Matemáticas Financieras - Jorge Luis González …...5 Matemáticas financieras Matemáticas...
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Matemáticas financieras
Semestre 3
Tabla de contenido Página
Introducción 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual fascículo 2 1
Logros 2
Interés Simple e Interés Compuesto 2
Interés simple 7
Monto 7
Capital 9
Tasa de interés 10
Tiempo 11
Interés compuesto 12
Valor futuro 13
Valor presente 15
Tasa de interés (Interés compuesto) 16
Tiempo 18
Actividad de trabajo colaborativo 19
Resumen 20
Bibliografía recomendada 20
Nexo 21
Seguimiento al autoaprendizaje 23
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórico – Práctica
Matemáticas
financieras Semestre 3
Matemáticas financieras
Copyright©2008 FUNDACIÓÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN
Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,
“Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización
por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚÚA
Tutor Programa Administración de Empresas
Sede Bogotá, D.C.
Revisión de estilo y forma;
ELIZABETH RUIZ HERRERA
Directora Nacional de Material Educativo.
DIEGO ORTÍZ MONCADA
Tutor Facultad de Universidad Abierta y a Distancia
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ
ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogotá, D.C., octubre de 2009.
Conformato:Español(alfab.internacional)
Conformato:Español(alfab.internacional)
Conformato:Español(alfab.internacional)
1
Fascículo No. 2
Semestre 3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Interés
Simple
Generalidades
Interés
Compuesto
Operaciones financieras complejas
Con base en
y operaciones dey operaciones de
Que apoyan el Es posible resolver
Introducción
La conceptualización y desarrollo de los problemas contenidos en este
fascículo, le brindan al estudiante unos escenarios claros de aplicación de
variables financieras en las organizaciones y le proporcionan una visión
cercana de su quehacer profesional en el área financiera.
El uso correcto de los esquemas de trabajo propuestos, le permitirá al
estudiante desempeñarse con acierto en el estudio de presupuestos y
fomentará el desarrollo de una estructura mental adecuada para el
abordaje de sencillas situaciones de inversión, financiación y operación.
De igual manera, se analizará el manejo de créditos particulares y banca-
rios, así como la práctica de inversiones privadas y sus implicaciones, ya
que son temas apasionantes que se abordarán con profundidad, a partir
de una clara didáctica .
Conceptos previos
Para una mejor comprensión de las transacciones propuestas en el
fascículo, el estudiante debe consultar las tasas de captación y de
colocación del mercado financiero.
Mapa conceptual fascículo 2
2
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capa-
cidad de:
Interpretar y proponer soluciones específicas a problemas organizacio-
nales referentes a operaciones financieras de Interés Simple y Comp-
uesto.
Explicar y construir ecuaciones, tablas y diagramas para la argumen-
tación de situaciones financieras y expresar con suficiencia sus alcances.
Proponer la solución de problemas reales por medio de la incorporación
de problemas financieros concretos con cifras y tasas del mercado.
Interés Simple e Interés Compuesto Generalidades
En el fascículo 1 se hizo referencia a la Capitalización de Intereses, como
la diferencia entre el Interés Simple y el Interés Compuesto y se definieron
los símbolos a utilizar para estas dos clases de interés.
Antes de analizar cada una de las variables que intervienen en estas
operaciones, realizaremos algunas observaciones importantes para un
adecuado estudio del tema y un paralelo por medio de ejemplos, con el fin
de demostrar los efectos de la capitalización de intereses y evidenciar sus
alcances e implicaciones.
Ejemplo 1
Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa de interés del 3%
mensual, durante 4 meses. Se requiere calcular los intereses generados y
la suma final acumulada (Monto o Valor Futuro), tanto a Interés Simple
como a Interés Compuesto.
Para la mejor comprensión de este ejemplo, se construirá progresivamente
una tabla donde se realizarán las observaciones del caso:
LogrosLogrosLogros
3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
CitI
PinI
De acuerdo con la simbología indicada al final del fascículo 1.
C i t I P i n I
1 1.000.000 0,03 1 30.000 1 1.000.000 0,03 1 30.000
Interés Simple Interés Compuesto
MesCapital
Tasa de
interésTiempo Interés
Mes
Valor
presente
Tasa de
interésTiempo Interés
C i t I P i n I
1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000
2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900 0,031.000.000 0,03
Interés Simple Interés Compuesto
MesCapital
Tasa de
interésTiempo Interés
Mes
Valor
presente
Tasa de
interésTiempo Interés
Tabla 2.1 Primer período de intereses.
La operación consignada en la Tabla 2.1 fue realizada con base en la
fórmula 1.2 (fascículo 1).
Para Interés Simple:
Para Interés Compuesto:
En esta tabla (2.1) se observa que al calcular los intereses del primer
período no se presenta ninguna diferencia. Esto es así, por cuanto no se
ha iniciado la capitalización de ese interés, hallado en el interés com-
puesto.
Ahora se calculará el interés (I) para el segundo período:
Tabla 2.2 Segundo período de intereses.
En la Tabla 2.2 se observa:
4
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Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
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C i t I P i n I
1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000
2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900
3 1 30.000 3 1.060.900 1 31.827
4 1 30.000 4 1.092.727 1 32.781,81
1.000.000 0,03 0,03
Valor
presente
Tasa de
interésTiempo Interés
Interés Simple Interés Compuesto
MesCapital Tiempo Interés
Tasa de
interés Mes
Respecto del Capital:
En el Interés simple, el capital (C) permanece constante en $1.000.000,
es decir, no se modifica;
En el Interés Compuesto, el capital o Valor Presente (P) se ha incremen-
tado al capitalizarse los primeros $30.000 de intereses generados el
primer período y su valor es $1.030.000.
Respecto de los intereses:
En el Interés Simple, el interés (I) del segundo período permanece cons-
tante en $30.000;
En el Interés Compuesto, el Interés (I) del segundo período se ha incre-
mentado debido al mayor valor del capital y para el segundo período es
de $30.900.
Al continuar con este procedimiento durante los meses restantes, se
obtiene el comportamiento reflejado en la siguiente tabla (2.3):
Tabla 2.3 Cálculo paralelo de intereses.
Ahora se calcula la Suma Final Acumulada (Monto o Valor Futuro). Para
ello, se toma el capital inicial y se adicionan los intereses:
Interés Simple: M = $1.000.000 + 120.000 = $1.120.000
Interés Compuesto: F = $1.000.000 + 125.508,81
= $1. 125.508,81
5
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Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
ICM IPF
En este punto se puede confirmar que el Monto (M) o Valor Futuro (F) se
expresa, de acuerdo con la fórmula 1.3 (fascículo 1), así:
Interés Simple
Interés Compuesto
Respuesta: En el interés Simple el total de intereses (I) fue de $120.000 y
el Monto (M) fue de $1.120.000. En el Interés Compuesto el total de
intereses (I) fue de $125.508,81
y el Valor Futuro (F) fue de $1.125.508,81
Albert Einstein en una de sus frases, afirmó: “El Interés Compues-
to es la fuerza más poderosa de la galaxia”. Esta afirmación se
sustenta en la capacidad que tiene el dinero para reproducirse en
forma geométrica, al aumentarse periódicamente el capital inicial,
por efectos de la capitalización de intereses. Con este fenómeno
se pretende que el dinero conserve su poder adquisitivo. Por esto,
el Interés Simple se utiliza sólo excepcionalmente, ya que, al no
capitalizar los intereses, estos pierden poder adquisitivo con el
tiempo.
Ejemplo 2
Calcular los intereses y la Suma Final Acumulada de un capital de
$100.000 invertidos a una tasa de interés del 5% mensual durante 24
meses. Representar esta transacción por medio de una gráfica y
considerar el caso de Interés Simple e Interés Compuesto.
Para establecer el comportamiento de los intereses en cada una de las dos
alternativas, se realizará un paralelo que visualmente permita verificar las
diferencias. Se aproximan las cifras a la unidad:
6
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Matemáticas
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0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Mon
to (P
esos
)
Tiempo (Meses)
Mes Capital
Interés
por
período
Acumulado
por períodoMes Capital
Interés
por
período
Acumulado
por período
1 100.000 5.000 105.000 1 100.000 5.000 105.000
2 100.000 5.000 110.000 2 105.000 5.250 110.250
3 100.000 5.000 115.000 3 110.250 5.513 115.763
4 100.000 5.000 120.000 4 115.763 5.788 121.551
5 100.000 5.000 125.000 5 121.551 6.078 127.628
6 100.000 5.000 130.000 6 127.628 6.381 134.010
7 100.000 5.000 135.000 7 134.010 6.700 140.710
8 100.000 5.000 140.000 8 140.710 7.036 147.746
9 100.000 5.000 145.000 9 147.746 7.387 155.133
10 100.000 5.000 150.000 10 155.133 7.757 162.889
11 100.000 5.000 155.000 11 162.889 8.144 171.034
12 100.000 5.000 160.000 12 171.034 8.552 179.586
13 100.000 5.000 165.000 13 179.586 8.979 188.565
14 100.000 5.000 170.000 14 188.565 9.428 197.993
15 100.000 5.000 175.000 15 197.993 9.900 207.893
16 100.000 5.000 180.000 16 207.893 10.395 218.287
17 100.000 5.000 185.000 17 218.287 10.914 229.202
18 100.000 5.000 190.000 18 229.202 11.460 240.662
19 100.000 5.000 195.000 19 240.662 12.033 252.695
20 100.000 5.000 200.000 20 252.695 12.635 265.330
21 100.000 5.000 205.000 21 265.330 13.266 278.596
22 100.000 5.000 210.000 22 278.596 13.930 292.526
23 100.000 5.000 215.000 23 292.526 14.626 307.152
24 100.000 5.000 220.000 24 307.152 15.358 322.510
Interés Simple Interés Compuesto
Tabla 2.4 Cálculo paralelo de Intereses y Suma Final Acumulada.
En la Tabla 2.4 se observa cómo la operación bajo el esquema de Interés
Simple presenta un comportamiento lineal, mientras que el crecimiento
bajo el esquema de Interés Compuesto se comporta de manera geo-
métrica. Esto se confirma con la siguiente gráfica (figura 2.1) que ilustra el
fenómeno:
Figura 2.1 Tendencias de Interés Simple y Compuesto.
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
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)1( itCM (Fórmula 2.1)
Ahora se establece el Interés (I) a partir de los resultados de la Tabla 2.4,
restando el capital inicial de la Suma Final Acumulada (Monto o Valor
Futuro), despejando I en la fórmula 2.1 (página 10), así:
Interés Simple: I = $220.000 - 100.000 = $120.000
Interés Compuesto: I = $322.510 - 100.000 = $222.510
Respuesta: A Interés Simple los intereses (I) fueron de $120.000 y el
Monto (M) fue de $220.000 y a Interés Compuesto los intereses (I) fueron
de $222.510 y el Valor Futuro (F) fue de $322.510.
2.1
Proponga 2 casos de transacciones comerciales donde sea posible
aplicar el esquema de Interés Simple y de Interés Compuesto. Realice
las tablas y gráficas de comparación entre las dos alternativas y
socialícelas con el tutor.
Interés Simple
Como se planteó anteriormente, el interés simple parte de la condición de
que los intereses generados por un capital no producen nuevos intereses.
El Capital (C) permanece invariable con el tiempo, por lo tanto los intereses
(I) se calculan siempre de la misma forma y teniendo como base los
mismos valores.
Monto
Ahora se va a establecer la fórmula abreviada de Monto (M), de acuerdo
con la combinación de las fórmulas 1.2 y 1.3 (fascículo 1), de esta manera:
Se plantea que el Monto es: M = C + I
y que el interés, es: I = Cit
Esto quiere decir que el Monto, es: M = C + Cit
y factorizando esta expresión se obtiene la fórmula de Monto a Interés
Simple:
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
Como puede observarse, es posible determinar el Monto (M) de varias
formas: una de estas es hallar los intereses (I) en cada período para
sumarlos al Capital (C); otra forma es utilizar la fórmula abreviada para
establecer el Monto (M) partiendo de un Capital (C), una tasa de interés (i)
y un tiempo (t).
Para ilustrar el manejo de esta fórmula se resolverán los ejemplos 1 y 2 de
este fascículo de manera abreviada:
Recuerde el ejemplo 1. “Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa
de interés del 3% mensual, durante 4 meses”. Se debe calcular el Monto
(M) a Interés Simple, así:
M = C (1+it)
M = 1.000.000 (1 + 0,03 * 4)
M = 1.000.000 (1,12)
M = 1.120.000
Respuesta: El Monto (M) a Interés Simple es de $1.120.000
* * *
Ahora, se resuelve el ejemplo 2. “Calcular los intereses y la Suma Final
Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de interés del
5% mensual durante 24 meses”. Para este efecto, sólo se calculará el
Monto (M) a Interés Simple, así:
M = C (1+it)
M = 100.000 (1 + 0,05 * 24)
M = 1.000.000 (2,2)
M = 220.000
Respuesta: el Monto (M) a Interés Simple es de $220.000
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
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Ejemplo 3
Se ha firmado un pagaré por $12.000.000, para ser cancelado dentro de 9
meses y se ha pactado una tasa de interés del 6,5% trimestral simple.
Determinar cuál es su valor al vencimiento.
En primer lugar, se ha de precisar que: como la tasa de interés (i) está
expresada en forma trimestral, entonces el tiempo habrá de manejarse
como 3 trimestres, con la fórmula, así:
M = C (1+it)
M = 12.000.000 (1 + 0,065 * 3)
M = 12.000.000 (1,195)
M = 14.340.000
Respuesta: el Monto (M) a Interés Simple es de $14.340.000
Capital (C)
Es frecuente que en las transacciones financieras se desee conocer el
valor del capital que requiera ser invertido, para obtener al cabo de un
tiempo cierto Monto, con el que se ha de cancelar una deuda o realizar
una inversión en el futuro.
En estos casos, se despejará el Capital (C) de la fórmula de Monto a
Interés Simple, así:
)1( it
MC
también se puede expresar:
1)1( itMC
Es importante aclarar, que estas NO son nuevas fórmulas. Simplemente
constituyen el despeje de la variable C, en la fórmula 2.1.
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
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Semestre 3
Las tasas de interés se
consideran anuales, a
menos que expresa-mente
se indique otra unidad de
tiempo.
Ejemplo 4
Debo cancelar el saldo de un crédito bancario por valor de $8.000.000
dentro de seis meses. Tengo la oportunidad de invertir en un fondo de
inversión a una tasa de interés del 5,5% bimensual simple, (superior a la
que cobra el banco). ¿Qué cantidad se debe invertir para obtener los
$8.000.000?
Se utiliza la fórmula de Capital
)1( it
MC
y se reemplaza:
)3*055,01(
000.000.8
C =
165,1
000.000.8 = 6.866.952
79
Obsérvese que el tiempo fue expresado en bimestres (3 bimestres que
equivalen a 6 meses), debido a que la tasa de interés es bimensual.
Respuesta: se debe realizar una inversión de $6.866.95279
para obtener
$8.000.000, dentro de 6 meses a una tasa del 5,5% bimensual simple.
Tasa de Interés (i)
Entendida como el porcentaje del capital que se paga por su uso, la tasa
de interés de una transacción debe expresarse en una unidad de tiempo,
por ejemplo, 2,2% mensual, 26% anual ó 7,5% trimestral, entre otras.
Además, al momento de efectuar las operaciones correspondientes, la tasa
de interés y el tiempo deben estar en la misma unidad. Esto es: si la tasa
de interés es anual, el tiempo debe estar expresado en años; si la tasa de
interés es semestral, el tiempo debe estar expresado en semestres, etc.
En algunas ocasiones, se invierte un capital (C) y se pacta un Monto (M) a
cancelar durante un determinado tiempo (t), por lo que es necesario
establecer qué tasa de interés (i) se aplicó en esa operación. También es
posible que deba calcular a qué tasa de interés (i) se debe invertir un
capital (C) para obtener un Monto (M) en cierto tiempo (t).
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
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Semestre 3
En este caso, se despejará la variable Tasa de Interés (i) en la fórmula 2.1
de Monto a Interés Simple, así:
t
CMi
1
Ejemplo 5
¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron, si por tomar $4.800.000
en préstamo, tuvo que cancelar un total de $6.000.000 en 4 meses?
Se utiliza la fórmula de Tasa de interés
t
CMi
1 y se reemplaza:
t
CMi
1 =
4
1)000.800.4/000.000.6( = 0625,0
Respuesta: La tasa de interés que recaudó en la transacción fue del 6,25%
mensual simple (la tasa de interés (i) es mensual, porque el tiempo (t) ha
sido operado en meses).
Tiempo (t)
Es el lapso que transcurre entre el principio y el fin de una transacción. Si
se requiere conocer el tiempo en el que un Capital (C) debe estar invertido
para obtener determinado Monto (M), entonces se debe despejar el
Tiempo (t) de la fórmula 2.1, así:
i
CMt
1
Ejemplo 6
Se depositan $20.000.000 en un fondo que reconoce una tasa de interés
del 2,5% trimestral simple, ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para poder
retirar un total de $21.500.000?
Se utiliza la fórmula de Tiempo
i
CMt
1 y se reemplaza:
12
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
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Semestre 3
i
CMt
1 =
025,0
1)000.000.20/000.000.21( = 3
Respuesta: es necesario invertir el dinero durante 3 trimestres, es decir,
durante 9 meses.
Nótese que la respuesta inicialmente se redactó en la misma unidad en
que se operó la tasa de interés, es decir, trimestralmente.
Lo usual es presentar los resultados del tiempo en términos de años,
meses y días, en lo posible, ya que es más natural su expresión. Para ello
se deben realizar las conversiones pertinentes entre las diferentes
unidades de tiempo.
Resumen de fórmulas derivadas de la fórmula 2.1
)1( itCM (Fórmula 2.1)
Despeje de Capital: )1( it
MC
Despeje de Tasa de interés:
t
CMi
1
Despeje de Tiempo:
i
CMt
1
2.2
Consulte y explique al menos dos usos diferentes de las fórmulas de:
Capital (C), Tasa de Interés (i) y Tiempo (t) a Interés Simple.
Interés Compuesto
La mayoría de las operaciones económicas, comerciales y financieras se
desarrollan bajo esquemas matemáticos de Interés Compuesto. Ejemplos
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
En matemáticas financieras,
gradientes son anualidades
o series de pagos periódicos,
en los cuales cada pago es
igual al anterior más una can-
tidad; esta cantidad puede
ser constante o proporcional
al pago inmediatamente ante-
rior. El monto en que varía
cada pago determina la clase
de gradiente. (Tomado de
http://www.eumed.net/libros/
2006b/cag3/2e.htm).
VPN: Valor Presente Neto.
TIR: Tasa Interna de Retorno.
Ambos son indicadores de
evaluación financiera de pro-
yectos.
de esto son: el caso de los salarios, las cuotas de vivienda, los precios de
bienes y servicios, arrendamientos, gastos de educación, y cuentas de
ahorros, entre otros, que cada año se incrementan con base en su valor
acumulado.
En adelante, en esta asignatura se utilizará el Interés Compuesto como
base para el abordaje de todos los problemas que se irán planteando y
resolviendo. La aceptación universal de estos esquemas, ha hecho que los
programas por computador e incluso las hojas de cálculo que ejecutan
funciones financieras, lo hagan bajo conceptos de acumulación de
intereses.
Las operaciones tradicionales de anualidades, gradientes, amortizaciones
y pagos parciales; así como las operaciones complejas de evaluación
financiera de proyectos de inversión, como VPN y TIR, responden a los
principios del Interés Compuesto.
Es por esta razón que se ha decidido independizar los símbolos con el
Interés Simple, para marcar una diferencia entre los dos esquemas de
trabajo y, adecuar el estudio del Interés Compuesto a las tendencias de
nomenclatura para el desarrollo de software con aplicación y aceptación
internacional.
Valor Futuro (F)
También conocido como Monto a Interés Compuesto, consiste en la
acumulación sistemática del Interés Simple durante n períodos.
La fórmula de Monto a Interés Simple es la base para la construcción de la
fórmula de Valor Futuro, que permite ahorrar tiempo y recursos en el
fatigoso cálculo de sumas parciales por cada período.
La construcción del modelo de Interés Compuesto, tal como se desarrolló
en las Tablas 2.3 y 2.4, indica que en cada período el cálculo del Monto
14
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
Compuesto parte del inmediatamente anterior. Los cálculos se realizan de
la siguiente forma:
Para el primer período: M = C(1+i)
Para el segundo período: M = C(1+i) (1+i) = C(1+i)2
Para el tercer período: M = C(1+i) (1+i)(1+i) = C(1+i)3
De esta manera, al generalizar a n períodos de tiempo, se encuentra la
fórmula de Valor Futuro a Interés Compuesto:
niPF )1( (Fórmula 2.2)
Para ilustrar el manejo de esta fórmula se resolverán los ejemplos 1 y 2 de
este fascículo, a Interés Compuesto, de manera abreviada:
El ejemplo 1 planteaba: “Se realiza una inversión de $1.000.000 a una tasa
de interés del 3% mensual, durante 4 meses”. Se debe calcular el Valor
Futuro (F) a Interés Compuesto, así:
F = P (1+i)n
F = 1.000.000 (1+0,03)4
F = 1.000.000 (1,12550881)
F = 1.125.50881
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto es de $1.125.508
81
* * *
En el ejemplo 2, se pedía “Calcular los intereses y la Suma Final
Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de interés del
5% mensual durante 24 meses”. Para este efecto, sólo se calculará el Valor
Futuro (F) a Interés Compuesto, así:
F = P (1+i)n
F = 100.000 (1+0,05)24
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Fascículo No. 2
Semestre 3
F = 100.000 (3,22510)
F = 322.510
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto, es de $322.510.
Ejemplo 7
Hoy consigno, $3.000.000 en una cuenta bancaria que paga intereses a la
tasa del 1,2% trimestral vencido. ¿Cuánto dinero tendré acumulado en la
cuenta dentro de quince meses?
La tasa de interés tiene capitalización trimestral, por esta razón el tiempo
se expresará en trimestres.
Los datos en este problema son:
P = $3.000.000; i = 0,012 trimestral; n = 5 trimestres
Aplicando la fórmula de Valor Futuro, se tiene:
F = P (1+i)n
F = 3.000.000 (1+0,012)5
F = 3.000.000 (1,061457384)
F = 3.184.37215
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Interés Compuesto es de $3.184.372
15
Valor Presente (P)
También conocido como Valor Actual, es aquella cantidad que a Interés
Compuesto tendrá un valor equivalente con una o varias sumas de dinero
ubicadas en el futuro, dada una tasa de interés y un tiempo pactado. Es el
equivalente a un valor futuro, en una fecha anterior.
Para determinar la cuantía de un Valor Presente (P), conociendo el Valor
Futuro (F), la tasa de interés (i) y el Tiempo (t), se despeja la fórmula 2.2,
así:
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Semestre 3
ni
FP
)1(
también se puede expresar:
niFP )1(
Ejemplo 8
Se firmó un Pagaré con un banco por valor de $18.000.000 que vence
dentro de seis meses. Si se quiere saldar la deuda el día de hoy, qué valor
se debe cancelar, teniendo en cuenta que la tasa de interés pactada fue
del 2,3% mensual.
Los datos en este problema son:
F = $18.000.000; i = 0,023 mensual; n = 6 meses
Aplicando la fórmula de Valor Presente, se tiene:
P = F (1+i)-n
P = 18.000.000 (1+0,023)-6
P = 18.000.000 (0,872461352)
P = 15.704.30433
Respuesta: el Valor Presente (P) a Interés Compuesto es de $15.704.304
33
Tasa de Interés (i) (Interés compuesto)
Para el Interés Compuesto, la variable Tasa de Interés cobra una impor-
tancia y una complejidad significativa, teniendo en cuenta que las conver-
siones de tasas en sus diferentes períodos no se realizan directamente (2%
mensual no es equivalente a 24% anual o a 12% semestral), sino que
requieren de fórmulas matemáticas para operarlas.
Esta situación ha provocado en el mercado financiero, la distinción de
tasas denominadas: efectivas, nominales y periódicas; a pesar de que la
regla es utilizar tasas vencidas, también se encuentran escenarios donde
se requiere la aplicación de tasas anticipadas en sus diferentes deno-
minaciones.
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Fascículo No. 2
Semestre 3
Estas y otras tasas y sus equivalencias, serán tratadas con detalle en el
fascículo 3, en el apartado “Tasas de Interés” donde se explicarán y apli-
carán a problemas cotidianos con el fin de analizar las tareas financieras
en las organizaciones.
En este fascículo, se analizarán los alcances de las tasas de interés en
operaciones financieras en las que entran en juego un Valor Presente (P) y
un Valor Futuro (F) , por lo que entre ellos dos, media un tiempo (n).
Al despejar esta variable en la fórmula 2.2, la Tasa de Interés se explica así:
1 n PFi .
No obstante, en pro de facilitar este tipo de cálculo se sugiere el manejo de
la siguiente fórmula:
1
/1
n
P
Fi
Ejemplo 9
Hace 12 meses se depositaron $10.000.000 en una cuenta de ahorros. El
día de hoy, se han acumulado $11.268.25030
en la cuenta ¿Qué tasa de
interés se aplicó durante el tiempo transcurrido?
Los datos en este problema son:
P = $10.000.000; F = $11.268.25030
; n = 12 meses
Aplicando la fórmula de Tasa de Interés, se tiene:
1
/1
n
P
Fi 1
000.000.10
30,250.268.1112/1
01,0
Respuesta: la tasa de Interés que se aplicó fue del 1% mensual.
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Semestre 3
Obsérvese que el resultado de la tasa de interés se ha expresado
“mensual”. Esto se debe a que el tiempo de transacción es dado en forma
mensual dentro de la ecuación. Si se expresara el tiempo en años, la
respuesta sería en otro sentido, veamos:
Los datos en este problema se plantean así:
P = $10.000.000; F = $11.268.25030
; n = 1 año.
Aplicando la fórmula de Tasa de Interés, se tiene:
1
/1
n
P
Fi 1
000.000.10
30,250.268.111/1
1268253,0
Respuesta: la Tasa de Interés que se aplicó fue del 12,68253% anual.
Ahora bien, la respuesta se expresa en forma anual, ya que el tiempo
operó en años en la ecuación.
De estos resultados se puede concluir que una tasa del 1% mensual, es
equivalente a una tasa del 12.68253% anual (y no del 12% anual como
podría pensarse). Esta situación será objeto de análisis profundo en el
fascículo 3.
Tiempo (n)
Si se conoce el Valor Futuro (F), el Valor Presente (P) y la Tasa de Interés
(i), es posible hallar el Tiempo (t) de la transacción, al despejar la variable
en la fórmula 2.2, aplicando logaritmos de la siguiente manera:
iLog
PFLogn
1
Ejemplo 10
¿En qué tiempo una inversión de $20.000.000 se convierte en
$24.686.04622
, considerando una tasa de interés del 4,3% bimensual?
Los datos en este problema son:
P = $20.000.000; F = $24.686.04622
; i = 4,3% bimensual
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Fascículo No. 2
Semestre 3
Aplicando la fórmula de Tiempo, se tiene:
iLog
PFLogn
1
043,01
000.000.2022,046.686.24
Log
Log
5n
Respuesta: El tiempo que se requiere es de 5 bimestres, es decir, 10
meses.
Nótese que la tasa de interés estaba expresada en bimestres, por lo que la
respuesta fue presentada inicialmente en la misma unidad.
Resumen de fórmulas derivadas de la fórmula 2.2
niPF )1( (Fórmula 2.2)
Despeje del Valor Presente:
niFP )1(
Despeje de Tasa de interés: 1
/1
n
P
Fi
Despeje de Tiempo:
iLog
PFLogn
1
En grupos de tres estudiantes, realicen una investigación de campo y determinen:
qué tasas de interés de captación (en cuentas de ahorro, corrientes y CDT’s) y de
colocación se manejan actualmente en al menos 5 entidades financieras (su valor
y presentación en unidades de tiempo). Socialicen los resultados con el tutor para
su retroalimentación.
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Matemáticas financieras
Matemáticas
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Fascículo No. 2
Semestre 3
La correcta combinación de las variables de una transacción financiera
donde aparecen: un Capital (C) o Valor Presente (P), una Tasa de Interés
(i) y un Tiempo (t) (n), arrojan como resultado el Interés (I). Este interés
puede ser considerado desde dos alternativas: Simple o Compuesto.
En el Interés Simple, el capital permanece constante durante el tiempo de
la transacción y los Intereses se liquidan por la misma cantidad. En el
Interés Compuesto, los intereses generados en cada período se convierten
en capital y producen nuevos intereses.
Al finalizar, el cómputo total de los intereses se suma al capital y confor-
man una nueva variable: el Monto (M) o Valor Futuro (F). Las transacciones
financieras, por regla general, se calculan bajo esquemas de Interés
Compuesto, cuya fórmula es: niPF )1(
AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 2001.
BACA CURREA, Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).
CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.
Primera edición. México: Trillas, 2004
CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:
CECSA, 1999. (Texto guía).
DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 1997.
GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,
2000. (Texto guía).
PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:
Mc Graw Hill, 1997.
SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.
Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.
En el Fascículo 3, se analizarán con profundidad los alcances de las tasas
de interés y sus equivalencias, para lograr una percepción correcta de los
efectos del costo del dinero en el tiempo. Además, se introducen en este
estudio, operaciones más complejas de valores equivalentes en el tiempo.
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Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Matemáticas Financieras - Fascículo No. 2
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad___________________________________Semestre: _______________
Resuelva las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta, con
el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:
1. El cálculo del salario mínimo en cada año responde al esquema planteado en
operaciones de:
A. Interés simple: porque la base de cálculo de cada año es la misma.
B. Interés simple: porque el incremento en pesos es constante para cada
uno de los años siguientes.
C. Interés compuesto: porque el cálculo se realiza sobre el último valor
acumulado.
D. Interés compuesto: porque la tasa de interés de incremento es anual.
2. Al invertir una suma de $100.000.000, a una tasa de interés del 2% mensual,
durante un año, se obtienen los siguientes resultados, a Interés Simple e
Interés Compuesto, respectivamente:
A. Simple = $124.000.000 Compuesto =
$122.640.00024
B. Simple = $126.400.020 Compuesto =
$124.640.00024
C. Simple = $126.400.020 Compuesto =
$126.824.17946
D. Simple = $124.000.000 Compuesto =
$126.824.17946
Resuelva las preguntas 3 y 4, con base en el siguiente planteamiento:
“En el año 2000 un total de 1.500 estudiantes en la ciudad poseían un
computador en su casa. En el año 2006 este número aumenta a 2.800. Se
requiere calcular cuántos estudiantes tendrán computador en el año 2010 si se
mantiene la tasa de crecimiento”.
3. Las fórmulas que se utilizan para resolver el problema planteado son:
A. niPF )1( y
ni
FP
)1(
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Matemáticas
financieras
Fascículo No. 2
Semestre 3
B. 1
/1
n
P
Fi y
niPF )1(
C. niPF )1( y
iLog
PFLogn
1
D. 1
/1
n
P
Fi y
niFP )1(
4. La respuesta al problema es:
a. 6.422 estudiantes
b. 2.850 estudiantes
c. 4.245 estudiantes
d. 28.000 estudiantes
5. De las siguientes tasas de interés, ¿Cuál es la que mayor rentabilidad
reporta al cabo de un año?
a. 3% mensual
b. 6% bimensual
c. 9% trimestral
d. 18% semestral