Ensino Superior Matemática Básica Unidade 11.1 – Ângulos Trigonométricos Amintas Paiva Afonso.
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2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
ÂNGULOS E POLÍGONOS – QUESTÕES
ÂNGULOS E PARALELAS
QUESTÃO 1
Calcule a medida de cada um dos oito ângulos representados na figura abaixo, onde as retas r e s são paralelas e cortadas pela transversal t:
QUESTÃO 2
Calcule a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que as retas e são paralelas:
QUESTÃO 3
Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule as medidas dos ângulos internos e externos do triângulo representado na figura.
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QUESTÃO 4
Na figura abaixo, as retas r e s são cortadas por duas transversais t e u. Calcule as medidas dos ângulos x e y:
QUESTÃO 5
(Cesgranrio) As retas r e s da figura são paralelas e cortadas pela transversal t. Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale:
a) 90o b) 85o c) 80o d) 75o e) 60o
TRIÂNGULOS
QUESTÃO 1
Quantos triângulos que possuem 2 lados medindo 17cm e 25cm possuem perímetro expresso por um número inteiro de centímetros? QUESTÃO 2
Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm, qual será a medida do perímetro desse triângulo? QUESTÃO 3
Na figura abaixo, a medida de AD é igual a medida de BD. Calcule as medidas de x, y e z.
QUESTÃO 4
Calcule a soma das medidas dos ângulos assinalados na figura abaixo:
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QUESTÃO 5
(UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer quadros consecutivos, temos os três ângulos de um triângulo. Determine a medida do ângulo x:
QUADRILÁTEROS QUESTÃO 1
Uma das diagonais de um retângulo faz um ângulo de 36o com um de seus lados. Calcule o ângulo obtuso formado pelas diagonais.
QUESTÃO 2
Na figura abaixo, GBDC e GDEF são dois quadrados e AGB é um triângulo equilátero. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo AFD:
QUESTÃO 3
(FUVEST) No retângulo abaixo, o valor em graus de (α + β) é:
a)50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220
QUESTÃO 4
Na figura, BC é a bissetriz do ângulo OCD. Determine o valor de γ:
a) 40° b) 35° c) 60° d )30° e) 45°
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QUESTÃO 5
(Fuvest) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm.
A área do triângulo, em , é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
POLÍGONOS QUESTÃO 1
Qual o polígono convexo cujo número de lados é igual ao número de diagonais?
QUESTÃO 2
Qual o polígono regular que possui 20 diagonais?
QUESTÃO 3
Calcule a soma dos ângulos internos do eneágono regular.
QUESTÃO 4
Qual o polígono regular que possui ângulo interno igual a 108o?
QUESTÃO 5
Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?
QUESTÃO 6
O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular mede 30o. Quantas diagonais possui esse polígono?
QUESTÃO 7
(UERJ) Observe o desenho ao lado.
Ele representa uma folha retangular com 8 cm x 13 cm, que foi recortada formando duas figuras I e II, que, apesar de distintas, possuem a mesma área. A diferença entre o perímetro da figura I e da figura II, em cm, corresponde a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6
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QUESTÃO 8
(UERJ) Uma grade retangular é montada com 15 tubos de 40 cm na posição vertical e com 16 tubos de 50 cm na horizontal. Para esse tipo de montagem, são utilizados encaixes nas extremidades dos tubos, como ilustrado abaixo:
Se a altura de uma grade como essa é igual ao comprimento de x tubos, e a largura equivale ao comprimento de y tubos, a expressão que representa o número total de tubos usados é: a) + x + y –1 b) xy + x + y + 1 c) xy + 2x + 2y d) 2xy + x + y
GABARITOS :
Paralelas: 1) 4 de 60 e 4 de 120 2) 40 3) ângulos internos 40o , 60o e 80o ; ângulos externos 120o ; 140o e 100o 4) y = 160o x = 110o 5) A Triângulos : 1) 33 2) 90 cm 3) z = 40o ; y = 30o ; x = 80o 4 ) 180o 5 ) 15o
Quadriláteros 1) 108o 2) 75o ; 60o ; 45o 3) D 4) B 5) A Polígonos : 1) Pentágono 2) Octógono 3) 1260o 4) Pentágono 5) Octógono 6) 54 7) D 8) D
RESOLUÇÃO:
1) Solução. Os ângulos indicados são correspondentes agudos. Logo, possuem a mesma medida. Os ângulos obtusos são suplementares.
12060180)6060)60.(2)
60318060120460120430
2602)
obtusosângulosiii
agudosângulosii
xxxxxx
xi
.
Resposta: Há 4 ângulos agudos de 60° e 4 ângulos obtusos de 120°. 2)
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Solução. Observando a figura temos que: 4050909050 . 3) Solução. O ângulo interno de 60° é interno suplementar de 120°. Como as retas r e s são paralelas, os ângulos de 120° e (2x + 4x) são congruentes. Logo, 6x = 120° => x = 20°. Então o ângulo interno (2x) mede 40° e o de (4x) mede 80°. O ângulo y mede 80°, pois é alterno interno de (4x). O ângulo b é suplementar de y. Logo, b = 180° – 80° = 100°. Resposta: Se os ângulos internos medem 60°, 40° e 80°, os externos serão os respectivos suplementares 120°, 140° e 100°. 4) Solução. O ângulo x é suplementar de 70°. Logo, x = 180° - 70° = 110°. Da mesma forma, y é suplementar de 20°. Logo, y = 180° - 20° = 160°. 5) Solução. Os ângulos A e B são suplementares. Utilizando as informações, temos:
9045135)
135)45.(3,.45418018041803
3180
)
ABii
BLogoAAAAAB
ABi
.
TRIÂNGULOS 1) Solução. De acordo com a condição de existência e supondo o terceiro lado medindo L, temos:
331)941(42817251725 LLL .
Há um total de 34 triângulos possíveis. 2) Solução. O terceiro lado terá que medir 38 cm, pois se medisse 14 cm, a soma 14 + 14 < 38, não satisfaria a condição de existência. Logo, o perímetro é: 38 + 38 + 14 = 90 cm. 3) Solução. O triângulo ABD é isósceles. Escrevendo as relações angulares nos triângulos indicados, temos:
3015018018070)80180100)
408021801002)
yxyiii
xxii
zzzi
.
Resposta: x = 80°, y = 30° e z = 40°.
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4) Solução. Identificando os três triângulos na figura, temos:
180180360180180180
180360180180
180)180()180(180180
yy
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
.
5) Solução. Os três ângulos de um triângulo somam 180°. Completando os espaços indicados com ângulos a e b, temos:
15165180651001801806510080180)(180180
80100180180100
xxxbx
bbxabbxa
xaxaxa
.
QUADRILÁTEROS 1) Solução. As diagonais de um retângulo cortam-se ao meio, formando triângulos isóscels. Observando a figura, temos: x = 180° - (36° + 36°) = 108°. 2)
Solução. Os quadrados DEFG e BCDG estão justapostos e possuem as mesmas medidas. O triângulo equilátero AGB possui como base o lado BG do quadrado. Logo, FG = AG. Dessa forma o triângulo AFG é isósceles. O
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mesmo acontece com o triângulo AGD. Isósceles com AG = GD. A diagonal FD do quadrado DEFG é bissetriz do ângulo reto. Observando a figura, temos:
60154545ˆ451530ˆ
153021801502
)
75453045ˆ306021801202
)
yDÀngulo
yxAÀngulo
yyy
ii
xFÀngulo
xxxi
. Os ângulos pedidos são: 45°, 60° e 75°.
3)
a)50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 Solução. Identificando o quadrilátero cuja soma dos ângulos internos vale 360°, temos:
1301309018018040360
36090180180403609040180180180180
yx
yy
xx
.
3) Solução. Observando os ângulos indicados na figura, temos:
35145180180)1451025180º18025)
102160180180160)
yiii
yxyii
xxxi
.
5) Solução. Identificando os triângulos e calculando as áreas, temos:
211121
21
12)2).(1(
2:
1:)
21
2)1).(1(
1:
1:)
21
2)1).(1(
1:
1:)
totalÁrea
YÁreaEGaltura
BDbaseiii
YÁreaBDaltura
BCbaseii
XÁreaEFaltura
BCbasei
.
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POLÍGONOS 1) Solução. Utilizando as fórmulas convenientes, temos:
50
0)5.(05232)3.(
2)3.(
22
n
nnnnnnnnn
nn
nladosden
nnd
.
Como o número de lados não pode ser nulo, n = 5. O polígono é o pentágono. 2) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:
58
0)5).(8(0403403202)3.(
202)3.(
22
n
nnnnnnn
nn
d
nnd
.
Como o número de lados não pode ser negativo, n = 8. O polígono é o octógono. 3) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:
1260)7.(180)29.(1809
)2.(180i
i Sn
nS.
4) Qual o polígono regular que possui ângulo interno igual a 108o? Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:
572360360.72360.108.180
.108360.180108)2.(180
108
)2.(180
nnnnn
nnn
n
An
nA
i
i
.
O polígono é o pentágono. 5) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:
818014401080360.1801080360.180
1080360..180360.3)2.(180360
)2.(180
nnnn
nn
n
nn
n
nA
n
nA
e
i
.
O polígono é o octógono.
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6) Solução. Considere um polígono regular genérico mostrado na figura. Os ângulos consecutivos medem (2x). O ângulo formado por suas bissetrizes é vértice de um triângulo isósceles cujos lados congruentes são raios da circunferência circunscrita. Temos:
54)9).(6(2
)312.(122)3.()
1230360360.150.180
.150360.180150)2.(180)
150)75.(2)2()
7523018018030)
nndiv
nnn
nnn
niii
xAii
xxxi
i
.
O polígono possui 54 diagonais. 7)
Solução. Calculando os perímetros e a diferença pedida, temos:
618224218224222182855222428882:2
212
1
xxxxPPxxP
xxP.
8) Solução. Repare que o total de emendas em cada direção é sempre uma unidade a mais que o total de tubos: i) horizontal: 4 tubos. Logo 5 emendas. Em cada uma entrará uma vertical composta de 3 tubos. Logo, na vertical haverá 3.(4 + 1) = 15 tubos. ii) vertical: 3 tubos. Logo 4 emendas. Em cada uma entrará uma horizontal composta de 4 tubos. Logo, na horizontal haverá 4.(3 + 1) = 16 tubos. O total de tubos é então: T = 3.(4 + 1) + 4 (3 + 1) = 15 + 16 = 31. Considerando altura com x tubos na altura, haverá (x + 1) emendas. Logo se encaixará uma horizontal com y tubos. Da mesma forma, a largura com y tubos possui (y + 1) emendas com cada uma encaixando uma vertical com x tubos. Logo o total será: Total = y(x + 1) + x(y + 1) = xy + y + xy + x = 2xy + x + y.
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RAZÕES E PROPORÇÕES – QUESTÕES QUESTÃO 1
(ENEM) Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de
14 anos, estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 87
têm mais de 14
anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 21
têm estatura igual ou superior à mínima exigida e,
destes, 32
têm bom preparo físico. A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 32 e) 42 QUESTÃO 2
(UERJ) Muitas jóias são constituídas por ligas feitas de uma mistura de ouro puro com outros metais. Uma jóia é
considerada de ouro n quilates se 24n
de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro, maior ou igual a 1 e
menor ou igual a 24. Uma aliança de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g. Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a: a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 QUESTÃO 3
(PUC) Uma indústria opera com custo fixo de produção (sem contar os impostos) de 100 000 reais por ano e tem de pagar impostos sobre 30% de seu faturamento bruto. Quando deve faturar para que seu lucro seja de, no mínimo, 40 000 reais? a) R$500.000,00 b) R$230.000,00 c) R$140.000,00 d) R$200.000,00 QUESTÃO 4
(UERJ) Um medicamento, para ser administrado a um paciente, deve ser preparado como uma solução aquosa de concentração igual a 5%, em massa, de soluto. Dispondo-se do mesmo medicamento em uma solução duas vezes mais concentrada, esta deve ser diluída com água, até atingir o percentual desejado. As massas de água na solução mais concentrada, e naquela obtida após a diluição, apresentam a razão.
a) 75
b) 95
c) 199
d) 157
QUESTÃO 5
(ENEM) A varfarina é um fármaco que diminui a agregação plaquetária, e por isso é utilizada como anticoagulante, desde que esteja presente no plasma, com uma concentração superior a 1,0 mg/L. Entretanto, concentrações plasmáticas superiores a 4,0 mg/L podem desencadear hemorragias. As moléculas desse fármaco ficam retidas no espaço intravascular e dissolvidas exclusivamente no plasma, que representa aproximadamente 60% do sangue em volume. Em um medicamento, a varfarina é administrada por via intravenosa na forma de solução aquosa, com concentração de 3,0 mg/mL. Um indivíduo adulto, com volume sanguíneo total de 5,0 L, será submetido a um tratamento com solução injetável desse medicamento. Qual é o máximo volume da solução do medicamento que pode ser administrado a esse indivíduo, pela via intravenosa, de maneira que não ocorram hemorragias causadas pelo anticoagulante? a) 1,0 mL b) 1,7 mL c) 2,7 mL d) 4,0 mL e) 6,7 mL QUESTÃO 6
(UERJ) Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários. O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a: a) 10 b) 12 c) 13 d) 15
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QUESTÃO 7
(ENEM) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos, mas aproximadamente 64 toneladas de cada 100 toneladas que se produz são perdidas ao longo da cadeia produtiva. Em relação ao total de alimentos produzidos, a perda de alimentos é distribuída da seguinte forma: 20 toneladas na colheita, 8 toneladas no transporte e armazenamento, 15 toneladas na indústria de processamento, 1 tonelada no varejo e 20 toneladas no processamento culinário e hábitos alimentares.
Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 26 out. 2011 (adaptado).
De acordo com os dados apresentados, os alimentos que são perdidos no processamento culinário e nos hábitos alimentares representam qual porcentagem em relação ao total de alimentos que são perdidos no país? a) 12,28% b) 20,00% c) 31,25% d) 36,00% e) 44,00% QUESTÃO 8
(ENEM) Em 2010, cerca de 3,24 milhões de passageiros foram transportados entre os Estados Unidos e o Brasil, de acordo com dados divulgados pela Agência Nacional de Aviação Civil (Anac). O gráfico mostra a distribuição relativa do número de passageiros transportados entre o Brasil e os cinco destinos mais procurados, dos quais apenas dois países são europeus: França e Portugal. De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para a quantidade total de passageiros transportados em 2010 entre o Brasil e os países europeus mostrados no gráfico é: a) 874 800 b) 1 018 285 c) 1 481 142 d) 2 499 428 e) 3 240 000 QUESTÃO 9
(PUC) Duas torneiras jogam água em um reservatório, uma na razão de 1 m3 por hora e a outra na razão de 1 m3 a cada 5 horas. Se o reservatório tem 12 m3, em quantas horas ele estará cheio? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 QUESTÃO 10
(FUVEST) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? a) R$22.500,00 b) R$24.000,00 c) R$25.350,00 d) R$39.000,00 QUESTÃO 11
(ENEM) Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante Φ = 1,618... Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata à modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura. Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas: • Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm. • Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi: a) I b) II c) III d) IV e) V QUESTÃO 12
(ENEM) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212.... O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são: a) 103 em cada 330 b) 104 em cada 333 c) 104 em cada 3 333 d) 139 em cada 330 e) 139 em cada 330
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QUESTÃO 13
(UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? a) 1 b) 2 c) 20 d) 25 e) 50 QUESTÃO 14
(ENEM) Em uma cidade, os impostos que incidem sobre o consumo de energia elétrica residencial são de 30% sobre o custo do consumo mensal. O valor total da conta a ser paga no mês é o valor cobrado pelo consumo acrescido dos impostos. Considerando x o valor total da conta mensal de uma residência e y o valor dos impostos, qual é a expressão que relaciona x e y?
a) 3,13,0 x
y b) xy 3,0 c) 3,1x
y d) 3,03,1 x
y e) xy 7,0
GABARITOS 1) b. 2) c. 3) d. 4) c. 5) d. 6) b. 7) c. 8) d. 9) b. 10) b. 11) e. 12) a. 13) e. 14) a.
RESOLUÇÃO:
1. Solução. Identificando as quantidades, temos:
osselecionadfísicopreparobomiii
mínimaestaturaii
anosalunosi
142132:)
214221:)
424887:)14()
.
2. Solução. Para 15 quilates, temos: gouromassaii
gtotalmassai
5,26154
2415:)()
4)()
.
Para 18 quilates será acrescentada quantidade m de ouro puro:
0,25,04
5,2343
5,24335,2
2418
2472
5,2)4(2418:)()
)4()()
mmm
m
mm
mm
mmouromassaii
gmtotalmassai
.
3. Solução. Considerando F o faturamento bruto e I o valor do imposto pago, temos que: I = 0,3F. O lucro será a diferença positiva entre o faturamento bruto e a soma das despesas (custo e imposto).
0002007,00001400001407,0000403,0000100
000403,0000100
FFFF
Lucro
Fimposto
Custo
.
4. Solução. O que varia entre a solução mais concentrada e a menos concentrada é a quantidade de água. Mais concentrada, menos água. Menos concentrada, mais água. Sendo M a massa do medicamento, A (massa de água na menor concentração) e A’ (massa de água na menor concentração), temos:
199
9545
'.9590
'..2
'.05,0.1,0
95,0'9,0
'.05,0.1,0
95,09,0
'.1,09,0'.1,01,0%10'
:
.05,095,0.05,005,0%5:
A
A
A
A
A
A
A
A
M
M
AMAMMAM
MaconcentradMais
AMAMMAM
MaconcentradMenos
.
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5. Solução. Se o volume do sangue é 5,0 L, então o plasma corresponderá a 60% de 5,0 L = 3,0 L. Considerando X o volume da solução a ser ministrada, temos:
mLmg
mLmgV
V
mg
mL
mgii
L
mg
L
mg
L
mgMáximoi
0,40,3
)).(0,12(0,120,3)
30,12
330,40,4:)
.
6. Solução. As velocidades dos atletas são:
min/205,7:) kmciclistai ; min/
305,7:) kmcorredorii
O ponto de encontro é alcançado ao mesmo tempo por ambos os atletas.
125,790
5,7)5,4(20
5,4225505,730225
5,720
5,730225
305,75,7:)
5,720
205,7
:)
T
xxxx
xxcorredorTii
xxciclistaTi
.
7. Solução. Estabelecendo a razão, temos: %25,313125,06420
)(/.
T
T
perdidoTotal
HábitosCulinárioP.
8. Solução. O percentual total para os países europeus (França e Portugal) é de (11% + 16%) =27%. Estabelecendo a relação, temos:
milhõesmilhões
NNmilhões 499429,2
35)24,3).(27(
%27%3524,3
.
9. Solução. Considerando as torneiras como T e T’, temos:
106512
5612:12')
56
511':
51'
1:1)
3
33
3
emmenchemTTii
menchemTTJuntasmencheT
mencheThi
.
10. Solução. Considerando P o preço do carro sem o imposto, temos:
000153,150019500193,1 PP .
Com imposto passando a 60%, temos:
0002415000)6,1(' P .
11.Solução. Calculando as razões, temos:
14
2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR
85,15,3
5,6;76,1
5,6
5,11:IIICandidata
44,15,4
5,6;615,1
5,6
5,10:IICandidata
27,15,5
7;57,1
7
11:ICandidata
;
625,14
5,6;615,1
5,6
5,10:VCandidata
625,14
5,6;53,1
5,6
10:IVCandidata
.
A candidata V apresentou suas razões aproximadamente 1,6. 12. Solução. Encontrando a fração geratriz, temos:
330103
9903093312101000
...1212,3121000...1212,310
...31212,0
xxxx
x
x
.
13. Solução. Pelo percentual há 99 homens. Saindo N homens, temos:
5002,01989998,098,0989998,0
10099
NNNNNN
N.
14. Solução. De acordo com as informações, temos:
3,13,03,13,03,03,0
3,03,0
.3,0 xyyxyyxy
yx
yCx
yCCy
.
15