Matematiksel modellerin elemanları - yildiz.edu.trcgungor/modellemeyegiris/acrobats/Ders...

11/11/11

Modellemeye Giriş – Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 1

Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon

örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları

6. DERS

Matematiksel modellerin elemanları 1.  Karar değişkenleri: Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem dikkatli

bir şekilde gözlemlenir ve değerleri kontrol edilebilen ve sistemin performansını etkileyen değişkenler belirlenir. Bu değişkenler yöneticilerin kontrolü altındadır ve karar değişkenleri olarak tanımlanırlar. Bir üretim sisteminde farklı ürünlerin üretilecek miktarları, bir yerden başka yere taşınacak ürün miktarı, işçi sayısı, makina sayısı vb.

2.  Amaç fonksiyonu: Karar değişkenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu oluşturulur.

3.  Kısıtlar: Sistemin içinde bulunduğu koşullardan kaynaklanmaktadır (talep kısıtları, kapasite kısıtları gibi)

“Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction to Management Science” by Cliff

T. Ragsdale

Matematiksel Programlama �  Matematiksel programlama yöneylem araştırmasının, amaçlara ulaşmak

için sınırlı kaynakların optimal veya en etkin şekilde kullanılmasının yollarını arayan bir dalıdır.

�  Literatürde matematiksel programlama problemleri yerine optimizasyon problemleri de kullanılmaktadır.

�  Tek ya da çok değişkenin sayısal bir fonksiyonu ile ilgili maksimum ya da minimum değerleri araştıran problemlere optimizasyon problemleri denir.

�  Optimizasyon modelleri, bir sistem çıktısını en iyilemek için, sistemin ilişkilerinin matematiksel ifadelerle tanımlanmış biçimidir.


T. Ragsdale

Optimizasyon Problemi MAX (veya MIN): f0 (X1 , X2 , … , Xn)

ş.k.g.: f1 (X1 , X2 , … , Xn) <= b1

fk (X1 , X2 , … , Xn) >= bk

fm (X1 , X2 , … , Xn) = bm

Bir optimizasyon probleminde tüm fonksiyonlar doğrusal ise, problem doğrusal programlama modelidir.


T. Ragsdale

11/11/11


Doğrusal Programlama (DP) Bir doğrusal programlama modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal fonksiyonun değerini maksimize veya minimize etmeye çalışır.

y = mx + b bir doğrunun denklemidir.

Örn: y = -4/3x + 6 düzenlenirse 4x + 3y = 18 (2 değişkenli doğrusal fonksiyon)

Bir doğrusal fonksiyon bir pozitif, negatif veya sıfır sabitinin değişkenlerle çarpımlarının toplamıdır: Örn: 5x1 - 4x2 + 0x3 + 6x4

Doğrusal bir fonksiyonda x12 , x1/x2 , √x1 gibi değerler yer almaz.

Doğrusal Programlama (DP) �  Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye,

maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir.

�  Doğrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir.

�  Doğrusal Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir.

�  Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veya eşitsizliklerin kısıtlayıcı koşulları altında doğrusal bir amaç fonksiyonunu en iyi (optimum / maksimizasyon - minimizasyon) kılan değişken değerlerinin belirlenmesinde kullanılan matematiksel programlama tekniğidir.

DP Modelinin Yapısal Unsurları 1. Amaç fonksiyonu

Karar vericinin ulaşmak istediği hedef doğrusal bir denklem ile açıklanır. Amaç fonksiyonu olarak bilinen bu denklem, karar değişkenleri ile karar vericinin amacı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. Zenk/enb = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn

2. Kısıtlayıcı fonksiyonlar (kısıtlayıcılar/kısıtlar)

Karar değişkenleri ve karar değişkenleriyle parametrelerin birbirleriyle olan ilişkilerinde sağlanması zorunlu olan ilişkilerin matematiksel olarak açıklanmasıyla elde edilen denklemlere kısıtlayıcı fonksiyonlar denir. Kısıtlayıcıların değerleri kesin olarak önceden belirlenmiş olup sistemin tanımlanmasında kullanılır. Kısıtlayıcı fonksiyonlar sadece kaynakların sınırlarını değil, gereksinim ve yönetim kararlarını ifade etmekte de kullanılır.

a11x1+a12x2+..................+a1nxn ≤ = ≥ b1

a21x1+a22x2+..................+a2nxn ≤ = ≥ b2

… … … … …

am1x1+am2x2+................+amnxn ≤ = ≥ bm

DP Modelinin Yapısal Unsurları 3. Negatif olmama koşulları

Karar değişkenlerinin değerleri negatif olmaz.

x1, x2, ........ , xn ≥ 0 veya kısaca xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, …, n)

4. Karar değişkenleri

Karar vericinin denetimi altında olan niteliklere karar değişkenleri denir. Bunlar modele ilişkin bilinmeyenler olup değerleri modelin çözümünden sonra belirlenir. Bu değişkenler karar vericinin denetimi altında olduklarından bunlara kontrol değişkenleri de denir.

xj: Belirli bir zaman döneminde j. ürünün üretim miktarı veya faaliyet düzeyi.

j=1, 2, 3, … , n : Ürün çeşidi, faaliyet sayısı.

11/11/11


DP Modelinin Yapısal Unsurları (Devam) 5. Parametreler

Alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol dışı değişkenler denir. Belirli koşullarda belirli değerler alan parametreler problem için veri durumundadır.

Cj : j. karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısı (parametre) - (birim kar, birim fiyat, birim maliyet vs.).

aij : j. üründen bir birim üretmek için i. kaynaktan tüketilen kaynak miktarı veya girdi katsayısı

bi : n sayıdaki ürün için elde bulunan i. sınırlı kaynak miktarı.

i = 1, 2, 3, …, m: Üretim bölümlerinin veya üretim kaynaklarının sayısı.

DP Modelinin Genel Görünümü Amaç Fonksiyonu

Zenk/enb = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn

Kısıtlayıcı Fonksiyonlar

a11x1+a12x2+..................+a1nxn ≤ = ≥ b1

a21x1+a22x2+..................+a2nxn ≤ = ≥ b2

… … … … …

am1x1+am2x2+................+amnxn ≤ = ≥ bm

Negatif Olmama Koşulu

x1, x2, ........ , xn ≥ 0

DP Modelinin Matris Gösterimi Amaç Fonksiyonu

Kısıtlayıcı Fonksiyonlar

DP’ nin Varsayımları

1. Belirlilik (Certainity)

2. Doğrusallık (Linearity)

3. Bölünebilirlik (Divisibility)

4. Toplanabilirlik (Additivity)

5. Orantısallık (Proportionality)

11/11/11


DP’ nin Varsayımları 1. Belirlilik Varsayımı : Bir DP modelinde yer alan parametrelerin bilindiği ve değişmediği kabul edilir. Yani, birim başına kar ya da maliyetlerin (cj), her faaliyet için gerekli olan kaynak miktarlarının (aij) ve mevcut kaynak miktarlarının (bi) kesin olarak bilindiği varsayılır. Bu varsayımın kabul edilmesiyle DP problemlerinin çözümu kolaylaşmaktadır. Ancak, uygulamada bu parametrelerin sık sık değişme eğiliminde olması, DP’de duyarlılık analizi çalışmalarının yürütülmesini gerektirmektedir. Problemin optimum çözümu elde edildikten sonra duyarlılık analizi başlığı altında parametrelerdeki değişmelerin optimal çözüm üzerindeki etkileri incelenebilir.

2. Bölünebilirlik Varsayımı : Bölünebilirlik varsayımı ile karar değişkenlerinin optimal çözüm değerlerinin kesirli değerler alabileceği kabul edilir. Örneğin herhangi bir DP modelinin optimal çözümünde 4.6 adet araba üretileceği gibi bir üretim çıktısı sonucuna ulaşılabilir. Kesirli optimal çözüm değerleri “Tam Sayı Programlama” algoritmalarıyla tamsayılaştırılır.

DP’ nin Varsayımları 3. Doğrusallık Varsayımı : Bir DP modelinin amaç fonksiyonu ve kısıt denklemleri doğrusal olmalıdır. Bir başka deyişle xj’ler birinci dereceden değişkenler olmalıdır. Bir işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır.

4. Toplanabilirlik Varsayımı : Herhangi bir değişkenin amaç fonksiyonuna katkısı, diğer karar değişkenlerinin değerlerinden bağımsızdır. Örnek olarak,

Zmaks. = 3x1+ 2x2 şeklinde bir amaç fonksiyonu olsun.

x2’nin değeri ne olursa olsun x1 birim ünite üretimiyle amaç fonksiyonuna her zaman 3x1 pb. katkı yapılacaktır.

Bir değişkenin her bir kısıt denkleminin sol tarafına yaptığı katkı diğer değişkenlerin değerlerinden bağımsızdır.

2x1 + 1x2 ≤ 6 (Kısıt I)

x1 + 3x2 ≤ 9 (Kısıt II)

şeklinde 2 adet kısıt denklemi olsun.

x1’in değeri ne olursa olsun x2 birim ünite üretimi 1 birim Kaynak I ve 3 birim Kaynak II kullanımı gerektirir.

DP’ nin Varsayımları 5. Orantısallık Varsayımı : Her bir karar değişkeninin amaç

fonksiyonuna ve kısıt denklemlerinin sol tarafına yapacağı katkı karar

değişkeninin değeri ile orantılıdır. Örnek olarak bir adet A tipi

oyuncağın amaç fonksiyonu katkısı 0.8 TL ise dört adet A tipi

oyuncağın amaç fonksiyonuna toplam katkısı bunun dört katı olan 3.2

TL (4x0.8) olacaktır.

Bir adet A tipi oyuncak plastik departmanında 4 dakikada işleniyorsa,

5 adet A tipi oyuncak bunun beş katı olan 20 dakikada (4x5=20)

işlenecektir.

DP’ nin Uygulama Alanları �  Ulaştırma ve dağıtım kanalları

�  Beslenme ve karıştırma problemleri

�  Üretim planlaması

�  Yatırım planlaması

�  Görev dağıtımı

�  Arazi kullanımı planlaması

�  Kuruluş yeri seçimi

�  Oyun teorisi

�  …

11/11/11


DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir:

Adım 1: Problemin anlaşılması

Adım 2: Karar değişkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi.

Adım 3: Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak yazılması

Adım 4: Tüm kısıtlamaların karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması

Adım 5: Negatif olmama koşullarının yazılması.

“Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction to Management Science” by Cliff T. Ragsdale

Örnek Bir Doğrusal Programlama Problemi Bir firma iki tip jakuzi üretmektedir: Aqua – Spa ve Hydro – Lux.

Firmanın çeşitli sebeplerden dolayı 200 adet pompa, 1566 işçilik saati ve 2880 metre tesisat kısıtı bulunmaktadır. Verilen kısıtlar altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim miktarlarını belirlemektir.


JAKUZİ AQUA – SPA HYDRO - LUX Pompalar 1 1 İşçilik 9 saat 6 saat Tesisat 12 metre 16 metre

Birim Kar $ 350 $ 300

DP Modeli Kurarken 5 Adım 1.  Problemi anla.

2.  Karar değişkenlerini belirle.

X1 = Üretilecek Aqua – Spa tipi jakuzi sayısı

X2 = Üretilecek Hydro – Lux tipi jakuzi sayısı

3.  Karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu şeklinde amaç fonksiyonunu oluştur.

MAX. Z = 350 X1 + 300 X2


DP Modeli Kurarken 5 Adım - Devam

4.  Karar değişkenlerinin doğrusal fonksiyonları şeklinde kısıtları yaz.

1 X1 + 1 X2 <= 200 } pompalar

9 X1 + 6 X2 <= 1566 } işçilik

12 X1 + 16 X2 <= 2880 } tesisat

5.  Negatif olmama koşullarını yaz.

X1 >= 0

X2 >= 0

“Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction

to Management Science” by Cliff T. Ragsdale

11/11/11


DP Modeli Kurarken 5 Adım - Devam

MAX. Z = 350 X1 + 300 X2

S.T.:

1 X1 + 1 X2 <= 200

9 X1 + 6 X2 <= 1566

12 X1 + 16 X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

“Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction

to Management Science” by Cliff T. Ragsdale

Maksimizasyon Modeli Örneği – 1 (1 / 3) Ürün karışımı problemi: Kase ve kupa üreten bir firma üretim için kil kullanmaktadır. Bir kase üretimi için 4 kg kil, bir kupa üretimi için 3 kg kil gerekmektedir. Bir kase 1 saatte, 1 kupa ise 2 saatte üretilmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı firmanın sağlayabildiği kil miktarı günlük 120 kg ile sınırlıdır. Günde 40 saat çalışılmaktadır. Üretilen kaselerin herbiri firmaya 40$, kupaların herbiri ise 50$ kar bırakmaktadır.

Verilen işçilik ve malzeme kısıtları altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim bileşimini seçmektir.

“Introduction to Management Science 8th Edition By Bernard W. Taylor III”

KAYNAK İHTİYAÇLARI

ÜRÜN İşçilik (saat / birim)

Kil (kg / birim)

Kar ($ / birim)

Kase 1 4 40 Kupa 2 3 50

Kaynaklar 40 saat / gün 120 kg

Maksimizasyon Modeli Örneği – 1 (2 / 3) Kaynaklar:

Karar Değişkenleri:

Amaç Fonksiyonu:

Kaynak Kısıtları:

Negatif olmama Kısıtları:

Günde 40 saat işçilik

120 kg kil

x1 = günlük üretilecek kase sayısı

x2 = günlük üretilecek kupa sayısı

Maximize Z = $40x1 + $50x2

1x1 + 2x2 ≤ 40 saat işçilik

4x1 + 3x2 ≤ 120 kg kil

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

“Introduction to Management Science 8th Edition

By Bernard W. Taylor III”

Maksimizasyon Modeli Örneği – 1 (3 / 3)

Maximize Z = $40x1 + $50x2

subject to: 1x1 + 2x2 ≤ 40

4x1 + 3x2 ≤ 120

x1 , x2 ≥ 0


11/11/11


Fizibil Çözüm Bir fizibil çözüm hiçbir kısıtı bozmaz (ihlal etmez).

Örn: x1 = 5 kase

x2 = 10 kupa

Z = $40x1 + $50x2 = $700

İşçilik kısıtı kontrolü:

1(5) + 2(10) = 25 < 40 saat,

Kil kısıtı kontrolü:

4(5) + 3(10) = 70 < 120 kg


Fizibil Olmayan Çözüm

Fizibil olmayan bir çözüm kısıtlardan en az birini ihlal etmektedir.

Örn: x1 = 10 kase

x2 =20 kupa

İşçilik kısıtı kontrolü:

1(10) + 2(20) = 50 < 40 saat


Maksimizasyon Modeli Örneği – 2 (1 / 2) �  Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde 120.000 kg. dan

daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için

kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az 10.000

kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi

için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak

kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise

katkısı 6 TL. dir.

�  Yağ bölümü günde 60.000 kg., süt şişeleme donanımı günde 40.000

kg., peynir donanımı ise günde 30.000 kg. süt işleyebilir.

�  Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal

programlama modeli olarak ifade ediniz.

Maksimizasyon Modeli Örneği – 2 (2 / 2) Karar Değişkenleri

x1 = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı (kg)

x2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı (kg)

x3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı (kg)

İşletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu;

Maksimum z = 4x1 + 8x2 + 6x3

Kısıtlar ise;

x3 ≥ 10.000

x1 ≤ 60.000

x2 ≤ 40.000

x3 ≤ 30.000

x1 + x2 + x3 ≤ 120.000

Negatif Olmama Koşulu;

x1 , x2 , x3 ≥ 0

11/11/11


Minimizasyon Modeli Örneği – 1 (1 / 3)

Problem : 1000 gr malzeme içeren sandviç

Malzemeler: İki çeşit, tavuk ($3/gr) ve biftek ($5/gr)

Tarif gereksinimi:

en az 500 gr tavuk

en az 200 gr biftek

Tavuğun bifteğe oranı en az 2’ye 1 olmalı.

Maliyetleri minimize edecek optimal malzeme karışımını belirleyiniz.



Adım 1:

Karar değişkenlerini tanımla.

x1 = tavuk (gr)

x2 = biftek (gr)

Adım 2:

Amaç fonksiyonunu belirle.

Minimize Z = $3x1 + $5x2

$3x1 = tavuk maliyeti

$5x2 = biftek maliyeti


Minimizasyon Modeli Örneği – 1 (3 / 3) Adım 3: Model kısıtlarını tanımla.

x1 + x2 = 1,000 gr x1 ≥ 500 (tavuk gramı kısıtı) x2 ≥ 200 (biftek gramı kısıtı) x1 / x2 ≥ 2 / 1 veya x1 – 2 x2 ≥ 0 (tavuk-biftek oranı kısıtı) x1 , x2 ≥ 0

Model: Minimize Z = $3x1 + $5x2

subject to: x1 + x2 = 1,000 x1 ≥ 500 x2 ≥ 200 x1 – 2x2 ≥ 0 x1 , x2 ≥ 0



İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1

litre X ürününün maliyeti 160 TL. , 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240

TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve

en az 2 litre Y ürünu üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde

kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr.

sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve

Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır.

İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden

kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık

içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz.

11/11/11



Problemde karar değişkenleri, x1 = Üretilecek X ürününün miktarı (litre) x2 = Üretilecek Y ürününün miktarı (litre) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160 x1 + 240 x2 dir. İstenen gerekli minimum miktar ise x1 ≥ 6 ve x2 ≥ 2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3 x1 + 5 x2 ≤ 30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır. Min. z = 160 x1 + 240 x2 x1 ≥ 6 x2 ≥ 2 3 x1 + 5 x2 ≤ 30 x1 , x2 ≥ 0

Matematiksel modellerin elemanları - yildiz.edu.trcgungor/modellemeyegiris/acrobats/Ders...

Documents

Transcript of Matematiksel modellerin elemanları - yildiz.edu.trcgungor/modellemeyegiris/acrobats/Ders...