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TutorialMT-m8
Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio
Cuadriláteros y circunferencia
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Cuadriláteros y circunferenciaMarco Teórico
1. Elementos de la circunferencia y del círculo: O: centro de la circunferencia.
OC : radio
AB : cuerda
CL1 G
D
O
α
F
E
BAL
EC : diámetro
L : secante
L1 : tangente ( OC ⊥ CG )
EF : sagita ⇒ F punto medio de AB, EO ⊥ AB y si AB es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia ⇒ FO apotema.
CD : arco de la circunferencia ( siempre se leen en sentido contrario a los punteros del reloj). Como es una parte de la circunferencia, se puede determinar su perímetro o su medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360°
COD : sector circular
2. Áreas y perímetros (considerando el dibujo anterior):
Sea r: radio, d: diámetro
2.1 Perímetro de la circunferencia: P = 2π r = π ⋅ d
2.2 Área del círculo: A = π ⋅ r2
2.3 Área sector circular: A = π α⋅ ⋅°
r2
360 , α ángulo del centro
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3. Teoremas fundamentales:
3.1 Ángulo del centro: Mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo: Si arco AB = 35°⇒ α = 35° Oα
A
“O”: centro de la ⊗
3.2 Ángulo inscrito: Mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo: Si arco AB = 80° ⇒ α = 40°
B
α
A
3.3 Ángulo inscrito en una semicircunferencia: Todo ángulo inscrito a una circunferencia es recto.
A B
C
AB : diámetro
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4. Cuadriláteros
4.1 Paralelógramos:
Área = base ⋅ altura
4.2 Trapecios:
Área = base base altura1 2
2+
⋅
4.1.1Trapecio isósceles
D C
A E F B
AD = BC ; AE = FB
Ejercicios
1. Si en una circunferencia el radio disminuye a la mitad, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I. El perímetro disminuye a la mitad.
II. El área se reduce a la cuarta parte.
III. La razón entre las áreas es 1 : 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
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2. Determine x:
A) 45°
B) 50°
C) 55°
45º 45º
100º
x
C
B
D
AE
D) 60°
E) 65°
3. Sea ABCD cuadrado inscrito en la circunferencia, determine α:
A) 45°
A B
αD C B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) No se puede determinar
4. Sea arco BA semicircunferencia , AB = 6, BC = 8. Determine el área achurada:
A) 12,5 π − 24
B) 12,5 π − 48 C
A B
C) 25 π − 24
D) 50 π − 24
E) 50 π − 48
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5. Determine el área achurada, O centro de la circunferencia, radio 7 cm.
A) 492 3
32
14
503
49 3
496
3
2
2
π
π
π
−
−
−(
cm
cm
))−
−
cm
cm
cm
2
2
2
76
74
3
492
32
π
π
B)
O
30º
C)
D)
E)
6. Se tiene una semicircunferencia de centro O y ∠ CBA = 80°, el valor del ángulo x es:
A) 15°
x
OA
D C
B
B) 30°
C) 40°
D) 55°
E) 70°
7. Sea AB diámetro, α = 160°, el valor del ángulo x es:
A) 70º
B) 80° A B
x
α
C) 100°
D) 120°
E) 140°
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8. Determinar el área del trapecio.
A) 48 3
24 3
12 3
8
5
6 6
60º
B)
C)
D)
E) No se puede determinar
9. Un terreno rectangular de lados 40 metros y 50 metros se divide en 2, de manera que uno de los terrenos sea cuadrado y el otro rectangular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El terreno menor tiene área 400 m2.
II. El área del terreno cuadrado corresponde al 75% del área del terreno total.
III. El perímetro del terreno total es 180 m.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
10.Si un cuadrado aumenta su lado en un 20%,¿en qué porcentaje aumenta su área?
A) 10%
B) 20% C) 40%
D) 44%
E) Otro valor
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11. Para el rectángulo de la figura, ¿a qué porcentaje corresponde el área achurada?
A) 10%
B) 12,5% b
b
a
a
C) 25%
D) 30%
E) 40%
12. La circunferencia de perímetro 16 π está inscrita en el cuadrado ABCD y
AE AB DF DC= =2 2; . ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?
A) 256
B) 128 ( E y F puntos de tangencia)
C) 82
D) 8
E) Ninguna de las anteriores
13. Determine la razón entre el área del trapecio ABDE y el área del rectángulo ABCD.
A) 3 : 5 D
B
CE
A
8 10
9 B) 4 : 5
C) 5 : 4
D) 5 : 3
E) No se puede determinar
EA B
D CF
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14.Sea O centro de la circunferencia de radio 4 cm, ABCD cuadrado, E, F, G, H puntos medios. Determine el área achurada:
A) (16 - 4 π ) cm2
A B
O
F
E G
D H C
B) (16 - 16 π ) cm2
C) (54 - 16 π ) cm2
D) (64 - 4 π ) cm2
E) (64 - 16 π ) cm2
15.Determine el área achurada, si ABCD cuadrado de lado 6 cm. CA y AC arcos de circunferencia.
A) (18π - 36 ) cm2
A B
D C
B) (36 - 18π ) cm2
C) (72 - 18π ) cm2
D) (18π - 72 ) cm2
E) Ninguno de ellos
Respuestas
Preg. Alternativa 1 D2 C3 A4 A5 A6 C7 A8 B9 C10 D11 C12 B13 B14 E15 A
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Solucionario:
1. La alternativa correcta es la letra D)
Si el radio de una circunferencia es r ⇒ P = 2π r y A = π r2
El radio disminuido a la mitad es r2
⇒ P = 2π ⋅ r2
(Simplificando)
P = π ⋅ r
r2 ⇒ A = π ⋅( )r2
2
(Elevando al cuadrado)
A = π ⋅ r2
4
El perímetro disminuye a la mitad, entonces I es verdadera.
El área disminuye a la cuarta parte, entonces II es verdadera.
La razón entre las áreas es 1 : 4, entonces III es falsa.
∴ Las verdaderas son I y II
2. La alternativa correcta es la letra C)
El ∠ x subtiende el arco DA y el ∠ DCA subtiende
el mismo arco ⇒ ∠ DCA = x
En Δ ECD, 100° es ángulo exterior 45º 45º
100º
x
C
B
D
AE
x ⇒ 100 = 45 + x (Despejando x)
100 – 45 = x
x = 55
∴ x = 55
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3. La alternativa correcta es la letra A)
Como ABCD cuadrado, entonces AC bisectriz,
(ya que las diagonales de un cuadrado son bisectrices).
Entonces ∠ ACB = 45°, además ∠ ACB y α, subtienden
el mismo arco ⇒ α = 45°
4. La alternativa correcta es la letra A)
Como O centro de la circunferencia,
entonces AB diámetro ⇒ arco BA semicircunferencia.
∴ Δ ABC rectángulo en C.
AC = 6, BC = 8, por números
pitagóricos AB = 10 ⇒ OA = 5 (radio de la ⊗)
Área achurada = - Área ABC (ReemÁrea⊗ − ∆2
pplazando)
= - (Respetando el orden dπ ⋅ ⋅5
26 8
2
2
ee las operaciones)
= -
252π 24
= -
Área ac
12 5 24, π
∴ hhurada = 12 5 24, -π
A B
αD C
45º
C
A B
6 8
O10
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5. La alternativa correcta es la letra A)
Como ∠ ACB = 30° ⇒ ∠ AOB = 60° (subtienden el mismo arco),
entonces Δ AOB equilátero, ya que OA = OB = 7 (radios), o sea ,
Δ OAB isósceles y como ∠ AOB = 60°, entonces el triángulo se
convierte en equilátero, cuyo lado es 7.
Área achurada = Área sector circular AOB – Área Δ AOB
= ⋅ − ⋅π αr lado2 2
360 43
( )(Reemplazando)
= (Respetando el ordenπ ⋅ ⋅ − ⋅7 60
36074
32 2
de la operaciones)
= (Factorizand496
494
3π − ⋅ oo)
=
Área achurada =
492 3
32
492 3
32
π
π
−
∴ −
cm2
6. La alternativa correcta es la letra C)
Como arco BA semicircunferencia, AB diámetro,
entonces, ∠ ACB = 90° y como ∠ CBA = 80°,
entonces, ∠ BAC = 10° , además ∠ AEO = 90°,
entonces, ∠ DOA = 80° (∠ exterior del Δ ODB)
como OD = OB(radios),Δ ODB isósceles
en O, entonces ∠ DBO = 40°
⇒ x = 40°
O
30º
60º
A B
C
x
OA
D C
B10º 80º 40º
80º
40ºE
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7. La alternativa correcta es la letra A)
Como α = 160° ⇒ arco CB = 320° y como AB diámetro ⇒ arco AB = 180°,
arco CB = arco CA + arco AB (Reemplazando)
320° = arco CA + 180° (Despejando arco CA)
320 – 180 = arco CA
140° = arco CA
x subtiende el arco CA ⇒ x = 70°
∴ x = 70°
8. La alternativa correcta es la letra B)
D C
A B
5
6 6
F5 6E3
60º
√33
En Δ FBC, se tiene que:
F 3 B
C
6
60º
30º
√33 (Por corresponder a la mitad de un triángulo equilátero)
Además, AE = FB
A Bx
160º
C
140º
180º320º
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Entonces:
Área trapecio = (Reemplazando)AB CD CF+
⋅
2
== (Resolviendo el paréntesis)
=8
11 52
3 3
3
+( )⋅
⋅ 33
24 3
24 3
(Multiplicando)
=
Área trapecio =∴
9. La alternativa correcta es la letra C)
10 40
404040
4010
I) Área del terreno menor = 40 ⋅ 10 = 400 m2
Por lo tanto, es verdadera.
II) Área del cuadrado = 40 ⋅ 40 = 1600 m2
Área total = 40 ⋅ 50 = 2000 m2
75% del área total = 34
⋅ 2000 = 1500
Por lo tanto, no es verdadera.
III) Perímetro del terreno = 2 ( 40 + 50 ) = 2 ⋅ 90 = 180 m. Por lo tanto, es verdadera.
Entonces, I y III son verdaderas.
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10.La alternativa correcta es la letra D)
Lado “a” ; Área = aLado aumentado en un
21 % ; a + % a = (Transformand20 20 oo el porcentaje a fracción)
a + a (Sumando15
= ))
a
Área =
65
2 65
2
a( )
Entonces:
Cantidad Porcentaje
Área 1 100 (Aplicando proporción directa y reemplazando)
Área 2 x
a x = a (Resolviendo y despejand22
100 65
⋅ ⋅ ( ) oo x)
x = a 100 a
x = 144%
Por lo tan
3625
122⋅ ⋅ ⋅
tto, el área aumenta en un 44% ( 144% - 1100% )
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11. La alternativa correcta es la letra C)
b
b
a
a
F C
H
B
I
EA
G
D
Según la figura, concluimos que E, F, G y H son puntos medios.
Por lo tanto, Δ GAE = Δ FIH, entonces, el área achurada corresponde a 14
del área del rectángulo, es decir al 25%.
12. La alternativa correcta es la letra B)
AE
B
CF
G
D
O16
88
8
8
Perímetro de la circunferencia = 16 π
2 πr = 16 π (Despejando r)
r = 8
Por lo tanto, radio de la circunferencia : 8
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Además, E y F puntos medios, entonces, EF : diámetro.
Por lo tanto, OG = 8, DF = 8, OF = 8, AD = 16, OE = 8.
Determinando el área del rectángulo ADFE:
Área = AD ⋅ DF (Reemplazando)
= 16 ⋅ 8 (Multiplicando)
= 128
∴ Área del rectángulo ADFE = 128
13. La alternativa correcta es la letra B)
D
B
CE
A
8 10
9 6
8
15
Como ABCD rectángulo, entonces, Δ DCB rectángulo en C.
Aplicando Pitágoras: DC 2 + BC 2 = BD 2 (Reemplazando)
DC 2 + 82 = 102 (Por trío Pitagórico)
DC = 6
Por lo tanto, AB = 15
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Área trapecio ABDE = (ReemplazAB DE AE+
⋅
2aando)
= (Desarrollando el paréntesi15 92
8+( )⋅ ss)
= (Multiplicando)
=
12 8
96
⋅
∴∴ Área trapecio ABDE =
Área rectángulo A
96
BBCD = (Reemplazando)
= (Multip
AB BC⋅
⋅15 8 llicando)
=
Área rectángulo ABCD =
120
12∴ 00
Entonces, la razón entre el área del trapeecio y el área del rectángulo es:
Área trapeccioÁrea rectángulo
=
=
(Reemplazando)
(Sim96120
pplificando)
La razón entre las áreas es
45
∴ 4 5:
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14. La alternativa correcta es la letra E)
Si el radio de la circunferencia es 4 cm, entonces el diámetro mide 8 cm, o sea, el lado del cuadrado mide 8 cm, como E, F, G, H son puntos medios ⇒ ED = 4 (lado del cuadrado EOHD). Para determinar el área achurada, dividiremos el cuadrado ABCD en 4 partes iguales (fig. 1).
Entonces, determinaremos el área achurada de una de esas partes (fig.2) y la multiplicamos por 4, obteniendo el área achurada que nos piden.
A B
O
F
E G
D H C4 4
4 4
4Figura 1
A BF
G
H C4 4
4
4 4
O
4
4D
E
H
Figura 2
Área achurada (figura 2) = Área cuadrado EOHD – Área⊗4
(Reemplazando)
=24 - π ⋅4
4
2
(Respetando el orden de las
operaciones)
Área achurada (figura 2) = 16 - 4π
⇒ Área achurada(figura 1) = 4(16 - 4π) (Distribuyendo)
= 64 - 16π
∴ Área achurada(figura 1) = (64 - 16π )cm2
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15. La alternativa correcta es la letra A)
Si el lado del cuadrado ABCD = 6, entonces,el radio de la circunferencia es 6, donde arco CA es un cuarto de ella.
Seguiremos 2 pasos:
Paso 1) Determinaremos área achurada de la figura 1.
A B
D C6
6 Figura 1
Si desglosamos la figura 1 en dos, obtenemos:
a)
A B
D C6
6
A B
D C
6
6
b)
A B
D C6
6
A B
D C
6
6
Entonces determinaremos el área de 1 de ellas y la multiplicamos por 2.
Área achurada (a) = Área cuadrado ABCD - Área ⊗4
(Reemplazando)
= 62 - π ⋅ 62 4
(Respetando el orden de las operaciones)
= 36 - 9π
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∴ Área achurada (figura 1) = 72 - 18π
Paso 2) Determinaremos el área achurada pedida en el ejercicio.
A B
D C6
6
Área achurada = Área cuadrado ABCD – Área achurada (figura 1) (Reemplazando)
= 36 – (72 - 18π) (Eliminando paréntesis) = 36 – 72 + 18π = - 36 + 18π (Ordenando) = 18π - 36
∴ Área achurada = 18π - 36 cm2
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