts en comú: (2, 4) i (–2, 4).

11. a) Les dues dimensions del rectangle es poden repre-sentar per x i per 6 – x. A = f(x) = = x(6 – x) = 6x – x2.

b)

2 4

2

4

0

1

5

1 3

3

y

x5

67

8

6 7

9

c) La gràfica és una paràbola amb el vèrtex en el punt (3, 9), i és un màxim. El rectangle de més superfície és un quadrat de costat 3 cm i d’àrea 9 cm2.

MATeMÀTIQUeS 3

161

LA

12.

2 4

10

20

0

5

25

1 3

15

y

x5

3035

40

6 7

45

El vèrtex de la paràbola és el punt (3, 45), i és un màxim. Per a t = 3 s s’assoleix la màxima altura, h = 45 m.

d’avaluació

Digues si són certes o falses les afi rmacions següents:

1. Fals

2. Fals

3. Cert

4. Fals

5. Cert

6. Fals

7. Fals

8. Cert

9. Fals

10. Cert

11. Fals

12. Fals

13. Cert

14. Fals

15. Fals

16. Cert

17. Cert

18. Fals

19. Cert

20. Cert


Coneixements previs

• n = 4 + 5 + 8 + 10 + 7 + 6 = 40

Les freqüències relatives són:

4 5 8 10 7 6 = 0,1; = 0,125; = 0,2; = 0,25; = 0,175; = 0,15

40 40 40 40 40 40

Els tants per cent són: 10 %; 12,5 %; 20 %; 25 %; 17,5 %; 15 % .

• Suma de les freqüències relatives:

0,1 + 0,125 + 0,2 + 0,25 + 0,175 + 0,15 = 1

La suma dels tants per cent és 100, tal com es detalla a continuació:

10 + 12,5 + 20 + 25 + 17,5 + 15 = 100

• Dels cinc primers: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Dels sis primers: 15 + 6 = 21.

Dels set primers: 21 + 7 = 28.

Dels vuit primers: 28 + 8 = 36.

• 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30

La posició central és el vuitè lloc, i l’ocupa el nombre 16.

• (10 + 1) 5 11 5 11

= = = 5,510 10 2

⋅ ⋅

Activitats

Proposades

1. a)

2

Temps (min)

14

18

20Fr

eqüè

ncia

abs

olut

a ac

umul

ada

0

8

4 6 8 10 12

3


Mitjana: = 6,7x min.

Mediana: =

6,6M min.

2. Perquè els caràcters de la variable qualitativa no es po-den ordenar a partir de cap criteri, si aquesta és nominal.

3.


67

11

13

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

3


20

37

31

40

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

7

162

MATeMÀTIQUeS 3LA

4.

Volum (L)


acumulada




acumulada% %

acumulat

[0, 10) 4 4 0,1

3 0,1

3 13,

3 13,

3

[10, 20) 10 6 0,2 0,3

3 20,0 33,

3

[20, 30) 19 9 0,3 0,6

3 30,0 63,

3

[30, 40) 27 8 0,2

6 0,9 26,

6 90,0

[40, 50) 30 3 0,1 1 10,0 100,0

30 1 100

5. a)



acumulada



acumulada% %

acumulat

4 3 3 0,143 0,143 14,3 14,3

5 2 5 0,095 0,238 9,5 23,8

6 6 11 0,286 0,524 28,6 52,4

7 4 15 0,19 0,714 19 71,4

8 3 18 0,143 0,857 14,3 85,7

9 3 21 0,143 1 14,3 100,0

21 1 100,0


4 3 + 5 2 + 6 6 + 7 4 + 8 3 + 9 3 = =

21x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 × 3 + 5 × 2 + 6 × 6 + 7 × 4 + 8 × 3 + 9 × 3 12 + 10 + 36 + 24 + 24 + 27 137 = = = = 6,524

21 21 21x


= 4 0,143 + 5 0,095 + 6 0,286 + 7 0,19 + 8 0,143 + 9 0,143 == 0,572 + 0,475 + 1,716 + 1,33 + 1,144 + 1,287 = 6,525x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


4 14,3 + 5 9,5 + 6 28,6 + 7 19 + 8 14,3 + 9 14,3 = =

10057,2 + 47,5 + 171,6 + 133 + 114,4 + 128,7 652,4

= = = 6,524100 100

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) Primera manera: 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9 → M = 6.

Segona manera: = → + 1 22 21 = = 11

2 2

nn ; 11è

lloc → M = 6.

6. La moda és m = 2 oC.

La mitjana és: =x 1,9 oC.

La mediana és M = 2 oC.

7. La moda és 7, perquè és el valor de la variable que té més freqüència absoluta.

4 + 5 6 + 6 4 + 7 8 + 8 7 + 9 2 + 10

= = 29

4 + 30 + 24 + 56 + 56 + 18 + 10 198= = = 6,83

29 29

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

6,83

La mediana és M = 7.

8. La classe modal és l’interval (86, 90].

La mitjana és = 84,53x

pulsacions per minut.

La mediana és M = 85,6 pulsacions per minut.

9. Amb les freqüències relatives:

67,5 0,1 + 72,5 0,2 + 77,5 0,3 + 82,5 0,25 + 87,5 0,15 = = 6,75 + 14,5 + 23,25 + 20,625 + 13,125 = 78,25

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


67,5 10 + 72,5 20 + 77,5 30 + 82,5 25 + 87,5 15 =

100675 + 1450 + 2 325 + 2 062,5 + 1312,5 7 825

= = = 78,25100 100

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

En ambdós casos dóna el mateix; per tant, la mitjana és = 78,25x kg.

10. a) Amb les freqüències absolutes:

2,5 2 + 3,5 5 + 4,5 6 + 5,5 8 + 6,5 9 + 7,5 2 =

325 + 17,5 + 27 + 44 + 58,5 + 15 167

= = = 5,2187532 32

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


2,5 0,0625 + 3,5 0,15625 + 4,5 0,1875 + 5,5 0,25 + + 6,5 0,28125 + 7,5 0,0625 = 0,15625 + 0,546875 + + 0,84375 + 1,375 + 1,828125 + 0,46875 = 5,21875

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅


2,5 6,25 + 3,5 15,625 + 4,5 18,75 + 5,5 25 + 6,5 28,125 + 7,5 6,25 =

10015,625 + 54,6875 + 84,375 + 137,5 + 182,8125 + 46,875

= = 100

521,875= = 5,21875

100

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La mitjana és 5,21875x = h.

b) La mediana és M = 5,375 h.

11. La classe modal és l’interval [15, 20).

Mitjana: =

19,16x min.

La mediana és M = 20 min.

12. a)

Temp. ºC Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

–3 1 1 0,0

6 0,0

6 6,

6 6,

6

–2 3 4 0,2 0,2

6 20 26,

6

–1 4 8 0,2

6 0,5

3 26,

6 53,

3

0 3 11 0,2 0,7

3 20 73,

3

1 2 13 0,1

3 0,8

6 13,

3 86,

6

2 2 15 0,1

3 1 13,

3 100

15 1 100

28

6,524

MATeMÀTIQUeS 3

163

LA

b) La moda és m = –1 oC

Mitjana: = −0,46x oC

Mediana: M = –1 oC.

13. a) Mitjana de la variable nombre de gols marcats:

=

7,4x gols.

La mediana és M = 7 gols.

b) Mitjana de la variable temps jugat:

=

5,5y h.

c) Entre tots els jugadors han jugat 50 hores. La mitjana anterior indica que si cadascun dels nou jugadors ha-gués jugat =

5,5y hores la suma total dels temps jugats també seria de 50 hores.

14. a)

86 8 6,3(15 ) 86 8 94,5 6,38,5

1,7 8,5 51,7

f f f f

f f

+ = + → + = + →

→ = → = =

b)

Valors Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

4 8 8 0,4 0,4 40 40

6 3 11 0,15 0,55 15 55

8 5 16 0,25 0,8 25 80

9 4 20 0,2 1 20 100

20 1 100

c) La moda és m = 4.

La mediana és M = 6.

15. Si anomenem a el valor central demanat, tenim que:

+ = → + = → =12,513,25 12,5 26,5 14

2

aa a

16. a)

10Edat (anys)

14

25

36

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

0

38

34

6

42

20 30 40 50 60 70 80

10Edat (anys)

92

130

164

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

50

189

20 30 40 50 60 70 80

14

195


Mitjana: ≅ 42,23x anys.

Mediana: M = 41,58 anys.

17. Mitjana: = 20,04x fl exions.

Mediana: M ≅ 40,588 anys.

Activitats fi nals

Reforç

1. Sí, hi ha un error, ja que un de cada cinc europeus és

=10,2

5, i això seria el 20%, i no el 20,5%.

2. n = 4 + 6 + 9 + 11 + 7 + 3 = 40

Per calcular les freqüències relatives, cal dividir cada valor de la freqüència absoluta entre 40, d’on s’obté:

= = = = = =4 6 9 11 7

0,1; 0,15; 0,225; 0,275; 0,175;40 40 40 40 40

= = = = = =4 6 9 11 7 3

0,1; 0,15; 0,225; 0,275; 0,175; 0,07540 40 40 40 40 40

Per calcular els tants per cent, multipliquem cada valor de la freqüència relativa per 100, i obtenim:

10%; 15%; 22,5%; 27,5%; 17,5%; 7,5%

3. Són respostes obertes, que depenen de la resposta de les persones enquestades.

4. La moda és m = 5.

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + += = = =5 2 7 4 8 8 9 5 10 10 28 64 45 10 157

7,8520 20 20

x

1 2 3 2 4 3 5 5 6 4 7 2

181 2 6 12 25 24 14 84

4,618 18

x+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + + + += = =

Mediana: M = 5.

5. Si m = 8, per la taula sabem que x = 8, ja que és el que té més freqüència absoluta.

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + += = = =5 2 7 4 8 8 9 5 10 10 28 64 45 10 157

7,8520 20 20

x 7,85

Mediana: M = 8.

6. La mitjana és =

20,13x punts.

M = 21 punts.

7. + + + + + += = ≅2 3 4 6 7 9 10 41

5,8577 7

x

Si multipliquem tots els valors per 5, obtenim uns nous valors que són: 10, 15, 20, 30, 35, 45 i 50, la mitjana dels quals és:

+ + + + + += = ≅10 15 20 30 35 45 50 20529,285

7 7y

La mitjana també queda multiplicada per 5, ja que = ⋅5y x .

8. a) 0,143 Cx ≅ − °

b) 9,143 Cy ≅ °

164

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) Les oscil·lacions tèrmiques són:

11 oC – 4 oC = 7 oC; 10 oC – (–2 oC) = 12 oC ; 9 oC – (–2 oC) = = 11 oC; 10 oC – 1 oC = 9 oC; 4 oC – (–4 oC) = 8 oC; 8 oC – 0 oC = = 8 oC; 12 oC – 2 oC = 10 oC

+ + + + + + = ≅7 12 11 9 8 8 10 659,286

7 7 → 9,286 Cz ≅ °

També es pot calcular més fàcilment fent:

z y x= − ≅ 9,143 oC – (–0,143 oC) = 9,286 oC

9. a)

€ Freqüènciaabsoluta


acumulada



acumulada% %

acumulat

1 5 5 0,119 0,119 11,9 11,9

2 10 15 0,238 0,357 23,8 35,7

3 15 30 0,357 0,714 35,7 71,4

4 8 38 0,191 0,905 19,1 90,5

5 4 42 0,095 1 9,5 100,0

42 1 100,0


1€ 5 2 € 10 3 € 15 4 € 8 5 € 4

425 € 20 € 45 € 32 € 20 € 122 €

2,91€42 42

x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + += = ≅


1€ 0,119 2 € 0,238 3 € 0,357 4 € 0,191 5 € 0,095

0,119 € 0,476 € 1,071€ 0,764 € 0,475 € 2,91€x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ == + + + + ≅


1€ 11,9 2 € 23,8 3 € 35,7 4 € 19,1 5 € 9,5

10011,9 € 47,6 € 107,1€ 76,4 € 47,5 €

100290,5€

2,91€100

x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ + + += =

= ≅

c) n = 42 → llocs 21è i 22è → M = 3 €.

10. La mitjana és = 3,6125x punts.

La mediana és M = 4 punts.

11. a)

60

Pes (kg)

12

18

24

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

10

65 70 75 80 85

26

90


La mitjana és = 73,9x kg.

La mediana és M ≅ 73,077 kg

12. a) La mitjana és = 100x punts.

b) La mediana és M = 102,5 punts.

13. a)

80Mesura (cm)

810

22

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

4

85 90 95 100 105

24

110

32

80Mesura (cm)

14

38

70Fr

eqüè

ncia

abs

olut

a ac

umul

ada

4

85 90 95 100 105

100

110

92



Mediana: M = 96,875 cm.

14. Indicant amb x la segona nota, de l’enunciat del problema obtenim:

0,5 6,5 4,8 2 11,85,6 5,6

4 410,6

2 11,8 22,4 2 10,6 5,32

x x x

x x x

+ + + + += → =

+ = → = → = =

En la primera prova va treure un 5,8, i en la segona, un 5,3.

15. Si ordenem de més petit a més gran els diferents temps:

10,8; 11,2; 11,3; 11,5; 11,7; 12,1; 12,4

S’observa que el valor central és 11,5; per tant, la mediana és: M

1 = 11,5 s.

L’últim atleta en arribar ha fet un temps de 10,8 s + 2,2 s = =13 s.

De manera que els nous temps ara són:

10,8; 11,2; 11,3; 11,5; 11,7; 12,1; 12,4; 13

Hi ha dos valors centrals; tenim, doncs:

+ = =11,5 11,7 23,211,6

2 2 → M

2 = 11,6 s.

MATeMÀTIQUeS 3

165

LA

Ampliació

1. a) Els valors de la variable que són més petits que la mit-jana tenen més freqüència absoluta.

b) Aquí passa al revés, els valors més grans de x tenen la freqüència absoluta més gran.

c) Els valors més grans i més petits que la mitjana estan equilibrats.

2. Sí que és possible; perquè això passi, la variable ha de prendre valors positius i negatius. Per exemple, la mitja-na dels valors –2, –1, 1 i 2 és 0.

3. a) M = 13.

b) M = 7.

c) M = –1,5.

4. Sí, ja que si n = 50, la mediana serà la mitjana dels valors corresponents als individus 25è i 26è. Si cap individu mesura 1,72 m, vol dir que x

25 < 1,72 m i x

26 > 1,72 m i, per

tant, just la meitat dels individus de la mostra mesuren menys d’1,72 m, i l’altra meitat mesuren més d’1,72 m.

5. Màxima puntuació mitjana: 8

Mínima puntuació mitjana: 7,3

Per tant, les possibles notes mitjanes són: 7,3; 7,4; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9 o 8.

6. 9 h 37 min + 5 min 30 s = 9 h 42 min 30 s.

7. a)

Suma de punts

45

8

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

2

2

11

19

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9

1213

0

b)

Suma Freqüènciaabsoluta


acumulada


acumulada

%acumulat

2 4 4 0,04 4

3 5 9 0,09 9

4 8 17 0,17 17

5 12 29 0,29 29

6 13 42 0,42 42

7 19 61 0,61 61

8 11 72 0,72 72

9 9 81 0,81 81

10 9 90 0,9 90

11 8 98 0,98 98

12 2 100 1 100

100

c) La mitjana és = 6,97x punts.

M = 7 punts.

8.


[2,75; 3) 4 0,08

[3; 3,25) 18 0,36

[3,25; 3,5) 20 0,4

[3,5; 3,75) 6 0,12

[3,75; 4) 2 0,04

50

La classe modal és l’interval [3,25; 3,5)

Càlcul de la mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =2,875 4 3,125 18 3,375 20 3,625 6 3,875 2 11,5 56,25 67,5 21,75 7,75 164,75

3,29550 50 50

x 3,295

Càlcul de la mediana: M = 3,25 + 0,0375 = 3,2875

9. a)

Qualificacions [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)


b)

2Notes

29

40

50

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0

11

4 6 8 10

1

c) La classe modal és l’interval [4, 6).

Càlcul de la mediana: = + =

4 1,5 5,5M

d) A partir de les freqüències absolutes:

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =1 3 10 5 18 7 11 9 10 1 30 90 77 90 2885,76

50 50 50x

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =1 3 10 5 18 7 11 9 10 1 30 90 77 90 2885,76

50 50 50x

A partir de les freqüències relatives:

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + + =0,02 3 0,2 5 0,36 7 0,22 9 0,2 0,02 0,6 1,8 1,54 1,8 5,76x

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + + =0,02 3 0,2 5 0,36 7 0,22 9 0,2 0,02 0,6 1,8 1,54 1,8 5,76x

166

MATeMÀTIQUeS 3LA

10. a)

Pes (kg)Freqüència

absoluta acumulada




acumulada% %

acumulat

[60, 65) 10 10 0,1 0,1 10 10

[65, 70) 34 24 0,24 0,34 24 34

[70, 75) 60 26 0,26 0,6 26 60

[75, 80) 78 18 0,18 0,78 18 78

[80, 85) 90 12 0,12 0,9 12 90

[85, 90) 100 10 0,1 1 10 100

100 1 100

b)

60Pes (kg)

1012

18

Freq

üènc

ia a

bsol

uta

65 70 75 80 85

24

90

26

c) Classe modal: [70, 75)

Mitjana: = 73,9x kg

Mediana: M ≅ 73,077 kg

11. a)

Alçada (cm) Marca de classe



acumulada



acumulada

[150, 154) 152 2 2 0,02857 0,02857

[154, 158) 156 4 6 0,05715 0,08572

[158, 162) 160 8 14 0,11428 0,2

[162, 166) 164 16 30 0,22856 0,42856

[166, 170) 168 19 49 0,27143 0,7

[170, 174) 172 12 61 0,17144 0,87144

[174, 178) 176 5 66 0,07143 0,94286

[178, 182) 180 3 69 0,04286 0,98572

[182, 186) 184 1 70 0,01428 1

70 1

b) Càlcul de la mitjana: ≅ 167,03x cm

Càlcul de la mediana: M ≅ 167,053 cm

12. a) Mediana: M1 = 6

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 2 6 5 7 4 8 2 9 10 9 8 10 30 28 16 9 10 120

620 20 20

x 6

Mediana: 2

115 65,5

2 2M

+= = =2

115 65,5

2 2M

+= = =

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 5 6 3 7 2 8 9 3 10 9 8 25 18 14 8 27 10 119

5,9520 20 20

y 5,95

Observem que les mitjanes són pràcticament iguals, i que les medianes difereixen només en 0,5 punts. Per tant, si en el grup B canviem un 5 per un 6, aconseguim que:

Mediana: M3 = 6

Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 4 6 4 7 2 8 9 3 10

620 20

z

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + + += = = =3 3 4 2 5 4 6 4 7 2 8 9 3 10 9 8 20 24 14 8 27 10 1206

20 20 20z

Amb el canvi indicat, tenen la mateixa mitjana i la ma-teixa mediana.

d’avaluació


1. Cert

2. Fals

3. Fals

4. Cert

5. Fals

6. Fals

7. Cert

8. Cert

9. Fals

10. Cert

Contesta a, b, c o d segons convingui:

11. b) variable qualitativa nominal.

12. c) 2,5.

13. d) cap de les anteriors.

14. a) 6,7.

15. c) 2,85.

16. b) 6,8

.

17. d) cap de les anteriors.

18. b) 140.

19. c) 38.

20. a) 2,5.

MATeMÀTIQUeS 3

167

LA


Coneixements previs

• En les dues bosses hi ha la mateixa proporció de caramels de xocolata. És indiferent la bossa que es triï.

• En llançar enlaire dues monedes hi ha 4 resultats possi-bles. En 3 resultats apareix una cara com a mínim. No apareix cap cara en un resultat. I no poden aparèixer mai tres creus.

• a) 1

6 b)

1

2 c)

1

2 d)

5

6 e) 0

Activitats

Proposades

1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} C = {3, 6, 9}

2. Probabilitat que sigui del sexe femení → 5

9. Probabilitat

que sigui del sexe masculí 5 4

19 9

→ − = .

3. 45 9

( ) 0,45 45 %100 20

p S = = = →

( ) 1 ( ) 1 0,45 0,55p S p S= − = − =

4. p (obtenir creu) = 125 5

400 16= .

5. p (múltiple de 5) = 36 1

180 5= .

6. p (vermella) = 5 1

10 2= .

P (vermella) = 4

9; p (blava) =

5

9.

7. a) 20,2 %

b) 83,64 %

c) p (dona) = 220 11

500 25= .

d) p (dona no fumadora) = 184 46

500 125= .

8. 1 1 1

2 2 4⋅ = .

La probabilitat que no hi caigui és 1 3

14 4

− = → no són equiprobables.

9. p (Q) = 1

2; p (R) =

1

2 ·

1

2 =

1

4; p (S) =

1

8 = p (T).

10. a) p (A) = 36 3

48 4= . b) p (B) =

12 1

48 4= .

c) p (C) = 36 3

48 4= . d) p (D) =

44 11

48 12= .

11. L’esperança és que surti 7 al voltant de 8 vegades.

12. p (bb) = 3 2 3

5 4 10⋅ = ; p (vv) =

2 1 1

5 4 10⋅ = ; La probabilitat

que siguin del mateix color és la suma de les anteriors: 3 1 2

10 10 5+ = .

13. a) p = 21

100 b) p’ = 1 −

21

100 =

79

100

14. 6 4 1 10 1 2

1 1 153 3 3

nn n n

+ + = → = − = → = .

15. 2

3.

16. 1

300 75 vegades4

⋅ = .

150 vegades.

3300 225 vegades

4⋅ = .

17. a) p (A) = 7

15 b) P (B) =

3 1

15 5=

c) p (C) = 10 2

15 3= d) p (D) =

5 1

15 3=

18. a) Tenen connexió a internet el 20%.

b) p (ord.) = 40 2

100 5= ; p (int.) =

20 1

100 5=

c) Es pot preveure que tinguin ordinador:

2

300 120 famílies5

⋅ = .

I que tinguin internet, la meitat: 60.

19. a) p (b) = 1 3 3

15 7 105⋅ =

b) p (verm.) = 1 2 2

15 7 105⋅ =

c) p (verd) = 1 2 2

15 7 105⋅ =

20. a) Si surten 3 creus vol dir que també sortirà una cara:

p (3 creus) = 1

16.

b) Almenys una cara és el succés contrari de sortir 4

creus: p = 1 − 1

16 =

15

16.

21. a) p = 1 – 0,92 = 0,08

b) p (3 cont.) = 0,92 · 0,85 · 0,96 = 0,75

c) p (cap cont.) = 0,08 · 0,15 · 0,04 = 0,00 048

d) Superen els tres controls: 0,75 · 1 800 = 1 350 unitats.

22. p (bb) = 3 3 9

5 5 25⋅ = ; p (vv) =

2 2 4

5 5 25⋅ = .

p (bv, vb) = 1− 9 4 12

( )25 25 25

+ = .

168

MATeMÀTIQUeS 3LA

23. Es poden donar 104 = 10 000 pins diferents. La probabili-

tat d’encertar-ne un és p = 1

10 000.

24. A cada una de les 15 caselles es pot posar un dels 3 resul-tats; per tant, hi ha 315 travesses possibles. La probabilitat

d’encertar-ne una és p = 15

1

3.

Activitats fi nals

Reforç

1. L’afi rmació més correcta és la que correspon a l’apartat c.

2. a) Quasi segur. b) Quasi impossible.

c) Poc probable. d) Força probable.

3. p (encertar) = 1

4; p (no encertar) = 1 −

1 3

4 4= .

4. p (no sortir X) = 4 2

6 3= . El succés contrari a no sortir X és

sortir X i la probabilitat és 1 − 2 1

3 3= .

5. a) n pot ser 4, 5 o 6 → 3 1

( 4)6 2

p n ≥ = = .

b) n pot ser 1, 2, 3, 4 o 5 → 5

( 6)6

p n < = .

c) n només pot ser 6 → 1

( 6)6

p n ≥ = .

d) n pot ser qualsevol dels números del dau → → p (1 ≤ n ≤ 6) = 1.

6. p (defectuós) = 0,025 → p (no defectuós) = 1 – 0,025 = 0,975. Podem esperar que en aquesta remesa hi hagi 5 400 · 0,025 = 135 cargols que siguin defectuosos.

7. p (B) = 1

5 → p (A) =

4

5.

8. p = 15 5

36 12= .

9. Punts no visibles Punts visibles Sumes

1 2, 3 i 4 9

2 1, 3 i 4 8

3 1, 2 i 4 7

4 1, 2 i 3 6

Dos dels 4 resultats són múltiples de 3: 6 i 9; per tant, p = 1

2.

10. a) Certa, perquè p (oros) = p (espases) = p (bastons) = 12

47.

b) Falsa, perquè 4 4

48 47< .

c) Falsa, perquè la probabilitat és 3

47.

d) Falsa, perquè la probabilitat és 9 3

47 16≠ .

11. a) p (bola blanca o nombre parell) = 7

10.

b) p (bola negra i múltiple de 3) = 2 1

10 5= .

c) p (bola amb nombre més petit que 9) = 8 4

10 5= .

12. a) p (nombre primer) = 2

9.

b) p (múltiple de 3) = 3 1

9 3= .

c) p (nombre parell) = 5

9.

13. Si 1 de cada 5 automòbils poden tenir problemes, 4 de

cada 5 poden no tenir-ne. Podem esperar que 4

80 645

⋅ =

automòbils no presentin el problema en qüestió.

14. p (no encerti) = 13 7

120 20

− = .

Ampliació

1. p (C) = 4

9; p (B) =

1

3 i p (A) =

2

9.

2. a) Agafar 2 dels 6 mitjons es podria fer de 6 · 5 = 30 ma-neres diferents, però com que agafar els mitjons A i B o B i A és el mateix, només tenim la meitat de maneres diferents de fer-ho: 15.

b) Al calaix hi ha 3 parells de mitjons; per tant,

p (dos mitjons del mateix parell) = 3 1

15 5= .

3. a) p (verm., verm.) + p (verd, verd) = 3 2 4 3 3

7 6 7 6 7⋅ + ⋅ =

b) p (verm., verd) + p (verd, verm.) = 3 4 4 3 4

7 6 7 6 7⋅ + ⋅ =

c) p (verm., verd) + p (verd, verm.) + p (verd, verd) =

= 3 4 4 3 4 3 6

7 6 7 6 7 6 7⋅ + ⋅ + ⋅ = .

d) Això vol dir obtenir una bola vermella o no obtenir-ne cap. Es tracta, per tant, de la mateixa probabilitat que

hem obtingut en l’apartat c: 6

7.

4. a) 6 1

36 6p = = .

b) 11

36p = .

c) 1 5

16 6

p = − = .

MATeMÀTIQUeS 3

169

LA

5. 9 11 11 9 99

( , ) ( , )20 20 20 20 200

p A A p A A+ = ⋅ + ⋅ = .

6. 2 1

6 3= .

7. S’aproparan a 1 – 0,43 = 0,57.

8. a) p (1) = 1

21; p (2) =

2

21; p (3) =

3 1

21 7= ; p (4) =

4

21;

p (5) = 5

21; p (6) =

6 2

21 7= .

b) La probabilitat d’obtenir un nombre parell és:

p (2) + p (4) + p (6) = 2 4 2 4

21 21 7 7+ + = .

9. Es poden obtenir 24 = 16 resultats possibles. Tots ells

equiprobables amb probabilitat 1

16.

p (obtenir almenys una cara) = 15

16.

p (no obtenir cap cara) = p (obtenir 4 creus) = 1

16.

Es tracta, en efecte, de dos successos contraris, ja que quan ocorre un no ocorre l’altre, i les seves probabilitats sumen 1.

10. La probabilitat p (almenys una de les dues alarmes funcioni) = = 1 – 0,0048 = 0,9952.

11. Si s’observa l’arbre del text de la unitat, es pot comprovar

que la probabilitat d’obtenir almenys un 6 és 11

36, i la de

no obtenir cap 6 és 25

36. Són dos successos contraris,

perquè les probabilitats sumen 1 i no es poden donar simultàniament.

12. a) p (blanca) = 1

6.

b) p (no vermella) = 1 1 1

6 3 2+ = .

c) p (no blanca ni vermella) = p (negra) = 1

3.

d) p (vermella) = 1

2.

13. 4 1

24 6= .

14. a) 5 1

40 8p = = .

b) p = 4 1

40 10= .

c) p = 4 1

40 10= .

15. 15 14 35

( )27 26 117

p dues noies = ⋅ = ; 12 11 22

( )27 26 117

p dos nois = ⋅ = .

35 22 60 20 ( ) 1 ( )

117 117 117 39p una noia i un noi = − + = = .

d’avaluació

1. c) 8.

2. b) {1, 2, 3, 4}.

3. c) la probabilitat.

4. b) molt segur.

5. d) 1

2.

6. a) 50.

7. b) 1.

8. d) 0,625.

9. a) 1

3.

10. b) 1

12.

11. d) 6.

12. d) 0,4.

13. b) 3 creus.

14. d) 16.

15. d) 1

16.

16. b) igual.

17. c) 0,765.

18. d) no es pot saber amb aquestes dades.

19. b) 1

100.

20. d) 1

10.


Coneixements previs

• ⋅= = =101 50 101

50,5100 2

x

+= = =50 51 10150,5

2 2M

• M = 12 L/m2

=x 13,5 L/m2

• ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =

2 9 3 7,5 3 6,5 5,5 65,57,27

9 9x

• = =45kmv 20 km/h

2,25h

170

MATeMÀTIQUeS 3LA

• = 10x

M = 11

Activitats

Proposades

1. a) En la mediana.

b) En la mediana.

c) La moda.

d) Que el 70 % dels cotxes del mercat valen menys o igual que aquest.

2. mitjana: = 561x min

a) Recorregut: R = 650 min – 400 min = 250 min

⋅= → = =1

1

270 50 120 5022,22

120 270q

q

⋅= → = =11

270 50 120 5022,22

120 270q

q Q

1 = 500 min + 22,22 min = 522,22 min

Q3 = 600 min + 5,36 min = 605,36 min


1 = 605,36 min – 522,22 min =

= 83,14 min

Desviació mitjana: d = 44,8 min

Variància: s =2 2854 min2

Desviació típica: s = 53,42 min

b) D9 = 600 min + 32,14 min = 632,14 min

El 10 % de les bombetes duren més de 632,14 min.

3. a) Q1 = 20 cm + 2,5 cm = 22,5 cm

Q2 = M = 20 cm + 7,5 cm = 27,5 cm

Q3 = 30 cm + 6,82 cm = 36,82 cm

b) D2 = 20 cm + 1,5 cm = 21,5 cm

c) C15

= 20 cm + 0,5 cm = 20,5 cm

El 15 % de les barres tenen una longitud inferior a 20,5 cm.

4. Grup 1: variable x

= 20x anys.

MX = 20 anys.

s = 1,41X anys.

1,41 anys

0,070520 anys

XXv

x= = =s1,41 anys

0,070520 anys

XXv

x= = =s

Grup 2: variable y

= 30y anys.

MY = 30 anys.

s = 1,41Y anys.

1,41 anys

0,047130 anys

YYv

y= = =s1,41 anys

0,047130 anys

YYv

y= = =s

Grup 3: variable z

= 20z anys.

MZ = 20 anys.

s = 7,07Z anys.

s= = =7,07 anys

0,353520 anys

ZZv

z

s= = =7,07 anys0,3535

20 anysZ

Zvz

Els grups 1 i 3 tenen la mateixa mitjana i la mateixa media-na, però tenen diferent desviació típica. Els grups 1 i 2 tenen diferent la mitjana i la mediana, en canvi, tenen la mateixa desviació típica, això és degut que els valors de la variable y són iguals als de la variable x sumats en 10 unitats. De tots els grups, el que té la mitjana més repre-sentativa és el segon, ja que els valors de la variable d’aquest grup tenen el coefi cient de variació de Pearson més petit.

5. a) = 1,38d gols.

2 2,76s = gols2.

s = 1,66 gols.

b) s= = =1,66 gols

0,642,6 gols

vx

s= = =1,66 gols0,64

2,6 golsv

x

6. a) + + ⋅ + + ⋅ += = =2 3 2 5 6 2 8 9 46

4,610 10

x+ + ⋅ + + ⋅ += = =2 3 2 5 6 2 8 9 46

4,610 10

x ; ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =2 2 3 4 2 5 2 6 8 46

4,610 10

y⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =2 2 3 4 2 5 2 6 8 46

4,610 10

y

Van obtenir la mateixa nota mitjana.

b) s+ + ⋅ + + ⋅ += − = − = − = =

2 2 2 2 22 22 3 2 5 6 2 8 9 306

4,6 4,6 30,6 21,16 9,44 3,0710 10Xs

+ + ⋅ + + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 3 2 5 6 2 8 9 3064,6 4,6 30,6 21,16 9,44 3,07

10 10X

s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − = − = − = =2 2 2 2 2

2 22 2 3 4 2 5 2 6 8 2424,6 4,6 24,2 21,16 3,04 1,74

10 10Ys⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − = − = − = =

2 2 2 2 22 22 2 3 4 2 5 2 6 8 242

4,6 4,6 24,2 21,16 3,04 1,7410 10Y

Com que s Y < s X vol dir que és més homogeni el grup B. Si comparem els coefi cients de variació de Pearson, com que tenen la mateixa mitjana, obtin-drem que Yv < Xv , cosa que també confi rma la millor homogeneïtat del grup B.

7. = = 100 peces/hx y .

s = 3,58X peces/h.

s = 2,61Y peces/h.

Li interessa més comprar la màquina que li ofereix la casa B, perquè tenint la mateixa mitjana té menys desviació típica i, per tant, tindrà una producció més regular.

8. s =2 102,8775 punts2.

s = 10,14 punts.

9. Mitjana: = =2687,66

35x .

Desviació típica: 22 1987,66 62,8 58,68 4,12 2,03

35X = − = − = =s 2,03

a) Mitjana: = =1985,66

35y 5,66.

Desviació típica: s = − = − = =212665,66 36,17 32,04 4,13 2,03

35Y 2,03

Tenim que = − 2y x i s s=X Y ; és a dir, la mitjana també queda restada en 2 unitats menys, mentre la desviació típica queda igual.

MATeMÀTIQUeS 3

171

LA

b) Mitjana: = =80422,98

35z .


35Z = − = − = =s 6,09

S’observa que = 3z x i s s= 3Z X ; és a dir, tant la mit-jana com la desviació típica també queden multipli-cades per 3.

c) Mitjana: = =59416,98

35t .


35T = − = − = =s 6,1

Tenim que = = −3 3( 2)t y x i s s s= = 3T Z X ; és a dir, la mitjana també queda restada en 2 unitats i multipli-cada per 3, mentre la desviació típica només queda multiplicada per 3.

10. a) mitjana: 10 2 13 3 16 4 20 5 15 6 11 7 5 8

10 13 16 20 15 11 5x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =+ + + + + +

4,8

Recorregut: R

X = 8 – 2 = 6 .

→ → =123 3 3è Q .

→ → =368 6 6è Q .

Rang interquartílic: = − = − =3 1 6 3 3Xr Q Q .

Desviació mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =10 2,8 13 1,8 16 0,8 20 0,2 15 1,2 11 2,2 5 3,2 126,4

1,490 90Xd

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =10 2,8 13 1,8 16 0,8 20 0,2 15 1,2 11 2,2 5 3,2 126,41,4

90 90Xd

Variància: 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

10 2 13 3 16 4 20 5 15 6 11 7 5 84,8

902 312

4,8 25,69 23,04 2,6590

X

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − =

s 2,65

Desviació típica: s = =2,65 1,63X .

b) Mitjana: = 154,5y cm

Recorregut: RY = 170 cm – 140 cm = 30 cm.

Q1 = 148,3 cm.

Q3 = 160 cm.

Rang interquartílic: = − = − =3 1 160 cm 148,3 cm 11,7 cmYr Q Q= − = − =3 1 160 cm 148,3 cm 11,7 cmYr Q Q

Desviació mitjana: = 6,36Yd cm

Variància: s =2 56Y cm2


11. Mitjana: = 5,45x g/cm3.

Desviació típica: s = 0,17 g/cm3.

12. Els pesos dels nens als 10 anys, tot i tenir menys desvia-ció típica tenen el coefi cient de variació més gran. Per tant, efectivament el pes és més variable als 10 anys que als 17.

13. a) s= = =1,63

0,344,8

XXv

x

b) s= = =7,48 cm

0,05154,5 cm

YYv

y

La mitjana és més representativa en la segona variable, ja que el coefi cient de variació de Pearson és més petit, és a dir, hi ha menys variació.

14. Grup P: variable x


Desviació típica: s = 3,19X cm.

Coefi cient de variació de Pearson: s= = =3,19 cm

0,017189,28 cm

XXv

x

s= = =3,19 cm0,017

189,28 cmX

Xvx

Grup Q: variable y

Mitjana: = 182,14y cm.



0,025182,14 cm

YYv

y

s= = =4,52 cm0,025

182,14 cmY

Yvy

Grup R: variable z

Mitjana: = 185z cm.

Desviació típica: s = 6,55Z cm.


0,035185 cm

ZZv

z

s= = =6,55 cm0,035

185 cmZ

Zvz

15. a)

Temps en anys x f

(0, 5] 2,5 2

(5, 10] 7,5 2

(10, 15] 12,5 3

(15, 20] 17,5 2

(20, 25] 22,5 4

(25, 30] 27,5 2

15

b) Mitjana: = 15,83x anys.

Desviació mitjana: = 7,11d anys.


Activitats fi nals

Reforç

1. a) D3 = 37, C

82 = 39

b) D3 = 30 punts + 6 punts = 36 punts.

C82

= 49,05 punts.

2. a) − + + + += → = → + = → =7 2 3 4 12

4 4 12 20 85 5

a aa a b)

− + + + − + −= = =(7 4) (4 2) (8 4) (4 3) 142,8

5 5d 2,8

c) s+ − + + += − = − = − =

2 2 2 2 22 2 27 ( 2) 8 3 4 142

4 4 28,4 16 12,45 5

12,4 d) s = =12,4 3,523,52

3. s

s=

→ = = ==

18 punts 4 punts0,2

4 punts 18 puntsX

XX

xv

x

ss

= → = = ==

18 punts 4 punts0,2

4 punts 18 puntsX

XX

xv

x

s

s=

→ = = ==

21punts 9 punts0,43

9 punts 21puntsY

YY

yv

y

ss

= → = = ==

21punts 9 punts0,43

9 punts 21puntsY

YY

yv

y Com que Xv < Yv , indica que és més regular l’equip A.

4. a) Mitjana: =

161,86x cm.

Classe modal: l’interval [163, 165).

Mediana: M = 163 cm.

b) Q1 = 157 cm + 1,14 cm = 158,14 cm

Q2 = M = 163 cm

Q3 = 165 cm + 0,18 cm = 165,18 cm

D6 = 163 cm + 0,86 cm = 163,86 cm

C35

= 159 cm + 1,2 cm = 160,2 cm

172

MATeMÀTIQUeS 3LA

c) Recorregut: R = 169 cm – 153 cm = 16 cm.


1= 165,18 cm – 158,14 cm=

= 7,04 cm.

Desviació mitjana: = 3,56d cm.

Variància: s =2 17,05 cm2.

Desviació típica: =17,05 4,13 → s = 4,13 cm.

d) v = 0,0255

5. a) S’observa que en el segon gràfic les desviacions res-pecte a la mitjana són més petites que en el primer, per tant, la distribució que té menys desviació típica és la del segon gràfic, que es correspon amb = 5,6Bx i s = 2,5B .

b) s= = =

3,30,6 1

5,4A

AA

vx

s= = =3,3

0,6 15,4

AA

A

vx

, s= = =2,5

0,455,6

BB

B

vx

s= = =2,50,45

5,6B

BB

vx

Com era previsible, té menys variació la distribució corresponent al segon gràfic.

6. a) Mitjana: = 7,02x punts.

Mediana: M = 7 punts.

b) Desviació mitjana: = 2,06d punts.

Desviació típica: s = 2,55 punts.

7. La sèrie nova: 18, 27, 36, 54 i 72

+ + + += = =18 27 36 54 72 20741,4

5 5x

+ + + += = =18 27 36 54 72 20741,4

5 5x

2 2 2 2 2

2 210 44918 27 36 54 7241,4 41,4

5 5

2 089,8 1 713,96 375,84 19,39

X

+ + + += − = − =

= − = =

s 19,39

La sèrie inicial és: 2, 3, 4, 6 i 8.

+ + + += = =2 3 4 6 8 234,6

5 5y

+ + + += = =2 3 4 6 8 234,6

5 5y

+ + + += − = − =

= − = =

2 2 2 2 22 22 3 4 6 8 129

4,6 4,65 5

25,8 21,16 4,64 2,15

Ys

2,15

S’observa que tant la mitjana com la desviació típica també queden multiplicades per 9, ja que: = ⋅9x y i s s= ⋅9X Y .

8. a) Ciutat A: 500 000 h 12 500 €/h 6 250 000 000 €⋅ = .

Ciutat B: 750 000 h 11900 €/h 8 925 000 000 €⋅ = .

b) 12 140 €/hx =

9. s= = =

37,52 km0,12

314,16 kmX

Xvx

s= = =

37,52 km0,12

314,16 kmX

Xvx

s= = =30,41km

0,096315km

YYv

y

s= = =30,41km0,096

315kmY

Yvy

Presenta més dispersió la distribució del cotxe A, ja que Xv > Yv .

10.

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= − =

= − = − =

2 2 2 2 2 2 22 2

2

5 2 3 3 4 4 3 5 2 6 7 2 84,25

20435

4,25 21,75 18,06 3,6920

s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= =

= =

2 2 2 2 2 2 22 5 2,25 3 1,25 4 0,25 3 0,75 2 1,75 2,75 2 3,75

2073,75

3,6920

s

11. Hores veient la televisió: variable x

Mitjana: = 2,82x h

Desviació típica: s = 0,56X h.


0,22,82 h

xx

vv

x= = = .

Hores dormint: variable y

Mitjana: = 7,8y h

Desviació típica: s = 0,89Y h.


0,117,8 h

yy

vv

y= = = .

12. Mitjana: = 21x anys


Ampliació

1. M0 = 3

M = 3

Q

1 = 2

Q3 = 4

2. a) Entre les notes 4,05 i 6,85 hi ha el 50 % de l’alumnat situat al centre de la distribució.

b) El 30 % de l’alumnat té una nota inferior a 4,3; per tant, el 70 % de l’alumnat supera aquesta nota.

3. a) ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =

+ + + +3 6 16 7 20 8 10 9 10 390

7,83 16 20 10 1 50

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =

+ + + +3 6 16 7 20 8 10 9 10 390

7,83 16 20 10 1 50

x

2 2 2 2 22

2

3 6 16 7 20 8 10 9 107,8

50

3 0827,8 61,64 60,84 0,8 0,89

50

X

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − =

= − = − = =

s 0,89

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =3 15 16 17 20 19 10 21 23 930

18,650 50

y 18,6

2 2 2 2 22

2

3 15 16 17 20 19 10 21 2318,6

50

17 45818,6 349,16 345,96 3,2 1,78

50

Y

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += − =

= − = − = =

s 1,78

b) S’observa que 2 · 7,8 + 3 = 15,6 + 3 = 18,6

= +2 3y x

2 · 0, 89 = 1,78 → s s= 2Y X

4. a) Mitjana: = 5,35x anys.


b) Les 10 edats centrals es troben entre 4,62 i 6,2 anys.

5. s s= = = = → = =2 225 255 5 25

5x

n

6. a) Mediana: = + =

30 4,6 34,6M .

b) Variància: 2 2 2 2 2 2

2 2

2

7 15 11 25 15 35 10 45 5 55 2 6535,2

5070 650

35,2 1 413 1 239,04 173,9650

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − =

s 173,96

c) Desviació típica: s = =173,96 13,2

7. Prova de 100 m → s = 2sX s

Prova de 1500 m → s = =1 min 60sY s

100 m → 15 s – 12,5 s = 2,5 s > s X

1 500 m → 5 min 40 s = 340 s; 340 s – 325 s = 15 s < s Y

MATeMÀTIQUeS 3

173

LA

És més meritori el temps de 1 500 m, ja que la diferència respecte a la mitjana és inferior a la desviació típica, men-tre que en la prova de 100 m la diferència és superior a la desviació típica.

8. Grup A: variable x

Mitjana: = 30x punts.

Desviació típica: s = 6,89X punts.

Coeficient de variació de Pearson: s= = =6,89 punts

0,2330 punts

XXv

x

s= = =6,89 punts0,23

30 puntsX

Xvx

Grup B: variable y

Mitjana: = 32y punts.

Desviació típica: s = 7,73Y punts.

Coeficient de variació de Pearson:s= = =7,73 punts

0,2432 punts

YYv

y

s= = =7,73 punts0,24

32 puntsY

Yvy

Tot i que el grup B té una mitjana millor, el grup A és més homogeni perquè el coeficient de variació de Pearson és menor.

9. Desviació típica: s = 16,39 anys.

Coeficient de variació de Pearson:s= = =16,39 anys

0,4735 anys

vx

s= = =16,39 anys0,47

35 anysv

x

10. =

→ = −= −

44 5

5

z xy x

y z

s ss s

s s=

→ ==

44Z X

Y XY Z

11. a) n = 5 + 3 + 6 + 3 + 7 + 6 = 30

b)

Suma de les cares visibles 20 19 18 17 16 15


c) Mitjana: ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

5 20 3 19 6 18 3 17 7 16 6 15 51817,26

30 30x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =5 20 3 19 6 18 3 17 7 16 6 15 518

17,2630 30

x

Desviació típica: 2 2 2 2 2 2

2

2

5 20 3 19 6 18 3 17 7 16 6 1517,26

30

9 03617,26 301,2 298,138 3,062 1,75

30

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

= − = − = =

s

1,75

12. a) Moda: =

0 3,3M kg.

b) Mitjana: = 3,33x kg.

Desviació típica: s = 0,214 kg.

d’avaluació


1. Cert

2. Fals

3. Cert

4. Fals

5. Cert

6. Fals

7. Fals

8. Cert

9. Fals

10. Cert

11. Fals

12. Cert

13. Cert

14. Fals

15. Cert

16. Cert

17. Fals

18. Fals

19. Fals

20. Cert

Solucionari del Quadern

d’activitats

Solucionari del Quadern

MATeMÀTIQUeS 3Q


Exercici 1 de les activitats proposades (1 del quadern)

1. a) Descompon 117 en factors primers i expressa’l com a producte de potències de factors primers.

117 = 32 · 13

b) Fes el mateix amb el nombre 78.

78 = 2 · 3 · 13

c) A partir de les descomposicions factorials de 117 i 78 que has trobat en l’apartat anterior, calcula el màxim comú divisor. Recorda que el màxim comú divisor de dos nombres és el producte dels factors que es repeteixen en les dues descomposicions, elevats a l’exponent més petit.

m. c. d. (117, 78) = 3 · 13 = 39

d) Troba la fracció irreductible equivalent a 117

78, di-

vidint el numerador i el denominador entre el m. c. d. (117, 78).

117 3

78 2=

2. a) Simplifi ca la fracció −

−72

144, dividint el numerador i

el denominador entre 2.

72 36

144 72

− −=

− −

b) Continua simplifi cant la mateixa fracció, dividint el numerador i el denominador entre 2 fi ns que no puguis més.

36 18 9

72 36 18

− − −= =

− − −

c) Simplifi ca la fracció obtinguda dividint el numera-dor i el denominador entre 3 tantes vegades com puguis.

9 3 1

18 6 2

− − −= =

− − −

d) Pots dividir el numerador i el denominador entre algun altre nombre primer? Si pots, fes-ho. Si no pots, és que has trobat la fracció irreductible equi-

valent a −

−72

144.

Ja no es poden dividir el numerador i el denominador entre cap altre nombre primer.

e) Calcula la fracció irreductible equivalent a −

−72

144,

dividint el numerador i el denominador pel m. c. d. (72, 144), i comprova que et dóna el mateix.

m. c. d. (72, 144) = 72; si dividim el numerador i el de-

nominador entre 72, obtenim 72 1

144 2

− −=

− −, el mateix

que havíem obtingut abans.

3. Calcula la fracció irreductible equivalent a:

a) −240

360 b)

−143

187 c)

529

253

a) m. c. d. (240, 360) = 120; si dividim el numerador i el

denominador entre 120, obtenim 240 2

360 3− = − .

b) m. c. d. (143, –187) = –11, si dividim el numerador i el


187 17=

− −.

c) m. c. d. (529, 253) = 23, si dividim el numerador i el


253 11= .


1. Calcula:

+ + =

2 5 1

3 6 2

4 5 1 9 1 9 3 122

6 6 2 6 2 6 6 6 + + = + = + = =

+ + =

2 5 1

3 6 2

2 5 3 2 8 4 8 122

3 6 6 3 6 6 6 6 + + = + = + = =

− + + =

1 2 7

3 5 3

5 6 7 1 7 1 35 36 12

15 15 3 15 3 15 15 15 5 − + + = + = + = =

− + + =

1 2 7

3 5 3

1 6 35 1 41 5 41 36 12

3 15 15 3 15 15 15 15 5 − + + = − + = − + = =

+ + =

1 3 5

4 8 2

2 3 5 5 5 5 20 25

8 8 2 8 2 8 8 8 + + = + = + =

+ + =

1 3 5

4 8 2

1 3 20 1 23 2 23 25

4 8 8 4 8 8 8 8 + + = + = + =

− + + =

9 3 5

14 2 7

9 21 5 12 5 12 10 22 11

14 14 7 14 7 14 14 14 7 − + + = + = + = =

− + + =

9 3 5

14 2 7

9 21 10 9 31 22 11

14 14 14 14 14 14 7 − + + = − + = =

a) Què observes?

Els resultats de cada fi la d’exercicis són iguals.

b) Com s’anomena, la propietat que es compleix en aquestes sumes?

Propietat associativa.

1��

d'activitats

MATeMÀTIQUeS 3 Q

c) Fes-la servir per calcular de dues maneres diferents

la suma dels nombres racionals 5

6,

7

3− i

3

4.

5 7 3 5 14 3 9 3 18 9 9 3

6 3 4 6 6 4 6 4 12 12 12 4 − + = − + = − + = − + = − = −

5 7 3 5 28 9 5 19 10 19 9 3

6 3 4 6 12 12 6 12 12 12 12 4 + − + = + − + = − = − = − = −

2. Calcula:

=

2 5 1· ·

3 6 2

10 1 10 5

18 2 36 18⋅ = =

=

2 5 1· ·

3 6 2

2 5 10 5

3 12 36 18⋅ = =

− =

1 2 7· ·

3 5 3− ⋅ = −

2 7 14

15 3 45

− =

1 2 7· ·

3 5 3

1 14 14

3 15 45− ⋅ = −

=

1 3 5· ·

4 8 2

3 5 15

32 2 64⋅ =

=

1 3 5· ·

4 8 2

1 15 15

4 16 64⋅ =

− =

9 3 5· ·

14 2 7

27 5 135

28 7 196− ⋅ = −

− =

9 3 5· ·

14 2 7

9 15 135

14 14 196− ⋅ = −

a) Què observes?

Que els resultats de cada fila són iguals.

b) Quina és aquesta propietat que comparteixen la suma i el producte de fraccions?

La propietat associativa.

3. Calcula:

+ =

5 1

4 2

5 2 7

4 4 4+ =

+ =

1 5

2 4

2 5 7

4 4 4+ =

+ =

2 7

3 5

10 21 31

15 15 15+ =

+ =

7 2

5 3

21 10 31

15 15 15+ =

− =

5 4·

3 5

20 4

15 3− = −

− =

4 5·

5 3

20 4

15 3− = −


1. a) Calcula, multiplicant directament els numeradors i els denominadors, els productes següents:

− =

3 14·

7 15

42

105= −

− − =

11 39·

13 44

429

572

b) Troba la fracció irreductible equivalent a cada frac-ció resultat de l’apartat anterior.

3 14 42 2

7 15 105 5 ⋅ − = − = −

11 39 429 3

13 44 572 4 − ⋅ − = =

2. a) Fixa’t en l’exemple 6 35 2 · 3 · 7 · 5 2 · 7 14

· = = = 5 9 5 · 3 · 3 3 3

,

i calcula seguint el mateix procés:

− =

3 14·

7 15

3 2 7 2

7 3 5 5

⋅ ⋅− = −

⋅ ⋅

− − =

11 39·

13 44

11 3 13 3

13 2 2 11 4

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

b) Els resultats que has obtingut en l’apartat a, són fraccions irreductibles?

Sí que ho són.

c) Coincideixen amb les de l’exercici 1?

Sí.

3. a) ⋅ ⋅ − =

6 4 15

5 9 8

2 3 2 2 3 51

5 3 3 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b) ⋅ − ⋅ ⋅ − =

20 21 2 1

27 10 7 4

2 2 5 3 7 2 1

3 3 3 2 5 7 2 2 9

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4. Utilitza aquesta tècnica de descompondre i simplificar abans de multiplicar per calcular les operacions se-güents amb productes:

a) − =

3 15:

7 14

3 14 3 2 7 2

7 15 7 3 5 5

⋅ ⋅ ⋅− = − = −

⋅ ⋅ ⋅

b) − − =

11 44:

13 39

11 39 11 3 13 3

13 44 13 2 2 11 4

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) − ⋅ − =

3 14 42

:7 15 75

3 14 75 3 2 7 3 5 5 5

7 15 42 7 3 5 2 3 7 7

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d) − − =

15 30 10 8

: · :28 7 9 3

3 5 7 2 5 3 5 5

2 2 7 2 3 5 3 3 2 2 2 8 12 96

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 5 7 2 5 3 5 5

2 2 7 2 3 5 3 3 2 2 2 8 12 96

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1��

MATeMÀTIQUeS 3Q


1. Calcula els productes següents:

=

2 5·

9 2

5

9 =

5 2·

2 9

5

9

− =

5 1·

2 3

5

6− − =

1 5·

3 2

5

6−

− − =

3 1·

5 4

3

20 − − =

1 3

·4 5

3

20

−=

3 3·

5 8

9

40

− − =

3 3

·8 5

9

40

−

a) Què observes?

Que els resultats es repeteixen en cada fila.

b) Quina propietat del producte es compleix, en les operacions anteriors?

La propietat commutativa.

2. Calcula les sumes i restes de fraccions següents. Recor-da que, prèviament, has de reduir les dues fraccions a comú denominador.

a) − =2 1

9 3

2 3 1

9 9 9− = −

b) − + =1 3

4 8

2 3 1

8 8 8− + =

3. Tenint en compte que el parèntesi dóna prioritat a l’operació que conté, calcula:

a) − =

2 1 5·

9 3 2

2 3 5 1 5 5

9 9 2 9 2 18 − ⋅ = − ⋅ = −

b) − − +

3 1 3·

5 4 8

3 2 3 3 1 3

5 8 8 5 8 40 − ⋅ − + = − ⋅ = −

4. Calcula:

a) − =2 5 1 5

· ·9 2 3 2

5 5 10 15 5

9 6 18 18 18− = − = −

b) − − + − =

3 1 3 3· ·

5 4 5 8

3 9 6 9 3

20 40 40 40 40− = − = −

5. Compara els resultats de l’exercici 3 amb els de l’exer-cici 4.

a) Què hi veus?

Que són iguals.

b) Quina propietat es compleix?

La propietat distributiva del producte respecte de la suma.

6. Aplica la propietat anterior per calcular de dues mane-res diferents:

a) + − =

3 1 7·

2 4 5

6 1 7 7 7 49

4 4 5 4 5 20 + ⋅ − = − = −

+ − =

3 1 7·

2 4 5

3 7 1 7 21 7 42 7 49

2 5 4 5 10 20 20 20 20 ⋅ − + ⋅ − = − − = − − = −

3 7 1 7 21 7 42 7 49

2 5 4 5 10 20 20 20 20 ⋅ − + ⋅ − = − − = − − = −

b) − =

2 1 5·

3 6 2

2 1 15 2 14 14

3 6 6 3 6 9 ⋅ − = ⋅ − = −

− =

2 1 5·

3 6 2

2 1 2 5 1 5 1 15 14

3 6 3 2 9 3 9 9 9 ⋅ + ⋅ − = − = − = −


1. Troba la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals exactes següents:

=0,2525 1

100 4=

=3,232 16

10 5=

− =2,424 12

10 5− = −

=1,515 3

10 2=

2. Troba la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals periòdics purs següents:

=

0,66 2

9 3=

=3,12

312 3 309 103

99 99 33

−= =

− =

15,3153 15 138 46

9 9 3

−− = − = −

=2,70

270 2 268

99 99

−=

3. Troba la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals periòdics mixtos següents:

=

0,1615 1

90 6=

=

3,12312 31 281

90 90

−=

− =4,521

4 521 45 4 476 2 238

990 990 495

−− = − = −

=

2,3152 315 231 2 084 521

900 900 225

−= =

1��

MATeMÀTIQUeS 3 Q

4. Fes les operacions següents, passant prèviament a fracció els nombres decimals que hi intervenen:

a) + =4

2,255

4 9 16 45 61

5 4 20 20 20+ = + =

b) − =11

2,1618

11 13 11 39 28 14

18 6 18 18 18 9− = − = − = −

c) ⋅ = 3

2,75

3 25 3 52,7

5 9 5 3⋅ = ⋅ =

d) + =

0,3 : (1,6 2,5)1 5 5 1 10 15 1 25 2

: : :3 3 2 3 6 6 3 6 25

+ = + = =

e) − =

1,6 : 2,25 20 3

:3 9 4

− = −

f) − − = 6

( 0,6 0,2) :7

2 1 6 10 3 6 13 6 91: : :

3 5 7 15 15 7 15 7 90 − − = − − = − = −

2 1 6 10 3 6 13 6 91: : :

3 5 7 15 15 7 15 7 90 − − = − − = − = −


1. Calcula les potències següents:

=

32

5

3

3

2 8

5 125=

− =

41

3

4

4

1 1

3 81=

=

21

7

2

2

1 1

7 49=

− =

33

2

3

3

3 27

2 8− = −

=

25

6

2

2

5 25

6 36=

− = −

44

3

4

4

4 256

3 81=

2. Transforma les potències següents en potències d’ex-ponent positiu, invertint les bases:

− =

32

5

35

2

− =

41

34(3)

− =

27

2

22

7

−

− =

33

2

32

3 −

− − =

25

6

26

5 −

−− = −

44

3

43

4

− −

3. Calcula les potències de l’exercici anterior.

3 3 3

3

2 5 5 125

5 2 2 8

− = = =

441

(3) 813

− = =

2 2 2

2

7 2 2 4

2 7 7 49

− = = =

3 3 3

3

3 2 2 8

2 3 3 27

− − = − = − = −

2 2 2

2

5 6 6 36

6 5 5 25

− − = − = =

4 4 4

4

4 3 3 81

3 4 4 256

−− − = = = − −

4. Fent servir les propietats de les potències, expressa com una sola potència:

=

4 31 1

·2 2

71

2

=

75 127 7

:4 4

35 12 237 7 7

:4 4 4

=

=

8 32 2

:3 3

52

3

− − ⋅ − =

6 23 3 3

:4 4 4

4 53 3 3

4 4 4 − ⋅ − = −

− =

525

7

105

7 −

⋅ =

43 62 2 2

:5 5 5

12 7 52 2 2

:5 5 5

=

5. Expressa com una sola potència transformant el resul-tat, si cal, a potència d’exponent positiu:

− =

2 43 3

·5 5

2 23 5

5 3

− =

− =

3 21 1

:6 6

551

66

− =

−− =

233

4

63

4

=

3 4 22 2 2

· :3 3 3

52

3

Joc matemàtic

ELS NOMBRES RACIONALS

1. Donats els nombres decimals següents:

0,35 2,6

1,36 1,32 –4,4 5,31−

3,4−

0,213

6,124

1�9

MATeMÀTIQUeS 3Q

a) Classifi ca’ls en nombres decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos:

Decimals exactes

Periòdics purs

Periòdics mixtos

0,35

1,36

–4,4

2,6

−3,4

1,32

−5,3 1

6,124

0,213

b) Troba la fracció generatriu irreductible equivalent.

= =

35 70,35

100 20

= = =

136 68 341,36

100 50 25

− = − = −

44 224,4

10 5

−= = =

26 2 24 82,6

9 9 3

−− = − = −

34 3 313,4

9 9

−= =

132 1 1311,32

99 99

−− = − = − = −

531 53 478 2395,3 1

90 90 45

−= = =

6124 61 6063 20216,124

990 990 330

−= = = =

213 21 192 64 160,213

900 900 300 75

2. Utilitzant les fraccions de l’exercici anterior i tenint en compte la prioritat de les operacions, calcula:

a) 3,4 4,4 2,6 5,31− − ⋅ −

− − ⋅ − = − − ⋅ − =

31 22 8 2393,4 4,4 2,6 5,31

9 5 3 45

31 176 239 155 528 239 922

9 15 45 45 45 45 45= − − − = − − − = −

b) 0,213

1,36 4 0,352,6

− + ⋅

− + ⋅ = − + ⋅ =

160,213 34 7751,36 4 0,35 4

8 25 202,63

= − + = − + =

2 34 7 2 34 35 3

25 25 5 25 25 25 25

Unitat 2. equacions de primer grau


1. a) Substitueix x = 3 en l’expressió ⋅ + −2 ( 1) 5x x.

2(3 1) 5 3 2 4 5 3 8 15 7+ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = −

b) Substitueix x = 3 en l’expressió − ⋅ −3 2 ( 1)x .

3 2(3 1) 3 2 2 3 4 1− − = − ⋅ = − = −

c) T’han donat el mateix resultat?

No.

d) Per tant, x = 3 és solució de ⋅ + − = − ⋅ −2 ( 1) 5 3 2 ( 1)x x x ?

No.

2. a) Substitueix =3

4x en l’expressió ⋅ + −2 ( 1) 5x x i en

− ⋅ −3 2 ( 1)x .

3 3 7 3 14 15 12 1 5 2 5

4 4 4 4 4 4 4 ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = −

3 1 1 73 2 1 3 2 3

4 4 2 2 − ⋅ − = − ⋅ − = + =

b) T’han donat el mateix resultat?

No.

c) Substitueix = −3x en l’expressió ⋅ + −2 ( 1) 5x x i en − ⋅ −3 2 ( 1)x .

2 ( 3 1) 5 ( 3) 2 ( 2) 5 ( 3) 4 15 11⋅ − + − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − = − + =

3 2 ( 3 1) 3 2 ( 4) 3 8 11− ⋅ − − = − ⋅ − = + =

d) T’han donat el mateix resultat?

Sí.

e) Quin dels dos valors, =3

4x o = −3x , és la solució

de l’equació ⋅ + − = − ⋅ −2 ( 1) 5 3 2 ( 1)x x x ?

La solució és 3x = − .

3. a) En l’expressió algèbrica − + −1

( 2) 2(3 )2

x x , substi-

tueix els valors =1

2x , = −2x i = 0x .

Si 1

2x = ,

1 1 1 1 3 5 3 172 2 3 2 5

2 2 2 2 2 2 4 4 − + − = − + = − + =

1 1 1 1 3 5 3 172 2 3 2 5

2 2 2 2 2 2 4 4 − + − = − + = − + =

.

Si 2x = − , 1 1

( 2 2) 2(3 ( 2)) ( 4) 2 5 2 10 82 2

− − + − − = − + ⋅ = − + =

1�0

MATeMÀTIQUeS 3

1�1

Q

1 1( 2 2) 2(3 ( 2)) ( 4) 2 5 2 10 8

2 2− − + − − = − + ⋅ = − + = .

Si 0x = , 1 1

(0 2) 2(3 0) ( 2) 2 3 1 6 52 2

− + − = − + ⋅ = − + = .

b) Quin dels tres valors és la solució de l’equació

⋅ − + ⋅ − =1

( 2) 2 (3 ) 82

x x ?

La solució és 2x = − .

4. Digues si el valor = −3x és solució o no de les equa-cions següents:

a) + ⋅ + = − ⋅ −3 5 ( 1) 4 2 (1 )x x x .

Substituïm 3x = − en els dos costats de la igualtat:

3( 3) 5( 3 1) 3( 3) 5( 2) 9 10 19− + − + = − + − = − − = −

4 2(1 ( 3)) 4 2(1 3) 4 2 4 4 8 4− − − = − + = − ⋅ = − = −

Els resultats són diferents; per tant, 3x = − no és solu-ció de l’equació 3 5( 1) 4 2(1 )x x x+ + = − − .

b) ⋅ + = +1

(1 ) 22

x x .

Substituïm 3x = − en els dos costats de la igualtat:

1 1

(1 3) ( 2) 12 2

− = − = −

2 3 1− = −

Els resultats són iguals; per tant, 3x = − és solució de

l’equació 1

(1 ) 22

x x+ = + .

c) ⋅ + − =3 ( 5) 2 12x x .

Substituïm 3x = − en l’expressió de l’esquerra de la igualtat:

3( 3 5) 2( 3) 3 2 2( 3) 6 6 12− + − − = ⋅ − − = + =

Com que ens dóna 12, 3x = − és solució de l’equació 3( 5) 2 12x x+ − = .



a) + = +7 3 19x x → 3 19 7x x− = −

2 12x = →12

2x =

6x =

b) + = −5 12 8 27x x → 5 8 27 12x x− = − −

3 39x− = − →39

3x

−=

−→ 13x =

2. Resol les equacions amb parèntesis següents, aplicant primer la propietat distributiva per eliminar-los:

a) ⋅ + = − ⋅ −3 ( 5) 4 2 (1 )x x → 3 15 4 2 2x x+ = − +

3 2 4 2 15x x− = − − → 13x = −

b) − ⋅ + = − −2 2 ( 3) 4 (5 )x x → 2 2 6 4 5x x− − = − +

2 4 5 2 6x x− − = − − +

3 3x− = →3

3x =

−→ 1x = −

3. Resol les equacions amb denominadors següents, multiplicant els dos membres de l’equació pel mínim comú múltiple dels denominadors:

a) + −

− =2 5

52 5

x x→

2 510 10(5)

2 5

x x+ − − =

5( 2) 2( 5) 50x x+ − − =

5 10 2 10 50x x+ − + =

5 2 50 10 10x x− = − −

3 30x = →30

3x = → 10x =

b) − + −

+ = −1 2 3 1

14 3 6

x x x

1 2 3 112 12 1

4 3 6

x x x− + − + = −

3(1 ) 4(2 3) 12(1) 2( 1)x x x− + + = − −

3 3 8 12 12 2 2x x x− + + = − +

3 8 2 12 2 3 12x x x− + + = + − −

7 1x = − →1

7x

−=


a) + ⋅ + − = +7 3 (2 ) 3 2 9x x x

7 6 3 3 2 9x x x+ + − = +

3 3 2 9 7 6x x x− − = − −

2 4x− = − →4

2x

−=

− 2x =

b) − = −

12,5 6 1,5

3x x → 2,5 2 9x x− = −

9 2 2,5x x− + = −

8 0,5x = − →0,5

8x

−= →

1

16x = −

c) − −

− = −3 1

12 7

x x→

3 114 14( 1)

2 7

x x− − − = −

7( 3) 2( 1) 14( 1)x x− − − = −

7 21 2 2 14x x− − + = −

7 2 14 21 2x x− = − + −

5 5x = →5

5x = → 1x =

MATeMÀTIQUeS 3Q

d) − −

− = − ⋅ −3 1 2

2 (1 )2 6

x xx

3 1 22 2

2 6

x xx

− −− = − +

3 1 26 6( 2 2 )

2 6

x xx

− − − = − +

3( 3) (1 2 ) 6( 2 2 )x x x− − − = − +

3 9 1 2 12 12x x x− − + = − +

3 2 12 12 9 1x x x+ − = − + +

7 2x− = − →2

7x

−=

−

e) − ⋅ − = − ⋅ −

1(2 5) (1 ) (4 2 )

2x x x x

2 22 2 5 5 4 2 2x x x x x x− + + = − − +

2 5 4 2 5x x x x+ − − = − +

2 3x = →3

2x =

f) − ⋅ + ⋅ −

=3 ( 3) 5 ( 1)

4 2

x x→

3 9 5 5

4 2

x x− − −=

3 9 5 54 4

4 2

x x− − − =

1( 3 9) 2(5 5)x x− − = −

3 10 10 9x x− − = − +

13 1x− = − →1

13x

−=

−→

1

13x =


1. Considera l’equació − =3 4 1x y . Comprova si els pa-rells de valors següents en són solució o no:

a) = −1x i = −1y : 3( 1) 4( 1) 3 4 1− − − = − + =

Sí que són solució.

b) =1

3x i = 0y :

13 4 0 1 0 1

3⋅ − ⋅ = − =

Sí que són solució.

c) = 0x i = 2y : 3 0 4 2 0 8 8 1⋅ − ⋅ = − = − ≠

No són solució.

d) = −2x i = 1y : 3( 2) 4 1 6 4 10 1− − ⋅ = − − = − ≠

No són solució.

2. Considera l’equació − + = −1x y .

a) Aïlla la variable y en funció de x. 1y x= −

b) Representa gràficament la recta de l’apartat anterior a partir d’una taula de valors.

x y= x – 1

1 1 – 1 = 0

2 2 – 1 = 1

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2

c) A partir de la gràfica, troba els punts d’abscissa = 1x , = −1x , = 2x i = 0x .

P1(1, 0), P

2(–1, –2), P

3(2, 1), P

4(0, –1).

d) Aquests punts són solució de l’equació inicial?

Sí.

3. a) En l’equació − =3 0x y , aïlla la variable y en funció de x.

3y x− = − →3

xy

−=

−→

3

xy =

b) Dóna quatre valors diferents a la variable x i, per a cadascun, troba quin valor de y li correspon. Escriu el resultat en forma de punt P(x, y).

3x = 3

13

y = = (3, 1)P

0x = 0

03

y = = (0, 0)P

3x = − 3

13

y−

= = − ( 3, 1)P − −

6x = 6

23

y = = (6, 2)P

c) Comprova que aquests quatre punts són solució de l’equació − =3 0x y .

(3, 1)P 3 3 1 3 3 0− ⋅ = − =

(0, 0)P 0 3 0 0 0 0− ⋅ = − =

( 3, 1)P − − 3 3 ( 1) 3 3 0− − ⋅ − = − + =

(6, 2)P 6 3 2 6 6 0− ⋅ = − =

4. Aïllant una variable en funció de l’altra, com hem fet en l’exercici anterior, troba 4 solucions per a cadascu-na de les equacions següents:

1�2

MATeMÀTIQUeS 3

1��

Q

a) − = −4 5 20x y →20 4

5

xy

+=

P(5, 8); P(0, 4); P(–5, 0); P(10, 12)

b) + =3 2 4x y →4 3

2

xy

−=

P(0, 2); P(2, –1); P(–2, 5); P(4,–4)


1. Donat el sistema }− = −− =2 7

4 0x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

a) Fes una taula de valors per a cada recta.

x7

2

xy

+= x 4y x=

1 4 0 0

–1 3 1 4

b) Representa gràficament les dues rectes de l’apartat anterior en uns mateixos eixos de coordenades.

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2

c) Les dues rectes es tallen en algun punt?

Sí.

En quin?

En el punt P(1, 4).

d) Com en diem, d’aquest tipus de sistemes que tenen una única solució?

Sistemes compatibles determinats.

2. A partir del sistema }− =− =

2 2 62

x yx y

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

a) Representa gràficament les rectes − =2 2 6x y i − = 2x y en uns mateixos eixos de coordenades.

x2 6

2

xy

−= x 2y x= −

0 –3 2 0

3 0 1 –1

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2

b) Com són, les rectes?

Paral·leles.

Es tallen en algun punt?

No.

c) El sistema té solució?

No.

Com s’anomenen aquest tipus de sistemes?

Sistemes incompatibles.

3. Representa gràficament les rectes del sistema

}− =− =

2 2 63

x yx y

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5) en uns mateixos eixos de coordenades.

x2 6

2

xy

−= x 3y x= −

3 0 3 0

2 –1 0 –3

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2

a) Com són, les rectes?

Coincidents.

Quants punts tenen en comú, les dues rectes?

Infinits, tots els punts.

1�4

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) El sistema, té solució?

Sí.

Quantes solucions té?

Infinites.

Com s’anomenen aquest tipus de sistemes?

Sistemes compatibles indeterminats.

4. Resol gràficament els sistemes següents:

a) }+ =− =

53 3 9x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

x 5y x= − x3 9

33

xy x

−= = −

5 0 3 0

0 5 0 –3

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2

La solució és x = 4, y = 1.

b) }− =+ =

3 2 36

x yx y

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

x3 3

2

xy

−= x 6y x= −

1 0 0 6

3 3 2 4

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2


c) }− =+ =2 0

2 0x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

x2

xy = x 2y x= −

0 0 0 0

2 1 1 –2

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2


d) }− =+ =

02 3y x

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

x y x= x 3 2y x= −

0 0 0 3

3 3 1 1

0 2 4 6 8 10–10 –8 –6 –4 –2

2

4

6

8

10

–10

–8

–6

–4

–2



1. a) De cada una de les equacions del sistema

}− =− = −

2 17 9 2

x yx y

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5), aïlla la variable y en funció de la x.

2 1x y− = ; 1 2y x− = − ; 2 1y x= −

7 9 2x y− = − ; 2 7

9

xy

− −=

−;

2 7

9

xy

+=

b) Iguala les dues expressions de y que has trobat, i resol l’equació que obtens.

MATeMÀTIQUeS 3

1��

Q

2 72 1

9

xx

+− =

2 79 (2 1) 9

9

xx

+ ⋅ − = ⋅

18 9 2 7x x− = +

18 7 2 9x x− = +

11 11x = →11

11x = → 1x =

c) Substitueix el valor que has trobat de x en qualse-vol de les dues expressions de y de l’apartat a, i tro-ba el valor de y.

2 1 2 · 1 1 2 1 1y x= − = − = − =

d) Per tant, quina és la solució del sistema?

La solució és x = 1 i y = 1.

2. En cada un dels sistemes següents, aïlla la mateixa in-cògnita de les dues equacions i iguala les expressions obtingudes per resoldre, per igualació, com en l’exer-cici 1, els sistemes següents:

a) }− =− =6 4

2 3 11x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem la variable x de les dues equacions:

6 4x y− = ; 4 6x y= +

2 3 11x y− = ; 11 3

2

yx

+=

Igualem les dues expressions i resolem l’equació que hi surt:

11 34 6

2

yy

++ =

11 32 (4 6 ) 2

2

yy

+ ⋅ + = ⋅

8 12 11 3y y+ = +

12 3 11 8y y− = −

9 3y = →3

9y = →

1

3y =

Substituïm aquest valor trobat en qualsevol de les dues expressions del principi:

111 3

11 1 1236

2 2 2x

+ + = = = =

Per tant, la solució és x = 4 i y = 1

3.

b) }− =+ = −3 1

5 3 13x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem la variable x de les dues equacions: 1 3x y= +

13 3

5

yx

− −=


13 31 3

5

yy

− −+ =

13 35 (1 3 ) 5

5

yy

− − ⋅ + = ⋅

5 15 13 3y y+ = − −

15 3 13 5y y+ = − −

18 18y = − →18

18y

−= → 1y = −

Substituïm aquest valor trobat en qualsevol de les dues expressions del principi:

1 3 1 3 ( 1) 1 3 2x y= + = + ⋅ − = − = −

Per tant, la solució és x = –2 i y = –1.

c) }+ =+ =

2 3 46 4 9

x yy x

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem la variable x de les dues equacions:

4 3

2

yx

−= →

9 6

4

yx

−=


4 3 9 6

2 4

y y− −=

4 3 9 64 4

2 4

y y− − ⋅ = ⋅

2 (4 3 ) 9 6y y⋅ − = −

8 6 9 6y y− = −

6 6 9 8y y− = −

0 1=

0 1=

Per tant, el sistema no té solució.

3. Planteja un sistema d’equacions per resoldre el pro-blema següent, i troba la solució utilitzant el mètode d’igualació:

A l’escola, per Tots Sants, hem venut castanyes i pane-llets per treure diners per al viatge de fi de curs. D’una classe de 35 alumnes, cada noia ha venut 2 kg de pa-nellets, i cada noi, 1 kg de castanyes torrades. Si entre tots han venut 55 kg, quants nois i quantes noies hi ha, a la classe?

Anomenem x el nombre de nois de la classe i y el nom-bre de noies. Llavors,

}352 55

x yx y

+ =+ =

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5). Aïllem la variable x de les dues equacions:

35x y= − i 55 2x y= −

Igualem les dues expressions obtingudes i resolem l’equació:

35 55 2y y− = − ; 2 55 35y y− = − ; 20y =

Llavors, 35 35 20 15x y= − = − =

Per tant, hi ha 15 nois i 20 noies, a la classe.

1��

MATeMÀTIQUeS 3Q


1. Donat el sistema }− = −+ =

2 3 24 5 40

x yx y

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

a) Aïlla la variable x en funció de la y en la primera equació.

2 2 3x y= − + →2 3

2

yx

− +=

b) Substitueix l’expressió que has trobat en el lloc de la x de la segona equació.

2 34 5 40

2

yy

− + ⋅ + =

c) Resol l’equació obtinguda.

2 3

4 5 402

yy

− + ⋅ + =

→ 2 ( 2 3 ) 5 40y y⋅ − + + =

4 6 5 40y y− + + = → 6 5 40 4y y+ = +

11 44y = →44

11y = → 4y =

d) Substitueix el valor de y que has trobat en l’expressió de x aïllada de l’apartat a, i trobaràs el valor de x.

2 3 4 2 12 10

52 2 2

x− + ⋅ − +

= = = =

e) Per tant, la solució del sistema és: x = 5 i y = 4

2. Seguint els passos de l’exercici 1, aïllant en cada cas la variable més adequada, resol per substitució els siste-mes següents:

a) }− =− = −

5 233 13

x yy x

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem y de la primera equació:

5 23y x= −

Substituïm en la segona i resolem l’equació que obtenim:

3 (5 23) 13x x⋅ − − = − → 15 69 13x x− − = −

15 13 69x x− = − + → 14 56x =

56

14x = → 4x =

Substituïm el valor de x en l’expressió de y:

5·4 23 20 23 3y = − = − = −

Per tant, la solució és x = 4 i y = –3.

b) + =

− − =2 3 15

3 2 9x y

y xy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem x de la primera equació: 15 3

2

yx

−=


15 33 2 9

2

yy

− − − ⋅ =

→ 3 (15 3 ) 9y y− − − =

3 15 3 9y y− − + =

3 3 9 15y y− + = +

0 24=

0 24=

El sistema no té solució.

c) }− =+ =3 4

5 3 2x y

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllem x de la primera equació:

4 3x y= +


5 (4 3 ) 3 2y y⋅ + + =

20 15 3 2y y+ + =

15 3 2 20y y+ = −

18 18y = −

18

18y

−= → 1y = −

Substituïm el valor de y en l’expressió de x:

4 3 ( 1) 4 3 1x = + ⋅ − = − =

Per tant, la solució és x = 1 i y = –1.

d) }− =− =3 0

3 0y x

x yy x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

Aïllemy de la primera equació: 3y x=


3 3 0x x− =

0 0=

0 0=

El sistema té infinites solucions.

3. Planteja un sistema d’equacions per resoldre el pro-blema següent, i troba la solució utilitzant el mètode de substitució:

Cada dia, una colla d’amics va a berenar en el mateix bar. El primer dia, els cobren 25 € per 5 entrepans i 5 refrescos; el segon dia, els cobren 24 € per 6 entre-pans i 3 refrescos. Quant val, un entrepà? I un refresc?

Diem x al nombre d’entrepans i y al nombre de refrescos que es prenen.

Llavors, }5 5 256 3 24

x yx y

+ =+ =

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5). Aïllem x de la primera equació:

25 55

5

yx y

−= = −

Ho substituïm en la segona, i resolem l’equació que ob-tenim:

MATeMÀTIQUeS 3 Q

6 (5 ) 3 24y y⋅ − + =

30 6 3 24y y− + =

6 3 24 30y y− + = −

3 6y− = − →6

23

y−

= =−

Substituïm en l’expressió de x i trobem: 5 2 3x = − =

Per tant, un entrepà val 3 €, i un refresc val 2 €.

Joc matemàtic

PROBLEMES DE FAMÍLIA

La meva família està formada pel meu germà petit, la meva mare, el meu pare i jo.

1. Si agafem l’edat del meu germà petit, la multipliquem per 3 i li restem 4, obtenim el mateix resultat que si li sumem 5 al doble de la seva edat.

Quants anys té, el meu germà?

a) Quina és la incògnita?

x, que és l’edat del germà.

b) Planteja una equació per resoldre el problema.

x x− = +3 4 5 2

c) Resol l’equació plantejada.

x x− = +3 4 5 2 → x x− = +3 2 5 4

x = 9

d) Llavors, quants anys té, el meu germà?

Té 9 anys.

2. L’edat del meu pare és el triple de la meva. Fa 5 anys, la seva edat era 4 vegades més gran que la meva. Troba quants anys tenim cadascun utilitzant un sistema d’equacions.

a) Quantes incògnites tenim? Quines són?

Tenim dues incògnites:

x, que és la meva edat, i y, que és l’edat del meu pare.

b) Planteja un sistema d’equacions per resoldre el pro-blema.

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)

c) Resol el sistema que has plantejat utilitzant el mèto-de que vulguis.

El resoldrem pel mètode d’igualació:

y x

y x

= − = −

3

5 4( 5)→

y x

y x

= = −

3

4 15

x x= −3 4 15 → x = 15

3 15y = ⋅ → y = 45

d) Per tant, quines són les nostres edats?

El meu pare té 45 anys i jo tinc 15 anys.

3. Si al doble de l’edat de la meva mare li sumem la meva edat i la del meu pare, obtenim el mateix resultat que si multipliquem l’edat de la meva mare per 4 i li restem el doble de l’edat del meu germà petit. Quants anys té, la meva mare?

a) Quina és la incògnita?

x, que és l’edat de la meva mare.

b) Planteja una equació per resoldre el problema.

2 45 15 4 2 9x x+ + = − ⋅

c) Resol l’equació plantejada.

2 45 15 4 2 9x x+ + = − ⋅

x x− = − − −2 4 18 45 15

x− = −2 78 → x−

=−78

2→ x = 39

d) Llavors, quants anys té la meva mare?

Té 39 anys.



1. a) Substitueix lax per 3; es compleix, l’equació? És una solució?

Substitueix la x per 2; es compleix, l’equació? És una solució?

+ ⋅ − =( 3) ( 2) 0x x x = –3 x = 2

(–3 + 3)− + ⋅ − − = ⋅ − =( 3 3) ( 3 2) 0 ( 5) 0 l’equació es com-pleix, és solució.

+ ⋅ − = ⋅ =(2 3) (2 2) 5 0 0 l’equació es compleix, és solució.

b) Substitueix la x per 0; es compleix, l’equació? És una solució?

Substitueix la x per 5; es compleix, l’equació? És una solució?

1��

MATeMÀTIQUeS 3Q

225 5 0x x− = x = 0 x= 5

⋅ − ⋅ =225 0 5 0 0 l’equació es compleix, és solució.

⋅ − ⋅ = − = ≠225 5 5 5 625 25 600 0 l’equació no es compleix, no és solució.

c) Si x = 1, es compleix l’equació? És una solució?

Si x = –6, es compleix l’equació? És una solució?

3 12

3 12

x x

x x+ = + x = 1 x= –6

+ ++ = + → = → ≠

1 3 12 1 4 36 144 140 145

3 1 1 12 12 12→ l’equació no es compleix, no és solució.

− − − − − −+ = + → = → − = −

− −6 3 12 6 24 6 24 6

30 303 6 6 12 12 12

→ és solució.

d) Si x = 1

2, es compleix l’equació? És una solució?

Si x = –1, es compleix l’equació? És una solució?

+ = ⋅ −2 1 ( 2)x x x 1

2x = x = –1

− + − + = − → + = → = → ≠

21 1 1 1 1 1 4 1 4 3

1 2 1 5 32 2 2 4 2 2 4 4

− + − + = − → + = → = → ≠

21 1 1 1 1 1 4 1 4 3

1 2 1 5 32 2 2 4 2 2 4 4

→ no és solució.

− + = − − − → + = − − → ≠2( 1) 1 ( 1)( 1 2) 1 1 ( 1)( 3) 2 3→ no és solució.

2. Calcula els valors de a, b i m en les equacions se-güents:

Una de les solucions de l’equació 2 4 0x ax+ + = és x = 4. Determina el valor de a.

Troba el valor de b perquè una de les solucions de l’equació 2 0x x b− + = sigui x = 3.

Sabent que x = 4 és una solució de l’equació 2 12 0mx mx− + = , troba m.

+ ⋅ + = ⇒ = − − ⇒ = −24 4 4 0 4 4 16 5a a a

− + = ⇒ − + = ⇒ = −23 3 0 9 3 0 6b b b

⋅ − ⋅ + = ⇒ − + = ⇒ = − ⇒ = −24 4 12 0 16 4 12 0 12 12 1m m m m m m

⋅ − ⋅ + = ⇒ − + = ⇒ = − ⇒ = −24 4 12 0 16 4 12 0 12 12 1m m m m m m


1. a) 1

2x2 = 8. És una equació del tipus ax2 = c.

• Aïllax2 → x2 =16

• Extreu l’arrel quadrada 16 4x x→ = ± → = ±

• Té dues solucions, que són x1= 4 i x

2= –4.

b) 27

3

x

x=

Operació prèvia. Multiplica en creu: 2 81x =

És una equació del tipus ax2 = c.

• Soluciona-la.

81 9x = ± = ±

c) 4

9x2 = 1. És una equació del tipus ax2 = c.

• Soluciona-la.

= → = ± = ±2 9 9 3

4 4 2x x

d) (9x – 27)2 = 0. És una equació del tipus (rx + p)2 = q.

• Extreu l’arrel quadrada dels dos membres de la

igualtat. 9 27 0 0x − = ± =

• Resol l’equació de primer grau que obtens.

= → =9 27 3x x

• Té una solució doble, que és x = 3

e) (2x – 1) · (4x – 8) = 0

És una equació del tipus (px + r) · (qx + s) = 0.

• Iguala cada factor a 0 = → =

= → =

12 1

24 8 2

x x

x x

2 1 04 8 0

xx

− =− =

• Resol les dues equacions de primer grau que ob-tens:

1

2 12

4 8 2

x x

x x

= → = = → =

• Té dues solucions, que són x1 =

1

2 i x

2 = 2.

f) 2

5

x− = 5x

Operació prèvia.

• Multiplica en creu: 2 25x x− = .

• Escriu tots els termes al primer membre de l’equació 2 25 0x x+ = .

• És una equació del tipus ax2 + bx = 0.

• Extreu factor comú x + =( 25) 0x x .

• Iguala cada un dels factors a 0 = → =

= → =

12 1

24 8 2

x x

x x

025 0

xx

=+ = .

• Resol l’equació de primer grau que obtens:

x = –25.

Té dues solucions, que són x1 = 0 i x

2 = –25.

1��

MATeMÀTIQUeS 3 Q

g) 2

3 1

2 4x − =

És una equació del tipus (rx + p)2 = q.

• Extreu l’arrel quadrada dels dos membres de la

igualtat. − = ± = ±3 1 1

2 4 2x

• Resol les dues equacions de primer grau que ob-tens.

− = → = − = − → = −

3 12

2 23 1

12 2

x x

x x

• Té dues solucions, que són x1 = 2 i x

2 = –1.


1. Per cada una de les equacions inicials:

• Identifica els coeficients a, b i c.

• Calcula el discriminant i digues quantes solucions té.

• Substitueix els valors a la fórmula i troba les solucions.

a)x2 – 9x + 18 = 0

= = − ⇒ ∆ = − = − − ⋅ ⋅ = >=

2 21

9 4 ( 9) 4 1 18 9 018

ab b acc

Té dues solucions.

− ± − − − ±= = =

⋅

2 4 ( 9) 9

2 2 1

b b acx

a

2 1

2

9 369 34 ( 9) 9 2

9 32 2 1 2 32

xb b acx

a x

+= =±− ± − − − ±

= = = −⋅ = =

b) 5x2 – 4x – 1 = 0

= = − ⇒ ∆ = − − ⋅ ⋅ − = + = >= −

25

4 ( 4) 4 5 ( 1) 16 20 36 01

abc

Té dues solucions.

1

2

1( 4) 36 4 6 12 5 10 5

xx

x

=− − ± ± −= = =⋅

c) x2 + 4x + 4 = 0

= = ⇒ ∆ = − ⋅ ⋅ = − ==

214 4 4 1 4 16 16 04

abc

Té una solució doble.

− ±= = −

4 02

2x

d) 12x2 + 5x – 2 = 0

= = ⇒ ∆ = − ⋅ ⋅ − = + = >= −

2125 5 4 12 ( 2) 25 96 121 0

2

abc

Té dues solucions.

− += = =− ± − ±

= = − − − −⋅ = = =

1

2

5 11 6 15 121 5 11 24 24 4

5 11 16 22 12 2424 24 3

xx

x

2. Amb l’ajut del discriminant, troba el valor de m en cada cas:

• Calcula el valor de m perquè l’equació 2 25 0x mx+ + = tingui una solució doble, i escriu-ne l’equació.

El discriminant ha de ser 0.

∆ = − ⋅ ⋅ = → − = → = ± = ±2 24 1 25 0 100 0 100 10m m m

Poden ser les equacions 2 210 25 0 i 10 25 0x x x x+ + = − + = .

• Determina m a l’equació 22 8 0x x m− + = , de ma-nera que les dues solucions siguin iguals, i escriu-la.


∆ = − − ⋅ ⋅ = → − = → =2( 8) 4 2 0 64 8 0 8m m m

Serà l’equació 22 8 8 0x x− + = .

• Busca el valor de m perquè l’equació 2 (2 ) 9 0x m x+ + + = tingui una solució.


∆ = + − ⋅ ⋅ = → + + − = → + − =2 2 2(2 ) 4 1 9 0 4 4 36 0 4 32 0m m m m m

∆ = + − ⋅ ⋅ = → + + − = → + − =2 2 2(2 ) 4 1 9 0 4 4 36 0 4 32 0m m m m m

= =− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ±= = = = −

= = −

2 1

2

844 4 4 1 ( 32) 4 144 4 12 2

162 2 2 82

mm

m

= =− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ±= = = = −

= = −

2 1

2

844 4 4 1 ( 32) 4 144 4 12 2

162 2 2 82

mm

m

Si m = 4, l’equació és 2 6 9 0x x+ + = i si m = –8 és 2 6 9 0x x− + = .


1. Per cada enunciat:

a) Expressa les dades algèbricament:

nombre → x; el seu doble → 2x; el seu quadrat → x2; el doble del seu quadrat → 2x2.

Tradueix la frase al llenguatge algèbric:

El doble d’un nombre més el doble del seu qua-dratés100.

Equació: 2x + 2x2 = 100

1�9

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) Expressa les dades algèbricament:

nombre → x; el seu doble → 2x; el seu quadrat → x2.


Equació: x2 + 2x = 100

c) Expressa les dades algèbricament:

nombre → x; el seu quadrat → x2; el doble del seu quadrat → 2x2.


Equació: 2x2 = 100

d) Expressa les dades algèbricament:

nombre → x; el seu quadrat → x2; dues vegades el seu quadrat → 2x2.


Equació: 2x2 = x + 100

e) Expressa les dades algèbricament:

nombre → x; nombre més una unitat → x + 1; nom-bre menys dues unitats → x – 2.


Equació: (x + 1) · (x – 2) = 100

2. Tradueix cada frase al llenguatge algèbric:

• Els quadrats de dos nombres la suma dels quals és 10 sumen 52.

nombre x; nombre 10 – x

+ − =2 2(10 ) 52x x

• El producte d’un nombre per la seva tercera part és 27.

nombre x; nombre 273

xx ⋅ =

27

3

xx ⋅ =

• La diferència entre dos nombres el quocient dels quals és 4 és 63.

nombre x; nombre 4x

4 63x x− =


1. a) Comprensió de l’enunciat

• Què és un triangle rectangle? Dibuixa’n un.

Un triangle rectangle és el que té un angle recte.

hipotenusa

• Quin nom reben els costats del triangle rectangle?

Dos dels costats són els catets, i l’altre, la hipotenusa.

• Quin dels costats és la hipotenusa?

La hipotenusa és el costat oposat a l’angle recte, el costat més llarg.

• Què és el perímetre?

El perímetre és la suma dels dos catets i la hipotenusa.

b) Diferenciació entre les dades que dóna i les que demana:

• Quines dades dóna el problema? Quines dades et demana?

Dóna el perímetre i la hipotenusa i demana els dos catets.

• Quina relació hi ha entre les dades que dóna i les que demana:

«El perímetre és 12, i la hipotenusa, 5; per tant, la suma dels dos catets val 7 o, el que és el mateix, un dels catets és igual a 7 menys l’altre».

Posa-li x a un dels catets i completa:

Catet → x; catet → 7– x; hipotenusa → 5

c) Relaciona els catets i la hipotenusa segons el teorema de Pitàgores i tindràs l’equació que has de resoldre:

+ − =2 2 2(7 ) 5x x

Resol l’equació:

+ − = → + − + = →→ − + = → − + = →

± − − ⋅ ⋅ ± =→ = = =

2 2 2 2 2

2 2

21

2

(7 ) 5 49 14 252 14 24 0 7 12 0

7 ( 7) 4 1 12 7 1 432 2

x x x x xx x x x

xx x

Les solucions de l’equació han de ser nombres posi-tius, perquè són costats.

Per a cada valor de x, determina el valor de l’altre catet.

Determinació de la solució del problema:

Si x = 4, l’altre catet val 7 – 4 = 3.

Si x = 3, l’altre catet val 7 – 3 = 4.

190

MATeMÀTIQUeS 3

191

Q

d) Resposta a la pregunta inicial: Els dos catets del triangle mesuren 4 cm i 3 cm.

3 cm

3 cm

5 cm4 cm

5 cm

4 cm

2. Resol aquests dos problemes extrets d’un text indi del segle ix. Assimila les situacions a triangles rectangles.

Problemadelbambú. Un bambú que fa 30 colzes i que s’eleva sobre un ter-

reny pla es trenca en un punt per la força del vent. L’extrem toca a terra a 16 colzes del peu. A quina alça-da s’ha trencat?

Problema del bambú:

x30 – x

16

− = +

− + = +− = → =

=

2 2 2

2 2

(30 ) 16

900 60 256

900 256 60 644 60

10,73

x x

x x x

x x

x

S’ha trencat a 10,73 colzes de la base.

Problemadeljonc. Un jonc arrelat al fons d’un estany es troba a 90 peus

de la riba i el seu cap s’eleva 30 peus sobre la superfície de l’aigua. Per la força del vent s’ha inclinat de manera que el cap toca la riba arran de l’aigua. Quina és la pro-funditat de l’estany? I l’altura del jonc?

Problema del jonc:

90

jonc30

x

superfície

30 + x

fons

riba

2 2 2

2 2

(30 ) 90900 60 8 10060 8 100 900 60 7 200

120

x xx x x

x xx

+ = ++ + = += − → =

=

L’estany fa 120 peus i el jonc, 150 peus.


1. a) Comprensió de l’enunciat: Parla dels quatre termes d’una divisió entera.

• Què és, una divisió entera?

Una divisió entera és una divisió amb residu.

• Quants termes té? Quins?

Té quatre termes: dividend, divisor, quocient i residu.

• En quin conjunt de nombres està definida, aquesta operació?

Està definida en el conjunt dels nombres naturals (enters positius).

• Efectua la divisió entera 2 345 : 32.

2 345 32

105 09

73

dividend 2 345

divisor 32

quocient 73

residu 9

La relació entre els quatre termes és:

dividend=divisor·quocient+residu

• Comprova-ho amb la divisió anterior.

2 345 = 32 · 73 + 9

b) Diferenciació entre les dades que dóna i les que demana:

• Quina dada dóna, el problema?

El problema dóna el dividend.

• Quines tres dades et demana?

Demana divisor, quocient i residu.

• Quina relació hi ha entre les dades que dóna i les que demana?

«El quocient i el residu són iguals».

«El divisor és el doble del quocient».

• Posa-li x al quocient i completa:

Dividend = 1 275

Divisor = 2x

Quocient = x

Residu = x

c) Relaciona els quatre termes segons la igualtat ante-rior i tindràs l’equació que has de resoldre:

Relació entre les dades i plantejament de l’equació:

1 275 = 2x · x + x

MATeMÀTIQUeS 3Q

Resol l’equació:

2 21275 2 2 1275 0x x x x= + → + − =

= =− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ±= = = = −⋅ = = −

21

2

100251 1 4 2 ( 1 275) 1 10 201 1 101 4

1022 2 4 4 25,54

xx

x

1

2

100251 101 4

1024 25,54

x

x

= =− ±= = −

= = −

Les solucions de l’equació que has trobat, són nom-bres naturals? Si és així, són les solucions, si no, no són solució.

L’única solució vàlida és x = 25.

Si x = 25, el quocient i el residu valen 25 i el divisor, 50.

Resposta a la pregunta inicial: El divisor és 50.

2. Pensa un nombre natural (que serà el divisor); eleva’l al quadrat i resta-li dos (serà el dividend). Efectua la divi-sió. Compara el quocient i el residu amb el divisor. Què observes? (Fes el mateix amb diferents nombres ini-cials i sempre trobaràs la mateixa relació).

Ara posa-li x al divisor i planteja la relació entre els quatre termes. Resol l’equació. Quina solució trobes? Què signifi ca aquesta solució?

Trobes que el quocient és una unitat menys que el divi-sor i el residu una unitat menys que el quocient.

divisor: x

dividend: x2 – 2

quocient: x – 1

residu: x – 2

dividend: divisor · quocient + residu

− = − + − → − = − + − → =2 2 22 ( 1) 2 2 2 0 0x x x x x x x x

És una identitat i es compleix per a qualsevol valor de x.

Joc matemàtic

COMPARTINT DESPESES

Planteja les dades:

• Alumnes → − 9x

collarets per alumne → +210

x

• Alumnes que participen → − 9x

collarets per alumne → +210

x3

Planteja l’equació:

Nombre d’alumnes · collarets per alumne = total collarets

− + =

210( 9) 3 210x

x

Resol l’equació:

+ − = → − + = →

→ + − − − = → − − =± − ⋅ ⋅ − ± == = = = −⋅

2 2

2

1

2

210 3( 9) 210 ( 9)(210 3 ) 210

210 3 1 890 27 210 0 3 27 1 890 027 27 4 3 ( 1 890) 27 153 30

212 3 6

xx x x x

xx x x x x x

xx x

Determina la solució del problema:

La solució x = –21 no és vàlida, perquè és un nombre negatiu.

Respon la pregunta inicial: Quants alumnes hi ha, a la classe?

Hi ha 30 alumnes.

L’excursió us costa 100 € a cadascun dels 30 alumnes apun-tats fi nalment a la sortida. Per cada alumne que es dóna de baixa, els altres pagueu 10 € més. Quants alumnes aneu, fi -nalment, a la sortida, i quan us ha costat, si al fi nal sobren 750 €? Quants diners us tornen, a cadascun?

Planteja les dades:

Alumnes de baixa → x

preu de més per alumne →10x

Alumnes a la sortida → 30 – x

preu de la sortida → 100 + 10x

Planteja l’equació:

Alumnes a la sortida · preu de la sortida = total sortida + diners que sobren

− + = ⋅ +(30 )(100 10 ) 100 30 750x x

Resol l’equació:

+ − − = → − + − = →± − ⋅ ⋅ ± =→ − + = → = = = =

2 2

22 1

2

3 000 300 100 10 3 750 10 200 750 020 20 4 1 75 20 10 1520 75 0 52 2

x x x x x

xx x x x

Determina la solució del problema:

Si x = 15, van a la sortida 30 – 15 = 15 alumnes, i paguen 100 + 10 · 15 = 250 € cadascun.

Si x = 5, van a la sortida 30 – 5 = 25 alumnes, i paguen 100 + 10 · 5 = 150 € cadascun.

Les dues solucions són vàlides, però sembla més adient la segona.

Respon les pregunta inicial: Quants alumnes aneu d’excursió? Quant pagueu? Quants diners us tornen?

Aneu d’excursió 25 alumnes, pagueu 150 € i al fi nal us tornen 750 : 25 = 30 € a cadascun. També és possible la solució d’anar d’excursió 15 alumnes, que paguen 250 € cadascun i al fi nal reben 50 € cadascun.

192

MATeMÀTIQUeS 3 Q



1. a) Dibuixa en uns eixos de coordenades cartesianes el vector = −( 2, 3)

v . Resposta oberta.

b) En els mateixos eixos, dibuixa un vector que tingui la mateixa direcció però sentit diferent del de

v . Quins components té? Resposta oberta.

c) Dibuixa, en els mateixos eixos, un vector que tingui el mateix mòdul i el mateix sentit que

v . Quins components té? Resposta oberta.

2. a) Escriu els components del vector

r d’origen el punt A(3, 1) i extrem el punt B(1, 5).

( 2, 4)r = −

b) Quins components té el vector

s , d’origen el punt B(1, 5) i extrem el punt A(3, 1)?

(2, 4)s = −

c) Els vectors

r i

s són vectors oposats. Dibuixa’ls i compara’n els mòduls, la direcció i el sentit. Què en pots dir?

Tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però te-nen sentits oposats.

d) Escriu els components dels vectors oposats als vec-tors següents:

= −

(0, 3)v

El vector oposat és (0, 3)

= −

( 1, 2)w

El vector oposat és (1, –2)

e) Dibuixa les dues parelles de vectors de l’apartat an-terior i comprova gràfi cament que realment són vectors oposats. Resposta oberta.


Dibuixa un quadrat de costat 3 cm:

1. a) Aplica-hi una homotècia de centre O(0, 0) i raó = 2k .

2 4

2

4

0

1

1–2 –1–1–2

3

3

5

5

7

6

6 7

b) La fi gura obtinguda és més gran o més petita que l’original?

És un quadrat més gran que l’original.

2. a) A la mateixa figura, aplica-hi una homotècia de

centre O(0, 0) i raó =1

2k .

2 4

2

4

0

1

1–2 –1–1–2

3

3

5

5

7

6

6 7

b) Compara la fi gura original i la fi gura que has obtin-gut. Què en pots dir?

És un quadrat més petit que l’original.

3. a)Què creus que passaria si a la mateixa fi gura hi apli-quessis una homotècia de centre O(0, 0) i raó = 1k ?

Es quedaria igual.

b) Comprova-ho.

2 4

2

4

0

1

1–2 –1–1–2

3

3

5

5

7

6

6 7


1. a) Dibuixa, en uns eixos de coordenades cartesianes, els punts A(–6, –4) i B(–4, 1).

b) Dibuixa el segment AB que uneix els dos punts.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–7

–5–6

6 7–6–7

19�

194

MATeMÀTIQUeS 3Q

2. a) Aplica al segment AB de l’exercici anterior una translació de vector =

(6, 4)a .

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–7

–5–6

6 7–6–7

b) Quines són les coordenades del punt A’, homòleg del punt A?

A’(0, 0)

c) I les coordenades del punt B’, homòleg del punt B?

B’(2, 5)

3. a) Al segment A’B’ que has obtingut en l’exercici 2, aplica-li una translació de vector = −

(3, 2)b = (3, –2).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

5

7

6

6 7–6–7

b) Quines són les coordenades dels punts A’’ i B’’, homòlegs dels punts A’ i B’?

A’’(3, –2) i B’’(5, 3)

4. a) A partir dels exercicis anteriors, dibuixa el vector d’origen A i extrem A’’.

2 4

2

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3 5

–7

–5–6

6 7–6–7

b) Quins components té?

(9, 2)

Fixa’t que aquest vector que has obtingut és el vector de la translació que resulta d’aplicar, de manera conse-cutiva, els vectors =

(6, 4)a i = −

(3, 2)b anteriors, i que l’haguéssim pogut obtenir, també, si haguéssim sumat directament les components dels vectors

a i

b .

a) A partir d’aquesta observació, calcula el vector de translació que resulta d’aplicar, consecutivament, les parelles de vectors de translació següents:

• = −

( 1,5 )a (–1, 5) i = −

(2, 4)b (2, –4)

(1, 1)

• = − −

( 3, 2)a (–3, –2) i =

(3, 2)b (3, 2)

(0, 0)


1. a) Dibuixa, en uns eixos de coordenades cartesianes, el quadrilàter de vèrtexs els punts A(1, –2), B(3, –4), C(5, 0) i D(7, –1).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

b) Aplica a cada vèrtex una simetria respecte de l’origen de coordenades.

c) Dibuixa el quadrilàter de vèrtexs A’, B’, C’ i D’, homòlegs de A, B, C i D, respectivament.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

2. A partir del mateix quadrilàter de vèrtexs A’, B’, C’ i D’ de l’exercici anterior:

a) Aplica-hi una simetria respecte de l’eix d’abscisses.

b) Dibuixa el quadrilàter de vèrtexs A’’, B’’, C’’ i D’’, homòlegs de A’, B’, C’ i D’, respectivament.

MATeMÀTIQUeS 3

19�

Q

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

3. Fixa’t en els quadrilàters que has obtingut en els exer-cicis anteriors i digues quina és la transformació que et permet passar d’un quadrilàter a l’altre.

Una simetria respecte de l’eix d’ordenades.


1. Troba les coordenades del punt homòleg del punt P(2, 4), mitjançant un gir de 90º en sentit positiu, amb centre a l’origen de coordenades.

P’(–4, 2).

2. Fes el mateix però pren com a centre de gir el punt A(1, 2).

P’(–1, 3).

3. a) Dibuixa el triangle de vèrtexs A(2, 3), B(0, 0) i C(–1, 5).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

b) Aplica-hi un gir de 90º en sentit positiu, amb centre a l’origen de coordenades.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

Hi ha algun punt que no canviï? Quin?

Sí. És el punt B(0, 0).

c) Al triangle de l’apartat a, aplica-hi un gir de 90º en sentit positiu, amb centre al punt R(1, 1).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

d) Al triangle de l’apartat a, aplica-hi un gir de 90º en sentit positiu, amb centre al punt Q(3, 0).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

Fixa’t que el centre del gir de l’apartat b era un vèrtex del triangle; el de l’apartat c, un punt interior al trian-gle, i el de l’apartat d, un punt exterior.

Això influeix en el triangle que en resulta?

Sí que influeix. En el cas en que el punt és un vèrtex del triangle, els triangles homòlegs es toquen per aquest punt que no varia. En el cas en que el punt és interior al triangle, els triangles es tallen. I quan el punt és exterior al triangle, el triangle original i el seu homòleg estan separats.


1. Dibuixa, en uns eixos de coordenades cartesianes, el segment d’extrems els punts A(0, 2) i B(0, 6).

a) Aplica-hi un gir de 90º centrat en l’origen de coor-denades en sentit negatiu.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) Quins són els components dels extrems del seg-ment, A’ i B’, que has obtingut?

A’(2, 0) i B’(6, 0).

2. a) Al segment A’B’ resultant de l’exercici anterior, apli-ca-hi una homotècia de centre l’origen de coorde-

nades i raó =1

4k .

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

b) Quins són els components dels extrems del seg-ment, A’’ i B’’, que has obtingut?

1 3

'' , 0 i '' , 0 .2 2

A B

3. Al segment d’extrems els punts A(0, 2) i B(0, 6), que és el segment inicial de l’exercici 1:

a) Aplica-hi, de manera consecutiva i en l’ordre indicat, primer una homotècia de centre l’origen de coorde-

nades i raó =1

4k i, després, un gir de 90º centrat en

l’origen de coordenades en sentit negatiu.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

b) Quins són els components dels extrems del seg-ment transformat?

1 3

'' , 0 i '' , 0 .2 2

A B

c) Coincideixen amb les de l’exercici 2? Sí.

d) En aquest cas, és important l’ordre en què apliquem les transformacions?

No, no importa l’ordre en què apliquem l’homotècia i el gir perquè el resultat fi nal és el mateix.

Joc matemàtic

ToT QUEDa IGUal

1. En uns eixos de coordenades, dibuixa el rombe de vèr-texs A(2, 0), B(5, 6), C(8, 0) i D(5, –6).

a) Aplica-hi una simetria respecte de l’eix d’ordenades.

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

7

–7

–8 8

b) A la nova fi gura, aplica-hi una translació en la direc-ció del vector (4, 0).

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

7

–7

–8 8

c) Quina relació té la figura que has obtingut en l’apartat anterior i la que has dibuixat al principi?

És la mateixa però traslladada en la direcció del vector (–6, 0).

2. En uns eixos cartesians, dibuixa la fi gura formada pel quadrat de vèrtexs A(4, –2), B(4, 2), C(8, 2) i D(8, –2) i el triangle de vèrtexs B(4, 2), C(8, 2) i E(6, 6).

2

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7–6–7

7

–7

–8 4 8

19�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

a) Aplica-hi de manera consecutiva i en l’ordre indicat, primer una translació de vector (–2, 3), després una homotècia de centre a l’origen de coordenades i raó = 2k i, després, un gir de 90º centrat en l’origen de coordenades en sentit negatiu.

2

2

4

0

1

1–2 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7

7

–7

4 8

–10

–8–9

–11–12–13

109 11 13 14 1512 16 17 18 19

b) Ara, aplica-hi de manera consecutiva i en l’ordre in-dicat, primer un gir de 90º centrat en l’origen de coordenades en sentit positiu, després una homo-

tècia de centre l’origen de coordenades i raó =1

2k

i, fi nalment, una translació de vector (2, –3).

2

2

4

0

1

1–2 –1–1

–4

–2–3

3

3

5

56

–5–6

6 7

7

–7

4 8

–10

–8–9

–11–12–13

109 11 13 14 1512 16 17 18 19

c) Quina relació té la figura que has obtingut en l’apartat anterior i la que has dibuixat al principi?

Són la mateixa fi gura.



1. Prisma.

• El nom del prisma ens diu quin polígon forma les bases

–Octogonal: les bases són les bases són octàgons.

–Regular: els costats de la base són els costats de la base són iguals.

• El nombre de costats del polígon de la base ens diu quantes cares laterals té: tindrà vuit cares laterals rectangulars.

• Totes les cares laterals són iguals? Per què?

Totes les cares laterals són iguals, perquè les arestes bàsiques (costats del polígon de la base) són iguals.

2. Observa el prisma en tres dimensions:

• Cara lateral: 6. Base: 7. Aresta de la base (o bàsica): 2. Aresta lateral: 3. Vèrtex: 1. Altura: 8. Angle díedre: 4. Angle políedre: 5.

• Té 16 vèrtexs, i tots són iguals.Té dos tipus d’arestes, les arestes bàsiques (en té 16) i les arestes laterals (en té 8). Té dos tipus de cares, les bases (en té 2) i les cares laterals (en té 8).

3. Escriu la relació d’Euler

Relació d’Euler: cares + vèrtexs = arestes + 2.

• Quins políedres compleixen la relació d’Euler?

La relació d’Euler la compleixen tots els políedres de desenvolupament pla, format pels mateixos polí-gons.

• Aquest prisma, la compleix? Comprova-ho.

En aquest prisma, C = 10 A = 24 V = 16 10 + 16 = 24 + 2

4. Angles políedres.

Dues cares formen un angle díedre:

• Té dos tipus d’angles díedres:

–Els que formen la base amb cada cara lateral (en té 16) .

Dibuixa’n un. Quant mesura? 90º.

Angle díedre

Angle tríedre

19�

MATeMÀTIQUeS 3Q

–Els que formen dues cares laterals (en té 8).

Mesuren 135º (angle interior d’un octàgon regular).

Dibuixa’n un. Per calcular-ne la mesura, et pot ajudar dibuixar-lo també sobre el desenvolupa-ment pla.

Tres cares formen un angle tríedre.

• Té 16 angles tríedres i tots són iguals.

–Dibuixa, en el prisma, un angle tríedre.

–Dibuixa’l també sobre el desenvolupament pla.

–Quant mesura?

Mesura 135º + 90º + 90º = 315º


1. Fixa’t en la piràmide:

• Quin polígon forma la base? Quants costats té? Tots són iguals?

La base és un pentàgon regular, té 5 costats i tots són iguals.

• Quantes cares laterals té? Quina forma tenen? Totes són iguals? Per què?

Té 5 cares laterals, que són triangles isòsceles.

Totes les cares són iguals, perquè les arestes bàsiques són iguals (el pentagon és regular).

2. Identifica els elements següents de la piràmide:

• Altura (H): 6

• Aresta bàsica (B): 5

• Aresta lateral (A): 2

• Radi de la base (R): 8

• Vèrtex de la base: 3

• Vèrtex superior: 1

• Cara lateral: 7

• Base: 4

3. Si tallem la figura per un pla perpendicular a l’altura, obtenim dos cossos geomètrics. Quin nom reben?

Piràmide pentagonal regular, i tronc de la piràmide pen-tagonal regular:

4. Substitueix per les dades del problema, i troba les di-mensions de la piràmide petita.

H = 8 B = 6 h = 8 – 3 = 5 8 6

3,75 cm5

H Bb

h b b= → = → =

5. Tronc de la piràmide:

Té 2 bases. Tenen la mateixa mida? I la mateixa forma? Quin polígon és, cada base?

Tenen la mateixa forma però diferent mida: són penta-gons regulars.

Té 5 cares laterals. Tenen la mateixa mida? I la mateixa forma? Quin polígon és, cada base?

Tenen la mateixa forma i la mateixa mida: són trapezis isòsceles.


1. Relaciona cadascun dels elements d’aquest cilindre amb el dibuix:

Base: 4. Radi de la base: 5. Cara lateral: 2. Generatiu: 3. Altura: 1

2. Està format per:

• Dues bases amb forma de cercle.

• Una cara lateral que és un rectangle.

3. La superfície de la canalera és l’àrea de la cara lateral del cilindre.

Per calcular l’àrea de la cara lateral necessitem:

• La base del rectangle: és la longitud de la circumfe-rència de la base:

2 18 3,14 18 56,52 cmb L r d= = π = π⋅ = π⋅ = ⋅ =

• L’altura del rectangle: és la llargada de la canalera (expressa-la en cm):

3 m 300 cma = =

• La superfície de la canalera:

2 · 56,52 300 16 956 cmA b a= = ⋅ =

4. Expressa aquesta superfície en m2 i determina si en tens prou amb un pot de pintura.

A = 16 956 cm2 = 1,6956 m2 < 2m2 per pot; sí que n’hi ha prou.

5. Un altre tros de canalera té la forma que indica la figu-ra, el mateix diàmetre que l’anterior i el doble de llar-gada. Si la volem pintar per dins i per fora, quants pots de pintura necessitarem?

Base del rectangle:

9 3,14 18 28,26 cm2

Lb r= = π⋅ = π⋅ = ⋅ =

19�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

Altura del rectangle: 6 m 600 cma = =

Superfície de la canalera:

2 2 · 28,26 · 600 16 956 cm 1,6 956 mA b a= = = =2 2 · 28,26 · 600 16 956 cm 1,6 956 mA b a= = = =

Però s’ha de pintar per dins i per fora i, per tant,

A = 1,6 956 · 2 = 33 912 cm2 = 3,39 m2, necessitarem dos pots de pintura.


1. Les seves cares són polígons regulars, en aquest cas triangles equilàters. Té 8 cares.

Compta les arestes i els vèrtexs, i comprova que com-pleix la relació d’Euler.

C = 8, A = 12, V = 6; C + V = A + 2; 8 + 6 = 12 + 2

2. Àrea del triangle equilàter:

Considera un dels dos triangles rectangles iguals, i posa-hi les dades:

Teorema de Pitàgores: 2 2 2a b c= +

Hipotenusa a = 2

Catet base b = 1

Catet altura c = x

2 2 2 22 1 3 1,73 dmx x= + → = =

Àrea del triangle equilàter:

=base x altura

2A 22 3

1,73 dm2

= =

Àrea de l’octàedre: 28 8 3 8 1,73 13,86 dmtA A= ⋅ = = ⋅ =

3. Quin nom rep, el políedre regular format per vint trian-gles equilàters?

Icosàedre.

Si són de la mateixa mida que l’anterior, quina serà l’àrea d’aquest políedre?

220 20 3 20 1,73 34,64 dmtA A= ⋅ = = ⋅ =

4. Quin nom rep, el políedre regular format per quatre triangles equilàters?

Si vull construir-ne un que tingui la mateixa àrea que l’octàedre, quina haurà de ser la mida de l’aresta?

h

x

x/2

Tetràedre: octagon tetraedre 8 3A A= =

Cada cara del tetràedre mesurarà 3

8 2 3 3,46 dm4

= =

La mida de l’aresta que busquem és x. Hipotenusa: a = x

Base b = 2

x. Altura: h. T. Pitàgores x2 =

2

2

x

+ h2

2 22 3 3 3

0,8664 4 2

x x xh h x

⋅→ = → = = = ⋅

L’àrea del triangle és 0,866

22 2

xxb a

A⋅⋅

= = i és igual 3,46 dm.

2

20,866 0,8662 3,46 6,93 15,99 4 dm

2 2

xx x

x x⋅

= → = → = → =

L’aresta del tetràedre serà el doble de l’aresta de l’octàedre.

5. Explica per què no hi ha més polígons regulars for-mats per triangles equilàters.

Compta quants triangles concorren en cada vèrtex, en cada un dels políedres.

Què passaria si féssim concórrer un triangle més en cada vèrtex?

En el tetràedre concorren 3 triangles, en l’octàedre 4 i a l’icosàedre, 5. Si n’hi hagués 6, mesurarien 360º i for-marien una figura plana, sense volum.


2. Calcula l’àrea de les bases de cada cilindre, i compara-les:

Base: és un cercle.

Radi de la base r = 6 cm

2 2 26 3,14 36 113,04 cmbA r= π⋅ = π⋅ = ⋅ =

Base: és un cercle .

Radi de la base r = 4 cm

2 2 24 3,14 16 50,24 cmbA r= π⋅ = π⋅ = ⋅ =

3. Cara lateral: és un rectangle la base del qual coincideix amb la longitud del cercle.

Base 2 2 6 12b r= ⋅ π ⋅ = ⋅ π ⋅ = π Altura a = 4

lA b a= ⋅ = 12 · π · 4 = 48π = 150,72

Base 2 2 4 8b r= ⋅ π ⋅ = ⋅ π ⋅ = π Altura a = a = 6

lA b a= ⋅ = 8π · 6 = 48π = 150,72

Les àrees de les cares laterals són iguals.

4. Calcula l’àrea total de cada cilindre, i compara-les:

A = 2 · 113,04 + 150,72 = 376,8 cm2

199

MATeMÀTIQUeS 3Q

A = 2 · 50,24 + 150,72 = 251,2 cm2

El cilindre de base més gran té una àrea més gran.

5. Calcula el volum de cada cilindre, i compara’ls:

V= 113,04 · 4 = 452,16 cm3 V = 50,24 · 6 = 301,44 cm3

El cilindre de base més gran ocupa més volum.


1. Posa el número que correspongui a cada element del con:

Radi de la base (r): 6. Generatriu (g): 3. Vèrtex: 1. Base: 5. Altura (h): 4. Cara lateral: 2

2. Posa les dades del problema en el lloc corresponent:

Diàmetre de la base = 2,5 m

Radi de la base = 1,25 m

Profunditat = 10 m

3. • Calcula l’àrea de la base:

La base és un cercle de radi 1,25 m.

Àrea de la base: Ab

2 2 23,14 1,25 4,91 mA r= π⋅ = ⋅ =

• Altura = 10 m.

• Volum = 31 4,91 · 1016,37 m

3 3bV A h= ⋅ = =

4. Expressa el volum (m3) en unitats de capacitat (L):

33

3 3

1000 dm 1 L16,37 m 16 370 L 163,7 hL

1 m 1 dm⋅ ⋅ = =

5. El dipòsit s’omple d’aigua amb una aixeta d’un cabal de 100 L/min. Quant de temps trigarem a omplir-lo?

1 min 1 h

16 370 L 163,7 min 2 h 43 min 42 s100 L 60 min

⋅ = ⋅ =

6. Amb l’aigua del dipòsit es vol omplir tres cops una bóta petita de forma cilíndrica, d’1 m de diàmetre per 2 m de llargada. Quanta aigua quedarà, en el dipòsit?

En el dipòsit hi ha 16,37 m3 d’aigua. La capacitat de la bóta cilíndrica és:

diàmetre = 1 m radi = 0,5 m llargada (altura) = 2 m

2 2 23,14 0,5 0,785 mbA rπ= ⋅ = ⋅ =

30,785 2 1,57 mbV A h= ⋅ = ⋅ =

La volem omplir tres cops, i traurem 1,57 · 3 = 2,355 m3 d’aigua.

En el dipòsit hi quedaran 16,37 – 2,355 = 14,015 m3 d’aigua.


1. Un ortòedre és un prisma de base rectangular.

a = 3,6 cm b = 5 cm c = 11,8 cm

2. • Calcula el volum, que vindrà expressat en cm3.

V = a · b · c = 3,6 · 5 · 11,8 = 212,4 cm3

• Converteix la mesura de volum en una mesura de capacitat (mL).

33

3 3

1 000 mL1 dm 1 L212,4 cm 212,4 mL

1 000 cm 1 dm 1 L⋅ ⋅ ⋅ =

• Calcula el nombre d’envasos que calen per obtenir 1 L de suc.

Per obtenir 1 L = 1 000 mL de suc necessitarem 1000 : 212,4 = 4,7 → 5 envasos

• Calcula el cost dels envasos.

Costaran 5 · 0,60 = 3 €

• Compara el cost dels envasos amb el preu d’un bric d’un litre de suc.

És més car que comprar un bric d’un litre.

3. Calcula l’altura del bric d’1 L, si la base mesura 5,8 cm i 8,9 cm.

V = a · b · c → 1 L = 1000 mL = 1000 cm3

1000 = 5,8 · 8,9 · x → x = 19,4 cm

4. Has de calcular en aquest ordre:

• Pes del bric petit: 230 g

• Pes de l’envàs petit: 5% de 230 = 0,5 · 230 = 11,5 g

• Pes del suc que conté l’envàs petit: 230 – 11,5 = 218,5 g

• Densitat del suc (g/cm3): 218,5 g/212,4 cm3 = 1,029 g/cm3

• Pes d’1 L de suc: 1,029 g/cm3 · 1 000 cm3 = 1 029 g

• Pes de l’envàs gros: 11,5 · 2 = 23 g

• Pes del bric d’1 L: 1 029 g + 23 g = 1 052 g = 1 kg 52 g


1. Diàmetre de l’esfera d = 7 cm

Radi de l’esfera r = 3,5 cm;

Volum de l’esfera = π⋅ =34

3V r

33 34 4 3,14 · 3,5

179,5 cm3 3

V r⋅

= π ⋅ = =

2. Radi de la base r: 3,5 cm

Altura del cilindre h: 6 pilotes · 7 cm de diàmetre = 42 cm

200

MATeMÀTIQUeS 3 Q

Àrea de la base 2bA r= π⋅ 2 23,14 3,5 38,47 cm= ⋅ =

Volum de la capsa cilíndrica

bV A h= ⋅ 338,47 · 42 1615,53 cm= = 1 615,53 cm3

3. Calcula el volum que ocupen les 6 pilotes, i calcula l’es-pai buit que queda dins la capsa. Expressa’l en litres.

V = Vcapsa

– Vsis pilotes

= 1 615,53 – 6 · 179,5 = 538,03 cm3 =

= 0,538 dm3 = 0,538 L

4. Les capses de pilotes es distribueixen en capses de cartró de base quadrada, disposades com les fi gures a i b.

a)

7 · 6 = 42

7 · 6

= 4

2

Quants pots de pilotes hi caben?

6 · 6 = 36 pots

Quines han de ser les dimensions mínimes de la capsa?

42 cm x 42 cm x 42 cm, que és l’altura de cada pot de sis pilotes.

Quina forma tindrà la capsa?

Cúbica.

Quin volum té la capsa de cartró?

Vcub

= c3 = 423 = 74 088 cm3

Quin volum ocupen tots els pots de pilotes?

36 · 1 615,53 = 58 159,08 cm3

Quin és el volum de l’espai buit que queda entre els pots de pilotes?

74 088 – 58 159,08 = 15 928,92 cm3

b)

7 · 6 + 3,5 = 45,5

5 · 6

,06

+ 2

· 3,5

= 3

7,3

72 = 3,52 + x2

x = 6,06x

3,5

7

Quants pots de pilotes hi caben?

6 · 6 = 36 pots

Quines han de ser les dimensions mínimes de la capsa?

37,3 cm x 45,5 cm x 42 cm

Quina forma tindrà la capsa?

Ortoèdrica

Quin volum té la capsa de cartró?

V = 37,3 · 45,5 · 42 = 71 280,3 cm3

Quin volum ocupen tots els pots de pilotes?

36 · 1 615,53 = 58 159,08 cm3

Quin és el volum de l’espai buit que queda entre els pots de pilotes?

71 280,3 – 58 159,08 = 13 121,22 cm3

Joc matemàtic

El PaNTEÓ DE RoMa

Fes un dibuix de l’interior del panteó (sala cilíndrica, cúpula semiesfèrica i oculus), i posa-hi les mides que coneixes.

r

r

r

Comprova que a dins s’hi podria construir una esfera. Quin seria el radi d’aquesta esfera?

El radi seria de la meitat del diàmetre, 43,30

2 = 21,65 m.

Calcula l’àrea total de les parets interiors i de la cúpula.

Cúpula semiesfèrica:

Àrea d’una esfera: 24A r= π⋅

Àrea d’una semiesfera:

2 2 22 2 21,65 2 943,58 mA r= π⋅ = π⋅ =

201

MATeMÀTIQUeS 3Q

Àrea lateral del cilindre:

43,30 m

2 · 3,14 · 21,65

22 2 21,65 43,30 3 167,91 mA b a r h= ⋅ = π⋅ ⋅ = π ⋅ ⋅ =

2Total 3 167,91 2 943,58 6 111,49 m= + =

Calcula el volum interior de l’edifi ci.

Volum del cilindre:

2 321,65 43,30 63 728,45 mbV A h r h= ⋅ = π ⋅ = π⋅ ⋅ =



1. Per a cada cas, indica quines són les dues magnituds que es relacionen i en quines unitats estaran expressades.

a) Import (€) i quantitat gasolina (L).

b) Longitud circumferència (cm) i diàmetre (cm).

c) Import rebut (€) i volum d’aigua (m3).

d) Temps d’estudi (h) i nota.

e) Nombre de pàgines i cost (€).

2. Quan entre dues magnituds hi ha una relació funcio-nal que no varia s’expressa mitjançant una fórmula.

Una de les relacions anteriors ve donada per una fór-mula, quina?

La relació b: L = π ⋅ d

Escriu la fórmula de la funció i completa:

«La longitud de la circumferència depèn de la longitud del diàmetre.»

variabledependent variableindependent

3. Quan la relació entre les dues variables existeix però depèn d’un valor que pot canviar amb les circumstàn-cies, tenim una relació funcional:

Suposa que 1 L de gasolina costa 0,987 €.

Quan costen, 2 L? I 20 L? I 50 L? 2 L costen 1,974 €; 20 L costen 19,74 €, i 50 L costen 49,35 €.

La relació és una funció? Quina expressió algèbrica té?

La relació és una funció.

L’expressió algèbrica és cost = litres · 0,987.

«El cost de la gasolina depèn de litres que posem.»

variabledependentvariableindependent

Suposa que 1 m3 d’aigua costa 0,429 €.

Quan costen, 2 m3? I 20 m3? I 50m3? 2 m3 costen 0,858 €; 20 m3 costen 8,58 €, i 50 m3 costen 21,45 €.

La relació és una funció? Quina expressió algèbrica té? La relació és una funció.

L’expressió algèbrica és cost = metres cúbics · 0,429.

«El rebut de l’aigua depèn de la quantitat d’aigua consumida.»

variabledependentvariableindependent

Suposa que estudies 1 h i treus un 5.

Pots saber quina nota trauràs si estudies 2 h? I 3 h? I 1/2 h? No pots saber quina nota trauràs si estudies 2 h, ni 3 h, ni 1/2 h.

La relació és una funció? La relació no és una funció.

Suposa que un llibre de 100 pàgines costa 15 €.

Pots saber quant costarà un llibre de 50 pàgines? I un de 200? No pots saber quant costarà un llibre de 50 pàgines, ni un de 200 pàgines.

La relació és una funció? La relació no és una funció.


1. Quines són les dues magnituds que relaciona l’enunciat? I les seves unitats?

Magnituds: cost visita (€) i nombre d’estudiants.

Completa la frase amb les dues magnituds:

«El cost de la visita depèn del nombre d’estudiants.»

variabledependentC(x)variableindependentx

2. Completa la taula següent :

x 5 10 15 20 30 40 n

Preuentrada 2,75 · 5 2,75 · 10 2,75 · 15 2,75 · 20 2,75 · 30 2,75 · 40 2,75 · n

Visitaguiada 60 60 60 60 60 60 60

C(x) 73,75 87,5 101,25 115 142,5 170 2,75n+ 60

L’última columna de la taula et dóna l’expressió mate-màtica de la funció.

És ( ) 2,75 60f x x= ⋅ +

És una funció constant, lineal o afí? És una funció afí.

Quin és el pendent? m = 2,75.

Quina és l’ordenada a l’origen? n = 60.

3. Representa gràfi cament la funció en els eixos de coor-denades següents:

202

MATeMÀTIQUeS 3

20�

Q

5 10

50

100

25

125

75

Cost(€)

Estudiants

150175

15 20 25 30 35 40

Té sentit unir els punts amb una recta? Per què?

No. Perquè el nombre d’alumnes és un nombre natural.

4. Per calcular quants estudiants han anat al museu, si ha costat 128,77 €, es pot fer a partir del gràfic o a partir de l’expressió algèbrica.

La imatge de = → = ⋅ + =20 (20) 2,75 20 60 115 €x C .

+ = → = → =2,75 60 128,75 2,75 68,75 25 alumnesx x x


1. La imatge d’un nombre a en una funció és el valor numèric que pren la funció quan x = a. S’indica f(a) i es calcula substituint la x per a.

Calcula:

− − − − − = − = =

= ⋅ − = −

− −= − = =

3 1 3 3 180 1833

4 15 4 60 151

(0) 0 3 3151 4 45 41

(4) (4) 315 15 15

f

f

f

2. Calcula:

−= → − = → = → − = → =

−= → − = → = → − = → =

1 45( ) 4 3 4 4 45 60 105

15 151 1 1 45 5

( ) 3 45 5 503 15 3 15 15

xf x x x x

xf x x x x

3. En les funcions ( ) 3 2f x x= − i 1

( )2

xg x

−= , calcula:

a)

3( 2) 2 82

3 2 2 2 03

3 0,8 2 2,4 2 0,4

− − = − − = − =

⋅ − = − =

(–2) =2

=3

(0,8) =

f

f

f

b) 1 ( 3)

22

1 1112 2

2 2 41 (1,25) 0,25

0,1252 2

− −=

− = =

− −= = −

(–3) =

1=

2

(1,25) =

g

g

g

c)

1( ) 1 3 2 1 3 1

31 1 15 10 1

( ) 3 25 5 5 5

1115 11

15

f x x x x

xf x x

x x

→ = − → − = − → = → =

− → = → − = → = →

→ = → =

-1

-1

(–1)

1

5

f

f

d)

5 1 5( ) 1 5 4

2 2 21 1 2

( ) 1 12 2 2

1 2 3

xg x x x

x xg x

x x

− → = → = → − = → = −

− − −→ = − → = − → = →

→ − = − → =

-1

-1

5

2

(–1)

g

g

4. Troba el valor de a i b en els casos següents per a les funcions de l’exercici 3:

• Per a la funció f(x), troba a en el punt (1, a) i b en el punt (b, 5).

f(x) = 3x – 2

(1, a) → imatge de x = 1 (1) 3 1 2 1f→ = ⋅ − =

(b, 5) → antiimatge de 5

−→ → = → − = → =1 7(5) ( ) 5 3 2 5

3f f x x x

• Per a la funció g(x), troba a en el punt (0, a) i b en el punt (b, 10).

g(x) =1

2

x−

(0, a) → imatge de x = 0 −

→ = =1 0 1

(0)2 2

g

(b,10) → antiimatge de 10

− −→ → = → =1 1

(10) ( ) 10 102

xg g x

−→ = → − = → = −

1 201 20 19

2 2

xx x


1. Quines són les dues magnituds que relaciona l’enunciat? I les seves unitats?

Completa la frase amb les dues magnituds:

«El cost de les patates depèn de la quantitat que en comprem.»

variabledependentf(x)variableindependentx

2. Completa la taula següent :

x 0 1 2 5 10 n

Operació 0 · 1,10 1 · 1,10 2 · 1,10 5 · 1,10 10 · 1,10 n · 1,10

f(x) 0 1,10 2,20 5,50 11 1,10 · n


És = ⋅ +( ) 1,10 0,01f x n .

És una funció constant, lineal o afí? És una funció lineal.

Quin és el seu pendent? m= 1,10.

La funció talla l’eix d’ordenades al punt P(0, 0); per tant, l’ordenada a l’origen és n = 0.

204

MATeMÀTIQUeS 3Q

3. Considerem que, independentment del nombre de quilos de patates comprats, s’ha de pagar en cada cas 0,01 € per la bossa.

Completa la taula en aquest cas:

X 1 2 5 10 n

Operació 1 · 1,10 2 · 1,10 5 · 1,10 10 · 1,10 n · 1,10

Preubossa 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Operació 1,10 + 0,01 2,20 + 0,01 5,50 + 0,01 11 + 0,01 1,10 · n + 0,01

f(x) 1,11 2,21 5,51 11,01 1,10 · n + 0,01


És f(x) = = ⋅ +( ) 1,10 0,01f x n

És una funció constant, lineal o afí? És una funció afí.

Quin és el seu pendent? m= 1,10.

Quina és l’ordenada a l’origen? n= 0,01.

L’ordenada a l’origen té sentit, en el context del pro-blema? No té sentit.

Per què? Perquè si no comprem cap patata no ens cobren la bossa, i el punt de tall amb l’eix d’ordenades és (0; 0,01).


1. Totes les funcions de la gràfica són línies rectes; per tant, seran funcions constants, afins o lineals.

La gràfica d’una funcióconstant és una recta paral·lela a l’eix d’abscisses.

Hi ha alguna funció constant en la gràfica? No n’hi ha cap.

2. La gràfica d’una funció lineal és una recta inclinada que passa per l’origen de coordenades.

Hi ha algun funció lineal, en la gràfica? Quina. Sí, la funció c.

• L’equació d’una funció lineal és ( ) =f x mx

Quin valor té, l’ordenada a l’origen, en les funcions li-neals? Val 0.

• Per trobar el pendent d’una funció lineal, selecciona un punt qualsevol de la gràfica del qual coneguis el valor exacte (que coincideixi amb un vèrtex de la quadrícula) ( , ) ( 2, 1)x y = − .

El pendent és = =y

mx

10,5

2= −

−.

L’equació de la funció c és f(x) = –0,5 x.

3. Hi ha alguna funció afí, en la gràfica? Sí, les funcions a, b i d.

Escriu el punt de tall amb l’eix d’ordenades i l’ordenada a l’origen de les tres rectes que representen la funció afí .a) (0, –2) n= –2; b) (0, 1) n = 1; c) (0, 1) n = 1.

Escriu dos punts i calcula el pendent de les rectes a, b i d.

a) (0, –2) i (3, 4) 2 1

2 1

4 ( 2) 62

3 0 3

y ym

x x

− − −= = = =

− −

b) (0, 1) i (1, 2) 2 1

2 1

2 1 11

1 0 1

y ym

x x

− −= = = =

− −

c) (0, 1) i (2, –5) 2 1

2 1

5 1 63

2 0 2

y ym

x x

− − − −= = = = −

− −

Escriu les equacions de les tres rectes:

a) ( )f x = –2 + 2x b) ( )f x = 1 + x c) ( )f x = 1 – 3x


1. L’equació d’una funció afí és ( ) = +f x mx n .

Paràmetre n:

El paràmetre n rep el nom d’ordenadaal’origen, ens indi-ca el punt de tall amb l’eix d’ordenades i ens dóna el va-lor de la funció quan la variable independent val 0.

Paràmetre m:

El paràmetre m és el pendent, ens indica si la funció creix o decreix i ens dóna la inclinació de la recta.

2. Escriu els valors de m i n per a la recta de l’enunciat, i escriu-ne l’equació:m = –1 i n = –3 Equació: y = –x – 3

Sense fer cap càlcul, indica:

La funció serà decreixent, perquè el pendent és negatiu, i tallarà l’eix d’ordenades en el punt (0, –3).

3. Completa la taula i representa gràficament la funció:

x f(x)

–2 –(–2) – 3 = –1

–1 –(–1) –3 = –2

0 –(0) – 3 = –3

1 –(1) – 3 = –4

2 –(2) – 3 = –5

4. Els punts de tall d’una funció amb els eixos de coorde-nades són els punts (0, a) i (b, 0), on a i b són la imatge i l’antiimatge del 0.

Punt de tall amb l’eix d’ordenades → (0, a)

MATeMÀTIQUeS 3

20�

Q

• Calcula la imatge del 0 (0)→ f

f(0) = –3 punt de tall (0, –3)

Punt de tall amb l’eix d’abscisses → (b, 0)

• Calcula l’antiimatge del 0 1(0)−→ f

− → = → − − = → = −1(0) ( ) 0 3 0 3f f x x x (–3, 0)

5. Marca al gràfic el punt de tall de la recta amb l’eix d’abscisses i l’angle que forma amb el semieix positiu.

És un angle agut o obtús? És un angle obtús.

Quina relació té, aquest angle amb el pendent de la recta? El pendent és negatiu.


1. Aquest sistema el formen dues equacions amb dues incògnites.

Cada equació representa una recta. Per representar aquestes rectes:

Aïlla la y en cada equació:

3+ = → =y x y 3 x− 5 1− = − → =y x y 1 5x− +

2. Construeix una taula de valors per a cada recta:

x y x y

–2 3 – (–2) = 5 –2 –1 + 5 (–2) = –11

–1 3 – (–1) = 4 –1 –1 + 5 (–1) = –6

0 3 – 0 = 3 0 –1 + 5 · 0 = –1

1 3 – 1 = 2 1 –1 + 5 · 1 = 4

2 3 – 2 = 1 2 –1 + 5 ·2 = 9

3. Representa les dues rectes en els eixos de coordena-des següents:

2 4

4

8

0

2

1–4 –2–5 –3 –1–2

–8

–4–6

3

6

x5

y

10

1214

–14

–10–12

y = 3 – xy = –1 + 5x

Es tallen en algun punt? En quin? Es tallen en el punt

2 7,

3 3.

Quin nom rep, aquest tipus de sistema? És un sistema compatible determinat.

4. També pots trobar el punt de tall entre les dues rectes si iguales les dues equacions i resols el sistema.

{ 31 5

y xy x

= −= − + → 3 – x = –1 + 5x → 4 = 6x → = =

4 2

6 3x

I substituint en qualsevol de les equacions de les rec-tes, trobes la y.

y =2 9 2 7

33 3 3

−− = =

Quin nom rep, aquest mètode de resolució de siste-mes? És el mètode d’igualació.


1. Per a cada recta, indica si es tracta d’una funció lineal o d’una funció afí. Quina diferència hi ha, entre aquests dos tipus de funcions?

Funció lineal: y = –x; funcions afins, les altres tres.

Diferència: les funcions lineals passen per l’origen de co-ordenades; al valor 0 de la x li correspon el valor 0 de la y.

2. Per a cada recta, completa:

Equació PendentCreixento

decreixent?Ordenadaa

l’origenPuntdetall

eixordenades

= −y x –1 decreixent 0 (0, 0)

= − +1

46

y x 1

6− decreixent 4 (0, 4)

= −6 7y x 6 creixent –7 (0, –7)

= −3 1

5 5y x

3

5creixent

1

5− (0,

1

5− )

3. Per a cada recta de les anteriors, calcula l’antiimatge del 0. Quin punt ens dóna? Quin significat té, aquest punt, en el gràfic de la funció? Ens dóna el punt (b, 0), que és el punt de tall amb l’eix d’abscisses.

0 (0,0)1 24

0 4 0 0 24 06 6

24 punt (24, 0)7 7

0 6 7 0 punt , 06 6

3 1 3 50 0 0 3 5 0

5 5 55 5

punt , 03 3

xy x x

x

y x x

xy x x

x

→ → →− +

= → − + = → = → − + = →

→ = → = → − = → = →

−= → − = → = → − = →

→ = →

= 0 – = 0 punty x x =

4. Quin nom rep la recta d’equació y = –x? I la recta d’equació y = x?

Bisectriu del segon quadrant; bisectriu del primer qua-drant.

5. Associa cada recta del gràfic amb una de les equacions anteriors, i justifica-ho:

MATeMÀTIQUeS 3Q

Rosa (creixent, ordenada origen –7); recta 6 7y x= − .

Blau (creixent, ordenada origen –1

5); recta

3 1

5 5y x= − .

Verd (decreixent, ordenada origen 4); recta 1

46

y x= − + .

Lila (decreixent, ordenada origen 0); recta y x= − .

Joc matemàtic

LLOGUER DE COTXES

Anem 5 dies de viatge, i volem llogar un cotxe. Quan arri-bem a l’aeroport, trobem tres agències de lloguer. Encara no tenim gaire clar quina ruta seguirem, però volem fer, com a màxim, 500 quilòmetres.

Preguntem les tarifes a les tres empreses:

Empresa A: ens ofereixen una tarifa de 0,75 € per cada qui-lòmetre.

Empresa B: ens demana 35 € cada dia amb el quilometrat-ge il·limitat.

Empresa C: ens demana 20 € cada dia i 0,20 € per cada qui-lòmetre.

Quina empresa ens surt més a compte?

Calcula la quantitat que haurem de pagar a cada em-presa pel lloguer de 5 dies, independentment de la distància que recorrem.

Empresa A: no paguem res.

Empresa B: paguem 35 · 3 = 175 €.

Empresa C: paguem 20 · 5 = 100 €.

Completa la taula de valors següent, que relaciona la distància que recorrem (en quilòmetres) i el cost del lloguer a cada empresa (en €):

Dist. (km) 0 50 100 150 200 250 300 400 500

Cost A (€) 0 37,5 75 112,5 150 187,5 225 300 375

Cost B (€) 175 175 175 175 175 175 175 175 175

Cost C (€) 100 110 120 130 140 150 160 180 200

Escriu l’expressió algèbrica de la funció que relaciona la distància recorreguda amb el cost, en cada cas.

• Empresa A → =( ) 0,75f x x . Funció lineal.

• Empresa B → =( ) 175g x . Funció constant.

• Empresa C → = +( ) 100 0,2h x x . Funció afí.

Representa gràfi cament aquestes funcions en els ei-xos de coordenades següents:

100

50

100

Cost(€)

Distància(km)

150

200 300 400 500

200

250

300

g(x)

h(x)

f(x)

Ressegueix els trams del gràfi c que indiquen la tarifa més barata. Hi ha dos punts d’intersecció. Què signifi -quen?

El quilòmetres que hem de recórrer perquè les dues tari-fes s’igualin.

Calcula quina oferta ens surt més barata, en funció dels quilòmetres recorreguts.

Punt de tall entre A i C:

= → = + → = ≈( ) ( ) 0,75 100 0,2 181,8 182f x h x x x x

Punt de tall entre B i C:

= → = + → =( ) ( ) 175 100 0,2 375g x h x x x

Si recorrem menys de 182 km, ens interessa l’empresa A; entre 182 i 375 km, l’empresa C, i per a més quilòmetres, l’empresa B.



1. La imatge d’un nombre.

Calcula la imatge de 2 i de –2:

2

2f(2) = (2) 2 4 2 6f( 2) = ( 2) ( 2) 4 2 2

− − = − − = −− − − − − = − + = −

El gràfi c de la funció passa pel punt (2, –6) i (–2, –2).

2. L’antiimatge d’un nombre.

Calcula l’antiimatge de 0.

1 2 2(0) ( ) 0 0 00

( 1) 01 0 1

f f x x x x xx

x xx x

− → = → − − = → + = →=→ + = → + = → = −

L’equació té dues solucions, les dues antiimatges del 0, que són 0 i –1.

El gràfi c de la funció passa pels punts (0, 0) i (0, –1).

20�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

3. La imatge i l’antiimatge.

Identifica els coeficients a, b i c de la funció = − −2( )f x x x .

Coeficients: a = –1; b = –1; c = 0.

Calcula’n el vèrtex:

Vèrtex:

2

( 1) 10,5

( , ) 2 2( 1) 2( ) ( 0,5) ( 0,5) 0,25 0,5 0,25

vv v

v v

bx

x y ay f x

− − −= = = = −

→ − −= = − − − − = − + =

Completa la taula de valors i representa-la gràfica-ment:

x = − −2y x x

–3 –(–3)2 – (–3) = –9 + 3 = –6

–2 –(–2)2 – (–2) = –4 + 2 = –2

–1 –(–1)2 – (–1) = –1 + 1 = 0

Vèrtex → –0,5 0,25

0 –02 – 0 = 0

1 -(1)2-1= -2

2 –(2)2 – 2 = –4 – 2 = –6

2

1

2

0

0,5

1–4 –2–3 –1–0,5

–2

–1–1,5

3

1,5

y

x4


1. Quin és el valor de c? –3. Quin punt és el vèrtex? Punt (0, –3).

2. Completa la segona columna de la taula, i representa la paràbola:

x = −22 3y x y+2

–3 22( 3) 3 18 3 15− − = − = 17

–2 22( 2) 3 8 3 5− − = − = 7

–1 22( 1) 3 2 3 1− − = − = − 1

Vèrtex → 0 –3 –1

1 22(1) 3 2 3 1− = − = − 1

2 22(2) 3 8 3 5− = − = 7

3 22(3) 3 18 3 15− = − = 17

2 4

2

4

0

1

1–4 –2–5 –3 –1–1

–4

–2–3

3

3

x5

y

5

67

–5

9

11

8

10

12

1314

3. Desplaça la paràbola dues unitats cap amunt, sumant 2 a cada valor de y (tercera columna de la taula anterior), i representa-la en els mateixos eixos:

Quina és l’equació de la nova funció?

Funció f(x) = (2x2 – 3) + 2 = 2x2 – 1

4. Escriu l’equació de les funcions corresponents a cada gràfic, si la paràbola blava correspon a la funció

= 2( ) 3f x x . Verda f(x) = 3x2 – 5; vermella f(x) = 3x2 + 1; blau cel f(x) = 3x2 – 2


1. Vèrtex de la paràbola .

Determina els valors dels coeficients a, b i c de la funció.

a = –1; b = 5; c = 0

Calcula l’abscissa del vèrtex:

5 5

2,52 2 ( 1) 2v

bx

a

− −= = = =

⋅ −

20�

MATeMÀTIQUeS 3Q

Calcula l’ordenada del vèrtex:

= =( )v vy f x 2(2,5) 5(2,5) 6,25 12,5 6,25− + = − + =

2. Branques de la paràbola.

• <Si 0a , les branques de la paràbola són obertes cap avall, i el vèrtex és un màxim.

• >Si 0a , les branques de la paràbola són obertes cap amunt, i el vèrtex és un mínim.

• En la funció f(x) = –x2 + 5x,a < 0, i el vèrtex és un màxim.

3. Eix de simetria.

L’eix de simetria és una recta paral·lela a l’eix d’orde-nades.

La seva equació és: = → =vx x x 2,5vx x x= → =

4. Determinar el vèrtex.

Calcula les abscisses dels punts de tall:

= → = → − + =20 ( ) 0 resol l'equació 5 0y f x x x= → = → − + =20 ( ) 0 resol l'equació 5 0y f x x x

0( 5) 0

5 0 5x

x xx x=− + = → − + = → =

Té dues solucions, x1 = 0 i x

2 = 5.

La paràbola talla l’eix d’abscisses en els punts (0, 0) i (5, 0).

L’abscissa del vèrtex és el punt mitjà de les abscis-ses dels punts de tall.

+

= =1 2

2vx x

x0 5

2,52

+=

I l’ordenada del vèrtex és la imatge de xv. Calcula

f(xv) = 6,25.


1.

Les paràboles de la figura tenen la mateixa forma? Quin és el valor de a? ? Les paràboles de la figura

tenen la mateixa forma. a = 1

2

2.

Quin punt és el vèrtex de cada paràbola? Quin és el valor de c? El vèrtex de les paràboles són els punts (0, 4) i (0, –3); per tant, c = 4 i c = –3.

Les equacions de les paràboles són:

214

2y x= + i 21

32

y x= − .

3. A partir de la paràbola corresponent a la funció 2( ) 2f x x= , fes successivament el que s’indica en cada

cas i escriu l’equació de la nova funció:

• Desplaçament 3 unitats cap amunt 2( ) 2 3f x x→ = + (verd)

• Desplaçament 2 unitats cap avall 2( ) 2 1f x x→ = + (rosa)

• Simetria respecte de l’eix d’abscisses

2( ) 2 1f x x→ = − − (blau cel)

• Desplaçament d’1 unitat cap avall 2( ) 2 2f x x→ = − − (groc)

• Simetria respecte de la recta y = −2 2( ) 2 2f x x→ = − (gris)


1.

a) Determina el coeficient a de les dues funcions:

Funció a a Comparació

f(x) = 2x2 2 22 4<

f(x) = –4x2 –4 4

La funció f(x) = 2x2 té les branques més obertes que la funció f(x) = –4x2.

b) Determina el coeficient a de les dues funcions:


f(x) = 1

2x2

1

2

1

2 <1

12

f(x) = –x2 –1 1

La funció f(x) = 1

2x2 té les branques més més obertes

que la funció f(x) = –x2.

20�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

c) Determina el coeficient a de les dues funcions:


f(x) = −1

3x2

1

3−

1

3<

1 1

3 2f(x) =

1

2x2

1

2

1

2

La funció f(x) = −1

3x2 té les branques més obertes que

la funció f(x) = 1

2x2.

2. Tenen les branques cap avall les funcions amb el coefi-cient a <0.

Tenen les branques cap avall les funcions

f(x) = –4x2 f(x) = –x2 f(x) = 1

3− x2

3. Associa cada funció amb el seu gràfic:

f(x) = –0,3x2

g(x) = 0,5x2

h(x) = 3

4x2

i(x) = –1,5x2

j(x) = 1,1x2

k(x) = –0,8x2f(x)i(x) k(x)

g(x)j(x)

h(x)


1. Identifica els coeficients a, b i c de les funcions = − +2( ) 8 12f x x x i = − + −2( ) 8 12f x x x , i digues si

les branques de la paràbola seran obertes cap amunt o cap avall.

a b c Branques

= − +2( ) 8 12f x x x 1 –8 12 cap amunt

= − + −2( ) 8 12f x x x –1 8 –12 cap avall

2. Calcula les coordenades del vèrtex en cada cas:

= − +2( ) 8 12f x x x →2

( 8)4

2 2 1(4) 4 8 4 12 4

v

v

bx

ay f

− −−= = =

⋅= = − ⋅ + = −

= − + −2( ) 8 12f x x x →2

84

2 2 ( 1)(4) (4) 8 (4) 12 4

v

v

bx

ay f

−−= = =

⋅ −= = − + ⋅ − =

3. Completa la taula de valors (posa-hi el vèrtex i tres va-lors simètrics a la dreta i a l’esquerra del vèrtex):

x = − +2 8 12y x x

1 21 8 1 12 5− ⋅ + =

2 22 8 2 12 0− ⋅ + =

3 23 8 3 12 3− ⋅ + = −

Vèrtex → 4 –4

5 25 8 5 12 3− ⋅ + = −

6 26 8 6 12 0− ⋅ + =

7 27 8 7 12 5− ⋅ + =

x = − + −2 8 12y x x

1 –5

2 0

3 3

Vèrtex → 4 4

5 3

6 0

7 –5

4. Representa gràficament, en els eixos de coordenades, les dues paràboles:

5. Com són, aquestes dues paràboles entre si?

Simètriques respecte de l’eix d’abscisses.


a)

Paràbola A B C D

Coeficient a a > 0 a < 0 a < 0 a > 0

b) Completa la taula:

209

MATeMÀTIQUeS 3Q

Abscissadelvèrtex

Coeficienta(denominador)

Numeradordelafracció

Coeficientb

Positiva Positiu Positiu Negatiu

Positiva Negatiu Negatiu Positiu

Negativa Positiu Negatiu Positiu

Negativa Negatiu Positiu Negatiu

Fixa’t en els signes de a i de xv,i amb l’ajut de la taula

escriu el signe de b:

Paràbola A B C D

Coefi cient b b < 0 b < 0 b > 0 b < 0

c)

Paràbola A B C D

Punt (0, c) (0, 3) (0, 1) (0, –4) (0, 4)

Coefi cient c c > 0 c > 0 c < 0 c > 0

d) Escriu en quants punts talla l’eix d’abscisses i el signe del discriminant:

Paràbola A B C D

Punts de tall dos dos un cap

Discriminant dis > 0 dis > 0 dis = 0 dis < 0


1. Punts de tall eix d’abscisses.

Funció f(x) = x2 + 7

= → = → + =20 ( ) 0 resol l'equació 7 0y f x x Resol l’equació x2 + 7 = 0

x2 = –7 no té solució.

La funció no talla l’eix d’abscisses.

Funció f(x) = 6x2 – 5x + 1

= → = → =0 ( ) 0 resol l'equació ........................ 0y f x Resol l’equació 6x2– 5x + 1 = 0

= =± − − ⋅ ⋅ ± − ±

= = = =⋅ = =

26 1

5 ( 5) 4 6 1 5 25 24 5 1 12 24 12 6 12 12

12 3

xx

x

La funció talla l’eix d’abscisses als punts (1

2, 0) i (

1

3, 0).

Funció f(x) = 3x2 + 5x

= → = →0 ( ) 0 resol l'equacióy f x Resol l’equació 3x2 + 5x = 0

=

+ = → −+ = → =

0(3 5) 0 5

3 5 03

xx x

x x

La funció talla l’eix d’abscisses en els punts (0, 0) i

(−5

3, 0).

Funció f(x) = 2(x– 3)2 + 10

= →0y− + = → − = − → − = ± −2 22( 3) 10 0 ( 3) 5 ( 3) 5x x x

no té solució.

La funció no talla l’eix d’abscisses.

2. Puntsdetalll’eixd’ordenades.

Funció f(x) = x2 + 7

= → =0 (0)x calcula f 02 + 7 = 7

La funció talla l’eix d’ordenades en el punt (0 , 7).

Funció f(x) = 6x2 – 5x + 1

f(0) = 6 · 02 – 5 · 0 + 1 = 1


Funció f(x) = 3x2 + 5x

f(0) = 3 · 02 + 5 · 0 = 0


Funció f(x) = 2(x – 3)2 + 10

f(0) = 2(0 – 3)2 + 10 = 2 · 9 + 10 = 28


Joc matemàtic

CaIGUDa llIURE I llaNÇaMENT

Escriu la funció que relaciona el temps que transcorre des de la caiguda amb l’espai que recorre l’objecte.

2 21( ) ( ) 9,8 4,9

2temps x espai f x f x x x→ → = ⋅ =

Completa la taula de valors:

temps (s) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5

espai (m) 0 0,3 1,2 2,8 4,9 7,7 11,0 19,6 30,6

Representa gràfi cament la funció. Quina forma té, el gràfi c?

És una paràbola.

Quant de temps trigarà el cos a tocar a terra?

Tocarà a terra quan hagi recorregut 40 m.

2 2 404,9 40 8,163 2,857

4,9x x x= → = → = ± =

s

Esllançaverticalmenticapabaixuncosesfèric,desdetresmetresd’alçada,ambvelocitatinicialde2metrespersegon.

210

MATeMÀTIQUeS 3 Q

Escriu la funció que relaciona el temps que transcorre des de la caiguda amb l’espai que recorre l’objecte.

2 21

( ) ( ) 2 9,8 2 4,92

temps x espai f x f x x x x x→ → = + ⋅ = +

Completa la taula de valors:

temps (s) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5

espai (m) 0 0,8 2,2 4,3 6,9 10,2 14,0 23,6 35,6

Representa gràfi cament la funció en els mateixos ei-xos que l’anterior. Quina forma té, el gràfi c?

És una paràbola.

Quant de temps trigarà el cos a tocar a terra?

Tocarà a terra quan hagi recorregut 43 m.

2 2

2

2 4,9 43 4,9 2 43 0

2 2 4 4,9 ( 43) 2 29,0992,765 s

2 4,9 9,8

x x x x

x

+ = → + − = →

− ± − ⋅ ⋅ − − ±→ = = =

⋅

Quina de les dues esferes arribarà primer a terra?

Arribarà primer la segona esfera.

0,25

5

f(x)(m)

x(s)0,5 0,75 1 2

10

15

20

25

30



1. Digues si les variables estadístiques següents són quantitatives o qualitatives.

El color dels ulls. Qualitativa.

El temps d’una cursa. Quantitativa.

El nombre de fi lls d’una família. Quantitativa.

El sexe d’una persona. Qualitativa.

Les notes del butlletí (I, S, B, N, E). Qualitativa.

El resultat en llançar un dau. Quantitativa.

L’alçada d’una persona. Quantitativa.

2. Omple la taula següent classifi cant les variables esta-dístiques de l’exercici anterior.

Variablequantitativa Variablequalitativa

Discreta Contínua Nominal Ordinal

El nombre de fi lls d’una família.

El resultat en llançar un dau.

El temps d’una cursa.

L’alçada d’una persona.

El color dels ulls.

El sexe d’una persona.

Les notes del butlletí (I, S, B, N, E).

3. La taula següent ens mostra les qualifi cacions de 30 alumnes d’una classe.


Insufi cient 7

Sufi cient 4

Bé 10

Notable 6

Excel·lent 3

a) Calcula les freqüències absolutes acumulades.

Nota FreqüènciaabsolutaFreqüènciaabsoluta

acumulada

Insufi cient 7 7

Sufi cient 4 11

Bé 10 21

Notable 6 27

Excel·lent 3 30

b) Quants alumnes han tret menys de notable?

27 alumnes.

c) De quin tipus és, la variable estadística «nota»?

Es tracta d’una variable estadística qualitativa ordinal.


1. Hem llançat un dau 20 vegades, i hem anotat les vega-des que ens ha sortit cada cara. A partir de la taula de freqüències següent, calcula els tant per cent corres-ponents a cada valor, les freqüències absolutes i els percentatges acumulats.

211

MATeMÀTIQUeS 3Q

ValorFreqüènciaabsoluta


acumulada

Tantpercent

Percentatgeacumulat

1 5 5 25 25

2 3 8 15 40

3 2 10 10 50

4 6 16 30 80

5 2 18 10 90

6 2 20 10 100

2. Fixa’t en l’histograma següent:

a) Omple la taula:

VolumFreqüència

absolutaacumulada

Tantpercent

acumulat


Tantpercent

[0, 10] 4 13,3

4 13,3

[10, 20] 10 33,3

6 20

[20, 30] 19 63,3

9 30

[30, 40] 27 90 8 26,6

[40, 50] 30 100 3 10


1.

a) Completa la taula de freqüències i de tants per cent.

NotaFreqüència

absolutaFreqüència

relativaTantpercent

4 3 0,1429 14,29

5 2 0,0952 9,52

6 6 0,2857 28,57

7 4 0,1905 19,05

8 3 0,1429 14,29

9 3 0,1429 14,29

TOTAL 21 1 100

b) A partir de l’apartat anterior, completa la taula de fre-qüències i de tants per cent acumulats.

NotaFreqüència

absolutaacumulada


acumulada

Tantpercentacumulat

4 3 0,1429 14,29

5 5 0,2381 23,81

6 11 0,5238 52,38

7 15 0,7143 71,43

8 18 0,8571 85,71

9 21 1 100

2. Calcula la mitjana de les notes de tres maneres dife-rents, seguint les instruccions següents:

a) Multiplica cada nota per la seva freqüència absolu-ta, i calcula la mitjana de notes dividint el total d’aquests productes entre el total de les freqüènci-es absolutes.

Nota Freqüènciaabsoluta Producte

4 3 12

5 2 10

6 6 36

7 4 28

8 3 24

9 3 27

TOTAL 21 137

= =

1376,52

21x

a) Multiplica cada nota per la seva freqüència relativa, i calcula la mitjana de notes dividint el total d’aquests productes entre el total de les freqüèn-cies relatives.

Nota Freqüènciarelativa Producte

4 0,1429 0,5716

5 0,0952 0,4760

6 0,2857 1,7142

7 0,1905 1,3335

8 0,1429 1,1432

9 0,1429 1,2861

TOTAL 1 6,5246

6,52466,5246

1x = =

c) Multiplica cada nota pel seu tant per cent, i calcula la mitjana de notes dividint el total d’aquests pro-ductes entre el total dels percentatges.

Nota Tant per cent Producte

4 14,29 57,16

5 9,52 47,60

6 28,57 171,42

7 19,05 133,35

8 14,29 114,32

9 14,29 128,61

TOTAL 100 652,46

652,466,5246

100x = =

212

MATeMÀTIQUeS 3

21�

Q


1. a) Completa la taula següent, multiplicant cada valor per la seva freqüència absoluta:

Temperatura(ºC) Freqüènciaabsoluta Producte

–2 1 –2

–1 2 –2

0 3 0

1 5 5

2 8 16

3 6 18

4 3 12

5 2 10

ToTal 30 57

b) Calcula la temperatura mitjana dividint el total dels productes entre el total de les freqüències absolutes.

57 191,9

30 10x = = =

2. A partir de la taula anterior, contesta:

a) Quants dies ha fet una temperatura de 3 ºC? 6 dies.

I de –1 ºC? 2 dies.

b) Quina és la temperatura que s’ha repetit més? 2 ºC.

c) Quin nom rep, aquest valor que es repeteix més? Moda.

Amb quina lletra es representa? Amb la m.

3. a) Completa la taula calculant les freqüències absolu-tes acumulades:

Temperatura(ºC) Freqüènciaabsoluta

Fr.absolutaacumulada

– 2 1 1

– 1 2 3

0 3 6

1 5 11

2 8 19

3 6 25

4 3 28

5 2 30

b) Quina és la mida de la mostra? És a dir, quantes ve-gades hem mesurat la temperatura? 30.

c) Com que la mida de la mostra (n) és un nombre

parell, busca quins valors corresponen als llocs 2

n i

2

n+ 1 i troba la mediana. Són els llocs 15è i 16è, i

correspon el valor 2 ºC.


1. a) Completa la taula següent calculant la marca de classe i el producte entre aquesta i la freqüència absoluta per a cada valor:

Hores Marcadeclasse

Freqüènciaabsoluta Producte

[2, 3) 2,5 2 5

[3, 4) 3,5 5 17,5

[4, 5) 4,5 6 27

[5, 6) 5,5 8 44

[6, 7) 6,5 9 58,5

[7, 8) 7,5 2 15

TOTAL 32 167

b) Calcula el temps mitjà, dividint el total dels produc-tes entre el total de les freqüències absolutes.

1675,21875

32x = =

2. A partir de les dades de l’exercici 1:

a) Completa la taula següent calculant les freqüències relatives i el producte entre aquestes i la marca de classe per a cada valor:

Hores Marcadeclasse

Freqüènciarelativa Producte

[2, 3) 2,5 0,0625 0,15 625

[3, 4) 3,5 0,15625 0,546 875

[4, 5) 4,5 0,1875 0,84 375

[5, 6) 5,5 0,25 1,375

[6, 7) 6,5 0,28125 1,828 125

[7, 8) 7,5 0,0625 0,46 875

TOTAL 1 5,21 875

b) Calcula la mitjana de les hores, dividint el total dels productes entre el total de les freqüències relati-ves.

5,218755,21875

1x = =


1. a) Fes el recompte de les vegades que apareix cada valor.

–3 ºC 1 vegada

–2 ºC 3 vegades

–1 ºC 4 vegades

0 ºC 3 vegades

1 ºC 2 vegades

2 ºC 2 vegades

214

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) Quin és el valor que es repeteix més? –1 ºC.

c) Quin nom rep, aquest valor? La moda. Amb quina lletra es representa? Amb la m.

2. Per a la mateixa variable de l’exercici 1:

a) Quina mida té, la mostra? És a dir, quants valors s’han observat? S’han observat 15 valors.

b) Quant sumen, tots els valors de la variable? –7.

c) Calcula’n la temperatura mitjana, dividint la suma de tots els valors entre la mida de la mostra.

70,46

15x

−= = −

ºC

d) Amb quina lletra es representa, la mitjana? Amb la x .

3. A partir dels valors de la variable de l’exercici 1:

a) Torna a escriure’ls tots, ordenant-los de més petit a més gran.

–3 ºC, –2 ºC, –2 ºC, –2 ºC, –1 ºC, –1 ºC,–1 ºC, –1 ºC, 0 ºC, 0 ºC, 0 ºC, 1 ºC, 1 ºC, 2 ºC i 2 ºC.

b) En quin lloc es troba, el valor central de la sèrie? En el vuitè lloc.

c) Quina temperatura correspon a aquest lloc? –1 ºC.

d) Com s’anomena? Mediana.

Amb quina lletra es representa? Amb la M.

4. Completa la taula següent:

Temperatura Freqüènciaabsoluta


acumulada

Tantpercent

acumulat

–3 ºC 1 1 6,6

–2 ºC 3 4 26,6

–1 ºC 4 8 53,3

0 ºC 3 11 73,3

1 ºC 2 13 86,6

2 ºC 2 15 100


1. a) Calcula la mitjana de gols marcats, dividint el total de gols entre el nombre de jugadors.

677,4

9x = =

gols

b) Ordena el nombre de gols de més petit a més gran, i troba la mediana.

3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12

La mediana és 7 gols.

2. a) Calcula la mitjana de temps jugat.

505,5

9x = =

h

b) Què vol dir, aquest resultat? Vol dir que, de mitjana, cada jugador ha jugat 5,5 hores en tota la temporada.

3. Fes un histograma on, per a cada jugador, es vegi re-flectit el nombre de gols marcats i el temps jugat. Penses que hi ha alguna relació entre les variables «gols marcats» i «temps jugat»?

0

Ram

on

2

4

6

8

10

12

And

reu

Lluí

s

Miq

uel

Jord

i

Alb

ert

Toni

Car

les

Joan

Gols

Temps

14


1. La taula següent ens dóna la distribució per edats de les persones assistents a l’estrena d’una pel·lícula.

a) Calcula la marca de classe de cada interval. Recorda que la marca de classe és el punt mitjà de l’interval.

Edat Freqüènciaabsoluta Marcadeclasse

[10, 20) 14 15

[20, 30) 36 25

[30, 40) 42 35

[40, 50) 38 45

[50, 60) 34 55

[60, 70) 25 65

[70, 80) 6 75

b) Afegeix una nova columna a la taula anterior i, per a cada valor, multiplica la marca de classe per la fre-qüència absoluta.

Edat Freqüènciaabsoluta

Marcadeclasse Producte

[10, 20) 14 15 210

[20, 30) 36 25 900

[30, 40) 42 35 1470

[40, 50) 38 45 1710

[50, 60) 34 55 1870

[60, 70) 25 65 1625

[70, 80) 6 75 450

MATeMÀTIQUeS 3 Q

c) Calcula la mitjana de la variable, dividint el total d’aquesta nova columna pel total de la columna de les freqüències absolutes. Completa la taula amb les freqüències absolutes acumulades.

Edat Freqüènciaabsoluta

Marcadeclasse Producte

[10, 20) 14 15 210

[20, 30) 36 25 900

[30, 40) 42 35 1470

[40, 50) 38 45 1710

[50, 60) 34 55 1870

[60, 70) 25 65 1625

[70, 80) 6 75 450

TOTAL 195 8235

= =8 235

42,23 anys195

x

Joc matemàtic

L’ALÇADA DE LA CLASSE

A l’hora de matemàtiques hem mesurat l’alçada de tots els companys de la classe i hem obtingut els valors següents, en cm.

149 158 164 162 169 155 176 165 156 160

151 161 158 165 172 156 175 159 165 158

154 174 160 164 155 165 170 160 168 164

1. Completa les taules següents:

a) Completa la taula següent de freqüències i tant per cent.

AlçadaMarca

declasseFreqüència

absolutaFreqüència

relativaTantper

cent

[145, 151) 148 1 0,0333 3,33

[151, 157) 154 6 0,2 20

[157, 163) 160 9 0,3 30

[163, 169) 166 8 0,2667 26,67

[169, 175) 172 4 0,1333 13,33

[175, 181) 178 2 0,0667 6,67

2. Calcula la mitjana, la mediana i la classe modal de l’alçada de la classe.

Calculem la mitjana:

Per a calcular la mitjana, completem la taula següent:

AlçadaFreqüència

absolutaMarca

declasseProducte

[145, 151) 1 148 148

[151, 157) 6 154 924

[157, 163) 9 160 1 440

[163, 169) 8 166 1 328

[169, 175) 4 172 688

[175, 181) 2 178 356

TOTAL 30 4 884

Calculem la mitjana de la variable dividint el total de la columna producte pel total de la columna freqüènciaab-soluta:

= = =

4 884 814162,8

30 5x cm

Calculem la mediana: M = 162,3 333

Calculem la classe modal:

La classe modal és la que té la freqüència absoluta més gran; per tant, és l’interval [157, 163).

3. A partir de la taula de l’exercici,

a) Completa la taula següent:

EdatFreqüència

absolutaacumulada


acumulada

Tantpercent

acumulat

[145, 151) 1 0,0333 3,33

[151, 157) 7 0,2333 23,33

[157, 163) 16 0,5333 53,33

[163, 169) 28 0,8 80

[169, 175) 28 0,9333 93,33

[175, 181) 30 1 100

b) Dibuixa l’histograma de freqüències absolutes i el de freqüències absolutes acumulades.

148Alçada


0 154 160 166 172 178

2

4

6

8

10

148Alçada

Freqüències absolutes acumulades

0 154 160 166 172 178

5101520253035

21�

MATeMÀTIQUeS 3Q



1. Completa la taula amb els totals corresponents a cada fi la i a cada columna:

Homes Dones TOTAL

Fumadors 65 36 101

No fumadors 215 184 399

TOTAL 280 220 500

Què indica, el requadre en negreta?

El requadre en negreta indica el nombre de treballadors, que és la suma del nombre de dones i d’homes, i també la suma dels fumadors i no fumadors.

2. Construeix la taula anterior amb percentatges.

Homes Dones TOTAL

Fumadors 13 % 7,2 % 20,2 %

No fumadors 43 % 36,8 % 79,8 %

TOTAL 56 % 44 % 100 %

Quin valor hi haurà, en el requadre en negreta?

El 100 %.

3. Amb l’ajut de la taula, completa el paràgraf següent:

En aquesta empresa, un 56 % dels treballadors són ho-mes, i un 44 % són dones. El 20,2 % dels treballadors de l’empresa són fumadors. De les dones, 36 són fumado-res, i representen el 7,2 % dels treballadors de l’empre-sa. El percentatge d’homes que no fumen és del 43 %.

4. Calcula la probabilitat de dones i de dones no fuma-dores.

Quina és la probabilitat d’escollir una dona?

total dones 220(dona) 0,44

total treballadors 500p = = =

I una dona no fumadora?

total dones no fumadores(dona no fumadora)

total treballadors184

0,368500

p = =

= =


1.

Quants elements té l’espai mostral?

L’espai mostral té 48 elements.

Escriu-los tots (basa’t en la nomenclatura proposada):

E = {Ac, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c, 7c, 8c, 9c, Sc, Cc, Rc; Ab, 2b, 3b, 4b, 5b, 6b, 7b, 8b, 9b, Sb, Cb, Rb; Ae, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e, 7e, 8e, 9e, Se, Ce, Ro; Ao, 2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 7o, 8o, 9o, So, Co, Ro}

2. El succés A, «no obtenir una carta de copes», és el contraridel succés «obtenir una carta de copes», que s’escriu A .

Quants elements té el conjunt A ?

El conjunt A té 12 elements (hi ha 12 cartes de copes).

Quins?

{ },2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 , , ,A Ac c c c c c c c c Sc Cc Rc= {Ac, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c, 7c, 8c, 9c, Sc, Cc, Rc}

Quants elements tindrà el seu contrari, A?

El conjunt A tindrà 36 elements.

3. El succés B, «obtenir una fi gura», té 12 resultats possibles.

Escriu-los. B = {Sc, Cc, Rc, So, Co, Ro, Sb, Cb, Rb, Se, Ce, Re}

4. El succés C, «obtenir una copa, una espasa o un oro», és el contrari del succés «obtenir un bastó», que s’escriu C i té 12 elements.

Elements del conjunt C : {Ab, 2b, 3b, 4b, 5b, 6b, 7b, 8b, 9b, Sb, Cb, Rb}

Quants elements tindrà, el seu contrari C? El conjunt C tindrà 36 elements.

5. El succés D, «no obtenir un cavall», és el contrari del succés «obtenir un cavall»,, que s’escriu D i té 4 ele-ments.

Quants elements tindrà, el seu contrari D? El conjunt D tindrà 44 elements.

6. Fixa’t en el nombre d’elements de l’espai mostral i de cada un dels conjunts A, B, C i D i, sense fer cap càlcul, ordena’ls de més a menys probable:

Més probable D, després C i A amb la mateixa probabili-tat, i el menys probable és B.

7. = =

= =

= =

= ≅

36( ) 0,75

4812

( ) 0,254836

( ) 0,754844

( ) 0,9248

p A

p B

p C

p D


1. Efectuem l’experiment aleatori d’extreure a l’atzar una bola de l’urna.

21�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

Quants elements té, l’espai mostral E? L’espai mostral E tindrà 15 elements:

Escriu-los: E = {B, B, B, B, B, B, B, V, V, V, V, V, N, N, N}

Quantes boles blanques hi ha? Quants casos favo-rables té, el succés A? Hi ha 7 boles blanques. A té 7 casos favorables.

Quantes boles negres hi ha? Quants casos favora-bles té, el succés B? Hi ha 3 boles negres. B té 3 casos favorables.

Quantes boles no vermelles hi ha? Quants casos fa-vorables té, el succés C? Hi ha 10 boles que no són vermelles. C té 10 casos favorables.

Quantes boles ni blanques ni negres hi ha? Quants casos favorables té, el succés D? Hi ha 5 boles que no són ni blanques ni negres. Té 5 casos favorables.

2. Aplica la regla de Laplace =casos favorable

( )casos possibles

p A per

calcular la probabilitat de cada succés de l’enunciat:

7 3 1 10 2 5 1( ) ( ) ( ) ( )

15 15 5 15 3 15 3p A p B p C p D= = = = = = =

3. Les probabilitats d’un succés també es poden calcular a partir de les dels seus contraris, ja que + =( ) ( ) 1p A p A .

El succés contrari de C, C és «la bola és vermella». Quants elements té? Té 5 elements

El succés contrari de D, D és «la bola és blanca o negra». Quants elements té? Té 10 elements.

Calcula les probabilitats de C i D a partir de les dels successos contraris:

5 1 2( ) 1 ( ) 1 1

15 3 3p C p C= − = − = − =

10 2 1( ) 1 ( ) 1 1

15 3 3p D p D= − = − = − =

4. Afegim a la urna dues boles grogues, i fem el mateix experiment aleatori. Torna a calcular les probabilitats dels successos inicials.

L’espai mostral té 17 elements.

A: té 7 elements (els mateixos): 7

( )17

p A =

B: té 3 elements (els mateixos): =3

( )17

p B

C: té 12 elements (les dues boles grogues més): =12

( )17

p C

D: té 7 elements (les dues boles grogues més): 7

( )17

p D =


1. Fem l’experiment aleatori compost de treure tres bo-les d’una bossa. Cada extracció és un experiment alea-tori simple fet sobre una situació inicial diferent:

Primera extracció: Traiem una bola d’una bossa amb 10 boles.

Segona extracció: Traiem una bola d’una bossa amb 9 boles.

Tercera extracció: Traiem una bola d’una bossa amb 8 boles.

• Quantes boles hi ha a la bossa després de la tercera extracció?

Després de la tercera extracció hi ha 7 boles a la bossa.

• Quantes n’hi ha de cada color si n’hem tret dues de vermelles i una de blava?

Tres de blaves, dues de vermelles i dues de verdes.

2. Amb aquesta situació inicial fem la quarta extracció:

• De quin color és més probable que surti la bola?

És més probable que sigui blava, perquè n’hi ha més.

• Quina és la probabilitat que la bola sigui blava?

3

(blava)7

p =

• Quina és la probabilitat que la bola sigui vermella?

2

(vermella)7

p =

• Quina és la probabilitat que la bola sigui verda?

2

(verda)7

p =

3. Tornem a posar totes les boles a la bossa i en traiem dues. No mirem de quin color són.

Primera extracció:

• Quina és la probabilitat de què la bola sigui verda (V)? I vermella (R)? I blava (B)?

2 4

(verda) 0,2; (vermella) 0,4; 10 104

(blava) 0,410

p p

p

= = = =

= =

Segona extracció:

La probabilitat de que la bola sigui verda, vermella o blava serà diferent segons el color de la primera bola.

• Calcula cada una de les probabilitats de les 9 bran-ques de l’arbre corresponents a la segona extracció.

Observeu l’arbre:

B blava, V verda i R vermella

Fem una tercera extracció:

Una de les branques porta a un succés impossible.

• Quina? Per què és impossible? Quina és la seva pro-babilitat?

21�

MATeMÀTIQUeS 3Q

La branca amb tres boles verdes és impossible, per-què només n’hi ha dues. La probabilitat és 0.

• Calcula la probabilitat de cada una de les altres 26 branques.

• Amb l’arbre complet calcula la probabilitat de què la tercera bola:

a) Sigui verda.

b) Sigui blava.

c) Sigui vermella.

Altres branques (observeu l’arbre):

2(blava) 0,03 3 0,06 3 0,0 1 0,04 2 0,4

51

(verda) 0,03 2 0,0 1 4 0,04 2 0,25

2(vermella) 0,06 3 0,03 3 0,0 1 0,04 2 0,4

5

p

p

p

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = =

B

B

V

R

B

V

R

B

V

R

B

V

R

V

B

V

R

B

V

R

B

V

R

B

V

R

R

B

V

R

B

V

R

B

V

R

B

V

R

39

29

49

49

19

49

49

29

39

48

38

18

48

28

28

38

38

28

48

38

18

48

48

0

38

48

18

38

38

28

38

48

18

28

48

28

0,4

0,2

0,4

3 20,4 0,03

9 83 2

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 82 3

0,4 0,039 82 1

0,4 0,019 82 4

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 3

0,2 0,039 84 1

0,2 0,019 84 4

0,2 0,049 81 4

0,2 0,019 8

Impos

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

sible

1 40,2 0,01

9 84 4

0,2 0,049 84 1

0,2 0,019 84 3

0,2 0,039 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 82 4

0,4 0,049 82 1

0,4 0,019 82 3

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 83 2

0,4 0,039 83 2

0,4 0,039 8

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

3 20,4 0,03

9 83 2

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 82 3

0,4 0,039 82 1

0,4 0,019 82 4

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 3

0,2 0,039 84 1

0,2 0,019 84 4

0,2 0,049 81 4

0,2 0,019 8

Impos

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

sible

1 40,2 0,01

9 84 4

0,2 0,049 84 1

0,2 0,019 84 3

0,2 0,039 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 82 4

0,4 0,049 82 1

0,4 0,019 82 3

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 83 2

0,4 0,039 83 2

0,4 0,039 8

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

3 20,4 0,03

9 83 2

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 82 3

0,4 0,039 82 1

0,4 0,019 82 4

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 84 3

0,2 0,039 84 1

0,2 0,019 84 4

0,2 0,049 81 4

0,2 0,019 8

Impos

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

sible

1 40,2 0,01

9 84 4

0,2 0,049 84 1

0,2 0,019 84 3

0,2 0,039 84 3

0,4 0,069 84 2

0,4 0,049 84 3

0,4 0,069 82 4

0,4 0,049 82 1

0,4 0,019 82 3

0,4 0,039 83 4

0,4 0,069 83 2

0,4 0,039 83 2

0,4 0,039 8

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =


1. Els possibles resultats que podem obtenir quan efec-tuem l’experiment simple de llançar una moneda són equiprobables? Per què?

Són equiprobables, perquè no hi ha cap diferència entre les dues cares de la moneda.

Quants resultats obtindrem, si llancem la moneda quatre cops?

Obtindrem 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 resultats

Completa el diagrama d’arbre que hi ha al marge.

CC

C+

C+

C

+

C

CC

+

C

+C

C+

+

+

+

+

+

C

C

C

+

+

+

+

C

0,7

0,7

0,3

0,7

0,3

0,7

0,3

0,7

0,30,7

0,30,7

0,30,7

0,3

0,7

0,3

0,7

0,3

0,7

0,3

0,7

0,30,7

0,30,7

0,30,7

0,3

0,3

0,74 = 0,2401

0,73 · 0,3 = 0,1029

0,73 · 0,3 = 0,1029

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,73 · 0,3 = 0,1029

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,33 · 0,7 = 0,0189

0,73 · 0,3 = 0,1029

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,33 · 0,7 = 0,0189

0,72 · 0,32 = 0,0441

0,33 · 0,7 = 0,0189

0,33 · 0,7 = 0,0189

0,34 = 0,0081

Escriu l’espai mostral de l’experiment.

{}

= + + + + + + + + + + +++ + ++ + + + + + + + + + + + + + + + +

, , , , , , , ,, , , , , , ,

E cccc ccc cc c cc c cc c c c c cc c cc c cc c c ccc

Els successos de l’espai mostral, són equiprobables? Quina és la probabilitat de cadascun?

Són equiprobables, i la probabilitat és 1

16.

a) Succés A: «obtenir tres cares». Quants resultats de l’espai mostral són favorables al succés A?

Hi ha 4 resultats favorables a obtenir 3 cares (i una creu).

Calcula la probabilitat d’aquest succés.

La probabilitat és4 1

0,25.16 4

= =

b) Succés B: «obtenir almenys una cara». A quin altre succés equival «obtenir almenys una cara»?

És equivalent a «obtenir una, dues, tres o quatre cares».

De quin succés és contrari?

És contrari de «no obtenir cap cara» o «obtenir quatre creus».

Quants resultats són favorables al succés contrari de B? Un resultat favorable.

21�

MATeMÀTIQUeS 3 Q

Calcula la probabilitat de B . 1

( )16

p B =

A partir del resultat anterior, calcula la probabili-tat d’obtenir almenys una cara.

1 15( ) 1 ( ) 1

16 16p B p B= − = − =

2. Imagina’t que la moneda està trucada, i que la proba-bilitat d’obtenir una cara és de 0,7. Els resultats que podem obtenir quan efectuem l’experiment simple de llançar una moneda, són equiprobables?

Els dos resultats, cara i creu, no són equiprobables.

Si llancem la moneda quatre cops?

Obtindrem 16 resultats.

L’espai mostral, serà el mateix que en l’exercici inicial?

L’espai mostral serà el mateix.

Els successos de l’espai mostral, seran equiprobables?

Els successos no seran equiprobables.

Quant casos favorables del succés «obtenir tres creus» hi ha?

Hi ha 4 casos favorables.

Quina en serà la probabilitat?

La probabilitat serà la suma de les quatre probabilitats dels successos elementals: p(A) = 0,1 029 + 0,1029 + 0,1029 + 0,1029 = 0,1029 · 4 = 0,4116.


1. Quants resultats possibles pot tenir, aquest experi-ment? Quins?

Dos, que passi el control i que no el passi.

2.

Calcula la probabilitat de Q1, Q

2 i Q

3.

1 1

2

3 3

( ) 1 ( ) 1 0,92 0,08( 2) 1 ( ) 1 0,85 0,15( ) 1 ( ) 1 0,96 0,04

p Q p Pp Q p Pp Q p P

= − = − == − = − == − = − =

Si un producte no passa un dels controls, ja no se sotmet al següent. Ressegueix en el diagrama d’ar-bre les branques possibles, i elimina les impossibles. Quants resultats possibles hi ha?

Hi ha 4 resultats possibles.

Completa el diagrama d’arbre amb les probabilitats de cada branca.

P3

Q3

P2

Q2

P1

Q1

0,92

0,85

0,15

0,96

0,04

0,08

0,92 · 0,85 · 0,96 = 0,75072

0,92 · 0,85 · 0,04 = 0,03128

0,08

0,92 · 0,15 = 0,138

Calcula les probabilitats següents:

a) Que no passi el primer control. p(a) = 0,08

b) Que els passi tots tres. p(b) = 0,75072

c) Que no en passi cap.

p(c) = 0,08 · 0,15 · 0,04 = 0,00048

3. L’empresa sotmet 1800 unitats del producte als con-trols de qualitat.

• Quines es consideraran aptes per sortir al mercat?

Les que passin els tres controls.

• Quina és la probabilitat d’aquest succés?

p(b) = 0,75072

• Quin percentatge d’unitats del producte serà apte?

El 75,1% seran aptes.

• Quantes unitats seran?

1800 · p(b) = 1800 · 0,75072 . 1351 unitats

4. Quan una unitat del producte no passa un dels con-trols se sotmet a un procés de perfeccionament. El 60 % de les unitats, després superen el control que abans no havien passat.

Fes un diagrama d’arbre amb aquesta nova situació, completa cada branca amb la seva probabilitat i calcu-la quantes de les 1800 unitats sotmeses als controls seran aptes per al mercat.

p(aptes) = 0,75072 + 0,0828 + 0,04608 + 0,0192 = 0,8988

1800 · 0,8988 = 1 617 unitats

219

MATeMÀTIQUeS 3Q

P3

Q3

P2

P3

Q3

Q2

P1

P3

Q3

P2

P3

Q3

Q2

Q1

0,92

0,85

0,15 0,6

0,4

0,96

0,04

0,08 0,6

0,4 0,6

0,4

0,96

0,04

0,92 · 0,85 · 0,96 = 0,75072

0,92 · 0,85 · 0,04 = 0,03128

0,92 · 0,15 · 0,6 = 0,0828

0,92 · 0,15 · 0,4 = 0,0552

0,08 · 0,6 · 0,96 = 0,04608

0,08 · 0,4 · 0,04 = 0,00192

0,08 · 0,6 · 0,6 = 0,00192

0,08 · 0,4 · 0,4 = 0,0128

Joc matemàtic

CoINCIDÈNCIa D’aNIVERSaRIS

Comencempercalcular laprobabilitatque,d’ungrupdetrespersones,almenysduescoincideixinenladatadenaixement:

• Quin és, el succés contrari?

Succés contrari A → «que cap persona hagi nascut el mateix dia».

• Calcula’n la probabilitat: Casos favorables: qualsevol dia menys el mateix.

Casos possibles: tots els dies de l’any.

365 364 363( ) 0,9918 ( ) 1 ( )

365 365 3651 0,9918 0,0082 0,82%

p A p A p A= ⋅ ⋅ = → = − =

= − = =

I si hi ha 10 persones?

365 364 363 362 361 360 359 358 357 356( ) 0,8831

365 365 365 365 365 365 365 365 365 365( ) 1 ( ) 1 0,8831 0,1169 11,7 %

p A

p A p A

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= − = − = =

I si els grups són de 25 persones, què és més probable, que almenys dues coincideixin en el seu aniversari, o que no?

( ) 0,4313 ( ) 1 ( ) 0,5667 56,7%p A p A p A= → = − = =

Què signifi ca, aquesta probabilitat?

És més probable que coincideixin que pas que no coin-cideixin.

Aquesta probabilitat signifi ca que si fem 100 grups de 25 persones escollides a l’atzar, en 56 dels grups, almenys dues persones coincidiran en el seu aniversari.

Calcula la probabilitat que dues persones hagin nas-cut el mateix dia que tu.

casos favorables 1 1( ) 0,0000075 0,00075 %

casos possibles 365 365p A = = ⋅ = =



1. a) Completa la taula següent:

Temps(h) Freqüènciaabsoluta(f)

Marcadeclasse(x)

Productef·x

[400, 450) 30 425 12 750

[450, 500) 100 475 47 500

[500, 550) 270 525 141 750

[550, 600) 320 575 184 000

[600, 650) 280 625 175 000

TOTAL 1 000 561 000

b) Calcula la durada mitjana de les bombetes:

561 000561

1 000x = = minuts

2. A partir de les dades de la taula anterior i de la mitjana que has calculat en l’exercici 1, completa la taula se-güent, on d representa la desviació, és a dir, el valor absolut de la diferència dels valors de la variable i la mitjana:


Marcadeclasse(x)

Desviació(d)

Producted·f

[400, 450) 30 425 136 4 080

[450, 500) 100 475 86 8 600

[500, 550) 270 525 36 9 720

[550, 600) 320 575 14 4 480

[600, 650) 280 625 64 17 920

TOTAL 1 000 44 800

Determina el valor de la desviació mitjana de la varia-ble que indica la durada de les bombetes:

44 80044,8

1 000d = = minuts

3. A partir de les dades de la taula anterior, completa la taula següent i calcula la variància i la desviació típica:

220

MATeMÀTIQUeS 3

221

Q


Marcadeclasse(x)

Desviació(d) d2 Producte

d2·f

[400, 450) 30 425 136 18 496 554 880

[450, 500) 100 475 86 7 396 739 600

[500, 550) 270 525 36 1 296 349 920

[550, 600) 320 575 14 196 62 720

[600, 650) 280 625 64 4 096 1 146 880

TOTAL 1 000 2 854 000

2 2 854 0002 854

1 000σ = =

2 854 53,42σ = = minuts


1. a) Determina el nombre mitjà de gols que s’han marcat per partit.

2622,59

101x = = gols

b) Quina és la moda?

m = 2 gols.

c) I la mediana?

M = 3 gols.

2. A partir de les dades de la taula anterior:

a) Determina el valor de la desviació mitjana de la va-riable que mesura el nombre de gols.

139,411,38

101d = =

b) Calcula’n també la variància i la desviació típica.

2 282,802,80

101σ = = i 2,80 1,67σ = =


1. La taula següent mostra les notes obtingudes del pri-mer grup:

GrupA 0 1 1 3 5 5 6 8 8 9

a) Determina la nota mitjana del grup.

464,6

10x = =

b) Calcula’n la variància i la desviació típica.

2 104,8910,49

10σ = = i 10,49 3,24σ = =

2. En la taula següent veiem les notes obtingudes de l’altre grup:

GrupB 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8

a) Determina la nota mitjana del grup.

464,6

10x = =

b) Calcula la variància i la desviació típica.

2 33,783,38

10σ = = i 3,38 1,84σ = =

3. Tenint en compte els resultats dels dos exercicis ante-riors:

a) Compara les notes mitjanes dels grups.

Són iguals.

b) Compara’n la desviació típica.

La desviació típica del grup A és més gran que la del grup B.

c) Què en pots dir, de cada grup?

Tot i que, de mitjana, els dos grups obtenen els matei-xos resultats, el grup B és més homogeni, les notes obtingudes en aquest grup són més semblants i es-tan més concentrades al voltant de la mitjana; en canvi, les notes obtingudes pels alumnes del grup A no estan tan concentrades al voltant de la mitjana.


1. A partir de les dades de la taula:

a) Calcula la mitjana de la variable.

2687,66

35x = =

b) Calcula la desviació típica.

2 2 052,1158,63

35σ = = i 58,63 7,66σ = =

2. Completa la taula següent restant 2 a cada valor de la variable anterior:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 1 4 6 8 5 4 3 2 2

a) Calcula la mitjana de la nova variable:

1985,66

35x = =

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) Calcula la desviació típica de la nova variable:

2 1 120,1132

35σ = = i 32 5,66σ = =

3. Completa la taula següent multiplicant per 3 cada valor de la variable de l’apartat 1:

x 12 15 18 21 24 27 30 33 36

f 1 4 6 8 5 4 3 2 2

a) Calcula la mitjana de la nova variable.

80422,97

35x = =

b) Calcula la desviació típica de la nova variable.

2 18 469,03527,69

35σ = = i 527,69 22,97σ = =

4. Compara els resultats dels tres exercicis anteriors i contesta les qüestions següents:

a) Com canvia la mitjana d’una variable si sumem o restem un mateix nombre a tots els valors que pren? I la desviació típica?

La mitjana queda sumada o restada amb el mateix nombre i la desviació típica també.

b) Com canvia la mitjana d’una variable si multipli-quem per un mateix nombre tots els valors que pren? I la desviació típica?

La mitjana i la desviació típica queden multiplicades pel mateix nombre.


1. A partir de la variable donada en la taula següent:

x 2 3 4 5 6 7 8

f 10 13 16 20 15 11 5

a) Indica el recorregut de la variable.

R = 8 – 2 = 6

b) Calcula’n el primer i el tercer quartils i, a partir d’aquests valors, el rang interquartílic.

Com que n = 90, tenim que Q1 = 3 i Q

3 = 6.

Llavors, el rang interquartílic és r = Q3 – Q

1 = 6 – 3 = 3

2. Amb les mateixes dades,

a) Calcula la mitjana de la variable.

4304,78

90x = =

b) Calcula’n la variància i la desviació típica.

2 257,562,86

90σ = = i 2,86 1,69σ = =

3. Per a la mateixa variable, calcula la desviació mitjana, completant la taula següent:

Freqüènciaabsoluta(f)

Desviació(d)

Producted·f

2 10 2,78 27,78

3 13 1,78 23,11

4 16 0,78 12,44

5 20 0,22 4,44

6 15 1,22 18,33

7 11 2,22 24,44

8 5 3,22 16,11

TOTAL 90 126,67

126,671,41

90d = =


1. A partir de la variable de l’exercici anterior donada en la taula següent:

x 2 3 4 5 6 7 8

f 10 13 16 20 15 11 5

a) Amb el valor de la mitjana i de la desviació típica de l’exercici anterior, calcula el coeficient de variació de Pearson.

1,690,35

4,78x

σν = = =

2. Completa la taula següent:

Alçada(cm)


Marcadeclasse(x)

Desviació(d) d2

Producted2·f

[140, 145) 6 142,5 12 144 864

[145, 150) 9 147,5 7 49 441

[150, 155) 12 152,5 2 4 48

[155, 160) 10 157,5 3 9 90

[160, 165) 8 162,5 8 64 512

[165, 170) 5 167,5 13 169 845

TOTAL 50 2 800

a) Calcula’n la mitjana i la desviació típica:

7 725154,5

50x = =

2 2 80056

50σ = = i 56 7,48σ = =

222

MATeMÀTIQUeS 3

22�

Q

b) Calcula’n el coeficient de variació de Pearson:

7,480,05

154,5x

σν = = =

3. En quina de les dues distribucions la mitjana és més representativa? Justifica’n la resposta.

És més representativa la mitjana de la segona variable, perquè té un coeficient de variació de Pearson més petit.Això indica que la distribució té menys dispersió, és a dir, que les dades es troben més concentrades al voltant de la mitjana.


1. El primer gràfic mostra la distribució de les alçades d’un grup de 7 persones:


Alçada(cm) Freqüènciaabsoluta(f)

Marcadeclasse(x)

[182,5; 187,5) 2 185

[187,5; 192,5) 4 190

[192,5; 197,5) 1 195

TOTAL 7

b) Calcula el valor de la mitjana i de la desviació típica d’aquestes alçades, i el coeficient de variació de Pearson:

= =

1325189,29

7x cm

2 71,4310,20

7σ = = i 10,20 3,19σ = = cm

3,190,0169

189,29x

σν = = =

2. El segon gràfic mostra la distribució de les alçades d’un altre grup de 7 persones:


Alçada(cm) Freqüènciaabsoluta(f)

Marcadeclasse(x)

[172,5; 177,5) 1 175

[177,5; 182,5) 3 180

[182,5; 187,5) 2 185

[187,5; 192,5) 1 190

TOTAL 7

b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica i el coefici-ent de variació de Pearson.

1 275182,14

7x = = cm

2 142,8620,41

7σ = = i 20,41 4,52σ = = cm

4,520,0248

182,14x

σν = = =

3. Compara els resultats que has obtingut en els exercicis anteriors. Quin dels dos grups és més alt en mitjana?

El primer grup és més alt que el segon.

Quin grup és més homogeni en alçada?

El primer grup és més homogeni perquè té la desviació típica més petita que el segon.

En quina de les dues distribucions la mitjana és més representativa?

La mitjana del primer grup és més representativa, per-què té el coeficient de variació de Pearson més petit.


1. El temps d’estada en una empresa, expressats en anys, de quinze treballadors són: 10, 15, 16, 20, 22, 24, 30, 29, 24, 5, 12, 21, 2, 6 i 13.


Temps(anys) Freqüènciaabsoluta(f)

Marcadeclasse(x)

(0, 5] 2 2,5

(5, 10] 2 7,5

(10, 15] 3 12,5

(15, 20] 2 17,5

(20, 25] 4 22,5

(25, 30] 2 27,5

TOTAL 15

b) Calcula’n la mitjana:

= =237,5

15,815

x

2. A partir de les dades de l’exercici anterior,


Temps(anys)


Marcadeclasse(x)

Desviació(d)

Producted·f

d2 Producted2·f

(0, 5] 2 2,5 13,33 26,67 177,78 355,56

(5, 10] 2 7,5 8,33 16,67 69,44 138,89

(10, 15] 3 12,5 3,33 10 11,11 33,33

(15, 20] 2 17,5 2,67 3,33 2,78 5,56

(20, 25] 4 22,5 7,67 26,67 44,44 177,78

(25, 30] 2 27,5 12,67 23,33 136,11 272,22

TOTAL 15 106,67 983,33

MATeMÀTIQUeS 3Q

b) Calcula’n la desviació mitjana.

= =106,67

7,11 anys15

d

c) Calcula’n la variància i la desviació típica.

= = = =2 983,3365,56 i 65,56 8,0966 anys

15σ σ

Joc matemàtic

l’alÇaDa DE la ClaSSE

Les alçades, en cm, de tots els companys de la classe es mostren a la taula següent:

Alçada Marcadeclasse Freqüènciaabsoluta

[145, 151) 148 1

[151, 157) 154 6

[157, 163) 160 9

[163, 169) 166 8

[169, 175) 172 4

[175, 181) 178 2

A la unitat anterior, hem calculat la mitjana d’aquestes alça-des i ens ha donat

4 884 814162,8

30 5x = = = cm

1. Completa la taula següent, on d representa la desvia-ció, és a dir, el valor absolut de la diferència dels valors de la variable i la mitjana:

Alçada Freqüènciaaboluta(f)

Marcadeclasse(x)

Desviació(d)

Producted·f

[145, 151) 1 148 14,8 14,8

[151, 157) 6 154 8,8 52,8

[157, 163) 9 160 2,8 25,2

[163, 169) 8 166 83,2 25,6

[169, 175) 4 172 9,2 36,8

[175, 181) 2 178 15,2 30,4

TOTAL 30 185,6

Determina el valor de la desviació mitjana de la varia-ble que indica l’alçada dels companys de classe.

185,66,19

30d = = cm

2. A partir de les dades de la taula anterior, completa la taula següent:

Alçada Freqüènciaaboluta(f)

Marcadeclasse(x)

Desviació(d) d2 Producte

d2·f

[145, 151) 1 148 14,8 219,04 219,04

[151, 157) 6 154 8,8 77,44 464,64

[157, 163) 9 160 2,8 7,84 70,56

[163, 169) 8 166 83,2 10,24 81,92

[169, 175) 4 172 9,2 84,64 338,56

[175, 181) 2 178 15,2 231,04 462,08

Total 30 1 636,80

Calcula la variància i la desviació típica.

2 1 636,8054,56

30σ = = i 54,56 7,3865σ = = cm

224

Matemàtiques -...

Documents

Transcript of Matemàtiques -...