Matematike Biznesi Sllajde F.M.berisha A4 Ek

8/12/2019 Matematike Biznesi Sllajde F.M.berisha A4 Ek

1/262


2/262

Ekuacionet lineareSistemet e dy ekuacioneve lineare

Prfundim

Elemente t algjebrs lineareSistemet e dy ekuacioneve

F. M. Berisha

Universiteti i Evrops Juglindore, Tetov

Elemente t algjebrs lineare 1

www.e-Libraria.com


3/262


Prfundim

Qllimet dhe objektivat

T paraqitet grafikisht drejtza e cila i prgjigjetnj ekuacioni linear me dy t panjohura

T identifikohet n ekuacionin e drejtzs, t kuptohetdhe t msohet t llogaritet pjerrtsia e nj drejtze.

T identifikiohet n ekuacionin e drejtzs dhe t kuptohety-pikprerja e nj drejtze.

T kuptohet dhe t msohet t llogaritet zgjidhja e nj sistemit dy ekuacioneve lineare


www.e-Libraria.com


4/262


Prfundim

Prmbajtja

1 Ekuacionet lineare. Paraqitja grafike

2 Sistemet e dy ekuacioneve lineareZgjidhja grafikeZgjidhja analitike


www.e-Libraria.com


5/262


Prfundim

Ekuacionet lineare

Shembull

Nj ndrmarrs planifikon t filloj nj biznest prodhimit dhe shitjes s biikletave.Ndrmarrsi dshiron ta llogaris pikn e rentabilitetit(pika ku t hyrat jan t barabarta me kostot).Ai vlerson se kostoja fiksee tij do t jet 1, 000 C n muaj,kurse kostoja variabiledhe do t rritet linearisht.Llogaritjet paraprake tregojn se kostoja variabilepr prodhimin e 500 biikletash do t jet 9, 000 C n muaj.

Kostoja totale e prodhimit t 500 biikletave:

kostoja totale= kostoja fikse+kostoja variabile

=1000+9000= 10, 000.


www.e-Libraria.com


6/262


Prfundim

Ekuacionet lineare. (Vazhdim)

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 100 200 300 400 500

x (njsi)

C (C)

P1(0, 1000)

P2(500, 10, 000)

Figura: Kostoja totale sipas numrit t biikletave.


www.e-Libraria.com


7/262


Prfundim

Ekuacioni i nj drejtze

Sistem koordinativ kartezian

Abshis: boshti xOrdinat: boshti C

Drejtza npr P1, P2: kostoja totale n vartsi nganumri i biikletave

P1(0, 1000)P2(500, 10000)

Ekuacioni i nj drejtze n rastin e prgjithshm:

y=mx+b,

xsht abshisa, y sht ordinatam sht pjerrtsia

bsht y-pikprerja e drejtzs


www.e-Libraria.com


8/262


Prfundim

Ekuacioni i nj drejtze. (Vazhdim)

x

y

ecja

ngritja

|

x1

|

x2

|y1

|y2

b

Figura: Drejtza y=mx+b.


www.e-Libraria.com


9/262


Prfundim

Ekuacioni i nj drejtze. (Vazhdim)

Pjerrtsia:

m=ngritja

ecja =

y2 y1

x2 x1

N shembullin ton:

m=

ngritja

ecja =

C2 C1

x2 x1 =

10000 1000

500 0 =

9000

500 =18

Ekuacioni i drejtzs s kostos totale:

C=18x+1000

C 18x=1000


www.e-Libraria.com


10/262


11/262


Prfundim

Zgjidhja grafikeZgjidhja analitike

Zgjidhja grafike e sistemeve. (Vazhdim)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 100 200 300 400 500

x (njsi)

, C

P1(0, 1000)

P3(0, 0)

P2(500, 10, 000)

P4(500, 12, 500)

T ardhurat

Kosoja totale

Pika e rentabilitetit

Profiti

Figura: Prerja e grafikve (drejtzave) t kostos totale dhe t ardhurave.


www.e-Libraria.com


12/262


Prfundim


Zgjidhja analitike e sistemeve t dy ekuacioneve

Ekuacioni i drejtzs s t ardhurave:

R=mx+b

Pjerrtsia:

m=ngritja

ecja

= R2 R1

x2

x1

=12, 500 0

500

0

=125

5

=25

y-pikprerja:b=0

Ekuacioni i t ardhurave:

R=25x


www.e-Libraria.com


13/262


Prfundim


Zgjidhja analitike e sistemeve. (Vazhdim)

Pr ta zgjidhur analitikisht nj sistem, shnojm abshisatdhe ordinatat e t dyja drejtzave me simbole t njjta.

Me xnumrin e njsive t prodhuara dhe t shiturat biikletaveMe yvlern e kostos totale t barabart me vlerne t ardhurave.

Sistemi i ekuacioneve:

y 18x=1000

y=25x


www.e-Libraria.com


14/262


Prfundim


Zgjidhja analitike e sistemeve. (Vazhdim)

Zgjidhim njrin nga ekuacionet sipas njrs ndryshoredhe zvendsojm n ekuacionin tjetr:

25x 18x=1000

7x=1000

x=1000

7

Zvendsojm vlern e fituar pr t gjetur ndryshoren tjetr:

y=251000

7 =

25000

7 .

N aplikacionin ton:

x=1000

7 142.86 143


www.e-Libraria.com


15/262


Prfundim

Udhzime pr lexim t mtejm

http://fberisha.netfirms.com

Detyr shtpie: Detyrat pr ushtrime nga materiali msimor.

F. M. Berisha, M. Q. Berisha, Matematik pr biznesdhe ekonomiks, fq. 19.


www.e-Libraria.com


16/262


17/262

Sistemet e tri ekuacionesh lineareMatricat

PrcaktortMetoda e Cramer-it

Prfundim

Matricat dhe prcaktort.

Zgjidhja e sistemeve t tri ekuacioneve

me metodn e Cramer-it

F. M. Berisha


Matricat. Prcaktort. Metoda e Cramer-it 1

www.e-Libraria.com


18/262

Sistemet e tri ekuacionesh lineare

Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Nxnja e nocionit t matrics si tabel drejtkndshe

dhe veprimeve themelore me to.

Llogaritja e vlerave t prcaktorve t matricave katrore

t rendit t dyt dhe t tret.

Zbatimi i prcaktorve pr zgjidhjen e sistemeve

t ekuacioneve lineare me metodn e Cramer-it.


www.e-Libraria.com


19/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Prmbajtja

1 Sistemet e tri ekuacionesh lineare

2 Matricat

3 Prcaktort

4 Metoda e Cramer-it


www.e-Libraria.com


20/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Shembull sistemi tri ekuacionesh lineare

Shembull

N nj biznes, veturat m t popullarizuara jan t Tipit A, B, C.

mimi i shitjes pr secilin tip nuk sht i njjt.

Tabela tregon krkesat dhe t ardhurat pr nj periudh tremujore.

Paraqitni ekuacionet pr llogaritjen e mimit mesatar t shitjes.

Muaji Tipi A Tipi B Tipi C T ardhurat

1 25 62 54 2, 756, 000 C

2 28 42 58 2, 695, 000 C

3 45 53 56 3, 124, 000 C

Tabela: Krkesat dhe t ardhurat nga veturat.


www.e-Libraria.com


21/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Shembull sistemi tri ekuacionesh lineare. (Vazhdim)

Zgjidhje.

Shnojm me x, y dhe zmimet mesatare t shitjes

pr Tipin A, B, prkatsisht C.

Ather, shitjet pr seciln nga periudhat mund t paraqiten

me sistemin vijues t ekuacioneve

25x+ 62y+ 54z= 2,756,000

28x+ 42y+ 58z= 2,695,000

45x+ 53y+ 56z= 3,124,000.


www.e-Libraria.com


22/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Matricat

Matricsht nj tabel drejtkndshe numrash,

sikur kto t mposhtmet:

1 2 6

2 3 5

ose

1 3 15 21 31 4 6

.


www.e-Libraria.com


23/262


24/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Verpimet e para me matrica

Mbledhja dhe zbritja e matricave

Shuma e dy matricave A= [aij] dhe B= [bij] t t njjtit rendsht matrica C=A+B= [cij] e rendit t njjt,elementet e s cils jan shumat e elementeve prkats:

cij=aij+bij pr do i e j.

Ndryshimi i dy matricave A= [aij] dhe B= [bij] t t njjtit rendsht matrica C=A B= [cij] e rendit t njjt,elementet e s cils jan ndryshimet e elementeve prkats:

cij=aij bij pr do i e j.


www.e-Libraria.com


25/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Verpimet e para me matrica. (Vazhdim)

Shembull

Llogaritni A+ B dhe A Bn qoft se jan dhn

A =

1 2 6

2 3 5

dhe B=

3 1 0

2 3 5

.

Zgjidhje.

A+ B=

1 + 3 2 1 6 + 0

2 2 3 + 3 5 + 5

=

4 1 6

0 0 10

,

A B=

1 3 2 + 1 6 0

2 + 2 3 3 5 5

=

2 3 6

4 6 0

.


www.e-Libraria.com


26/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Prcaktort

Prcaktori (determinanta) i rendit t dyt

N qoft se Asht nj matric katrore e rendit 2, d.m.th.,

A = a11 a12a21 a22

,ather prcaktori(ose determinanta) i Asht

detA =

a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21.


www.e-Libraria.com


27/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Prcaktort. (Vazhdimi)

Mbani mend!

Skica vijuese na ndihmon pr t mbajtur n mend

mnyrn e llogaritjes s prcaktorit t nj matrice t rendit t dyt.

detA = a11a22 a12a21


www.e-Libraria.com


28/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Shembull

Llogaritni detA pr matricn

A =

1 3

2 4

.


www.e-Libraria.com


29/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Zgjidhje.

Sipas skems

kemi

detA =

1 3

2 4

= 14 32 = 2.


www.e-Libraria.com


30/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Prcaktori (determinanta) i rendit t tret

N qoft se Asht nj matric katrore e rendit 3, d.m.th.,

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,

ather prcaktori i Asht

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a12a21a33 a13a22a31 a11a23a32.


www.e-Libraria.com


31/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Prcaktort. (Vazhdim)

Mbani mend!

Skica vijuese na ndihmon pr t mbajtur n mend

mnyrn e llogaritjes s prcaktorit t nj matrice t rendit t tret.

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a12a21a33 a13a22a31 a11a23a32


www.e-Libraria.com


32/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Shembull

Llogaritni detA pr matricn

A =

1 4 72 5 8

3 6 9

.


www.e-Libraria.com


33/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Zgjidhje.

Sipas skems

detA= 159+4(8)3+72(6)

753 1(8)(6) 429= 360.


www.e-Libraria.com


34/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Rregulla e Cramer-it

Marrim n shqyrtim sistemin e tri ekuacioneve

a11x+ a12y+ a13z= b1

a21x+ a22y+ a23z= b2

a31x+ a32y+ a33z= b3.


www.e-Libraria.com


35/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Rregulla e Cramer-it. (Vazhdim)

Rregulla e Cramer-it. . .

T panjohurat x, y dhe zmund t gjenden nga relacionet

x =d1

det A, y =

d2

det A, z =

d3

det A,

ku

det A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

sht prcaktori i matrics A t sistemit,


www.e-Libraria.com


36/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


. . . Rregulla e Cramer-it

kurse

d1 =

b1 a12 a13

b2 a

22 a

23

b3 a32 a33

, d2 =

a11 b1 a13

a21

b2 a

23

a31 b3 a33

, d3 =

a11 a12 b1

a21

a22

b2

a31 a32 b3

jan prcaktort t cilt formohen nga prcaktori i matrics A

dukezvendsuar shtyllnprkatse t koeficientve

me shtylln e vlerave b1, b2 dhe b3 nga ant e djathta.


www.e-Libraria.com


37/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Shembull

Zgjidhim tani sistemin nga shembulli fillestar:

25x+ 62y+ 54z= 2,756,000

28x+ 42y+ 58z= 2,695,000

45x+ 53y+ 56z= 3,124,000.


www.e-Libraria.com


38/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


Zgjidhje. . .

det A =

25 62 54

28 42 58

45 53 56

= 25

42

56 + 62

58

45 + 54

28

53

544245 255853 622856 = 24,630,

d1 =

2,756,000 62 54

2,695,000 42 58

3,125,000 53 56

= = 514,890,000,


www.e-Libraria.com


39/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


. . . Zgjidhje.

d2 =

25 2,756,000 54

28 2,695,000 58

45 3,125,000 56

= = 289,590,000

dhe

d3 =

25 62 2,756,000

28 42 2,695,000

45 53 3,125,000

= = 686,175,000.


www.e-Libraria.com


40/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim


. . . Zgjidhje.

Prandaj,

x =d1

detA =

514,890,000

24,630 20,904.99,

y =d2

detA =

289,590,000

24,630 11,757.61,

z =d3

detA =

686,175,000

24,630 27,859.32.


www.e-Libraria.com


41/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim




F. M. Berisha, M. Q. Berisha,Matematik pr biznes

dhe ekonomiks, fq. 919.


www.e-Libraria.com


42/262


Matricat

Prcaktort

Metoda e Cramer-it

Prfundim

Prfundim

Nj matric A= [aij]

Prcaktori det A= |aij| i matrics A.

Mnyrat e llogaritjes s prcaktorit t nj matrice t rendit t

dyt ose t tretRregulla e Cramer-it

xi= di

det A


www.e-Libraria.com


43/262

Sistemet e katr ekuacionesh lineareMinort dhe kofaktort e nj prcaktori

Prcaktort e matricave t rendeve t lartaZgjidhja e nj sistemi katr ekuacionesh lineare

Prfundim

Prcaktort e matricave t rendeve t larta

F. M. Berisha


Prcaktort e rendeve t larta 1

www.e-Libraria.com


44/262



Prfundim


Llogaritja e vlerave t prcaktorve t matricave katrore

t rendit t katrt ose m tepr, duke i zbrthyer

sipas nj rreshti ose shtylle.

Zbatimi i prcaktorve t rendeve t larta

pr zgjidhjen e sistemeve t m tepr ekuacioneve lineare

me metodn e Cramer-it.


www.e-Libraria.com


45/262



Prfundim

Prmbajtja

1 Sistemet e katr ekuacionesh lineare

2 Minort dhe kofaktort e nj prcaktori

3 Prcaktort e matricave t rendeve t larta

4 Zgjidhja e nj sistemi katr ekuacionesh lineare


www.e-Libraria.com


46/262



Prfundim

Shembull sistemi katr ekuacionesh lineare

Shembull (. . . )

Nj korporat prbhet nga 4 departamente.

Produktiviteti i secilit departament ndikon nevojat e punst departamenteve tjera.Paraqitni ekuacionet pr llogaritjen e vllimeve t prodhimitt departamenteve n qoft se. . .


www.e-Libraria.com


47/262



Prfundim

Shembull sistemi katr ekuacionesh lineare. (Vazhdim)

Shembull

. . . tabela vuese tregon sasin e prodhimit t departamentit t i-t

t nevojshme pr prodhimin e nj njsie t departamentit t j-t,

dhe sasit e produkteve finale t planifikuara pr departament.

Dept. Koeficientt Prodhimi

1 2 3 4 final

1 0.1 0.1 0.2 0.1 500

2 0.2 0.3 0.3 0.2 100

3 0.2 0.1 0.3 0.1 200

4 0.2 0 0 0.1 1000

Tabela: Koeficientt e ndikimeve ndrmjet departamenteve


www.e-Libraria.com


48/262



Prfundim


Zgjidhje. . .

Shnojm me q1, q2, q3, q4 sasit (t panjohura)e prodhimit t departamentit 1, 2, 3 prkatsisht 4.Ather, vllimet e prodhimit t secilit nga departamentetmund t paraqiten me ekuacionet vuese:

q1 = 0.1q1 + 0.1q2 + 0.2q3 + 0.1q4 + 500

q2 = 0.2q1 + 0.3q2 + 0.3q3 + 0.2q4 + 100

q3 = 0.2q1 + 0.1q2 + 0.3q3 + 0.1q4 + 200

q4 = 0.2q1 + 0q2 + 0q3 + 0.1q4 + 1000.


www.e-Libraria.com


49/262



Prfundim


. . . Zgjidhje.

Pas grupimit t t panjohurave nga ant e majta t barazimeve,

fitojm sistemin e katr ekuacioneve lineare

0.

9q1

0.

1q2

0.

2q3

0.

1q4=

5000.2q1 + 0.7q2 0.3q3 0.2q4 = 100

0.2q1 0.1q2 + 0.7q3 0.1q4 = 200

0.2q1 + 0.9q4 = 1000.


www.e-Libraria.com


50/262



Prfundim

Minort dhe kofaktort e nj prcaktori

Le t jet A nj matric katrore e rendit n

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . .

a3n...

......

...

an1 an2 an3 . . . ann

.


www.e-Libraria.com


51/262



Prfundim

Minort dhe kofaktort e nj prcaktori. (Vazhdim)

Minort dhe kofaktort

Nse largojm nga matrica A rreshtin e i-t dhe shtylln e j-t,

prcaktori i matrics s mbetur katore t rendit n 1

quhet minor i matrics A, dhe zakonisht e shnojm me M.Prodhimi

= (1)i+jM,

i minorit me parashenjn prkatse, quhet kofaktor i a.


www.e-Libraria.com


52/262



Prfundim


Shembull

Llogaritni kofaktort e matrics

A=

1 2 - 3

0 1 2

0 0 1

.

Zgjidhje. . .

11= (1)1+1

M11 = (1)2M11 =

1 2

0 1

=1,

12= (1)1+2

M12= (1)3M12 =

0 2

0 1

=0,


www.e-Libraria.com


53/262


54/262



Prfundim


. . . Zgjidhje.

31 = (1)3+1

M31 = (1)4M31=

2 3

1 2

=7,

32 = (1)3+2

M32 = (1)5M32 =

1

30 2

= 2,

33 = (1)3+3

M33 = (1)6M33 =

1 2

0 1

=1.


www.e-Libraria.com


55/262



Prfundim

Prcaktort e matricave t rendeve t larta

Prcaktori i nj matrice t rendit n . . .

Prcaktori i nj matrice A t rendit n (n > 1) shtshuma e prodhimeve t elementeve t nj rreshti ose nj shtylle

me kofaktort e vet;


www.e-Libraria.com


56/262



Prfundim

Prcaktort e matricave t rendeve t larta. (Vazhdim)

. . . Prcaktori i nj matrice t rendit n

d.m.th.,sipas rreshtit t i-t

det A =

a11 a12 a13 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2j . . . a2n

......

......

ai1 ai2 ai3 . . . a . . . ain

......

......

an1 an2 an3 . . . anj . . . ann

= ai1i1 + ai2i2 + + ainin,

osesipas shtylls s j-t

det A = a1j1j+ a2j2j+ + anjnj.


www.e-Libraria.com


57/262



Prfundim


Shembull

Llogaritni prcaktorin e matrics vuese t rendit t katrt

A =

0 1 2 3

2 0 2 5

0 1 0 13 2 1 2

.

Zgjidhje. . .

detA = 0 31 + 1 32 + 0 33 + 1 34


www.e-Libraria.com


58/262



Prfundim


. . . Zgjidhje.

=1

(

1)3+2

0 2 3

2 2 53 1 2

+1

(

1)3+4

0 1 2

2 0 23 2 1

= (1)5 10+ (1)7 12= 22.


www.e-Libraria.com


59/262



Prfundim

Zgjidhja e nj sistemi katr ekuacionesh lineare

Shembull

Zgjidhni sistemin e katr ekuacioneve lineare

0.9q1 0.1q2 0.2q3 0.1q4 = 500

0.2q1 + 0.7q2 0.3q3 0.2q4 = 100

0.

2q1

0.

1q2+

0.

7q3

0.

1q4=

2000.2q1 + 0.9q4 = 1000.

Zgjidhje. . .

Sipas metods s Cramer-it kemi

q1 =d1

detA

, q2 =d2

detA

, q3 =d3

detA

, q4 =d4

detA

,


www.e-Libraria.com


60/262



Prfundim

Zgjidhja e nj sistemi katr ekuacionesh lineare. (Vazhdim)

...Zgjidhje...

ku

detA =

0.9 0.1 0.2 0.1

0.2 0.7 0.3 0.2

0.2

0.1 0.7

0.1

0.2 0 0 0.9

= 0.2 41 + 0 42 + 0 43 + 0.9 44

= = 0.3096,


www.e-Libraria.com


61/262



Prfundim


...Zgjidhje...

d1 =

500 0.1 0.2 0.1

100 0.7 0.3 0.2

200

0.1 0.7

0.11000 0 0 0.9

= 1000 41 + 0 42 + 0 43 + 0.9 44

= = 326.7,


www.e-Libraria.com


62/262



Prfundim


...Zgjidhje...

d2 =

0.9 500 0.2 0.1

0.2 100 0.3 0.2

0.2 200 0.7

0.1

0.2 1000 0 0.9

= 0.2 41 + 1000 42 + 0 43 + 0.9 44

= = 383.5,


www.e-Libraria.com


63/262



Prfundim


...Zgjidhje...

d3 =

0.9 0.1 500 0.1

0.2 0.7 100 0.2

0.2

0.1 200

0.1

0.2 0 1000 0.9

= 0.2 41 + 0 42 + 1000 43 + 0.9 44

= = 296.1,


www.e-Libraria.com


64/262



Prfundim


...Zgjidhje...

d4 =

0.9 0.1 0.2 500

0.2 0.7 0.3 100

0.

2

0.

1 0.

7 2000.2 0 0 1000

= 0.2 41 + 0 42 + 1000 43 + 1000 44

= = 416.6.


www.e-Libraria.com


65/262



Prfundim


...Zgjidhje...

Prandaj,

q1 =d1

detA =

326.7

0.3096 1,055.23,

q2 = d2detA

= 383.

50.3096

1,238.70,

q3 =d3

detA =

296.1

0.3096 956.40,

q4 =d4

detA =

416.6

0.3096 1,345.61.


www.e-Libraria.com


66/262



Prfundim


. . . Zgjidhje.

Prfundimisht, meq n zbatimin ton q1, q2, q3, q4paraqesin sasi prodhimi t shprehur n njsi, kemi

q1 1,055, q2 1,239, q3 956, q4 1,346.


www.e-Libraria.com


67/262



Prfundim




F. M. Berisha, M. Q. Berisha,Matematik pr biznes dhe

ekonomiks, fq. 1928.


www.e-Libraria.com


68/262


69/262

Metoda e eliminimit e Gauss-itProdhimi skalar dhe prodhimi matricor

Matrica identike dhe matrica inversePrfundim

Shumzimi i matricave. Matrica inverse

F. M. Berisha


Shumzimi i matricave. Matrica inverse 1

www.e-Libraria.com


70/262


71/262



Prmbajtja

1 Metoda e eliminimit e Gauss-it

2 Prodhimi skalar dhe prodhimi matricor

3 Matrica identike dhe matrica inverse


www.e-Libraria.com


72/262



Metoda e eliminimit e Gauss-it

Shembull

Zgjidhni sistemin

x1 + x2 + 3x4 = 4

2x1 + x2 x3 + x4 = 1

3x1 x2 x3 + 2x4 = 3

x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 4

Zgjidhje. . .

Prshkruajm ekuacionine par,

shumzojm ekuacionine parme2dhe e zbresim ngai dyti,

shumzojmt parinme3dhe e zbresim ngai treti

i mbledhimt parinekuacionitt katrt.


www.e-Libraria.com


73/262



Metoda e eliminimit e Gauss-it. (Vazhdim)

...Zgjidhje...

(E2 2E1) (E2)

(E3 3E1) (E3)

(E4+ E1) (E4)

x1 + x2 + 3x4 = 4

x2 x3 5x4 = 7

4x2 x3 7x4 = 15

3x2 + 3x3 + 2x4 = 8.


www.e-Libraria.com


74/262


75/262




...Zgjidhje.

Sistemin e fundit mund ta zgjidhim me zvendsim nga prapa:

x4 =13

13=1

x3= 13 13x4

3 = 1

3(13 131) =0

x2= (7+5x4+x3) = (7+51+0) =2

x1=4 3x4 x2 =4 3 2= 1.


www.e-Libraria.com


76/262




Mbani mend!

Edhe m leht, pa i shnuar fare ndryshoret e ekuacioneve,

metodn do t mund ta zbatonim

duke e aplikuar n matricn e zgjeruar t sistemit,e cila prbhet nga matrica e koeficientve t sistemit,

t cils i prshkruhet nga e djathta shtylla e lir.

Pastaj veprimet kryhen mbi elementt e ksaj matrice.


www.e-Libraria.com


77/262



Prodhimi skalar

Prodhimi me nj skalar

N qoft se ksht nj numr (ose, skalar),ather prodhimi skalar i skalarit kme nj matric A

sht matrica Be rendit t njjt sikur A,elementet e s cils jan t barabart me prodhimine elementve prkats t Ame k;pra, B=kA= [bij], ku bij=kaij.


www.e-Libraria.com


78/262



Prodhimi skalar. (Vazhdim)

Shembull

Shumzoni skalarisht matricn

A=

1 2

3 4

me numrin 5.

Zgjidhje. . .

kA= 5

1 2

3 4

=

5(1) 52

53 5(4)

=

5 10

15 20

.


www.e-Libraria.com


79/262



Prodhimi matricor

N qoft se matrica A sht e rendit m p,

kurse matrica B e rendit p n,

ather prodhimi A Bdo t jet matric e rendit m n


www.e-Libraria.com


80/262



Prodhimi matricor

Prodhimi matricor

N qoft se A sht nj matric e rendit m p

dhe Bsht nj matric e rendit p n,

ather prodhimi matricor i matrics A me B

sht matrica C e rendit m n,

elementet e s cils jan t barabarta me shumne prodhimeve t elementeve t nj rreshti t A

me elementet prkatse t nj shtylle t B;

pra, C=AB= [cij], ku

cij=ai1b1j+ai2b2j+ +aipbpj=p

k=1

aikbkj.


www.e-Libraria.com


81/262



Prodhimi matricor. (Vazhdim)

Shembull

Le t jen

A =

2 1 1

3 1 2

0 2 3

, B = 1 1 1

2

1 2

3 0 3

.

Llogaritni prodhimin AB.


www.e-Libraria.com


82/262



Prodhimi matricor. (Vazhdim)

Zgjidhje.

Meq dimensionet e matricave A e B jan 3 3 dhe 3 3,

ather sht i mundur prodhimi AB,

dhe rezultati do t jet matric 3 3:

AB =

2 1 -1

3 1 2

0 -2 -3

1 - 1 1

2 - 1 2

3 0 3

=

1 3 1

11 4 11

13 2 13

.


www.e-Libraria.com


83/262



Matrica identike

Matric identike

Matric identike Isht nj matric katrore

e cila i ka t gjitha elementet e diagonales t barabart me 1,kurse t gjith elementet tjer t barabart me 0.


www.e-Libraria.com


84/262



Shembuj matricash identike

Shembull

1 00 1

,

1 0 00 1 00 0 1

, 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.


www.e-Libraria.com


85/262



Matrica identike. (Vazhdim)

Shembull

Gjeni prodhimin e nj matrice katrore t rendit 2

A =a

11 a

12a21 a22

me matricn identike I t rendit 2 2. Gjeni pastaj prodhimit IA.


www.e-Libraria.com


86/262




Zgjidhje.

AI=

a11 a12

a21 a22

1 0

0 1

=

a111 + a120 a110 + a121

a211 + a220 a210 + a221

= a11 a12a21 a22

= A.

IA =

1 0

0 1

a11 a12

a21 a22

=

1 a11 + 0 a21 1 a12 + 0 a220 a11 + 1 a21 0 a12 + 1 a22

=

a11 a12

a21 a22

= A.


www.e-Libraria.com


87/262




Vetia e nj matrice identike

Mund t vrtetohet se pr do matric katrore A t rendit n

dhe do matric identike I

t renditn

vlen

AI = IA = A


www.e-Libraria.com


88/262



Matrica inverse

Matrica inverse

Pr matric katrore A t rendit n themi se sht josingulare

n qoft se det A= 0.

N qoft se A sht nj matric josingulare,

ather matrica inversee A, e shnojm me A1

,quhet matrica e till q

AA1 = A1 A = I.


www.e-Libraria.com


89/262



Matrica inverse. (Vazhdim)

Matrica inverse

N qoft se A sht nj matric josingulare,

ather matrica e saj inverse A1 sht

A1 =1

det A adj A,

ku adj A sht matrica e adjonguare matrics A,

e cila prbht nga kofaktort sipas rreshtave t elementve t A

t rradhitur sipas shtyllave:

adj A =

11 21 31 . . . n1

12 22 32 . . . n2

13 23 33 . . . n3

......

......

1n

2n

3n

. . . nn

.


www.e-Libraria.com


90/262




Sistemi i ekucacioneve lineare n trjat matricore. . .

Sistemi i ekucacioneve lineare

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

..

.an1x1 + an2x2 + an3x3 + + annxn = bn,

mund t shkruhet si barazim matricor

AX= B,

ku A sht matrica e sistemit, Xsht shtylla e t panjohurave,

kurse Bsht shtylla e lir;


www.e-Libraria.com


91/262




. . . Sistemi i ekucacioneve lineare n trjat matricore

d.m.th.

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

...

an1 an2 an3 . . . ann

,

X =

x1

x2...

xn

, B =

b1

b2...

bn

.


www.e-Libraria.com


92/262




Zgjidhja e nj sistemi me an t matrics inverse

X= A1B

sht zgjidhja e ekuacionit matricor t sistemit.

Vrtet,

AX= A(A1B) = (AA1)B= IB= B.


www.e-Libraria.com


93/262




Mbani mend!

Llogaritja e matrics inverse krkon numr t madh veprimesh,

prandaj sht e paprshtatshme pr tu zbatuar n praktik.

N rastin e prgjithshm, metoda m e prshtatshme

pr zgjidhjen e nj sistemi ekuacionesh lineare

sht metoda e Gauss-it.


www.e-Libraria.com


94/262






F. M. Berisha, M. Q. Berisha,Matematik pr biznes dheekonomiks, fq. 2840.


www.e-Libraria.com


95/262



Prfundim

Teknika e zgjidhjes s nj sistemi ekuacionesh lineare

me metodn e Gauss-it.

Llogaritja e prodhimit t nj matrice me nj skalar

dhe me nj matric.

Kuptimi i lidhmris ndrmjet nj sistemi ekuacionesh lineare

dhe ekuacionit matricor t tij.


www.e-Libraria.com


96/262

Vargjet e pafundmeLimiti i nj vargu

Prfundim

Vargjet dhe serit

Vargjet dhe limitet e vargjeve

F. M. Berisha


Vargjet dhe serit 1

www.e-Libraria.com


97/262


Prfundim


Nxnja e nocioneve t vargut t pafundm dhe limitit t tij.

Gjetja e limitit t nj vargu me an t rregullave

t llogaritjes s limitit.Futja e nocionit t numrit e: bazs natyrore eksponenciale.

Vargjet dhe serit 2

www.e-Libraria.com


98/262


Prfundim

Prmbajtja

1 Vargjet e pafundme

2 Limiti i nj vargu

Nocioni i limitit

Vetit e limiteve

Baza natyrore eksponenciale e

Vargjet dhe serit 3

www.e-Libraria.com


99/262


Prfundim

Vargjet e fundme

Varg i fundmquhet nj matric rresht [a1 , a2, a3, . . . , ap]me dimensione 1 p.

Kur flasim pr vargje, zakonisht, i lm menjan

kllapat e matrics:

a1, a2, a3 , . . . , ap

ose, edhe me shkurt, {an}p

n=1.

N qoft se kemi nj varg t fundm {an}p

n=1,

ather do numri t plot n nga intervali 1 n p

i sht shoqruar nj numr real an:

n 1 2 3 . . . p

an a1 a2 a3 . . . ap

Vargjet dhe serit 4

www.e-Libraria.com


100/262


Prfundim

Vargjet e pafundme

N qoft se numrin n nuk e kufizojm nga sipr me p;d.m.th., fardo numri t plot n 1 (pra, numri natyror)i shoqrohet nj numr real an,ather fitohet varg i pafundm(ose, shkurt, varg)

Shoqrimi:

n 1 2 3 . . . n . . .an a1 a2 a3 . . . an . . .

Shnimi:a1 , a2 , a3, . . . , an, . . .

ose, shkurt, {an}

n=1

Vargjet dhe serit 5

www.e-Libraria.com


101/262


Prfundim

Shembuj vargjesh

Shembull (. . . )

1 N qoft se rregulla e shoqrimit t n me an sht an = 1n

,ather a1 =

11= 1, a2 =

12

, a3 = 1

3, . . . , prandaj vargu i

fituar sht

1,1

2

,

1

3

, . . . ,

1

n

, . . .

2 N qoft se an = n

n+1, ather vargu i fituar sht

1

2,

2

3,

3

4, . . . ,

n

n+ 1, . . .

Vargjet dhe serit 6

www.e-Libraria.com


102/262


Prfundim

Shembuj vargjesh. (Vazhdim)

Shembull (. . . )

3 N qoft se an= (1)n 1

2n, ather vargu i fituar sht

1

2,

1

4,

1

6, . . . ,(1)n

1

2n, . . .

Vargjet dhe serit 7

www.e-Libraria.com


103/262


Prfundim

Nocioni i limititVetit e limiteveBaza natyrore eksponenciale e

Limiti i nj vargu

Sjellja e vargut an = 1n

kur n rritet pafundsisht:

n 10 100 200 500 1000 10000

an 0.1 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0001

Termi an i afrohet numrit 0 kur numri n rritet pafundsisht:

limn an =0

.

Interpretimi gjeometrik i shprehjes limn

an =0

0an

11

12

13

15

110

120

150

Vargjet dhe serit 8

www.e-Libraria.com


104/262


Prfundim


Limiti i nj vargu. (Vazhdim)

Limiti i nj vargu

N qoft se an i afrohet gjithmon m afr numrit L

kur n rritet pafundsisht,

ather L sht limit i an kur n tenton nga :

limn

an =L

Vargjet dhe serit 9

www.e-Libraria.com


105/262


Prfundim


Vetit e limiteve

Vetit algjebrike t limiteve

N qoft se ekzistojn limn

an dhe limn

bn, ather

limn

(an+ bn) = limn

an + limn

bn,

limn

(an bn) = limn

an limn

bn,

limn(kan) = k limn an pr do konstant k,

limn

(anbn) =

limn

an

limn

bn

,

limn

an

bn=

limn

an

limn

bnn qoft se lim

nbn =0,

limn

ap

n=

limn

an

pn qoft se ekziston lim

nap

n.

Vargjet dhe serit 10

www.e-Libraria.com


106/262


Prfundim


Vetit e limiteve. (Vazhdim)

Limitet e vargjeve elementare

Limiti i nj konstante sht vet konstanta:

limn

k= k.

Limiti i an = n kur n sht:

limn

n =.


www.e-Libraria.com


107/262


Prfundim



Shembull

Le t jet k>0 nj konstant.

Limiti i nj fuqie nk:

limn

nk

=.

Limiti i vlers reciproke t fuqis:

limn

1

nk = lim

n

1

n

k

=

limn

1

n

k

=0k =0.


www.e-Libraria.com


108/262


Prfundim



Limiti i nj shprehjeje polinomiale

N qoft se an =0, ather

limn

(aknk + ak1n

k1 + + a1n+ a0) = limn

aknk.

D.m.th., pr t gjetur limitin, marrim limitin e termit

me fuqin m t madhe.


www.e-Libraria.com


109/262


Prfundim



Shembull

Gjeni

limn

(1 n2 +4n3 3n4).

Zgjidhje.

limn

(1 n2 +4n3 3n4) = limn

(3n4)

= 3( limn

n4) = .


www.e-Libraria.com


110/262


111/262


Prfundim



Shembull

Gjeni

limn

3n2 2n + 1

2n2 + 3n 1.

Zgjidhje.

Pjestojm numruesin dhe emruesin me n2:

limn

3n2 2n + 1

2n2 + 3n 1 = lim

n

3n22n+1n

2

2n2+3n1n

2

= limn

3 2n

+ 1n

2

2 + 3n

1n

2

= 3 0 + 0

2 + 0 0 =

3

2.


www.e-Libraria.com


112/262


Prfundim



Shembull

Gjeni

limn

n2 +

2n+

15n 2 .


www.e-Libraria.com


113/262


Prfundim



Zgjidhje.

Pjestojm numruesin dhe emruesin me n:

limn

n2 + 2n + 1

5n 2 = lim

n

n + 2 + 1n

5 2n

.

Meq

limn

n + 2 +

1

n

= dhe lim

n

5

2

n

= 5,

rrjedh se

limn

n2 + 2n + 1

5n 2 = .


www.e-Libraria.com


114/262


Prfundim


Numri e

Marrim n shqyrtim limitin e vargut an =

1 + 1n

n

:

e = limn

1 +

1

n

n

.

Sjellja e vargut kur n:

n 1 10 100 1, 000 10, 000 100, 0001 + 1

n

n

2 2.5937 2.7048 2.7169 2.7182 2.7183

Vlera e numrit e:

e = 2.71828...


www.e-Libraria.com


115/262


116/262


Prfundim




F. M. Berisha, M. Q. Berisha,Matematik pr biznesdhe ekonomiks, fq. 4150.


www.e-Libraria.com


117/262


Prfundim

Prfundim

Nj varg i pafundm {an}

n=1 dhe limiti i tij limn

an

Vetit e limiteve:

Vetit algjebrike t limiteve

Limitet e vargjeve elementare limn

k dhe limn

n

Limiti i nj shprehjeje polinomiale

Limiti i nj shprehjeje racionale

Baza natyrore eksponenciale e


www.e-Libraria.com


118/262

Vargu (progresioni) aritmetikVargu (progresioni) gjeometrik

Prfundim

Progresioni aritmetik dhe ai gjeometrik

F. M. Berisha


Progresioni aritmetik dhe ai gjeometrik 1

www.e-Libraria.com


119/262


Prfundim


Nxnja e nocioneve t dy tipesh t rndsishme vargjesh:

vargut aritmetik dhe atij gjeometrik.

Llogaritja e nj termi t fardoshm dhe shums s termave

t nj vargu aritmetik ose gjeometrik.

Zbatime n bines dhe ekonomiks.


www.e-Libraria.com


120/262


Prfundim

Prmbajtja

1 Vargu (progresioni) aritmetik

2 Vargu (progresioni) gjeometrik


www.e-Libraria.com


121/262


Prfundim

Vargu (progresioni) aritmetik

Varg (progresion) aritmetik

Vargu a1, a2, a3, . . . , an, . . . sht varg(ose progresion) aritmetikn qoft se do element ndryshon nga elementi paraardhs

pr nj numr konstant d(t quajtur diferenc, ose ndryshim);d.m.th., n qoft se pr do n >1 sht

an an1 = d.


www.e-Libraria.com


122/262


Prfundim

Vargu (progresioni) aritmetik. (Vazhdim)

Shembull

Nj biznes prodhimi detergjenti kishte n vitin 2005

produktin vjetor 147 ton.

Pronari ka planifikuar q do vit t rris produktivitetinpr 4.5 ton.

Sa do t jet prodhimi i planifikuar vjetor n vitin 2007?


www.e-Libraria.com


123/262


Prfundim

Vargu (progresioni) aritmetik. (Vazhdim)

Zgjidhje.

Vargu i prodhimeve t planifikuara vjetore sht progresion

aritmetik:

Viti 2005 2006 2007 . . .

n 1 2 3 . . .an 147 151.5 156 . . .

Pra, prodhimi vjetor n vitin 2007 sht parapar t jet

a3 = 156 ton detergjent.


www.e-Libraria.com


124/262


Prfundim

Termi i prgjithshm i nj vargu aritmetik

Termi i prgjithshm i nj vargu aritmetik:

an= an1+ d= (an2+ d) + d= an2+2d

= an3+3d= = a1+ (n 1)d.


Termi i prgjithshm i nj vargu aritmetik me term t par a1dhe ndryshim d sht

an = a1+ (n 1)d.


www.e-Libraria.com


125/262


Prfundim

Termi i prgjithshm i nj vargu aritmetik. (Vazhdim)

Shembull

Gjeni sasin e prodhimit vjetor t planifikuar pr vitin 2015

n zbatimin nga shembulli i mparm.

Zgjidhje.

Si pam, prodhimet e planifikuara vjetore formojn varg aritmetikme a1 =147, d=4.5.Tani krkohet elementi a11 i vargut.

a11= a1+ (11 1)d=147+104.5= 192

ton.


www.e-Libraria.com


126/262


Prfundim

Shuma a termave t nj vargu aritmetik

Shuma a termave t nj vargu aritmetik

Shuma e n termave t par t nj vargu aritmetik me term t

par a1 dhe ndryshim d sht

Sn = n

2 (a1+ an),

ose

Sn= n

2[2a1+ (n 1)d].


www.e-Libraria.com


127/262


Prfundim

Shuma a termave t nj vargu aritmetik. (Vazhdim)

Shembull

sht vlersuar se javn e par kontributet nn ndikimine nj kampanjeje pr ngritje fondesh do t jen 5,000 C,kurse gjat javve t ardhshmedo jav do t zvoglohen pr 600 C.Llogaritni totalin fondeve t ngritura nga kampanjagjat periudhs kohore 8 javore.


www.e-Libraria.com


128/262


Prfundim


Zgjidhje.

Vargu i fondeve javora t ngritura nga kampanja

sht progresion aritmetik me element t par a1=5000dhe diferenc d= 600.

S8 = 8

2[25,000+ (8 1)(600)] =23,200

euro.


www.e-Libraria.com


129/262


Prfundim

Vargu (progresioni) gjeometrik

Varg (progresion) gjeometrik

Vargu a1, a2, a3, . . . , an, . . . sht varg(ose progresion) gjeometrikn qoft se do element fitohet si prodhim i elementit paraardhsme nj faktor konstant q(t quajtur hers);d.m.th., n qoft se pr do n >1 sht

an

an1= q.


www.e-Libraria.com


130/262


Prfundim

Termi i prgjithshm i nj vargu gjeometrik

Termi i prgjithshm i nj vargu gjeometrik:

an= an1q= (an2q)q= an2q2

= an3q3 = = a1q

n1.


Termi i prgjithshm i nj vargu gjeometrik me term t par a1dhe hers q sht

an = a1qn1

.


www.e-Libraria.com


131/262


Prfundim

Termi i prgjithshm i nj vargu gjeometrik. (Vazhdim)

Shembull

Nj prodhues vlerson se t hyrat vjetore

nga prodhimi dhe shitja e nj malli do t rriten do vit pr 15%.

Sa jan t hyrat e vlersuara vjetore pr vitin 2015n qoft se n fund t vitit 2005 kishte t hyra vjetore

prej 100,000 C?


www.e-Libraria.com


132/262


Prfundim


Zgjidhje. . .

Pr t hyrat vjetore gjat periudhs s par vjm R1 = 100,000.

Meq t hyrat vjetore do vit t rriten pr 15%, kemi

R2 = R1 + R1 15

100= R1

1 +

15

100

.

N qoft se t hyrat vjetore pr periudhn e n-t i shnojm me Rn,kurse ato t periudhs paraprake me Rn1, ather

Rn = Rn1 + Rn1 15

100= Rn1

1 +

15

100

,

q do t thot se vargu i t hyrave vjetore sht progresion

gjeometrik me hersin q= 1 + 15100 = 1.15.


www.e-Libraria.com


133/262


Prfundim


. . . Zgjidhje.

T hyrat e vlersuara vjetore pr vitin 2015 do t jen

R11 = 100,

000

1.

1510 404

,

556

euro.


www.e-Libraria.com


134/262


135/262


Prfundim

Shuma a termave t nj vargu gjeometrik. (Vazhdim)

Shembull

Supozojm se gjat vitit t par t shfrytzimit

nj makin e caktuar industriale gjeneron profit prej 3,000 C

dhe se do vit t ardhshm profiti zvoglohet pr 13%.Sa do t jet profiti total i gjeneruar nga shfrytzimi i makins

pr 15 vjet?


www.e-Libraria.com


136/262


Prfundim


Zgjidhje.

Shnojm me Pn profitin pr vitin e n-t. Ather

Pn = Pn1 Pn1 13

100 = Pn1

1

13

100

,

q d.m.th. se vargu i profiteve vjetore sht progresion gjeometrikme hers q = 1 13100 = 0.87 dhe element t par P1 = 3,000.

S15 = 3,0000.8715 1

0.87 1 20,219.6

euro.


www.e-Libraria.com


137/262


Prfundim






www.e-Libraria.com


138/262


Prfundim

Prfundim

Nocionet vargjeve aritmetike dhe gjeometrike.

Gjetja dhe zbatimi n aplikacione e termit t prgjithshm


Gjetja dhe zbatimi n aplikacione e shums s termave



www.e-Libraria.com


139/262

Konvergjenca e nj serieSerit gjeometrike

Prcaktimi i natyrs s nj seriePrfundim

Serit

F. M. Berisha


Serit 1

www.e-Libraria.com


140/262




Nxnja e nocionit t nj serie dhe konvergjencs s saj.

Llogaritja e shums s nj serie gjeometrike.

Prcaktimi i natyrs s nj serie t thjesht.

Serit 2

www.e-Libraria.com


141/262



Prmbajtja

1 Konvergjenca e nj serie

2 Serit gjeometrike

3 Prcaktimi i natyrs s nj serie

Serit 3

www.e-Libraria.com


142/262


143/262



Nocioni i nj serie. (Vazhdim)

Seri

N qoft se {an}

n=1 sht nj varg numrash,

ather vargu i shumave t pjesshmeSn =n

k=1

ak t tij

quhet seri.

N qoft se S= limn Sn, ather S sht shuma e seris:

S= a1 + a2 + a3 + + an + =

k=1

ak.

N qoft se ekziston shuma e nj serie,

ather themi se seria sht konvergjente;

n t kundrtn seria sht divergjente.

Serit 5

www.e-Libraria.com


144/262



Seria

n=11/n

Shembull

Shqyrtoni natyrn (konvergjente ose divergjente) e seris

n=1

1

n

Serit 6

www.e-Libraria.com


145/262



Seria

n=11/n. (Vazhdim)

Zgjidhje.

Tabela vijuese na jep nj ide intuitive mbi natyrn e seris

n=11n

.

n 1 2 5 10 100 1000 10000n

k=11k

1 1.5 2.2833 2.9290 5.1874 7.4855 9.7876

Pra, kemi prshtypjen se shumat e pjesshme rriten pafundsisht:

n=1

1

n

=.

Serit 7

www.e-Libraria.com


146/262


147/262



Seria

n=11/nk

Natyra e seris

n=1

1nk

N qoft se k>

1, ather seria

n=1

1

nk konvergjon.

N qoft se k 1, ather seria

n=1

1nk

divergjon.

Serit 9

www.e-Libraria.com


148/262



Serit gjeometrike

N qoft se vargu {a1}

n=1 sht varg gjeometrik,

ather serin

n=1an e quajm seri gjeometrike.

Shuma e saj sht(rikujtoni pikn paraprake)

limn

Sn = limn

a1qn 1

q 1 = a1

limn

qn

1

q 1 .

mund t themi mbi limn

qn pr vlera t dhna

t konstants q?

Serit 10

www.e-Libraria.com


149/262



Serit gjeometrike. (Vazhdim)

Tabela vijuese ilustron sjellje e vargut {qn}n1

pr vlerat q = 23

, q = 34

, q= 2 dhe q= 1.5.

n 1 2 5 10 50 100

23

n0.

6667 0.

4444 0.

1317 0.

017 1.

6109 2.

51018

34

n

0.75 0.5625 0.2373 0.0563 5.7107 3.21013

2n 2 4 32 1024 1.11015 1.31030

1.5n 1.5 2.25 7.594 57.67 6.4108 4.11017

Serit 11

www.e-Libraria.com


150/262




Natyra e vargut {qn}n=1

N qoft se 1 < q< 1, ather

limn

qn= 0.

N qoft se q> 1, ather

limn

qn

=.

N qoft se q< 1, ather nuk ekziston limiti

i vargut {qn}n=1.

Serit 12

www.e-Libraria.com


151/262




Natyra e nj serie gjeometrike

N qoft se 1 < q< 1, ather

k=1

aqk=

a

1 q.

N qoft se q> 1, ather

k=1

aqk=.

N qoft se q< 1, ather seria

k=1

aqk divergjon.

Serit 13

www.e-Libraria.com


152/262



Kriteri mbi divergjencn

Kriteri mbi divergjencn e nj serie

N qoft se nj seri

n=1an konvergjon, ather lim

n

an = 0.

Prandaj, n qoft se nuk sht limn

an = 0,

ather seria

n=1an divergjon.

Serit 14

www.e-Libraria.com


153/262



Kriteri i DAlembert-it

Kriteri i DAlembert-it mbi konvergjencn e nj serie

Pr do n le t jet an > 0 dhe

limn

an+1

an= L.

N qoft se L < 1, ather seria

n=1an konvergjon.

N qoft se L > 1, ather seria

n=1an divergjon.

Serit 15

www.e-Libraria.com


154/262







Serit 16

www.e-Libraria.com


155/262



Prfundim

Nocionet e nj serie, konvergjencs dhe shums s saj.

Natyra e vargut {qn}n=1 dhe limiti i tij.

Llogaritja e shums s nj serie gjeometrike.

Kriteret mbi prcaktimin e natyrs s nj serie.

Serit 17

www.e-Libraria.com


156/262

Njehsimi proporcional dhe prqindjaNjehsimi i interesit t thjesht

Prfundim

Hyrje n matematikn finansiare

Njehsimi proporcional dhe prqindja.

Njehsimi i interesit t thjesht

F. M. Berisha


Hyrje n matematikn finansiare 1

www.e-Libraria.com


157/262


Prfundim


Zgjidhja e nj proporcioni sipas njrs s panjohur.

Njehsimi procentual.

Njehsimi i interesit t thjesht.


www.e-Libraria.com


158/262


Prfundim

Prmbajtja

1 Njehsimi proporcional dhe prqindja

2 Njehsimi i interesit t thjesht


www.e-Libraria.com


159/262


Prfundim

Njehsimi proporcional

Prpjese dy numrave a= 0 dhe b= 0 quhet hersi i tyre ab

;

p.sh., 104

, q sht njsoj sikurse 52

.

Barazimi i dy prpjesave quhet proporcion:

ab = c

d.

Proporcioni ab =

c

d vlen ather dhe vetm ather

kur ad = bc.


www.e-Libraria.com


160/262


Prfundim

Njehsimi proporcional. (Vazhdim)

Shembull

Zgjidhni ekuacionin5

x

=

25

12.

Vrtetim.

Proporcioni i dhn sht ekuivalent me barazimin

25x = 512

x =

512

25 = 2.4.


www.e-Libraria.com


161/262


Prfundim

Prqindja

Prqindja

Madhsit t cilat lidhen me njehsimin e prqindjes jan:1 Sasia kryesore(kapitali) Ksht madhsia nga e cila

duhet t llogaritet shuma e prqindjes.2 Prqindjape madhsis s dhn paraqet t qindtat pjes

t asaj madhsie.3 Shuma e prqindjes(interesi) Isht vlera e llogaritur e

prqindjes nga sasia kryesore.

Relacioni ndrmjet tyre shprehet me an t proporcionit

K

I =

100

p ,

Simbolikisht, prqindjen pe shnojm me p%

.Hyrje n matematikn finansiare 6

www.e-Libraria.com


162/262


Prfundim

Prqindja. (Vazhdim)

Shembull

mimi i nj prodhimi sht 380 C dhe prqindja e zbritjes p= 5%.

Sa sht interesi Idhe mimi i ri?

Vrtetim.

Kemi K= 380, p= 5; krkohen I dhe K I.

I=Kp

100 =

3805

100 = 19.

mimi i ri do t jet

K I= 380 19 = 361

euro.Hyrje n matematikn finansiare 7

www.e-Libraria.com


163/262


Prfundim

Prqindja. (Vazhdim)

Shembull

Nga panxharsheqeri fitohet 18% sheqer.

Sa kilogram panxharsheqer nevojiten pr 13,113 kg sheqer?

Vrtetim.

Ktu kemi p= 18, I= 13,113; krkohet K.Nga proporcioni i prqindjes gjejm

K= I100

p =

13,113100

18 = 72,850.


www.e-Libraria.com


164/262


Prfundim


Interesi i thjesht

Interesi I n kapitalin K me prqindje vjetore p%

t interesit t thjesht llogaritet sipas formulave:

pr n vite

K

I = 100

pn

pr m muaj

K

I =

1200

pm

pr d dit

K

I = 36000

pd


www.e-Libraria.com


165/262


Prfundim

Njehsimi i interesit t thjesht. (Vazhdim)

Shembull

Sa interes sjellin 750 C me 5 13% interes vjetor pr 3 vjet?

Vrtetim.

Kemi K=

750, p=

5

1

3= 16

3, n=

3; krkohet I.Sipas formuls pr interesin e thjesht n baza vjetore,

I=Kpn

100 =

750 163

3

100 = 120.


www.e-Libraria.com


166/262


Prfundim


Shembull

Cili kapital do t sjell pr 9 muaj me prqindje vjetore 7%

interes 15,750 C?

Vrtetim.

Kemi p= 7, I= 15,750, m = 9; krkohet K.

Sipas formuls pr interesin e thjesht n baza mujore,

K= 100I

p

12

m =

10015,750

7

12

9 = 300,000.


www.e-Libraria.com


167/262


Prfundim


Shembull

N qoft se m 24 prill deponohen n bank 6,000 C

me prqindje vjetore 7%, ather sa interes do t fitohet

deri m 29 tetor t po ktij viti?

Vrtetim.

Kemi K= 6,000, p= 7, d= 306 + 5 = 185; krkohet I.

Sipas formuls pr interesin e thjesht n baza ditore,

I= Kp

100

d

360=

76,000

100

185

360 215.83.


www.e-Libraria.com


168/262


Prfundim


Shembull

Me far prqindje vjetore t interesit, 7,125 C sjellin pr 96 dit

interes 152 C?

Vrtetim.

Kemi K= 7,

125, d= 96, I= 152; krkohet p.Sipas formuls pr interesin e thjesht n baza ditore,

p= 100I

K

360

d =

100152

7,125

360

96 = 8.

Pra, prqindja vjetore e interesit shts 8%.


www.e-Libraria.com


169/262


Prfundim






www.e-Libraria.com


170/262


Prfundim

Prfundim

Nocioni i nj proporcioni dhe zgjidhja e proporcionit

Nocioni i nj prqindjeje dhe njehsimi procentual


n baza vjetore,

n baza mujore,

n baza ditore


www.e-Libraria.com


171/262

Njehsimi i interesit t prbrKapitalizimi i vazhdueshm

Prfundim

Njehsimi i interesit t prbr

Kapitalizimi i vazhdueshm

F. M. Berisha


Njehsimi i interesit t prbr 1

www.e-Libraria.com


172/262


Prfundim


T kuptuarit e lidhjes ndrmjet njehsimit procentual

dhe llogaritjes s interesit t prbr.

Njehsimi i interesit t prbr me periudha t ndryshme

kapitalizimi.

Kapitalizimi i vazhdueshm.


www.e-Libraria.com


173/262


Prfundim

Prmbajtja

1 Njehsimi i interesit t prbr

Rasti i kapitalizimit vjetor

Rasti i kapitalizimit periodik

Shembuj aplikacionesh

2 Kapitalizimi i vazhdueshm


www.e-Libraria.com


174/262


Prfundim

Rasti i kapitalizimit vjetorRasti i kapitalizimit periodikShembuj aplikacionesh

Njehsimi i interesit t prbr

N qoft se interesi llogaritet pas n periudhash prllogaritse,

ather zakonisht zbatohet llogritja e interesit n interes,

ose, si thuhet, interesit t prbr.

T dhnat:

K kapitali fillestar,

p prqindja e interesit,

n numri i viteve t kohzgjatjes s kontrats.

Kn vlera e ardhme e kapitalit.


www.e-Libraria.com


175/262


Prfundim


Njehsimi i interesit t prbr. (Vazhdim)

Paskapitalizimitt par:

K1 = K+Kp

100= K

1 +

p

100

Pas kapitalizimit t dyt:

K2 = K1 +

K1p

100 = K1

1 +

p

100 = K

1 +

p

1002

Pas kapitalizimit t tret:

K3 = K2 +K2p

100 = K2

1 +

p

100

= K

1 +

p

100

3,


www.e-Libraria.com


176/262


Prfundim


Interesi i prbr me kapitalizim vjetor

Vlera e ardhme me kapitalizim vjetor

N qoft se KC investohen me prqindje vjetore interesi p%

dhe kapitalizim vjetor, vlera e ardhmen fund t vitit t n-t

sht

Kn = K

1 +

p

100

n

,

Faktor i interesit me k

Matematike Biznesi Sllajde F.M.berisha A4 Ek

Documents

Transcript of Matematike Biznesi Sllajde F.M.berisha A4 Ek