Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno...
Transcript of Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno...
![Page 1: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/1.jpg)
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 9
6 de junho de 2012
Aula 9 Matemática Básica 1
![Page 2: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/2.jpg)
Funções
Aula 9 Matemática Básica 2
![Page 3: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/3.jpg)
O que é uma função?
Aula 9 Matemática Básica 3
![Page 4: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/4.jpg)
O que é uma função?
Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 4
![Page 5: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/5.jpg)
O que é uma função?
Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 5
![Page 6: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/6.jpg)
Exemplo
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todoelemento de X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
A função sucessor no conjunto dos números naturais:
s : N → Nn 7→ s(n) = sucessor de n = n + 1
Aula 9 Matemática Básica 6
![Page 7: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemplo
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todoelemento de X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
A função sucessor no conjunto dos números naturais:
s : N → Nn 7→ s(n) = sucessor de n = n + 1
Aula 9 Matemática Básica 7
![Page 8: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/8.jpg)
Exemplo: a projeção estereográfica
A Projeção Estereográfica
F : S− {N} → πP 7→ F(P) = Q
Aula 9 Matemática Básica 8
![Page 9: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemplo: a projeção estereográfica
A Projeção Estereográfica
F : S− {N} → πP 7→ F(P) = Q
Aula 9 Matemática Básica 9
![Page 10: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/10.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 10
![Page 11: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/11.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 11
![Page 12: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 12
![Page 13: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 13
![Page 14: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/14.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 14
![Page 15: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/15.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 15
![Page 16: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 16
![Page 17: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/17.jpg)
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Aula 9 Matemática Básica 17
![Page 18: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/18.jpg)
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Aula 9 Matemática Básica 18
![Page 19: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/19.jpg)
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Aula 9 Matemática Básica 19
![Page 20: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/20.jpg)
Lembram-se dos diagramas de Venn?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 9 Matemática Básica 20
![Page 21: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/21.jpg)
Uma outra representação para funções
(entrada) (saída)
Aula 9 Matemática Básica 21
![Page 22: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/22.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 22
![Page 23: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/23.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 23
![Page 24: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/24.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 24
![Page 25: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/25.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 25
![Page 26: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/26.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 26
![Page 27: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/27.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 27
![Page 28: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/28.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 28
![Page 29: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/29.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 29
![Page 30: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/30.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 30
![Page 31: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/31.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 31
![Page 32: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/32.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 32
![Page 33: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/33.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 33
![Page 34: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/34.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 34
![Page 35: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/35.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 35
![Page 36: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/36.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 36
![Page 37: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/37.jpg)
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Aula 9 Matemática Básica 37
![Page 38: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/38.jpg)
A Imagem de Uma Função
Aula 9 Matemática Básica 38
![Page 39: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/39.jpg)
O que é a imagem de uma função?
Aula 9 Matemática Básica 39
![Page 40: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/40.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 40
![Page 41: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/41.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 41
![Page 42: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/42.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 42
![Page 43: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/43.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 9 Matemática Básica 43
![Page 44: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/44.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Aula 9 Matemática Básica 44
![Page 45: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/45.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Aula 9 Matemática Básica 45
![Page 46: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/46.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Aula 9 Matemática Básica 46
![Page 47: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/47.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Aula 9 Matemática Básica 47
![Page 48: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/48.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Aula 9 Matemática Básica 48
![Page 49: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/49.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Aula 9 Matemática Básica 49
![Page 50: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/50.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Aula 9 Matemática Básica 50
![Page 51: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/51.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Aula 9 Matemática Básica 51
![Page 52: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/52.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Moral: Imagem de f = R!
Aula 9 Matemática Básica 52
![Page 53: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/53.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Aula 9 Matemática Básica 53
![Page 54: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/54.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Aula 9 Matemática Básica 54
![Page 55: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/55.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Aula 9 Matemática Básica 55
![Page 56: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/56.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Aula 9 Matemática Básica 56
![Page 57: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/57.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !
Aula 9 Matemática Básica 57
![Page 58: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/58.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Aula 9 Matemática Básica 58
![Page 59: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/59.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Aula 9 Matemática Básica 59
![Page 60: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/60.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 9 Matemática Básica 60
![Page 61: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/61.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 9 Matemática Básica 61
![Page 62: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/62.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 9 Matemática Básica 62
![Page 63: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/63.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 9 Matemática Básica 63
![Page 64: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/64.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Aula 9 Matemática Básica 64
![Page 65: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/65.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Aula 9 Matemática Básica 65
![Page 66: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/66.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 9 Matemática Básica 66
![Page 67: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/67.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 9 Matemática Básica 67
![Page 68: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/68.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 9 Matemática Básica 68
![Page 69: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/69.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 9 Matemática Básica 69
![Page 70: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/70.jpg)
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Moral: Imagem de f = [0,+∞)!
Aula 9 Matemática Básica 70
![Page 71: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/71.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 71
![Page 72: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/72.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 72
![Page 73: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/73.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 73
![Page 74: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/74.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 74
![Page 75: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/75.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 75
![Page 76: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/76.jpg)
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 9 Matemática Básica 76
![Page 77: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/77.jpg)
Domínio e Imagem Naturais (Efetivos)de Uma Função
Aula 9 Matemática Básica 77
![Page 78: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/78.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 78
![Page 79: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/79.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 79
![Page 80: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/80.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 80
![Page 81: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/81.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 81
![Page 82: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/82.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 82
![Page 83: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/83.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 9 Matemática Básica 83
![Page 84: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/84.jpg)
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa
que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!
Aula 9 Matemática Básica 84
![Page 85: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/85.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 85
![Page 86: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/86.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 86
![Page 87: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/87.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 87
![Page 88: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/88.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 88
![Page 89: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/89.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 89
![Page 90: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/90.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 90
![Page 91: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/91.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 91
![Page 92: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/92.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 92
![Page 93: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/93.jpg)
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 9 Matemática Básica 93
![Page 94: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/94.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 94
![Page 95: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/95.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 95
![Page 96: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/96.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 96
![Page 97: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/97.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 97
![Page 98: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/98.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 98
![Page 99: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/99.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 99
![Page 100: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/100.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 100
![Page 101: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/101.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 9 Matemática Básica 101
![Page 102: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/102.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 102
![Page 103: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/103.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 103
![Page 104: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/104.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 104
![Page 105: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/105.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 105
![Page 106: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/106.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 106
![Page 107: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/107.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 107
![Page 108: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/108.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 108
![Page 109: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/109.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 109
![Page 110: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/110.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 110
![Page 111: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/111.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 111
![Page 112: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/112.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 112
![Page 113: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/113.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 113
![Page 114: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/114.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 114
![Page 115: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/115.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 115
![Page 116: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/116.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 116
![Page 117: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/117.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 117
![Page 118: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/118.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 118
![Page 119: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/119.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 119
![Page 120: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/120.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 120
![Page 121: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/121.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 121
![Page 122: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/122.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 122
![Page 123: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/123.jpg)
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 9 Matemática Básica 123
![Page 124: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/124.jpg)
Gráfico de Uma Função Real
Aula 9 Matemática Básica 124
![Page 125: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/125.jpg)
O que é o gráfico de uma função real?
Aula 9 Matemática Básica 125
![Page 126: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/126.jpg)
O que é o gráfico de uma função real?
O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):
Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.
Definição
Aula 9 Matemática Básica 126
![Page 127: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/127.jpg)
O que é o gráfico de uma função real?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 9 Matemática Básica 127
![Page 128: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/128.jpg)
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Aula 9 Matemática Básica 128
![Page 129: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/129.jpg)
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Aula 9 Matemática Básica 129
![Page 130: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/130.jpg)
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Aula 9 Matemática Básica 130
![Page 131: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/131.jpg)
Como construir o gráfico de uma função real?
A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadaspara se construir gráficos de funções!
Aula 9 Matemática Básica 131
![Page 132: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/132.jpg)
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 9 Matemática Básica 132
![Page 133: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/133.jpg)
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 9 Matemática Básica 133
![Page 134: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/134.jpg)
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 9 Matemática Básica 134
![Page 135: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/135.jpg)
Exemplo
Aula 9 Matemática Básica 135
![Page 136: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/136.jpg)
Exemplo
Aula 9 Matemática Básica 136
![Page 137: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/137.jpg)
Gráficos de funções gerais
Toda função f : D → C possui um gráfico: gráfico de f = {(x , y) ∈ D × C | y = f (x)}.
Por exemplo, o gráfico da função f : [0,6π] → R2
t 7→ (x , y) = f(t) = (cos(t), sen(t))é
gráfico de f = {(t , x , y) ∈ R3 | t ∈ [0,6π] e (x , y) = (cos(t), sen(t))}.
x
y
t
0
Aula 9 Matemática Básica 137
![Page 138: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/138.jpg)
Gráficos de funções gerais
Toda função f : D → C possui um gráfico: gráfico de f = {(x , y) ∈ D × C | y = f (x)}.
Por exemplo, o gráfico da função f : [0,6π] → R2
t 7→ (x , y) = f(t) = (cos(t), sen(t))é
gráfico de f = {(t , x , y) ∈ R3 | t ∈ [0,6π] e (x , y) = (cos(t), sen(t))}.
x
y
t
0
Aula 9 Matemática Básica 138
![Page 139: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/139.jpg)
Gráficos de funções gerais
Toda função f : D → C possui um gráfico: gráfico de f = {(x , y) ∈ D × C | y = f (x)}.
Por exemplo, o gráfico da função f : [0,6π] → R2
t 7→ (x , y) = f(t) = (cos(t), sen(t))é
gráfico de f = {(t , x , y) ∈ R3 | t ∈ [0,6π] e (x , y) = (cos(t), sen(t))}.
x
y
t
0
Aula 9 Matemática Básica 139
![Page 140: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/140.jpg)
Gráficos de funções gerais
Toda função f : D → C possui um gráfico: gráfico de f = {(x , y) ∈ D × C | y = f (x)}.
Por exemplo, o gráfico da função f : [0,6π] → R2
t 7→ (x , y) = f(t) = (cos(t), sen(t))é
gráfico de f = {(t , x , y) ∈ R3 | t ∈ [0,6π] e (x , y) = (cos(t), sen(t))}.
x
y
t
0
Aula 9 Matemática Básica 140
![Page 141: Matemática Básica · 2014-03-31 · Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x éumnúmero realno domínio D! Aqui f(x) éumnúmero realno contradomínio C! f(x) 2C chama-se o valor](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060513/5f827b3f274a2b01c359e0ba/html5/thumbnails/141.jpg)
Gráficos de funções gerais
Toda função f : D → C possui um gráfico: gráfico de f = {(x , y) ∈ D × C | y = f (x)}.
Por exemplo, o gráfico da função f : [0,6π] → R2
t 7→ (x , y) = f(t) = (cos(t), sen(t))é
gráfico de f = {(t , x , y) ∈ R3 | t ∈ [0,6π] e (x , y) = (cos(t), sen(t))}.
x
y
t
0
Aula 9 Matemática Básica 141