MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una ...
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MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
1
1- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
𝑎) 𝑦 = ln(2 − √𝑥23)
2 − √𝑥23>0 → (𝑥2)
1
3 < 2 → 𝑥2 < 8 → |𝑥| < √8 → −√8 < 𝑥 < √8
𝐷𝑜𝑚 𝑦 = (−√8, √8 )
y’=−
2
3𝑥
−13
2− √𝑥23 = −2
3 √𝑥3
(2− √𝑥23)
Dom y′= ℝ − {0}
Y′ ≠ 0, ∀ 𝑥
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos (-√8, 0)
y'(-1)=2
3
(0, √8 )
y'(1)=−2
3
Signo de y′ positiva negativa
y crece decrece
b) y=𝑒√4−𝑥2
4-𝑥2 ≥ 0 → 𝑥2 ≤ 4 → |𝑥| ≤2 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
Dom y=[-2,2]
Y’=𝑒√4−𝑥2 1
2(4 − 𝑥2)−
1
2(−2𝑥)
Y’= −𝑥𝑒
√4−𝑥2
√4−𝑥2
Dom y'=(-2,2)
y'=0, para x=0
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos (-2, 0) y'(-1)>0
(0, 2) y'(1)< 0
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2
Signo de y′ positiva negativa
y crece decrece
c)y=x-√1 − 4𝑥2
1-4𝑥2 ≥ 0 → 4𝑥2 ≤ 1 → 𝑥2 ≤1
4→ |𝑥| ≤
1
2→ −
1
2≤ 𝑥 ≤
1
2
Dom y=[−1
2,
1
2]
Y’=1- 1
2(1 − 4𝑥2)−
1
2(−8𝑥)
y'= 1+4𝑥
√1−4𝑥2
Dom y'=(−1
2,
1
2)
y'(x)= 0 →1+4𝑥
√1−4𝑥2 =0→
−4𝑥
√1−4𝑥2 =1→ −4𝑥 = √1 − 4𝑥2 (x<0)
→ 16𝑥2 = 1 − 4𝑥2, (x<0)
→ 20𝑥2 = 1, (x < 0)
→ 𝑥2 =1
20 , (x < 0)
→ |𝑥| = √1
20, (x<0)
→ 𝑥 = −√1
20
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos
(−1
2, −√
1
20)
y'(-0,3)< 0
(−√1
20 ,
1
2)
y'(0)=1
Signo de y′ negativa positiva
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3
y decrece crece
2- Calcular el mínimo y el máximo absoluto de las siguientes funciones:
𝑎) 𝑦 =ln(2 − √𝑥23) en [−1; 1]
Los puntos x=-1 y x=1, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)
f’= −2
3 √𝑥3
(2− √𝑥23)
f′ ≠ 0, ∀ 𝑥
La derivada no existe en x=0, entonces x=0 punto crítico
Intervalos x=-1 (-1,0)
f'(-1
2)>o
x=0 (0, 1)
f'(1
2)<0
x=1
f(-1)=0 f (0)=ln2 f(1)=0
Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo
f (-1)=0 y f(1)=0, el mínimo absoluto es 0, y se alcanza en x=-1 y en x=1
El máximo absoluto es ln2, y se alcanza en x=0
𝑏) y=𝑒√4−𝑥2en su dominio de definición
Dom f=[-2,2]
Los puntos x=-2 y x=2, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)
f’= −𝑥𝑒
√4−𝑥2
√4−𝑥2
f’(x)=0, en x=0, x=0 punto crítico
Dom f'=(-2,2)
Intervalos x=-2 (-2,0) f'(-1)>o
x=0 (0, 2) f'(1)<0
x=2
f(-2)=1 f(0)=𝑒2 f(2)=1
Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo
f (-2)=1 y f(2)=1, el mínimo absoluto es 1, y se alcanza en x=-2 y en x=2
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4
El máximo absoluto es e2, y se alcanza en x=0
𝑐) 𝑦 = x-√1 − 4𝑥2 en [0; 1
2]
Los puntos x=0 y x=1
2, son puntos críticos
f'= 1+4𝑥
√1−4𝑥2
f'(x)=0, para x=-√1
20 no pertenece al intervalo
f' no existe en x=−1
2 (no pertenece al intervalo) y en x=
1
2 es un punto crítico
Intervalos x=0 (0, 1
2)
f'(0,25)>0
x=1
2
f(0)=-1 f(1
2)=
1
2
Signo de f′ f'(x)>0
f Mínimo creciente Máximo
f (0)=-1, el mínimo absoluto es -1, y se alcanza en x=0
El máximo absoluto es 1
2 , y se alcanza en x=
1
2
3- Dadas las siguientes funciones de costo e ingreso, hallar el nivel de producción que hace
máximo el beneficio, y el beneficio máximo.
𝑎) 𝐶 = 50𝑥 + 100 𝐼 = −2𝑥 2 + 650𝑥
(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = -2𝑥2 + 650𝑥 − 50𝑥 − 100= -2𝑥2 + 600𝑥 − 100
El dominio de 𝐵 es [0; +∞),
luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐵′(𝑥) = -4x+600
Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.
Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 150, estudiando los signos de 𝐵′
Intervalos x=0 (0,150)
x=150 (150,+∞)
B'(0)=600 B'(150)=0 B'(200)=-800+600 =-200
Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
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5
lim𝑥→+∞
𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞
(−2𝑥2 + 600𝑥 − 100) = −∞
𝑥 = 150 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)
B(150)=44900
Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 150 unidades y el beneficio máximo
es $44900.
𝑏) 𝐶 = 1/3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 800 𝐼 = −10𝑥 2 + 200
(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = −1
3𝑥3 − 5𝑥2+ 200𝑥 − 800
El dominio de 𝐵 es [0; +∞), luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐵′(𝑥) = −𝑥2 − 10𝑥 + 200
Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.
Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 10, estudiando los signos de 𝐵′
Intervalos x=0 (0,10)
x=10 (10,+∞)
B'(0)=200 B'(10)=0 B'(11)=-121-100+200=-21
Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
lim𝑥→+∞
𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞
(−1
3𝑥3 − 5𝑥2 + 200𝑥 − 800) = −∞
𝑥 = 10 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)
B(10) ≅ 366,67
Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 10 unidades y el beneficio máximo
es $366,67, aproximadamente.
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4- La curva de demanda de ciertas sillas está dada por 𝑝 = −1
10𝑥 + 15. Hallar la función de
ingreso el determinar el número de sillas a ubicar en el mercado para obtener el máximo
ingreso.
En primer lugar, para obtener la función Ingreso, debemos hacer
𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = (−1
10𝑥 + 15) . 𝑥 = −
1
10𝑥2 + 15𝑥
El dominio de I es [0; +∞),
luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐼′(𝑥)=−
15
𝑥+15
Como I′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de I donde no exista I′.
Se buscan los valores donde I′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 75, estudiando los signos de I′
Intervalos x=0 (0,75)
x=75 (75,+∞)
I'(0)=15 I'(75)=0
Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
𝑥 = 75 máximo absoluto de I en [0; +∞)
I(75)=562,5
Luego el nivel de producción que da el ingreso máximo son 75unidades y el ingreso máximo es
$562,5
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5- Con el propósito de tener mayor seguridad, un fabricante planea cercar un área de
almacenamiento rectangular de 3300 m2, adyacente a un edificio que se utilizará como uno
de los lados del área cercada. La cerca paralela al edificio da a una calle y costará U$S 3 por
metro instalado, mientras que la cerca de los otros dos lados costará U$S 2 por metro
instalado. Encontrar la función de costo total de la instalación de la cerca y calcular la cantidad
de cada tipo de cerca de manera que el costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?
A=b.h Costo=2.2b+3h
3300=b.h C=4b+3h
3300/b=h C=4b+3.3300/b
Función de costo total:
𝐶(𝑏) =4𝑏2 + 9900
𝑏, 𝑏 ≠ 0
𝐶′(𝑏) =4𝑏2 − 9900
𝑏2, 𝑏 ≠ 0
𝐶′(𝑏) = 0
𝑏 ≈ 49,75 descartamos el valor negativo.
Intervalos (0;49,75)
x=49,75 (49,75;+∞)
I'(75)=0
Signo de C′ C'(x) <o C'(x) >0
f decreciente Mínimo creciente
ℎ ≈3300
49,75≅ 66,39
𝐶(49,75) ≈ 397,99
Se necesita aproximadamente 66,34 metros de la cerca paralela a la calle y 49,75 metros
aproximadamente de la otra cerca. El costo mínimo aproximado es de $397,99.
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6- La función de costo total de un fabricante está dada por (𝑥) = 𝑥2
4+ 3𝑥 + 400 ¿Para qué nivel de
producción será mínimo el costo promedio por unidad? ¿Cuál es este mínimo?
La función costo promedio resulta 𝑐̅(𝑥) = 𝑥
4+ 3 +
400
𝑥
la derivada de la función costo promedio es 𝑐̅′(𝑥) = 1
4−
400
𝑥2
igualando la derivada a cero 1
4−
400
𝑥2 = 0 resulta x=40
El dominio de 𝑐̅(𝑥) es (0; +∞),
estudiando los signos de 𝑐̅′(𝑥) -
Intervalos (0,40)
x=40 (40,+∞)
𝑐̅′(40) =0
Signo de 𝑐̅′(𝑥) 𝑐̅′(𝑥)<o 𝑐̅′(𝑥)>0
decreciente Mínimo creciente
𝑐̅(40) =40
4+ 3 +
400
40= 23
El nivel de producción que hace mínimo el costo promedio es de 40 unidades.
El costo promedio mínimo por unidad es de 23 unidades monetarias.
7-La empresa Vista TV Cable tiene actualmente 100000 suscriptores que pagan una cuota de 𝑈$𝑆
40. Una encuesta reveló que se obtendrían 1000 suscriptores más por cada 𝑈$𝑆 0,25 de
disminución de la cuota. ¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se
tendrán con dicha cuota?
p=valor de la cuota
x=cantidad de suscriptores
m=-0,25/1000, (100000,40)
El valor de la cuota (p) en función de la cantidad es
P(x)= -(0,25/1000)x + 65
La función ingreso es
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I(x)= p x= (−0,25
1000𝑥 + 65)𝑥 = −
0,25
1000𝑥2 +65x
Si x=0 no hay ingreso
I'(x)= - 0,50
1000𝑥 +65
- 0,50
1000𝑥 +65=0 para x=130000 (punto crítico)
Intervalos x=0 (0,130000)
x=130000 (130000,+∞)
I'(0)=65 I'(130000)=0
Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
P(130000)=−0,25
1000130000 +65= 32,5
El ingreso máximo ($4225000), se obtiene con 130000 suscriptores, con una cuota de $32,5
8a)
lim𝑥→0
3𝑥 − 1
𝑥= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
0
0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0
3𝑥 . 𝑙𝑛3
1= 30. 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3
8b)
lim𝑥→0+
ln(1+𝑥)
√𝑥3, indeterminación del tipo
0
0, porHL
lim𝑥→0+
ln(1+𝑥)
√𝑥3 = lim
𝑥→0+
1
1+𝑥3
2√𝑥
= lim𝑥→0+
2
3√𝑥(1+𝑥) =∞
8c)
lim𝑥→+∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥5= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→+∞
1𝑥
5𝑥4= lim
𝑥→+∞
1
𝑥.
1
5𝑥4= lim
𝑥→+∞
1
5𝑥= 0
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10
8d)
lim𝑥→−∞
𝑒𝑥
√𝑥3 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑜
∞
lim𝑥→−∞
𝑒𝑥1
√𝑥3 = 0.0 = 0
8e)
lim𝑥→0−
ln (1 − 𝑥)
𝑒1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0
0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0−
−11 − 𝑥
𝑒1𝑥. (
−1𝑥2 )
= lim𝑥→0−
1
1 − 𝑥.𝑥2
𝑒1𝑥
= lim𝑥→0−
1
1 − 𝑥. lim
𝑥→0−
𝑥2
𝑒1𝑥
= lim𝑥→0−
𝑥2. 𝑒−1𝑥 =
lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
1
𝑥2
= lim𝑥→0−
1
𝑥2𝑒−1𝑥
−2𝑥
𝑥4
= lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
−2
𝑥
= lim𝑥→0−
1
𝑥2𝑒−1𝑥
2
𝑥2
= lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
2 =∞
8f)
lim𝑥→0+
𝑥. 𝑙𝑛𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
𝑙𝑛𝑥
1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0+
1𝑥
−1
𝑥2
= lim𝑥→0+
1
𝑥. (−𝑥2) = lim
𝑥→0+− 𝑥 = 0
8g) lim𝑥→0+
𝑥. 𝑒1
𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
𝑒1𝑥
1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0+
𝑒1𝑥 . (−
1𝑥2)
(−1
𝑥2)= lim
𝑥→0+𝑒
1𝑥 = ∞
8h)
lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 1∞
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11
𝑦 = lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥)
ln(𝑦) = 𝑙𝑛 ( lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+
𝑙𝑛((1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+
ln(𝑥) . ln (1 + 𝑥) =
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
ln (1 + 𝑥)
1ln (𝑥)
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0
0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
11 + 𝑥
−1𝑥
ln2 (𝑥)
= lim𝑥→0+
1
1 + 𝑥. (−𝑥 . ln2(𝑥)) = lim
𝑥→0+
1
1 + 𝑥 . lim
𝑥→0+(−𝑥 . ln2(𝑥))
= 1. lim𝑥→0+
(−𝑥 . ln2(𝑥)) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
ln2(𝑥)
−1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
2 ln(𝑥).1
𝑥1
𝑥2
= lim𝑥→0+
2 ln(𝑥)1
𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
21
𝑥−1
𝑥2
= lim𝑥→0+
−21
𝑥
= lim𝑥→0+
−2 x = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ln 𝑦 =
0 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑦 = 1, 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒
lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 1
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12
8i) lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥
lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥 es de la forma ∞0
lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥 = lim𝑥→−∞
𝑒ln(1+𝑥2)1𝑥
= lim𝑥→−∞
𝑒1
𝑥ln(1+𝑥2) = 𝑒
lim𝑥→−∞
ln(1+𝑥2)
𝑥 = (𝐿𝐻)𝑒lim
𝑥→−∞
2𝑥
1+𝑥2
1 = 𝑒0=1
9- Realizar el estudio de las siguientes funciones y bosquejar su gráfico
𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)
𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: ℝ
b) Raíces: y = 0 ⟹ 𝑥. 𝑒−𝑥2= 0 ⟹ 𝑥 = 0
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (-∞; 0) 0 (0; +∞) 𝑦(−1) = (−1)𝑒−(−1)2
= −1
𝑒
𝑦(1) = (1)𝑒−(1)2
= 1
𝑒
Signo de “y” Negativa Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito (marcadas con arcos en los gráficos): - No tiene asíntotas verticales pues es una función continua en ℝ.
- Como en la fórmula de la función un factor es exponencial, para
determinar las asíntotas no verticales se estudian por separado los límites
para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (el símbolo ≗ indica que desde ahí aplicamos
L’Hospital):
lim𝑥→−∞
𝑥𝑒−𝑥2= lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑒𝑥2 = [−∞
∞] ≗ lim
𝑥→−∞
1
2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0
lim𝑥→+∞
𝑥𝑒−𝑥2= lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑒𝑥2 = [∞
∞] ≗ lim
𝑥→+∞
1
2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0
Entonces y = 0 es Asíntota Horizontal (AH) para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (si
tiene AH entonces no posee asíntotas oblicuas)
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MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
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13
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 𝑒−𝑥2+ 𝑥. 𝑒−𝑥2
. (−2𝑥) = 𝑒−𝑥2(1 − 2𝑥2)
- Dominio de y’: ℝ
- Raíces: y’ = 0 ⟺ 1 − 2𝑥2 = 0 ⟹ − 2𝑥2 = −1 ⟹ 𝑥2 = 1
2⟹ |𝑥| =
1
√2⟹
𝑥1 =1
√2; 𝑥2 =
−1
√2
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función):
Intervalos (−∞;
−1
√2)
−1
√2 (
−1
√2;
1
√2)
1
√2 (
1
√2; +∞)
𝑦′(−1) = 𝑒−1(−1)
= −1
𝑒
𝑦′(0) = 𝑒0(1)= 1
𝑦′(1) = 𝑒−1(−1)
= −1
𝑒
Signo de y’ Negativa 0 Positiva 0 Negativa y Decrece Min Crece Máx Decrece
c) Extremos relativos de la función:
𝑦 (−1
√2) = (
−1
√2) 𝑒
−(−1
√2)
2
= (−1
√2) (
1
√𝑒) ≅ −0,43
𝑦 (1
√2) = (
1
√2) 𝑒
−(1
√2)
2
= (1
√2) (
1
√𝑒) ≅ 0,43
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14
III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(1 − 2𝑥2) + 𝑒−𝑥2
(−4𝑥) = −2𝑥𝑒−𝑥2+ 4𝑥3𝑒−𝑥2
− 4𝑥𝑒−𝑥2
= 4𝑥3𝑒−𝑥2− 6𝑥𝑒−𝑥2
= 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥)
- Dominio de y”: ℝ
- Raíces: y” = 0 ⟺ 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟺ (4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟹ 𝑥(4𝑥2 − 6) =
0 ⟹
𝑥 = 0 𝑜 (4𝑥2 − 6) = 0 ⟹ 4𝑥2 = 6 ⟹ 𝑥2 =6
4=
3
2⟹ |𝑥| = √
3
2
𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠 ⟶ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −√3
2 ; 𝑥3 = √
3
2
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función):
Intervalos
(−∞; −√3
2 ) −√
3
2 (−√
3
2 ; 0)
0
(0; √3
2 ) √
3
2 (√
3
2 ; +∞)
𝑦"(−2) = 𝑒−4(−20)< 0
𝑦"(−1) = 𝑒−1(2)> 0
𝑦"(1) = 𝑒−1(−2) < 0 𝑦"(2) = 𝑒−4(20)> 0
Signo de y” Negativa 0 Positiva 0 Negativa 0 Positiva y Convexa P.I. Cóncava P.I. Convexa P.I. Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función:
𝑦 (−√3
2) = (−√
3
2)
1
𝑒32
≅ (−1,22). (0,22) ≅ −0,27
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𝑦 (√3
2) = (√
3
2)
1
𝑒32
≅ (1,22). (0,22) ≅ 0,27
𝑦(0) = 0
𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)
b) Raíces: 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 0 (como 0 ∉ 𝔻 ⟹ x = 0 no es raíz) 𝒐 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 1
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦 (1
𝑒) = (
1
𝑒) 𝑙𝑛 (
1
𝑒)
= −1
𝑒
𝑦(𝑒) = 𝑒. 𝑙𝑛(𝑒) = 𝑒
Signo de “y” Negativa 0 Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidato a Asíntota Vertical (AV): x = 0 Como la función está definida a la derecha de 0, entonces estudiamos la
AV sólo para 𝑥 → 0+:
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lim𝑥⟶0+
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [0. ∞]
= {𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙}
= lim𝑥⟶0+
𝑙𝑛(𝑥)
1𝑥
= [∞
∞] ≗ lim
𝑥⟶0+
1𝑥
−1𝑥2
= lim𝑥⟶0+
1
𝑥. (−𝑥2) = 0
Entonces x = 0 no es AV de y.
- Como la función está definida a la derecha de 0, para determinar las
asíntotas no verticales se estudia sólo el límite para 𝑥 → +∞:
lim𝑥⟶+∞
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [∞. ∞] = ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝐻
Estudiamos si tiene Asíntota Oblicua (AO), también para 𝑥 → +∞:
𝑚 = lim𝑥⟶+∞
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥)
𝑥= ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑂
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1. 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥.1
𝑥= 𝑙𝑛(𝑥) + 1
- Dominio de y’: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)
- Raíces: y’ = 0 ⟹ 𝑙𝑛(𝑥) + 1 = 0 ⇒ 𝑙𝑛(𝑥) = −1 ⟹ 𝑥 = 𝑒−1 ⟹ 𝑥 = 1
𝑒
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos
(0;1
𝑒)
1
𝑒 (
1
𝑒; +∞)
Signo de y’ 𝑦′ (1
𝑒2) = 𝑙𝑛 (1
𝑒2) + 1 = −2 + 1 = −1
< 0
𝑦′(𝑒) = 𝑙𝑛(𝑒) + 1 = 2 > 0
y Decrece min Crece
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c) Extremos relativos de la función:
𝑦 (1
𝑒) =
1
𝑒𝑙𝑛 (
1
𝑒) =
−1
𝑒≅ −0,37
III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = 1
𝑥
- Dominio de y”: x 0
- Raíces: y” = 0 y” no tiene raíces.
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): y” es positiva en el intervalo (0; +∞) que es donde está definida la función,
por lo tanto, “y” es cóncava.
c) Puntos de inflexión de la función: no posee.
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𝒄) 𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙
𝒙 − 𝟐)
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:
𝑥
𝑥 − 2> 0 ⟹ 𝐴) 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0
𝑥 > 2
𝐵) 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0
𝑥 < 2
Entonces 𝔻 = (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
b) Raíces:
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 0 ⟺
𝑥
𝑥 − 2 = 𝑒0 = 1 ⟹ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 0 = −2
⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠
c) Conjuntos de positividad y negatividad: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
𝑦(−1) = 𝑙𝑛 (1
3) < 0
//////////// 𝑦(3) = 𝑙𝑛(3) > 0
Signo de y Negativa - //////////// - Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidatos a Asíntota Vertical (AV): x = 0 y x = 2.
Analizamos los límites para 𝑥 → 0- y para 𝑥 → 2+ porque en el intervalo
(0;2) la función no está definida:
lim𝑥⟶0−
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
𝑥⟶0−
𝑥
𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(0)] = −∞
0 2
0 2
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lim𝑥⟶2+
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
𝑥⟶2+
𝑥
𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(∞)] = ∞
Entonces x = 0 y x = 2 son AV de “y”.
- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la
forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞
lim|𝑥|⟶∞
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
|𝑥|⟶∞
𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
|𝑥|⟶∞
𝑥
𝑥 ) = 0
Entonces x = 0 es AH de y (por lo tanto no hay AO).
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1𝑥
𝑥 − 2
. (1. (𝑥 − 2 − 𝑥. 1)
(𝑥 − 2)2) =
𝑥 − 2
𝑥.𝑥 − 2 − 𝑥
(𝑥 − 2)2=
−2
𝑥(𝑥 − 2)
- Dominio de y’: x 0 y x 2
- Raíces: no tiene
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
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𝑦′(−1) =
−2
(−1)(−1 − 2)< 0
//////////// 𝑦′(3) =
−2
(3)(3 − 2)> 0
Signo de y’ Negativa - //////////// - Negativa Y Decrece Decrece
c) Extremos relativos de la función: no posee.
III) Obtener información de la segunda derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = −(−2)(2𝑥 − 2)
(𝑥2 − 2𝑥)2 =
4(𝑥 − 1)
(𝑥(𝑥 − 2))2
- Dominio de y” = x 0 y x 2
- Raíces: y” = 0 ⟺ 4(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1 Esta raíz de y” no
pertenece al Dominio de y.
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b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): analizamos la concavidad de “y” en los intervalos en los que está
definida: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
𝑦"(−1) =4(−1 − 1)
((−1)(−1 − 2))2< 0
//////// 𝑦"(3) =
4(3 − 1)
(3)(3 − 2)2> 0
Signo de y” Negativa - //////// - Positiva y Convexa - - Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función: no posee porque y” no tiene raíces dentro
de los intervalos de definición de la función.
𝒅) 𝒚 = 𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:
𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠ 1 𝑦 𝑥 ≠ −1
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
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22
b) Raíces:
𝑦 = 0 ⟹𝑥
𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (−∞; −1) −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦(−2) < 0 𝑦 (
−1
2) > 0
𝑦 (
1
2) < 0
𝑦(2) > 0
Signo de y Negativa - Positiva 0 Negativa - Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidatos a AV: x = 1 y x = -1. Analizamos los límites para 𝑥 ⟶ 1−, 𝑥 ⟶
1+, 𝑥 ⟶ −1−, 𝑥 ⟶ −1+:
lim𝑥⟶1+
𝑥
𝑥2− 1= [
1
0+] = ∞ lim𝑥⟶1−
𝑥
𝑥2− 1= [
1
0−] = −∞
lim𝑥⟶−1+
𝑥
𝑥2− 1= [
−1
0−] = ∞ lim𝑥⟶−1−
𝑥
𝑥2− 1= [
−1
0+] = −∞
Entonces x = 1 y x = -1 son AV de y.
- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la
forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞:
lim|𝑥| ⟶ ∞
𝑥
𝑥2 − 1 = lim
|𝑥| ⟶ ∞
𝑥
𝑥2 = 0
Entonces x = 0 es AH de y.
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II) Obtener información de la primera derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1(𝑥2 − 1) − 𝑥(2𝑥)
(𝑥2 − 1)2 =
𝑥2 − 1 − 2𝑥2
(𝑥2 − 1)2 =
−𝑥2 − 1
(𝑥2 − 1)2
- Dominio de y’: (𝑥2 − 1)2 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠
1 𝑦 𝑥 ≠ −1
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
- Raíces: y’ = 0 ⟹−𝑥2 − 1
(𝑥2 − 1)2= 0 ⟺ −𝑥2 − 1 = 0 ⟹ (−1)(𝑥2 + 1) = 0
No tiene raíces.
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; −1) -
1 (−1; 1) 1 (1; +∞)
𝑦′(−2) =
−(−2)2
− 1
((−2)2
− 1)2
< 0
𝑦′(0)
−(0)2
− 1
(02 − 1)2
> 0
𝑦′(2) =
−(2)2
− 1
(22 − 1)2
< 0
![Page 24: MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una ...](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022080212/62e7e3eea8a2741a9c07ea77/html5/thumbnails/24.jpg)
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24
Signo de y’ Negativa - Negativa - Negativa y Decrece - Decrece - Decrece
c) Extremos relativos de la función: no tiene.
III) Obtener información de la segunda derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = −2𝑥(𝑥2 − 1)2 − (−𝑥2 − 1)(2(𝑥2 − 1)2𝑥)
(𝑥2 − 1)4
= (𝑥2 − 1)(−2𝑥(𝑥2 − 1) − 4𝑥(−𝑥2 − 1))
(𝑥2 − 1)4
=2𝑥(−(𝑥2 − 1) − 2(−𝑥2 − 1))
(𝑥2 − 1)3=
2𝑥(−𝑥2 + 1 + 2𝑥2 + 2)
(𝑥2 − 1)3
=2𝑥(𝑥2 + 3)
(𝑥2 − 1)3
- Dominio de y”: (𝑥2 − 1)3 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠
1 𝑦 𝑥 ≠ −1
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25
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
- Raíces: 𝑦" = 0 ⟹ 2𝑥(𝑥2+3)
(𝑥2 − 1)3 = 0 ⟺ 2𝑥(𝑥2 + 3) = 0 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟹
𝑥 = 0
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): Intervalos (−∞; −1) -
1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦"(−2)
=2(−2)((−2)2 + 3)
((−2)2 − 1)3
< 0
𝑦"(−
1
2)
=2(−
12
)((−12
)2 + 3)
((−12
)2 − 1)3
> 0
𝑦"(
1
2)
=2(
12
)((12
)2 + 3)
((12
)2 − 1)3
> 0
𝑦"(2)
=2(2)((2)2 + 3)
((2)2 − 1)3
> 0
Signo de y”
Negativa - Positiva Negativa - Positiva
y Convexa - Cóncava P.I. Convexa - Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función:
𝑦(0) = 0
02 − 1= 0
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