MATEMATYKA - mimuw.edu.plrybka/chemia/ar03/ksiazka1.pdf · dowody bed˛ a˛ szkicowane lub...

Piotr Rybka

MATEMATYKAdla studentówchemii

skrypt do wykładu Matematyka B

Warszawa2002

2

NakłademWydziałuChemiiUniwersytetuWarszawskiego,Warszawa2002Druk:

Wstep

Niniejszy skrypt powstał na podstawie notatekdo wykładu jaki prowadziłemw latach1999–2002 na wydziale Chemii UW. Był to tzw. wykład „B”, oznaczało,to ze jego materiał jestrozszerzony, po to aby przygotowac studentówdo wysłuchaniawykładu z chemii kwantowej,termodynamiki,czy innych wykładówz fizyki wymagajacych solidnego matematycznegoprzy-gotowania.W istocierzeczynatenwykład uczeszczaja nie tylko studenciwydziałuchemii,aletakzesłuchaczeMiedzywydziałowychIndywidualnychStudówMatematyczno–Przyrodniczych.Dzieki nim wykład powinien sie nazywac Matematyka dla przyr odoznawców. Jestto tez dy-daktycznewyzwanierzuconewykładowcy.

Odsłuchacza– czytelnikaoczekujesiezainteresowaniaprzedmiotemi dobregoprzygotowa-nianapoziomieszkołysredniej.Tyko tyle jestniezbednedozrozumieniarozdziałupierwszego,który jest poswiecony przedstawieniu jezykateorii zbiorów, aksjomatykiliczb rzeczywistych,liczb naturalnych i zasadyindukcji zupełneja nakoniecelementówkombinatoryki.

W rozdzialedrugimprzedstawiamyteorieprzestrzenii odwzorowan liniowych,którejkoron-nym zastosowaniemjestbadanierozwiazan układówrównan liniowych. Przyokazji poznajemywyznaczniki,którychgeometryczneinterpretacjeprzedstawiamy nakoncurozdziału.Beda onewielceprzydatnepózniejw rozdziałachszóstymi siódmymposwieconym całkowaniu.

Rozdziałtrzeci jestposwiecony zarysowi rachunkurózniczkowego i całkowego funkcji jed-nej zmiennej. Jego kulminacja jest teoria całki Riemannai definicja funkcji wykładniczej ifunkcji trygomometrycznychzapomocaszeregów potegowych.

Rozdziałczwartyzaczynasieodnaderzwiezłegowprowadzeniaw topologieprzestrzeniEu-klidesowych. Jestto przygotowaniedla pozostałychrozdziałów. Nastepniewykładamypodsta-wowepojeciarachunkurózniczkowegofunkcji wieluzmiennych. Pomijamypochodnewyzszychrzedów, apochodnarzedudrugiegowprowadzamytylko dlafunkcji owartosciachrzeczywistych.Czynimytakwiedzenibrakiemczasui koniecznoscia.

Równaniomrózniczkowymzwyczajnym jestposwiecony rozdziałpiaty. Przedstawiamynaj-wazniejszetypy równan skupiajac sie na równaniachliniowych pierwszego i drugiego rzedu.Przedstawiamytez zarysteorii egzystencjalnej,jesttozastosowanieogólnychpojec metrycznychzaprezentowanychnapoczatkupoprzedniegorozdziału.Nie rozwijamytematu„metodyrozwiazy-waniarównan”, mniemajaczewspółczesny przyrodoznawcaczesciejposługujesiekomputerem,np. do rozwiazaniarównania,anizeli siegapo tablicecałek.

Rozdziałszóstyjestposwiecony całcewielokrotnejdefiniowanejjako iterowanacałkaRie-manna.To podejscie jest pogladowe, wymagatez poswiecenianiecouwagi zbiorommierzal-nym w sensieJordana–Riemanna.Taki wykład całkowaniajestduzo prostszy, niz tenposługu-

3

4

jacy sie teoria Lebesgue’a.Konczymy rozdział wzoremna zamiane zmiennejw całce. Jegowyprowadzenieilustrujemetodepatrzenianacałki jak nagranicesumRiemannowskich.

W nastepnymrozdzialezajmujemysiecałkowaniemnakrzywychi napowierzchniach.Oczy-wisciewyjasniamyczymdla nassa krzywei powierzchnie.Stosujemytu tez metodeopowiada-nia o całkachprzedstawiona uprzednio.Przedstawiajac temat„pracasił polawzdłuz krzywej”dochodzimydonowychpojec, takichjak 1-formarózniczkowa.Wyprowadzamywzory Greena,Gaussa-Ostrogradskiegojakokolejneuogólnieniapodstawowegorachunkurózniczkowego.Kon-czymynawzorzeStokesa.

Ostatni,ósmyrozdziałjestposwiecony elementomteoriiprzestrzeniHilberta.Jejkluczowymw zastosowaniachdo mechanikikwantowej przykłademjest przestrzen

��. Definiujemy

ja jako zbiór funkcji, których kwadratjest „niewłasciwie” całkowalny w niewłasciwym sensieRiemanna.Nadtoprzedstawiamy inne tematyjak szeregi Fouriera,czy metode najmniejszychkwadratów.

Przygotowujac wykład korzystałemz wielu zródeł, przy okazji warto wymienic pozycjebedaceliteraturauzupełniajaca:

rozdział1. – H.Rasiowa,Wstepdomatematykiwspółczesnej, PWN,Warszawa1990;rozdział2. – J.Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i

kwadryk, PWN,Warszawa 1978;rozdziały3. i 4. – W. Rudin,Podstawyanalizymatematycznej, PWN,Warszawa 1976;rozdział5. – W.I.Arnold, Równaniarózniczkowezwyczajne, PWN,Warszawa 1975;rozdziały4., 6. i 7. – G.M.Fichtenholz,Rachunekrózniczkowyi całkowyt. I-III, PWN,

Warszawa 1978; J.Thorpe,Elementarytopics in Differential Geometry, Springer, Nowy Jork,1979;

rozdział8. wspomnianewyzej ksiazki Rudinai Komorowskiego nadto,J.Stoer, R.Bulirsch,Wstepdoanalizynumerycznej, PWN,Warszawa 1987.

Trzebatez powiedziec, zeniniejszeopracowaniezawieraniecowiecejmateriału,niz w isto-cie zostałowyłozone.Nie zawszeopierałemsie pokusiedopisaniapominietychszczegółów czydodatkowychwyjasnien. Mimo tego,objetosc Pracy zasadniczoniewzrosła.

Moja przygodaz wykłademMatematykaB zaczełasie zasprawa mojego nauczycielaprof.MarkaBurnata,który niejednokrotnienamawiał mniedowzieciategowykładui uzyczyłswoichnotatek.Wywarły oneogromny wpływ narozdziałyposwieconecałkowaniu. Jestemwdziecz-ny memu serdecznemukoledzei współpracownikowi dr. Marcinowi Moszynskiemu,któryprowadził cwiczeniado wykładu wnikliwie czytał maszynopisnotatek. Mojej zonieMagdziedziekuje za wyrozumiałosc, wsparciei cierpliwe wyłapywanieliterówek w tekscie. Wreszciemojepodziekowaniasa skierowanedo dr. LeszkaStolarczykai prof. Krystyny Jackowskiej zazachete donapisaniaskryptui wsparcie.

Na koniecobjasnimyoznaczeniastosowanepózniejw tekscie: �� nazywasie implikacja i czytamy pociaga � albo jesli , to � . Czestostrzałki � , �oznaczaja kierunekwykazywaniatwierdzenia. �� oznaczawtedyi tylko wtedy, tj. zachodzaobieimplikacje: �� i �� .a.a.(adabsurdum)oznaczazastosowaniew dowodziemetodysprowadzeniadoniedorzecznosci.

5��oznaczakoniecdowodu.

Symbol �� nalezy rozumiec, ze � jestrówne � namocy definicji.

W obrebierozdziałówprzyjmujemyciagła numeracje przykładów, definicji i łacznietwier-dzen,stwierdzen i lematów. Odwołaniew obrebierozdziałuodbywasiepoprzezpodanienumerutwierdzenia(przykładu)itp. Odwołaniedo stwierdzenia(lematuitp.) z innego rozdziałumapostac podobna tyle, zenumerstwierdzeniajestpoprzedzony numeremrozdziału.

Pojeciadefiniowanesa pisanekursywa.

Spistr esci

Wstep 3

1 Wiadomosciwstepne 111.1 Naszecele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Zbiory i działaniananich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Działanianazbiorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Zbiór Potegowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Liczby rzeczywistei naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 ZastosowaniaZasadyIndukcji Zupełnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Ciagi,kombinatoryka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Kresyzbiorówliczb rzeczywistych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Liczby zespolone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Przestrzenieliniowe i układy równan liniowych 352.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Liniowaniezaleznosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Sumyproste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Przestrzen wektorowamacierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Dygresjanatematpermutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Wyznacznikmacierzykwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Odwzorowanialiniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1 Problemyliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2 Metodaeliminacji Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Interpretacjai zastosowaniageometrycznewyznaczników . . . . . . . . . . . . 592.5.1 Przykładyprzekształcen płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.2 Prostanapłaszczyznie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5.3 Prostai płaszczynaw

��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.5.4 Własciwosci iloczynuwektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.5 Stozkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.6 Obrót . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7

8 SPISTRESCI

3 Rachunekrózniczkowy i całkowy jednej zmiennej 713.1 Ciagi jego granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Podciagi i TwierdzenieBolzano–Weierstrassa. . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Granicai ciagłosc funkcji jednejzmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.1 Funkcjemonotoniczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.2 Klasyfikacjapunktównieciagłosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4 Rózniczkowanie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.1 Twierdzeniao wartosci sredniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5 TwierdzenieTaylorai pochodnewyzszychrzedów . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.1 Interpretacjefizycznewyzszychpochodnych . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.2 Interpretacjegeometryczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.3 TwierdzenieTaylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5.4 Zastosowaniado obliczen przyblizonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.5.5 Rózniczkowacharakteryzacjaekstremówlokalnych . . . . . . . . . . . . 100

3.6 CałkaRiemanna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.7 Ciagi i szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.7.1 Zbieznosc jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.7.2 Szeregi potegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.8 Funkcjawykładniczai funkcjetrygonometryczne. . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.8.1 Funkcjewykładniczai logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.8.2 Funkcjetrygonometryczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4 Rachunekrózniczkowy funkcji wielu zmiennych 1254.1 Przestrzenieunormowanei metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.1 Definicjei przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.1.2 Zbiory w przestrzeniachmetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2 Granicai ciagłosc funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.1 Granicaciagu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.2 Podciagi i TwierdzenieBolzano–Weierstrassa. . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.3 Granicafunkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.4 Ciagłosc funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.3 Rózniczkowaniefunkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.4 Ekstremalokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5 Drugapochodnafunkcji o wartosciachrzeczywistych. . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5.1 TwierdzenieTaylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 Warunkikoniecznei dostateczneekstremówlokalnych . . . . . . . . . . . . . . 141

4.6.1 Macierzedodatnioi ujemnieokreslone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5 Równania rózniczkowezwyczajne 1475.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 Najprostszetypy równan i ich rozwiazywanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.3 Równanialiniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

SPISTRESCI 9

5.3.1 Równanialiniowepierwszegorzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3.2 Równanialiniowedrugiego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.4 Teoriarozwiazalnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.4.1 Uwaginatematjakosciowej teorii równan . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6 Całki Iter owanei Wielokrotne 1616.1 CałkaIterowana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2 Miara zbioróww

��! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.3 Własciwosci całeki miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.4 InterpretacjageometrycznamierzalnosciJordana-Riemanna. . . . . . . . . . . 1706.5 Miara zbiorównieograniczonych i całki niewłasciwe . . . . . . . . . . . . . . . 1736.6 Zamianazmiennychw całcewielokrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.6.1 Całkanarównoległoboku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.6.2 Mierzalnosc obrazuzbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.6.3 Wzórnazamiane zmiennychw całce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7 Całki na Krzywych i Powierzchniach 1837.1 Długosc krzywej,całkakrzywoliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.2 Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.3 Polepowierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.4 Pracajakocałka1-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.5 WzórGreena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.5.1 Innapostac wzoruGreena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.6 WzórGaussa-Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.6.1 PrzykładzastosowaniawzoruGaussaw fizyce . . . . . . . . . . . . . . 2037.7 WzórStokesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.7.1 Operacjeanalizywektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8 PrzestrzenieHilberta 2138.1 Przestrzenieunitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.2 Szeregi Fouriera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.2.1 Przestrzenie� � �#"$�

i całkaLebesgue’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.3 Przekształceniaunitarnei ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.4 Formy dwuliniowei kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.5 Metodanajmniejszychkwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.6 Wektoryi wartosciwłasne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.6.1 Układy liniowychrównan rózniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10 SPISTRESCI

Rozdział1

Wiadomosciwstepne

1.1 Naszecele

Naszymcelemjestzapoznanieczytelnikaz podstawaminiezbednymi dowysłuchaniawykładówz mechanikikwantowej i termodynamiki.Moznago przedstawic obrazowo, porównujacmate-matykedosamochodu:

1. Do jego prowadzeniapotrzebnejest prawo jazdy, jego posiadaczmawiedziec do czegosłuzy kierownicai jakiesapodstawowefunkcjeróznychdzwigni i przycisków, maznac przepisyruchu.W matematyceodpowiadato znajomosci tabliczkimnozenia,którejwyrafinowana formajestumiejetnosc prawidłowegowypełnieniaPITu.

2. Doswiadczony kierowca dodatkowo znasie na budowie samochodu,potrafi rozpoznacproblemi powiedziec mechanikowi w warsztacieco ma zrobic. Rozumieswój wóz i potrafiprzeprowadzic drobnenaprawy.

3. Mechaniksamochodowy znadziałaniemechanizmówi wie cojak jestzbudowane.Wiedzaz nastepnegoetapujestprzydatna,leczprzedewszystkimmadoswiadczenie,któregoniemoznazdobyc szkoleniemteoretycznym.

4. Konstruktorznazeszczegółami tajniki budowy i potrafiskonstruowac nowy pojazd.Stu-dencimatematykisa kształcenido takiego poziomu,abymócbyc zatrudnionym w charakterzestazystyu bokukonstruktora.

Naszceltoosiagnieciepoziomudrugiego,cooznaczazrozumieniepodstaw mechanikikwan-towej, takby mócpogadac z fachowcem,adziekipraktyceosiagnac poziomczeladnikai majstra.

Aby przyblizyc naszcel,bedeopowiadało matematyce,wieceji szerzejniz nawykładzieA,aleegzaminnie bedzietrudniejszy. Połozymy nacisknawyjasnieniezwiazkówpomiedzyfak-tami anizeli nabudowanieformalnejteorii. Nie bedziemyzbyt głebokowchodzic w szczegóły,dowody beda szkicowanelub pomijane.Jednakw całosci przeprowadzanetylko te najbardziejtypowe. Czytelnikmanabyc wprawe w operowaniupojeciamiw praktyce,tj. w liczeniu. Jed-noczesnieczytelnikpowiniem oswoic sie z metoda dedukcyjna. Dobrympunktemwyjsciajestabstrakcyjna,aczłatwateoriamnogosci.

11

12 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOSCI WSTEPNE

1.2 Zbiory i działania na nich

Zwykle pierwszyuniwersyteckiwykładmatematykizaczynasieodstwierdzenia,zeodsłuchaczynie jestwymaganazadnawiedza.Jestto oczywiscieprzesada,bobagaz doswiadczen jestbardzopomocny. Ale kryje sie w tym stwierdzeniuziarnoprawdy: mianowicie musimyzaczac od uz-godnieniajezyka.Jezykiemmatematykijestaksjomatycznateoriamnogoscizeswymzespołempewników i pojec pierwotnych. Pojeciapierwotneuznajesie zaznane.Pewniki to twierdzeniauznanezaprawdziwebezdowodu.Nie jestnaszymcelempoprawnekonstruowanieteorii mno-gosci,bo jej staranny wykład zwienczony scisła definicja liczb rzeczywistychtrwałby pół roku,co nie wchodziw gre. Tym nie mniej musimyjej niecoliznac. Zakładamy, zewszyscy wiedzaco to sa zbiory (jest to własnieowo niedefiniowanepojeciepierwotne). Zbiór A moznazdef-iniowac wyliczajac jego elementy, np. %&�(')�+*,�-*/.�0 , jednaknaogół jest to niewykonalnejakw przypadkuzbioru liczb rzeczywistych

��, zespolonych 1 — beda to główneobiektynaszego

zainteresowania.Bedziemypisac 2435% ( 2 jestelementem% lub 2 nalezy do % ). Uniwersalnymprzykłademjestzbiór pusty 6 , który nie zawiera zadnego elementu(tj. nastepujacezdaniejestprawdziwe:dlakazdego 2 , nieprawda jest,ze 2 nalezy do 6 ), inny przykład 6�37')680 .1.2.1 Działania na zbiorach

Majacdwazbiory % i 9 mozemyutworzyc ich sume %;:<9 .

Definicja 1. Powiemy, ze 2 nalezy do sumyzbiorów % i 9 , oznaczanej%=:>9 , wtedy i tylkowtedy, gdy 2?35% lub 2<379 . Piszemytez 243@%A:59 � 2B35% lub 24379 .

Mozemyutworzyc przecieciezbiorów % i 9 .

Definicja 2. Iloczynem(przecieciem)zbiorów % i 9 jest zbiór %DCA9 okreslony nastepujaco:2435%EC59 � 2 nalezy do % i 2 nalezy do 9 .Zilustrujmy te definicjeprostymiprzykładami:niech % oznaczazbiór liczb parzystych,zas9 zbiór liczb nieparzystych.Wtedy %;C<9F�G6 i %A:59 jestzbioremliczb całkowitych.Innawaznaoperacja jestróznicazbiorów, %IHJ9 , okreslonaponizej.

Definicja 3. Róznica zbiorów % i 9 nazywamyzbiór tych elementów% , którenie naleza do 9 ,oznaczmygo symbolem%AHK9 .

Przykład 1.Jesli % jestzbioremliczb rzeczywistych,zas 9 jestzbioremdodatnichliczb rzeczy-wistych,to %;HK9 jestzbioremnieujemnych liczb rzeczywistych.

Zauwazmy tez, zezawszejestprawda, iz� %IHJ9 � C59F�G6MLWarto w tym momenciezwrócic uwage na mozliwosc zobrazowaniapowyzszychoperacjizapomoca tzw. okregówEulera.

1.2. ZBIORY I DZIAŁANIA NA NICH 13

A B

Rys.1. okregi Eulera.

Waznymi pojeciamisa: podzbióri zawieraniesie zbiorów.

Definicja 4. Powiemy, ze % jestpodzbiorem 9 (piszemy%FND9 ) lub % zawierasie w 9 , wtedyi tylko wtedy, gdy 2435% , pociaga24379 . Oczywiscie,dlakazdego zbioru % mamy, ze%DNG%�O 6PN�%�LOdnotujmyterazprostyfakt.

Stwierdzenie1. Jesli %FN=9 i 9QN�% , to %D�=9 .

Dowód. Z załozenia,jesli 2<37% , to 25379 , dodatkowo, jesli 243>9 , to 2535% , tj. 243@% wtedyi tylko wtedy, gdy 24379 , czyli %=�R9 .

��Potrzebnenambedareguły tworzeniapodzbiorów. A mianowiciepodzbiorymozemyokreslac

nastepujaco 9F�D')2B35%F�S2 mawłasciwosc T0ULTrzebatu wyraznie powiedziec, ze 9 jest podzbiorem% tylko dla „rozsadnych” wyrazen T ijego istnieniejestpewnikiem. Gdy % jest zbioremliczb rzeczywistych,to zdanie„ 2 jest liczbadodatnia” jestrozsadne,awiecVKW �R')2?35%F�X2 jestliczba dodatnia0jestzbiorem.

Innawaznaaprostaoperacjajest iloczynkartezjanski(lub poprostuprodukt) %AYP9 zbiorów% i 9 . Do jego definicji jestpotrzebnepojeciepary uporzadkowanej� �+*,� � . Jestonointuicyjnie

jasne:pierwszymelementemparyjest � , drugim � . Scislerzeczujmujac� �+*,� � ��D'S')�M0U*�')�+*,�Z0S0ULMozna wykazac ze

� �[*/� � � � .-*,\ � wtedy i tylko wtedy gdy �D� . i �E� \ . Prostydowódzostawiamy Czytelnikowi jako cwiczeniewłasne.

Terazdefiniujemy%]Y59 nastepujaco:

Definicja 5. %FY79 jestzbioremparuporzadkowanych� �[*/� � takich,ze �P35% i �^3_9 .


Jesli %`�a9 to zamiast%bYc% piszemy % � . Mozemykartezjanskomnozyc wieksza ilosczbiorówpiszac %$dY<% � Y4% � Y>LeLfLeLUY5% LPowyzszyzbiór jest złozony z g –tek uporzadkowanych, których definicja jest dosc oczywista.Odnotujemytylko, ze

� �[*/�h*/. � �i� �j� �+*/� � *,. � itp.

Przykład 2. Niech % bedziezbioremliczb rzeczywistych,wtedy% � �G%FY5% jestpłaszczyzna Euklidesowa, jej elementy� �+*,� � , to punktypłaszczyzny;% � �G%FY5%DY5% jestprzestrzeniaEuklidesowa, jej elementy

� �+*/�h*/. � , to punkty.

1.3 Relacje

Pojecierelacji jestwstepemdo scisłego ujeciafunkcji, która jest intuicyjnie dobrzeznana:oz-naczaona,zekazdemuelementowi 2 zbioru k umiemyjednoznacznieprzypisac elementl � 2 �nalezacy do m , (piszemyczasem2?nopl � 2 �j� . W niedalekiejprzyszłoscibedziemyprzeprowadzacoperacjena funkcjach,tworzyc zbiory funkcji, dlatego chcielibysmy wiec miec jasnosc co donaturytegoobiektu.Nie jestto cwiczenieczystoakademickie,bomechanikekwantowauprawiasie w zbiorach,którychelementamisa własniefunkcje.Zaczniemyoddefinicji relacji

V.

Definicja 6. Niechbedadanedwazbiory % i 9 . RelacjaV

nazywamydowolny podzbiór%EYP9 .Jesli %]�Q9 , to mówimy, zemamyrelacje

Vw % . Piszemy2 VKq naoznaczeniefaktu, ze 2 jest

w relacji zq.

Przykład 3. Niech % bedziezbioremliczb rzeczywistych,kładziemywtedyV �D' � 2r* qM� 35% � �2 jestmniejszeod

q 0 , wtedyV

jestrelacjanazywanarelacjamniejszosci. Zamiast2 VKq piszemyzgodniez tradycja 2?s q .

W dalszymciagubedziemyopisywac relacjebardziejszczegółowo i rozrózniac je.

Definicja 7. Powiemy, zerelacjaV

w % jest:(a) zwrotna, jesli 2B35% pociaga2 V 2 ;(b) symetryczna, jesli 2 VKq pociaga

qtV 2 ;(c) przechodnia, jesli 2 VKq i

qtVKupociaga2 VKu L

(d) relacja równowaznosci, jesli spełnia(a), (b) i (c).

Przykład 4. Niech % bedziezbioremliczb naturalnych.(a) Relacje

Vw % definiujemynastepujaco: 2 VKq wtedyi tylko wtedy, gdy 2 dzieli

q. Wtedy

Vjestzwrotna,przechodnia,aleniesymetryczna.(b) Niech bedzieliczba naturalna wieksza od 1. Relacje

V!vw % definiujemynastepujaco:2 V!vwq wtedyi tylko wtedy, gdy 2�x q jestpodzielneprzez . Łatwosprawdzic, ze

Vyvjestrelacja

równowaznosci. Pozostawiamy to Czytelnikowi do samodzielnegosprawdzenia.Relacjerównowaznosci maja ciekawa własciwosc: Oznaczmyprzez z{2M| zbiór tych

qz k ,

którepozostajaw relacji z 2 , 2 VKq , tj.z{2M|}�G' q 34k~�S2 VKq 0UL

1.4. FUNKCJE 15

Zbiór z{2M| nazywamyklasa abstrakcji elementu 2 . Zbiór klasabstrakcjioznaczamynastepujaco:k�� V LStwierdzenie2. Niech

Vbedzierelacja równowaznosci,wtedydla dowolnych 2 , q nalezacych

do k mamy: z{2M|}��z q | albo z�2t|UC_z q |[�G6MLDowód. Mamy dwie mozliwosci, alboprzeciecie z�2t|MC�z q | jestpustei wtedynie mamynic doroboty, albo z�2M|�C?z q |��G6 . Załózmy wiec,ze

ujestelementemz{2M|SC<z q | , wtedy

u8V 2 a takzeu8VKq

.Z przechodniosci relacji równowaznosci

Vwynika, ze 2 VKq , tj. 2 jestelementemz q | . Wynika,

stad,ze z{2M| zawierasiew z q | . Podobnieargumentujemy, ze z q | zawierasiew z{2M| . Zatem z q |+�Qz�2M|�LCo konczydowód.

Wynika stad prostywniosek,ze relacjarównowaznosci w k wprowadzarozbicie k naro-dzine rozłacznych zbiorów, którew sumiedadza k . Mamy mianowiciek�� z{2M| (sumazbiorów z{2M| indeksowanych 2 nalezacymi do k � L

Z drugiejstrony przypuscmy, zemamyrozbiciezbioru k :k��Q�� h� % � *gdziesumowanieprzebiegapozbiorzewskazników � . Wtedytakierozbiciedefiniujenamrelacje� w k , a mianowicie 2 � q wtedy i tylko wtedy, gdy istniejewskaznik � , taki ze 2 i

qnaleza do% � . Łatwo sprawdzic, ze jest to relacjarównowaznosci, co pozostawiamy Czytelnikowi jako

cwiczeniewłasne.

Przykład 5.Jesli��

jestzbioremliczb naturalnych,zasV v

byłazdefiniowanapowyzej, to�� V v

oznaczasieprzez� v . Uwaga:moznaw nim w naturalny sposóbwprowadzic działaniaarytmety-czne.

1.4 Funkcje

Intuicyjnie pojecie funkcji jest jasne: jest to przyporzadkowanieelementowi 2 zbioru k ele-mentu l � 2 � zbioru m , czestojest to wzór, np. l � 2 � �~2 �� 2 �� . Jednaktakie intuicyjnerozumieniefunkcji jestniewystarczajacedonaszychcelów. Z drugiejstrony jakiekolwiekscisłeujeciemusizgadzac sie z intuicja.

Zacznijmyodtego,zeparauporzadkowana� 2r*/l � 2 �� jestelementemiloczynukartezjanskiegok Y_m . Podazymy tym tropemi bedziemytraktowac funkcje jako podzbiór k Y7m , tj relacje.

Zaczniemyoddefinicji:

Definicja 8. Powiemy, ze relacja l=Nbk Y>m jest prawostronniejednoznaczna, jesli warunek2[l q d i 2[l q � , pociagaq d�� q � .


Jestesmy gotowi do okresleniafunkcji. Niech beda danezbiory k i m (np. k ��m jestzbioremliczb rzeczywistych,bedzieto nasznajwazniejszyprzykład).

Definicja 9. Funkcja l o dziedziniek i przeciwdziedziniem , cooznaczamysymboleml5��k~om , nazywamydowolna relacje prawostronniejednoznaczna l7N�k~Y5m , taka, zedla kazdego 2istnieje

q 35m pozostajacy w relacji l z 2 , tj. 2+l q , dlaprostotypiszemywtedyq �Gl � 2 � L

Uwaga. Własciwie,to nadobrasprawe utozsamiamyfunkcjez jej wykresem.Zajmiemy sie terazbardziej szczegółowym opisemfunkcji i ich własciwosciami. Niech

bedziedanafunkcja l(�$k o m i podzbiór % dziedziny k . Obrazemzbioru % , piszemyl � % � , jestzbiór ' q 35m�� istnieje 2435%�* zeq �;l � 2 � 0UL

Przeciwobrazemzbioru 9�N�m jestzbiór l�� d � 9 � okreslony nastepujaco:l � d � 9 � �D')2B34k~�8l � 2 � 379�0ULWykazemyterazproste,aczwaznewłasciwosciprzeciwobrazu:l � d � 9 d � C�l � d � 9 � � �Gl � d � 9 d C59 � � l � d � 9 d � :<l � d � 9 � � ��l � d � 9 d :49 � �Sprawdzimy tylko pierwsza równosc, dowód drugiej jest zblizony. Niech 2 nalezy do lewejstrony równosci. Jestto równowaznestwierdzeniu,ze 2 nalezy do l � d � 9�d � i l � d � 9 � � . Jestto zkolei równowazne,temuze l � 2 � 379�d i l � 2 � jestw 9 � , tzn. 2 nalezy doprawej strony.

Obrazzachowuje siepodobnie,mianowicie mamyl � %$d � :<l � % � � �Gl � %$d :B% � � * l � %$drC<% � � N�l � %$d � CBl � % � �Udowodnimytylko druga inkluzje. Jesli

qnalezy do lewej strony to znaczy, ze istnieje 2>3Ek

nalezacedo %XdSCX% � , takieze l � 2 � � q . To znaczy, ze 2 jestw %$d i jestw % � i l � 2 � � q . Zatem,qnalezy do l � %$d � i

q 3_l � % � � LChcemypodkreslic, zenie moznazastapic inkluzji równoscia. Pokazujeto prostyprzykład,

niech lF��'Ux � * � 07o ' � 0 bedziedanawzorem l � 2 � �(2 � i %$d��a'Ux � 0 , % � �a' � 0 . Mamywtedy, ze %$dhCK% � �¡6 azatem6��l � 6 � NGl � %$d � CKl � % � � �D' � 0 , równoscizbiorów, oczywiscieniema.

Musimy rozrózniac funkcje,z tego powoduwprowadzamywiecejdefinicji.

Definicja 10. Powiemy, ze funkcja lQ��k o m jest róznowartosciowa(jest iniekcja), jesli zwarunkul � 2}d � �Gl � 2 � � wynika, ze 2}d��G2 � .Definicja 11. Powiemy, ze funkcja l��!k o m jest „na” (jest suriekcja), jesli dla kazdegoq 3@m istnieje 2<34k taki, ze l � 2 � � q LDefinicja 12.Powiemy, ze l>�8k¢o m , jestwzajemniejednoznaczna(jestbijekcja), jesli l jestróznowartosciowai „na”.

1.4. FUNKCJE 17

Istnieniebijekcji pomiedzyzbiorami % i 9 oznacza,ze maja onerówna ilosc elementów.Czasemprowadzito downioskówsprzecznychzezdrowym rozsadkiem.Zachwileprzedstawi-my tego przykłady, alenajpierwzajmiemysie sprawamipodstawowymi.

Podamykilka definicji funkcji ilustrujacychpowyzszepojecia.

Przykład 6.Niech��

bedziezbioremliczbnaturalnych,zas � niechbedziezbioremliczbcałkow-itych.

Funkcje l£�S�Bo ��okreslamywzorem:l � 2 � �¡2 � Ll nie jestani „na”, ani róznowartosciowa.

Funkcja¤<� �� o ��jestdanawzorem,¤ � 2 � ��2 � jestonaróznowartosciowai „na”, tj. jest

wzajemniejednoznaczna;Funkcje ¥D� �� o ��

okreslamywzorem ¥ � 2 � �(2 � 24x �h�/� 2<x�¦ � , jest ona„na”, ale nieróznowartosciowa;

Funkcje §?� �� o ��okreslamywzorem § � 2 � �G2}� �j�!�D¨ 2 ¨{� . Jestróznowartosciowa,alenie

„na”.Podamyterazmetode tworzenianowych funkcji z danych.

Definicja 13.Niechbedadanel5��k�o m , ¤��Sm�o © , funkcje ¥4��k�o © dana wzorem¥ � 2 � �I¤ � l � 2 ��nazywamyzłozeniemfunkcji l i ¤ , piszemy¥?�I¤«ªl .

Bedziemymieli bardzoczestodo czynieniaze złozeniemfunkcji. Odnotujmytutaj jednajegowłasciwosc. Niech l£�Sk�opm , ¤��8m�o © , ¥4�M©�o ¬ , wtedy

� lPª�¤ � ªy¥B�Gl�ª � ¤«ª¥ � .Podamyterazprzykład,który mozesie wydawac zaskakujacy. Okreslimy terazfunkcje ®I�� o �� HK')¯�0 � Y �� HK')¯�0 � , którajest„na”. Rysunekzwiezlepodajepomysł.

(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)

(0,3)

(0,2)

(0,1) 1 2

3

5

64

789

(4,0)

Rys.2. Odwzorowanie��

na�� Y �� .


Podamytez wzór. Zaczniemyod tego, ze dowolna liczba §D3 �� jest postaci g � sa§D°� g �;�-� � dlapewnego g5±G¯ . Wtedykładziemy ® � § � � ��² * � , gdzie��² * � � ³ � g �� */§Pxcg � � * gdy §�xEg � °�g �� ;�� g �;�-� � xE§}*/g �;�-� * gdy §�xEg �K´ g �� LSprawdzenieróznowartosciowosci jest łatwe i zostawimy to czytelnikowi. Zajmiemysie poka-zaniem,ze ® jest „na”. Niech danebedzie

��² * � , trzebaznalezc § , takie ze ® � § � � ��² * � .Załózmy, ze

² ± wtedyistnieje g takie,ze² �;g �� * cowiecejmozemyterazpołozyc§��Gg � � L

Mamy, ze ® � § � � ��² * � .Przypadek

² ± rozpatrujesie podobniei pozostawiamy go Czytelnikowi do zbadania.Pokazalismywiec,ze ® jestwzajemniejednoznaczna.

��Z punktuwidzeniateorii mnogoscimoznapowiedziec, zezbiory

��i�� H!')¯S0 � Y �� H!')¯S0 �

maja tyle samoelementów. Aby uscislic to pojeciewprowadzimynoweokreslenie.

Definicja 14.Powiemy, zezbiory % i 9 sa równoliczne, jesli istniejefunkcja. l£�U%=o 9 , którajestbijekcja.

Powyzszyprzykładpozwalanamsformułowac ciekawy wniosek.

Wniosek 3. Liczb naturalnych jest tyle samoco par liczb naturalnych, tj. liczb wymiernych,v µ

jesttyle samoco liczb naturalnych!Pokazemyteraz,zejednakistnieja terazzbiory nierównoliczne.Wyjasnimyto w nastepnym

paragrafie.

1.4.1 Zbiór Potegowy

Zdefiniujemywazny zbiór, którego samoistnieniejest pewnikiem. Rozpatrzmydowolny zbiórk , tworzymynowy zbiór ¶ � k � ��=' q jestpodzbioremk_0ULNazywamygozbiorempotegowym.Zauwazmy, zepodzbioryk moznautozsamiac z funkcjamil7�)k�o ')¯U* � 0 , dlatego czasempiszemytez ¦ � zamiast

¶ � k � . Wspomnianeutozsamieniejestnastepujace,jesli %DN�k , to definiujemynastepujaca funkcje· ¸ � 2 � �]¹ � * gdy 2435% ;¯8* w przeciwnym przypadku.

Funkcje ·º¸ nazywamyfunkcja charakterystyczna zbioru % .Z drugiejstrony, jesli jestdanafunkcja l£�)k»o ')¯8* � 0 , to kładziemy %=�Gl � d �j�h� .Jednakzasadniczymfaktem,o którym chcielibysmytu opowiedziec jestponizszetwierdze-

nie.

1.5. LICZBY RZECZYWISTEI NATURALNE 19

Twierdzenie4. Jesli k ��6 , to k i¶ � k � niesa równoliczne.

Dowód. Pokazemy, ze równolicznosc k i¶ � k � prowadzi do niedorzecznosci. Załózmy, ze

istnieje l7��k�o ¶ � k � , którajestbijekcja,rozpatrzmym��D')2?35k~�S2>�3@l � 2 � 0ULSkoro l jest„na” to istnieje

qtakie,ze l ��qt� �Gm . Jednakani

qniemozebyc elementemm , aniq �3@m . Uzyskanasprzecznosc dowodzinaszetwierdzenie.

��1.5 Liczby rzeczywistei naturalne

Załózmy, zezostałynamobjawioneliczby rzeczywiste,odtej porybedziemyoznaczac ich zbiórsymbolem

��. Owo objawieniebedziemyopisywaliwłasciwosciamiliczb rzeczywistych,czyli

pewnikami. Zaczniemyoddziałan�

, ¼ , tj. zakładamy, zedanesa funkcje� � �� Y �� o ��oraz ¼+� �� Y �� o ��

i wyróznioneelementy0 i 1 o nastepujacych własciwosciach¯<�� LDla prostotybedziemypisali � � � zamiast

�«� �[*/� � itp. Pewniki opisujacedziałaniapodzielimynakilka grup,abyułatwic ich przyswojenie.Zaczniemyod pewników dotyczacych pojedynczychdziałan

�(dodawania) i ¼ (mnozenia).

Przyjmujemy, ze(G1)dladowolnychliczb rzeczywistych�[*/�h*/. , � � � � �M� .J�;� �E� � � . � (tj. działanie

�jest

łaczne);(G2)dladowolnego �P3 �� , � � ¯½�¡¯ � ��G� , (tj. 0 jestelementemobojetnymdodawania);(G3)dladowolnejliczby rzeczywistej� istnieje �^3 �� taka,ze � � �J�;� � �P�G¯ , (tj. istnieje

elementprzeciwnydo � );(G4) dladowolnych �[*/�K3 �� , mamy � � �J�G� � � (tj. działanie

�jestprzemienne).

Powyzszepewniki wprowadzajanowy obiekt.

Definicja 15. Niech bedziedany zbiór"

z działaniem�

i wyróznionym elementem . Jeslitrójka

�¾" * � */¯ � spełniapewniki (G1 - G3), to nazwiemyja grupa. Jesli dodatkowo grupa�¾" * � */¯ � spełnia(G4) to nazywamyjagrupa przemienna alboAbelowa.W mysl powyzszejdefinicji (

�� * � */¯ ) jest grupa przemienna. Element � przeciwny do �oznaczamyw prostysposób��¿x^�[L Bedziemytez pisali �ÀxÁ� zamiast� �R� x�� , gdy � i � sadowolnymi liczbamirzeczywistymi.

Musimy wypowiedziec sie na tematmnozenia. To co mamyna mysli moznaujac zwiezlepiszac,zetrójka

�� xI')¯�0U*�¼f* � ) jestgrupaabelowa. Dla porzadkuprzepiszemyteaksjomaty:(G5) dla � , � , .^3 �� , mamy

� ��¼h� � ¼h.J�¡��¼ � ��¼h. � ;(G6 ) dla ��3 �� */�«¼ � � � ¼h�À�G� ;


(G7) dla �P3 �� */�<��G¯ istnieje �^3 �� taki, ze �X¼h�J��y¼h�P� � ;(G8) dla �+*,�J3 �� */�«¼h��G�!¼h� .Aby uniknac nieporozumien element� okreslony w (G7) nazywamyelementemodwrotnym

do � i piszemy�J�;� � d .Zauwazmy, zejeszczeniepowiazalismydodawaniai mnozenia.Zrobimy to teraz.(C1) Dla dowolnych liczb rzeczywistych�+*/�h*/. , jestprawda, ze ��¼ � � � . � �R�X¼�� ¼h. (tj.

mnozeniejestrozdzielnewzgledemdodawania).Wymienionewyzej pewniki moznazebrac pod wspólna nazwa, zrobimy to wprowadzajac

noweokreslenie.

Definicja 16.Niechbedziedany zbiór Â z dwomadziałaniamii wyróznionymi elementami¯ , � .Jesli piatka

� ÂB* � *w¼e*/¯U* �-� spełnia(G1- G8) i (C1),to nazywamyjaciałemprzemiennym. Moznaopuscic zadanie(G8), wtedy dostaniemynp. nieprzemienneciało kwaterionów, nie bedziemysie tym zajmowac.

Objawione liczby��

maja własciwosci (G1 - G8) i (C1). Co ciekawe, liczby wymierneÃtj. liczby postaci

v µ, gdzie �&��Ä¯ i , � sa naturalne(jeszczenie zdefiniowane)spełniaja

(G1 - G8) i C1). Co wiecej,zbiory klasabstrakcji� v z naturalniewprowadzonymi działaniamiarytmetycznymi tez sa ciałamiprzemiennymi, gdy jest liczba pierwsza. Nie sa ciałami,gdy jestliczbazłozona. Sprawdzeniefaktówdotyczacych � v polecamyCzytelnikowi jakocwiczeniewłasne.

Przedstawimy terazszereg prostychfaktówdotyczacychliczb rzeczywistych.Naszymcelemjestzapoznanieczytelnikaz rozwojemformalnejteorii.

Stwierdzenie5. Elementprzeciwny jestwyznaczony jednoznacznie.

Dowód. Niech � i �/Å beda elementamiprzeciwnymi do � , wtedy�J�� ¯��G� �� Å � � � � � � �r� � Å �G¯ � � Å �¡� Å L ��Stwierdzenie6. Æ<¼h¯½�¡¯Dowód. Wykazmy najpierw, zedla dowolnychliczb rzeczywistychÆ�*jÇy*jÈÆ5¼ � Ç4x>È � ��Æ5¼�Ç<xEÆ4¼�ÈPrzekształcamylewastrone

Lewa �GÆ � Ç5x_È �r� Æ5¼�È�xEÆ4¼�È4�¡Æ � Ç4x>È � È � xEÆ�È<�GÆ4¼ � Ç � ¯ � xEÆrÈ4� Prawa

Wykorzystamyte tozsamosc połozywszy Ç>�IÈ4� � . DostaniemywtedyÆ<¼h¯½�¡Æ£¼ �j� x �-� �GÆ4¼ � xEÆ5¼ � �GÆ4xEÆ7�¡¯8L ��Stwierdzenie7.

� x �h� ¼hÆ7�Fx^Æ�LDowód. Na mocy stwierdzenia5 wystarczywykazac, ze Æ �� x �-� ¼�Æ>�;¯ . Mamybowiem,Æ �� x �h� ¼hÆ7� � ¼hÆ �� x �-� ¼hÆ7� �� x �-� ¼hÆ7��¯X¼hÆ7�G¯UL ��

1.6. LICZBY NATURALNE 21

1.6 Liczby naturalne

Wprowadzilismy zbiór liczb rzeczywistych,poznalismy juz czesc jego struktury. Teraz za-jmiemy sie jej składnikiemjakim jest zbiór liczb naturalnych. Jego scisładefinicja jest celemobecnego paragrafu.Chcemy, abybyła onazgodnaz intuicja tj. ze 1 jest liczba naturalna i zezbiór liczb naturalnych jest wyczerpywany przezoperacje dodawania jedynki tj. sa to liczbypostaci

�!� L�L�L �� . Umówimysie przy tym, zezerotez jestliczba naturalna.

Definicja 17.Powiemy, zepodzbiór ��N �� jest induktywnywtedyi tylko wtedy, gdy1. ¯À3_� ;2. jesli g£3_� , to g �� 37� .

Zbiory induktywne,to kandydacinazbiór liczb naturalnych. Istotnie,mamybowiem:

Twierdzenie 8. Istniejenajmniejszyinduktywny podzbiór��

. Oznaczamygo przez��

i nazy-wamygozbioremliczbnaturalnych. Oznaczato, zekazdyzbiór induktywny zawiera

��.

Dowód. Zaczniemyoddefinicji rodziny podzbiorówinduktywnych��É �G')Ê=3 ¶ ��Ë� ��Ê jest induktywny 0U*

tj.É

jestrodzina podzbiorów��

. Kładziemyteraz�� Ì�j�wÍ �tj.��

jestprzecieciemwszystkichzbiorównalezacych do rodzinyÉ

.Sprawdzamy, ze

��jestzbioreminduktywnym. Widzimy najpierw, ze ¯�3 �� . Jestto prawda,

bodlakazdego � z rodzimyÉ

, ¯�37� , zatem0 nalezy doczesciwspólnejwszystkich� . Załózmy,ze g53 �� , to wtedydlawszystkich��3 É , g£3>� az induktywnosci � wynika, ze g �;� 3_� , dlawszystkich� tj. g �;� 3 �� . Zatem

��jestinduktywny.

Sprawdzimy teraz,ze��

jest najmniejszymzbioreminduktywnym. Niech teraz Î bedziedowolnym podzbioreminduktywnym

��. Wtedy Îc3 É i mamy�� Ì�j�wÍ ��N=ÎÏ*

cokonczydowód.��

Uwagi. ¯?3 �� tj. jest liczba naturalna z mocy definicji;� 3 �� ,

�J�G�(piszemy2) jest liczba

naturalna, ¦ �� (piszemy3) nalezado��

itp.

Twierdzenie9. (zasadaindukcji zupełnej).Niech Ê bedziewłasciwoscia liczb naturalnych (tj.Ê � g � mozebyc zdaniemprawdziwym lub fałszywym).Tworzymyzbiór��D')g53 �� zdanieÊ � g � jestprawdziwe0


Jesli jestprawda,ze(a) ¯�37� i (b) prawdziwajestimplikacja: jesli g537�M* to g �_� 3_� , to wtedy�� Uwaga. Nazwazasadyindukcji zupełnejjest tradycyjna,w istociejest to twierdzeniepodlega-jacedowodowi.

Dowód. Zauwazmy, ze zdefiniowany powyzej zbiór � jest induktywny, zatemz poprzedniegostwierdzeniawynika, ze

�� ND� , alez definicji ��N �� , zatem�� .��

1.6.1 Zastosowania ZasadyIndukcji Zupełnej

Wprowadzimypare oznaczen i nowych pojec. Przyjmujemy, ze ¯-ÐB�� . Jesli 2 jest dowolna

liczbarzeczywista,topiszemy2tÐK�� , ajesli g jestliczbanaturalna,tokładziemy2 W d �i�;2 ¼�2 .Symbol 2 nazywamyg -ta potega 2 .Definicja 18. (a) Silnia liczbynaturalnej g nazywamyliczbenaturalnaokreslonanastepujaco:¯8ÑM�� * � g ��h� Ñ[�i�;gºÑS¼ � g ��-� LInnymi słowy: §}Ñ8� � ¼h¦X¼SL�L�L)¼h§}L

(b) Jesli g5±�§ sa liczbaminaturalnymi, to symbolemNewtona nazywamyliczbeÒ g §MÓ �� gºÑ� g�xE§ � ÑÔ§}Ñ LZauwazmyod razu,ze Ò g ¯ Ó � � * Ò gg Ó � � LZnaczenieowychokreslen jestwyjasnionew ponizszymtwierdzeniu.

Twierdzenie 10. (wzór Newtona)Załózmy, ze � , � sa liczbami rzeczywistymia g jest liczbanaturalna,wtedy � � � � � � Õ �×Ö Ð Ò g � Ó � � � � � * �j�h�gdzieprzyokazji wprowadzilismywygodneoznaczenie, Õ �×Ö Ð � � oznacza� Ð � �td � LfLeL � � LDowód. Bedzieon zastosowaniemzasadyindukcji zupełnej.Zakładamynajpierw, ze g��Ø¯ .Wtedylewastronarównania(1) przyjmujepostac

� � � � � ÐJ� � . Zas prawa:ÐÕ��Ö Ð Ò ¯ � Ó � � � Ð � � � Ò ¯¯ Ó � Ð � Ð � � *

1.7. CIAGI, KOMBINATORYKA 23

a wiecobiestrony równajasie.Zakładamyterazprawdziwosc naszego twierdzeniadla pewnego g i i wykazujemyja dlag �� . � i

¶beda odpowiedniooznaczałylewa i prawastrone.� � � � � � �� W d � � � � � �� U� � � � � � Ò Õ ��Ö Ð Ò g � Ó � � � � � Ó � � � � �� Õ��Ö Ð Ò g � Ó � � W d � � d � Õ ��Ö Ð Ò g � Ó � � � W d � � � Õ ��Ö Ð Ò g � Ó � � W d � W d � � � d � ÕÙÚÖ Ð Ò gÛ Ó � Ù � W d � d L

Terazw pierwszejsumiezmieniamywskaznik sumowania, przyjmujemy, zeÛ � � �� , co

prowadzidodrobnegouproszczeniasumyi zmiany granicsumowania.Dostaniemy, ze� � W dÕÙÚÖ d Ò gÛ x � Ó � Ù � W d � Ù � ÕÙ#Ö Ð Ò g Û Ó � Ù � W d � d� Ò gg+Ó � W d � Ð � ÕÙÚÖ d � Ù � W d � Ù Ò�Ò gÛ x � Ó � Ò g Û Ó�Ó � Ò g ¯SÓ � Ð � W d� Ò g ��g �� Ó � W d � Ð � ÕÙ#Ö d � Ù � W d � Ù Ò g ��Û Ó � Ò g ��¯ Ó � Ð � W d � ¶ *gdziewykorzystalismynastepujacy faktÒ gÛ x � Ó � Ò gÛ Ó � g Ñ� Û x �h� Ñ � g�x Û �;�-� Ñ � g ÑÛ Ñ � g�x Û � Ñ� gºÑ � Û � g�x Û �;�-�Û Ñ � g�x Û ��-� Ñ � gºÑ � g �;�-�Û Ñ � g�x Û �;�-� Ñ � Ò g �;�Û Ó LPrzekonalismysie, zezałozeniazasadyindukcji sa spełnione,wynika stadprawdziwosc wzorudlawszystkichg .

1.7 Ciagi, kombinatoryka

Zaczniemyod definicji, która jest troche nawyrost,bo ciagi bedziemypózniej staranniebadaliw rozdziale3. Terazpotrzebnanambedzietylko terminologia.

Przymujemy, ze k jestdowolnym zbiorem.

Definicja 19. Ciagiemelementówz k nazwiemydowolna funkcje �Q� �� o k . Zgodnieze zwyczajempiszemy � zamiast� � g � . Ciag liczbowydostaniemy, gdy k � ��

. Beda namjeszczepotrzebnepojecieciagu g elementowez k . Jestnim dowolnafunkcja��U��o¢kgdzie � jestrównolicznez ')¯8* � *�LeLfLe*/g�x � 0 .


Wprowadzimyterazpodstawowedefinicjekombinatoryczne.

Definicja 20.Niech k bedziedowolnym zbioremskonczonym. Permutacja bezpowtórzen ele-mentówk nazwiemydowolna funkcje l5�Sk»opk , którajestwzajemniejednoznaczna.Permu-tacjebezpowtórzen nazywamytez przestawieniami.Ilosc przestawien zbioru g – elementowegooznaczamysymbolem

¶ .Stwierdzenie11.

¶ �;gºÑ .Dowód. Naszezadaniepolega na policzeniuna ile sposobówmozemy ustawic w ciag ele-mentyzbioru k . Napierwszymmiejscumozemypostawic jedenwybrany sposród g elementów.Na drugim miejscumozemypostawic jedenwybrany sposród juz tylko g5x � elementówitp.Na ostatnim g -tym miejscumozemywybrac elementjuz tylko ze zbioru jednoelementowego.Dostaniemyzatem,ze

¶ ��g�¼ � g?x �-� ¼SL�L�L)¼h¦^¼ � �¡gºÑ ��Poranakolejnadefinicje.

Definicja 21. Niech k bedziedowolnym zbiorem g – elementowym. Kombinacja § – elemen-towa elementówzbioru k nazwiemydowolny § – elementowy podzbiór k . Ilosc kombinacjioznaczamysymbolem.ÝÜ .Stwierdzenie12. .�Ü �ØÞ Üjß .Dowód. Ponownie bedziemyustawiali elementyk w ciagi, tym razem § –elementowe. Napierwszymmiejscuciagumozebyc jedenz g elementów, nadrugimmiejscujuz tylko jedenzg4x � . Kontynuujemytenprocesdochodzacdo § -tego miejsca.Na nim mamywybór jednegoz� g5x�§ �D�h� elementów. Tym samymdostaniemy, ze § –elementowych ciagówze zbioru g –

elementowego jestgB¼ � g?x �-� ¼SL�L�L)¼ � g�xE§ ��h� � g�¼ � g�x �-� ¼SLwL�LS¼ � g�xE§ ��h�/� g�xE§ � Ñ� g�xE§ � Ñ � g Ñ� g�xE§ � Ñ LAle kolejnosc ustawienianie jestistotna,bo interesujanaspodzbioryk zatemte liczbedzielimyprzez

¶ Ü �G§àÑ , czyli ilosc przestawien zbioru § –elementowego. W ostatecznym rachunku,. Ü � gºÑ� g�xE§ � Ñá§àÑ � Ò g § Ó L ��Wykorzystamyten fakt do policzeniailosci wszystkichpodzbiorówskonczonego zbioru.

Mianowiciemamy.

Stwierdzenie13. Ilosc wszystkichpodzbiorówzbioru g -elementowegorównasie ¦ .Dowód. Zauwazmy, zeszukanailosc podzbiorówto,. Ð � . d � . � � L�L�L � . � ÕÜ Ö Ð . Ü � ÕÜ Ö Ð Ò g § Ó � Ü ¼ � � Ü

1.8. KRESYZBIORÓW LICZB RZECZYWISTYCH 25

Na mocy wzoruNewtona(stwierdzenie10.) powyzszasumarównasie�j�!�;�-�� ;¦ L ��1.8 Kr esyzbiorów liczb rzeczywistych

Przyjelismy, zeliczby rzeczywistezostałynamobjawione.Ich dotychczaswypowiedzianewłas-ciwosci moznaujac stwierdzeniem,ze liczby rzeczywistespełniaja aksjomatyciała przemien-nego. Widzielismy tez, ze jest wiecejprzykładówciał przemiennych. Poszukajmywiec do-datkowych strukturwyrózniajacych

��. Zauwazmy, zew zbiorzeliczb rzeczywistychdanajest

relacjaniewiekszosci ° . Spełniaonanastepujacewarunki:(P1)dla kazdego 2<3 �� */2B°=2 (tj. relacjaniewiekszosci jestzwrotna);(P2)jesli 2�* q 3 �� i 24° q oraz

q °G2r* to 2�� q (tj. relacjaniewiekszosci jestantysymetryczna);(P3)jesli 2r* q * u 3 �� i 24° q oraz

q ° u * to 2B° u (tj. relacjaniewiekszosci jestprzechodnia);(P4)jesli 2r* q 3 �� , to 24° q lub

q °;2 (tj. relacjaniewiekszosci jestspójna).Wartow tym momenciezwrócic uwage, zedowolnarelacja ° w zbiorze k spełniajaca(P1-

P3)nazywasie porzadkiemczesciowym. Jesli dodatkowo porzadekczesciowy w zbiorze k jestspójny (tj. (P4)jestspełnione),to nazywasie goporzadkiemliniowym.

Przykład 7. Relacjazawieraniasie zbiorówjestporzadkiemczesciowym, alenie liniowym, bonie jestprawda, zemoznaporównac 2 dowolnezbiory.

Istotny jest zwiazek porzadku z działaniamiarytmetycznymi. Okreslimy go za pomocaponizszychpewników(P5)jesli

u ° q i 2<3 �� , to 2 �Eu °�2 ��q ;(P6)jesli ¯�°G2 i

q ° u , to 2 q °=2 u .Od razupowiedzmy, zeciało liczbowe Â , spełniajacedodatkowo (P1-P6)nazywasieciałem

uporzadkowanym. Przykłademsłuzy, oprócz��

, ciało liczb wymiernychÃ

. Przykładamiciał,które nie sa ciałami uporzadkowanymi sa � � *j� � *j� â itd. Moznasie o tym samemuprzekonacbadajactabelkedziałan.

Kwestia,na czym polega róznicapomiedzynimi pozostajenierozstrzygnieta(az do koncapodrozdziału).

Aby uproscic naszewypowiedzi,wprowadzimydefinicjenowychrelacji.

Definicja 22.(a) 2?± q wtedyi tylko wtedy, gdy

q °�2 ;(b) 2?s q wtedyi tylko wtedy, gdy 24° q i 27�� q ;(c) 2 ´ q wtedyi tylko wtedy, gdy 2B± q i 2>�� q .

Chcemyterazprzedstawic wybranewłasciwosci liczb rzeczywistychzwiazanez porzadkiemi pokazac ich dowódz pewników. Zaczniemyod nastepujacego faktu.

Stwierdzenie14.Jesli 24sÁ¯8* to x�2 ´ ¯ (anadto,jesli 2 ´ ¯U* to x^2Bs�¯ � .


Dowód. Z mocy (P5)mozemydodac x^2 do obu stronnierównosci 2>°F¯ . Dostaniemywtedy¯��Fx^2 � 2B°Fx^2 i skoro 2B°G¯ , to ¯�sDx^2rL ��Mamy dwacelena uwadze.Pierwszymjest sprawdzenie,ze 2 � ±(¯ dla wszystkichliczb

rzeczywistych.Drugim jest wykazanieodpowiednika(P6), gdy 2�s¿¯ . Po drodzewykazemypareniezbednych faktów.

Stwierdzenie15.Dla dowolnej liczby rzeczywistej2 mamy x � x�2 � �G2rLDowód. x � x^2 � jest elementemprzeciwnym do 2 , ale 2 �F� x^2 � �(¯U* bo x^2 jest elementemprzeciwnym do 2rL Zatem 2ã� x � x�2 � , co wynika z jednoznacznosci elementuprzeciwnego(stwierdzenie5).

��Stwierdzenie16.

� x �h� � � �Dowód.

� x �h� � x � � � x �-�/� x �h�r�� x �-� ¼ � � � x �-�,� x �!��-� � � x �h� xc¯À�;¯ . ��Zdobylismyjuz dosc wiedzy, abyosiagnac zamierzonecele.

Stwierdzenie17.Jesli 243 �� * to 2 � ±G¯ .Dowód. Mamy dwa przypadki: (1) 2�±�¯ i (2) 2�s�¯UL Jesli 2�±~¯8* to z (P6) natychmiastdostaniemy, ze 2P¼h2B±G2P¼h¯8* tj. 2 � ±�¯ .

Jesli zas 2<sI¯U* to zestwierdzenia14. wynika, ze x^2 ´ ¯ . Zatemz (P6)� x�2 � ¼ � x^2 � ±G¯ . Z

kolei lewastronatej nierównosci to� x�2 � ¼ � x�2 � � � x �-� 2 � x �h� 2?� � x �-� � ¼h2 � � � ¼h2 � �G2 � �� .

Obecnienaszdrugicel jestnawyciagnieciereki:

Stwierdzenie18.Jesli 24sÁ¯ i ��°G�-* to �82B±G��2 .Jego dowódpozostawiamyCzytelnikowi dosamodzielnegoprzeprowadzenia.

Przypomnimyterazznanedefinicjeprzedziałów:

Definicja 23.Zbiór z{�[*/�/|+�D')2B3 �� S2<°�� i 2?±G�M0 nazywamyprzedziałemdomknietym;zbiór

� �[*/� � �D')2B3 �� ä24s�� i 2 ´ �t0 nazywamyprzedziałemotwartym;zbiór z��+*,� � ��')2G3 �� 2Ds(� i 2 ´ �t0 nazywamyprzedziałemlewostronniedomknietymiprawostronnieotwartym;zbiór

� �+*/�/|��&')2>3 �� r2E°�� i 2 ´ �M0 nazywamyprzedziałemlewostronnieotwartymi pra-wostronniedomknietym;kładziemy

� xXåG*/��|��&')2I3 �� r2I°¿�t0 , podobniedefiniujemy� �[* � å � *àz{�[* � å � * � xXåG*/� � ;�� W �G')243 �� S24±�¯S0 .

Trzebaprzy tym podkreslic, zesymbolex$å , å nie oznaczaja zadnejliczby.

Naszymcelemjest terazzdefiniowaniepierwiastkówliczb rzeczywistych.Podrodzeokazesie, zesamoich istnieniewymagadodatkowegopewnika. Staniesie tez jasnaróznicapomiedzy

1.8. KRESYZBIORÓW LICZB RZECZYWISTYCH 27��iÃ

. Zaczniemyod okresleniawartosci bezwzgednej¨ 2 ¨ liczby rzeczywistej 2 i jej znaku

sgn2 .Definicja 24. ¨ 2 ¨ � ³ 2 jesli 2B±G¯x^2 jesli 24sÁ¯ sgn2?� æçè çé

�jesli 2 ´ ¯¯ jesli 2B�G¯x � jesli 24s;¯8L

Najwazniejszawłasciwoscia wartoscibezwzglednejjestnierównosc trójkata¨ 2 �Eqr¨ ° ¨ 2 ¨��R¨�qr¨ ��êS�Dowódjestłatwymzastosowaniemdefinicji

¨ 2 ¨ i zostawiamygoCzytelnikowi. Prostymwnioskiemjestnastepnanierównosc ¨f¨ 2 ¨ x ¨ q�¨f¨ ° ¨ 2�x q�¨ L �ìëU�Mianowicie, z nierównosci trójkatamamy,¨ 2 ¨ � ¨ 2�x q$�Eqr¨ ° ¨ 2Px qr¨��R¨�qr¨ *skadwypływa(4).

Przystepujemyterazdodefiniowaniapierwiastówarytmetycznych.

Definicja 25. Niech g&3 ��i g ´ �

. Jesli 2 bedziedodatnia liczba rzeczywista, to wtedydodatnia liczbe rzeczywista

qnazywasie pierwiastkiemarytmetycznymz 2 stopniag i piszemy,

zeq �Q2 d�í lub

q � îï 2 , jesliq ��2 . Jesli 27sF¯ , to liczbe

q 3 �� nazywasie pierwiastkiemarytmetycznymz 2 stopniag , jesli

q �G2 .Uwaga. Jesli liczbajest g parzystai 25sD¯U* to nie istnieje

qtakie,ze

q �F2 , bo 2 �^´ ¯ (patrzstwierdzenie17.)

Zauwazmytez, zepierwiastekarytmetyczny jesli istnieje,to jestwyznaczany jednoznacznie.Jednakw tej chwili samojego istnieniejestzródłemkłopotów.

Stwierdzenie19.ï ¦ nie jestliczba wymierna.

Dowód. Załózmy, zetakniejest,tj. istniejeliczbawymiernav µ * taka,ze

vjðµ ð �G¦ , tj. ¦ � � � � . Coprowadzido sprzecznosci z jednoznacznoscia rozkładunaczynniki pierwsze.Jestto fakt doscoczywisty, któregoniebedziemydowodzic.

��Widac wyraznie,zeistnieniepierwiastkówjestkwestiadelikatna. Do wykazaniaich istnienia

potrzebny jestdodatkowy postulatzupełnosci. Jego sformułowaniewymaganowychdefinicji.

Definicja 26. (a) Niech ñ¿N �� . Powiemy, ze ñ jestograniczonyz góry, jesli istnieje ò 3 �� ,takaze ò ±G2 dlakazdego 243_ñ .(b) Niech ñ�N �� . Powiemy, ze ñ jestograniczonyz dołu, jesli istnieje

² 3 �� , takaze 2<± ²dlakazdego 2437ñ .


Zdefiniowawszyzbiory ograniczonemozemyzajac sie kresami.

Definicja 27. (a) Niech ñ�N ��bedzieograniczony z góry . Powiemy, ze ��3 �� jest kresem

górnym ñ i piszemy��Gó¾ôÏõ$ñ , jesli dlakazdegoograniczeniagórnego ò zbioru ñ jestprawdaze ò ±�� .(b) Niech ñFN �� bedzieograniczony z dołu. Powiemy, ze �^3 �� jestkresemdolnym i piszemy�À�;öe÷8ørñ , jesli dlakazdego ograniczeniadolnego

²zbioru ñ jestprawda ze

² °�� .Moznaterazwypowiedziec ostatniz aksjomatówliczb rzeczywistych- postulatzupełnosci.

(Z) Kazdy niepustyzbiór ograniczony z góry (odpowiednio: z dołu) makresgórny� (odpowiednio:dolny � ).Uwaga. Kresgórny zbioru ñ niemusibyc jegoelementemnajwiekszym,np.ñF�=')243 �� S2 � s ë 0wtedy ó#ôMõXñ]�¡¦8* ale ¦7�37ñ .

Istnieniekresówzapewni istnieniepierwiastkówarytmetycznych. Mamy bowiem

Twierdzenie20.Jesli ¯�sI243 �� i g53 �� i g ´ � * to istnieje îï 2 .Dowód. Rozpatrzmytylko przypadek2 ´ �

, gdyz 2&� �nie wymagapracy, zas 2(s �

sprowadzasie dopierwszegopoprzezpodstawienieq �G2 � d .

Okreslamyzbiór ñ w nastepujacy sposób:ñF�D' q 3 �� «¯Ps q * q s�2}0ULWtedy 6_��ñ�* bo

� 3Añ . Jestto prawda, bo� � � sF2 . Co wiecejzbiór ñ jestograniczony.

Wystarczysprawdzic, ze dla kazdegoq 3bñ ,

q s�2 . Wymagato sprawdzenia,ze 2 ´ 2 .Zrobimy to z pomoca indukcji. Dla g¡�Ø¦ , mamy 2 � ´ 2 , bo jest to wynik mnozenia 2 ´ �obustronnieprzez 2 . Dalej, z nierównosci 2 ´ 2 wynika, 2 W d ´ 2 . A mianowicie, 2 W d �2 ¼h2 ´ 2�¼h2 ´ 2 . Zatemnamocy zasadyindukcji zupełnejnaszanierównosc jestprawdziwa,dla g ´ � . Tym samym 2=�3¡ñ , a wiec jedynamozliwosc jaka mamy, to

q °�2 dla dowolnegoq 3_ñ . Zatem ñ jestniepustyi ograniczony i mozemyzastosowac (Z):.^�i�;ó¾ôMõXñNiech ù ´ ¯ bedziedowolna liczbarzeczywistamniejszaod1. Kładziemy ú�� ûü d WMýÿþ î , oczywis-cie ú�s � * bo

�K� . ´ � . Skoro ú ´ ¯U* to . � ú ´ .-* zatem. � ú jestograniczeniemgórnym ñi � . � ú � ±=2 ��S�.!xEú jestmniejszaodkresugórnego,a skorotak, to� .!xEú � s�2 ��S�

1.8. KRESYZBIORÓW LICZB RZECZYWISTYCH 29

Oszacujemy� . � ú � z dwumianuNewtona� . � ú � � Õ��Ö Ð Ò g � Ó ú � . � � �G. � Õ��Ö d Ò g � Ó ú � . � � �G. � ú Õ ��Ö d Ò g � Ó ú � � d . � d L

Skoro ú�s � , to dostaniemyú � � d ° � , dla ��± � i stad� . � ú � °�. � ú Õ ��Ö d Ò g � Ó � � . � � °�. � ú Õ��Ö Ð Ò g � Ó � � . � � �G. � ú �j�!� . � i (5) dzieki definicji ú przyjmujepostac24°G. � ú �j�!� . � �G. � ùULPodobniepostepujemyz

� .!xEú � :� .yxEú � � Õ �×Ö Ð Ò g � Ó . � � � x^ú � � �G. x>ú Õ ��Ö d Ò g � Ó . � � � x�ú � � � dterazwykorzystamyfakt, iz

� x�ú � � � d ° � , dla ��± � . Zatem� .!xEú � ±�. x>ú Õ �×Ö d Ò g ��Ó . � � �G. xEú ��!� . � tym samym(6) przyjmujepostac 2 ´ . x7ùULPotrzebny jestnamteraz.

Lemat 21.Jesli dladowolnej rzeczywistejliczby dodatniejù zachodzi��x>ù«°=�to ��°��hLDowódlematu. Załózmy, zetak nie jesttj. � ´ � . Kładziemy ù�� . Wtedydostaniemy�^±G�Xx>ù��«x ��x>�¦ � � � �¦tj. �J±G� dostaniemysprzecznosc z załozenia� ´ � . ��

Dzieki powyzszemulematowi dostaniemy, ze24±G. i 2B°G. LA terazz aksjomatu(P2)dostajemy, ze 2��G. . ��


W szczególnosciwnioskujemy, zeï ¦ jestdobrzeokreslona liczbarzeczywista. Mozemytez

od razupodac nowy przykładciałauporzadkowanego.KładziemyÃ � ï ¦ � �i�D')2B3 �� ä2?�G� � ï ¦)�-* gdzie �[*/� sa wymierne 0ULNa koniecodnotujmyZasade Archimedesa,której dowódpomijamy.

Twierdzenie22.Dla kazdejliczby rzeczywistej2 istniejeliczbanaturalnag , takaze g ´ 2 .Wypływaz niej gestosc liczb wymiernych.

Wniosek 23.Jesli 2r* q 3 �� i 2Bs q , to istniejeliczbawymierna � , taka,ze 2?s��«s q L1.9 Liczby zespolone

Naszametodaprzedstawienia liczb rzeczywistychpolegałana przedstawianiu kolejnych gruppewników ciała,ciała uporzadkowanego,aby zakonczyc napostulaciezupełnosci. Okazywałosie, zeprowadziłoto do przykładówciał o corazlepszychwłasciwosciach.Ciało

��mabardzo

dobrewłasciwosci analityczne,alepewnewadyalgebraiczne,bo nie kazderównaniewielomi-anowemapierwiastkirzeczywiste,np. 2 � �� G¯ .

Ciało liczb zespolonych niematej wady. Zacznijmyoddefinicji, kładziemy 1£� �� Y �� .

Definicja 28. Ciałemliczb zespolonych nazywamy� 1}* � * � ¯8*/¯ � *�¼f* �j� */¯ �� z nastepujacymi dzia-

łaniami � �[*/� �à�� Å */� Å � � � � � � Å *,� � � Å � *� �[*/� � ¼ � � Å */� Å � � � �8� Å x>�Ý� Å */�U� Å � � Å � � LTrzebasprawdzic, ze sa spełnioneaksjomatyciała przemiennego. Jestto łatwe, sprawdzimytylko istnienieelementuodwrotnegodla dowolnego

u � � �[*/� � ��G¯ . Kładziemy,u � d � � �[*/� � � d � � �t� � � � � � � � *�x��Z� � � � � � � �j� *pozostawiajacczytelnikowi sprawdzenie,ze

u ¼ u � d � � .Wprowadzmy bardziej znana notacje, bedziemypisac �£� � ¯U* �-� i bedziemyutozsamiac

liczby rzeczywistez liczbami zespolonymi postaci� �[*/¯ � . Od tej pory bedziemypisac � � �Ý�

zamiast� �[*/� � . Zauwazmy teraz,ze� � � � ¯U* �-� ¼ � ¯U* �-� � � x � *,¯ � �Fx � L

Wprowadzamynoweoperacjedla liczb zespolonychu �G� � �Ý� , mianowicieu ��G�XxE��j*

liczbeu

nazywamyliczba sprzezona dou. Dalej,��Zu �� u^� u8� �h¦U* ��u �i� ��u x u8� �Z¦��

1.9. LICZBY ZESPOLONE 31� hunazywamyczescia rzeczywista i

�� unazywamyczescia urojona

u. Cowiecej¨�u}¨ �� ï u u *

nazywamywartoscia bezwzglednau. Trzebatylko sprawdzic, zeostatniadefinicjajestpoprawna,

tj. zeargumentpierwiastkajestdodatni:u u � � � � �� ,� �XxE�� G� � x � �Ý� � � �;� � � � � ±=¯ULWymienmynajprostszewłasciwoscinowychobiektów, mamy¨ ��Zu}¨ ° ¨�u}¨ * ¨��u}¨ ° ¨ u}¨ LJestto łatwe, bo

¨�� wu}¨ � ¨ � ¨ ° ï � � � � � � ¨ u}¨. Inna prosta, ale wazna własciwoscia jest

nierównosc trójkata: ¨�u d ��u � ¨ ° ¨ u d ¨��D¨ u � ¨ *której sprawdzeniepolecamyCzytelnikowi jakorachunkowecwiczeniewłasne.

Łatwedosprawdzeniajesttez, ze ¨�u d u � ¨ � ¨�u d ¨e¨ u � ¨ *albowiem, �� P� � �U� Å x>�Ý� Å � � �� 8� Å � � Å � � � � ¶ �h� � �[LWprowadzimyjeszczejedna funkcjemajacswiadomosc, zejestonanieuprawnionanaobecnymetapie.Definiujemyargumentliczbyzespolonej

u1�HK')¯�0�� u no �� u 3Ez�¯8*/¦�� (i niewiemy jeszczeco to jest � ). Mianowicie piszemy, ze� �� u� gdy jestjedynym rozwiazaniemukładurównan�� ó � � � hu¨�u}¨ ó¾öe÷ � � ��u¨ u}¨ L(Podkreslamy, zefunkcje � � ó i ó¾öe÷ nie zostałyjeszczezdefiniowane).Zatem,u � ¨�u}¨Ô� � � ó!�� uË� �Só¾öe÷"�#�$� u8� * �&%)�co wiecejowo przedstawienie jest jednoznaczne.Zauwazmy, zewzór (7) pozwalanaciekawezapisaniemnozenialiczb zespolonych. Jesli

u d��'� � � � ó[® � �Só#öe÷K® � iu � � VË� � � ó)( � �Só#öe÷"( � , to

wtedykorzystajaczewzorównasinusi cosinussumykatów(patrzwzór (3.37))dostaniemy, zeu d ¼ u � �*� VX� � � ó � ® � ( �}� �Só¾öf÷ � ® � ( �j� L ��+S�


Z definicji argumentuliczby zespolonejwynikanatychmiast,ze�� u � d �*�#�$� u �G¦,�Bx-�� u LŁatwym wnioskiemze wzoru(8) jestwzórdeMoivre’a dla liczby zespolonej

u � ¨ u}¨á� �� ó[® ��Só¾öf÷K® � mamy u � ¨�u}¨ � � � ó[gà® � �Só¾öf÷Kg}® � LScisle rzeczujmujac nalezy zastosowac indukcje ze wzgleduna g . Zauwazmy, ze ten wzórpozwalaobliczycpierwiastki g -tegostopniazdowolnejliczbyzespolonej,tj. znalezc g rozwiazanrównania q xE2��G¯ULZ (7) wynika, ze

¨ q�¨ � ¨ 2 ¨ d�í . ZatemwzórdeMoivre’adaje,ze¨ 2 ¨á� �� ó!( � �Só¾öe÷"( � � ¨ q�¨ � � � óÏg}® � �Só#öe÷�g}® � *tj. (I�Gg}® � ¦�§!��*albo ®?� ( g � ¦)§!�g * §��G¯U* � *wL�L�L�*/g�x � LWykazalismywiec, ze istnieje g róznych pierwiastkówz dowolnej liczby zespolonej.Zadajmypytanie:czy tenfakt moznapowiazac z rozwiazywaniemrównan wielomianowych?Odpowiedzjestpodanaponizej. Zaczynamyod okreslenia:

Definicja 29.Funkcje l£� �/. o �/.postacil ��u8� � Õ��Ö Ð � � u � *

gdzie � � 3 �/. i � ��G¯ nazywamywielomianemo współczynnikach z ciała�/.

, stopnia g LTwierdzenie24.(zasadniczetwierdzeniealgebry)Kazdywielomiano współczynnikachzespol-nych, rózny odstałej,mapierwiastekzespolony.

Jestto trudny fakt, nie bedziemygodowodzic. Natychmiastwynikaz niego

Wniosek 25. Kazdy wielomian¶

stopnia g o wspołczynnikachzespolonych rozkładasie nailoczynczynnikówlinowych,tj. ¶ ��u8� �;� 0��Ö d ��u x u � � L

Na koniec paragrafuo liczbachzespolonych wykazemy pewna wazna nierównosc, którejznajomosc jestkonieczna.Bedzieonapojawiałasie w wielu pózniejszychrozwazaniach.

1.9. LICZBY ZESPOLONE 33

Twierdzenie26.(nierównoscSchwarzaalboCauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza).Załózmy,ze �Md/*�LwL�L�*,� * ��d/*�LwL�L�*/� sa liczbamizespolonymi. Wtedy 11111 Õ��Ö d � � � �

11111 � ° Õ �×Ö d ¨ � � ¨ � Õ ��Ö d ¨ � � ¨ � ��2S�Dowód. Niech %=� Õ��Ö d ¨ � � ¨ � * 9F� Õ ��Ö d ¨ � � ¨ � 3 � Õ �×Ö d � � � � LJesli 9�� ¯ , to nie pozostajenamnic do zrobienia. Do pracy przystepujemymajac tylko nauwadzeprzypadek9 ´ ¯ . Zauwazmy jeszcze,zeu d u � � u d u � LPotym nastepuja rachunki,gdzie

�jestdodatniawielkoscia� � Õ��Ö d ¨ 9«� � x 3 � � ¨ � � Õ��Ö d � 9«� � x 3 � � �,� 9 � � x 3 � � �

i dalej � �D9 � Õ �×Ö d ¨ � � ¨ � xI9 3 Õ ��Ö d � � � � xI9 3 Õ ��Ö d � � � � �R¨ 3 ¨ � Õ �×Ö d ¨ � � ¨ � *a wiec ¯�° � �D9 � %$9Gx ¨ 3 ¨ � � LSkoro 9 ´ ¯ , to wynikastad,ze %$9Gx ¨ 3 ¨ � ±G¯ , co nalezałowykazac.

��

Rozdział2

Przestrzenieliniowe i układy równanliniowych

Poznamyogólnemetodypostepowaniaz układamirównan liniowych. Przy okazji wyjdzie najaw, ze badanieukładówrównan prowadzido bogatejteorii, majacejwielorakiezastosowania,wykraczajacepozapierwotniewyznaczony cel.

2.1 Wpr owadzenie

Zaczniemyodprzykładu.Rozpatrzmytrzy układyrównan¹ 2}d � ¦�2 � �;�¦�2}d � ¦�2 � �G� �j�h�¹ ¦�2}d � ¦�2 � �;�¦�2}d � ¦�2 � �;� � ¦ �

gdzie ��G¦)� i ¹ 2}d � ¦�2 � �G�¦)2}d � ¦�2 � �G¦�� êS�Łatwosprawdzic, zeukład(1) madokładniejednorozwiazanie:wystarczyoddrugiegorównaniaodjac pierwsze,co namdaje,ze 2 dK�R�xI� , a stad 2 � �F��xÁ�Z�Z¦ . Tensamargumentpokazuje,zeukład(2) niemarozwiazan. Łatwo zauwazyc, ze(3) maich wiele,np. 2 dy� ê � , 2 � �Fx�� lub2}d��G� , 2 � �¡¯ . Zastanówmysienadstrukturazbiorurozwiazan układu(3). Niech

u Ð � � 2MÐ d *,2tÐ� �bedziedowolnym rozwiazaniem,kładziemy

q � �G2 � x@2tÐ� , tj. 2 � �G2MÐ� �@q � , zatemq d , q � spełniaja¹ q d � ¦ q � �G¯¦ q d �>ëäq � �G¯ �ìëU�

Niech ©G�D' q 3 �� para��q d/* q � � jestrozwiazaniemukładu(4) 0 . Zauwazmy, zejesli

q 37© topara

�54Ïq dÝ* 4Ïq � � tez jest rozwiazaniem.Podobniejesliu d/* u � 3>© , gdzie

u d� � �+*/� � iu � � � 2r* qt�

to parau d �Áu � �i� � � � 2�*,� �Áqt� tez jest rozwiazaniem.Wskazalismyzatempewna dodatkowa

35

36 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIELINIOWE I UKŁADY RÓWNAN LINIOWYCH

strukture zbioru © , mianowicie umiemydodawac elementyzbioru © i mnozyc je przezliczberzeczywista.

Rozpatrzmyterazciezarekzawieszony nasprezynie. Siła wypadkowa działajacnaciezarekjestsuma siły ciazeniai siły sprezystosci i byc moze innych sił działajacych naukład laborato-ryjny. Jesli uwzglednimytylko te dwiepierwsze,to warunekrównowagizapisujemyjako687r�96 ý �G¯8L

Przyjrzyjmysieherbaciewirujacejw szklancepodwpływemmieszaniałyzeczka. W kazdympunkciecieczy mozna zaczepic wektor predkosci herbaty, ale dodawanie tych wektorów niema sensu.W tym miejscunalezy sie dodatkowy komentarzdotyczacy wektorów. Niech ña��

, wtedy wektorem zwiazanym :2 q zaczepionymw punkcie 2 o koncu wq

nazywamyparepunktów

� 2r* qM� 3Iñ¿Y>ñ . Wektorówzaczepionych w róznych punktachnaogół nie dodajemy,aleodczuwamypotrzebeich porównywania.Do tegosłuzy pojeciewektoraswobodnego. W tymceluw zbiorzewektorówzwiazanych wprowadzimyrelacje równowaznosci ; . Poprzedzimyjadefinicja dodawaniai odejmowaniapunktówpłaszczyzny ñ . Jesli 24� � 2}d/*,2 � � , q � ��q dÝ* q � � , topiszemy q xE2?� ��q d xE2}d/* q � xc2 � � * q^� 2?� ��q d � 2}d/* q � � 2 � � LDefinicja 1. :�U�<; :2 q � �!xc�P� q xE2r*Łatwo sprawdzic, ze ; jest relacja równowaznosci i wektoryswobodnena płaszczyznie to ele-menty, ñQY7ñ��*;�*tj. klasyrównowaznosci.

Wektoryswobodnemoznainterpretowac jakowektoryzwiazane,zaczepionew punkcie� ¯8*,¯ � .

Jestterazjasne,zewektoryswobodnemoznadodawac do siebiei mnozyc przezliczbe rzeczy-wista. Nalezy sie spodziewac, ze istniejewspólnamatematycznastruktura,łaczacapowyzszeprzykłady. Istotnie,mamybowiem:

Definicja 2. Załózmy, ze�/.

jestciałem.Powiemy, ze�5= * � *,¯8O �/. *w¼ � jestprzestrzenia wektorowa

nadciałem�/.

, jesli:(PW1)

�&= * � */¯ � jestgrupaabelowa.Działanie ¼�� /. Y = o =

jestnazywanemnozeniemwektoraprzezliczbe. Dla dowolnych Æ ,Ç>3 �/. , >+* � 3 =spełniaonowarunki:

(PW2) Æ4¼ � > �-�^� �GÆ4¼#> � Æ5¼ � ;� Æ � Ç � ¼#>À�GÆ<¼#> � Ç<¼#> ;

(PW3) Æ4¼ � Ç5¼#> � � � Æ4¼�Ç � ¼#> ;(PW4)

� ¼#>À�*> .W skróciebedziemypisac, ze

=jest p.w. Równowaznie mówimy tez, ze

=jest przestrzenia

liniowa.Elementyp.w.=

nazywamywektorami.Definicjapozwala,abyciało�/.

było dowolne,alenajwazniejszyprzypadek,to

�/. � �� lub�/. �G1 .

2.1. WPROWADZENIE 37

Nastepujacestwierdzeniejestdosc oczywiste,łatwo je udowodnic posługujacsie metodamizastosowanymi do wykazaniapodobnych własciwosci ciał przemiennych. Dlatego tez jegodowódpomijamy.

Stwierdzenie1. Niech=

bedziep.w. nad�/.

, >P3 =, Æ>3 �/. , wtedy¯X¼#>À�¡¯8* Æ4¼h¯��G¯U* � x�Æ � ¼#>��GÆ5¼ � x?> � �Fx � Æ4¼#> � L

Okazujesie, ze przestrzenieliniowe sa dosc powszechnymi obiektami. Juz terazmozemywskazac dosc pokazna ich liczbe.

Przykłady 1.(1) Naszerozwazaniazpoczatkuparagrafumoznapodsumowac,mówiac,zezbiór © rozwiazan

równania(4) jestp.w. nad��

.(2) Zbiór wektorówswobodnych napłaszczyzniejestp.w. nad

��.

(3) Jesli 2r* q 3 ��! , tj. 2�� 2}dÝ*/2 � *wL�L�LÝ*/2 � iq � ��q dÝ* q � *�L�L�LÝ* q � , ÆA3 �� , to kładziemy2 �Eq �i� � 2 d �Eq d */2 � ��q � *�L�L�L�*,2 �Eq � * Æ4¼h24�� Æº2 d */Æ 2 � *�LwL�L�*/Æ 2 � L

Wtedy��

z działaniamiokreslonymi wyzej jestp.w. nad��

.(4) Jesli zdefiniujemyw 1 dodawaniepunktówi mnozenieprzezliczbezespolonaw sposób

taki jak wyzej, to wtedy 1 jestp.w. nad 1 .(5) Ciało liczb zespolonych jestp.w. nad

��.

(6) Niech ¬ bedziezbioremwielomianówo współczynnikachrzeczywistych.Niech l}*¾¤B3¬ , tj. l � 2 � � Õ ��Ö Ð � � 2 � * ¤ � 2 � � @Õ ��Ö Ð � � 2 � LSume i iloczynprzezliczbeokreslamynastepujaco:� l � ¤ �,� 2 � �i�BADC&E F #G @ HÕ �×Ö Ð � � � � � � � 2 � * �&4 ¼hl �/� 2 � �� Õ �×Ö Ð �54 � � � 2 � *gdzieprzyjmujemy, zejesli g ´ ² , to � � �¡¯ , dla �� ²D�E� *�LwL�L�*/g (podobniepostepujemy, gdy² ´ g ). ¬ z powyzszymidziałaniamijestp.w. nad

��.

(7) Niech k bedziedowolnym zbiorem,zbiór wszystkichfunkcji lG�}k o ��oznaczamy

symbolem��

. Wprowadzimyw nim działania� l � ¤ �/� 2 � ��l � 2 � � ¤ � 2 � * �54 ¼hl �,� 2 � �i� 4 l � 2 � LWtedy

�� jestp.w. nad

��.

(8)Ã � ï ¦ � jestp.w. nadciałemliczb wymiernych

Ã.

(9) Rozpatrzmyukładrównan�Md#d#2}d � �Md � 2 � � L�L�L � �td 2 �;¯LwL�L (5)� @ d�2}d � � @ � 2 � � L�L�L � � @ 2 �G¯8L


Kładziemy, ©��¿' � 2}d/*wL�L�LÝ*/2 � 3 �� 2}d/*�L�LwL�*/2 � jest rozwiazaniemukładu(5) 0 . Wtedy ©jestp.w. nad

��.

Sprawdzeniepewników (PW1-4) jest dosc prostymcwiczeniem,dajmy na to w ostatnimprzykładzieprzebiegaonotak, jak w przypadkuukładurozpatrywanegonapoczatkuparagrafu.

Chcemypodkreslic, ze p.w. z przykładu1(9) jest nasza najwazniejsza motywacja i niabedziemysie głównie zajmowali. Waznym pytaniemjest czy w ogólnosci istnieja niezerowerozwiazania(5) a jesli tak, to czy moznao zbiorze © powiedziec cos wiecejoprócztego, zejest nieskonczony i © �� ' � ¯8*�LwL�L�*/¯ � 0 . Pierwszymwynikiem w tym kierunku jest ponizszestwierdzenie.

Stwierdzenie2. Załózmy, zewspółczynniki � �{Ù w układzie(5) naleza do ciała�/.

. Jesli g ´ ²to istnieja niezerowerozwiazania(5).Dowódprzeprowadzimyprzezindukcjewzgledem

². Wprowadzimyoznaczenie,� � �;� � d�2}d � � � � 2 � � L�L�L � � d�2 � L

Jezeli² � �

, to mamy dwa przypadki: (i) wszystkiewspółczynniki �Md Ù sa równe zeru lub(ii) istnieje

Û Ð takie, ze �Md ÙJI �� ¯8* np.Û Ð � �

. W pierwszymprzypadkunie mamy nic dozrobienia:dowolny element2�3 ��! spełniarównanie

� d��Ø¯ . W drugim wystarczyprzyjac2 � �FL�L�L8�¡2 � dy�G¯ , 2 � � , wtedy 2}d!�Rx^�Md �h�Md¾d,LPrzyjmijmy teraz,ze naszetwierdzeniejest prawdziwedla pewnego g . Wykazemy, ze jest

prawdziwe dla g �D� . Mamy znowu dwaprzypadki: (i) wszystkiewspółczynniki � �{Ù �&¯ lub(ii) istnieja � Ð i

Û Ð takie, ze � �KI ÙJI ��ã¯ . Moznaprzyjac, ze �Md¾d ��¿¯ . Wtedyz układu(5) moznawyrugowac niewiadoma 2}d i dostaniemyukład:� � xL� ð�M� MJM � d!�¡¯L�L�L� @ xL�$N M� MJM � d!�G¯ULPowyzszy układ ma

² x �równan i gEx � niewiadomych,mozna wiec do niego stosowac

załozenieindukcyjne,by dostac niezerowerozwiazanie2 � *�LwL�Lj2 . Niewiadoma 2}d wyznaczamyz� d��G¯ . ��

Przedstawiona w dowodziemetodajest podstawa metodyeliminacji Gaussa, która moznastosowac w praktycedo rowiazywaniaukładówrównan liniowych. Wiecejnaten tematbedziew paragrafie3.2.

Zwrócilismy juz wczesniej uwage na kwestie: jak wielki jest zbiór © rozwiazan układu(5)? Odpowiedz odłozymy na pózniej, do czasuwprowadzeniastosownego aparatu. Bedzieonwyłozony w nastepnym paragrafie.

2.2 Linio wa niezaleznosc

Zaczniemyoddefinicji pomocniczejwłasciwosci.

2.2. LINIOWA NIEZALEZNOSC 39

Definicja 3. Niech >�d,*�L�L�LÝ*O> bedawektoramip.w.=

nad�/.

, zas4 dÝ*wL�L�L�* 4 3 �/. , to wektor Õ��Ö d 4 � > �

nazywasie kombinacja liniowa wektorów >�d,*�L�L�Lw*O> o współczynnikach4 dÝ*�L�L�LÝ* 4 3 �/. .

Majacja,sformułujemywazne,tytułowepojecie.Moznajawysłowic jak nastepuje:

Definicja 4. Układ wektorów '�> � 0 � �h� nazywasie liniowo niezaleznym(piszemylnz), jesli dlakazdejkombinacjiliniowej P � �Z� 4 � > � mamy,

jesliÕ � �h� 4 � > � �G¯U* to

4 � ��¯ dla ��37�ÏLGdyniewypowiadamysienatematcharakteruzbioru � i dopuszczamy, abybył onnieskonczony,to powyzszasumaoznacza,zetylko skonczeniewiele współczynników

4 � jestróznych od zera.Podkreslamytez, zeliniowaniezaleznosc jestcecha zbioru.

Mówimy, zeukładwektorów 9 jest liniowo zalezny(piszemy:lz), jesli nie jestprawda, zejest lnz. Zanotujmyoczywistewłasciwosci,którychdowódpomijamy.

Stwierdzenie3. Niech=

bedziep.w. i >+*#>SdÝ*�L�L�LÝ*O> 3 =. Wtedy

(a) ')¯�0 jestukłademwektorówzaleznych;(b) jesli ><��G¯ , to '�>t0 jestukłademwektorówliniowo niezaleznych;(c) układwektorów >�d,*�L�L�LÝ*O> jest lz, wtedyi tylko wtedy, gdy jedenz nich jestkombinacja

liniowapozostałych.Beda nasinteresowały operacjena zbiorze Q , które nie zmieniaja ilosci wektorówliniowo

niezaleznych. Łatwo jest sprawdzic, ze jest prawdziwy nastepujacy fakt, który pozostawiamyCzytelnikowi dosamodzielnego wykazania.

Stwierdzenie4. Jesli w zbiorzewektorów '�>Sd/*�L�LwL�*O> 0 znajdujesie dokładnie§?°Gg wektorówlnz, to w zbiorach:

(a) '�> d *wL�L�L�*O> � d * 4 > 0 , 4 ��G¯ ;(b) '�> d *�LwL�L�*R> � d *O> � d � > 0

jestdokładnie§ wektorówlnz.��

Czestozapisujemywektoryjakokombinacjeliniowez pewnegoustalonegozbioruwektorów.W tym momenciejestwaznym,abywiedziec kiedytaki zapisjestjednoznaczny. W badaniutegoproblemupomocnebedziepojeciewprowadzoneponizej.

Definicja 5. Zbiór Q nazywasie baza p.w.=

, jesli kazdy wektor z=

dajesie zapisac jed-noznaczniew postacikombinacji liniowej wektorów z Q . Jesli Q jest baza, to dla kazdego>À�'P � �Z� Æ � > � współczynnikami> w bazieQ nazywamyliczby Æ � .

Jesli SaN =i kazdy wektorz

=jest kombinacja liniowa wektorówz S , to mówimy, ze S

rozpinap.w.=

i piszemy = � spanS albo= � lin S�L


O uzytecznosci pojeciabazydecydujeponizszyfakt, bedacy charakteryzacjabazy.

Stwierdzenie5. Q jest baza p.w.=

wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest zbioremwektorówlnz irozpinajacych

=.

Dowód. � Niech Qa��'�> � 0 � �h� . Gdyby wektory z Q były l.z. to jedenz nich np. > �KI byłbykombinacja liniowapozostałych, > �KI � ÕÙ �h�5T F �KI H Æ � > � LJednoczesnie > �UI jest kombinacja liniowa wektorówz '�> �KI 0�NVQ . Dostaniemysprzecznosc zjednoznacznoscia przedstawieniadowolonego wektoraz

=jako kombinacjiliniowej wektorów

z Q .� Niech Q bedziezbioremwektorów rozpinajacych=

. Załózmy, ze wektor�

ma dwaprzedstawienia Õ � �Z� Æ � > � � � � Õ � �h� Ç � > � LJesliby dlapewnego

Û 37� , Æ Ù ��Ç Ù , to dostalibysmy, ze¯�� Õ � �h� � Æ � x>Ç � � > �i niewszystkiewspółczynnkisarównezero.Jestto sprzecznez liniowaniezaleznosciawektorówz Q . Cokonczydowód.

��Przykłady 2. Rozwazmy

�� . Niech Wtd�� */¯ � , W � � � ¯8* �h� . Łatwosieprzekonac, zewektoryWMd i W � tworza baze w

�� . Tak samołatwo jest sie przekonac, ze X�dB� �� */¯ � i X � � �� * �h�

stanowia baze w��

. Tym samymwybór bazyjestniejednoznaczny. Zauwazmy, zeobiebazymaja te sama ilosc elementów. Moznazapytac, czy jestto fakt ogólny. Odpowiedz jestponizej

Stwierdzenie6. Jesli pewnabazap.w.=

ma g elementów, to kazdainnamaich g .Nim wykazemyto stwierdzenie,zadajmysobiepytanie:Co by było, gdybybyło namdaneY

wektorów, podczasgdy pewna bazama ich g iY ´ g ? Musiałyby byc l.z. Istotnie,mamy

bowiem

Lemat 7. Jesli Q¢� '�>�d,*�L�L�L�*R> 0 jest baza p.w.=

iY ´ g , to jakikolwiek zbiór wektorów' � d/*wL�L�L�* � Z 0«N =

jestl.z.Dowódlematu. Wykazemy, zerównanie4 d � d � LwL�L �94[Z\� Z �G¯maniezerowerozwiazanie.Poniewaz Q jestbaza,to istnieja liczby � ��Ù , �º� � *�L�L�Lw* Y , Û � � *wL�L�L�*/gtakie,ze

� � � P ÙÚÖ d � ��Ù > Ù . Zatem,4 d ÕÙÚÖ d �Md Ù > Ù � L�L�L �94[Z ÕÙÚÖ d � Z Ù > Ù �;¯8*


czyli po przegrupowaniuwyrazów:Ò ZÕ ��Ö d 4 � � � d Ó > d � L�LwL � Ò ZÕ �×Ö d 4 � � � Ó > �G¯8LZ drugiej strony, wektory z Q sa lnz, zatemwspółczynnikiw powyzszejkombinacji liniowejznikaja, tzn. 4 d��td#d � LwL�L �94[Z � Z d��G¯L�L�L4 d,�td � LwL�L �94[Z � Z �G¯Zauwazmy, zeniewiadomychjestwiecejniz równan,azatemnamocy stwierdzenia2dostaniemyistnienieniezerowychrozwiazan powyzszego układu.Co konczydowódlematu.

��Mozemyzatemzajac sie dowodemstwierdzenia.Powiedzmy, zedanesa dwiebazy Q i QÅ .

Niech Q ma g elementówa Q Å ma ich²

. Jesli uznamyQ zabaze a Q Å zadowolny zbiór, to zlematudostaniemy, ze

²nie moze byc wiekszeniz g , tj.

² °&g . Zamieniajac rolami Q i Q Ådostaniemy, ze g5° ² . Stadwynika, ze

² �Gg , conalezałowykazac.��

Podalismy przykładybazw��

. Warto zastanowic sie, czy w kazdej przestrzeniliniowejmoznaznalezc baze. Najprostszysposóbpostepowaniajaki sie narzuca,to wybrac w p.w.

=wektorniezerowy >�d i zadac pytanieczy zbiór '�>�d�0 rozpina

=. Jesli odpowiedz jesttwierdzaca,

to konczymypostepowanie,jesli nie, to znaczy, ze istniejetaki wektor > � , ze wektory '�>Sd/*O> � 0sa lnz. Znowu mozemyzadac pytanie,czy '�>�d/*R> � 0 rozpinaja

=. Sa dwiemozliwe odpowiedzi i

dwiedrogipostepowania.Nie maproblemu,jesli proceskonczysiew skonczonejiloscikroków.Gorzej,jesli niemato miejsca.Powracapytaniezasugerowanewczesniej: co to jestkombinacjaliniowanieskonczeniewielu wektorów?Juz wczesniejpisalismyÕ � �h� 4 � > � * ��S�niejakoukrywajaccharakterzbioru � . Przypominamyza definicja 3, ze jesli zbiór � jest nies-konczony, to przyjmujemy, zew (6) wszystkiewspółczynniki,z wyjatkiemskonczeniewielu, sazerowe,tj. taknaprawde sumowaniejestskonczone.

Naszenaiwnepowyzszerozumowaniemoznauscislic i wykazac dwaponizszetwierdzenia,jednaknie mamynarzedzi,abyto zrobic.

Twierdzenie8. Jezeli=

jestp.w. i= ��D')¯�0 , to

=mabaze.

Tenwynik nie jestdlanaszaskoczeniem.Podobniejak nastepnetwierdzenie.

Twierdzenie9.Jezeli=

jestp.w. i Q jestzbioremwektorówlnz, to Q moznarozszerzyc dobazy.Mozemy terazpodac charakteryzacje zbioru © z przykładu1 (9). Poprawnosc ponizszej

definicji zapewniastwierdzenie6.


Definicja 6. Jesli=

jestp.w. i mabaze złozona z g elementów, to powiemy, zemawymiar g ipiszemy

dim= �GgºL

W przeciwnym przypadkupowiemy, ze=

mawymiarnieskonczony i piszemy

dim= �DåGL

Przykłady 3. Policzymyterazwymiary przestrzeniliniowychzdefiniowanychwczesniej.(1) dim

��! �Gg .(2) dim

� 1[*/1 � � � , podkreslamy, zechodzio wymiar przestrzeniwektorowej 1 nad 1 .(3) dim

� 1[* �� G¦ , podkreslamy, zechodzio wymiarprzestrzeniwektorowej 1 nad��

.(4) dim

� 1 */1 � �;g .(5) dim

� 1 * ��J� �G¦)g .(6) dim

�&]�� ï ¦ � * ]�� G¦ , wynika to wprostz faktu, izï ¦ jestliczba niewymierna.

(7) Niech ¬ bedziprzestrzeniawektorowawielomianówo współczynnikachrzeczywistych.Trzebaprzypomniec sobie(6) i co oznaczapozornienieskonczonasuma.Zauwazmy teraz,zewektory Q��D')2 � 0�^��Ö Ð *sa lnz, bo jesli l_37¬ , to oczywiscie l jestkombinacja liniowawektorówz Q . Jeslil � 2 � � Õ��Ö Ð � � 2 � �G¯dlawszystkich2<3 �� , to znaczy, ze l jestwielomianemstałym,równym zero,tj. Q jestzbioremwektorówlnz. Wynika stad,ze

dim ¬ �DåGL2.2.1 Sumyproste

Potrzebnenam beda dodatkowe pojeciapozwalajacena rozkładanieprzestrzeniliniowych naprostszeskładniki.

Definicja 7. Niech= � , �£3(� beda podprzestrzeniamip.w.

=Sumaalgebraiczna

Õ � �Z� = � jest

złozonaz wektorówpostaci >À� Õ � �Z� > � * �&%)�gdzie > � 3 = � . Sume algebraiczna nazywasie suma prosta, jesli kazdy element > tej sumyalgebraicznejmoznaprzedstawic jednoznaczniew postaci(7). Piszemy_ � �h� = � .

Potrzebnanambedziecharakteryzacja,kiedysumaalgebraicznajestprosta.

Stwierdzenie10. Załózmy, ze= � sa podprzestrzeniamip.w.

=. Wtedy,

Õ � �h� = � jest suma prosta

wtedyi tylko wtedy, gdydla kazdegoÛ 37� , = Ù C Õ� �h�5T F Ù H = � �D')¯S0


Dowód. � a.a. tj. zastosujemymetode sprowadzeniado niedorzecznosci. Załózmy wiec, zeistnieje

Ûtakie,ze ¯B�� 3 = Ù C Õ� �Z�5T F Ù H = � L

Zatem� �*P � �Z�&T F Ù H � � , gdzie

� � 3 = � . Wtedykładziemy:> � � ¹ � � * gdy �K�� Û¯8* gdy �� Û > Å� � ¹ ¯ gdy �� Û� * gdy �º� Û .Zatem

�madwarózneprzedstawienia:Õ � �h� > � � � � Õ � �h� > Å� *

codajezadana sprzecznosc.� a.a. Jesli P � �Z� = � nie jest suma prosta, to istnieje wektor�

i takie układy wektorów'�> � 0 F � �h� H i '�>SÅ� 0 F � �h� H , ze > � i >�Å� naleza do= � iÕ � �h� > � � � � Õ � �h� > Å� *

nadtodlapewnego § , > Ü ��*>SÅÜ . Zatem¯4��> Ü x-> ÅÜ � Õ� �h�5T F Ü H � > Å� x-> � � *to znaczy, ze istnieje niezerowy elementprzeciecia

= Ü i P � �Z� F Ü H = � . Otrzymanasprzecznosckonczydowód.

��Sytuacja,gdypewnaprzestrzen liniowajestsumaprostadwu podprzestrzenijestdosc szcze-

gólnai wartaodnotowania.

Definicja 8. Niech= d�* = � beda podprzestrzeniamip.w.

=oraz

= � = da` = � , to wtedypowiemy,ze

= � (odpowiednio= d ) jestdopełnieniem

= d (odpowiednio= � ). Współwymiarem(kowymiarem)= d nazywamywymiar podprzestrzenidoniej dopełniajacej,piszemycodim

= d!�*bUö ��= � .Przykład 4. Niech

= d bedzieprostaw��!�

przechodzacaprzezpoczatekukładuwspółrzednycha= � niechbedziepłaszczyzna,któraniezawiera= d . Wtedy

= d ` = � i codim= d �G¦ i codim

= � � � .Definicja 9. Niech

=bedziep.w. a ¬ jej podprzestrzenia wektorowa. Wprowadzamyrelacje

równowaznosciwzorem> � � wtedyi tylko wtedy, gdy >rx � 37¬ . Zamiastpisac= � � bedziemy

uzywac oznaczenia:= ��¬ .

Przykład 5. Przy oznaczeniachpowyzszego przykładuniech= � ��!�

, ¬ � = d , wtedy łatwosie przekonac, ze

= �)¬ moznautozsamiac z= � . Uwaga:to nie jesttensamobiekt.

Obiektempodobnym dosumyprosteji który mozebyc z niamylony jestiloczynkartezjanskip.w. Niech beda danep.w. nad

�/.,= � �P� � *�L�LwL�*/g . W zbiorze ¬ �� = d Y = � Y=L�L�L Y =

wprowadzamydziałaniaw nastepujacy sposób. Jesli >[* � 3_¬ i>P� � >�dÝ*�LwL�L�*R> � * � � �� dÝ*wL�L�LÝ* � � *


to kładziemy > �c� �*dr* 4 >P��eÝ*gdzie dB� � d}d/*wL�L�L�*Od � e!� � e d,*�L�L�LÝ*$e � i d � �*> � �c� � * e � � 4 > � L¬ nazywamyiloczynemkartezjanskimpw

= � , �º� � *�LwL�L�*/g . Fakt, zez takokreslonymi działani-ami ¬ jestp.w. nad

�/.jestnatyle jasny, zejego dowódpomijamy.

2.3 Przestrzen wektorowa macierzy

Mozemyterazomówic wazny przykładprzestrzeniwektorowej,który okazesiebardzopomocnyw badaniurównan liniowych. Poswiecimymu niniejszypodrozdział.Zaczniemyod okresleniagłównegoobiektunaszegozainteresowania.Zakładamyw całympodrozdziale,ze

�/.jestdowol-

nym ciałem,aczkolwieknaszauwagajestskupionanaprzypadkach�/. � �� lub

�/. �¡1 .Definicja 10. Macierza nadciałem

�/.o wymiarach

² YIg nazywamydowolna funkcje % �' � *wL�L�L�* ² 0�Y¡' � *wL�L�LÝ*/g�0Áo �/.. Piszemy%��¢')� ��Ù 0 @ G �×Ö d G Ù#Ö d lub po prostu ')� �{Ù 0 , jesli zakres

zmiennosciwskazników jestznany. Zbiór macierzy² Y5g oznaczamyprzez ò @gf ��/.X� .Zauwazmy jeszcze,ze w ò @gf ��/.$� moznaw naturalny sposóbwprowadzic działaniado-

dawaniai mnozeniaprzezliczbe: Jesli %«*�9 sa macierzami,to% � 9F�«� 3 * 4 %��«�ih *gdzie 3 �D'). �{Ù 0 @ G ��Ö d G ÙÚÖ d * . �{Ù �G� �{Ù � � ��Ù * h¿�D')\ �{Ù 0 @ G ��Ö d G ÙÚÖ d * \ �{Ù � 4 � �{Ù LŁatwosie przekonac, ze ò @gf ��/.$� z tak okreslonymi działaniamijestp.w. nad

�/..

Macierznazywamykwadratowa jesli² �Qg . Okreslimy terazszczególna macierzkwadra-

towa , �ä\À�D')� �{Ù 0 � G ÙÚÖ d nazywanamacierza jednostkowa, amianowicie� �{Ù � ¹ � * gdy �º� Û¯8* w przeciwnym przypadku.

Piszemytez � i wymienniemówimyo � lub �S\ , zejestmacierza tozsamosciowa lub identycznos-ciowa. Pózniej sie przekonamy, zenazwa„macierzytozsamosciowej” jestw pełni uzasadniona.

Niechbedziedanamacierz%=�D')� ��Ù 0 @ G �×Ö d G Ù#Ö d 37ò @gf ��/.$� , wtedymacierze3 Ù 37ò @ f d ��/.X� ,Û � � *�L�L�LÝ*/g i

V � 37ò d f ��/.$� , �º� � *wL�L�L�* ² , danewzorami3 Ù � jkl �Md Ù...� d @monp * V � �Qz�� d L�L�L�� |

nazywamyodpowiednioÛ–ta kolumna i � –tymwierszemmacierzy% .

Wprowadzimy teraz szereg operacji na macierzach,zaczynajac od operacji transpozycji,Ê ��ò @gf ��/.$� o ò f�@ ��/.$� , której wartosc na macierzy % utarło sie oznaczac %rq . Jesli

2.3. PRZESTRZEN WEKTOROWA MACIERZY 45%¢�¢')� ��Ù 0 @ G �×Ö d G Ù#Ö d * to kładziemy %rq��¢9 , gdzie 9 � ')� ��Ù 0 #G @�×Ö d G Ù#Ö d i � �{Ù �»� Ù�� . Macierz %rqnazywamymacierza transponowana macierzy% . Zauwazmyprzyokazji, ze

� %rq � qB�G% .Macierzemaja nam ułatwic badanierozwiazalnosci układów równan liniowych. Do tego

potrzebnenambedziekolejnewaznepojecie:

Definicja 11.Rzedemkolumnowym(odpowiednio:wierszowym) macierzy% nazywasie ilosc jejlnz kolumn(odpowiednio:wierszy).

Bedziemybadac (liczyc) rzedymacierzy. Do tegoceluprzydatnejestponizszestwierdzenie.

Stwierdzenie11.Niech3 d/*wL�L�L�* 3 (odpowiednio:

V dÝ*�LwL�L�* V @ ) bedakolumnami(odpowiednio:wierszami)macierzy% . Wtedyrzadkolumnowy (odpowiednio:wierszowy) macierzyjestrównykowymiarowi w Â (odpowiednio:w Â @ ) podprzestrzenizłozonejz rozwiazanjkl 2}d...2

m np stu odpowiednio:

jkl 2 d...2 @m np v�wx

równania Õ��Ö d 2 � 3 � �G¯ Òodpowiednio: @Õ��Ö d 2 � V � �;¯ Ó L ��+S�

Dowódprzeprowadzimydlawersjikolumnowej. Wersjewierszowauzyskamyzastepujacmacierzmacierza transponowana.

Wiemy, ze rozwiazania(8) tworza podprzestrzen wektorowa. Niech rzad kolumnowy %wynosi § i kolumny ' 3 � Ü W dZ*�L�L�LÝ* 3 0 sa lnz. Mozemywiecprzepisac (8) w postaci

x � ÜÕ��Ö d 2 � 3 � � Õ�×Ö � Ü W d 2 � 3 � L ��2S�Dla ustalonego

Û 3I' � *�L�L�Lw*/g?xÁ§+0 kładziemy 2 Ù � � i 2 � ��¯ dla �$�� i� °F�°�gBxÁ§ , tj. (9)

przyjmujepostac x 3 Ù � Õ��Ö � Ü W d 2 � 3 � LNa mocy liniowej niezaleznosci

3 Ù , g4x�§ �R� ° Û ° g liczby 2 � w powyzszymrównaniusawyznaczonejednoznaczniei oznaczymyje 2 Ù � Ü W d *�L�LwL�*/2 Ù , tj. dlakazdego

Ûmamyrozwiazanie> Ù równania(9): > Ù � � ¯8*wL�L�L�*/¯U* � *,¯8*�L�LwL�*/¯8*,2 Ù � Ü W d *wL�L�LÝ*/2 Ù � q *

gdziejedynkajestnaÛ–tym miejscu.Od razutez widac, zezbiór wektorów > Ù , � ° Û °FgBxE§

jest lnz. Zachwile przekonamysie, zejesli >À� � Æ dÝ*�LwL�L�*,Æ � jestrozwiazaniem,to>P� � ÜÕ ��Ö d Æ � > � L


W tym celuprzyjrzyjmy sie róznicy wektorów� �*>$x � ÜÕ �×Ö d Æ � > � LWidac zespełniaona(8) i mapostac� ¯8*�LwL�L�*/¯U*jÇ � Ü W dw*�L�L�LÝ*jÇ � LSkorospełnia(8), to z liniowej niezaleznosci

3 Ù dostajemy, ze Ç Ü �;¯ , g�x5§ �c� °�§B°Gg . Tymsamymwykazalismy, zedowolnerozwiazanieukładu(8) majednoznaczneprzedstawieniejakokombinacjaliniowa wektorów '�> � 0 � Ü��Ö d , tzn. tworza onebaze podprzestrzenirozwiazan (8), jejkowymiar jestrówny § . ��

Wynika stadprostyfakt pomocny przybadaniuprzestrzenirozwiazan równan liniowych.

Stwierdzenie12.Rzadwierszowy macierzy% jestrówny jej rzedowi kolumnowemu.

Dowód. Niech %ã��')� �{Ù 0 @ G � G ÙÚÖ d iV d *�LwL�L�* V @ beda wierszamizas

3 d *�L�L�LÝ* 3 kolumnamii rzadwierszowy to � i rzadkolumnowy to . . Niech ' V � M *�LwL�L�* V �zy 0 beda liniowo niezaleznymi wier-szami.Wtedyrzedymacierzowemacierzy

%�� jkl V d...V @monp * 9]� jkl V � M...V �zy monp

sarówne.W myslpoprzedniegostwierdzeniarzadkolumnowy % wyznaczony jestprzezrozwiaza-niaukładu �td#dÚ2 d � LwL�L � �td 2 �G¯L�L�L� @ dÚ2 d � LwL�L � � @ 2 �;¯a rzadkolumnowy 9 wyznaczony jestprzezrozwiazaniaukładu� � M d 2 d � LwL�L � � � M 2 �;¯L�L�L� �\y d 2 d � LwL�L � � �\y 2 �;¯Jestoczywiste,ze drugi układ powstajez wykresleniarównan, które sa liniowo zalezne. Askorotak, to obazbiory rozwiazan sa równe. Wiedzac, ze rzedy kolumnowe % i 9 sa równe,zauwazmy, zerzadkolumnowy 9 wynosinajwyzej � . Wynikato stad,zekolumny 9 saelemen-tami p.w.

�/.r{i b8ö �I�/."{ �|� , zatem.À°|� . Tensamargumentzastosowany do %rq daje �B°F. i

ostatecznie�X�G. , conalezałowykazac.��

2.3. PRZESTRZEN WEKTOROWA MACIERZY 47

Dzieki temustwierdzeniunastepujaceokresleniejestpoprawne:

Definicja 12.Rzedemmacierzynazywamyjej rzadkolumnowy lub rzedowy.Waznym zadaniemjestustaleniejakieoperacjenamacierzachniezmieniajaich rzedu.Odpowiedz

jestzawartaponizej.

Stwierdzenie13.Rzadmacierzyniezmienisie, jesli:(a) dowiersza(odpowiednio:kolumny) dodamyinny wiersz(odpowiednio:kolumne);(b) wiersz(odpowiednio:kolumne)pomnozymyprzezliczbe róznaodzera;(c) przestawimy wiersze(odpowiednio:kolumny).

Dowódpoleganazastosowaniustwierdzenia2.��

Wprowadzimyterazoperacjenamacierzach,którejuzasadnieniemusiniecopoczekac. Mamynamysli mnozeniemacierzy.

Definicja 13.Niech %�3Aò @ f ��/.$� *S%��')� � Ü 0 , 9&3Eò f { ��/.$� , 9¿�F')� Ü Ù 0 . Iloczynmacierzy%�¼�9 to macierz'hÈ �{Ù 0�37ò @gf { ��/.$� danawzoremÈ �{Ù �i� ÕÜ Ö d � � Ü � Ü Ù * �º� � *�L�L�L�* ² * Û � � *�L�LwL�*O�hLŁatwo sie pokazuje,ze mnozeniemacierzyjest łacznei rozdzielnewzgledemdodawania. Po-wierzamyto zadanieCzytelnikowi do samodzielnego wykonania.Natomiastmnozenienie jestprzemienne,wynik istotniezalezy od kolejnosci np. niech %b3Iòcd f#@ ��J� , 9(3�ò @gf d ��J� , to%>¼�9�3 �� , ale 9�¼/%F37ò @gf�@ ��J� . Nawet jesli ograniczymysiedomacierzykwadratowych,towynik zalezy odkolejnoscidziałan, np.} ¯ �¯ ¯�~ ¼ } � �¯ ¯�~ � } ¯ ¯¯ ¯�~ �� } ¯ �¯ ¯�~ � } � �¯ ¯�~ ¼ } ¯ �¯ ¯�~ L

Zauwazmy, zezgodniez nazwamacierzytozsamosciowejdlakazdejmacierzy%F37ò f ��/.$�mamy, iz %I¼��R�X¼h%=�G%�LW tym momenciemoznazadac pytanie,czydlakazdejmacierzy%F37ò f ��/.$� istniejemacierz9 odwrotnadoniej tj. taka,ze %�¼�9F�D9R¼�%D�D� . Odpowiedz jestprzeczaca,np. niech%=�� ¯¯ ¯�� * wtedy %�¼h%=�� ¯ ¯¯ ¯�� G¯8LGdybyistniałamacierzodwrotna% � d , to mielibysmy%=�G%�¼��¡%I¼ � %�¼h% � d � � � %�¼h% � % � d �G¯8LCo nie jestprawda.

Naszedotychczasowe rozwazaniadotyczace macierzykwadratowych musza zostac uzu-pełnioneo fakty niezbednedodefinicji wyznacznika.Temucelowi słuzy nastepny paragraf.


2.3.1 Dygresjana temat permutacji

W podrozdzialeo kombinatoryce(patrzdefinicja20w §1.7)wprowadzilismypojeciepermutacjizbioru g -elementowego. Umówimysieoznaczac ich zbiórsymbolem� � g � . Obecniespojrzymynapermutacjez algebraicznego punktuwidzenia.Jesli �A3�� g � , to działanie� naelementach

zbioru ' � *�LwL�L�*/gr0 opisujemynastepujaco

Ò � ¦ L�LwL g� �j�h� � � ¦ � L�LwLL� � g � Ó * gdziew dolnym wierszu

piszemy � � � � pod � by oznaczyc wartosc � na liczbie � . Przykładowo wypiszemywszystkiepermutacjezezbioru � ��ê��Ò � ¦ ê� ¦ ê Ó * Ò � ¦ ê¦ � ê Ó * Ò � ¦ ê� ê ¦ Ó * Ò � ¦ êê ¦ � Ó * Ò � ¦ ê¦ ê � Ó * Ò � ¦ êê � ¦ Ó LPrzypominamy, zepermutacjesa funkcjami,moznaje składac i złozenietez jestpermutacja,cowiecejjesli �}*R�8*&�;3�� g � * to � �Pª�� ª��Á�*�Àª � �$ª�� . Poniewaz kazdyelement�53�� g � jestfunkcjawzajemniejednoznaczna, to istniejefunkcjaodwrotna� � d taka,ze �½ª�� d �*� � d ª��£��\ , gdzie ��\ jestpermutacja tozsamosciowa, tj. ��\ � � � �F� . Podsumowujacstwierdzamy, ze � � g �z wyróznionapermutacja ��\ jestgrupa. Cowiecej,jestto naturalny przykładgrupynieabelowej.

Wrócmydo wypisanych wyzej permutacjiz � ��êS� : druga,trzeciai czwartasa szczególne,sabowiemprzestawieniamisasiednichelementów:� ��Ù � § � � æè é § §5��G��* ÛÛ §P�G�� §P� Û LPermutacje � �{Ù nazywamytranspozycja. Role transpozycjiwyjasnianastepujacestwierdzenie,któregodowódpozostawiamyCzytelnikowi do samodzielnegoprzemyslenia.

Stwierdzenie14.Kazdapermutacja�53�� g � jestzłozeniempewnej ilosci transpozycji,tj.�£�� M Ù M ªg� � ð Ù ð ª�L�L�L-ªg� �\yìÙ�y �j� ¯ �Oczywiscie owo przedstawienie nie jest jednoznaczne,ale nastepujacy fakt jest prawdziwy iłatwy dookazania.

Stwierdzenie15.Jesli �53�� g � , to liczba � x �h� { *gdzie � jest iloscia transpozycjiwe wzorze(10),niezalezy od reprezentacji(10).

Dzieki temustwierdzeniunastepujacadefinicjajestpoprawna.

Definicja 14. Jesli ��3�� g � to powiemy, ze � jestparzysta(odpowiednio: nieparzysta), jesli� x �-� { � � (odpowiednio:� x �-� { �Fx �h� . Piszemy

sgn�5� � x �-� {Przykład 6. Sposródwypisanych permutacjiz � ��êS� parzystesa: pierwsza,piata,szósta,pozo-stałesa nieparzyste.


2.3.2 Wyznacznik macierzykwadratowej

Tak jak zapowiadalismy, pokazemyw jaki sposóbpowyzszeuwagistosuja sie w definicji wyz-nacznikamacierzy. Najpierw podamyogólneokreslenie,potemobjasnimy je na przykładachi podamyzasadniczewłasciwosci. Wprawdzie zasadniczeprzypadkiwymiarów, tj. 2 i 3 niewymagaja rozbudowanejteorii, leczspójnosc wykładu i potrzebapełnejteorii skłaniaja naskuogólnejdefinicji.

Definicja 15.Niech 9Q37ò f ��/.�� *�9F�D')� �{Ù 0 , liczbeb �� 9Q�i� Õ�-�� ü þ sgn�Ø� � ü d þ d */� � ü � þ � L�L�LwLá� � ü þ nazywamywyznacznikiemmacierzyB.

Przykłady 7. Powyzszadefinicjaw wymiarach2 i 3 przyjmujenastepujaca postac:b �� d#d � d �� d � �#� � ��Md#d#� �#� xE�td � � � db �� jkl �Md#d��Md � �td �� d�� #� � � �� d�� #�

m np5�;�Md¾dÚ� �#� � �#� � �td � � � � � � d � � � dÚ� � � �td � x5� � dÚ� �#� �Md � x@� � � � � � �Md#dMx5�Md � � � d#� �¾�Zajmiemysie terazbadaniemwłasciwosci wyznacznika.W tym celu zapiszemymacierz % wpostacikolumnowej tj. %=� � 3 dÝ* 3 � *�L�L�L 3 � . Mamywtedy,

Stwierdzenie16.Jesli %F37ò f ��/.$� , 3 dÜ 3 �/.J i Æ>3 �/. , to wtedy� �Sd � b �� 3 dÝ*wL�L�LÝ* 3 Ü � 3 dÜ *�LwL�L�* 3 � �*b ��Ý� 3 dÝ*�L�L�LÝ* 3 Ü *�LwL�L�* 3 �r� b ��w� 3 dÝ*�L�LwL�* 3 dÜ *�LwL�L�* 3 � O� � � � b ��w� 3 d/*wL�L�LÝ*/Æ 3 Ü *�L�L�LÝ* 3 � �GÆ�b ��w� 3 d/*wL�L�LÝ* 3 Ü *�L�LwL�* 3 � L(b) Przestawienie2 kolumnprowadzidozmiany znaku,tj.b ��Ý� 3 dÝ*�L�L�LÝ* 3 � *wL�L�L�* 3 Ù *�LwL�L�* 3 � �Fx�b �� 3 d/*�LwL�L�* 3 Ù *�L�LwL�* 3 � *�L�L�LÝ* 3 � L(c) Jesli

3 � � 3 Ù to b �� %��;¯ .(d) b �� «� � .(e) b �� ¯��G¯ .(f) Jesli %�*�9Q37ò f ��/.$� i %=� � 3 d,*�L�L�L�* 3 � *�9F�D'hÇ �{Ù 0 , tob �� %Á¼�9 � ��b �� % Õ�-�� ü þ sgn�}Ç � ü d þ d[LwL�L¾Ç � ü þ Dowód. (a) Zadanewłasciwosci wynikajawprostz definicji wyznacznika.


(b) Definicjazastosowanadoprawej strony pokazuje,zewszystkiewystepujacetampermu-tacjezostałydodatkowo złozonez transpozycjaelementów� -tego i

Û-tego.

(c) Z (b) wynika, ze b �� 3 d *�L�L�Lw* 3 � *�LwL�L�* 3 � *�L�LwL�* 3 � �¿x�b ��Ý� 3 d *�LwL�L�* 3 � *�L�LwL�* 3 � *�L�L�Lw* 3 � .Zatem,b �� %��Rx�b �� % , a wiec b �� %=�G¯ .

(d) i (e) wynikajawprostz definicji.(f) Niech %<¼¾9D� � 3 Åd *�L�L�LÝ* 3 Å � , z definicji mnozeniamacierzywynika,ze

3 ÅÜ �*P �×Ö d Ç � Ü 3 � ,tj. z (a) i (c) dostaniemyb �� 3 Åd *�L�L�LÝ* 3 Å � � Õ� M G/�/�/� G � î Ö d b ��Ý� Ç � dÝ* 3 � d/*�L�LwL�*jÇ � î 3 � î �� Õ� M G/�/�/� G � î Ö d Ç � M dàL�L�L�Ç � î b ��Ý� 3 � M *�LwL�L�* 3 � î �� Õ�-�� ü þ Ç � ü d þ d L�L�LjÇ � ü þ b �� 3 � ü d þ *�L�L�L�* 3 � ü þ �� Õ�-�� ü þ Ç � ü d þ d L�L�LjÇ � ü þ sgn��b ��w� 3 d *wL�L�L�* 3 � L ��

Dowódczesci (f) prowadzido ciekawego wniosku,a mianowicie:

Stwierdzenie17.Jesli6 �Mò f ��/.$� o �/.

spełnia(a), (b) i (d), to6�� % � �*b �� %Dowód. Dowódczesci (f) pokazuje,ze(a) i (b) prowadzado równosci6½� %I¼h9 � � 6�� % � Õ�h�� ü þ Ç � ü d þ d LwL�LjÇ � ü þ sgn�£� 6½� % � b �� 9�LZatem

6�� ^¼w% � � 6�� P �-�� ü þ sgn�r� � ü d þ d *�L�L�L�� ü þ � � ¼#b �� % co konczydowód.��

Zauwazmy teraz,zedladowolnejmacierzykwadratowej mamy

Stwierdzenie18. b �� %=�*b �� % q .

Dowód. Zauwazmy, zesgn�4� sgn� � d . Wtedyb �� % q � Õ�-�� ü þ sgn�B� d � ü d þ L�L�L,� � ü þ � Õ�-�� ü þ sgn�r� �� M � ü d þ\� ü d þ L�L�L�� #� M � ü þ\� ü þ LPozamianiekolejnoscimnozeniadostaniemyb �� % q � Õ� � M �� ü þ sgn� � d � � � M ü d þ d L�LwLj� � � M ü þ *


alepermutacjeodwrotnewyczerpujazbiór � � g � . Zatem,b �� % q � Õ�-�� ü þ sgn�r� � ü d þ d LwL�Lj� � ü þ �*b �� %�L ��Podamyterazwazny fakt łaczacy liniowa zaleznosc z zerowaniemsie wyznacznikaukładu

wektorów. Bedziemyz tego faktu czestokorzystac.

Stwierdzenie19. Jesli %�3>ò f ��/.X� , to wtedy b �� %��R¯ � kolumny macierzy% sa liniowozalezne.

Dowód. � z liniowej zaleznosci wynika, ze pewna kolumna3 Ü jest kombinacja liniowa po-

zostałych,tj. 3 Ü � Õ��Ö Ü 4 � 3 �Z tej równosci i stwierdzenia16wynika, zeb �� %��b ��w� 3 dÝ*�L�LwL�* 3 � � Õ��Ö Ü b ��w� 3 d,*�L�L�L�* 4 � 3 � *�LwL�L�* 3 � LKazdaz macierzywystepujacych po prawej stroniemato do siebie,zenapozycji § -tej pojawiasiekolumna� -ta. Zatemzestwierdzenia16(c) wynika,zewszystkiewyznacznikisa równezeru,tj. b �� %=�G¯ .� Zastosujemymetode sprowadzeniado niedorzecznosci. Oznaczato, ze zakładamyiz3 dÝ*�L�LwL�* 3 stanowia baze w

�/.J . Wektory Wtd,*�L�L�LÝ*OW , gdzie W � jest wektorem,który na � -tej

współrzednejma1, napozostałych0, tez stanowia baze�/.^

. Zatemistnieja Ç � Ü takie,zeW Ü � Õ��Ö d Ç � Ü 3 �i mamyrównosc macierzy � WMd/*�LwL�L�*OW � � � 3 dÝ*wL�L�LÝ* 3 � ¼�9�*gdzie 9��D'hÇ � 0 . Wyznaczniklewej strony jestrówny 1 (namocy stwierdzenia16(d)) zasprawejz (f) i z załozeniajestrówny b ��Ý� 3 dÝ*�L�LwL�* 3 � b �� 9]�¡¯8LJestto sprzecznez załozeniem.

��Poniewaz wykazalismy wczesniej, ze b �� % � b �� %rq , to mozemy stwierdzic, ze kazda

własciwosc wyznacznikawyrazonaw terminachkolumn jest prawdziwa, jesli wyrazimy ja wterminachwierszy. Bedzieto wielceprzydatne.

Podamyteraz praktyczny sposóbobliczanianieduzych wyznaczników. Poprzedzimygonowym okresleniem.

Definicja 16. Załozmy, ze %¿3¡ò f ��/.$� i gE±�¦ . Z macierzy% skreslamywierszi kolumnezawierajacewyraz � �{Ù . Wyznacznikuzyskanejmacierzy

� g<x �-� na� g4x �h� pomnozony przez� x �-� � W Ù nazywamydopełnieniemalgebraicznymelementu� �{Ù i oznaczamy% �{Ù .


Przedstawimy terazwspomniana wyzejmetode.

Twierdzenie20.(rozwiniecieLaplace’a)Niech %=�D')� �{Ù 0«37ò f ��/.$� i g5±�¦ . Wtedyb �� %�� Õ��Ö d � d � ¼h% d � LDowód polega na sprawdzeniu, iz prawa stronaspełniazałozeniastwierdzenia17 o jednoz-nacznosciwyznacznika.Szczegóły rachunkowepozostawiamyzainteresowanemuczytelnikowi.��

RozwiniecieLaplace’amoznaniecopoprawic, mamybowiem

Wniosek 21. Niech %»� � � �{Ù � 3�ò f ��/.$� , g�±�¦ , zas � jest dowolnym wskaznikiem, �P�� *wL�L�L�*/g . Wtedy, b �� %=� ÕÜ Ö d � Ü � % Ü � � ÕÜ Ö d � � Ü % � Ü ��Z uwaginaznaczeniezbiorumacierzyodwracalnychwymiaru g oznaczamyich zbiór osob-

nym symbolem,"$�y� gº* �/.�� . Podsumowujacpoznanewłasciwosci macierzyodwracalnych jest

terazoczywistym,ze

Stwierdzenie22."$�y� gº* �/.�� jestgrupa.

��Majacnauwadzezastosowaniamacierzyodwracalnych, waznym jestumiejetnosc scharak-

teryzowaniaelementów"X�y� gº* �/.½� . Jestto trescia nastepujacego twierdzenia.

Twierdzenie23. Macierz %¿3Iò f ��/.�� jestodwracalnawtedy i tylko wtedy, gdy b �� %��Q¯ .Dowód. � Skoro % jestodwracalna,to %¡¼w% � d �D� . A zatem,� �*b �� «�*b ��w� %I¼h% � d � �*b �� %Á¼#b �� % � d *czyli b �� %¿��G¯ .� Jesli b �� %¿��G¯ , to definiujemy 9]�R'hÇ ��Ù 0 nastepujacoÇ Ù Ü � �b �� % % Ü Ù LSprawdzimy, ze %�¼�9��D�«�F9G¼�% . Jesli %�¼�9��D'hÈ � Ü 0 , to z definicji mnozeniamacierzowegodostaniemy, ze È � Ü � ÕÙ#Ö d Æ �{Ù Ç Ù Ü � �b �� % Õ � Æ �{Ù % Ü � LJesli §E�¿� , to È �á� � �

, dzieki rozwinieciuLaplace’awyznacznikamacierzy % . Jesli §=��Ø� , ztegoz samegorozwinieciadostaniemy, ze È � Ü jestwyznacznikiemmacierzytakiej,zejej kolumny� -ta i § -tasa równezatemÈ � Ü �G¯ dla §_�� tym samym'hÈ � Ü 0��D�ä\ . ��

Łatwo jesttez przekonac sie o prawdziwoscinastepujacego faktu

2.4. ODWZOROWANIA LINIOWE 53

Wniosek 24. b �� % � d �*b �� % .

Dowód. Mamy bowiem� �'b �� «�*b ��Ý� %�% � d � �*b �� %�¼#b �� % � d . ��

Bedzimymusieli liczyc rzedymacierzy, niekonieczniekwadratowych,do tego celupomoc-nym jestnastepujacepojecie.

Definicja 17. Niech % 3(ò @gf ��/.$� i §ã° ². Macierz 9 3aò Ü f Ü ��/.X� powstała poprzez

wykresleniez % dowolnych² xF§ wierszy i gExD§ kolumn nazywasie minorem stopnia §

macierzy% .Powiazemyterazrzad macierzyz wyznacznikamijej minorów. Okaze sie to pózniej przy-

datneprzybadaniurównan liniowych.

Stwierdzenie25.Jesli %F37ò @gf ��/.$� , to wtedy(a) �$� %D±G§ � istniejeminor 9 stopnia§ taki, ze b �� 9Ø��G¯ ;(b) kazdyminor o niezerowym wyznacznikumawymiar niewiekszyniz § � �$� %F°�§ .

Dowód. (a) � Niechkolumny3 � M *�L�L�Lw* 3 �\� beda lnz. Wtedy rzadkolumnowy macierzy h~�� 3 � M *�L�LwL�* 3 �\� � jest równy § . Skorojest on równy rzedowi wierszowemu,to istnieje § wierszy

macierzyh , któresa lnz. Tworzaonezadany minor 9 o niezerowym wyznaczniku.� Z drugiej strony, jesli minor 9 stopnia § ma niezerowy wyznacznik,to znaczy, ze jegokolumny salnz. Powstałyonezeskresleniapewnejilosciwierszyzkolumn

3 � M *�LwL�L�* 3 �\� macierzy% , zatemkolumny3 � M *�LwL�L�* 3 �\� sa lnz i �$� %D±G§ .

(b) Łatwy dowód przezsprowadzeniedo niedorzecznosci (w kazda) zestronpozostawiamyczytelnikowi. Nalezy skorzystac z czesci (a).

��Powyzszestwierdzenieprowadzidonastepujacego wniosku.

Wniosek 26. Macierz % 3`ò f ��/.X� ma rzad § � istnieje minor stopnia § o niezerowymwyznacznikui kazdyminorstopniawiekszego niz § znika.

O rozwiazywalnosci równan bedzienam sie wygodniej mówiło majac dodatkowa podbu-dowe teoretycznauzyskana w nastepnym paragrafie.

2.4 Odwzorowania liniowe

Naszcel to teoriaukładówrównan. Pragnienieuczynienianaszego zapisuzwiezłym prowadzido wniosku,zebadamyczy dany punkt lezy w obraziepewnego szczególnego przekszałcenia,któregodefinicjezarazpodamy.

Definicja 18. Niech=

i ¬ beda p.w. nad�/.

. Powiemy, ze funkcja6 � = o ¬ jest odw-

zorowaniemliniowym (albo po prostujest liniowa, albo jest homomorfizmemprzestrzeniwek-torowych) jesli dla dowolnych

� *Od<3 =i Æ>37Â jestprawda, ze

(a)6��>� d � � 6½��^�}�96½� d � ;


(b)6½� Æ �Ë� �GÆ 6½��^� .

Zbiórodwzorowan liniowychoznaczamyprzezHom�&= *�¬ � . Jesli

6 3 Hom�5= *�¬ � jestróznowartos-

ciowe i „na”, to powiemy, ze6

jest izomorfizmemliniowym, ich zbiór to Iso�5= *Ý¬ � . Jesli zbiór

Iso�&= *�¬ � jestniepusty, to powiemy, zep.w.

=i ¬ sa izomorficzne.

Wprowadzimyterazdodatkoweoznaczenia.Jesli6 3 Hom

�&= *�¬ � , to bedziemypisac� � 6 � 6 � d � ')¯S0 � * ��6 � 6��&=«� Li mówic, ze

� � 6 jest jadrem6

a�� 6

, to obraz funkcji6

.Zauwazmyod razu,ze

Stwierdzenie27. bUö ��= �*b8ö � � � 6I� bUö ��6.

Dowód. Niech 9^d bedziebaza� � 6 (albo zbiorempustymjesli

� � 6 � � ')¯�0 � , zas 9 � jesttakimzbioremwektorów

=, ze 9^dÝ:!9 � stanowi bazeV. Wtedyoczywiscieobraz

6jestrozpinany

przezwektoryz 9 � , co wiecej6½� 9 � � stanowi baze w

��6.

��Natychmiastwynika stadnastepujacy fakt.

Wniosek 28. b8ö ��6 °*b8ö ��=.

Odnotujemyjeszczeistotnespostrzezenie.

Stwierdzenie29.6 3 Hom

�5= *�¬ � , wtedy róznowartosciowosc6

jest równowaznatemu,zeb8ö � � � 6 �G¯ .Dowód. � Jesli

6jest róznowartosciowe, to jedynym wektorem > , takim, ze

6�� > � �(¯ jest>À�¡¯ .� Niech6�� >Sd � � 6�� > � � , z liniowoscidostaniemy, ze ¯P� 6�� >�d xB> � � , a skoro bUö � � � 6 ��¯ ,

to� � 6 �D')¯S0 i >�d x-> � �G¯ , tj. i

6jestróznowartosciowe.

��Wczesniejuzywalismyspecjalnejbazyw

�/. {, W Ü , §�� *wL�L�L�*O� , którajestwygodnaw uzyciu.

Przypominamy, zewektory W Ü maja jedynkena § -tej współrzednej,napozostałychzera.Tebazenazwiemybaza standardowa w

�/. {. Odegraonaistotna rolew nastepnejkonstrukcji.

Skonstruujemyterazwazny przykładizomorfizmup.w. �5� Hom��/.J * �/. @ � o ò @ f ��/.X� .Jesli

6jestodwzorowaniemliniowym, to � �56�� bedzienazywac sie macierza

6(w baziestan-

dardowej). Kolumny macierzy � �56�� to wektory6 W Ü zapisanew baziestandardowej

�/. @ . Jesli� �&6�� =')� �{Ù 0 to dostaniemy, ze 6 W � �=� �&6«� W � � @ÕÙÚÖ d � Ù��¢¡�Ù *gdzie ¡�Ù jestbaza standardowaw

�/. @ .Jestrzecza jasna, ze � jesthomomorfizmem.Co wiecej

� �[��D¯ , bo jedynym odwzorowa-niemliniowym,któregomacierzjestzerowa,jestodwzorowaniezerowe. Zauwazmytez, zejesli%a3Dò @gf ��/.�� , to istniejeodwzorowanie

6takie, ze � �56�� Ø% . Mianowicie definiujemyje

wzorem 6½� Õ��Ö d 4 � W � � � @ÕÙÚÖ d Õ ��Ö d � Ù�� 4 �\¡�Ù L


Zauwazmynakoniec,ze � �&6 ª "X� �R� �56�� ¼h� �#"$� , bo jesli6 � �/. o �/. @ oraz

" � �/. { o �/. iW � , ¡�Ù , £ Ü sa bazamistandardowymi, to mamyze�&6 ª "$� W � � @ÕÜ Ö d � �56 ª "$� Ü � £ Ü

jednoczesnie 6 ª " W � � 6��¾" W � � � 6 ÕÙÚÖ d � �¾"X� Ù��¢¡�Ù � ÕÙÚÖ d � �¾"X� Ù�� 6 ¡�Ù� @ÕÜ Ö d ÕÙ#Ö d � �#"$� Ù�� 56�� Ü Ù £ Ü � @ÕÜ Ö d ÕÙÚÖ d � �&6�� Ü Ù � �¾"X� Ù�� £ Ü

tj. � �56 ª "X� Ü � � P Ù � �&6«� Ü Ù � �#"$� Ù�� . ��Izomorfizm � graogromna role, dzieki niemumozemyutozsamiac odwzorowanialiniowez

odpowiadajacymi im macierzamiw bazachstandardowych.W dalszymciaguwykładubedziemysobiepozwalalinawet nadomyslnetakieutozsamienia.

Wyrazimyterazróznowartosciowosc6

w terminachwyznaczników.

Stwierdzenie30.Jesli6 3 Hom

��/. * �/. � , to� � 6 �G')¯�0 � b �� 56�� ;¯8LDowód. � Wektory

6 W � rozpinaja��6

i sa lnz., zatemb �� &6�� ¯ .� Wektory6 W � rozpinaja

��6i z załozeniawynika zesa lnz. Zatem P ��Ö d 4 � 6 W � �R¯ pociaga,

ze4 � �G¯ , dla �� *wL�L�LÝ*/g .

��2.4.1 Problemy liniowe

Chcemyzajac sie zasadniczymtematemrozdziału,któremuposwiecamyniniejszypodrozdział.Niech

6 � �/. o �/. @ i ��3 �/. @ , załózmy, ze � �56�� F%��')� �{Ù 0 @ G � G Ù#Ö d tytułowe zagadnienieliniowemoznasformułowac na3 sposoby� � � �td#dÚ2 d � L�L�L � �Md 2 �G��d

...� @ d�2}d � L�L�L � � @ 2 �G� @� �U� � 2 d jkkl �Md#d...� @ dm nnp � L�L�L � 2 jkkl �Md ...� @

m nnp � jkkl ��d...� m nnp

� �U�8� � 6 2��G�-LZauwazmy, zepowyzszezagadnieniasa równowazne.Jesli jestoczywistym,ze(I) i (II) sa tym


samym.Równowaznosc (II) i (III) wynika stad,ze6 2�� 6�� Õ�×Ö d 2 � W � � � Õ ��Ö d 2 � 6 W � �G2}d jkkl �td#d...� @ dm nnp � LwL�L � 2 jkkl �td ...� @

m nnp �G�Mozemyterazsformułowac zasadniczewyniki. Poprzedzimyje definicja. Powiemy, zemacierzwspółczynników%=�D')� �{Ù 0 nazywamymacierza układu(I). Zas macierzrozszerzonatojkkl � d#d L�LwLa� d � d

......

......� @ d¢L�LwLF� @ �

m nnp *piszemytez

� %�*/� � .Twierdzenie31. (Kronekera- Capellego). Zagadnienia(I), (II), (III) maja rozwiazanie,wtedyitylko wtedy, gdy rzadmacierzyukładujestrówny rzedowi macierzyrozszerzonej.

Dowód. Poniewaz wszystkiezagadnieniasa równowazne,to zajmiemysie jednym z nich, np.(II). Rozwiazalnosc układu(II) oznacza,ze ostatniakolumnamacierzyrozszerzonejjest kom-binacja liniowa kolumnmacierzyukładu. Jestto równowaznestwierdzeniu,ze rzedymacierzyukładui rozszerzonejmacierzyukładusa równe.

��W szczególnym przypadku,gdy macierzukładu % jest kwadratowa, mozemy powiedziec

wiecej.

Twierdzenie32.(wzoryCramera)Zagadnienie(I) madokładniejednorozwiazaniewtedyi tylkowtedy, gdy b �� %a��Q¯ , gdzie % jestmacierza układu(I). Nadto,jedynerozwiazaniewyrazasiewzorami 2 � � b �� % �b �� % * �º� � *�L�L�Lw*/ggdzie % � jestmacierzapowstała z % poprzezzastapienie� -tej kolumny wektorem� .Dowód. Mozemyrównowaznierozpatrywac (III), tj.

6 2A�Ø� . Jesli (III) ma dokładniejednorozwiazanie,to oznaczato, ze

� � 6 �a')¯S0 . Jestto równowaznetemu,ze��6 � �/. @ , co z

kolei odpowiadatemu,ze b �� &6�� ¿¯ . Wyznaczymyowo rozwiazaniemnozac lewostronnierównanie

6 2I�(� przez6 � d . Dostaniemywtedy 2¡� 6 � d � . Ze wzoru na macierzodwrotna

mamy, ze 2 � � �56 � d � � � � �b �� % ÕÜ Ö d � Ü % Ü � � �b �� % b �� % �conalezałowykazac.

��Uwaga. W zwiazkuz duzazłozonosciaobliczeniowapowyzszewzoryniesastosowanew prak-tycedo rozwiazywaniaduzychukładówrównan, tj. gdy g5± ê .


Przeformułujemyterazznanefaktyo zbiorzerozwiazan układu(I). OznaczymygosymbolemVX� %�*/� � N �/. . Mamywtedy

Stwierdzenie33. (a)VË� %�*/� � �D')2 Ð 0 �ÁVX� %�*,¯ � , gdzie 2 Ð jestdowolnym elementem

VX� %�*,� � .(b) b8ö ��VX� %�*/¯ � �Gg�x¤�� % .

Dowód. (a) Łatwe do sprawdzenia,co zalecamyczytelnikowi. (b) Jestto przeformułowanieczesci (b) stwierdzenia27.

��2.4.2 Metoda eliminacji Gaussa

Zajmiemysieterazpraktycznymi aspektamiobliczaniarzedumacierzyi rozwiazywaniaukładówrównan liniowych. Uzyjemy do tego celu metode eliminacji Gaussa,która ma te zalete, zejestogólnai prostaw zastosowaniu. Dla naszejwygodysformułujemyja dla macierzyrzeczy-wistych,coniestanowi jednakograniczenia.Zaczniemyodwprowadzeniapomocniczychpojec.

Definicja 19.Niech %D37ò f�@ ��J� .(a) Powiemy, ze %=�D')� �{Ù 0 jestmacierza trójkatna, jesli� �{Ù �¡¯8* gdy � ´ Û L(b) Powiemy, zemacierztrójkatna% jestzredukowana, jesli � �á� �G¯ , to � Ü Z �¡¯ dla §}* Y ´ � .Przekonamysie, zedwapodstawowezadaniaobliczeniowe,amianowicie

(a) obliczenierzedumacierzy% ;(b) rozwiazanieukładurównan %^2��G�

bardzosie upraszczaja, gdy % jestmacierza trójkatna. Zauwazmy najpierw, zeobliczeniewyz-nacznikakwadratowej trójkatnejjestproste.

Stwierdzenie34.Załózmy, ze %D37ò f ��J� jestmacierza trójkatna. Wtedyb �� %=� 0��Ö d � �á� LDowód. Tenfakt wynikaz kolejnegostosowaniarozwinieciaLaplace’a(twierdzenie20).

��Podobniemasie sprawaobliczeniarzedumacierzy.

Stwierdzenie35.Załózmy, ze %D37ò f�@ ��J� jestmacierza trójkatnazredukowana.Wtedy�$� %D� � ��¥M' Û �X� Ù Ù ��¯S0ULDowód. Połózmy, § � � ��¥M' Û �¿� Ù Ù ��Ä¯�0 . Z definicji macierzytrójkatnej zredukowanejwynika, zewierszeo numerachwiekszychniz § sa wypełnionezerami.Wynika stad,ze �$� %�°§ . Zdefiniujemynowa macierz 9 3�ò Ü f Ü ��J� . A mianowicie, 9 powstajeprzezodrzucenie


kolumno numerach§ �<� *�L�LwL�* ² i rzedówo numerach§ �4� *�L�L�Lw*/g , któresawypełnionezerami.Jestterazoczywistym,ze �� %]�¦��9 . Zauwazmy, zedzieki stwierdzeniu34 powyzej b �� 9��§ Ü�×Ö d � �á� . Cowiecej,dzieki załozeniu,iz % jestmacierza trójkatnazredukowanazadnaz liczb � �á�niemozebyc zerem,zatemb �� 9 ��¯ i �$� %D�G§ . ��

Tym samymmamyodpowiedz nasformułowanewyzejpytanie(a). Zajmiemysie terazdrugakwestia.

Twierdzenie36.Niech %�3Aò f ��J� bedziemacierza trójkatna. Jesli b �� %&��¯ i ��3 �� , toukład %^2��G� madokładniejednorozwiazanie,kórejestdanewzorami2 � � � � � x ÕÜ ÖU� W d � � Ü 2 Ü � �Z� �Ô� * � � � *�L�L�LÝ*/g L �j��h�Dowód. Z załozenia,ze b �� % ��Ø¯ i stwierdzenia34 wynika, ze � �á� ��Ø¯ dla wszystkich �� *wL�L�L�*/g . Przepiszemyukład %^2��¡� w postaci� d¾d 2 d � � d � 2 � � L�L�L � � � d � d 2 � d � � d 2 � � d� �¾� 2 � � L�L�L � � � d � d�2 � d � � � 2 � � �

... � ...� � d � d,2 � d � � � d 2 � � � d� 2 � � Ostatnierównaniejest łatwedo rozwiazania:2 �G� �h� LWstawiamy wynik doprzedostatniego równania,dostaniemywtedy2 � d!� � � � d xE� � d 2 � �h� � d � dÝLKontynuujactenprocesdostaniemywzór (11).

��Pozostajeterazwykazac, ze kazda macierzmozna sprowadzic do postacitrójkatnej zre-

dukowanej.Osiagniemytencelzapomoca trzechzasadniczychoperacji:

(I) mnozeniawierszaprzezliczbe róznaodzera;

(II) dodawaniadwuwierszy;

(III) zamiany wierszy � -tego i § -tego;

i jednejpomocniczej:

(IV) zamiany kolumn � -tej i § -tej.

2.5. INTERPRETACJA I ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE WYZNACZNIKÓW 59

Ostatniaoperacjajesttylko przenumerowaniemzmiennychw równaniu.Zauwazmy, zedzia-łania(I-III) niezmieniaja zbiorurozwiazan

VË� %�*/� � .Stwierdzenie37.Załózmy, zedanesa układyrównan %^2?�G� i %JÅ�2��G�/Å , gdziemacierzrozsze-rzonaukładu

� % Å */� Å � zostałauzyskanaz macierzyrozszerzonej� %�*/� � zapomoca ciaguoperacji

(I-III). Wtedyzbiory rozwiazan obu układówsa równe.Jesli dodatkowo wykonywanabyła op-eracja(IV) namacierzy% , to abyotrzymac zbiór rozwiazan układu %KÅá27�Q�/Å , koniecznym jestprzenumerowaniewspółrzednychodpowiadajacychoperacjom(IV).

Dowód. Jestto łatwecwiczenie,którepozostawiamyCzytelnikowi.��

Mozemyterazprzedstawic zasadniczywynik, którego metodadowodowa pozwalanaprak-tyczneznajdowanierozwiazan układurównan liniowych.

Twierdzenie 38. Załózmy, ze danajest macierz %�3�ò f�@ ��J� . Wtedy istniejeciag operacji(I-IV) sprowadzajacych ja dopostacitrójkatnejzredukowanej.

Dowód. Załózmy, ze %~��¿¯ . Inaczej,osiagnelismycel, bo macierz %©¨Ø¯ jest trójkatnazre-dukowana.Załózmy nastepnie,ze � �KIìÙªI ��¯ dla pewnych � Ð , Û Ð . W raziepotrzebyzamieniamywiersz � Ð -y z pierwszym(operacja(III)) i

Û Ð -a kolumna z pierwsza (operacja(IV)), abydostac� d¾d ��G¯ . Nastepniemnozymypierwszywierszprzez x�� d Ù �Z� d#d dodajemywynik doÛ-tegowier-

sza,Û �;¦8*�L�LwL�*/g , (operacje(I) i (II)). Jesli � d Ù �¡¯ , to niewykonujemyzadnejoperacjina

Û-tym

wierszu. Nowa macierz % Å ma te ceche, ze � Å d Ù � ¯ , dlaÛ �Ø¦8*wL�L�L�*/g . Jesli % Å jest macierza

trójkatnazredukowana,to konczymyprace, jesli nie, to powtarzamyargumentrozwazajactylko�j* Û ´ � . ��Ciagoperacji,o którym jestmowaw twierdzeniunie jestwyznaczony jednoznacznie.W praktyceoperacja(IV), która jest wygodnaz teoretycznego punktuwidzenia,prowadzi

do niepotrzebnych komplikacji, naszczescienie musibyc wykonywana,aleuzyskanamacierzzredukowana %JÅ nie ma juz tak eleganckiejstruktury. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowijako cwiczenierachunkowe.

Rozwiazujac układ %^2A�Ø� operacjeopisanew dowodzietwierdzenia38 wykonujemynietylko na % , ale i namacierzyrozszerzonejukładu

� %�*/� � . Robimytak, po to abyznalezc sie wsytuacjiopisanejw stwierdzeniu37.

2.5 Inter pretacjai zastosowaniageometrycznewyznaczników

Bedziemyrozwazali całaserieprzykładówrachunkowych.Bedaonedotyczyłygłówniepłaszczyzny.

2.5.1 Przykłady przekształcen płaszczyzny

Przykład 8.Przekształcenieliniowe6 � �� o ��

zadajemypodajacjegomacierz � ¦ �� * tj.6 WMd��G¦�Wtd � W � i6 W � ��Wtd � W � L Wtedyobrazemkwadratujednostkowegojestrównoległobok.


« « « « « « « «« « « « « « « «« « « « « « « «« « « « « « « «¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬

® ¯ °± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²

x

x

x

x2

1

2

11 2 3

1

2

1

1

Rys.1. Obrazkwadratujednostkowego.

Przykład 9. Okreslimy� * V * ³�� o ��

, podajac ich macierze.�

ma macierz � ¦ ¯¯ � � LWynika stad

� WMd!�;¦,WMd i� W � �'W � , a zatem

�rozciagaw kierunku WMd o czynnik2,

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´µ µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ µ µ

¶ · ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º º º º

x

x2

11 2

1

1

1

x2

x1

L

Rys.2. Wynik działania�

nakwadratjednostkowy.

zas� � d sciskaw tym kierunkuo czynnik ¯U* � .V � ��» �� x » ��» �� » �� i rysunekpokazuje,ze

Vjestobrotemo

ë¼��½:

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

À À À À À À À ÀÀ À À À À À À ÀÀ À À À À À À ÀÀ À À À À À À ÀÀ À À À À À À ÀÁ Á Á Á Á Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á Á

Â Â Â Â Â ÂÂ Â Â Â Â ÂÂ Â Â Â Â ÂÃ Ã Ã Ã ÃÃ Ã Ã Ã ÃÃ Ã Ã Ã ÃÄ Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä ÄÅ Å Å Å ÅÅ Å Å Å ÅÅ Å Å Å ÅÆ Æ Æ Æ Æ Æ ÆÆ Æ Æ Æ Æ Æ ÆÆ Æ Æ Æ Æ Æ ÆÇ Ç Ç Ç Ç ÇÇ Ç Ç Ç Ç ÇÇ Ç Ç Ç Ç ÇÈ È È È È ÈÈ È È È È ÈÈ È È È È ÈÉ É É É ÉÉ É É É ÉÉ É É É É

x

x2

11

1

1

1

x2

x1

R

Rys.3. Wynik działaniaV

nakwadratjednostkowy.


³F� � ¯ x �� ¯ � * widac, ze ³ jestobrotemo2 ¯ ½ :

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊË Ë Ë Ë Ë Ë Ë ËË Ë Ë Ë Ë Ë Ë ËË Ë Ë Ë Ë Ë Ë ËË Ë Ë Ë Ë Ë Ë ËË Ë Ë Ë Ë Ë Ë Ë Ì Í

Î Î Î Î Î Î Î Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î Î ÎÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

x

x2

11

1

1

1

x1

x2

Q

Rys.4. Wynik działania³ nakwadratjednostkowy.

Zastanówmysie cosie dziejez okregiem Ð�Ñ¦ÒÔÓ�Õ×ÖRØOÕÚÙ ÛÝÜ�Þ/ß Ù�à Õ Ù Ö×á Õ ÙÙ Ñãâ�ä poddziałaniemå ³ i ³ å. Z rysunkówwynika, ze

å ³�Ó5ÐæÛ?Ñ©ç"Ö i ³ å Ó&ÐæÛ?Ñ©çgÙ , gdzie ç"Ö�Ø çgÙ sa elipsamijaknizej.

è è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è èè è è è è è è è è è è è è è è è

é é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éé é é é é é é é é é é é é é é éê ë

1 2

1

2x’’

x’’

2

1

E1

E2

Rys.5. Elipsy ç"Ö i ç Ù .Aby znalezc równaniana

å ³�Ó&ÐæÛ i ³ å Ó5ÐæÛ postepujemynastepujaco: wyznaczamyì5í�îíOï�ð z

równaniaå ì í�îíOï�ð ÑVì í îîí îï ð tj. ì í�îíOï�ð Ñ åæñ Ö ì í îîí îï ð , podobnierozwiazujemy ì í îJîîí îJîï ð Ñò³óì í îîí îï ð tj. ì í îîí îï ð Ñ³ ñ Ö ì í îJîîí îJîï ð .

Po przeprowadzeniupowyzszychrachunkówi wstawieniu wyników do równaniaokreguÕ Ù ÖÝá Õ ÙÙ Ñôâ dostaniemy, ze zbioryå ³�Ó5ÐæÛõÑöçrÖ�ØD³ å Ó5Ð�Û÷ÑøçgÙ sa opisywaneodpowiednio


równaniami âù ÓúÕ Ö5ÖÖ Û Ù á Ó�Õ Ö5ÖÙ Û Ù ÑLâ i Ó�Õ Ö5ÖÖ Û Ù á ÓúÕ Ö&ÖÙ Û Ùù ÑLâ�ûPrzywykonywaniuwskazanych wyzejobliczen zauwazamy, zeü ñ Ö ÑþýV» ÙÙ » ÙÙÿ » ÙÙ » ÙÙ�� i ³ ñ Ö Ñ�ý�� âÿ â � �co wiecej

ü?ñ Ö Ñ ü��i ³ ñ Ö Ñ|³ �

. Macierze� o wyrazachrzeczywistychtakie,ze � � Ñ�� ñ Önazywamyortogonalnymi.

2.5.2 Prostana płaszczyznie

Prosta napłaszczyznieprzechodzacaprzezpunkt � i równoległadowektoraswobodnego nazy-wamyzbiór punktów Õ Ü�Þ/ß Ù

, takichzewektorzwiazany �ÔÕ jestrównoległy dowektora � x

a

υ

Rys.6.

tj. Õ Ñ�� á � )Ø � Ü�Þ/ß?û Ó$â��¼ÛWe współrzednychdostaniemy: Õ×Ö�Ñ�� Ö á � �ÖÕÚÙgÑ��iÙ á � ,Ùrównowaznie, Õ Ö ÿ �!ÖæÑ � �ÖÕ)Ù ÿ �ÔÙÝÑ � ,Ù�û

Załózmy, ze ¼Ö��Ñ � i ,Ù��Ñ � . (Czytelnik jestproszony o samodzielnezbadanieprzypadku�ÖæÑ � lub �ÙgÑ � ). Wtedyostatniukładrównan jestrównowazny pojedynczemurównaniu�Ù ÓúÕ Ö ÿ �!Ö$Û ÿ Ó�ÕÚÙ ÿ �ÔÙ Û�¼Ö�Ñ � û Ó$â��¼Û


Zauwazmy, ze (13) kojarzysie z wyznacznikiem,a mianowicie lewa stronatej równosci mozebyc przepisanajako �� ý Õ×Ö ÿ �!Ö��ÖÕ Ù ÿ � Ù Ù � Ñ � û Ó$â ù ÛSkorowyznacznikwektorówjestrówny zero,to znaczy, zewektory Õ ÿ � i sa liniowo zalezne.Jesli wektor jestwyznaczony przezwektorzwiazany �� , to dostaniemyz (14), ze�� ý Õ×Ö ÿ �!Ö��Ö ÿ � ÖÕÚÙ ÿ �ÔÙ��Ù ÿ �iÙ � Ñ � û Ó$â��¼ÛJestto równanieprostejprzechodzacejprzezpunkty � i � o współrzednych �<ÑöÓ �!ÖOØ!�iÙOÛOØ"� ÑÓ ��ÖOØ!� Ù ÛRû

Zauwazmy, zemacierzw (15)wygladatak, jakbyodkolumnpierwszeji drugiejodjetowek-tor ì$# î# ï�ð , który mozemyuwazac za trzecia kolumne. Nie ma w tym nic dziwnego, bo dziekirozwinieciuLaplace’a,widzimy, ze

� Ñ �� ý Õ×Ö ÿ � Ö%� Ö ÿ �!ÖÕÚÙ ÿ �iÙ&� Ù ÿ �ÔÙ � Ñ ��(')* Õ×Ö ÿ � Ö��Ö ÿ � Ö%� ÖÕÚÙ ÿ �iÙ��Ù ÿ �iÙ&�iÙ� � â+-,.óÑ ��/')* Õ Ö%��Ö��!ÖÕ)Ù&��Ù��ÔÙâ â â

+-,.�Ñ �Ó$â�0¼ÛPrzedstawili smykolejnapostac równaniaprostejprzechodzacejprzezzadanepunkty. Zauwazmytez, ze(16)jestwarunkiemkoniecznymi dostatecznym współliniowosci3 punktówÕ�Ñ¦ÓúÕ×Ö�ØOÕÚÙ ÛOØ� ÑãÓ �!Ö�Ø"�iÙOÛOØ1��ÑLÓ2� ÖRØ"��Ù Û .

Zadajmyterazpytanie:czymdladowolnychpunktówpłaszczyzny ÕDØ"�ÚØ"� jestliczba�� ý Õ×Ö ÿ �!Ö��Ö ÿ � ÖÕÚÙ ÿ �ÔÙ��Ù ÿ �iÙ �43Zdefiniujmydługosc wektora �Ü�Þ/ß65 wzorem7 718 Ñ 9::; 5< =?> Ö Ù= Ó$âA@�Ûtj. gdy B Ñ�� dostaniemy

7 7 Ñ&C ÙÖ á ÙÙ . Niech D bedziemiara kata jaki tworzy os � Õ×Ö zwektorem Ü�Þ/ß Ù

, wtedy ¼Ö�Ñ 7 7�EGFIH DÝØ ,ÙÝÑ 7 7JHLKNM D Ó$â�O¼ÛZałózmy, ze mamydwa wektory na płaszczyznie ¼ÖõÑöÓ2 ÖÖ Ø" ÖÙ Û i ,Ù�ÑöÓ ÙÖ Ø! ÙÙ Û . Sprawdzimy

czymjest

��QP Ö Ø" ÙLRTS �� ý ÖÖ ÙÖ ÖÙ ÙÙ � Ñ 8VU. Wykorzystujacwzory (18) dostaniemy, zeU Ñ 7 �Ö 7N7 �Ù 7 Ó EGFWH DæÖ H�KNM D�Ù ÿ EGFIH D�Ù HLKNM DæÖ$ÛæÑÑ 7 �Ö 7N7 �Ù 7�H�KNM Ó2D�Ù ÿ D�Ö$ÛæÑ 7 �Ö 7X7 �Ù 7�H�KNMZY Ø


gdzie

Yjestkatempomiedzy �Ö i ,Ù , tj.

Y Ñ�DæÖ ÿ D�Ù . Jesli zdefiniujemyrównoległobokü Ó �ÖRØ",Ù Û

jakozbiór ü Ó2�Ö�Ø"�Ù ÛæÑ¦Ò�Õ Ü Þ/ß Ù 8 Õ�Ñ[�Ö � Ö á ,Ù � Ù à � Ö�Ø � Ù�Ü P � Ø�â R äÔØ(patrzrysunek7), to wtedy

7\U]7jestjego polem.

x

x2

1

v

v2

1

R(v ,v )1 2

Rys.7.

Dzieki tej uwadzezauwazamy, zepoleobrazukwadratu�Ó P � Ø�â R Ù Û , gdzie ^ jestjakw przykładzie

8 jestrówne1, bo

�� ý � ââ â � ÑLâ,ûChcemyterazpodac jeszczejedna interpretacje wzoru (13). Do tego celu potrzebujemy

definicji:

Definicja 20.Niech ÚØ"_�Ü�Þ/ß 5 . Iloczynemskalarnymwektorów )Ø"_ nazywamyliczbeÓ ÚØ"_?Û 8 Ñ` �ba _gdziepo prawej stroniewektory )Ø"_ traktujemyjako macierzeâbcdB zas

aoznaczamnozenie

macierzy, jesli ÑãÓ Ö Ø�û�û�û�Ø" 5 Û , _�ÑLÓ _ Ö Ø�û�û�û�Ø"_ 5 Û , toÓ2)Ø!_ Û�Ñ 5< =e> Ö = _ = ûZ tegowzoruwynika, ze

7 7 Ñ C Ó ÚØ" Û .Z drugiej strony dla )Ø!_ ÜöÞ/ß Ù

, rachunki takie jak przy wyznaczaniu

U, prowadza do

wniosku,ze Ó ÚØ"_?Û�Ñ 7 7 a 7 _ 7JEGFIH4Y Øgdzie

Yjestkatempomiedzy i _ .

Spójrzmyz jeszczejednejstrony na(13); jesli wprowadzimywektor _ Ñ�Ó2,Ù�Ø ÿ �Ö5Û to (13)jestrównowazne Ó�Õ ÿ �ÚØ"_?Û�Ñ �dlapunktów Õ z prostej.

Jesli umówimysienazywac wektory i _ takie,ze Ó _�Ø"!Û�Ñ � prostopadłymi, to dostaniemy,ze (13) oznaczaprostopadłosc wektorów Õ ÿ � i _ . Albo inaczej: prostaprzechodzacaprzez


punkt � , to zbiór punktów Õ płaszczyzny takich, ze Õ ÿ � wektor jestprostopadłydo zadanegowektora _ .

Zwrócmyuwage, zeprosta opisywalismyanalityczniena2 sposoby:(a) parametrycznie:patrzrównanie(12);(b) jakopoziomice funkcji f 8 Þ/ß Ùhg Þ/ß , tj. przeciwobrazliczby.

W naszymprzypadkuf8Ó�Õ×ÛæÑ¦ÓúÕ ÿ �ÚØ"_ Û i prosta jestzbiór f ñ Ö Ó5Ò � ä¼Û .Kazdy ze sposobówma swojewady i zalety. Zauwazmy, ze okrag łatwo opisujesie rów-

naniemnp. Õ Ù Ö á Õ ÙÙ Ñ¦â , aleprzedstawieniecałegookreguparametrycznienie jestmozliwe.

2.5.3 Prostai płaszczynaw i jlkBedziemysie terazzajmowac przykładamigłówniew Þ/ß6m . Zauwazmy, zejesli dwiepłaszczyznyn Ö Ø n Ù w Þ/ß6m , nie pokrywajacesie,maja punktwspólny, to przecinaja sie wzdłuz prostej.Jesttowniosekz nastepujacego rachunku.��Ñ � KNo Þ/ß m Ñ � KNo Ó n Ö á n Ù ÛæÑ � KNo n Ö á � KXo n Ù ÿ � KXo n Öqp n Ù�Ñ�� á � ÿ � KXo n Örp n Ùzatem

� KXo n Ösp n Ù Ñ â . Wynika stad, ze jesli chcemyopisac prosta w Þ/ß m , to musimyumiecopisac płaszczyzne w Þ/ß m . Jakto zrobic? Chcemy, by płaszczyznabyła rozpinanaprzezliniowoniezaleznewektory i _ i przechodziłaprzezpunkt � , zatempunkt Õ płaszczyny musimiec tewłasciwosc, zewektor Õ ÿ � jestkombinacja liniowa i _ , tj.Õ ÿ ��Ñ � áut _ Ó$â�v¼Ûalbowe współrzednych Õ×ÖøÑ��!Ö á � ¼Ö áwt _rÖÕÚÙ Ñ��ÔÙ á � �Ù áwt _ ÙÕ m Ñ�� m á � m áwt _ m ûJednakzapis(19) jestwygodniejszy, boautomatyczniedostaniemy, ze��/')* Õ×Ö ÿ �!Ö�¼Ö�_rÖÕÚÙ ÿ �ÔÙ��Ù�_ ÙÕ m ÿ � m m _ m +-,.�Ñ � Ó � � Ûa jesli wektor jestwektoremswobodnym wyznaczonym przezwektorzwiazany �� i podobnie_ jestwyznaczony przez ��x , to dostaniemy:��/')* Õ×Ö ÿ � Ö%� Ö ÿ �!Ö%x Ö ÿ �!ÖÕÚÙ ÿ �iÙ&� Ù ÿ �ÔÙ&x Ù ÿ �ÔÙÕ m ÿ � m � Ù ÿ � m x m ÿ � m +-,.�Ñ � ûJesttoanalityczniezapisany warunekwspółpłaszczyznowosci4 punktów Ó�Õ×ÖOØOÕÚÙ�ØOÕ m ÛOØ�Ó2� ÖRØ"�iÙ�Ø"� m ÛOØÓ ��ÖOØ!� Ù�Ø"� m ÛRØ�Ó x�Ö�Ø"x�Ù Ø"x m Û .


Wprowadzimydodatkoweoznaczenie:y Ñ*Õ ÿ � . Wtedykorzystajacz rozwinieciaLaplace’awyznacznikamacierzy�bcz� wewzorze(20) dostaniemy:� Ñ �� Ó yÚØ")Ø!_ Û�Ñ[y Ö �� ý Ù _ Ù m _ m � ÿ y Ù �� ý Ö _ Ö m _ m � á y m �{�� ý Ö _ Ö Ù _ Ù �prawastronemozemyzinterpretowac jako iloczynskalarny wektora y z pewnym wektorem.Ówwektorzalezy od i _ ; oznaczamygosymbolem|cz_ 8 Ñ~} �� ý ,Ù&_ Ù m _ m � Ø ÿ �� ý ¼Ö�_rÖ m _ m � Ø �{�� ý ¼Ö�_rÖ�Ù�_ Ù �I�i nazywamyiloczynemwektorowymwektorów i _ . Z definicji natychmiastdostaniemy,�� Ó2y)Ø!)Ø"_?Û�Ñ Ó yÚØ"bcz_ Û Ó �iâ#Ûi równaniepłaszczyzny rozpinanejprzez i _ , przechodzacejprzezpunkt � przyjmiepostacÓ�Õ ÿ �)Ø"�cz_?ÛæÑ �tj. jest przeciwobrazemzerafunkcji, ^ 8 Þ/ß m g Þ/ß , danejwzorem ^�Ó�Õ×Û�ÑöÓ�Õ ÿ �ÚØ"]cd_?ÛOûPamietajac,zeprostajestprzecieciemdwu płaszczyznmoznajaopisac układemdwurównan� Ó�Ó�Õ ÿ � ÛRØ �Ö�cz_rÖOÛ�Ñ �Ó�Ó�Õ ÿ � ÛRØ ,Ù�cz_ Ù Û�Ñ � Ó ��¼ÛDostaniemywtedy prosta przechodzaca przezpunkt � . Pamietac przy tym trzeba,by Þ/ß6m¤ÑspanÒ1�ÖRØ",Ù�Ø"_rÖOØ!_ Ù ä , bo tylko wtedyrozwazaniaz poczatkuwykładubeda miały zastosowanie.

Układ (22)moznaskomentowac jeszczeinaczej.Mianowicie, zeprostaw Þ/ß m jestprzeciwo-brazempunktu Ó � Ø � Û odwzorowania � 8 Þ/ß m g Þ/ß Ù

danego wzorem� Ó�Õ×Û�Ñ�} Ó�Õ ÿ �!Ö�Ø"�Ö�cz_rÖ�ÛÓ�Õ ÿ �!Ö�Ø",Ù�cz_ ÙOÛ �W praktyce,płaszczyzne w Þ/ß m łatwiej jestopisac zadajacwektor � do niej prostopadłytj. taki,ze Ó2�)ØOÕ ÿ �!Û�Ñ � , patrzrysunekponizej

O

a

x

n

x-a

Rys.8.


2.5.4 Własciwosci iloczynu wektorowego

Z definicji iloczynuwektorowego łatwosie przekonac, zejesli wektory �!Ö , �ÔÙ , � m stanowiabazestandardowaw Þ/ß m , toÓ �!Û �!Öhcl�ÔÙ�Ñ[� m Ø �iÙZcl� m Ñ[�!Ö�Ø � m c]� Ö�Ñ`�ÔÙ�ûPonadto,Ó ��Û �]cz_�Ñ ÿ _�cz�DØ� i _ sa prostopadłedo _�c]�DØ tj.Ó x�Û Ó �DØ"_�cz� Û�Ñ � ÑLÓ _�Ø"_�cz�×ÛOûChcielibysmy terazpoliczyc długosc wektora �`c`_ . Oznaczmyprzez � =

i-ta współrzednawektoraz definicji �zc�_ . Z naszejwiedzyo wyznacznikach�|c�� wynika, ze

7 � = 7jest równe

polu powierzchnirzuturównoległobokuü Ó2��Ø!_ Û napłaszczyzne rozpieta przezwektory ��Ø"�� ,� Ø"��Ñ&� . Z geometrycznych rozwazan wynika, ze

7 � = 7= pole

ü Ó2��Ø!_ Û a EGFWH�Y =, gdzie

Y =jest

katemjaki tworzywektorprostopadłydoü Ó2��Ø!_ Û z osia � Õ =

. (Proszesamemuzrobic odpowiednirysunek).Dostaniemyzatem7 �lcz_ 7 Ñ C � Ù Ö á � ÙÙ á � Ùm Ñ pole

ü Ó �DØ"_?Û 9::; m< =e> ÖE�FIH Ù Y = Ø

alewiemy, zewektoremprostopadłymdoü Ó2��Ø!_ Û jest �lcz_ .

Wykazalismy, ze w przypadkuwektorówna płaszczyznie � i � ich iloczyn skalarny Ó �ÚØ"� Ûwyrazasie wzorem Ó �ÚØ"��Û�Ñ 7 � 7 a 7 � 7JEGFIH D�Ø Ó ��¼Ûgdzie D jestmiarakatapomiedzy � i � .

Ten wzór jest prawdziwy takze dla dwóchwektoróww Þ/ß m , bo rozpinaja onepłaszczyzne,gdzie (23) jest spełniony. (Pomijamybardziej scisłeuzasadnieniewzoru (23)). Tym samymmozemydokonczyc rachunki,mamybowiem,zeEGFWH4Y = Ñ Ó �lcz_�Ø"� = Û7 �lcz_ 7a stad m< =e> Ö

E�FIH Ù Y = Ñ m< =?> Ö Ó �lcz_�Ø"� = Û Ù7 �lcz_ 7 Ù Ñ�� m=e> Ö � Ù=� m=e> Ö � Ù= ÑLâ�ûInny ogólny dowódtegofaktubedziepodany w rozdziale8,w paragrafieposwieconym szeregomFouriera,(patrztozsamosc (8.2)).

Mozemyzatemnapisac

7 �lcz_ 7 Ñ poleü Ó �DØ"_?ÛOû Ó � ù Û


Pozostajenamterazustalic czymjest �� Ó �DØ"ÚØ"_?ÛOûNa mocy wzoru(21)dostaniemy

7 �{�� Ó2��Ø!)Ø"_?Û 7 Ñ 7 Ó �DØ"bcz_ Û 7 Ñ U Øto jest

U Ñ 7 � 7 a 7 bcz_ 7N7�EGFWH D 7gdzie D jestkatempomiedzy � i /c�_ , tj. wektoremprostopadłymdo

ü Ó ÚØ"_?Û . Zatemzewzoru(24)dostaniemy

U Ñ poleü Ó ÚØ"_ Û aQ�

gdzie�

jestwysokoscia równoległoscianuü Ó2��Ø!)Ø"_?Û�Ñ¦Ò�ÕóÜ�Þ/ß6m à Õ�Ñ t � á � áw� _�Ø t Ø � Ø � Ü P � Ø�â R äspuszczona napłaszczyzne spanÓ ÚØ"_ Û , tj.

7 �� Ó �DØ"ÚØ"_ Û 7 Ñ objetoscü Ó �DØ"ÚØ"_?Û

W przestrzeniachÞ/ß65 , Bz�`� gdzienaszaintuicjamozenasopuscic,musimydefiniowac równoległos-cian jakozbiór ü Ó �×Ö�Ø�û�û�û Ø"� 5 ÛæÑ¦Ò�Õ Ü�Þ/ß65 8 5< =e> Ö � = � = Ø � = Ü P � Ø�â R äa jegoobjetosc w nastepujacy sposób

volü Ó �×Ö�Ø�û�û�û Ø"� 5 ÛæÑ 7 �� Ó �×ÖRØ�û�û�û�Ø"� 5 Û 7 û

2.5.5 Stozkowe

Przypominamy, zeelipsa, tj. zbiór punktów, którychsumaodległosci od ogniskjest równa ��jestopisywanarównaniem Õ Ù Ö� Ù á Õ ÙÙ� Ù ÑLâ,Øgdzie � Ù Ñ[� Ù ÿ x Ù i �1x jestodległosciaognisk.

Podobniehiperbola, tj. zbiór punktów, którychróznicaodległosci od ogniskjest równa �� ,jestopisywanarównaniem Õ Ù Ö� Ù ÿ Õ ÙÙ� Ù ÑLâ,Øgdzie � Ù Ñ[� Ù á x Ù i ��x jest jak wyzej.

Parabola jestopisywanarównaniemÕÚÙ�Ñ�Õ Ù Ö .


Wiemy juz jak znalezc równanieelipsy (hiperboli i paraboli) w nowych współrzednychÕ Ö Ñ ÓúÕ ÖÖ ØOÕ ÖÙ Û , gdzie nowe Õ Ö i starewspółrzedne Õ Ñ ÓúÕ×ÖOØOÕÚÙ Û sa powiazaneprzekształce-niemliniowym Õ Ö Ñ å Õ . Trzebawtedyznalezc Õ Ñ å ñ Ö Õ Ö i wstawic do równan. W ogólnoscidostaniemywtedy �iÕ Ù Ö á ��Õ Ö�ÕÚÙ á x Õ ÙÙ á �?Õ×Ö á�� ÕÚÙ�Ñ�� Ó ��¼ÛPowstajeprzy tym naturalnepytanieodwrotne. Czym jest zbiór rozwiazan Ó�Õ×Ö�ØOÕÚÙOÛ równania(25)? tj. czy jestmozliwym, by istniały innerozwiazanianiz te do tej pory poznanetj. elipsa,parabola,hiperbola,prosta?Odpowiedz jest twierdzaca,np. stozek,czyli napłaszczyznieparaprostych,jestopisywany postacijak wyzej,Ó�Õ×Ö ÿ �!Ö$ÛRÓ�ÕÚÙ ÿ �ÔÙ ÛæÑ �przechodzacych przezpunkt Ó2� ÖRØ"�iÙOÛ . W drugiejczesci skryptupoznamysposobybadaniarów-nan, takichjak (25).

2.5.6 Obrót

Na koniec rozdziałuznajdziemymacierzobrotu o kat D . Łatwo widac z rysunku, ze obrótpłaszczyzny wokół poczatkuukładuwspółrzednych jestprzekształceniemliniowym.

Rφ

Rys.9. Obróto kat � .Aby wyznaczyc macierzobrotu

ü �wystarczyznalezc

üZ� � Ö iüZ� �ÔÙ , beda onepierwsza i

drugakolumnamacierzy. Z rysunkówponizej

x

x

x

x1

2

1

2

RR ee12

Rys.10.wynika, ze ü � �!ÖæÑ�} EGFWH DHLKXM D � üZ� �iÙÝÑ�} ÿ HLKNM DEGFWH D � Ø


zatem ü � Ñ�ýEGFWH D ÿ HLKNM DHLKXM D EGFWH D � û

Rozdział3

Rachunekrózniczkowy i całkowy jednejzmiennej

Jestto pierwszytypowo analityczny rozdział.Do uprawianiaanalizybeda nampotrzebnetylkodwaciała liczbowe: Þ/ß i ¡ . Pewnefakty dopuszczaja wspólnesformułowania,wtedybedziemypisali Þ£¢ naoznaczeniaÞ/ß lub ¡ . Wprawdzieanalizazmiennejrzeczywistejjestbardziejprzej-rzysta,tomajacnauwadzepózniejszezastosowaniaw §3.8bedziemyeksponowali aspektogólnywspólny dla Þ/ß i ¡ tam,gdziekonieczne.

Naszymcelemjestbadanieciagłoscii rózniczkowalnoscifunkcji jednejzmienneji pokazemyzastosowaniadoobliczenprzyblizonychi znajdowaniawartoscinajwiekszeji najmniejszejfunkcjiw zbiorze.Potemzajmiemysie liczeniempolapodwykresem,doczego bedziepotrzebnacałkaRiemanna.Na konieczajmiemysie szeregamipotegowymi, którepozwola namnascisłezdefi-niowaniefunkcji elementarnych takich,jak ¤ í , HLKXM Õ ,

EGFIH Õ .Zaczniemyodpojeciagranicy.

3.1 Ciag i jegogranica

Rozpatrzmydwaprzykłady.1. Punktowazabasiedziw srodkukolistejwyspynastawie.

¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦wyspa

staw

Rys.1. Wyspaz zaba nastawie.

71

72 ROZDZIAŁ 3. RACHUNEK RÓZNICZKOWY I CAŁKOWY JEDNEJZMIENNEJ

Promien wyspywynosi m Ù jednostekdługosci. W pewnejchwili zabawykonujeskokiwzdłuzpromieniakoła w kierunku wody, pierwszyskok ma długosc 1. Kazdy nastepny skok zabemeczy, wiecnastepny skokmazawszedługosc równa Öm skokupoprzedniego. Kiedy zabadotrzedowody? Policzymy:po B skokachzabaprzebyłaâ á â� á â� Ù á û û û á â� 5 Ñ*Ð 5 ûAby policzyc Ð 5 zauwazmy, zeÓ�â á Õ á Õ Ù á û û û á Õ 5 ÛOÓ�â ÿ Õ×Û�Ñ â á Õ á Õ Ù á û û û á Õ 5 ÿ Õ ÿ Õ Ù ÿ û û û ÿ Õ 5�§ Ö ÑLâ ÿ Õ 5�§ Ö Øzatem Ð 5 Ñ â ÿ Öm$¨ª© îâ ÿ Öm Ñ ��z« â ÿ â� 5�§ Ö�¬ ûWidac wiec, ze zabanigdy nie dojdziedo wody, alew granicy osiagniebrzeg wyspy, bo Öm ¨ª© îjestcorazto mniejsze.2. Wyobrazmysobiestalowamise,do którejwrzucilismyszklana kule.

Rys.2. Kulka w misie.

Kulabedziesieprzezjakisczastoczyc kreslacładnewzorynapowierzchni,az wreszcietarcieja wyhamujei jej ruchprzestaniebyc widoczny. W praktycezatrzymasie, bo nie obserwujemyw makroskopowej skali ruchuo podatomowej wielkosci. Ale teoretyczniedopierow granicy,ponieskonczonym czasiekulkaosiagniespoczynek.

Dalismytym do zrozumienia,co bedzieprzedmiotemnaszego zainteresowania,napoczatekbeda to graniceciagów. Do tego potrzebnejestnamuscisleniepojeciaodległosci, chcemyprzytym by nowe pojeciebyło dostateczniepojemne,tj. obejmowało odległosci punktóww ¡ 5 . Wtym celu znanepojeciedługosci wektora Õ�Ü¦Þ/ß 5 (patrzwzór 2.17) rozszerzymyw naturalnysposóbna õÜ®¡ 5 .

Definicja 1. Jesli �Ü�¡ 5 , tj. �Ñ Ó ,Ö�Ø�û�û�û�Ø" 5 Û � , to mozemyutozsamiac z macierza o jednejkolumniei B wierszach.Liczbe rzeczywista7 7�8 Ñ°¯ � a²± S 9::; } 5< =e> Ö

7 = 7 Ù � Øgdziekropkaoznaczamnozeniemacierzowe,nazywamydługosciawektora (alboinaczejnormawektora ).

3.1. CIAG I JEGOGRANICA 73

Pragniemypodkreslic, ze w §3.8 bedziemyistotniewykorzystywalizbieznosc w ¡ . Przy-pominamy, ze ¡¤ÑLÞ/ß³c�Þ/ß i długosc wektora Ñ|Õ á �2y�Üw¡ jestw istociedługoscia wektoraÓ�ÕDØ"y!Û�Ñ*Þ/ß Ù

. Dlatego zgrabniejjestod razuprzedstawic ogólnadefinicjenormywektoraw Þ/ß65 .Wykazemyteraz

Stwierdzenie1. (nierównosc trójkata).Jesli ÕDØ"yõÜ�Þ£¢ 5 , to7 Õ á y 7W´�7 Õ 7

á7 y 7 û

Dowód. Liczymy 7 Õ á y 7 Ù Ñ 5< =?> Ö7 Õ = á y = 7 Ù Ñ 5<=e> Ö Ó

7 Õ = 7 Ù á Õ = ±y = á y = ±Õ = á 7 y = 7 Ù ÛÑ 7 Õ 7 Ù á 7 y 7 Ù á �,ß � 5< =e> Ö Õ = ±y =Uprzednio(patrztwierdzenie1.26)wykazalismynierównosc Schwarza.Dzieki niej dostaniemyµµµµµ ß � 5< =e> Ö Õ = ±y = µµµµµ ´¶7 Õ 7N7 y 7 ûA skoro

7 ß � _ 7{´�7 _ 7, to otrzymamy

7 Õ á y 7 Ù ´¶7 Õ 7 Ù á 7 y 7 Ù á � 7 Õ 7 a 7 y 7 ÑLÓ 7 Õ 7á

7 y 7 Û ÙCo nalezałowykazac. ·¸

Wprowadzimyterazodległosc punktówopierajacsienadługosciwektora.

Definicja 2. Odległoscia punktów�)Ø!�rÜ�Þ£¢ 5 nazwiemyliczbe ¹!Ó2�)Ø!� Û 8 Ñ 7 � ÿ � 7 .Wartopodkreslic, zez definicji natychmiastwynika, iz¹!Ó�ÕDØ"y!ÛæÑ`¹!Ó2y)ØOÕ×ÛRû

Natychmiasttez dostaniemynastepujacy wniosek,znowu nazywany nierównoscia trójkata.

Wniosek 2. Dla dowolnych Õ�Ø!y)Ø"�Ü�Þ£¢Z5 mamy, ze¹!ÓúÕ�Ø!y Û ´ ¹!ÓúÕ�Ø!iÛ á ¹!Ó !Ø!y ÛDowód.¹!ÓúÕ�Ø!y Û�Ñ 7 Õ ÿ y 7 Ñ 7 ÓúÕ ÿ iÛ á Ó2 ÿ y Û 7I´�7 Õ ÿ 7

á7 ÿ y 7 Ñ�¹!ÓúÕDØ"iÛ á ¹!Ó2!Ø"y ÛRû ·¸

Jestesmyterazgotowi wypowiedziec definicjegranicy ciagupunktóww Þ£¢ �.


Definicja 3. Powiemy, ze wektor º�Ü¦Þ£¢ �( Þ£¢þÑ Þ/ß lub Þ£¢VÑ»¡)Û jest granica ciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Öpunktówz Þ£¢ �

, jesli dla dowolnego ½�� istnieje liczba naturalna¾À¿ , taka ze dla dowolnejliczby naturalnejB spełniajacej Bz�°¾Á¿ jestprawda, ze¹!Ó � 5 Ø�ºÚÛ6ÂÃ½iûPiszemywtedy Ä KNo5�Å ¼ � 5 ÑdºaûInnymi słowy: w dowolnie małym otoczeniupunktu º znajduja sie wszystkie,z wyjatkiemskonczeniewielu, wyrazy ciagu. Zamienniebedziemytez pisali � 5 g º na oznaczeniefaktuiz º jestgranicaciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Ö .Wprawdziemówilismywyzejo granicy ciaguelementówÞ/ß �

(lub ¡ � ), alew istociewystar-czy badac ciagi liczbowe. Mamybowiem,

Stwierdzenie3. Załózmy, ze � 5 Ñ©Ó2� Ö5 Ø�û�û�û Ø"� �5 Û , B-Ñ�â,Ø�û�û�û jest ciagiemelementówÞ/ß �. CiagÒ1� 5 ä ¼5 > Ö jest zbiezny do º�ÑôÓÆº Ö Ø�û�û�û�ØLº � Û , wtedy i tylko wtedy, gdy kazdy ciag Ò1� =5 ä ¼5 > Ö jest

zbiezny do º =, � Ñ â,Ø�û�û�û�Ø"� .

Dowód. Ç Z definicji, dladowolnego ½È� � istnieje ¾Á¿ , takiezedla Bz��¾À¿ jestprawda, ze½(�`¹!Ó � 5 ØLºÚÛæÑ 7 � 5 ÿ º 7{É¶7 � =5 ÿ º = 7dlawszystkich��Ñ¦â�Ø�û�û�û!� , tj. Ä KNo5�Å ¼ � =5 Ñdº = û Ó$â#ÛÊ Z drugiejstrony, jesli zachodzi(1), to dla dowolnego ½b� � istnieja ¾ =¿ , takiezedla B��¾ =¿ Ø7 � =5 ÿ º = 7 Â ¿» � dla ��ÑLâ�Ø�û�û�û�Ø"� . Połózmy ¾À¿�Ñ o�ËQÌ = ¾ =¿ . Wtedy¹!Ó � 5 ØLºÚÛæÑ 9::; �<=e> Ö

7 � =5 ÿ º = 7 Ù ´ 9::; �<=e> Ö ½ Ù� Ñ³Í ��½ Ù� ÑÃ½dla Bz�°¾Á¿ . Zatem

Ä KXo 5�Å ¼ � 5 Ñ�º . ·¸Od tej chwili w biezacym rozdzialebedziemyzajmowali sie głównie ciagamiliczbowymi.

Nim rozpatrzymyserieprzykładówwprowadzimypomocneoznaczenia.Jesli Õ Ü�Þ/ß , topiszemyP Õ R Ñ oÎËAÌ Ò1B�ÜlÏ 8 B ´ Õ äi mówimy, ze

P Õ R jestczescia całkowita liczby Õ .

Przykład 1.(a) Ð 5 Ñ Ö5 . Jesli ½�� jestnamdane,to bierzemy¾Á¿ Ñ P Ö¿ R á â . Wtedymamy, ze� Â âB Â â¾Á¿ ÂÃ½ dla Bz�°¾À¿


i dlategoÄ KXo 5�Å ¼ Ð 5 Ñ � .

(b) Ð 5 Ñ â ÿ`Ð ñ Ö Ñ ¨5 . Bierzemyº�ÑLâ i argumentujemypodobniejak wyzej: dla ½È� � wybieramy¾Á¿�Ñ P Ö¿ R á â , wtedymamy¹!Ó&Ð 5 ØLºÚÛæÑ 7 Ð 5 ÿ â 7 Ñ âB Â â¾Á¿ Â�½ dla Bz�°¾À¿ û(c) Ð 5 Ñ©Ó ÿ â#Û 5 nie ma zadnejgranicy, bo dla wyrazówparzystychÐ 5 Ñ©â , dla nieparzystychÐ 5 Ñ ÿ â,û(d) Ð 5 Ñ�B , tez nie magranicy.

W przykładach(a) i (b) znalezlismygraniceciagów, rodzi sie naturalnepytanie,czy sa onewyznaczonew sposóbjednoznaczny. Odpowiedz jestzawartaponizej.

Stwierdzenie4. Załózmy, zeciagliczb rzeczywistychÒ1� 5 ä1¼5 > Ö jestzbiezny. Wtedy(a) granicaciagu � 5 jestwyznaczonajednoznacznie;(b) ciag � 5 jestograniczony, tj. istnieje Ò � � , takieze

7 � 5 7 Â°Ò dla B ÑLâ,Ø"�ÔØ�û�û�ûDowód. (a) Jesliby

Ä KNo 5�Å ¼ � 5 Ñ º iÄ KNo 5�Å ¼ � 5 Ñ º Ö oraz ºÓ�Ñ º Ö to wystarczywziac½ Ñ ÖÙ

7 º ÿ º Ö 7 , abydostac sprzecznosc, bodla Bz�°¾ wszystkiewyrazymajaspełniac

7 � 5 ÿ º 7 Â�½i

7 � 5 ÿ º Ö 7 Âd½ , do tego �Q½ Ñ 7 º ÿ º Ö 7 Ñ 7 º ÿ � 5 á � 5 ÿ º Ö 7 Â�½ á ½ , sprzecznosc.(b)Wezmy ½ ÑLâ , wtedydla Bz�`¾ Ö mamy

7 � 5 7 Ñ 7 � 5 ÿ º á º 7{´�7 � 5 ÿ º 7á

7 º 7 ÑLâ á7 º 7 û

Zatemmozemypołozyc Ò Ñ o�ËQÌ Ò 7 �!Ö 7 Ø�û�û�û�Ø 7 �IÔ î 7 Ø�â á7 º 7 ä . ·¸

Uwaga. Powyzszestwierdzeniejestprawdziwetakzei dla ciagówpunktówz Þ/ß �.

Przygladajacsieprzykładowi 1(d)widzimy, zewyrazyciagurosnanieograniczenie.Chciało-by siepowiedziec, ze Ð 5 magranicenieskonczona.W tym celuprzyjmiemynastepujaceokresle-nie.

Definicja 4. Niech Ò1� 5 ä1¼5 > Ö bedzieciagiemliczb rzeczywistych.Powiemy, ze Ò1� 5 ä1¼5 > Ö zbiegadoplusnieskonczonosci i piszemy Ä KNo5�Å ¼ � 5 Ñ áÖÕ(odpowiednio,minusnieskonczonosci i

Ä KNo 5�Å ¼ � 5 Ñ ÿ Õ ) jesli dladowolnej liczby rzeczywis-tej Ò istnieje ¾Á× Ü�Þ£Ø , taka,zedla Bz�`¾Á¿ mamy, ze � 5 �°Ò (odpowiednio, � 5 Â°Ò ).

Odnotujmyterazwłasciwoscidziałan arytmetycznychnagranicach.

Stwierdzenie5. Załózmy, zeciagi Ò1� 5 ä i Ò1�"Ù ä liczb rzeczywistychsa zbieznedo granicskon-czonych,

Ä KXo 5�Å ¼ � 5 Ñ�� iÄ KNo 5�Å ¼ � 5 Ñ�� . Wtedy

(a)Ä KNo 5�Å ¼ Ó � 5 á � 5 ÛæÑ�� á � ;

(b) jesli x jestliczba rzeczywista, toÄ KNo 5�Å ¼ x�� 5 Ñ�xG� ;

(c)Ä KNo 5�Å ¼ � 5 � 5 Ñ��{� ;

(d) jesli � 5 i � sa rózneod zera,toÄ KNo 5�Å ¼ # ¨Ú ¨ Ñ # Ú


Dowód. Wykazmy tylko punkt(a), bo dowodypozostałychsa podobne.Dla dowolnego ½�� istnieja ¾ #¿ i ¾ Ú¿ takie, ze

7 � 5 ÿ � 7 Â ¿Ù i

7 � 5 ÿ � 7 Â ¿ Ù dla BÛ�Ü¾ #¿ ØÝB��Þ¾ Ú¿ . ZatemdlaBz�°¾ Ñ o�ËQÌ ÒI¾ #¿ ØG¾ Ú¿ ä mamy7 � 5 á � 5 ÿ Ó � á ��Û 7{´¶7 � 5 ÿ � 7

á7 � 5 ÿ � 7 Â ½ � á ½� û ·¸

Uwagi. Z faktuistnieniaÄ KXo 5�Å ¼ Ó2� 5 á � 5 Û niemoznawnosic istnieniagranicciagów � 5 i � 5 . Na

przykład � 5 ÑãÓ ÿ â#Û 5 B�ØQ� 5 Ñ ÿ Ó ÿ â#Û 5 B , niesa zbiezne,ale � 5 á � 5 Ñ � jestoczywisciezbiezny.Trzebawyłaczyc z rozwazan granicenieskonczone,symbole ¼¼ Ø²ßß Ø Õ ÿ Õ sanieoznaczone,

to znaczy, zemoznazbudowac ciagi � 5 i � 5 takie, ze � 5 g Õ Ø!� 5 g Õ , alezachowanie � 5 á� 5 Ø!� 5Ià � 5 jestdowolne. Podobnie,jesli � 5 g � Ø"� 5 g � Ó � 5 g � Ø"� 5 g Õ Û , to # ¨Ú ¨ (odpowiednio,� 5 a � 5 ) mozesiedowolniezachowywac. Z drugiejstrony moznawykazac odpowiedniki punktów(a) i (b) jesli � albo � sanieskonczone.

Przykład 2. Czasemłatwo sobieporadzic z przypadkiem¼¼ , np. � 5 Ñ�@QB á 0ÔØ²� 5 Ñá0�B ÿ � ,wtedy � 5� 5 Ñ @QB á 001B ÿ � ûPo podzieleniulicznika i mianownika przez B dostaniemydzieki poprzedniemustwierdzeniuiprzykładowi 1 (a) Ä KNo5�Å ¼ � 5� 5 Ñ Ä KNo5�Å ¼ @ á 0 à B0 ÿ � à B Ñ @0

Pojawia sienaturalny problem:Czymoznascharakteryzowac ciagizbiezne?Zauwazmynaj-pierw pewien prostyfakt: wyrazyciaguzbieznego zblizaja sie do siebie,scislej dla dowolnego½�� istnieje ¾À¿ , takiezedla â�Ø"Bz�°¾Á¿ mamy, ze¹!Ó2� 5 Ø"�IÙ Û ´ ¹!Ó2� 5 ØLºÚÛ á ¹!ÓÆºaØ"�IÙ Û�Â`�A½ÔØgdziepodrodzezastosowalismynierównosc trójkata.Przepiszmypowyzszaobserwacjeporzad-nie:

dladowolnego ½(� � istnieje ¾Á¿�Ø takiezemamy ¹!Ó � 5 Ø"�ãÙ Û�Â�½ dla B�Ø!âä�°¾Á¿�û Ó �¼ÛCiag,któryspełnia(2)nazywasieciagiemCauchy’ego. OznaczeniuciagówCauchy’egoprzekonanasponizszyogólny fakt.

Twierdzenie 6. Ciag Ò1� 5 ä1¼5 > Ö punktówprzestrzeniÞ£¢ �jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy

jestonciagiemCauchy’ego.Jestto oczekiwanacharakteryzacjaciagówzbieznych,którajednakpozostawimy bezdowodu.

Jestona o tyle wazna, ze czesto łatwiej bedziewykazac zbieznosc ciagu niz wskazac jegogranice. Przykładpodamyzachwile,najpierwdefinicja.

Definicja 5.


(a) Ciagliczb rzeczywistychÒ1� 5 ä1¼5 > Ö nazywamyrosnacym(odpowiednio,scislerosnacym),jesli � 5�§ Ö É � 5 (odpowiednio, � 5�§ Öh�`� 5 Û dla wszystkichB�Ü�Þ£Ø .

(b) Ciag liczb rzeczywistychÒ1� 5 ä ¼5 > Ö nazywamymalejacym(odpowiednio, scisle maleja-cym), jesli � 5�§ Ö ´ � 5 (odpowiednio � 5�§ Ö�Â`� 5 ) dlawszystkichB�Ü�Þ£Ø .

(c) Ciagliczb rzeczywistychnazywamymonotonicznym, jesli jeston rosnacy albomalejacy.

Ciagi monotonicznemaja pewnacennawłasciwosc.

Stwierdzenie7. Załózmy, ze Ò1� 5 ä1¼5 > Ö jestmonotoniczny i ograniczony, wtedyjestonzbiezny.

Dowód. Załózmy, ze � 5 jest rosnacy i niech ��Ñ H�å²æ 5Aç Ö � 5 . Z definicji kresugórnego wynika,ze dla dowolnego ½�� moznawskazac, � 5Gè takie ze � 5�è �� ÿ ½ . Z monotonicznosci ciagudostaniemyponadto,ze �{� É � 5�è �`� ÿ ½ dla � É B ß . Zatem � Ñ Ä KNo 5�Å ¼ � 5 . ·¸

Rozwazaniaponizejsa zastosowaniemnowegostwierdzenia.

Przykład 3. Niech � 5 Ñ � 5 � > ß Ö�êé , oczywiscie � 5�§ Ö/�� 5 . Co wiecejciag Ò1� 5 ä1¼5 > Ö jestograni-czony, bodla ��`� mamy, ze Ö�êé Â ÖÙ � � î , zatem� ´ � 5 Â�â á 5 ñ Ö<� > ß â� � ´ �iûTym samym,ciag � 5 jestzbiezny, jegograniceoznaczamylitera ¤ :Ä KXo5�Å ¼ 5<� > ß â�Të Ñ°¤

Podamyjeszczejednowygodnenarzedziebadaniaciagów, którezastosujemyw przykładachponizej.

Twierdzenie8. (o trzechciagach).Niech Ò1� 5 ä ¼5 > Ö Ø�Ò1� 5 ä ¼5 > Ö i Ò1x 5 ä ¼5 > Ö beda takimi ciagamiliczbrzeczywistych,ze � 5 ´ � 5 ´ x 5 , nadtociagi Ò1� 5 ä1¼5 > Ö i Ò1x 5 ä1¼5 > Ö sa zbieznedo wspólnejgranicyº . Wtedyciag Ò1� 5 ä tez jestzbiezny do º .

Dowód. Z definicji granicy dladowolnego ½(� � istniejetakie ¾ ¿ , ze

7 � 5 ÿ º 7 Âd½ i

7 x 5 ÿ º 7 Â�½dla Bw�¶¾ ¿ . Zatemº ÿ ½�Â³� 5 ´ � 5 ´ x 5 Â°º á ½ . Oznaczato, ze º ÿ ½�Â³� 5 Â°º á ½ alboinaczej

7 º ÿ � 5 7 Â�½ÔØ gdy Bz�°¾ ¿ . ·¸Przykład 4.(a) Niech ì�� , wtedy

Ä KNo 5�Å ¼ Ö5"í Ñ � . Jesttak, bo dla ½�� wystarczyprzyjac ¾Á¿¤ÑP Ó Ö¿ Û Ö2îðï R á â .(b) Niech ì`� � , wtedy

Ä KNo 5�Å ¼ ¨¯ ì9Ñþâ,û Wystarczyrozpatrzyc ì`�Vâ , bo przypadekì9Ñþâjest nieciekawy, a ì�Â�â sprowadzamydo pierwszego podstawiajac ñ Ñ Öï , bo ¨¯ ì'Ñþâ à ¨¯ ñ .Kładziemy Õ 5 Ñ ¨¯ ì ÿ â , oczywiscie Õ 5 � � , co wiecejì�ÑLÓ�â á Õ 5 Û 5 Ñ 5<� > ß } B � � Õ �5 É â á } B â � Õ 5 Ñãâ á B×Õ 5


tj. � ´ Õ 5 ´ ï ñ Ö5 , askoroï ñ Ö5 g � , to twierdzenieo trzechciagach,dajeze

Ä KXo 5�Å ¼ Õ 5 Ñ � , tj.Ä KXo5�Å ¼ ¨¯ ì�ÑLâ(c)

Ä KXo 5�Å ¼ ¨¯ B Ñôâ . Bedziemypostepowali podobnie,kładziemy Õ 5 Ñ ¨¯ B ÿ â É � . Za-uwazmy, zeB ÑLÓ$â á Õ 5 Û 5 Ñ 5<� > ß } B � � Õ �5 É â á } B â � Õ 5 á } B � � Õ Ù5 É â á B�Ó2B ÿ â�Û� Õ Ù5tym samym �ÔÓ B ÿ â�ÛB�Ó2B ÿ â�Û

É Õ Ù5 a równowaznie Õ 5 ´ Í �Ba skoro Ö» 5 g � , to

Ä KNo 5�Å ¼ Õ 5 Ñ � iÄ KNo 5�Å ¼ ¨¯ B ÑLâ .

(d) Jesli

7 Õ 7 Â�â , toÄ KXo 5�Å ¼ Õ 5 Ñ � . Niech ½w� � bedziedowolne. Na mocy (b) ¨¯ ½ g â .

Istniejezatemtakie ¾ , ze ¨¯ ½�� 7 Õ 7, dla Bz��¾ , tj. ½È� 7 Õ 7 5 .

3.1.1 Podciagi i TwierdzenieBolzano–Weierstrassa

Zastanówmysie nadciagiemz przykładu17 (c), Ð 5 ÑöÓ ÿ â#Û 5 . Moznao nim powiedziec, zejednapołowa wyrazówdazy do 1, a drugado ÿ â . Aby scisle opisac te sytuacje wprowadzimynowepojecie.

Definicja 6. Niech bedziedany ciag Ò1� 5 ä1¼5 > Ö elementówò a Ò1Bó� ä1¼� > Ö jest siscle rosnacymciagiemliczb naturalnych. Wtedyciag Ò1� 5 � ä1¼� > Ö nazywamypodciagiemciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Ö .Wtedyopisanasytuacjajestszczególnym przypadkiemogólniejszego twierdzenia.

Twierdzenie9.(Bolzano–Weierstrassa)Niech Ò1� 5 ä1¼5 > Ö bedzieograniczonymciagiemliczb rzeczy-wistych.Wtedyistniejezbiezny podciagciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Ö .Dowód. Podamydowód,który łatwoprzeniesc naprzypadekprzestrzeniÞ/ß 5 .

Skoro Ò1� 5 ä1¼5 > Ö jest ograniczony, to istniejetaka liczba Ò � � , ze � 5 Ü P ÿ Ò�ØGÒ R Ñ 86ô ß .Dzielimy przedział

ô ß na dwie czesci, majacetylko jedenpunkt wspólny, o równej długosci

ô ß�ß i

ô ß Ö , tj.

ô ß Ñ ô ß�ßöõ ô ß Ö . Przynajmniejjedenz nich (oznaczmygo symbolem

ô Ö ) zaw-ieranieskonczeniewiele elementów� 5 . Niech B Ö bedzienajmniejsza taka liczba, ze � 5 î Ü ô Ö .Nastepniedzielimy

ô Ö nadwie czesci, majacetylko jedenpunktwspólny, o równejdługosci

ô Ö ßi

ô Ö5Ö , tj.

ô Ö Ñ ô Ö ß�õ ô Ö5Ö i ich długosc jest równa Ò à � . Przynajmniejjedenz nich (oznaczmygosymbolem

ô Ù ) zawieranieskonczeniewiele elementów� 5 . Niech B×Ù bedzienajmniejsza takaliczba, ze � 5 ï Ü ô Ù . W dalszymciagupostepujemywg. przedstawionego schematu,w � -tymkrokuuzyskujemy� 5 � Ü ô � i długosc

ô � jestrówna Ò à � � ñ Ö . Dlategociag Ò1� 5 � ä1¼� > Ö (tj. podciagÒ1� 5 ä1¼5 > Ö ) jestciagemCauchy’ego,czyli jestzbiezny. ·¸

3.2. SZEREGI 79

3.2 Szeregi

Zajmiemysie terazszczególnymi ciagamiliczbowymi.

Definicja 7. Dla danego ciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Ö liczb rzeczywistychlub zespolonych tworzymy nowyciag,kładac Ð 5 Ñ � 5 � > Ö � 5 . Symbol� Ö á � Ù á � m á û�û�û lub

¼<5 > Ö � 5bedziemynazywaliszeregiem. Ciag Ò¼Ð 5 ä ¼5 > Ö nazywamyjegociagiemsumczesciowych szeregu.Jesli ciag Ò¼Ð 5 ä ¼5 > Ö jestzbiezny doliczby rzeczywistejÐ to mówimy, zeszereg jestzbieznydo Ð .

Zapytamyterazjak wygladawarunekCauchy’egodla szeregów. W odpowiedzidostaniemyuzyteczny fakt.

Stwierdzenie 10. Szereg � ¼5 > Ö � 5 jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego ½�� istnieje ¾Á¿ , takie,zedla Bz�`� É ¾À¿ mamy7 5<=e> � � = 7 Â�½ÔûDowód. Z definicji zbieznosci szeregu wynika, ze jego zbieznosc jest równowaznazbieznosciciagujego sumczesciowych Ð 5 . Róznica Ð 5 ÿ Ðó� przyjmujepostacÐ 5 ÿ Ðó�rÑ 5< =e> � � = Øskadwynikaprawdziwosc naszego twierdzenia. ·¸

Zauwazmy, zejesli przyjmiemy B�Ñ�� á â , to dostaniemy7 � § Ö<=e> � � = 7 Ñ 7 �{� 7 Â�½Ôûtj. jesli szereg jestzbiezny, to koniecznie�� g � , gdy � g Õ .

Twierdzenieo ciagumonotonicznym danaminny wynik.

Wniosek 11. Jesli � 5 É � , to szereg � ¼5 > Ö jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy ciag sumczesciowych jestograniczony.

Dowód. Ç Jesli ciag Ð 5 jestzbiezny, to jestograniczony, patrzstwierdzenie4.Ê Namocy załozeniao � 5 Ø dostaniemyÐ 5�§ Ö É Ð 5 . Zatemograniczonosc Ò¼Ð 5 ä ¼5 > Ö pociagajegozbieznosc namocy stwierdzenia7. ·¸

Obliczmyjednaprosta sumeszeregu,amianowicie szeregu geometrycznego.

Stwierdzenie12.Jesli � ´�7 Õ 7 Â¦â�Ø to � ¼5 > ß Õ 5 Ñ ÖÖ ñ í .


Dowód. Jakzauwazylismywczesniejw przykładzie1Ð 5 ÑLâ á Õ á Õ Ù á û�û�û á Õ 5 Ñ Ó$â á Õ á Õ Ù á û�û�û á Õ 5 ÛOÓ�â ÿ Õ Ûâ ÿ Õ Ñ â á Õ 5�§ Öâ ÿ ÕWczesniejwykazalismy(patrzprzykład4(d)) tez, ze Õ 5 g � , zatem

Ä KNo 5�Å ¼ Ð 5 Ñ ÖÖ ñ í . ·¸Chcemysformułowac terazkilka kryteriów zbieznosci szeregów. Zaczniemyod najprost-

szych.Ponizszetwierdzenienosinazwe kryteriumporównawczego.

Twierdzenie13.Danesa szeregi liczb rzeczywistych� ¼5 > Ö � 5 Ø � ¼5 > Ö � 5 i � ¼5 > Ö x 5 .(a) jesli

7 � 5 7{´ x 5 i jest � ¼5 > Ö x 5 zbiezny, to � ¼5 > Ö � 5 tez jestzbiezny.(b) jesli � 5 É � 5 � � i � ¼5 > Ö � 5 Ñ Õ Ø to � ¼5 > Ö � 5 Ñ Õ .

Dowód. (a) skoro � ¼5 > Ö x 5 jest zbiezny, to spełniawarunekCauchy’ego: dla ½`� � istniejetakie ¾ , ze ½`� � Ù � > 5 x�� dla â É B��¾ . Z załozeniai nierównosci trójkatadostaniemy,½ É � Ù � > 5 7 �� 7{É�7 � Ù � > 5 �{� 7 . Zatemciagsumczesciowychszeregu � ¼5 > Ö � 5 tez spełniawarunekCauchy’ego, tj. szereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny.(b) jestoczywiste,szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi. ·¸

Kryteriumporównawczepozwalawyprowadzic nastepujacy wniosek.

Twierdzenie14.(kryteriumCauchy’egozageszczajace)Załózmy, zeciagdodatnichliczb rzeczy-wistych Ò1� 5 ä ¼5 > Ö jestmonotoniczniezbiezny dozera.Wtedyszereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny wtedyi tylko wtedy, gdyszereg � ¼� > ß � � � Ù � jestzbiezny.

Dowód. Ç Niech Ð 5 Ñ � 5 � > Ö � 5 , wtedyÐaÙ ¨ Ñ��!Ö á �ÔÙ á � m á �I÷ á ��ø á �ãù á �{ú á �Iû á û�û�û á �ÔÙ ¨ ûDzieki monotonicznosciwyrazówszeregu dostaniemyÐaÙ ¨ É � Ö á �iÙ á �ã÷ á �I÷ á �Iû á �Iû á �Iû á �Iû á � Öüù á û�û�û á �iÙ ¨Ñ � Ö á � Ù á �� ÷ á ù � û á O�� Öüù á û�û�û á � 5 ñ Ö � Ù ¨Ñ â� 5<� > ß � � � Ù � Ñ¦Ð Ö5Zatemciagsumczesciowych Ð Ö5 jestmonotoniczny i ograniczony (przez � ¼� > Ö �{� ). Tym samymszereg � ¼� > Ö � � � Ù � jestzbiezny.Ê Przyjmijmy Ð Ö5 Ñ � Ö á ��ÔÙ á ù �I÷ á O��Iû á û�û�û á � 5 �iÙ ¨Ñ � Ö á �iÙ á �ÔÙ áá �I÷ á �I÷ á �I÷ á �I÷á �Iû á �Iû á �Iû á �Iû á �Iû á �ãû á �ãû á �Iû á û�û�û á �ÔÙ ¨

3.2. SZEREGI 81

dzieki monotonicznosciciagu Ò1� 5 ä1¼5 > Ö mamyÐ Ö5 É � Ö á �iÙ á � m á �I÷ á �{ø á �ãù á ��ú á �ãû á �Iý á û�û�û á �ÔÙ ¨ Ñ¦Ð 5 S 5<� > Ö ��#ûSkorociag Ð Ö5 jestzbiezny, a wiec i ograniczony, to ciag Ð 5 jestograniczony dzieki powyzszejnierównosci. Wiemyjeszcze,ze Ð 5 jestciagiemmonotonicznym,wiec Ð 5 jestzbiezny, tj. szereg� ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny, conalezałowykazac. ·¸

KryteriumCauchy’egopozwalanamzbadac noweprzykładyszeregów.

Przykład 5. Szereg harmoniczny � ¼5 > Ö Ö5 í jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy ì��øâ . Za-uwazmy na wstepie, ze przypadekì ´ � jest nieciekawy, bo wtedy Ö5 í Ñ B ñ ï É â i ciagwyrazówszeregunie zbiegadozera.Natomiastw przypadku,gdy ì]� � zagadnieniezbieznosciszeregu,dzieki kryteriumCauchy’ego zostajezredukowanedobadaniazbieznosciszeregu¼<� > ß � � â� ï!� Ñ ¼<� > ß � Ð Ö ñ ï"ÑX� Ñ ¼<� > ß Õ � Øgdzie ÕòÑ � Ö ñ ï . Jesli ì�� â , to dostaniemyszereg geometryczny zbiezny (co było tresciawczesniejszego stwierdzenia).Jesli ì ´ â , to Õ � É â i Õ � nie zbiegadozera,tj. szereg � ¼� > ß Õ �nie jestzbiezny (dosumyskonczonej).

Zastosowanieszeregugeometrycznegow kryteriumporównawczymprowadzidociekawychwniosków. Jednym jestkolejnekryteriumzbieznosci.

Twierdzenie 15. (kryterium Cauchy’ego) Rozpatrzmyszereg liczbowy � ¼5 > Ö � 5 . Załózmy, zeistniejegranica

Ä KXo 5�Å ¼ ¨C 7 � 5 7 Ñ Y. Wtedy,

(a) jesli

Y Â*â , to szereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny;(b) jesli

Y � â to szereg � ¼5 > Ö � 5 jestrozbiezny;(c) jesli

Y Ñ â to kryteriumnie rozstrzygazbieznosci.

Dowód. (a)Skoro

Y Â¦â , to istnieje ½(� � , takieze

Yá ½�Â¦â . Dla owego ½ istniejetakie ¾À¿ , ze

7 ¨C 7 � 5 7 ÿ Y�7 Â�½ tj. ¨C 7 � 5 7 Â Yá ½�Â¦â,Ø gdy Bþ�`¾ ¿ û Ó �¼Û

Mamy zatem

7 � 5 7 Ñ¦Ó ¨C 7 � 5 7 Û 5 Â¦Ó Y á ½¼Û 5 Ø gdy Bz�°¾Á¿Mozemyzastosowackryteriumporównawcze,punkt(a),gdzie x 5 ÑLÓ Y á ½¼Û 5 , abywywnioskowaczbieznosc.(b) Skoro

Y �*â , to istniejetakie ½(� � , ze

Y ÿ ½��¦â . Zatemdla tego ½ istniejetakie ¾ ¿ , ze¨C 7 � 5 7 � Y ÿ ½��¦â gdy Bz�°¾Á¿�û


Tym samymdostaniemy7 � 5 7 ÑLÓ ¨C 7 � 5 7 Û 5��¦Ó Y ÿ ½¼Û 5�� â gdy Bl�°¾À¿ Ó ù Û

i ciag � 5 nie zbiegadozera,wiecszereg jestrozbiezny.(c) Dla szeregu harmonicznegomamy, ze� 5 Ñ âB ï i ¨¯ � 5 Ñ âÓ ¨¯ B ï Û ûObliczylismywczesniej,ze ¨¯ B g â , wiec ¨¯ B ï g â tj.

Y ÑLâ , aledla ì]��â szereg jestzbiezny,a dla ì�Â¦â rozbiezny.

Uwaga. Scisle rzeczujmujac nie wykorzystywalismy istnieniagranicyÄ KXo 5�Å ¼ ¨C 7 � 5 7

tylkosłabszewłasciwosci (3) i (4).

Łatwiejszymw uzyciu, bo wymagajacym wykonaniaprostszychoperacjijestponizszekry-terium.

Twierdzenie16. (kryteriumd’Alemberta).Rozpatrzmyszereg liczbowy � ¼5 > Ö � 5 . Załózmy, zeistniejegranica Ä KNo5�Å ¼

7 � 5�§ Ö 7 à 7 � 5 7 Ñ Y ûWtedy,

(a) jesli

Y Â*â , to szereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny(b) jesli

Y � â , to szereg � ¼5 > Ö � 5 jestrozbiezny(c) jesli

Y Ñ â , to brakjestrozstrzygniecia.

Dowód. (a)Postepujemypodobniejak w poprzednimdowodzie.Skoro

Y Â¦â , to istnieje ½�� ,spełniajace

Yá ½bÂLâ . Dla owego ½|� � istniejetakie ¾Á¿?Ü�Þ£Ø , ze

7 # ¨$© î# ¨7 Â Y

á ½ , dla B ��¾Á¿ .Skorotak, to

7 � 5 7 Ñ 7 � 5� 5 ñ Ö7N7 � 5 ñ Ö 7 Ñ û�û�ûiÑ 7 � 5� 5 ñ Ö

7X7 � 5 ñ Ö� 5 ñ Ù7 û�û�û 7 �ãÔóÿ ñ Ö� Ôóÿ 7N7 �ãÔ ÿ 7{´ Ó Y á ½¼Û 5 ñ Ôóÿ 7 �IÔ ÿ 7 gdy Bþ�`¾Á¿

Terazkorzystamyz kryteriumporównawczego punktu(a) dla x 5 ÑLÓ Y á ½¼Û 5 ñ Ô ÿ 7 �ãÔ ÿ 7(b) Rozumujemypodobnie.Skoro

Y �òâ , to istniejetakie ½�� , ze

Y ÿ ½��òâ i dla tego ½istnieje ¾Á¿"Ü�Þ£Ø , ze

7 # ¨ª© î# ¨7 � Y ÿ ½��¦â , gdy Bþ��¾Á¿ . Stad

7 � 5 7 Ñ 7 � 5� 5 ñ Ö7 a 7 � 5 ñ Ö� 5 ñ Ù

7 û�û�û 7 �IÔTÿ ñ Ö� Ôóÿ 7X7 �IÔ ÿ 7 �¦Ó Y ÿ ½¼Û 5 ñ Ô 7 �ãÔ ÿ 7i okazujesie, ze

7 � 5 7niezbiegadozera.

(c)Wystarczy, takjakpoprzedniorozpatrzycprzykładszeregówharmonicznych,byprzekonacsie o brakurozstrzygniecia,gdy

Y Ñ¦â .Uwaga. Kryteriumd’Alembertajestłatwiejszew uzyciu,alejestsłabszeniz kryteriumCauchy’ego,bo istniejeprzykładszeregudlaktóregokryteriumd’AlembertaniedajerozstrzygnieciapodczasgdykryteriumCauchy’ego rozstrzygakwestie. Pozostawimy te kwestiebezdowodu.

3.2. SZEREGI 83

Zajmiemysie terazkrótko szeregami,którychwyrazyzmieniaja znak.Sformułujemyjednozasadniczetwierdzenie,któregodowódpominiemy.

Twierdzenie 17. Załózmy, ze mamydane2 ciagi liczb rzeczywistychÒ1� 5 ä i Ò1� 5 ä . Połózmy� 5 Ñ � 5 � > Ö �{� . Załózmy, ze(a) � 5 jestciagiemograniczonym;(b) � 5 jestciagiemmonotoniczniemalejacym;(c) � 5 g � û

Wtedyszereg � ¼5 > Ö � 5 � 5 jestzbiezny. ·¸Z pomoca tego twierdzeniawykazemyzbieznosc szereguanharmonicznego¼<5 > Ö Ó ÿ â�Û 5 ñ ÖB û Ó �¼Û

Kładziemymianowicie � 5 Ñ¦Ó ÿ â#Û 5 ñ Ö i � 5 Ñ Ö5 , oczywiscie� 5 Ñ � â dla B nieparzystych� dla B parzystych.

i � 5 monotoniczniemalejedozera.Wnosimyzatem,zeszereg (5) jestzbiezny.Zadajmysobiepytanie,cobysiestałogdybysmyw szeregu(5) zmienili porzadeksumowania

i zamiast â ÿ â� á â� ÿ âù á â� ÿ â0 á û�û�ûnapisali â á â� ÿ â� á â� á â@ ÿ âù á âv á ââ,â û�û�ûMoznawykazac, zenowy szereg jestzbiezny, aledo innej sumy! Nalezy przypuszczac, zemato zwiazekz faktem, ze szereg wartosci bezwzglednych szeregu (5), tj. szereg harmoniczny� ¼5 > Ö Ö5 , nie ma granicy skonczonej. By móc opisac powyzszezjawisko wprowadzimynowepojecia.

Definicja 8. Powiemy, zeszereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny bezwzglednie, jesli szereg � ¼5 > Ö 7 � 5 7jest

zbiezny.Np. szereg anharmoniczny nie jestzbiezny bezwzglednie,aleszeregi harmonicznedla ì��¦â

sa zbieznebezwzglednie.

Definicja 9. Szereg � ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny bezwarunkowo, jesli kazdazmianaporzadkusumowa-niadajeszereg zbiezny (do tej samejsumy).

Odpowiedz na pytanie,które szeregi sa bezwarunkowo zbieznejest zawartaw twierdzeniunizej,któreprzytaczamybezdowodu.

Twierdzenie18. Szereg � ¼5 > Ö � 5 jest zbiezny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy szereg� ¼5 > Ö � 5 jestzbiezny bezwzglednie. ·¸


3.3 Granica i ciagłosc funkcji jednej zmiennej

Pojecie granicy funkcji w punkcie jest jednym z podstawowych pojec analizy. Jestono us-cisleniemzdania:‘niezaleznieod sposobu, w jaki argumentyÕ przylizaja sie do punktu Õ ß , alebyc mozebezosiaganiago, wartosci funkcji f , tj. f�Ó�Õ×Û nieograniczeniezblizaja sie do punktuº , takze, byc moze bez osiaganiago’. Chcemypodkreslic, ze dopuszczamysytuacje, kiedypunkt Õ ß , w którym badamyf nie nalezy do jej dziedziny. Zanimsformułujemynasza definicjewprowadzimydodatkoweoznaczenie.Dla �ÚØ"�"Ü�Þ/ß i takich,ze �|Â[� symbolem

7 �ÚØ"� 7oznaczamyjedenz podziałów

P �ÚØ"� R , Ó2�)Ø"��Û , P �ÚØ"��Û , Ó �ÚØ"� R .Wysłowimy definicjegranicy funkcji w punkcieogólniedopuszczajacfunkcjeo wartosciach

zespolonych,majacnauwadzepózniejszezastosowania.

Definicja 10. Niech f 8T7 �ÚØ"� 7 g Þ£¢ powiemy, zefunkcja f maw punkcieÕ ß Ü P �)Ø!� R granice º izapiszemy Ä KNoí Å í è f8Ó�Õ×ÛæÑ�ºaØjesli dla dowolnego ½z� � istnieje �z� � taka,ze dla dowolnego Õ9Ü 7 �ÚØ"� 7 spełniajacego � Â7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� mamy, ze

7 f�ÓúÕ×Û ÿ º 7 Â�½ÔûMozna zapytac jaki jest zwiazekgranicy funkcji i granicy ciagu. O tym jak bliskie sa te

pojeciaprzekonujenasponizszaciagowacharakteryzacjagranicy funkcji w punkcie.

Twierdzenie 19. Załózmy, ze f 8b7 �ÚØ"� 7 g Þ£¢ i Õ ß Ü P �ÚØ"� R . Wtedy nastepujacewarunki sarównowazne

(a)Ä KNo í Å í è f�Ó�Õ×ÛæÑ�ñ ;

(b) dlakazdego ciagu Ò�ì 5 ä1¼5 > Ö�� 7 �ÚØ"� 7 zbieznego do Õ ß i takiego, ze ì 5 �Ñ�Õ ß mamy, zeÄ KNo5�Å ¼ f8ÓNì 5 ÛæÑ[ñiûDowód. (a)Ç (b) Skoro ñ Ñ Ä KNo í Å í è f�ÓúÕ×Û , to z mocy definicji dla dowolnego ½�� istnieje�� , takie zemamy

7 f�ÓúÕ×Û ÿ f�ÓúÕ ß Û 7 Â�½ dla Õ¤Ü 7 �)Ø"� 7 spełniajacych � Â 7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� . Jeslizatem Ò�ì 5 ä1¼5 > Ö jestdowolnym ciagiemzbieznym do Õ ß i ì 5 �ÑLÕ ß , to dla pewnego ¾ i kazdegoBz�°¾ mamy

7 ì 5 ÿ Õ ß 7 Â�� . A zatem

7 f�ÓXì 5 Û ÿ Õ ß 7 ÂÃ½ tj. ciag f8ÓNì 5 Û zbiegado ñ .(b) Ê (a)a.a.Zaprzeczenieistnieniagranicy oznacza,zedla pewnego ½È� � i dla wszystkich�� istniejetakie Õ�� Ü 7 �ÚØ"� 7 , ze � Â 7 Õ�� ÿ Õ ß 7 Â�� i

7 f�ÓúÕ��OÛ ÿ ñ 74É ½ . Skoro � jestdowolne,to wezmy teraz � 5 Ñ Ö5 . Dostaniemywtedy ciag Ò�Õ 5 ä1¼5 > Ö zbiezny do Õ ß i Õ 5 �Ñ�Õ ß . Przedewszystkimjednak

7 f�ÓúÕ 5 Û ÿ ñ 7IÉ ½/� � tj. nieprawda jest,zeÄ KNo í Å í è f8Ó�Õ×ÛæÑ�ñ .

Wniosek 20. Granicafunkcji w punkciejestwyznaczonajednoznacznie.

Dowód. Wynika to z faktu,zegranicaciagujestwyznaczonajednoznacznie. ·¸

3.3. GRANICA I CIAGŁOSC FUNKCJIJEDNEJZMIENNEJ 85

Podamyterazpodstawowewłasciwosci granicy funkcji w punkcie.

Twierdzenie 21. Załózmy, ze f×Ø�º 8ö7 �)Ø!� 7 g ¡ i istnieja granicefunkcji f i º w punkcie Õ ß ,Ä KXo í Å í è f�ÓúÕ×Û�Ñ�� iÄ KNo í Å Ð í Ñ�Ñ � . Wtedy,

(a)Ä KNo í Å í è Ó f8Ó�Õ×Û á ºaÓúÕ Û�ÛæÑ`� á�� ;

(b)Ä KNo í Å í è Ó f�ÓúÕ×Û a ºaÓ�Õ×Û$Û�Ñ�� a � ;

(c)Ä KNo í Å í è � Ð í Ñ Ð í Ñ Ñ �� , jesli tylko � �Ñ � .

Dowód. Powyzszetwierdzeniewynika z analogicznego faktu dla granicciagów, szczegółowydowódpomijamy. ·¸

Chcielibysmyterazuscislic pojecieciagłosci funkcji. Ciagła funkcjawydajesienamfunkcjapredkosciwodyw rzececzy funkcjaprzypisujacakazdemupunktowi namapiepogodowej tem-perature i cisnieniepowietrza.Oznaczato, zejesli zmienimytroszkenaszestanowiskoobserwa-cyjne (lub punktnamapie)to interesujacenaswielkoscizmienia sie tylko troche,tj. niedoznajagwałtownych zmianw postaciskoku. Z drugiej strony gestosc materiiw sali wykładowej jawisiewielkoscianieciagła,bonagranicy ławki i powietrzamamygwałtowny skokowy wzrost(lubspadekgestosci). Podejrzewamy, tez zeciagłosc powinnamiec tez zwiazekz granica funkcji wpunkcie.

Definicja 11. Załózmy, ze f 8 7 �)Ø"� 7 g Þ£¢ .(a) O funkcji f powiemy, ze jest ciagła w punkcie Õ ß Ü 7 �)Ø"� 7 , jesli dla dowolnego ½ � �

istnieje takie �� , ze mamy

7 f�ÓúÕ×Û ÿ f�ÓúÕ ß Û 7 Â&½ dla wszystkich ÕòÜ 7 �)Ø"� 7 spełniajacych

7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� .(b) O funkcji f powiemy, ze jest ciagła w przedziale

7 �ÚØ"� 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jestciagław kazdympunkcieprzedziału

7 �)Ø"� 7 . Zbiór funkcji ciagłychw przedziale

P �ÚØ"� R oznaczamysymbolem��Ó P �ÚØ"� R Û .Uwaga. Z definicji wynika, zeciagłosc funkcji f rozpatrujemywyłaczniew punktachnaleza-cych dodziedziny f !

Z powyzszegookresleniagranicy funkcji w punkciewynikanatychmiastnastepujacy wynik.

Stwierdzenie22. Załózmy, ze f 8 7 �)Ø!� 7 g Þ£¢ û Funkcja f jestciagław punkcieÕ ß wtedyi tylkowtedy, gdy

Ä KNo í Å í è f�Ó�Õ×ÛæÑ�f8Ó�Õ ß Û .Niecobardziejzłozonym i do tego waznym faktemjestnastepujacy wynik, który sformułu-

jemywyłaczniedla funkcji o wartosciachrzeczywistych.

Twierdzenie 23. (o ciagłosci funkcji złozonej)Załózmy, ze f 8 7 �ÚØ"� 7 g Þ/ß?ØIº 8Z7 x#Ø"¹ 7 g Þ/ß if�Ó 7 �ÚØ"� 7 Û � 7 x#Ø"¹ 7. Zakładamy, ze funkcja f jestciagław Õ ß , zas º ciagław punkcie y Ñ³f�ÓúÕ ß Û .

Wtedyfunkcja� Ó�Õ×ÛæÑwº��f8Ó�Õ×Û jestciagław Õ ß .

Dowód. Skoro º jestciagław f�Ó�Õ ß Û , to dla ½/� � istniejetakie �b� � , ze

7 ºaÓ y!Û ÿ ºaÓ2f�Ó�Õ ß Û�Û 7 Â�½dla y9Ü 7 x#Ø"¹ 7

i

7 y ÿ f8Ó�Õ ß Û 7 Â�� . Skoro f jest ciagław Õ ß , to istniejetakie � � � , ze mamy

7 f8Ó�Õ ß Û ÿ f8Ó�Õ×Û 7 Â�� dla Õ-Ü 7 �ÚØ"� 7 i 7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� tj. wynika stad

7 � Ó�Õ×Û ÿ � ÓúÕ ß Û 7 Ñ 7 ºaÓ f8Ó�Õ×Û$Û ÿºaÓ f8Ó�Õ ß Û$Û 7 Â�½ dla

7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� . ·¸


Do wypowiedzenianastepnych własciwosci funkcji ciagłych potrzebnebedziedodatkowepojecie.

Definicja 12. Zbiór ç � Þ/ß65 (lub ç � ¡ 5 ) nazywamyograniczonym, jesli istnieje �� , takie,zedlawszystkichÕ Ü ç jestprawda,ze

7 Õ 7 Â�� .Mozemyterazprzedstawic waznetwierdzenie,któregogłównaczesc zostawiamybezdowodu

z brakunarzedzipozwalajacychnajegosprawneprzeprowadzenie,natomiastprzedstawimy jegoszkic.Bedzimysie tez odwoływac do intuicji i rysunkunizej.

Twierdzenie 24. Załózmy, ze funkcja f o wartosciachrzeczywistychjest ciagław przedzialedomknietym

P �)Ø!� R . Wtedy,(a) Obrazprzedziału

P �ÚØ"� R , tj. f�Ó P �)Ø!� R Û jestzbioremograniczonym.(b) Istnieja liczby Õ × i Õ Ù nalezacedo

P �ÚØ"� R takie,zef�Ó�Õ²×�ÛæÑ HLå²æí�� #�� Ú�� f�Ó�Õ×Û i f8Ó�Õ²Ù ÛæÑ KXM �í�� #�� Ú�� f�ÓúÕ ÛRû

(c) obrazprzedziału

P �)Ø!� R tj. f8Ó P �ÚØ"� R Û jestprzedziałem.

a b=x

xm

M

f(x)

Rys.3. Przebieg funkcji.

Uwagi na tematdowodu. Rzut oka na rys. 1 przekonujenaso prawdziwosci czesci (a)powyzszego twierdzenia.Zas szkic scisłego argumentudotyczacy (b) jest nastepujacy. Niechñ Ñ H�å²æ

í�� #�� Ú�� f8Ó�Õ×Û , gdybysmydlawszystkichÕ Ü P �ÚØ"� R mieli, ze f8Ó�Õ×Û�Â`ñ , to funkcja â à ñ ÿ f8Ó�Õ×Ûbyłaby dobrzeokreslonai ciagław

P �ÚØ"� R , bo funkcja Õ g â à Õ jest ciagła,gdy Õ³�Ñ � . Zatemnamocy punktu(a) funkcja ºaÓ�Õ×ÛæÑLâ à ñ ÿ f8Ó�Õ×Û byłabyograniczona.Z drugiejstrony z definicjikresuistnieje ciag Õ 5 Ü P �ÚØ"� R , taki, ze f�Ó�Õ 5 Û g ñ . Co wiecej,dzieki twierdzeniuBolzano-Wierestrassaten ciag moznatak wybrac, aby miał granice,

Ä KNo 5�Å ¼ Õ 5 ÑþÕ ¼ . Wniosekstadtaki, ze ºaÓ�Õ×Û nie mozebyc ograniczona.Uzyskanasprzecznosc dowodzi istnieniatakiego Õ × ,ze f8Ó�Õ²×õÛæÑ H�å²æ

í�� #�� Ú�� f8Ó�Õ×Û . Podobny argumentstosujesieby wykazac istnienie Õ²Ù .(c) Obrazowy argumentna podstawie rys. 1 jest taki, ze gdyby f8Ó P �)Ø"� R Û nie był przedziałem,to byłaby w nim dziura. Zatem,zebyprzejsc z jednego do drugiego kawałka zbioru f8Ó P �ÚØ"� R Û ,funkcjamusiałabywykonac skok,co nie jestmozliwe dla funkcji ciagłej.

3.3. GRANICA I CIAGŁOSC FUNKCJIJEDNEJZMIENNEJ 87

Uwagi dotyczacetwierdzenia.Punkty(a)i (b) twierdzeniasanieprawdziwe,jesli pominiemydomknietosc przedziałunp. ºaÓúÕ Û�Ñ Öí , dla Õ�Ü-Ó � Ø�â�Û . Wtedyani obrazprzedziałuÓ � Ø�â�Û nie jestograniczony, ani º nieosiagaswoichkresów.

Moznapodac prostychoc dłuzszyniz w (b) scisły argumentuzywajacy podobnych metodjak w punkcie(b), abywykazac (c).

Wnioskiemz punktu(c) jesttzw. własnosc Darboux.

Twierdzenie25.Jesli f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß jestfunkcja ciagła i liczba x jestpomiedzy f�Ó �!Û i f8Ó ��Û , toistnieje Õ ß Ü P �ÚØ"� R , takieze f�Ó�Õ ß Û�Ñ�x .

Osobnym tematemjestbadanieróznowartosciowych funkcji ciagłych,moznapowiedziec onichcos wiecej.Na przedziałachdomknietychmaja onejeszczejedna waznawłasciwosc.

Twierdzenie26. Niechfunkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß bedzieciagłai róznowartosciowa.Zatemfunkcjaodwrotnaf ñ Ö okreslonanaprzedzialef8Ó P �ÚØ"� R Û , tj. f ñ Ö 8 f�Ó P �ÚØ"� R Û g P �ÚØ"� R , jestciagła.

Szkic dowodu jestnastepujacy. Przypuscmy, ze f ñ Ö nie jestciagła.Wtedyistniejetaki ciagf�ÓúÕ 5 Û , ze f�Ó�Õ 5 Û g f8Ó�Õ ß Û i f ñ Ö Ó f8Ó�Õ 5 Û$Û niezbiegado f ñ Ö Ó f�ÓúÕ ß Û$ÛæÑ*Õ ß . Moznatakwybrac ciagÕ 5 , aby Õ 5 g Õ ÖÈ�Ñ Õ ß , alewtedyz ciagłosci funkcji f mamy f8Ó�Õ 5 Û g f8Ó�Õ×ÖOÛ . Skoro Õ×Ö��ÑãÕ ß ,to f�Ó�Õ×ÖOÛÀ�Ñ�f8Ó�Õ ß Û , co przeczyciagłosci f w Õ ß . Wykazujeto naszetwierdzenie. ·¸

Objasnimyterazkilka podstawowychprzykładów.

Przykład 6.(a)Niech �� bedziefunkcjacharakterystycznazbioruliczbwymiernych(patrz§1.4.1).Poniewazpomiedzydowolnymi dwomaliczbamirzeczywistymi� i � moznaznalezc liczbewymierna ñ , tj.�|Â[ñ/Â`� , to funkcja � � nigdzieniemagranicy.(b) Kładziemy ºaÓúÕ Û�Ñ � Õ Õ Ü"!� Õ Ü�Þ/ß$#%!Z powodów j.w. funkcja º nie ma granicy w zadnym punkcieróznym od zera,ale dla Õ'Ñ �mamynierównosc

7 ºaÓ � Û ÿ ºaÓ�Õ×Û 7 Ñ 7 � ÿ ºaÓúÕ Û 7I´�7 Õ 7 ûTym samymw definicji ciagłosci funkcji w punkcie Õ�Ñ � wystarczydla zadanego ½ przyjac� Ñ`½ , abyotrzymac ciagłosc funkcji º .(c) Przyjmijmy, zefunkcja Õ g HLKXM Õ jestciagła,wtedyfunkcjadanawzorem� Ó�Õ×ÛæÑ � H�KNM Öí Õ �Ñ �� Õ�Ñ �jestciagław punktachÕ��Ñ � . Zbadajmyistnieniegranicy w punkcie Õ Ñ � . Niech Õ 5 Ñ ÖÙ'& 5 iy 5 Ñ ÖÙ'& 5�§)( ï , wtedy Õ 5 g � i y 5 g � , ale� Ó�Õ 5 ÛæÑ H�KNM Ó2�+* B�ÛæÑ � Ø � Ó y 5 ÛæÑ H�KNM Ó2�+* B á * à ��ÛæÑ âzatemnamocy ciagowej charakteryzacjigranicy, granica

Ä KXo í Å ß � ÓúÕ×Û nie istnieje.(d) Niech �×Ó�Õ×Û�Ñ � Õ H�KNM Öí Õ��Ñ �� Õ Ñ �


Na mocy (c) funkcja �aÓ�Õ×Û jest ciagław punktachÕ��Ñ � . Badamyistnieniegranicy w punkcieÕ�Ñ � ,

7 �×Ó � Û ÿ �×ÓúÕ Û 7 Ñ 7 � ÿ Õ H�KNM âÕ7 Ñ 7 Õ 7 a 7JHLKNM âÕ

´�7 Õ 7 ûZatemdlazadanego ½�� wystarczyprzyjac � Ñ[½ w definicji granicy, by otrzymac, zeÄ KXoí Å ß �aÓ�Õ×Û�Ñ � û3.3.1 Funkcje monotoniczne

Wyróznimy terazklase funkcji o waznychwłasciwosciach.

Definicja 13. Niechbedziedanafunkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß .(a) Powiemy, ze funkcja f jest rosnaca (odpowiednio, scisle rosnaca), jesli dla dowolnychÕDØ"yõÜ P �ÚØ"� R i takich,ze ÕlÂ`y mamy f8Ó�Õ×Û ´ f�Ó2y Û (odpowiednio, f8Ó�Õ×Û�Â�f8Ó y!Û ).(b) Powiemy, zefunkcja f jestmalejaca (odpowiednio,scislemalejaca), jesli dladowolnychÕDØ"yõÜ P �ÚØ"� R i takich,ze ÕlÂ`y mamy f8Ó�Õ×Û É f�Ó2y Û (odpowiednio, f8Ó�Õ×Û��f8Ó y!Û ).(c) O funkcji, którajestalborosnaca,albomalejacapowiemy, zejestmonotoniczna.Pamietamy, zeograniczoneciagi monotonicznesa zbiezne.Podejrzewamywiec,ze funkcje

monotonicznebeda miały granice ‘w wielu punktach’, zas nieciagłosci beda skokami. Dowysłowieniatychprzypuszczen przydadzasie nowepojecia.

Definicja 14. Niechbedziedanafunkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß i

U � P �ÚØ"� R . Funkcje f 7 , 8 U g Þ/ßdana wzorem f 7 , ÓúÕ×Û 8 Ñ�f8Ó�Õ×Ûnazywamyobcieciem f do

U.

Mozemyterazzdefiniowac granicejednostronnefunkcji w punkcie.

Definicja 15. Niechbedziedanafunkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß i Õ ß Ü¤Ó �ÚØ"��Û . Połózmy,º.- 8 Ñ�f 7 � #�� í è Ñ ºQï 8 Ñ[f 7 Ð í è � Ú�� û(a) Jesli granica

Ä KNo í Å í è º.-�Ó�Õ×ÛrÑ�ñ/- istnieje,to powiemy, ze funkcja f magranice lewostronnaw Õ ß i piszemy Ä KNoí Å í �è f8Ó�Õ×Û�Ñ�ñ�-Jû(b) Jesli granica

Ä KNo í Å í è ºQï�Ó�Õ×Û�Ñ�ñêï istnieje,to powiemy, zefunkcja f magraniceprawostronnaw Õ ß i piszemy Ä KXoí Å í ©è f�ÓúÕ ÛæÑ[ñêï�û

Terazciagowa charakteryzacjagranicy funkcji w punkciełatwo nasprzekonujeo prawdzi-woscinastepujacego faktu.

3.4. RÓZNICZKOWANIE 89

Twierdzenie 27. Niech danafunkcja f 8 P �)Ø!� R g Þ/ß bedziemonotoniczna,wtedy w kazdympunkcie Õ ß Ü Ó2�)Ø!� Û istniejegranicalewo- i prawostronnafunkcji f w punkcie Õ ß . Istnieja tezgraniceprawostronnew � i lewostronnaw � .

Zauwazmy, ze jesli granicelewostronnai prawostronnafunkcji monotonicznejº w Õ ß sarówne,to w tym punkciekonieczniefunkcja º jestciagła.Jesli sa rózne,to w obraziefunkcji ºjestdziura.Pytanie:ile mozebyc takichdziur?Okazujesie, zenajwyzej przeliczalniewiele,boprawdziwym jestnastepujacetwierdzenie.

Twierdzenie28. Niechfunkcja º 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß bedziemonotoniczna,wtedyfunkcja º jestciagławe wszystkichpunktachz wyłaczeniemco najwyzejprzeliczalniewielu, tj. punktynieciagłoscimoznaustawic w ciag.(Bezdowodu).

Dla porzadkuwprowadzimyjeszczepojeciegranicy nieskonczonejfunkcji w punkciei granicyw nieskonczonosci.

Definicja 16. (a) Niech f 8 Ó2�)Ø!� Û g Þ/ß i Õ ß Ü P �ÚØ"� R . Powiemy, ze funkcja f maw punkcie Õ ßgranice áÖÕ (odpowiednio, ÿ Õ ), jesli dlakazdego Ò Ü�Þ/ß istniejetakie �� , zedlakazdegoÕ Ü P �)Ø!� R spełniajacego � Â 7 Õ ÿ Õ ß 7 Â�� mamy f8Ó�Õ×Û��°Ò (odpowiednio, f�ÓúÕ Û�Â`Ò ) piszemyÄ KNoí Å í è f8Ó�Õ×ÛæÑ áÖÕ Ó odpowiednio,

Ä KNoí Å í è f8Ó�Õ×ÛæÑ ÿ Õ ÛRû(b) Niech f 8 Ó �ÚØ áÖÕ Û g Þ/ß powiemy, ze º jestgranica funkcji w áÖÕ , jesli dla kazdego ½b� �istnieje � �`� , takiezedla Õ��`� mamy

7 º ÿ f�ÓúÕ Û 7 Â�½ . PiszemywtedyÄ KNoí Å�§ ¼ f�ÓúÕ×Û�ÑwºaûAnalogiczniedefiniujemygranicew ÿ Õ i granicenieskonczonew nieskonczonosci.

3.3.2 Klasyfikacja punktów nieciagłosci

Załózmy, ze funkcja º 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß jest nieciagław punkcie Õ ß Ü|Ó �ÚØ"��Û , istnieja wtedy dwiemozliwosci:

(a)Obiegranicejednostronnew p. Õ ß funkcji º istnieja. Mówimy, zewtedy º manieciagłoscpierwszego rodzaju. Przykładowo funkcja Þ/ß10�Õ32 g P Õ R ÜlÏ manieciagłosc pierwszegorodzajuw punktachcałkowitych.

(b) Przynajmiejjednaz granicjednostronnychfunkcji º w Õ ß nie istnieje.Mówimy, zewtedyº manieciagłosc drugiego rodzaju. Np. funkcja�

z przykładu6(c).

3.4 Rózniczkowanie

Rozwazmykilka sytuacji:(1) Gdy mamydana krzywa (np. płaska), to czestochcielibysmynarysowac prosta styczna.

Chcielibysmytez w ogóleja zdefiniowac, bo takieprostestwierdzenie:‘prosta,któramaz dana


krzywa tylko jedenpunkt wspólny, jest do niej styczna’,które jest prawdziwe dla okregu, wogólnosci jest fałszywe. Natomiastumiemyrysowac sieczne,tj. prosteprzechodzaceprzez2punktyprostejì)Ö i ì!Ù . Mozemypróbowac szukac granicy owychsiecznych,gdy ì)Ö zblizasie doì!Ù .

(2) Chcielibysmyroztropnieprzyblizac dana krzywaprostymi.Jakimi?(3) Wielepraw fizyki jestformułowanychw nastepujacy sposób,‘szybkosc zmiany wielkosci_ jest równa funkcji, której argumentemjest czas,połozeniew przestrzenii byc moze inne

wielkosci’. Przykładembedzieprawo Newtona:szybkosc zmiany pedu= siła.Uwagi (1) i (3) sugeruja wykonaniepewnego przejsciagranicznego. Natomiastodpowiedz

napytaniew p. (2) wymagazastosowanianowego, jeszczenieznanego narzedzia.Spróbujmywprostnapisac coto jeststycznadokrzywej,którajestwykresemfunkcji i zbadac

zachowaniewspółczynnikakierunkowegostycznej.Podobny wynik uzyskamypiszac, zeszyb-kosc to iloraz drogi przezczas,w którym byłaonaprzebyta.

Definicja 17. (pochodnejfunkcji). Niech f 8 Ó2�)Ø"��Û g Þ/ß i Õ ß Ü¤Ó �ÚØ"��Û . Wyrazenief�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� Ønazywamyilorazemróznicowym, granice (jesli istnieje)Ä KXo4 Å ß f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�Ó�Õ×Û� Ñ�ºnazywamypochodna funkcji f w punkcieÕ ß i piszemyf�5JÓúÕ ß ÛæÑ�º lub równowaznie

¹ f¹¼Õ Ó�Õ ß Û�ÑÃºaû(Czasemdla funkcji Õ62g yÚÓ�Õ×Û stosujemyzapis 7y .) O funkcji f mówimy wtedy, ze jestróznicz-kowalnaw Õ ß .

Ciekawy jestzwiazekpomiedzyrózniczkowalnosciaa ciagłoscia. Mamymianowicie,

Twierdzenie29. Jesli funkcja f 8 Ó �ÚØ"� Û g Þ/ß , jest rózniczkowalnaw punkcie Õ ß Ü¦Ó2�)Ø!� Û , tojestonaciagław punkcieÕ ß .Dowód. Badamyróznice f�Ó�Õ×Û ÿ f8Ó�Õ ß ÛæÑ f8Ó�Õ×Û ÿ f�ÓúÕ ß ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û a ÓúÕ ÿ Õ ß ÛRûPołózmy

� Ñ�Õ ÿ Õ ß , wtedy7 f�Ó�Õ×Û ÿ f8Ó�Õ ß Û 7 Ñ µµµµµ f�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� µµµµµ 7 Õ ÿ Õ ß 7Ñ µµµµµ f�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� ÿ f 5 Ó�Õ ß Û á f 5 Ó�Õ ß Û µµµµµ 7 Õ ÿ Õ ß 7´ µµµµµ f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� ÿ f 5 ÓúÕ ß Û µµµµµ 7 Õ ÿ Õ ß 7 á 7 f 5 Ó�Õ ß Û 7N7 Õ ÿ Õ ß 7 û


Dla danego ½�� wezmy ��Â~½ , takie ze

7 f 5 ÓúÕ ß Û 7 ��Â ¿Ù i

7 � Ð í è�§ 4 Ñ ñ � Ð í è Ñ4 ÿ f 5 ÓúÕ ß Û 7 Â ÖÙ dlawszystkich

7 � 7 Â�� . Zatem,7 f8Ó�Õ×Û ÿ f�ÓúÕ ß Û 7{´ â� � á7 f�5 Ó�Õ ß Û 7 �/Â ½� á ½� Ñ`½Ôû

cobyło do wykazania. ·¸Zanimprzystapimydoobliczaniaprzykładowychpochodnychzapoznamysiezpodstawowymi

własciwosciamirózniczkowania.

Twierdzenie30. Załózmy, zefunkcje f i º saokreslonenaprzedzialeÓ2�)Ø!� Û i sa rózniczkowalnew punkcie Õ ß Ü¤Ó2�)Ø"��Û . Wtedy,(a) f á º , f a º sa rózniczkowalnew Õ ß iÓ2f á ºÚÛ 5 Ó�Õ ß Û�Ñ�f 5 Ó�Õ ß Û á º 5 ÓúÕ ß ÛRØ Ó2fVºÚÛ 5 ÓúÕ ß ÛæÑ�f 5 Ó�Õ ß ÛüºaÓ�Õ ß Û á f8Ó�Õ ß Ûüº 5 Ó�Õ ß Û(b) jesli dodatkowo ºaÓ�Õ ß ÛÀ�Ñ � , to f à º jestrózniczkowalnaw Õ ß i¹¹¼Õ } f º � ÓúÕ ß ÛæÑ f�ÓúÕ ß ÛðºaÓúÕ ß Û ÿ º 5 Ó�Õ ß ÛJf�Ó�Õ ß Ûº Ù ÓúÕ ß ÛDowód. ZajmiemysiewyłacznieprzypadkiemiloczynuÄ KXo4 Å ß f8Ó�Õ ß á � ÛüºaÓ�Õ ß á � Û ÿ f�Ó�Õ ß ÛüºaÓ�Õ ß Û�Ñ Ä KXo4 Å ß f8Ó�Õ ß á � ÛRÓÆºaÓ�Õ ß á � Û ÿ ºaÓ�Õ ß Û�Û á ºaÓ�Õ ß ÛOÓ f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�ÓúÕ ß Û�Û�Ñ f8Ó�Õ ß Ûðº 5 ÓúÕ ß Û á ºaÓúÕ ß Û�f 5 Ó�Õ ß ÛPodrodzeskorzystalismyz twierdzeniao granicy iloczynui sumy. Obecniepozostałeprzypadkinieprzedstawiaja problemu. ·¸Twierdzenie31. (o pochodnejfunkcji złozonej.)Załózmy, ze f 8 Ó2�)Ø"��Û g Þ/ß?ØWº 8 Ó x#Ø"¹iÛ g Þ/ß?Øf�Ó�Ó �ÚØ"��Û$Û � Ó x#Ø"¹iÛ i funkcja f jestciagław Ó2�)Ø"��Û i rózniczkowalnaw Õ ß , zas º jestrózniczkowalnaw punkcie y9Ñ�f8Ó�Õ ß Û . Wtedy funkcja �×Ó�Õ×Û Ñ�ºaÓ2f�Ó�Õ×Û�Û jest rózniczkowalnaw Õ ß i � 5 Ó�Õ ß Û�Ñº 5 Ó2f�Ó�Õ ß Û�Û�f 5 Ó�Õ ß Û .Dowód. Tworzymyiloraz róznicowy dla � ,

� 5 ÓúÕ ß ÛæÑ Ä KNo4 Å ß �×ÓúÕ ß á � Û ÿ �×Ó�Õ ß Û� Ñ Ä KNo4 Å ß ºaÓ f�ÓúÕ ß Û á � Û�Û ÿ ºaÓ f�ÓúÕ ß Û$Û�Ñ Ä KXo4 Å ß ºaÓ f8Ó�Õ ß á � Û$Û ÿ ºaÓ f8Ó�Õ ß Û$Ûf�Ó�Õ ß á � Û ÿ f�ÓúÕ ß Û a f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�ÓúÕ ß Û�


z twierdzeniao granicy iloczynumamy, ze� 5 Ó�Õ ß Û�Ñ Ä KNo4 Å ß ºaÓ2f�Ó�Õ ß á � Û$Û ÿ ºaÓ2f�ÓúÕ ß Û�Ûf�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û a Ä KNo4 Å ß f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�ÓúÕ ß Û� ÑLÓ98¼Ûz ciagłosci funkcji f wynika, ze

Ä KNo 4 Å ß f8Ó�Õ ß á � Û ÑÜf�ÓúÕ ß Û . Zatem,jesli napiszemy: 8 Ñf�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û , to : g � , gdy� g � . Tym samymdostaniemyÓ98¼Û�Ñ Ä KNo; Å ß ºaÓ f8Ó�Õ ß Û á :óÛ ÿ ºaÓ�Õ ß Û: a f�5JÓúÕ ß ÛæÑ�º<5JÓ2f�Ó�Õ ß Û$Û a f�5ªÓ�Õ ß ÛOû ·¸

Przedstawimy terazpewna liczbeprzykładówrachunkowych.

Przykład 7.(a) Niech x 8 Ó �ÚØ"� Û g Þ/ß bedziefunkcja stała, x�ÓúÕ×Û�Ñ[x . Wtedy

Ä KXo 4 Å ß>= ñ =4 Ñ � tj. ? =? í Ñ � .(b) Ó�Õ 5 Û 5 Ñ�BaÕ 5 ñ Ö , gdy Bz� � . Liczymy,Ä KNo4 Å ß Ó�Õ á � Û 5 ÿ Õ 5� Ñ Ä KNo4 Å ß Õ 5 á �|a B×Õ 5 ñ Ö á ì 5 Ù ð � Ù Õ 5 ñ Ù á û�û�û á � 5 ÿ Õ 5�Ñ Ä KNo4 Å ß ý BaÕ²5 ñ Ö á � }6} B � � Õ²5 ñ Ù á û�û�û á } B � � � 5 ñ Ù �r� Ñ�B×Õ²5 ñ Ö û(c) Wykazemy, ze poprzedniwzór jest prawdziwy, tez dla BäÂ � . Zastosowanie wzoru napochodna ilorazudajenam,¹¹¼Õ Õ 5 Ñ ¹¹¼Õ « âÕ ñ 5 ¬ Ñ ÿ ÿ B×Õ ñ 5 ñ ÖÕ ñ Ù 5 Ñ�B×Õ 5 ñ Ö û(d) Przyjmijmynachwile, ze ?? í Ó

H�KNM Õ×ÛæÑ EGFWH Õ . Funkcje f 8 Þ/ß g Þ/ß zadajemywzorem,f�ÓúÕ×Û�Ñ @ � Ø gdy Õ�Ñ �Õ H�KNM Öí Ø gdy Õ �Ñ �wtedydla Õ �Ñ � f 5 Ó�Õ×ÛæÑ HLKXM Öí ÿ Öí

E�FIH Öí namocy twierdzeniao funkcji złozoneji punktu(c) dlaB Ñ ÿ â . Badamyrózniczkowalnoscw punkcieÕ�Ñ � . Tworzymyilorazróznicowy i dostaniemyf�Ó � Û ÿ f8Ó � Û� Ñ H�KNM Ó�â à � ÛRûNa mocy przykładu6(c) to wyrazenieniemagranicy, gdy

� g � .(e) Dla Bz�¦â kładziemy, º 5 Ó�Õ×ÛæÑ � � Õ�Ñ �Õ 5 HLKXM Öí Õ �Ñ � .

Wtedydla Õ��Ñ � º 5 ÓúÕ×Û�Ñ[B×Õ²5 ñ Ö H�KNM âÕ ÿ ÕV5 ñ Ù EGFWH âÕ û


Dla Õ Ñ � mamy Ä KXo4 Å ß º 5 Ó � á � Û ÿ º 5 Ó � Û� Ñ Ä KNo4 Å ß � 5� HLKNM â�skoro Bz��â , to

7 4 ¨4 H�KNM Ö4 7{´ � 5 ñ Ö g � tj. º 55 Ó � ÛæÑ � û(f) Kładziemy f8Ó�Õ×Û�Ñ 7 Õ 7

. Wtedy f nie jest rózniczkowalnaw punkcie Õ<Ñ � , bo nie istniejegranica Ä KNo4 Å ß

7 � á � 7 ÿ 7 � 7� Ñ Ä KXo4 Å ß7 � 7� û

Jednym z wazniejszychzadan analizyjestposzukiwanienajmniejszeji najwiekszejwartoscifunkcji w zbiorze. Musimy uscislic takie zadanie,okaze sie przy tym, ze jest ono szerszeniz mogłobynam sie to poczatkowo wydawac. Okreslenieponizszejest niecona wyrost, bochwilowo zajmujemysie funkcjamitylko jednejzmiennej.

Definicja 18.Załózmy, ze f 8�U g Þ/ß , i

UjestpodzbioremÞ/ß 5 .

(a) Powiemy, ze funkcja f ma w punkcie Õ ß Ü Umaksimumlokalne, jesli istnieje takie�/� � , zejesli Õ�Ü U

spełnia¹!ÓúÕ�ØRÕ ß Û�Â�� , to f�ÓúÕ ß Û É f8Ó�Õ×Û .(b) Powiemy, zefunkcja f maw punkcieÕ ß Ü U

scisłemaksimumlokalne, jesli istniejetakie�/� � , zejesli Õ�Ü Uspełnia� Â`¹!ÓúÕ�ØRÕ ß Û�Â�� , to f�ÓúÕ ß Û��`f�ÓúÕ Û .

(c) Powiemy, zefunkcja f maw punkcie Õ ß Ü Umaksimumglobalne, jesli dla wszystkichÕ Ü U

, mamy f8Ó�Õ ß Û É f�ÓúÕ Û .(d) Powiemy, zefunkcja f maw punkcieÕ ß Ü U

scisłemaksimumglobalne, jesli dlakazdegoÕ Ü Uróznegood Õ ß jestprawda, ze f�Ó�Õ ß Û��`f8Ó�Õ×Û .

(e)Powiemy, zefunkcja f maw punkcieÕ ß Ü Uminimumlokalne(odpowiednio,scisłemin-

imumlokalne,minimumglobalne,scisłeminimumglobalne) jesli funkcja ÿ f8Ó�Õ×Û maw punkcieÕ ß maksimumlokalne(odpowiednio,scisłemaksimumlokalne,maksimumglobalne,scisłemak-simumglobalne).

(f) Powiemy, zew punkcieÕ ß funkcja f maekstremumjesli maw nim maksimumlub mini-mumlokalne.

Wprawdziepodanadefinicjajestogólna,alenaraziebadamyfunkcjejednejzmiennej.Wtedywarunekkonieczny istnieniaekstremumw punkcie Õ ß dla funkcji rózniczkowalnej jestpodanynizej.

Twierdzenie32. Niech f 8 Ó �ÚØ"� Û g Þ/ß bedziefunkcja rózniczkowalnaw Õ ß Ü¤Ó2�)Ø!� Û , w którymprzyjmujemaksimum(odpowiednio,minimum)lokalne.Wtedy f 5 ÓúÕ ß ÛæÑ � .

Dowód. Rozpatrzymynajpierwprzypadekmaksimumlokalnego. Załózmy, ze� � � , wtedyf�Ó�Õ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� É � a stad

Ä KXo4 Å ß © f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�ÓúÕ ß Û� É � ûDla

� Â � mamy Ä KNo4 Å ß � f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� ´ � û


Poniewaz funkcja f jest rózniczkowalna w Õ ß , to powyzszegranicejednostronnesa równepochodnej.Skorotak, to mamy� ´ Ä KNo4 Å ß © f�ÓúÕ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� Ñ Ä KNo4 Å ß f�Ó�Õ ß á � Û ÿ f8Ó�Õ ß Û� Ñ Ä KNo4 Å ß � f8Ó�Õ ß á � Û ÿ f�Ó�Õ ß Û� ´ � ûTym samym� ´ f 5 Ó�Õ ß Û ´ � , czyli f 5 ÓúÕ ß Û�Ñ � .

Aby uzyskac naszwynik dla minimumstosujemyczesc udowodnionado ÿ f . ·¸3.4.1 Twierdzeniao wartosci sredniej

Z powyzszego prostego twierdzeniawypływa wiele ciekawych wniosków. Pierwszymiz seriibeda twierdzeniao wartosci sredniej.

Twierdzenie 33. (uogólnioneo wartosci sredniej). Załózmy, ze funkcje f×ØLº 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß saciagłew

P �ÚØ"� R i rózniczkowalnew Ó �ÚØ"��Û . Wtedyistnieje x"Ü¤Ó �ÚØ"��Û , takiezeÓ f8Ó ��Û ÿ f�Ó �!Û$Ûüº<5JÓ x�ÛæÑ¦Ó ºaÓ ��Û ÿ ºaÓ �!Û$ÛJf�5JÓ2x ÛRûDowód. Tworzymyfunkcjepomocnicza

� 8 P �)Ø"� R g Þ/ß ,� Ó � Û�ÑLÓ2f�Ó ��Û ÿ f�Ó2� Û�ÛðºaÓ � Û ÿ ÓÆºaÓ2� Û ÿ ºaÓ2� Û�Û�f�Ó � Ûfunkcja

�jestciagław

P �)Ø"� R i rózniczkowalnaw Ó2�)Ø"��Û . Co wiecej,łatwo sprawdzic, ze� Ó2� Û"Ñ� Ó ��Û . Wynika stad, ze istniejepunkt x�Ü�Ó2�)Ø"��Û , w kórym funkcja

� Ó � Û mamaksimumlub mini-mum.Zatemz twierdzenia32

� 5 Ó x�Û�Ñ � , tj.� ÑãÓ f�Ó2� Û ÿ f8Ó �!Û$Ûüº 5 Ó2x Û ÿ Ó ºaÓ ��Û ÿ ºaÓ �!Û$Û�f 5 Ó2x ÛRØczyli dostalismyzadany wynik. ·¸

Szczególnym przypadkiemjesttwierdzenieLagrange’ao wartosci sredniej.

Twierdzenie34.Załózmy, ze f 8 P �)Ø!� R g Þ/ß jestciagław

P �)Ø"� R i rózniczkowalnaw Ó �ÚØ"� Û . Wtedyistniejetakie xrÜ-Ó �ÚØ"��Û , ze f�Ó2� Û ÿ f�Ó �!Û� ÿ � Ñ�f�5ªÓ x�ÛDowód. W poprzednimtwierdzeniuwystarczyprzyjac ºaÓúÕ ÛæÑ*Õ . ·¸

Przedstawimy terazkilka zasadniczychzastosowan twierdzenowartoscisredniej.Zaczniemyodbadaniaprzebiegu funkcji.

Twierdzenie35. Załózmy, zefunkcja f 8 Ó2�)Ø"��Û g Þ/ß jestrózniczkowalnaw Ó2�)Ø!� Û . Wtedy(a) f jestrosnacaw Ó2�)Ø"��ÛBA dla kazdego ÕóÜ¤Ó �ÚØ"��ÛOØ mamy f8Ó�Õ×Û É � ;(b) f jestmalejacaw Ó �ÚØ"��ÛCA dlakazdego Õ Ü-Ó �ÚØ"� ÛRØ mamy f�ÓúÕ×Û ´ � à(c) f jeststaław Ó2�)Ø"��ÛDA dla kazdego Õ Ü¤Ó2�)Ø"��Û mamy f 5 ÓúÕ×Û�Ñ � .


Dowód. (a) Ç Skorodla Õ×Ö/Â Õ)Ù mamy, ze f�ÓúÕ ÖOÛ ´ f�ÓúÕÚÙ Û , to dla ÕÚÙ�Ñ Õ Ö á �otrzymamy,

dzieki rózniczkowalnosci f w Õ×Ö , ze� ´ Ä KNo4 Å ß © f�ÓúÕ×Ö á � Û ÿ f8Ó�ÕÚÙ Û� Ñ Ä KNo4 Å ß f�Ó�Õ×Ö á � Û ÿ f�ÓúÕÚÙ Û� Ñ�f 5 Ó�Õ×Ö$ÛRûÊ Niech Õ×Ö�Â�ÕÚÙ , wtedynamocy twierdzeniao wartosci sredniejdostaniemy, zef�ÓúÕÚÙ Û ÿ f�ÓúÕ×ÖOÛ�ÑãÓ�ÕÚÙ ÿ Õ×Ö$Û�f 5 Ó x�ÛOØdlapewnego x"Ü¤Ó�Õ×Ö�ØOÕÚÙOÛ . Zatemskoro f 5 Ó�Õ×Û É � , dla Õ Ü¤Ó �ÚØ"��Û , tof8Ó�Õ Ù Û ÿ f�ÓúÕ Ö Û É � û(b) Ta czesc wynikaz punktu(a) zastosowanego do ÿ f .

(c) Ê skoro f�Ó�ÕÚÙ Û ÿ f�Ó�Õ×ÖOÛæÑ�f 5 Ó x�ÛOÓúÕ)Ù ÿ Õ×Ö�Û , to f 5 Ó x�Û�Ñ � pociagaf�Ó�ÕÚÙ Û ÿ f8Ó�Õ×Ö$ÛæÑ � .Ç było trescia przykładu7(a). ·¸Innym wazkim i czestonaduzywanym wnioskiemjestnarzedziedoobliczaniagranic.

Twierdzenie36.(Reguładel’Hospitala)Niech f i º bedafunkcjamiciagłymiw przedzialeÓ �ÚØ"� Û(nie wykluczamymozliwosci, ze ��Ñ Õ Ø1� Ñ ÿ Õ ) i rózniczkowalnymi w Ó2�)Ø!� Û . JesliÄ KNoí Å # f 5 ÓúÕ×Ûº 5 ÓúÕ Û Ñ��i Ä KXoí Å # f8Ó�Õ×ÛæÑ � Ñ Ä KNoí Å # ºaÓúÕ ÛRØ Ó 0¼Ûto Ä KXoí Å # f8Ó�Õ×ÛºaÓúÕ×Û Ñ�� ûOtrzymamyte sama teze, jesli zamiast(6) przyjmiemyÄ KNoí Å # f�Ó�Õ×ÛæÑ Õ Ñ Ä KXoí Å # ºaÓúÕ×ÛOûDowód. Rozpatrzymywyłacznieprzypadek(6), gdy ��Ü�Þ/ß i �LÜ�Þ/ß . Skoro f 5 ÓúÕ Û à º 5 ÓúÕ×Û g � ,to dla dowolnego ñb�`� istnieje E , takieze ��ÂFE�Â`ñ . Z definicji granicy istniejetakie Ö$xö�`� ,ze f 5 Ó � Û à º 5 Ó � ÛsÂ�E dla �|Â � Â`x�Ö . Zatemz twierdzenia33dostaniemy, dladowolnych ÕDØ"y Ü�Þ/ß ,takichze �|Â�ÕDØ1y|Â`x�Ö f�Ó�Õ×Û ÿ f8Ó y!ÛºaÓ�Õ×Û ÿ ºaÓ2y Û Ñ f 5 Ó � Ûº 5 Ó � Û Â�E ÓL@�ÛSkoro

Ä KNo í Å # f�Ó�Õ×Û?Ñ � Ñ Ä KNo í Å Ú ºaÓúÕ×Û , to mozemyw (7) przejsc do granicy z y . Dostaniemywtedy, f�ÓúÕ×ÛºaÓúÕ Û Ñ Ä KXoG Å # f�Ó�Õ×Û ÿ f8Ó y!ÛºaÓ�Õ×Û ÿ ºaÓ2y Û ´ E ÂÃñ dla Õ Ü¤Ó2� ÖRØ"x ÖOÛ


podobny argumentdoprowadzinasdo wniosku,zedladowolnego ì�Â`� dostaniemy, zeìlÂ f�ÓúÕ×ÛºaÓúÕ Û Â[ñ gdy ÕóÜ¤Ó �ÚØ"x�Ù ÛOØdlapewnego x�Ù��`� ; tj.

Ä KNo í Å # � Ð í Ñ Ð í Ñ Ñ�� . ·¸Ostrzezenie:reguły del’Hospitalanienalezy naduzywac, np. abyobliczycÄ KXoí Å ß

H�KNM ÕÕwystarczyzauwazyc, ze mamydo czynieniaz definicja pochodnejfunkcji

HLKXM Õ w Õ¦Ñ � , tj.Ä KXo í Å ßIHKJML íí Ñ EGFIH � ÑLâ .Zajmiemysie terazrózniczkowaniemfunkcji odwrotnej.

Twierdzenie 37. Załózmy, ze funkcja f 8 Ó2�)Ø"��Û g Þ/ß jest róznowartosciowa i na zbiór ç�Ñf�Ó2�)Ø!� ÛRû Załózmy, ze f jest rózniczkowalnaw punkcie Õ ß ÜòÓ �ÚØ"��Û zas funkcja odwrotnado fjestciagław punkcie y ß Ñ³f8Ó�Õ ß Û . Wtedyfunkcjaodwrotnaf ñ Ö jest rózniczkowalnaw punkcief�ÓúÕ ß Û : ¹¹Iy f ñ Ö Ó f�Ó2y ß Û�Û�Ñ â?? í f�Ó2f ñ Ö Ó y ß Û$ÛDowód. Korzystamyz definicji pochodnejÄ KNo4 Å ß f ñ Ö Ó2y ß á � Û ÿ f ñ Ö Ó y ß Û� Øale y ß Ñ�f�ÓúÕ ß Û i mozemynapisac

� Ñ�f8Ó�Õ ß á : Û ÿ f�Ó�Õ ß Û . Skoro f ñ Ö jestciagła,to zezbieznosci�dozerawynika, ze : dazy dozera.MamyterazÄ KNo4 Å ß f ñ Ö Ó2y ß á � Û ÿ f ñ Ö Ó2y ß Û� Ñ Ä KXo; Å ß f ñ Ö Ó f8Ó�Õ ß á : Û�Û ÿ f ñ Ö Ó f8Ó�Õ ß Û$Ûf�Ó�Õ ß á :óÛ ÿ f�Ó�Õ ß ÛÑ Ä KXo; Å ß Õ ß á : ÿ Õ ßf8Ó�Õ ß á : Û ÿ f8Ó�Õ ß Û Ñ âf 5 Ó�Õ ß Û Ñ âf 5 Ó f ñ Ö Ó y ß Û$Û û ·¸

Ponizejprzekonamysie, jak bardzoto twierdzenieupraszczanamrachunki.

Przykład 8. Niech f 8 Ó � Ø Õ Û g Ó � Ø Õ ÛOØ bedziedanawzorem f�ÓúÕ ÛæÑ�Õ 5 ØQB É â,ØQB�Ü�Þ£Ø , wtedyf ñ Ö Ó2y Û�Ñ�y î¨ . Poprzednietwierdzeniedajenam,¹¹Iy f ñ Ö Ó2y Û�Ñ â?? í f8Ó f ñ Ö Ó2y Û�Û Ñ âB8Ó f ñ Ö Ó2y Û�Û 5 ñ Ö Ñ âB y î¨ ñ Ö û

3.5. TWIERDZENIETAYLORA I POCHODNEWYZSZYCHRZEDÓW 97

3.5 TwierdzenieTaylora i pochodnewyzszychrzedów

Przypuscmy, ze funkcja f okreslonana Ó �ÚØ"��Û o wartosciachrzeczywistychjest rózniczkowalnaw Ó2�)Ø"��Û . Mozemyzastanowic sie czy funkcja pochodnaf 5 jest rózniczkowalnaw Ó �ÚØ"��Û . Jeslitak, to pochodnapochodnejÓ f 5 Û 5 nazywasie druga pochodna i piszemyÓ2f 5 Û 5 S f 5M5Mozemywiecindukcyjnie okreslic pochodna rzedu Ó B á â#Û -szego jakopochodna B -tej pochod-nej. Piszemywiec f Ð 5�§ Ö Ñ Ó�Õ×Û�ÑLÓ2f Ð 5 Ñ Û 5 ÓúÕ Ûtj. umiemyokreslic pochodna trzecia f 5M5M5 , czwarta f Ð =ON Ñ itp. Inny, równowazny zapistof Ð 5 Ñ Ó�Õ×Û S ¹ 5 f¹¼Õ 5 ÓúÕ×Û.

3.5.1 Inter pretacjefizycznewyzszychpochodnych

Przekonajmysie, zewyzszepochodne,np. drugiego rzedumogamiec przejrzysteinterpretacje.Wiadomo,zesiła równasiepochodnejpedupoczasie^¦Ñ ¹�ì¹ � ûJesli załozymy, ze interesujenaspunkt materialny, którego masanie zmieniasie w czasie,todostaniemy ¹�ì¹ � Ñ ¹¹ � Ó â�!Û�Ñ�â ¹I¹ �a skoro �Ñ ?9P?'Q , gdzie t oznaczadroge,to ^¦Ñ�â ¹ t Ù¹ � Ù û3.5.2 Inter pretacjegeometryczne

Powiemy, ze funkcja f 8 Ó �ÚØ"� Û g Þ/ß jestwypukła(odpowiednio,wklesła), jesli dla dowolnychÕDØ"yõÜ�Ó �ÚØ"� Û i � Ü P � Ø�â R jestprawda, zef�Ó � Õ á Ó$â ÿ � Û�y!Û É � f8Ó�Õ×Û á Ó$â ÿ � Û�f�Ó2y Û (odpowiednio, f�Ó � Õ á Ó$â ÿ � ÛJy Û ´ � f�ÓúÕ Û á Ó�â ÿ � ÛJf�Ó y!Û$ÛRØtj. cieciwalezy nad(odpowiednio,pod)wykresem.

Geometrycznawłasciwosc, jaka jestwypukłosc moznascharakteryzowac rózniczkowo.

Twierdzenie 38. Niech funkcja f 8 Ó �ÚØ"��Û g Þ/ß bedziedwukrotnierózniczkowalnaw Ó2�)Ø!� Û .Wtedy f jestwypukław Ó �ÚØ"��Û (odpowiednio,wklesła)wtedyi tylko wtedy, gdy f 5M5 Ó�Õ×Û É � dlawszystkichÕ Ü¤Ó2�)Ø"��Û (odpowiednio, f 5M5 ÓúÕ Û ´ � dlawszystkichÕ Ü¤Ó2�)Ø"��Û ). ·¸

Powyzszyfaktpozostawiamybezdowodu.Jestonuzyteczny przybadaniuprzebiegufunkcji.


3.5.3 TwierdzenieTaylora

Przedstawimy tytułowetwierdzenieapotemniektórejegozastosowania.Załózmy, ze f 8 Ó �ÚØ"��Û gÞ/ß jest B -krotnierózniczkowalnaw Ó �ÚØ"��Û i yÚØOÕ Ü¤Ó �ÚØ"��Û . KładziemyR 5 Ó2y ÛæÑ 5<� > ß f Ð �$Ñ ÓúÕ Û Ó y ÿ Õ×Û ��óë ûUwaga. Piszemyf Ð ß Ñ ÓúÕ×Û zamiastf8Ó�Õ×Û .Twierdzenie39. (Taylora)Załózmy, ze f 8 Ó �ÚØ"� Û g Þ/ß jest Ó2B á â�Û - krotnierózniczkowalnawÓ �ÚØ"��Û . Wtedydla dowolnych Õ i y z przedziałuÓ �ÚØ"��Û istnieje x pomiedzy Õ i y takie,zef�Ó2y ÛæÑ R 5 Ó2y Û á f Ð 5�§ Ö2Ñ Ó x�ÛÓ2B á â�Û!ë Ó2y ÿ Õ×Û 5�§ ÖUwaga. Jesli B Ñ � , to jestto znanetwierdzenieo wartosci sredniej.

Dowód. Dla zadanych Õ i y dobieramyliczbe Ò taka, zef8Ó y!ÛæÑ R 5 Ó y!Û á ÒLÓ y ÿ Õ×Û 5�§ Ö ûKładziemy ºaÓ � ÛæÑ�f�Ó � Û ÿ R 5 Ó � Û ÿ ÒLÓ � ÿ Õ×Û Ð 5�§ Ö2Ñ ûTrzebawykazac, ze Ò Ñ �TS ¨$© îVUÐ 5�§ Ö2ÑÆé Ó x�Û dlapewnego x . Poniewaz º Ð 5�§ Ö2Ñ Ó � Û�Ñ�f Ð 5�§ Ö2Ñ Ó � Û ÿ Ó B á â�Û!ë Òto znaczy, ze x maspełniac, º Ð 5�§ Ö2Ñ Ó x�Û Ñ � . Wiemy, ze

R Ð �$Ñ5 ÓúÕ Û�Ñ�f Ð �$Ñ ÓúÕ Û dla �cÑ � Ø�â�Ø�û�û�û�Ø!B ,zatem ºaÓ�Õ×ÛæÑ�º<5 ÓúÕ×Û�ÑÃº<5M5 ÓúÕ Û�ÑLû�û�ûiÑÃº Ð 5 Ñ ÓúÕ ÛæÑ � ûPoniewaz � ÑdºaÓúÕ×Û�ÑÃºaÓ y!Û , to z twierdzenia34wynika istnienie Õ×Ö pomiedzy Õ i y takiego, zeºaÓ y!Û ÿ ºaÓ�Õ×Û�Ñ�º 5 ÓúÕ×Ö$ÛOÓ2y ÿ Õ×Û tj. º 5 Ó�Õ×Ö$ÛæÑ �Terazº 5 Ó�Õ×ÛæÑ � Ñ`º 5 ÓúÕ Ö�Û zatemstosujacponownie twierdzenie33znajdujemyÕÚÙ pomiedzy Õ iÕ×Ö , takieze º 5 Ó�Õ×Ö�Û ÿ º 5 Ó�Õ×Û�Ñ�º 5M5 Ó�ÕÚÙ ÛRÓ�Õ×Ö ÿ Õ×Û tj. º 5 ÓúÕÚÙ Û�Ñ �Postepujacw tensposób,po B krokachznajdziemyÕ 5 , takiezeº Ð 5 Ñ Ó�Õ 5 ÛæÑ � ûA skoro º Ð 5 Ñ ÓúÕ ÛæÑ � , to º Ð 5 Ñ ÓúÕ 5 Û ÿ º Ð 5 Ñ Ó�Õ×Û�Ñ�º Ð 5�§ Ö Ñ Ó x�ÛOÓúÕ 5 ÿ Õ×Û

3.5. TWIERDZENIETAYLORA I POCHODNEWYZSZYCHRZEDÓW 99

dlapewnego x pomiedzy Õ i Õ 5 , tj. º Ð 5�§ Ö2Ñ Ó2x ÛæÑ �conalezałowykazac. ·¸

Jednakw zastosowaniachbywa tak, ze brakujenamwiedzy o wyzszejrózniczkowalnosci.Tym niemniejprawdziwejestodpowiednietwierdzenieTaylora,którewykorzystamydobadaniaekstremówlokalnych. Majac na uwadzeto zastosowanie sformułujemynaszwynik tylko wszczególnejpostaci.

Stwierdzenie 40. Załózmy, ze f 8 Ó2�)Ø!� Û g Þ/ß jest dwukrotnie rózniczkowalnaw Ó2�)Ø"��Û if 5 Ó�Õ ß ÛæÑ�f 5M5 Ó�Õ ß ÛæÑ � . Wtedy, Ä KNoí Å í è f8Ó�Õ×Û ÿ f�ÓúÕ ß ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù Ñ � ûDowód. Dwukrotnezastosowaniereguły del’Hospitala(twierdzenie35) dajenamÄ KXoí Å í è f�Ó�Õ×Û ÿ f8Ó�Õ ß ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù Ñ Ä KXoí Å í è f 5 Ó�Õ×Û�iÓúÕ ÿ Õ ß Û Ñ�f�5M5JÓ�Õ ß ÛæÑ � û ·¸Wypływastadprostywiosek

Wniosek 41. (Taylora)Załózmy, ze f 8 Ó2�)Ø"��Û g Þ/ß jest dwukrotnierózniczkowalnaw Ó2�)Ø!� Û .Wtedy, f�ÓúÕ×Û ÿ f�Ó�Õ ß Û�Ñ�f�5JÓúÕ ß ÛOÓúÕ ÿ Õ ß Û á â� f�5M5 Ó�Õ ß ÛOÓúÕ ÿ Õ ß Û Ù á E¼Ó�Õ×ÛOØgdzie Ä KXoí Å í è E¼Ó�Õ×ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù Ñ � ûDowód. Wprowadzamyfunkcjepomocnicza º , dana wzorem:

ºaÓ�Õ×ÛæÑ`f8Ó�Õ×Û ÿ f�ÓúÕ ß Û ÿ f 5 ÓúÕ ß ÛOÓúÕ ÿ Õ ß Û ÿ â� f 5M5 ÓúÕ ß ÛOÓúÕ ÿ Õ ß Û Ù ûWtedy º spełniazałozeniapoprzedniegostwierdzenia,boº 5 Ó�Õ ß ÛæÑ[f 5 ÓúÕ ß Û ÿ f 5 Ó�Õ ß Û�Ñ � Ø º 5M5 Ó�Õ ß ÛæÑ â� f 5M5 ÓúÕ ß Û ÿ â� f 5M5 Ó�Õ ß Û�Ñ � ûZatem Ä KXoí Å í è ºaÓúÕ×Û ÿ ºaÓ�Õ ß ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù Ñ � Øa to oznaczaprawdziwosc naszejtezy. ·¸


3.5.4 Zastosowania do obliczen przybli zonych

Chcemyobliczyc wartosc

H�KNM � Ø â z dokładnoscia0,001.Definicjapochodnejpodsuwanam,zeHLKNM � Ø â?Ñ � Ø â á bładû

Chcemyustalic jaki jestów „bł ad”. Do tegoceluposłuzy namtwierdzenie39. Jesli przyjmiemy,ze Ó HLKNM Õ×Û 5 Ñ EGFIH Õ i Ó EGFWH Õ×Û 5 Ñ ÿ HLKNM Õ to dostaniemy, zeHLKXM Õ�Ñ*Õ á

HLKXM x a Õ m��ëgdzie Õ�Ñ � Ø�â i x?Ü¤Ó � Ø � Ø â#Û , bo¹¹¼Õ HLKXM Õ 7

í > ß Ñ EGFWH � ÑLâ�Ø ¹ Ù¹¼Õ Ù HLKNM Õ 7í > ß Ñ ÿ HLKXM � Ñ � û

Skoro

7�HLKXM x 7{´ â , to HKJML = Ð ß � Ö2ÑVWm é´ ß � ß�ß Öù , wiec

HLKXM Õ�Ñ*Õ z dokładnoscia lepsza niz 0,001.

3.5.5 Rózniczkowa charakteryzacja ekstremówlokalnych

W praktyceczestointeresujenasznalezieniewartoscinajwiekszeji najmniejszejfunkcji róznicz-kowalnej f 8 P �)Ø"� R g Þ/ß . Czestowystarczyznalezc miejscazerowe pochodnej,np. jestto zbiórÒ�Õ×ÖOØ�û�û�û�ØOÕ²Ù ä . Wtedyzagadnienieznalezieniamaksimumupraszczasie,bonamocy twierdzenia32

oÎËAÌí�� #�� Ú�� f�Ó�Õ×ÛæÑ o�ËQÌ

í��TX�í�î � �/�/� � íZY � #�� Ú\[ f�ÓúÕ ÛRûDodalismy konceprzedziałów, bo twierdzenie32 nie jest w nich spełnionea funkcja moze wnich osiagac maksimum,badz minimum, (patrzrys. 3). Jednaksamawiedza,ze f 5 Ó�Õ ß Û Ñ �nie wystarczado rozstrzygnieciaczy jest to ekstremumi jaki jest jego charakter. Do tego celuposłuzymysie drugawersja twierdzeniaTaylora.

Twierdzenie 42. Niech funkcja. f 8 Ó2�)Ø!� Û g Þ/ß bedziedwukrotnierózniczkowalnaw Ó2�)Ø"��Û iÕ ß Ü¤Ó �ÚØ"��Û .(a)(warunekkonieczny ekstremum)Jesli f mamaksimum(odpowiednio:minimum)lokalne

w punkcie Õ ß , to f 5 Ó�Õ ß Û�Ñ � i f 5M5 Ó�Õ ß Û ´ � (odpowiednio: f 5M5 ÓúÕ ß Û É � ).(b) (warunekdostateczny ekstremum)Jesli f 5 ÓúÕ ß ÛæÑ � i f 5M5 Ó�Õ ß Û6Â � (odpowiednio: f 5M5 Ó�Õ ß Û�� ), to f maw punkcieÕ ß maksimum(odpowiednio:minimum)lokalne.

Dowód. (a) Rozpatrzymywyłacznieprzypadekmaksimum,bo przypadekminimum uzysku-jemyzamiana f na ÿ f .

Wykazemy, ze f 5M5 Ó�Õ ß Û ´ � . Z wniosku41 i istnieniamaksimumw Õ ß mamy� É f�ÓúÕ×Û ÿ f�Ó�Õ ß Û�Ñ�f 5 ÓúÕ ß ÛRÓ�Õ ÿ Õ ß Û á â� f 5M5 ÓúÕ ß ÛOÓúÕ ÿ Õ ß Û Ù á E�ÓúÕ×ÛOû

3.6. CAŁKA RIEMANNA 101

Popodzieleniuprzez Ó�Õ ÿ Õ ß Û Ù dostaniemy:� É f�ÓúÕ×Û ÿ f�Ó�Õ ß ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù Ñ â� f�5M5ªÓ�Õ ß Û á E¼ÓúÕ ÛÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù ûZ twierdzenia39ostatniwyrazdazy dozera,gdy Õ g Õ ß , zatem� É f 5M5 ÓúÕ ß Û .

(b) Ponowniez twierdzenia39dostaniemy:f�ÓúÕ×Û ÿ f�Ó�Õ ß ÛæÑ � á â� f 5M5 Ó�Õ ß ÛRÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù á E¼Ó�Õ×ÛæÑLÓ�Õ ÿ Õ ß Û Ù « â� f 5M5 ÓúÕ ß Û á E¼Ó�Õ×Û à Ó�Õ ÿ Õ ß Û Ù ¬ Øaskoro E¼Ó�Õ×Û à Ó�Õ ÿ Õ ß Û Ù dazy dozera,gdy Õ g Õ ß , to dladostateczniemałych

7 Õ ÿ Õ ß 7 dostaniemy,ze

7 E�ÓúÕ×Û à ÓúÕ ÿ Õ ß Û Ù 7 Â 7 f 5M5 Ó�Õ ß Û 7 à ù , tj.f�ÓúÕ Û ÿ f8Ó�Õ ß Û ´ Ó�Õ ÿ Õ ß Û Ùù Ó2��f 5M5 Ó�Õ ß Û á 7 f 5M5 Ó�Õ ß Û 7 Û�Â � ûZatemw punkcieÕ ß funkcja f mamaksimum. ·¸Uwaga. Nie moznapoprawic załozen, amianowicie:

a) f8Ó�Õ×ÛæÑLâ ÿ Õ ÷ mamaksimumw punkcieÕ Ñ � , ale f 5M5 Ó � ÛæÑ � ;b) ºaÓúÕ ÛæÑ*Õ m , to º 5M5 Ó � ÛÝÑ � , ale º niemaekstremumw punkcieÕ Ñ � .

3.6 Całka Riemanna

Chcemynauczyc sie obliczac polepowierzchnizłozonych figur płaskich.Punktemwyjsciajestumiejetnosc obliczeniapolaprostokata.Wiemy juz tez, zepolerównoległoboku

ü Ó2�)Ø!� Û wyrazasie wzorem

pole Ó ü Ó2�)Ø"��Û$Û�Ñ 7 �� Ó �ÚØ"��Û 7 ûRówniedobrzemoglibysmy przyjac powyzsza równosc jako definicje i przekonac sie, ze jesliwektory � i � sa prostopadłe,tj.

ü Ó2�)Ø"��Û jestprostokatem,to

pole Ó ü Ó �ÚØ"��Û$Û�Ñ 7 � 7 a 7 � 7 û

a

f(x)

b

E

Rys.4. Podwykresç .


Zajmiemy sie znalezieniempola podwykresu. Jesli danajest funkcja f 8 P �)Ø!� R g Þ/ß , tokładziemy çLÑ¦ÒÔÓ�ÕDØ"y!Û�Ü�Þ/ß Ù à y ´ f�ÓúÕ×ÛOØOÕ Ü P �ÚØ"� R ä i zbiór ç nazywamypodwykresemf .

Bedziemyprzyblizali polezbioru ç . Moznarobic to na 3 sposoby, które od razuzilustru-jemy:

(a) nie doceniajacgo (choc to okresleniemazastosowanietylko, gdy f É � ); przyblizamyzbiór ç prostokatami,którecałkowicie mieszcza siepod wykresemfunkcji f ;

] ] ] ]] ] ] ]] ] ] ]^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^ _ _ _ __ _ _ _` ` ` `` ` ` `a a a a aa a a a aa a a a aa a a a ab b b b bb b b b bb b b b bb b b b ba

f(x)

b

E

Rys.5 a. Sposób(a).

(b) przeceniajacje (zzastrzezeniemj.w.); przyblizamyzbiór ç prostokatami,którecałkowiciemieszcza w sobiezbiór ç ;

c c c c cc c c c cc c c c cc c c c cc c c c cd d d d dd d d d dd d d d dd d d d dd d d d d

e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ef f f ff f f ff f f ff f f ff f f f

g g g g gg g g g gg g g g gg g g g gg g g g gg g g g gg g g g gg g g g gg g g g gh h h h hh h h h hh h h h hh h h h hh h h h hh h h h hh h h h hh h h h hh h h h h

a

f(x)

b

E

Rys.5 b. Sposób(b).

(c) niechlujnie;jestto wariantposredni,bezplanowy.

i i i ii i i ii i i ii i i ij j j jj j j jj j j jj j j jk k k k kk k k k kk k k k kk k k k kk k k k kl l l l ll l l l ll l l l ll l l l ll l l l l

m m m m mm m m m mm m m m mm m m m mm m m m mm m m m mm m m m mn n n n nn n n n nn n n n nn n n n nn n n n nn n n n nn n n n n

a

f(x)

b

E

Rys.5 c. Sposób(c).

Spodziewamy sie, ze zmniejszajac podstawy prostokatów uzyskamycorazto lepszeprzy-blizenia,zasdla‘dobrych’ funkcji wynik niepowinienzalezec odsposobu przyblizania,tj. trzebaustalic czymsa owe ‘dobre’ funkcje.


Aby opisac staranniepowyzszesposobyprzyblizaniazbioru ç potrzebnesanamdefinicje.

Definicja 19. Niechbedziedany przedziałdomkniety

P �ÚØ"� R . PodziałemR

przedziału

P �ÚØ"� R nazy-wamyskonczony zbiór punktówtegoprzedziału��Ñ*Õ ß ´ Õ×Ö ´ ÕÚÙDû�û�û ´ Õ 5 Ñ��#ûPiszemytez o Õ = Ñ*Õ = ÿ Õ = ñ Ö , ��ÑLâ�Ø�û�û�û�Ø"B . Srednica podziałunazywamyliczbe�iÓ R Û 8 Ñ o�ËAÌ=e> Ö � �/�/� � 5 oõÕ = ûKładziemy Ò = Ñ H�å²æ

í�� íZp � î � íZp � f�ÓúÕ ÛRØ â = Ñ KNM �í�� íZp � î � íZp � f�ÓúÕ Ûi å Ó R Ø"f�Û 8 Ñ 5<5 > Ö â = o Õ = Ø q Ó R Ø"f�Û 8 Ñ 5< =e>{= Ò = oõÕ = û

Zauwazmy, zeå Ó R Ø"fDÛ odpowiadasposobowi (a), zas q Ó R Ø"f�Û odpowiadasposobowi (b).

Sposobem(c) zajmiemysiepózniej.Jestrzecza oczywista,wynikajacabezposrednioz definicji, zeå Ó R Ø"f�Û ´ q Ó R Ø!f�ÛOûSzukajac najlepszego oszacowaniaz dołu odpowiadajacego sposobowi (a) i najlepszego o-

szacowaniaz góry odpowiadajacegosposobowi (b), wprowadzamykolejnedefinicje.

Definicja 20. r Ú# f Ñ KXM �s q Ó R Ø"f�ÛRØ r Ú# f�Ñ H�å²æs å Ó R Ø"f�Û

gdziekresybranesa powszystkichmozliwych podziałachR

przedziału

P �)Ø!� R . Liczbe t Ú# f nazy-

wamydolna całka Riemanna, zas t Ú# f , to górnacałkaRiemanna.Podstawowepytanieterazbrzmi,

czy

r Ú# f Ñ r Ú# f ? Ó R ÛAby je zbadac rozpatrzmyprzykład.

Przykład 9. Załózmy, ze funkcja º 8 P � Ø�â R g Þ/ß danajestwzoremºaÓúÕ Û Ñ�� <u � ß � Ö � û Wtedydladowolnegopodziału

Rodcinka

P � Ø�â R mamy, zeå Ó R ØLºÚÛÝÑ � zas q Ó R ØLºÚÛ�ÑLâ,ûSkorotak łatwo jestpodac przykładfunkcji takiej, zer Ú# ºÎÂ r Ú# ºaØto naszepytanie(P)nabieraostrosci:


Kiedy dolna całka Riemannarówna sie górnej całceRiemanna?

Udzielimy dwuodpowiedzinato pytanie:(i) łatwej,aleniepełnej;(ii) trudnej,zato pełnej.

Zaczniemyod(i) wprowadzajacdefinicje.

Definicja 21. Niech f 8 P �)Ø"� R g Þ/ß , powiemy, ze funkcja f spełniawarunekLipschitza zestała v , jesli

7 f8Ó�Õ×Û ÿ f�Ó2y Û 7I´ v 7 Õ ÿ y 7 Ø dla wszystkichÕDØ"y Ü P �ÚØ"� R ûOkazujesie, zemamy:

Stwierdzenie43. Załózmy, ze f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß spełniawarunekLipschitzazestała v . Wtedy fjestciagław

P �ÚØ"� R ûDowód. Niech Õ9Ü P �)Ø!� R i ½l� � bedziedowolne,trzebadobrac �l� � z definicji ciagłosci wpunkcie.Przyjmijmy � Ñ ¿w . Mamy wtedyz załozenia,ze

7 f�ÓúÕ Û ÿ f�Ó2y Û 7�´ v 7 Õ ÿ y 7 Â1v a � Ñ v�½v Ñ`½ÔØdla y�Ü P �ÚØ"� R spełniajacych

7 Õ ÿ y 7 Â�� . Co nalezałowykazac. ·¸Wprowadzimyterazwazneokreslenie.

Definicja 22. Funkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß nazywasie całkowalna w sensieRiemanna, jesli t Ú# f'Ñt Ú# f . Piszemywtedy t Ú# f8Ó�Õ×Û�¹¼Õ 8 Ñ t Ú# f S t Ú# f . Zbiór funkcji całkowalnych w sensieRiemannaokreslonychnaodcinku

P �ÚØ"� R oznaczasie symbolemx�Ó �ÚØ"��Û .Terazłatwaodpowiedz napytanie(P) jestnastepujaca.

Twierdzenie44. Jesli f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß spełniawarunekLipschitzazestała v , to f jestcałkowalnaw sensieRiemanna.Dodatkowo, jesli

R 5 jesttakim ciagiempodziałów, ze �ÔÓ R 5 Û g � , tor Ú# f�ÓúÕ×Û�¹¼Õ�Ñ Ä KNo5�Å ¼ � ¨< =e> Ö f�Ózy 5= Û9o Õ 5= Ó O¼Ûgdzie

R 5 Ñ Ò�Õ 5ß ØOÕ 5 Ö Ø�û�û�û ØOÕ 5 � ¨ ä , y 5= Ü P Õ 5= ñ Ö ØOÕ 5= R i y 5= sa wybranedowolnie.

Uwaga. W przypadkufunkcji spełniajacejwarunekLipschitzawszystkie3 sposobyprzybliza-niapolapodwykresuç sa równowazne.

Aby ułatwic wysłowieniedowodupowyzszego twierdzeniewprowadzimydefinicje.

Definicja 23. Powiemy, zepodziałR|{

przedziałujestrozdrobnieniempodziałuR

, jesliR}{$~�R

.

Dowódtwierdzenia. Niech ½(� � bedziedowolne.WybieramytakiepodziałyR Ö , R Ù , zeµµµµµ r Ú# f ÿ q Ó R Ö�Ø"f�Û µµµµµ Â ½� oraz

µµµµµ r Ú# f ÿ å Ó R Ù�Ø"fDÛ µµµµµ Â ½ � û


Zauwazmy, zejesliR

jestdowolnym wspólnym rozdrobnieniempodziałówR Ö i

R Ù , toq Ó R Ø"f�Û ´ q Ó R Ö�Ø"fDÛ orazå Ó R Ø"f�Û É å Ó R Ù�Ø"fDÛOû

PrzyjmujemyR Ñ R Ö õ R Ù , wprowadzamydodatkowy podpodział

R|{podziału,takaby �iÓ R}{ Û ´

½ à v�Ó2� ÿ � Û , gdzie v jeststała wystepujacaw warunkuLipschitza.Teraznaszeoszacowanieróznicy q Ó R}{ Ø"fDÛ ÿ å Ó R}{ Ø"f�Û przebieganastepujaco.Liczymyq Ó R { Ø!f�Û ÿ å Ó R { Ø"fDÛ�Ñ �< =e> Ö o Õ = Ó�Ò = ÿ â = ÛæÑ ô Ø

gdziedzieki ciagłosci funkcji f , Ò = Ñáf�Ó9� = ÛOØ{â = Ñ�f8Ó'� = Û dla pewnych � = Ø�� = Ü P Õ = ñ ÖRØOÕ = R . Tymsamym,

ô Ñ �< =e> Ö o Õ = Ó2f�Ó�� = Û ÿ f8Ó'� = Û$ÛOûDalej,warunekLipschitzapociagazasoba7\ôó7I´ �<=e> Ö oõÕ = v�Ó�� = ÿ � = Û ´ �< =e> Ö o Õ = v�o Õ =´ �< =e> Ö o Õ = v��ÔÓ R { ÛæÑ�v�Ó2� ÿ �!Û9�ÔÓ R { Û ´ ½ÔØ Ó v¼ÛZ definicji kresówmamytez å Ó R { Ø!f�Û ´ r Ú# f ´ r Ú# f ´ q Ó R { Ø"fDÛOû Ó$â � ÛZatemnamocy (9) r Ú# f ÿ r Ú# f ´ q Ó R { Ø"fDÛ ÿ å Ó R { Ø"f�Û ´ ½tj. r Ú# f ´ r Ú# f á ½ÔØa skoro ½�� było dowolne,to wynika stad,zer Ú# f ´ r Ú# f×ûZatembioracpoduwage (10)dostaniemy, iz całkagórnajestrównadolnej,tj. f jestcałkowalnaw sensieRiemanna.

Pozostajeterazudowodnic, ze t Ú# f�ÓúÕ×Û�¹¼Õ jest granica sum. NiechR 5 bedziedowolnym

ciagiempodziałówtakim, ze �iÓ R 5 Û g � i � 5= Ü P Õ 5= ñ Ö ØOÕ 5= R , ��Ñãâ,Ø�û�û�û�Ø"� 5 . NiechÐ 5 Ñ � ¨< =?> Ö oõÕ = f�Ó9� 5= Û


i ½³� � bedziedowolne. Wtedy istnieje ¾ takie, ze dla B É ¾�Ø mamy �iÓ R 5 Û Â ¿w Ð Ú ñ # Ñ .Pokazemy, ze

7 t Ú# f ÿ Ð 5 7{´ �A½ . Oczywiscieå Ó R 5 Ø"fDÛ ´ Ð 5 ´ q Ó R 5 Ø!f�Ûzas (9) daje,ze q Ó R 5 Ø"fDÛ ÿ Ð 5 ´ q Ó R 5 Ø"f�Û ÿ å Ó R 5 Ø"fDÛ ´ ½ÔØtj. 7 r Ú# f�ÓúÕ Û ÿ Ð 5 7 Ñ 7 r Ú# f8Ó�Õ×Û�¹¼Õ ÿ q Ó R 5 Ø"f�Û á q Ó R 5 Ø"fDÛ ÿ Ð 5 7´ 7 r Ú# f8Ó�Õ×Û�¹¼Õ ÿ q Ó R 5 Ø"f�Û 7 á q Ó R 5 Ø!f�Û ÿ Ð 5Ñ q Ó R 5 Ø"fDÛ ÿ r Ú# f á q Ó R 5 Ø"f�Û ÿ Ð 5´ q Ó R 5 Ø"fDÛ ÿ å Ó R 5 Ø"f�Û á q Ó R 5 Ø"f�Û ÿ Ð 5´ �iÓ9q Ó R 5 Ø"f�Û ÿ å Ó R 5 Ø"f�Û�Û ´ �Q½iûWynika stad,zeistotnie r Ú# f�ÓúÕ ÛJ¹¼Õ�Ñ Ä KXo5�Å ¼ Ð 5 S Ä KNo5�Å ¼ � ¨<=e> Ö o Õ = f8Ó�� 5= ÛRØconalezałowykazac. ·¸

Mozemyterazzasygnalizowac trudnaodpowiedz. Zaczniemyoddefinicji.

Definicja 24. Załózmy, ze ¾ � Þ/ß . Powiemy, zezbiór ¾ jestmiary zero, jesli dla dowolnego½�� istniejetaki ciagotwartychprzedziałów

ô = ÑLÓ � = Ø"� = Û , ��ÑLâ�Ø�û�û�û , ze¾ � ¼�=e> Öô =

i¼< =e> Ö Ó � = ÿ � = ÛsÂ�½Ôû Ó$â,â#Û

Piszemywtedy ��Ó�¾ Û�Ñ � .

Przykład 10. Zbiór liczb wymiernych ma miare zero. Wszystkieliczby wymiernemoznaustawic w ciag Ò�E = ä ¼=?> Ö . Niech ½�� bedziedowolne.Wtedykładziemy,

ô = ÑLÓ'E = ÿ ½� = § Ö ØIE = á ½� = § Ö ÛOûPierwszaczesc warunku(11) jest oczywisciespełniona.Zauwazmy, ze kazdy przedział

ô =ma

długosc ¿Ù p azatem� ¼=e> Ö ¿Ù p Ñ�½ , tj. warunek( â,â�Ù ) tez jestspełniony.

Uwaga. Istnieja bardziejzłozoneprzykładyzbiorówmiary zero.Mozemyterazsformułowac pełnacharakteryzacjefunkcji całkowalnychw sensieRiemanna.


Twierdzenie 45. Funkcja f 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß jest całkowalnaw sensieRiemannawtedy i tylkowtedy, gdy

(1) funkcja f jestograniczona;(2) funkcja f jestciagław kazdympunkciezbioru

P �)Ø"� R #I¾ , gdzie��Ó�¾ ÛæÑ � (tj. ¾ jestmiaryzero).

Pozostawimy to trudnetwierdzeniebezdowodu. ·¸Wniosek 46. (1) funkcjeciagłesa całkowalne,bo ¾ ÑF� ;(2) funkcjemonotonicznei ograniczonesa ciagłe,bo zbiór ¾ jest co najwyzej przeliczalny tj.mamiarezero(patrztwierdzenie28);(3) funkcja º 8 P � Ø�â R g Þ/ß?Ø�ºaÓ�Õ×ÛæÑ�� <u � ß � Ö � Ó�Õ×Û nie jestcałkowalnaw sensieRiemanna.

Mamywiecjuz eleganckacharakteryzacje funkcji całkowalnychw sensieRiemanna.Jednakjestonadosc trudnai niecałkiemporeczna.Dlategodowody twierdzen bedziemyprzedstawialidlaszczególnych funkcji całkowalnych,amianowicie takich,zef 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß jestograniczonai manajwyzejskonczeniewiele punktównieciagłosci. Ó�q�ÛWtedywykład stajesie prostszy. Zaczniemyod podstawowych własciwosci elementówzbiorux�Ó2�)Ø"��ÛOØ tj. funkcji całkowalnychw sensieRiemannanaodcinku

P �)Ø!� R .Twierdzenie47.Niech f×ØLº÷Ü"x�Ó2�)Ø!� Û i

Y Ü�Þ/ß . Wtedy,(a) f á º Ü"x�Ó �ÚØ"��Û , Y f�Ü"x�Ó2�)Ø"��Û , ponadtor Ú# Ó f�ÓúÕ×Û á ºaÓ�Õ×Û�Û{¹¼Õ�Ñ r Ú# f8Ó�Õ×Û{¹¼Õ á r Ú# ºaÓ�Õ×Û{¹¼Õ i

r Ú#Y f8Ó�Õ×Û{¹¼Õ Ñ Y r Ú# f�ÓúÕ Ûã¹¼Õ

(b) jesli f ´ º , to t Ú# f�Ó�Õ×Û{¹¼Õ ´ t Ú# ºaÓúÕ Ûã¹¼Õ à(c) jesli x?Ü¤Ó �ÚØ"��Û , to r Ú# f�ÓúÕ×Û{¹¼Õ�Ñ r =# f8Ó�Õ×Û{¹¼Õ á r Ú= f�ÓúÕ Ûã¹¼Õ(d) t Ú# âÝ¹¼Õ�Ñ�� ÿ � .

Dowód przeprowadzimydla funkcji f i º spełniajacych (U). Oczywiscie,jesli f i º sa og-raniczonei ciagłez wyjatkiemskonczeniewielu punktów, to podobnief á º spełnia(U), taksamojestz

Y f . Wykazemypierwszywzór z (a). Przyjmiemyoznaczeniajak we wzorze(8) idostaniemyz niego i z własciwoscigranicy, zer Ú# Ó f�ÓúÕ×Û á ºaÓ�Õ×Û�Û{¹¼Õ Ñ Ä KNo5�Å ¼ � ¨< =e> Ö Ó2f�Ózy = Û á ºaÓ'y = Û$Û�oõÕ =

Ñ Ä KNo5�Å ¼ � ¨< =e> Ö f�Ózy = Û9o Õ = á Ä KXo5�Å ¼ � ¨< =?> Ö ºaÓ'y = Û9o Õ =Ñ r Ú# f�Ó�Õ×Û{¹¼Õ á r Ú# ºaÓúÕ×Û{¹¼ÕDû

Punkty(b) i (d) zostawiamy Czytelnikowi.


Do wykazania(c) definiujemyf Ö ÓúÕ Û�Ñ � f�ÓúÕ Û dla Õ�Ü P �)Ø!x R� dla Õ�Ü¤Ó2x�Ø!� R Ø f Ù ÓúÕ×Û�Ñ � � dla Õ�Ü P �)Ø"x Rf�ÓúÕ×Û dla Õ�Ü-Ó2x�Ø"� R ûWtedy f�Ö�Ø!f,Ù Ü�x�Ó �ÚØ"��Û , ponadtof Ñ�f¼Ö á f,Ù i stosujemypunkt(a), tj.r Ú# f8Ó�Õ×Û{¹¼Õ�Ñ r Ú# f�Ö�Ó�Õ×Û{¹¼Õ á r Ú# f�Ù Ó�Õ×Û{¹¼Õ Ñ r =# f�Ö�ÓúÕ×Û{¹¼Õ á r Ú= f,Ù�Ó�Õ×Û{¹¼Õ Ñ r =# f8Ó�Õ×Û{¹¼Õ á r Ú= f�Ó�Õ×Û{¹¼ÕDû·¸

Nastepnawłasciwosc jestuogólnieniemnierównosci trójkata.

Twierdzenie48.Załózmy, ze f�Ü"x�Ó2�)Ø!� Û , wtedy

7 f 7 Ü"x�Ó2�)Ø!� Û iµµµµµ r Ú# f�Ó�Õ×Û{¹¼Õ µµµµµ ´ r Ú#7 f8Ó�Õ×Û 7 ¹¼Õ�û

Dowód. Zauwazmy, zeskoro f spełnia(U), to

7 f 7tez mate własciwosc. Nastepniekorzystamy

zewzoru(8) i z nierównosci trójkata:µµµ t Ú# f�ÓúÕ Ûã¹¼Õ µµµ Ñ Ä KXo5�Å ¼ µµµµµµ � ¨< =e> Ö f8Ó'y = Û�oõÕ = µµµµµµ´ Ä KNo5�Å ¼ � ¨< =?> Ö7 f�Ózy = Û 7 oõÕ =

Ñ r Ú#7 f8Ó�Õ×Û 7 ¹¼ÕDû ·¸

Nim sformułujemynastepny fakt wprowadzimydogodnakonwencje,piszacr Ú# f�ÓúÕ×Û{¹¼Õ�Ñ ÿ r #Ú f�ÓúÕ×Û{¹¼ÕDûTwierdzenie 49. Załózmy, ze fLÜ1x�Ó �ÚØ"� Û , wtedy funkcja ^ 8 P �ÚØ"� R g Þ/ß nazywanafunkcjagórnejgranicycałkowaniai danawzorem^�Ó�Õ×Û�Ñ r í# f8Ó � Û{¹ �jest ciagła w

P �ÚØ"� R , a nawet spełniawarunekLipschitzaze stała Ò Ñ H�å²æí�� #�� Ú�� f�ÓúÕ×Û . Jesli

dodatkowo funkcja f jestciagław � ß�� "�� , to � jestrózniczkowalnaw � ß i mamy:¹¹�� )�� B��Dowód. Niech � �� bedziedowolnym punktem.Szacujemyróznice � � ��C�� '� � :

3.6. CAŁKA RIEMANNA 109� � � ��C� � �z� � � �¢¡¡¡¡ r¤£¥ � �§¦ �©¨ ¦ � r�ª¥ � �«¦ �<¨ ¦ ¡¡¡¡ �¬¡¡¡¡ r�ª¥ � �§¦ �<¨ ¦) r�£ª � �§¦ �©¨ ¦ � r®ª¥ � �«¦ �<¨ ¦ ¡¡¡¡�¢¡¡¡¡ r £ª � �§¦ �©¨ ¦ ¡¡¡¡ �Dzieki twierdzeniu47dostaniemy, ze� � � ��C� � �'� � �.¯ r¤°C±9²´³ £�µ ª´¶°C·M¸�³ £�µ ª´¶ � � �«¦ � � ¨ ¦ ¯¹� � � � ��º �co oznacza,ze � spełniawarunekLipschitzaze stała

º, co na mocy twierdzenia44 pociaga

ciagłosc.Wykazemyrózniczkowalnosc w �¼» . Mamy, takzedzieki twierdzeniu47½¿¾KÀÁ�Â » � � �¼» Ã � �� ¼»Ä�Ã � ½K¾¿ÀÁ�Â »}ÅÃÇÆ r £�È´É Á¥ � �§¦ �<¨ ¦ � r £�È¥ � �«¦ �<¨ ¦9Ê� ½¿¾KÀÁ�Â » Æ ÅÃ�Æ r £�È�É Á£�È � �«¦ �<¨ ¦ �Ë� � �¼»�� ¼»�� ÊÊ� ½¿¾KÀÁ�Â » Æ ÅÃ Æ r £�È�É Á£�È � �«¦ �<¨ ¦ � Ã � � � » � Ê � � � » � Ê� ½¿¾KÀÁ�Â » ÅÃ r £�È´É Á£�È � � �«¦ � � � � � » �Ì�<¨ ¦ � � � » ��

Poniewaz � jest ciagław � » , to dla dowolnego Í�ÎÐÏ istnieje takie Ñ�ÎÒÏ , ze mamy� � � ��Ó�� » � ��Ô Í dla Ï Ô¢� �� » ��Ô Ñ . Zatemdla Ï Ô Ã Ô Ñ dostaniemyÅÃ ¡¡¡¡¡

r £�È9É Á£�È � � �§¦ � � � �«¦ » �Ì�©¨ ¦ ¡¡¡¡¡ ¯ ÃÃ ÍÕ��ÍÖ�Tym samymdostajemyteze. ×Ø

Powyzszetwierdzeniepozwalasformułowac podstawowenarzedzieobliczaniacałek.

Twierdzenie50. (Podstawowe twierdzenierachunkurózniczkowego i całkowego) Załózmy, ze��Ù �� ÚÜÛMÝ jestciagła.Wtedyistniejefunkcja � taka,ze �|Þ � ��I�F� � �� ißáà¥ � � ��<¨��â�ã� � ��C�� '� � � �ÕÙ�� à¥ ��Funkcje � nazywamyfunkcja pierwotna i czestopiszemy� � ��)��ä$� � ��9¨�� .

Dowód. Istnienie � jest zagwarantowanedzieki ciagłosci � i poprzedniemutwierdzeniu.Za-uwazmy, ze � � ��C� ß £¥ � �«¦ �<¨ ¦ �Fåæ�Aby sie o tym przekonac policzymypochodna lewej strony:¨¨�� ç � � �� ß £¥ � �«¦ �<¨ ¦9è �� é�� êÏÖ�


Zatempozostajewyznaczeniestałej å . Mamy� � ��C� åë� ß £¥ � �§¦ �©¨ ¦ �Lewa stronadla �"� � równasie � �'� � � å , zas prawazero.Zatem å$�� z� � , skadwynika naszwzór. ×Ø

Przykład obliczaniafunkcji pierwotnychß �¼ìI¨��â� Åí Å �¼ì É�î Çï �Jednakw praktycepotrzebnesa bardziejwyszukanemetody.

Wprowadzimyterazbardzowaznenarzedzieobliczaniacałek.

Twierdzenie 51. (o całkowaniuprzezczesci) Załózmy, ze ��ð sa ciagłei rózniczkowalne,zaspochodne��Þ\��ð<Þ sa całkowalnew sensieRiemanna.Wtedy ��Þ�ðD��ñð<Þ �"ò��z� ��T� i mamyßáà¥ � Þ � �B�§ð � ��<¨��3�� ß3à¥ � � ��«ð Þ � ��<¨�� ¼ð�� à¥ �Dowód. Całkowalnosc ��Þ�ð i �¼ð<Þ jestoczywista,a stadwynika � �ñð��zÞ �"ò6�'� ��T� . Mamywtedyß à¥ � �ñð�� Þ � ��<¨��ó�F�ñð � à¥ �Zas lewastronato ß3à¥ � � Þ � �B�§ð � �� B�§ð Þ � ��´�<¨��C�skadwynika zadany wzór. ×Ø

Przykład zastosowania twierdzenia51 do obliczaniacałek oznaczonych. Zakładamy, zeôÄõ.ö �¼Þ¼�� ö ¾K÷ � , wtedyß®ø/ù9ú» � ö ¾K÷ ��¨�� ß®ø/ù9ú» � Æ � ¨¨�� ôÄõ.ö � Ê ¨�� ß ø/ù9ú» ¨��¨�� ôÄõ�ö �$¨��3�Ë� ôÄõ.ö � � ø�ù9ú»� ß ø/ù9ú» ôÄõ�ö ��¨�� ÏÕ� ö ¾K÷ � � ø/ù9ú» � Å �Innym podstawowym narzedziemobliczaniacałekjestnastepujacy wynik.

Twierdzenie 52. (o całkowaniuprzezpodstawienie) Załózmy, ze funkcja ��Ù � å%��¨+�|Ú ÛMÝ jestciagła i û¹Ù �ü� ��ÕÚ � å%��¨+� jest scisle rosnaca,„na” i jest rózniczkowalnaw �z� ��T� zas û�Þ jestograniczona.Wtedy ß3ýþ � �'� �<¨ � � ß à¥ � � û � ��Ì�9û Þ � ��<¨��C� � Å�ÿ �


Dowód. Namocy załozen istnieje � funkcjapierwotnafunkcji � . Lewastronaprzyjmujewtedypostac � � ¨Ö� �� åT�)�F� � û � �T�´�C�� û �z� �´��Zauwazmy, zefunkcjazłozona � � û � ��´� jestfunkcjapierwotna � � û � ��Ì��û�Þ � �� :¨¨�� û � ��Ì�)� ¨Ö�¨ � � ª�� £�� ¨�û � ��¨�� F� � û � �B�´�9û Þ � �B��Zatem,prawastrona(12), to � � û � ��Ì�B� � � û �z� �´��czyli prawastronajestrównalewej. ×Ø

Wykorzystajmynatychmiastnowo zdobytawiedze doobliczen.

Przykład 11.Obliczymywartosc całki oznaczonej,sprawdzimy, zeß î» � Å � � ú ¨��â��Podstawmy �ó� ö ¾¿÷ � . Zauwazmy, ze ö ¾¿÷ Þ � � ôZõ�ö � i Ï�� ö ¾K÷ Ï , Å � ö ¾¿÷ � � ÿ , wtedyß î» � Å � � ú ¨ � � ß ø/ù�ú» � Å � ö ¾K÷ ú � ôÄõ�ö � ¨ � � ß ø�ù9ú» ôZõ�ö ú � ¨ � �Liczymy ostatniacałke,podstawiamy � � � � ÿ � ¦ i mamy

ý ªý� �� Å , zatemß ø/ù�ú» ôÄõ.ö ú � ¨ � � � ß »ø�ù9ú ôÄõ�ö ú � � � ÿ � ¦ �©¨ ¦ � ß ø�ù9ú» ö ¾¿÷ ú ¦ ¨ ¦ �Dalej ä ø/ù9ú» ôÄõ�ö ú � ¨ � � Åÿ Æ ß ø/ù�ú» ôÄõ.ö ú � ¨ � ß ø/ù9ú» ö ¾K÷ ú � ¨ ��Ê� Åÿ ß ø/ù9ú» � ôÄõ.ö ú � ö ¾K÷ ú � �<¨ �� Åÿ ß ø/ù9ú» Å ¨ � � � �

Paragrafo własciwosciachcałkowaniazakonczymy twierdzeniem,które jest wnioskiemztwierdzeniaLagrange’a.

Twierdzenie53. (o wartosci sredniej)Niech ��Ù �� )Ú ÛMÝ bedzieciagła,wtedy istniejetakieå ��z� �� , ze ß3à¥ � � ��<¨��â�F� � å�� Ó� � �Dowód. Istniejefunkcjapierwotna� , zatemz twierdzenia34 zastosowanegodo � wynika, zeß à¥ � � �B�©¨��â�� T�B�� z� � �� Þ � å�� Ó� � �)�F� � åT� � �Ó� � �� ×Ø


3.7 Ciagi i szeregi funkcyjne

Przypominamy, zeciagbył definiowany jakofunkcja� Ù�Û��1Ú��gdziezbiór � jestdowolny. Jesli � � ÛMÝ lub � , to mamydo czynieniaz ciagiemliczbowym.Nic niestoinaprzeszkodzieby przyjac, ze � � ò��'� �� lub ïá�ü� �� (jestto zbiórfunkcji ciagłychnaprzedziale�� o wartosciachrzeczywistych)lubogólniej,ze � jestpewnymzbioremfunkcji.W tychprzypadkachmamydoczynieniaz ciagamifunkcyjnymi. Zastanówmysie nadzbieznos-cia ciagówfunkcyjnych,co to w ogólemiałobyznaczyc? Rozpatrzmyprzykład:� ì�� )� � ì dla �� Ï�� Å �z� � Å�� Dla kazdego � z osobnapowyzszadefinicjaokreslaciagliczbowy, któregogranicełatwozbadac:½K¾¿Àì Â�� ì�� )�"! Ï#� gdy �$� � Ï�� Å �Å � gdy � � Å .Widzimy rzeczzaskakujaca: ciag funkcji ciagłych rózniczkowalnych, a nawet nieskonczenierózniczkowalnych, jestzbiezny w kazdympunkcieprzedziału� Ï#� Å � , alegranicanie jestciagła!Przyjrzyjmysie wieczastosowanemupojeciugranicy.

3.7.1 Zbieznosc jednostajna

Wyjasnimy, zeciagi funkcyjne wymagaja nowego pojeciagranicy. Dla naszejwygodyod razunadamymunazwe.

Definicja 25.Powiemy, zeciagfunkcji � ì Ù#% Ú Û�& , %('�Û�&*) , jestzbiezny punktowodofunkcji��Ù�%¹Ú Û�& , jesli:+ dla kazdego �$� % , dlakazdego Í�ÎÇÏ istniejetakie , , zedla í Î-, mamy� � ì�� Ô Í<�Zmienmy niecoto okreslenie: przesunmy wytłuszczonewyrazeniena konieci zobaczymycowyjdzie:

Definicja 26. Powiemy, ze ciag funkcji � ì Ù.% Ú Û�& , % '�Û�& ) , jest zbiezny jednostajniedofunkcji ��Ù#% ÚÜÛ�& , jesli:+ dlakazdego Í Î�Ï istniejetakie , , zedla í Î/, i dla kazdego�� % mamy� � ì�� Ô Í<�

Róznicajest taka,zew ostatnimokresleniudobieramy, , tak abybyło tak samodobredlawszystkich�� % , w poprzedniej, mozezalezec od � ! Zauwazmy, zeciagokreslony wzorem(13) jestzbiezny jednostajniena � Ï#� � � dladowolnego � Ô Å :� � ì#� � � � Ï � � � ì ¯ � ì Ô Í

3.7. CIAGI I SZEREGIFUNKCYJNE 113

dla í Î0, , gdzie , spełnia�21 ¯ Í . Natomiasttakieoszacowanienie jestmozliwe dla � ¯ Å .Zauwazmy, zeterazgranicajestciagła.W istocierzeczynie jesttrudnowykazac:

Twierdzenie54.Załózmy, zefunkcje � ì Ù �ü� ��CÚ Û�& sa ciagłei ciag 3�� ì�4 jestzbiezny jednos-tajniedo funkcji � . Wtedyfunkcjagraniczna� jestciagła.

Dowód. Niechpunkt �$� �ü� �� i Í�Î�Ï bedadowolne.Badamyróznice� � �� z� � � , mamy� � � � � � � �'� � � � � � � � � �Ë� ì�� ì#� � � � � ì��'� � � ì#�z� � � � �'� � �¯¢� � � � � � � ì�� ì�� C� � ì��z� � � � � ì��'� � � � �z� � � �

Ze zbieznosci jednostajnejciagu � ì wynika istnienietakiego , , zemamy� � �§¦ � �Ç� ì �§¦ � �¼Ô Í � �dla í Î5, i kazdego ¦6� �� . Ustalmyzatemí �5, Å , wtedypowyzszanierównoscprzyjmie

postac � � �� z� � ��Ô Í � � � � 1 É�î �� 1 É�î �'� � � Í � � �Terazkorzystamyz ciagłosci funkcji � 1 É�î w punkcie � i dla zadanego Í � � dobieramyÑ�ÎÐÏtakie,ze

� � 1 É�î �� 1 É�î �z� � ��Ô Í � � dla �7�� spełniajacych� � � � ��Ô Ñ . Ostatecznie:� � �� Ë� �'� � �<Ô Í � � Í � � Í � � ��Í��

dla� � � � ��Ô Ñ . ×ØZapytajmyterazo rózniczkowalnoscgranicy jednostajniezbieznegociagufunkcyjnego.Zacz-

niemyodrozwazeniakonkretnejsytuacji.

Przykład 12.Niechciag � ì bedziedany wzorem:� ì �� I� Å� í ö ¾¿÷ í � � �$� ÛMÝ|�Wtedy � ì zbiegajednostajniedozera,bo jesli ÍÕÎ�Ï jestdowolne,to� � ì#� � � �<¯ Å� í Ô Ídla í Î-,�� Å � Í ú � Å dla wszystkich�8� ÛMÝ . Z drugiejstrony dladowolnego �� ÛMÝ� Þì � � �é� � í|ôÄõ.ö�í �:9Ú ÏÖ�Widac, zepotrzebnesa dodatkowe załozenia,abywykazac rózniczkowalnosc granicy. Istotnie,mamybowiemnastepujacy wynik.

Twierdzenie 55. Załózmy, ze � ì ��;�Óð�Ù �� ëÚ ÛMÝ i funkcje � ì sa rózniczkowalnew �z� ��T� .Zakładamy, ze

(a) istnieje � » �� takie,zeciagliczbowy � ì�� »Ä� jestzbiezny do � �� »�� ;


(b) ciagfunkcyjny ��Þì jestzbiezny jednostajniedo funkcji ð .Wtedy, ½K¾KÀì Â�� ì�� I�� i zbieznosc jest jednostajna.Cowiecej � Þ � � �)��ð �� (Bezdowodu). ×Ø

Zastanówmysie nakoniecnadcałkowalnosciagranicy ciagufunkcji całkowalnychw sensieRiemanna.Zaczniemyodnegatywnegowyniku.

Przykład 13.Niech 3=< ì>4 bedzieciagiemwszystkichliczb wymiernychz przedziału� Ï#� Å � . Kła-dziemydla �8�� Ï#� Å � :� ì�� )�0! Å dla � �?< ìÏ w przeciwnym przypadku

i @ ì�� é� ìAB ��î � B �� Wtedyfunkcje @ ì saciagłepozaskonczona ilosciapunktówi ograniczone,zatem@ ìC�"òD� Ï#� Å � .Ponadto,ciag @ ì jestzbiezny punktowo. Mianowicie łatwosie przekonac, ze½K¾¿Àì Â�� @ ì �� I�FEHG�IKJ » µ îML �� Wiemy juz, ze E G�INJ » µ îOL nie jestcałkowalnew sensieRiemanna!

Okazujesie, zesprawe ratujezbieznosc jednostajna.Mamybowiem:

Twierdzenie 56. Załózmy, ze � ì �ÒòP�'� �� i ciag � ì jest zbiezny jednostajniedo � , wtedy� �"òP�z� �� i ½K¾KÀì Â�� ß à¥ � ì � � �<¨ � � ß à¥ � � � �©¨ � �Podkreslamy, zecałkowalnosc granicy jestczescia tezy.

Dowód. Przeprowadzimygo dla najprostszego przypadku,tj. dla � ì bedacych funkcjamiciag-łymi. Wtedynamocy Twierdzenia54granica� jestciagła,azatemjestcałkowalna.Wykazemyterazpowyzszywzór. Niech ÍáÎFÏ bedziedowolne,zas , takie,zedla í ÎQ, i dla wszystkich�8� �ü� �� mamy � � ì �� <Ô Í � � �Ó� � ��Nastepnie,korzystajacz twierdzenia48 dostaniemy,¡¡¡¡¡ ß à¥ � ì � � �<¨ � � ß à¥ � �� <¨ � ¡¡¡¡¡ ¯ ß à¥ � � ì � � �B� � � � � � ¨ �¯ ß à¥ Í � � �Ó� � �©¨ � ��Í<� ×Ø

3.7. CIAGI I SZEREGIFUNKCYJNE 115

Zajmijmysieterazszczególnym przypadkiemciagówfunkcyjnych,tj. szeregamifunkcyjnymi.

Definicja 27.Załózmy, ze � ì Ù#%R'FÛ�& ÚÜÛ�& , í � Å ��/� Szeregiemfunkcyjnymnazywamynapis�Aì � » � ì�� S� � Å �zas @ ì � � � � Tâì B � » � B �� jest jego ciagiemsumczesciowych. Powiemy, ze szereg (14) jestzbiezny:

(a) punktowo, jesli ciag @ ì�� jestzbiezny punktowo;(b) jednostajnie, jesli ciag @ ì�� jestzbiezny jednostajnie.Badaniezbieznosci jednostajnejciagówi szeregów wydajesie skomplikowanym zadaniem.

Czasemjednakjestto zadaniedosc proste.

Twierdzenie57.Załózmy, zedany jestnamszereg (14),zas funkcje � ì Ù#% ÚÜÛ�& , gdzie %R'�Û�&i spełniaja onewarunek

� � ì �� ¯�º ì dla �8� % . Dodatkowo,szereg�Aì � » º ì Ô-U � � Å�V �Wtedy, szereg funkcyjny (14) jestjednostajniezbiezny.

Dowód. Zauwazmy, zez twierdzenia11 (a) wynika, zedlakazdego �� % szereg�Aì � » � ì�� jestzbiezny. Sumeoznaczymyjako � � � � . Wykazemyjednostajnosc zbieznosci:¡¡¡¡¡ � �� ìAB � » � ì�� ¡¡¡¡¡ � ¡¡¡¡¡¡

�AB � ì É�î � ì�� ¡¡¡¡¡¡ ¯�AB � ì É�î � � ì#� � � �¯ �AB � ì É�î º ì �5W ì �

Z uwaginazbieznosc szeregu liczbowego (15) dla dowolnego Í3ÎãÏ istniejetakie , , zemamyW ì Ô Í dla í Î-, a to oznaczajednostajnazbieznosc szeregu funkcyjnego. ×Ø3.7.2 Szeregipotegowe

Wspomnielismynapoczatkupodrozdziału,zeinteresujanasciagifunkcji argumentuzespolonego.Istotnie,dopieroteraztym sie zajmiemywprowadzajacbardziejszczegółowe pojecie.

Definicja 28.Szeregiempotegowymnazwiemyszereg funkcyjny postaci�Aì � » �©ì=X ì � X7� Û�&Õ� � Å�Y �


Wypadaskomentowac zbieznosc szeregu liczb zespolonych. Zauwazmy, zez definicji zbiór � ,to ÛMÝ[Z�ÛMÝ . Ze stwierdzenia3 wynika, zeszereg (16) zbiegawtedy i tylko wtedy, gdy zbiegajaszeregi liczb rzeczywistychT �ì � » Ý�\ �'��ì=X ì � i T �ì � » Û À �'��ìKX ì � .

Dla szeregówpotegowychwprowadzimypojeciepromieniazbieznosci.

Definicja 29.Załózmy, zedlaciagu 3 ��ì24 �ì � » istniejegranica½K¾¿Àì Â�� ì � � î ù ì �/]I�Wtedyliczbe WF� Å � ] nazwiemypromieniemzbieznosci szeregu (16).

Znaczeniedefinicji wyjasnia ponizszetwierdzenia.

Twierdzenie58.Niech W¢ÎãÏ bedziepromieniemzbieznosci szeregu potegowego (16). Wtedyszereg (16) jestzbiezny dlakazdego X , takiego ze

� X �<Ô W .Dowód Polegaon nazastosowaniukryteriumCauchy’ego do szeregu (16). Dostaniemywt-

edy: ½¿¾KÀì Â�� ì �K� X � ì � î ù ì � ½K¾KÀì Â�� ì � � î ù ì � X � �5] � X � �Granica] � X � jestmniejszaodjednosci,jesli

� X ��Ô Å � ]��^W . Zauwazmy, zewtedy� Ý�\ �z�©ì=X ì � � î ù ì ,� Û À �z�©ì=X ì � � î ù ì ¯ � X �K� �©ì � î ù ì i mozemyzastosowac twierdzenie15(albojesli trzebauwageponizej

twierdzenia15) abywywnioskowac zbieznosc (16),gdy� X ��Ô W . ×Ø

Bedzienasinteresowac kwestiazbieznosci jednostajnej.W tej sprawie wypowiadamysieponizej.

Twierdzenie59.Niech W�Î�Ï bedziepromieniemzbieznosci szeregu potegowego�Aì � » ��ì=� ì � �8� ÛMÝ|� � Å`_ �Wtedy,

(a) szereg (17) jestzbiezny jednostajniedla� X �.Ô W��Í , gdzie Í �a� Ï��bW|� jestdowolne;

(b) szereg pochodnych jest zbiezny jednostajniei promien zbieznosci jest równy W . Cowiecej, ¨¨ ��Æ �Aì � » ��ì=� ì Ê � �Aì ��î í ��ì=� ì`c î � Å�d �Uwaga. Czesc (a) jestprawdziwadla �e� � i dowódnieulegazmianie.

Dowód. Czesci (a) poleganasprowadzeniudo sytuacji,w której moznastosowac twierdzenie57. Z definicji promieniazbieznosciwynika istnienietakiego , , zemamy� �©ì=X ì � � �f� � ��ì � � î ù ì � X � � ì ¯ �� ] ] ú Í�� W�� Í©�´� ì � � Å ��Í ú ] ú � ì �dla í Îg, . Zatemdla í Î(, mozemyprzyjac

º ì � � Å ��Í ú ] ú � ì ( , pierwszychwyrazówszeregu niemawpływu nazbieznosc szeregu!) i zastosowac twierdzenie57.

3.8. FUNKCJA WYKŁADNICZA I FUNKCJETRYGONOMETRYCZNE 117

(b) Policzmynajpierwpromien zbieznosciszeregu pochodnych:½¿¾KÀì Â�� ì � í � î ù ì � ½¿¾KÀì Â�� ì � � î ù ì ½K¾KÀì Â�� í î ù ì �/]Ph Å �gdzieskorzystalismy z przykładu4(c). Zatempromieniezbieznosci obu szeregów sa równe.Twierdzenie55. o rózniczkowaniugranicy ciagufunkcyjnegodajewzór (18). ×Ø

Z powyzszego twierdzeniapłyniewazny praktyczny wniosek:szeregi potegowemoznabez-troskorózniczkowac i całkowac w kolezbieznosci

� � �.Ô W .Nakoniecrozpatrzmyzasadniczezastosowanierozwijanejdotej pory teorii dofunkcji zada-

wanychszeregamipotegowymi, � �� )� �Aì � » ��ì=� ì � � Å�i �Załózmy, ze jego promien zbieznosci jest równy WÐÎ¹Ï . Policzmy j -ta pochodna � w � � Ï .Skoro ��k � �lB �nm Ï , dla o Ô j , ��k � �pB � � £�� »��FÏ dla o)Î/j i �� B � �lB � �/j;q , to dostaniemy, ze� � ì � � Ï©�Ó� ��ì í q albo ��ì �F� � ì � � Ï©� � í q¿� � ÿ Ï��Jednakw praktycznychobliczeniachokazujesie, zewygodniejjestrozwijac funkcje � w innympunkcie,np. � � �Twierdzenie60. (Taylora)Załózmy, ze funkcja � jest zadanaszeregiem (19), którego promienzbieznosci wynosi WãÎ�Ï . Wtedydla � , takiego ze

� � �.Ô W mamy� �� I� �Aì � » � � ì � �'� �í q �� zì � ÿÖÅ �dla � spełniajacych

� � � � � � � ��Ô W .Szkic dowodu: Zewzoru(19) i dwumianuNewtona(twierdzenie1.10)dostaniemy, ze� �� Aì � » ��ì��f� � � � � � � ì� �Aì � » ��ì ìAB � » ç í j è � ìrc B �� B� �AB � » �Aì � B �©ì ç í j è � ìrc B �� B �Moznapokazac, zeotrzymany szereg jestzbiezny i wzór (20) dajezadanerozwiniecie,tj. (21).×Ø3.8 Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne

Niniejszy podrozdziałjest zwienczeniemnaszejdotychczasowej pracy. Pokazemyw nim jakmoznazapomocaszeregówpotegowychwprowadzicfunkcjewykładniczalogarytmicznaanastep-nie funkcje ö ¾¿÷ i ôZõ�ö .


3.8.1 Funkcje wykładnicza i logarytmiczna

Zaczniemyoddefinicji naszego obiektuzainteresowania.

Definicja 30.Dla Xs� � kładziemy t��X �I� �Aì � » X ìí q � ÿ+ÿ �

Stwierdzenie61.Promien zbieznosciszeregu (22) jestrównyU

, tj. (22) jestzbiezny dladowol-nego XC� � .

Dowód. Wystarczywykazac, ze½K¾¿À ì Â�� Å � � í q�� î ù ì � Ï . Niech ÍÇÎ Ï bedziedowolne. Za-

uwazmy, zedlapewnegoº � Û�� i í Î º

, namocy przykładu4(b)mamy

� í q�� î ù ìvu �f� º � Å �Sq�� î ù ì º � ì`cNw � ù ìCu � º �dla í Î ÿ º . Tym samymdla

º Î Å � Í ú mamyÅ� í q�� ¯ Å� º Ô Í dla í Î ÿ � Å � Í ú � �bowtedy � í � º � �Äº Î Å � ÿ . Conalezałowykazac. ×Ø

Zajmiemysie terazwykazaniempodstawowej własciwosci funkcji

t. Zauwazmy, ze:t

� X � t � x � � ½¿¾KÀì Â�� ìAB � » X Bj;q ½K¾KÀì Â�� ìA ) � » x )y q� ½¿¾KÀì Â�� ìAB � » ìA ) � » X Bj;q x )y q � ½K¾KÀì Â�� ú ìAB � » BAk � » X B c kzx{k� j��|o��}q~ofq� ½¿¾KÀì Â�� ú ìAB � » Åj�q

BAk � » ç j o è � ½¿¾KÀì Â�� ú ìAB � » ��X||x � Bj;q� t

��X||x �S�gdziewykorzystalismydwumianNewtona(patrztwierdzenie1.10).Zatemt

� X � t ��x �� t��X||x �� ÿK� �

Mozemyterazwyciagnac serie wniosków.Niech XC� � , to wtedy t

� X � t � � X �é� t� Ï©�I� Å � � ÿ �

O ostatniejrównosciprzekonujemysiebezposrednioz (22).Niechteraz �$� ÛMÝ i � Î�Ï . Z równania(22)natychmiastsie przekonujemy, zet

�� Î�Ï<� � ÿKV �


Zatemwzór (24)dajet

� � � �IÎ�Ï<�Jesli Ï Ô � Ô � , to zewzoru(22)wynika, zet

� � � Ô t�z� ��

Wzór (24) dodatkowo dajet

� � � � Ô t� � � ��

Mozemyto ujac w formiestwierdzenia.

Stwierdzenie62.Funkcja ÛMÝ5� �e�Ú t� � � �� Ï#� U � jestscislerosnaca. ×Ø

Policzmyterazgranicetej funkcji. Skorodla � Î�Ï mamy

t� � �IÎ � , to½¿¾KÀ£ Â�� t

� � �)� U � � ÿKY �Zatemdzieki (24)dostaniemyjeszcze,ze½¿¾KÀ£ Â c � t

� � ��êÏÖ� � ÿ>_ �Niech Ã8� ÛMÝ , wtedy ½K¾KÀÁ�Â » t

�zÃ � � ÅÃ � Å � � ÿKd �Jesttak,bo ÅÃ �

t�'Ã � � Å �I� ÅÃ �Aì ��î Ã ìí q � Å Ã �Aì � ú Ã ìrc úí q

Zas dla� Ã ��¯ Å , ¡¡¡¡¡ �Aì � ú Ã ìrc úí q ¡¡¡¡¡ ¯ �Aì � ú � Ã � ìrc úí q ¯ �Aì � ú Åí q Ô-�

Z równosci (23) i (28)wynika, zedla dowolnych �8� ÛMÝ½¿¾KÀÁ�Â » t�� Ã � � t

� � �Ã � t� � �� ÿKi �

Zajmijmy sie algebraicznymi własciwosciami funkcji

t. Wzór (24) daje dla dowolnychX7� � i í � Û�� t

� í X �)� t� X �'ì<� � � Ï��

W szczególnosci,gdy X � Å dostaniemy t� í �I� � ì �

Niechteraz� i � Î�Ï bedacałkowite. Dzieki (30) dostaniemy, zet� � � �©��Ó� t

� �� ©�)� t� ��I� �S� �


a zatempowyciagnieciupierwiastków: t� � � �©�I� �S� ù ��

Do tej pory nie zdefiniowalismy dowolnej potegi � liczby�

(czy ogólniej: dowolnej liczbyrzeczywistej� ). Powyzszarównosc sugeruje,zemozemyto łatwozrobic, takabynowadefinicjabyłazgodnazestara,gdy � jestliczba wymierna:

Definicja 31.Dla �8� ÛMÝ kładziemy � £ � t�� S�

funkcje ��Ú � £nazywamyfunkcjawykładnicza.

Zbierzmywłasciwosci funkcji wykładniczej.

Twierdzenie63.Funkcjawykładniczamanastepujacewłasciwosci:(a) jestciagła;(b) jestrózniczkowalnai � � £ �'Þ¼� � £

;(c) jestscislerosnacai

� £ Î�Ï dla �$� ÛMÝ ;(d) spełnia

� £ZÉÖª � � £ � ª;

(e)½K¾KÀ £ Â�� £ � U

,½¿¾KÀ £ Â c � � £ ��Ï ;

(f) dla dowolnego í � Û�� mamy½K¾¿À £ Â�� ì � c £ �FÏ ;

Dowód. (a)wynikaz twierdzenia59. Czesc (b) w całosciwynikaz równania(29). Stwierdzenie62 i wzór (22) daja (c). Ze wzoru(24) wynika (d). Wzory (26) i (27) pociagaja (e). Zajmiemysie punktem(f). Z definicji

t�� wynika, ze � ì É�î � � í Å �Sq Ô0� £

. Zatem � ì � c £ Ô � í Å �Sq � � ,copociagateze. ×Ø

Zauwazmy teraz,zedodatniosc funkcji wykładniczeji punkt(e)sprawiaja, iz funkcja� £

jestna zbiór � Ï�� U � . A zatemistniejefunkcjaodwrotna� Ù � Ï�� U �IÚÜÛMÝ , któraspełnia:

� �t

�� Ì�I� � � �e� ÛMÝ i

t� � �'� �Ì�)� � � � Î�ÏÖ� � �ÖÅ �

Zastosowanietwierdzeniao pochodnejfunkcji odwrotnejdajenamteraz,ze¨#�¨ � �'� �)� Å� £ � £��#� � ª�� Å� � � ª�� Å� �Wzory (31)prowadzadowniosku,ze � � Å �Ó�FÏ . Z twierdzenia49wynika, zeß ªî Å� ¨ � � ß ªî ¨#�¨ � �'� �<¨ � �^� �z� � �|� � Å � �Q� �'� ��Zbierzmydodatkowewłasciwosci funkcji � �z� � :

Jesli �ó� t� � � i �®� t

�'� � , to wtedywzory (31)daja:

� � ��¼�)�Q� �t

�� t �'� �Ì�)�^� �t

� �® � �Ì�é� �Õ � �Q� � �� ñ�� +ÿ �


Zauwazmy, zetwierdzenie63 (e) daje,ze½K¾KÀª Â�� '� �)� Ui½K¾KÀª Â »�� '� �I��Ï<� � �K� �

Nie musimyjuz dalejkryc czymnaprawde jestfunkcja � :

Definicja 32.Dla � Î�Ï piszemy½¿÷ � ÙV�Q� �'� � i nazywamylogarytmemnaturalnym.

Mozemy juz zdefiniowac potege dwu liczb rzeczywistych dodatnich, tak by nowa definicjapokrywałasie zestara.

Definicja 33.Jesli � ��Î�Ï , to kładziemy:� à Ù�� àf� ¸ ¥ �łatwo jestsprawdzic (jest to cwiczeniedla Czytelnika),zegdy �Õ�Q� � � , to prawa stronaprzyj-mujepostac � � ù � .3.8.2 Funkcje trygonometryczne

Wskazemynabardzobliski zwiazekfunkcji wykładniczeji funkcji trygonometrycznych.Dla �e� ÛMÝ kładziemy:ï�� )� Åÿ �

t� o � � t

� ��o � �Ì�S� @ � � �I� Åÿ o �t

� o � � � t� ��o � �Ì��

Poniewaz dla XC� � równanie(22)daje,ze

t�b�X �)� t

��X � , to dostaniemystad,zet� o � �)� t

� � o � �´�� t� ��o � ��

Tym samymï�� S��@ � � � � ÛMÝ it

� o � �é� ïC� � � o�@ � � ��Równosc (24)prowadzido nowych,ciekawych wniosków:� t � o � � � ú � t

� o � � t � ��o � �)� t� Ï��Ó� Å �

Tym samymdostaniemyjedynke trygonometryczna:ï ú @ ú � Å � � �KV �Zauwazmy jeszcze,ze ïC� Ï��)� Å � @ � Ï©�I�FÏ<�Definicje(22) i (34)prowadzapoprostychdziałaniachnaliczbachzespolonychdoprzedstawie-nia ï i @ w postacinastepujacych szeregów:ïC�� )� Å � £S�ú}� £S�� £S�� £S�� @ �� )� � � £S�� £S� � � £S¡¢ � £S£¤ ��


Dostaniemystadtez, ze ï Þ �� )� �¥@ �� S� @ Þ � � �� ïC� � ��Udowodnimyterazwazny fakt, a mianowicie istnienieliczby � i jej własciwosci.

Stwierdzenie64. Istnieje � Î�Ï takie,ze ï�� )�FÏ .Dowód. A.a. Gdyby takaliczba � nie istniała, to z ïC� Ï�� Å wynikałoby, ze ïC�� áÎÐÏ dlawszystkich � Î¹Ï . Co wiecej,skoro @ Þ � � �}� ïC� � � , to funkcja @ � � � byłaby scisle rosnacadla� ÎÇÏ . NiechterazÏ Ô � Ô � , dzieki monotonicznosci @ �� mamy

@ �� z� � � � Ô ß ª£ @ �§¦ �<¨ ¦ � ï�� C� ï��'� � ¯ ÿ � � �KY �gdzieostatnianierównosc wynika z (35). Pamietamy, ze @ � � �ÓÎFÏ dla � ÎFÏ , zatemdla duzych� nierównosc (36) niemozebyc prawdziwa.Dowodzi to naszejtezy. ×Ø

Kładziemy � » � ¾¿÷#¦ 3�Ï Ô � Ù ï�� )�FÏ 4 �Z ciagłosci funkcji ï wynika, ze ï�� »Ä�� Ï a zatem � »ÇÎ Ï . Terazwprowadzimy waznadefinicjew „łatwy sposób”.

Definicja 34. � � ÿ � »%�Z samejdefinicji wynika, ze ïC� � � ÿ �é�FÏ#� @ � � � ÿ �I�5§ Å �Poniewaz, @ Þ �� I� ïC� � � Î�Ï dla �e�� Ï#� � � ÿ � , to @ � � � ÿ �I� Å . Tym samymt

� o � � ÿ �I�5of�dalej t

� o � �)� �t

� o � � ÿ �´� ú �� Å � t� ÿ o � �)� �

t� o � �´� ú � Å �

Ostatecznie,dla dowolnego Xs� � mamy

t��X| ÿ � o9�)� t

� X � .Podsumujmywłasciwosci funkcji ï i @ :

Twierdzenie 65. (a) Funkcja

tjest okresowa o okresie ÿ � o , tj. dla dowolnych X¨� � mamy

t� X ÿ � o��é� t

� X � .(b) Funkcje ï i @ sa ciagłe, rózniczkowalnei okresowe o okresie ÿ � , tj. dla dowolnych�8� ÛMÝ mamy ïC� � ÿ � �I� ï�� , @ � �® ÿ � �)�Q@ � � � .(c) Jesli Ï Ô ¦ Ô ÿ � , to

t� o ¦ � 9� Å .(d) Jesli XC� � i

� X � � Å , to istniejedokładniejedno ¦�� Ï�� ÿ � � , spełniajace X � t�«¦ o�� .


Dowód. Punkt(a) zostałjuz wykazany. Ciagłosc i rózniczkowalnosc funkcji ï i @ wynika zfaktu, iz sa oneprzedstawialnezbieznymi szeregamipotegowymi. Sprawdzamyokresowosc:ïC� � ÿ � � � Åÿ �

t� o �Õ ÿ � o9� t

� ��o � � ÿ � o��´�� Åÿ �t

� o � � t� ��o � � � t � ÿ � o��´�� Åÿ �

t� o � � t

� ��o � �Ì�)� ï�� Pomijamyanalogicznerachunkidla @ �� .

(c) Niechnapoczatek Ï Ô ¦ Ô � � ÿ , zatem

t� o ¦ �� ¤ o � , gdzie � � �8�/� Ï�� Å � . Policzymy

t� ¦ o�� . Mamy t

� ¦ o��I� � �® o � � � � � � � Y � ú � ú �� o ��©� � ú � � ú ��Tym samym

t� o ¦ � � ÛMÝ wtedyi tylko wtedy, gdy � ú � � ú �FÏ , ale � ú � ú � Å , tj. � ú � � ú � Å � ÿi

t� o ¦ �é�� Å . Wynika stadprawdziwosc (c).Czesc (d) zostawiamy bezdowodu. ×ØRozdziałzakonczymydefinicja:

Definicja 35. ö ¾¿÷ � ÙV�Q@ �� S� ôÄõ.ö � Ù�� ïC� � ��Własciwosci tych funkcji trygonometrycznychzostałypodsumowanew twierdzeniu64,aczkol-wiek nie wszystkie.

Twierdzenie66.Dla dowolnychliczb � � �7� ÛMÝ mamyö ¾¿÷ �� )� ö ¾¿÷ � ôZõ�ö � ôZõ�ö � ö ¾¿÷ � ôÄõ.ö �� I� ôÄõ.ö � ôÄõ.ö � ö ¾¿÷ � ö ¾K÷ � � � �>_ �Dowód. Wynika on zewzoru 34 i tozsamosci (23). PrzeprowadzenierachunkówpowierzamyCzytelnikowi.

MATEMATYKA - mimuw.edu.plrybka/chemia/ar03/ksiazka1.pdf · dowody bed˛ a˛ szkicowane lub...

Documents

Transcript of MATEMATYKA - mimuw.edu.plrybka/chemia/ar03/ksiazka1.pdf · dowody bed˛ a˛ szkicowane lub...