MATEMATİK - Pegem.Net 1 - TANITIM(64).pdf · Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS...
Transcript of MATEMATİK - Pegem.Net 1 - TANITIM(64).pdf · Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS...
Öncebiz sorduk
120 Soruda
SORU
2 10 8
kpss
85
Genel YetenekGenel Kültür
Konu Anlatımı
Pratik Bilgiler
Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları
Çıkmış Sorular ve Açıklamaları
GEOMETRİSAYISAL MANTIK
MATEMATİK
GüncellenmişYeni
Baskı
Lise ve Ön Lisans
Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker
KPSS LİSE VE ÖN LİSANS MATEMATİK - SAYISAL MANTIK - GEOMETRİ KONU ANLATIMLI
ISBN 978-605-318-992-3
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
8. Baskı: 2017, Ankara
Yayın-Proje: Özge IşıkcıDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Lise ve Önlisans Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan "Matematik”, "Sayısal Mantık" ve "Geometri" kapsamındaki 30 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiştir.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorulara ve
- cevaplı testlere
yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
SUNU
v
İÇİNDEKİLERMatematik
TEMEL KAVRAMLARKüme ..........................................................................1Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı ..........................1Kümelerin Gösterilişi...................................................1Boş Küme ...................................................................2Sayı Kümeleri .............................................................2Tek - Çift Tamsayılar ...................................................3Tam Sayılarda İşlemler ...............................................3İşlem Önceliği .............................................................6Rasyonel Sayılar ........................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler .......................................6Harfli İfadeler ..............................................................7Denklemler .................................................................8Çözüm Kümesi Bulma ................................................8İkili ............................................................................10Sıralama ...................................................................10Eşitsizlik .................................................................... 11Oran – Orantı............................................................ 11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Cevaplı Test – 1 ........................................................13Cevaplı Test – 2 ........................................................15
SAYILARRakam ......................................................................17Sayı ..........................................................................17Doğal Sayılar ............................................................18Tam Sayılar...............................................................21Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................23Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................25Ardışık Sayılar ..........................................................27Basamak Analizi .......................................................32Çözümleme ..............................................................38Asal Sayı ..................................................................41Aralarında Asal Sayılar .............................................42Faktöriyel ..................................................................43Cevaplı Test – 1 ........................................................47Cevaplı Test – 2 ........................................................49Cevaplı Test – 3 ........................................................51Cevaplı Test – 4 ........................................................53Cevaplı Test – 5 ........................................................55Cevaplı Test – 6 ........................................................57Çıkmış Sorular ..........................................................59
BÖLME-BÖLÜNEBİLME KURALLARIBölme .......................................................................60
Bölünebilme Kuralları ...............................................65
2 ile Bölünebilme ................................................65
3 ile Bölünebilme ................................................65
4 ile Bölünebilme ................................................65
5 ile Bölünebilme ................................................66
7 ile Bölünebilme ................................................67
8 ile Bölünebilme ................................................67
9 ile Bölünebilme ................................................68
10 ile Bölünebilme ..............................................69
11 ile Bölünebilme ..............................................69
Cevaplı Test - 1 .........................................................71
Cevaplı Test - 2 .........................................................73
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
EBOB – EKOKAsal Çarpanlara Ayırma ............................................75
Bir Tam Sayının Bölenleri .........................................76
Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ......................78
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ...........................79
En Küçük Ortak Kat (EKOK)...............................82
Cevaplı Test - 1 .........................................................87
Cevaplı Test - 2 .........................................................89
Cevaplı Test - 3 .........................................................91
Çıkmış Sorular ..........................................................93
DENKLEMLERBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ........94
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .........96
Denklem Sistemi.......................................................97
a. Yok Etme Metodu ...........................................97
b. Yerine Koyma Metodu ....................................98
Özel Denklemler .......................................................99
Cevaplı Test - 1 .......................................................102
Cevaplı Test - 2 .......................................................104
vi
İçindekiler
RASYONEL SAYILARRasyonel Sayılar ....................................................106
Kesir ve Kesir Türleri ..............................................106
Kesir .................................................................106
Basit Kesir ........................................................106
Bileşik Kesir ......................................................106
Tam Sayılı Kesir................................................107
Sabit Kesir ........................................................107
Denk Kesir ........................................................108
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ...............................109
1. Toplama İşlemi ..............................................109
2. Çıkarma İşlemi..............................................109
3. Çarpma İşlemi ..............................................109
4. Bölme İşlemi .................................................109
5. Kuvvet Alma.................................................. 110
6. İşlem Önceliği ............................................... 110
Ondalık Kesirler ...................................................... 112
Ondalık Sayılarda Dört İşlem.................................. 113
Devirli Ondalık Açılımlar ......................................... 115
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme ... 115
Rasyonel Sayılarda Sıralama ................................. 117
İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ......... 119
Cevaplı Test - 1 .......................................................120
Cevaplı Test - 2 .......................................................122
Çıkmış Sorular ........................................................124
EŞİTSİZLİKLERBasit Eşitsizlikler .....................................................125
Özellikleri ..........................................................125
Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları ...................................128
Kapalı Aralık .....................................................128
Yarı Açık Aralık .................................................128
Açık Aralık.........................................................129
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler .......129
Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................130
Cevaplı Test – 1 ......................................................133
Cevaplı Test – 2 ......................................................135
Çıkmış Sorular ........................................................137
MUTLAK DEĞERMutlak Değer ..........................................................138
Özellikleri ..........................................................139
Cevaplı Test ............................................................145
Çıkmış Sorular ........................................................147
ÜSTLÜ SAYILARÖzellikleri ..........................................................149
Üstlü Sayılarda Dört İşlem ......................................151
1. Toplama – Çıkarma ......................................151
2. Çarpma .........................................................152
3. Bölme ...........................................................153
Üstlü Sayılarda Denklemler ....................................155
Üstlü Sayılarda Eşitsizlikler ve Sıralama ................157
Cevaplı Test - 1 .......................................................159
Cevaplı Test - 2 .......................................................161
Çıkmış Sorular ........................................................163
KÖKLÜ SAYILARKöklü Sayılar ..........................................................165
Köklü Sayıların Özellikleri .......................................165
Köklü Sayılarda Dört İşlem .....................................169
1. Toplama-Çıkarma .........................................169
2. Çarpma .........................................................170
Kök Kuvvetli Aynı Olan Köklü İfadelerin Çarpılması ..............................................................170
3. Bölme ...........................................................171
Kök Kuvvetleri Farklı Olan Köklü İfadelerin Bölünmesi ...............................................................171
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması ........173
Eşlenik ....................................................................174
İç İçe Sonlu Kökler..................................................176
İç İçe Sonsuz Kökler ...............................................177
A 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ..........179
Köklü Sayılarda Sıralama .......................................181
Köklü Sayılarda Denklem Çözme ...........................182
Cevaplı Test - 1 .......................................................183
Cevaplı Test - 2 .......................................................185
Çıkmış Sorular ........................................................187
vii
İçindekiler
ÇARPANLARA AYIRMAÇarpanlara Ayırma ..................................................189
1. Ortak Parantez Yöntemi ...............................189
2. Gruplandırma Yöntemi .................................189
3. ax2+bx+c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ....190
Özdeşlikler ..............................................................192
1. İki Kare Farkı ................................................192
2. Tam Kare İfadeler .........................................194
III. Dereceden Özdeşlikler ......................................197
Cevaplı Test – 1 ......................................................199
Cevaplı Test – 2 ......................................................201
Çıkmış Sorular ........................................................203
ORAN – ORANTIOran........................................................................204
Orantı......................................................................204
Orantının Özellikleri ..........................................204
Orantı Türleri ..........................................................207
1. Doğru Orantı .................................................207
2. Ters Orantılı Çokluklar ..................................208
3. Bileşik Orantı ................................................210
Ortalamalar ............................................................. 211
1. Aritmetik Ortalama ........................................ 211
2. Geometrik Ortalama .....................................212
Cevaplı Test - 1 .......................................................214
Cevaplı Test - 2 .......................................................216
Çıkmış Sorular ........................................................218
PROBLEMLERDenklem Kurma Problemleri...................................219
Yaş Problemleri ......................................................227
Yüzde Problemleri ..................................................230
Faiz Problemleri......................................................232
Kâr – Zarar Problemleri ..........................................233
Karışım Problemleri ................................................237
İşçi Problemleri .......................................................240
Havuz Problemleri ..................................................242
Hareket Problemleri ................................................245
Cevaplı Test – 1 ......................................................251
Cevaplı Test – 2 ......................................................253
Cevaplı Test – 3 ......................................................255
Cevaplı Test – 4 ......................................................257
Cevaplı Test – 5 ......................................................259
Cevaplı Test – 6 ......................................................261
Cevaplı Test – 7 ......................................................263
Cevaplı Test – 8 ......................................................265
Çıkmış Sorular ........................................................267
KÜMELERKüme ......................................................................273
Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ..............273
Kümelerin Gösterimi .........................................273
Küme Çeşitleri ..................................................274
Kümelerde İşlem Özellikleri ..............................279
Alt Küme ...........................................................279
Küme Problemleri .............................................281
Cevaplı Test ...........................................................283
Çıkmış Sorular ........................................................285
FONKSİYON - İŞLEM –
MODÜLER ARİTMETİKBağıntı ....................................................................286
Fonksiyon ...............................................................286
Test Fonksiyon........................................................290
Bileşke Fonksiyon...................................................292
İşlem .......................................................................292
İşlem Tabloları ..................................................295
İşlemin Özellikleri..............................................295
Modüler Aritmetik ....................................................299
Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................299
Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............304
Cevaplı Test – 1 ......................................................306
Cevaplı Test – 2 ......................................................308
Çıkmış Sorular ........................................................310
viii
İçindekiler
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON –
OLASILIKSaymanın Temel Kuralları ......................................312
Toplama Kuralı..................................................312
Çarpma Yolu ile Sayma ....................................312
Saymanın Temel İlkesi ......................................312
Permütasyon (Sıralama).........................................314
Tekrarlı Permütasyon........................................315
Dairesel Permütasyon ......................................317
Kombinasyon (Gruplama) ......................................318
Olasılık....................................................................323
Olasılık Fonksiyonu .........................................324
Eş Olumlu Örnek Uzay .....................................324
Olasılık Hesabı .................................................324
Koşullu Olasılık .................................................328
Bağımsız ve Bağımlı Olasılık............................329
Cevaplı Test – 1 ......................................................330
Cevaplı Test – 2 ......................................................332
Çıkmış Sorular ........................................................334
TABLO VE GRAFİKLERTablo ve Yorumlama ...............................................336
Grafik ve Yorumlama ..............................................340
Çizgi Grafik .......................................................340
Sütun Grafiği.....................................................342
Daire Grafiği .....................................................342
Cevaplı Test – 1 ......................................................345
Cevaplı Test – 2 ......................................................348
Çıkmış Sorular ........................................................350
SAYISAL MANTIKSayısal Mantık Problemleri .....................................352
Sayı Örüntüleri........................................................352
Sayı Dizileri.............................................................354
Tablo ve Şekil Soruları ............................................357
Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................361
Görsel Yetenek .......................................................364
Cevaplı Test-1 .........................................................367
Cevaplı Test-2 .........................................................369
Cevaplı Test-3 .........................................................371
Çıkmış Sorular ........................................................373
geometriGEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR
Geometrik Kavramlar..............................................375Tanımsız Kavramlar ................................................375
Açılar ................................................................375
Açının Ölçüsü ...................................................375
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ...................375
Açı Ölçü Birimleri ..............................................375
Derecenin Alt Birimleri ......................................376
Açı Çeşitleri ............................................................376Dar Açı ..............................................................376
Dik Açı ..............................................................376
Geniş Açı ..........................................................376
Doğru Açı ..........................................................376
Tam Açı .............................................................376
Komşu Açılar ....................................................376
Açıortay ..................................................................376Tümler Açılar ..........................................................377Bütünler Açılar ........................................................377Ters Açılar ...............................................................378Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ..........................................................378Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ....................................378Kenarları Paralel Açılar ...........................................380Kenarları Dik Açılar .................................................380Üçgenler .................................................................383Üçgen Çeşitleri .......................................................383Açılarına Göre Üçgenler .........................................383
ix
İçindekiler
Kenarlarına Göre Üçgenler.....................................383Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar..................384
i. Yükseklik ........................................................384
ii. Açıortay .........................................................384
iii. Kenarortay....................................................384
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................385Dik Üçgen ...............................................................389Pisagor Teoremi ......................................................389Öklid Bağıntıları ......................................................390Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ......................391Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ..........................392Üçgende Açıortay Teoremleri .................................395
İç Açıortay Teoremi ...........................................396
Dış Açıortay Teoremi ........................................397
Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................399Ağırlık Merkezi ..................................................399
Kenarortay Bağıntıları.............................................401Özel Üçgenler .........................................................403İkizkenar Üçgen ......................................................403Eşkenar Üçgen .......................................................406Üçgende Alan .........................................................410Üçgende Benzerlik .................................................416Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ..............................416Tales Teoremi .........................................................418Temel Orantı Teoremi .............................................418Çapraz Tales Teoremi .............................................419Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı .....................421Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı.................421Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ............................425Üçgen Eşitsizliği .....................................................425
Cevaplı Test (Geometrik Kavramlar) ................431
Cevaplı Test (Üçgende Açılar) ..........................433
Cevaplı Test (Dik Üçgen) ..................................435
Cevaplı Test (Üçgende Açıortay Teoremleri) ....437
Cevaplı Test (Üçgende Kenarortay Teoremleri) ..439
Cevaplı Test (Özel Üçgenler-1) ........................441
Cevaplı Test (Özel Üçgenler-2) ........................443
Cevaplı Test (Üçgende Alan-1) .........................445
Cevaplı Test (Üçgende Alan-2) .........................447
Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-1) .................449
Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-2) .................451
Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-3) .................453
Cevaplı Test (Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları) ....455
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER
Çokgenler ...............................................................457Dışbükey ve İçbükey Çokgenler .............................457Düzgün Çokgen ......................................................458Dörtgenler ...............................................................463Dörtgenlerde Alan ...................................................465Parelelkenar-Eşkenar Dörtgen ...............................467Paralelkenar ...........................................................467Paralelkenarda Alan ...............................................468Paralelkenarın Alan Özellikleri ................................469Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............471Eşkenar Dörtgen.....................................................471Dikdörtgen - Kare ...................................................473Dikdörtgen .............................................................473Kare ........................................................................475Yamuk – Deltoid .....................................................478Yamuk .....................................................................478İkizkenar Yamuk .....................................................481Dik Yamuk ..............................................................483Deltoid ....................................................................483Cevaplı Test (Çokgenler) ........................................484Cevaplı Test (Dörtgenler) ........................................486Cevaplı Test (Paralelkenar-Eşkanar-Dörtgen) ........488Cevaplı Test (Dikdörtgen-Kare) ..............................490Cevaplı Test (Yamuk-Deltoid) .................................492
x
İçindekiler
ÇEMBER VE DAİRE
Çemberde Açı .........................................................494Çemberde Yardımcı Elemanlar ..............................494Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ............................496Merkez Açı ..............................................................496Çevre Açı ................................................................496Teğet Kiriş Açı .........................................................497İç Açı .......................................................................498Dış Açı ....................................................................498Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ...............................499Kirişler Dörtgeni ......................................................500Çemberde Uzunluk .................................................501Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti .................501Kuvvet Ekseni .........................................................503İki Çemberin Ortak Teğetleri ...................................505İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...................506Üçgenin Çemberleri ................................................507Üçgenin İç Teğet Çemberi ......................................507Üçgenin Dış Teğet Çemberi ....................................507Teğetler Dörtgeni ....................................................508Dairede Alan ...........................................................5091. Dairenin Alanı ve Çevresi ...................................5092. Daire Diliminin Alanı ...........................................5093. Çember Yayının Uzunluğu ..................................5094. Daire Kesmesinin Alanı ......................................5105. Daire Halkasının Alanı ........................................ 5116. Çemberde Benzerlik ........................................... 511Cevaplı Test (Çemberde Açı) ..................................514Cevaplı Test (Çemberde Uzunluk) ..........................516Cevaplı Test (Dairede Alan) ....................................518
ANALİTİK GEOMETRİ
Noktanın Analitik İncelenmesi.................................520
Analitik Düzlem .......................................................520
İki Nokta Arasındaki Uzaklık ...................................521
Doğrusal Noktalar ...................................................522
Doğrusal Olmayan Noktalar ...................................525
Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................528
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...............................528
Doğrunun Grafiğinin Çizimi.....................................530
Doğrunun Denklemleri ............................................530
Özel Doğrular .........................................................533
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları (Paralelliği ve Dikliği) ..............................................533
Doğru Demeti .........................................................535
Simetriler ................................................................538
Noktanın Simetriği ..................................................538
Doğrunun Simetriği .................................................541
Eşitsizlikler ..............................................................544
Cevaplı Test ............................................................546
KATI CİSİMLER
Prizma ....................................................................548
Dikdörtgenler Prizması ...........................................549
Küp ........................................................................ 551
Silindir .................................................................... 551
Dönel Silindir ......................................................... 552
Piramit ................................................................... 554
Düzgün Piramit ...................................................... 554
Kesik Piramit.......................................................... 555
Koni ....................................................................... 556
Küre ....................................................................... 557
Cevaplı Test - 1 ..................................................... 558
Cevaplı Test - 2 ..................................................... 560
Geometri Çıkmış Sorular ....................................... 562
1
Temel Kavramlar
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlat-mak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölüm-lerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden me-zun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.
KÜMENet olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluş-turduğu topluluğa küme denir.Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.
Örnek:
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur.
Örnek:
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISIKümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir.Kümenin elemanı olan nesneler “!” sembolü ile küme-
nin elemanı olmayan nesneler ise “g”sembolü ile göste-
rilir.Bir kümeyi oluşturan nesne veya varlıkların sayısına kü-menin eleman sayısı denir.Bir A kümesinin n tane elemanı varsa s(A) = n şeklinde gösterilir.
Örnek:
1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 !
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2 g
şeklinde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
1) Liste Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } pa-rantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.
ÖRNEK
A = {a, b, {c}, {d, e}, f} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Çözüm:
A kümesinin elemanlarını yazacak olursak, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,
olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.Dolayısıyla s(A) = 5 bulunur.
Bir küme yazılırken eğer yazılan elemanlar arasında aynı olanlar varsa bu elemanlar kümeye bir kez yazılır.
UYARI
ÖRNEK
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-nin eleman sayısı kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi ol-sun.Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağın-dan A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.
ÖRNEK
A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm:
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s(A) = 1 bulunur.
2
Temel Kavramlar
2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler be-
lirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin or-tak özellik yöntemi ile gösterilişi denir.
Örnek:
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = {x | x < 100 ve x ∈ N} şeklinde gösterilir.
3) Venn Şeması
Kümenin elemanlarının yanlarına “•” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.
Örnek:
A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir.
a
b d
c
BOŞ KÜMEElemanı olmayan içi boş olan kümeye boş küme denir.
Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.
Örnek:
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir.
NOT
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sı-ralanabilir.
Örnek:
A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirseA kümesi değişmez.
, , , , , , ...A a b c b a c c a b= = = =" " ", , , gibi.
TEMEL KAVRAMLAR
RAKAM
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.
SAYI
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Örnek:
3 hem rakam hem de bir sayıdır.16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
SAYI KÜMELERİ
1) Sayma Sayıları Kümesi
, , , ...1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir.
Sayma sayıları kümesi " "N+ sembolü ile gösterilir.
2) Doğal Sayılar Kümesi
, , , , ...0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir.
Doğal sayılar kümesi “IN” sembolü ile gösterilir.
3) Tam Sayılar Kümesi
.........., , , , , , , , ..........3 2 1 0 1 2 3- - -" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir.
Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade
edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;
a) NegatifTamSayılarKümesi
Sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan yani sıfır-dan küçük sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir.
Negatif tam sayılar kümesi " "Z- sembolü ile gösteri-lir.
.................., , ,Z 3 2 1= - - -- " ,’dir.
3
Temel Kavramlar
NOT
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler.Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı “– 1” dir.
b) PozitifTamSayılarKümesi
Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan yani sıfır-dan büyük sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi de-nir.
Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ sembolü ile gösterilir. , , , .........Z 1 2 3=
+ " ,’dir.
NOT
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler.Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı “1” dir.
c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.
4) Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi " "Q sembolü ile gösterilir.
Q = " ba : a, b ∈ Z ve b ≠ 0- şeklinde yazılır.
Örnek:
, , , , , ...52
1917
136 14 1- - birer rasyonel sayıdır.
5) İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölü-mü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Qʹ” sembolü ile gösterilir.
Örnek:
, , , ,5 2 37
215g- birer irrasyonel sayıdır.
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar küme-sinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi “R” ile gösterilir. R Q Qı
,= şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) Tek tam sayılar
İki ile tam bölünemeyen sayılara tek tam sayılar de-nir.
Tek tam sayılar kümesi ... , , , , , , ...5 3 1 1 3 5- - -" , şeklinde gösterilir.
Tek tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere “2n – 1” dir.
b) Çift tam sayılar
İki ile tam bölünen sayılara çift tam sayılar denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , , ...4 2 0 2 4- -" , şeklin-
de gösterilir. Çift tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak
üzere “2n” dir.
Çift tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir, sı-fırda olabilir.Tek tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir.
UYARI
TAM SAYILARDA İŞLEMLER
Toplama işlemi
a) Aynıişaretlisayılarıntoplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama sayıların ortak işa-reti verilir.
Örnek:
32 14 29+ + işleminde Sayılarının hepsi pozitif ( )+ olduğundan sayı değerle-
ri toplanır. Bulunan toplamın işareti “+” olur. Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.
Örnek:
45 11 73- - - işleminde Sayıların hepsi negatif ( )- olduğundan sayı değerleri
toplanır. Bulunan toplamın işareti " "- olur. Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129- - - =- + + =-
bulunur.
4
Temel Kavramlar
b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
(Çıkarma İşlemi)
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Bulu-nan toplama, sayı değeri büyük olan sayının işareti verilir.
Örnek:
65 93- + işleminde Sayıların biri (−) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı de-
ğeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Bulunan toplamın sonucu 93’ün işareti yani (+) olur. Buradan 65 93 28- + = bulunur.
Örnek:
124 175- işleminde Sayılar zıt işaretli ve 175 124> olduğundan 175 den
124 çıkarılır. Bulunan toplama, 175’in işareti yani ( )- işareti verilir. Buradan 124 175 51- =- bulunur.
NOT
Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a b b a- =- + ’dır.
Örnek:
354 195- + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min sonucunu değiştirmez. Buradan 354 195 195 354 159- + = - =- bulunur.
NOT
İşlemde birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.
Örnek:
36 73 86 118- + - işleminde
iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )- sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
36 73 86 118 36 86 73 118- + - = + - - 122 191
69= -
=-
bulunur.
Çarpma İşlemi
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çar-pılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.
Yani ( ) ( )( ) ( )$
$
+ + =+
- - =+
Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.
Yani ( ) ( )( ) ( )$
$
- + =-
+ - =-
UYARI
Örnek:( ) ( )5 23 115$- - =
( ) ( )12 11 132$- =-
( ) ( )18 12 216$ =
NOT
Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılır-ken işaretler çarpılır.
Bölme İşlemi
Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölü-nüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.
Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : ( )+ + =+
( ) : ( )- - =+
Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- + =-
( ) : ( )+ - =-
UYARI
Örnek:
( ) : ( )68 17 4- =-
:120 12 10=
( ) : ( )111 37 3- =-
( ) : ( )180 15 12- - =