MATEMÁTICAS II 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología ...

IES G.M. de Jovellanos. Dpto. de Matemáticas.

Matemáticas II, 2º Bachillerato deCC y Tecnología. Curso 2010-2011

MATEMÁTICAS II 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología.

Curso 2010-2011 IES G. M. de Jovellanos

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PROGRAMACIÓN: Pág.

1. Objetivos generales de Matemáticas II de 2º de Bachillerato 3 2. Secuenciación de objetivos, contenidos y criterios de evaluación 4 3. Temporalización 16 4. Mínimos exigibles para obtener un cinco 16 5. Metodología 17 6. Temas transversales 19 7. Materiales y recursos didácticos 20 8. Método de evaluación, criterios de calificación y recuperaciones 20 9. Utilización de las TIC 21 10. Actividades extraescolares 21

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MATEMÁTICAS II. 2º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA. 1.OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II DE BACHILLERATO.

El objetivo de las Matemáticas debería ser la formalización y desarrollo de las intuiciones que los alumnos y las alumnas adquirieron en etapas precedentes de su educación. En primer término, esa formalización debe crear en el estudiante habilidades para ofrecer explicaciones claras y razonadas de sus propios argumentos, debe hacer que relacione todos los contenidos matemáticos aprendidos hasta ahora, le debe dotar de un lenguaje universalmente aceptado, etc. Y, en segundo lugar, debe preparar a aquellos alumnos y alumnas que deseen seguir estudios técnicos y científicos superiores, para que lleven a buen término sus proyectos futuros.

El desarrollo de esta materia contribuirá a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades:

• Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que permitan a los alumnos y a las alumnas desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

• Aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolas en la interpretación de las ciencias y en las actividades cotidianas.

• Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.

• Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los métodos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos.

• Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario especifico de notaciones y términos matemáticos.

• Mostrar actitudes propias de la actividad matemática, como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

• Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

• Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que nos ofrecen.

• Aprovechar los cauces de información facilitados por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.

• Desarrollar métodos que contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos para investigar y resolver situaciones problemáticas nuevas y desconocidas.

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2. SECUENCIACIÓN DE OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN.

I. ÁLGEBRA

UNIDAD 1 : Álgebra de matrices

OBJETIVOS

• Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y propiedades.

• Conocer el significado de rango de una matriz y calcularlo mediante el método de Gauss

• Resolver problemas algebraicos mediante matrices y sus operaciones

CONCEPTOS

� Matrices. Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular...

� Operaciones con matrices: suma, producto por un número, producto. Propiedades.

� Matrices cuadradas, matriz unidad, matriz inversa de otra.

� N - uplas de números reales. Dependencia e independencia lineal.

� Rango de una matriz.

� Método de Gauss.

PROCEDIMIENTOS

• Destreza en el manejo de la nomenclatura básica.

• Manejo de las operaciones con matrices.

• Obtención de una matriz que cumpla ciertas condiciones.

• Obtención de la inversa de una matriz, en casos sencillos, a partir de la definición.

• Resolución de ecuaciones matriciales.

• Obtención de una n - upla combinación lineal de otras.

• Constatación de sí un conjunto de n - uplas son L. D. o L. I.

• Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.

• Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

♦ Realiza operaciones combinadas con matrices elementales.

♦ Realiza operaciones combinadas con matrices complejas.

♦ Calcula el rango de una matriz numérica.

♦ Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o sus columnas.

♦ Expresa un enunciado mediante una relación matricial y en ese caso lo resuelve e interpreta la solución dentro del contexto del enunciado.

ACTITUDES

� Hábito de contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en éste, para determinar lo razonable o no del resultado obtenido.

� Tendencia a entender el significado de los resultados obtenidos y los procesos seguidos en los ejercicios resueltos.

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� Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a los problemas distintos a los propios.

� Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo para la realización de determinadas actividades relacionadas con las matrices.

UNIDAD 2 : Determinantes

OBJETIVOS

• Dominar el automatismo para el cálculo de determinantes.

• Conocer las propiedades de los determinantes y aplicarlos para el cálculo de éstos.

• Conocer la caracterización del rango de una matriz por el orden de sus menores y aplicarla a casos concretos.

CONCEPTOS

� Determinantes de orden 2. Propiedades.

� Determinantes de orden 3. Propiedades.

� Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Propiedades.

� Determinante de orden n.

� El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos.

PROCEDIMIENTOS

• Cálculo de determinantes de orden 2 y aplicación de sus propiedades.

• Cálculo de determinantes de orden 3 por la regla de Sarrus.

• Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

• Cálculo de un determinante " haciendo ceros" en una de sus líneas.

• Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades.

• Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores.


♦ Calcula el valor de un determinante numérico u obtiene la expresión de un determinante 3x3 con alguna letra.

♦ Obtiene el desarrollo(o el valor) de un determinante en el que intervienen letras, haciendo uso razonado de las propiedades de los determinantes.

♦ Reconoce las propiedades que se utilizan en las igualdades entre determinantes.

♦ Halla el rango de una matriz numérica mediante determinantes. ♦ Discute el rango de una matriz en la que interviene un parámetro. ACTITUDES � Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los

resultados obtenidos. � Apreciación de la utilidad que representa el simbolismo matemático. � Valoración del lenguaje algebraico para expresar relaciones de todo tipo, así como de su

facilidad para representar y resolver situaciones. � Hábito de contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en éste, para

determinar lo razonable o no del resultado obtenido.

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UNIDAD 3 : Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. OBJETIVOS • Dominar los conceptos y nomenclatura asociados a los sistemas de ecuaciones y sus

soluciones (compatible, incompatible, determinado indeterminado.), e interpretarlos geométricamente para dos y tres incógnitas.

• Resolver problemas algebraicos mediante sistemas de ecuaciones. • Conocer el teorema de Rouché y la regla de Cramer y utilizarlos para la discusión y

resolución de sistemas de ecuaciones. CONCEPTOS � Sistemas de ecuaciones lineales. Solución. � Sistemas equivalentes. � Transformaciones que mantienen la equivalencia. � Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado. � Interpretación gráfica de una ecuación lineal de dos o tres incógnitas como recta o como

plano. Posiciones relativas de las rectas o de los planos según el tipo de sistema. � Sistemas escalonados. � Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro. Teorema de Rouché. � Regla de Cramer. � Sistema homogéneo. Expresión de la inversa de una matriz a partir de los adjuntos de sus

elementos. � Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. PROCEDIMIENTOS • Resolución de sistemas de ecuaciones por métodos previamente adquiridos. • Reconocimiento del tipo de sistema que se trata. • Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas según sea

compatible o incompatible, determinado o indeterminado. • Transformación de un sistema en otro escalonado. • Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss. • Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas dependientes de un parámetro. • Traducción a sistemas de ecuaciones de un problema, resolución e interpretación de la

solución. • Aplicación del Teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones. • Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas determinados e

indeterminados. • Resolución de sistemas homogéneos. • Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y resolución de

sistemas dependientes de uno o más parámetros. • Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes. • Resolución de sistemas de ecuaciones mediante la forma matricial. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ♦ Conoce lo que significa que un sistema sea incompatible o compatible, determinado e

indeterminado, y aplica este conocimiento para formar un sistema de un cierto tipo o para reconocerlo.

♦ Interpreta geométricamente sistemas lineales de 2, 3 o 4 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas. ♦ Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. ♦ Discute sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro por el método de

Gauss. ♦ Expresa algebraicamente un enunciado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelve e

interpreta la solución dentro del contexto del enunciado.

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♦ Reconoce la existencia o no de la inversa de una matriz y la calcula en su caso. ♦ Expresa matricialmente un sistema de ecuaciones y, si es posible lo resuelve hallando la

inversa de la matriz de los coeficientes. ♦ Aplica el teorema de Rouché para dilucidar cómo es un sistema de ecuaciones lineales con

coeficientes numéricos. ♦ Aplica la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 2x2 o 3x3, con

solución única. ♦ Cataloga cómo es, y resuelve en su caso, un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes

numéricos. ♦ Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro. ♦ Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de dos parámetros. ACTITUDES � Hábito de analizar las soluciones de los sistemas de ecuaciones. � Hábito de contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en este, para

determinar lo razonable o no del resultado obtenido. � Tendencia a entender el significado de los resultados obtenidos y los procesos seguidos en

los ejercicios resueltos. � Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a los problemas distintos

a los propios. OBSERVACIONES METODOLÓGICAS Se parte de los conocimientos de los alumnos de los sistemas 2x2 para introducir la notación y tratamiento de sistemas de ecuaciones en general. Se desarrolla detenidamente la discusión y resolución de sistemas por triangulación. Las matrices son un nuevo elemento matemático, destacaremos las propiedades no habituales de las operaciones, no conmutativa para el producto, elemento inverso. Por último con la introducción de los determinantes podremos hallar las soluciones de los sistemas aplicando la regla de Cramer o por medio de la matriz inversa. Se resolverán problemas del libro de texto y ejercicios propuestos por el profesor para ir aclarando todas las dudas.

II GEOMETRÍA UNIDAD 4 : Vectores en el espacio. OBJETIVOS • Conocer los vectores del espacio tridimensional y sus operaciones, y utilizarlos para la

resolución de problemas geométricos. CONCEPTOS � Vectores en el espacio. Operaciones. Interpretación gráfica. � Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Base. Coordenadas. � Producto escalar de vectores. Propiedades. Expresión analítica. � Producto vectorial de vectores. Propiedades. Expresión analítica. � Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Expresión analítica. PROCEDIMIENTOS • Obtención gráfica de un vector resultado de efectuar operaciones con otros. • Interpretación gráfica de la dependencia o independencia lineal de dos o tres vectores en el

espacio. • Operaciones con vectores dados por sus coordenadas. Dependencia e independencia lineal. • Cálculo del módulo de un vector. Obtención de un vector con la dirección de otro y módulo

predeterminado. • Obtención del ángulo formado por dos vectores. • Identificación de la perpendicularidad de dos vectores.

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• Cálculo de la proyección de un vector sobre la dirección de otro. • Obtención de un vector perpendicular a otros dos. • Cálculo del área del paralelogramo determinado por dos vectores. • Cálculo del volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores. • Identificación de si tres vectores son linealmente independientes mediante las aplicaciones

del producto mixto. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ♦ Realiza operaciones elementales (suma y producto por un número) con vectores,

gráficamente o con sus coordenadas, comprendiendo y manejando correctamente los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de base.

♦ Domina el producto escalar de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. Y lo aplica a la resolución de problemas geométricos(módulo de un vector, ángulo de dos vectores, proyección de un vector sobre otro, perpendicularidad de vectores).

♦ Domina el producto vectorial de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. Y lo aplica a la resolución de problemas geométricos(vector perpendicular a otros dos, área del paralelogramo determinado por dos vectores):

♦ Domina el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. Y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores, decisión de si tres vectores son linealmente independientes).

ACTITUDES � Sensibilidad e interés crítico ante las informaciones de naturaleza vectorial. � Curiosidad e interés por el cálculo y la resolución de problemas en los que intervengan

vectores. � Valoración del empleo de estrategias personales para resolver problemas vectoriales. UNIDAD 5 : Puntos, rectas y planos en el espacio. OBJETIVOS • Construir y utilizar un sistema de referencia en el espacio y, con él, hacer uso de los

vectores para resolver problemas geométricos en R3. • Dominar las distintas formas de ecuaciones de rectas y planos y utilizarlas para resolver

problemas afines: pertenencia de puntos a rectas o planos, posiciones relativas de dos rectas, de recta y plan, de dos planos y de tres planos.

CONCEPTOS � Sistema de referemcia en el espacio. Coordenadas de un punto. � Punto que divide a un segmento en una razón dada. � Simétrico de un punto respecto a otro y respecto a una recta. � Determinación de una recta: ecuación vectorial, paramétricas y continua de la recta. � Determinación de un plano: ecuación vectorial, paramétricas e implícita de un plano.

Vector normal. PROCEDIMIENTOS • Representación de puntos en un sistema de referencia ortonormal. • Comprobación de sí tres o más puntos están alineados. Obtención automática del punto

medio de un segmento y su aplicación a la obtención del simétrico de un punto respecto a otro y respecto a una recta.

• Obtención razonada del punto que divide a un segmento en una razón dada.

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• Expresiones de ecuaciones de una recta a partir de algunos de sus elementos. • Estudio de las posiciones relativas de dos rectas • Obtención de un plano conociendo algunos de los elementos que lo determinan. • Estudio de la posición relativa de dos o más planos. • Estudio de la posición relativa de un plano y una recta. CRITERIOS DE EVALUACION ♦ Representa puntos de coordenadas sencillas en un sistema de referencia ortonormal. ♦ Utiliza los vectores para resolver algunos problemas geométricos: puntos de división de un

segmento en partes iguales, comprobación de puntos alineados, simétrico de un punto respecto a otro, respecto a una recta.

♦ Resuelve problemas afines entre rectas (pertenencia de puntos, paralelismo, posiciones relativas) utilizando cualquiera de las expresiones (paramétricas, implícita, continua.).

♦ Resuelve problemas afines entre planos (pertenencia de puntos, paralelismo.) Utilizando cualquiera de sus expresiones (implícita o paramétricas).

♦ Resuelve problemas afines entre rectas y planos. ACTITUDES � Destreza en el manejo de la nomenclatura básica. � Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a problemas distintos a

los propios. � Tenacidad y constancia en la búsqueda de soluciones a problemas de Geometría Analítica. � Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos, reconociendo el valor

práctico que poseen. � Flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. UNIDAD 6 : Problemas métricos. OBJETIVOS • Obtener el ángulo que formando rectas, una recta y un plano o dos planos. • Hallar la distancia entre dos puntos, de un punto a un plano o entre dos rectas que se

cruzan. • Hallar áreas y volúmenes utilizando el producto vectorial o el producto mixto de vectores. • Resolver problemas métricos variados. • Obtener analíticamente lugares geométricos. • Conocer las ecuaciones de algunas superficies tridimensionales descritas como lugares

geométricos (esferas, elipsoides, hiperboloides, paraboloides). CONCEPTOS � Medida del ángulo entre rectas y planos, utilizando el producto escalar. � Distancia entre dos puntos. � Distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial(área de un paralelogramo

dividido entre la longitud de la base). � Distancia de un punto a un plano. Obtención de la fórmula. � Distancia entre dos rectas utilizando los productos vectorial y mixto (volumen de un

paralelepípedo dividido por el área de la base). � Área de un triángulo y volumen de un paralelepípedo. � Lugar geométrico en el espacio. � Estudio de la esfera. PROCEDIMIENTOS • Obtención del ángulo de dos rectas, de dos planos o del ángulo entre recta y plano.

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• Cálculo de la distancia entre dos puntos. • Cálculo de la distancia de un punto a una recta por diversos procedimientos. • Cálculo de la distancia de un punto a un plano por diversos procedimientos. • Cálculo de la distancia entre dos rectas por diversos procedimientos. • Cálculo del área de un paralelogramo y de un triángulo. • Cálculo del volumen de un paralelepípedo y de una pirámide triangular. • Obtención del plano mediador de un segmento. • Obtención del plano bisector de un ángulo diedro. • Obtención de algunas cuádricas (esfera, elipsoide, hiperboloide, paraboloide) como lugares

geométricos. • Obtención del centro y del radio de una esfera dada mediante su ecuación. Obtención de las

posiciones relativas de dos esferas y de una esfera con un plano. CRITERIOS DE EVALUACION ♦ Calcula los ángulos entre rectas y planos. Obtiene una recta o un plano conociendo, como

uno de los datos, el ángulo que forma con una figura (recta o plano). ♦ Halla la distancia entre dos puntos o de un punto a un plano. ♦ Halla la distancia de un punto a una recta mediante el plano perpendicular a la recta que

pasa por el punto, o bien haciendo uso del producto vectorial. ♦ Halla la distancia entre dos rectas que se cruzan hallando un plano que contenga a una y sea

paralelo a la otra, o bien obteniendo de segmento perpendicular a ambas, o bien mediante el producto mixto.

♦ Halla el área de un paralelogramo o de un triángulo. ♦ Halla el volumen de un paralelepípedo o de una pirámide triangular. ♦ Halla el simétrico de un punto respecto de una recta o de un plano. ♦ Resuelve problemas geométricos en los que intervengan perpendicularidades, distancias,

ángulos, incidencia, paralelismo... ♦ Obtiene la expresión analítica de un lugar geométrico plano o espacial definido por alguna

propiedad, e identifica la figura de que se trata. ♦ Escribe la ecuación de una esfera a partir de su centro y su radio y reconoce el centro y el

radio de una esfera dada por su ecuación. ♦ Relaciona la ecuación de un elipsoide, hiperboloide o paraboloide con su representación

gráfica. ACTITUDES � Confianza en las propias capacidades para hacer cálculos. � Interés y respeto por las estrategia, modos de hacer y soluciones a los problemas distintos a

los propios. � Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos,

reconociendo el valor práctico que poseen. � Flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. � Gusto e interés por enfrentarse con problemas geométricos. � Valoración del empleo de estrategias personales para resolver problemas geométricos en el

espacio. OBSERVACIONES METODOLÓGICAS Por primera vez el alumno se enfrenta a la Geometría del espacio, por ello es fundamental utilizar constantemente modelos reales que ayuden a su capacidad de imaginar situaciones espaciales; se procurará familiarizar a los alumnos con la representación plana del espacio, sin formalismos.

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Se trata también de introducir al alumno en los métodos propios de la Geometría Euclidea, por este motivo se hará mas caso a los problemas con datos numéricos que a la teoría y que a las demostraciones formales. El estudio de cuádricas se realizará a partir de su caracterización como lugar geométrico. Por último el tema establece la relación entre Álgebra y Geometría, esto permite mantener en todo el trabajo una permanente relación entre las dos ramas.

III.ANÁLISIS

UNIDAD 7 : Límites de sucesiones y funciones. Continuidad

OBJETIVOS: • Dominar el concepto de sucesión. • Saber estudiar la acotación y monotonía de las sucesiones. • Comprender e interpretar los conceptos de sucesión convergente y sucesión que tiende a

infinito o a menos infinito. • Calcular límites de sucesiones y resolver las indeterminaciones. • Conocer el concepto de función y sus características. • Dominar el concepto de límite de funciones en sus distintas versiones conociendo su

interpretación gráfica y su enunciado preciso. • Calcular límites de todo tipo. • Conocer el concepto de continuidad en un punto y los distintos tipos de discontinuidades. • Conocer el teorema de Bolzano y aplicarlo para probar la existencia de raíces de una

función. CONCEPTOS � Sucesiones. Sucesiones monótonas y acotadas. � Límite de una sucesión. Operaciones. Número e. � Límite de una función cuando x tiende a infinito, cuando x tiende a menos infinito y cuando

x tiende a c. � Límites laterales. � Operaciones con límites finitos. � Comparación de infinitos. � Operaciones con expresiones infinitas. Indeterminaciones. � Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. � Continuidad en un intervalo. � Teoremas de Bolzano, Darboux y Weirstrass. PROCEDIMIENTOS • Obtención de términos de una sucesión dada por su término general o recurrencia. • Reconocimiento de sucesiones acotadas y monótonas. • Calculo de límites usando las propiedades relativas a las operaciones con sucesiones

convergentes y con sucesiones que tienden a infinito o menos infinito. • Utilización de los procedimientos que resuelven las indeterminaciones más usuales. • Cálculo de límites inmediatos (operaciones con límites infinitos evidentes o comparación

de finitos de distinto orden). • Cálculo de límites cuando x tiende a infinito, cuando x tiende a menos infinito y cuando x

tiende a c. • Cálculo de límites laterales. • Identificación de tipos de discontinuidades. • Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas. ACTITUDES

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� Tendencia a entender el significado de los resultado obtenidos y de los procesos seguidos en los ejercicios resueltos automáticamente.

� Habito de obtener mentalmente resultados de algunos límites sencillos. � Valoración de las propiedades de los límites para simplificar cálculos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ♦ Obtiene términos generales de sucesiones. ♦ Da el criterio de formación de una sucesión recurrente. ♦ Conoce la acotación y monotonía de las sucesiones. ♦ Interpreta los conceptos de una sucesión convergente y sucesión que tiende a infinito o

menos infinito. ♦ Calcula límites inmediatos que sólo requieran conocer los resultados operativos y comparar

infinitos. ♦ Calcula límites de cocientes, diferencias, potencias cuando X tiende a infinito, a menos

infinito o a C. ♦ Calcula límites laterales. ♦ Reconoce si una función es continua en un punto o el tipo de discontinuidad que presenta

en él. ♦ Determina el valor de un parámetro (o dos) para que una función definida a trozos sea

continua en el punto (o puntos de empalme). ♦ Enuncia el teorema de Bolzano en un caso concreto y lo aplica a la separación de raíces de

una función. UNIDAD 8 : Derivadas. Técnicas de derivación. OBJETIVOS • Dominar los conceptos asociados a la derivada de una función: derivada en un punto,

derivadas laterales, función derivada... • Interpretar geométrica y físicamente la derivada en un punto. • Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra. • Comprender las demostraciones y saber justificar sus pasos. • Relacionar derivabilidad y continuidad. CONCEPTOS � Tasa de variación media. � Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales. � Función derivada. Derivadas sucesivas. � Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos.

Demostraciones. � Derivada de una función implícita. Derivada de la función inversa. � Derivada logarítmica. PROCEDIMIENTOS • Obtención de la derivada de la función en un punto a partir de la definición. • Estudio de la derivabilidad de una función en un punto, estudiando las derivadas laterales. • Cálculo de la derivada de una función. • Cálculo de la derivada de una función implícita. • Cálculo de la derivada de una función inversa. • Cálculo de la derivada de una función utilizando la derivación logarítmica. ACTITUDES � Gusto e interés por enfrentarse a problemas donde aparezca la derivada de una función. � Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo.

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� Tendencia a entender el significado de los resultados obtenidos y de los procesos seguidos en los ejercicios resueltos automáticamente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN ♦ Asocia la gráfica de una función a la de su función derivada. ♦ Halla la derivada de una función en un punto por paso al límite o mediante el valor de la

tasa de variación media (para un valor muy pequeño con ayuda de la calculadora). ♦ Estudia la derivabilidad de una función definida a trozos recurriendo a las derivadas

laterales en el punto de empalme. ♦ Halla las derivadas de funciones no triviales. ♦ Utiliza la derivación logarítmica para hallar la derivada de una función que lo requiera. ♦ Halla la derivada de una función implícita. ♦ Halla la derivada de una función conociendo la de su inversa. UNIDAD 9 : Aplicaciones de la derivada. OBJETIVOS • Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. • Conocer las propiedades que permiten estudiar crecimiento, decrecimiento, máximos y

mínimos relativos, tipo de curvatura, etc. y saberlas aplicar en casos concretos. • Dominar las estrategias necesarias para optimizar una función. • Conocer la regla de L´Hôpital y aplicarla al cálculo de límites. • Conocer los teoremas de Rolle y del Valor Medio y aplicarlos a casos concretos. CONCEPTOS � Relaciones de la derivada de una función con la forma de la curva correspondiente. � Relaciones de la segunda derivada de una función con la forma de la curva correspondiente. � Regla de L´Hôpital. � Teoremas de Rolle y del Valor Medio. PROCEDIMIENTOS • Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos. • Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente o decreciente. • Obtención de máximos y mínimos relativos. • Resolución de problemas de optimización. • Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa. • Obtención de punto de inflexión. • Aplicación de la regla de L´Hôpital al cálculo de límites. • Constatación de si una función cumple o no las hipótesis del teorema del valor medio (o del

teorema de Rolle) y obtención del punto donde cumple la tesis. ACTITUDES � Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los

resultados obtenidos. � Tendencia a entender el significado de los resultados obtenidos y los procesos seguidos en

los ejercicios resueltos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ♦ Dada una función explícita o implícita, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus

puntos. ♦ Dada una función, sabe decidir si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, en un

punto o en un intervalo, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión.

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♦ Dada una función mediante su expresión analítica o mediante un enunciado, encuentra en qué caso presenta un máximo o un mínimo.

♦ Calcula límites aplicando la regla de L´Hôpital. ♦ Aplica el teorema de Rolle o el del valor medio a funciones concretas, probando si cumple

o no las hipótesis y averiguando, en su caso, dónde se cumple la tesis. UNIDAD 10 : Representación de funciones OBJETIVOS • Conocer el papel que desempeñan las herramientas básicas del análisis (límites,

derivadas,...) en la representación de funciones. • Dominar la representación sistemática de funciones polinómicas, racionales,

trigonométricas, con radicales exponenciales, logarítmicas... CONCEPTOS � Dominio de definición de una función, simetrías, periodicidad. � Ramas infinitas: asíntotas y ramas parabólicas. � Puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes. � Conocimiento de las peculiaridades que poseen algunas familias de funciones. PROCEDIMIENTOS • Obtención del dominio de definición y constatación de si es continua y derivable en él. • Identificación de posibles simetrías y periodicidades. • Obtención de ramas infinitas. • Obtención de puntos singulares, puntos de inflexión, puntos de corte con los ejes... • Representación de funciones de diversos tipos haciendo uso, cuando se pueda, de las

peculiaridades de las curvas de esa familia. CRITERIOS DE EVALUACION ♦ Representa funciones polinómicas. ♦ Representa funciones racionales. ♦ Representa funciones trigonométricas. ♦ Representa funciones exponenciales. ♦ Representa otro tipo de funciones. ACTITUDES � Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los

resultados obtenidos. � Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de recursos para la representación gráfica de

funciones no elementales. UNIDAD 11 :Cálculo de primitivas OBJETIVOS • Conocer el concepto de primitiva de una función y obtener primitivas de las funciones

elementales. • Dominar los métodos básicos para la obtención de primitivas de funciones: sustitución, por

partes, racionales. CONCEPTOS

� Primitiva de una función.

� Diferencial de una función. Nomenclatura.

� Integral indefinida y sus propiedades.

� Cambios de variable bajo el signo integral.

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� Integración por partes.

� Descomposición de una función racional en fracciones elementales.

PROCEDIMIENTOS

• Obtención de primitivas de funciones elementales.

• Obtención de la diferencial de una función.

• Obtención de primitivas mediante cambio de variables: integración por sustitución.

• Cálculo de integrales por partes.

• Cálculo de la integral de una función racional.


♦ Halla la primitiva de una función elemental o de una función que, mediante simplificaciones adecuadas, se transforme en elemental mediante la integración.

♦ Halla la primitiva de una función utilizando el método de sustitución, integración por partes o de una función racional.

ACTITUDES

� Confianza en las propias capacidades para resolver problemas donde intervienen integrales.

� Reconocimiento y evaluación crítica del trabajo en equipo para la realización de determinadas actividades relacionadas con el cálculo de primitivas y problemas relacionados con estas.

� Flexibilidad para enfrentarse a situaciones donde intervengan integrales.

UNIDAD 12 :La integral definida. Aplicaciones.

OBJETIVOS

• Conocer el concepto, la terminología, las propiedades y la interpretación geométrica de la integral definida.

• Comprender el teorema fundamental del cálculo y su importancia para relacionar el área bajo una curva con una primitiva de la función correspondiente.

• Conocer y aplicar la regla de Barrow para el cálculo de áreas.

CONCEPTOS

� Integral definida. Propiedades.

� Teorema fundamental del cálculo.

� Regla de Barrow.

PROCEDIMIENTOS

• Relación del área de una figura plana conocida con la expresión de la misma mediante la forma integral.

• Relación de la gráfica de una función y la de la que se obtiene al describir el área que encierra bajo ella.

• Cálculo del área entre una curva y el eje X.

• Cálculo del área delimitada entre dos curvas.


♦ Halla la integral definida de una función.

♦ Responde a problemas teóricos relacionados con el teorema fundamental del cálculo.

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♦ Calcula el área bajo una curva entre dos valores de x.

♦ Calcula el área entre dos curvas.

ACTITUDES

� Confianza en las propias capacidades para resolver problemas donde intervienen integrales.

� Reconocimiento y evaluación crítica del trabajo en equipo para la realización de determinados problemas relacionados con las integrales.

� Flexibilidad para enfrentarse a situaciones donde intervengan integrales.

� Hábito de contrastar el resultado final de un problema en el que intervengan integrales con lo propuesto en éste, para determinar lo razonable o no del resultado obtenido.


� Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos.

OBSERVACIONES METODOLÓGICAS:

En la introducción de los conceptos de límite y derivada se partirá del sentido intuitivo y de un desarrollo concreto para alcanzar una definición operativa. Se trata fundamentalmente de poner de manifiesto el importante papel que estos conceptos juegan en el estudio de las funciones y en las aplicaciones de las Matemáticas. Especialmente el problema de la tangente a una curva, tasa de variación de una función (velocidad,..) Y resolución de problemas de máximos y mínimos.

Se debe alcanzar un grado suficiente de seguridad en la aplicación de las propiedades del cálculo de derivadas, así como en la resolución de indeterminaciones y caracterización de las discontinuidades de las funciones.

Para todo ello se hará el estudio de la representación de las gráficas de las funciones por medio de ejemplos y ejercicios del libro de texto.

Se introducirá el concepto de primitiva de una función y el cálculo de integrales de funciones, empleando para ello los métodos señalados en la programación. El alumno verá la aplicación práctica del cálculo integral en el cálculo de áreas.

3. TEMPORALIZACIÓN

PRIMERA EVALUACIÓN: Álgebra SEGUNDA EVALUACION: Geometría TERCERA EVALUACION: Análisis

4.MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UN CINCO. Álgebra

1. Utilizar adecuadamente la notación matricial. 2. Operar con matrices. 3. Expresar en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales. 4. Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. 5. Hallar el determinante de una matriz cuadrada y utilizar sus propiedades. 6. Hallar el rango de una matriz y la inversa mediante determinantes. 7. Discutir un sistema de ecuaciones utilizando el Teorema de Rouché. 8. Resolver sistemas de ecuaciones por Cramer. 9. Discutir y resolver un sistema de ecuaciones con un parámetro. 10. Resolver problemas mediante sistemas d ecuaciones lineales.

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Geometría 1. Utilizar matrices y determinantes para saber si un conjunto de vectores es o no

linealmente independiente. 2. Operar con vectores ( suma, resta, producto por un escalar, producto escalar y producto

vectorial). 3. Diferenciar el producto escalar del vectorial. 4. Saber utilizar el producto escalar y el producto vectorial en la perpendicularidad y para

hallar el ángulo que forman. 5. Calcular el área de un paralelogramo y de un triángulo, así como el volumen de un

paralelepípedo o tetraedro utilizando las operaciones con vectores. 6. Saber escribir la ecuación de una recta en todas sus formas y determinar si un punto

pertenece a una recta. 7. Saber escribir la ecuación de un plano en todas sus formas. 8. Saber resolver cualquier problema de posiciones relativas entre rectas y planos. 9. Calcular distancias: entre puntos, punto y recta, dos rectas, entre punto y plano, entre

recta y plano y entre dos planos. 10. Hallar el punto medio de un segmento y el simétrico de un punto respecto a un punto, a

una recta o a un plano. 11. Hallar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. 12. Hallar la ecuación de una esfera. Obtener el centro y el radio de la esfera a partir de su

ecuación. 13. Hallar la ecuación del plano tangente a una esfera. 14. Hallar la ecuación del plano mediador y bisector.

Análisis

1. Hallar el término general de una sucesión o su ley de recurrencia. 2. Calcular límites de sucesiones y resolver sus indeterminaciones. 3. Hallar limites laterales, calcular límites de funciones y resolver sus indeterminaciones. 4. Determinar si una función es continua o no y determinar qué tipo de discontinuidad

tiene. 5. Interpretar geométricamente la derivada. 6. Calcular las derivadas de las funciones y sus composiciones. Regla de la cadena. 7. Saber utilizar la derivada logarítmica. 8. Relacionar la derivabilidad y la continuidad. 9. Hallar la recta tangente a una función utilizando la derivada. 10. Resolver problemas de máximos y mínimos. 11. Representar funciones. 12. Saber resolver indeterminaciones de límites por L’Hôpital. 13. Hallar integrales inmediatas. 14. Utilizar los métodos de integración: por partes, por sustitución e integración de

funciones racionales de grado 2, con raíces reales. 15. Hallar integrales definidas. Regla de Barrow. 16. Hallar áreas limitadas por una función o dos funciones.

5. METODOLOGIA El aprendizaje de los alumnos debe incluir hechos, algoritmos y técnicas, estructuras conceptuales y estrategias generales. De este modo, además de los contenidos conceptuales, están presentes en la actividad matemática los procedimientos que se refieren a: a) Habilidades en la comprensión y en el uso de diferentes lenguajes matemáticos. b) Técnicas, rutinas y algoritmos particulares que tengan un propósito concreto. c) Estrategias generales necesarias en la resolución de problemas.

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d) Decisiones ejecutivas y de control utilizadas al hacer un plan y llevarlo a cabo para plantear y resolver un problema, así como tomar decisiones sobre los conceptos, los algoritmos o las estrategias que se van a emplear. Las Matemáticas han de ser presentadas a los alumnos como un conjunto de conocimientos y procedimientos en continua evolución, resaltando los aspectos inductivos y constructivos. Hay que usar tanto el razonamiento empírico inductivo como el razonamiento deductivo. La resolución de problemas, relacionados con los contenidos estudiados, pretende desarrollar hábitos y actitudes propios del modo de hacer matemático, a la vez que permite formular preguntas, seleccionar estrategias y tomar las decisiones ejecutivas pertinentes. Estos contenidos se enfocarán con un marcado carácter transversal a lo largo del curso. La enseñanza ha de ser abierta, participativa y crítica y que estimule el contacto del alumno con la vida real. Es necesario relacionar los contenidos matemáticos con la experiencia de los alumnos, así como potenciar su aplicación en otras áreas y fuera del ámbito escolar. Para el desarrollo de cada unidad didáctica se tendrá en cuenta lo siguiente: • Cada tema será introducido en la clase por el profesor, ubicándolo dentro de la materia y en

su relación con otras disciplinas del curso. Se hará un sondeo sobre los conocimientos que el alumno tiene acerca del tema a tratar, y a partir de ahí se proporcionará una motivación para desarrollar el tema.

• Explicaciones a cargo del profesor. Los contenidos deben estar explicados de tal manera que permitan extensiones y gradación para su adaptabilidad a los distintos ritmos de aprendizaje.

El proceso a seguir en la explicación: -Breves introducciones que centran y dan sentido y respaldo intuitivo a lo que se hace. -Desarrollos escuetos. -Procedimientos muy claros. -Una gran cantidad de ejercicios bien elegidos, secuenciados y clasificados, para reforzar y consolidar los contenidos expuestos.

• Se resolverán problemas, incluidas las aplicaciones del tema a situaciones de la vida ordinaria. Serán de enseñanza-aprendizaje para reforzar y ampliar (dependiendo del grado de dificultad) los conocimientos adquiridos previamente. Práctica y consolidación de técnicas y rutinas fundamentales.

• Trabajos de investigación. La matemática proporciona un excelente método para el desarrollo intelectual del alumno, y es la herramienta imprescindible para el tratamiento científico de cualquier problema. Los alumnos de este Bachillerato necesitan una sólida estructura conceptual, una buen bagaje de procedimientos y técnicas matemáticas, y una tendencia a buscar cierto rigor en lo que sabe, en cómo se aprende y en cómo se expresa. Otras orientaciones metodológicas que consideramos importantes: • Dar una solución aproximada, siempre que sea posible, antes de resolver el problema, de

manera que el alumno supere el miedo al error. • Utilizar diferentes métodos, siempre que sea posible, para resolver un problema. • Analizar el desarrollo de la resolución en cada problema, señalando y relacionando los

diferentes conceptos implicados. • Utilizar racionalmente la calculadora mediante su uso en métodos recursivos e iterativos

elementales. • Se realizarán trabajos prácticos adecuados para consolidar técnicas y rutinas fundamentales.

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• Se debe potenciar el descubrimiento de conceptos, regularidades y leyes por parte del alumno.

• La motivación continua de los alumnos formará parte de la metodología. Se procura una metodología constructivista, en la que se tiene en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes, el campo de experiencias en el que se mueven y las estrategias interactivas entre ellos y con el profesorado, para conseguir aprendizajes con mayor grado de comprensión y profundidad. Hay capacidades en Matemáticas que no se desarrollan dominando con soltura algoritmos y técnicas. Son capacidades de resolución de problemas, elaboración y comprobación de conjeturas, abstracción, generalización... 6. TEMAS TRANSVERSALES

La transversalidad educativa cabe entenderla de dos formas: • Relación entre los contenidos de distintas áreas. • Aplicación de los contenidos a materias que, por sí mismas, no constituyen objeto de estudio

en esta etapa de la enseñanza. La primera de las dos abundará en una formación integral del alumno, quien mostrará interés por un mayor número de asignaturas. La segunda, relacionará al estudiante con su entorno de una forma inmediata y real. Las Matemáticas, además de su carácter instrumental, tienen sobre todo un carácter formativo. Pueden y deben entenderse como auxiliares de otras disciplinas para facilitar su comprensión y comunicación. El currículo de Bachillerato señala que deben contibuir a la formación de los alumnos y las alumnas como ciudadanos consumidores, sensibles al medio ambiente, preocupados por mantener una buena salud física y mental, educados para la paz, la igualdad de oportunidades entre los dos sexos, etc. Se trata de temas que deben abordarse desde cada una de las disciplinas del currículo según las posibilidades. RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS II CON LOS TEMAS TRANSVERSALES: Educación para el consumo • Los números, aplicados a las oscilaciones de los precios, a situaciones problemáticas

relativas a transacciones comerciales, interés bancario, pagos aplazados… • Los números para la planificación de presupuestos. • Planteamiento de ecuaciones para resolver problemas de consumo. • Tratamiento estadístico de la información relativa a los intereses del consumidor: consumo,

evolución de precios y mercados, inflación, situaciones económicas de empresas o instituciones…

Educación para la salud • Estudio sobre estadísticas referentes a hábitos de higiene. Representación gráfica. • Estudio estadístico sobre la incidencia de ciertas enfermedades comparándola con los

hábitos de los pacientes, con los lugares en los que viven, con las condiciones higiénicas generales, con su estado físico habitual…

Educación moral y cívica • Estudio de la ley electoral en vigor en España y comparación con otros procedimientos de

reparto (proporcional al número de votantes, por ejemplo). • Estudio del comportamiento cívico de un grupo de ciudadanos ante una cierta situación,

clasificándolos por grupos de edades, por sexo, etc. Representación gráfica.

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Educación para la paz • Utilización de los números y sus operaciones para obtener resultados, sacar conclusiones y

analizar de forma crítica fenómenos sociales, distribución de la riqueza, etc. • Estudio sobre el aumento de inmigrantes en una cierta zona y comportamiento del resto de

los ciudadanos ante este hecho. Educación para la igualdad de oportunidades • Realización de estudios sociales referentes a hombre/mujer (trabajo en una cierta actividad,

remuneración), e interpretación de posibles discriminaciones entre sexos. • Representación gráfica de los estudios realizados. Educación ambiental • Búsqueda de información sobre ecuaciones que rigen el crecimiento de ciertas especies

animales. Determinación del aumento o disminución de la población de dichas especies en cierto período de tiempo.

• Estudios estadísticos sobre desastres ecológicos que hayan tenido lugar en zonas diferentes. Educación vial • Búsqueda de la expresión analítica del movimiento de un vehículo que circula a una cierta

velocidad. Estudio de posibles incidencias en ese movimiento y consecuencias que se pueden derivar.

• Estudio estadístico sobre accidentes de tráfico, estableciendo relaciones con la edad del conductor del automóvil, época del accidente, lugar, condiciones atmosféricas, etc.

7. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS. − Libro de texto “Matemáticas II” de la editorial Anaya. − Calculadora científica. 8. MÉTODO DE EVALUACIÓN Y DE CALIFICACIÓN. RECUPERACIONES. Dividimos la materia en tres períodos de evaluación. En cada evaluación se harán dos pruebas escritas, para ver si el alumno ha adquirido los conocimientos suficientes. El criterio de calificación a seguir para los alumnos de 2º de Bachillerato de Ciencias y Tecnología será el siguiente en cada evaluación:

Los exámenes escritos contaran el 90% de la nota ,estando estos ponderados. El primer examen de cada evaluación, contará el 30 % y el examen de evaluación, en el cual entrará toda la materia de evaluación, contará el 60%.

El otro 10% de la nota se distribuirá entre las hojas de problemas propuestas para casa, una media de 4 por evaluación:

Cada hoja de problemas entregada en la fecha indicada con más de la mitad de los ejercicios hechos de forma correcta, será un ( +).

Cada hoja entregada en la fecha indicada con menos de la mitad de ejercicios hechos de

forma correcta, será ( =). Cada hoja no entregada en la fecha indicada ,será un ( - ). Los positivos y negativos se contrarrestan y los iguales dejan indiferentes. Al final de la evaluación se repartirá O,25 por cada positivo, no pudiendo superar el 1.y

se restará 0,25 por cada negativo , no pudiendo restar más de 1 punto. Después de cada evaluación, se hará un examen de recuperación con toda la materia, para todos los alumnos, que servirá de recuperación para los alumnos evaluados negativamente

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y para todos ellos una nota más para la siguiente evaluación. La nota de este examen será la primera nota de la evaluación siguiente con un valor del 30 %. La nota final será la media aritmética de las tres evaluaciones, debiendo obtener al menos un cinco para superar la asignatura. Sólo se calculará la media si en todas y cada una de las evaluaciones se ha obtenido una nota superior ó igual a 4. En el mes de septiembre se realizará una prueba única extraordinaria, basada en los contenidos y objetivos mínimos marcados en la programación, para aquellos alumnos cuya evaluación final de junio haya sido negativa. Para superar la asignatura será necesario alcanzar al menos un cinco. Criterios de calificación

Para la calificación de cada evaluación se tendrá en cuenta lo siguiente: 1. Trabajos : 10 % 2. Pruebas escritas: 90 %. El 30 % para la prueba intermedia y de

recuperación y el 60% para las globales de evaluación . La calificación final de junio será la media aritmética de la nota de las tres

evaluaciones y la prueba final del curso. El sistema de redondeo será el siguiente: Si las décimas son 7 o superior a 7 se pasará a

la siguiente unidad entera.

9. UTILIZACIÓN DE LAS TIC. Se utilizará la calculadora. 10.ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES. No se ha previsto llevar a cabo ninguna actividad extraescolar en este curso.

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