Matematika z poh ľadu primárneho vzdelávania · PDF fileElementary Mathematics...

Elementary Mathematics Education

Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania

Mathematics from Primary Education View

Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica

Elementary Mathematics Education

Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania

Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou

Mathematics from Primary Education View

The Conference Proceedings

22. 4. 2009 – 24. 4. 2009 TÁLE

Vedecký výbor Jana Coufalová (Plzeň, ČR) Pavol Hanzel (Banská Bystrica, SR) Pavel Híc (Trnava, SR) Růžena Blažková (Brno, ČR) Bohumil Novák (Olomouc, ČR) Jaroslav Perný (Liberec, ČR) Jolanta Seidel (Bydgoszcz, Poľsko) Ondrej Šedivý (Nitra, SR) Recenzenti Pavol Hanzel (Banská Bystrica, SR) Pavel Kršňák (Banská Bystrica, SR) Bohumil Novák (Olomouc, ČR) Edita Partová (Bratislava, SR) Iveta Scholtzová (Prešov, SR) Jolanta Seidel (Bydgoszcz, PR) Ondrej Šedivý (Nitra, SR) Oliver Židek (Trnava, SR) Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica / BRATIA SABOVCI s.r.o, Zvolen ISBN 978-80-8083-742-6

Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania – Tále 2009

ÚVOD

Ak chceš žiakov vychovávať vedou, miluj ju, znej ňou. Žiaci si potom zamilujú teba a ty ich vychováš.

L. N. Tolstoj Myšlienka pravidelne usporadúvať stretnutia učiteľov matematiky zaoberajúcich sa

prípravou učiteľov elementaristov v Čechách a na Slovensku má už 15 rokov. Z pravidelných seminárov organizovaných katedrami matematiky pedagogických fakúlt v českých krajinách sa postupne vyvinuli aprílové medzinárodné stretnutia, ktoré poskytujú priestor na prezentáciu nových odborných výsledkov či priateľské diskusie a osviežujú telo i matematického ducha každého účastníka.

Na Slovensku sa stretávajú pracovníci fakúlt pripravujúcich učiteľov primárneho školstva a učitelia elementárnej matematiky po tretí raz. Po konferencii v Liptovskom Trnovci v roku 2001 a Smoleniciach v roku 2005 Vás vítame v dňoch 22. – 24. apríla 2009 v hoteli Stupka v nízkotatranskom stredisku Tále na konferencii s medzinárodnou účasťou na tému Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania – Tále 2009. Konferenciu organizuje Katedra matematiky Fakulty prírodných vied UMB v Banskej Bystrici v spolupráci s JSMF a Slovenskou matematickou spoločnosťou. Záštitu nad konferenciou prevzala rektorka UMB v Banskej Bystrici prof. PhDr. Beata Kosová, CSc.

Nový školský zákon, schválený v NR SR 28.5.2008, hlboko zasiahol do vyučovania matematiky na ZŠ a SŠ. Výraznou mierou podporil tvorbu nových školských plánov na 1. stupni ZŠ a redukoval obsah a rozsah výučby matematiky. Programový výbor sa preto rozhodol nadviazať na predchádzajúce podnetné príspevky z konferencie v Olomouci 2008, týkajúce sa reformy školstva v jednotlivých krajinách strednej Európy a zameral sa na tri oblasti:

1. prezentácia pôvodných výsledkov vedeckej a odbornej práce v oblasti matematiky a didaktiky matematiky zameranej na využitie v príprave učiteľov najmladších žiakov;

2. výmena skúseností z vedeckej a pedagogickej práce vysokoškolských učiteľov a učiteľov primárneho školstva;

3. zoznámenie sa s novými smermi a perspektívami vyučovania matematiky na pozadí transformácie primárneho vzdelávania.

S potešením konštatujem, že do svojho pracovného kalendára si pracovníci fakúlt pripravujúcich učiteľov primárneho školstva a učitelia elementárnej matematiky v Čechách a na Slovensku natrvalo zapísali túto aprílovú medzinárodnú matematickú konferenciu. Svedčí o tom fakt, že na tohoročné stretnutie sa prihlásilo 50 účastníkov s príspevkami. Programový výbor v snahe o udržanie odpovedajúcej úrovne podmienil výber príspevku do zborníka z konferencie recenzovaným pokračovaním. Touto cestou chceme poďakovať recenzentom, ktorí aj bez nároku na honorár príspevky v krátkom čase posúdili. Súčasne chcem poďakovať všetkým svojim spolupracovníkom z Fakulty prírodných vied UMB v Banskej Bystrici, ktorí sa pričinili o prípravu a úspešný priebeh tejto konferencie. Verím, že rokovanie a závery tejto konferencie prispejú k zefektívneniu vyučovania matematiky a obohatia didaktiku matematiky v príprave učiteľov primárnej školy. Prajem Vám mnoho nových inšpiračných podnetov k práci a veľa príjemných chvíľ strávených na konferencii v krásnom prostredí Nízkych Tatier.

doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc.


OBSAH

Ingrid ALFÖLDYOVÁ Rozširujúce učivo z elementárnej matematiky v praxi..................................................... 7

Jaroslav BERÁNEK Kritéria dělitelnosti známá i neznámá............................................................................ 13

Růžena BLAŽKOVÁ, Irena BUDÍNOVÁ, Milena VA ŇUROVÁ Kultivace funkčního myšlení na 1. stupni ZŠ.......................................................... 19

Růžena BLAŽKOVÁ, Milena VA ŇUROVÁ Několik úloh pro práci s nadanými žáky v matematice .............................................. 25

Jaroslava BRINCKOVÁ Perspektívy ďalšieho vzdelávania učiteľov matematiky................................................ 31

Jana CACHOVÁ Otevírání světa matematiky předškolnímu dítěti z pohledu učitelek MŠ....................... 36

Jana COUFALOVÁ, Miroslava CHMELOVÁ Vyučování matematiky jako příležitost pro rozvoj tvořivosti žáka................................ 40

Radka DOFKOVÁ Matematika očima žáků 1. stupně ZŠ –výsledky výzkumu........................................... 45

Ľubica GEROVÁ Úlohy pre zisťovanie úrovne matematickej gramotnosti študentov učiteľstva............. 50

Miroslav GOMBÁR, Marek MOKRIŠ, Veronika ZE ĽOVÁ Analýza úrovne matematickej gramotnosti študentov Predškolskej a elementárej pedagogiky – oblasť kvantita.............................................. 58

Pavol HANZEL, Renata MAJOVSKÁ Perspektívne smery vo vyučovaní dynamickej geometrie............................................. 63

Pavel HÍC, Milan POKORNÝ E-learning vo vyučovaní testovania štatistických hypotéz............................................. 70

Drahomíra HOLUBOVÁ Zdravá zahrádka............................................................................................................. 75

Eva HOTOVÁ Projekt „Matematické vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami“................................................................................................ 81

Jitka KADLECOVÁ, Šárka P ĚCHOUČKOVÁ Strategie řešení slovních úloh ve 4. a 5. ročníku základní školy.................................... 84

Michaela KASLOVÁ Grafy a tkaničková metoda řešení.................................................................................. 89

Pavel KLENOVČAN Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika.............................................................................................. 97

Maria KORCZ O pewnych zaskakujących wynikach badań i płynących stąd wnioskach............ 102


Štefan KOVÁČIK Hypertextová učebnica didaktiky matematiky............................................................. 107

Eva KREJČOVÁ Didaktické hry z matematiky v primárním vzdělávání – východiska a inspirace............................................................................ 115

Pavel KRŠŇÁK Tvorba geometrických konštrukcií pomocou softvéru C.a.R....................................... 121

Jana LACEKOVÁ Nové trendy v primárnom vzdelávaní ako východisko pre komparáciu matematickej edukácie na Slovensku a v USA............................................................ 125

Tibor MARCINEK Je ľahké nájsť stred úsečky?......................................................................................... 130

Barbara NAWOLSKA Rozumienie treści zadania tekstowego a jego rozwiązanie w pracach studentów pedagogiki................................................................................................... 135

Bohumil NOVÁK Soutěž Matematický klokan – zdroj zajímavých inspirací nejen pro učitele primární školy............................................................................................................... 142

Jolanta NOWAK Konstruowanie rozumienia niezmienników w umyśle dziecka................................... 150

Zbigniew NOWAK Homo mensura. Jak dziecko uczy się mierzyć świat.................................................... 157

Hana OMACHELOVÁ „Matematika v hrsti“. O vyučovaní matematiky podľa princípov pedagogiky M. Montessori............................................................................................................... 163

Edita PARTOVÁ Mýty o násobilke.......................................................................................................... 169

Miriam PAŠTÉKOVÁ Hromadné spracovanie údajov na 1. stupni ZŠ............................................................ 174

Jaroslav PERNÝ Některé faktory ovlivňující prostorovou představivost žáků ....................................... 180

Alena PRÍDAVKOVÁ, Iveta SCHOLTZOVÁ Prvé výsledky dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia.................................................................... 185

Jana PŘÍHONSKÁ „Lháři“ aneb pravděpodobnost v praxi......................................................................... 191

Jolanta SEIDEL, Maria SOBIESZCZYK Rozwijanie aktywności uczniów w edukacji matematycznej....................................... 196

Helena SIWEK Analiza podręczników zintegrowanych – praca badawcza studentów......................... 201


Anna STOPENOVÁ Rozvíjení prostorové představivosti v matematice primární školy.............................. 207

Ondrej ŠEDIVÝ, Dana MALÁ K niektorým otázkam tvorby učebných textov z matematiky pre študujúcich učiteľstvo 1. stupňa ZŠ....................................................................... 212

Edita ŠIMČÍKOVÁ Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia – pohľad druhý............................................................. 217

Anna VAŠUTOVÁ Nadaný žiak a jeho „miesto“ v bežnej triede................................................................ 222

Joanna śĄDŁO Rozumienie treści zadania tekstowego a jego rozwiązanie w pracach uczniów....................................................................................................... 227

Oliver ŽIDEK Didaktické išpirácie z oblasti tvorby vyučovacích prostriedkov a pomôcok............... 233

Katarína ŽILKOVÁ Skladanie papiera v dynamickej geometrii................................................................... 237

Tomáš LENGYELFALUSY Vývoj vyučovania matematiky na území Slovenska v období 1777 – 1918 vo svetle učebníc matematiky................................................. 243


7

ROZŠIRUJÚCE UČIVO Z ELEMENTÁRNEJ MATEMATIKY V PRAXI

Ingrid ALFÖLDYOVÁ

Abstrakt Vedomosti a zručnosti žiakov z matematiky získané na 1. stupni základnej školy

tvoria základ pre ďalšie vzdelanie, ako aj pre samotný život každého jednotlivca. Každý žiak má právo získať vzdelanie primerané svojim schopnostiam. Z tohto dôvodu je učivo matematiky diferencované na základné a rozširujúce. V príspevku sa zaoberáme využívaním časovej rezervy v obsahu matematiky na 1. stupni základnej školy, ako aj najčastejšie vyučovanými témami rozširujúceho učiva.

EXTENSIVE CURRICULUM IN ELEMENTARY SCHOOL MATH IN PRAXIS

Abstract Pupils' knowledge and skills in Math attained in the first grade of elementary school

are the basis for their further education, as well as life of each individual. Every pupil has the right to gain education appropriate to his/her abilities. From this reason math curriculum is differentiated into basic and additional. This article deals with utilizing time reserve in the math contents in the first grade of elementary school, as well as the most commonly taught topics of additional curriculum.

Úvod

Rozširujúce učivo explicitne tvorí súčasť učiva matematiky na 1. stupni základnej školy (ďalej ZŠ) od roku 1995, kedy boli Ministerstvom školstva SR schválené učebné osnovy matematiky pre 1. stupeň ZŠ. Obsah matematiky je v týchto učebných osnovách členený na základné a rozširujúce učivo. Základné učivo tvorí časť učiva, ktoré majú zvládnuť všetci žiaci, i keď na rôznej úrovni. Podľa učebných osnov má učiteľ predpísané tematické celky základného učiva prebrať najneskôr v danom ročníku povinne so všetkými žiakmi. Témy rozširujúceho učiva je možné odučiť v danom ročníku na základe zohľadnenia individuality jednotlivých žiakov v triede, t. j. tieto témy nemusia byť vyučované frontálne. Členenie obsahu učiva matematiky na základné a rozširujúce učivo je predovšetkým z dôvodu vytvárania reálnych predpokladov na diferencovaný prístup k žiakom. Povinnú školskú dochádzku včítane 1. stupňa ZŠ musia absolvovať všetci žiaci (od podpriemerných až po nadaných), a preto je potrebné všetkým žiakom venovať primeranú pozornosť. V učebných osnovách z matematiky na 1. stupni ZŠ je pre každý ročník stanovená hodinová dotácia obsahujúcu časovú rezervu, ktorú je možné využiť na: posilnenie jednotlivých tematických celkov základného učiva; preberanie odporúčaných tém rozširujúceho učiva; preberanie tém základného učiva z vyššieho ročníka; preberanie učiva, ktoré vyučujúci zaradia do svojho tematického plánu po dohode s metodickým združením na škole. Rozširujúce učivo je súčasťou každého tematického celku v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ.


8

V našom príspevku sa budeme zaoberať reálnym využívaním časovej rezervy v matematike respondentmi vyučujúcimi v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ, vyučovaním konkrétnych odporúčaných tém rozširujúceho učiva, názormi respondentov na rozsah súčasného rozširujúceho učiva. Zároveň chceme poukázať na opodstatnenosť existencie rozširujúceho učiva v matematike. Budeme vychádzať z výsledkov prieskumu, ktorý sme realizovali prostredníctvom dotazníkov pre učiteľov.

Prieskum vyučovania rozširujúceho učiva

Prieskum vyučovania rozširujúceho učiva matematiky na 1. stupni ZŠ sme uskutočnili ako súčasť dizertačnej práce. Hlavným cieľom prieskumu bolo zistiť súčasný stav preberania rozširujúceho učiva v matematike v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ, t. j. ako vyučujúci využívajú časovú rezervu, v akom rozsahu zaraďujú odporúčané témy rozširujúceho učiva na hodinách matematiky, ktoré témy rozširujúceho učiva preferujú, akou formou ich vyučujú (frontálne alebo diferencovane) a taktiež zistiť názory respondentov na rozsah súčasného rozširujúceho učiva.

V júni roku 2007 sme realizovali pilotáž dotazníkov pre učiteľov na vzorke 43 respondentov. Na základe pilotáže sme pripravili dotazníky do hlavného testovania. Dotazník pre učiteľov pozostával z 15 položiek (uzavretých, otvorených, polouzavretých), ktoré sme rozdelili do okruhov: 1. faktografické údaje, 2. využitie časovej rezervy, 3. preberané témy rozširujúceho učiva, 4. názory na rozširujúce a základné učivo.

Hlavné testovanie, resp. prieskum prostredníctvom dotazníkov pre učiteľov sme uskutočnili v júni roku 2008 na vzorke 204 respondentov vyučujúcich v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ z Bratislavského kraja, prevažne žien – 99,02 %. Respondenti boli vybraní tak, aby jednotlivé ročníky boli zastúpené približne v rovnakom pomere. Prax respondentov sa pohybovala v rozpätí od 1 do 52 rokov, cca 97 % respondentov má vysokoškolské vzdelanie. Väčšina respondentov (cca 87 %) vyučuje v meste v plne organizovanej škole. Návratnosť dotazníka bola 94,01 %.

Využívanie časovej rezervy učiteľmi a najčastejšie zaraďované rozširujúce učivo v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ

Výsledky prieskumu ukazujú, že až 96,08 % respondentov do vyučovania matematiky zaraďuje odporúčané témy rozširujúceho učiva, pričom cca 28 % respondentov preberá všetky témy rozširujúceho učiva a cca 68 % respondentov preberá, ale len niektoré témy rozširujúceho učiva. Respondenti, ktorí sa vyjadrili záporne, uvádzali ako najčastejší dôvod nepreberania rozširujúceho učiva skutočnosť, že im to nedovoľovala vedomostná úroveň žiakov, ktorých v danom školskom roku vyučovali, t. j. v triede bola väčšina žiakov s nižšou vedomostnou úrovňou, prípadne žiaci s vývinovými poruchami učenia. Týchto respondentov bolo 57,14 % z celkového počtu respondentov, ktorí rozširujúce učivo nepreberajú. Časť respondentov (28,57 %) nemá dostatok času venovať sa rozširujúcemu učivu. V grafoch č. 1 až 4 uvádzame, ktoré odporúčané témy rozširujúceho učiva sú respondentmi v jednotlivých ročníkoch na 1. stupni ZŠ najčastejšie preberané. Všetky témy rozširujúceho učiva, ktoré sú obsahom jednotlivých tematických celkov v príslušnom ročníku, v príspevku


9

neuvádzame. Čitateľ ich môže nájsť v učebných osnovách z matematiky pre 1. stupeň ZŠ schválených Ministerstvom školstva SR v roku 1995.

V učebných osnovách je v 1. ročníku ZŠ celkovo päť tematických celkov: I. Prirodzené čísla 1 až 5, numerácia; II. Sčítanie a odčítanie prirodzených čísel v obore do 5; III. Čísla 6, 0, 7, 8, 9, 10, sčítanie a odčítanie; IV. Numerácia v obore prirodzených čísel do 20. Sčítanie a odčítanie; V. Geometria. Súčasťou každého z týchto tematických celkov je okrem základného aj rozširujúce učivo. 75,00 % respondentov vyučujúcich v 1. ročníku ZŠ uviedlo, že prevažne preberá len niektoré témy rozširujúceho učiva a 23,21 % vyučuje všetky témy rozširujúceho učiva. 1,79 % respondentov počas školského roka v ročníku, v ktorom práve vyučujú, rozširujúce učivo vôbec nepreberá. Z grafu č. 1 je zrejmé, že takmer všetky témy rozširujúceho učiva, okrem jednej (Riešenie nepriamo sformulovaných úloh – IV/3) sú preberané väčšinou respondentov frontálne. Podobne ako v predvýskume, aj respondenti v hlavnom testovaní uviedli ako najčastejšie preberané rozširujúce učivo Získavanie prvých skúseností s číselnou osou – IV/1 a geometrické učivo Triedenie geometrických tvarov (veľkosť, tvar, farba) – V/1. Väčšina respondentov – 94,55 % učivo o číselnej osi vyučuje frontálne, t. j. so všetkými žiakmi v triede a len malá časť respondentov – 3,64 % vyučuje toto učivo diferencovane. Geometrické učivo Triedenie geometrických tvarov (veľkosť, tvar, farba) vyučuje frontálne 90,91 % respondentov a diferencovane 3,64 %.

Graf č. 1 Preberanie odporúčaného rozširujúceho učiva v 1. ročníku ZŠ

Rozširujúce učivo 2. ročníku ZŠ je začlenené do piatich tematických celkov:

I. Sčítanie a odčítanie v obore do 20 s prechodom cez základ 10; II. Numerácia prirodzených čísel v obore do 100; III. Sčítanie a odčítanie prirodzených čísel v obore do 100; IV. Násobenie a delenie prirodzených čísel v obore do 20; V. Geometria. Respondenti vyučujúci v 2. ročníku prevažne preberajú so žiakmi len niektoré témy rozširujúceho učiva – 77,55 %. Všetky témy rozširujúceho učiva odučilo 18,37 % respondentov. Z výsledkov znázornených v grafe č. 2 vidieť, že najčastejšie preberaným rozširujúcim učivom je Znázornenie čísel na číselnej osi – II/1, ktoré preberá až 97,91 % respondentov. 89,58 % respondentov sa vyjadrilo, že toto učivo preberajú so všetkými žiakmi v triede a len 8,33 % ho preberá len s vybranými žiakmi. V značnej miere je tiež respondentmi preberané napríklad učivo Zaujímavé geometrické úlohy –V/1, Rozvíjanie funkčného myslenia (tvorením číselných radov) – II/2 a Zaujímavé geometrické úlohy – V/1. Všetky témy rozširujúceho učiva okrem učiva Riešenie nepriamo sformulovaných úloh – I/3, II/2 a Riešenie úloh na násobenie s kombinatorickou motiváciou – IV/1 respondenti preberajú v prevažnej miere

1. ročník ZŠ

0

20

40

60

80

100

1. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 3. 1.

I. II. III. IV. V.

tematický celok

%

frontálne diferencovane nepreberá neuvedená odpoveď


10

frontálne. Podobné výsledky sme získali aj v pilotáži dotazníka. Táto skutočnosť môže byť spôsobená tým, že toto učivo učitelia môžu považovať za náročnejšie, a preto ho preberajú len s vybranými žiakmi.


2. ročník ZŠ

0

20

40

60

80

100

1. 2. 3. 4. 1. 2. 1. 2. 1. 1. 2.

I. II. III. IV. V.

tematický celok

%


Učivo matematiky v 3. ročníku ZŠ je rozdelené do štyroch tematických celkov:

I. Násobenie a delenie v obore násobilky; II. Numerácia prirodzených čísel v obore do 10 000; III. Sčítanie a odčítanie prirodzených čísel v obore do 10 000; IV. Geometria. Väčšina respondentov preberá so žiakmi, či už frontálne alebo diferencovane učivo Riešenie rovníc – I/1, III/1, Zapísanie rozvoja prirodzeného čísla v desiatkovej sústave – II/2, Konštrukcia trojuholníka z daných strán – IV/1 a Premieňanie zmiešaných jednotiek – IV/3, čo je porovnateľné s výsledkami pilotáže dotazníka. Najmenej respondentov – 73,92 % vyučuje učivo K reálnej alebo obrázkovej situácii uviesť všetky príklady násobenia a delenia – I/4. Väčšina tém rozširujúceho učiva je respondentmi odučená prevažne frontálne a len dve témy, t. j. Riešenie úloh na násobenie s kombinatorickou motiváciou – I/3 a Riešenie nepriamo sformulovaných úloh – II/3 diferencovane.


3. ročník ZŠ

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 2 3

I. II. III. IV.

tematický celok

%


Vo 4. ročníku ZŠ sú celkovo štyri tematické celky pozostávajúce zo základného

a zároveň aj z rozširujúceho učiva. Sú to: I. Násobenie a delenie prirodzených čísel v obore do 10 000; II. Numerácia v obore prirodzených čísel; III. Počtové výkony s prirodzenými číslami; IV. Geometria. Z grafu č. 4 vidieť, že učivo Rysovanie štvorca a obdĺžnika pomocou trojuholníka s ryskou – IV/2 preberajú všetci respondenti, z toho 88,00 % frontálne a 12,00 % diferencovane. Takmer všetci respondenti – 98,00 % preberajú učivo Riešenie nerovníc typu 624 < n < 695 – II/2 a učivo Obsah trojuholníka, štvorca a obdĺžnika vo štvorcovej sieti – IV/1. Podobné výsledky sme zaznamenali aj


11

v predvýskume. 50,00 % respondentov preberá učivo Nepriamo sformulované úlohy – II/4 a pri preberaní tohto učiva preferujú diferencovaný prístup.

Graf č. 4 Preberanie odporúčaného rozširujúceho učiva vo 4. ročníku ZŠ

4. ročník ZŠ

0

20

40

60

80

100

1 2 1 2 1 2 3 4 1 2

I. II. III. IV.

tematický celok

%


Názory respondentov na rozširujúce učivo z matematiky na 1. stupni ZŠ

Rozsah rozširujúceho učiva považuje celkovo 81,86 % respondentov za vyhovujúci a 4,90 % za nevyhovujúci. 13,24 % respondentov nevie posúdiť rozsah súčasného rozširujúceho učiva, pričom išlo zväčša o respondentov s nižšou praxou a tých, ktorým vedomostná úroveň žiakov, ktorých práve vyučujú, nedovoľuje preberanie odporúčaných tém rozširujúceho učiva. V 1. ročníku považuje väčšina respondentov – 78,57 % obsah rozširujúceho učiva za vyhovujúci. Zo všetkých respondentov vyjadrujúcich nespokojnosť s rozsahom súčasného rozširujúceho učiva je najviac práve tých, ktorí vyučujú v 1. ročníku ZŠ. Navrhujú doplniť viac tém, ktoré by nadväzovali na základné učivo a taktiež viac iných tém, ktoré priamo nesúvisia so základným učivom. Navrhli napríklad doplnenie „neštandardných slovných úloh logického typu“ alebo „pravo-ľavú orientáciu (správne a zrkadlové písanie čísel, obrazcov)“. 14,29 % respondentov vyučujúcich v 1. ročníku sa k rozsahu rozširujúceho učiva nevyjadrilo. Rozsah rozširujúceho učiva 2. ročníka je z pohľadu respondentov prevažne vyhovujúci – 81,63 %. 6,12 % respondentov považuje rozsah rozširujúceho učiva za nevyhovujúci. Respondenti vyučujúci v 2. ročníku, ktorým rozsah rozširujúceho učiva nevyhovuje, na rozdiel od vyučujúcich v 1. ročníku, zväčša navrhujú vynechať niektoré témy rozširujúceho učiva. 50 % týchto respondentov navrhuje vynechanie tém úzko súvisiacich so základným učivom a 50 % vynechanie tém, ktoré priamo nesúvisia so základným učivom a na druhej strane doplnenie tém, ktoré by nadväzovali na základné učivo. Konkrétne návrhy na doplnenie tém rozširujúceho učiva respondenti neuviedli. Respondenti vyučujúci v 3. ročníku považujú rozsah rozširujúceho učiva prevažne za vyhovujúci – 81,25 %. 4,17 % respondentov za nevyhovujúci, pričom navrhujú doplniť témy nadväzujúce na základné učivo. Vo 4. ročníku je taktiež pre väčšinu respondentov – 86,27 % rozsah rozširujúceho učiva vyhovujúci. Jeden respondent vyučujúci vo 4. ročníku, ktorý považuje rozsah rozširujúceho učiva za nevyhovujúci navrhuje doplniť viac tém nadväzujúcich na základné učivo, napríklad „Riešenie slovných úloh rôzneho typu“ a vynechanie tém rozširujúceho učiva priamo nesúvisiacich so základným učivom, napríklad „Obsah trojuholníka, štvorca a obdĺžnika vo štvorcovej sieti“.


12

Záver

Rozširujúce učivo v matematike na 1. stupni ZŠ má svoje opodstatnenie, čo potvrdzujú aj výsledky nášho prieskumu. Ukázalo sa, že väčšina respondentov – 96,59 % vyučujúcich na 1. stupni ZŠ síce vo väčšej miere využíva hodinovú dotáciu obsahujúcu časovú rezervu na posilnenie jednotlivých tematických celkov základného učiva, ale len o 10,79 % menej využíva časovú rezervu na prebratie odporúčaných tém rozširujúceho učiva. Nakoľko je rozširujúce učivo určené predovšetkým skupine žiakov, ktorí bez akýchkoľvek problémov zvládajú obsah základného učiva a ktorým obsah základného učiva nie je postačujúci, vyučujúci na 1. stupni ZŠ po zohľadnení individuality jednotlivých žiakov v triede vyučujú rozširujúce učivo zväčša diferencovane. Sú však témy rozširujúceho učiva, ktoré sú v každom ročníku vyučované prevažne frontálne, napr. Znázorňovanie čísel na číselnej osi a Riešenie rovníc. S rozsahom rozširujúceho učiva v matematike na 1. stupni ZŠ sú respondenti vo veľkej miere spokojní. Niektorí respondenti navrhli čiastočnú úpravu rozširujúceho učiva. Ukazuje sa nám, že niektoré témy rozširujúceho učiva by mali byť súčasťou základného učiva a naopak bolo by žiaduce doplniť ďalšie témy, ktoré budú spĺňať funkciu rozširujúceho učiva.

Literatúra

1. PRŮCHA, J.: Pedagogický výzkum. Uvedení do teorie a praxe. Praha : Karolinum, 1995. 132 s. ISBN 80-7184-132-3

2. GAVORA, P.: Výskumné metódy v pedagogike. Bratislava : Univerzita Komenského, 1996. 198 s. ISBN 80-223-1005-0

3. ŠVEC, Š. a kol.: Metodológia vied o výchove. Bratislava : IRIS, 1998. 304 s. ISBN 80-88778-73-5

4. Štátny vzdelávací program pre 1. stupeň základnej školy v Slovenskej republike. ISCED 1 – Primárne vzdelávanie. Bratislava : ŠPÚ, 2009. 93 s.

5. Učebné osnovy pre 1. stupeň základných škôl. Schválilo Ministerstvo školstva Slovenskej republiky dňa 18. mája 1995 pod číslom 157/95-211 ako učebné osnovy pre 1. – 4. ročník základných škôl. ISBN 80-07-00748-2

Kontaktná adresa

PaedDr. Ingrid Alföldyová Národný ústav certifikovaných meraní vzdelávania Pluhová 8, 831 03 Bratislava Telefón: +421-2-49 276 406 E-mail: [email protected]


13

KRITÉRIA D ĚLITELNOSTI ZNÁMÁ I NEZNÁMÁ

Jaroslav BERÁNEK

Abstrakt Obsahem příspěvku jsou některá méně známá kritéria dělitelnosti v desítkové

soustavě, při jejichž odvození jsou využity jednak kongruence, jednak iterativní proces využívající zápisu čísla v desítkové soustavě. Pozornost je věnována zejména kritériím dělitelnosti sedmi. Uvedené téma je aplikací znalostí teorie dělitelnosti v oboru celých čísel pro nadané studenty matematiky.

CRITERIA OF THE DIVISIBILITY KNOWN AND UNKNOWN

Abstract The article contains some less known criteria of divisibility in the decimal system.

While their forming, there are applied congruences and the iterative process using the presentation of the number in the decimal system. The attention is devoted mainly to the criteria of the divisibility by number seven. The topic is the application of the theory of divisibility in the domain of integers for gifted students.

Úvod

Při výuce matematických disciplín ve studiu učitelství pro 1. stupeň ZŠ je pro studenty nesporně velmi důležité pochopit odbornou podstatu matematických teorií, které pak mohou lépe a efektivněji didakticky transformovat do výuky. Na mnoha konferencích věnovaných oborové didaktice matematiky požadavky na kvalitnější teoretické matematické znalosti studentů zaznívají stále naléhavěji. Tento příspěvek je věnován aplikacím teorie čísel, což je velmi vhodná a na ZŠ rozšířená část matematiky. Základy teorie čísel, specielně teorie dělitelnosti, tvoří důležitou součást výuky matematiky jak ve studiu učitelství pro 1. stupeň ZŠ, tak ve studiu učitelství matematiky na 2. a 3. stupni škol. Kromě poměrně snadných základních pojmů a tvrzení je teorie dělitelnosti vhodná i pro další samostatnou objevitelskou činnost studentů. Jednoduchým rozšířením a aplikací obecných pravidel lze poměrně snadno „objevit“ mnoho dalších pravidel a zákonitostí. V tomto příspěvku ukážeme některá méně známá kritéria dělitelnosti, zejména několik takřka magických kriterií dělitelnosti sedmi. Při odvození využijeme pouze znalostí základních pravidel počítání s kongruencemi, resp. jistých úprav zápisu čísla v desítkové soustavě, umožňující sestavit tzv. trajektorii daného čísla (posloupnost čísel zachovávající dělitelnost daným číslem).

Kritéria d ělitelnosti a kongruence

Začněme nejznámějším kritériem dělitelnosti sedmi a ukážeme jeho odvození. Kritérium 1: Nechť n ≥ 1000 je přirozené číslo. Toto číslo n rozdělíme zprava po

trojicích cifer. Nyní vypočteme číslo k takto: Od čísla zapsaného první trojicí zprava


14

odečteme číslo zapsané druhou trojicí, pak přičteme číslo zapsané třetí trojicí, odečteme číslo zapsané čtvrtou trojicí, atd. Číslo k dává při dělení sedmi týž zbytek jako číslo n.

Příklad 1: n = 3 256 438 512, pak k = 512 − 438 + 256 − 3 = 327. Obě čísla dávají po dělení sedmi zbytek 5.

Kritérium 1 dokážeme užitím kongruencí. Jednotlivá trojčíslí vzniklá rozdělením čísla n označíme A0, A1, ..., An (trojice určují přirozená čísla z intervalu ⟨0,999⟩), tzn. n = A0 + A1 .10 3 + A2 .10 6

+ ... (−1)n An .10 3n, k = A0 − A1 + A2 + ... (−1)n An . Postupně platí (všechny kongruence platí podle modulu 7):

A0 ≡ A0, A1 . 10 3≡ − A1 (protože 103≡ − 1), A2 . 10 6≡ +A2 (protože 106≡ + 1),

A3 . 10 9≡ − A3 (protože 109≡ − 1), atd. Nyní využijeme pravidla pro počítání s kongruencemi (nejsou pro studenty tak obtížná, jak to někdy bývá interpretováno) a dostáváme: n = A0 + A1 .10 3 + A2 .10 6

+ ...+ (−1)n An .10 3n ≡ A0 − A1 + A2 + ...+ (−1)n An = k. Zajímavé rovněž je, že všechny výše uvedené kongruence platí i podle modulů 11 a 13. Proto kritérium 1 lze využít i při zkoumání dělitelnosti jedenácti a třinácti. Poznamenejme, že kritérium 1 skýtá řadu možností pro objevitelskou činnost studentů. Po „objevení“ faktu, že 1000 ≡ 1 (mod 37), tedy obecně (103)n ≡ 1 (mod 37), protože kongruence lze umocňovat přirozeným mocnitelem, dostáváme kritérium dělitelnosti číslem 37. Na rozdíl od kritéria 1 se zde všechna čísla zapsaná trojicemi cifer sčítají, tedy při zavedeném označení platí k = A0 + A1 + A2 + ...+ An .

Příklad 2: n = 76 559 321 105, pak k = 105 + 321 + 559 + 76 = 1061. Je-li číslo k vyšší hodnoty a zbytek po dělení číslem 37 není hned patrný, můžeme postup opakovat. Potom k1 = 61 + 1 = 62. Číslo 62 dává při dělení číslem 37 zbytek 25, který dává i číslo n . Další možností pro zkoumání studentů je změna počtu cifer v číslech Ai pro i = 0, 1, ..., n. Budeme-li místo trojic uvažovat např. čtveřice a zkoumat zbytky při dělení čísel (104)n různými prvočísly, objevíme např. součin 104 = 73 .137 − 1, tedy platí kongruence 10 4 ≡ − 1(mod 73), 10 4 ≡ − 1(mod 137). Pak ale také platí kongruence (104)n ≡ (−1)n (mod 73), (104)n ≡ (−1)n (mod 137). Odtud lze formulovat kritérium dělitelnosti čísly 73 a 137, které je analogické kritériu 1, pouze zkoumané číslo n nedělíme na trojice, ale na čtveřice.

Příklad 3: n = 95 687 990 147 203. Určíme zbytek tohoto čísla po dělení 137. Platí: k = 7203 − 9014 + 6879 − 95 = 4973. Zbytek čísel k, n při dělení 137 je roven 41.

Jak je z předchozího patrné, užití kongruencí umožňuje jednoduše hledat a nacházet kritéria dělitelnosti i zcela neznámá. Nejde samozřejmě o význam těchto kritérií pro praxi; především jde o motivaci studentů a získání jejich zájmu o studium matematiky. Kongruence lze ale užít i jinak. Ukážeme další kritérium dělitelnosti sedmi (viz [5]).

Kritérium 2: Nechť n ∈ N, n = a0 + a1.10 + a2.10 2 + ... + an.10 n. Nechť dále k = a0 +3a1 +2a2 − a3 −3a4 − 2a5 + a6 +3a7 +2a8 − a9 + ...+ q.an , kde q ≡ 10n (mod 7) a q ∈ {1, 3, 2, −1, −3, −2}. Pak čísla n, k dávají při dělení sedmi týž zbytek.

Poznámka: Při praktickém počítání postupujeme tak, že číslo n napíšeme do prvního řádku třířádkové tabulky, do druhého řádku napíšeme pod jednotlivé cifry čísla n zprava posloupnost čísel 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, .... a do třetího


15

řádku součiny dvojic čísel v prvním a druhém řádku. Tyto součiny sečteme, tím získáme hledané číslo k . Je-li k příliš velké, postup opakujeme.

Příklad 4: Nechť n = 46 892 301 729. Tabulka je následující: 4 6 8 9 2 3 0 1 7 2 9 −3 −1 +2 +3 +1 −2 −3 −1 +2 +3 +1 −12 −6 +16 +27 +2 −6 −0 −1 +14 +6 +9 = 49 = k .

To je dělitelné sedmi, tedy také n je dělitelné sedmi. Kritérium 2 dokážeme rovněž užitím kongruencí a počítání s nimi. Všechny

následující kongruence platí podle modulu 7: 100 ≡ 1, 101 ≡ 3, 102 ≡ 2, 103 ≡ −1, 104 ≡ −3, 105 ≡ −2, 106 ≡ 1, 107 ≡ 3,…. Protože platí 106 ≡ 1, platí také pro všechna přirozená čísla p kongruence 106p ≡ 1 a odtud snadno dokážeme platnost kongruence 106p+k ≡ 10k (mod 7). Při zkoumání zbytků při dělení mocnin deseti číslem 7 se tedy neustále opakuje šestičlenná posloupnost zbytků 1, 3, 2, −1, −3, −2 (čísla −1, −3, −2 odpovídají kladným zbytkům 6, 4, 5). Odtud již plyne popsaná konstrukce čísla k.

Také kritérium 2 lze využít k problémové výuce. Lze např. položit problém, jak bude modifikováno toto kritérium pro zkoumání dělitelnosti číslem 11. Platí (všechny kongruence podle modulu 11): 100 ≡ 1, 101 ≡ −1, 102 ≡ 1, 103 ≡ −1, 104 ≡ 1, 105 ≡ −1, 106 ≡ 1, 107 ≡ −1,…. Všechny mocniny deseti se sudým exponentem jsou kongruentní s číslem 1 modulo 11, všechny mocniny deseti s lichým exponentem jsou kongruentní s číslem −1 modulo 11. Při zkoumání zbytků při dělení mocnin deseti číslem 11 se tedy neustále opakuje posloupnost zbytků 1, −1. Proto při praktickém počítání není třeba užívat tabulku. Formulace kriteria dělitelnosti číslem 11 může být následující:

Nechť n ∈ N, n = a0 + a1.10 + a2.10 2 + ... + an.10 n. Nechť k = a0 − a1 +a2 − a3 + a4 − a5 + a6 − a7 + a8 − a9 + ...+ q.an , kde q ≡ 10n (mod 11) a q ∈ {1, −1}. Pak čísla n, k dávají při dělení jedenácti týž zbytek. Ještě stručněji lze říci, že vytvoříme ciferný součet cifer sudých řádů a od něj odečteme ciferný součet cifer lichých řádů. Vzniklé číslo dává při dělení jedenácti týž zbytek jako číslo původní. Poslední formulace bývá často uváděna v základních učebnicích dělitelnosti.

Kritéria d ělitelnosti a iterativní procesy

V této části se budeme věnovat kritériím dělitelnosti, která využívají tzv. trajektorie čísel, sestavených pomocí iterativního procesu. Těmito procesy v dělitelnosti se podrobně zabýval J. Šedivý v [8] a [9]. Úvodem však uveďme několik poznámek k pojmu iterativní proces, který pro studenty není běžný. Začněme zdánlivě nesouvisejícím příkladem:

Příklad 5: Zapište několik členů posloupnosti sn, je-li s1 = 1001 a číslo sn vyjadřuje součet druhých mocnin cifer čísla sn−1 pro n ∈ N, n ≥ 2. Tuto posloupnost znázorněte graficky.

Řešení tohoto příkladu je patrné z obrázku 1. Iterativní proces zde znamená postupné opakování téhož početního pravidla f. Dáno je s1 = 1001, pak s2 = f(s1) = 2, s3 = f(s2) = 4, s4 = f(s3) =16, ... Po zapsání několika dalších členů zjistíme, že se začínají opakovat. Proto pro grafické znázornění zvolíme tzv. uzlový graf (obr. 1). Z grafu je vidět, že daná posloupnost je zakončena cyklem řádu 8 a tento graf znázorňuje trajektorii čísla 1001 v dané posloupnosti sn. V případě kritérií dělitelnosti, která dále uvedeme, bude iterativní proces využit analogicky. Při zkoumání dělitelnosti daného


16

čísla n např. sedmi definujeme početní pravidlo, které číslo n převede na číslo n1 , tímtéž pravidlem aplikovaným na číslo n1 dostaneme číslo n2 atd. Podstatné je, že všechna čísla posloupnosti zachovávají dělitelnost daným číslem, např. sedmi. Po určitém počtu iterací dostaneme takové číslo, jehož dělitelnost sedmi bude ihned patrná. Z ní pak usoudíme na dělitelnost původně zadaného čísla n .

Obr. 1

Předchozí příklad 5, stejně jako dale uvedená kriteria dělitelnosti, jsou pro rozvoj myšlení studentů velmi důležité. S iterativními procesy a uzlovými grafy se běžně ani na vysoké škole nesetkávají (kromě uzlových grafů binárních relací), přitom se jedná o důležitý matematický nástroj umožňující řešit různé problémy. Nyní už můžeme přistoupit k formulaci dalšího kritéria dělitelnosti sedmi (viz [8]).

Kritérium 3: Od zadaného čísla n (n ∈ N) oddělíme v jeho dekadickém zápise poslední cifru a dvojnásobek jí označeného čísla odečteme od čísla zapsaného zbylou částí zápisu. Je-li vzniklé číslo dělitelné sedmi, je také n dělitelné sedmi. Zapíšeme-li n = 10a + b, pak dělitelnost sedmi čísla n určíme podle dělitelnosti sedmi čísla a − 2b.

Poznámka: Početní pravidlo popsané v kritériu 3 opakujeme tak dlouho, dokud se v trajektorii čísla n neobjeví takové číslo, jehož dělitelnost sedmi snadno určíme zpaměti.

Nejprve naznačíme odvození kritéria 3. Nechť číslo n = 10 + b je dělitelné sedmi. Pak máme: 7|(10a + b) ⇔ 7 |(10a − 20b) ⇔ 7 |10(a − 2b) ⇔ 7 |(a − 2b), protože čísla 7 a 10 jsou nesoudělná. Tedy jestliže v početním pravidle 10a + b → a − 2b je vzor dělitelný sedmi, je i jeho obraz dělitelný sedmi a naopak. Protože každé číslo trajektorie čísla n má pouze konečný počet předchůdců, lze z dělitelnosti libovolného čísla trajektorie sedmi usoudit na dělitelnost výchozího čísla n sedmi. Aby bylo kritérium korektní, je nutno dokázat, že posloupnost čísel v trajektorii je klesající „tak dlouho“, až obsahuje číslo nejvýše dvojciferné. Důkaz není obtížný a lze jej nalézt v [8]. Nelze ovšem užít formulace (což je častá chyba studentů), že celá posloupnost čísel v trajektorii je klesající. Zkoumání zakončení trajektorií je dalším zajímavým problémem; pro mnohá čísla n končí trajektorie cyklem podobným jako na obr 1. Uvedeme příklad:

Příklad 6: Určete, zda je číslo 692148 dělitelné sedmi. Určíme jeho trajektorii v zobrazení 10a + b → a − 2b. Postupně počítáme: 692148, 69198, 6903, 684, 60, 6, −12, −18, −6, −9, −3, −15, −12, ... Posledních šest čísel se již cyklicky opakuje. Připomeňme, že při počítání se zápornými čísly využíváme znalostí dělení se zbytkem v oboru celých čísel. Protože žádné z posledních čísel (kde násobky sedmi poznáme) není dělitelné sedmi, nemůže být žádné číslo trajektorie dělitelné sedmi, a tedy ani číslo 692148 není dělitelné sedmi.

1001

2

4

16

37

58

89

145

42

20


17

Poznámka: Početní pravidlo 10a + b → a − 2b užité v kritériu 3 není jediné. Analogicky funguje i zobrazení 10a + b → a + 5b (důkaz viz [8]). Zkoumání uzlových grafů trajektorií různých přirozených čísel v obou těchto zobrazeních může být pro studenty zajímavou objevitelskou činností.

Zobecnění a závěr

Pro studenty „výzkumníky“ poskytuje výše uvedená metoda výpočtu posloupností čísel a zkoumání jejich trajektorií mnoho námětů k zobecňování. Některé možnosti naznačíme (podrobnosti včetně důkazů lze nalézt v [9]). Zobrazení definované předpisem 10a + b → a − 2b zachovává kromě dělitelnosti sedmi i dělitelnost třemi. Dalším zkoumáním lze dospět k obecnému závěru, že v oboru přirozených čísel platí:

Zobrazení 10a + b → a − sb zachovává dělitelnost číslem 10s + 1, s∈ N, (1) Zobrazení 10a + b → a + sb zachovává dělitelnost číslem 10s − 1, s∈ N. (2)

Pro s = 2 např. dostaneme, že zobrazení 10a + b → a − 2b zachovává dělitelnost číslem 21, a tedy i dělitelnost třemi a sedmi. Obě obecná pravidla platí i obráceně, užijeme-li inverzní zobrazení. Naznačíme důkaz pravidla (1): (10s+1)|(10a+b)⇔ (10s+1)|(10a−10sb) [odečteno b(10s+1)]⇔ (10s+1)|10(a− sb) ⇔ (10s+1) |(a − sb), protože čísla (10s+1) a 10 jsou nesoudělná.

Obě obecná pravidla (1) a (2) umožňují nalézt kritérium dělitelnosti témeř všemi prvočísly. Pro všechna prvočísla různá od 2 a 5 vždy nalezneme nějaký jejich násobek, jehož zápis je zakončen 1 nabo 9, tedy má jeden z tvarů 10s+1, 10s−1(stačí si rozmyslet situaci pro prvočísla zakončená na 3 nebo 7. Např. pro prvočíslo 23 nalezneme vyjádření 23. 3 = 69 = 7. 10 −1, proto s = 7. Využijeme pravidlo (2), tedy pro zjišťování dělitelnosti číslem 69, a tedy i 23, lze užít pravidla 10a + b → a + 7b. Následuje poslední příklad z korespodenčního semináře BRKOS (viz [3] a [4]). Zadání uvádíme v přesném znění.

Příklad 7: Milan zná následující test na dělitelnost číslem 19: škrtne poslední číslici čísla a k vzniklému číslu přičte dvojnásobek škrtnuté číslice. Tento postup opakuje, dokud nedostane číslo menší než 20. Původní číslo je dělitelné 19 ⇔ výsledné číslo je rovněž dělitelné 19. Poraďte Milanovi obdobný test na dělitelnost 29 a dokažte jeho správnost.

Při řešení se budeme opírat o pravidla (1) a (2). Protože 19 = 2. 10 − 1, je s = 2 a podle (2) je pro dělitelnost 19 užito zobrazení 10a + b → a + 2b. Milan musí opět užít pravidlo (2). Protože 29 = 3. 10 − 1, je s = 3 a podle (2) musí Milan pro zjištění dělitelnosti 29 užít zobrazení 10a + b → a + 3b.

Závěrem lze konstatovat, že výše uvedené postupy při „objevování“ kritérií dělitelnosti a důkazech jejich správnosti podstatným způsobem rozvíjejí matematické znalosti studentů, budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. Má-li student o matematiku zájem a hodlá se jí věnovat hlouběji než jen v rámci povinných předmětů, naskýtá se mu zde možnost svoje znalosti doplnit a rozšířit, přičemž tématika dělitelnosti není příliš vzdálená od povinné výuky matematiky. Nalezení vlastních matematických „pravidel“ přitom působí studentovi radost z úspěchu a zpětně ho motivuje k dalšímu studiu. Problematika iterací a iterativních procesů lze dále přirozeným způsobem rozvinout na iterace reálných funkcí, zkoumání cyklů, iterativních kořenů apod. To však již s výukou


18

matematiky ve studiu učitelství pro 1. stupeň ZŠ prakticky nesouvisí. Podrobnosti o problematice iterací reálných funkcí lze nalézt v publikaci J. Smítala [7].

Literatura

1. BERÁNEK, J.: Teorie čísel v přípravě učitelů 1. stupně základní školy. In: Príprava učitelov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Prešov: Pedagogická fakulta PU Prešov, 2005, s. 87 – 92. ISBN 80-8068-372-7.

2. BERÁNEK, J.: Vybrané partie teorie čísel ve vyučování matematice. In Sborník příspěvků ze XXII. vědeckého kolokvia. 1. vyd. Vyškov : VVŠ PV, 2004. od s. CD-ROM, 4 s. ISBN 80-7231-116-6.

3. BRKOS (Brněnský korespodenční seminář) , 10. ročník, 2004, 4. série - zadání. Dostupné na http://bart.math.muni.cz/~brkos/files/zadani/zadani104.pdf. Citováno dne 26. 1. 2009.

4. BRKOS (Brněnský korespodenční seminář) , 10. ročník, 2004, 4. série - řešení. Dostupné na http://bart.math.muni.cz/~brkos/files/reseni/reseni104.pdf. Citováno dne 26. 1. 2009.

5. DRÁPALÍK, V.: O dělitelnosti sedmi. Rozhledy matematicko-fyzikální 52 (1973-74), s. 447-448. ISSN 0035-9343.

6. Matematika: dělitelnost. Edited by Jiří Herman. 2. vyd. Praha : Prometheus, 2003. 100 s. ISBN 80-7196-261-9.

7. SMÍTAL, J.: O funkciách a funkcionálnych rovniciach. 1. vyd. Bratislava : Alfa, 1984. 143 s.

8. ŠEDIVÝ, J.: Zobrazení zachovávající dělitelnost sedmi. Rozhledy matematicko-fyzikální 55 (1976-77), s. 243-247. ISSN 0035-9343.

9. ŠEDIVÝ, J.: Jak objevovat kritéria dělitelnosti. Rozhledy matematicko-fyzikální 55 (1976-77), s. 433-436. ISSN 0035-9343.

Kontaktní adresa

Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta MU Poříčí 7, 603 00 Brno, Česká republika Telefón: +420 549 491 673 Fax: +420 549 491 620 E-mail: [email protected] .


19

KULTIVACE FUNK ČNÍHO MYŠLENÍ NA 1. STUPNI ZŠ

Růžena BLAŽKOVÁ, Irena BUDÍNOVÁ, Milena VAŇUROVÁ

Abstrakt Pojmotvorný proces v matematice má své zákonitosti a v poznatkové struktuře žáků

jsou pojmy budovány postupně, dlouhodobě, s oporou o práci s konkrétními modely. Poukazujeme na možnosti, jak lze na prvním stupni ZŠ přispívat k postupnému vyváření pojmu funkce.

CULTIVATION OF FUNCTIONAL THINKING AT PRIMARY SCHOOL

Abstract Process of formulation of concepts in mathematics has regular development. The

concept of function is established already at primary school. We show some examples how to do it.

Úvod

Pojem funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematice vědecké i v matematice školské a je základním pojmem mnoha dalších matematických disciplín. Objektivní závislosti, které existují mezi různými veličinami, vedly prostřednictvím abstrakce ke vzniku matematického pojmu funkce. Historický vývoj pojmu funkce byl dlouhý a složitý. Představy o kvantitativních závislostech jevů měli zřejmě lidé od počátku svého vývoje a během celého dalšího období vývoje matematiky docházelo ke zpřesňování, vymezení až k dnešnímu chápání pojmu funkce a k definici tohoto pojmu.

Zkušenosti učitelů různých typů a stupňů škol poukazují na problémy, které se objevují při zvládání tématu týkajícího se funkcí a jejich aplikací (nepochopení základního pojmu funkce, nepochopení definičních oborů funkcí a dalších souvisejících pojmů, nepochopení rozdílu mezi diskrétními a spojitými hodnotami, nezvládnutí dovednosti pracovat s grafy funkcí apod.). Každý matematický pojem, který není u žáků a studentů budován na základě dlouhodobého vývoje opřeného o zkušenosti z konkrétních situací a postupně zobecňovaného, je zpravidla na vyšším stupni školy vybudován formálně, s velmi malou mírou pochopení.

Zamýšlíme se nad tím, zda a jak by bylo možné provádět propedeutiku pojmu funkce u dětí 1. stupně základní školy a jak by bylo možné přispívat k rozvoji funkčního myšlení dětí. V žádném případě se nejedná o systematickou výuku pojmu funkce, ale jde o využití učiva matematiky i ostatních předmětů k postupnému vnímání určitých zákonitostí v reálných situacích.


20

Co rozumíme pod pojmem funkční myšlení

Pod pojmem funkční myšlení rozumíme schopnost posuzovat jevy v jejich změnách, sledovat příčiny těchto změn a eventuelně je umět popsat. Jde například o tyto schopnosti:

1. u početních operací sledovat změny výsledků operace na změnách veličin do operace vstupujících,

2. při řešení konstrukčních úloh umět stanovit závislost výsledku konstrukce na změnách velikosti nebo polohy zadaných prvků,

3. při sledování různých závislostí umět rozhodnout, zda mezi sledovanými jevy existuje vztah, který by bylo možné popsat kvantitativně,

4. umět popsat funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem, 5. správně chápat definiční obory a obory hodnot daných funkcí, 6. umět vyjádřit vlastnosti daných funkcí, 7. umět pracovat s grafy závislostí a funkcí, umět je číst, 8. umět zobecňovat kvantitativní vztahy.

Závislosti kolem nás

Nabízíme dětem různé typy závislostí z běžného života a diskutujeme, zda lze mezi uvedenými veličinami vůbec nějakou závislost sledovat. Záměrně neuvádíme jen situace, kdy mezi veličinami existuje funkční závislost, ale naopak zařazujeme takové, které závislostmi nejsou, např.:

• závislost úspěchu ve škole na kvalitě přípravy, • růst rostlin v závislosti na množství vody při zalévání, • výška a hmotnost člověka v závislosti na množství potravy, kterou sní, • změna výšky a hmotnosti člověka v závislosti na jeho věku, • závislost spotřebovaných potravin na počtu osob, • změna délky dne v závislosti na ročním období, • změna teploty ovzduší v závislosti na denním období, • výše mzdy v závislosti na pracovním výkonu, • cena nákupu zboží v závislosti na jeho množství, • výhodnost nákupů v akcích, výhodnost množstevních slev, • spotřeba energií v domácnosti (voda, plyn, elektrická energie) v průběhu roku, • závislost rozpočtu domácnosti na počtu osob, • změny kurzovních lístků, • poštovní poplatky, • poplatky za telefonní hovory u různých operátorů, • závislost ujeté dráhy na době jízdy při stálé rychlosti, • závislost doby jízdy na rychlosti při projetí určité dráhy, • práce s jízdními řády. Využíváme také různých relací, binárních i n-árních k zachycení vztahů mezi jevy a

objekty, k pozorování specielních relací (ekvivalence, uspořádání, zobrazení) jako předpokladu k pochopení pojmu zobrazení a pojmu funkce, např.

• vztahy v rodině,


21

• vztah a < b, • vztah „a dělí b“.

Operace s přirozenými čísly

Při práci s přirozenými čísly a operacemi s nimi nabízíme dětem příklady, kdy měníme čísla podle určitého pravidla (zvětšujeme či zmenšujeme) a sledujeme výsledek operace, např.

a) při sčítání zvětšujeme (zmenšujeme) postupně jednoho sčítance a sledujeme, jak se mění součet

2 + 3 = 5, 3 + 3 = 6, 4 + 3 = 7, … b) zvětšujeme (zmenšujeme) oba sčítance o stejné číslo a sledujeme, jak se mění

součet 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, 4 + 5 = 9, …

c) při odčítání zvětšujeme menšence, menšitele ponecháme beze změny a sledujeme, jak se mění rozdíl

14 – 8 = 6, 15 – 8 = 7, 16 – 8 = 8, ... d) menšence ponecháme beze změny, zvětšujeme (zmenšujeme) menšitele a

sledujeme rozdíl 18 – 3 = 15, 18 – 4 = 14, 18 – 5 = 13, ...

e) menšence i menšitele zvětšujeme (zmenšujeme) o stejné číslo a sledujeme rozdíl 15 – 7 = 8, 16 – 8 = 8, 17 – 9 = 8, ... f) při násobení zvětšujeme jednoho činitele a sledujeme součin 3 . 5 = 15, 4 . 5 = 20, 5 . 5 = 25, ... g) zvětšujeme oba činitele o stejné číslo a sledujeme součin

2 . 3 = 6, 3 . 4 = 12, 4 . 5 = 20, ... h) při dělení zvětšujeme dělence i dělitele několikrát a sledujeme podíl

24 : 3 = 8, 48 : 6 = 8, 96 : 12 = 8, ...

Doplňování tabulek

1. Doplňujte tabulku:

x 1 2 3 5 9 14 17 2x

x + 5 2x + 5 2. Sledujte čísla v tabulkách

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4x 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

x (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100x (cm) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000


22

V tabulkách sledujeme: a) kolikrát se zvětší (zmenší) číslo v prvním řádku (x), tolikrát se zvětší (zmenší)

číslo ve druhém řádku b) číslo ve druhém řádku vypočítáme tak, že číslo v prvním řádku násobíme stále

stejným číslem. Podobně sledujeme tabulku: a 1 2 3 4 6 9 12 18 36 b 36 18 12 9 6 4 3 2 1

a) kolikrát se zvětší (zmenší) číslo v prvním řádku, tolikrát se zmenší (zvětší) číslo ve druhém řádku

b) součin čísel v prvním a ve druhém řádku je stále stejný.

3. Doplňte čísla v tabulce tak, abyste vyjádřili určitou závislost a pokuste se vyjádřit, jak jste čísla doplnili (žáci mají mnoho možností, jak tabulku doplnit, např. y = x + 3, y = 2x + 1, y = 3x – 1 apod.)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 12

Sledování zákonitostí v řadách čísel

V následujících příkladech určete další tři členy řady tak, aby byla zachována zákonitost jejího vytváření. Pokuste se zapsat vztah, podle kterého vypočítáte další členy. 1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … 7. 27, 24, 21, … 2. 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … 8. 1, 3, 5, 7, … 3. 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, … 9. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 4. 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … 10. 10, 5, 9, 10, 8, 15, … 5. 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, … 6. 0, 4, 8, 12, …


23

Řešení aplikačních úloh

Při řešení úloh žáci sledují určité typy změn a závislostí, které se vyskytují v běžném životě a analyzují je (např. z hlediska jejich růstu, poklesu apod.) Žáci se učí nacházet různé postupy a strategie k řešení úloh, ve kterých se jedná o závislosti mezi určitými veličinami a které je možné popsat matematickými prostředky. Úlohy mohou řešit různými způsoby a učí se hledat řešení optimální. Učí se vyhledávat informace a pracovat s nimi, posuzovat je a vyhodnocovat (správně uvedené číslo je velmi přesvědčivým argumentem). Žáci se učí správně chápat matematické pojmy a termíny, vyhledávají souvislosti mezi nimi (např. jakým způsobem na sobě určité veličiny závisí) a postupně si vytváří systém. Při řešení aplikačních úloh využívají žáci mezipředmětových vazeb, práci s jednotkami měr, aktualizaci číselných údajů apod. Náměty úloh: 1. Sledujte teplotu ovzduší během dne (zapisujte každou hodinu od 7 do 18 hodin) a

zakreslete graf závislosti teploty na denní době. 2. Sledujte teplotu ovzduší po dobu jednoho měsíce každý den v 7 hodin a zakreslete

graf závislosti teploty v jednotlivých dnech. 3. Jeden jogurt stojí 8 Kč. Zapište tabulkou, rovnicí a grafem závislost zaplacené

částky na počtu zakoupených jogurtů. Můžete koupit např. 1,5 jogurtu? 4. Uveďte konkrétní příklad závislosti peněžní částky na množství zakoupeného zboží

při tzv. množstevních slevách (např. nákup pracích prášků, brambor, cukru apod.) 5. Sestavte ceník pro prodejce zeleniny, např. papriky. Cena 1 kg červené papriky je

89 Kč, zelené papriky 69 Kč, žluté papriky 95 Kč. Prodejce potřebuje ceník po 100 gramech.

6. Poštovní poplatky platné od 1. 1. 2009 - obyčejný balík Do hmotnosti 2 kg 5 kg 10 kg 15 kg 20 kg Cena v Kč 43 50 64 78 92

Nakreslete graf této závislosti. 7. Jak se změní obvod čtverce, jestliže délku jeho strany zvětšíme dvakrát (třikrát,

čtyřikrát), zmenšíme dvakrát. 8. Jak se změní obsah čtverce, jestliže délku jeho strany zvětšíme dvakrát (třikrát,

čtyřikrát), zmenšíme dvakrát. 9. Obdélník má obsah 24 cm2. Jaké mohou být délky jeho stran? Který z obdélníků

má nejmenší obvod? 10. Dvě osoby sní bochník chleba za 6 dnů. Za jak dlouho sní stejný bochník tři osoby

(když jí přibližně stejně).


24

11. Maminka přinesla 24 rohlíků pro své tři syny. Na návštěvu přišli tři kamarádi. O rohlíky se rozdělili spravedlivě. Kolik rohlíků snědl každý z chlapců?

12. Za čtyři hrníčky zaplatíme 240 Kč. Kolik korun zaplatíme za 6 (8, 10) stejných

hrníčků? 13. Jedno vejce natvrdo se vaří 8 minut. Za kolik minut se uvaří natvrdo 8 vajec? 14. Automobil jede průměrnou rychlostí 75 kilometrů za hodinu. Sestavte tabulku

závislosti dráhy ujeté automobilem na čase. 15. Vypočítejte, za jak dlouho by zvládli dráhu 60 km různou rychlostí:

a) chodec pohybující se průměrnou rychlostí 4 km za hodinu, b) cyklista, pohybující se průměrnou rychlostí 12 km za hodinu, c) automobil, pohybující se průměrnou rychlostí 75 km za hodinu.

Literatúra

1. HEJNÝ, M.: Mechanizmus poznávacího procesu. In: Hejný, M. a kol.(eds.): Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1. Praha: Pedagogická fakulta UK, 2004, s. 23 – 42. ISBN 80-7290-189-3.

2. BLAŽKOVÁ, I.: Pojem funkce ve školské matematice. In: Sborník příspěvků XXIII. Mezinárodního kolokvia o řízení osvojovacího procesu. Brno: Univerzita obrany, 2005. ISBN 80-85960-92-3.

3. KUBÍNOVÁ, M.: Klíč k matematice. Praha: Albatros, 2005. ISBN 80-00-01591-9. 4. NOVOTNÁ, J. a kol. Matematika s Betkou pro 6. ročník základní školy. Praha:

Scientia, 1996. ISBN 0-7183-015-1. 5. SYTAŘOVÁ, I.: Výchova ke správnému pochopení pojmu funkce. In: Sborník

příspěvků XXV. Mezinárodního kolokvia o řízení osvojovacího procesu. Brno: Univerzita obrany, 2007. ISBN 978-80-7231-228-3. Příspěvek byl zpracovaný jakou součást řešení výzkumného záměru MSM

0021622443 Speciální potřeby žáků v kontextu Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání, řešeného na Pedagogické fakultě MU v Brně.

Kontaktní adresa

RNDr. Růžena Blažková, CSc. Mgr. Irena Budínová RNDr. Milena Vaňurová, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU Poříčí 31, Brno, 603 00 Telefon: +421 549491678 E-mail: [email protected] [email protected]


25

NĚKOLIK ÚLOH PRO PRÁCI S NADANÝMI ŽÁKY V MATEMATICE

Růžena BLAŽKOVÁ, Milena VAŇUROVÁ

Abstrakt Talentované děti se projeví, když jsou jim poskytnuty stimulující příležitosti.

Vhodným materiálem, pomocí kterého lze talent dětí rozvíjet, jsou úlohy, v nichž žáci sledují součty po sobě jdoucích přirozených čísel. Žáci si procvičují základní učivo a přitom sami objevují nové matematické poznatky.

SOME TASKS FOR WORK WITH PUPILS TALENTED IN MATHEMATICS

Abstract It is necessary to give stimulating occasions to the children talented in mathematics.

A study of adding consecutive numbers can be suitable material for training basic subject matter and also for investigation of new mathematical piece of knowledge.

Současná kurikulární reforma i celosvětový trend inkluzivní edukace žáků se specifickými potřebami vede k hledání vhodných postupů při vzdělávání nadaných žáků v rámci vyučování v běžných třídách základních škol. Žáci nadaní na matematiku vyžadují specifické přístupy. Současné výzkumy ukazují, že mezi nimi mohou být i žáci s některými poruchami učení Učitel je postaven před problém umožnit v rámci naplňování požadavků stanovených kurikulárními dokumenty ve výuce matematiky odpovídající rozvoj nadaných žáků.

Mimořádně nadaný žák přichází zpravidla s diagnostikou z odborného pracoviště. Učitel sám pak provádí identifikaci subjektivní. Na základě pozorování si všímá logického myšlení žáka, jeho schopnosti orientovat se v číselných oborech a provádět operace s čísly, jeho postojů k řešení problémů, stupně rozvoje prostorové orientace atd. Sleduje procesy myšlení žáka v různých oblastech, z nichž některé dále uvádíme:

V oblasti numerického myšlení si učitel všímá, jakou má žák představu o jednotlivých číselných oborech z hlediska jejich výstavby a uspořádání, zda při výpočtech využívá racionálních postupů, s jakou rychlostí a přesností počítá a jak zapisuje postup výpočtu apod.

V oblasti symbolického myšlení sleduje, do jaké míry žák využívá matematických symbolů k zápisům, jak je schopen všímat si a objevovat zákonitosti v symbolickém vyjádření, zda chápe různá symbolická vyjádření téže situace (např. pomocí čísel, pomocí geometrických obrázků nebo pomocí algebraických zápisů).

V oblasti verbálního myšlení zjišťuje, jak se žák dovede vyjadřovat verbálně nebo písemně, zda umí formulovat své myšlenky svými slovy a s jakou přesností, do jaké míry je schopen popsat myšlenkový postup výpočtu nebo řešení úlohy, jak chápe a reprodukuje význam matematických pojmů, zda dokáže vhodně argumentovat, obhajovat a prezentovat výsledky své práce.


26

V oblasti logického myšlení se učitel zajímá o to, jak žák dokáže uvažovat v souvislostech, objevovat nové souvislosti a vyvozovat z nich závěry, jak umí využívat induktivního a deduktivního usuzování, zobecňování, abstrakce a jak dokáže poznatky aplikovat v nových situacích.

V oblasti analytického myšlení posuzuje, jak je žák schopen analyzovat zadaný problém, zda umí odhalit podstatu problému, povšimnout si určitých jevů nebo zákonitostí, tvůrčím způsobem vytvořit posloupnost kroků k řešení problému, najít nejkratší cestu k cíli, vhodně aplikovat dosavadní znalosti.

V oblasti kritického myšlení se snaží postřehnout, do jaké míry je žák schopen posoudit výsledky řešených úloh vzhledem ke vstupním veličinám, zda je schopen provádět odhady výsledků (alespoň řádově), zda dokáže posoudit, jak výsledek matematické úlohy koresponduje s reálnou situací.

V oblasti prostorové představivosti učitel sleduje, jak se žák dokáže orientovat v prostoru i v rovině, zda chápe zobrazení prostorových útvarů v rovině, chápe-li prezentaci geometrických útvarů v jiných polohách event. při pohybu, jak se dokáže orientovat v plánech a mapách apod.

Podotýkáme, že uvedené oblasti nejsou vyčerpávající a že u žáka se nemusí projevovat nadání ve všech těchto oblastech.

Talent nadaných žáků se může rozvíjet jen tehdy, když jsou žákům poskytnuty stimulující příležitosti. Učitel tedy hledá didaktické materiály, vhodné metody a formy práce, které žáka osloví. Zpravidla využívá diferencované výuky, individualizované výuky i samostatné práce žáků tak, aby umožnil žákům pracovat vlastním tempem a volit vlastní strategii řešení. Důležité je, aby zadávané problémy a úlohy byly pro žáky podnětné, stimulovaly jejich zvídavost, vedly je k matematickému objevu a také jim poskytly zážitky a radost z objevu.

Následující příklady ukazují, jak je možné při procvičování základního učiva, rozvíjet u nadaných žáků kvalitativně vyšší stupeň myšlení. Jedná se o úlohy, v nichž žáci mají zkoumat součty po sobě jdoucích čísel. Žáci objevují zákonitosti, všímají si, jak změny vstupních parametrů ovlivňují výsledek, poznatky zobecňují, případně zdůvodňují. Příklad 1: Pozorujte, jakou společnou vlastnost mají čísla, která vzniknou jako součet dvou po sobě jdoucích čísel.

Přístupy žáků k řešení úlohy mohou být různé. Obvykle zprvu volí čísla náhodně. Vyberou libovolná dvě po sobě jdoucí čísla, sečtou je, např. 5 + 6 = 11.

Na základě několika dalších součtů, např. 8 + 7 = 15 , 14 + 15 = 29, 43 + 44 = 87 vysloví závěr: Součet je liché číslo.

Nabízí se otázka: Platí tento závěr pro součet jakýchkoli dvou po sobě jdoucích čísel?

Talentovaný žák si začne vytvářet systém: 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9 atd. Vidí, že výsledky tvoří řadu po sobě jdoucích lichých čísel. Každé následující je

vždy o 2 větší než předchozí. O celé situaci začne přemýšlet:


27

Při systematickém postupu si povšimne, že 1 + 2 = 3 a v dalších součtech je vždy každý sčítanec o 1 větší než v předcházejícím případě, tedy součet je vždy o 2 větší než předcházející. Protože první součet je 3, tj. liché číslo, jsou i další součty lichá čísla.

Tato jeho úvaha svědčí také o tom, že se dobře orientuje v číselné řadě přirozených čísel (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) a ví, že se v ní střídají sudá a lichá čísla a že po sobě jdoucí lichá čísla se liší o 2.

V tomto okamžiku může žák pocítit potřebu tento fakt obecně zapsat. První z čísel označíme n a druhé, následující číslo je tedy n + 1. Jejich součet se dá

obecně vyjádřit n + (n + 1) = 2n + 1, což je liché číslo. Příklad 2: Pozorujte, jakou společnou vlastnost mají čísla, která vzniknou tak, že sčítáme tři po sobě jdoucí čísla.

Opět pokud žák volí náhodně trojice po sobě jdoucích čísel, např. 7 + 8 + 9 = 24 15 + 16 + 17 = 48 38 + 39 + 40 = 117 vidí, že v některých případech jsou součty sudá čísla v některých lichá čísla. Záleží na tom, zda prostřední sčítanec je sudé číslo (ostatní dvě čísla jsou lichá) - pak součet je sudý. Je-li prostřední sčítanec liché číslo (ostatní dvě čísla jsou sudá), je součet liché číslo.

Obecně můžeme zapsat: (n – 1) + n + (n + 1) = 3n . V každém případě, je součet tří po sobě jdoucích čísel dělitelný třemi. Pokud n je sudé, tj. n = 2k, pak 3n = 3 . 2 k = 6k. Součet je sudé číslo. Pokud n je liché, tj. n = 2k + 1, pak 3(2k + 1) = 6k + 3, což je liché číslo.

Jinou možnost zdůvodnění nabízí systematický postup zkoumání situace: 1 + 2 + 3 = 6 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 = 12 4 + 5 + 6 = 15 5 + 6 + 7 = 18 atd. První součet je 6. V dalším součtu je každý ze sčítanců o 1 větší než

v předcházejícím, tzn. celkový součet je o 3 větší než předchozí, např. 6 + 3 = 9, 9 + 3 = 12, atd.

Přičtením čísla 3 k sudým číslům, dostáváme čísla lichá a přičtením čísla 3 k lichým číslům, dostaneme čísla sudá.

Obecně: Sudé číslo je tvaru 2k, číslo 2k + 3 je tedy liché číslo. Liché číslo je tvaru 2k + 1. Přičteme-li k němu 3, dostaneme 2k + 1 + 3 = 2k + 4,

což je číslo sudé. Příklad 3: Pozorujte, jakou společnou vlastnost mají čísla, která vzniknou tak, že sčítáme čtyři po sobě jdoucí čísla. Při náhodném postupu: 7 + 8 + 9 + 10 = 34 21 + 22 + 23 + 24 = 90 44 + 45 + 46 + 47 = 182 se ukazuje, že součet je vždy sudé číslo. V řadě čtyř po sobě jdoucích čísel jsou vždy dvě čísla sudá a dvě čísla lichá. Součet dvou sudých čísel i součet dvou lichých čísel je vždy sudé číslo, tedy součet všech čtyř čísel je číslo sudé.


28

V obecném vyjádření je součet n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 2(2n + 3), což je sudé číslo.

Jinou možností zdůvodnění je využití výsledku z příkladu 1. Sčítáme vždy dvě dvojice po sobě následujících čísel. Podle příkladu 1 jsou to čísla lichá. Součet těchto dvou lichých čísel je číslo sudé.

Při systematickém postupu žák sleduje: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 2 + 3 + 4 + 5 = 14 3 + 4 + 5 + 6 = 18 4 + 5 + 6 + 7 = 22 atd. První součet je 10. V dalších případech je vždy každý sčítanec o 1 větší než

předchozím případu, tzn., že celkový součet je o 4 větší než předcházející. První součet je sudý, tedy každý další součet je též sudý.

Na prvním stupni žáci experimentují a vyvozují hypotézu. Ta se dá později zobecnit a dokázat. Není vyloučeno, že nadaný žák začne pociťovat potřebu obecného zápisu k vyjádření svých úvah o součtu sudých a lichých čísel. Co všechno může žák při řešení výše uvedených úloh objevit?

• Součet dvou po sobě jdoucích čísel je vždy číslo liché. • Součet tří po sobě jdoucích čísel může být číslo liché nebo sudé. Záleží na tom,

zda první sčítanec je sudé nebo liché číslo. • Součet tří po sobě jdoucích čísel je vždy násobkem čísla 3. • Součet dvou sudých čísel je číslo sudé, součet dvou lichých čísel je číslo sudé,

součet sudého a lichého čísla je číslo liché. • Součet se mění v závislosti na změnách sčítanců.

Příklad 4: Sčítejte postupně řadu lichých čísel po sobě jdoucích od čísla 1. Jakou společnou vlastnost mají vypočítané součty? Pokuste se každý součet vyjádřit jiným způsobem:

1 + 3 = 4 4 = 2 . 2 1 + 3 + 5 = 9 9 = 3 . 3 1 + 3 + 5 + 7 = 16 16 = 4 . 4 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 25 = 5 . 5 atd.

Obecně: 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n . n Každé číslo se vyjádří jako součin dvou sobě rovných činitelů, z nichž každý udává

počet sčítanců. Příklad 5: Sčítejte postupně řadu sudých po sobě jdoucích čísel. Pokuste se tento součet vyjádřit jiným způsobem. Objevte nějakou zákonitost mezi vznikajícími součty.

2 + 4 = 6 6 = 2 . 3 2 + 4 + 6 = 12 12 = 3 . 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 20 = 4 . 5 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 30 = 5 . 6

Obecně: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n . (n + 1) . Každé z čísel je vlastně součinem dvou po sobě jdoucích činitelů, z nichž první

udává počet sčítanců.


29

Příklad 6: Sčítejte postupně řadu přirozených čísel po sobě jdoucích od čísla 1. Pokuste se tento součet vyjádřit jiným způsobem tak, abyste mohli objevit nějakou zákonitost mezi vznikajícími součty:

1 + 2 = 3 3 = (2 . 3) : 2 1 + 2 + 3 = 6 6 = (3 . 4) : 2 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 = (4 . 5) : 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 = (5 . 6) : 2

Obecně je možné tento součet vyjádřit: 1 + 2 + 3 + :…. + n = n . (n + 1) : 2

Je to vlastně součin dvou po sobě jdoucích čísel dělený dvěma. Přitom první číslo udává počet sčítanců. Co může žák při řešení těchto úloh objevit?

• Žák sleduje, jak jednotlivé součty postupně narůstají. • V určitém okamžiku žák může sám odhalit, jak budou součty po sobě

následovat. • Žák může vnímat zápis součtu v jiném aritmetickém vyjádření. • Žák může vnímat zákonitosti aritmetické posloupnosti a jejího součtu.

V uvedených úlohách o procesu i výsledku řešení diskutuje učitel se žáky nebo

diskutují žáci sami mezi sebou. Aktivní jsou tedy žáci, učitel je jim spíše poradcem. Postupně jsou žáci vedeni k zobecňování a k využívání získaných poznatků v nových situacích nebo v jiném učivu, v závěru pak k formulaci obecně platné věty. Často sami pocítí potřebu jejího zdůvodnění, event. důkazu. Problémy přitom mohou být zadávány různými způsoby, buď je formuluje učitel, nebo si je žáci vyhledávají sami. Je vhodné, když se k jedné situaci vytvářejí série úloh. Mohou být úlohy s rostoucí náročností, které jsou sestavené tak, že vyřešení jednodušší úlohy je předpokladem k řešení úlohy složitější. Jinou formou je zadání složitějšího problému. V případě, že by si žáci s jeho řešením nevěděli rady, učitel formuluje úlohy nápovědné. Ve všech případech je nutné, aby byl společně vysloven určitý matematický závěr – poučka nebo věta a žáci se snažili o její zdůvodnění, event. důkaz.

Literatura:

1. BLAŽKOVÁ, R. Přirozená čísla a posloupnosti jako prostředek rozvíjení exaktního myšlení žáků. In Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 48-55. ISBN 978-80-244-1963-3

2. BLAŽKOVÁ, R., SYTAŘOVÁ, I., VAŇUROVÁ, M. Matematické nadání a péče o talenty. In Výchova a nadání 1. Brno: Masarykova univerzita, 2008. s. 45 - 56. ISBN 978-80-7392-024-1.

3. FOŘTÍK, V., FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál, 2007. ISBN 98-80-7367-297-3

4. KOSHY, V. Teaching Mathematics to Able Children. London: David Fulton Publishers 2001. ISBN 1-85346-687-5

5. ROUGIER, R. Rozvíjíme logické myšlení. Praha: Portál, 1997. ISBN 80-7178-101-0


30

Příspěvek byl zpracovaný jakou součást řešení výzkumného záměru

MSM 0021622443 Speciální potřeby žáků v kontextu Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání, řešeného na Pedagogické fakultě MU v Brně.

Kontaktní adresa

RNDr. Ružena Blažková, CSc. RNDr. Milena Vaňurová, CSc. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta MU Poříčí 31, 635 00 Brno Česká republika Telefon: +420 549 491 678 Fax: +420 549 491 620 E-mail: [email protected]

[email protected]


31

PERSPEKTÍVY ĎALŠIEHO VZDELÁVANIA U ČITEĽOV MATEMATIKY

Jaroslava BRINCKOVÁ

Abstrakt Hlavným cieľom stratégie ďalšieho vzdelávania učiteľov matematiky na UMB je

dobudovať systém celoživotného vzdelávania a systém celoživotného poradenstva tak, aby uľahčil učiteľom prístup k opakovanému a pružnému nadobúdaniu nových kvalifikácií prostredníctvom kvalitného vzdelávania, získaného v systéme formálneho vzdelávania.

PERSPECTIVES OF FURTHER EDUCATION FOR TEACHERS IN MATHEMATICS

Abstract

The main strategy aim of further education for teachers in mathematics is to finish the construction of the system for life-long education and for life-long advisement at Matej Bel University. It enables teachers easier approach to reiterating and flexible gaining new qualifications through good-quality education obtaining in the system of formal education

Úvod

Rýchle technologické zmeny vo výrobe, ktoré sú najbadateľnejšie od deväťdesiatych rokov minulého storočia, vedú k potrebe celoživotného vzdelávania jednotlivca. Bez dostatočného prírodovedného a zvlášť matematického vzdelávania v škole nie je možný technický pokrok. Kvalita a kvalifikácia spoločnosti je úzko prepojená s cieľmi zamestnanosti a kvalitou jej učiteľov. Reformy uskutočňované v krajinách Európskej únie menia v poslednom období tradičné prístupy k učiteľskej profesii.

Medzinárodná expertná skupina Európskej komisie vypracovala záväzný dokument identifikácie profesijných kompetencií učiteľa v európskom regióne.1 Lisabonská stratégia (2000) a následne Kodanská deklarácia (2004) vo svojich dokumentoch považujú učiteľa za hlavného aktéra v stratégii vytvárania spoločnosti a ekonomiky založenej na vedomostiach.2 V jeho intenciách vytvárajú Integrovaný program celoživotného vzdelávania na roky 2007 – 2013, ktorý je jedným z implementačných nástrojov Lisabonskej stratégie.

Ministerstvo školstva SR reaguje na tieto podnety vypracovaním „Koncepcie profesijného rozvoja učiteľov v kariérnom systéme“, v ktorom majú šancu kariérového

1 EUROPEAN COMMISION, Expert Group on Improving the Education Teachers and Trainers. Changes in Teacher and trainers Competences. Synthesis Report, 2002 2 Lisabonská stratégia (2000) http://www.euractiv.sk/lisabonska-strategia


32

rozvoja všetky kategórie pedagogických zamestnancov pri akceptovaní odlišnosti ich pregraduálnej prípravy a dosiahnutej kvalifikácie. Cieľom systému kariérového rastu je motivovať pedagógov ku kontinuálnemu vzdelávaniu. Učiteľom sa v kariérnom rozvoji otvárajú 3 cesty, z ktorých si každý môže na svojej celoživotnej profesijnej dráhe slobodne voliť. Kontinuálne vzdelávanie učiteľov v kariérnom systéme znázorňuje schéma č .1:

Schéma 1: Kontinuálne vzdelávanie učiteľov v kariérnom systéme. Ďalšie vzdelávanie učiteľov je orientované na rozvoj pedagogických kompetencií

učiteľa matematiky a realizuje sa v troch líniách ako vzdelávanie: adaptačné, aktualizačné a inovačné. Výstupom z aktualizačného a inovačného vzdelávania je atestačná skúška a zisk certifikátu.

Slovenská odborná učiteľská verejnosť dostala neľahkú úlohu: „vytvoriť národný kompetenčný profil učiteľa, rozpracovať ho do profesijných štandardov jednotlivých kategórií zamestnancov na základe kľúčových kompetencií a spôsobilostí, pri určení indikátorov ich kvality“. Výsledkom ich snahy je trojdimenzionálny model, ktorý člení požadované kompetencie učiteľa na kompetencie orientované na žiaka, na edukačný proces a na sebarozvoj učiteľa.

PROFESIJNÝ ŠTANDARD

Profesijný rozvoj

Kariérny systém

Rozvoj špecializovaných

a riadiacich kompetencií učiteľov

Rozvoj pedagogických kompetencií

učiteľov

Rozlíšenie podľa kariérnych

pozícií

Rozlíšenie podľa kariérnych

stupňov

Adaptačné vzdelávanie

Atestácie

Aktualizačné vzdelávanie

Inovačné vzdelávanie

Špecializačné a funkčné

vzdelávanie

Platový poriadok- príplatky

vzdelávanie

Kariérne cesty

Kreditný systém

Hodnotenie kvality učiteľov a ich odmeňovanie

ZVÝŠENIE KVALITY VZDELÁVANIA


33

UMB a celoživotné vzdelávanie učiteľov matematiky

Fakulty pripravujúce učiteľov matematiky na Slovensku vstupujú v súčasnosti aj do pregraduálnej prípravy učiteľa, pričom spolupracujú s metodickými centrami hlavne v oblasti sebarozvoja učiteľa a na rozvoji aktualizačných a inovačných kompetencií učiteľov pri ich atestácii. Pre tvorbu nového vzdelávacieho kurzu atestácií učiteľov matematiky, pripravovaného Centrom celoživotného vzdelávania pri UMB v Banskej Bystrici sme pripravili obsahovú náplň, ktorá korešpondovala s požiadavkami učiteľov z praxe. V dotazníku s pätnástimi položkami s voľbou odpovede z ponuky minimálne siedmich možností, ale aj v piatich otázkach s možnosťou tvorby odpovede, sme zisťovali ochotu učiteľov matematiky ďalej sa vzdelávať a ich záujem o doplnenie si informácií v jednotlivých oblastiach vyučovania matematiky na ZŠ a SŠ. Otázky boli formulované tak, aby sa mohli respondenti vyjadriť k danému problému z rôznych uhlov pohľadu, ktoré dávajú ucelený obraz. Anketu sme realizovali na 23 základných a stredných školách v stredoslovenskej oblasti. Zo 120 rozoslaných dotazníkov sa v stanovenom termíne vrátilo 102, t.j. 85%. Početnosť respondentov a ich vekové rozdelenie podľa rokov praxe znázorňujú nasledujúce grafy.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1. st. ZŠ 2. st. ZŠ SŠ

Početnosť učiteľov podľa typu školy

počet uč.

0

5

10

15

20

25

30

35

do 10 rokov do 20 rokov do 30 rokov 31 a viac rokov

Počet učiteľov podľa rokov praxe

n

Graf č.1: Rozdelenie podľa typu školy Graf č.2: Rozdelenie podľa počtu rokov praxe

Prvý okruh otázok bol zameraný na potrebu a ochotu učiteľov matematiky ďalej sa vzdelávať. S výrokom: „Každý pedagogický pracovník (učiteľ, vychovávateľ, riaditeľ školy,...) by sa mal ďalej vzdelávať“ určite súhlasí alebo súhlasí 81,37% respondentov. Ale: „Ďalšie vzdelávanie pedagogických pracovníkov by malo byť“ podľa najčastejších vyjadrení respondentov: dobrovoľné - 57,84%. Len 17,65% respondentov si myslí že by malo byť povinné pre všetkých.

Nezávisle na počte rokov praxe kladie 14,51% respondentov dôraz na jeho orientáciu umožňujúcu uplatniť sa na trhu praxe v rámci EU. Myšlienku inovácie prípravy učiteľov matematiky pre ZŠ, orientovanú na implementáciu najlepších didaktických skúseností z vyučovania matematiky na fakultách pripravujúcich učiteľov v Taliansku, Francúzsku, Dánsku, ČR a SR, ako aj porovnanie rozdielov v príprave učiteľov, na ktoré musí byť učiteľ matematiky na trhu práce v EU vo svojej profesii pripravený, sme na Katedre matematiky PF UMB rozpracovali v v rokoch 2004 – 2006


34

v projekte Comenius 2.1 s akronymom LOSSTT-IN-MATH3. Dôraz v ďalšom vzdelávaní učiteľa by mal byť podľa záverov v projekte kladený na: • odborno- metodickú prípravu učiteľa; • rozvinutú schopnosť práce s informačno-komunikačnými technológiami; • jazykovú kompetenciu.

Druhý okruh otázok sa zameral na prácu inštitúcií poskytujúcich ďalšie vzdelávanie učiteľov a postoj učiteľov ku zmenám vo vzdelávaní. S výrokom „Súčasný systém ďalšieho vzdelávania pedagogických pracovníkov netreba meniť“ respondenti najčastejšie nesúhlasili – 49,02%. Potreba zmeny sa prejavila aj v odpovedi na otázku „Kto Vám najviac pomohol v ďalšom vzdelávaní v oblasti metodiky vyučovania matematiky?“ Najčastejšia odpoveď - samoštúdium – 50,0% a metodicko–pedagogické centrum – 32,35%. „Ďalšie vzdelávanie pedagogických pracovníkov by sa malo realizovať“ podľa najpočetnejších vyjadrení 48,04% respondentov v metodicko- pedagogických centrách. Hoci „ Podmienky pre ďalšie vzdelávanie pedagogických pracovníkov sú na školách“ respondentov veľmi dobré alebo dobré- 75,49%- učitelia často uvádzali ako problém nedostatok financií na suplovanie v čase ich neprítomnosti v škole, čo im znemožňuje zúčastňovať sa na vzdelávacích podujatiach vo svojom odbore.

Tretí okruh otázok skúmal faktor, podmieňujúci možnosť a ochotu ďalej sa vzdelávať. Je to časový rozsah podujatí a termín ich konania. Najviac – 47,06% je za jednodňový rozsah podujatia, najčastejšie v prvom týždni hlavných prázdnin. Určite nie v sobotu a nedeľu, ale v pracovnom čase tak, ako v iných sférach národného hospodárstva. Táto, podľa nášho názoru správna požiadavka, je ako vyplýva z vyššie uvedeného v podmienkach súčasného školstva nerealizovateľná.

Pri tvorbe obsahu vzdelávania pre 1. a 2. kvalifikačnú skúšku učiteľov matematiky ZŠ a SŠ sme sa zamerali na respondentmi najviac požadované oblasti vzdelávania, z možností uvedených v dotazníku. Zo štrnástich vymenovaných okruhov mohli vybrať trojicu, ktorú považujú za najpotrebnejšiu. Sú to: nové efektívne vyučovacie postupy- 57,84%, inovácia obsahu učiva matematiky – 51,96%, rozvoj tvorivosti žiakov – 47,06% a využitie informačných technológií vo vyučovaní matematiky – 42,16%. Zaujímavé je, že hoci nový školský vzdelávací program navrhnutý MŠ SR umožňuje školám vypracovať si vlastné, na mieru šité vzdelávacie programy školy, využívajúce poznanie medzipredmetových vzťahov, o možnosť tvorby nového kurikula matematiky sa zaujímali len 4 respondenti. Pritom 79,41% z opýtaných si myslí, že pre odstránenie duplicity vo vyučovaní je poznanie medzipredmetových vzťahov pri tvorbe nových vzdelávacích programov veľmi dôležité.

S poslednou otázkou v dotazníku: „ Mala by byť výrazná špecializácia v príprave pedagogických pracovníkov doplnená v poslednom ročníku štúdia učiteľstva o opakovanie učiva ostatných predmetov ZŠ (SŠ) hlavne pre potreby budúceho suplovania pedagóga?“ nesúhlasí len 37,25% respondentov z 2. stupňa ZŠ.

Väčšina z takto odpovedajúcich respondentov pracuje menej ako 10 rokov v školstve. Pritom Pritom „Prípravu budúcich učiteľov pre pedagogickú prax na učiteľských fakultách vysokých škôl z metodickej stránky hodnotí najčastejšie“ ako dobrú 38,71% respondentov. Ako veľmi zlú 12,75% zo všetkých respondentov a ich prax je menšia ako 10 rokov.

3 http://losstt-in-math.dm.unipi.it/


35

Záver

Ďalšie vzdelávanie učiteľov orientované na rozvoj pedagogických kompetencií učiteľa matematiky v súčasnosti predpokladá, že jeho absolvent dokáže v dostatočnej miere rozvíjať matematickú gramotnosť svojich žiakov. Úroveň schopnosti učiteľa rozvíjať tento typ gramotnosti je podľa P. Klenovčana (2008, s. 44) formovaná jeho prípravou pred nástupom na VŠ, jeho vysokoškolskou prípravou aj úrovňou jeho profesijného rozvoja v rámci kariérneho rastu. Vo vysokoškolskej príprave učiteľov matematiky v rámci kurzu Predškolská a elementárna pedagogika od roku 2004 klesá počet hodín matematiky. Pri nepostačujúcom časovom priestore pre vyučovanie matematiky je potrebné, podľa Ľ. Gerovej (2007, s.51), využiť ďalšie možnosti rozvíjania kompetencií učiteľa, napr. e-kurzy, rôzne druhy portfólií a pod. Do nami navrhovaného obsahu vzdelávania učiteľov v rámci 1. a 2. kvalifikačnej skúšky sme ako nový efektívny vyučovací postup volili, pre malý počet hodín kurzu, práve možnosť dištančnej formy vzdelávania sa učiteľov s využitím informačných technológií, zameraný na metodické sprístupnenie inovovaného obsahu vyučovania matematiky na ZŠ a SŠ. Úspešnosť pripravovaného inovačného vzdelávania overia až prví absolventi kurzu.

Literatúra

1. EUROPEAN COMMISION, Expert Group on Improving the Education Teachers and Trainers. Changes in Teacher and trainers Competences. Synthesis Report, 2002

2. GEROVÁ, Ľ., KLENOVČAN, P.: Rozvíjanie matematickej gramotnosti budúcich učiteľov – elementaristov. In: Vyučování matematice z pohledu kompetencí žáka a učitele 1. stupně základního vzdělávání – Srní 2007. Sborník z konference s mezinárodní účastí. Plzeň: ZČU 2007, s. 48-53. ISBN 978-80-7043-548-9

3. KLENOVČAN, P.: Rozvoj vyšších úrovní matematickej gramotnosti. In: Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie "Experience in Further Education of Teachers in Mathematics". Ostrava: Ostravská univerzita, 2008, s. 43-47. ISBN 978-80-7368-621-5.

4. Bolognská deklarácia (1999) http://www.europskaunia.sk/bolonsky_proces 5. Kodaňská deklarácia (2004)

http://www.minedu.sk/data/USERDATA/RegionalneSkolstvo/OdborneVzdelavanie/MZCH/Kodanska_deklaracia.pdf

6. Lisabonská stratégia (2000) http://www.euractiv.sk/lisabonska-strategia 7. http://losstt-in-math.dm.unipi.it/ Favilli, F. et. al: Lower Secondary School Teacher

Training in Mathematics. Project Socrates Comenius 2.1. Pisa: Plus- Pisa University Press, 2006. ISBN 10:88-8492-436-7

Kontaktná adresa

Doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40 974 01 Banská Bystrica Telefón: +421- 484 467 122 E-mail: [email protected]


36

OTEVÍRÁNÍ SV ĚTA MATEMATIKY P ŘEDŠKOLNÍMU DÍT ĚTI Z POHLEDU UČITELEK MŠ

Jana CACHOVÁ

Abstrakt Příspěvek se zabývá možnostmi zvyšování matematické gramotnosti učitelek

předškolního vzdělávání. Rovněž se zabývá otázkami, zda je možné ovlivnit jejich přesvědčení v duchu podnětného vyučování, zejména naučit se vidět matematiku kolem sebe, v běžných denních situacích a činnostech.

NURSERY SCHOOL TEACHER – OPENING THE WORLD OF MATHEMATICS TO PRE-SCHOOL CHILDREN

Abstract The improvement of mathematical literacy of teachers at the pre-school level of

education is the crucial point of this contribution. It also asks questions if it is possible to influence teachers´ approach in favour of the investigative teaching; namely to make them aware of mathematics being involved in everyday situations and activities.

Podnětná prostředí v mateřské škole

„…Dřív jsem si neuvědomovala, že s dětmi pěstujeme matematiku i v dalších různých činnostech – nyní ji více vidím a jsem schopna tímto směrem činnosti dále upravovat a rozvíjet…“

Domnívám se, že tato slova jedné ze studentek bakalářského programu pro učitelky mateřských škol přesně vystihují základní myšlenku, o kterou v přípravě učitelů predprimárního vzdělávání z pohledu didaktiky matematiky především jde – sice je naučit vidět matematiku kolem sebe a vést je k jejímu aplikování na běžné každodenní činnosti s dětmi.

Předškolní vzdělávání pokračuje v etapě rozvíjení předmatematických a raně matematických představ dítěte. Toto období je z hlediska dalšího matematického vývoje dítěte velmi důležité. Dobrý učitel může v tomto období dětské představy a jejich utváření výrazně ovlivnit, náležitě je podporovat. Ne každý učitel je ale ihned schopný vidět matematiku kolem sebe, jak dosvědčuje úvodní citát. Je možné pěstovat matematickou kulturu učitele mateřské školy?

Pojem matematická kultura chápu ve smyslu dobrá matematika podle Tarance Tao (2008) jako dobré řešení problémů, dobrou matematickou techniku, dobré matematické aplikace, pěstování matematického vhledu, tvořivosti, vnímání krásy matematiky, v duchu článku F. Kuřiny (2008). Jiná bude zajisté matematická kultura učitele mateřské školy, jiná učitele na gymnáziu, protože se tato kultura váže k prostředí školy, kterého se dotýká. Pokud tedy matematickou kulturu chápeme jako dobrou matematiku, matematickou gramotnost pak můžeme nahlížet jako její počátek.

Jednou z možností, jak zvyšovat matematickou gramotnost učitelek, spatřuji v možnosti předkládat jim vhodná podnětná prostředí a v rámci nich náměty pro práci


37

s dětmi v mateřské škole. Důležité je, aby tato prostředí učitelky vyzkoušely uplatnit ve své školní práci a hledaly další činnosti, kterými v práci v daném prostředí mohou pokračovat.

Podnětná prostředí chápu jako součást tzv. podnětného vyučování (viz. podrobně Stehlíková, Cachová, 2006): • Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání. • Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi

pracuje. • Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost. • Učitel nahlíží na chybu jako na stádium žákova chápání matematiky a impulz pro

další práci. • Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění než na reprodukci odpovědi.

Vzhledem k charakteru předškolního vzdělávání a práce v mateřské škole se mi jako vhodnější jeví používat namísto pojmu podnětné vyučování pojem podnětné činnosti s dětmi.

V rámci didaktiky matematiky, která završuje třísemestrální kurz Rozvíjení matematických představ, byla studentům nabídnuta rozmanitá matematická prostředí, z nichž se každé vázalo k určitému tematickému okruhu (např. prostředí geoboardu, práce se zrcadly, počítadla a Graserovo okno, hrací kostky, stavíme ploty, činnosti s tyčinkami a dřívky atd.). Každé prostředí poskytovalo několik námětů k podnětným činnostem, které lze v jeho rámci s dětmi vykonávat. Náměty byly vybírány v souladu s principy podnětné výuky, ačkoli s teorií podnětného vyučování nebyly studentky přímo seznamovány. Studentky kombinovaného studia, které z velké většiny v mateřské škole pracují, byly vyzvány, aby si jedno (popř. kombinaci více) prostředí zvolily pro svou seminární práci. Úkolem studentek bylo ve zvoleném prostředí navrhnout další činnosti a s dětmi je vyzkoušet. Cílem takto zadané seminární práce bylo sledovat, nakolik jsou studentky schopné dané prostředí didakticky využít a rozpracovat další činnosti v duchu podnětného vyučování.

Domnívám se, že charakter práce učitelek v mateřské škole je velmi blízký principům podnětného vyučování, co se týče vhodné motivace, zaktivování dětí a individuálního přístupu k dítěti, tedy i práce s chybou. Na druhou stranu je někdy pro tyto učitelky poněkud obtížné hledat skutečně podnětné matematické činnosti a v rámci ostatních vzdělávacích a výchovných aktivit vidět jejich další možnou interpretaci, sice z pohledu didaktiky matematiky. Pro některé je pak obtížné upřednostnit dětskou individualitu a originalitu před šablonovitým plněním zadaných úkolů.

Ukázky seminárních prací

Protože podrobný rozbor všech prací přesahuje rámec tohoto příspěvku, rozhodla jsem se na dvou ilustračních pracích ukázat, že je podle mého názoru možné vést učitele mateřských škol k podnětné práci. Na ukázku jsem vybrala dvě prostředí, sice prostředí Cesty a labyrinty (pohyb v prostoru) a Svět čísel (počet a mnohost).

Nejprve se zaměříme na prostředí pohybu v prostoru. Zájem dětí ve sledovaných pracích studentek – učitelek MŠ byl probouzen

například úvodní pohádkou - vyprávěním o skřítkovi „Bludišťákovi“, kterého představoval maňásek, a návštěvou jeho království - dřevěného labyrintu na dětském


38

hřišti. Dětem byly dále nabídnuty náměty k jejich samostatné volné hře – sice malé dřevěné labyrinty dvou různých typů, stolní společenská hra, ve které děti mohou tvořit z hracích karet různá bludiště, soubor pracovních listů Logico piccolo s bludišti, dále pak v prostoru třídy měly děti možnost vytvářet domeček pro skřítka Bludišťáka s využitím dřevěných kostek, popř. stavebnice Lego. Na volnou hru pak navazovaly řízené činnosti – hra „hledáme cestu“ (procvičování pojmů nejkratší – nejdelší) - „pomoz najít skřítkovi nejkratší / nejdelší cestu (do šatny, umývárny, kuchyňky)“. Ostatní děti kontrolovaly, hledaly jiné možné cesty. Dále v kroužku popisovaly svou každodenní cestu z domova do MŠ.

Pomocí dvou různě barevných klubíček vlny pak dvojice dětí měří v prostoru třídy různé vzdálenosti, ostatní je pak na koberci porovnávají a určují, zda je vzdálenost krátká – dlouhá, kratší – delší atd.

Ve třídě děti ve skupinách sestavují labyrinty z drobných předmětů (kostek lega, kamínků, kaštanů – viz. foto 1). Na velký arch balicího papíru společně na závěr nalepují cesty vystřižené z barevného papíru.

Venku staví cesty v pískovišti, cesty z kaštanů a šišek, staví překážkovou dráhu pro sebe a skřítka Bludišťáka, kreslí cesty křídou na asfaltovou plochu.

Druhé prostředí se týká rozvíjení světa čísel.

Děti při podzimních vycházkách nasbíraly mnoho přírodnin a plodů – kaštany, žaludy, šišky, na školní zahradě vypěstovaly společně fazole, z domova donesly různé druhy zeleniny a ovoce. Všechny plody a přírodniny dala učitelka do jednoho koše. Děti vytahují jednotlivé druhy, pojmenovávají je a určují, jaké je jejich využití. Dále pak třídí plody a přírodniny podle druhu do ošatek. Poté porovnávají, čeho je méně, čeho více. Každé dítě si vybere ošatku a má za úkol rozdělit svoje plody na dvě hromádky a určit, na které je více, méně nebo zda je v obou stejně.

Před dětmi jsou na stolečcích ošatky s mrkvemi, bramborami, šiškami, kaštany

Obr. 1

Obr. 2

Obr. 3


39

apod. Skupinka dětí si vybere ošatku a jejich úkolem je společně seřadit plody nebo přírodniny určitého druhu podle velikosti (obr. 2).

Děti dostaly karty s různým počtem teček. Karty byly položeny uprostřed stolu lícem dolů. Na stole ležela ošatka s fazolemi. Děti postupně obracejí karty, vybranou kartu si položí před sebe a přiřadí k ní stejný počet fazolí. Každé dítě si vybere několik karet.

Další úkol je společný, učitelka seřadila karty za sebe jako domino, různými směry, děti mají za úkol přiřazovat fazole ke kartám v pořadí, jak jdou za sebou, dodržet počet i směr (obr. 3).

Ukázky dokládají, že ke zvolenému prostředí jsou studenti schopni vymyslet řadu podnětných činností, které děti aktivizují a učí je se orientovat v prostoru. Učení hrou ve skupinách svědčí pro pozitivní klima ve třídě, kde děti jistě nemají strach z případné chyby a učení probíhá zcela přirozenou cestou. Je vidět, že všechny děti nemusí kopírovat jeden vzor, ale pracují podle své fantazie, práce ve skupině podporuje jejich tvořivost.

Pracovat v duchu podnětného vyučování, resp. podnětných činností s dětmi v MŠ je možné, ačkoli ne všechny učitelky jsou na to připravené. U některých bude tato změna trvat déle. Domnívám se, že je vhodné v návaznosti na bakalářské studium pokračovat kurzy dalšího vzdělávání pro učitelky mateřských škol, ale podporovat i jejich vzájemnou spolupráci a výměnu zkušeností – a to nejen v kolektivu dané školy, ale především i v rámci spolupráce více škol – během studia učitelky navázaly kontakty se spolužačkami z jiných MŠ.

O vyšší citlivosti učitelek k vnímání matematiky v okolním světě vypovídá už úvodní citát. Spolu s uvedenými ukázkami dokládá, že je možné také v mateřské škole pěstovat dobrou matematiku.

Literatura

1. KUŘINA, F.: Může být školská matematika matematikou dobrou? Pokroky matematiky, fyziky, astronomie, 53, 2008.

2. STEHLÍKOVÁ, N., CACHOVÁ, J.: Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe, In: Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP, JČMF, Praha, 2006

3. TAO, T.: Co je dobrá matematika? Pokroky matematiky, fyziky, astronomie, 53, 2008.

Příspěvek vznikl s podporou grantu GAČR 406-08-0710

Kontaktní adresa

PhDr. Jana Cachová, Ph.D. Katedra matematiky, PdF UHK Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové Telefón: +420 493 331 466 E-mail: [email protected]


40

VYUČOVÁNÍ MATEMATIKY JAKO P ŘÍLEŽITOST PRO ROZVOJ TVOŘIVOSTI ŽÁKA

Jana COUFALOVÁ, Miroslava CHMELOVÁ

Abstrakt Dotazníkové šetření ukázalo podcenění možností rozvoje tvořivosti žáků

v hodinách matematiky. Chápeme-li tvořivost jako schopnost hledat nová řešení v tom nejobecnějším smyslu, je dostupná všem lidem a měla by být rozvíjena u všech žáků. Vyučování matematiky podporuje tvořivé myšlení žáků při tvorbě úloh, hledání různých způsobů řešení, vytváření vlastních algoritmů. Prostředí podněcující tvořivost vyžaduje klid a dostatek času na samostatnou práci, vhodný přístup k chybám žáků a maximální míru žákovy sebereflexe.

TEACHING MATHEMATICS AS AN OPPORTUNITY TO SUPPORT THE DEVELOPMENT OF CREATIVITY AMONG STUDENTS

Abstract The Questionnaire showed underdeveloped potential in the students’ perception and

development of creativity during mathematics lessons. If we comprehend creativity as the ability to search for new solutions in the most general sense, creativity should be accessible to all people and should be developed in all of the students. The teaching of mathematics supports the creative thought processes of the students as they manufacture an equation, search for various solutions and in creates their own algorithms. An environment which encourages creativity requires an atmosphere of calm, sufficient time for individual work, a neutral attitude toward the students’ mistakes, and the greatest degree possible of self-reflection on the part of the student.

Úvod

V roce 2009 provedly autorky dotazníkové šetření s cílem zjistit názor na postavení matematiky v procesu rozvoje tvořivosti žáků. Dotazník vyplnilo 81 respondentů – učitelů 1. stupně, studentů kombinované formy studia oboru Učitelství pro 1. stupeň a také 18 neučitelů. V první otázce měli respondenti seřadit předměty vyučované na 1. stupni podle toho, jak se v nich rozvíjí tvořivost dítěte. Na předních místech se většinou objevovaly pracovní vyučování a výtvarná výchova, 48 % z těch, kdo matematiku vůbec umístili, ji uvedlo ve druhé polovině. 14 % dotazovaných dokonce považuje matematiku za předmět, který rozvíjí tvořivost nejméně. Největší prostor pro rozvoj tvořivosti vidí respondenti v geometrii (67 %) a u slovních úloh (rovněž 67 %). Pouze 12 % dotázaných si vzpomnělo na nějakou činnost ve vyučování matematice, která přispívá k rozvoji tvořivosti žáků.

Podněcovat žáky k tvořivému myšlení je jedním z úkolů základního vzdělávání (viz Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání). Může učitel při vyučování matematiky ke splnění tohoto cíle přispívat, nebo jsou možnosti skutečně tak omezené,


41

jak se domnívá většina oslovených v uvedeném dotazníkovém šetření? Pokusme se společně hledat na tuto otázku odpověď.

Co je to tvořivost?

Pokud budeme chápat tvořivost jako soubor schopností, které umožňují tvůrčí činnost, tedy činnost přinášející něco nového, ať je to objev, vynález, umělecké dílo, způsob řešení problému, nebo třeba nový recept na dobré jídlo, je zřejmé, že ji nelze spojovat jen s úzkou skupinou lidí. V následujícím textu je tvořivost pojímána jako schopnost hledat nová řešení v tom nejobecnějším smyslu, jako schopnost dostupná všem lidem.1

Řada učitelů chápe tvořivost jinak a spojuje ji s jakousi výlučností - tvořit nemůže každý žák, je to záležitost těch nadaných. Nesouvisí tato představa i s tím, že nadaným žákům vytváříme pro rozvoj tvořivosti větší prostor? Míra a intenzita tvořivosti je záležitostí individuální a každý žák má právo na její rozvoj.

Někteří žáci mají na konci třetího ročníku osvojeny všechny spoje malé násobilky

zpaměti, jiní by měli dostat možnost najít si svůj systém zapamatování těchto spojů, možnost tvořivě objevovat nové zákonitosti. Ukáže-li učitel hned v první hodině, že násobilku devíti si žáci mohou snadno zapamatovat pomocí zápisu číslic v opačném pořadí, žák se snaží zapamatovat si toto pravidlo a není motivován pro objevení další zákonitosti.

Rozvíjet tvořivost žáků může pouze učitel, který je sám tvořivou osobností. Takový

učitel umí nejen reagovat na aktuální situaci ve třídě, ale umí zpravidla chápat žáka jako individualitu, protože není svázán obecnými schématy. Tvořivost učitele bývá doprovázena schopností nadhledu, neulpíváním na nepodstatných detailech, ale i hravostí a smyslem pro humor.

Zkušenosti se studenty učitelství pro 1. stupeň, kteří jsou absolventy různých typů

středních škol ukazují, že tvořivost nemusí být nutně spjata s objemem matematických poznatků, ale je spíše spojena s pojetím vyučování, které sám budoucí učitel zažil. Absolventi gymnázií bývají na počátku učitelského studia v tomto směru daleko rigidnější než například absolventi středních pedagogických škol. Trvá jim určitou dobu, než se uvolní a pochopí, že i v matematických seminářích je místo pro nápady, fantazii, legraci.

Prostor pro tvořivost

I když lze tvořivost cíleně rozvíjet v různém věku, dává vyučování na prvním stupni pro rozvoj tvořivosti mimořádné podmínky. Nevyužitím tohoto období můžeme negativně ovlivnit tvořivé procesy v dalším životě jedince. Nerozvíjení nebo dokonce potlačování tvořivosti u žáků 1. stupně vede k vytvoření bariér, které se později obtížně redukují. Tvořivosti nelze naučit tím, že o ní budeme žákům nebo studentům povídat. Žák musí dostat příležitost k činnostem tvořivého charakteru, musí prožít tvořivý proces

1 Různé definice tvořivosti a jejich srovnání například Lokšová, Lokš, 1999.


42

včetně pocitů úspěchu s ním spojených. Vyučování matematice může přispět k rozvoji osobnosti žáků vytvořením podmínek příznivých pro růst jejich tvořivého potenciálu. Uveďme některé z nich.

Ve výše zmíněném dotazníku často respondenti uváděli prostor pro tvořivost při tvoření slovních úloh. Možná šlo i o jistou asociaci vyplývající z jazykové podobnosti, ale ani v této oblasti nejsou možnosti dostatečně využity. Učitel by měl nechávat děti tvořit vlastní příklady, úlohy, úkoly pro sebe sama i pro jiné žáky. Dává tak možnost nejen vytvářet úlohy z prostředí známého dětem, ale vytváří podmínky pro spontánní nalézání a pochopení vztahů a rozmanitých způsobů řešení. V případě početních příkladů je učitel často překvapen rozsahem oboru, ve kterém žák počítá, a algoritmem, který žák zvolí.

I budoucí učitelé se u zkoušky dožadují zadání úloh od zkoušejícího, bojí se sami si zadat vlastní příklad. Učitel například vyzve: „Mluvíte o pravdivostním ohodnocení výrokové formy, napište si sama nějakou výrokovou formu a proveďte její ohodnocení.“ Studenka reaguje slovy: „Radši mi něco zadejte vy.“, i když riskuje větší obtížnost úkolu, než při vlastním zadání.

Žák první třídy vytvořil příklad na sčítání čísel, která zná, ale se součtem přesahujícím probíraný obor. Přesto počítal správně a svůj postup vysvětlil slovy: „19 plus 19 je 38. To je jako 20 a 20 je 40, ale bez těch dvou.“

Mezi bariéry tvořivé práce patří nedostatek času (Zelina, 1996). Ukončení činnosti žáka zazvoněním nebo pokynem učitele je faktorem, který časem vede k neochotě žáků pouštět se do tvořivé činnosti. Učitel je samozřejmě limitován časem, ale dítě by mělo dostat čas na rozmyšlení, realizaci, sebereflexi. Úkol je možné odložit, vracet se k němu s kratším či delším odstupem.

Při tvorbě slovních úloh, ale i v řadě situací běžného života se žáci setkávají s problémy, které nemohou pomocí dosavadních znalostí a dovedností vyřešit. Učitel často řekne: „To ještě neumíme, vymysli jinou úlohu.“ Mnohem větší motivační účinek má reakce typu: „Vidíš, to je zajímavá úloha. Napíšeme si ji na papír a uložíme do naší banky úloh.“ Po určité době, například na konci každého měsíce, žáci společně s učitelem banku otvírají a pokoušejí se některé úlohy řešit. Do „banky“ lze ukládat úlohy pro celou třídu, ale i individuální úlohy, které v danou chvíli nemohl vyřešit konkrétní žák.

Běžnou praxí je zadávání úkolů na rozmyšlení domů. Z hlediska rozvoje tvořivosti je to postup málo efektivní. Žák mnohdy vyhledá pomoc rodičů dřív, než ji potřebuje. Rodiče v dobré vůli samozřejmě ukáží, že oni příklad vyřešit umí. Stejně tak nechtěné zaslechnutí správného výsledku může vést ke ztrátě motivace k řešení úlohy.

Za největší překážku tvořivosti žáka lze považovat prosazování stereotypů, které „se osvědčily“. Matematika se svými danými strukturami a vazbami, s vysokou mírou algoritmizace vytváří pro vznik takových stereotypů předpoklady. Učitel se dožaduje jednotného způsobu řešení často v dobré víře, že tím žáky učí systému, že jim usnadňuje situaci. Právě v takových postojích spatřujeme největší zlo ve vyučování matematice, v nich jsou kořeny negativního vztahu značné části populace k matematice.


43

I v matematice platí, že činnost sama má z didaktického hlediska větší důležitost než její výsledek.

Často od učitelů slýcháme: „Musím stihnout vyplnit pracovní sešit, nestíhám plán,

musím ještě probrat…“. Vynecháme-li vyplnění jedné stránky pracovního sešitu a místo toho necháme dítě tvořit, rozhodně čas neztratíme.

Ve škole dosud není běžné nechávat žáky vytvářet časový plán své práce. Čas většinou organizuje učitel. K tvořivé práci však také patří stanovení individuálního časového prostoru. Dokáže-li žák sám stanovit čas, který potřebuje k zamyšlení a k řešení daného úkolu, měl by mít možnost se ve zvoleném časovém intervalu plně soustředit. Pokud si jeden žák stanoví, že na vypočtení pěti příkladů bude potřebovat patnáct minut, a jiný žák odhadne, že příklady zvládne vypočítat za pět minut, a oba stanovený čas přibližně dodrží, učitel by měl být připraven pracovat s oběma žáky na tom, co potřebují. První z nich si zřejmě dosud dostatečně neosvojil potřebné spoje, druhý žák musí mít možnost najít si či vytvořit úkol s další výzvou.

Podpora originálního řešení, byť někdy nepřesného nebo dokonce nesprávného,

znamená změnit postoj k žákovské chybě.

Přeškrtnutí příkladu, který žák počítal dvacet minut, může vést nejenom ke zklamání a nechuti řešit takový příklad znovu, ale i k tomu, že žák kapituluje a příště se už raději nebude dlouho zamýšlet. Tím více ho demotivuje špatná známka za práci, na kterou se plně soustředil. Vždyť přemýšlel tak dlouho!

Učitel by měl dát dítěti možnost dělat chyby, přemýšlet a znovu se vracet k příkladu, ve kterém chybovalo. Kontrola se spolužákem či samostatná kontrola podle vzoru může vést k hlubšímu promyšlení příkladu, ke znovunalezení chuti se problémem zabývat. Není pak výjimkou, že žák odloží pomůcku ke kontrole hned, když zjistí, v čem udělal chybu, a počítá dále znovu samostatně.

Závěr

Tvořivost je bezesporu v lidském životě důležitým činitelem nejen z pohledu jedince, ale i z pohledu rozvoje celé společnosti. Proto by jí ve vzdělávacím procesu měla být věnována odpovídající pozornost. Možnosti vyučování matematiky jako prostoru rozvoje tvořivosti žáka jsou neoprávněně podceňovány. V různé podobě a v různé intenzitě může tvořit každý žák, pokud mu k tomu učitel dodá podněty a pokud mu pro tvořivou práci vytvoří podmínky.

Literatura

1. Dacey, John S. – Lennon, Kathleen H. aj.: Kreativita: souhra biologických, psychologických a sociálních faktorů. Přel. Jan Adámek. 1. vyd. Praha: Grada, 2000. 250 s. ISBN 80-7169-903-9

2. HLAVSA, Jaroslav aj.: Psychologické metody výchovy k tvořivosti. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. 189 s.

3. LOKŠOVÁ, Irena – LOKŠ, Jozef: Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost dětí ve škole. Přel. Jakub Dobal. 1. vyd. Praha: Portál, 1999. 99 s. ISBN 80-7178-205-X


44

4. MAŇÁK, Josef: Rozvoj aktivity, samostatnosti a tvořivosti žáků. 1. vyd. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy university, 1998. 134 s. ISBN 80-210-1880-1

5. SOBIESZCZYK Maria: Twórcza i kreatywna postawa nauczycielna w czynnosciowym nauczaniu matematyki In: Od činnosti k poznatku. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2003, s. 173 – 175. ISBN 80-7082-955-9

6. ZELINA, Miron: Stratégia a metódy rozvoja osobnosti. Bratislava: Iris, 1996. 235 s. ISBN 80-967013-4-7

Kontaktní adresa

Doc. PaedDr. Jana Coufalová, CSc. Mgr. Miroslava Chmelová katedra matematiky The International Montessori School Fakulta pedagogická ZČU v Plzni of Prague & ZS JAM Sedláčkova 38, 306 14 Plzeň Hrudičkova 2107/16 Fax: +420 377 636 002 148 00 Prague 4 - Roztyly Telefon: +420 377 636 000 Telefon: +420 272 937 758 E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]


45

MATEMATIKA O ČIMA ŽÁK Ů 1. STUPNĚ ZŠ –VÝSLEDKY VÝZKUMU

Radka DOFKOVÁ

Abstrakt Příspěvek shrnuje výsledky získané ve výzkumu realizovaném v letech 2006 – 2008

na vzorku 180 žáků 1. stupně základní školy v Olomouckém kraji. Dvě po sobě jdoucí dotazníková šetření byla zaměřena na faktory ovlivňující vztah žáků k matematice jako k vyučovacímu předmětu – zařazování netradičních aktivit do výuky matematiky, vliv osobnosti učitele, kooperaci v týmu apod.

MATHEMATICS THROUGH THE EYES OF PRIMARY SCHOOL PUPILS – THE RESULTS OF RESEARCH

Abstract The paper summarizes the results ascertained in research which was practised in

2006 – 2008 at the sample of 180 pupils at the age of 6 – 10 in Olomouc region. Two following surveys focused on factors which influence pupils’ interest and opinions about mathematics: solving non-standard tasks, teacher’s personality, team cooperation etc.

1. Charakteristika výzkumného aparátu

Cílem výzkumu bylo zjistit zájem žáků o matematiku jako školní předmět, o řešení netradičních aktivit a celkově o jejich vztah k různým aspektům ovlivňujících vyučování matematice. Celkem se prvního kola šetření zúčastnilo 119 žáků 1. stupně (tj. 1. – 5. ročníku) základní školy a bylo použito dotazníku sestaveného tak, aby byl pro ně dostatečně přiměřený a srozumitelný. V záhlaví obsahoval základní údaje o dotazovaném – pohlaví, třídu, školu a poslední známku z matematiky na vysvědčení. Zařazení těchto položek mělo usnadnit pozdější klasifikaci a vyhodnocení. Dotazník byl sestaven ze strukturovaných položek, ve kterých měli žáci své odpovědi označovat na čtyřstupňové škále (rozhodně ano, ano, ne, rozhodně ne) a byl koncipován tak, aby bylo možné blíže zkoumat vybrané oblasti: • Zájem žáků o matematiku jako o vyučovací předmět. • Zájem žáků o realizaci netradičních matematických aktivit, projektů, řešení

nestandardních úloh a her. • Oblibu využívání osobního počítače mezi žáky.

Také v druhém kole pedagogického šetření bylo použito jako výzkumného nástroje dotazníku. Zde byl počet participujících respondentů podstatně nižší - pouze 61 žáků 1. stupně základní školy.

Na rozdíl od kola prvního zahrnoval následující dotazník více položek s dalšími faktory, které by mohly ovlivňovat vztah žáků k matematice (např. vyjádření se k hodině matematiky nebo k osobnosti učitele matematiky). V záhlaví obsahoval opět základní údaje o dotazovaném: pohlaví, navštěvovanou třídu a školu. V tomto dotazníku


46

však byla upravena otázka na očekávanou známku žáka na vysvědčení pro získání výše úrovně sebehodnocení žáků (dotaz z prvního dotazníku na poslední známku na vysvědčení se ukázal pro děti obtížné na vzpomenutí si).

Rozdíl byl také v počtu položek dotazníku - došlo k navýšení jejich počtu, a to zejména kvůli změně jejich struktury na dichotomické (žáci měli odpovídat na položené otázky buď ano, nebo ne). Důvodem ke změně počtu a charakteru otázek byla snaha získat komplexnější přehled o postoji žáků k matematice a sklon žáků k polarizaci odpovědí na škále v prvním šetření. Také v tomto šetření byly z položek dotazníku stanoveny oblasti zájmu, z nichž vybíráme pro bližší ukázku: • Osobnost učitele matematiky a jeho vliv na žákův vztah k předmětu. • Spolupráce rodiny při domácí přípravě žáků. • Zájem žáků o kooperaci v týmu.

2. Statistické údaje získané v prvním kole výzkumu

První položka dotazníku zjišťovala oblibu matematiky. V ní měli žáci zaznamenat svůj postoj k výroku „Matematika mě baví“. Nemůžeme obecně říci, že matematika jako taková je pro žáky neoblíbeným předmětem (83 % kladných odpovědí), jak bývá někdy uváděno (graf 1). Možné eventuální příčiny její nepopulárnosti musíme zřejmě hledat vně vlastní matematickou vědu – v didaktickém zázemí výuky matematiky na základních školách (domníváme se, že se jedná zejména o problematiku 2. stupně základních škol).

Graf 1: Obliba matematiky jako školního předmětu

44%

39%

11% 0% 6%

rozhodně ano

ano

ne

rozhodně ne

prázdné

Položky dotazníku 2: „Řeším rád(a) netradiční matematické úlohy (např.

v časopisech nebo novinách)“ a 3: „Rád(a) řeším hlavolamy, hraji šachy, dámu, …“ zjišťovaly, do jaké míry řeší žáci rádi netradiční úlohy (např. Sudoku, tangramy apod.) Zařazení těchto aktivit (zajímavé úlohy, didaktické hry, rébusy, hádanky, hlavolamy apod.), které rozvíjí logické a kombinační myšlení žáků, přináší žákům radost, baví je a pomáhají nenásilnou formou zlepšovat vztah žáků k učení. Podle našich výsledků se tyto aktivity se těší oblibě více než poloviny dětí - 71 % (graf 2).


47

Graf 2: Zájem o netradiční aktivity

32%

39%

21%

2% 6%

rozhodně ano

ano

ne

rozhodně ne

prázdné

V současné době jsou žáci vedeni k tomu, aby při učení se ve škole i při

vypracovávání domácích úkolů využívali počítače. Z toho důvodu zkoumala 4. položka: „Rád(a) využívám počítač“, zda žáci pracují s počítači. Sama konstrukce výukových programů je většinou koncipována tak, aby byla pro žáky co nejvíce přitažlivá, což také potvrdilo 82 % kladných odpovědí žáků (graf 3).

Graf 3: Využívání osobního počítače

51%

31%

12%1% 5%

rozhodně ano

ano

ne

rozhodně ne

prázdné

3. Statistické údaje získané v druhém kole výzkumu

V matematice je velice obtížné uspokojivě naplnit všechny požadavky kladené na tvořivého učitele. Tvořivě humanistický styl výuky, kde je středem vyučovací strategie žák, předpokládá vyzrálého učitele, který se nebojí ve své práci ověřovat nové pedagogické postupy, flexibilně pracuje s učebnicemi, podporuje nové projekty a vyhýbá se rutinní práci. Do jaké míry se to v praxi učitelům daří, zjišťovala položka 2: „Umí učitel v matematice navodit dobrou atmosféru?“, 5: „Nechá tě učitel v matematice objevovat nové věci?“, 6: „Vysvětluje učitel v matematice, proč se co učíte?“


48

a 9: „Kontroluje učitel domácí úkoly z matematiky?“ Potěšujícím zjištěním byla skutečnost, že žáci mají rádi své učitele matematiky, jak ukazuje graf 4 (77 %).

Graf 4: Působení osobnosti učitele matematiky

77%

21%2%

ano

ne

prázdné

Na otázku „Pomáhají ti doma s domácími úkoly do matematiky?“ měli žáci

odpovídat v 10. položce dotazníku. Tento dotaz zjišťoval, do jaké míry jsou rodiče zapojeni do domácí přípravy žáků na hodiny matematiky. Široká formulace otázky měla za cíl ne zkoumání konkrétní míry pomoci, ale zda vůbec děti se svými rodiči o dění ve škole komunikují. A to zejména proto, že rodina není jenom nejbližším prostředím dítěte, ale také jej ovlivňuje: skrze jeho intenzivní prožívání vztahů a událostí v rodině se promítá do jeho názorů, postojů, životního rozpoložení, osobnostních vlastností, předpokladů pro školní úspěšnost (Helus, 2007). Ve výzkumu bylo zjištěno, že 70 % žáků spolupracuje s rodiči při domácí přípravě (graf 5).

Graf 5: Spolupráce rodiny

70%

30%

ano

ne

Obvykle bývá uváděno, že výchovně – vzdělávací proces je účinnější, pokud necháme žáky pracovat ve skupinkách (Cangelousi, 1994) a z toho důvodu položka 14: „Líbilo se ti být členem týmu a navzájem si pomáhat?“ ověřovala toto tvrzení. Její zařazení bylo motivováno snahou zjistit postoje žáků ke kooperativním činnostem - k týmové spolupráci při řešení úloh v hodinách matematiky. Přestože jsme očekávali pozitivní odezvu 100 % kladných odpovědí zcela předčilo naše očekávání.


49

4. Závěr

Našim záměrem nebyla pouze interpretace aktuálních dat získaných v rámci výzkumu, ale pomocí těchto výsledků poukázat na rezervy a poskytnout podněty pro efektivní vyučování matematice. Rádi bychom, aby se dařilo vytvořit školní matematiku co nejvíce pestrou a živou, aby byla blízká nejširšímu spektru žáků, a přispět tím ke změně klimatu provázejícího matematické vyučování v konstruktivisticky orientovaném duchu. Hlavními impulzy, které činí v současné době matematiku více živou a žákům blízkou, se ukázala být především motivace žáků pro matematiku, rozvoj pozitivního vnímání matematiky na pozadí předmětové integrace a vyžívání každé možnosti přimět žáky vtipnou a nenásilnou formou učit se matematiku.

Literatura

1. CANGELOSI, J. S. Strategie řízení třídy. Praha: Portál, 1994. ISBN 80-7178-083-9. 2. GAVORA, P. Výzkumné metody v pedagogice: příručka pro studenty, učitele a

výzkumné pracovníky. Brno: Paido, 1996. ISBN 80-85931-15-X. 3. HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy

k vyučování. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-581-4. 4. HELUS, Z. Sociální psychologie pro pedagogy. Praha: Grada, 2007.

ISBN 978-80-247-1168-3. 5. CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu. Praha: Grada 2007.

ISBN 978-80-247-1369-4.

Kontaktní adresa

Mgr. Radka Dofková, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc, Czech Republic Telefón: +420 585 635 709 E-mail: [email protected]


50

ÚLOHY PRE ZISŤOVANIE ÚROVNE MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ŠTUDENTOV U ČITEĽSTVA

Ľubica GEROVÁ

Abstrakt Článok súvisí s témou riešenou v rámci projektu VEGA (2008 – 2010) „Analýza

matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti“. Charakterizuje matematické úlohy použité pri zisťovaní úrovne matematickej gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. Aby učiteľ dokázal účinne pracovať so svojimi žiakmi, musí rozvíjať svoju matematickú gramotnosť a byť na rozvoj matematickej gramotnosti žiakov pripravovaný na vysokej škole.

THE PROBLEMS FOR ASCERTAINING MATHEMATICAL LITERACY LEVEL OF THE NEXT TEACHERS

Abstract This article is dealing with theme solved in project VEGA (2008 – 2010)

„Mathematical Preparation Analysis of Students in the Branch of Pre-school and Elementary Pedagogy from Mathematical Literacy Point of View“. It describes mathematical problems used during ascertaining the mathematical literacy level of the students in the branch Pre-school and elementary pedagogy. The teacher should develop his mathematical literacy in order to be able to work with his pupils effectively and he should be prepared for developing the mathematical literacy of pupils at university.

Úvod

Človek nadobúda gramotnosť od útleho veku počas celého svojho života. Môže sa prejavovať už pred vstupom do školy. Získanie gramotnosti nie je spájané len so školskou dochádzkou, rozvíja sa aj v komunikácii s ostatnými ľuďmi. Gramotnosť sa predstavuje v rôznych formách, ktoré sú navzájom prepojené, ale dominantnými medzi nimi je čitateľská a matematická gramotnosť.

Matematická gramotnosť je „schopnosť jedinca rozpoznať a pochopiť úlohu matematiky vo svete, robiť zdôvodnené hodnotenia, používať matematiku a zaoberať sa ňou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám života konštruktívneho, zaujatého a rozmýšľajúceho občana“ (Kubáček a kol., 2004, s. 7).

Výsledky o dosiahnutej úrovni matematickej gramotnosti 15-ročných žiakov v Slovenskej republike v r. 2003 a 2006 sú známe. Nie sú veľmi potešujúce. Okrem tejto vekovej kategórie nás však zaujímajú aj iné. Pre nás je dôležitá kategória budúcich učiteľov, ktorí budú ovplyvňovať úroveň matematickej gramotnosti svojich žiakov. V niektorých predchádzajúcich výskumoch neboli veľmi úspešní. Napríklad Kováčik (1996, s. 352) uvádza: „Študenti riešili úlohy, ktoré sú určené pre žiakov 4. roč. ZŠ a boli vytvorené, príp. vyberané, z úloh MOZ-4 alebo Kominára 4. ... Úloha E (z trojice D-F) mala ... dokonca 87,50 % nesprávnych odpovedí.“


51

Preto v rámci uvedeného projektu VEGA zisťujeme úroveň matematickej gramotnosti študentov v odbore Predškolská a elementárna pedagogika. Títo budúci učitelia budú prví v kontakte s dieťaťom a výraznou mierou budú vplývať na jeho orientáciu v reálnom svete, v ktorom budú riešiť rôzne problémy aj prostredníctvom matematických nástrojov.

Všeobecná charakteristika úloh

Jedným z výskumných cieľov projektu VEGA je diagnostikovať úroveň matematickej gramotnosti študentov - budúcich učiteľov pri vstupe na vysokú školu. Vybrali sme k tomu 4 úlohy. Piatou úlohou sme navyše sledovali predpoklady pre didaktické kompetencie budúceho učiteľa. Pri výbere a tvorbe úloh sme vychádzali z charakteristiky úloh PISA. Uvedieme ju stručne v nasledujúcej časti.

Podľa prác (Koršňáková, 2004, Kubáček a kol., 2004) PISA sleduje pri každej úlohe tri zložky - situáciu, matematický obsah a kompetencie.

1. Situácia; Predstavuje problém reálneho sveta, do nej je problém umiestnený. Situácie sú zoradené podľa miery blízkosti životu študenta, a to osobný život; škola alebo zamestnanie, voľný čas; spoločnosť; veda. 2. Matematický obsah; Ide o zachytenie reálneho sveta očami matematiky. Boli stanovené jednotlivé oblasti matematiky, ktoré sa však môžu prelínať:

- kvantita (aritmetika) - zmena, vzťahy a závislosť (algebra) - priestor a tvar (geometria) - náhodnosť (štatistika a pravdepodobnosť).

3. Kompetencie; Matematickými kompetenciami rozumieme súhrn matematických schopností žiaka. Je potrebné ich aktivovať, aby sa prepojil reálny svet s matematikou, čo vedie k úspešnému riešeniu problému. Na určenie a zhodnotenie schopností používa PISA osem matematických kompetencií: rozmýšľanie a usudzovanie; matematická argumentácia; komunikácia; modelovanie; položenie otázky a riešenie problému; reprezentácia; použitie symbolického, formálneho a technického vyjadrovania a operácií; použitie nástrojov a prístrojov. Viaceré z nich sa môžu v jednej úlohe prekrývať. Sú vymedzené v troch úrovniach reprodukcie, prepojenia a reflexie. Stručne ich charakterizujeme podľa The PISA 2003 Assessment Framework (2003) a Preparing Students for PISA (2002).

a) Rozmýšľanie a usudzovanie zahrňuje otázky (napr. „Existuje...?“, „Pokiaľ áno, koľko?“, „Ako nájdeme ...?“), znalosť typov odpovedí, ktoré na tieto otázky matematika ponúka, rozlíšenie medzi rôznymi typmi tvrdení (definície, vety, hypotézy, príklady, podmienené tvrdenia) a pochopenie rozsahu a obmedzení daných matematických pojmov a zaobchádzanie s nimi.

b) Matematická argumentácia zahrňuje znalosť povahy matematických dôkazov a ich odlišností od iných druhov matematického uvažovania, sledovanie a hodnotenie rôznych typov reťazcov matematických argumentov, cit pre heuristiku („Čo sa môže/nemôže stať a prečo?“) a zručnosť vytvárania matematických argumentov.

c) Komunikácia zahrňuje schopnosti vyjadriť sa rôznymi spôsobmi k záležitostiam matematického obsahu, a to ústnou i písomnou formou, pochopiť iné písomné alebo ústne výroky týkajúce sa týchto záležitostí.

d) Modelovanie zahrňuje štrukturovanie oblasti alebo situácie, ktorá má byť modelovaná, „matematizáciu“ (prevod „reality“ do matematických štruktúr), „dematematizáciu“ (interpretáciu matematických modelov v zmysle „reality“), prácu s matematickým modelom, overovanie modelu, uvažovanie, analyzovanie


52

a ponuku kritiky modelu a jeho výsledkov, prezentáciu modelu a jeho výsledkov (vrátane obmedzenia týchto výsledkov), sledovanie a kontrolu procesu modelovania.

e) Vymedzenie problému a jeho riešenie (položenie otázky a riešenie problému) zahrňuje vymedzenie, formulovanie a definovanie rôznych druhov matematických problémov („čistý“, „aplikovaný“, „s otvoreným koncom“ a „uzavretý“) a riešenie rôznych druhov matematických problémov rôznymi spôsobmi.

f) Reprezentácia zahrňuje dekódovanie, interpretáciu a rozlíšenie rôznych foriem znázornenia matematických objektov, situácií a vzájomných vzťahov medzi nimi, výber medzi rôznymi formami znázornenia a prechod medzi nimi podľa situácie a účelu.

g) Symbolika, formalizmy a technické zručnosti (použitie symbolického, formálneho a technického vyjadrovania a operácií) zahrňujú dekódovanie a interpretáciu symbolického a formálneho jazyka a pochopenie jeho vzťahu k prirodzenému jazyku, preklad z prirodzeného jazyka do symbolického, formálneho jazyka, prácu s výrokmi a výrazmi obsahujúcimi symboly a vzorce, používanie premenných, riešenie rovníc a uskutočňovanie výpočtov.

h) Pomôcky a nástroje (použitie nástrojov a prístrojov) zahrňujú znalosť rôznych pomôcok a nástrojov (vrátane výpočtovej techniky), ktoré napomáhajú matematickým aktivitám, schopnosť tieto pomôcky a nástroje používať a byť informovaný o ich obmedzeniach. (Kol., 2003)

1. Úroveň reprodukcie, definícií a výpočtov vyžaduje poznatky študentov o faktoch; vysvetlenie, poznanie ekvivalentnosti; odvolanie sa na matematické objekty a ich vlastnosti; vykonanie rutinných postupov; použitie štandardných algoritmov; uplatnenie technických zručností.

2. Úroveň prepojenia a integrácie pre riešenie problému vyžaduje tvoriť prepojenie medzi rôznymi prameňmi a témami v matematike; integrovať informácie na riešenie jednoduchých problémov; vytvoriť prepojenie medzi rôznymi znázorneniami; dekódovať a interpretovať symbolický a formálny jazyk a porozumieť ich vzťahu k prirodzenému jazyku.

3. Úroveň matematizácie, matematického myslenia, zovšeobecnenia a hĺbkový pohľad do problému (reflexia) vyžaduje schopnosti študenta poznať a vybrať matematiku vnorenú do situácie (matematizovať); používať matematiku na riešenie problému; analyzovať, interpretovať a rozvíjať ich vlastné modely a stratégie; tvoriť matematické argumenty, vrátane dôkazov a zovšeobecňovaní. (Kol., 2002).

Charakteristika úloh v experimente

V tejto časti predstavíme jednotlivé úlohy použité pri testovaní úrovne matematickej gramotnosti študentov 1. ročníka Predškolskej a elementárnej pedagogiky na začiatku školského roka 2008/2009. Išlo o študentov Pedagogických fakúlt v Banskej Bystrici, v Prešove a v Trnave. Niektoré úlohy sú prebraté v pôvodnej verzii, prípadne nepatrne upravené. Sú zo zbierok úloh, ktoré vznikli v súvislosti s testovaním 15-ročných žiakov v rámci PISA v r. 2003. Jedna úloha má pôvod v matematickej olympiáde (MOZ 4). Pri každej úlohe uvádzame jej znenie a stručnú charakteristiku. Môže sa zdať, že úloha nie vždy úzko súvisí so životom študenta. Matematická gramotnosť však zahrňuje schopnosť používať matematiku aj v kontextoch odlišných


53

od miestneho prostredia študenta. Podobne sa používajú úlohy, ktoré sú zaujímavé z matematického hľadiska a uplatňujú sa v nich kompetencie súvisiace s matematickou gramotnosťou.

Vybraté úlohy vyžadujú v riešení doplnenie údajov v tabuľke riešenia alebo v texte, formulovanie vlastnej odpovede študenta so zdôvodnením alebo voľnú tvorbu odpovede (rozsiahlejšiu).

Vzhľadom na rozsah tohto článku podrobnejšie rozpíšeme len prvú úlohu. 1. Ovocný sad Farmár vysádzal jablone vždy do tvaru štvorca. Okolo nich ako ochranu proti vetru vysadil celoročne zelené stromy. Obrázok nižšie ukazuje model vysadených jabloní a celoročne zelených stromov, a to pre počet (n) riadkov jabloní:

= celoročne zelený strom = jabloň

Otázka 1: Doplňte nasledovnú tabuľku: n Počet

jabloní Počet stále zelených stromov

1 1 8 2 4 3 4 7

Otázka 2: a) Nech n je počet riadkov jabloní. Nájdite vzťah (vzorec) pre výpočet počtu jabloní a počtu celoročne zelených stromov. Počet jabloní je ................. a počet celoročne zelených stromov je ...............

b) Zistite, pre aký počet riadkov vysadených jabloní sa počet jabloní rovná počtu stále zelených stromov a zapíšte váš výpočet.

Otázka 3: Predpokladajme, že farmár chce zväčšovať svoj sad. Ak ho zväčší, ktoré číslo bude rásť rýchlejšie, počet jabloní alebo počet celoročne zelených stromov? Vysvetlite svoju odpoveď.

Informácie o úlohe: Situácia škola alebo zamestnanie, voľný čas Obsah zmena, vzťahy a závislosť Kompetencie a úroveň • otázky č. 1, 2 modelovanie; prepojenie

• otázka č. 3 argumentácia; reflexia Zdroj Preparing Students for PISA, 2002, s. 7 Hodnotenie 7 bodov Súvis s učivom ZŠ Funkcie, funkčné myslenie


54

Úloha vyžaduje v 1. otázke dokončiť tabuľku pomocou výpočtov alebo obrázka. Pri n = 7 dáva možnosť použiť vzor-model pre získanie odpovede výpočtom. Pre rozšírenie modelu pritom potrebuje pracovať s daným vzorom, musí dať do vzťahu dve rôzne prezentácie - obrázok a tabuľku a použiť dva vzťahy lineárny a kvadratický.

Druhá otázka umožňuje formulovať vzťah vo vzore-modele slovami alebo matematickými symbolmi. Riešiteľ musí nájsť vzťah pre n, keď počet jabloní je rovnaký ako počet celoročne zelených stromov, pričom tabuľka i obrázok nabáda k myšlienke, že je vždy viac celoročne zelených stromov než jabloní.

Tretia otázka vyžaduje vhľad do problematiky matematických funkcií. Pri rozšírení obrázka alebo tabuľky riešiteľ porovnáva rast lineárnej a kvadratickej funkcie alebo hodnotí vzťah algebraicky. Musí tiež vysvetliť svoju odpoveď.

Vychádzajúc z učebných osnov ZŠ a 1. ročníka SŠ z. r. 1997 riešiteľ v tejto úlohe využíva poznatky školskej matematiky z učiva o funkciách a uplatňuje úroveň svojho funkčného myslenia. 2. Stavebnica Samko má samolepky tvaru štvorca so stranou 3 cm. Na obrázkoch vidíte stavbičky z kociek s dĺžkou hrany 3 cm, ktoré si postavil.

Otázka 1: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky na obrázku A? Otázka 2: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny „deravej“ stavbičky

na obrázku B (aj zvnútra)? Otázka 3: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky, ktorú postavil

z dvoch „deravých“ kociek (ako na obrázku B), položených presne na seba s otvorom dopredu?

Otázka 4: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky zloženej z 10 „deravých“ kociek (ako na obrázku B), položených presne na seba s otvorom dopredu?

Informácie o úlohe: Situácia škola alebo zamestnanie, voľný čas Obsah priestor a tvar; zmena , vzťahy a závislosť (otázka č. 4) Kompetencie a úroveň • otázky č. 1, 2 matematické myslenie; reprodukcia

• otázka č. 3 reprezentácia; prepojenie • otázka č. 4 modelovanie; prepojenie

Zdroj upravená úloha z MOZ4 - II - 2 (1985/86), s. 75 Hodnotenie 6 bodov Súvis s učivom ZŠ Povrch kocky, funkcie 3. Turnaj V klube športov organizovali stolnotenisový turnaj. Tomáš, Róbert, Braňo a Dávid tvoria športový tím. V turnaji sa každý hráč stretne raz s každým. Pre každý zápas rezervovali dva stoly.


55

Otázka 1: Doplňte nasledujúci rozpis zápasov tak, že dopíšete mená hráčov, ktorí odohrali zápas.

Stôl č. 1 Stôl č. 2

1. kolo Tomáš – Róbert Braňo – Dávid 2. kolo

3. kolo

Andrej patrí do šesťčlenného športového tímu. Spolu s priateľmi si rezervovali maximálny počet stolov, aby ich šesťčlenný tím mohol hrať súčasne.

Otázka 2: Koľko stolov budú potrebovať, ak sa každý hráč stretne s každým raz? Koľko zápasov odohrajú celkovo? Koľko kôl musia odohrať? Napíšte rozpis jednotlivých kôl.

Klubového turnaja sa zúčastnilo šestnásť osôb. Tenisový klub má k dispozícii veľa stolov.

Otázka 3: Vypočítajte počet kôl, ak sa každý účastník turnaja stretne s každým raz. Koľko zápasov odohrajú celkovo?

Informácie o úlohe: Situácia škola alebo zamestnanie, voľný čas Obsah kvantita Kompetencie a úroveň • otázky č. 1 matematické myslenie; reprodukcia

• otázka č. 2, 3 matematické myslenie; prepojenie Zdroj upravená úloha, Koršňáková, 2004, s. 21 Hodnotenie 7 bodov Súvis s učivom ZŠ kombinatorika, kombinatorické myslenie 4. Lúpeže Televízny reportér ukázal tento graf a povedal: „Graf ukazuje veľký nárast počtu lúpeží od roku 1998 do roku 1999.“ Otázka: Považujete tvrdenie reportéra za vyhovujúce vysvetlenie grafu? Uveďte

zdôvodnenie svojej odpovede.


56

Informácie o úlohe: Situácia spoločnosť Obsah náhodnosť (odporúčané k téme štatistika), zmena, vzťahy a

závislosť Kompetencie a úroveň • matematická argumentácia; prepojenie Zdroj Koršňáková, 2004, s. 13 Hodnotenie 3 body Súvis s učivom ZŠ diagramy, štatistika

V nasledujúcej úlohe Maják sme sledovali, ako študent dotvorí úlohu vzhľadom na daný text a tabuľku, ktoré sme ponechali z pôvodnej úlohy. Otázky, ktoré boli pôvodne formulované, sme vynechali, napr. Otázka č. 1: Aká je perióda signálu majáka? Otázka č. 2: Koľko sekúnd vysiela maják svetelný signál počas jednej minúty? Otázka č. 3: Nakresli vzor iného možného signálu majáka. Očakávali sme, že študenti podobné otázky k textu vytvoria a ponúknu riešenie. 5. Maják Majáky sú veže, ktoré zo svojho vrcholu vysielajú svetelný signál. Pomáhajú námorným lodiam nájsť cestu, keď sa blížia k pobrežiu. Maják vysiela svetelný signál s pravidelným pevným vzorom. Prácu jedného majáka vidíte znázornenú na obrázku.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (sekundy)

tma svetlo

Otázka: Vytvorte k znázornenému majáku aspoň dve otázky vhodné pre žiakov

na hodine matematiky. Uveďte k nim aj svoje riešenia.

Informácie o úlohe: Situácia spoločnosť Obsah kvantita; zmena, vzťahy a závislosť Kompetencie a úroveň riešenie a tvorba problémových úloh; reflexia Zdroj upravená úloha, The PISA 2003 Assessment Framework, s. 57 Hodnotenie 6 bodov Súvis s učivom ZŠ pravidelne sa opakujúca postupnosť, deliteľnosť čísel

Jednou z didaktických kompetencií budúceho učiteľa je schopnosť pracovať

s úlohou, pretvárať a meniť ju. U budúceho učiteľa, ktorý bude vyučovať matematiku, je preto potrebné podľa (Brincková, Haviar, Klenovčan, 2005, s. 83) „rozvíjať tri oblasti: porozumenie matematike, zvládnutie matematického remesla a aplikovanie matematiky v praxi.“ Ak má budúci učiteľ dbať na podporu „žiackej tvorivosti, zvedavosti, nadobúdanie a využívanie skúseností, konštruovanie poznatkov, ...“ (Brincková, Haviar, Klenovčan, 2005, s. 83), tak musí sám rozvíjať tieto kompetencie u seba.


57

Záver

Riešenia študentov v prezentovaných úlohách sú v súčasnosti vyhodnocované podľa stanovených kritérií. Dosiahnutými výsledkami sa budeme zaoberať v najbližšom období. Od toho sa bude odvíjať i ďalšia práca so študentmi na hodinách matematických disciplín. Už teraz však vieme povedať, že sú pre ňu na spomenutých fakultách vytvorené rôzne podmienky, napr. nie rovnaký časový priestor v priebehu bakalárskeho štúdia študentov daného odboru, čo bude tiež ovplyvňovať možnosti rozvíjania matematickej gramotnosti študentov.

Literatúra

1. BRINCKOVÁ, J.- HAVIAR, M.- KLENOVČAN, P.: Príprava učiteľov matematiky na PF UMB z pohľadu medzinárodnej spolupráce. In: Zborník z medzinárodnej konferencie “História, súčasnosť a perspektívy učiteľského vzdelávania”, 2. diel, 8.-9. september 2004. Banská Bystrica: PF UMB, 2005. s. 83 - 85. ISBN: 80-8083-107-6.

2. KORŠŇÁKOVÁ, P.: Matematika, úlohy 2003. Bratislava: ŠPÚ, 2004, s. 40. ISBN: 80-85756-89-7.

3. KUBÁČEK, Z. a kol.: Matematická gramotnosť, správa PISA SK. Bratislava: ŠPÚ, 2004, s. 68. ISBN:80-85756-89-9.

4. REPÁŠ, V a kol.: Úlohy z matematických olympiád základnej školy. Bratislava: SPN, 1989, s. 75. ISBN: 80-08-00063-5.

5. Kol.: Preparing Students for PISA, Mathematical Literacy, Teacher´s Handbook. Based almost entirely on the Organisation for Economic Co-operation and Development document Sample Tasks from the PISA 2000 Assessment: Reading, Mathematics and Scientific Literacy © “OECD (2002). Reproduced by permission of the OECD.” Kanada: Prince Eduard Island, 2002.

6. Kol.: The PISA 2003 Assessment Framework - Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, 2003. Dostupné na

<http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/38/51/33707192.pdf> 7. KOVÁČIK, Š. – GEROVÁ, Ľ.: Príprava študentov učiteľstva 1. st. ZŠ pre prácu

s nadanými žiakmi v predmete matematika. In Zborník: Vysokoškolská príprava učiteľov, vedecko-pedagogická konferencia s medzinárodnou účasťou, II. časť. Banská Bystrica: PF UMB, 1996. ISBN 80-8055-020-4.

Kontaktná adresa

PaedDr. Ľubica Gerová, PhD. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica Telefón: +421/ 48 / 446 4411 E-mail: [email protected]


58

ANALÝZA ÚROVNE MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ŠTUDENTOV PREDŠKOLSKEJ A ELEMENTÁREJ PEDAGOGIKY – OBLAS Ť KVANTITA

Miroslav GOMBÁR, Marek MOKRIŠ, Veronika ZEĽOVÁ

Abstrakt Matematická gramotnosť je schopnosť jedinca rozpoznať a pochopiť úlohu

matematiky vo svete, robiť zdôvodnené rozhodnutia, používať a zaoberať sa matematikou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám jeho života ako konštruktívneho, zaujatého, rozmýšľajúceho občana. Prostredníctvom uvoľnených úloh štúdie OECD PISA sme skúmali úroveň vstupnej matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov elementaristov. V analýze sa zameriavame na jednu z oblastí výskumu OECD PISA – Kvantita.

THE ANALYSIS OF THE LEVEL OF MATHEMATICAL LITERACY OF ELEMENTARY STUDENTS – QUANTITY PART

Abstract Mathematical literacy is an ability of an individual to identify and understand the

role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of the individual’s life as a constructive, concerned and reflective citizen. We examined level of mathematical literacy through the items of research OECD PISA among the students – future students of primary school. In our analysis we focus on the one part of the research – Quantity.

Medzinárodné testovanie PISA

Medzinárodná štúdia PISA od roku 2000 meria a hodnotí v trojročných cykloch výsledky vzdelávania v kontexte krajín OECD. PISA testy merajú výkony 15-ročných žiakov v troch základných oblastiach – čitateľská, matematická a prírodovedná gramotnosť.

PISA chápe matematickú gramotnosť ako schopnosť rozpoznať a pochopiť úlohu matematiky vo svete, robiť zdôvodnené hodnotenia, používať matematiku spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám života konštruktívneho, zaujatého a rozmýšľajúceho občana.

Pri podrobnejšom opise matematickej gramotnosti štúdia rozlišuje 3 zložky: 1. situácie alebo kontexty, do ktorých sú problémy umiestnené, 2. matematický obsah, resp. nástroje, ktoré reflektujú spôsob, akým sa na tento

reálny svet pozeráme, 3. kompetencie. Úlohy štúdie PISA sú zasadené do štyroch skupín situácií: osobný život; škola,

zamestnanie a voľný čas; spoločnosť a veda. Z hľadiska obsahu sú úlohy členené do týchto oblastí: kvantita; priestor a tvar; zmena, vzťahy a závislosť a náhodnosť. Súbor matematických schopností, ktoré je schopné žiak používať na riešenie matematických


59

situácií sa nazýva matematické kompetencie. Tieto štúdia PISA člení podľa jednotlivých úrovní nasledovne: reprodukčná úroveň; úroveň prepojenia a úroveň reflexie.

Výsledky štúdie PISA boli aj v tomto cykle pre Slovensko sklamaním. Naši žiaci dosiahli výsledky, ktoré boli v medzinárodnom porovnaní charakterizované ako priemerné, v niektorých oblastiach dokonca ako podpriemerné. Testovaní 15-roční žiaci zlyhávali v úlohách, ktoré vyžadujú argumentáciu, istý vhľad do použitých metód. Tiež mali problémy pracovať s tabuľkami, orientovať sa v grafoch a s úlohami, ktoré si vyžadovali schopnosť interpretovať pravdepodobnostné pojmy. Ako sme publikovali už v predchádzajúcich príspevkoch (Scholtzová, I. - Zeľová, V., 2008, Mokriš, M. 2008) dôvodov tohto neúspechu môže byť, podľa nášho názoru, niekoľko:

1. netradičný spôsob testovania – naši žiaci nie sú zvyknutí na spôsob testovania, aký realizujú výskumy OECD PISA príp. IEA TIMSS,

2. žiaci sa v škole v menšej miere stretávajú s úlohami, ktoré rozvíjajú matematické kompetencie na úrovni prepojenia a úrovni reflexie.

Na to, aby učitelia do vyučovania mohli zaradiť aj náročnejšie úlohy rozvíjajúce matematické kompetencie žiakov, musia sami týmto úlohám rozumieť, vedieť ich riešiť, správne ich interpretovať.

Popis realizovaného prieskumu a charakteristika použitej úlohy

V akademickom roku 2008/2009 bol na troch vybraných pedagogických fakultách realizovaný prieskum úrovne matematickej gramotnosti denných študentov 1. ročníka odboru Predškolská a elementárna pedagogika, ktorého sa zúčastnilo 255 študentov, ktorých počty z jednotlivých vysokých škôl uvádzame v nasledujúcej tabuľke:

Pedagogická fakulta Počet testovaných študentov Prešovská univerzita v Prešove 129 Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici 88 Trnavská univerzita v Trnave 39 Spolu 255

Tab. 1 Počet testovaných študentov

Jedným z cieľov prieskumu bola diagnostika úrovne matematickej gramotnosti študentov - budúcich učiteľov, pri vstupe na vysokú školu v oblasti Kvantita. Študentom bol zadaný test matematickej gramotnosti, pri tvorbe ktorého sme sa inšpirovali uvoľnenými úlohami zo štúdií OECD PISA a IEA TIMSS. Jednou z testových položiek bola aj úloha Turnaj, ktorá bola použitá vo výskume PISA 2003 pod názvom Stolnotenisový turnaj. Pri tvorbe javovej analýzy úlohy sme sa inšpirovali metodológiou uvedenou v správe Z. Kubáček a kol. (2004, s. 48).

Zadanie úlohy s bodovým hodnotením: V klube športov organizovali stolnotenisový turnaj. Tomáš, Róbert, Braňo a Dávid tvoria športový tím. V turnaji sa každý hráč stretne raz s každým. Pre každý zápas rezervovali dva stoly. Otázka 1: Doplňte nasledujúci rozpis zápasov tak, že dopíšete mená hráčov, ktorí odohrali zápas.


60

Stôl č. 1 Stôl č. 2 1. kolo Tomáš – Róbert Braňo – Dávid 2. kolo 3. kolo

Andrej patrí do šesťčlenného športového tímu. Spolu s priateľmi si rezervovali maximálny počet stolov, aby ich šesťčlenný tím mohol hrať súčasne. (1b) Otázka 2: Koľko stolov budú potrebovať, ak sa každý hráč stretne s každým raz? Koľko zápasov odohrajú celkovo? Koľko kôl musia odohrať? Napíšte rozpis jednotlivých kôl. Klubového turnaja sa zúčastnilo šestnásť osôb. Tenisový klub má k dispozícii veľa stolov. (3b) Otázka 3: Vypočítajte počet kôl, ak sa každý účastník turnaja stretne s každým raz. Koľko zápasov odohrajú celkovo? (3b)

Úloha bola zaradená vo výskume OECD PISA v roku 2003. Všetky tri podotázky

spadajú do kontextu Spoločnosť, z hľadiska obsahu ich štúdia PISA zaradila do kategórie kvantita a z hľadiska skúmaných kompetencií prvé dve otázky skúmajú kompetencie na reprodukčnej úrovni, tretia otázka kompetencie na úrovni prepojenia. Z hľadiska obsahu učiva je táto úloha zameraná na problematiku kombinatoriky.

Podľa I. Scholtzovej (2004, s. 7-8) by mal desaťročný žiak z oblasti kombinatoriky okrem iného vedieť vytvoriť súbor všetkých možných prípadov jednoduchých situácií a zaradiť informácie do tabuliek, stromových grafov alebo diagramov. U 15-ročných žiakov I. Scholtzová (2004, s. 7-8) uvádza, že by mali vedieť systematicky vypisovať a určovať počet vybraných objektov konečnej množiny, určiť počet všetkých možných ciest na mape od jedného miesta k druhému. Títo žiaci by tiež mali byť schopní čítať, konštruovať a analyzovať tabuľky, grafy a iné dátové štruktúry. Predpokladáme, že uvedené kompetencie by mali byť identifikované aj u všetkých študentov študijného programu Predškolská a elementárna pedagogika.

Štatistická analýza testovej položky

Na základe aplikovania Mann-Whitneyeho U-testu sme chceli potvrdiť hypotézu, že nie je štatisticky významný rozdiel v dosiahnutom skóre v testovanej úlohe medzi študentami študujúcimi na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici, Prešove a Trnave. U-test nepotvrdil rovnocennosť nameraných stredných hodnôt skóre len u študentov študujúcich v Banskej Bystrici a v Prešove, v neprospech študentov Prešovskej univerzity (pozri nasledujúcu tabuľku).

Mann-Whitney U Test (Spreadsheet1)By variable mestoMarked tests are significant at p <,05000

variable

Rank SumBanskáBystrica

Rank SumPrešov

U Z p-level Zadjusted

p-level Valid NBanskáBystrica

Valid NPrešov

počet bodov [%] 10552,00 13101,00 4716,000 2,113963 0,034519 2,139563 0,032391 88 129

Tab. 2 Mann-Whitneyov U-test


61

Neparametrický U-test ďalej preukázal signifikantný rozdiel medzi dosiahnutým skóre v testovacej úlohe iba medzi študentmi gymnázia a ostatných typoch škôl (A-B p=0,000016; A-C p= 0,0043; A-D p= 0,0018) na zvolenej hladine významnosti α = 5% . Štatisticky významný rozdiel medzi študentmi ostatných typoch škôl (B,C,D) navzájom nebol preukázaný.

Uvedené závery možno dokumentovať na nasledujúcom grafe. Študenti gymnázia (ukončená škola A) majú v priemere vyššiu úspešnosť vo všetkých mestách oproti študentom ostatných typoch škôl. Je teda možné predpokladať, že výsledky testovania sú závislé práve na type ukončenej školy a nie na meste, v ktorom študenti študujú.

ukončená škola B ukončená škola A ukončená škola C ukončená škola D

BB Prešov Trnava

mesto

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

počet

bod

ov [

%]

Graf 1 Výsledky študentov v závislosti od typu absolvovanej strednej školy a mesta

Danú skutočnosť vysvetľujeme na základe Grafu 1, kde sú prezentované rôzne pomery na jednotlivých fakultách medzi počtami študentov, ktorí absolvovali gymnázium (A), strednú pedagogickú školu (B), strednú priemyselnú školu (C) a strednú odbornú školu (D). Na PF v Banskej Bystrici majú dominantné postavenie absolventi gymnázia (35,2 %), ale na PF v Prešove predstavujú len 17,8 % zo všetkých študentov.

Graf 2 Počty študentov v závislosti od typu absolvovanej strednej školy


62

Dané výsledky naznačujú, že v študijnom programe Predškolská a elementárna pedagogika by z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti v oblasti Kvantita, mala byť do vyučovacieho procesu integrovaná problematika venujúca sa systematickému tvoreniu zoznamov, počítaniu kombinatorických výstupov a ich aplikácií pri riešení problémov v kontextoch reálneho sveta, ktoré podstatným spôsobom vyžadujú matematizáciu. V podmienkach Pedagogickej fakulty PU v Prešove sa v profesijnej príprave učiteľov pre predprimárne a primárne vzdelávanie osvedčila matematická disciplína, ktorej cieľom je odstránenie rozdielov v úrovni matematickej gramotnosti v závislosti od typu absolvovanej strednej školy.

Literatúra

1. KORŠŇÁKOVÁ, P. a kol.: Národná správa OECD PISA SK 2006. Bratislava: ŠPÚ, 2006. ISBN 978-80-89225-37-8.

2. KUBÁČEK, Z. a kol.: Matematická gramotnosť – Správa, PISA SK 2003. Bratislava: ŠPÚ, 2004. ISBN 80-85756-89-9.

3. MOKRIŠ, M.: Matematická gramotnosť študentov na začiatku ich profesijnej prípravy. In Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy - Matematika 3. Olomouc: PdF, 2008. s. 178-183. ISBN 978-80-244-1963-3.

4. SCHOLTZOVÁ, I.: Integrácia kombinatoriky do vyučovania matematiky na základnej škole. Prešov: MPC, 2004. ISBN 80-8045-340-3.

5. SCHOLTZOVÁ. I. – ZEĽOVÁ, V.: Jeden pohľad na diagnostikovanie matematickej gramotnosti. In Inovácia v matematickej príprave žiakov na 1. stupni ZŠ. Zborník z vedecko-odbornej konferencie. Trnava: PdF, 2007. s. 84-91. ISBN 978-80-8082-158-6.

Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu Analýza matematickej

prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti (MŠ SR VEGA 1/0292/08).

Kontaktná adresa

Ing. Miroslav Gombár, PhD. Ústav digitálnych kompetencií PU Ul. 17. novembra č. 11, 080 01 Prešov E-mail: [email protected] Mgr. Marek Mokriš, PhD. PaedDr. Veronika Zeľová, PhD. Katedra matematickej edukácie PF PU Ul. 17. novembra č. 1, 081 16 Prešov Telefón: +421 51 7470 544 E-mail: [email protected], [email protected]


63

PERSPEKTÍVNE SMERY VO VYU ČOVANÍ DYNAMICKEJ GEOMETRIE

Pavol HANZEL, Renata MAJOVSKÁ

Abstrakt Článok sa zaoberá tvorbou elektronického kurzu v matematickej príprave budúcich

učiteľov. Kurz je vytváraný v prostredí MOODLE a zahŕňa tvorbu študijných materiálov a komunikáciu so študentmi počas priebehu kurzu. Uvádzame hlavné časti kurzu z dynamickej elementárnej geometrie v 2. ročníku prípravy učiteľov pre primárny stupeň základnej školy.

PERSPEKTIVE DIRECTIONS IN EDUCATION OF DYNAMIC GEOMETRY

Abstract The article deals with the creation of electronic course in mathematical preparation

of future teachers. The course is created in the MOODLE environment and includes creation of study materials and communication between the teacher and students during the course. We introduce the main parts of the course in dynamic elementary geometry for the 2nd year of teachers’ preparation for the lower level of the primary school.

Úvod

Matematika. Mnohí z nej majú obavy, iní ju neznášajú, podaktorí ju považujú za zbytočnú. V geometrii je situácia ešte viac dramatickejšia. Klasické vyučovanie geometrie využíva len statické modely, ktoré neumožňujú hlbšie preniknúť do podstaty dynamiky geometrických problémov. S nástupom informačných a komunikačných technológií1 sa situácia vo vyučovaní geometrie výrazne zmenila. Na interpretáciu geometrických konštrukcií sa začali využívať grafické softvéry, ktoré umožňujú vytvárať geometrické konštrukcie pomocou dynamických appletov a interaktívnych zadaní. Používanie vhodného grafického softvéru a jeho integrovanie do riadiaceho vzdelávacieho systému2 zvyšuje záujem o štúdium geometrie, čo umožňuje dosiahnuť vyšší efekt v geometrickej príprave.

Grafický softvér C.a.R.

Dnes existuje okrem komerčných programov celá škála voľne šíriteľných programov, ktoré sa s výhodou používajú pri štúdiu vlastností geometrických útvarov. V našom príspevku sa zameriame na možnosti grafického softvéru C.a.R.3, ktorý simuluje euklidovské geometrické konštrukcie. Hlavnou funkciou programu C.a.R. je

1 Ďalej len IKT 2 Operačný systém Learning System Management (LMS) 3 Compass and Ruler


64

vytvorenie virtuálneho prostredia, v ktorom je možné prezentovať dynamické zmeny na konštruovaných geometrických útvaroch. Prostredníctvom tohto programu môže užívateľ: • vytvoriť konštrukciu geometrického útvaru pomocou elektronických nástrojov –

pera, pravítka a kružidla, • meniť polohu určujúcich bodov útvaru a zároveň sledovať transformáciu

geometrického útvaru. Na obrázku č. 1 uvádzame jednoduchú ukážku, ktorá prezentuje applet4 na

posunutie a otáčanie v rovine. Applety sú vytvorené tak, aby ich bolo možné využiť aj na 1. stupni ZŠ. Štruktúru appletov a ich tvorbu popisujeme na inom mieste tohto príspevku.

Obr. 1

Všetky konštrukcie vytvorené programom C.a.R. a popísané v tomto príspevku sú voľne šíriteľné a čitateľ ich môže používať bez obmedzenia. Konštrukcie a applety sú dostupné na internetovej adrese5 v adresári „Predškolská a elementárna pedagogika“ v elektronickom kurze „Dynamická elementárna geometria“.

Elektronický kurz

Elektronický kurz „Dynamická elementárna geometria“ je vytvorený v LMS systéme MOODLE, ktorý umožňuje voľný vstup hostí. Študijné materiály sú vytvorené formou elektronických prednášok a sú určené študentom predškolskej a elementárnej pedagogiky. Zameriame sa na prednášku „Miera geometrického útvaru v rovine“, ktorá má časti:

4 Prihláste sa ako hosť: http://www.pdf.umb.sk/moodle/mod/lesson/view.php?id=4335&pageid=1151 5 http://www.pdf.umb.sk/moodle/


65

1. Topologické pojmy 2. Jadro a obal útvaru 3. Definícia miery 4. Obsah základných geometrických útvarov 5. Výpočet obsahov Každá časť obsahuje definície základných pojmov a ich vlastností, zadania úloh na

seminárnu prácu a návrhy činností pre prácu so žiakmi na základných školách. Na obrázku č. 2 je znázornená titulná strana časti „Jadro a Obal“.

Obr. 2

Elektronický kurz používame v predmete elementárna geometria už tri roky. Skúsenosti, ktoré sme získali poukazujú na skutočnosť, že práca študentov sa stáva výrazne samostatnejšou. Podobný pozitívny vplyv elektronických vzdelávacích materiálov opisujú aj [Híc a Pokorný v 2006, 2008]. Internet a Moodle umožňujú študentom flexibilne využívať svoj čas a tak rozhodovať o najvhodnejších podmienkach pre štúdium. Prostredníctvom LMS nástrojov môže študent aj sám manažovať svoje štúdium [Mokriš, Prídavková, Scholtzová, 2006]. To však neznamená, že študent len prostredníctvom elektronických prednášok získava potrebné vedomosti a schopnosti. Treba zdôrazniť nezastupiteľné miesto učiteľa v pedagogickom procese. Učiteľ prednášky obohacuje o dynamiku a interaktivitu na seminároch.

Pri tvorbe kurzu sme vytvorili priestor aj na: • zverejňovanie aktuálnych informácií na začiatku a v priebehu semestra, • diskusiu k výmene skúseností s používaním appletov, • zadania pre samostatnú prácu študentov, ktoré sú priebežne hodnotené

Diskusia prebieha formou diskusných fór, ktoré slúžia na voľnú ale učiteľom riadenú diskusiu medzi študentmi. Takáto komunikácia zvyšuje aktivitu študentov pri výmene odborných informácií. Zároveň umožňuje objasňovať vzniknuté problémy a nejasnosti, s ktorými sa študenti v kurze stretnú. Diskusné fóra dovoľujú aj študentom externej formy štúdia vytvoriť situácie, ktoré majú študenti pri kontaktnej (prezenčnej) výučbe. V silnejúcom prostredí informatizácie sa elektronicky podporované


66

vzdelávanie stáva perspektívnou zložkou vysokoškolskej prípravy učiteľov pre mladší školský vek. [Mokriš, Scholtzová]

Zadania dostávajú študenti v interaktívnej elektronickej forme. Pozri ukážku na obrázkoch č. 3 a 4. Výhodou elektronických zadaní je aj skutočnosť, že študent môže elektronicky konzultovať svoje čiastkové riešenie. Keď zváži, že riešenie je kompletné, odošle ho učiteľovi na záverečné ohodnotenie. Odoslané riešenie potom učiteľ bodovo ohodnotí a v prípade potreby pridá svoj komentár. Body sa študentovi sumarizujú s ostatnými hodnotenými riešeniami. Študent takto získava aktuálny prehľad o počte získaných bodov za všetky riešenia, čo má vplyv na jeho priebežnú aktivitu počas semestra. Ďalšou výhodou elektronických zadaní je skutočnosť, že všetci študenti majú rovnaké východiskové zadanie aj vzhľadom na polohu určujúcich prvkov. Učiteľ potom pri ich hodnotení s výhodou využije práve dynamiku týchto určujúcich prvkov.

Obr. 3

Obr. 4


67

Applety

Základné geometrické pojmy a konštrukcie je výhodné interpretovať pomocou appletov.

Obr. 5

V tomto príspevku pod appletom budeme rozumieť interaktívnu konštrukciu vytvorenú programom C.a.R. Applet umožňuje používateľovi meniť: • polohu nefixovaných bodov zostrojeného geometrického útvaru, • hodnotu aritmetických parametrov, ktoré predstavujú veľkosť vybraných úsečiek

v danom geometrickom útvare. Zmenou týchto hodnôt sa stáva geometrická konštrukcia dynamickou. Študenti pri

práci s appletmi sledujú: • incidenčné vlastnosti geometrického útvaru, ktoré sa zachovávajú pri zmene plohy

určujúcich bodov, • zmenu funkčných hodnôt jordanovej miery geometrického útvaru v závislosti od

zmeny jednotkového útvaru. Program C.a.R. umožňuje vytvorené applety exportovať do HTML verzie6 pomerne

jednoduchým príkazom. Applety použité v prednáške „Miera geometrického útvaru v rovine“ nie sú v HTML verzii z toho dôvodu, aby ich mohli študenti upravovať a modifikovať v rámci zadaní. Na obrázku č. 5 je uvedená ukážka aplikácie jordanovej miery pri určovaní obsahu štvorca a na obrázku č. 6 je uvedená ukážka pre ZŠ.

6 Táto verzia je voľne dostupná na adrese: http://www.pdf.umb.sk/~phanzel/Applety/Miera/


68

Obr. 6

Záver

S rozvojom informačných technológii sa rozvíjajú aj metódy vzdelávania. Základným cieľom elektronických kurzov je poskytnúť nové možnosti ako si rozširovať vedomosti. Podmienkou úspešnosti kurzu je kvalifikovaný vysokoškolský učiteľ, ktorého rola sa zásadne mení.

Programy dynamické a interaktívni geometrie patrí medzi kognitívne technológie, ktoré rozvíjajú konštruktivistické učenie. Rozvoj kognitívnych technológií je sprievodným znakom celospoločenských premien od priemyslovej spoločnosti cez informační až po spoločnosť založenú na znalostiach. Kognitívna technológie predstavuje zásadný posun od mechanického a nekritického prijímania faktov (učenie, angl. „teach“) k procesu poznávania a objavovania nových poznatkov a zručností (teda učenia sa, angl. „learn“). Žiak nové znalosti nepreberá priamo od učiteľa, ale sám si ich hľadá a konštruuje. Podľa [Fridrich, Majovská, 2008]: „Učitel přestává hrát roli zdroje informací a stále více se stává pomocníkem a rádcem.“ Na záver uvedieme myšlienku [Piaget, 1999]: „Čím menej učiteľ učí tým viac sa dieťa (žiak) naučí.”

Literatúra

1. FRIEDRICH, V., MAJOVSKÁ, R., Cognitive Technologies in Mathematics Education. In Proceedings of the Conference Virtual University, Bratislava, 2008, ISBN 978-80-89316-10-6.


69

2. HÍC, P., POKORNÝ, M., Skúsenosti s počítačom podporovanou výučbou Základov štatistického spracovania údajov. Klady a zápory e-learningu na menších vysokých školách, ale nejen na nich. SVŠES, Praha, 2008, s. 107-112. ISBN 978-80-86744-76-6

3. HÍC, P., POKORNÝ, M., Skúsenosti s e-learningom pri príprave budúcich učiteľov ZŠ. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis, Facultas Paedagogica 2006, Mathematica V, Olomouc 2006, s. 87-91. ISBN 80-244-1311-6

4. MOKRIŠ, M. – PRÍDAVKOVÁ, A. – SCHOLTZOVÁ, I. Systém moodle ako prostriedok na manažovanie vzdelávacích aktivít študenta. In IKT vo vyučovaní matematiky 2. Nitra: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2006. s. 84 – 89. ISBN 80-8094-057-6

5. MOKRIŠ, M –SCHOLTZOVÁ, I. Elektronická podpora matematického vzdelávania na Pedagogickej fakulte PU v Prešove. In Experience in Further Education of Teaches in Mathematics. Ostrava, Czech Republic, (v tlači).

Kontaktné adresy

Doc. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, Banská Bystrica Telefón: +421 905 208 469 E-mail: mailto:[email protected] PaedDr. Renata Majovská, PhD. Katedra matematických metod v ekonomice Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava Sokolská 33 CZ - 701 21 Ostrava E-mail: [email protected]


70

E-LEARNING VO VYU ČOVANÍ TESTOVANIA ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ

Pavel HÍC, Milan POKORNÝ

Abstrakt Autori v článku opisujú skúsenosti s využitím e-learningového kurzu vo vyučovaní

základov testovania štatistických hypotéz na dvoch vzorkách študentov, z ktorých jedna je zložená zo študentov matematiky a druhá zo študentov informatiky. V článku možno taktiež nájsť stručnú charakteristiku použitého kurzu.

E-LEARNING IN TEACHING OF STATISTICAL HYPOTHESIS TESTING

Abstract The authors describe their experience with using of e-learning course in teaching of

statistical hypothesis testing. The experiment was made on two samples of students, from which the first was made from students of mathematics and the second was made from students of computer science. Moreover, a brief characterization of the e-learning course can be found in the paper.

Úvod

Moderné informačné a komunikačné technológie, ktoré zaznamenali v ostatných dvadsiatich rokoch prudký rozvoj, prenikajú stále hlbšie a hlbšie do sféry vzdelávania. Ešte pred niekoľkými rokmi sme boli svedkami prvých pokusov využiť izolované programy vo vyučovacom procese. Počas krátkeho obdobia využitie IKT prešlo podstatnými zmenami a dnes sa neobjavuje iba v úlohe podpory vzdelávacieho procesu, ale aj v úlohe jeho riadenia a manažovania. Fakulty a vysoké školy začínajú používať learning management systémy a umiestňovať do nich nielen zakúpené, ale najmä vlastné e-learningové kurzy.

Podľa Hanzela (pozri [3]) sa výraz e-learning pri riešení problémov vo vzdelávaní objavuje veľmi frekventovane a predstavuje kvalitatívne nový prístup k realizácii vzdelávania, ktorý je založený na aplikácii softvérových produktov. Okrem elektronického spracovania informácií vhodných pre daný vzdelávací proces a prenosu informácií pomocou elektronických komunikačných sietí k užívateľovi musí e-learning zvýšiť efektivitu pri poskytovaní služieb študentom, distribúcii produktov a služieb a pri riadení vzdelávacieho procesu.

Podľa Žilkovej (pozri [6]) je e-learningová forma vzdelávania determinovaná prostredím, v ktorom sa realizuje a hoci neznamená zásadnú zmenu v aplikovaní matematických postupov pri riešení úloh, poskytuje priestor na rozvoj nových, špecifických metód (napr. metóda internetových konštrukčných zadaní, metóda virtuálnej manipulácie, metóda zdieľania súborov atď.).

Podľa Klenovčana (pozri [5]) v súčasnej dobe môžeme pozorovať pomerne veľký rozmach vyučovacích metód, ktoré sú podporované počítačmi a rôznymi sieťovými


71

systémami. Súhrnne sú nazývané ako e-learningové metódy. Sú jednou z alternatív, ktorá by mala zabrániť nežiaducemu znižovaniu úrovne vyučovania.

Význam e-learningu a samoštúdia podčiarkuje aj trend znižovania počtu kontaktných hodín, ktorý možno pozorovať na mnohých vysokých školách. Je preto potrebné zamyslieť sa nad metódami, ako možno aj pri zníženom počte kontaktných hodín vo vyučovaní matematiky udržať požiadavky kladené na vedomosti študentov. Táto úloha je pomerne náročná. Ako uvádza Klenovčan (pozri [5]), skĺbiť nácvik dôležitých (aj keď často elementárnych) matematických zručností a didaktických kompetencií je pri zúženom počte vyučovacích hodín pomerne zložitou úlohou ako pre študentov, tak aj pre ich vyučujúcich. Ako jedna z možných metód sa nám javí aj e-learning.

Využitie e-learningového kurzu pri vyučovaní testovania štatistických hypotéz

Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity bola jednou z prvých fakúlt pripravujúcich budúcich učiteľov, ktoré začali intenzívne využívať vo vzdelávacom procese learning management systém. Inštalácia LMS na našej fakulte prebehla už v roku 2003 (pozri [2]).

Od uvedeného dátumu sme na katedre matematiky a informatiky začali pripravovať aj vlastné e-learningové kurzy. Do roku 2009 sme ich pripravili šesť: Grafové algoritmy v školskej praxi, Logika, Množiny, Binárne relácie, Opisná štatistika, Testovanie štatistických hypotéz. V tomto článku sa budeme ďalej venovať práve posledne spomenutémi kurzu.

Kurz Testovanie štatistických hypotéz nadväzuje na kurz Opisná štatistika a zaoberá sa základnými metódami matematickej štatistiky, ktoré potrebujú tí študenti, ktorí v rámci svojich prác realizujú výskum, pričom potrebujú otestovať hypotézy metódami matematickej štatistiky. Študujúci sa oboznámia s efektívnymi spôsobmi otestovania hypotéz pomocou softvéru Microsoft Excel, ktorý je pre nich ľahko dostupný a jednoducho ovládateľný. Kurz je určený najmä pre študentov nematematických smerov, čomu je prispôsobené jeho spracovanie a obsah. Je vhodný aj pre študentov magisterského štúdia učiteľstva pre primárne vzdelávanie. Obsahuje iba nevyhnutné minimum teórie z oblasti matematickej štatistiky a jej vysvetlenie na veľkom množstve konkrétnych úloh podobných tým, s ktorými sa študenti stretnú pri vypracovávaní svojich prác. Nakoľko sa jedná o študentov, ktorí nie sú expertmi ani pri práci s výpočtovou technikou, kurzy obsahujú už predpripravené hárky v Exceli, pomocou ktorých je možné veľmi jednoducho spracovať získané údaje a overiť platnosť stanovených hypotéz. Pre študentov, ktorí majú problémy s programom Excel, sú naviac k dispozícii videá, ktoré prezentujú, ako postupovať pri riešení konkrétnych úloh. Cieľom kurzu nie je nahradiť prezenčnú formu výučby, ale kurz môže slúžiť ako vhodný študijný materiál v kombinácii s výkladom pedagóga pri kombinovanej forme štúdia. Podrobnejšie informácie o kurze nájdete napríklad v [4].

Efektívnosť použitia kurzu Testovanie štatistických hypotéz vo vzdelávacom procese sme sa rozhodli overiť experimentálne. Ako experimentálnu skupinu sme použili 24 študentov denného bakalárskeho štúdia 2. ročníka učiteľstva akademických predmetov v špecializácii matematika, ktorí absolvovali predmet Základy štatistického spracovania údajov ako povinný v akademickom roku 2008/2009 a 19 študentov denného magisterského štúdia 1. ročníka učiteľstva akademických predmetov v špecializácii informatika (nematematikov), ktorí absolvovali predmet Základy


72

štatistického spracovania údajov ako povinne voliteľný v tom istom akademickom roku. Ako kontrolnú skupinu sme použili 12 študentov denného bakalárskeho štúdia 2. ročníka učiteľstva akademických predmetov v špecializácii matematika, ktorí absolvovali predmet Základy štatistického spracovania údajov ako povinný v akademickom roku 2007/2008 a 18 študentov denného magisterského štúdia 1. ročníka učiteľstva akademických predmetov v špecializácii informatika (nematematikov), ktorí absolvovali predmet Základy štatistického spracovania údajov ako povinne voliteľný v tom istom akademickom roku.

Vyučovanie v kontrolnej skupine prebiehalo formou 24 kontaktných hodín vo forme prednášok a 12 kontaktných hodín vo forme seminárov, čo predstavuje spolu 36 kontaktných hodín výučby. Študenti mali okrem toho k dispozícii elektronický materiál pripravený vyučujúcim, ktorý obsahoval teóriu potrebnú k zvládnutiu učiva a riešené úlohy pomocou Microsoft Excel. Tento materiál bol neskôr použitý ako podklady pre výrobu e-learningového kurzu Testovanie štatistických hypotéz. Vyučovanie v experimentálnej skupine prebiehalo formou 12 kontaktných hodín vo forme seminárov, čo predstavuje redukciu počtu kontaktných hodín na jednu tretinu oproti kontrolnej skupine. Študenti mali okrem toho k dispozícii elektronický kurz Testovanie štatistických hypotéz umiestnený v LMS, ktorý oproti materiálu použitému v kontrolnej skupine obsahoval napríklad aj videá s návodom, ako riešiť jednotlivé úlohy pomocou Excelu. Taktiež mali k dispozícii konzultácie s vyučujúcim prostredníctvom LMS.

Z technických príčin nebolo možné testovať vstupnú úroveň vedomostí zo základov matematickej štatistiky v experimentálnej a kontrolnej skupine. Predpokladáme však, že vo vstupných vedomostiach experimentálnej a kontrolnej skupiny zo základov matematickej štatistiky nie je signifikantný rozdiel, nakoľko sa počas predchádzajúceho štúdia s testovaním štatistických hypotéz študenti nestretli.

Zaujímalo nás, či výrazná redukcia počtu kontaktných hodín v experimentálnej skupine spôsobí signifikantný rozdiel vo výsledkoch v záverečnom teste, ktorý považujeme za meradlo vedomostí študentov. Našou snahou je prijať alebo zamietnuť nulovú hypotézu H0:„Medzi aritmetickými priemermi experimentálnej a kontrolnej skupiny v záverečnom teste z predmetu Základy štatistického spracovania údajov nie je signifikantný rozdiel.“ Pokiaľ je to možné, snažili sme sa použiť parametrický t-test, ktorý je „citlivejší“ ako neparametrické testy. Z tohto dôvodu sme najskôr otestovali normalitu rozdelenia výsledkov záverečného testu v experimentálnej a v kontrolnej skupine. Použili sme test normality D’Agostina. V experimentálnej skupine nám vyšla hodnota testovacieho kritéria Y=-0,04. Kritické hodnoty v tomto teste pre pravdepodobnosť omylu 5% a pre veľkosť vzorky 43 sú -2,77 a 1,01. Nakoľko hodnota testovacej veličiny leží v intervale danom kritickými hodnotami, nulovú hypotézu o normalite rozdelenia výsledkov experimentálnej skupiny prijímame. V kontrolnej skupine nám vyšla hodnota testovacieho kritéria Y=-1,53. Kritické hodnoty v tomto teste pre pravdepodobnosť omylu 5% a pre veľkosť vzorky 30 sú -2,91 a 0,83. Nakoľko hodnota testovacej veličiny leží v intervale danom kritickými hodnotami, nulovú hypotézu o normalite rozdelenia výsledkov kontrolnej skupiny prijímame. V nasledujúcom kroku pomocou F-testu rozhodneme, či prijmeme alebo zamietneme nulovú hypotézu o rovnosti rozptylu výsledkov experimentálnej a kontrolnej skupiny v záverečnom teste. Hodnota testovacieho kritéria F=1,02, kritická hodnota v tomto teste pre pravdepodobnosť omylu 5% a pre veľkosť vzorky 30 a 43 je 1,93. Nakoľko hodnota testovacej veličiny nepresahuje kritickú hodnotu, nulovú hypotézu o rovnosti rozptylu výsledkov experimentálnej a kontrolnej skupiny v záverečnom teste prijímame.


73

Napokon rozhodneme o prijatí alebo zamietnutí nulovej hypotézy H0 t-testom pre rovnaké rozptyly. Pravdepodobnosť omylu v prípade zamietnutia nulovej hypotézy nám vyšla približne 12,8%, čo presahuje vopred zvolenú pravdepodobnosť omylu 5%. Z uvedeného dôvodu nulovú hypotézu H0:„Medzi aritmetickými priemermi experimentálnej a kontrolnej skupiny v záverečnom teste z predmetu Základy štatistického spracovania údajov nie je signifikantný rozdiel.“ prijímame.

Podobný trend vo výsledkoch experimentálnej a kontrolnej skupiny, ktorý nám vyšiel v t-teste, možno vyčítať aj z grafu č. 1, na ktorom je znázornený polygón relatívnej početnosti pre výsledky experimentálnej a kontrolnej skupiny.

Polygón relatívnej početnosti pre výsledky experimentálnej a kontrolnej skupiny

0%

10%

20%

30%

40%

50%

0-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109

počet bodov

poče

tnosť

Kontrolná skupina Experimentálna skupina

Graf č. 1

Záver

V článku opísaný experiment s použitím e-learningového kurzu Testovanie štatistických hypotéz vo vzdelávacom procese potvrdil, že e-learning predstavuje jednu z možností, ako aj pri redukovanom počte kontaktných hodín so študentami nemusí dôjsť k redukcii požiadaviek na ich vedomosti.

Tvorba kvalitných a profesionálne spracovaných e-learningových kurzov je však veľmi náročná, a to nielen časovo, ale i finančne. Preto je nutné, aby jednotlivé fakulty pripravujúce budúcich učiteľov spolupracovali na výrobe takýchto kurzov a navzájom si ich sprístupňovali, ako sa to už v súčasnosti darí aj vďaka spoločným projektom. Bolo by užitočné, aby tieto projekty úspešne pokračovali aj v budúcnosti a aby sa do nich zapojilo čo najviac fakúlt.


74

Poďakovanie

Výroba kurzov bola podporená grantom KEGA 3/7263/09 s názvom „E-learning ako efektívny nástroj vo vyučovaní matematiky“.

Literatúra

1. CLAUSS, G. – EBNER, H: Základy štatistiky pre psychológov, pedagógov a sociológov. Bratislava: SPN, 1998.

2. GABAĽOVÁ, V. – HORVÁTH, R. – MIŠÚT, M.: On-line system at Faculty of Education of Trnava University. In: Sborník z mezinárodní konference Information & Communication Technology in Education 2004. Rožnov pod Radhoštěm: 2004, s. 269 – 272. ISBN 80-7042-993-3

3. HANZEL, P.: Možnosti elektronickej podpory vzdelávania v príprave učiteľov pre 1. stupeň ZŠ. In: Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primárni školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s. 107 – 112. ISBN 80-244-0818-X

4. HÍC, P. – POKORNÝ, M: Kurzy opisná štatistika a Testovanie štatistických hypotéz. In: Sborník příspěvků z konference a soutěže eLearning 2008. Hradec Králové: Gaudeamus, 2008, s. 50 – 54. ISBN 978-80-7041-143-8

5. KLENOVČAN, P.: Príprava budúcich učiteľov 1. stupňa ZŠ s podporou Internetu. In: Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primárni školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s. 139 – 141. ISBN 80-244-0818-X

6. ŽILKOVÁ, K.: Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Univerzita Komenského v Bratislave, 2008. ISBN 978-80-223-2555-4

Kontaktná adresa

doc. RNDr. Pavel Híc, CSc. Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9, 918 43 Trnava Telefón: +421 33 5514618 Fax: +421 33 5514618 E-mail: [email protected] PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9, 918 43 Trnava Telefón: +421 33 5514618 Fax: +421 33 5514618 E-mail: [email protected]


75

ZDRAVÁ ZAHRÁDKA

Drahomíra HOLUBOVÁ

Abstrakt Příspěvek pohlédne do problematiky projektového vyučování, nastíní úkol

ekologických projektů a pro ilustraci naznačí námět matematických environmentálních projektů, ve kterých učitelé s žáky mohou na ukázkách určených k realizaci během školního roku (na vycházkách, výletech, ve škole v přírodě aj.) ověřovat i demonstrovat ekologické poznatky v praxi.

A HEALTHY GARDEN

Abstract The presentation shows problems of project education, outlines target of

environmental projects and shows basic of mathematics environmental projects. Teachers and students can, with help of tasks used during school year (on walks, trips, in school in nature, etc.), demonstrate environmental findings.

Úvod

Už jste někdy zkusili biopotravinu? Že ne? Nevíte, kde ji koupit? V mnoha prodejnách už oddělení s bioprodukty jsou. Někde už existují dokonce i samostatné obchody. Biopotravinám patří budoucnost.

Jenže mnozí ani nevědí, co to biopotravina ve své podstatě je. Představují si např. sójové boby, tofu sýry, ale i nejrůznější mősli. Někdy si to dokonce spojují s rčením, že co je zdravé – a v tomto případě biopotraviny skutečně jsou – není příliš chutné.

Předpona bio má však svůj vlastní význam. Pod označením bioprodukty se totiž skrývají suroviny tzv. kontrolovaného ekologického zemědělství. Jde o způsob hospodaření s velmi šetrným vztahem k půdě, rostlinám a zvířatům. Samozřejmostí je, že pěstování rostlin je bez chemických postřiků, umělých hnojiv, takže nedochází k poškození životního prostředí. Zvířata se pasou na loukách, které nejsou hnojeny umělými přípravky. Krmí se přirozenými krmivy bez stimulátorů růstu či hormonálních přípravků. Při zpracování masa nejsou pak používána žádná umělá barviva, aromatické nebo konzervační látky, ochucovadla nebo další cizorodé přídavné látky.

Každá biopotravina musí být označena identifikačním kódem kontrolního orgánu. Ať je to zelenina, ovoce, obiloviny, luskoviny, olejniny nebo maso, syrové mléko, vejce nebo výrobky ze živých zvířat. Dokonce na biopotraviny myslí i zákon o ekologickém zemědělství a Nařízení rady Evropského hospodářského společenství. České biopotraviny poznáme podle kódu CZ – KEZ. Je u nich zároveň zelená zebra jako symbol biopotravin.

Biopotraviny, ať už mléčné výrobky, pečivo nebo maso jsou dražší než běžné výrobky. Odrážejí totiž náklady na výrobu vysoce kvalitních potravin a výrobci tyto vyšší náklady zohledňují i v ceně. Jsme-li tedy ochotni za zdravou biopotravinu si připlatit, pak musíme počítat s tím, že dáme o pár korun, možná desetikorun víc, než za stejný produkt, který není biopotravinou.


76

Ti, kdo okusili biopotravinu, většinou se k ní vracejí a někteří dokonce na ni přešli natrvalo. Tvrdí, že maso z ekologických chovů chutná lépe než běžné maso. Bioprodukty většinou obsahují méně vody, více sušiny, nutričních látek a vitamínů než obdobné konvenční výrobky. Právě kvalita krmiva, volný pohyb zvířat na pastvě, bezstresová porážka pozitivně ovlivňují chuť. Bioprodukty budou na český trh pronikat stále víc v souvislosti s tím, že většina lidí si přeje přejít na zdravý životní styl a omezit chemikálie, které do sebe dostáváme prostřednictvím jídla, na co možná nejmenší míru.

Pokud ruku v ruce s tím půjde i rozvoj zdravého životního prostředí, pak to může vést k dalšímu, poměrně výraznému prodloužení délky života.

Projekty s ekologickou tematikou

Nově formulované úkoly vzdělávání pro 21. století kladou důraz na rozvíjení všech stránek osobnosti tak, aby žáci lépe porozuměli světu, v němž žijí, získali znalosti a dovednosti důležité pro život v rychle se měnícím světě. Umožňují zavádět do vyučování matematiky různé nové formy, především projektovou výuku.

Důležitým požadavkem environmentální výchovy v matematice je propojení rozptýlených poznatků a utváření integrovaného pohledu na danou problematiku. Matematika by měla poskytovat žákům jednoduché a názorné prostředky k popisu kvantitativních stránek světa, jak ho poznávají v běžném životě i v ostatních vyučovacích předmětech. Učí samostatně pozorovat a popisovat okolní prostředí, vztahy lidí k prostředí, získávat a třídit informace týkající se ekologické problematiky, získané poznatky kriticky zvažovat v jejich souvislostech, domýšlet možné důsledky různých lidských aktivit (pozitivních i negativních), nápaditostí a tvořivostí podněcuje zájem o způsoby řešení ekologických problémů. Matematika tak vede žáky k tomu, aby se aktivně podíleli na ochraně životního prostředí.

Pro ilustraci je uveden příklad matematického projektu s ekologickou tematikou.

Projekt: Zdravá zahrádka Úkol: opakování učiva matematiky 2-3. ročníku ZŠ Časová dotace: 1-2 vyučovací hodiny Věková skupina: 3. třída Motivace: „Děti, víte, že i na zahrádce budeme potřebovat umět počítat?“ U nás na EKO zahrádce, kde pěstujeme rostliny bez chemických hnojiv a

biologický odpad zpracováváme kompostováním, máme stonožku, říkáme jí Božka. Má velice ráda matematiku a pořád si na zahrádce počítá a také si pro nás připravuje různé zajímavé úkoly. Pár takových zajímavých a záludných úkolů si připravila i pro vás. Zvládnete je vypočítat? 1. Stonožka Božka nám připravila tabulku, kde jsou početní úkony. Do tabulky

vepíšeme výsledek a tento výsledek si najdeme na obrázku se stonožkou a přiřadíme ke každému výsledku jedno písmeno. Kdo správně počítal, vyjde mu pěkná tajenka!


77

9 + 7 = 16 R 11 – 6 = 81 – 80 = 52 – 50 = 20 – 7 = 8 + 3 = 8 + 5 = 13 – 8 = 25 – 2 = 20 – 6 = 95 – 80 = 67 – 50 = 9 + 9 = 90 – 80 = 42 – 40 = 11 – 9 = 30 – 2 = 98 – 70 = 36 – 30 = 11 – 5 =

[RANNÍ PTÁČE DÁL DOSKÁČE] 2. Stonožka Božka si vymyslela zajímavé slovní úlohy. Umíš je vypočítat?

Tatínek má ve skleníku 90 sazenic kedlubnů. Soused jich má devětkrát méně. Kolik sazenic kedlubnů má soused? Tatínek sazenice vydatně zalévá. Do konvičky se vejdou 4 litry vody a sazenice zalil 6 konvemi. Kolik litrů vody tatínek na zalití sazenic potřeboval?

3. Na obrázku je nakreslena naše zahrádka ze samých geometrických útvarů. Stonožka Božka se ptá: “Rozpoznáš tyto geometrické útvary?” Vybarvi: ...zeleně ...žlutě ...modře ... hnědě

Na zahrádce má babička tůňku, která je dokola obrostlá rákosím. Božka tam schovala příklady. Vypočítej příklady, které do rákosí ukryla stonožka.


78

4. Opět záludné slovní úlohy od stonožky Božky. Poradíš si s nimi?

Babička sbírá bylinky a suší je na čaj. 1. den nasbírala 4 ošatky, 2. den nasbírala 6krát více než 1. den a 3. den nasbírala 2krát méně než druhý den. Kolik ošatek bylinek nasbírala babička za 3 dny? Maminka pěstuje okrasné květiny. Doma má maminka 17 prázdných květináčů a v zahradnictví si ještě 15 květináčů koupila. Kolik prázdných květináčů má maminka doma nyní?

5. Babička zasadila na zahrádce krásné květiny a stonožka Božka si na jejich lístcích procvičuje násobky. Zkus to také!

Minulý víkend stonožka Božka pozorovala včelku, jak opyluje květy. Mezi květy nám vyznačila cestu, kudy včelička letěla. Dokážeš vypočítat celou trasu, kterou musela včelka uletět, aby všechny květy opylovala? Výsledek zapiš do zvonku.

6. Slovní úloha od Božky:

Dědeček má rád ovoce, a proto zasadil 9 jabloní, 2krát více švestek než jabloní a 3krát méně broskvoní než švestek. Kolik ovocných stromů dědeček zasadil?

7. Babička si ohraničila záhonek provázkem, abychom jí nepošlapali sazeničky. Záhonek má tvar obdélníku. Stonožka Božka se ptá: “Zvládneš podle plánku změřit, jak dlouhý provaz babička potřebovala k ohraničení záhonku?” 1 cm = 1 m


79

8. Slovní úloha od Božky:

Na zahrádce babičce vyrostla divizna. 1. den divizna měřila 4 cm, 2. den měřila o 6 cm více jak 1. den a 3. den měřila 6krát více než 1. den. Kolik cm měřila divizna 2. a 3. den?

9. Na záhon si babička zasázela saláty. Stonožka Božka se ptá: „Umíš dokreslit druhou polovinu záhonu podle osové souměrnosti s osou o?“

Závěr

Cílem projektové metody je řešit úkol, který je konkrétní, má smysl, je reálný, vychází ze života a po zpracování se do něj zase vrací. Práce na projektu dává žákům možnost uplatnit se podle svých možností, spolupracovat s ostatními a být jim prospěšný, zažít pocit úspěchu ale i významu vzdělávání. Děti se učí nikoliv jen pro budoucí život, ale učí se žít právě teď, v tomto okamžiku. Učí se poznávat sebe i jiné, znát svou cenu a uplatnit se.

Pomocí projektové výuky je možné překonávat strnulost zažitých forem a metod vyučování, odtrženost od životní skutečnosti, nezáživnost odborných výkladů a pamětného učení bez souvislostí a z toho plynoucí nízký zájem dětí o učení.

Projektové vyučování je náročná forma výuky, která vyžaduje hodně času na přípravu i mnoho odborných znalostí a organizačních schopností v práci učitele.

Literatura

1. BIANKI, V.: Lesní noviny. 5. vydání, Praha: Lidové nakladatelství, 1980, 319 s. 2. DEMEK, J. – HORNÍK, S.: Planeta Země a její krajiny. Zeměpis.1.vydání,

Praha: SPN, a.s., 1997, 96 s. 3. GARDNER, P. et. al.: Zeměpis světa. Encyklopedie. Praha: Columbus, 1994, 512 s. 4. HOLUBOVÁ, D.: Environmentální výchova ve vyučování matematice. 1. vydání,

Brno: MU v Brně, 2004, 66 s. 5. Kolektiv: Živel oheň – energie. 1. vydání, Praha: Agentura Koniklec, 2004, 322 s. 6. Ministerstvo životního prostředí ČR: Statistická ročenka životního prostředí České

republiky 2007. 1. vydání, Praha: MŽP ČR, 2004, 541 s.


80

Kontaktní adresa

RNDr. Mgr. Drahomíra Holubová Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU v Brně Poříčí 31, Brno, 603 00, ČR Telefon: + 420 549 491 670 E-mail: [email protected]


81

PROJEKT „MATEMATICKÉ VZD ĚLÁVÁNÍ ŽÁK Ů SE SPECIÁLNÍMI VZD ĚLÁVACÍMI POT ŘEBAMI“

Eva HOTOVÁ

Abstrakt Příspěvek informuje o nově vznikajícím předmětu v rámci projektu FRVŠ, jehož

cílem je seznámit studenty se specifickými přístupy k matematickému vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. Blíže se zaměříme na matematické vzdělávání žáků s lehkým mentálním postižením a žákům se specifickými poruchami učení (dyskalkulií).

PROJECT „MATHEMATICAL EDUCATION OF PUPILS WITH SPECIAL NEEDS“

Abstract This paper informs about a recently created subject. Its aim is to make the students

acquainted with specific approach to mathematical education of pupils with special needs. We focus on mathematical education of pupils with mild mental retardation and pupils with specific learning disability (dyscalculia).

Úvod

Legislativa České republiky upřednostňuje vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami na základě principu integrace. Pro budoucí studenty učitelství (nejen matematiky) to znamená častější setkávání se s těmito žáky ve své pedagogické praxi. Proto jsme se rozhodli rozšířit nabídku volitelných předmětů na Katedře matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci. V rámci projektu FRVŠ č. 1515/2009 zpracujeme pro studenty učitelství matematiky program předmětu Matematické vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. Předmět tedy vznikne jako reakce na současné trendy ve vzdělávání dětí se speciálními vzdělávacími potřebami a s nimi spojenými novými požadavky kladenými na učitele a studenty učitelství.

Svým obsahem bude předmět přesahovat obsahovou náplň předmětu Didaktika matematiky, vlastní náplň semináře pak bude zaměřena na získání teoretických znalostí a praktických dovedností pro práci s žáky se speciálními vzdělávacími potřebami ve výuce matematiky.

Konkrétní výstupy projektu

• zpracování programu a obsahové náplně nově vznikajícího předmětu Matematické vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami,

• vytvoření souboru didaktických materiálů pro podporu výuky, • uspořádání didaktického semináře souvisejícího s tematikou projektu, který bude

otevřen nejen pro studenty učitelství, ale i širokou pedagogickou veřejnost.


82

Žák se speciálními vzdělávacími potřebami

Za žáka se speciálními vzdělávacími potřebami je českou legislativou považována „osoba se zdravotním postižením (mentálním, tělesným, zrakovým, sluchovým postižením, s vadami řeči, autismem nebo vývojovými poruchami učení nebo chování), zdravotním nebo sociálním znevýhodněním.“(5) Vzdělávání těchto žáků by mělo být uskutečňováno s pomocí „podpůrných opatření, která jsou odlišná nebo jsou poskytována nad rámec individuálních pedagogických a organizačních opatření spojených se vzdělávání žáků stejného věku ve školách, které nejsou samostatně zřízené pro žáky se zdravotním postižením. Podpůrnými opatřeními při speciálním vzdělávání se mimo jiné rozumí využití speciálních metod, postupů, forem a prostředků vzdělávání, kompenzačních, rehabilitačních a učebních pomůcek, speciálních učebnic a didaktických materiálů“ [6].

Při zpracovávání obsahu nového předmětu se blíže zaměříme především na matematické vzdělávání žáků s lehkým mentálním postižením a žáků se specifickými poruchami učení (dyskalkulií).

Didaktické pomůcky ve výuce matematiky a žák se speciálními vzdělávacími potřebami

Aby mohla být integrace žáka se speciálními vzdělávacími potřebami do běžného typu školy úspěšná, je třeba nejen přítomnost odborně vyškoleného pedagoga, ale i zajištění vhodných materiálních podmínek. Právě zajištění vhodných didaktických a kompenzačních pomůcek hraje důležitou roli ve vzdělávání žáků s mentálním postižením.

Manipulace s didaktickými pomůckami u žáků s mentálním postižením podporuje proces zapamatování si, usnadňuje pronikání k podstatě jevu. Pro zvýšení názorného efektu se doporučuje zvýrazňovat podstatné znaky a části učebních pomůcek (např. barvou) a usnadnit tak žákům výběr informací a odlišit jevy důležité od těch méně podstatných [3].

Jednou ze specifických poruch učení, kterou se budeme v souvislosti s koncipováním předmětu zabývat, a která souvisí s matematikou, je dyskalkulie. Při této poruše žák dosahuje v matematice horších výkonů, než bychom vzhledem k jeho inteligenci očekávali. Potíže se objevují v oblasti vytváření pojmu přirozeného čísla, zvládání početních operací, při počítání zpaměti, při řešení slovních úloh apod. [1][2]

Při reedukaci dyskalkulie je učitelům doporučováno úlohy, se kterými má dítě potíže, rozdělit do několika kroků, důkladně je procvičit, aby došlo k jejich automatizaci a postupně jednotlivé mezikroky vynechávat [4]. Dále je třeba vždy navazovat na aktuální úroveň dítěte, je doporučeno uplatňovat multisenzoriální způsob výuky. Proto je více než vhodné v hodinách matematiky využívat rozmanitých názorných pomůcek určených převážně k manipulační činnosti.

V této souvislosti bude z prostředků projektu pořízena řada didaktických pomůcek, her, výukového softwaru, s nimiž budou studenti v rámci předmětu seznámeni. Důraz bude kladen i na vlastní aktivitu studentů při tvorbě vlastních didaktických pomůcek.


83

Závěr

Doplnění nabídky předmětů a uspořádání odborného didaktického semináře pro studenty učitelství i širší pedagogické veřejnosti je reakcí na zvyšování požadavků kladených na budoucí i stávající učitele matematiky nejen v oblasti matematického vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami, ale vytváří i předpoklady pro další rozvoj jejich odborných a didaktických kompetencí.

Literatura

1. BLAŽKOVÁ, R., MATOUŠKOVÁ, K., VAŇUROVÁ, M., BLAŽEK,M., : Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno : Paido, 2007. ISBN 80-85931-89-3.

2. SIMON, H. Dyskalkulie. Jak pomáhat dětem, které mají potíže s početními úlohami. Praha : Portál, 2006. ISBN 80-7367-104-2.

3. VALENTA, M., KREJČÍŘOVÁ, O. Psychopedie. Olomouc : Netopejr, 1997. ISBN 80-902057-9-8.

4. ZELINKOVÁ, O. Poruchy učení. Praha : Portál, 2003. 10. vyd. ISBN 80-7178-800-7.

5. Zákon č. 561/2004 Sb. O předškolním, základním, středním,vyšším odborném a jiném vzdělávání (školský zákon). Dostupné na www: http://www.msmt.cz

6. Vyhláška č. 73/2005 Sb. O vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. Dostupné na www: http://www.msmt.cz

Příspěvek byl zpracován za podpory grantu FRVŠ č. 1515/2009 Matematické

vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami.

Kontaktní adresa

Mgr. Eva Hotová, Ph.D. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta UP v Olomouci Žižkovo nám. 5 771 40 Olomouc Telefón: +421 585 635 716 E-mail: [email protected]


84

STRATEGIE ŘEŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH VE 4. A 5. ROČNÍKU ZÁKLADNÍ ŠKOLY

Jitka KADLECOVÁ, Šárka PĚCHOUČKOVÁ

Abstrakt Cílem sond, které probíhaly ve čtvrtém a pátém ročníku základní školy

a navazovaly na experimenty v prvním, druhém a třetím ročníku, bylo zmapovat strategie řešení slovních úloh. Zjistili jsme, že žáci při řešení slovních úloh nejčastěji používali aritmetickou strategii, méně často řešili slovní úlohu kombinací aritmetické strategie a strategie využívající vizualizaci struktury slovní úlohy.

STRATEGY OF SOLVING WORD PROBLEMS OF 4 TH – 5TH CLASS OF PRIMARY SCHOOL

Abstract The goal of the probings, which proceeded in the fourth and fifth grade of the

elementary school and which was a continuation of the experiments in the first, second and third grade, was to map the solution strategies of verbal problems. We have elicited, that the pupils used mostly the arithmetical strategy to solve the verbal problems, less children solved verbal problems using combination of the arithmetical strategy and visualisation of the structure of the verbal problem.

Úvod

Na konferenci s mezinárodní účastí věnované vyučování matematiky primární školy v dubnu 2008 v Olomouci jsme referovali o sondách probíhajících během školního roku 2005/2006 na základních školách. Jejich úkolem bylo:

1. zjistit, jaké strategie používají děti mladšího školního věku (prvního, druhého a třetího ročníku základní školy) při řešení slovních úloh;

2. zjistit, zda žáci prvního ročníku používají jiné strategie než žáci druhého, resp. třetího ročníku;

3. porovnat úspěšnost řešení daných úloh v uvedených ročnících. Zvolili jsme formu testů, kterých se celkově zúčastnilo 81 žáků prvního ročníku, 82

žáků druhého ročníku a 85 žáků třetího ročníku. Analýza testů ukázala, že ve všech třech ročnících používali žáci při řešení uvedených slovních úloh nejvíce aritmetickou strategii. V prvním a druhém ročníku jsme se také ve více případech setkali s použitím strategie využívající vizualizaci struktury slovní úlohy nebo s kombinací této strategie a strategie aritmetické, ve třetím ročníku však děti již slovní úlohy neznázorňovaly. V tomto ročníku došlo naopak k mírnému posunu ke strategii využívající vhled do problému.


85

Typologie strategií

V úvodu jsou uvedeny názvy několika strategií řešení slovních úloh. Při jejich klasifikaci jsme vycházeli z Novotné (2000), ale její typologii jsme upravili s ohledem na zkoumání dětí mladšího školního věku. Strategie jsme rozdělili na tyto typy: 1. strategie pokus – omyl; 2. strategie aritmetická: řešitel nepoužívá pro výpočet výsledku úlohy rovnici; 3. strategie algebraická: při řešení úlohy je používána jedna nebo více rovnic; 4. strategie využívající vhled do problému: žáci vyhledávají vlastní postupy, které

nejsou typicky školské; 5. strategie využívající vizualizaci struktury slovní úlohy: žáci řeší slovní úlohu

pomocí znázornění; 6. kombinace uvedených strategií.

Zkoumání na základní škole

Zvolili jsme formu testů, které jsme zadali žákům čtvrtého a pátého ročníku na základních školách ve Kdyni, v Koutě na Šumavě a na málotřídní škole v Pocinovicích. Celkově se sondy zúčastnilo 77 žáků čtvrtého ročníku a 69 žáků pátého ročníku. Testy v jednotlivých třídách zadávali sami vyučující, proto byly pro ně připraveny pokyny k zadání úloh a organizaci práce.

Pro každý ročník bylo sestaveno 6 slovních úloh různé obtížnosti. Každá byla vytištěna na samostatném listu, aby mohly být zadávány samostatně v jakémkoli pořadí i množství podle uvážení vyučujících. Odlišná náročnost úloh byla zvolena proto, aby i slabší žáci byli schopni nějakou úlohu řešit a nebyli neúspěchem záporně motivováni. Zvýraznění otázek mělo dětem pomoci lépe se orientovat v textu a uvědomit si, co se má v úloze řešit. Vypracované testy byly analyzovány z hlediska použité strategie řešení a z hlediska správnosti řešení.

Test pro čtvrtý ro čník

Test obsahuje 6 jednoduchých nebo složených úloh. Ve čtyřech z nich musely děti odpovědět na jednu otázku, ve dvou na dvě otázky. Úlohy byly voleny tak, aby obsáhly všechny probírané matematické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) v oboru přirozených čísel. 1. Hana s Janou byly nakupovat. Koupily šaty za 300 Kč a pruhovaný svetr. Když

platily u pokladny tisícikorunou, pokladní jim vrátila dvě stokoruny. Kolik korun stál svetr?

2. Tomáš dostal od dědy 100 Kč na pouť. Svezl se pětkrát na autodromu a zbylo mu 25 korun. Kolik korun stála jedna jízda na autodromu?

3. Do cisterny na malém náklaďáku se vejde 4 000 litrů benzínu. Do cisterny na velkém náklaďáku se vejde o 5 000 litrů více. Kolik benzínu převeze velká cisterna při třech jízdách?

4. Před fotbalovým stadionem jsou dvě parkoviště aut. Na jednom parkuje 193 aut, na druhém o 75 aut méně. Kolik aut stojí na parkovištích dohromady? Kolik vyberou hlídači parkoviště celkem korun, jestliže parkovné na jednu hodinu stojí 10 Kč a fotbalový zápas trvá dvě hodiny?


86

5. Na letním táboře je 72 dětí. Kolik krabi ček po 6 sýrech musí kuchař připravit, aby každé dítě dostalo k svačině jeden sýr?

6. Hajný pan Horyna chodil pozorovat daňky při pastvě u lesa. Večer jich napočítal 36, časně ráno jich bylo dvakrát víc a odpoledne jich viděl čtyřikrát méně než ráno. Kolik bylo časně ráno na pastvě daňků? Kolik daňků se páslo odpoledne?

Při řešení slovních úloh používali žáci zejména strategii aritmetickou, úlohy řešili

pomocí příkladu. V osmi případech byla aritmetická strategie kombinována se strategií využívající vizualizaci struktury slovní úlohy (úloha 3 – obr. 1, úloha 4). Domníváme se, že právě kombinace těchto dvou strategií by byla dětem v mnoha případech umožnila získat vhled do struktury slovní úlohy. Ve srovnání s žáky pátých ročníků používali „čtvrťáci“ méně zápis – neopírali se tedy o slovní legendu (Novotná, 2000). V některých úlohách zápis nepotřebovali, ale projevil se zde také přístup vyučujících, tedy do jaké míry jej u žáků vyžadují.

Pro žáky nejjednodušší byla slovní úloha 5, vyřešilo ji správně 80,5 % respondentů. Nejobtížnější úlohou se stala úloha 4, úspěšnost řešení byla pouze 31 %. Problémy měly děti především s řešením první části úlohy – s určením počtu aut na druhém parkovišti a s určením celkového počtu aut na obou parkovištích (sečetly čísla 193 a 75). Druhá otázka sice vedla žáky k násobení, ale protože nezískaly vhled do struktury slovní úlohy, vyskytovalo se často násobení buď dvěma, nebo deseti.

Celkem v 15 případech se při výpočtech objevil matematicky chybný zápis řešení úloh (obr. 2). Byl způsoben pravděpodobně tím, že se děti soustředily na vztahy mezi

Obr. 1

Obr. 2


87

čísly a vlastní výpočet a neuvědomily si, že svůj správný myšlenkový postup nezaznamenávají matematicky správně.

Test pro pátý ročník

Slovní úlohy pro tento ročník byly náročnější než úlohy pro čtvrtý ročník. Test obsahoval jednu úlohu s jednou otázkou, tři úlohy se dvěma otázkami a dvě úlohy se třemi otázkami. V úlohách děti použily nejen operace sčítání, odčítání, násobení a dělení v oboru přirozených čísel, ale pracovaly také se zlomky a desetinnými čísly. Správné řešení většiny úloh vyžadovalo nalezení vztahů a širších souvislostí mezi zadanými údaji. 1. Za vyprodané filmové představení Harry Pottera bylo za vstupenky po 63 Kč

vybráno 4 095 Kč a za vstupenky po 70 Kč bylo vybráno 3 780 Kč. Kolik vstupenek bylo celkem prodáno na jedno představení? Kolik lidí zhlédlo tento film b ěhem týdne, když víme, že v pracovních dnech se promítal jednou denně a o víkendu odpoledne i večer?

2. Na hlavní tribuně fotbalového stadionu bylo plně obsazeno 24 řad po 167 sedadlech. Od každého diváka sedícího na této tribuně se vybralo po 100 Kč. Kolik korun se od nich celkem vybralo? Vedení stadionu se rozhodlo, že jednu desetinu vybraných peněz pošlou Fondu ohrožených dětí. Kolik peněz děti dostaly?

3. Tatínek jezdí denně do zaměstnání autem. Cesta z domova do zaměstnání a zpět je dlouhá 30 km. Autem jezdí už dvanáct pětidenních pracovních týdnů. Kolik kilometrů už tatínek ujel? Vypočítej celkovou spotřebu benzínu na tyto jízdy, jestliže průměrná spotřeba benzínu na 100 km jízdy je osm litrů. Kolik korun tatínek za benzín zaplatil, jestliže jeden litr benzínu stojí 28 Kč?

4. Jana s Lenkou byly nakupovat. Koupily si čokoládu za 35,50 Kč, ovoce také za 35,50 Kč a dvě stejné láhve džusu. U pokladny platily stokorunou a pokladní jim vrátila 2 Kč. Kolik korun stála jedna láhev džusu?

5. Babičce přivezli 30 q uhlí. Její vnuci – Jarda a Toník – slíbili, že jí pomohou. Jarda složil první den polovinu hromady, Toník jen čtvrtinu hromady, protože měl méně času. Kolik kilogram ů uhlí složil každý z chlapců? Kolik kilogram ů uhlí zbývalo ještě složit?

6. Rodiče se rozhodli, že svým dvěma dětem koupí mobilní telefony. Patrik si vybral Nokii za 2 990 Kč a Péťa si přál telefon s fotoaparátem za 4 990 Kč. Čí telefon byl levnější a o kolik? Kolik korun zaplatili rodi če za oba telefony? Kolik peněz vrátila pokladní rodi čům, když platili dvěma pětitisícikorunovými bankovkami? V řešení jednotlivých úloh převažuje aritmetická strategie. Pouze v šesti případech

kombinovali žáci aritmetickou strategii se strategií využívající vizualizaci struktury slovní úlohy. Ve srovnání se čtvrtým ročníkem se objevují v řešení úloh více slovní legendy, jsou však stručnější a výstižnější. Zápis používají žáci ve větší míře z toho důvodu, že slovní úlohy jsou rozsáhlejší, složitější a vyvolávají tak nutnost záznamu, který usnadňuje třídění údajů a pomáhá mezi nimi nalézt vztahy. Objevuje se zde i použití písmene k označení neznámé veličiny (celkem ve 42 případech), ale nejedná se o „neznámou“ vázanou na algebraické řešení slovní úlohy. Má spíše význam symbolu pro vyjádření neznámé hodnoty a nahrazuje tak často dětmi používaný otazník.

Podle očekávání byla nejvyšší úspěšnost řešení (72 %) u slovní úlohy 6. Žáci si dokázali správně uvědomit vztahy mezi údaji v zadání, úloha jim byla blízká i tématem.


88

Byla řešena aritmeticky, ve většině případů s využitím písemného sčítání a odčítání, u méně dětí se objevilo pamětné sčítání a odčítání. Na úspěšnosti řešení se tedy projevilo i to, že tyto dvě operace v oboru přirozených čísel mají děti již zautomatizované.

Se zlomky začínají systematičtěji děti pracovat až ve 4. ročníku. To mohlo být důvodem nízké úspěšnosti při řešení slovní úlohy 5. Správně ji uchopilo a vyřešilo pouze 39 % respondentů. Někteří žáci ještě neměli dostatek času k získání vzhledu do zlomku.

V 16 případech se objevil stejně jako u žáků 4. ročníku matematicky nesprávný zápis řešení úlohy, který odpovídá myšlenkovému procesu dítěte probíhajícímu při řešení úlohy.

Závěr

V obou ročnících používali žáci při řešení uvedených slovních úloh nejvíce aritmetickou strategii, v několika případech pak kombinaci aritmetické strategie a strategie využívající vizualizaci struktury slovní úlohy. Jiné typy strategií nebyly v testech zaznamenány. Celkově testy nevykazovaly příliš velkou neúspěšnost řešení.

Shrneme-li výsledky sond za 1. až 5. ročník základní školy, můžeme říci, že v uvedeném vzorku používali respondenti k řešení slovních úloh převážně aritmetickou strategii. Ukázalo se, že v některých případech by vizualizace struktury slovní úlohy vedla k lepšímu vhledu do struktury slovní úlohy, neboť právě s pomocí znázornění došli ke správnému řešení i žáci, kteří běžně v matematice nevynikají. Je tedy především na učitelích, aby děti naučili považovat tuto strategii za rovnocennou ostatním.

Literatúra

1. GRAY, E. M.: Tackling the problems: An explanation for success and failure. In: Proceedings of SEMT. Prague: Charles University, 1999, s. 8 – 13. ISBN 80-86039-86-2.

2. HOŠPESOVÁ, A.: Řešení slovních úloh na 1. stupni ZŠ. In: Matematika pro všechny děti: sborník materiálů kurzu pro učitele „Vyučování matematice na 1. stupni ZŠ“. České Budějovice: Jihočeská univerzita - Pedagogická fakulta, 2002, s. 56 - 67. ISBN 80-7040-591-0.

3. NOVOTNÁ, J.: Analýza řešení slovních úloh. Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2000, s. 123. ISBN 80-7290-011-0.

4. VOLFOVÁ, M.: Metody řešení matematických úloh. Hradec Králové: Gaudeamus, 2000, s. 98. ISBN 80-7041-987-3.

Kontaktná adresa

Ing. Mgr. Jitka Kadlecová PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D. ZŠ a MŠ Pocinovice FPE ZČU v Plzni Pocinovice 135, 345 06 Kdyně KMT FPE, Klatovská 51, 306 14 Plzeň Telefón: +420 379 777 220 Telefón: +420 377 636 274 E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]


89

GRAFY A TKANI ČKOVÁ METODA ŘEŠENÍ

Michaela KASLOVÁ

Abstrakt Příspěvek vychází z dlouhodobého experimentu a ukazuje novou metodu řešení

grafů typu mosty v Kaliningradu. Tkanička jako nástroj experimentování a tvořivosti usnadňuje dodržení podmínek řešení tedy existenci unicity eulerovského tahu mezi dvěma uzly. Je popsána typologie grafů-obrázků z pohledu řešitelů od dětství do dospělosti. Autor uvádí metodické řady pro práci i s dětmi od 5 do 9 let nebo se staršími retardovanými žáky.

GRAPHS AND METHOD OF SOLUTION BY CORD/SHOE-LACE

Abstract The author finished the longitudinal experiment. This contribution presents a new

Method of solution of graphs which are known as a problem of Kaliningrad bridge. Cord/shoe-lace in the role of instrument of experimentation and creativity facilitates respecting of solution conditions it means the existence of unicity of Euler´s line between two nodes. The typology of graphs is presented from the point of view of those who solved them (age from 5 years old to adults). The author presents sequence of methodical procedures suitable for working with children from 5 to 9 years old or with retarded.

Motto:

„Je skutečně evolučním štěstím, že někteří počnou přes nevraživost okolí v jakémsi jitřním procitnutí, jehož podstata vědě stále uniká, zhodnocovat známý svět barev, zvuků, vůní a chutí jiným způsobem.“ J. Beneš (5; s. 32)

„Výchova k umeleckej a vedeckej tvorivosti musí spočívať v rozvíjaní obrazotvornosti, pestovaní „nepokoja ducha“, podnecovaní k čo najrýchlejšiemu a najpočetnejšiemu generovaniu neobvyklých „mutácií“ a vo vypracovávaní schopnosti selektovať relevantné formy.“ L. Kováč (5; s. 30)

1. Úvod

Vycházíme z toho, že čtenář je obeznámen s teorií grafů na úrovni skript A. Vrby a podobnými zdroji (viz reference). Podobně vycházíme z toho, že problém Kaliningradských mostů je všeobecně znám alespoň v rozsahu toho, jak uvádí Opava. Grafem v teorii grafů rozumíme objekty popsané množinou vrcholů/uzlů a množinou hran. Zde budeme pracovat s prostými rovinnými neorientovanými grafy, což je v populárně naučné literatuře známo i jako obrázky kreslené jedním tahem, tak zvané „jednotažky“. Pro zjednodušení komunikace zavedeme alternativní terminologii v rozsahu, který byl užíván i v komunikaci s žáky. K této změně nás vede více než dvacet let komunikace s žáky v souvislosti s řešením „tkaničkových“ problémů. Tkaničkovým


90

problémem chápeme každý problém, který je zadán s použitím tkaničky nebo k jehož řešení může žák použít tkaničku. Tkaničkovým obrázkem chápeme graf – „jednotažku“ vyznačenou provázkem/tkaničkou.

Hranu nazývanou Eulerovský tah budeme alternovat termínem cesta. Toto označení umožňuje řešiteli vyvolat i kinetickou představu, což vyhovuje dynamickým typům zejména po předchozí zkušenosti řešení „grafu na úrovni kineze“. Cesta může mít grafickou podobu úsečky nebo oblouku. I když se to nabízí vzhledem k pravidlům, upustili jsme od termínu jednosměrka, protože to blokovalo hledání všech možností zadaného problému, tedy brzdilo to experimentování. Eulerovský uzel lze z týchž důvodů nazývat křižovatka. Tkaničkový obrázek je právě tak jako v teorii grafů řešitelný, neobsahuje-li více než dva liché uzly. Lichým uzlem chápeme takový uzel/ křižovatku, odkud vede lichý počet cest. Volba tkaničky má své odůvodnění. 1

Experimenty měly jistou genezi, kde nás výsledky jednotlivých etap posouvaly dál. Na ověřování se podíleli i studenti bakalářského a magisterského studia Předškolní pedagogiky i kolegové v zahraničí.

2. Experimenty

2.1. První etapa Od roku 1985 do 1989 probíhaly první sondy, kde bylo sledováno, jak děti

předškolního a žáci mladšího školního věku rozdílně reagují na tutéž situaci A modelovanou lanem/švihadlem na podlaze a na situaci B modelovanou tkaničkou/provázkem na stole. Ještě se nejednalo o cílené zkoumání „jednotažek“. Již zde se na relativně malém vzorku 62 dětí ukázalo, že se řešitelé dělí do tří různých skupin: 1) „universální“ skupina těch, kteří mají úspěch/potíže v obou situacích; 2) „manipulativně-taktilní“ početnější skupina těch, kteří lépe reagují na práci v malé ploše, kde pracovní celek padne do jednoho zorného pole a kde se mohou tkaničky/provázku dotýkat prsty; 3) „kinetická“ skupina je úspěšná díky tomu, že dítě může podél provazu chodit, běhat, rovnat jej na několikrát, prohlížet si ho z dálky a případně si svůj pohyb po něm představovat. V tomto kontextu se poprvé ukázalo, že síla vjemu ovlivňuje komentář a tím i schopnost řešení popsat či jinak ventilovat, že síla vjemu daného typu je individuální.

2.2. Druhá etapa Práce s obrázky – jednotažkami probíhala v letech 1987 – 1993, kde bylo sledováno,

zda je dítě schopné odkrýt, zda je/není obrázek nakreslitelný jedním tahem. K tomu bylo na formátu A5 nebo A4 využíváno relativně jednoduchých obrázků známých objektů jako kytka, hrnek, strom a podobně. Vyznačení obrázků bylo: a) silnějším fixem (dále „fixový obrázek“), b) tužkou (dále „tužkový obrázek“). Zde se ukázalo, že předškolákům pro dosažení úspěšnosti chybí trpělivost a motivace. Úspěšnost bez 1 Pozn.: Argument pro volbu „ruličkové tkaničky od bot“ je především technický; provázek, vlna i plochá tkanička se kroutí, nedrží plynutý tvar, tyto materiály jsou obtížněji hmatatelné, hůře se alternují v představě vzhledem k přesně vymezené roli, se kterou má žák zkušenost; naopak u ruličkové tkaničky výrazná změna role tkaničky v daném kontextu uvolňuje napětí a podporuje tvořivost; tkaničky mají navíc dané délky, které se liší o násobky 5 cm; nit je příliš tenká a je hůře vnímatelná hmatem; tkanička se snadným taktilním vjemem u neklidných řešitelů působí na hmatové receptory bříšek prstů a tím působí uklidňujícím způsobem a prohlubuje koncentraci. Tkaničku lze alternovat tenkými lanky z umělých vláken k zakoupení v provaznictví a horolezeckých potřebách, avšak je nutné volit neagresivní a ještě lépe tlumené barvy. Zářivé barvy rozptylují a zvyšují chybovost.


91

ohledu na věk byla závislá u většiny na síle linky, zda pracovali s „fixovým“ nebo „tužkovým“ obrázkem ve prospěch silnější linky „nezářivou“ barvou (tmavozelená, tmavomodrá, hnědá, černá).

2.3. Třetí etapa Propojení obou zkušeností dalo vznik nové práci: tvorba „tkaničkových obrázků“. Práce s tkaničkou zaručovala, že vzniklý obrázek lze nakreslit jedním tahem

s podmínkou, že provázek nikdy neklademe vedle sebe, provázek se může křížit (vznik křižovatek), ale nesmí se zdvojit, ztrojit. Kdo sestavil 5 – 8 „tkaničkových“ obrázků a tyto obrázky obtažením fixem zvěčnil na papíře, měl po té pětkrát za úkol následně rozhodnout, zda předložený obrázek je/není „tkaničkový“ (je/není jednotažkou). Pro ověření hypotézy měl řešitel k dispozici tkaničky různých délek. Musel provést odhad délky a zkusit pokládáním tkaničky ověřit, zda byl obrázek vytvořen jedním tahem – obkreslením tkaničkového obrázku. Pokud byla vynechána fáze odhadu délky a volby tkaničky, byla práce kratší a úspěšnost vyšší.

V letech 1990 - 1994 byly opakovány tyto aktivity i v zahraničí. Obtíže, které se vyskytovaly u nás, se objevily i na malých vzorcích u dětí ve Švýcarsku, Francii i Itálii. „Manipulativně-taktilní“ postup nevyhovoval všem, což nás vedlo k tomu, aby se před práci s tkaničkou předsunula kinetická aktivita obdobná těm, které jsme používali v první etapě. Na zem bylo položeno lano nebo dlouhé švihadlo, které simulovalo cestu (v parku, v ZOO, v lese, na Matějské a podobně dle projektu). Dítě - aktér mělo projít celý park (les) tak, aby prošlo po každé cestě, ale po každé z nich šlo jen jednou. Start si dítě mohlo vybrat kdekoli. Ostatní v roli pozorovatelů či korektorů případně nápovědy sledovali jeho chůzi (běh). Byla to hra, kterou děti přijaly do svých volných her. Této zkušenosti následně využívali zejména neklidní či hypermobilní řešitelé při řešení tkaničkových obrázků, kde před pokládáním jezdili po kresbě prstem s broukáním či komentářem typu „jdu“. U dalších dětí hrála tato zkušenost podobnou roli, pokud obrázek neznázorňoval žádný známy předmět (například kružnice vepsaná trojúhelníku nebo čtverci). V této etapě jsme také sledovali, zda je dítě schopné najít i další řešení – způsob pokládání tkaničky (začít v jiném uzlu, nebo jít na křižovatce jiným směrem). Větší úspěch měl tento úkol právě u řešení na bázi kineze.

3. Typologie tkaničkových obrázků

Obvykle jsou grafy – jadnotažky tříděny do dvou skupin: a) se samými sudými uzly, takové, které můžeme začít kreslit v kterémkoli z uzlů, b) se dvěma lichými uzly a ostatními uzly sudými, které mají „začátek a konec“ kreslení v lichých uzlech. Předložená typologie je odlišná. Byla vytvořena na základě dvou kriterií : prvním byla tendence jedince k opakování ve volné tvorbě tkaničkových obrázků, druhým míra obtížnosti řešení – nalezení způsobu kreslení daného obrázku jedním tahem – položením tkaničky dle daných pravidel na obrázek.

Typ jednotažky je vždy pojmenován dle reprezentanta dané skupiny a s použitím dětské terminologie z důvodů další použitelnosti článku v praxi. U každého typu rovněž uvádíme podskupiny a jejich hodnocení vzhledem k rychlosti a úspěšnosti řešení v případě, že má dítě rozhodnout: a) zda jde obrázek „nakreslit“ tkaničkou (jde/nejde o jednotažku), b) zvládnout tkaničku na obrázek úspěšně položit. Výběr odpovídající tkaničky lze nehodnotíme. Které obrázky lze „okódovat“ počet čísel odpovídá počtu uzlů, čísla udávají počty cest, které z jednotlivých uzlů vedou. Kód je relativně


92

srozumitelný, je-li zřejmé jeho zařazení k typu. Pro složitější obrázky, zejména typu 5 a 6, je kódování problematičtější a je nutné je doplnit řadou vysvětlivek. I když jsme je ve zpracování experimentu používali, pro běžnou praxi jsou kódy pro dodatky spíše nadbytečné. Zde plní kódy roli ukázky.

3.1. Typ Hvězdička Do této skupiny patří obrázky jako je obláček, pila s rámem, kometa, srpek měsíce,

strom s kořeny, pomeranč, váza, srdíčko (kód 2,2), šesticípá hvězda (kód 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,) vidlička, vločka, holínka, – tedy obrázky vyznačené pomocí uzavřené křivky nebo uzavřené lomené čáry či kombinace obou tak, že z každého případného uzlu vedou jen dvě cesty, jsou to samé sudé uzly. Tento obrázek lze začít v kterémkoli uzlu a také se v daném uzlu končí. Skupinu lze rozdělit na obrázky osově souměrné, které v dětských pracích převládají a při řešení jsou dříve dokončeny, a na ostatní obrázky.

3.2. Typ Ulita Sem řadíme obrázky právě se dvěma lichými uzly, do kterých vede jen jedna cesta,

a s libovolným počtem sudých uzlů, do kterých vede sudý počet cest. Tomu odpovídají obrázky se dvěma „volnými konci“ jako je letící vrána (kód 1,2,1), brýle(kód 1,4,4,1), spirála, vlny, hůl, brána, stůl, obkreslená ruka (pět prstů s dlaní), uzel na kličku, vánoční strom, televizní anténa. Pokládání tkaničky je snadné. Pokud má dítě odhadnout, zda je/není obrázek řešitelný, je pro ně existence volných konců zpravidla jediným vodítkem v rozhodování, což vede i k omylům. Ověřování pomocí tkaničky je pak překvapivé zejména, pokud obrázek sestavit tkaničkou nelze pro existenci více lichých uzlů. I zde lze vyčlenit skupinu osově souměrných obrázků, což však v úspěšnosti nehraje roli.

3.3. Typ osmička K danému typu se řadí obrázky jako je ryba (kód 2,4,2,2), květ astry, květ fialky,

prachovka – mop, pánský motýlek (kód 2,2,4,2,2), zvon, bábovička s držákem, čepice s bambulí, balíček s mašlí bez konců (kód 2,2,2,2,6,2,2), větrník bez držáku a podobně. Obrázky jsou typické tím, že zpravidla všechny cesty začínají v jednom „centrálním“ uzlu (pro dítě na hlavní křižovatce). Obrázek lze při jisté stylizaci zařadit mezi útvary středově souměrné. Existence středu je natolik nápadná, že vede řešitele k zahájení řešení právě tam. Obrázek se samými sudými uzly je překvapivý v tom, že ho lze zahájit i jinde než v centrálním uzlu. Dobře se zde rozvíjí práce s alternacemi průběhu řešení. Pokud k takovým obrázkům přiřadíme neřešitelný s nápadným centrálním uzlem, je zpravidla mylně považován za řešitelný s argumentací, že je tam „hlavní křižovatka“. U tohoto typu nejdéle trvá, než dítě připustí neřešitelnost podobných obrázků, které však na centrální uzel mají napojeny další cesty s více než dvěma lichými uzly (například kytky s vyznačeným žilkováním okvětních plátků). Při „kinetickém řešení“ taková kritická situace nenastává.

3.4. Typ Pouťový balónek Čtyřlístek se stonkem, tulipán (kód 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2), jablko se stopkou (kód 1,3,2),

lampa (kód 1, 3, 2, 2,), labuť (uzavřená je část hlavy), pánvička (držák prezentován jednou cestou), deštník bez bodce, lampion na tyči, rybářský prut s rybou, sluchátka k přehrávači (bez spojovací šňůry s přístrojem) – všechny obrázky jsou nápadné existencí dvou lichých uzlů, přičemž jeden z nich může připomínat centrální uzel (hlavní křižovatku) a druhý volný konec. Ve většině případů, které vytvořili sami


93

řešitelé, byl volný konec vně zbytku obrázku. V ojedinělých případech (rolnička, plamen svíčky s knotem) byl volný konec „uvnitř“ obrázku. U tohoto typu všichni řešitelé začínají pokládání tkaničky na volném konci tedy v uzlu s jednou cestou. I když zde se nabízí, že by jakýkoli obrázek s volným koncem mohl být kdykoli řešitelný, dítě rychleji než u předchozího typu akceptuje, že existují obrázky podobné, ale některé neřešitelné. Jsou dokonce i mezi dětmi řešitelé, kteří po určité zkušenosti s daným typem (zpravidla po 2 neřešitelných obrázcích) přecházejí k analýze zadaného obrázku a zkoumají obrázek bez „volného konce“. Pokud ho považují za řešitelný, začínají volným koncem. Relativně obtížné je pro řešitele odhadnout, kde bude pokládání tkaničky končit, nebo zahájit řešení jinde než na volném konci. U kinetického řešení se jeví úkol smysluplnější, protože volný konec řešitelé považují za východ a jsou tedy ochotni takovou podmínku respektovat, i když to pro ně znamená více přemýšlení, delší experimentování zejména tehdy, je-li obrázek /systém cest složitější.

3.5. Typ Činka K této skupině patří obrázky jako jsou: jablko s lístkem (kód 3,2,3,2), tulipán

s listem, hodiny s kyvadlem, telefonní sluchátko, kávomlýnek s kuličkou na kličce. Obrázky si můžeme představit jako na dva grafy spojené jednou cestou. Tak se vytváří i dojem existence dvou nápadných křižovatek, které jsou zpravidla liché. Jde o graf se dvěma lichými uzly, které jsou spolu spojeny jedinou cestou. Přesto objevení principu začít v složitějších křižovatkách a nikoli postupovat zleva doprava trvá déle zejména tehdy, je-li na rozdíl od „vertikálních“ obrázků obrázek „naležato“.

3.6. Typ Domek Hrnek (kód 3,2,2,2,2,3,2,2) taška, slunce s paprsky (podobné kružnici uvnitř

pravidelného nekonvexního n-úhelníku), obálka, hrnec s pokličkou, hřib, kyblíček s držadlem – obrázky jakoby poskládané z ohraničených ploch. V této skupině se objevují obojí obrázky, jak ty obsahující samé sudé uzly, tak obrázky se dvěma lichými a ostatními sudými uzly. Děti tvoří obojí typy, avšak neumí je od sebe odlišit a často nechápou, proč někdy na takový obrázek položí tkaničku snadno (samé sudé uzly) a jindy musejí déle experimentovat, případně práci nedokončí. U obrázků podobných tomuto typu nejhůře rozpoznávají jejich neřešitelnost.

Obrázky typu 1 - 6


94

4. Závěr

Podařilo se prokázat, že vhodně zvolené metody řešení umožňují dětem i poměrně nízkého věku pronikat do složitějších struktur, orientovat se novým způsobem v rovině a to jak na malé ploše do 30 cm x 30 cm, tak i větší ploše.

Jako optimální se jeví zahájení kinetických aktivit na ploše 2,5 m x 2 m s délkou lana o délce 5 - 6 m. Prokázalo se, že týž efekt nepřináší vyznačení dráhy křídou. Křída je pokládána jako cosi neměnného. Relativně rychlé obměny cest vyznačených lanem/švihadly přinášejí uspokojení potřeby přiměřené stimulace a uplatnění principu novosti. Změny, kontrast směřují ke komparaci a navozují změnu v řešení, přechod o prostého pokusu-omylu k uvažování, pracovávání alespoň části v představě. To zaměstnává také rovinnou paměť a to jak statickou, tak dynamickou. Pohyb v prostoru v zadaném kontextu vhodně stimuluje řeč, která umožňuje diskusi, prohlubuje komparaci, stimuluje obměny cest samotnými řešiteli. Od první cesty ve tvaru oválu, přejde učitel k osmičce, po té k cestě tvaru motýl (dva shodné lichoběžníky se společnou stranou). Tyto tři typy v daném pořadí vedou děti od nezávazné hry k problémové aktivitě. Pokud je práce vhodně vedena, jsou děti stimulovány k tomu ihned nebo následující den k vlastní tvorbě cest s použitím lana, které zajišťuje respektování pravidel pro jednotažky. Situace umožňuje řešitelům zaujmout jednu z řady rolí, kromě role aktéra.

Přechod od pohybových her ke hře v lavici vždy znamená zvýšení soustředění a také radost z objevení souvislostí mezi tím, co je na stole a něčím již známým. To platí i zde. Pokud se v průběhu manipulativně-taktilní aktivity s tkaničkou dítě přece jen hůře soustředí, může se proběhnout po cestách, které jsou pro ně připraveny, nebo si lano nastaví sám. Tím sice odchází od stolu, ale zůstává u obdobného problému. V lavici nejdříve tvoříme libovolné obrázky z tkaniček položených na listu papíru, kdo chce pracovat s abstraktními tvary, má možnost, ale v diskusi s ním pak užíváme terminologie cest a křižovatek, což se ukazuje jako vhodné a relativně neutrální. Aby tkaničkový obrázek nezanikl, obtahujeme tkaničku na papír fixem zpravidla ve dvojici. U retardací nebo slepců je možné i obrázek - tkaničku nalepit. Sledujeme, který z 6 typů dítě tvoří nejčastěji.


95

Ve vhodný okamžik iniciujeme výměnu nakreslených obrázků mezi dětmi u jednoho stolu, o výměně tkaniček můžeme pomlčet. Úkolem je poznat, jak kamarád tkaničku kladl na papír. Dítě má nyní jistotu, že to jde. Je to více či méně otázka rozvoje jemné motoriky a trpělivosti. Pokud nedošlo k předání tkaniček, dítě objevuje, že nestačí mít jakoukoli tkaničku, ale že zde záleží i na délce (topologická ekvivalence). Vedlejší efekt této aktivity je vedení k odhadu, porovnávání a poměřování, elementární usuzování (je-li tato kratší, než potřebuji, musím si vzít delší). Je na dětech, jak dlouho a s kým si obrázky vyměňují a kdy se k takové činnosti vracejí. Lze to podpořit zasazením do projektu.

Po nasycení touto aktivitou nabídneme dítěti sérii 5 – 7 obrázků, aby vyzkoušelo, zda je lze nakreslit tkaničkou nebo ne. Nabídky série obrázků se teprve na větším vzorku sledovaných dětí ukázala jako výhodnější než izolované předkládání jednotlivých obrázků k posouzení, rozhodování. Děti mohou v této fázi pracovat ve dvojicích, trojice se jeví jako kontraproduktivní. Ještě stále nedáváme dítěti tužku, tužka vede dítě zpravidla k jinému cíli, nedokončení rozvoje techniky práce s tužkou pak řadu děti rozptyluje, jiné vede k odbývání práce, pokud se soustředí na samotný problém řešení a výsledek není estetický, což odrazuje od pokračování, nenaplňuje mnohé uspokojením, vedení čáry mimo fix děti mate. Každý chybný pokus je navíc plně registrován a před řešitelem zejména u typu 5 a 6 hromadění neúspěšných čar je vršením neúspěchu. Jako vhodné se nám osvědčilo, pokud série obsahovala obrázky námětově propojené nebo tvarově podobné. Je oblíbené rozvíjení jednoho motivu.

Nyní se můžeme vrátit k sestavování tkaničkových obrázků s tím, že mají řešitelé za úkol vytvořit pro jiné takový obrázek, který není snadný. Nyní jsou děti schopné nakreslit i takový obrázek, který jedním tahem nakreslit jde i takový, který jedním tahem nakreslit nejde. Neřešitelný často tvoří tak, že si pomohou tkaničkou a pak přidávají čáry, napojují k uzlům další cesty. Ani tato strategie jim nemusí zaručit objevení neřešitelnosti. V žádném případě však dětem neprozrazujeme pravidlo řešitelnosti podmíněné existencí maximálního počtu lichých uzlů. To jsou schopni objevit výjimeční školáci, mají-li na to vhodnou delší sérii kolem 10 až 12 obrázků namíchaných jak z řešitelných, tak neřešitelných. Prokáyalo se, že řešitel, u kterého dominuje ve volné tvorbě určitý typ, je také rychleji schopen u daného typu obrázků a jemu podobným rozhodovat, zda je či není jednotažkou - tedz řešitelný.

Tyto aktivity nechápeme jako základní, ale doplňkové, přesto však účinné co do rozvoje schopností, které se podílejí na úspěších dítěte ve školní matematice.

Literatura:

1. KASLOVÁ, M.: Tkaničkové obrázky (nepublikované přednášky od 1993 na UK PEDF a Pedagogických centrech ČR, od 2002 na ZČU Pedf

2. KASLOVÁ, M.: Problémové děti v přípravě na školní matematiku a na počátku školy. Praha : RAABE, 2009 (v tisku).

3. KOVAL, V.: Kamarádi čísla. Praha: SPN, 1968. 4. KOWAL, S.: Zajímavá matematika. Praha: SNTL, 1985. 5. MALINA, J. a kol.: O tvořivosti ve vědě, politice a umění. Díl II. Brno: Nadace

MU Brno, 1993. 6. OPAVA, Z.: Matematika kolem nás. Praha : Albatros, 1989. 7. VRBA, A.: Grafy. Praha: SPN, 1989.


96

Internetové zdroje z 3.1. 2009 1. https://e-learning.tul.cz/cgi-bin/elearning/elearning.fcgi?stranka=publ 2. http://www.uai.fme.vutbr.cz/~mseda/TG03_MS.pdf

Kontaktní adresa

Michaela Kaslová PhDr. UK PedF Praha Rettigové 4, 116 39 Praha 1 Telefón: +420 221 900 247 Fax: +420 221 900 248 E-mail: [email protected]


97

MATEMATICKÁ GRAMOTNOS Ť ŠTUDENTOV ODBORU PREDŠKOLSKÁ A ELEMENTÁRNA PEDAGOGIKA

Pavel KLENOVČAN

Abstrakt Nadobúdanie gramotnosti je celoživotný proces. Rozvoju rôznych foriem

gramotnosti je venovaná celosvetová pozornosť, čo potvrdzujú napr. aj pravidelné výskumné šetrenia OECD Programme for International Student Assessment (PISA). Nevyhnutnou súčasťou všeobecnej gramotnosti je aj matematická gramotnosť. Začína sa rozvíjať už v predškolskom veku. Učiteľ materskej a základnej školy by mal byť teda schopný rozvíjať ju u svojich žiakov. Dokáže to, ak je na túto činnosť sám dostatočne odborne pripravený. Úroveň matematickej gramotnosti budúceho učiteľa je formovaná jeho prípravou pred nástupom na VŠ aj jeho vysokoškolskou prípravou. Tento príspevok súvisí s riešenou problematikou v projekte VEGA (2008 – 2010), ktorý je zameraný na zistenie podmienok pre rozvoj matematickej gramotnosti budúcich učiteľov.

MATHEMATICAL LITERACY OF STUDENTS IN THE BRANCH OF PRE-SCHOOL AND ELEMENTARY PEDAGOGY

Abstract To gain literacy is a life-long process. World wide attention is paid to development

of various literacy forms. This fact is also supported by regular OECD research - Programme for International Student Assessment (PISA). Mathematical literacy is inevitable part of general literacy. It has begun to develop since pre-school age. A teacher at kinder-garden or elementary school should be capable to develop it for his (her) pupils. He can be successful if he is himself expertly prepared for this activity. A level of next teacher mathematical literacy is formed by his (her) preparation before starting to study at university and also by his (her) university preparation. This article is connected with solved topic in project VEGA (2008-2010), which is focused on finding out conditions for mathematical literacy development of next teachers.

Úvod

V štúdii OECD PISA sa pod pojmom gramotnosť rozumie schopnosť žiaka aplikovať vedomosti a zručnosti z kľúčových oblastí vyučovacieho predmetu, analyzovať, efektívne komunikovať svoje názory a postoje, riešiť a interpretovať problémy v rozličných situáciách. Nadobúdanie gramotnosti je celoživotný proces, ktorý prebieha nielen v rámci školy, počas formálneho vzdelávania, ale aj interakciou žiaka s rodičmi, spolužiakmi, priateľmi a širšou komunitou (Kubáček a kol., 2004). Gramotnosť je jedným z pilierov počiatočného učenia sa, ale aj nástrojom socializácie a akulturácie dieťaťa. Môže sa u dieťaťa vynárať už pred vstupom do základnej školy. „Vytváranie logicko-matematických štruktúr je dôležitá súčasť psychického vývinu dieťaťa. Dieťa už od malička objavuje vzťahy a závislosti na základe činností


98

s predmetmi. V predškolskej príprave v rámci programu výchovnej práce sa deti dostávajú do styku s reláciami a funkciami, napr. určenie podmnožiny množiny, usporiadanie predmetov, porovnávanie, triedenie predmetov podľa určitého znaku, hľadanie zhodností medzi geometrickými útvarmi, stavanie útvarov podľa predlohy a pod.“ (Partová, E., 1999).

Začína sa čoraz viac, všeobecnejšie hovoriť o prepojení rôznych foriem gramotnosti, ako je mediálna, vizuálna, technologická, environmentálna, atď. Matematická gramotnosť je jednou z foriem gramotnosti a je taká dôležitá a nevyhnutná ako dominantná gramotnosť čítania a písania. O tom svedčí aj zameranie cieľov štúdií PISA.

Matematická gramotnosť je „schopnosť jedinca rozpoznať a pochopiť úlohu matematiky vo svete, robiť zdôvodnené hodnotenia, používať matematiku a zaoberať sa ňou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám života konštruktívneho, zaujatého a rozmýšľajúceho občana“ (Kubáček a kol., 2004).

Pre rozvoj matematickej gramotnosti je dôležitá spolupráca všetkých zložiek, ktoré sa podieľajú na edukačnom procese (učitelia, rodičia, spoločnosť). Učitelia mnohých ďalších predmetov môžu tiež vytvoriť podmienky, aby pomohli študentom oceniť úlohu, ktorú matematika hrá v ich živote.

PISA rozlišuje šesť úrovní matematickej gramotnosti (Kubáček a kol., 2004). Ich opis je uvedený v nasledovnej tabuľke.

Tabuľka 1: Opis úrovní matematickej gramotnosti

Úroveň Charakteristika

6

Žiak vie zovšeobecňovať a využívať informácie, ktoré získal vlastným „výskumom“. Vie formulovať hypotézy a dokázať ich správnosť. Je schopný pokročilého matematického myslenia a dôvodenia. Žiaci na tejto úrovni vedia pochopiť a zároveň ovládajú symbolické a formálne matematické operácie a vzťahy na vytvorenie nových prístupov a stratégií pri riešení neobvyklých situácií. Dokážu formulovať a presne vyjadriť svoj postup a uvažovanie.

5

Žiak vie tvoriť modely zložitých situácií a pracovať s nimi. Vie vybrať, porovnávať a vyhodnocovať primerané stratégie riešenia problémov. Žiaci na tejto úrovni uvažujú o svojom postupe, dokážu formulovať a prezentovať svoje interpretácie a dôvodenia.

4 Žiak aktívne pracuje na konkrétnej úlohe. Má dobre vyvinuté zručnosti, je schopný preniknúť do podstaty úlohy a obhájiť svoj postup.

3 Žiak vie nájsť jednoduchú stratégiu riešenia problémov. Je schopný spracovať informácie z viacerých zdrojov a vytvoriť krátke výsledky a zdôvodnenia.

2 Žiak používa bezprostredné usudzovanie a základné algoritmy. Žiaci na tejto úrovni dokážu písomne vysvetliť svoje výsledky.

1 Žiak je schopný vykonať automatizované činnosti. (Obťažnosť úloh je na úrovni rutinných operácií, ktoré nevyžadujú myslenie.) Žiaci pracujú s informáciami, ktoré sú zadané jednoducho a zrozumiteľne.

Dosiahnutie vyšších úrovní matematickej gramotnosti je jedným z predpokladov

pre samostatné využitie nástrojov matematiky na riešenie problémov aj v bežnom živote. Testovanie PISA v roku 2006 ukázalo, že pozícia Slovenska klesla z priemeru


99

krajín OECD (oproti roku 2003) medzi krajiny s výkonom pod priemerom krajín OECD (Koršňáková, Kováčová, 2006).

Výsledky testovania matematickej gramotnosti v roku 2003 a 2006 v Slovenskej republike ukázali, že naši žiaci dosahujú slabé výsledky v riešení úloh, s ktorými sa na vyučovaní matematiky prakticky nestretávajú. Náročnejšie boli pre nich úlohy, ktoré súviseli s čítaním a interpretáciou informácií v podobe nesúvislých textov (napr. tabuľky alebo grafy) a vyžadovali argumentáciu. To poukazuje na silné prepojenie matematickej a čitateľskej gramotnosti. Uvedené zistenia potvrdzujú aj niektoré práce autorov Ľ. Gerovej a P. Klenovčana (2004, 2005, 2006, 2007). Hľadať spôsoby nápravy na ZŠ u žiakov a ich učiteľov je, podľa nášho názoru nutné, ale nie postačujúce. S rozvojom matematickej gramotnosti je potrebné začať už v predškolskom a mladšom školskom veku. Efektívnosť takejto prípravy záleží najmä od pripravenosti učiteľov. Myslíme si, že v tomto zmysle je nenahraditeľnou kvalitná matematická príprava budúcich učiteľov aj s dôrazom na rozvoj ich didaktických kompetencií. Preto je dôležité poznať úroveň matematickej gramotnosti a rozvíjať ju u študentov, ktorí sa pripravujú na učiteľské povolanie. Aký je súčasný stav úrovne a prípravy budúcich učiteľov, to by mal ukázať aj náš výskum.

Projekt VEGA

V nadväznosti na zistenia o stave matematickej gramotnosti 15-ročných žiakov sme vypracovali projekt pod názvom „Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti“. Vychádza zo snahy upriamiť väčšiu pozornosť na rozvoj matematickej gramotnosti v príprave budúcich učiteľov v materskej škole a na 1. stupni základnej školy. Uvedená problematika bola čiastočne riešená na pracovisku Katedry matematickej edukácie PF PU v Prešove. Cieľom prieskumov v rokoch 2005/2006 a 2006/2007 bolo zistiť úrovne matematickej gramotnosti študentov dennej formy štúdia aj v závislosti od typu absolvovanej strednej školy. Výsledky týchto prieskumov sú podrobne spracované v článku M. Mokriša a I. Scholtzovej (2008) a v článku M. Mokriša (2008).

Na riešení projektu participujú tri riešiteľské kolektívy z univerzít v Banskej Bystrici, v Prešove a v Trnave. Umožňuje to realizáciu výskumu v regiónoch západného, stredného a východného Slovenska.

Ako hlavné ciele projektu sme stanovili: • Spracovať charakteristiku vstupných podmienok rozvoja matematickej

gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika (ďalej len PaEPg).

• Spracovať návrh s cieľom dosiahnuť maximálne vzdelávacie efekty s akcentom nielen na odbornú výučbu, ale aj na emocionálnu výchovu v tom zmysle, aby absolventi odboru PaEPg boli schopní pestovať pozitívne postoje k matematike aj u svojich budúcich žiakov.

Na základe diagnostiky učebných osnov, učebných plánov a ďalších materiálov a dokumentov týkajúcich sa vyučovania matematiky na stredných školách sme stanovili nasledovné dve hlavné hypotézy: H1: Predpokladáme, že študenti 1. ročníka odboru PaEPg dosahujú pri vstupe

na vysokú školu aspoň tretiu úroveň matematickej gramotnosti.


100

H2: Predpokladáme, že úroveň matematickej gramotnosti študentov odboru PaEPg dosahujú po absolvovaní bakalárskeho štúdia aspoň štvrtú úroveň matematickej gramotnosti. Výskumnú vzorku tvoria študenti odboru PaEPg z PF UMB v Banskej Bystrici, PF

TU v Trnave a PF PU v Prešove. Vzhľadom na ďalšie možnosti využitia publikovaných výskumných výsledkov M. Mokriša a I. Scholtzovej (2008) pri formulovaní hypotéz a prípadnom zovšeobecnení sme študentov stredných škôl rozdelili podľa ich kategorizácie nasledovne: 1. absolventi gymnázií (ďalej GYM), 2. absolventi stredných pedagogických škôl (ďalej SPaSA), 3. absolventi obchodných akadémií (ďalej OA), 4. absolventi stredných odborných škôl (ďalej SOŠ), 5. absolventi stredných odborných učilíšť s maturitou (ďalej SOU).

Počty respondentov, ktorí prichádzajú z jednotlivých stredných škôl je uvedený v nasledujúcej tabuľke.

Tabuľka 2: Počty respondentov a ich percentuálne zastúpenie

Stredná škola Banská Bystrica Prešov Trnava Spolu Počet % Počet % Počet % Počet %

GYM 30 33,3 23 17,8 9 22,5 62 23,9 SPaSA 28 31,1 51 39,5 18 45,0 97 37,4

OA 14 15,6 11 8,5 4 10,0 29 11,2 SOŠ 16 17,8 38 29,5 8 20,0 62 24,0 SOU 2 2,2 6 4,7 1 2,5 9 3,5 Spolu 90 100,0 129 100,0 40 100,0 259 100,0

V prvej etape výskumu diagnostikujeme súčasný stav podmienok pre rozvoj

matematickej gramotnosti na vybraných stredných školách, z ktorých prichádza väčšina študentov na vysokoškolské štúdium v odbore PaEPg. Zahrňuje to analýzu základných dokumentov a študijnej literatúry. Testovaním zisťujeme úroveň matematickej gramotnosti študentov, ktorí prichádzajú do 1. ročníka vysokej školy v odbore PaEPg. V druhej etape sa zameriame na diagnostiku podmienok rozvoja matematickej gramotnosti študentov v študijnom odbore PaEPg. Budeme analyzovať základné dokumenty a ďalšie materiály a činnosti súvisiace s matematickou prípravou budúcich učiteľov na vysokých školách, ktoré pripravujú študentov v danom odbore. Testovaním posúdime dosiahnutú úroveň matematickej gramotnosti pri ukončení bakalárskeho stupňa štúdia. Vyhodnotením všetkých zistených poznatkov spracujeme komplexný návrh na možné postupy skvalitnenia prípravy budúcich učiteľov MŠ a 1. stupňa ZŠ.

Záver

Na základe výsledkov, ktoré dosiahla populácia 15 ročných žiakov pri testovaní matematickej gramotnosti v SR v roku 2003 a 2006 usudzujeme, že je potrebné venovať zvýšenú pozornosť jej rozvoju aj u budúcich učiteľov. Zistené poznatky o súčasnej úrovni ich matematickej gramotnosti pomôžu k usmerneniu ich prípravy za účelom dosiahnutia vyšších úrovní matematickej gramotnosti, a tým aj skvalitnenia didaktickej prípravy (k rozvoju didaktických kompetencií).


101

Predpokladáme, že prínosom nášho výskumu bude: • poskytnutie prehľadu o úrovni matematickej gramotnosti budúcich učiteľov pred

vstupom na vysokú školu a v závere bakalárskeho stupňa štúdia v odbore PaEPg,

• zhodnotenie súčasného stavu v obsahu a formách prípravy študentov odboru PaEPg,

• návrh na riešenie zistenej situácie a formulácia základných predpokladov pre efektívne zmeny prípravy budúcich učiteľov.

Literatúra

1. GEROVÁ, Ľ., KLENOVČAN, P.: Analógie a rozdiely v riešeniach matematických úloh pre 1. stupeň ZŠ. In: Cesty (k) poznávání v matematice primární školy, Olomouc: UP Olomouc, 2004, 91 – 97. ISBN 80-244-0818-X.

2. GEROVÁ, Ľ. – KLENOVČAN, P.: Riešenie matematických úloh pre 1. stupeň ZŠ z pohľadu rozvíjania matematickej gramotnosti. In: Zborník príspevkov z konferencie „Induktívne a deduktívne prístupy v matematike“, 20.-22. apríl 2005, Smolenice. Trnava : PF TU, 2005, s. 78-88. ISBN 80-8082-030-9.

3. GEROVÁ, Ľ., KLENOVČAN, P.: Čitateľská a matematická gramotnosť – spojené nádoby. In.: Škola – edukácia – príprava učiteľa III. Univerzita Mateja Bela, 2006, s. 129-135. ISBN 80-8083-234-X.

4. GEROVÁ, Ľ., KLENOVČAN, P.: Rozvíjanie matematickej gramotnosti budúcich učiteľov – elementatistov. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí věnované vyučování matematiky na 1. stupni základní školy. Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň 2007. ISBN: 978-80-7043-548-9.

5. KORŠŇÁKOVÁ, P., KOVÁČOVÁ, J. Národná správa OECD PISA SK 2006. Bratislava: Štátny pedagogický ústav, 2007. ISBN – 978-80-89225-37-8.

6. KUBÁČEK, Z., KOSPER, F., TOMACHOVÁ, A., KORŠŇÁKOVÁ, P. PISA SK 2003. Matematická gramotnosť. SPRÁVA. Bratislava: Štátny pedagogický ústav, 2004. ISBN 80-85756-88-9.

7. MOKRIŠ, M. 2008. Matematická gramotnosť študentov na začiatku ich profesijnej učiteľskej prípravy. In MATEMATIKA 3. Olomouc : UP Olomouc, 2008. s. 178-183 . ISBN 978-80-244-1963-3.

8. MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika na začiatku ich profesijnej prípravy. In: ACTA MATHEMATICA 11. Nitra: UKF, 2008. s.159-163. ISBN 978-80-8094-396-7.

9. PARTOVÁ, E.: Relácie v predškolskej výchove. In: Cesty demokracie vo výchove a vzdelávaní. Bratislava, Iuventa, 1999, s. 111 – 114. ISBN 80-88868-53-X AFD.

Kontaktná adresa

Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 97401 Banská Bystrica Telefón: +421 48 446 7224 E-mail: [email protected]


102

O PEWNYCH ZASKAKUJ ĄCYCH WYNIKACH BADA Ń I PŁYNĄCYCH STĄD WNIOSKACH

Maria KORCZ

Abstrakt Analizując wyniki kilkuletnich badań progresu w matematyce u uczniów 7 – 12

letnich, zaobserwowano, w ostatniej fazie badań, w grupie uczniów, zjawisko regresu zamiast spodziewanego progresu bądź stabilizacji. Spowodowało to przedłuŜenie o rok prowadzonych badań celem poszukiwanie wyjaśnienia takiego stanu rzeczy. W artykule podejmuje się próbę interpretacji tego zjawiska w odwołaniu do praw rozwoju dziecka. Formułuje się teŜ pewne wnioski dotyczące badań skuteczności działań edukacyjnych szkoły.

ON CERTAIN SURPRISING RESEARCH RESULTS AND CONCLUSIONS THERE FROM

Abstract When analysing the results of a multi-annual study concerning mathematics

progress in 7 to 12-year-old pupils, regression instead of the expected progress or stabilisation was observed in a group of pupils during the final research phase. As a result, the study was extended by another year and explanation was sought for this state of affairs. This article attempts to interpret these difficulties by referring to the principles of child development. Certain conclusions are also formulated concerning studies of the effectiveness of school education.

Wstęp

W ramach międzynarodowego projektu badania progresu w matematyce u uczniów 7 - 12 letnich1 badania prowadzone były równieŜ w Polsce. Szersze omówienie wyników tych badań nie mieści się w ramach artykułu. Tu przedstawiam tylko dość zaskakujący przykład, który skłonił nas do postawienia hipotezy dotyczącej przebiegu zmian rozwojowych u uczniów i wyciągnięcia pewnych wniosków dotyczących badań procesu nauczania.

O pewnych wynikach badań

Na wszystkich etapach badań uczniowie rozwiązywali, miedzy innymi, dwa bardzo proste zadania dotyczące zamalowywania ułamkowych części kół i prostokątów. Wykresy na następnej stronie obrazują wyniki dotyczące rozwiązywalności tych dwóch zadań w kolejnych etapach badań. Widać, Ŝe w klasie 4 nastąpił wyraźny regres. Cześć

1 International Project Mathematical Attaiment, Centre for Innovation in Mathematics Teaching University of Exeter (prof. David Burghes); Zakład Dydaktyki Matematyki UAM (dr. Irena Skipor-Rybacka)


103

uczniów nie rozwiązała zadań, mimo, Ŝe rok wcześniej nie mieli z nimi trudności Był to wynik na tyle zaskakujący, Ŝe kontynuowano badania w klasie 5, chociaŜ początkowo plan badań tego nie przewidywał.

Te wykresy przedstawiają wyniki badań obejmujących klasy I - IV

Rysunek 1: Rozwiązywalność zadań - badania podłuŜne Źródło: Badania własne

Wyniki obejmujące badania w klasie V, odnośnie rozwiązywalności zadania 16, były następujące:

Rysunek 2. Zadanie szesnaste- wyniki badań podłuŜnych Źródło: Badania własne

Wyniki zadania 27 były bardzo podobne. Nasuwa się pytanie o przyczynę takiego stanu rzeczy. Dla zinterpretowania

wyników sięgnięto do teorii psychologicznych dotyczących praw rozwoju dziecka.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Zad 16 Zad 27

kl.i.wrzesien kl.I.maj kl.II.maj kl.III.maj kl.IV.maj

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

kl. III kl. IV

kl. V


104

Modele przebiegu zmiany rozwojowej wg. J.H. Flawella [3]

W literaturze psychologicznej znaleźć moŜna trzy modele przebiegu zmiany rozwojowej: • model liniowy – płynny, ciągły, o charakterze ilościowym, • model stadialny – następstwo etapów, stadiów i faz, zmiany jakościowe • model cykliczno – fazowy, zmiany w kolejnych cyklach nie zawsze mają charakter

progresywny Schematycznie przedstawić moŜna je następująco.

Model liniowy Model stadialny

Model cykliczno-fazowy

Rysunek 3. Modele przebiegu zmiany rozwojowej Źródłdo: Brzezińska [1]

Interpretacja wyników

Zarówno osoby przeprowadzające badania, jak i nauczyciele pytani o to, jakie wyniki przewidują przyjmowali, Ŝe rozwój matematycznych kompetencji ucznia stymulowany nauczaniem powinien odbywać się zgodnie z modelem liniowym lub stadialnym. Tymczasem wyniki przedstawione wyŜej wyraźnie wskazują, Ŝe mamy tu

Cykl rozwoju

kryzys

regres

progres

Stadium I

porządkowanie

róŜnicowanie

Osoba C

Osoba B

Osiągnięcia rozwojowe

Osoba A

czas czas


Stadium II

plateau

czas



105

do czynienia z modelem cykliczno-fazowym2. Model ten zakłada, Ŝe zmiany rozwojowe odbywają się cyklicznie. W kaŜdym cyklu wyróŜnić moŜna cztery fazy: • fazę progresu (róŜnicowania doświadczeń), • fazę plateau (porządkowania i wstępnej integracji nowego doświadczenia), • fazę regresu (dochodzi do konfliktu „nowego ze starym”. Integrowaniu się nowego

doświadczenia towarzyszy postępująca dezintegracja doświadczenia wcześniejszego, struktura z okresu poprzedniego cyklu rozwojowego ulega rozchwianiu)

• fazę kryzysu (to etap silnego konfliktu wewnętrznego. Pod koniec tej fazy następuje ponowna integracja starego i nowego doświadczenia ale juŜ na wyŜszym poziomie. Powstaje nowa całość ) [2] . Prawdopodobnie nasze badania ukazały obraz pewnej grupy uczniów na przełomie

kolejnych cykli rozwojowych. Potwierdzeniem tego moŜe być fakt, Ŝe wątpliwości ujawniali dobrzy uczniowie. Zaobserwowany regres moŜe być przejawem momentu przełomowego w rozwoju – przejścia z etapu myślenia konkretnego na formalno – operacyjne, Proces ten jest bardzo zindywidualizowany i kaŜdy z badanych moŜe znajdować się na innym jego etapie.

Badania podłuŜne a badania poprzeczne

Potwierdzenie hipotezy, Ŝe rozwój, przynajmniej niektórych pojęć matematycznych, odbywa się zgodnie z modelem cykliczno - fazowym wymaga dalszych badań. Widać jednak wyraźnie, Ŝe badanie zmian zachodzących u tego samego ucznia w dłuŜszym okresie czasu pozwalają, z jednej strony, głębiej wniknąć w proces jego rozwoju, a z drugiej strony, wnikliwiej ocenić skuteczność nauczania. Tymczasem obecnie przy badaniach skuteczności działań edukacyjnych szkoły zdecydowanie przewaŜają badania poprzeczne. Badania te rejestrują stan aktualny w danym momencie, natomiast nie rejestrują zmian tego stanu. MoŜna je porównać do „stop klatki” przy oglądaniu filmu. Widzimy, co dzieje się w danej chwili, ale tego co było przedtem i co nastąpi potem moŜemy się tylko domyślać. Sytuacja taka rodzi wiele pytań: czy wyniki takich badań rzeczywiście dostarczają informacji o efektywności oddziaływań edukacyjnych szkoły? Co to znaczy dobra szkoła, dobry nauczyciel? Czy lepszy jest ten nauczyciel, który ze słabego ucznia potrafi zrobić dobrego, czy ten, który zaledwie nie spowoduje pogorszenia wyników ucznia bardzo dobrego? (te same pytania stawiać moŜna odnośnie szkoły). Jaką wartość mają więc rankingi szkół konstruowane w oparciu o wyniki na wyjściu jeśli nie wiemy co było na wejściu? W ostatnim czasie coraz powszechniej, przy ocenianiu szkoły, bierze się pod uwagę wskaźniki tzw. Edukacyjnej Wartości Dodanej. Jest to pozytywna tendencja. Ciągle jednak brakuje metod i narzędzi pozwalających na, w miarę pełne, monitorowanie rozwoju ucznia.

Badania poprzeczne nie dostarczają równieŜ informacji wystarczających do podejmowania skutecznych działań naprawczych. Z jednej strony, jeśli wyniki w danym momencie nie są dobre to i tak, nie wiemy, kiedy coś się zaczęło psuć i co naleŜało by poprawić. Z drugiej strony złe wyniki mogą być skutkiem, wynikającego z praw rozwoju chwilowego regresu, który zostanie przezwycięŜony bez specjalnych zabiegów nauczyciela. 2 Dokładną charakterystykę zarówno modelu cykliczno-fazowego jak i pozostałych dwóch modeli znaleźć moŜna np. w ksiąŜce A. Brzezińskiej „Społeczna psychologia rozwoju”.[1]


106

Podsumowanie

Nie kwestionując przydatności badań poprzecznych dla oceny skuteczności działań edukacyjnych szkoły stwierdzić naleŜy, Ŝe dla pełności tej oceny oraz dla planowania skutecznych działań, które miałyby na celu poprawę efektywności kształcenia, konieczne jest prowadzenie długofalowych, podłuŜnych badań procesu nauczania. Tylko takie badania pozwalają głębiej wniknąć w przebieg tego procesu, a zrozumienie praw rozwoju ucznia i „nałoŜenie” ich na realizowane koncepcje nauczania matematyki to wciąŜ aktualna droga poprawy efektywności jej nauczania.

Literatura:

1. BRZEZIŃSKA, A.: „Społeczna psychologia rozwoju”, Warszawa, 2007. ISBN 9788373832732

2. TRAMPAŁA, J,: Koncepcje rozwoju człowieka, w: STRELAU, J.: Psychologia. Podręcznik akademicki. Gdańskie Wydawnictwo Psychologiczne, Gdańsk 2003. ISBN 8387957046

3. TYSZKOWA, M.: Pojęcie rozwoju i zmiany rozwojowej, w: PRZETACZNIK - GIEROWSKA, M., TYSZKOWA, M.: Psychologia rozwoju człowieka. PWN. Warszawa 2005. ISBN 8301142375

Adres

Maria Korcz prof. WSH dr hab. WyŜsza Szkoła Humanistyczna im. Króla Stanisława Leszczyńskiego w Lesznie ul. Krótka 5; 64-100 Leszno; Polska Telefón: +48 603 896 448 E- mail: [email protected]


107

HYPERTEXTOVÁ U ČEBNICA DIDAKTIKY MATEMATIKY

Štefan KOVÁČIK

Abstrakt: Celkové zhoršovanie úrovne vedomostí žiakov z matematiky (PISA) je potrebné

zastaviť. Jednou z príčin tohto javu je slabá príprava učiteľov. Počet hodín matematiky sa znížil a nahradil ich všeobecný základ. Ak učiteľ neovláda matematiku, nebude ju kvalitne učiť. Pozitívnu úlohu pri skvalitňovaní prípravy učiteľov môžu zohrať hypertextové a multimediálne učebnice. V súčasnosti nie je dostatočne spracovaná teória elektronických učebníc. Pokúsime sa do tejto problematiky nazrieť cez učebnicu didaktiky matematiky pre budúcich učiteľov na 1. stupni základných škôl. Mnohé z uvedeného platí aj pre iné učebnice.

HYPERTEXT TEXTBOOK OF DIDACTICS OF MATHEMATICS

Abstract: It is necessary to stop deteriorating of mathematical knowledge level of pupils

(PISA). One of the reasons of this state is low preparation of teachers. The number of mathematical lessons has brought down and general knowledge base (non mathematical) has replaced it. If a teacher does not master mathematics, he will not teach it qualitatively. Hypertext and multimedia textbooks can play positive role in better preparation of teachers. At presents the theory of electronic textbooks is not elaborated sufficiently. We try to solve this situation by textbook of didactics of mathematics for next teachers at elementary school. Many introduced things are valid for other textbooks, too.

Úvod

Pod elektronickým vzdelávaním najčastejšie rozumieme použitie počítačov a internetu vo vyučovacom procese. Už menej sa hovorí o elektronických učebných textoch vo forme počítačových programov a súborov určených pre samostatnú prácu študenta. Vybavenosť študentov počítačmi i kvalita počítačov sa za posledných 10 rokov výrazne zlepšili. Prakticky všetci študenti bakalárskeho štúdia v 3. ročníku majú svoj počítač.

Učebnica si stále udržiava významné miesto v našich školách. Prešla v poslednom období výraznými zmenami dotýkajúcimi sa obsahu, rozsahu, ale aj celkovej koncepcie. Objavil sa nový typ učebnice – počítačová učebnica. Možno konštatovať, že dostatok počítačových učebníc, by výrazne zlepšil vybavenosť študentov študijným materiálom. Zrejme aj naďalej najlepšími tvorcami učebníc budú vysokoškolskí učitelia. Takáto učebnica môže mať formu hypertextovej (skratka HT) učebnice, ktorá by mohla byť inštalovaná na nosiči CD, DVD, prípadne na internete. Hoci sa vraví „Všetko je na Webe“, nie je to celkom pravda. Komplexný študijný materiál napísaný pre potreby študenta v určitom predmete vytvorí vynikajúce podmienky pre štúdium a tak zefektívni prípravu študentov.


108

Teóriou tvorby klasických (papierových) učebníc sa zaoberali mnohí autori, z ktorých spomeniem Zujeva, Průchu a za počítačové učebnice Mazáka.

HT učebnica s klasickými učebnicami bude mať mnoho spoločných čŕt (tými sa zaoberať nebudeme), ale v mnohom sa tieto učebnice odlišujú. V spoločnej „väzbe“ HT učebnice sa takto (mimo pracovného zošita) ocitnú nasledovné druhy školských kníh:

• Učebnica v užšom význame (obsahuje základné učivo a základné postupy činnosti).

• Zbierka úloh doplňuje úlohami učebnicu, môže obsahovať aj stručný výklad teórie.

• Čítanka spravidla obsahuje úryvky textu, alebo cielene vytvorené cvičenia. • Pomocné knihy vo vyučovaní sú tabuľky, mapy, kľúče, ...

Počítačová učebnica

Špeciálnym (relatívne novým) typom učebnice je počítačová učebnica. (Mazák, 1991) Je potrebné rozlišovať počítačovú učebnicu od počítačového didaktického programu. Počítačový didaktický program je štruktúrovane delený na triády, v ktorých je učivo kúskované a dávkované, za čím nasleduje otázka a očakáva sa odpoveď a nasleduje odozva. Program je spravidla dosť úzko koncipovaný, v ňom je výrazne posilnená spätno-väzbová zložka programu, ktorá sa v počítačových učebniciach objavuje len ojedinelo. Napriek tomu hranica medzi učebnicou a didaktickým programom sa dá niekedy určiť veľmi ťažko. Ak porovnáme počítačovú učebnicu s klasickými učebnicami, sú zrejmé klady i nedostatky.

Klasická učebnica má jednoznačnú výhodu v energetickej nenáročnosti, nevyžaduje si použitie počítača, možno do nej „robiť poznámky“, ...

Nedostatky počítačovej učebnice: • náklady na jej nákup a použitie sú spojené s nákupom počítača, • nutnosť pracovať s počítačom (čo je dlhodobo zdravotne nevhodné), • obmedzené sú možnosti zásahu do učebnice (v porovnaní s pracovným zošitom). Klady počítačovej učebnice ďaleko výraznejšie prevyšujú jej nedostatky: • multimediálnosť umožňuje využiť zvuk, obraz, dynamický obraz, • integrovanosť rôznych úrovní pôsobenia do jedného celku, • priebežné aplikácie (napríklad pomoc) spríjemňujú prácu, • spätnoväzbový prvok - pri riešení zadanej úlohy žiak môže okamžite vedieť, bez

zásahu učiteľa, aj bez zdĺhavého listovania, či riešil úlohu správne, • dostatok rozširujúceho učiva. Zrejme najzaujímavejším typom učebnice je hypertextová učebnica. Jej kladom je

poskytnutie takého komfortu študujúcemu, ktorý mu klasické učebnice nemôžu poskytnúť:

1. Študujúci si sám určuje rozsah a hĺbku štúdia, čím učebnica vytvára možnosť autokorekcie učenia.

2. Práca s hypertextovými skriptami si od študenta nevyžaduje mimoriadne zručnosti.

3. V doplnkoch výkladového textu možno veľmi efektívne listovať vďaka HT odkazom. (Podobné odkazy sa dajú s určitými problémami použiť aj v klasických učebniciach.)


109

4. Použitie farebných fotografií, schém a kópií vo väčšom rozsahu ako v papierových učebniciach výrazne posilňuje optický vnem.

5. Mimoriadnu didaktickú hodnotu môžu mať dynamické ukážky a animácie. Napríklad rozfázovaný postup činnosti pri riešení úlohy, postupu počítania ... Vyššou kvalitou sú multimediálne odkazy, kde si študent môže pozrieť časť prednášky, postup nejakej činnosti, prípadne vypočuť časť textu, alebo skladby.

6. Hoci na nosiči CD (alebo DVD) môžu skriptá obsahovať mnohonásobne viac informácií, ich cena je oveľa nižšia ako u klasických skrípt.

Tvorba hypertextovej učebnice

Na vytvorenie takejto učebnice sú nutné tri podmienky: • Dostatok času. Treba povedať, že tvorba elektronických skrípt je oveľa

náročnejšia na čas, ako napísanie klasických skrípt. Je nutné hľadať (alebo vyrobiť) vhodné ukážky, fotografie ... a tieto zapracovať ako odkazy do základného textu. Nemalým problémom sú estetické a technické požiadavky kladené na schémy a obrázky, ktoré zaručia ich čitateľnosť a didaktickú kvalitu na monitore počítača.

• Počítačové zručnosti. Na rozdiel od užívateľa, tvorca hypertextových učebných textov by mal mať dobré znalosti a skúsenosti s tvorbou hypertextových súborov. Tieto je možné získať buď samoštúdiom, alebo vhodným kurzom.

• Dostatok informácií. Tu je na mieste spolupráca viacerých autorov aj z rôznych pracovísk, čo by sa prejavilo na rozsahu učebnice, kvalite a zrejme aj obsahu a komplexnosti učiva. Mohla by tak vzniknúť veľmi kvalitná HT učebnica.

Štruktúra u čebného textu hypertextovej učebnice

Pri tvorbe HT učebnice je potrebné vopred stanoviť organizačnú štruktúru, obsah a rozsah učebnice. Je potrebné vychádzať z toho, že mnohí študenti (budúci učitelia) majú značné medzery vo vedomostiach zo základnej i strednej školy. Často sa stáva, že títo študenti nepoznajú základné pojmy a poučky, na ktorých by mali budovať svoje ďalšie vedomosti. Obsah HT učebnice možno rozdeliť do nasledovnej štruktúry:

1. Základný riadiaci a výkladový text. Tento by mal byť primerane stručný a výstižný, je určený pre všetkých študentov, ale postačujúci by ma byť len pre najlepších študentov. Jeho súčasťou môžu byť aj dôležité schémy, tabuľky, obrázky. Môže mierne presahovať rámec povinného učiva. Výkladový text má tvoriť súvislú líniu výkladu, v ňom sú umiestnené návestidlá HT odkazov.

2. Hypertextové odkazy by mali byť hierarchicky triedené a farebne (prípadne inak) označené podľa významu. Farebné značenie je pre užívateľa nezáväzné, ale je osožnou pomôckou na orientáciu pre študujúceho. HT odkazy by mali byť rozdelené najmenej do troch skupín, ale podrobnejšie triedenie HT odkazov podľa obsahu by mohlo byť nasledovné: • Definície, pojmy a poučky. Ich znalosť je potrebná pre porozumenie učiva.

Často nie sú poruke a preto si ich študent neujasní, v dôsledku čoho sa učí ďalej bez porozumenie. Študentovi tak uniká podstata študovaného učiva.

• Príklady a ukážky sa môžu vyskytovať v základnom učive, ale niekedy je ich počet nedostačujúci pre zvládnutie učiva.


110

• Úlohy na samostatnú prácu zadávané priebežne môžu študenta uistiť o tom, že prebrané učivo správne porozumel, prípadne ho môžu naviesť na správny smer. Takéto úlohy môžu byť zadávané aj v závere tematického celku.

• Metodické poznámky a poznámky o praktickom využití preberaného učiva vo vyučovacom procese. Môžu tu byť aj ukážky nesprávneho použitia v praxi, časté chyby, úskalia, prípadne ukážky omylov.

• Historické poznámky a motivačné rozprávania súvisiace s učivom. • Poznámky podľa potreby a uváženia autora. Napríklad odkaz na literárny

prameň. Počet HT odkazov. Na stanovenie počtu výskytov jednotlivých odkazov neexistuje

zatiaľ objektívny kľúč, preto ich počet je možné stanoviť len na základe skúseností autorov. Mali by byť stanovené tak, aby najšikovnejší študent zvládol učivo bez použitia HT odkazov, alebo s ich minimálnym použitím. Pre najslabšieho študenta, alebo nezasväteného laika, by malo byť učivo zvládnuteľné po preštudovaní hlavného textu a všetkých HT odkazov.

Rozsah jednotlivých HT odkazov sa značne odlišuje. Najmenšie HT odkazy budú obsahovať jednu vetu: definíciu, axiómu, poučku. Väčšina HT odkazov by nemala prekročiť rozsah jednej strany, čím myslíme jednu obrazovku. Výnimočne môže mať HT odkaz aj niekoľkonásobne väčší rozsah. Odkazom môže byť napríklad PowerPointová prezentácia, animácia, ...

Ukážka hypertextu z témy „Etapy pri tvorbe pojmov“

V pojmotvornom procese rozlišujeme z hľadiska činností učiteľa štyri etapy. Ako príklad nám poslúžia etapy v učive násobenie.

1. ETAPA je zmeraná na vysvetlenie násobenia. Druhá a tretia etapa tvorí ukážku HP textu.

2. ETAPA: Žiaci riešia úlohy na násobenie. Žiaci už vedia správne rozhodnúť, kedy sa má v úlohách použiť operácia násobenia.

Riešia a tvoria úlohy riešiteľné pomocou násobenia. Zdokonaľujú sa v násobilke. Používa sa abstraktnejšie znázornenie násobenia pomocou počítadla a kreslením paličiek, alebo znázornením v štvorcovej sieti, alebo na číselnej osi. Použiť možno matematické peniaze. Neskôr sa štvorcová sieť nahradí abstraktným karteziánskym grafom. a/ 5 b/ 5 5 5 5

4 0 5 10 15 20

20

Obrázok č.1. a/ Karteziánsky súčin. b/ Znázornenie násobenia na číselnej osi.


111

Schémy možno interpretovať:

štyri rady po päť štyri skoky po 5 4 . 5 = 20 Modelovanie s predmetmi sa používa v tejto etape len zriedkavo. Na kontrolu

správnosti výpočtu sa používa operácia sčítania, alebo tabuľka malej násobilky. Čas potrebný na výpočet sa skracuje, objavujú sa prvé pokusy počítania spamäti bez výpočtu, alebo bez použitia znázornenia.

3. ETAPA: Žiaci si zautomatizujú počítanie. Hlavným cieľom tejto etapy je naučiť žiakov spoje spamäti a dosiahnuť ich

zautomatizovanie. Toto možno dosiahnuť len vypočítaním veľkého počtu numerických úloh. Znázornenie sa obmedzuje na minimum. Vhodné je riešiť veľa úloh len slovne bez, ich zápisu, aby sa neznižovalo tempo práce. Osvedčené sú päťminútovky , súťaže a hry a matematické diktáty.

Spôsoby kontroly možno voliť tak, aby sa vyriešilo čo najviac numerických úloh. Vhodné je použitie komutatívnosti. (8.7= ... kontrola ...7.8=) Spočiatku možno vyučovanie občas spestriť (hoci ho to spomalí) aj použitím počítadla, tabuľky spojov, sčítania rovnakých sčítancov. … Kontrolovať môžu aj spolužiaci. Keďže skôr, ako sa ukončí 4. etapa učiva „násobenie“ sa začne preberať aj delenie, možno ako jednu z možností kontroly použiť aj delenie. Spád počítania sa tým spomalí, ale zároveň s násobilkou sa preberá aj učivo delenia.

Z motivačných dôvodov sa objavujú aj slovné úlohy, ale ťažiskom je pamäťové riešenie numerických úloh. Na konci etapy sa už žiadne znázornenie nesmie použiť. Žiaci ovládajú spoje spamäti. Mali by počítať veľmi rýchlo a odpovedať promptne.

4. ETAPA: Je zameraná na vlastnosti násobenia a jeho praktické využitie.

HT ODKAZY: Keďže v publikácii nemožno spustiť HT odkazy, uvedieme ich v rámčekoch

písomne. Ich zatriedenie do skupín necháme na čitateľov článku.

Matematický diktát (MD) Učiteľ diktuje numerické úlohy z násobilky. Ich zadanie s výsledkom píše odzadu na tabuľu tak, aby videl žiakov. Žiaci majú pripravené rovnaké linkované papiere a do stĺpca zapisujú len výsledky diktovaných úloh. V jednej sade je 10 až 12 úloh. Po skončení sady si susedia vymenia papieriky a každý opravuje ceruzkou podľa otočenej tabule. Skontrolovať môže občas aj učiteľ, pomôže si pravítkom. MD nemusíte známkovať, použiť ho možno v matematickej rozcvičke, alebo ako súťaž. MD vyžaduje vysokú aktivitu všetkých žiakov, je dosť náročný a nemal by byť príliš dlhý.


112

počítadlá 3 . 6 = 18 paličky 4 . 5 = 20

Žiaci vytvoria oddelené skupiny po päť paličiek.

matematické peniaze

1

1 1

1

1

1

1

3 . 3 = 9 Žiaci vymodelujú tri kôpky € po 3 €. Platidlá: 1, 10, 100 ...€

1 1

Päťminútovky

Keďže pamäťové počítanie je veľmi náročná a úmorná práca, nevhodné je preťažovať žiakov veľmi dlhým počítaním. Vo vhodných častiach hodiny učiteľ zaradí päť minút počítania. Počítanie môže byť aj písomné (bleskovky). Je o niečo pomalšie, nemusí sa klasifikovať, ale je potrebné ho zhodnotiť a opraviť.

Hry a súťaže ... Máme na mysli didaktické hry. 1. Preteky radov. Každý rad dostane sadu úloh (napríklad na papieri). Prvý žiak vypočíta úlohu na tabuľu, odovzdá ďalšiemu ... Vyhrá rad, ktorý vyrieši úlohy ako prvý. 2. Preteky. Na dlhej nástenke (so stupnicou 30 – 50 dielikov) má každý žiak menovku. Všetci stoja na začiatku v prvom dieliku pred slimákom. Nasleduje riešenie niekoľko, asi 10 sérií po 10 úloh. Úlohy je potrebné skontrolovať a podľa stanovených pravidiel prideľovať kroky. Napríklad: bez chyby – 3 kroky, jedna chyba – 1 krok, viac chýb – stojíš. Menovku posunieme o získaný počet krokov. Kto prvý nasadne do rakety? (Kto posledný?) Nástenka obsahuje motivačné obrázky:

slimák kolobežka bicykel auto lietadlo raketa

Veľký počet Psychológia uvádza (potvrdzujú to aj kybernetické teórie učenia), že na naučenie sa naspamäť je potrebné zopakovať spoj priemerne 23-krát. Pod opakovaním rozumieme vybavovanie po zabudnutí – teda nie zopakovať za sebou. Spoje, ktoré sa rýmujú, napríklad 5 . 5 = 25; 6 . 6 = 36, sa učia ľahšie.


113

Záver

Kvalita odkazov v hypertextových učebniciach bude určite na vyššej úrovni. V uvedenú ukážku možno obohatiť o ďalšie HT odkazy. Je možné jeden HT odkaz opätovne ponúknuť aj na viacerých miestach učebnice.

Vďaka použitiu odkazov vytvára HT učebnica priestor pre prácu s nadanými a zaostávajúcimi žiakmi. Gerová [2, s. 166] v svojom výskume potvrdila: „Sú rezervy v pripravenosti študentov 4. ročníka učiteľstva pre 1. stupeň ZŠ po ukončení ich matematickej prípravy na prácu so žiakmi s väčším záujmom o matematiku, vrátane nadaných študentov.“

Nad HT učebnicami je ešte veľa nejasností, napríklad nekontrolované kopírovanie, spoločensky nedocenená práca i priestor pre širokú (a nie vždy kompetentnú) kritiku. Napriek tomu považujem za spoločensky osožnú a potrebnú orientáciu na tvorbu takýchto učebníc, ktoré môže niesť titul „Učebnica tretieho tisícročia“.

Literatúra:

1. FRANK, H. G.: Bildungskybernetik. Esprima, Mőnchen. 1996. ISBN 3-929061-81-3

2. GEROVÁ, Ľ.: Príprava žiakov so záujmom o matematiku na 1. stupni základnej školy. PF UMB – OZ Pedagóg, s. 124, Banská Bystrica, 2007 ISBN 978-80-8083-470-8

3. MAZÁK, E.: Počítačová výuka. SPN, Praha 1991.

4. PRŮCHA, J.: Učebnice: Teorie a analýza edukačního média. Paido, Brno 1998. ISBN 80-85931-49-4

5. ZUJEV, D. D.: Ako tvoriť učebnicu. SPN, Bratislava 1986.

Učenie spamäti a promptné (pružné) zvládnutie učiva považujeme za veľmi dôležitú zručnosť, ktorá podmieňuje úspešné zvládnutie ďalšieho učiva, najmä delenia a násobenie viacciferných čísel. Mnohí súčasní pedagógovia (možno v dôsledku zlých skúseností s bifľovaním) sú zásadne proti tomu, aby sa žiaci učili niečo spamäti. Považujeme to za chybu, lebo v každej činnosti je potrebné si mnoho vecí pamätať. Táto zručnosť sa dá nácvikom zdokonaľovať. Napríklad: postupy, čísla, poradie zastávok... Vodič spamäti pozná dopravné značky, pokladníčka si zapamätá číslo, ...

Použitie kontroly násobenia delením je pomerne problematické. Delenie slabšie ovládajú žiaci, je to chybovejšia operácia, je náročnejšie na čas (hlavne pri väčších číslach). Preto túto kontrolu používame hlavne z didaktických dôvodov (Aha takto sa to dá!) a ukážeme súvislosť násobenia a delenia.


114

Kontaktná adresa

RNDr. Štefan Kováčik, PhD. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica Telefón: +421/ 48 / 446 4411 E-mail: [email protected]


115

DIDAKTICKÉ HRY Z MATEMATIKY V PRIMÁRNÍM VZDĚLÁVÁNÍ – VÝCHODISKA A INSPIRACE

Eva KREJČOVÁ

Abstrakt Didaktická hra vychází z nejvýraznějších rysů dětské osobnosti: hravosti,

spontánnosti a aktivity. Zejména v primárním vzdělávání má své nezastupitelné místo. Výsledky šetření naznačují, že třebaže se situace, pokud jde o zařazování her v hodinách matematiky na 1. stupni základní školy změnila k lepšímu, je jejich výběr, s ohledem na možné vzdělávací i výchovné možnosti, dost zúžený a ne vždy vhodný. Příčiny lze mj. spatřovat v nedostatečné inspiraci podnětných činností z této oblasti. Nabízíme publikaci, ve které se snažíme uvedená východiska akceptovat.

DIDACITC GAMES OF MATHEMATICS IN PRIMARY EDUCATION – RESOURCES AND INSPIRATION

Abstract The didactic game stems from the most significant features of the personality of a

child: playfulness, spontaneity and activity. It has its important place mainly in primary education. The results of the research indicate that although the situation in including games to lessons of mathematics at lower-primary school level has improved a lot, their selection with respect to their potential educational possibilities is quite narrow and not always suitable. The causes may be found, among other things, in insufficient inspiration of stimulative activities from this field. We offer a publication in which we try to accept the mentioned resources.

Příspěvkem chceme částečně navázat na loňské vystoupení kolegyně doc. J. Coufalové, která se v něm zabývala využíváním didaktických her v hodinách matematiky na 1. stupni základní školy.

Možnostem uplatňování didaktických her ve vyučování matematice zejména u mladších žáků se na Pedagogické fakultě UHK také dlouhodobě věnujeme. V rámci řešení diplomových a seminárních prací jsme prováděli podobná šetření jako učitelé Fakulty pedagogické ZČU, tj. zjišťování zařazování didaktických her do výuky (četnost podle typu, formy práce, vzdělávacího cíle aj.). Lze konstatovat, že výsledky našich zkoumání jsou velice podobné.

Ukazuje se, že přes nepopiratelnou snahu učitelů zařazovat didaktické hry do vyučování, je jejich výčet omezený. Převažují hry frontální nebo individuální, jež mají často charakter soutěže a neberou ohled na individuální zvláštnosti žáků. V takových případech může didaktická hra působit kontraproduktivně. Místo, aby žáka motivovala, aktivizovala jeho znalosti, přispívala k efektivnějšímu osvojení učiva, navozuje nežádoucí klima. A to nemusí platit pouze pro slabší žáky, stresem může být negativně ovlivněn i výkon dobrých počtářů.


116

Situaci výstižně charakterizuje Jana K. v dotazníkovém šetření u studentů 3. ročníku 1. stupně základní školy, v němž odpovídali mj. na otázku „Vybavuji si něco, co mě, coby dítě, v hodinách matematiky nebavilo (vadilo, chybělo)?“

„Neměla jsem ráda soutěž na „Zamrzlíka“ a na „Početního krále“. Nedokázala jsem bleskově reagovat, byla jsem nervózní. Bála jsem se ostudy, že budu poslední a to mě svazovalo. Nemohla jsem se soustředit.“

I když je zapotřebí připustit, že časový odstup od vlastních prožitků v roli žáků je přibližně 10 – 12 let, zkušenosti z praxe (více viz reflexe studentů) naznačují, že výše uvedené výpovědi jsou stále aktuální.

U těchto a jim podobných her jde o činnosti, které nenaplňují požadavky na didaktické hry kladené.

Pokusme se je přiblížit. Je tato hra po děti lákavá a přitažlivá? Ano, ale jen pro několik nejrychlejších počtářů. Jsou do činnosti zapojeni všichni žáci? Ne, ze dvou, kteří jsou právě osloveni, pomalejší „odpadá“. Jeho účast ve hře končí. A jaké jsou vyhlídky žáků na šanci zvítězit, být úspěšným? V uvedeném případě se týkají pouze jediného žáka – Početního krále, který je často

znám již předem nebo se týká omezeného okruhu účastníků. Ostatní nejenže si příliš nezapočítali, ale hlavně ztrácejí pocit důvěry ve vlastní schopnosti, opět neuspěli.

Není bez zajímavosti, že právě negativní zkušenosti s touto hrou a s tím spojené prožitky si bývalí žáci vybavují i po mnoha letech.

Respondentům také vadilo učení nazpaměť, frontální způsob vyučování, práce v lavicích (žádný pohyb), soustředění „na rychlost“.

Snažili jsme se zohlednit tyto okolnosti, požadavky Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání, respektovat požadavky současné školy a nabízíme studentům, začínajícím, ale i zkušenějším učitelům příručku – soubor didaktických her v matematice.

Jedná se o sbírku 136 her a jejich dalších variant, které se dají zařadit v různých částech hodiny matematiky. Podle stěžejního didaktického cíle je členíme do tří kapitol:

1. hry k nácviku numerace a procvičování početních operací, 2. hry k rozvíjení představivosti, tvořivosti a technických dovedností, 3. hry k podněcování logického kombinatorického uvažování. Zvláštní oddíl tvoří hry, při jejichž prezentaci nebo řešení hraje roli barevnost.

Soustředili jsme je z technických důvodů (bez ohledu na jejich vzdělávací cíl) do společného bloku.

U každé hry uvádíme její název, didaktický cíl, sledované kompetence, potřebné pomůcky a popis (průběh).

Při zvažování začlenění námětů do příručky rozhodovaly především získané praktické zkušenosti. Všechny hry jsme ověřovali v podmínkách 1. stupně základní školy.

Upřednostňujeme hry nespecifické (univerzální), tj. takové, které se dají využít při probírání širokého okruhu učiva s různými didaktickými cíli, a to bez změny jejich pravidel. Dle možností se snažíme přirozeným způsobem skloubit poznatky z více předmětů, poukázat na vzájemné souvislosti a využít tak hru jako motivaci k projektu. Zařazenými činnostmi jsme rovněž sledovali vytváření příležitostí k zažití tolik potřebného pocitu úspěchu. Musíme mít stále na vědomí, že prožitý úspěch je pro žáka


117

silnou vnitřní motivací k učení, a naopak pocit, zvláště opakovaný, nezdaru, dovede odradit od jakékoli činnosti.

Proto jsme do publikace zařadili také didaktické hry, které částečně „staví“ na prvku náhody nebo hry skupinové, kde má žák šanci uspět se svou skupinou. Párové a skupinové vyučování vsazené do hry považujeme navíc z didaktického hlediska za velice přínosnou organizační podobu k rozvíjení vzájemné spolupráce. Právě využití didaktických her formou kooperativního vyučování se ukazuje jako velice vhodné propojení.

Podobně je tomu u řešení problémových úloh. Jak konstatuje G. Petty [6], „Téměř jakoukoli činnost lze změnit ve hru, jestliže z ní uděláme problémovou úlohu.“

Z právě vydané knihy Státním pedagogickým nakladatelstvím v Praze uvádíme několik ukázek.

Číselné mraveniště

Didaktický cíl: Procvičování pamětného sčítání a odčítání (příp. násobení a dělení). Sledované kompetence: Aktivizace žáků k vyhledávání a třídění informací, podněcování vlastního tvořivého přístupu. Rozvíjení kultury numerického počítání. Pomůcky: Karty s čísly (z probíraného početního oboru), každé číslo vícekrát (dle počtu dětí).

Na koberci vytvoříme číselné mraveniště – hromadu lístků s čísly (dají se např.

použít bločky na losování, do šaten apod.) a početními operacemi. Úkolem žáků je sestavovat z těchto čísel příklady se zadaným výsledkem. Mohou pracovat individuálně, ve dvojicích nebo 3 – 4 členných skupinkách. Na lavicích tvoří příslušné dvojice čísel s odpovídajícím znakem početního úkonu.


118

Má-li být výsledkem číslo 27, pak např. 29 – 2

11 + 16

15 + 12 . . .

Lístky na mraveniště nevracejí. Děti vítají příležitost vyběhnout z lavice (změna) a tvořivě se uplatnit. Máme-li početnější třídu, připravíme více číselných mravenišť. Žáci nebo skupinky mohou soutěžit o nejpilnějšího mravenečka.

Divadlo Matika – Magika (M – M)

Didaktický cíl: Nácvik numerace v oboru přirozených čísel 1 – 100. Sledované kompetence: Využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech. Zvyšování kultury numerického počítání a logického a kombinatorického uvažování. Pomůcky: Schéma hlediště divadla – síť 10 × 10 na balicím papíru, pokrývací kartičky s přirozenými čísly 1 – 100.

Divadlo Matika – Magika je vlastně demonstrační didaktická pomůcka určená pro frontální vyučování. Spolu s pokrývacími kartičkami s čísly 1 – 100, kartičky představují vstupenky, nabízí řadu možností jak se žáky přitažlivým způsobem, navíc spojeným s realitou, procvičovat jednotlivé složky numerace (přirozená posloupnost, orientace v číselné řadě, čtení, zápis, porovnávání čísel, princip desítkové číselné soustavy), ale také početní operace. Námět lze vhodně využít jako propedeutiku přímé úměrnosti, z hlediska rozvoje logického a kombinatorického uvažování je přínosné řešení problémových úloh.

Schéma hlediště (jednotlivá sedadla) a pokrývací kartičky (vstupenky) (ze zadní strany) jsou opatřeny z důvodu možnosti připevnění malými čtverečky suchého zipu. Vstupenky je vhodné zalaminovat.


119

Námět 1. Některá sedadla v divadle nejsou obsazena (viz konkrétní situace). Která místa jsou volná? Určete postupně řadu a číslo sedadla. Ve které řadě je nejvíce volných míst? Kolik míst je celkem volných? Námět 2. Učitel prodává lístky. Každý žák si koupí jeden (dva, …). Pak vyhledá své (svá) sedadla – připevní vstupenku(y) na odpovídající místo(a). (Nákup lístků je možné zúžit na potřebný podobor, např. z nějakých důvodů jen do prvních dvou, třech, … řad). . . . Námět 7. Lístky jsou cenově odstupňovány. Protože je naše divadlo magické, magické jsou i ceny. Vstupenka do 1. – 3. řady stojí 12 Kč, do 4. – 7. řady 10 Kč, do 8.- 10. řady 8 Kč. Kolik zaplatíme za dva lístky do 3. řady a pět lístků do 10. řady? … Máme zakoupit devět lístků do 1. – 7. řady přesně za 90 Kč. Kolik možností nákupu máme? (1 řešení) Máme zakoupit osm lístků do 1. – 7. řady přesně za 80 Kč. Kolik možností nákupu máme? (1 řešení) Máme zakoupit deset lístků do 1. - 10. řady přesně za 100 Kč. Kolik možností nákupu vstupenek máme? (6 řešení)

Závěr

Didaktické hry patří, vzhledem k své povaze a k širokým možnostem v oblasti vzdělávání, k velice vhodným zaměstnáním v hodinách matematiky, zejména na 1. stupni základní školy. Mohou zapojovat žáky účinně do výuky a přimět je k takovému soustředění, jakého lze jen obtížně dosáhnout při použití jiné metody. Účinkem zvýšeného zájmu a motivaci, jež jsou hrou navozeny, mohou navíc přispět k větší oblíbenosti tohoto předmětu.

V příspěvku chceme reagovat na ne vždy šťastnou volbu používaných her, na jejich zúžené využití jak z pohledu didaktických možností – obsahová stránka, tak pokud se týká forem a metod práce, a tím na jejich zkreslený přínos.

Dovolujeme si představit příručku, ve které se snažíme nabídnout studentům a učitelům 1. stupně základní školy didaktické hry z matematiky, které vycházejí z požadavků současné školy.

Uvítáme, jestliže sbírka alespoň částečně přispěje k širšímu a promyšlenějšímu využití jejich potenciálu.


120

Literatura

1. BELZ, H., SIEGRIST, M.: Klíčové kompetence a jejich rozvíjení. Východiska, metody, cvičení a hry. 1. vyd. Praha: Portál, 2001. 375 s. ISBN 80-7178-479-6.

2. COUFALOVÁ, J.: Využívání didaktických her v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ. In: Matematika 3. Sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. UP Olomouc, 2008, 327 s. ISBN 978-80-244-1963-3.

3. KÁROVÁ, V.: Didaktické hry ve vyučování matematice v 1. – 4. ročníku základní školy. Část aritmetická. 2. vyd. Plzeň: Vydavatestlví Západočeské univerzity, 1998. 53 s. ISBN 80-7082-467-0.

4. KASÍKOVÁ, H.: Kooperativní učení a vyučování. Teoretické a praktické problémy. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova, 2004. 179 s. 1SBN 978-80-246-0192-2.

5. KREJČOVÁ, E., VOLFOVÁ, M.: Didaktické hry v matematice. 3. vyd. Hradec Králové: Gaudeamus, 2001. 120 s. ISBN 80-7041-423-5.

6. PETTY, G.: Moderní vyučování. 1. vyd. Praha: Portál, 1996. 380 s. ISBN 80-7178-070-7.

7. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (dostupné z www.vuppraha.cz).

Kontaktní adresa

RNDr. PaedDr. Eva Krejčová, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Hradec Králové Rokitanského 62 500 03 Hradec Králové Telefon: +420 493 331 463 E-mail: [email protected]


121

TVORBA GEOMETRICKÝCH KONŠTRUKCIÍ POMOCOU SOFTVÉRU C.A.R.

Pavel KRŠŇÁK

Abstrakt V príspevku je uvedený obsah predmetu Konštrukčné úlohy, na ktorom sa študenti

oboznamovali a učili používať softwér C.a.R.. Použitie C.a.R. bolo zamerané v podstate na rysovanie konštrukcií. Uvedené sú výhody a nevýhody používania C.a.R.

CREATION OF GEOMETRICAL CONSTRUCTIONS BY SOFTWARE C. A. R.

Abstract The article is dealing with the subject Constructive problems. The students learnt to

use software C. a. R.. Using C. a. R. was focussed on drawing of constructions. The advantages and disadvantages of using C. a. R. are shown.

Pri rysovaní počítačom, v ktorom je nainštalovaný program C.a.R. (Compass and

Ruler constructions) pozorujeme jeho prednosti v porovnaní s klasickým rysovaním ale aj isté negatíva, nedostatky, ktoré sa pri klasickom rysovaní nevyskytujú.

Hodnotenie rysovania s programom C.a.R. bolo vykonané vyučujúcim a to metódou pozorovania študentov na seminároch a aj dotazníkovou metódou. Dotazníková metóda bola realizovaná na pomerne malom počte študentov, ktorí v roku 2008 absolvovali predmet Konštrukčné úlohy , ktorého hlavným cieľom bolo naučiť študentov rysovať s C.a.R.-om a preto výsledky, vzhľadom na malý počet respondentov nie je možné považovať za všeobecne platné ale aj tak poskytujú isté pozitíva aj negatíva, ktoré pre používateľa C.a.R.-u môžu byť užitočné. Z uvedeného vyplýva, že hodnotenie považujeme za otvorené, môžu sa objaviť také skutočnosti, ktoré doteraz neboli zistené. Jednoznačne môžeme konštatovať , že študenti si dobrovoľne zvolili skorej uvedený povinne voliteľný predmet z dôvodu, že sa chceli sami naučiť jednu z moderných metód výučby a získať skúsenosti s profesionálnym softwarom vhodným na riešenie úloh z praxe, výskumu i výučby. Študenti uvádzajú, že chcú získané poznatky využiť v ich budúcej pedagogickej praxi. Ďalej môžeme tiež jednoznačne konštatovať, že študenti s nadšením prijali novú metódu rysovania a v pomerne krátkom čase si osvojili funkcie konštrukčných a riadiacich ikon softweru C.a.R. Študenti si uvedomovali, že osvojenie a používanie C.a.R. je vhodnou propedeutikou pre technickú prax, ktorá je samozrejmým dôsledkom terajšieho štúdia mnohých žiakov a študentov.

Uvedieme aspoň stručný obsah predmetu Konštrukčné úlohy , na ktorom bol cvičený program C.a.R. (Predmet okrem roku 2008 bol vyučovaný aj v roku 2007. Obsah výučby v týchto rokoch sa málo odlišoval, v roku 2007 boli lepšie priestorové a časové podmienky výučby, preto aj obsah bol širší v porovnaní s rokom 2008). Každú z ďalej uvedených piatich tém doplníme jedným narysovaným obrázkom. Obsah predmetu z rokov 2007 a 2008 je nasledovný:


122

1) Konštrukcie algebraických výrazov, napr. : Narysujte úsečku bax ±= ,

c

abx = , 22 bax ±= ; 2ax = ; bax .= , (Obr.1); bax .= ;

b

ax = ;

ax3

2= ; ax = ; efg

abcdx = ;

fe

cdabx

++= ; kde a, b, c, ... sú dané úsečky.

X ω

abx = A B a b

Obr. 1 Obr. 2 2) Základné množiny bodov daných vlastností, napr.: Narysujte množinu všetkých

bodov X, ktoré majú od bodov BA ≠ (priamok ba ≠ ) rovnaké vzdialenosti; narysujte množinu všetkých bodov X, z ktorých vidíme úsečku AB pod uhlom

090≤ω (Obr.2); narysujte kružnicu, ktorá prechádza bodmi BA ≠ a dotýka sa danej kružnice.

3) Kružnica a jej dotyčnice, napr.: Narysujte dotyčnice ku kružnici, ktoré prechádzajú jej vonkajším bodom (Obr.3); narysujte spoločné dotyčnice dvoch kružníc; narysujte kružnicu, ktorá sa dotýka priamok a,b a prechádza bodom T, kde T a∈

4) Rysovanie telies vo voľnom rovnobežnom premietaní (VRP), napr.: Narysujte

vo VRP(45o,2

1 ) kocku s otvormi, resp. kocku, keď na každej jej stene je

prilepená iná kocka s kratšou hranou ako bola dĺžka hrany pôvodnej kocky; narysujte vo VRP kváder [pravidelný štvorboký, resp. pravidelný päťboký ihlan (Obr.4)].

5) Rez telesa rovinou, resp. priesečníky priamky s telesom, napr.: Zostrojte rez kocky (pravidelného ihlana) rovinou (Obr.5), ktorá je určená tromi nekolineárnymi bodmi; zostrojte priesečníky priamky s kvádrom, keď priamka je určená dvomi rôznymi bodmi.

Teraz uvedieme isté výhody rysovania počítačom, v ktorom je nainštalovaný

softwér C.a.R. tak, ako boli pozorované, resp. ako ich uvádzajú študenti.


123

• Narysované obrázky majú vysokú estetickú úroveň v porovnaní s narysovanými obrázkami pomocou klasických rysovacích nástrojov.

• Kto získal zručnosť v rysovaní s C.a.R. – om, obrázok počítačom narysuje rýchlejšie ako klasickými rysovacími nástrojmi.

• Študenti so záľubou rysujú počítačom, často po skončení vyučovacej hodiny ostávajú v učebni a rysujú. Jedna zo študentiek napr. uvádza: ...celkove ma viacej láka ako klasické rysovanie a navyše ma to aj baví. Povedala by som, že toto rysovanie je „škola hrou“.

• Rysovanie počítačom je propedeutikou pre budúce povolanie technika, ktorý svoje návrhy zverejňuje aj narysovanými obrázkami.

• Narysované obrázky majú vyššiu presnosť konštrukčných krokov ako je presnosť dosahovaná klasickými rysovacími pomôckami.

• Pri rysovaní zložitejších konštrukcií sa dá s výhodou využiť farebné rozlíšenie rysovaných čiar, ktoré už v dokončenom, narysovanom obrázku nemusia byť viditeľné (obrázok nie je zaplnený pomocnými čiarami).

• Ak učiteľ rysuje priamo na vyučovacej hodine, má možnosť ukázať dynamiku niektorých geometrických útvarov (napr. aplikáciu Archimedovej axiómy pri meraní úsečky, ukážku Thaletovej vety, ukážku aplikácie vzorca pre výpočet obsahov trojuholníkov, ktoré majú spoločnú stranu a rovnaké výšky prislúchajúce tejto strane,...).

• Ak učiteľ pozná tvorenie vlastných makier, potom rýchlo a presne vie narysovať napr. ľubovoľný počet štvorcov, rovnostranných trojuholníkov, obdĺžnikov, polkružníc, ..., čo je veľkou výhodou napr. pri demonštrácii Pytagorovej , resp. zovšeobecnenej Pytagorovej vety.

• Chybne alebo nepresne narysované niektoré konštrukčné kroky sa dajú rýchlo opraviť (vymazať a znova narysovať, čo je niekedy pri klasickom rysovaní, vzhľadom na rysovací papier, ťažko uskutočniteľné).

• Časť narysovaného obrázka (alebo aj celý) môžeme kopírovať do iného, pričom kopírovaný obrázok môže byť zväčšený alebo zmenšený vzhľadom na pôvodný. (S výhodou používame pri tvorbe učebných textov, textov písomných prác pre študentov, resp. diktátov z geometrie). Okrem výhod pozorovaných pri tvorbe geometrických konštrukcií pomocou

softvéru C.a.R. pozorujeme aj isté nevýhody. (O niektorých nevýhodách pri práci s počítačom sa hovorí aj v literatúre 1. Gerová-Kováčik). Boli zistené nasledovné nevýhody. • Občas sa stáva, že pri konečnej fáze rysovania, obyčajne nám z neznámeho dôvodu,

je počítač bez elektrického prúdu a naše výsledky predchádzajúcej práce sú zničené. Uvedený nedostatok sa dá zmierniť častejším ukladaním súboru.

• Oči sú viacej namáhané v porovnaní s klasickým rysovaním. Stáva sa, že začínajú slziť. Situáciu by vedeli lepšie posúdiť lekári.

• V niektorých počítačoch, pri dlhšej práci s programom C.a.R., sa tento stratí, obrazovka monitora ostane tmavá. Podľa vyjadrenia technikov k uvedenému nedostatku je počítač v poriadku, chyba môže byť v samotnom programe C.a.R. Tento veľmi nepríjemný nedostatok sa vyskytol na piatich počítačoch z celkového počtu dvanásť používaných.


124

• Stalo sa, že niektorí študenti ak nestíhajú alebo neovládajú potrebné geometrické znalosti pre dokončenie konštrukcie, dopustia sa podvodu tým, že e-mailom získajú kópiu konštrukcie od svojho spolužiaka, ktorý už úlohu splnil. V príspevku bola uvedená len časť využitia softvéru C.a.R., v podstate zameraná na

rysovanie konštrukcií školskej praxe. Softvér C.a.R. má ďalšie bohaté využitie, vrelo odporúčame učiteľom matematiky sa s nim oboznámiť a najmä uplatňovať vo svojej pedagogickej praxi.

Literatúra

1. GEROVÁ Ľ., KOVÁČIK Š.: E-learning ako balíček problémov. In: Zborník história, súčasnosť a perspektívy učiteľského vzdelávania, Ban. Bystrica, 2004, PF UMB, s. 97-99. ISBN 80-8083-107-6

2. HANZEL P.,MAJOVSKÁ R.: Grafický softvér a transformácie euklidovskej roviny. In: Acta mathematica 11, Nitra, 2008, FPV UKF, s. 85-91. ISBN 978-80-8094-396-7

Kontaktná adresa

Pavel Kršňák, prof.,RNDr., CSc. Katedra matematiky FPV UMB Banská Bystrica, Tajovského 40 Telefón: 048/446 4411 E-mail: [email protected]


125

NOVÉ TRENDY V PRIMÁRNOM VZDELÁVANÍ AKO VÝCHODISKO PRE KOMPARÁCIU MATEMATICKEJ EDUKÁCIE NA SLOVENSKU A V USA

Jana LACEKOVÁ

Abstrakt Komparácia učebných osnov a Štátneho vzdelávacieho programu ISCED 1 –

Primárne vzdelávanie, časť Matematika a práca s informáciami, je jedným z predpokladov pre realizáciu školskej reformy v oblasti matematickej edukácie na primárnom stupni vzdelávania. V tomto kontexte môžu byť prínosom aj nové poznatky získané zo zahraničných zdrojov.

NEW MOVEMENTS IN PRIMARY EDUCATION AS STARTING POINT FOR COMPARATION OF MATHEMATICAL EDUCATION IN SLOVAKIA AND IN THE USA

Abstract Comparation of Core curriculum and State program of education ISCED 1 –

Primary education, part Math and work with information is one of prerequisite to realize educational reform in the sphere of mathematical education on Primary school. In this context can by contribution for new knowledge acquired from foreign resources.

Školská reforma v oblasti matematickej edukácie by mohla priniesť nové pohľady na sprístupňovanie matematického učiva. Pedagóg by mal žiakom ponúknuť netypické úlohy, ktoré môžu byť oživením vyučovania matematiky v primárnej škole. Inšpirácia zo zahraničných zdrojov môže byť jednou z ciest, ako to dosiahnuť. (Scholtzová, 2007)

Charakteristika Štátneho vzdelávacieho programu (ŠVP) – The International Standard Classification of Education (ISCED 1)

ŠVP je podľa nového školského zákona najvyšší programový projekt vzdelávania. Pozostáva z rámcového modelu absolventa, rámcového učebného plánu a rámcových učebných osnov. ŠVP podporuje komplexný prístup pri rozvíjaní žiackych spôsobilostí a je záväzným dokumentom pre vytvorenie školského vzdelávacieho programu (ŠkVP). ŠVP z hľadiska formy:

ŠVP tvorí 70% obsahu vzdelávania. Je to otvorený kurikulárny dokument, ktorý sa bude podľa požiadaviek a potrieb aktualizovať. Je vypracovaný podľa princípu následnosti. Podporuje komplexný medzipredmetový a nadpredmetový prístup k projektovaniu obsahu vzdelania. Školám dáva možnosť hodnotiť žiakov komplexne a pedagógom poskytuje viac priestoru na vytvorenie vhodnej motivácie, čím prispieva k navodeniu aktívnej a socioemočnej klímy triedy a školy. ŠkVP tvorí 30% obsahu vzdelávania. Poskytuje školám možnosť vychádzať v ústrety žiakom a ich potrebám a záujmom. Školy majú k dispozícii voľný počet hodín,môžu si


126

vybrať z ponuky odporúčaných voliteľných predmetov. Škola si môže sama zvoliť predmety. Tento priestor sa môže využiť na experimentálne overené inovačné programy, na projektové či blokové vyučovanie. ŠkVP poskytuje učiteľom možnosť individuálne hodnotiť žiakov a vyžaduje si spoluprácu medzi pedagogickými pracovníkmi. Rámcový vzdelanostný profil absolventa primárneho stupňa podľa ŠVP – absolvent má: 1. Predpoklady ústretovo komunikovať a spolupracovať. 2. Osvojené techniky učenia – celoživotného. 3. Predpoklady na to, aby si vážil sám seba a druhých ľudí. 4. Osvojené základy používania materinského, štátneho a cudzieho jazyka. 5. Osvojené kľúčové kompetencie. Rámcové učebné plány podľa ŠVP vyčleňujú pre vzdelávaciu oblasť Matematika a práca s informáciami nasledovný počet hodín v daných ročníkoch: Predmet/ročník 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Spolu matematika 4 4 3 3 3,5 4 3,5 4 4 33 informatika 0 0 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2,5 informatická výchova 1 1 1 3

Z hľadiska obsahu: Vzdelávací obsah matematiky na 1. stupni ZŠ je rozdelený do piatich tematických okruhov: 1. Čísla, premenné a počtové výkony s číslami. 2. Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy. 3. Geometria a meranie. 4. Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika. 5. Logika, dôvodenie, dôkazy. Z hľadiska začlenenia učiva do jednotlivých ročníkov: I. ročník - Počet vyučovacích hodín matematiky je podľa ŠVP a učebných osnov (UO) rovnaký, 4 hodiny týždenne, čo tvorí 132 hodín ročne. V tématických celkoch ŠVP a UO a ich obsahoch vidíme niektoré rozdiely: 1. Prvé štyri tematické celky základného učiva podľa UO sú zhrnuté v prvých dvoch

tematických celkoch ŠVP a odporúčané učivo UO je z väčšej časti súčasťou štvrtého tematického celku matematiky ŠVP,

2. v UO sa pri určovaní počtu objektov, na rozdiel od ŠVP, nevyskytuje počítanie po dvoch (propedeutika násobku 2), v UO sa vyskytuje učivo o rovniciach a nerovniciach, v ŠVP je zredukované,

3. UO rozdeľujú numeráciu prirodzených (N) čísel od 1 – 5; 6, 0 – 10; 11 – 20, v ŠVP je to od 1 – 20, v UO je minimálne zahrnuté učivo o zbere a zoskupovaní údajov, tvorbe grafov, tabuliek a diagramov, geometrické učivo je rovnaké.

II. ročník - Počet vyučovacích hodín je rôzny. Podľa ŠVP sú to 4 hodiny týždenne = 132 ročne. Podľa UO, to bolo 5 hodín týždenne = 165 ročne. Redukovaný bol obsah učiva: 1. Tematický celok „Násobenie a delenie N čísel v obore do 20“ podľa UO, sa v ŠVP

presunul do 3. ročníka, 2. v geometrii podľa ŠVP pribudla jednotka dĺžky decimeter (dm), v tematickom celku

„Geometria“ sa v UO v rámci odporúčaného rozširujúceho učiva vyskytujú aj historické jednotky dĺžky,

3. tak ako v 1. ročníku, aj tu sa učivo „rovnice a nerovnice“ podľa ŠVP zredukovalo, ale pozornosť žiakov sa viac upriamuje na činnosti, v ktorých majú žiaci usúdiť, či je tvrdenie pravdivé, nepravdivé, možné, nemožné,

4. podľa ŠVP žiaci prichádzajú častejšie do kontaktu z grafmi, tabuľkami, diagramami, pričom údaje majú do nich systematicky vpisovať (aj dlhodobo).


127

III. ročník - Podľa ŠVP je dotácia hodín na týždeň 3 hodiny = 99 ročne a v UO je to 5 hodín týždenne, čo tvorí 165 ročne. V 3. ročníku môžeme vidieť výrazný rozdiel: 1. Tematický celok UO 2. ročníka „Násobenie a delenie N čísel v obore do 20“ je

zaradený do tematických celkov ŠVP pre 3. ročník a číselný obor sa z numerácie do 10 000 v UO zmenil na číselný obor do 1 000 v ŠVP (numerácia do 10 000 je presunutá do 4. ročníka),

2. v ŠVP 3. ročníka sa na rozdiel od UO nachádza zaokrúhľovanie N čísel na celé desiatky, ale nenachádzajú sa v ňom úlohy na priamu úmernosť,

3. premena jednotiek dĺžky je v ŠVP zahrnutá v tematickom celku „vytváranie N čísel v obore do 1 000“, podľa UO je premieňanie jednotiek dĺžky učivom geometrie, v UO sa na rozdiel od ŠVP nachádza aj učivo o premene zmiešaných jednotiek,

4. v UO je zahrnuté aj učivo o rysovaní rovinných útvarov štvorec, trojuholník, kruh, kružnica (konštrukcia trojuholníka z daných strán), v geometrii podľa ŠVP sa nenachádza učivo o pomenovaní vrcholov a strán rovinných útvarov, a taktiež učivo o pomenovaní stredu a polomeru kružnice.

IV. ročník - Dotácia hodín pre 3. a 4. ročník je podľa ŠVP aj UO rovnaká. 1. Tematický celok UO 3. ročníka „Numerácia N čísel v obore do 10 000“ a „ Sčítanie

a odčítanie N čísel v obore do 10 000“ je zaradený do tematického celku ŠVP pre 4. ročník, v ŠVP nie je zahrnuté učivo o delení so zvyškom, učivo o rímskych číslach, o zlomkoch, o vytváraní pojmu čísla do a nad milión a učivo o riešení nerovníc,

2. v UO nie je učivo o počítaní aritmetického priemeru, učivo výrokovej logiky, učivo o tvorbe stĺpcových diagramov (učí sa len v minimálnom miere – je obsiahnuté v informatickej výchove), v UO je v rozširujúcom učive obsah trojuholníka, štvorca a obdĺžnika v štvorcovej sieti.

Charakteristika Štátneho vzdelávacieho programu NCLB - No Child Left Behind

23. januára 2001 George W. Bush navrhol nový Štátny vzdelávací program NCLB, zameraný na zvyšovanie výkonnosti žiakov na základných školách. Je to posledný prijatý zákon, ktorý do značnej miery ovplyvnil školstvo v USA. Princíp programu NCLB je v presvedčení, že nasadením vysokých štandardov a náročných cieľov sa zlepšia výsledky vzdelávania. Táto reforma je mnohými odborníkmi kritizovaná za to, že neposkytuje dostatok priestoru pre motiváciu a prepojenie predmetov so životnými situáciami, pričom vedie učiteľov k tomu, aby žiakov „u čili pre testovanie“. Pri stručnej komparácii oboch ŠVP v oblasti matematiky sme v jednotlivých ročníkoch identifikovali tieto rozdiely: I. ročník - Tematické celky učebných osnov 1. ročníkov: ISCED 1 - N čísla 1 až 20, sčítanie a odčítanie, geometria, riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúce špecifické matematické myslenie NCLB - učivo o numerácii a počtových výkonoch, učivo o elementoch algebry, geometria, meranie, štatistika a pravdepodobnosť (názov tematických celkov je v každom ročníku rovnaký, preto ich ďalej nebudeme uvádzať) Kľúčové kompetencie po 1. ročníku v SR:

1. Žiak pozná N čísla v obore do 20, spamäti vykonáva základné počtové výkony, porovnáva čísla, tvorí odhady a kontrolu správnosti výsledkov, rieši slovné úlohy na sčítanie a odčítanie v danom obore.


128

2. Žiak rozozná, pomenuje základné rovinné a priestorové geometrické útvary hmatom, očami a na obrázku, narysuje priamu čiaru a vie nakresliť otvorenú a uzavretú krivú čiaru.

3. Žiak prisúdi výrokom správnu pravdivostnú hodnotu, vie ich znegovať, tvorí predpovede na základe pozorovania, zbiera a zoskupuje údaje, vie dichotomicky triediť predmety podľa jedného znaku.

Kľúčové kompetencie po 1. ročníku v USA (rozdielne od SR): 1. Žiak pozná N čísla v obore do 100, orientuje sa na číselnej osi v danom obore,

počtové výkony vykonáva spamäti i písomne, žiak sa oboznamuje s pojmom – zlomok. Žiak určí počet strán, stien a vrcholov priestorových útvarov.

II. ročník - Tematické celky učebných osnov 2. ročníkov: ISCED 1 - sčítanie a odčítanie do 20 s prechodom cez základ 10, vytváranie N čísel v obore do 100, geometria, sčítanie a odčítanie N čísel v obore do 100, riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie. Kľúčové kompetencie po druhom ročníku v SR: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 100, písomne i pamäťovo sčítava a odčítava čísla

v obore do 100 aj s prechodom cez základ 10, rieši úlohy na sčítanie, odčítanie a porovnávanie s použitím pojmov – viac, menej, rovnako.

2. Žiak dokáže podľa vzoru vybudovať z kociek stavbu, pozná pojmy – bod, priamka, úsečka, rysuje úsečku a priamku, určuje dĺžku úsečky, porovnáva ich, pozná jednotky dĺžky – cm, m, dm.

3. Žiak rieši priamo i nepriamo sformulované úlohy, zapisuje údaje do tabuliek a znázorňuje ich na diagrame.

Kľúčové kompetencie po 2. ročníku v USA: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 1 000, písomne i pamäťovo sčítava a odčítava

v danom obore, násobí a delí v obore do 100, zaokrúhľuje čísla na desiatky, porovnáva zlomky. Žiak pozná pojem – uhol a krivka, oboznamuje sa so sieťami telies, určuje obvod rovinných útvarov sčítaním veľkostí strán a obsah spočítaním štvorcov v útvare, žiak pracuje so súradnicovým grafom.

III. ročník - Tematické celky učebných osnov tretích ročníkov: ISCED 1 - násobenie a delenie N čísel, vytváranie N čísel v obore do 1 000, sčítanie a odčítanie N čísel v obore do 1 000, násobenie a delenie v obore násobilky, geometria, riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúce špecifické matematické myslenie. Klúčové kompetencie po 3. ročníku v SR: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 1 000, písomne i pamäťovo sčítava a odčítava

v danom obore, násobí a delí v obore násobilky, rieši slovné úlohy s použitím všetkých počtových operácií, porovnáva a zaokrúhľuje čísla na desiatky, vykonáva odhady, kontroluje správnosť výsledkov počtových výkonov.

2. Žiak vie popísať, pomenovať a narysovať základné rovinné útvary, rozlíšiť v realite. a v matematike istý a nemožný jav.

Kľúčové kompetencie po 3. ročníku v USA: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 99 999, vykonáva písomne, pamäťovo i na kalkulačke

počtové výkony, správne používa komutatívny a asociatívny zákon pre sčítanie a násobenie, zaokrúhľuje čísla na desiatky, rieši priamo i nepriamo sformulované slovné úlohy. Žiak pozná jednotky dĺžky, hmotnosti, objemu, teploty, času a vie ich premieňať.

IV. ročník - Tematické celky učebných osnov 4. ročníkov: ISCED 1 - násobenie a delenie v obore násobilky, sčítanie a odčítanie v obore do


129

10 000, geometria a meranie, riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúce špecifické matematické myslenie. Kľúčové kompetencie po 4. ročníku v SR: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 10 000 a vie ich využiť na riešenie problémov zo

života, počíta pamäťovo, písomne i na kalkulačke, využíva komutatívnosť a asociatívnosť sčítania a násobenia, vykonáva odhady, vytvára postupnosti z predmetov, rozoznáva stúpajúcu a klesajúcu postupnosť čísel, usporadúva údaje v tabuľke.

2. Žiak rozozná, pomenuje, vymodeluje a popíše priestorové geometrické útvary, pozná a vie narysovať rovinné útvary, modeluje súmerné útvary, pozná jednotky dĺžky a ich použitie uplatňuje v praktickom živote.

3. Žiak rozlíši istý a nemožný jav v realite, zaznamená počet udalostí, znázorni ich v grafoch a tvorí z nich závery, dokáže prisúdiť výrokom ich pravdivostnú hodnotu.

Kľúčové kompetencie po 4. ročníku v USA: 1. Žiak pozná N čísla v obore do 999 999, vie identifikovať základné rímske číslice,

pozná algoritmy písomného násobenia, delenia a delenia so zvyškom, žiak vie pomenovať a popísať priestorové a rovinné útvary, vie identifikovať priesečník, uhlopriečku, vedie nakresliť vodorovnú a zvislú čiaru, dokážu pretransformovať zlomok do tvaru desatinného čísla a opačne.

Záver

Po vzájomnej komparácii učebných osnov a Štátneho vzdelávacieho programu ISCED 1 – Primárne vzdelávanie, časť Matematika a práca s informáciami sme zistili, že po zavedení ŠVP sa zredukoval nie len počet hodín matematiky v týždni, ale výrazný rozdiel sa odzrkadlil v preberaných číselných oboroch. Obsah matematického učiva sa obohatil o štatistiku, kombinatoriku, pravdepodobnosť a logické dôvodnenie predpovedí z grafov a tabuliek, a tým sa priblížil ŠVP NCLB platnému v USA. Detailné porovnanie ŠVP ISCED 1 – Primárne vzdelávanie, časť Matematika a práca s informáciami a ŠVP NCLB bude realizované v blízkej budúcnosti.

Literatúra

1. SCHOLTZOVÁ, I.: Vybrané aspekty matematickej edukácie v primárnej škole na Slovensku a v zahraničí. Habilitačná práca. Prešov: PU v Prešove, Pedagogická fakulta, 2007.

2. http://www.statpedu.sk/ 3. http://en.wikipedia.org/wiki/No_Child_Left_Behind_Act 4. http://www.indianolaschools.org/site/files/1stt_grade_math_pacing_gu.pdf

Kontaktná adresa

Jana Laceková, Mgr. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 1, Prešov 08 116, Slovakia Telefón: +421 51 74 70 597 E-mail: [email protected]


130

JE ĽAHKÉ NÁJSŤ STRED ÚSEČKY?

Tibor MARCINEK

Abstrakt Príspevok ukazuje ako môže byť riešenie triviálnej geometrickej úlohy zásadne

ovplyvnené nástrojmi, ktoré má riešiteľ k dispozícii. Nástroje budeme simulovať makrami v prostredí dynamickej geometrie (Java aplety C.a.R.) a stručne prediskutujeme didaktické dôsledky priamej spätnej väzby, ktorú aplety poskytujú.

SO YOU THINK YOU CAN FIND THE MIDPOINT?

Abstract The contribution shows how tools available to a solver significantly influence the

solution of an elementary geometric construction. Tools will be represented by dynamic geometry (C.a.R. Java applets) macros and a discussion of some pedagogical ramifications of their feedback feature will be provided.

Úvod

Keď svojim študentom – elementaristom zadám úlohu nájsť stred danej (na papieri narysovanej) úsečky, mnohí bez veľkého zaváhania navrhnú a použijú tradičnú konštrukciu pravítkom a kružidlom pomocou dvoch oblúkov s rovnakým polomerom, o niečo väčším ako polovica dĺžky danej úsečky. Procedúra sa zdá byť natoľko známa a vyučovaná, že nikto sa ani nepozastaví nad tým, odkiaľ pochádza a prečo funguje. Táto izolovanosť procedurálneho poznatku od jeho myšlienky sa pekne potvrdí v situáciách, keď majú študenti vyriešiť tu istú, triviálnu úlohu pomocou iných nástrojov. A nemusia byť ani iné nástroje, stačí len trocha obmeniť funkciu klasického kružidla a pravítka (o webovom pravítku a kružidle pozri napr. Žilková, 2008). Alebo použiť tak elementárnu činnosť, akou je skladanie papiera, ktorá v mnohých prípadoch spôsobuje viac problémov, než tradičná procedúra.

Nástroje, ktoré máme k dispozícii pri riešení problému zásadným spôsobom tvarujú našu stratégiu riešenia, pričom vlastnosti nástrojov ovplyvňujú, aké vedomosti a skúsenosti sa pokúšame vyvolať z pamäti a aplikovať v novej situácii.

Nástroje z dôb pred dynamickou geometriou

Využitie nekonvenčných konštrukčných nástrojov v dobách pred dynamickou geometriou bolo obmedzené náročnosťou ich výroby. To samozrejme neznamená, že by im chýbala rôznorodosť, naopak, pri zapojení tvorivosti boli možnosti naozaj široké. Stred úsečky na papieri sa dá nájsť napríklad pomocou ceruzy a pravouhlého (všeobecného) trojuholníka z kartónu (na trojuholník môžeme kresliť, no nemôžeme ho strihať ani skladať) a schopnosť úlohu vyriešiť poukazuje na solídne geometrické vedomosti v konkrétnej oblasti, no najmä na schopnosť tieto poznatky aplikovať. Aj geometria na 1. stupni ZŠ pozná alternatívne spôsoby konštrukcií (hoci nie vždy


131

náležite využívané) – skladanie papiera alebo terénne práce. V prípade terénnych prác (o terénnych prácach pozri napríklad Marcinek, Partová, 2001) je tvorivosť obzvlášť ľahko využiteľná – našu úlohu o hľadaní stredu úsečky (napríklad miesta na zemi presne v strede medzi dvoma stĺpmi) budeme riešiť odlišne, keď budeme mať k dispozícii iba kolík na zatlčenie (bod) a špagát (kratší ako dĺžka úsečky) a inak, keď máme k dispozícii (iba) zrkadlo. Alebo keď úlohu budeme riešiť v prostredí, kde si môžeme znázorniť pomocné čiary (napríklad krieda na asfalte) a bez takejto možnosti, a podobne.

Mnohé alternatívne nástroje na geometrické konštrukcie nie sú iba exotickými vynálezmi; niektoré profesie ich aktívne využívajú. Skúsení tesári vedia, ako vyznačiť kruh s daným priemerom len pomocou uholníka, alebo ako rozdeliť kratšiu dosku na n častí rovnakej dĺžky bez potreby merania dĺžky dosky.

V dobách dynamickej geometrie

Na ich efektívne využitie vyššie spomenutých nástrojov v triede je potrebné mať dostatočný počet takýchto nástrojov, aby každý žiak mal príležitosť s nimi pracovať, čo vyžaduje podstatné nároky na učiteľov čas a zdroje. Dynamická geometria otvára úplne nové možnosti. Makro funkcia umožňuje vytvoriť nástroje „na mieru“, a tie sú okamžite k dispozícii študentom a žiakom. V tomto príspevku demonštrujeme 8 netradičných nástrojov pomocou tzv. Java apletov vytvorených v open source programe Reného Grothmana C.a.R. Využívame pritom jednu z najdôležitejších vlastností Java apletov: dajú sa ľahko spúšťať na všetkých platformách a poskytujú priamu spätnú väzbu – úspešné vyriešenie úlohy oznámi aplet osobitným oknom (Well Done! Dobrá práca!). Čitateľ má možnosť vyskúšať si všetky aplety na internetovej adrese http://www.marcinek.sk/java/midpoint ; tu iba stručne opíšeme niektoré nástroje a uvedieme pri nich naše skúsenosti.

Konštrukcia stredu úsečky 1: Pravítko a sklápacie kružidlo

Euklidov tretí postulát (v znení početných prameňov) hovorí, že je možné zostrojiť kružnicu s daným stredom a prechádzajúcu daným bodom. To ale znamená, že použitie kružidla tak, ako ho poznáme, nie je dovolené: môžeme síce narysovať kružnicu ak máme daný stred a bod, ktorým kružnica prechádza, no vo chvíli, keď kružidlo dvihneme z papiera, ho musíme sklopiť (ramená dať k sebe). Inými slovami, nemôžeme narysovať dve rôzne kružnice s tým istým polomerom len pomocou dvihnutia kružidla a jeho prenesenia na iné miesto. (Samozrejme, že Euklid neskôr dokázal, že z tohto postulátu vyplýva možnosť zostrojiť kružnicu s daným stredom a polomerom, takže bežné použitie kružidla je v skutočnosti prípustné, no postulát nám túto možnosť nedáva.)

Sklápaciemu kružidlu odpovedá v dynamickej geometrii nástroj „kružnica“ a konštrukcia 1 ponúka dva nástroje: (1) pravítko – priamka daná dvoma bodmi a (2) sklápacie kružidlo – kružnica daná stredom a bodom na nej. Odporúčame, aby si čitateľ úlohu vyskúšal (buď ako aplet alebo použitím kružidla s podmienkou sklápania).

Na prekvapenie táto subtílna zmena vo vlastnostiach nástroja (kružidla) badateľne mení úspešnosť riešenia úlohy medzi študentmi – elementaristami. Aj mnohí študenti,


132

ktorí ako prví navrhli tradičnú procedúru, nedokázali úlohu vyriešiť a vzdali sa po niekoľkých pokusoch.

Dôvod zlyhania je zrejmý: na rozdiel od tradičného kružidla, ktoré môžeme dvihnúť a preniesť na iné miesto bez zmeny polomeru, tu je nutné premyslieť si vopred, ako zabezpečiť zhodnosť oboch polomerov. A hoci je to veľmi jednoduché, väčšina neúspešných študentov kreslila dva náhodné oblúky (kružnice), ktorých polomery sa iba javili zhodné, až pokým sa nevzdali. Ich obrázky pripomínali „štandardný“ obrázok konštrukcie osi úsečky s oblúkmi s polomermi o čosi väčšími než je polovica dĺžky úsečky.

Konštrukcia stredu úsečky 2: Priamka s deviatimi bodmi

Predstavte si, že máte k dispozícii (1) špeciálne pravítko, ktorým viete narysovať priamku a na nej 9 bodov v rovnakých „rozostupoch“, pričom vzdialenosť medzi priľahlými bodmi si môžete zvoliť a (2) pravítko na kreslenie rovnobežiek. Vedeli by ste nájsť stred zadanej úsečky? Konštrukcia 2 simuluje práve tieto nástroje.

Metóda „triafanie“, pri ktorej sa študenti snažia pomocou pravítka „1“ umiestniť body priamky tak, že sa jeden javí v strede úsečky AB, nepomôže, lebo ide o odhad, nie konštrukciu. Úspešnosť riešenia značne závisí od načasovania: ak sa úloha zadá po tom, čo sa žiaci učili o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov, pravdepodobnosť, že niektorí študenti úlohu vyriešia, je väčšia a stáva sa aj, že ju vyriešia viacerými spôsobmi.

Nástroj na kreslenie priamky s deviatimi bodmi je flexibilnejší, než by sa zdalo. Je užitočné prediskutovať, ako sa dá využiť na rozdelenie úsečky na vopred zadaný počet zhodných úsečiek. Dá sa rozdeliť aj na 15 častí, keď priamka obsahuje iba 9 bodov?

Konštrukcia 3 obsahuje nástroj na (1) rysovanie úsečky a (2) posunutie. Riešenie spočíva na rovnakej geometrickej myšlienke (zhodnosť resp. podobnosť trojuholníkov).

Konštrukcia stredu úsečky 4: Rovnobežník

K dispozícii je nástroj na rysovanie (1) úsečky a (2) rovnobežníka. Nástroj „2“ narysuje rovnobežník po zadaní troch nekolineárnych bodov. Prvý a tretí zadaný bod v poradí tvoria uhlopriečku rovnobežníka. Odporúčame úlohu vyriešiť.

Čitateľ, ktorý sa pokúsil úlohy vyriešiť, si zrejme všimol, že konštrukcie 2, 3 a 4 spája tá istá geometrická myšlienka – zhodnosť respektíve podobnosť trojuholníkov. Takéto zoskupenie na prvý pohľad nesúvisiacich úloh okolo tej istej idey (strapec) dáva na jednej strane možnosť objaviť súvislosti medzi viacerými matematickými myšlienkami, ale aj možnosť pozrieť sa na jednu ideu z viacerých strán. Študenti pri hľadaní podobností a odlišností stratégií, ktoré použili na vyriešenie konštrukcií 2 až 4, sú schopní odpozorovať a vygenerovať naozaj hodnotné poznatky (vety). Príkladom takýchto myšlienok po úprave v diskusii sú uhlopriečky rovnobežníka sa rozpoľujú alebo obraz a vzor priamky v posunutí je priamka s ňou rovnobežná a pod.

Toto zoskupenie problémov okolo príbuznej myšlienky poukazuje na pridanú hodnotu týchto aktivít: dôležité nie je vyriešenie izolovaného problému (hoc aj odmenené pochvalou „Dobrá práca!“) ale syntéza myšlienok, matematická konverzácia a komunikácia, do ktorej študenti vstupujú pri porovnávaní viacerých úspešných riešení.

Pozrime sa ešte na jedno zoskupenie problémov okolo tej istej úlohy (zostrojiť stred úsečky) a myšlienky (vlastnosti ťažníc a ťažiska v trojuholníku).


133

Konštrukcia stredu úsečky 5: Bod „v polovičnej vzdialenosti“

Záhadný názov skrýva veľmi jednoduchý nástroj: užívateľ zadá dva body X, Y

a aplet umiestni tretí bod Z tak, že YZXYaXYZXYZ 2, =∉∈ . Voľne povedané, bod

Z je umiestnený „za“ bodom Y v polovičnej vzdialenosti |XY| od Y. Okrem neho je k dispozícii aj klasické pravítko na rysovanie priamky.

Táto konštrukcia bola študentmi ohodnotená ako najťažšia v tomto strapci a to aj v prípade, keď bola zaradená v čase preberania relevantnej témy (Trojuholníky a ich vlastnosti). Väčšina neúspešných študentov sa sústredila na vlastnosť „v polovičnej vzdialenosti“ a snažila sa dosiahnuť stred úsečky AB postupným generovaním bodov na priamke AB. Viacerí študenti úlohu vyriešili, ak sa k nej vrátili po vypracovaní konštrukcie 6 a 7, v ktorých je vzťah k trojuholníku explicitný.

Aj tu je hodnota úloh 5-7 ako celku väčšia než suma hodnôt jednotlivých úloh. Snaha nájsť spojitosti a odlišnosti v riešeniach úloh strapca vedie ku generovaniu hodnotných poznatkov alebo ich hlbšiemu pochopeniu. Študenti znovuobjavovali známe tvrdenia (alebo ich ekvivalenty), ako napríklad ťažnice sa pretínajú v jednom bode alebo ťažisko delí ťažnicu v pomere 2:1 a podobne.

Konštrukcia úsečky 8: (Len) Sklápacie kružidlo

Vie čitateľ nájsť stred danej úsečky iba pomocou sklápacieho kružidla? Úloha je ilustráciou tzv. Mascheroniho konštrukcie – Lorenzo Mascheroni (1750-1800) dokázal, že každá konštrukcia robená kružidlom a pravítkom sa dá urobiť iba kružidlom.

Výhodou netypických nástrojov z predošlých úloh bolo, že analýzou vlastností nástroja môže riešiteľ získať náznak stratégie riešenia. Tu však máme bežný nástroj, ktorého vlastnosti nám veľa neprezradia.

Úloha je zaujímavá aj z iného hľadiska. Hoci matematické idey konštrukcie nie sú zďaleka elementárne, je napodiv celkom pravdepodobné, že úlohu vyrieši žiak základnej školy! K dispozícii je totiž jediný nástroj (výber nástroja teda odpadá) a stred úsečky je možné nájsť po 6 krokoch (po nakreslení 6 kružníc). Preto stratégia pokus-omyl je v tejto situácii efektívna (ak nie najefektívnejšia) a žiaci, ktorí úlohu vyriešia a dostanú pochvalu „Dobrá práca“ sú na svoj úspech patrične pyšní.

Úskalia priamej spätnej väzby

Spätná väzba, ktorú Java aplety poskytujú, je veľmi pohodlná a užitočná vlastnosť, no z pohľadu učiteľa a vzdelávania sa môže ukázať značne problematická. Ide najmä o situácie, kde pochvala „Dobrá práca!“ je vnímaná ako konečný cieľ a signál, že úloha je vyriešená. Získať pochvalu od počítača stojí často nemalú námahu, čo zvyšuje autoritu počítača. Bohužiaľ, študenti vnímajú túto autoritu ako náhradu skutočnej matematickej argumentácie: Prečo by som mal(a) špekulovať, či a prečo je moje riešenie správne, keď mi počítač povedal, že je správne?! V zadaniach s takouto spätnou väzbou motivácia overiť, argumentovať, ale i diskutovať rapídne klesá.

Na ilustráciu extrémneho prípadu si vezmime príklad žiaka základnej školy, ktorý vyriešil Mascheroniho konštrukciu s pochvalou Dobrá práca! od počítača. Čo tento jeho úspech hovorí o tom, čo sa naučil, objavil alebo pochopil? Je práca ktorú predviedol naozaj dobrá a kvalitná z hľadiska vzdelávania?


134

Predošlé odseky samozrejme neznamenajú, že Java aplety so spätnou väzbou sú nežiaduce, alebo dokonca škodlivé. Sú to mimoriadne silné nástroje v prípade, že sa použijú vhodne a premyslene. Každý tvorca takýchto zadaní a apletov pre vzdelávacie účely musí mať istotu, že riešenie jeho zadania generuje viac, než len motiváciu dopracovať sa sekvenciou istých krokov k pochvale od počítača.

Je niekoľko spôsobov ako zabezpečiť, aby autorita počítača nezatienila tú učiteľovu. Azda najjednoduchší (hoci nie vždy úspešný) je od začiatku práce s apletmi interpretovať slová Dobrá práca! inak, a to v zmysle ocenenia snahy a pokroku a nie splnenia úlohy. Príkladom interpretácie, ktorá sa nám osvedčila je Výborný pokrok! Teraz vyskúšaj, či by si vedel(a) svojmu susedovi vysvetliť, prečo tvoja konštrukcia funguje tak, aby ju sám vedel previesť. Druhý spôsob, ktorý sme v príspevku spomínali, je v znížení významu izolovanej konštrukcie (a teda aj hlášky Dobrá práca!) a presunutí dôrazu na diskusiu a syntézu myšlienok po vyriešení série príbuzných konštrukcií.

Na záver všeobecnejšia poznámka. V prípade matematiky na prvom stupni základnej školy je (z vývojového hľadiska) potrebné vyvážiť prácu s materiálnymi prostriedkami a prácu s počítačom, aby mali žiaci dostatok rôznorodých podnetov a získavali širokú paletu zručností neobmedzovanú iba na prácu s myšou a klávesnicou. Deň, keď dynamická geometria úplne nahradí skutočné skladanie papiera, prácu so špagátom a kolíkmi na školskom dvore, ale aj prácu s (v minulosti možno až príliš zdôrazňovaným) pravítkom a kružidlom, bude posledným dňom zdravého vyučovania geometrie na prvom stupni ZŠ a vzdelávania učiteľov – elementaristov.

Literatúra

1. KOPKA, J.: Hrozny problému ve školské matematice. UJEP Ústí nad Labem 1999, ISBN. 80-7044-247-6.

2. MARCINEK, T., PARTOVÁ, E.: Geometrické práce v teréne.In: Cesty demokracie vo výchove a vzdelávaní, Bratislava, Iuventa, 2001, s.175-179 ISBN 80-88893-63-1

3. ŽILKOVÁ, K.: Problém skladania modelu papierového pravidelného päťuholníka. In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky. Číslo 4/2008, ročník 37, str. 9 - 16. ISSN 1335-4981.

4. ŽILKOVÁ, K.: Virtuálne pravítko a kružidlo na webových stránkach. In: Acta Mathematica XI. Nitra: Univerzita Konštantína Filozofa, 2008, str. 255-59. ISBN 978-80-8094-396-7.

Kontaktná adresa

Tibor Marcinek, PhD. Pearce Hall 117 Department of Mathematics, College of Science and Technology Central Michigan University Mount Pleasant, MI, USA Telefón: +1 (989) 774 3563 E-mail: [email protected]


135

ROZUMIENIE TRE ŚCI ZADANIA TEKSTOWEGO A JEGO ROZWI ĄZANIE W PRACACH STUDENTÓW PEDAGOGIKI

Barbara NAWOLSKA

Abstrakt Artykuł podejmuje problematykę umiejętności rozwiązywania zadań tekstowych

przez studentów pedagogiki wczesnoszkolnej przygotowujących się do zawodu nauczyciela kształcenia zintegrowanego. Jest próbą analizy wpływu rozumienia i interpretacji treści zadania na jego rozwiązanie. Artykuł stanowi równocześnie próbę odpowiedzi na pytanie: Jak kształcić przyszłych nauczycieli klas młodszych, aby ich poczynania w przyszłości były najbardziej efektywne i przyczyniały się do autentycznej aktywności matematycznej uczniów.

THE RELATION BETWEEN UNDERSTANDING AND THE SOLVING OF TEXT EXERCISES IN THE WORKS OF PEDAGOGICS STUDENTS.

Abstract This article discusses the ability to solve text exercises by pedagogics students who

are preparing to teach in classes with young pupils. The author attempts to analyze how the understanding and interpretation of the text in text exercises affect their solutions. Simultaneously, this article looks to answer the question: how to teach students, the future teachers of young pupils, to be good at their work and to contribute to the development of their pupils’ mathematical activity.

Jednym z celów edukacji matematycznej jest rozwijanie umiejętności logicznego

myślenia, rozwijanie postaw twórczych i myślenia dywergencyjnego. Coraz większy nacisk kładzie się ponadto na krytyczną analizę postawionych problemów. Cele te moŜna realizować poprzez rozwiązywanie zadań, szczególnie zadań nietypowych z wieloma rozwiązaniami. Nauczyciele a takŜe studenci pedagogiki, jako przyszli nauczyciele, powinni umieć rozwiązywać takie zadania by móc je wykorzystywać na zajęciach z dziećmi. WaŜne jest nie tylko, aby umieli je jakoś rozwiązać, lecz równieŜ, by to rozwiązanie było dostępne uczniom klas młodszych. W rozwiązywaniu zadań kluczowym momentem jest dobre zrozumienie zadania i dobre jego zinterpretowanie. Tu niezbędny jest krytyczny stosunek do treści zadania i problemów w nim przedstawionych. JeŜeli treść zadania jest wieloznaczna, naleŜy ją wielostronnie zanalizować i w rozwiązaniu uwzględnić wszystkie moŜliwości. Sama umiejętność czytania ze zrozumieniem nie jest całkowicie wystarczająca, gdyŜ ponadto przy rozwiązywaniu zadania tekstowego wymagana jest umiejętność matematyzowania sytuacji w nim przedstawionych, a to stanowi największą trudność dla większości rozwiązujących (śądło 2009: 1).

W artykule prezentowane są wyniki badań umiejętności studentów pedagogiki wczesnoszkolnej - przyszłych nauczycieli - `w zakresie rozwiązywania pewnego


136

nietypowego zadania. Badania zostały przeprowadzone w styczniu 2009 roku wśród 106 studentów III roku kierunku pedagogika przedszkolna i wczesnoszkolna w Uniwersytecie Pedagogicznym w Krakowie. Prowadzono je na zajęciach z metodyki edukacji matematycznej dzieci.

KaŜda z badanych osób otrzymała do pisemnego rozwiązania następujące zadanie: Księgarnia zamówiła w hurtowni 90 jednakowych ksiąŜek. KsiąŜki przesłano

pocztą kurierską w 2 duŜych i 5 małych pudełkach. W kaŜdym małym pudełku było po tyle samo ksiąŜek i w kaŜdym duŜym było po tyle samo ksiąŜek. W duŜych pudłach było 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w małych. Ile ksiąŜek było w małym pudełku, a ile w duŜym pudełku?

Zadanie to jest wynikiem mojej wspólnej pracy z Joanną śądło (2009). Zostało ono

celowo tak sformułowane, by zwrot w duŜych pudłach było 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w małych moŜna było róŜnie rozumieć. Znaczenie wieloznacznie narzuca dwie interpretacje:

1. w jednym duŜym pudle jest 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w jednym małym; 2. we wszystkich duŜych jest 2 razy więcej ksiąŜek niŜ we wszystkich małych. Przy uwzględnieniu obu interpretacji zadanie ma dwa róŜne rozwiązania. NaleŜało

podać wszystkie moŜliwe rozumowania uwzględniające wspomniane interpretacje (por. śądło 2009).

W tabeli przedstawiono zbiorcze zestawienie wyników badań studentów: Sposób rozwiązania Liczba

studentów

Razem

podaje 2 rozwiązania 2 uwzględnione obie interpretacje

skreśla jedno rozwiązanie i podaje tylko drugą odp. 5 7

pojęciowo jako podział 29 pojęciowo jako mieszczenie 2* w pamięci 4 równanie 11

uwzględniona tylko pierwsza interpretacja

poprawnie

pojęciowo lecz brak odpowiedzi 1

47

pojęciowo jako podział 36 pojęciowo jako mieszczenie 1 w pamięci 3

poprawnie

równanie 4

44

zmienia dane 1

uwzględniona tylko druga interpretacja

błędnie źle kończy 2

3

47

inne błędne rozwiązania 4 brak rozwiązania 1

5

razem 106 106 * - oprócz rozwiązania za pomocą dzielenia jako mieszczenia obie osoby przedstawiły równieŜ rozwiązanie z dzieleniem jako podziałem na równe części Zaledwie dwóch studentów dostrzegło niejednoznaczność sformułowania zadania i

świadomie uwzględniło w rozwiązaniu obie interpretacje. Jeden po rozwiązaniu w 1)


137

interpretacji (zob. rys. 1.) zapisał Czy w duŜych pudłach razem było 2 razy więcej ksiąŜek, czy w kaŜdym duŜym 2 razy więcej niŜ w małym? Następnie przedstawił rozwiązanie w 2) interpretacji (zob. rys. 2.).

rys. 1

rys. 2

Drugi z studentów, po rozwiązaniu zadania w interpretacji 1) napisał: Opcja 1: 1 duŜe to 2 małe. To moja pierwsza myśl, chyba nieco pochopna. Następnie przedstawił drugie rozwiązanie, w którym pojawiła się Opcja 2: duŜe to 2 komplety małych. W tych wypowiedziach widać niepewność, mimo Ŝe przytoczone zostały oba rozwiązania. Rozumienie treści zadania i związany z tym sposób jego rozwiązania wyraźnie kłóci się tutaj z doświadczeniami szkolnymi, w których zadanie zwykle miało tylko jedno rozwiązanie.

Pięciu innych studentów równieŜ dostrzegło niejednoznaczność sformułowania i przedstawiło oba rozwiązania, lecz z jednego z nich (pierwszego) zrezygnowało, pozostawiając tylko drugie. Oni przestraszyli się swego pomysłu dwóch róŜnych rozwiązań i woleli się z jednego wycofać. A szkoda!

Większość studentów (91 osób) zrozumiała zadanie i poradziła sobie z jego rozwiązaniem, jednakŜe w rozwiązaniu uwzględniła tylko jedną ze wspomnianych interpretacji. Prawie połowa rozwiązujących (47 osób) uwzględniła 1) interpretację i tyle samo studentów (47 osób) uwzględniło interpretację 2) z tym, Ŝe 3 z nich zadania nie skończyło poprawnie.

Zadania wcale nie rozwiązało 8 studentów, co stanowi 7,5 % wszystkich rozwiązujących. Biorąc pod uwagę fakt, Ŝe badani studenci zakończyli juŜ kurs podstaw edukacji matematycznej i zdali egzamin z tego przedmiotu, moŜna by oczekiwać, Ŝe wszyscy doskonale poradzą sobie z takim zadaniem. Rzeczywistość okazała się inna.

Ponadto aŜ 15 studentów (11 w interpretacji 1) i 4 w interpretacji2)) zastosowało w rozwiązaniu równanie lub nawet układ równań, czyli narzędzia niedostępne uczniom klas młodszych. Ci studenci najprawdopodobniej nie potrafili inaczej rozwiązać tego zadania, a więc moŜna zaliczyć ich do osób, które z zadaniem sobie nie poradziły.


138

7 osób (4 w interpretacji 1) i 3 w interpretacji 2)) nie przedstawiło rozumowania prowadzącego do odpowiedzi, a jedynie przedstawiło sam rezultat „jakiegoś rozumowania” w postaci rysunku paczek z ksiąŜkami i słownej odpowiedzi. Być moŜe taką odpowiedź odgadli lub znaleźli metodą stawiania kolejnych hipotez i ich weryfikacji (metodą prób i błędów), ale całą procedurę poszukiwania odpowiedzi przeprowadzili w pamięci.

Poprawne rozwiązania najczęściej znajdowano, korzystając z rozumienia zwrotu „2 razy więcej” i odpowiedniej symulacji rysunkowej, która bezpośrednio prowadziła do rozwiązania zadania.

W interpretacji 1 ) prezentowano rysunki, na których paczki były przedstawiane bądź jako prostokąty: małe paczki - małe prostokąty, duŜe paczki - większe prostokąty (rys. 3.), bądź jako odcinki: pionowe (rys.4.) lub poziome odpowiedniej długości.

ZauwaŜmy, Ŝe w kaŜdej z prezentowanych prac w pewien umowny sposób starano

się przedstawić to, Ŝe w jednym duŜym pudełku mieści się 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w jednym małym, a zatem jedno duŜe pudełko to „jakby 2 małe”. Zamieniając (rozmieniając) w ten sposób duŜe pudła na małe, mamy zamiast 2 duŜych 4 małe, co daje łącznie z 5 małymi 9 pudełek małych, mieszczących po tyle samo ksiąŜek. To pozwala zauwaŜyć, Ŝe liczbę 90 ksiąŜek naleŜy rozdzielić na 9 równych części (mamy tu dzielenie jako podział). W ten sposób w kaŜdej takiej części – w kaŜdym małym pudełku jest po 10 ksiąŜek, a w duŜych jest 2 razy więcej, czyli po 20 ksiąŜek.

Dwie osoby przedstawiły rozwiązanie za pomocą rozmieszczania ksiąŜek w małych pudełkach – po jednej ksiąŜce do kaŜdego małego – i w duŜych pudełkach – po 2 ksiąŜki do kaŜdego duŜego (zob. rys. 5). W ten sposób w jednym takim rozdaniu rozmieszczały 9 ksiąŜek. Wszystkich 90 ksiąŜek starczy na 10 rozdań, bo 9 mieści się 10 razy w 90, i 10 razy po 1 ksiąŜce włoŜono do kaŜdego małego pudełka oraz 10 razy po 2 ksiąŜki włoŜono do kaŜdego duŜego pudełka.


139

rys. 5

W interpretacji 2) w kaŜdej z prezentowanych prac starano się przedstawić w

sposób umowny fakt, Ŝe w obu pudłach duŜych jest 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w pięciu pudłach małych, dlatego na pudła duŜe przypadają dwie takie części ksiąŜek, jak na pudła małe, co daje razem 3 duŜe części. Ten fakt wykorzystywała część rozwiązujących i wykonywała w dalszej części dzielenie 90 30 = 3 ׃, co pozwalało na ustalenie liczby ksiąŜek w jednej takiej części (w jednym pudle duŜym), a następnie, dzieląc 30 6 = 5 ׃, ustalała, ile ksiąŜek jest w jednym małym pudełku (zob. rys. 6.).

rys. 6

Inaczej postępowała druga część rozwiązujących. ZauwaŜali oni, Ŝe w jednym duŜym pudle mieści się tyle ksiąŜek, co w 5 małych. Zamieniając więc duŜe pudła na małe, mieli aŜ 15 małych. Dzielenie (90 6 = 15 ׃) pozwalało ustalić liczbę ksiąŜek w jednym małym pudełku, w duŜym było zaś tyle, ile w 5 małych, a więc 5 · 6 = 30 jest szukaną liczbą ksiąŜek w duŜym pudle (zob. rys. 7.).


140

rys. 7

Tylko jedna osoba rozwiązała to zadanie, dokonując rozmieszczenia ksiąŜek po 1 do kaŜdego małego pudełka, czyli łącznie 5 ksiąŜek do małych pudeł. W duŜych ma być 2 razy więcej – naleŜy więc rozmieścić w nich 10 ksiąŜek (po 5 w kaŜdym duŜym pudle).

rys. 8

W ten sposób w jednym rozdaniu rozłoŜono 15 ksiąŜek. Wszystkich 90 ksiąŜek starczy na 6 takich rozdań (bo 15 mieści się 6 razy w 90). Ten sposób rozwiązania prezentuje praca z rysunku 8.

Zebrany materiał badawczy pozwala zauwaŜyć, Ŝe studenci posiadają umiejętności w zakresie rozwiązywania zadań i wykazują się znacznymi kompetencjami metodycznymi. Ich propozycje rozwiązań nadają się do bezpośredniego wykorzystania w pracy z dziećmi młodszymi (są to propozycje symulacyjnego rozwiązania). Słabszą stroną badanych jest umiejętność wielostronnego analizowania problemów. Zaledwie 7 badanych osób zauwaŜyło moŜliwość dwojakiej interpretacji treści zadania, rozwiązując zadanie dwoma sposobami, lecz 5 z nich wycofało się z jednego z rozwiązań. Świadczyć to moŜe o braku świadomości, Ŝe moŜna zastosować wiele rozwiązań, a nie dąŜyć do wskazania tylko jednego.

W tym zadaniu dostrzeŜenie wielości rozwiązań jest tym trudniejsze, Ŝe budowa zadania nie sugeruje w Ŝaden sposób róŜnych moŜliwości. Jedynie niejednoznaczność sformułowania i krytyczny do niego stosunek moŜe doprowadzić rozwiązującego do


141

refleksji i odkrycia dwóch rozwiązań (jak to było zaprezentowane w niektórych pracach).

W kształceniu nauczycieli naleŜy zatem stwarzać jak najwięcej okazji do takich refleksji i poszukiwań. Dzięki temu nauczyciel moŜe stać się osobą czujną, krytyczną i refleksyjną, a jego uczniowie staną się aktywni, otwarci i pomysłowi.

Literatura

1. NAWOLSKA B., śĄDŁO J.: Interpretacja treści zadania tekstowego a jego rozwiązanie w pracach uczniów i studentów. Matematika v škole dnes a zajtra, Zbornik 8. ročnika konferencje s medzinarodnou účast’ou, Ružomberok, 2007. ISBN 978-80-8084-262-8.

2. śĄDŁO J.: Rozumienie treści zadania tekstowego a jego rozwiązanie w pracach uczniów. Tekst w niniejszym zbiorze artykułów. Banska Bystrica, 2009.

Adres

Barbara Nawolska, doktor Instytut PPiS, Uniwersytet Pedagogiczny, 30-060 Kraków, ul. Ingardena 4 E-mail: [email protected]


142

SOUTĚŽ MATEMATICKÝ KLOKAN – ZDROJ ZAJÍMAVÝCH INSPIRACÍ NEJEN PRO UČITELE PRIMÁRNÍ ŠKOLY

Bohumil NOVÁK

Abstrakt Patnáctileté zkušenosti konání soutěže v ČR poskytují příležitost k zamyšlení nad

rozmanitými možnostmi, které soutěž a soutěžní úlohy nabízejí nejen učitelům na primárním stupni vzdělávání, ale také vysokoškolským učitelům v didakticky zaměřených předmětech vysokoškolské přípravy budoucích učitelů. V příspěvku navazujeme na vystoupení na předchozích našich konferencích. Zaměříme se na kategorii Klokánek, určenou žákům 1. stupně ZŠ: charakteristiku soutěžních testů, jejich některé parametry a dosažené výsledky žáků při řešení soutěžních úloh.

MATHEMATICAL KANGAROO – A SOURCE OF INTERESTING INSPIRATION NOT ONLY FOR PRIMARY SCHOOL TEACHERS

Abstract Mathematical Kangaroo is celebrating its 15th anniversary in the Czech Republic in

2009. This is an opportunity to pause on potential, which the competition and its tasks offer to primary school teachers as well as university teachers in didactically oriented subjects of prospective teachers study programmes. The contribution expands ideas discussed in our previous conferences. It focuses on the following aspects of the lower elementary school categorie Écolier: characteristics of tests and their statistical parameters and students´ results.

Úvod

V březnu 2009 se v České republice konal již 15. ročník soutěže Matematický klokan. V podmínkách českého školství i v zahraničí je soutěž považována také za vhodný instrument propagace matematiky v očích rodičů i širší veřejnosti, popularizace matematiky jako školního předmětu. V našem příspěvku navážeme na vystoupení na předchozích našich konferencích a nabídneme několik poznatků a zkušeností z minulých ročníků soutěže se zaměřením na kategorii Klokánek, určenou žákům 1. stupně ZŠ. Vycházíme z několika dílčích výzkumů, realizovaných v letech 2004 - 2008 a zaměříme se na • charakteristiku soutěžních testů, jejich parametry, a výsledky dosažené žáky, • úspěšnost řešení jednotlivých úloh.

Několik pohledů na výsledky žáků v soutěžním testu

Data, která můžeme získat při analýze a následné interpretaci řešení učebních úloh v didaktických testech, se mohou stát zdrojem zajímavých a užitečných informací pro učitele i žáky. Obecně bývají považována za jednu z významných procedur získávání


143

informací pro hodnocení (Chráska, 2003, Gavora, 1996). Poskytují cenné informace použitelné k co možná nejpřesnějšímu, objektivnímu a komplexnímu zjišťování stupně osvojených vědomostí a dovedností. Umožňují postihování příčin zjištěného stavu (diagnostický aspekt) a odhadování dalšího vývoje (někdy se v této souvislosti uvádí funkce prognostická). Poskytují zpětnou vazbu hodnocenému žákovi i hodnotiteli (učiteli), příp. rodičům, školské správě, ale mají také svou motivační (formativní) funkci – především pozitivní stránka hodnocení ve smyslu potřeby žáka zažít úspěch.

V dalším se budeme zabývat soutěžním testem, řešeným v kategorii Klokánek v roce 2004. Připomeňme, že test obsahuje 24 úloh - správným řešením prvních 8 úloh může řešitel získat po 3 bodech, 8 úloh je čtyřbodových a 8 úloh pětibodových. Za neřešenou úlohu (bez odpovědi) žádný bod nezíská ani neztratí, nesprávná odpověď kterékoli úlohy znamená penalizaci 1 bodem.

Celostátní statistika disponuje následujícími údaji: celkový počet řešitelů: 78 275, průměrný bodový zisk 43,96, modus 38, medián 42, směrodatná odchylka 17,7387, rozptyl 314,6621.

Údaje jsou převzaty ze sborníku (Molnár, aj. 2004). Graf 1: Bodový zisk všech účastníků v ČR:

Klokánek 2004

-500

0

500

1000

1500

2000

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120

Bodový zisk všech řešitelů v České republice se pohyboval od minimální hodnoty 0

bodů (53 účastníků) po maximum 120 bodů (dosáhl 21 účastník). K další analýze zčásti využijeme proceduru, prezentovanou V. Burjanem (2003).

Používá jej slovenská společnost EXAM®. Uvádíme ji proto, že je bezprostředně využitelná ve školské praxi (analýza je primárně zaměřena na žáka a jeho výkon, menší akcent je položen na test jako takový) a je možné ji snadno aplikovat na výsledky žáků v soutěži Matematický klokan na úrovni třídy, školy nebo okresu.

Postup analýzy lze v Burjanově koncepci vyjádřit v několika krocích (fázích). Povšimneme si pouze některých z nich: výpočet a analýza hrubých skóre jednotlivých žáků, analýza „nedosaženosti“ jednotlivých úloh žáky, analýza neřešenosti jednotlivých úloh žáky, analýza obtížnosti jednotlivých úloh v testu.

Našeho výzkumu (podrobněji Kubátová, 2005, Novák, 2008), který byl realizován

na 12 školách v olomouckém regionu, se zúčastnilo 477 žáků, z toho 181 (37,9%) žáků 4. ročníku, 256 (62,1%) žáků 5. ročníku, 246 (51,6%) chlapců, 231 (48,4%) dívek. S prospěchem výborným bylo 172 (47%) žáků, chvalitebným 126 (34,4%) žáků, dobrým 54 (14,8%) žáků, dostatečným 14 (3,8%) žáků.


144

Zajímalo nás • jaké jsou výsledky žáků vyjádřené absolutním bodovým ziskem, • zda učební úlohy zadané v soutěžním testu, jejich obsah, obtížnost, způsob

prezentace a pořadí v testu (zařazení do skupiny tříbodových, čtyřbodových a pětibodových úloh), významně ovlivňují výsledky účastníků soutěže, Bodový zisk řešitelů (hrubé skóre) v našem souboru se pohyboval od minimální

hodnoty 4 bodů po maximum 114 bodů. Průměrný bodový zisk 43,82 bodů, modus 44, medián 42, směrodatná odchylka 17,7411, rozptyl 314,7465.

Identifikace nedosažených úloh (jako zvláštního případu úloh neřešených - nedosažené úlohy jsou podmnožinou úloh neřešených) vychází z hypotézy, že nedosáhnutou úlohu žák vůbec nečetl, v testu k ní vůbec nedospěl, „nedosáhl“ na ni v pořadí jednotlivých úloh. Analýza nedosaženosti umožňuje posoudit rychlost (či spíše pomalost) jednotlivých žáků při vypracování testu, posoudit časovou náročnost testu jako celku (kloníme se k názoru, že alespoň 80% žáků by mělo dosáhnout alespoň 80% úloh) a přesněji určit obtížnost jednotlivých úloh.

Kvantitativní vyjádření „skutečně neřešených“ úloh (jako rozdílu počtu všech neřešených a nedosáhnutých) nabízí možnost dalšího zpřesnění odhadu obtížnosti jednotlivých úloh. Důvodem neřešení úlohy se mohla stát jedna z následujících skutečností: žákům nesrozumitelná nebo nejasná formulace či způsobu prezentace úlohy (je vhodné se podívat, kteří žáci nedali žádnou odpověď, jsou-li to žáci „slabí“ nebo „dobří“?), způsob prezentace úlohy nebo žáci neuměli úlohu vyřešit a „neriskovali“ odhad, „hádání“ odpovědi z nabídnutých alternativ. Vysoká neřešenost naznačuje malou míru hádání, tipování výsledku.

V našem souboru jsme identifikovali celkem 6 úloh, které neřešilo více než 20% žáků – z toho 3 úlohy čtyřbodové a 3 úlohy pětibodové.

Graf 2: Počet neřešených úloh v soutěžním testu:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

%

úlohy za 3 body úlohy za 4 body úlohy za 5 bodů Základem pro stanovení úspěšnosti řešení (obtížnosti úloh) bylo určení četnosti

správných odpovědí pro jednotlivé úlohy.


145

Stanovení obtížnosti jednotlivých úloh v testu informuje o skupině testovaných žáků (co konkrétně umějí a co ne) i o testu samotném. V. Burjan vyjadřuje v této souvislosti názor, že vhodnější je použít termín „lehkost“ úlohy (facility) než „obtížnost“ (difficulty). Při binárním hodnocení se obtížnost úlohy stanoví jako podíl správných odpovědí a počtu všech žáků, kteří úlohu řešili. Při složitějším, vícebodovém hodnocení (v případě našeho soutěžního testu) se obtížnost stanoví jako podíl počtu bodů, které získali všichni žáci za příslušnou úlohu, a maximálního počtu bodů, který mohli získat. V obou případech se považuje za problém případné zohlednění nedosaženosti či neřešenosti úlohy. Ke stanovení obtížnosti úloh v souboru bylo použito výpočtu indexu obtížnosti P - jako procenta žáků, kteří danou úlohu zodpověděli

správně: (P = n

ns . 100).

Graf 3: Úspěšnost řešení úloh v testu podle bodové hodnoty úlohy:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

%

úlohy za 3 body úlohy za 4 body úlohy za 5 bodů Úspěšnost řešení se pohybovala ve velmi širokém rozpětí 2,9% – 79,2%. Pokud

přijmeme obvyklé požadavky na obtížnost úloh v testu, můžeme za „startovací“ úlohy, jejichž zařazení je motivováno spíše psychologickými důvody, považovat tříbodové úlohy č. 2 a 3. Tuto roli neplní ovšem úloha č. 1 s podstatně nižší úspěšností řešení.

Obvykle se dále požaduje, aby spektrum obtížnosti bylo široké, ale v mezích 30 – 70%. Uvedený požadavek v našem testu splňuje pouze 10 úloh, přitom 11 úloh má index obtížnosti nižší než 30%, pouze 3 úlohy (z toho 2 „startovací“) vyšší než 70%.

Z dalších dílčích analýz s možným dopadem do školské praxe se uvádí porovnání průměrné úspěšnosti podle různých sledovaných hledisek, například jednotlivých tříd nebo škol, podle typu škol (základní škola, gymnázium a další), podle pohlaví žáků, podle školní klasifikace v matematice nebo průměru známek ve všech předmětech a další. Uvedená data umožňují testování statistických hypotéz a jejich pedagogickou interpretaci.


146

K úspěšnosti řešení jednotlivých úloh

Všimneme si úspěšnosti řešení jednotlivých úloh v našem souboru vzhledem k následujícím znakům: • matematickému obsahu úlohy a tématu učiva matematiky primární školy, • jazykovému vyjádření zadání úlohy (rozlišení úloh „čistě matematických“ a

kontextových). Posouzení úspěšnosti řešení jednotlivých soutěžních úloh vzhledem k jejich

matematickému obsahu či tématu učiva umožňuje učinit pokus o stanovení nedostatků v matematických vědomostech a dovednostech žáků, které se v testu projevily. Uvědomujeme si ovšem, že naše zjištění mají vzhledem k zaměření našeho výzkumu pouze omezenou platnost a nelze z nich vyvozovat kategorické soudy. Přesnější analýza problematiky by si vyžádala nový, jinak koncipovaný výzkum. Tabulka 1: Úspěšnost řešení soutěžních úloh vzhledem k jejich matematickému obsahu:

Pořadí podle úspěšnosti řešení

Číslo úlohy v testu

Index obtížnosti úlohy

Matematický obsah úlohy (tematický celek, „atom učiva“)

1. 2 79,2 Sčítání přirozených čísel 2. 3 70,9 Zápis přirozeného čísla, pojmy kruh,

trojúhelník, obdélník 3. 13 70,2 Užití představivosti v rovině 4. 1 57,0 Odčítání přirozených čísel 5. 6 55,8 Sčítání a odčítání přirozených čísel 6. 17 51,5 Sčítání a odčítání přirozených čísel,

propedeutika lineární rovnice 7. 18 48,0 Logická úloha typu „zebra“ 8. 15 43,0 Síť krychle, užití prostorové představivosti 9. 4 37,1 Logická úloha na postřeh, vhled 10. 22 36,7 Užití prostorové představivosti 11. 11 33,5 Názorná představa zlomku 12. 5 32,9 Úsečka, délka úsečky 13. 9 31,2 Převody jednotek času 14. 10 27,5 Propedeutika lineární rovnice, jednotky

hmotnosti 15. 16 26,8 Logická úloha, převody jednotek času 16. 8 24,7 Logická úloha, porovnávání čísel, číselná řada 17. 12 24,5 Logická úloha na postřeh 18. 23 17,8 Logická úloha typu „zebra“ 19. 21 13,6 Početní výkony s přirozenými čísly,

propedeutika lineární rovnice 20. – 21. 20 13,6 Užití prostorové představivosti 20. – 21. 24 13,6 Užití představivosti v rovině

22. 7 8,0 Užití představivosti v rovině, význam termínu polovina

23. 19 6,3 Dekadická soustava 24. 14 2,9 Logická úloha na postřeh, číselná řada


147

S úspěšností vyšší než 50% bylo řešeno pouze 6 úloh – z nich je 5 aritmetických, vyžadujících základní počtářské dovednosti v oboru přirozených čísel (úlohy číslo 1, 2, 3, 6, 17). Důraz školské matematiky na osvojení „počítání“ ve smyslu zvládnutí základních aritmetických operací v typových učebnicových úlohách se při posouzení úspěšnosti řešení soutěžních úloh projevil zcela zřetelně.

Mezi 11 úlohami, řešenými s úspěšností menší než 30%, je 5, které jsme označili termínem „logické úlohy“ (úlohy číslo 8, 12, 14, 16, 23). Rozumíme jimi nestandardní úlohy, vyžadující k řešení pouze minimální matematické znalosti nebo matematický aparát, ale kladoucí nároky na myšlení žáků, jejich úsudek, schopnost aplikace poznatků v nových souvislostech nebo vhled, objevení dosud skrytého, neznámého postupu řešení. Zjištění, že nízkou úspěšnost řešení vykazují nestandardní úlohy, vyžadující k řešení pouze minimální matematické znalosti nebo matematický aparát, ale kladoucí nároky na myšlení žáků, jejich úsudek, schopnost aplikace poznatků, považujeme za projev nejen nízké úrovně řešitelských dovedností žáků, ale také malé pozornosti věnované řešení nestandardních (problémových, divergentních) úloh učiteli primární školy.

Skupinou úloh s nízkou úspěšností řešení jsou rovněž úlohy geometrické, vyžadující nikoliv dovednost geometrických konstrukcí nebo výpočtů, ale schopnost geometrické představivosti v rovině nebo prostoru (úlohy číslo 7, 20, 24). Interpretujeme ji jako důsledek přetrvávající malé pozornosti věnované geometrické komponentě primárního matematického vzdělávání. Přestože je rozvoj prostorové představivosti obecně považován za jeden ze stěžejních cílů matematického vzdělávání, není této významné schopnosti a jejímu rozvíjení stále ještě věnován v kurikulárních dokumentech - Rámcovém vzdělávacím programu pro ZV (Novák, 2007, Novák, Nováková, 2008), ani v praxi školního vyučování, dostatečný prostor (Stopenová, 1999).

Dalším znakem, který jsme učinili předmětem analýzy, je způsob jazykového vyjádření úlohy. Rozlišili jsme úlohy „čistě matematické“, tj. úlohy zadané v matematickém jazyce, matematickými termíny a symboly, a úlohy kontextové (slovní), zadané v přirozeném jazyce, vycházející z reálné situace.

Graf 4: Rozlišení úspěšnosti řešení podle jazykového vyjádření úlohy:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

%

úlohy numerické úlohy kontextové


148

Slovní (kontextové) úlohy mají nižší úspěšnost řešení než úlohy vyjádřené numericky či úlohy zadané obrázkem. Naše zjištění je v souladu s výsledky našich i zahraničních výzkumů (Novotná, 2000, Toom, 1999). Obtíže spojené s transformací textové podoby úlohy do vhodné grafické reprezentace nebo reprezentace v matematickém jazyce, umožňující efektivní řešení, se promítly do nižší úspěšnosti řešení kontextových úloh a to přesto, že úlohy v soutěžním testu mají charakter položek s výběrem odpovědi, nevyžadují tedy celý obvykle požadovaný postup řešení. Zjištěné výsledky ovšem nedovolují zcela jednoznačné a kategorické soudy. Uvědomujeme si například, že vyšší počet kontextových úloh byl ve skupině úloh pětibodových, že v textové formě byly častěji zadávány úlohy ze skupiny „logických“. Obě uvedené skutečnosti vedou k určité opatrnosti v interpretaci našich zjištění. Vyčerpávající odpověď na otázky, které naše zjištění nastolila, by však mohl dát až nový, jinak koncipovaný výzkum.

Závěr

Empirické výzkumy, využívající bohatý faktografický materiál ze soutěže Matematický klokan, potvrzují naše intuitivní očekávání, že úspěšnost řešení závisí nejen na matematickém obsahu úloh, ale také na jejich jazykovém vyjádření a obtížnosti. Konfrontací výsledků výzkumu s celostátní statistikou řešitelské úspěšnosti vyvozujeme, že i další zjištění na našem vzorku řešitelů se do značné míry mohou vztahovat k výsledkům všech účastníků. Jde o vliv faktorů intervenujících do celkového výsledku účastníka soutěže. Současně poskytují inspiraci pro širší pedagogické využití ve školské praxi, například nabízí příležitost k pravidelnému posuzování a porovnávání kvality matematických vědomostí a dovedností účastníků. Nejen řešení „klokanských“ úloh v jednorázové soutěži, ale pravidelné zařazování řešení nestandardních a divergentních úloh do matematického vyučování na primárním stupni vzdělávání považujeme za vhodný instrument rozvíjení osobnosti žáků nejen v oblasti kognitivní. Zdroje informací lze podle našeho názoru využít nejen ke specifickému pohledu na diagnostiku matematicky nadaných žáků a následnou péči o matematické talenty ve škole i v mimoškolních aktivitách. Matematický klokan oproti jiným „výkonovým“ soutěžím, určeným právě pouze matematickým talentům, má ambici oslovit i jinou cílovou skupinu: žáky „méně nadané“, pro něž jsou účast a úspěch v soutěži spojeny také s kladným emocionálním prožitkem.

Dílčí šetření a jejich závěry považujeme za využitelné také v matematicky a didakticky orientované komponentě vysokoškolské přípravy budoucích učitelů. Analýza jednotlivých stránek soutěžních úloh v didaktických seminářích, autentický prožitek studentů učitelství spojený s řešením soutěžních úloh, který „vrací“ studenty do role řešitele – žáka, následná diskuse nad jednotlivými přístupy k řešení, společné posouzení logičnosti a efektivnosti vlastních úvah, ocenění řešení některých spolužáků, ale také vlastní účast při samotné realizaci soutěže na školách v rámci pedagogických praxí a následné aktivity spojené s evidencí, kritickým posuzováním a hodnocením řešení úloh žáky, se stávají jedním z konkrétních příkladů žádoucího propojení teoretické komponenty profesní přípravy se školskou realitou.


149

Literatura

1. BURJAN, V.: Školské testy jako zdroj zaujímavých dát pre žiakov aj učiteľov. In: Jak učit matematice žáky ve věku 10-15 let. Litomyšl: JČMF, 2003.

2. GAVORA, P.: Výzkumné metody v pedagogice. Brno: Paido, 1996. ISBN 80-85931-15-X.

3. CHRÁSKA, M.: Úvod do výzkumu v pedagogice. Olomouc: UP, 2003. ISBN 80-244-0765-5.

4. Kangourou sans frontières, Rapport du président aux journées 2004. Berlin, 14-16 octobre 2004.

5. KUBÁTOVÁ, E.: Učební úlohy ze soutěže Matematický klokan a jejich řešení žákem primární školy. Disertační práce. 173 s. Olomouc 2005.

6. MOLNÁR, J., aj.: Matematický klokan 2004. 1. vyd. Olomouc: UP, 2004, s. 49. ISBN 80-244-0808-2.

7. NOVÁK, B.: Reforma programu kształcenia matematycznego w szkole podstawowej w Republice Czeskiej a možliwości nauczania zintegrowanego. In: Efektywnośc kształcenia zintegrowanego. Implikacje dla teorii i praktyki. SIWEK, H. (ed.). Warszawa: Wydawnictvo WSP, 2007, s. 23 - 29. ISBN 83-88278-86-X.

8. NOVÁK, B.: O úlohách ze soutěže Matematický klokan. In: Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Acta Univ. Palack. Olomucensis, Fac. Paed., Mathematica VI – 2008, Matematika 3. UHLÍŘOVÁ, M. (ed.) Olomouc: Vydavatelství UP 2008, s. 191 – 196. ISBN 978-80-244-1963-3.

9. NOVÁK, B., NOVÁKOVÁ, E.: Matematika a její aplikace. In: Průvodce výukou dle RVP na 1. stupni ZŠ. 2. díl. Olomouc: Prodos 2008, s. 107 - 158. ISBN 978- 80-7230-235-2.

10. NOVOTNÁ, J.: Analýza řešení slovních úloh. Praha: UK 2000. ISBN 80-7290-011-0.

11. STOPENOVÁ, A.: Rozvoj prostorové představivosti u žáka základní školy. Disertační práce. Olomouc: UP 1999. 12. TOOM, A.: Word Problems: Applications or Mental Manipulatives.

In: For Learning of Mathematics, 19, 1 (March, 1999), s. 36-38.

Kontaktní adresa

Bohumil Novák, doc. PhDr., CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc Telefón: +420 585 635 701 E-mail: [email protected]


150

KONSTRUOWANIE ROZUMIENIA NIEZMIENNIKÓW W MYŚLE DZIECKA

Jolanta NOWAK

Abstrakt Jednym ze wskaźników poziomu rozwoju struktur logiczno-matematycznych jest

rozumienie niezmienników. Kształtuje się ono stopniowo w umyśle dziecka i wymaga stworzenia odpowiednio zorganizowanej przestrzeni edukacyjnej, która pozwoli zgromadzić dziecku niezbędne doświadczenia zmysłowe i manipulacyjne. Dzięki temu dziecko będzie umiało wnioskować o stałości liczby elementów w zbiorze oraz stałości powierzchni, objętości i masy. W latach 2007-2008 przeprowadzono badania testowe, których celem było poznanie poziomu rozumienia niezmienników przez dzieci sześcioletnie uczęszczające do przedszkoli i oddziałów przedszkolnych.

BUILDING UNDERSTANDING OF INVARIANTS IN THE MIND OF A CHILD

Abstract One of the indicators which allows to define the extent of development relating to

mathematical and logical structures is understanding of invariants. This understanding is shaped in the child’s mind gradually and requires creating properly organised educational space which will allow the child to gain necessary sensory and manual experiences. Owing to this, the child will be capable of making conclusions about the constancy of the number of elements within a set and about the constancy of surface area, capacity and weight. In the years 2007-2008, tests were carried out with the aim of determining the level of understanding invariants amongst 6-year olds attending nursery schools and pre-school units.

1. Rozumienie niezmienników jako wskaźnik poziomu rozwoju struktur logiczno-matematycznych

Edukacja matematyczna to obszar kształcenia, w którym szczególnie wyraźnie rysuje się potrzeba uwzględnienia dziecięcej perspektywy w procesie przyswajania wiedzy. Spojrzenie oczami dziecka na otaczającą rzeczywistość, próba zrozumienia, co dziecko myśli i jak dochodzi do swoich przekonań pozwala nadać procesowi nauczania-uczenia się charakter intersubiektywnej wymiany. To naturalna ciekawość dziecka stymulowana przez doznania zmysłowe wyznacza bowiem jego indywidualną drogę rozwoju. Natomiast sposób poznawczego kontaktu z otoczeniem determinuje moŜliwość percepcji i gromadzenia informacji, ich organizacji oraz nadawania sensu wraŜeniom dostarczanym przez otaczającą rzeczywistość. Nauczyciel, dzięki zrekonstruowaniu dziecięcego punktu widzenia, moŜe świadomie i planowo wspierać wysiłek intelektualny i aktywność eksploracyjną dziecka.

Działania podejmowane przez nauczyciela warunkowane są poziomem ontogenezy struktur myślenia logiczno-matematycznego wychowanka. Oznacza to potrzebę


151

przekazu określonych treści matematycznych w systemie kategorialnym dostępnym dziecku. Wiek przedszkolny, to ciągle jeszcze okres dominacji percepcji nad rozumowaniem. Doświadczenia praktyczne, wynikające z własnej aktywności jednostki, dają tworzywo do konstruowania obrazów pamięciowych. Myślenie dziecka stopniowo uniezaleŜnia się od bieŜących czynności sensomotorycznych i zaczyna coraz częściej odwoływać się do umysłowych reprezentacji przedmiotów i zdarzeń. Jednak procedury umysłowego manipulowania na przedmiotach, jak zauwaŜa J. Piaget, znacząco ograniczone są przez specyficzne cechy zachowań intelektualnych występujące u dziecka będącego w stadium przedoperacyjnym (za: Wadsworth, 1998, s.82-86). Przekonanie, Ŝe wszyscy postrzegają i rozumieją rzeczywistość w taki sam sposób, powoduje, Ŝe dziecko nie potrafi uwzględnić w swoim myśleniu punktu widzenia innych osób, a tym samym nie poddaje w wątpliwość własnego rozumowania. Brak zdolności do rozumienia przekształceń uwidacznia się w rozłącznym traktowaniu sekwencji zmian, bez dostrzegania istniejących związków przyczynowo-skutkowych. Opisując rzeczywistość, dzieci koncentrują się zwykle na zewnętrznych atrybutach przedmiotów, zatem wszelka aktywność poznawcza zdominowana jest przez właściwości percepcyjne. Dziecięca sztywność myślenia objawia się takŜe brakiem umiejętności cofnięcia własnego rozumowania, do punktu, w którym się ono rozpoczęło. Analizując cechy myślenia, charakteryzujące dziecko w wieku przedszkolnym, łatwo moŜna dostrzec, Ŝe proces rozumowania w niewielkim stopniu odwołuje się do praw logiki, lecz w znacznej mierze opiera się na intuicji matematycznej.

Konsekwencją myślenia intuicyjnego jest problem ze zrozumieniem zasady zachowania stałości. Jej istotą jest świadomość, Ŝe podstawowe właściwości przedmiotu takie jak waga, objętość, powierzchnia nie ulegają zmianie nawet wtedy, gdy ich wygląd w aspekcie percepcyjnym uległ zmianie (Schaffer, 2006, s.201). Dla dziecka rozumującego na poziomie przedoperacyjnym wraŜenia wzrokowe stanowią główną przesłankę w procesie tworzenia sądów. Oznacza to, Ŝe dostrzeŜenie zmiany na jednym wymiarze powoduje przeniesienie jej na wszystkie wymiary, nawet te, które nie są z nią związane. Dzieje się tak, gdyŜ dziecko nie potrafi zachować w umyśle pierwotnej wielkości stanowiącej niezmiennik, w sytuacji, gdy na innych wymiarach następują zmiany. Świadomość niezmienników nabywana jest stopniowo w toku asymilacji i akomodacji treści percepcyjnych i motorycznych, prowadzących do przebudowy istniejących struktur poznawczych. O wartości postrzegania decyduje poznawcze rozumienie bodźców. Zatem warunkiem rozwoju schematów związanych z zachowaniem stałości jest osiągnięcie przez dziecko zdolności do odwracania zmian, realizowane na poziomie wewnętrznym, decentracja spostrzeŜeń, dostrzeganie i świadome kontrolowanie transformacji oraz ograniczenie egocentryzmu czyli poddawanie w wątpliwość własnego myślenia.

Konstruowanie wiedzy o niezmiennikach odbywa się w dłuŜszym przedziale czasowym i realizowane jest zwykle w określonej kolejności. Najwcześniej pojawia się rozumienie stałości liczby. Dziecko stopniowo zaczyna odrywać się od cech jakościowych przedmiotów, co pozwala mu prawidłowo wydawać sądy dotyczące ich liczebności. Umiejętność ta stanowi fundament dla kształtowania w umyśle dziecka aspektu kardynalnego liczby naturalnej. W dalszej kolejności pojawiają się niezmienniki masy, powierzchni i ilości cieczy. Najpóźniej dziecko osiąga rozumienie stałości cięŜaru i ilości ciał stałych (Brzezińska, Appelt, Ziółkowska, 2008, s.190).


152

Opanowanie niezmienników świadczy o zmianach jakościowych w myśleniu dziecka i stanowi wskaźnik osiągnięcia przez nie operacyjnego stadium funkcjonowania.

Zdaniem J. Piageta (za: Wadsworth, 1998) „niezmienników nie da się ukształtować, instruując dziecko (ucząc je) lub stosując wzmocnienia; podstawę stanowi aktywne konstruowanie”(s.88). Swoistym kluczem do kształtowania pojęć w umyśle dziecka moŜe być nauczanie czynnościowe. W metodzie tej, jak zauwaŜa H. Siwek (2004) „uczeń konstruuje swoją wiedzę w interakcji z materiałem, zadaniami, na drodze bogatych doświadczeń pod kierunkiem nauczyciela i we współpracy z kolegami” (s.76). Podjęta aktywność eksploracyjna, ukierunkowana pytaniami nauczyciela, prowadzi do konfliktu poznawczego, którego efektem jest restrukturyzacja wiedzy dziecka. Zatem warunkiem niezbędnym do zaistnienia zmian w postrzeganiu i rozumieniu stałości jest przede wszystkim stworzenie odpowiednio zorganizowanej przestrzeni edukacyjnej, która pozwoli zgromadzić dziecku doświadczenia oraz właściwy dobór metod pracy odpowiednio do moŜliwości i potrzeb psychofizycznych wychowanka.

2. Poziom rozumienia niezmienników przez dzieci w wieku przedszkolnym w świetle badań własnych

W latach 2007-2008 podjęto badania naukowe, które miały na celu wykrycie zaleŜności między czasem trwania oddziaływania edukacyjnego, a poziomem rozumienia niezmienników przez dzieci sześcioletnie. Dane empiryczne zgromadzono za pomocą testu sprawdzającego, którym objęto 73 dzieci sześcioletnich, uczęszczających do przedszkoli i oddziałów przedszkolnych, znajdujących się na terenie Bydgoszczy. Test skonstruowany na uŜytek badań miał charakter praktyczny i składał się z 8 zadań (po dwa do kaŜdego niezmiennika). Przyjęta procedura badawcza zakładała indywidualną rozmowę z kaŜdym dzieckiem, podczas której badacz stawiał przedszkolaka w konkretnych sytuacjach problemowych, wynikających z dokonywania zmian na wybranych wielkościach przedstawionych przedmiotów. Zachowania prezentowane przez dzieci podczas rozwiązywania problemów były dokładnie odnotowywane, a następnie klasyfikowane ze względu na poziom operacyjnego rozumowania. Za E. Gruszczyk – Kolczyńską (1992, s.52-54) przyjęto następującą kategoryzację: niski poziom operacyjnego rozumowania - poziom przedoperacyjny, średni poziom operacyjnego rozumowania – poziom przejściowy i wysoki poziom operacyjnego rozumowania – poziom operacji konkretnych. Wartościowania uzyskanych wyników dokonano w kategoriach ilościowych i jakościowych, odnoszących się do wybranych kryteriów funkcjonowania intelektualnego. Porównano poziom kompetencji operacyjnych dzieci objętych badaniami z hipotetycznie określonymi zachowaniami, typowymi dla poszczególnych stadiów rozwoju poznawczego.

Jako pierwszy poddano analizie poziom zachowania stałości liczby przez dzieci sześcioletnie. O ukształtowaniu rozumienia tego niezmiennika świadczy prawidłowe wydawanie sądu o ilości elementów, mimo zmian związanych z ich ułoŜeniem.


153

14,50%

56,25%

29,25%

6,25%

54,17%

39,58%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Przedszkole Oddział przedszkolny

wysoki średni niski

Rysunek 1. Poziom rozumienia niezmiennika liczby przez dzieci uczęszczające do przedszkola i oddziału przedszkolnego

W pierwszym zadaniu badacz zaprezentował dwa szeregi zawierające tyle samo

kasztanów, a następnie zsunął elementy w jednym rzędzie tak, Ŝe był on krótszy od drugiego rzędu. W drugim zadaniu zamiast kasztanów uŜyto guzików, które najpierw ułoŜono w rzędach, a następnie jeden z rzędów przekształcono w stos. W obu przypadkach pytano, czy elementów po zmianie jest tyle samo. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, Ŝe poziom rozumienia niezmiennika liczby był wyŜszy u dzieci objętych czteroletnim oddziaływaniem edukacyjnym w porównaniu z dziećmi uczęszczającymi przez rok do oddziału przedszkolnego. Ponad połowa badanych w obu grupach po kaŜdej zmianie układu elementów starała się je ponownie przeliczyć, co wskazuje na brak odwracalności w myśleniu. Stwierdzenie równoliczności elementów w prezentowanych zbiorach uzasadniane było podaniem ich liczebności. Wśród przedszkolaków funkcjonujących na niskim poziomie operacyjnego rozumowania znacznie więcej było dzieci objętych jednorocznym oddziaływaniem edukacyjnym. RóŜnica ta wyniosła aŜ 10,33%. Podstawą ich wnioskowania było postrzeganie percepcyjne. Najmniej liczna grupa badanych osiągnęła poziom operacji konkretnych, o czym świadczyło uznawanie zmian w układzie elementów jako odwracalne. Jak wynika z przedstawionych danych, rozumowało w tej kategorii 14,50% dzieci przedszkolnych i zaledwie 6,25% wychowanków z oddziału przedszkolnego.

Zbadanie poziomu rozumienia przez dzieci sześcioletnie stałości ilości masy było moŜliwe dzięki obserwacji zachowań dzieci w związku ze zmianami dokonywanymi w odniesieniu do kształtu substancji, bez ingerencji w jej masę.

14,58%

45,84%39,58%

6,25%

39,58%54,17%

0%

20%

40%

60%

80%

100%



Rysunek 2. Poziom rozumienia niezmiennika masy przez dzieci uczęszczające do przedszkola i oddziału przedszkolnego


154

Zadania polegały na ocenie ilości plasteliny po obserwowanych przekształceniach. W pierwszej próbie kulka plasteliny została uformowana w wałek, natomiast w drugiej próbie rozdzielono ją na cztery małe kulki. Większość dzieci z oddziału przedszkolnego (54,17%) i liczna grupa dzieci przedszkolnych (39,58%) twierdziła, Ŝe więcej plasteliny jest w obiekcie po zmianie. Oznacza to, Ŝe cechy jakościowe wyraźnie zdeterminowały formułowanie sądów. Poziom średni operacyjnego rozumowania w zakresie ustalania stałości ilości masy prezentowała zbliŜona liczba badanych sześciolatków z obu grup. Dzieci te były bardzo ostroŜnie w wyraŜaniu swojej oceny dotyczącej ilości plasteliny po kaŜdej zmianie. Ostatecznie jednak uznawały, Ŝe jest jej tyle samo. Niewielką grupę wśród badanych stanowiły dzieci, które osiągnęły poziom operacji konkretnych. One jednoznacznie stwierdzały, Ŝe ilość plasteliny nie uległa zmianie i uzasadniały to.

Kolejnym miernikiem rozwoju struktur logiczno-matematycznych było zbadanie operacyjnego rozumowania w zakresie stałości powierzchni. U podstaw wydawania prawidłowych sądów leŜy świadomość, Ŝe zmiana rozmieszczenia przedmiotów na powierzchni nie pociąga za sobą zmiany powierzchni.

6,25%

37,25%

58,50%

2,08%

33,34%

64,58%

0%

20%

40%

60%

80%

100%



Rysunek 3. Poziom rozumienia niezmiennika powierzchni przez dzieci uczęszczające do przedszkola i oddziału przedszkolnego

Po zaprezentowaniu pierwszej sytuacji badane dzieci miały orzec, czy, po zmianie ustawienia elementów w akwarium, będzie tyle samo miejsca dla Ŝółwia, co przed zmianą. W drugim przykładzie badacz zmienił ułoŜenie zeszytów na biurku. Jak wynika z analizy uzyskanych wyników nieco lepiej wypadły dzieci objęte czteroletnim oddziaływaniem edukacyjnym. Jednak wyraźnie widać, Ŝe większość badanych (64,58% z oddziału przedszkolnego i 58,50% z przedszkola) funkcjonowała na niskim poziomie rozumowania w zakresie stałości powierzchni. Dzieci konsekwentnie stwierdzały, Ŝe, po zmianie ułoŜenia przedmiotów na powierzchni, jest więcej miejsca. Dosyć liczną grupę stanowiły sześciolatki, które wahały się z udzieleniem odpowiedzi, kilkakrotnie powtarzały zmianę rozmieszczenia przedmiotów, aby ostatecznie stwierdzić, Ŝe miejsca pozostaje tyle samo. Podobnie, jak w poprzednich badaniach, niewielki odsetek dzieci, bo zaledwie 6,25% badanych przedszkolaków i tylko 2,08% dzieci z oddziału przedszkolnego, potrafiło uwaŜnie prześledzić kolejne przekształcenia i oprzeć swoje rozumowanie na logicznym wnioskowaniu.

Ostatnim z badanych niezmienników była stałość objętości cieczy. O ukształtowaniu rozumienia tego niezmiennika świadczy formułowanie sądów o ilości cieczy z pominięciem kształtu pojemników, w których ta ciecz się znajduje.


155

12,50%

47,92%39,58%

6,25%

39,58%54,17%

0%

20%

40%

60%

80%

100%



Rysunek 4. Poziom rozumienia niezmiennika ilości cieczy przez dzieci uczęszczające do przedszkola i oddziału przedszkolnego

W pierwszej próbie dzieci miały ustalić, czy wody jest więcej w szklance, czy moŜe więcej po przelaniu do miski. Druga próba polegała na obserwacji objętości wody w dzbanku, a następnie porównaniu jej z ilością wody przelanej do dwóch mniejszych naczyń. Rozkład wyników w obu grupach wskazuje, Ŝe dzieci przedszkolne osiągnęły wyŜszy poziom rozumowania w zakresie stałości ilości cieczy w porównaniu z dziećmi objętymi jednorocznym oddziaływaniem edukacyjnym. Zebrane dane empiryczne pozwoliły stwierdzić, Ŝe najliczniejszą grupę w przedszkolu (47,92%) stanowiły dzieci, które po przelaniu wody do innego naczynia, bądź rozlaniu wody do dwóch naczyń miały problem z ustaleniem, czy jest jej nadal tyle samo. Nieco mniej wychowanków przedszkola (39,58%) w swojej ocenie kierowało się wysokością słupa cieczy. Na poziomie operacji konkretnych funkcjonowało tylko 12,50% badanych przedszkolaków. W oddziale przedszkolnym poziom niski prezentowała najliczniejsza grupa, bo 54,17% badanych. Rozumowanie na poziomie średnim wykazało 39,58% badanych. Niewiele, bo zaledwie 6,25% wychowanków nie uwzględniało przesłanek percepcyjnych przy wydawaniu sądu dotyczącego porównania ilości cieczy przed i po zmianie naczynia.

Jak wynika z analizy zebranego materiału empirycznego, długość oddziaływania edukacyjnego ma istotny wpływ na poziom rozumienia niezmienników przez sześciolatki. Dzieci uczęszczające przez cztery lata do przedszkola miały więcej okazji do obserwacji i działań praktycznych w porównaniu z dziećmi objętymi jednorocznym oddziaływaniem edukacyjnym. To bogactwo i róŜnorodność doświadczeń zgromadzonych w trakcie zabaw i sytuacji zadaniowych, intencjonalnie aranŜowanych przez świadomego odmienności dziecięcego widzenia i rozumienia świata dorosłego, stanowiło doskonały surowiec do konstruowania pojęcia stałości.

Literatura:

1. BRZEZIŃSKA A. APPELT K., ZIÓŁKOWSKA B. 2008. Psychologia rozwoju człowieka. W: Strelau J., Doliński D. (red.) Psychologia. Podręcznik akademicki. Tom 2. Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Psychologiczne, 2008. ISBN 978-83-7489-140-0.

2. GRUSZCZYK – KOLCZYŃSKA E. 1992. Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne 1992. ISBN 83-02-06528-5.

3. SCHAFFER H.R. 2006. Psychologia dziecka. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN 2006. ISBN 83-01-14534-X.


156

4. SIWEK H. 2004. Kształcenie zintegrowane na etapie wczesnoszkolnym. Rola edukacji matematycznej. Kraków: Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej 2004, ISBN 83-7271-308-1.

5. WADSWORTH B.J. 1998. Teoria Piageta. Poznawczy i emocjonalny rozwój dziecka. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne 1998. ISBN 83-02-06940-X.

Adres:

dr Jolanta Nowak, adiunkt Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Instytut Pedagogiki Zakład Pedagogiki Przedszkolnej ul. Chodkiewicza 30 85 – 069 Bydgoszcz E-mail: [email protected]


157

HOMO MENSURA. JAK DZIECKO UCZY SI Ę MIERZY Ć ŚWIAT

Zbigniew NOWAK

Abstrakt Jak zauwaŜył I. Newton, księga przyrody pisana jest w języku matematyki. Jednym

z warunków jej rozumienia jest znajomość miar, w których świat jest poznawany i opisywany. Ich nabywanie jest długotrwałym procesem, który zaczyna się jeszcze we wczesnym dzieciństwie a trwa praktycznie przez całą edukację. W tym procesie szczególne znaczenie przypada edukacji elementarnej, jako Ŝe tam właśnie realizuje się przejście od potocznej znajomości miar do ich rozumienia ścisłego, od znajomości nazw miar do posiadania pojęć i rozumienia ich we wzajemnych związkach. Głównym niebezpieczeństwem, jakie zagraŜa w tym procesie dzieciom jest zbyt pochopna formalizacja wiedzy i umiejętności polegająca na sprowadzeniu poznawania miar do operacji na liczbach mianowanych.

HOMO MENSURA. HOW A CHILD LEARNS TO MEASURE THE WORLD

Abstract I. Newton said, the book of nature is written in the language of Mathematics. One

condition to understand it is knowing measures, that describe the world. Learning the meaning of measures it is a durable process that starts in the early days of childhood and lasts to the end of education. In this process special importance belongs to elementary education – here occurs change between colloquial and exact understanding meaning of measures. Main problem that children can be faced with during this process is too precipitate formalization of knowledge and skills that lies in reducing of learning measures to the operations on named numbers.

JeŜeli Księga przyrody napisana jest w języku matematyki, to umiejętność jej

czytania musi obejmować takŜe znajomość miar, w których świat jest poznawany i opisywany. To one łączą świat fizyczny z matematyką. Jednak, tak jak ze znajomością kaŜdego języka i tu rozchodzi się nie tylko o znajomość „liter” i umiejętność czytania, ale o rozumienie, docieranie do właściwego sensu i znaczenia wyraŜanych w danym języku treści. W istocie, kształtowanie pojęć miarowych powinno przypominać naukę macierzystego języka, gdzie uczymy się zarówno słówek, jak i ich znaczeń, a znajomość samych słówek prowadzi, co najwyŜej do bełkotu (Bocheński 1995: 28,29).

Kompetencję metryczną, by posłuŜyć się takim neologizmem, podobnie jak kompetencję językową, dziecko zdobywa w Ŝyciu i dla Ŝycia, a w szkole pozyskuje tylko pewną wiedzę formalną o systemie (gramatyka), która sama, bez treści nic nie znaczy. Porównanie to przywołuję nieprzypadkowo, poniewaŜ, jak się zdaje występuje istotne podobieństwo między nauką czytania i pisania w języku ojczystym, a zajmującym nas tu poznawaniem miar i ich świadomym stosowaniem. Oba te procesy zaczynają się spontanicznie, a ich początek ginie w „mrokach niepamięci”. śyjąc hic et nunc, w świecie zmierzonym i sparametryzowanym, dziecko osłuchuje się z nazwami


158

miar i kontekstem ich występowania w konkretnych sytuacjach, a nawet w naśladowczych wypowiedziach uŜywa ich samo. Bywa, Ŝe nawet adekwatnie.

Wielopokoleniowe juŜ Ŝycie „pod jarzmem” miar metrycznych, ich „odzawszość” w Ŝyciu Europejczyka, powoduje ujawnianie się u nauczycieli bariery oczywistości, która sprawia, iŜ ich subiektywne przekonanie o jasności pojęć (pewność podmiotowa) jest ekstrapolowane na uczniów i wszystkich innych nadając mu kartezjański sens pewności przedmiotowej. Owocuje to przekonaniem o elementarnej jasności omawianych zagadnień, której racjonalny umysł nie moŜe odrzucić i które ani nie mogą być juŜ uproszczone, ani objaśniane (Nowak 2007: 221). W ten sposób znajomość nazw i kontekstów uŜycia miar przez uczniów zostaje przez nauczyciela utoŜsamiona z posiadaniem ich pojęć, a lekcje matematyki sprowadza się do formalnych działań na liczbach mianowanych. PoniewaŜ są to działania na małych liczbach i w zakresie dzieciom znanym, nie mają one z tym kłopotu, umacniając nauczyciela w przekonaniu o rzeczywistym opanowaniu miar. Jak się wydaje wyczerpuje to wszystkie znamiona formalizmu zdegenerowanego, o którym pisze Milan Hejny (1997: 19).

Co to znaczy „mieć pojęcie”?

Pojęcie to nie tylko znajomość nazwy. Posiadanie pojęcia moŜna przyrównać do pudełka, na którym przylepiona jest plakietka z nazwą, a wewnątrz jest bogaty oraz róŜnorodny zbiór wyobraŜeń i skojarzeń, pamięć czynności i desygnatów z nim związanych. Ten kto ma pojęcie, potrafi na podstawie wyabstrahowanego kryterium rozpoznawać i wrzucać do niego kolejne elementy. W ten sposób nazwa zaczyna znaczyć (konotacja) i oznaczać (denotacja) stając się pojęciem sensu proprio (Nowak 2008: 204). Stosując znane kategorie zaproponowane przez Jerome S. Brunera, moŜemy powiedzieć, iŜ wytworzenie się w świadomości dzieci reprezentacji enaktywnej oraz ikonicznej tworzonego pojęcia pozwala na powstanie jego prawdziwej reprezentacji symbolicznej, gdzie słowo i liczby zarówno znaczą, jak i oznaczają (za: Łuczyński 1998: 747). Cały ten proces ma jednak charakter wchodzenia na kolejne piętra tak, Ŝe nie moŜna osiągnąć wyŜszego poziomu bez wcześniejszego dostania się na niŜszy.

Jak budować pojęcia miarowe?

Kształtowanie pojęć miarowych i umiejętności operatywnego ich stosowania jest procesem wieloaspektowym i długotrwałym, który zaczyna się na wiele lat przed pójściem dziecka do szkoły i trwa wiele jeszcze lat po ukończeniu przez nie edukacji elementarnej. Jej znaczenie jest jednak w tym procesie przełomowe; to tu bowiem wiedza potoczna zaczyna przeistaczać się w naukową i tworzone są podstawy pod dobre pojęcia miar.

PoniŜej omówione zostaną etapy kształtowania pojęć miarowych. 1. Spontaniczne gromadzenie przez dziecko wiedzy i doświadczeń związanych z fizycznymi aspektami świata w toku aktywności własnej w środowisku przyrodniczym i społecznym. Rozwój postrzegania stereoskopowego, sprawności manipulacyjnej skoordynowanej ze wzrokiem, a zwłaszcza zdobycie umiejętności sprawnego przemieszczania się w przestrzeni powodują, iŜ dziecko zaczyna postrzegać i doświadczać świat w atrybucie jego rozciągłości i masy oraz gromadzi róŜnorodne jednostkowe doświadczenia z tym związane. Osłuchuje się takŜe, w miarę nabywania


159

kompetencji językowej, z nazwami jednostek, kojarząc je i odnosząc, często jeszcze nietrafnie, do róŜnych wielkości fizycznych. 2. Intencjonalne, kierowane przez nauczyciela, postrzeganie i porównywanie jakościowe przez dziecko przedmiotów pod względem cech wielkościowych w takich kategoriach jak: długi-krótki, gruby-cienki, niski-wysoki, lekki-cięŜki, mały-duŜy oraz umiejętność szeregowania przedmiotów wedle tych cech: dłuŜszy-krótszy, większy-mniejszy, lŜejszy cięŜszy. Porównywanie takie obejmuje w dalszym etapie takŜe przedmioty i formy abstrakcyjne przedstawione na rysunkach. Ten etap realizowany jest w przedszkolu i w początkowych miesiącach edukacji w klasie I. 3. Uświadomienie sobie przez dziecko konieczności pomiaru pośredniego i jego istoty związane z kształtowaniem pojęcia liczby naturalnej w aspekcie miarowym. Pomiar jest tu rozumiany jako porównywanie wielkości mierzonej z przyjętą jednostką, a liczba zaopatrzona w jej miano wskazuje ile razy ta jednostka mieści się w wielkości mierzonej.

Wydaje się, iŜ w Ŝyciu dziecka spontanicznie pojawiają się dylematy typu: kto jest wyŜszy?, kto jest cięŜszy?, kto dalej skoczy?, kto szybciej biega?, na które moŜna odpowiadać przez bezpośrednie porównanie wielkości, bez konieczności odwoływania się do jednostek i przyrządów pomiarowych. Wychodząc od takich zdarzeń naleŜy więc sprowokować sytuacje, w których zwykłe porównanie nie jest moŜliwe lub jest kłopotliwe. Mogą być nimi np. porównywanie wysokości i wagi dzieci mieszkających w róŜnych miejscowościach czy długości ścian klasy, gdzie by go dokonać, musimy uŜyć trzeciej wielkości, którą moŜna wymierzyć obie porównywane, a liczby będące wynikiem tego pomiaru porównać ze sobą uzyskując poszukiwaną odpowiedź.

Dodatkowym doświadczeniem będącym wynikiem dokonywania takich pomiarów jest unaocznienie uczniom nieprecyzyjności pomiaru, gdzie naturalne miary zastosowane do zazwyczaj „zmetryzowanego” świata cywilizowanego, niemal zawsze dają wynik mocno przybliŜony, a im miarka jest większa, tym większe jest i przybliŜenie. To dobre w istocie i oŜywcze doświadczenie „przyrodzonej” nieprecyzyjności pomiaru, jest niestety gubione przy przejściu dzieci do następnego etapu. Pojawienie się jako pierwszej miary centymetra i odniesienie go do :zmetryzowanego” otoczenia, powoduje u wykonujących pomiary dzieci wraŜenie jego dokładności, które jest wykorzystywane nawet przez nauczycieli do argumentowania na rzecz przyjęcia w pomiarze „dokładnych” jednostek standaryzowanych, w miejsce „niedokładnych” - potocznych. Całe to rozumowanie wzmacnia dodatkowo wykorzystywanie w Ŝyciu i początkowo takŜe w szkole wielkości „zaokrąglonych” i jednomianowych. Nikt nie kupuje 1kg i 97 dag cukru, czy 995 cm materiału na zasłony. W rezultacie nawet dla dorosłych nieprecyzyjność pomiaru bywa zaskakującym odkryciem, a tolerancja pomiaru zapisywana np. na produktach spoŜywczych obok wielkości nominalnej odbierana jest jako wyraz zawoalowanego oszustwa i psucia się obyczajów w handlu. 4. Poznanie przez dziecko jednostek standaryzowanych. Mierzenie rzeczy i otoczenia róŜnymi przedmiotami (ołówki, kroki, jabłka, woreczki, ksiąŜki), co daje wynik nieprecyzyjny i niejednoznaczny jest okolicznością, która dzieciom powinna uświadomić i uzasadnić psychologicznie potrzebę istnienia miar wyraŜających wielkości bardziej obiektywnie i jednoznacznie. Miary te, zaczynając od centymetra i kilograma są sukcesywnie wprowadzane. Kolejność ich wprowadzania odpowiada jednak bardziej kryteriom psychologicznym i pedagogicznym, niŜ merytorycznym, co


160

powoduje, Ŝe jednostki wprowadzane jako pierwsze nie zawsze są podstawowe w swoim rodzaju. Stoją za taką kolejnością racje dydaktyczne: bliskość doświadczeniu potocznemu dziecku, moŜliwość dokonywania indywidualnych pomiarów w klasie, a nawet w zeszycie, ale skutkiem ubocznym tej metodyki jest pewien chaos pojęciowy. Jednostki poznawane jako pierwsze bywają przez dzieci uwaŜane za podstawowe (centymetr). Tworzą one takŜe błędne analogie. Tak np. dekagram, przez analogię do decymetra, interpretowany bywa jako 1/10 kilograma, który dla uczniów jest wagowym odpowiednikiem metra. Wzrostowi chaosu sprzyjają tu takŜe niekonsekwencje w nomenklaturze, gdzie zasadniczo jednostki pochodne tworzy się przez dodawanie prefiksów dziesiętnych do miary podstawowej, ale w przypadku pomiaru masy jednostką podstawową jest kilogram, choć nazwy są generowane od rdzenia <gram>. Nie pomagają tu takŜe błędnie, ale uparcie, stosowane nawet w szkole skróty jednostek, gdzie np. – dkg (wł. dag) sugeruje jego pochodzenie od kilograma, a skrót decymetra- dcm (wł. dm) – pochodzenie od centymetra. 5. Wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem liczb mianowanych. Ten czysto formalny aspekt stosowania miar, jest w szkole, jak się zdaje nadreprezentowany. Zapewne w największym stopniu moŜe się kojarzyć nauczycielom z tym, co ich zdaniem powinno się robić na matematyce. Jest teŜ organizacyjnie najprostszy, nie wymaga ani Ŝadnych przyrządów ani desygnatów do mierzenia. Biegłość uczniów w zakresie takich obliczeń powoduje często złudne wraŜenie u nauczyciela, iŜ mają oni ukształtowane pojęcie stosownej miary. Między nauczycielem i uczniem wyrasta bariera oczywistości (Nowak 2007: 221), która powoduje, iŜ nauczyciel przypisuje uczniom własną wiedzę i umiejętności, zapominając o fakcie występowania swoistej habituacji (oswojenia) długo i powszechnie uŜywanych pojęć. Zapomina o tym, iŜ za pojęciami miar dorosłych stoi skumulowane doświadczenie kilkadziesiąt lat Ŝycia i nauki, ale jakiekolwiek wykroczenie poza nie powoduje takŜe u nich podobne dziecięcemu zagubienie1. 6. Poznanie jednostek miar większych i mniejszych od wyjściowej2, ich wzajemnych relacji oraz wyraŜeń dwumianowanych i umiejętności przeliczania z miar w jednostkach większych na mniejsze3. Wydaje się, iŜ kluczem do uznania i zrozumienia konieczności tworzenia miar pochodnych powinno być stworzenie sytuacji, w których jednostki duŜe takie np. jak metr czy kilogram dają wynik bardzo przybliŜony, co stwarza naturalną tendencję do doprecyzowania pomiaru przez wyraŜenie go w jednostkach dwumianowanych, z wykorzystaniem jednostek pochodnych - mniejszych. Z drugiej strony chodziłoby o stworzenie sytuacji, gdzie wielkość mierzona jest na tyle wielka, iŜ pomiar w jednostkach małych takich jak: centymetr czy gram daje liczbę duŜą i trudną do Ŝyciowej interpretacji, co wskazuje na zastosowanie jednostek większych, takich które pozwolą wyrazić pomiar rozsądnie małą liczbą. JeŜeli np. wyrazilibyśmy wielkość klasy w centymetrach, a wagą dziecka w gramach lub nawet dekagramach, prawdopodobnie mało by one mówiły uczniom o rzeczywistych rozmiarach mierzonych wielkości. Dopiero wyraŜenie ich w stosowanych w tych sytuacjach miarach większych – metr i kilogram pozwala na

1 MoŜe o tym świadczyć kompletna bezradność, nie specjalistów w rozumienia fenomenów świata w wielkościach nano-, a nawet mikrometrycznych. 2 Celowo nie posługuję się pojęciem miary podstawowej poniewaŜ, jak wspomniano dzieci nie od nich zaczynają miary poznawać. 3 PoniewaŜ dzieci nie znają ułamków dziesiętnych, zamiana miar w jednostkach mniejszych na większe nie jest zasadniczo moŜliwa.


161

odkrycie ich właściwego Ŝyciowego sensu. Będzie to jeszcze bardziej oczywiste, gdy w milionach gramów wyrazimy wagę słoni, a w dziesiątkach tysięcy centymetrów wielkość boiska szkolnego.

Na tym etapie kształtowania pojęcia miary i jej jednostek powinno dojść do zrozumienia swoistej dialektyki pojęć <precyzja pomiaru> i <przybliŜenie pomiaru>. Mimo ich kontradykcyjności, kaŜde z tych zjawisk jest wartością, którą dziecko - jako uŜytkownik i mierniczy świata - musi przyswoić, tak by za kaŜdym razem w sytuacji pomiaru znaleźć właściwą równowagę między precyzją i przybliŜeniem, która jest równowagą między umysłem naukowym i ścisłością, a umysłem praktycznym i zdrowym rozsądkiem. JuŜ Arystoteles w Etyce Nikomachejskiej, jakŜe roztropnie twierdził: jest bowiem cechą człowieka wykształconego Ŝądać w kaŜdej dziedzinie ścisłości w tej mierze, w jakiej na to pozwala natura przedmiotu. 7. Powstanie lokalnie uporządkowanego systemu miar obejmującego miary rozciągłości, powierzchni, objętości i masy oraz zasad tworzenia jednostek pochodnych i ich nazw (większych i mniejszych) z miary podstawowej4. Jest kwestią mało znaną, takŜe niestety w szkole, iŜ XVIII wieczny pomysł Les Philosophes na nowe miary świata był pomysłem tyle z „ducha geometrycznego” epoki, ile z politycznych haseł rewolucji i zerwania we wszystkim z ancien régime. Miały zastąpić chaos i róŜnorodność starych miar spójnym systemem, gdzie podstawowe wielkości: rozciągłość, powierzchnia, objętość i masa były wyprowadzone z jednej, którą stanowił <metr> zdefiniowany jako 1/10 000 000 część połowy południka paryskiego (od równika do Bieguna północnego). Miarą powierzchni stał się metr kwadratowy (m²), jednostką miary objętości litr , jako decymetr sześcienny (1 dm³), a masy - kilogram jako masa jednego litr (1dm³) wody.

Dokonano więc iście „kopernikańskiego przewrotu” w dziedzinie miar zastępując miary zdjęte z „Mierniczego”: (Protagorejski: Homo mensura) zdjętymi ze Świata, który miał mierzyć (Nowak 2008: 206). Rychło miało się okazać, Ŝe pomysł był poroniony. Wkrótce miary „oderwano” od wymiarów Ziem, tak Ŝe stały się czysto arbitralne (kreski na wzorze metra w Sévres moŜna było zrobić w dowolnie innym miejscu) i redefiniowane na kolejnych Kongresach Miar i Wag, zatracają równocześnie walor oczywistej zrozumiałości miar zdjętych z człowieka. Tak więc Ŝałosnym skutkiem tej rewolucji, nie przezwycięŜonym do dziś, jest abstrakcyjność i praktyczna niezrozumiałość miar metrycznych, w których wyraŜamy świat. Dobrym, Ŝe bardzo skomplikowany system miar wcześniejszych radykalnie uproszczono, powiązano ze sobą i wprowadzono prostą, związaną z systemem liczenia, dziesiętną zasadę tworzenia jednostek pochodnych oraz ich nazw. Szkoła, jak się zdaje, niewiele robi by czynić miary dla ludzi bardziej bliskimi i zrozumiałymi. Nie wydaje się takŜe by dyskontowała systemowość miar i prostotę zasad ich tworzenia.

Konkluzja

Reasumując naleŜy stwierdzić, iŜ pomiar i jego jednostki naleŜąc w treściach programowych do tzw. „wiadomości i umiejętności praktycznych” powinny być kształtowane w kontekście praktyki; długo i uparcie, bo ...matematyka szkolna nie jest i

4 Jak wiemy jednostki większe tworzymy przez dodawanie do miana podstawowej greckich liczebników: 10 (deka), 100 (hekta), 1000 (kilo) itd. Mniejsze jednostki tworzymy analogicznie dodając tym razem do miana liczebniki łacińskie: 10 (decy), 100 (centy), 1000 (mili).


162

nie moŜe być czystym tworem umysłu lecz powinna mieć źródło w świecie rzeczywistym. Powstała – bowiem – aby ten świat opisywać... (Nawolska, śądło 2008: 270). Ten swoisty „powrót do źródeł”, do fenomenów świata, mierzenia go i wyraŜania w liczbach będzie bezcenną okazją do nabywania przez dzieci róŜnorodnych motorycznych (pamięć mięśniowa!) i wyobraŜeniowych doświadczeń, na bazie których ukształtują się w przyszłości solidne pojęcia miar i mierzenia. Najgorsze, co moŜna zrobić, to potraktowanie tego zagadnienia jako jeszcze jednej okazji do rachunków. Tym razem na liczbach mianowanych.

Literatúra

1. BOCHEŃSKI, J.: Sto zabobonów. Krótki filozoficzny słownik zabobonów, Kraków: PHILED, 1995, s. 140. ISBN 83-86238-10-0.

2. HEJNY, M.: Rozwój wiedzy matematycznej. Dydaktyka Matematyki 19, 1997. s.15-28. ISSN 0208-8916.

3. ŁUCZYŃSKI, J.: Rozwój inteligencji. In: Encyklopedia Psychologii. Warszawa: Fundacja INNOWACJA, 1998, s. 743-748. ISBN 83-86169-19-2.

4. NAWOLSKA B., śĄDŁO J.: Nauczyciel kształcenia zintegrowanego a błędy popełniane przez uczniów na zajęciach matematycznych. In: Nauczyciel w świecie współczesnym, B. Muchacka, M. Szymański (red.) Kraków: „Impuls”, 2008, s. 267-275. ISBN 978- 837308-938-9.

5. NOWAK, Z.: Bariera oczywistości w początkowym nauczaniu matematyki, In: Matematika w škole dnes a zajtra. Zbornik 7. ročnika konferencie s medzinárodnou účast’ou. Ružomberok: Katolicka Univerzita v Ružomberku, 2007, s. 221-225. ISBN 978-80-8084-187-4.

6. NOWAK, Z.: Dylematy kształtowania pojęć z zakresu tzw. „wiadomości i umiejętności praktycznych”, In: Matematika 3. Matematické vzděláwáni z pohledu žáka a učitele primárni šzkoly. Sbornik přispěvku z konference s mezinárodni účasti. Olomouc: Universita Palalackého v Olomouci, 2008, s. 203-207. ISBN 978-80-244-1693-3.

Adres

Zbigniew Nowak, doktor Instytut Pedagogiki Przedszkolej i Szkolnej Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie 30-060 Kraków,Ul. Romana Ingardena 4 Telefon 048-012-421 69 56 E-mail: [email protected]


163

„MATEMATIKA V HRSTI“. O VYU ČOVANÍ MATEMATIKY PODĽA PRINCÍPOV PEDAGOGIKY M. MONTESSORI

Hana OMACHELOVÁ

Abstrakt V príspevku je priblížená práca s niektorými učebnými pomôckami, ktoré vytvorila

Maria Montessori, a ktoré sú vhodné na rozvíjania matematickej gramotnosti žiakov. M. Montessori vytvorila ucelený pedagogický systém, ktorý je mnohými

odborníkmi uznávaný na celom svete. Obzvlášť pozoruhodne je v jej teóriách rozpracovaná oblasť matematiky. Prostredníctvom práce s učebnými pomôckami, ktoré majú v Montessori - pedagogike prevažne činnostný charakter, možno u detí prirodzeným spôsobom podporiť utváranie matematických predstáv.

“MATHEMATICS IN THE BAG”. ABOUT THE TEACHING OF MATHEMATICS ACCORDING TO PRINCIPLES OF MONTESSORI PEDAGOGY

Abstract The article deals with some teaching aids, which created Maria Montessori and

which are suitable to develop a pupil’s mathematical literacy. M. Montessori made the compact pedagogic system, which is respected all over the

world. Especially mathematics is in her theories carefully worked-out. Through the teaching aids (which have mostly manipulative character) we can support a forming of pupil’s mathematical imagines.

Úvod

Dnešná doba sa vyznačuje snahami o zmenu a reformovanie školstva. Hovorí sa o rozvíjaní funkčnej gramotnosti, matematickej, čitateľskej, informačnej gramotnosti, ako aj o ďalších druhoch gramotnosti, ktoré sú pre fungovanie v dnešnej spoločnosti nevyhnutné. Rôzne výskumy sa snažia nájsť nové spôsoby vyučovania, ktoré by zabezpečili rozvoj vedomostí, schopností a zručností žiakov. Užitočné však môže byť aj ohliadnuť sa po starších, osvedčených alternatívnych koncepciách. Jednou z pozoruhodných koncepcií je aj pedagogika Marie Montessori, ktorá by mohla byť nástrojom na priblíženie sa školy ku potrebám dnešnej praxe, predovšetkým však ku potrebám žiakov.

Pedagogika Marie Montessori

Maria Montessori (1870 – 1952) vypracovala v prvej polovici 20. storočia ucelenú koncepciu výchovy a vzdelávania, ktorá sa rozšírila do celého sveta a jej didaktické myšlienky sú akceptované v mnohých vzdelávacích komunitách dodnes. Jej teórie sú


164

pedocentricky orientované a poukazujú na možnosť prirodzenej výchovy a vzdelávania detí.

M. Montessori kladie dôraz na výchovu a vzdelávanie detí už od útleho veku. Jej cieľom je optimálny rozvoj osobnosti každého dieťaťa, rozvoj jeho samostatnosti. Myslenie detí má podľa nej absorbujúci charakter. Deti sú prirodzene poháňané, aby získavali nové podnety, ktoré im ponúka okolitý svet. Spracovávajú všetky podnety z prostredia a pokiaľ sú tieto podnety optimálne, vedú k ich normálnemu (zdravému) vývoju. Montessori na základe množstva pozorovaní práce detí vypracovala didaktický materiál, ktorý by deťom mal poskytovať dostatok podnetov pre ich zdravý vývin.

Keďže jej experimenty mali výrazne pozitívny vplyv na rozvoj myslenia detí, ale aj na ich správanie, chcela, aby sa jej myšlienky čo najviac rozšírili, aby sa čo najviac detí mohlo plne rozvíjať. „Správnej výchove, najmä v útlom veku pripisovala nesmierny význam. Vo výchove videla prostriedok dosiahnutia mieru a porozumenia“ (M. Matulčíková, 2007, s.61). Podobné Montessoriovej myšlienky mali obrovský ohlas v širokej vedeckej verejnosti. Niekoľkokrát bola nominovaná na Nobelovu cenu za mier, ktorá jej bola nakoniec udelená v roku 1950.

Postavenie matematiky v Montessori pedagogike

Matematický materiál je v Montessori pedagogike jedným z najprepracovanejších a najsystematickejších materiálov. Možno aj preto, že Maria Montessori mala sama veľmi blízko ku matematike – jej otec bol profesorom matematiky a ona sama vyštudovala prírodné vedy (a následne medicínu). Tvrdila, že „ľudský duch je matematickým duchom. Je neustále aktívny. Či sme doma, či kráčame po schodoch, prechádzame cez ulicu, všade potrebujeme merať vzdialenosť očami a chápať matematické vzťahy.“ (H. Helmingová, 1996 s. 121).

Matematický materiál vychádza z materiálu pre zmyslový rozvoj detí predškolského veku. Montessori kládla dôraz na zmyslovú skúsenosť pri učení sa. Vypracovala sady didaktických pomôcok pre rozvoj hmatového, zrakového a sluchového vnímania. Pomocou nich sa deti naučia rozpoznávať základné tvary, ich priestorové, či fyzikálne vlastnosti (hmotnosť, povrch, teplota,...). Práca s týmto materiálom je prípravnou fázou pre rozvíjanie matematických predstáv.

Rozvoj predstavivosti má v systéme M. Montessori významné postavenie. Montessori tvrdí: „predstavivosť je sila umožňujúca odhaľovať pravdu. Psychika človeka nie je pasívnym súborom reakcií na bezprostredné podnety. Je to večne mihotavý, nenásytný plameň, ktorý je neustále v pohybe a nikdy neodpočíva.“ (M. Montessori, 2003. s. 119). Matematické predstavy sa pri práci s montessori materiálmi rozvíjajú predovšetkým na základe zmyslových skúseností.

Predstavy sú síce obrazy vecí a dejov, ktoré v danom momente na naše zmysly nevplývajú, môžeme však tvrdiť, že väčšina predstáv má základ v zmyslovom vnímaní reality. Potom čím kvalitnejšie sú podnety, ktoré pôsobia na zmysly, tým kvalitnejšie budú aj abstraktné predstavy dieťaťa. Montessori matematický materiál ponúka široké možnosti experimentovania a objavovania matematických vzťahov. Pozoruhodné je na ňom prepojenie geometrie a aritmetiky. Všetky číselné vzťahy a operácie sa pomocou neho dajú geometricky interpretovať. Keďže rozsah tohto príspevku nedovoľuje dopodrobna priblížiť všetky matematické pomôcky vytvorené M. Montessori, predstavím v nasledujúcom texte aspoň niekoľko z nich, ktoré sú určené pre žiakov 1. až 2. stupňa základných škôl a pomocou ktorých sa dá zaujímavou formou počítať


165

so zlomkami. Prameňom týchto poznatkov je predovšetkým kurz Montessori pedagogiky, ktorý prebieha v Bratislave v aktuálnom školskom roku (2008-2009) pod vedením S. Bobekovej.

Materiál na prácu so zlomkami

Na utváranie základných predstáv o zlomkoch je vytvorená sada desiatich červených kruhov v zelených rámoch. Prvý z kruhov je celý, druhý je rozdelený na polovice, tretí na tretiny, štvrtý na štvrtiny... až nakoniec desiaty je rozdelený na desatiny (Obr. 1).

Obr.1: Delené kruhy.

Pri prvom prezentovaní materiálu musíme nadviazať na už známe predmety. Číslo 1 (celok) bolo v predstavách detí vzdelávaných podľa princípov Montessori znázorňované pomocou červeného koráliku. Ukážeme žiakovi, že ak by sme chceli korálik rozdeliť napríklad na 5 rovnakých častí, bolo by to veľmi obtiažne. Preto prinesieme nový materiál – sadu kruhov. Vyberieme z nich prvý, celý kruh a „definujeme“ ho ako celok.

Na druhom kruhu prezentujeme pojem „polovica“. Môžeme dieťaťu názorne ukázať, že dve polovice spolu tvoria jeden celok (dve polovice vložíme do prvého zeleného rámu, ktorý zostal prázdny). Ak celok rozdelíme na dve rovnaké časti, každá časť sa bude nazývať polovica. To, že je celok rozdelený na rovnako veľké časti prezentujeme priložením polovíc k sebe. Analogicky postupujeme pri zavádzaní pomenovaní ďalších zlomkov.

Pomenovanie zlomkov upevňujeme pomocou trojstupňovej metódy. Najskôr učiteľka pomenuje jednotlivé časti. Z rámov postupne vyberá polovicu, tretinu, štvrtinu... a ukladá ich pod rámy (Obr.2).

Obr. 2: Zavedenie názvov zlomkov – práca s delenými kruhmi.


166

Následne vyzve dieťa, aby ukázalo modely konkrétnych zlomkov („ukáž mi tretinu“). V treťom stupni má dieťa samo pomenovať konkrétne časti („ako sa volá toto?“ ...učiteľka ukáže na niektorú z častí).

Pri ďalšom experimentovaní s kruhovými výsekmi dieťa zistí, že model 2/4 môžeme vložiť do 1/2, 2/8 do 1/4 a pod. Vychádzajúc z toho môžeme jednoducho zaviesť rozširovanie a krátenie zlomkov a porovnávanie zlomkov. Keď už má dieťa vytvorenú predstavu o rozširovaní a krátení zlomkov, môžeme postupne prejsť ku znázorneniu matematických operácií.

Snáď najzaujímavejšie je v Montessori matematike vyriešené delenie zlomkov zlomkami. V tradičnej škole sa žiaci často musia naučiť poučku: „zlomok delíme zlomkom tak, že ho vynásobíme prevráteným zlomkom“. Matematická predstava sa tu však veľmi ťažko vytvára, často je až potlačená v prospech memorovania pravidla.

Vo všetkých Montessori pomôckach je delenie predstavované ako spravodlivé rozdeľovanie. Ak napríklad delíme 1 235 : 13, znamená to, že počet 1 235 rozdeľujeme spravodlivo trinástim ľuďom (môžu ich predstavovať figúrky z hry Človeče, nehnevaj sa) a pýtame sa, koľko dostal jeden, prípadne koľko nám zostalo. Podobné to bude aj pri delení zlomku zlomkom.

M. Montessori navrhla pre úvodné vysvetľovanie delenia zlomkov pomôcku – sadu figúrok, podobných tým, ktoré poznáme z hry Človeče nehnevaj sa (Obr. 3). Prvá figúrka nie je rozdelená, predstavuje celok. Druhá figúrka je rozdelená na dve rovnako veľké časti, teda na polovice. Tretia figúrka je rozdelená na tretiny a štvrtá na štvrtiny. Prácu s týmito figúrkami ukážeme na príklade.

Obr. 3: Delené figúrky.

Chceme vypočítať najskôr jednoduchší príklad:

1 : 3

2 =

Vyberieme jeden červený kruh a dve tretinové časti figúrky. Kruh chceme rozdeliť týmto dvom častiam. Keďže 1 celý kruh nemôžeme rozdeliť dvom, vymeníme ho za dve polovice. Potom každá tretinová časť figúrky dostáva 1/2 kruhu. Výsledok je to, čo má jeden celý (celá figúrka). Vezmeme teda tretiu tretinu z figúrky a zahráme deťom „divadielko“: „Čo ste vy dvaja dostali? Ja predsa patrím k vám, aj ja chcem to isté.“ Dáme tretej tretine tiež 1/2 kruhu (z doplnkového materiálu – sady plastových kruhov). Spojíme tretinové časti figúrky do celej figúrky a spojíme všetky tri polovice kruhov. Výsledok je 3/2.


167

Ďalšia úloha môže byť:

=4

3:

2

1

Chceme rozdeliť jednu polovicu kruhu trom štvrtinovým častiam figúrky. Jednu polovicu nahradíme tromi rovnako veľkými časťami kruhu (tromi šestinami). Každá štvrtina figúrky dostane jednu šestinu kruhu. Následne sa zopakuje „divadielko“ – aj štvrtá štvrtina bude chcieť dostať rovnaký diel, teda šestinu. Jedna celá figúrka potom dostáva 4. 1/6 = 4/6, čo môžeme vykrátiť a dostávame výsledok: 2/3.

Je zrejmé, že takýmto spôsobom sa nedajú počítať všetky príklady. Dôležité však je, aby si žiaci vytvorili názornú predstavu o delení zlomkov. Potom spolu s učiteľkinou pomocou môžu odhaliť pravidlo pre delenie zlomkov a počítať ďalej bez používania pomôcok.

Záver

Prezentovaný matematický materiál, ako príklad typického Montessori materiálu, je podrobne premyslený a vhodný pre rozvíjanie predstáv u žiakov. Podobne podrobne sú prepracované aj všetky ostatné didaktické pomôcky, ktoré navrhla M. Montessori. Je veľká škoda, že uvedené i ďalšie pomôcky nie sú bežne dostupné viacerým žiakom. Pretože ak chceme rozvíjať matematickú gramotnosť žiakov, zamerať by sme sa mali predovšetkým na rozvoj ich matematických predstáv. Je známe, že ľudia sa veľa naučia z grafických znázornení matematických vzťahov. Ešte účinnejšie je, ak je pri poznávaní zapojená aj práca rúk. Žiaci sa ľahšie učia, ak môžu samostatne manipulovať s rôznymi pomôckami.

Na záver uvediem jeden podnetný citát Marie Montessori, v ktorom sa prejavuje jej pedagogický optimizmus a kde sa hovorí o tom, že vzdelávanie má zmysel, ak bude systematické a vedecky podložené: „Je nespochybniteľné, že ak by výchova a vzdelanie boli založené na vedeckých princípoch, mohli by sme účinne znížiť rozdiely, ktoré proti sebe stavajú príslušníkov rôznych sociálnych vrstiev, čo by viedlo k harmonizácii života v spoločnosti. Inými slovami, civilizácia, ktorá spôsobuje ďalekosiahle zmeny v prírodnom prostredí, môže spôsobiť zmeny i v samotnom človeku. Pokiaľ tieto skutočnosti vhodne využijeme, vložíme ľudstvu do rúk takmer magické schopnosti.“ (M. Montessori, 2003, s. 123).

Literatúra

1. HELMINGOVÁ, H.: Pedagogika M. Montessoriovej. Bratislava: SPN, 1996. ISBN 80-08-00281-6.

2. MATULČÍKOVÁ, M.: Reformno/pedagogické a alaternatívne školy. Bratislava: AG MUSICA LITURGICA, 2007. ISBN 978-80-969784-0-3.

3. MOMTESSORI, M.: Absorbující mysl. Vývoj a výchova dítěte od narození do šesti let. Praha: SPS, 2003. ISBN 80-86-189-02-3.

4. MOMTESSORI, M.: Objevování dítěte. Praha: SPS, 2001. ISBN 80-86-189-0-5. 5. MOMTESSORI, M.: Tajuplné dětství. Praha: SPS, 1998. ISBN 80-86-189-00-7.


168

Kontaktná adresa

Mgr. Hana Omachelová, PhD. Súkromná ZŠ s MŠ MONTESSORI Zlatohorská 18 841 03 Bratislava Telefón: +421 911 542 028, +421 907 578 576 E-mail: [email protected], [email protected]


169

MÝTY O NÁSOBILKE

Edita PARTOVÁ

Abstrakt Vo verejnosti - dokonca aj odbornej - sa často prezentuje názor, že všetko čo

ľudia potrebujú vedieť z matematiky je násobilka. Nadmerná preferencia ovládania základných spojov vedie vo vyučovaní k tomu, že žiaci vedia „ násobilku“ , ale často nevedia čo je to násobenie. V príspevku sú prezentované výsledky prípadového štúdia tohto javu.

THE MYTHS OF MULTIPLICATION TABLE

Abstract It is a very common misbelief in public opinion – even in professional circles, that

the only thing worth of knowing from math is multiplication facts. The overrated focus on basic multiplication facts results, that students even memorizing this facts, but they still do not understand the process of multiplying. In the article are presented some case studies, exposing this problem.

Násobenie a násobilka

„Všetko čo z matematiky potrebujem je malá násobilka“. Tento výrok často odznieva v rodinách, v komunikačných prostriedkoch ba dokonca aj v odborných matematických kruhoch. V učebniciach slovo „násobilka“ sa používa na označenie učiva o násobení, učitelia medzi sebou hovoria o preberaní násobilky. Táto zdanlivo bezvýznamná terminologická nepresnosť vedie k deformácii cieľov vyučovania. Namiesto násobenia sa vyučovanie sústreďuje na memorovanie násobilky, napriek tomu, že učebné osnovy predpisujú ovládanie násobenia.

Terminologická poznámka: • „násobenie“ je binárna operácia , pre matematiku na 1. stupni ZŠ definovaná na

množine prirodzených čísel ako súčin kardinálnych čísel. • „násobilka“ („malá násobilka“) je tabuľka základných spojov násobenia. (všetky

súčiny dvoch jednociferných čísel + násobky desiatky s jednocifernými číslam + 10.10). Okrem toho, že počas precvičovania násobilky vznikajú problémy s rôznym

tempom napredovania žiakov, objaví sa aj obava z neúspechu a hrozí nástup formalizmu do vyučovania matematiky. Ciele v učebných osnovách z r. 1995 sú formulované ako: „...chápať ... násobenie ako sčítanie rovnakých sčítancov...“ „ pochopiť súvislosti medzi násobením a delením“ [2], teda očakáva sa porozumenie operácie. V súčasnosti sa zavádza do škôl nový štátny vzdelávací program, ktorý deklaruje orientáciu na matematické kompetencie teda kompetenciu riešiť reálne problémy pomocou násobenia.

Pre odborníkov z didaktiky matematiky je jasné, že ovládanie násobilky neznamená automaticky aj ovládanie násobenia. Nie je však jednoduché identifikovať


170

nevytvorený obsah pojmu, ktorý žiak viac-menej správne používa. Cieľom tohto príspevku je ukázať nástroje identifikácie porozumenia násobenia u žiakov ovládajúcich násobilku..

Zisťovanie porozumenia násobenia

V roku 2008 sa uskutočnili prípadové štúdia u troch žiakov tretieho ročníka z dostupného výberu: Adela je žiačka špeciálnej výberovej školy pre nadaných žiakov, nemá problémy s matematikou, Benjamín žiak priemernej sídliskovej školy, tiež nemá problémy s matematikou zaraďuje sa medzi dobrých žiakov, Cyprián je žiak z mestskej školy s vynikajúcou povesťou, ale nie špecializovanej, matematiku má rád a nemá problémy.

Úroveň osvojenia pojmu násobenie sme skúmali pomocou rozhovoru, zadávaním problémových úloh s využitím rôznych učebných pomôcok. Rozhovory sa uskutočnili v mimoškolskom prostredí. Vo všetkých prípadoch mali žiaci na stole tieto pomôcky: kocky, Cuisienerove tyčinky, štvorčekový papier, drobné predmety (gombíky, žetóny...) nakreslená číselná os, geodoska.

Prvá úloha Žiakom boli predložené pomôcky a mali ukázať konkrétny spoj, koľko je trikrát

štyri?“ Odpovede:

A: Krátko rozmýšľala a šepkajúc „to je 12“ vyložila 12 kociek do radu. B: Vyložil kocky tak ako je znázornené na obrázku 1 a povedal „neviem ako urobiť

krát“ Potom na pokyn „skús to nakresliť nakreslil do štvorčekového papiera“ nakreslil obrázok 2.

C: Krátko rozmýšľal vyložil 12 žetónov do radu.

Rozhovor pokračoval otázkou „... dobre je to 12, ale prečo je to trikrát štyri“. Ani jeden zo žiakov nevedel ukázať model, preto sme pristúpili k ukážke návodu. Pomocou Cuisienerových tyčiniek sme modelovali číslo 3 a zadali úlohu „vylož dvakrát tri, trikrát tri, ....“. Všetci žiaci vymodelovali žiadané spoje.

Obrázok 1: Ukážka spoja 3.4

X

Obrázok 2: Druhá ukážka spoja 3.4


171

Obrázok 8: Ukážka spoja 3.7 na geodoske

Model na obrázku 3 sa zdá stále viazaný na číselný rad, ale model na obrázku 4 už možno považovať za skutočný model rovnako početných množín. Výsledky boli podobné aj v úlohách s neusporiadanými množinami.

Druhá úloha

Vylož z kociek (žetónov....) trikrát dva . Žiaci opäť vyložili predmety do radu. Po usmernení bez problémov zvládli model

troch dvojprvkových množín. Zaujímalo nás, či na základe uvedených činností sa objaví aj predstava základného spoja násobenia ako obsahu pravouholníka. Vyzvali sme žiakov aby nakreslili na štvorčekový papier trikrát dva. Vyskytli sa výsledky znázornené na obrázkoch 5 a 6.

Tretia úloha - modely na geodoske Prekvapujúce bolo, že ak mali žiaci modelovať spoj násobenia na novej pomôcke,

aj po ukážke predchádzajúcich modelov násobenia ( ako zjednotenia rovnako početných množín) všetci znázornili len výsledné číslo a nie súčin. Ilustrujú to ukážky rôznych riešení na obrázkoch 7 a 8.

Obrázok 3: Model spoja 3.4



Obrázok 7: Ukážka spoja 3.4 na geodoske

Obrázok 6: Model spoja 3.2.


172

Odvodenie vzťahov medzi jednotlivými spojmi

Rovinný model násobenia považujeme za dôležitý, lebo tvorí integrujúci prvok medzi číslom a tvarom. Preto sme skúmali aj predstavu žiakov o tomto modeli. Na štvorčekový papier sme nakreslili štvorec 4.4 a žiadali sme žiakov aby zistili počet štvorčekov. Žiaci reagovali tak, že spočítali štvorčeky po jednom, až po usmernení pochopili, že stačí spočítať štvorčeky v rade a počet radov potom sa dá úloha riešiť násobením. Pri zadávaní ďalších úloh následne všetci žiaci vedeli tento model používať. Pri ďalšej úlohe sme výšili náročnosť. Žiak nakreslil na štvorčekový papier obraz spoja 4.4 a mal z neho urobiť 3.3. Na autentickom obrázku sa dá sledovať priebeh práce. Najskôr prefarbil a škrtol jeden riadok. Na výzvu skontroluj či je to 3.3 prefarbil aj stĺpec a škrtol. Toto riešenie ukazuje, že žiak má dostatočne rozvinuté abstraktné myslenie, aby vedeli vyhodnocovať, preformulovať, objavovať vzťahy a zovšeobecňovať. Je veľká škoda tento potenciál nerozvíjať dokonca potlačiť nadmernou požiadavkou memorovania.

Fakty a kompetencie

V poslednom desaťročí sa často objavuje pojem kompetencia aj v súvislosti s požiadavkami na výstupné výsledky vyučovania. Napriek množstve definícií nie je jednoduché vytvoriť si predstavu o pojme kompetencia. V minulosti sme pod pojmom kompetencia rozumeli spôsobilosť vykonať určitú činnosť, asi nebude celkom nesprávne budovať pojem na tomto základe. Pre účely vyučovania elementárnej matematiky sa javí ako vhodné zjednodušiť definíciu pojmu kompetencie ako „pripravenosť (dispozícia) vysporiadať sa so životnou situáciou. Na vysporiadanie sa s najjednoduchšími stačí iba vedomosť či iba zručnosť, na najzložitejšie treba mobilizovať vedomosti, zručnosti, schopnosti, či postoje.“ [1]. Medzinárodné merania vyučovacích výsledkov - naposledy PISA 2006, [5] nám neustále dokazujú, že bezduché memorovania faktov nevedie k úspešnému riešeniu životných situácii.

Požiadavky na kľúčové kompetencie potvrdzujú, že v oblasti matematiky sú neprávom považované základné spoje násobenia, za kľúčové. Uvedené prípadové štúdia ukázali, že žiaci napriek tomu, že ovládajú „násobilku“ pohotovo, nemajú predstavu o operácie, preto sa nedá očakávať, že budú schopní identifikovať situácie, ktoré sa riešia násobením. Pričom okrem vyučovacej hodiny sa človek nikde nestretne s úlohou povedz koľko je 3.7. Životné situácie vyžadujú v prvom rade identifikáciu problému ako násobenia, až po identifikácie nastupuje potreba znalosti základného spoja.

Záver

Pomôcky používané v uvedených aktivitách má k dispozícii každý učiteľ. Na trhu je dostupné aj množstvo iných didaktických pomôcok od trojrozmerných predmetov cez číselnú os až po počítačový softvér (nemáme na mysli testovací softvér). Učiteľom nič nebráni tomu, aby ich použili a čas venovaný porozumeniu pojmu násobenia a automatizácii základných spojov rozdelili vo pomere v prospech porozumenia. Ovládanie násobilky, ako postačujúca podmienka k úspešnému riešeniu matematických

Obrázok 9: Transformácia spoja 4.4 na 3.3


173

úloh je mýtus. Na mnohých školách aj v dnešnej dobe sa častejšie preveruje reprodukovanie namemorovaných faktov ako porozumenie. Ukazujú to aj uvedené rozhovory so žiakmi, ktorí všetci boli úspešní, ovládali základné spoje, ale nemali predstavu o operácii násobenia. Pravdepodobne tu je pôvod nežiaduceho javu, že žiak vie všetky základné spoje všetkých základných operácií, ale nevie, ktorú má použiť pri riešení slovnej úlohy.

Literatúra

1. BUTAŠ, J. : Vzdelávacie štandardy a kompetencie s akcentom na matematiku. PdF KU, Ružomberok, 2008, ISBN978-80-8084-356-4

2. MŠSR: Učebné osnovy pre 1. stupeň základných škôl. Príroda a.s. Bratislava, 1995, ISBN 80-07-00748-2

3. MŠSR: Štátny vzdelávací program. 2008, www.minedu.sk 4. PARTOVÁ, E. a kol.: Didaktika elementárnej matematiky. PdF UK, Bratislava,

2008, www.delmat.fedu.uniba.sk 5. PISA 2006 národná správa Slovensko

http://www.statpedu.sk/buxus/generate_page.php_page_id=1.html

Kontaktná adresa

Doc. RNDr. Edita Partová, CSc. Katedra matematiky a informatiky PDF UK v Bratislave Račianska 59, 81334 Bratislava Telefón: +421 50 222 404 E-mail: [email protected]


174

HROMADNÉ SPRACOVANIE ÚDAJOV NA 1. STUPNI ZŠ

Miriam PAŠTÉKOVÁ

Abstrakt Rozbiehajúca sa reforma školstva priniesla niekoľko podstatných zmien aj do

primárneho matematického vzdelávania. Ponecháva viac priestoru na špecifický rozvoj matematického myslenia a tak si každý učiteľ matematiky na 1. stupni ZŠ môže do učebných plánov zapracovať aj niečo navyše. Predložená práca poukazuje na možnosti zakomponovania témy o spracovaní hromadných údajov do vyučovania matematiky na 1. stupni ZŠ s využitím moderných informačných technológií.

BULK DATA PROCESSING ON THE PRIMARY SCHOOL

Abstract Starting reform of education has brought several significant changes to the primary

mathematical education, too. It gives more space to specific development of mathematical thinking, so all mathematicians teaching at the first stage of primary school, can incorporate new stuff into their teaching plans. The paper deals with possibilities of incorporation of the bulk data processing into the mathematical education at the primary school with application of modern information technologies.

Úvod

V dnešnej informatizovanej spoločnosti sú deti mladšieho školského veku častokrát konfrontované s rôznymi schémami, tabuľkami a grafmi, či už prostredníctvom televízie, internetu, tlače, reklamy atď. Preto naučiť deti pracovať s tabuľkami, grafmi a diagramami sa ukazuje ako potrebné už na 1. stupni ZŠ.

Súčasná reforma školstva priniesla nový pohľad na mnohé oblasti primárneho matematického vzdelávania. Nový štátny vzdelávací program zavedený v roku 2008 prehodnotil dovtedy zaužívaný obsah matematického vzdelávania a zaviedol päť základných tematických okruhov pre všetky stupne vzdelávania (pozri [4]):

• Čísla, premenná a počtové výkony s číslami; • Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky a diagramy; • Geometria a meranie; • Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika; • Logika, dôvodenie a dôkazy. Avšak každý tematický okruh nemusí byť explicitne realizovaný na každom stupni

vzdelávania. Pri porovnaní s učebnými osnovami z roku 1997 vidíme, že do primárneho matematického vzdelávania sa dostali nové tematické okruhy, napr. nachádzame tu zmienku o tabuľkách, grafoch a diagramoch. V učebniciach používaných na výučbu matematiky na 1. stupni ZŠ nie je problematika hromadného spracovania údajov ucelene spracovaná. Tento príspevok poskytuje námety konkrétnych úloh a zamestnaní vhodných pre žiakov 1. stupňa ZŠ, ktoré môžu byť použité ako výberové učivo matematiky, pričom úlohy sú zamerané na propedeutiku spracovania hromadných


175

údajov, znázorňovanie hromadných údajov pomocou diagramov a čítanie z nich. Pretože v súčasnosti sa veľký dôraz sa kladie na využitie informačných a komunikačných technológií vo vyučovaní na všetkých stupňoch vzdelávania aj nami predložené úlohy sú realizovateľné s podporou IKT.

Problematika práce s údajmi na 1. stupni ZŠ

Tabuľky a grafy vizuálne ilustrujú informácie o nejakých reálnych skutočnostiach, pričom takéto informácie sú pre ľudí často prehľadnejšie a praktickejšie. „Grafy sú symbolickou reprezentáciou reality, pri ktorých je na pochopenie vzájomných vzťahov potrebná abstrakcia.“ (pozri [3])

Preto je vhodné, keď sa práca s údajmi (triedenie, tabuľky, schémy a grafy) vyskytuje aj v samotných učebných osnovách a vzdelávacích programoch. Ak sa pozrieme na primárne matematické vzdelávanie v niektorých európskych krajinách, tak zistíme, že problematika hromadného spracovania údajov sa nachádza vo vzdelávacích programoch primárneho vzdelávania týchto krajín.

V Českej republike je primárne vzdelávanie rozdelené na 2. obdobia: 1. obdobie predstavuje 1. – 3. ročník a 2. obdobie 4. – 5. ročník. Výstupy z oboch období v rámci práce s údajmi majú byť nasledovné: (pozri [7])

1. obdobie – žiak dopĺňa tabuľky a schémy; 2. obdobie – žiak vyhľadáva, zbiera a triedi údaje, číta a zostavuje jednoduché

tabuľky a diagramy. Vo Veľkej Británii sa primárny stupeň rozdeľuje na 2 fázy podľa veku žiaka. V

prvej sú žiaci vo veku 5-7 rokov a v druhej vo veku 8-11 rokov. Téma práce s údajmi tu vystupuje až v druhej fáze primárneho stupňa. Je charakterizovaná zbieraním, zaznamenaním a spracovaním údajov, ich následným prezentovaním a interpretovaním. Dôraz sa kladie na hľadanie vhodných triediacich kritérií. Po tom, čo žiaci zhromaždia informácie, zaznamenajú svoje výsledky do jednoduchého zoznamu, tabuľky alebo grafu, môžu prehľadne prezentovať svoje výsledky. (pozri [5])

Fínsky vzdelávací systém kladie ešte väčší dôraz na tematický celok Spracovanie údajov a štatistiku a to aj na primárnom stupni (pozri [2]). V prvých dvoch ročníkoch sa tematický celok nazýva Spracovanie dát a štatistika a zahrňuje:

• vyhľadávanie, zbieranie a ukladanie údajov; • čítanie jednoduchých tabuliek a diagramov; • prezentovanie údajov v stĺpcovom diagrame. Tretí až piaty ročník rozširuje tento tematický celok o pravdepodobnosť a žiaci sa

ďalej naučia: • zhromažďovať údaje a ďalej ich triediť, klasifikovať a štatisticky prezentovať a

taktiež čítať jednoduché tabuľky a diagramy; • posúdiť odlišné výsledky a iné alternatívy a budú vedieť rozlišovať nereálny

výsledok od spoľahlivého. V našom školskom vzdelávacom programe nie je problematika spracovania

hromadných údajov na 1. stupni ZŠ explicitne zahrnutá. Existuje však možnosť zaradiť túto problematiku do školského vzdelávacieho plánu, napr. k okruhu Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky a diagramy, prípadne využiť štátnym programom určené voľne disponibilné hodiny, obsah ktorých si môžu určiť jednotlivé základné školy. Pritom úlohy, ako sú zbieranie a spracovanie údajov do tabuliek a tvorba piktogramov alebo


176

stĺpcových diagramov a čítanie z nich možno zaradiť už do 3. ročníka a riešenie úloh s využitím stĺpcového diagramu ako aj prezentovanie vlastných výsledkov s využitím grafov a tabuliek do učiva 4. ročníka. K tomu je potrebné, aby učitelia mali k dispozícii vhodné učebné texty, pracovné listy, prípadne multimediálne vzdelávacie programy.

V zahraničí takéto učebné materiály existujú, napr. anglická učebnica Maths basics už pre 5-6 ročné deti obsahuje tému Data: graphs (údaje: grafy) v troch úlohách (pozri [1]). V prvej úlohe žiak pozoruje piktogram a rozpráva o tom, čo z neho vyčítal. Graf ukazuje 4 druhy obľúbených nanukov a ich početnosť. V druhej úlohe žiak číta piktogramu a odpovedá na otázky. Tematika je podobná ako v predchádzajúcej úlohe, vystupujú v nej želé medvedíky v 5 farbách a žiak určuje, koľko ľudí obľubuje farbu žltú, fialovú atď. Tretia úloha je inverzná k predošlej, úlohou žiaka je vytvoriť piktogram zo 4 červených cukríkov, 3 modrých, 2 zelených a 3 žltých cukríkov.

Veľkú pozornosť venujú práci s údajmi zahraničné detské internetové stránky podporujúce matematické myslenie. Z nich na ilustráciu vyberáme:

• podporný program zakresľujúci stĺpcový diagram pre 6 údajov v obore násobilky 5 a v rozsahu 0-80 podľa inštrukcií učiteľa. (pozri [8])

• Štyri úlohy s piktogramom, kde žiak striedavo číta z grafu alebo ho tvorí alebo odpovedá na otázky. Ak žiak príde na pointu zakresľovania a čítania z grafov, úloha nadobudne pomerne rýchly spád. [10,11]

• motivujúcu aktivitu na triedenie údajov poskytuje ďalší pekne animačne spracovaný program „obľúbené hobby“. Podľa zadaných údajov žiak vyplní tabuľku a zodpovedá na otázky. [9]

• americký pekne animačne spracovaný program „počítanie objektov“ vychádza zo vzťahu medzi numeráciou a znázornením do grafu. Poukazuje na to, že už v elementárnych ročníkoch dokáže žiak samostatne interpretovať údaje. [12]

Návrhy úloh na prácu s údajmi vo 4. ročníku ZŠ

Na vyučovanie problematiky hromadného spracovania údajov na 1. stupni ZŠ sme pripravili 14 úloh zoradených do 4 skupín, ktoré môžu byť realizované pomocou počítača.

Prvú skupinu tvoria úlohy zamerané na triedenie údajov, tvorbu tabuliek, piktogramov alebo stĺpcových diagramov a prácu s údajmi podľa zvolených otázok a úloh.

Druhá skupina úloh je inverzná k predošlej a prináša úlohy na čítanie údajov z jednoduchých stĺpcových diagramov a ďalšie úlohy vychádzajúce z týchto zistení ako sú napr. dopĺňanie tabuliek, priraďovanie daných počtov predmetov k sebe, odpovede na otázky a úlohy.

Tretia skupina zahrňuje úlohy na porovnávanie dvoch skupín údajov zadaných v stĺpcovom diagrame alebo v tabuľke, ktorú si vytvorili samotní žiaci vlastnou analýzou údajov.

Štvrtá skupina údajov tvorí propedeutiku vyučovania štatistiky pre druhý stupeň ZŠ prostredníctvom hry s hracou kockou a sledovaním frekvencií súčtov náhodne padnutých čísel pri jednej, dvoch alebo troch kockách.

Na ilustráciu uvedieme ukážky úvodných strán z 1. a 2. skupiny úloh.


177

Obrázok č. 1: Ukážka z 1. a 2. skupiny úloh Úloha č. 1 Roztrieď zrelé jahody do príslušných tanierov podľa veľkosti, nezrelé nezbieraj. Doplň piktogram, tabuľku a zodpovedaj dole umiestnenú otázku.

Samotná práca žiaka pri riešení úloh je nenáročná a žiaci si ju pomerne rýchlo

osvoja. Použitie počítača nesie samo v sebe veľký motivačný náboj a pre žiakov znamená síce netradičný, ale veľmi obľúbený moderný spôsob výučby.

Na záver nášho príspevku uvedieme výsledky experimentu. Cieľom experimentu bolo zistiť, aké sú vedomosti žiakov 4. ročníka v tejto oblasti. Na výskume sa zúčastnilo spolu 85 žiakov zo štyroch tried na ZŠ v Trnave a v Bratislave.

Test obsahoval tri úlohy z tejto tematiky. Cieľom prvej úlohy bolo overiť schopnosti žiakov v čítaní údajov zo stĺpcového diagramu a doplniť tabuľku počtov. Žiaci úlohu zvládli veľmi dobre (pozri graf č. 1). Až 56% žiakov vyriešilo úlohu bez chyby, 25% doplnilo správne iba 3 hodnoty (párne čísla), pretože početnosti na osi y boli vyznačené postupnosťou párnych čísel. Pri nepárnych početnostiach (napr. pri čísle 15, keď žiak videl, že výška stĺpca končí medzi číslom 14 a 16) sa objavili mnohé chybné, ale zato zaujímavé riešenia ako napr. 14 a pol (napísané slovne). Zaujímavé bolo aj časté použitie desatinného čísla 14,5 a 14,2 (pozn. desatinné čísla sa žiaci učia v 5., po novom až v 6. ročníku). Časť žiakov údaj 15 zaokrúhlila nadol na 14 a časť nahor na číslo 16. Až 13% žiakov neriešilo úlohu vôbec, pretože už pri prvom pohľade zistili, že sa to ešte neučili a neboli ochotní venovať neznámej úlohe viac času, prípadne si ju viackrát prečítať a zamyslieť sa nad ňou. Problém týchto žiakov súvisel najmä s ich čitateľskou gramotnosťou.

Druhá úloha bola inverzná k prvej, žiaci mali podľa tabuľky dokresliť stĺpce do diagramu. Nakoľko početnosti na osi y boli v tejto úlohe značené po jednej, žiakom nerobilo problém úlohu vyriešiť. Až 88% žiakov nemalo problém túto úlohu vyriešiť.


178

Zvyšných 11% žiakov pre vyššie uvedené dôvody (ako v úlohe 1) nerealizovalo ani túto úlohu. Zaujímavé boli niektoré riešenia, ktoré som však uznala za správne a to, že niektorí žiaci si vyznačovanie stĺpcov zjednodušili a vyznačili iba zvislé úsečky patričnej výšky alebo úsečky patričnej výšky na konci kolmo zalomené a našli sa aj riešenia, v ktorých žiak vyznačil iba vodorovnú čiarku v príslušnej výške nad daným údajom na osi x.

V tretej úlohe mali žiaci porovnávať 2 skupiny údajov zo stĺpcového diagramu a odpovedať na otázky. Úlohu vyriešilo bez chyby 35% žiakov, 22% pozabudlo vo štvrtej otázke doplniť ešte jeden údaj, resp. žiaci z grafu správne vyčítali daný jav, ale nevšimli si, že táto istá situácia sa tam vyskytuje ešte raz a to aj napriek tomu, že políčko na dopĺňanie údajov bolo dvojnásobne väčšie ako pri predošlých jednoslovných odpovediach. 19% žiakov sa dopustilo iných chýb (zle vyčítali viacero údajov) a zvyšných 24% žiakov neriešilo úlohu vôbec.

Napriek tomu, že s grafmi sa žiaci 1. stupňa nestretávajú, výsledky boli veľmi pozitívne. Najväčším problémom u žiakov bolo prekonať počiatočnú obavu z toho, že test obsahuje niekoľko úloh, ktoré doposiaľ nevideli. Avšak po viacerých prečítaniach zadaní úloh ich hravo vyriešili. Výsledky úspešnosti riešenia predchádzajúcich úloh zobrazujú nasledujúce grafy. Graf č. 1: Čítanie zo stĺpcového diagramu

48; 56%

3; 4%

1; 1%

21; 25%

1; 1%

11; 13%

7 bodov

6 bodov

4 body

3 body

1 bod

0 bodov

Graf č. 2: Dokreslenie stĺpcového diagramu

75; 88%

1; 1%

9; 11%

3 body

1 bod

0 bodov

Graf č. 3: Výsledky porovnávania dvojíc údajov zo stĺpcového diagramu

30; 35%

19; 22%8; 9%

4; 5%

4; 5%

20; 24% 5 bodov

4 body

3 body

2 body

1 bod

0 bodov

Z výsledkov vidíme, že žiaci 4. ročníka nemali s jednoduchými úlohami väčšie

problémy. Preto sa nám ukazuje ako vhodné, zaradiť prácu s údajmi do 4. ročníka a tvorbu jednoduchých stĺpcových diagramov a čítanie z nich už do 3. ročníka.


179

Záver

V príspevku sme poukázali na možnosti realizácie výučby tematického okruhu o údajoch, tabuľkách a grafoch na 1. stupni ZŠ. Vychádzame zo skúseností zo zahraničných učebných programov a z výsledkov testu predvýskumu, ktorý ukázal, že žiaci 4. ročníkov sú pripravení samostatne spracovávať údaje a tvoriť grafy. Z experimentu vyplýva, že niektoré podobné úlohy je možné využiť už v 3. ročníku. Nami navrhnuté skupiny úloh v elektronickej podobe môžu byť vhodnou pomôckou pre učiteľov 1. stupňa ZŠ. Našou ďalšou prácou bude pripraviť k týmto úlohám s metodickú príručku a spolu s úlohami budú predmetom experimentálneho overovania vo 4. ročníkoch ZŠ.

Táto práca bola realizovaná v rámci riešenia projektu KEGA 3/7263/09.

Literatúra

1. BROADBENT, P.-PATILLA, P.: Maths basics for ages 5-6 key stage 1, Letts educational, Londýn 2002, p. 22. ISBN 1-84315-067-0.

2. Education system in Finland. In: http://www.edu.fi/english/SubPage.asp?path= 500,4699.

3. FERRARA, F.: Remembering and imagining. In: http://www.eric.ed.gov/ ERICDocs/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/29/8c/06.pdf

4. HAUSER, J.: Štátny vzdelávací program pre 1. stupeň ZŠ v SR. In: http://www.statpedu.sk/buxus/docs/kurikularna_transformacia/isced1_jun30.pdf

5. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: O vyučovaní matematiky vo Veľkej Británii. In: Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, Smolenice 2005, pp. 107-130. ISBN 80-8082-030-9.

6. KITTLER, J. a kol.: Matematika pre 3. ročník ZŠ, Pracovný zošit 1. časť. SPN, Bratislava 1995, s. 21, 22, 26. ISBN 80-08-00259-X.

7. SOTÁKOVÁ, K.: Kurikulárna transformácia matematiky na 1. stupni ZŠ na Slovensku v porovnaní s Českou republikou. In: Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, Smolenice 2005. ISBN 80-8082-030-9.

8. http://www.amblesideprimary.com/ambleweb/mentalmaths/grapher.html 9. http://www.bbc.co.uk/schools/revisewise/maths/data/11_act.shtml 10. http://www.beaconlearningcenter.com/WebLessons/HowItAllStacksUp/default.htm 11. http://www.beaconlearningcenter.com/WebLessons/IAmSpecial/default.htm 12. http://www.hbschool.com/activity/counting_objects/

Kontaktná adresa

Miriam Paštéková, Mgr. Trnavská univerzita, Pedagogická fakulta Priemyselná 4, P.O.BOX 9, 918 43 Trnava Telefón: +421 33 551 4618 Fax: +421 33 551 6047 E-mail: [email protected]


180

NĚKTERÉ FAKTORY OVLIV ŇUJÍCÍ PROSTOROVOU PŘEDSTAVIVOST ŽÁK Ů

Jaroslav PERNÝ

Abstrakt Příspěvek se zabývá některými faktory, které podle mých výzkumů ovlivňují rozvoj

úrovně prostorové představivosti žáků 1. stupně ZŠ. Tyto faktory se uplatňují při řešení různých problémových situací, při kterých žáci řeší úlohy pouze ve své představě, pokud možno bez zobrazovacích metod, někdy i bez modelů. Využívají přitom zejména mentální manipulaci s objekty a napomáhají si kinestetickými prvky a svou zkušeností, někdy i neuvědoměle.

SELECTED FACTORS INFLUENCING PUPIL’S SPATIAL IMAGINATION

Abstract The contribution deals with some factors, which according to my research influence

spatial imagination development of 1st grade basic school pupils. These factors take place during solving of problem tasks, which are solved in pupil’s mind only, if possible without projection methods, sometimes even without help of a teacher. Pupils use mainly mental manipulation with objects, helping themselves with kinesthetic elements and their experience, sometimes mindlessly.

1. Úvod

Již delší dobu se intenzivněji zabývám zkoumáním prostorové představivosti žáků a možnostmi jejího rozvíjení, a to i na 1. stupni základní školy. Jde o významnou kompetenci člověka, důležitou pro život. Využívám řešení různých problémových situací, které vyžadují mentální manipulaci s objekty a neverbální formy myšlení. Přitom zjišťuji, jak úspěšně žáci řešení problémů zvládají, jak překonávají některé překážky a které faktory jim při tom pomáhají.

2. Výzkum

Jednou oblastí je zkoumání prostorové představivosti v prostředí „krychle a pohyb“. Snahou bylo poznávání jejich řešitelských procesů a užití těchto poznatků při zvyšování úrovně prostorové představivosti ve vyučování matematiky.

Problémovými situacemi byly „Procházky po krychli“ a „Odvalování hrací kostky“. Pro obě situace byly zpracovány pokud možno obdobné soubory úloh, které byly řešeny žáky. Kromě řešení, se sledovaly různé doprovodné projevy respondentů, řešitelské strategie a následně se hledaly hlavní společné faktory ovlivňující úspěšnost řešení úloh a rozvoj prostorové představivosti.


181

2.1. Problémová situace „Procházky po krychli“ Soubor experimentů je založen na problémové situaci „Procházky po krychli“ (dále

PPK), kdy respondent „chodí“ po hranách a úhlopříčkách povrchu krychle od vrcholu k vrcholu podle daných pokynů, přičemž si tuto krychli pouze představuje ve své mysli.

Na obrázku je popis stěn a směrů pohybu po krychli, vysvětlený na trojrozměrném modelu a ilustrační úloha s řešením. Žák při řešení obrázek ani model nemá k dispozici. Popis: horní doprava Úloha: Začínáme v bodě B – Řešení: v bodě E stěna – jdeme nahoru – G pravá – dozadu – E F stěna – napříč horní stěnou. nahoru dopředu Kde jsme? B přední stěna

2.2 Problémová situace „Odvalování hrací kostky“ Soubor experimentů je založen na problémové situaci „Odvalování hrací kostky“

(dále OHK), ve které žák pouze ve své představě „převrací“ hrací kostku přes její hrany podle hracího plánu a sleduje stěnu, na kterou se kostka právě položí.

Na obrázku je popis stěn hrací kostky v základní poloze, vysvětlený na modelu a ilustrační úloha s řešením. Žák při řešení kostkou nemanipuluje, převrací ji jen v mysli. Základní poloha kostky Úloha: Převracíme kostku ze základní polohy podle šipek na hracím plánu a zapisujeme hodnoty na dolní stěně. vzadu 5 vlevo 4 Řešení:

5 3 2

dole 6 6 6 6

3. Shrnutí výsledků výzkumu a některá doporučení

Výsledky získané z experimentů jsme analyzovali pomocí atomární a komparativní analýzy a hledali faktory, které jsme nazvali fenomény, které jsou podle našeho názoru významné pro rozvoj prostorové představivosti. 3.1. Fenomén jazykový

Fenomén jazykový se vztahuje ke komunikaci a spočívá v tom, že žáci, zejména mladší, rozdílně chápou terminologii vztahující se k popisu stěn krychle (která je přední a zadní) a směrů pohybu po krychli (kam je dopředu a kam dozadu).

Někteří považují za přední stěnu tu blíže k nim a za zadní tu dále od nich (tak to chápeme my), jiní tyto stěny chápou naopak. Stejně tak někteří chápou směr pohybu dopředu jako směr k nim a směr dozadu jako směr od nich (tak to chápeme my) a jiní žáci tyto směry chápou obráceně. Ojediněle se vyskytli ti, kteří za přední stěnu považovali tu blíže k nim, ale směr dopředu byl směr od nich, takže směr dopředu znamenal vlastně k zadní stěně. Obrácený případ k tomuto se nevyskytl.


182

Gr. 3.1.1 Rozdílnost chápání směrů a stěn dle pohlaví a věku (v %)

chlapci

směr i stěna od

žáka 55%

směr i stěna k žákovi 40%

směr od, stěna u

5%

směr k, stěna od

0%

mladší

směr k,

stěna od 0%

směr od,

stěna u5%

směr i

stěna od

žáka 65%

směr i

stěna k žákov i 30%

starší směr od, stěna u

5%

směr i stěna k žákovi 75%

směr k, stěna od

0%

směr i stěna od

žáka 20%

Mladší žáci chápou stěny a směry spíše obráceně, starší, zejména dívky je chápou běžně Gr. 3.1.2 Chápání stěn a směrů dopředu-dozadu u PPK (v%)

Legenda: 1 mladší hoši, 2 mladší dívky, 3 starší hoši, 4 starší dívky

Starší žáci, zejména dívky chápou stěny a směry běžně, mladší, zejména hoši obráceně. U hochů dochází k častější změně chápání stěn a směrů. Gr. 3.1.3 Chápání směrů dopředu-dozadu u OHK (v %)

Legenda: 1 starší hoši, 2 starší dívky, 3 mladší hoši, 4 mladší dívky

Většina žáků chápe směr dopředu jako od sebe, což je přirozené z hlediska odvalování. Doporučení

Tento jazykový fenomén rozdílného chápání terminologie stěn krychle a směrů pohybu dopředu-dozadu, jakož i jeho postupné změny, má význam pro diagnostiku vývoje žáka, zda žák vnitřně ještě setrvává na svém individuálním pojetí směrů, nebo již převzal běžně používané pojetí matematiky. Přitom navenek žák může mít matematickou terminologii osvojenu a může jí běžně používat, jenže v jiném významu.

dívky

směr i stěna

k žákovi 65%

směr k , stěna od

0%

směr od

, stěna u

5% směr i st ěna

Od žáka

30%

6 0 2 0 0 2 0

5 0 1 0 1 0 3 0

1 0 4 0 1 0 4 0

1 0 1 0 0 8 0

0 % 1 0 % 2 0 % 3 0 % 4 0 % 5 0 % 6 0 % 7 0 % 8 0 % 9 0 % 1 0 0 %

1

2

3

4

o b r á c e n ě

m ě n í s e

k a ž d é j i n a k

b ě ž n ě

6 7 8 2 5

6 6 1 7 1 7

7 5 0 2 5

7 5 1 2 ,5 1 2 , 5

0 % 1 0 % 2 0 % 3 0 % 4 0 % 5 0 % 6 0 % 7 0 % 8 0 % 9 0 % 1 0 0 %

1

2

3

4

o b r á c e n ě

k a ž d é j in a k

b ě ž n ě


183

3.2. Fenomén konkrétnosti představy Významné při řešení úloh PPK bylo to, jaký typ modelu si žáci při představují, tedy

fenomén konkrétnosti představy. Žáci si nejčastěji představovali plný průhledný. Zejména mladší, to zdůvodňují tím, že prázdný drátěný model neumožňuje chodit po úhlopříčce stěn – „nemohl bych jít napříč stěnou, propadl bych se”. Plný dřevěný zase neumožňuje vidět hrany – „neviděl bych skrz na hrany”. I při experimentech OHK se projevil fenomén konkrétnosti představy, i když jinak. Podle toho, zda při odvalování kostky byli žáci v představě více vázáni na hrací plán, nebo na model. Doporučení

Tento fenomén konkrétnosti představy, jaký typ modelu si žák představuje, má značný edukační význam. Je třeba při výuce používat již od nejnižších tříd co nejrozmanitější modely, protože to má pro rozvíjení prostorové představivosti významnou úlohu. Obdobně je třeba měnit i způsoby grafického zobrazení těles, protože někteří žáci jsou ovlivněni představou zobrazení jen v pravém nadhledu.

3.3. Fenomén kinestetický

Výraznou úlohu při řešení úloh z oblasti „krychle a pohyb“ má fenomén kinestetický, což je účast nějaké formy pohybu řešitele. Tento pohyb, někdy i bezděčný, je pro některé nepostradatelný. Doplňuje někdy i nevědomky myšlenkovou manipulaci.

U mladších žáků tento pohyb intenzivní, především pomocí prstů a ruky, kterými vytvářeli ve vzduchu jakýsi nový model nebo jako by kostku převalovali. I starší žáci doprovázeli řešení nějakým pohybem, většinou ne tak zřejmým a intenzivním. Lehce prstem nebo rukou, hlavou, často jen očima. Někteří starší se snažili pohyb „utajit“, takže např. pohybovali palcem u nohy pod stolkem nebo palcem ruky složené v klíně. Gr. 3.3.1 Pohyb při „chození” po krychli (v %)

50 40 0 10 0

50 30 0 20 0

1 0 10 20 40 20

30 20 10 30 10

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

1

2

3

4 prst silně

prst lehce

hlava

oč i

jiné


Někteří mladší žáci doprovázeli pohyb hlasitým komentářem. Domníváme se, že se jedná o jakousi pomoc paměti. Toto jsme nazvali fenomén hlasové účasti. Gr. 3.3.2 Pohyb a hlas při odvalování hrací kostky (v %)

42 33 0 25 25 33

33 50 0 17 25 25

33 33 8 17 8 25

17 42 8 33 25 25

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

1

2

3

4 ruce

prsty

hlava

prsty a hlava

hlas

pohyb papíru



184

Doporučení

Kinestetický fenomén souvisí do značné míry s propojením prostorové představivosti a pohybu, které zmiňuje řada autorů z oblasti kognitivní psychologie.

V případě úloh OHK se však jedná o jiný charakter pohybu, pro respondenty dle jejich sdělení obtížnější než v případě PPK. Navíc se zde výrazně uplatňuje paměť při uvědomování si průběžných poloh hrací kostky. Domníváme se, že intenzita a druh pohybu diagnostikuje vázanost respondenta na konkrétní separovaný model.

3.4. Fenomén využití regularit

Při řešení úloh OHK, někteří žáci již při nácviku objevili určité pravidelnosti, které při převracení hrací kostky nastávají, a které jsme nazvali fenomén využití regularit. Že: • beze změny směru je součet hodnot na hracích polích ob jedno roven 7; • je-li po změně směru zpětná změna, je hodnota před a po zpětné změně stejná; • na totéž pole dvěma cestami se hodnoty vzájemně vymění 1-2 za 2-1.

Zajímavé bylo, že někteří respondenti pravidla používali, aniž by si to uvědomovali (tzv. „tacite knowledge“) a že někteří dříve objevené pravidlo při řešení nepoužívali. Doporučení

Soubor těchto úloh by mohl být využit pro diagnostiku a edukaci žáků jednak v oblasti vytváření myšlenkových struktur, ale i metod jak doplnit prostorovou představivost či kompenzovat její některé nedostatky při řešení úloh jinými prostředky, např. objevenými regularitami při odvalování kostky.

4. Závěr

Experimenty ukázaly, že pro rozvíjení prostorové představivosti, která je významnou kompetencí člověka, jsou některé faktory významné a je třeba to mít na zřeteli a vhodně využívat.

Literatúra

1. PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. Liberec, Technická univerzita v Liberci 1995. ISBN 80-7083-173-1.

2. PŘÍHONSKÁ, J.: Barevné kostky aneb matematika hrou. In: Sborník mezinárodní konference ICPM´05, TU v Liberci 2006, s. 203 – 209. ISBN 80-7372-055-8.

Kontaktná adresa

Jaroslav Perný, doc. PaedDr. Ph.D. Technická univerzita v Liberci, FP, KMD Studentská 2, Liberec 461 17 Telefón: +420 485 352 285 Fax: +420 485 352 332 E-mail: [email protected]


185

PRVÉ VÝSLEDKY DYNAMICKÉHO TESTOVANIA MATEMATICKÝCH SCHOPNOSTÍ DETÍ ZO SOCIÁLNE ZNEVÝHOD ŇUJÚCEHO PROSTREDIA

Alena PRÍDAVKOVÁ, Iveta SCHOLTZOVÁ

Abstrakt V rámci finančnej podpory Agentúry na podporu výskumu a vývoja (APVV MŠ

SR) je na Prešovskej univerzite riešený grantový projekt s názvom Dynamické testovanie latentných učebných kapacít detí zo sociálne znevýhodneného prostredia.

Dynamické testovanie učebných schopností sa usiluje odhaliť skryté učebné kapacity dieťaťa a dáva tak odpoveď na otázku: Aká je schopnosť dieťaťa učiť sa? Jedným z výstupov projektu bolo zostavenie testovacieho nástroja na dynamické testovanie matematických schopností, ktorý tvorí 5 testových a 5 transferových úloh. V príspevku prezentujeme prvé výsledky získané z experimentálnej aplikácie vytvoreného nástroja na vybranej vzorke žiakov.

PRELIMINARY RESULTS IN DYNAMIC TESTING OF MATHEMATICAL ABILITIES OF CHILDREN FROM SOCIALLY DISADVANTAGING BACKROUND

Abstract Supported by Slovak Research and Development Agency (APVV MŠ SR) the

expert team of the University of Presov is working on the project titled Dynamic Testing of Latent Learning Capacities of Children from Socially Disadvantaging Background.

The essence of dynamic testing of learning capacities is, by disclosing hidden learning capacities of the child, to answer the question: What is the ability of a child to learn? One of the research’s predefined outcomes is to compile a dynamic testing tool of mathematical abilities. The test items were structured into five baseline and five transfer tasks. In the paper, the preliminary results obtained by experimental application of the testing tool on the selected sample of pupils are presented.

Úvod

Dynamické testovanie krátkodobého typu predstavuje svojím charakterom jeden z možných nástrojov zisťovania schopnosti učiť sa. Úroveň tejto schopnosti podmieňuje pripravenosť detí na školskú edukáciu. V kontexte s cieľmi projektu riešeného na Pedagogickej fakulte PU v Prešove bol vytvorený dynamický test matematických schopností, určený pre deti vo veku 6-8 rokov, ktoré pochádzajú zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. Determinanty dynamického testovania z pohľadu matematiky charakterizovali Prídavková, Tomková (2008).

Proces tvorby položiek a formulácie inštrukcií dynamického testu matematických schopností prešiel niekoľkými etapami. Výsledky pilotných štúdií a predvýskumov


186

súvisiace s kreovaním konečnej verzie dynamického testu sú prezentované v článkoch Scholtzová, Šimčíková (2008) a Šimčíková (2009).

Súčasťou prípravy testovacieho nástroja bolo aj vytvorenie návrhu spôsobu skórovania riešenia úloh. Pre každú úlohu je pripravených 5 inštrukcií, ktoré sú v prípade potreby poskytované žiakovi administrátorom. Dosiahnuté výsledky boli hodnotené na základe nasledujúcich pravidiel: v prípade, že žiak vyriešil úlohu hneď po jej zadaní, získal 0 bodov. Pri použití jednej inštrukcie – 1 bod. Čím viac inštrukcií žiak potreboval, tým vyšší počet bodov mu bol pridelený. Ak úlohu žiak nevyriešil ani po piatej inštrukcii - dosiahnuté skóre je 6 bodov. Miera učenlivosti žiaka je prezentovaná ako rozdiel medzi dosiahnutým skóre v učebnej úlohe a v transferovej úlohe. Ide o kvantifikáciu latentného učebného potenciálu dieťaťa bez ohľadu na to, na akej úrovni je jeho kognitívny výkon v momente testovania.

V ďalšej časti uvádzame realizáciu výskumu a prvé výsledky získané z aplikácie vytvoreného dynamického testu matematických schopností pre deti zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia.

Metodika výskumu

Výberový súbor žiakov bol vytvorený psychológmi, na základe výsledkov testovania inteligencie. V tejto časti výskumu bol použitý Wechslerov test (Pražský detský Wechsler).

Vzorku, na ktorej bol experimentálne aplikovaný vytvorený dynamický test matematických schopností, tvorilo 46 žiakov (25 dievčat a 21 chlapcov) zo základnej školy v Košiciach. Všetci respondenti absolvovali edukáciu v nultom ročníku. Žiaci, v čase testovania, navštevovali 1. alebo 2. ročník, pričom niektorí 1. ročník opakovali.

Ako metóda výskumu bola zvolená aplikácia kognitívneho testu, ktorého položky obsahovali edukačné inštrukcie dynamického charakteru. Komplementom výskumu bolo aj pozorovanie správania sa žiakov v týchto oblastiach: sebaregulácia, vytrvalosť, frustračná tolerancia, flexibilita, motivácia, interaktivita a receptivita.

Testovanie prebiehalo v dopoludňajších hodinách vo vyučovacom čase. Test obsahoval 5 testových (tzv. učebných) úloh a 5 transferových úloh z týchto oblastí: • 1. úloha - propedeutika delenia prirodzených čísel.

Cieľ: rozdeliť daný počet objektov na rovnaké časti, aplikovať kvantifikátory v adekvátnych súvislostiach.

• 2. úloha - orientácia v dvojrozmernom priestore. Cieľ: orientovať sa v rovine na základe pojmov hore, dole, vpravo, vľavo, nonverbálne určiť polohu objektov vzhľadom na iný objekt, uplatniť konjunkciu výrokov.

• 3. úloha - propedeutika porovnávania rozdielom. Cieľ: vytvoriť dvojice prvkov z dvoch rôznych množín, určiť rozdiel počtu prvkov porovnávaných množín.

• 4. úloha - propedeutika zlomku. Cieľ: určiť celok, ak je daná jeho časť.

• 5. úloha - propedeutika merania obvodu rovinných útvarov. Cieľ: určiť obvod rovinného útvaru pomocou neštandardnej jednotky dĺžky. Testovanie prebiehalo individuálne s každým žiakom. Na procese testovania

participovali dvaja administrátori – jeden testoval, druhý zaznamenával výsledky


187

do pozorovacích hárkov. Pozorovacie hárky boli pripravené samostatne pre každú testovú položku a zaznamenaná bola etapa vyriešenia úlohy, resp. ďalšie poznámky a údaje týkajúce sa reakcií a spôsobov riešenia úloh konkrétneho žiaka. Proces testovania prebiehal bez rušivých vplyvov a jeho dĺžka u jedného žiaka bola v priemere 20 minút.

Prvé výsledky výskumu

Výsledky výskumu boli najprv spracované kvantitatívne na základe vyššie prezentovaného spôsobu skórovania.

Testová položka č. 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6

Počet poskytnutých pomocí

Poč

et v

ýsky

tov

U1

TU1

Prvú úlohu (propedeutika delenia na rovnaké časti) riešili respondenti bez väčších

problémov. Najvyššia početnosť dosiahnutého skóre bola 1, t. j. najviac žiakov vyriešilo úlohu po poskytnutí jednej inštrukcie. V transferovej úlohe sa zvýšil počet žiakov, ktorí úlohu vyriešili bez pomoci, o viac ako 60 percent. Táto položka testu mala výrazne motivujúci charakter pre ďalší priebeh testovania.


0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6


Počet

výs

kyto

v

U2

TU2

Žiacke riešenia druhej úlohy (orientácia v rovine) ukázali, že časový priestor na

osvojenie nových poznatkov vytvorený pri dynamickom testovaní nie je vždy postačujúci. Tento fakt dokumentuje skutočnosť, že až v 30% prípadov potrebovali žiaci pri riešení transferovej úlohy viac pomocí ako pri riešení učebnej úlohy. Mnohí respondenti mali tendenciu riešiť úlohu náhodne, nesledovali poskytované inštrukcie.

Výsledky získané z analýzy žiackych riešení tretej úlohy (propedeutika porovnávania rozdielom) preukázali jej učebný charakter. Vyriešená bez pomoci bola v 11 prípadoch a transferovú úlohu vyriešilo na prvý krát až 26 žiakov. Naznačený


188

postup jej riešenia vo forme jednotlivých inštrukcií je obsahom vyučovania matematiky v 1. ročníku ZŠ.


0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6


Poč

et v

ýsky

tov

U3

TU3

Úlohu číslo 4 (propedeutika zlomkov) nevyriešil bez pomoci ani jeden žiak. Až 14

žiakov získalo v učebnej úlohe skóre 6 – neboli schopní zopakovať riešenie podľa administrátora. Tieto výsledky ukazujú, že úloha bola pomerne náročná pre danú vzorku respondentov. Učivo o zlomkoch sa vo vyučovaní matematiky vyskytuje až vo 4. ročníku ZŠ. V transferovej úlohe bodové skóre 0 získali siedmi žiaci – úlohu vyriešili bez akejkoľvek pomoci. Tento fakt dokumentuje, že v týchto prípadoch bol krátkodobý proces učenia úspešný.


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6


Poč

et v

ýsky

tov

U4

TU4

Piata testová položka, úloha na propedeutiku merania obvodu rovinného útvaru, sa

ukázala ako najvýraznejšie učebná. Svedčí o tom rozdiel medzi skóre dosiahnutým v učebnej úlohe a v transferovej úlohe.


189


0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6


Poč

et v

ýsky

tov

U5

TU5

Po kvantitatívnom spracovaní získaných výsledkov sa ukázalo, že vo väčšine úloh

sa prejavila v pozitívnom zmysle miera učenlivosti. Dôkazom toho je skutočnosť, že žiak pri transferovej úlohe daného typu potreboval menej inštrukcií ako pri testovej úlohe. Táto skutočnosť však neplatila globálne. Objavili sa aj prípady, kedy žiak pri riešení analogickej úlohy potreboval viac inštrukcií, ako pri testovej úlohe. Toto mohlo byť dôsledkom porúch v oblasti správania.

Nové poznatky prinesie určite aj podrobná kvalitatívna analýza výsledkov výskumu.

Záver

Vychádzajúc z poznatkov a informácií získaných vo výskume sa domnievame, že napriek niektorým nedostatkom, ktoré sa ukázali v kvantitatívnej analýze výsledkov získaných pri aplikácii testovacieho nástroja, môže byť vytvorený testovací nástroj na dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia vhodným doplnkom klasických testovacích postupov. Takto získané výsledky môžu pomôcť v určitej miere odhaliť skryté potenciality dieťaťa v jeho schopnosti učiť sa a stať sa východiskom pre prípravu individuálnych vzdelávacích programov pre modifikáciu kognitívnych funkcií u jednotlivých detí, čo by malo mať za následok zvýšenie ich školskej úspešnosti v procese vzdelávania.

Literatúra

1. PRÍDAVKOVÁ, A. – TOMKOVÁ, B. Determinanty dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. In: Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 226-229. ISBN 978-80-244-1963-3.

2. SCHOTZOVÁ, I. – ŠIMČÍKOVÁ, E. Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia – pohľad prvý. In: Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 255-258. ISBN 978-80-244-1963-3.


190

3. ŠIMČÍKOVÁ, E. Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia – pohľad druhý. 2009, v tomto zborníku.

Príspevok vznikol s podporou APVV MŠ SR (APVV-0073-06).

Kontaktná adresa

doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD., doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 1, 081 16 Prešov, Slovensko Telefón: +421 51 7470542, +421 51 7470541 E-mail: [email protected], [email protected]


191

„LHÁ ŘI“ ANEB PRAVD ĚPODOBNOST V PRAXI

Jana PŘÍHONSKÁ

Abstrakt V příspěvku je ukázáno rozdílné pojetí studentů primárního vzdělávání ke

zpracování a prezentaci jedné úlohy z pravděpodobnosti. Pozornost je dále věnována motivujícím prvkům, uplatnění "kódování" a jeho využití v propedeutické fázi řešení rovnic.

“LIARS” OR ELSE PROBABILITY IN PRACTICE

Abstract Differential meaning of students of primary education to processing and

presentation of given problem from probability is shown in this contribution. Attention to motivated elements, applying "coding" and its usage in propedeutic level of solving equations is further paid there.

Úvod

Rozvoj kombinatorického myšlení hraje při výuce matematiky významnou roli. Proto se v příspěvku zamyslíme nad možností, jak žáky/studenty vhodnou formou motivovat při řešení úloh zaměřených na kombinatoriku, resp. pravděpodobnost.

V rámci předmětu Matematika pro praxi se zaměřením na kombinatoriku, pravděpodobnost a statistiku, byly studentům zadány jako seminární práce pravděpodobnostní problémy. Na konkrétní ukázce si ukážeme dvě rozdílná pojetí studentů primárního vzdělávání ke zpracování a prezentaci jedné úlohy z pravděpodobnosti. Pozornost budeme věnovat motivujícím prvkům, uplatnění "kódování" a jeho využití v propedeutické fázi řešení rovnic.

Zadání problému

Každý z pěti lhářů B, C, D, E, F říká pravdu právě v jednom ze tří případů. Lhář B se jako první z nich dozví, který z finalistů K, L se stal vítězem tenisového poháru (ostatní znají pouze oba finalisty). B sdělí tuto zprávu C, ten ji oznámí D, D ji předá E a E ji sdělí F. Jaká je pravděpodobnost, že F se dozví pravdu?

Problém byl zadán studentům učitelství primární školy v rámci semináře Matematika pro praxi. Studenti měli zpracovat problém jako power pointovou prezentaci a měli se zamyslet nad různými způsoby řešení. Ukážeme si rozdílné přístupy k řešení a pokusíme se zamyslet nad vhodností zpracování a volbou použité metody. Obě uvedená řešení by si však studenti primární matematiky jako budoucí učitelé měli jasně uvědomit z hlediska návaznosti učiva v jednotlivých stupních škol a následně střední školy.


192

Studentka A V následující ukázce shledáváme celou řadu motivačních prvků – obrázky, barevné

zvýraznění, zajímavá forma zpracování problému. Studentka A nabízí dvě metody řešení, přičemž druhý způsob je zcela logicky vyvozený z první metody.

Kódování

Následující obrázek ilustruje zavedení kódování znaků do barevných čtverečků při řešení daného problému.

Lež má krátké nohy…

…s pravdou nejdál dojdeš ☺

Každý z pěti lhářů B,C,D,E,F říká pravdu právě v jednom ze tří případů.

Lhář B se jako první z nich dozví, který z finalistů K,L se stal vítězem

tenisového poháru (ostatní znají pouze oba finalisty).

B sdělí tuto zprávu C, ten ji oznámí D, D ji předá E a E ji sdělí F.

Jaká je pravd ěpodobnost, že F se dozví pravdu?

BC

Obr. 1 Zadání - motivace

Aby se nám příklad lépe počítal, řekněme si, že vyhrál hráč L.

Když řekl pan B panu C pravdu, řekl mu

tedy že vyhrál

Když řekl pan B panu C lež, řekl mu tedy že vyhrál K

L

Nakresleme si malý diagram…

• Jak to mohlo vypadat když šeptal do ucha pan B panu C

B C

Pokud pan B říkal pravdu, dozvěděl se pan C že vyhrál L, pokud ale pan B Lhal, dozvěděl se pan C že vyhrál K.

L

KKLPravda Lež Lež

Obr. 2 Řešení problému

• A od pana C se k uším pana D mohlo donést…

B

C D

L

L

L L L L L

K K

K K K K

Pravda Lež LežPravda Lež Lež Pravda Lež Lež

Hráče L budeme značit Hráče K budeme značit

B

C

D

Obr. 3 Kódování


193

Pro přehlednost je zde využito barevného označení v celém průběhu řešení (L - zeleně, K- červeně), což lépe umožní doplnění správné informace (počet pravd L a počet pravd a lží L+K dohromady) doplnit do výsledného vztahu. V uvedeném řešení shledáváme dosazovací metodu řešení soustavy rovnic

Bez konečného výpočtu pravděpodobnosti lze tuto úlohu s výhodou využít i v nižších ročnících k rozvoji logického myšlení a kombinačních schopností. Metoda, kterou jsou žáci schopni sami využít, je sestavení logického stromu řešení, jak ukazuje Obr. 4. Závěrečná otázka může být zformulována např. následovně: • Jakou šanci má lhář F, že se dozví pravdu? • Dá se předpokládat, že se lhář F dozví pravdu? • Vsadili byste na to, že se F dozví pravdu?

Propedeutika řešení soustav rovnic

Pokud hovoříme o rovnicích, musíme si všimnout především jejich subjektivního odrazu – psychiky řešitele. Musíme se snažit proniknout do mechanizmu žákova uvažování při jejich řešení. Podle Hejného (1990) je cílem při vyučování rovnicím • prohloubit zájem žáka o matematiku • rozvíjet schopnosti modelovat reálné situace v jazyce rovnic • rozšířit žákovy zkušenosti s rovnicemi a jejich řešení • využít rovnic pro procvičování různých oblastí matematiky

K začátkům rovnicového uvažování se vztahuje metoda Pokus-Omyl. Metodicky je tento pokus velice významný. Množství výpočtů, které žák musí provést, je motivované cílem najít další částečné výsledky. Pro učitele je takové počínání velice cenné.

V sestavování diagramu bychom stejným zpusobem bychom pokracovali dál.

Konecným výsledkem je tento diagram.

B

C

DE

F

Obr. 4 Logický strom řešení


194

Druhý způsob využívá již zavedeného kódování (viz Obr.2): pravda – L , lež – K . Nejprve jsou sestaveny algebraické výrazy vyjadřující daný stav po sdělení příslušné informace a postupným dosazováním se dospěje ke konečnému výsledku. Bez zavedení jakékoli proměnné je zde využito dosazovací metody v několika postupných krocích. Z tohoto pohledu je možné pohlížet na zvolenou metodu řešení jako propedeutickou fázi, resp. její část, řešení soustav rovnic.

Naznačené kódování na Obr. 3 (barevně označená písmena L, K a odpovídající

barevné čtverečky, resp. obdélníky) zcela nenásilně vedou k vytvoření celého logického stromu řešení na Obr. 4 a na základě něho pak druhému způsobu řešení na Obr. 5.

U další ukázky řešení se přesouváme na vyšší úroveň. Studentky B, C sice úlohu vyřešily správně, ale bez podrobnějšího komentáře a zdůvodnění použitých výpočtů. Pro žáky/studenty nepovažujeme toto řešení za zcela přijatelné, neboť těžko lze tímto způsobem vyprovokovat snahu k nalezení dalšího způsobu řešení, nicméně z hlediska návaznosti učiva jednotlivých stupňů škol za velice důležité.

Studentky B + C

Zápis řešení

V následujícím textu jsou použity autentické zápisy z prezentací obou studentek. Obě studentky řešily problém stejným způsobem. • Matematické podklady

– Informace o vítězi může nabývat dvou stavů – pravda a lež – Pravděpodobnost postoupení informace dalšímu členu posloupnosti v nezměněné

podobě je 1/3 – Pravděpodobnost negace informace je 2/3

Máme tedy dva vzore čky

když se někdo dozví že vyhrál L, pošle dál L + 2 * K

Když se někdo dozví že vyhrál K, pošle dál K + 2 * L

B řekl C : L + 2 K

za L dosadíme vzoreček L = L+ 2 K za K dosadíme vzoreček K = K + 2 L

C se dozvěděl od B : L + 2 K a dál tedy poslal (L + 2 K ) + 2 * ( K+ 2L) = 5L +4K

D se dozvěděl od C : 5L + 4K a dál tedy poslal 5*(K+ 2L) + 4*(L + 2 K ) = 13L + 14K

E se dozvěděl od D : 13L + 14K a dál tedy poslal 13*( L + 2 K ) + 14*(K+ 2L) = 41L + 40K

A vzoreček pro pravděpodobnost si pamatujete? Počet pravdPočet pravd i lží celkem

Obr. 5 Propedeutika dosazovací metody


195

• Kdy se dozví některý člen posloupnosti pravdu? – Pokud předchozí člen zná pravdu A, pošle ji dál – Předchozí člen zná lež A, sám lže, takže informaci změní na pravdu

• Lhář B (zná pravdu) – Pravděpodobnost, že zná pravdivou informaci je 1

• Lhář C – Pravděpodobnost, že B řekne pravdu C je 1/3 – Pravděpodobnost, že B řekne C lež je 2/3

• Lhář D – Pravděpodobnost, že C zná pravdu a řekne ji D je 1/3 * 1/3 = 1/9 – Pravděpodobnost, že C zná lež a překroutí ji na pravdu je 2/3 * 2/3 = 4/9 – Celkem pravděpodobnost pravdy je 1/9 + 4/9 = 5/9 – Celkem pravděpodobnost lži: 1 – 5/9 = 4/9

• Lhář E – Pravděpodobnost, že D zná pravdu a řekne ji E je 5/9 * 1/3 = 5/27 – Pravděpodobnost, že D zná lež a překroutí ji na pravdu je 4/9 * 2/3 = 8/27 – Celkem pravděpodobnost pravdy je 5/27 + 8/27 = 13/27 – Celkem pravděpodobnost lži: 1 – 13/27 = 14/27

• Lhář F – Pravděpodobnost, že E zná pravdu a řekne ji F je 13/27 * 1/3 = 13/81 – Pravděpodobnost, že E zná lež a překroutí ji na pravdu je 14/27 * 2/3 = 28/81 – Celkem pravděpodobnost pravdy je 13/81 + 28/81 = 41/81

Závěr

Příspěvek se zamýšlí nad přípravou budoucích učitelů primárního vzdělávání z hlediska návaznosti v rozvoji kombinatorického myšlení – od počáteční fáze pokus-omyl, k využití kódování, rozvoji řešitelských strategií při tvorbě logického stromu řešení až k vyšší fázi určení pravděpodobnosti, možnost modelování reálné situace v propedeutické fázi řešení rovnic a jejich využití v různých oblastech matematiky.

Literatura

1. HEJNÝ, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. SPN Bratislava, 1990. ISBN 80-08-01344-3.

2. Seminární práce studentů primární matematiky, FP TU v Liberci, 2008.

Kontaktní adresa

RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. KMD, FP TU v Liberci Studentská 2, 461 17 Liberec Telefón: +421 485 352 370 Fax: +421 xxx xxx xxx E-mail: [email protected]


196

ROZWIJANIE AKTYWNO ŚCI UCZNIÓW W EDUKACJI MATEMATYCZNEJ

Jolanta SEIDEL, Maria SOBIESZCZYK

Abstrakt We współczesnej szkole rola nauczyciela ulega zmianom. Obecnie staje się on

animatorem działania poznawczego swoich uczniów, jego zadaniem jest organizowanie ich uczenia się. W tym celu nauczyciel powinien dysponować bogatym warsztatem skutecznych metod aktywizowania dzieci, co jest bardzo istotne szczególnie w zakresie edukacji matematycznej. Do grupy metod aktywizujących niewątpliwie moŜna zaliczyć fiszki autokorektywne C. Freineta, które stały się bardzo popularne w edukacji językowej, w mniejszym zaś stopniu są stosowane na matematyce. Opracowanie przedstawia propozycje zastosowania tej techniki w klasach I-III.

THE DEVELOPMENT OF STUDENTS’ ACTIVITY IN MATHEMATICS EDUCATION

Abstract The role of the teacher in a modern school is undergoing significant changes. At

present, teachers not only animate the cognitive activities of their students but also organize their learning process. In order to do that, teachers ought to be familiar with a wide range of methods activating children, which is particularly important in learning mathematics. One of these methods is the use of C. Freinet’s auto-correction cards that are very popular in language teaching, but which are not widely used at mathematics lessons. The research shows how this technique can be used in grades 1 to 3.

Wprowadzenie

Rozpoczynając naukę szkolną, dzieci siedmioletnie posiadają wiedzę i umiejętności matematyczne wynikające przede wszystkim z realizacji programowych treści przewidzianych w edukacji sześciolatków. Równie waŜnym źródłem tej nieformalnej wiedzy (Wojnowska, 2007), czy „przedwiedzy” matematycznej jest ta spontanicznie kształtowana przez rodziców oraz róŜnego rodzaju gry i zabawy konwencjonalne czy teŜ komputerowe, internet, programy telewizyjne, dziecięcą literaturę popularno-naukową. W jej gromadzeniu bierze udział przede wszystkim intuicja i aktywność własna dziecka, wspomagana zachętą innych rówieśników czy teŜ dorosłych. Małe dzieci chcą poznawać to, co nowe i to przede wszystkim samodzielnie. Jednak w miarę wzrastania, ta naturalnie duŜa aktywność poznawcza dzieci ulega osłabieniu. W konsekwencji obserwuje się obecnie w grupach studenckich niechęć do samodzielnego uczenia się, brak umiejętności organizowania własnej aktywności poznawczej. PrzewaŜająca część studentów oczekuje przekazania im gotowej wiedzy, aby ich wysiłek ograniczył się jedynie do jej przyswojenia. Nie trzeba zapewne przekonywać, Ŝe bez umiejętności samokształcenia, aktywnego samorozwoju młode pokolenie ogranicza swoje powodzenie w przyszłym Ŝyciu zawodowym. NaleŜałoby się


197

zatem zastanowić nad przyczynami takiej niekorzystnej tendencji w rozwoju poznawczym młodych ludzi. Jednej z przyczyn naleŜy upatrywać w zaniedbaniach wychowawczych w tym okresie edukacyjnym młodego człowieka, w którym chciał i oczekiwał pomocy w samodzielnym poznawaniu świata. Okres ten przypada na najbardziej podatny na działania wychowawcze wiek szkolny uczniów, to jest 7-10 lat. Dlatego w dalszej części opracowania warto skupić się na poszukiwaniu skutecznych metod wdraŜania uczniów młodszych do aktywnego podejmowania wysiłku w zakresie samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej.

Współcześnie, łatwy dostęp do róŜnego rodzaju źródeł informacji sprawia, Ŝe edukacja szkolna powinna zmienić swój charakter z podającej na poszukującą. Koniecznością w praktyce szkolnej wydaje się stosowanie metod nauczania zwiększających czynny udział uczniów, a ograniczających rolę nauczyciela do pomagania uczącym się w realizacji celów poznawczych.

Aktywność własna uczniów w kształceniu matematycznym

Aktywność jest warunkiem rozwoju człowieka i prawidłowej regulacji jego stosunków z otoczeniem. Ma ona zawsze pewien kierunek, który pedagogika określa jako cel (Dobrołowicz ,1995).

Aktywność rozumiana jest przez W. Okonia jako „samorzutna chęć działania wywołująca wewnętrzne i zewnętrzne przejawy działalności” (1975). Przez własną aktywność człowiek zaspakaja róŜnorodne potrzeby i realizuje wynikające z nich cele. Cel i aktywność to dwa ściśle ze sobą zespolone pojęcia. Bez przejawiania aktywności nie moŜna celu ani ustalić, ani osiągnąć. Aktywność jednostki mogą wywoływać i ukierunkowywać nie tylko zadania formułowane przez nią samą, ale teŜ zadania stawiane przez otoczenie zewnętrzne. Warunkiem jednak jest to, Ŝe jednostka uznaje je za swoje i pozwolą jej one zaspokoić własne, określone potrzeby. Współczesna pedagogika przypisuje aktywności własnej ucznia szczególną rolę w procesie uczenia się. Uczenie się rozumiane jest coraz częściej jako konstruowanie wiedzy, gdzie punkt cięŜkości spoczywa na procesie, w mniejszym zaś stopniu na produkcie uczenia się (patrz: Wojnowska, 2007). Na poziomie klas I-III uczniowie, poza własną, spontaniczną aktywnością, skierowaną na dość chaotyczne poznawanie otaczającej ich rzeczywistości, podlegają zewnętrznej inspiracji, ukierunkowanej na uporządkowane zdobywanie wiedzy. Kierując się ideą konstruktywizmu w edukacji matematycznej podstawowe są między innymi: • aktywizowanie osobistej, nieformalnej wiedzy ucznia, pozostawienie mu czasu na

samodzielne próby radzenia sobie z nową sytuacją, • samodzielność odkrywania lub wyboru dróg postępowania. WaŜne jest, aby uczeń

samodzielnie próbował działać. Nawet nieudolne próby są cenniejsze dla efektów poznawczych, niŜ korzystanie z gotowych wzorów działania,

• traktowanie nauczania jako tworzenia okazji edukacyjnych (Wojnowska, 2007). Uczeń, który przejawia aktywność charakteryzuje się następującymi zachowaniami: • podejmuje działania z własnej woli i wewnętrznej motywacji, • realizuje własne potrzeby lub cele za pomocą samodzielnie dobranych metod i

środków, • samodzielnie i odpowiedzialnie kieruje swoją działalnością, • kontroluje i ocenia wyniki swojej pracy,


198

• przekształca swoje dotychczasowe doświadczenie i tworzy nowe ich kombinacje, • podejmuje nowe zachowania, wynikające z wewnętrznych przeŜyć i doświadczeń, • jest wraŜliwy na nowe bodźce zewnętrzne, • jest zdolny do myślenia dywergencyjnego.

Uczeń w poznaniu aktywny to uczeń o duŜym stopniu samodzielności, o świadomej potrzebie poznawania, o właściwym poziomie motywacji.

Fiszki autokorektywne C. Freineta

We współczesnych klasach istnieje spora róŜnica między dziećmi z tego samego rocznika. Dotyczy ona zarówno charakterów, uwarunkowań emocjonalnych, jak i zdolności poznawczych. Technika fiszek autokorektywnych C. Freineta pozwala zapewnić wszystkim uczniom optymalny rozwój i zaspokojenie potrzeb poprzez indywidualizację procesu nauczania – uczenia się (w zakresie treści i tempa pracy). Zapewnia ona budzenie i rozwijanie aktywności (poprzez wybór ćwiczenia), samodzielności, samokontrolę i samoocenę w porządkowaniu i przekształcaniu zdobytych wiadomości i umiejętności. MoŜe być ona stosowana w następujących sytuacjach edukacyjnych (Filipiak, Smolińska-Rębas,2000): • jako ćwiczenie utrwalające z całą klasą, • w kaŜdej wolnej chwili lekcji, np. gdy uczeń skończy wcześniej jakąś zbiorową

prace, • w zróŜnicowanej pracy domowej ucznia wynikającej z jego indywidualnych

potrzeb • podczas zajęć wyrównawczych.

Szczególnie przydatne są one przy wprowadzeniu i kształtowaniu umiejętności matematycznych, utrwalaniu ich i powtórzeniu.

Wspomagająca edukację matematyczną technika fiszek wymaga od nauczyciela swoistej organizacji środowiska edukacyjnego i czynności wdraŜających uczniów do innego sposobu pracy.

Nauczyciel: • przygotowuje zestawy fiszek ( zestaw P -fiszek z poleceniem wykonania zadań,

zestaw W – fiszek samokontrolnych z wykonanymi zadaniami, zestaw S – fiszki sprawdzające),

• zabezpiecza w klaso-pracowni miejsce do pracy indywidualnej, • diagnozuje uczniów, zachęca, wspiera, obserwuje i pomaga.

Uczeń natomiast wybiera zadania z zestawu P, wykonuje samodzielnie zadania w zeszycie, sprawdza poprawność wykonania zadania korzystając z zestawu W, dokonuje korekty rozwiązania, dokonuje samooceny.

Struktura zajęć z fiszkami moŜe mieć następującą postać: • krótkie wprowadzenie do tematu i pracy z fiszką, • indywidualna praca z fiszką (P) • samokontrola z fiszką z poprawnym wykonaniem (W), • samoocena, • zadanie pracy domowej (Stucki, 2000 ).

Fiszki P mogą zawierać zadanie, tekst, rysunek czy schemat itp. Muszą posiadać polecenie do wykonania, dokładny plan samodzielnej pracy ucznia w postaci pytań, poleceń lub problemów. Musi teŜ zawierać zestaw potrzebnych wiadomości będących


199

uzupełnieniem dotychczasowych obszarów poznawczych. Polecenia na fiszkach powinny być jasno i zwięźle sformułowane tak, aby uczeń mógł je rozumieć w sposób jednoznaczny. Zestawy P, W i S powinny być oznaczone w trzech kolorach i powinny być ponumerowane. PoniewaŜ w kartotece P (fiszki z poleceniami do wykonania) mogą znajdować się fiszki z zadaniami o róŜnym stopniu trudności, powinny być one w czytelny dla ucznia sposób oznaczone. Mogą to być róŜne odcienie koloru przyjętego w oznaczeniu kartoteki P. Taki prosty sposób wyróŜnienia ułatwi uczniom dobór zadań zgodny z moŜliwościami i sprawne korzystanie z fiszek.

Drugi rodzaj fiszek (W) powinien zawierać wszystkie moŜliwe sposoby rozwiązania, które uczeń porównuje ze swoim wykonaniem. Te fiszki powinny być ponumerowane w tej samej kolejności, jak w kartotece P. KaŜde rozwiązanie powinno być opatrzone odpowiednią punktacją, którą uczeń samodzielnie nadaje swoim rozwiązaniom i na ich podstawie dokonuje samooceny. Taka czynność kształtuje u uczniów umiejętność samooceny, ale teŜ i bardziej uniwersalnych cech, jak uczciwość, skrupulatność, rzetelność , dokładność.

A oto przykład fiszek P i W:

Podsumowanie

Praca z fiszkami autokorektywnymi dotychczas nie znalazła szerokiego zastosowania w edukacji młodszych uczniów, a jeszcze mniejsze jest ono w edukacji matematycznej. Choć na początku wymagają od nauczyciela duŜego zaangaŜowania

W FISZKA NR 12

1. Sprawdź wykonane działania: 9+10= 19…B 12+4= 16…Z 19-4=15….C 3 +7 = 10…N 6 + 1=7…..A 20-8=12…E 13+0=13….L 9- 1 =8…..W 12- 1=11…I 5 + 4= 9…..A 10-5=5…..D 7-6 =1…..D 11+3= 14….I 8-6=2…..O za kaŜdy poprawnie wykonany przykład zapisz sobie 1 pkt 2. Sprawdź wpisane do tabeli liczby i otrzymane hasło:

liczby litery

za poprawne hasło zapisz sobie 6 pkt razem ………….punktów

P FISZKA NR 12

1. Wykonaj działania ( 14 pkt ):

9+10=……….B 12+4=………Z 19-4=………C 3+ 7 =……….N 6+1=……….A 20-8=……..E 13+0=…….....L 9-1 =……….W 12-1=………I 5+4 =…...…..A 10-5 =………..D 7-6=…...…D 11+3=……….I 8-6=………..O

2. Wpisz do tabelki wyniki od najmniejszego do największego i odpowiadające im litery. Odczytaj hasło ( 6 pkt ):

liczby litery


200

w opracowaniu pakietu kart uwzględniających specyfikę danej klasy i dzieci w niej się uczących, to rozliczne korzyści wypływające z pracy z nimi rekompensują ten wysiłek. Poza juŜ wcześniej wymienionymi zaletami wspomnieć naleŜy teŜ tu o ich znaczeniu w rozwijaniu umiejętności matematycznych dzieci w tym kierunku uzdolnionych. Jest to szczególna grupa dzieci, które w klasach niŜszych nie są otoczone szczególnym zainteresowaniem nauczycieli.

Inną zaletą zastosowania techniki fiszek autokorektywnych C. Freineta jest moŜliwość wdraŜania dzieci w wieku 7 – 9 lat do aktywności w zakresie samodzielnego kształcenia się. Zanim uczeń osiągnie odpowiedni poziom przygotowania do samokształcenia musi być dostatecznie samodzielny w zdobywaniu tą drogą wiedzy. Warunkiem podejmowania samodzielnego uczenia się ucznia jest: • odpowiedni poziom motywacji, • poŜądany poziom rozumienia wiedzy, której się uczy, • taki stopień umiejętności czytania, przeprowadzania obserwacji, rozumienia treści

poleceń, który umoŜliwia im samodzielne wykonanie zadań (Flanz, 2008).

Literatura

1. DOBROŁOWICZ, W.: Psychodydaktyka kreatywności. Wydawnictwo WSPS, Warszawa 1995. ISBN 83-902710-1-X.

2. FILIPIAK, E., SMOLIŃSKA - RĘBAS. H.: Od Celestyna Freineta do edukacji zintegrowanej. Wydawnictwo WSP: Bydgoszcz 2000.

3. FLANZ, J.: WdraŜanie. dzieci do samokształcenia – aspekty teoretyczne i praktyczne. Akapit: Toruń, 2008. ISBN 978-83-89163-43-1.

4. KIERSTEIN, Z.: Aktywne metody w kształceniu matematycznym. Wydawnictwo Nowik: Opole, 2004. ISNB 83-89848-09-0.

5. KLUS-STAŃSKA, D., KALINOWSKA, A.: Rozwijanie myślenia matematycznego młodszych uczniów. Wydawnictwo śak: Warszawa 2004. ISBN 83-89501-23-6.

6. STUCKI, E.: Nauczanie matematyki w klasach niŜszych. cz. III, Wydawnictwo WSP: Bydgoszcz 2000, ISBN 83-7096-309-9.

7. WOJNOWSKA M.: Między przekazem a odkryciem. Twórcze sposoby na rozwiązanie zadań matematycznych przez dzieci. Impuls: Kraków 2007. ISBN 978-83-7308-896-2.

Adres

Dr Jolanta Seidel Dr Maria Sobieszczyk Uniwersytet Kazimierza Wielkiego Uniwersytet Kazimierza Wielkiego Instytut Pedagogiki Instytut Pedagogiki 85-064 Bydgoszcz, 85-064 Bydgoszcz ul. Chodkiewicza 30 ul. Chodkiewicza 30 Telefón: +48 602 344 545 Telefón: +48 605 786 017 E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]


201

ANALIZA PODR ĘCZNIKÓW ZINTEGROWANYCH – PRACA BADAWCZA STUDENTÓW

Helena SIWEK

Abstrakt Student – przyszły nauczyciel powinien być przygotowany do badania i wyboru

podręcznika. Z wielu podręczników, na seminarium magisterskim, wybieramy do analizy przynajmniej dwa projekty, róŜniące się od siebie w istotny sposób. Porównujemy je ze względu na spełnienie określonych zasad teoretycznych. Praca w zespole pozwala na planowanie kolejnych kroków analizy, weryfikację cząstkowych wyników, dyskusję, syntezę i formułowanie wniosków. Uzyskujemy wtedy pełny obraz podjętego problemu badawczego.

THE ANALYSIS OF INTEGRATED TEACHING TEXTBOOKS – STUDENTS’ RESEARCH WORK

Abstract A student – future teacher should be prepared to be able to analyse and choose the

textbook. On the seminar for MA students, we choose to analyse at least two among many textbooks which differ from each other in a vital way. We compare them as far as fulfilling specified theoretical rules are concerned. Working in a team allows planning consecutive stages of analysis, as well as verification of the particle effects, discussion, synthesis and making conclusions. Then we get the complete image of the problem.

Studenckie badania nad zastosowaniem współczesnych koncepcji kształcenia w podręcznikach szkolnych

Jednym z najwaŜniejszych wyznaczników reformy oświaty powinna być zmiana koncepcji kształcenia, poniewaŜ obok treści, fundamentalną rolę (moŜe nawet najwaŜniejszą) odgrywają metody pracy. Lansowanymi obecnie metodami są metody: czynnościowa, problemowa i realistyczna. Tak na ten temat pisze, wybitna przedstawicielka pedagogiki wczesnoszkolnej, M. Cackowska: „Rozwój intelektualny polega na dorastaniu dzieci do coraz trudniejszych zadań, umiejętności radzenia sobie w sytuacjach trudnych i właściwej regulacji swoich potrzeb. Do stymulacji rozwoju intelektualnego szczególnie przydatne są problemowe i czynnościowe metody nauczania, zmuszające dzieci do wykraczania poza posiadaną wiedzę i poza schematy poznawcze, ukształtowane na danym etapie rozwoju.”1

Koncepcja nauczania problemowego jest szeroko opracowana w pedagogicznych ksiąŜkach W. Okonia, nauczania czynnościowego w publikacjach Z. Krygowskiej, nauczania realistycznego - H. Freudenthala. Rowinięcie zasad czynnościowego nauczania i przykłady zastosowań, w szczególności do nauczania zintegrowanego,

1 M. Cackowska, Teoriopoznawcze podstawy integralnej edukacji wczesnoszkolnej, w: Pedagogika wobec przemian i reform oświatowych, re. G. Miłkowska – Olejniczak, K. Uździcki, Zielona Góra 2000, s. 372.


202

zawierają takŜe moje ksiąŜki.2

Omawiając strategie integracji w edukacji wczesnoszkolnej M. Jakowicka postuluje uświadomienie sobie jakby osi, wokół której moŜna organizować treści, czynności ucznia, planowanie działań nauczyciela. Wśród strategii działania pedagogicznego o mocy integracyjnej wymienia nauczanie problemowe, strategię zadaniową i strategię sytuacyjną.3 MoŜna zauwaŜyć pewną zbieŜność i odpowiedniość między tymi strategiami a strategiami wymienionymi wyŜej: problemową, czynnościową i realistyczną. Wszystkie one nastawione są z definicji na rozwój aktywności uczniów, na poszukiwanie, na tworzenie, radzenie sobie z sytuacjach problemowych, stosowanie wiedzy w praktyce, zdobywania umiejętności współdziałania w zespole, komunikowania się itd. Właściwe stosowanie tych strategii mogłoby przyczynić się do realizacji zakładanych celów kształcenia zintegrowanego.

Aby mogły być one stosowane w procesie nauczania – uczenia się, powinny być zalecane jako wiodące w programach kształcenia i uwzględniane przez autorów w podręcznikach. W związku z mnogością programów i podręczników istnieje potrzeba wprowadzania studentów – przyszłych nauczycieli w metodologię analizy porównawczej dokumentów. Robimy to ze względu na jeden wybrany aspekt, aby stworzyć przykład paradygmatyczny dla innych, analogicznych badań.

Podstawy metodologiczne badania podręczników zintegrowanych

Podręcznik ciągle jest jednym z najwaŜniejszych środków dydaktycznych ukierunkowujących działalność ucznia i nauczyciela. Zachodzi więc pytanie: czy współczesne podręczniki zintegrowane są opracowane zgodnie z koncepcjami zorientowanymi na aktywność ucznia, w szczególności z koncepcją realistyczną i problemową.

W koncepcji realistycznej moŜna w sposób naturalny włączać matematykę w system integralny poprzez zadania realistyczne. Ze względu na tę koncepcję nauczania wyróŜnia się w dydaktyce matematyki trzy typy zadań: realistyczne, pararealistyczne i „czysto” matematyczne. Zadania realistyczne są związane z rzeczywistością, ukazują jej cechy ilościowe, metryczne i przestrzenne, wzbogacając wiedzę ucznia. Są to np. zadania o połoŜeniu i wielkości miast, wysokości zabytkowych budowli, odległości i wielkości planet, wadze i wielkości ptaków itp., ale takŜe zadania związane z wyraŜeniami dwumianowanymi – jednostkami długości, masy, czasu, pieniędzmi. Zadania pararealistyczne, to zadania tradycyjne z wymyśloną treścią np. o kwiatkach, grzybkach, produkcji w fabryce, ksiąŜkach na półce, w których treść jest tylko otoczką do działania matematycznego i moŜe być zmieniona, jako nieistotna, na inną. Zadania „czysto” matematyczne, to zadania o liczbach, figurach geometrycznych, zawierające głównie symbole liczb i rysunki schematyczne figur.4

2 a) Czynnościowe nauczanie matematyki, WSiP, Warszawa 1998. b) Kształcenie zintegrowane na etapie wczesnoszkolnym. Rola edukacji matematycznej, Wydawnictwo

Naukowe AP Kraków, 2004. c) Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej, WSiP, Warszawa 2005. 3 M. Jakowicka, Integracja jako jedna z głównych idei jakościowego aspektu edukacji na XXI wiek, w.

Pedagogika wobec przemian, ibid, s. 144. 4 Szerzej o typach zadań w róŜnych koncepcjach kształcenia moŜna przeczytać w ksiąŜce: H. Siwek,

Kształcenie zintegrowane …, op. cit.


203

Klasyfikując zadania ze względu na metodę problemową, wyróŜniamy w matematyce trzy ich rodzaje: problemy, zwykłe zastosowania teorii, ćwiczenia.5 W krótkiej charakterystyce podkreślmy, Ŝe problemy – to zadania otwarte ze względu na metodę, zawierające trudności wymagające poszukiwań nowych konstrukcji, pomysłowości; zwykłe zastosowania teorii – wymagają zróŜnicowanej aktywności i samodzielności, łączenia i stosowania róŜnych wiadomości z matematyki, ale nasuwających się w sposób naturalny; ćwiczenia – nastawione są na aktywność odtwórczą, powtarzanie, utrwalanie znanych schematów, wzorów, na zmechanizowanie prostych czynności.

Stosując powyŜsze klasyfikacje zadań, poszukiwaliśmy na seminariach magisterskich odpowiedzi na następujące pytania, problemy szczegółowe badań: a). Czy współczesne podręczniki zintegrowane zawierają duŜo zadań realistycznych i czy integrują matematykę z pozostałymi edukacjami ? b). Jaki jest stosunek między zadaniami realistycznymi a pararealistycznymi i „czysto” matematycznymi? c). Czy współczesne podręczniki zintegrowane zawierają wystarczającą ilość zadań problemowych i czy kładą nacisk na rozwijanie myślenia uczniów? d) Jaki jest stosunek między zadaniami problemowymi, zwykłymi zastosowaniami teorii i ćwiczeniami w podręcznikach zintegrowanych?

Zastosowaną metodą badawczą w poszukiwaniu odpowiedzi na powyŜsze pytania, była analiza dokumentów - wybranych podręczników. Narzędziem badawczym był schemat powstały w wyniku „skrzyŜowania” trzech typów zadań w metodzie realistycznej z trzema typami zadań w metodzie problemowej. Powstał w ten sposób schemat – tabela, utworzona z dziewięciu komórek, w które umieszczano numery stron i zadań zaliczone do określonego typu. Tabele te były podstawą do otrzymania zastawień liczbowych dla analizowanych podręczników. Materiały badawcze, to dwie grupy podręczników : I - z wyłączoną matematyką (zawartą w oddzielnych podręcznikach lub kartach pracy): Wesoła Szkoła (WS), Moja Szkoła (MS), JuŜ w szkole (JwS), Z Ekoludkiem w szkole (EwS) oraz II - podręcznik w pełni zintegrowany, w którym matematyka jest w naturalny sposób włączona do tematów realistycznych: Tęczowa Szkoła (TS).

Indywidualne opracowania studentów były referowane i dyskutowane na zajęciach, a tabele sprawdzane. Cząstkowe analizy stały się podstawą opracowań zbiorczych, które wykonały Anna Franik i Janina Miliczek6 w lipcu i sierpniu 2006r. – na konferencję w WSP Katowice.

Wyniki analizy podr ęczników zintegrowanych: WS, MS, JwS, EwS

Studenci łącznie zanalizowali ponad 3,5 tys. zadań, co ujmuje poniŜsza tabela. TABELA 1 . Liczba analizowanych zadań z podręczników WS, MS, JwS, EwS

WS MS Js Ek RAZEM 2268 510 421 345 3544

5 Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, część III, Warszawa 1977, s. 20 – 30. 6 Do zestawień zbiorczych zostały wykorzystane tabele z danymi liczbowymi uczestników seminariów z WSP TWP w Katowicach i AP w Krakowie.


204

Zakres analizowanego materiału dobierany był zgodnie z potrzebami i tematyką poszczególnych prac dyplomowych. Dla przykładu zamieszczam jedną z tabel .

TABELA 2. Analiza ilo ściowa zadań w podręczniku Wesoła Szkoła

Typy zadań Klasa

Realistyczne Pararealistyczne „Czysto”

matematyczne Razem Ćwiczenia Zwykłe

zast. teorii

Problemowe

I 79 299 231 609 404 200 5

II 74 329 500 903 600 226 77

III 151 276 329 756 276 362 118

RAZEM 304 904 1060 2268 1280 788 200

% 13 40 47 100 56 35 9

Z tych cząstkowych danych wynika wyraźnie, Ŝe w tym projekcie wzrosła liczba

zadań realistycznych i problemowych dopiero w klasie III. Na podstawie wszystkich tabel sporządzono syntetyczne zestawienie procentowe

zadań oraz ilustrację w formie wykresów. Tutaj podaję jeden dla przykładu. WYKRES 1. Procentowy udział zadań w podręcznikach WS, MS, JwS, EwS

0%10%20%30%40%50%60%

WesołaSzkoła

JuŜ wszkole

w szkole

Realistyczne Pararealistyczne „Czysto” matematyczne

Jak wynika z wykresu i analizy jakościowej zadań w podręcznikach: matematykę

realizuje się podobnie jak to było w nauczaniu przedmiotowym, duŜo jest zadań pararealistycznych i „czysto” matematycznych, zadania realistyczne to głównie zadania praktyczne o waŜeniu, pieniądzach, zegarze.

Podobnie wygląda wykres dla zadań w metodzie problemowej.


205

WYKRES 2. Procentowy udział zadań w podręcznikach WS, MS, Js, Ek

0%

20%

40%

60%

Wesoła Szkoła Moja Szkoła JuŜ w szkole Z Ekoludkiem w szkole

Problemowe Zwykłe zast. teorii Ćwiczenia

Przeprowadzona analiza dowodzi, iŜ podręczniki te nie pomagają nauczycielowi w tworzeniu sytuacji realistycznych i problemowych. Niektóre z nich w niewielkim stopniu podejmują próbę zbliŜania matematyki do Ŝycia, ale to wciąŜ jeszcze za mało, aby wyzwolić u ucznia aktywność w samodzielnym poszukiwaniu rozwiązań problemów matematycznych oraz osadzić matematykę w realistycznym świecie, zintegrować ją z nauką całościową.

Zupełnie odmiennie przedstawia się sytuacja w podręcznikach Tęczowej Szkoły. Oto dane.

TABELA 3. Analiza ilo ściowa zadań z podręczników Tęczowej Szkoły – zestawienie syntetyczne

Typy zadań Klasa

Realistyczne Pararealistyczne „Czysto”

matematyczne Razem Problemowe Zwykłe

zast. teorii

Ćwiczenia

I 402 243 159 804 194 326 284

II 302 344 273 919 193 328 398

III 411 258 461 1130 236 437 457

RAZEM 1115 845 893 2853 623 1091 1139

Na 2853 zadania aŜ 1115 to zadania realistyczne. Najwięcej z nich jest w klasie I .

Zadań problemowych jest 623 i na kaŜdym poziomie są mniej więcej równomiernie rozmieszczone. Lepiej te wyniki obrazuje wykres.

WYKRES 3. Procentowy udział zadań w podręcznikach TS

0%

10%

20%

30%

40%

"Czysto"

Realistyczne Pararealistyczne matematyczne Problemowe Zwykłe zast. teorii Ćwiczenia


206

W podręczniku TS występuje wysoki odsetek zadań realistycznych. Jest ich prawie 40% i są związane z autentycznymi zdarzeniami, obiektami, zjawiskami. RównieŜ duŜo jest zadań problemowych, bo w kaŜdej klasie trochę ponad 20%.

Po dokładnym zanalizowaniu typów zadań moŜna postawić wniosek, Ŝe TS jest zgodna ze współczesnymi tendencjami w edukacji zintegrowanej. Jest to projekt ukierunkowany na pokonywanie trudności przez dzieci pod kierunkiem nauczyciela, zadania tu zawarte odbiegają od tradycyjnych zadań matematycznych pod względem konstrukcji. Są to często zadania złoŜone, geometryczno-arytmetyczne, wymagające mierzenia, porządkowania danych, porównywania i uogólniania. KaŜde z nich jest ściśle związane z obiektami występującymi w danym temacie realistycznym, zawartym w programie kształcenia, dzięki czemu matematyka jest zintegrowana i bliska Ŝycia, humanistyczna.

Podsumowanie – wnioski z badań podręczników

W wyniku analizy porównawczej podręczników moŜna sformułować odpowiedzi na pytania szczegółowe.

1. Analizowane podręczniki, z wyjątkiem TS, zawierają za mało zadań realistycznych i nie integrują matematyki z pozostałymi edukacjami.

2. Są duŜe dysproporcje między zadaniami realistycznymi , pararealistycznymi i „czysto” matematycznymi we wszystkich analizowanych podręcznikach oprócz TS.

3. Metoda problemowa jest w dalszym ciągu obecna głównie w teorii, chociaŜ w podręcznikach zaczyna się ten stan poprawiać. Jak wynika z analizy TS na tym poziomie jest moŜliwe nauczanie problemowe. Tutaj jest wystarczająco duŜo zadań problemowych.

4. Proporcje między zadaniami problemowymi, zwykłymi zastosowaniami teorii i ćwiczeniami są zróŜnicowane, w większości podręczników kładzie się nacisk na schematyczną wiedzę i ćwiczenie.

Adres

Helena Siwek Uniwersytet Pedagogiczny ul. PodchorąŜych 2 30 – 084 Kraków E-mail: [email protected]


207

ROZVÍJENÍ PROSTOROVÉ PŘEDSTAVIVOSTI V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY

Anna STOPENOVÁ

Abstrakt Prostorová představivost je jednou z důležitých matematických schopností. Kvalita

znalostí žáka bude hlubší, plnější a trvalejší, jestliže se zmocňuje pojmů a vět matematiky vlastní aktivitou, experimentováním, hledáním souvislostí, mnohonásobným přehodnocováním svého poznání. Rozhodující úlohu při neformálním poznávání hrají osobní zkušenosti žáka při řešení matematických úloh a činností, které podporují rozvíjení prostorové představivosti.

SPACE IMAGINATION DEVELOPMENT IN PRIMARY SCHOOL MATHEMATICS

Abstract Space imagination is an important mathematical skill. Pupils’ knowledge will be

deeper and will last longer, if they acquire knowledge of mathematical ideas and theorems by their own activity, experimenting, context and connection seeking or questioning their knowledge. Real-life experience from solving mathematical tasks and from performing mathematical activities, which encourage space imagination development, are an important agent of informal learning.

Úvod

Když dítě začne navštěvovat školu, přináší si s sebou určitou zásobu prostorových představ a počátky orientace v prostoru, které si vytvořilo ve svém každodenním životě při hrách a výchově v rodině, ale také během pobytu v mateřské škole. Na 1. stupni ZŠ se představivost dětí dále rozvíjí nejen ve vyučování geometrie, ale i v ostatních vyučovacích předmětech - prvouce, přírodovědě, pracovním vyučování, v tělesné a výtvarné výchově. Stěžejní místo ale stále zaujímá matematika, kdy si žák systematicky osvojuje matematické pojmy, zvláště pak pojmy z geometrického učiva.

Geometrická komponenta matematického vyučování prošla v posledních desetiletích patrně nejsložitějším a nejrozporuplnějším vývojem ze všech oblastí školské matematiky. Rozvíjení prostorové představivosti žáků je opakovaně proklamovaným cílem geometrického vzdělávání. Dosavadní pojetí vyučování a různé přístupy ke školské geometrii ovšem nevytvořily dostatečné předpoklady k dosažení uvedeného cíle.

Ukazuje se, že problém nespočívá v samém zjišťování úrovně prostorové představivosti, ale spíše v rozvíjení této důležité ability a ve zkoumání potencí k jejímu rozvíjení.


208

1. Prostorová představivost

Prostorová představivost je pojem, se kterým se běžně setkáváme. Ať už jde o orientaci v přírodě, ve městě nebo na venkově, či vybavení si krajiny, části stavby nebo města podle mapy nebo plánu či využití prostorové představivosti v oblasti architektury (městská zástavba, interiéry bytů) a návrhářství. Velice často si potřebujeme v běžném životě vybavit vzájemnou polohu více těles nebo dráhu předmětů při pohybu z místa na místo. Zcela běžně se setkáváme se situacemi, kdy na základě plánu si musíme představit tyto objekty v prostoru. Člověk s dobrou představivostí reaguje na takové a jim podobné situace hravě, dovede lépe předvídat mnohé životní situace, lépe na ně reaguje. Člověk s méně rozvinutou představivostí má jisté potíže. Prostorovou představivost potřebují technici, vědci, výtvarníci, biologové, lékaři, švadleny aj. Dá se říci, že ji potřebuje každý z nás. Pokud je jejímu rozvíjení věnována dostatečná pozornost, dělá náš život bohatší a plnější. Představivost je důležitá pro život člověka, protože je předpokladem a základem tvořivosti.

Prostorová představivost se opírá o poznání tvarů předmětů, jejich rozmístění a pohybu v prostoru. Její rozvíjení úzce souvisí s rozvojem chápání a vytváření pojmu geometrický útvar. Prostorové vlastnosti předmětů – tvar, velikost, poloha a umístění – jsou podstatnými a neoddělitelnými znaky dvoj i trojrozměrných předmětů.

Efektivní vzdělávací proces je založen na zkušenostech žáků. V procesu učení žák hledá odpovědi na položené otázky a vytváří si představy, které jsou základem pro vytváření pojmů a poznatků. Zkušenosti, představy a poznatky se navzájem kombinují, přenášejí a vytvářejí možnosti vzniku dalších představ, zkušeností, pojmů a poznatků. „Představivost chápeme jako schopnost vybavovat si a vytvářet představy“ (Půlpán, 1992). Geometricky je představivost interpretována „jako schopnost vybavovat si obrazy těles nebo geometrických útvarů, které mají určité vlastnosti“ (Půlpán, 1992). Vybavování představ se řídí asociačními zákony podobnosti, kontrastu, dotyku v prostoru, čase, zákonem příčinnosti a také principy živosti, častosti a novosti. Galton uvádí, že „ve schopnosti utvářet představy existují značné individuální rozdíly a že představivost je v populaci normálně rozložena podobně jako inteligence“ (Plháková, 2004).

Prostorovou představivost můžeme definovat jako soubor schopností týkajících se reprodukčních i anticipačních, statických i dynamických představ o tvarech, vlastnostech a vzájemných vztazích mezi geometrickými útvary v prostoru (Molnár, 2004).

Podle Plhákové je „představivost psychický proces, který vede ke vzniku pamětních představ, jež jsou mentálními reprezentacemi dřívějších senzoricko-vjemových, případně citových zážitků. Pamětní představy se utvářejí především na základě podnětů z vnější reality“ (Plháková, 2004). Vedle pamětních představ se vytvářejí fantazijní představy, které vychází převážně z vnitřního světa člověka.

V souvislosti s opakovanou zkušeností a s přípravou plánu činnosti vznikají ještě tzv. představy anticipační.

Lékařské výzkumy dokazují existenci dvou různých systémů, které mají podíl na vytváření mentálních představ vizuálních informací. První nám umožňuje zobrazovat informace o prostorovém umístění předmětů a jejich prostorových vztazích. Druhého využíváme k rozpoznání druhu a kategorie vnímaných předmětů. Tyto dva systémy reprezentují vizuální prostorovou a objektivní představivost. Objektivní představivost je ovlivňována našimi smysly a někdy dochází k optickým klamům např. na obr. 1.


209

Obr. 1 Optický klam

Obrazové představy si lze dále ještě prohlížet, otáčet a přetvářet. Lze je vyvolávat a ovlivňovat vůlí.

Podle předchozích řádků je zcela zřejmé, že představy jsou úzce spojeny s pamětí, myšlením, zkušeností, fantazií, citovými procesy, řečí a samozřejmě učením.

Prostorová představivost se z hlediska pedagogiky, psychologie a didaktiky matematiky rozvíjí na základě geneticky podmíněných a vrozených vloh. Tento vývoj se realizuje zráním a učením, které je ovlivňováno vlastní činností jedince, prostředím a výchovou.

Pro formování představivosti má nemalý význam vhodný trénink ve vhodnou dobu a vhodnými prostředky. Při vyučování geometrii by žák měl být aktivní a vlastnosti geometrických útvarů poznávat díky vlastní činnosti. K rozvíjení prostorové představivosti slouží didaktické matematické hry. Tyto hry jsou zaměřeny na rozvoj orientace v prostoru, na poznávání geometrických útvarů a jejich vlastností, na různé hlavolamy a hry k rozvoji odhadu. Můžeme zde zařadit i hry, které v sobě skrývají praktické činnosti – vystřihování, vybarvování, lepení, modelování, kreslení, stavění kostek či stavebnic atd. Tyto hry slouží nejen k rozvíjení prostorové představivosti, ale i k rozvoji tvořivosti, kombinačního myšlení, taktiky a strategického myšlení.

2. Cílové zaměření matematiky primární školy

Z této oblasti bych se věnovala jen některým kompetencím zaměřených na souvislosti s rozvíjením prostorové představivosti žáků primární školy. Vzdělávání matematice primární školy směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí. Zde bychom mohli zařadit všechna cílová zaměření, ale budu se věnovat jen těm, která mají „viditelný“ vliv na rozvíjení prostorové představivosti. Vybrala jsem: • využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech -

orientace, odhadování, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, • osvojování si a využívání základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání

jejich charakteristických vlastností, • vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění - modelování (jedna situace

může být vyjádřena různými modely), • provádění rozboru problému, plán řešení, odhad výsledků, • vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky, • zdokonalování grafického projevu.


210

3. Vzdělávací obsah

Ve vzdělávacím obsahu Matematiky a její aplikace nelze vynechat žádné očekávané výstupy ani učivo. V Rámcovém vzdělávacím programu v tematickém okruhu Geometrie v rovině a prostoru žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, určovat obvod a obsah, zdokonalovat svůj grafický projev. Přesto se ale stále setkáváme jen s malou pozorností, která je tomuto rozvoji věnována (RVP, 2007). O vlivu geometrického učiva na rozvíjení prostorové představivosti snad nikdo nepochybuje. Podle bližšího seznámení se s pojmem prostorová představivost najdeme mnoho možností k jejímu rozvíjení i v jiných oblastech matematiky.

Můžeme dokonce říci, že vše co konáme (respektive najdeme v RVP) je spojeno s prostorovou představivostí. Ať si vezmeme příklad z aritmetické oblasti - zápis, čtení či porovnávání přirozených čísel - ve všem se objevují vlastnosti jako je tvar, velikost, poloha a umístění. V tematickém okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty se žák musí orientovat tabulkách, ve schématech, diagramech, jízdních řádech atd. Nestandardní aplikační úlohy a problémy skýtají mnohé možnosti a činnosti, které opět působí na rozvíjení prostorové představivosti.

Za dílčí učební cíle rozvíjení prostorové představivosti v matematice primární školy obvykle považujeme: • vytvoření přesných představ tvaru základních geometrických útvarů, • schopnost provést v představě analýzu geometrických útvarů (odhadnout nebo

stanovit vzájemnou polohu podmnožin bodů tvořících geometrický útvar a odhadnout nebo popsat vztahy mezi nimi),

• číst s porozuměním a umět modelovat obrázek znázorňující prostorovou situaci (ve volném rovnoběžném promítání, ve sdružených pravoúhlých průmětech na dvě a tři průmětny, kótovaný půdorys apod.),

• vytvořit představu velikosti základních jednotek velikosti, odhadnout velikosti geometrických útvarů,

• popsat situaci geometrickou terminologií a symbolikou, • představit si složené geometrické útvary jako sjednocení základních geometrických

útvarů, • umět rozhodnout o prostorovém uspořádání geometrických útvarů („viditelnost“ na

obrázku znázorněných prostorových situací), • vytvářet konstrukční dovednost (tj. podle představy znázornit obrázkem vzájemnou

polohu a velikost geometrických útvarů), dovednost vytvořit názorný obrázek prostorové situace nebo tělesa ve volném rovnoběžném promítání, dovednost sestrojit sdružené průměty tělesa, vymodelovat stavbu z krychlí apod. Pro další základní geometrické vzdělávání jsou významné i představy o vztazích

mezi prvky souboru a mezi soubory navzájem. Tyto zkušenosti získávají děti prostřednictvím konkrétních vždy vhodně motivovaných manipulativních činností: • třídění (klasifikace), seskupování prvků do určitých souborů, tříd, obvykle na

základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost prvků, kritérium se postupně precizuje např. třídění rovinných útvarů a těles

třídění rovinných útvarů na skupiny čtverců, kruhů, ..


211

třídění podle více než jedné společné vlastnosti- skupiny červených kruhů, zelených čtverců, …

• řazení (uspořádávání) prvků v souboru podle jejich uspořádaných odlišností např. seřazení dětí podle tělesné výšky,

seřazení zvířátek podle velikosti, pochopení a řazení předmětů či dětí před- hned před, za- hned za, • zobrazení

např. ke každému kruhu najdi trojúhelník, • využívání množinových operací

např. vyber prvek, který je trojúhelníkový a zároveň červený, vyber všechny prvky, které jsou čtvercové nebo červené.

Závěr

Nepostradatelnou složkou průpravy ke zvládnutí počátků školské geometrie je cvičení vizuální paměti, postřehu a rozvoje schopností vnímat jednoduché tvary, rozložení a umístění objektů v prostoru i v rovině, pozorování určitých vztahů mezi objekty jak v prostoru, tak i v rovině. Děti v tomto věku mají již jistou manuální zručnost i prostorovou představivost, kterou získaly životní praxí i manipulací s různými druhy stavebnic (PEXESO, LEGO, PUZZLE). Od stavebnic a úloh rozvíjejících prostorovou představivost by se nemělo ustoupit. Uvedené činnosti a úlohy rozvíjející prostorovou představivost považujeme stále za velmi aktuální a funkční. Napomáhají k osvojení poznatků a dovedností nutných pro každodenní život (měření, poznávání jednotek délky, obsahu a objemu, provádění odhadů a osvojení správné geometrické terminologie) a vedoucí k vytváření pozitivního vztahu ke geometrii potažmo k matematice.

Literatura

1. MOLNÁR, J. Rozvíjení prostorové představivosti (nejen) ve stereometrii, UP, Olomouc, 2004.

2. PLHÁKOVÁ, A. Učebnice obecné psychologie. Praha: Academia, 2004. 3. PULPÁN, Z., KUŘINA, F., KEBZA, V. O představivosti a její roli v matematice.

Praha: Academia, 1992. 4. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: VÚP, 2007.

Kontaktní adresa

PaedDr. Anna Stopenová, Ph.D. Pedagogická fakulta UP Žižkovo nám. 5, 77140 Olomouc Telefón: +421 585 635 711 E-mail: [email protected]


212

K NIEKTORÝM OTÁZKAM TVORBY U ČEBNÝCH TEXTOV Z MATEMATIKY PRE ŠTUDUJÚCICH U ČITEĽSTVO 1. STUPŇA ZŠ

Ondrej ŠEDIVÝ, Dana MALÁ

Abstrakt V príspevku sa autori zamýšľajú nad tvorbou učebných textov pre študujúcich

učiteľstvo 1. stupňa základnej školy a uvádzajú niektoré skutočnosti, ktoré by pri tvorbe textov nemali chýbať. V príspevku väčšiu pozornosť venujú matematickým úlohám.

CONCERNING SOME QUESTIONS OF MATHEMATICAL STUDY MATERIALS CREATION FOR THE STUDENTS OF PEDAGOGY FOR ELEMENTARY SCHOOLS

Abstract In the paper, the authors contemplate about the creation of study materials for the

students of pedagogy for elementary schools and state few facts that should be concerned within this process. Major attention is devoted to mathematical tasks.

Podľa Štátneho vzdelávacieho programu učebný predmet Matematika v 1. – 4.

ročníku základnej školy v etape základného vzdelávania na kompetenčnom základe, je založený na realistickom prístupe k získavaniu nových poznatkov a na využívaní manuálnych a intelektových činností žiakov. Predpokladá sa, že na tomto základe získané základné matematické vedomosti umožnia získať matematickú gramotnosť novej kvality, ktorá by sa mala prelínať celým základným matematickým vzdelaním a vytvárať predpoklady pre ďalšie úspešné štúdium matematiky a pre celoživotné vzdelávanie.

Vyučovanie matematiky na 1. stupni základnej školy má rozvíjať kľúčové kompetencie a najmä matematické kľúčové kompetencie stanovené a odporúčané Európskym parlamentom a radou.

Vyučovanie matematiky má napomáhať realizovať a j všeobecné požiadavky na rozvoj osobnosti. Preto je dôležité realizovať vo vyučovaní matematiky tieto požiadavky: • V súlade s osvojením si matematického obsahu rozvíjať matematické myslenie,

logické, kombinatorické a kritické myslenie. • Primerane rozvíjať orientáciu žiakov v rovine a v priestore, rozvíjať pomocou

reálnych situácií priestorovú predstavivosť. • Budovanie vzťahu medzi matematikou a realitou a na základe praktických

a intelektových činností, s využitím induktívnych metód získavať nové poznatky a zručnosti a pestovať nové postoje a rozvíjať kladný vzťah k matematike.

• Učiť presnému používaniu materinského a odborného jazyka, učiť matematickej symbolike a vhodnému využívaniu tabuliek, grafov a diagramov, rozvíjať komunikatívne zručnosti so správnym používaním matematickej terminológie a frazeológie.


213

• Systematicky viesť žiakov k získavaniu skúseností s matematizáciou reálnych situácií, učiť ich používať elementárne matematické modely v práci s realitou v dennej praxi.

• Viesť žiakov k používaniu prostriedkov IKT, k vyhľadávaniu a ukladaniu informácií.

• Systematickým a premysleným riadením práce žiakov rozvíjať a upevňovať kladné morálne vlastnosti žiakov, ako aj samostatnosť, rozhodnosť, vytrvalosť, húževnatosť, kritickosť a sebakritickosť, dôvera vo vlastné schopnosti, systematickosť pri riešení matematických a iných úloh.

Uviedli sme základné ciele výučby matematiky na 1. stupni základnej školy. Štátny vzdelávací program vo vyučovaní matematiky budú realizovať učitelia, ktorí

už pôsobia na školách a budúci učitelia, ktorých pripravujeme podľa študijných programov na pedagogických fakultách.

Nechceme hovoriť o tom, či stanovené učebné osnovy z matematiky splnia na 1. stupni ZŠ zámery rozširovania matematických kompetencií a zvýšenia matematickej gramotnosti, chceme však pripomenúť, ako učebné texty z matematiky pre študujúcich učiteľstvo môžu pomôcť napĺňať zámery rozvíjania a schopností mládeže používať matematiku vo svojom budúcom živote.

Základom vyučovania matematiky by mali byť činnosti žiaka, matematické aktivity najrôznejšieho druhu, najdôležitejšími z nich najmä riešenie úloh a problémov. Preto príprava budúcich učiteľov a teda aj učiteľov 1. stupňa ZŠ musí byť v vedená týmto smerom a všetky učebné materiály (učebnice, učebné texty a pravda prednášky a semináre nevynímajúc) musia byť pripravené tak, aby slúžili študentom v tomto smere.

Medzi prvé požiadavky pre tvorbu študijnej literatúry je, aby slúžili pre hĺbkový prístup k riešeniu. Č to však znamená?

Vytvorená študijná literatúra musí viesť študujúceho k tomu, aby porozumel učivo, aby pochopil jeho význam, aby chápal jednotlivé súčasti učiva. Učebný text musí študenta priviesť k učeniu nielen kvôli skúškam, ale najmä preto, že má učivu porozumieť, vyskúšať jeho použitie a aby vedel učivo vysvetľovať pri jeho budúcej učiteľskej práci. Učebný text musí študujúcemu predložiť: • teoretické poznatky z matematiky na takej úrovni, že bude vytvárať u študujúcich

základy elementárnych matematických pojmov a vzťahov, ktoré sú nevyhnutné pre rozvoj myslenia žiakov mladšieho školského veku,

• systém rôznych činností, ktoré sú spojené s rozvojom predstáv o základných matematických pojmoch u detí mladšieho školského veku, vytvoriť u budúceho učiteľa praktické zručnosti a schopnosti na takej úrovni, aby dokázal realizovať výber aktivít a činností pre žiakov so zreteľom na stanovený výchovný a vzdelávací cieľ,

• systém otázok, úloh, hier, ktoré pomáhajú rozvíjať predstavy o matematických pojmoch a metódy riešenia typických úloh na 1. stupni ZŠ,

• možnosti učebných štýlov, ktoré by učiteľ mal poznať a pri vyučovaní ich rešpektovať. Pri tvorbe učebných textov hrá významnú úlohu aj obsah, ktorý by mal zaručiť

vyššie uvedené skutočnosti a ktorý zaručí efektívnosť výučby matematiky na 1. stupni


214

ZŠ. V týchto súvislostiach sa musí zachovať dodržiavanie didaktických aspektov spracovania učiva, ako aj členenie, ktoré treba zjednotiť, čo bude: • základné učivo, tvoriace základy súčasnej matematiky ako vedy a technológie, • učivo, bez ktorého nemožno postupovať vo vzdelávaní v matematike, • učivo, ktoré spĺňa podmienky primeranosti obsahu, • učivo, ktoré má základný formálny význam pre rozvíjanie osobnosti študenta a jeho

postojov. Treba si uvedomiť, že v učebnom procese vstupujú do zložitých vzťahov učiteľ –

učebný obsah – žiak, potom v učebných textoch musíme pamätať na rozvoj aj sociálnych kompetencií študujúcich.

Keďže matematiku vyučujeme prostredníctvom úloh, musíme pri tvorbe učebných textov túto skutočnosť rešpektovať.

Uveďme niekoľko dôležitých pohľadov na pojem úloha. Pojem úloha chápeme ako každú požiadavku na činnosť žiaka (študenta), ktorá

vzniká v interakcii učiteľ – žiak a je zameraná na osvojenie si určitého učiva a na rozvíjanie kognitívnych vlastností žiaka.

Úlohy, v ktorých je závislosť medzi danými a hľadanými údajmi vyjadrená slovnou

formuláciou, nazývame slovnými úlohami. V slovných úlohách treba na základe vhodnej úvahy zistiť, aké počtové výkony s danými údajmi (číslami) urobiť, aby sme našli čísla, ktoré máme vypočítať a odpovedať na položenú otázku. Opis toho, o čo v slovnej úlohe ide, spolu s číselnými údajmi, nazývame podmienkou a opis toho, čo máme vypočítať, nazývame podmienkou.

Slovné úlohy podľa počtu počtových operácií, ktoré treba použiť pri riešení, rozdeľujeme na jednoduché a zložené.

Pri riešení slovnej úlohy je potrebné sformulovať matematickú úlohu. Riešenie slovnej úlohy má obyčajne tri fázy: a) Rozbor úlohy – oboznámenie sa s úlohou čítaním, počúvaním, pozorovaním,

rozborom kresby, grafu, tabuľky, diagramu, určenie otázky, určenie podmienok, preverenie znalosti termínov a vzťahov.

b) Zostavenie plánu riešenia – znázornenie (skutočnými predmetmi, realistickou kresbou alebo symbolickým znázornením diagramom, úsečkami a pod.), určenie postupov riešenia.

c) Výpočet – uskutočnenie riešenia zostavenej matematickej úlohy, kontrola správnosti výpočtov výsledkov, odpoveď. Úlohy a ich riešenie sú trvalým obsahom vyučovania matematiky na všetkých

stupňoch a druhoch škôl. Uplatňujú sa vo všetkých etapách vyučovania matematiky. Úlohy sú nositeľom vedomostí, spôsobilostí a schopností, sú jedným z prejavov metód práce v danej oblasti ľudského poznania, prostriedkom k riešeniu praktických problémov. Teda z hľadiska taxonómie učebných cieľov vyučovania matematiky plnia matematické úlohy funkcie vzdelávacie, rozvíjajúce a výchovné. Uveďme ich špecifikáciu:

1. vzdelávacie – zamerané sú na formovanie matematických vedomostí, zručností, návykov v rôznych etapách ich osvojenia;


215

2. rozvíjajúce – zamerané na rozvoj myslenia, na ovládanie efektívnych spôsobov rozumovej činnosti;

3. výchovné – zameranie na formovanie záujmu žiakov, na výchovu k samostatnosti, tvorivosti, na formovanie morálnych kvalít.

V didaktike matematiky úlohy tradične vystupujú v dvoch základných funkciách: • ako lokálny cieľ vyučovania matematiky – normatívne požiadavky na osvojenie

matematického učiva sa formulujú pomocou úloh, ktorých riešením je želateľným výsledkom vyučovania,

• ako prostriedok vyučovania matematiky – úlohy slúžia ako prostriedok, prostredníctvom ktorého dosahujú plánované výsledky vyučovania (čo sa označuje termínom „vyučovanie cez úlohy“. Pre napĺňanie všeobecných i špecifických učebných cieľov používame teda úlohy.

Pre školskú matematiku najdôležitejším kritériom je delenie úloh na: • štandardné • neštandardné.

Štandardné úlohy hlavný dôraz kladú na pamäť, na kopírovanie vzorov a tak veľmi málo prispievajú k intelektuálnemu rozvoju jedinca. G. Polya rozlišuje dva typy štandardných úloh: • úlohy, ktorých riešenie vyžaduje známe pravidlo, • úlohy, ktoré sú zopakovaním známeho.

Úlohy prvého typu môžeme riešiť mechanicky s použitím už známeho algoritmu.

Žiak sa k vyriešeniu dostane bez ťažkostí a namáhania mozgu. Riešenie takejto úlohy nevyžaduje od riešiteľa vynaliezavosť, dôvtip.

K druhému typu štandardných úloh patria úlohy, ktorými sa dosahujú len malé izolované ciele matematického poznania. Plnia viac kontrolnú funkciu, zadávajú sa s cieľom preveriť, či žiaci ovládajú pojmy, základné vzťahy, postupy, symboly a ich význam.

Riešenie štandardných úloh je pre vyučovanie nevyhnutné. Bolo by však veľmi zle, ako vo vyučovacom procese vzniká predstava, že jedine takéto úlohy a učivo s nimi súvisiace sa označuje etiketou „matematika“.

Neštandardné úlohy sú spravidla zaujímavejšie, ako mnohé štandardné rutinné

úlohy. Neštandardnými úlohami možno viacej vzbudiť záujem o matematiku. Neštandardné úlohy vedú k objavovaniu, dôvtipu, domýšľaniu, nachádzaniu nových ciest pri riešení úloh.

Uviedli sme niekoľko poznámok o úlohách. Pri tvorbe nových učebných textov by sme mali pamätať na rôzne funkcie úloh a cieľavedome úlohy do učebných textov zaraďovať.

Ešte jednu poznámku. Niektoré texty by mali ukázať aj tvorby nových úloh a tak budúcich učiteľov k tejto činnosti nabádať.

Pri riešení úloh je dôležité rozvíjať procesy: analýza, syntéza, zovšeobecnenie a abstrakcie. Tieto procesy bezprostredne umožňujú „objavovať neznáme“, dovoľujú prejsť od známeho k neznámemu. Zovšeobecňovanie tvorí podstatný článok


216

myšlienkového pochodu a pomáha vystihnutie toho, čo majú určité javy (napr. vzťahy) spoločné a čo je podstatné.

Riešenie úloh a problémov sa deje učením, ktoré s a opiera o skúsenosti, poznatky a realizuje sa v spoločenskej činnosti. Učením sa človek učí učiť sa, činnosťou rozvíja seba samého. Najvyšším druhom učenia je myšlienkové učenie, ktoré spočíva v osvojovaní a vytváraní myšlienkových stratégií pri riešení problému, vo vyučovaní matematiky pri riešení úloh.

Záverom pripomíname, že pri riešení učebných textov musíme študujúcich učiteľstva 1. stupňa ZŠ presvedčiť, že základom vyučovania matematiky sú činnosti žiakov, matematické aktivity najrozličnejšieho druhu, avšak najdôležitejšími z nich je riešenie úloh a problémov.

Literatúra

1. PORTÍK, M.: Rozvíjanie poznávania žiakov 1. stupňa ZŠ. In:: Pedagogická revue, 1998

2. KOSOVÁ, B.: Humanizačné premeny výchovy a vzdelávania na 1. stupni ZŠ. Banská Bystrica, 1996.

3. TUREK, J.: Inovácie v didaktike. Metodicko – pedagogické centrum Bratislava, 2004.

4. PETTY, G.: Moderní vyučování – praktická príručka. Portál, Praha, 1996. 5. BEČVÁŘOVÁ, M. (edi): O škole a vzdělávaní. MATFYZPRESS, Praha 2007.

Kontaktná adresa:

Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. PaedDr. Dana Malá, PhD. Katedra matematiky FPV UKF PF UKF Trieda A. Hlinku 1 949 74 Nitra Telefón: +421 905 368 720 Telefón: +421 907 670 231 E-mail: [email protected] E –mail: [email protected]


217

DYNAMICKÉ TESTOVANIE MATEMATICKÝCH SCHOPNOSTÍ DETÍ ZO SOCIÁLNE ZNEVÝHOD ŇUJÚCEHO PROSTREDIA – POHĽAD DRUHÝ

Edita ŠIMČÍKOVÁ

Abstrakt Pilotné výsledky predvýskumu riešenia projektu APVV MŠ SR Dynamické

testovanie latentných učebných kapacít detí zo sociálne znevýhodneného prostredia odhalili prvé problematické miesta v testovej batérii. V druhej fáze predvýskumu bolo cieľom urobiť korekciu testovacích domén pre overovanie matematických schopností a navrhnúť nové položky pre testovací nástroj. V príspevku sú zhrnuté výsledky dynamizácie tvorby testovej batérie zameranej na overovanie matematických schopností a jej aplikácie v školách s prevahou detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia.

DYNAMIC TESTING OF MATHEMATICAL ABILITIES OF CHILDREN FROM SOCIALLY DISADVANTAGING BACKGROUND – SECOND VIEW

Abstract The preliminary results of the pilot study carried out within the APVV MŠ SR

project titled Dynamic testing of the latent learning capacities of the children from socially disadvantaged background have indicated some problematic areas in the proposed test battery. Hence, the aim of the second phase of the preliminary stage was to make necessary corrections in the domains of the testing tool and to propose some new test items as well. The paper, discusses the process of constructing test battery so as to fit in the dynamic testing paradigm is included and application of the testing tool in the schools with prevailing number of pupils coming from socially disadvantaged background.

Úvod

V príspevkoch prezentovaných na konferencii Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy v Olomouci v roku 2008 priblížili členky výskumného mikrotímu riešiteľov KME PF PU v Prešove (Prídavková-Tomková, 2008, Scholtzová-Šimčíková, 2008) teoretické východiská dynamického testovania, determinanty dynamického testovania matematických schopností, domény vytvoreného testovacieho nástroja, proces tvorby inštrukčnej časti testu a výsledky realizovaného predvýskumu. Na základe analýzy výsledkov sa ukázalo ako nevyhnutné vytvoriť banku nových úloh pre korekciu testovej batérie a prepracovať edukačné inštrukcie v úlohách. Novovytvorené aj upravené testové položky a edukačné inštrukcie tím riešiteľov nadväzne overoval v niekoľkých etapách predvýskumu na požadovanej vzorke respondentov.


218

Dynamizácia tvorby testovej batérie

Výsledky predvýskumu viedli v prvej fáze k prehodnoteniu zvolených testovacích domén. Z pôvodných šiestich (Prídavková-Tomková, 2008, Scholtzová-Šimčíková, 2008) riešitelia vylúčili kvôli nízkej validite testovej položky okruh Vytváranie súborov a triedenie. Spornou doménou sa v pilotnom výskume javila Orientácia v priestore. Túto testovaciu doménu mikrotím riešiteľov ponechal, ale korigoval testovú položku a edukačné inštrukcie potrebné na jej vyriešenie s cieľom eliminovať náhodné riešenie respondentom.

Po upresnení testovacích domén nastala korekcia niektorých položiek testu, resp. boli vytvorené nové úlohy. Celkový počet desať (päť testových a päť transferových) testových položiek sa nezmenil: • 1. úloha - propedeutika delenia prirodzených čísel (zostalo zadanie úlohy z 1.

testovania), • 2. úloha - orientácia v dvojrozmernom priestore (modifikované zadanie z 1.

testovania), • 3. úloha - číselné predstavy - číselné postupnosti (modifikované zadanie z 1.

testovania), • 4. úloha - propedeutika zlomku (nová úloha), • 5. úloha - propedeutika merania obvodu rovinných útvarov (nová úloha).

Táto testová batéria bola aplikovaná na vzorke 23 žiakov dvoch základných škôl v priebehu mesiacov marec – apríl 2008. Proces administrácie testu bol rovnaký ako v prvom testovaní, zmenilo sa iba poradie úloh v teste, keďže sa rešpektovalo hľadisko náročnosti riešenia úloh.

Po tomto testovaní boli navrhnuté nasledujúce modifikácie: 1. úloha: zmena v zadaní a príprava nových pomôcok k transferovej úlohe,

vetvenie inštrukcií v závislosti od reakcie žiaka pri riešení. 2. úloha: zmena v grafickom znázornení situácií v oboch úlohách. 3. úloha: bola z testovania vyradená. Úloha na číselnú postupnosť bola zaradená v troch verziách testovania. Ukázalo sa,

že žiaci nepoznajú číslice – symbol, ktorý vyjadruje počet objektov v súbore (v skupine, v množine). V ich myslení nie je vytvorená abstraktná predstava o pojme číslo (konkrétny model nie je prepojený na symbol – abstraktný model čísla).Vo zvolenom výberovom súbore žiakov prevažuje konkrétny typ myslenia. Predstava o čísle je prepojená na model univerzálny, resp. len separovaný. Žiaci boli schopní počítať po jednom (vymenovať rad čísel od 1 do 10), alebo určiť počet objektov v súbore počítaním po jednom.

Namiesto tejto úlohy bola navrhnutá nová úloha na propedeutiku porovnávania rozdielom a na propedeutiku porovnávania prirodzených čísel.

4. úloha: zostala v pôvodnom zadaní, ukázala sa potreba vetvenia inšktrukcií 5. úloha: zmena v zadaní z dôvodu zdĺhavosti riešenia úlohy, tvorba nových

inštrukcií a pomôcok

Žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia mali najväčší problém s poznávaním číslic, tvorbou číselného radu a s doplnením číselnej postupnosti. Preto tím riešiteľov po analýze výsledkov predvýskumu z testovania vylúčil doménu Kombinatorika a postupnosti (úlohy s číslami). Ostatné testovacie domény zostali v pôvodnej podobe:


219

Geometrické predstavy – orientácia v priestore Porovnávanie a usporiadanie Číselné predstavy Počtové operácie

V nasledujúcej etape nastal proces finalizácie testových položiek a edukačných

inštrukcií: 1. úloha: vetvené inštrukcie na niektorých úrovniach, doplnené pokyny pre činnosť

administrátora, vytvorené nové pomôcky 2. úloha: modifikované zadanie, nové grafické znázornenie situácie 3. úloha: precizovaná novovytvorená úloha, pripravené pomôcky 4. úloha: doplnené pokyny pre činnosť administrátora 5. úloha: modifikované zadanie, upresnené edukačné inštrukcie, navrhnuté

vetvenie na niektorých úrovniach pomoci

Pre jednotlivé úlohy boli sformulované ciele kognitívnej modifikácie, t.j. bolo špecifikované, čo je predmetom zmeny, čo má úloha „naučiť“. V dynamickom teste ide o tzv. učebné úlohy, znamená to, že danou úlohou chceme dieťa niečo naučiť, resp. si overíme, či dieťa bude schopné naučiť sa to v budúcnosti, či má pre danú oblasť matematiky latentné učebné kapacity. Veľmi naliehavým problémom sa po predchádzajúcich skúsenostiach ukázala aj tvorba edukačných inštrukcií. Hinty na niektorých úrovniach museli byť členené tak, aby rešpektovali originalitu riešenia respondentom, ale aby zároveň zabezpečili čo najpresnejšie skórovanie administrátorom.

V priebehu mesiacov máj - jún 2008 bola pripravená a overená na vzorke 10 žiakov konečná verzia testových úloh a inštrukcií k jednotlivým úlohám: • 1. úloha - propedeutika delenia prirodzených čísel (doplnené inštrukcie) • 2. úloha - orientácia v dvojrozmernom priestore (modifikované zadanie) • 3. úloha - propedeutika porovnávania rozdielom (nová úloha) • 4. úloha - propedeutika zlomku (modifikované zadanie) • 5. úloha - propedeutika merania obvodu rovinných útvarov (modifikované zadanie,

vetvené inštrukcie)

Finálna testová batéria bola overená ešte raz v septembri 2008 na vzorke 13 žiakov inej lokality s cieľom overiť zrozumiteľnosť úloh a rozsah reakcií pri ich riešení. Zároveň tím riešiteľov vytvoril dve nové úlohy zamerané na orientáciu v priestore, ktoré by mohli potenciálne nahradiť úlohu č. 2 v teste. Po overení však tieto úlohy tím vylúčil, keďže nespĺňali kritérium edukačnej úlohy v krátkodobom dynamickom teste. Do konca septembra 2008 bola takto vytvorená finálna verzia úloh na dynamické testovanie matematických schopností. Test obsahoval celkom 10 úloh, ku každej z nich boli vytvorené sady pomôcok a vypracované záznamové hárky.

Súčasťou prípravy bol aj návrh spôsobu skórovania riešenia úloh: ak žiak vyriešil úlohu hneď po jej zadaní, získal 0 bodov, pri použití jednej inštrukcie – 1 bod atď., t. j. čím viac inštrukcií žiak potreboval, tým vyšší počet bodov mu bol pridelený. Ak úlohu žiak nevyriešil ani po piatej inštrukcii, dostal 6 bodov.

Definitívna originálna testová batéria zameraná na odhalenie latentných učebných kapacít 6-8 ročných žiakov zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia bola aplikovaná


220

vo výskume v októbri 2008. Výsledky uvádzajú Prídavková-Scholtzová (2009) v tomto zborníku.

Záver

Skúsenosti, získané z niekoľkých etáp pilotného testovania, priniesli aj otvorené problémy a otázky: • Testovanie pokrýva len malú časť obsahu matematického vzdelávania v primárnej

škole. Vzhľadom na časovú náročnosť zvoleného modelu dynamického testovania nebolo možné do testu zaradiť väčší počet úloh.

• Vynechanie niektorých zvolených testovacích domén by nemalo znamenať ich úplné vylúčenie z dynamického testovania. V matematickej príprave žiakov majú svoje opodstatnenie a prostredníctvom úloh predikujú latentné učebné kapacity.

• Ako adekvátne vetviť edukačné inštrukcie rešpektujúc originalitu riešenia matematickej úlohy jednotlivými respondentmi?

• Ako eliminovať náhodné riešenie úlohy respondentom? Ako hodnotiť takto vyriešenú úlohu? V konvenčnom teste to nie je také evidentné.

• Ako korektne ohodnotiť riešenie úlohy respondentom, ak dôjde pri odstupňovanej pomoci k splynutiu, prípadne vynechaniu, edukačných inštrukcií? V procese tvorby inštrukčnej časti testu sa mikrotím riešiteľov stretol s problémom

formulácie edukačných inštrukcií, fázovania jednotlivých krokov a dodržania rovnakého počtu odstupňovaných pomocí ku všetkým testovým položkám. Inštrukčná časť testu bola často veľmi závislá na spôsobe riešenia úlohy žiakom, na jeho vedomostiach a skúsenostiach, preto sme si zvolili členenie niektorých edukačných inštrukcií na dve až tri rovnocenné úrovne. Pri niektorých testových položkách sa javilo ako sporné, resp. problematické zaznamenanie úspešnosti riešenia v prípade, že respondent “preskočil” (vynechal) niektorý krok inštrukčnej časti testu, lebo ho nepotreboval.

V konečnej verzii testovacieho nástroja na dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia je pri každej testovej položke uvedený rovnaký počet inštrukcií – hintov – 5. V niektorých prípadoch je na jednej úrovni viacero inštrukcií (2-3) – vetvenie inštrukcií, vychádzajúce z rešpektovania originality riešenia matematickej úlohy jednotlivými respondentmi:

1. inštrukcia – koncentrácia pozornosti, 2. inštrukcia – porozumenie, 3. a 4. inštrukcia – analýza, 5. inštrukcia – ponúknuté riešenie, imitácia zo strany respondenta.

Transferové úlohy majú inštrukcie tvorené analogicky.

Inštrukčná časť pri jednotlivých úlohách, ako aj pri jednotlivých hintoch bola postupne doplnená pokynmi pre činnosť administrátora. Ich dôsledné dodržiavanie pri aplikácii testu v praxi by malo zabezpečiť rovnaké podmienky pre všetkých testovaných respondentov. Súčasťou testovej batérie bude metodická príručka s návodmi na administráciu, resp. s návodom na tvorbu dynamického testu.


221

Literatúra

1. PRÍDAVKOVÁ, A. – SCHOLTZOVÁ, I. Prvé výsledky dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. 2009. V tomto zborníku.

2. PRÍDAVKOVÁ, A. – TOMKOVÁ, B. Determinanty dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. In: Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 226-229. ISBN 978-80-244-1963-3.

3. SCHOLTZOVÁ, I. – ŠIMČÍKOVÁ, E. Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia – pohľad prvý. In: Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 255-258. ISBN 978-80-244-1963-3.

Príspevok vznikol s podporou APVV MŠ SR (APVV – 0073 – 06).

Kontaktná adresa

PaedDr. Edita Šimčíková Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 1, 081 16 Prešov, SR Telefón: +421 51 7470543 E-mail [email protected]


222

NADANÝ ŽIAK A JEHO „MIESTO“ V BEŽNEJ TRIEDE

Anna VAŠUTOVÁ

Abstrakt Integrácia žiakov so špeciálnymi výchovno-vzdelávacími potrebami je súčasťou

školskej praxe. V tejto súvislosti sa vynára otázka týkajúca sa pripravenosti učiteľov pre prácu s nadanými žiakmi. V článku uvádzame výsledky dotazníkového šetrenia zameraného na zistenie názorov, postojov a skúseností učiteľov 1. stupňa základných škôl s problematikou starostlivosti o nadaných žiakov a možnosťami rozvíjania ich matematických schopností v podmienkach bežných tried.

THE TALENTED CHILD AND HIS “PLACE” IN THE ORDINARY CLASSROOM

Abstract Pupil’s integration with special education needs is a part of school practice. In this

connection comes out the question how teachers are prepared for work with gifted pupils. In this article we present results of the questionnaire focusing on primary school teacher`s opinions, attitudes and experiences with the issue how to care about talented pupils and opportunities how to develop their Math’s abilities in regular classrooms.

Úvod

Otázkami nadania, matematického nadania a s tým súvisiacou problematikou starostlivosti o nadaných sa zaoberali už v minulosti mnohí autori. Počnúc francúzskym psychológom Alfrédom Binetom, tvorcom inteligenčného testu, až po súčasné svetové organizácie zaoberajúce sa nadanými žiakmi (Laznibatová, 2001).

V súčasnosti sa venuje veľká pozornosť najmä mimoriadne nadaným žiakom. Na Slovensku vzniklo, za účelom poskytovania adekvátnej starostlivosti o nadaných žiakov, niekoľko špeciálnych tried vo viacerých mestách a špeciálna škola pre nadané deti v Bratislave.

Podľa Laznibatovej (1995, In: Prídavková, 2006) sa vo svete, vo všeobecnosti využívajú 3 varianty vzdelávania nadaných jedincov. Sú nimi:

• separátny variant výchovy, • integrovaný variant vzdelávania, • kompromisný variant vzdelávania. V našom školskom systéme sa najčastejšie využívajú prvé dva varianty vzdelávania nadaných. A tu kdesi sa vynára otázka, či sú učitelia bežných tried pripravení na

prácu s nadanými žiakmi, ako ich dokážu identifikovať a ako si predstavujú prácu s talentovanými žiakmi v rámci vyučovania v bežnej triede.

Našu pozornosť sme upriamili na oblasť matematického vzdelávania. Za týmto účelom sme vypracovali dotazník, zameraný na zistenie názorov, postojov a skúseností učiteľov 1. stupňa základných škôl s problematikou starostlivosti o nadaných žiakov.


223

Analýza výsledkov dotazníkového prieskumu

Dotazník bol zadaný učiteľom 1. stupňa na 13 základných školách v Prešove. Zo 134 oslovených, dotazník nakoniec vyplnilo 64 respondentov. O respondentoch sme zisťovali iba základné údaje, ktorými boli vek, rod, dĺžka pedagogickej praxe a ročník, v ktorom učia. Dotazník bol tvorený dvoma časťami v závislosti od typu použitých otázok. V prvej časti bolo 6 otvorených otázok a v druhej bolo 10 polouzavretých otázok. Pri samotnom spracovaní výsledkov dotazníkového šetrenia sme všetky otázky rozdelili do tzv. blokov, podľa toho, akej oblasti sa dotýkali.

Prvý blok obsahoval 3 otázky zisťujúce názory učiteľov na to, akým spôsobom sa prejavuje matematické nadanie žiaka. V ďalšej časti uvádzame znenie jednotlivých položiek dotazníka a vo forme tabuliek výsledky, získané na základe analýzy odpovedí na každú položku. Tabuľka č.1 A1 Nadaný žiak v matematickej oblasti sa prejaví tak, že... Tabuľka č. 2 A2 Najlepšie zvláda... Tabuľka č. 3 A3 Prevyšuje rovesníkov v ...

Z uvedených odpovedí je možné konštatovať, že za najtypickejší prejav matematického nadania považujú respondenti schopnosť logického myslenia, rýchlosť pri riešení zadaných úloh a prejavy zvýšeného záujmu o riešenie náročnejších úloh. Tento názor potvrdzujú aj odpoveďami na otázku, v čom prevyšujú nadaní žiaci svojich rovesníkov, kde opäť uviedli rýchlosť, logické myslenie, ale aj správnosť pri riešení úloh. Podľa opýtaných, nadaný žiak najlepšie zvláda zložité slovné úlohy, logické úlohy a bez problémov zvláda matematické operácie s číslami.

Druhý blok obsahoval 4 otázky zamerané na zistenie názorov alebo skúseností

učiteľov s prácou s nadanými žiakmi na hodinách matematiky.

Najčastejšie odpovede počet % Má logické myslenie 32 50 % Rieši úlohy rýchlejšie ako ostatní 31 48 % Má záujem riešiť úlohy 29 45 %

Najčastejšie odpovede počet % Riešenie zložitých slovných úloh 28 44 % Riešenie logických úloh 27 42 % Bez problémov operuje s číslami 22 34 %

Najčastejšie odpovede počet % Rýchlosti riešenia úloh 39 61 % Schopnosti logicky myslieť 26 41 % Správnosti riešenia 14 22 %


224

Tabuľka č. 4 A4 Práca s nadanými žiakmi na hodinách matematiky nie je jednoduchá, pretože... Tabuľka č. 5 A5 Zatiaľ to s talentovanými riešim tak, že... Tabuľka č. 6 A6 Najviac ich zaujmem, ak... Tabuľka č. 7 A7 Za najvhodnejší spôsob rozvíjania matematického nadania považujem...

Za najväčší problém v rámci vyučovania nadaného žiaka v bežnej triede považujú respondenti náročnú prípravu na hodinu, nedostatok času a priestoru na uplatňovanie individuálneho prístupu, v rámci ktorého môže učiteľ vysvetliť a objasniť žiakovi jednotlivé úlohy a následne skontrolovať ich riešenie. Ďalšie otázky sú zamerané skôr na spôsoby, ako sa s takouto situáciou dokážu učitelia vysporiadať. Najviac respondentov uviedlo, že si pre nadaných pripravujú úlohy navyše, pričom žiakov najviac zaujmú, ak im pripravia logické hlavolamy, netradičné úlohy alebo rébusy. Sami za najvhodnejší spôsob rozvíjania matematického nadania považujú zadávanie logických úloh a individuálny prístup, ktorý však, podľa nich, nie je možné v bežnej triede uplatňovať v dostatočnej miere.

Tretí blok obsahuje 3 polouzavreté otázky, ktorými sme zisťovali aké osobné skúsenosti, a či vôbec, majú učitelia s prácou s nadanými žiakmi. Tabuľka č. 8 B1 Mám v triede žiakov prejavujúcich zvýšený záujem o matematiku. B2 Mám v triede žiakov, ktorí svojimi schopnosťami v matematickej oblasti prevyšujú

svojich rovesníkov.

Najčastejšie odpovede počet % Vyžaduje prípravu navyše 50 78 % Vyžaduje si individuálny prístup 19 30 % Na hodinách nie je dostatok času a priestoru 19 30 %

Najčastejšie odpovede počet % Pripravujem logické úlohy 18 28 % Uplatňujem individuálny prístup 18 28 % Využívam úlohy z matematických súťaží 17 27 %

Najčastejšie odpovede počet % Pripravím logické hlavolamy 15 23 % Využijem netradičné úlohy 15 23 % Pripravím pre ne rébusy 12 19 %

Najčastejšie odpovede počet % Prípravu úloh navyše 46 72 % Zapojenie do matematických súťaží 40 63 % Uplatňovanie individuálneho prístupu 28 44 %


225

B3 Mám osobnú skúsenosť s prácou s nadanými žiakmi na hodinách matematiky.

Ako vidieť, až 81% respondentov je toho názoru, že má v triede žiakov, ktorí prejavujú zvýšený záujem o matematiku. 75% opýtaných uvádza, že má v triede žiakov, ktorí svojimi matematickými schopnosťami prevyšujú svojich rovesníkov a 88% respondentov má osobné skúsenosti s prácou s nadanými žiakmi.

Vo štvrtom bloku boli zaradené 3 polouzavreté otázky, ktorými sme zisťovali názory a postoje respondentov k otázkam potreby podpory a starostlivosti o nadaných žiakov. Tabuľka č. 9 B4 Myslím, že je potrebné, aby sme sa starali o nadaných žiakov a podporovali ich. B5 Som spokojný/-a s úrovňou starostlivosti o nadaných, ktorú poskytuje naša škola. B6 Myslím, že je potrebná špeciálna príprava na vyučovanie matematiky v prípade, že

mám v triede nadaných žiakov.

Hodnoty v uvedenej tabuľke udávajú, že 98% opýtaných súhlasilo s potrebou starať sa o nadaných žiakov a podporovať ich, 2% respondentov uviedlo, že na to nie je čas ani priestor v rámci vyučovania v bežnej triede. So starostlivosťou o nadaných, ktorú poskytuje ich škola vyjadrilo spokojnosť 81% respondentov a s potrebou špeciálnej prípravy na vyučovanie matematiky v prípade, že majú v triede nadaného žiaka súhlasilo 84% opýtaných.

Piaty blok položiek obsahoval 4 polouzavreté otázky, pričom sme sa zameriavali na konkrétne postupy používané pri príprave na vyučovanie matematiky. Chceli sme zistiť aké zdroje využívajú a odkiaľ čerpajú námety. Tabuľka č. 10 B7 Súhlasím s tvrdením, že v učebnici a v pracovnom zošite je dostatok

matematických úloh vhodných pre prácu s nadanými žiakmi. B8 V rámci starostlivosti o nadaných žiakov si pripravujem na niektoré vyučovacie

hodiny „vlastné“ pracovné listy. B9 Námety na vytváranie úloh do „vlastných„ pracovných listov čerpám z učebníc

a pracovných zošitov z vyšších ročníkov.

B1 B2 B3 počet % počet % počet % Áno 52 81% 48 75% 56 88% Nie 12 19% 16 25% 5 12%

B4 B5 B6 počet % počet % počet % Áno 63 98% 52 81% 54 84% Nie 0 0% 4 6% 10 16% Iné 1 2% 8 13% 0 0%


226

B10 Uvítal/-a by som „zbierku matematických úloh“ vhodných na prácu s nadanými žiakmi.

Len 19% opýtaných učiteľov považuje úlohy v učebniciach a pracovných zošitoch za vhodné pre prácu s nadanými žiakmi. Až 88% respondentov uviedlo, že si pripravuje na niektoré vyučovacie hodiny „vlastné“ pracovné listy, pričom námety na ne čerpá z rôznych zdrojov, najmä však z učebníc a pracovných zošitov z vyšších ročníkov. Všetci opýtaní by uvítali „zbierku matematických úloh“ vhodnú pre prácu s nadanými žiakmi.

Záver

Z uvedených výsledkov vyplýva, že učitelia 1. stupňa základných škôl sa vo svojej pedagogickej praxi bežne stretávajú a pracujú so žiakmi prejavujúcimi nadanie v oblasti matematiky. Práca s týmito žiakmi je podľa opýtaných učiteľov náročná, a to nie len na prípravu, ale aj na čas, ktorý je potrebný na uplatňovanie individuálneho prístupu v rámci bežnej vyučovacej hodiny. Podľa našich zistení je problémom najmä nedostatok vhodných matematických úloh. Preto je podľa nás potrebné vytvoriť a ponúknuť do školskej praxe „zbierku matematických úloh“, ktorá bude obsahovať úlohy vhodné pre prácu s nadanými žiakmi, a ktorá súčasne uľahčí a zjednoduší prípravu učiteľov na vyučovanie matematiky.

Literatúra

1. LAZNIBATOVÁ, J.: Nadané dieťa jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. Bratislava: IRIS, 2001. ISBN 80-88778-23-8

2. PRÍDAVKOVÁ, A.:[online] Rozvíjanie matematických schopností a výchova matematických talentov na základných školách. Prešov: Prešovská univerzita, 2006.Dostupné na: http://www.pulib.sk/elpub/PF/Pridavkova1/index.htm. ISBN 80-8068-447-2

Kontaktná adresa

Anna Vašutová, Mgr. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. Novembra č. 1 081 16 Prešov Telefón: +421 51 7470542 E-mail: [email protected]

B7 B8 B9 B10 počet % počet % počet % počet % Áno 12 19% 56 88% 33 52% 64 100% Nie 49 76% 3 5% 13 20% 0 0% Iné 3 5% 5 7% 18 28% 0 0%


227

ROZUMIENIE TRE ŚCI ZADANIA TEKSTOWEGO A JEGO ROZWI ĄZANIE W PRACACH UCZNIÓW

Joanna śĄDŁO

Abstrakt Rozwiązywanie zadań tekstowych stanowi waŜne zagadnienie w programach

edukacji matematycznej na kaŜdym szczeblu kształcenia. Warunkiem koniecznym poprawnego rozwiązania zadania jest rozumienie jego treści. Sama umiejętność czytania ze zrozumieniem nie jest całkowicie wystarczająca, gdyŜ przy rozwiązywaniu zadania tekstowego wymagana jest ponadto umiejętność matematyzowania sytuacji w nim przedstawionych a to stanowi największą trudność dla większości rozwiązujących. Przekład jest tym trudniejszy im młodszy uczeń, bo ma mniej doświadczeń i mniejsze umiejętności w tym zakresie. Artykuł jest próbą analizy wpływu rozumienia i interpretacji treści zadania tekstowego na jego rozwiązanie. Podejmuje problematykę trudności, jakie przejawiają uczniowie 9-10 letni w rozwiązywaniu takich zadań.

UNDERSTANDING CONTENTS OF TEXT EXCERCISES AND THEIR SOLVING IN YOUNG PUPILS PAPER

Abstract The ability to solve problem in text exercises constitute the main issue in each

mathematics school syllabus. The necessary precondition of correct solving text exercises is understanding it’s content. But, not only the ability of comprehension the text is important and sufficient. Very important is also to show the solution in mathematics language (symbols etc.????) and this is the biggest difficulty for all pupils especially for young pupils.

This article is a presentation of analysis how the understanding and interpretation of text in text exercise affects it’s solution. The paper discusses difficulties which pupil aged 9-10 usually experience in solving problems.

Rozwiązywanie zadań tekstowych stanowi waŜne zagadnienie w programach edukacji matematycznej na kaŜdym szczeblu kształcenia. Warunkiem koniecznym poprawnego rozwiązania zadania jest zrozumienie jego treści. Na to rozumienie składa się warstwa werbalna (językowa) tekstu zadania (waŜna jest tu umiejętności czytania tekstu ze zrozumieniem) jak i warstwa pojęciowa związana z rozumieniem zawartych w nim pojęć matematycznych. Ta umiejętność czytania i rozumienie pojęć naleŜy do podstawowych kompetencji matematycznych rozwijanych juŜ od początki edukacji szkolnej. Sama umiejętność czytania ze zrozumieniem nie jest całkowicie wystarczająca, gdyŜ ponadto przy rozwiązywaniu zadania tekstowego wymagana jest umiejętność matematyzowania sytuacji w nim przedstawionych a to stanowi największą trudność dla większości rozwiązujących. Częstokroć te same słowa z języka ojczystego moŜna róŜnie przetłumaczyć na język matematyki i odwrotnie, wiele róŜnych słów moŜna przetłumaczyć w ten sam sposób. Na umiejętność takiego przekładu wpływ ma


228

doświadczenie a co za tym idzie – wiek rozwiązującego. Przekład jest tym trudniejszy im młodszy uczeń, bo ma mniej doświadczeń i mniejsze umiejętności w tym zakresie.

Warto zauwaŜyć, Ŝe często uczniowie – szczególnie klas młodszych - potrafią rozwiązać zadanie i udzielić dobrej odpowiedzi, lecz nie potrafią w sposób arytmetyczny przedstawić swojego rozwiązania. Świadczy to o ich trudności w uŜywaniu języka matematyki, co naleŜy uznać za sytuację naturalną na tym etapie rozwoju. Warto więc zastanowić się jak uczyć matematyki na tym etapie edukacji aby było to sensowne i efektywne. Czy dawać dzieciom młodszym do rozwiązania tylko takie łatwe zadania, których model matematyczny jest na tyle prosty, Ŝe potrafią go samodzielnie przedstawić a niczego nowego się nie uczą. Czy teŜ moŜe włączać do kształcenia równieŜ zadania, których modele matematyczne są trudniejsze, ale uczniowie dzięki rozwiązywaniu takich zadań mają okazję do autentycznej aktywności matematycznej a nie do stosowania juŜ znanych gotowych i mało kształcących schematów postępowania.

Od wielu lat z koleŜanką Barbarą Nawolską zajmujemy się problematyką umiejętności rozwiązywania zadań zarówno przez uczniów klas młodszych jak i studentów pedagogiki wczesnoszkolnej przygotowujących się do zawodu nauczyciela kształcenia zintegrowanego. Dostrzegając trudności uczniów w rozwiązywaniu zadań staramy się doskonalić warsztat przyszłych nauczycieli by umieli w przyszłości pomóc swoim podopiecznym pokonywać te trudności. By nasze poczynania były efektywne musimy poznać sposoby myślenia zarówno uczniów jak i studentów. Dostrzegamy, Ŝe jedni i drudzy nie zawsze radzą sobie z rozwiązywaniem złoŜonych zadań tekstowych w szczególności tych, w których pojawia się zagadnienie porównywania róŜnicowego lub ilorazowego. RozwaŜmy takie przykładowe zadanie:

Księgarnia zamówiła w hurtowni 90 jednakowych ksiąŜek. KsiąŜki przesłano pocztą kurierską w 2 duŜych i 5 małych pudełkach. W kaŜdym małym pudełku było po tyle samo ksiąŜek i w kaŜdym duŜym było po tyle samo ksiąŜek. W duŜych pudłach było 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w małych. Ile ksiąŜek było w małym pudełku, a ile w duŜym pudełku?

Jest to zadanie, który z koleŜanką Nawolską ułoŜyłyśmy dla uczniów i studentów. Jest to zadanie złoŜone, na porównywanie ilorazowe. By je rozwiązać naleŜy rozumieć znaczenie zwrotu dwa razy więcej. Ponadto sformułowanie zadania nie jest jednoznaczne. MoŜna rozumieć, Ŝe: 1. w jednym duŜym pudełku jest 2 razy więcej ksiąŜek niŜ w jednym małym, 2. we wszystkich duŜych jest 2 razy więcej ksiąŜek niŜ we wszystkich małych.

Biorąc pod uwagę pierwszą interpretacj ę, zadanie to moŜna rozwiązać za pomocą układu równań lub za pomocą jednego równania. JednakŜe te narzędzia wykraczają poza program nauczania klas I-III (kształcenia zintegrowanego). Są to więc sposoby niedostępne uczniom, do których zadanie jest adresowane. Nie znaczy to jednak, Ŝe uczeń klasy III nie moŜe takiego zadania rozwiązać. Prześledźmy rozwiązania na poziomie kształcenia zintegrowanego.

(1) Bazując na rozumieniu zwrotu dwa razy więcej, czyli raz tyle samo i drugi raz tyle samo zauwaŜamy, Ŝe w duŜym pudle jest dwa razy więcej ksiąŜek niŜ w małym, to znaczy, Ŝe w duŜym jest tyle ksiąŜek, co w dwóch małych. MoŜemy, zatem liczbę ksiąŜek w dwóch duŜych przedstawić jako liczbę ksiąŜek w czterech małych. By ustalić liczbę ksiąŜek w małym pudełku wystarczy liczbę wszystkich ksiąŜek rozdzielić na 9 równych części. Mamy 90 10 = 9 ׃ (tyle ksiąŜek jest w kaŜdej części). Małe pudło zawiera zatem 10 ksiąŜek, duŜe zaś dwa razy więcej, czyli 2 · 10 = 20 .


229

(2) MoŜna teŜ to zadanie rozwiązać symulując rozdzielanie ksiąŜek w ten sposób, Ŝe do kaŜdego małego wkładamy po jednej ksiąŜce, a do kaŜdego duŜego po dwie (bo 2 razy więcej) w ten sposób w jednym takim rozdaniu rozdzielimy 5 + 2 + 2 = 9 ksiąŜek. Wystarczy tylko sprawdzić na ile takich rozdań wystarczy 90 ksiąŜek, czyli ile razy 9 zmieści się w 90. PoniewaŜ 90 10 = 9 ׃, więc 10 razy do kaŜdego małego włoŜymy po 1 ksiąŜce (łącznie 10 ksiąŜek), a do kaŜdego duŜego 10 razy po 2 ksiąŜki, czyli 20 ksiąŜek.

W tych ostatnich dwóch sposobach odwołujemy się tylko do rozumienia treści zadania i rozumienia porównywania ilorazowego. A narzędzia matematyczne nie wykraczają poza znajomość czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach naturalnych.

(3) Istnieje jeszcze inna moŜliwość mądrego poszukiwania rozwiązania tego zadania. MoŜna oszacować liczbę ksiąŜek w małym pudełku (hipoteza 1.) i sprawdzić, czy spełnia ona warunki zadania. Jeśli tak, to zadanie jest rozwiązane, w przeciwnym razie ponawiamy próbę szacowania (hipoteza 2.) uwzględniając rezultat pierwszej próby i dokonując stosownych poprawek w swoim szacowaniu (w hipotezie). Tak weryfikujemy kolejne hipotezy, aŜ uzyskamy potwierdzenie jednej z nich.

Biorąc pod uwagę drugą interpretację, zadanie to moŜna rozwiązać równieŜ za pomocą równania lub układu równań. RozwiąŜmy je jednak następująco.

(1) Odwołajmy się do rozumienia zwrotu dwa razy więcej jako raz tyle samo i drugi raz tyle samo. Skoro w naszym zadaniu w duŜych pudłach jest dwa razy więcej ksiąŜek niŜ w małych, to znaczy Ŝe, jeŜeli „w małych jest jedna część ksiąŜek to w duŜych są dwie takie części”. Zatem liczbę wszystkich ksiąŜek naleŜy rozdzielić na 3 równe części. Uzyskany w ten sposób iloraz jest liczbą ksiąŜek w jednej takiej części, czyli liczbą ksiąŜek we wszystkich małych pudełkach. Mamy więc 90 30 = 3 ׃ ksiąŜek w małych, a jest ich 5 więc wystarczy znalezioną w ten sposób liczbę ksiąŜek rozdzielić po równo między 5 pudełek, a znaleziony iloraz 6 jest liczbą ksiąŜek w jednym małym pudełku. W duŜych mamy po 30 ksiąŜek.

(2) MoŜna teŜ to zadanie rozwiązać symulując rozdzielanie ksiąŜek do pudełek w ten sposób, Ŝe do kaŜdego małego dajemy po jednej ksiąŜce. W ten sposób włoŜymy tam łącznie 5 ksiąŜek. Do duŜych musimy włoŜyć dwa razy więcej niŜ do małych, czyli musimy włoŜyć do nich 2 · 5 = 10 ksiąŜek. W jednym takim rozdaniu rozdzielimy 5 + 2 · 5 = 15 ksiąŜek. Wystarczy tylko sprawdzić na ile takich rozdań wystarczy 90 ksiąŜek, czyli ile razy 15 zmieści się w 90. PoniewaŜ 90 6 = 15 ׃, więc 6 razy do kaŜdego małego włoŜymy po 1 ksiąŜce (łącznie po 6 ksiąŜek), a do kaŜdego duŜego 6 razy po 5 ksiąŜek, czyli 30 ksiąŜek.

W tych dwóch rozwiązaniach narzędzia matematyczne nie wykraczają poza znajomość czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach naturalnych.

(3) Istnieje jeszcze jedna moŜliwość rozwiązania zadania. Jest to szacowanie, o którym wspomniałam przy pierwszej interpretacji. Robimy to analogicznie.

W kontekście tego zadania rodzi się pytanie co jest jego rozwiązaniem i ogólnie co to znaczy rozwiązać zadanie. Czy chodzi o wskazanie jednej z wcześniej przedstawionych odpowiedzi czy teŜ chodzi o rozwaŜenie wszystkich moŜliwości. Oczywistym dla matematyka jest fakt, Ŝe naleŜy przedyskutować wszystkie moŜliwości i dopiero ich suma jest rozwiązaniem zadania. JednakŜe z naszych obserwacji wynika, Ŝe takie sytuacje rzadko mają miejsce na zajęciach matematycznych w szkole. Zazwyczaj zadania proponowane dzieciom mają dokładnie jedno rozwiązanie. Uczniowie przyzwyczajeni do jednego rozwiązania nawet nie dopuszczają myśli


230

o większej ich liczbie i po znalezieniu jakiegoś rozwiązania na tym poprzestają. Nie jest to zgodne z koncepcją Polya rozwiązywania zadań, w której to koncepcji po etapach: „zrozumienie zadania, układanie planu rozwiązania, wykonanie planu” ostatnim krokiem jest tzw. „rzut oka wstecz” a w nim rozwiązujący powinien odpowiedzieć sobie na pytania:

„Czy moŜesz sprawdzić wynik? Czy moŜesz sprawdzić uzasadnienie rozwiązania? Czy moŜesz otrzymać wynik w inny sposób? Czy moŜesz objąć go jednym rzutem

oka? Czy moŜesz wykorzystać wynik, albo metodę rozwiązania do innego zadania?

(Polya 1993: 15). W kontekście naszego zadania waŜne jest uzasadnienie rozwiązania: Dlaczego tak a nie inaczej?, Czy moŜna inaczej zrozumieć i inaczej rozwiązać?

Chcąc bliŜej przyjrzeć się tej problematyce zaproponowałam 9-10 letnim uczniom rozwiązanie omawianego zadania. W analizie zebranych prac koncentrowałam się na interpretacji jego treści oraz sposobie rozwiązania.

Zadanie rozwiązywało 38 uczniów klas trzecich szkoły podstawowej. Byli to uczniowie z dwóch róŜnych klas. Zadanie mogli rozwiązać dowolnym sposobem bez ograniczeń czasowych. Zbiorcze zestawienie wyników prezentuje poniŜsza tabela:

Sposób rozwiązania Liczba uczniów

poprawnie w pamięci 2 Interpretacja I i II błędnie - 0

w pamięci 4 poprawnie stawianie hipotez i ich weryfikacja 3

I interpretacja

błędnie „dobrze rozpoczyna”, ale nie kończy 1 w pamięci 2 poprawnie stawianie hipotez i ich weryfikacja 1

II interpretacja

błędnie - 0 w małych po 18, w duŜych po 45 3 ,18 = 5 ׃ 90 ,45 = 2 ׃ 90 w małych po 18, w duŜych po 36 3 ,36 = 18 · 2 ,18 = 5 ׃ 90 w duŜych 45, w małych 45 2 ,45 = 2 ׃ 9090 = 40 + 50 3 Ŝonglowanie danymi liczbowymi 7 rozwiązywanie „własnego” innego zadania 1

Inne niepoprawne rozwiązania

niezakończona próba stawiania „niejasnych” hipotez 1 Brak rozwiązania 5 Razem 38

Analiza zebranych danych pokazuje, iŜ wśród 38 uczniów znalazło się dwoje, którzy zauwaŜyli moŜliwość dwojakiej interpretacji treści tego zadania, i co prawda w pamięci, ale rozwiązali je na dwa sposoby. Uczniowie ci, jak pokazują ich prace, mieli pewne wątpliwości co do takiej moŜliwości. I tak np. jeden z nich wziął najpierw pod uwagę drugą interpretację treści zadania wypisał kolejne pary liczb (nie prezentując na piśmie Ŝadnych rachunków), aŜ doszedł do liczb 30 i 6, które spełniają warunki tego zadania. Następnie na odwrocie swojej pracy zaprezentował inne rozwiązanie w pierwszej interpretacji. Wykonał rysunek, zaznaczył literę „m”(małe pudełko) a przy niej liczbę 10, literę „d” (duŜe pudełko) a przy niej liczbę 20. Zapis ten podsumował


231

komentarzem: błędne to nie jest, a moŜe…. Ten uczeń wziął pod uwagę obie z moŜliwych interpretacji treści zadania. Charakterystyczny komentarz do drugiego rozwiązania świadczyć moŜe o tym, iŜ uczeń ten nie był do końca pewien swojego toku rozumowania, dostrzegł jednak moŜliwość rozwiązania zadania na dwa sposoby. Kolejny z dwójki równieŜ dostrzegł dwie moŜliwości jednak „po drodze” wycofał się z jednej, skreślając ją i pozostał przy odpowiedzi: W małym pudelku było 10 ksiąŜek, a w duŜym 20 ksiąŜek. Mamy tu zatem pierwszą interpretację treści analizowanego zadania, którą uczeń uznał za poprawną w przeciwieństwie do interpretacji drugiej z której się wycofał, o czym świadczy przekreślona w pracy odpowiedź: W małym pudełku było 6 ksiąŜek, a w duŜym 30 ksiąŜek.

Kolejną grupę wśród rozwiązujących to zadanie stanowi 10 uczniów, którzy rozwiązali zadanie poprawnie, z czego 6 rozwiązało je w pamięci natomiast 4 do jego rozwiązania doszło metodą stawiania hipotez i ich weryfikacji. Uczniowie ci zazwyczaj dobierali odpowiednie liczby, sprawdzali je z warunkami zadania, a następnie udzielali stosownej odpowiedzi często uzupełniając ją odpowiednim rysunkiem. Wśród poprawnych rozwiązań dominowała opisana pierwsza interpretacja treści zadania (7 rozwiązań), ale znaleźli się i tacy uczniowie, którzy rozwiązali powyŜsze zdanie z wykorzystaniem drugiej jego interpretacji. Był jeszcze jeden uczeń, który zadnie zrozumiał, rozpoczął poprawne jego rozwiązywanie, ale go nie zakończył.

Niestety wśród 38 badanych uczniów ponad połowa (25) nie poradziła sobie z tym zadaniem. Uczniowie ci najczęściej wykonywali róŜnorodne, błędne obliczenia na zawartych w zadaniu danych liczbowych, albo teŜ wcale nie podjęli próby jego rozwiązania. Prezentowane w pracach rachunki świadczą o wielu nakładających się trudnościach tych dzieci w rozwiązaniu tego złoŜonego zadania. Na plan pierwszy wysuwa się jednak brak rozumienia zwrotu dwa razy więcej niezaleŜnie od moŜliwości interpretacji treści tego zadania. UŜycie powyŜszego zwrotu w mniej typowej, dla uczniów klasy trzeciej, sytuacji, konieczność odwrócenia relacji spowodowała spore kłopoty w rozwiązaniu. W grupie tej znaleźli się uczniowie, którzy próbowali układać działania, starali się teŜ odnieść do zwrotu 2 razy więcej, czasem udzielali odpowiedzi nie zwaŜając jednak na jej niezgodność z warunkami zadania, nie sprawdzali udzielanej odpowiedzi. I tak np. jeden z uczniów zgodnie z poznanym juŜ w klasie pierwszej schematem rozwiązania pisze: R: małe pudełka 90 45 = 2 ׃, duŜe pudełka 90 18 = 5 ׃ O: W małym pudelku było 18 ksiąŜek, a w duŜych pudłach było 45 ksiąŜek. Inny z kolei: R:, 90 36 = 18 · 2 18 = 5 ׃ O: W jednym małym pudelku było 18 ksiąŜek, a w duŜym 36.

W rozwiązaniu tym dostrzec moŜna rozumienie treści zadania w pierwszym sensie (1duŜe to 2 razy więcej niŜ jedno małe) jednakŜe całość zagadnienia nie została poprawnie zrozumiana przez ucznia i zadanie rozwiązane jest błędnie.

Kilku uczniów punktem wyjścia w rozwiązaniu tego zadania uczyniła dzielenie liczby 90 na dwie części i albo pozostali na tym udzielając stosownej odpowiedzi: W duŜych pudłach 45 i w małych 45, albo kontynuowali rachunki dalej.

I tak np. jeden z uczniów dzieli dalej 45 9 = 5 ׃ (to liczba ksiąŜek w małym pudle), a skoro w duŜym dwa razy więcej, więc dalej kontynuuje obliczenia i wykonuje kolejny rachunek czyli 2 · 9 = 18. Udziela odpowiedzi: W duŜym pudelku było 18 ksiąŜek, a w małym 9.


232

Byli teŜ i tacy uczniowie, którzy rozpoczynali rozwiązanie zadania od rozkładu liczby 90 na dwa składniki np. 40 i 50, a następnie albo udzielali odpowiedzi: W duŜym pudle jest 50, a w małym 40 ksiąŜek, albo w swoich poszukiwaniach szli dalej i wykonywali dalsze obliczenia. Jedna z uczennic wykonała kolejne obliczenia: i udzieliła dopiero odpowiedzi: W duŜym pudełku było 8 = 5 ׃ a następnie 40 ,25 = 2 ׃ 5025 ksiąŜek, a w małym 8 ksiąŜek.

W pozostałych przypadkach błędnych rozwiązań trudno znaleźć jakiekolwiek wyjaśnienie podjętych prób, a jedynie zauwaŜyć moŜna przypadkowe zestawianie liczb danych w zadaniu i „Ŝonglowanie” nimi na wszystkie moŜliwe sposoby.

Analiza tej małej próbki badawczej potwierdza wcześniejsze obserwacje i pozwala

na wysunięcie następujących wniosków: 1. mają trudności ze zrozumieniem treści zadania (13 uczniów zrozumiało, 25

nie); 2. nie dostrzegają moŜliwości róŜnej interpretacji treści zadania, a co za tym idzie

moŜliwości roŜnych rozwiązań jednego zadania (tylko 2 na 13, którzy zrozumieli zadanie);

3. dąŜąc do rozwiązania zadania na drodze arytmetycznej starają się często „na siłę” układać wszystkie moŜliwe działania na danych liczbowych zawartych w zadaniu, nie zwaŜając na zawarty w nim problem;

4. tylko nieliczni uczniowie (13 na 38 badanych) poszukują rozwiązań na drodze rozumowej próbując na swój sposób „rozgryźć” zawarty w zadaniu problem; niestety najczęściej rozwiązanie następuje w pamięci, bądź teŜ uczeń dochodzi do niego poprzez stawianie hipotez i ich weryfikację.

Sformułowane powyŜej wnioski nasuwają pewne refleksje dotyczące edukacji

matematycznej dzieci na etapie nauczania początkowego. Rozwiązywanie zadań tekstowych stanowiące bardzo waŜny środek realizacji

większości celów kształcenia matematycznego nie jest łatwe. Wydaje się waŜne w przypadku ich rozwiązywania stawianie na samodzielność uczniów w poszukiwaniu własnych dróg rozwiązywania. Uświadamianie wielości moŜliwych rozwiązań i motywowanie do ich poszukiwania. Zezwalanie na stosowanie własnych naturalnych „narzędzi” rozwiązywania trudniejszych, złoŜonych zadań.

Literatura

1. NAWOLSKA B.: Rozumienie treści zadania tekstowego a jego rozwiązanie w pracach studentów pedagogiki. Artykuł w niniejszym zbiorze artykułów. Bańska Bystrica 2009.

2. POLYA G.: Jak to rozwiązać. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1993. ISBN 83-01-11195-X.

Adres

Joanna śądło doktor Instytut PPiS, Uniwersytet Pedagogiczny, 30-060 Kraków, ul. Ingardena 4 E-mail: [email protected]


233

DIDAKTICKÉ IŠPIRÁCIE Z OBLASTI TVORBY VYU ČOVACÍCH PROSTRIEDKOV A POMÔCOK

Oliver ŽIDEK

Abstrakt Príspevok informuje o výstave učebných pomôcok a vyučovacích prostriedkov,

ktorá sa konala v roku 2008 v meste Bazilej, Švajčiarsko. Prezentované sú moderné zariadenia školy, školské pomôcky vrátane základnej a doplnkovej učebnicovej literatúry. Výstavy s uvedeným zameraním sú pre prácu učiteľa mimoriadne inšpiratívne.

DIDACTICAL INSPIRATION DRAWN FROM DEVELOPMENT OF TEACHING MEANS AND AIDS

Abstract The contribution informs of the exhibition of teaching aids and didactical

technology, which took place in 2008, Basel, Switzerland. We will present various exhibits such as classroom equipment, teaching aids and latest textbook publications. Exhibitions with such focus provide very valuable inspiration for teaching profession.

Význam vyučovacích prostriedkov a pomôcok

Takmer každý učiteľ, bez ohľadu na to aký predmet vyučuje, je po celý svoj pracovný život konfrontovaný zvláštnym rozporom medzi tým, akú snahu do optimalizácie vyučovania vkladá a medzi tým, aké vyučovacie výsledky dosahuje. Naznačený vzťah nie je vôbec jednoduchý a nedá sa vyjadriť žiadnou zjednodušenou zákonitosťou. Napriek uvedenému sme, našťastie, svedkami skutočnosti, že mnohí učitelia v snahe „rozdať sa“, využívajú pri svojej práci nesmierne množstvo didaktických prostriedkov a pomôcok, vrátane rôznej doplnkovej didaktickej literatúry, s cieľom dosiahnuť maximálny vyučovací efekt. Na tvorbe vyučovacích pomôcok participuje celý rad odborníkov rôznych odvetví od pedagógov, psychológov začínajúc, inžiniermi a technikmi pokračujúc, až výrobcami a distribútormi končiac. Priemysel určený výrobkom pre školy je rozsiahly a neustále sa modernizuje, jednak z dôvodu permanentných modernizačných trendov v školách, ale taktiež z dôvodu dosť spoľahlivého odbytu.

Výstava WORLDDIDAC 2008

V príspevku uvedieme stručnú informáciu o výstave WORLDDIDAC 2008, ktorá sa konala 29. 10. – 31. 10. 2008 v švajčiarskom meste Bazilej. Výstava s uvedeným názvom sa koná každé dva roky spravidla striedavo v mestách Zürich a Bazilej. Býva hojne navštevovaná najmä učiteľmi a odborníkmi na vyučovanie nielen z usporiadateľskej krajiny, ale môžeme zaregistrovať účasť vystavovateľov


234

i návštevníkov takmer z celého sveta. Napriek skutočnosti, že výstava v Bazileji bola svojou rozlohou, v porovnaní s výstavou poriadanou napr. v Zürichu v roku 2002 menšia, o zaujímavosti a vysokej odbornej i organizačnej úrovni výstavy nemožno pochybovať.

Vystavované exponáty môžeme z hľadiska funkčnosti rozdeliť do troch skupín. O každej z nich poskytneme stručnú informáciu, pričom výber opisu exponátov bude orientovaný na výučbu matematiky.

Modernizácia vyučovacieho prostredia

Prvú skupinu exponátov tvorili modernizované zariadenia vyučovacích priestorov, ako sú napr. špeciálne typy nábytku určeného pre výpočtovú techniku. Autori, dizajnéri riešili problém umiestnenia počítačov na pracovnom stole žiaka netradičným spôsobom, ktorý umožňuje pracovný stôl používať ako rovnú pracovnú plochu. V sortimente týchto výrobkov môžeme, v porovnaní s rokom 2002 a 2004 zaznamenať zmenu v tom, že objemné monitory v počítačových zostavách pre žiakov nahradili LCD monitory, ale najmä výkonné notebooky, ktorých umiestnenie na pracovnej doske žiaka je ľahšie riešiteľné.

Obr. 1: Ilustračné obrázky z výstavy WORLDDIDAC 2008 Do kategórie predmetov vybavenia školy (triedy) môžeme zaradiť aj značne

modernizované elektronické interaktívne tabule určené na demonštračnú grafickú prácu učiteľa i žiaka, vybavené perfektným didaktickým softvérom napr. pre geometrické konštrukcie a iné statické i dynamické prezentácie. Samozrejmosťou je používanie normovaných tvarov písma, ale softvér umožňuje zobraziť aj rukou písané písmo a jeho automatickú transformáciu na „tlačené tvary“. Keďže tabuľa je prepojená s počítačom, môže sa na nej prezentovať všetko, čo možno vidieť na obrazovke monitora s prednosťou priameho dotykového ovládania jednotlivých funkcii. Výrobok zrejme reagoval na požiadavku praxe mať prezentačnú plochu náležite veľkú, obohatenú o možnosť využívania prednosti počítačovej techniky. Naznačený smer využívania školskej tabule dáva aj odpoveď na otázku jej opodstatnenosti v súčasných moderných vyučovacích priestoroch. Ak si niektorí odborníci dávnejšie mysleli, že prítomnosť počítačov v triedach tabule nahradí, ukázalo sa, že tabuľa ako fenomén triedy pretrvá aj v modernej škole, samozrejme moderne modifikovaná.


235

Trendy vo vývoji učebných pomôcok

Druhú skupinu exponátov tvorili učebné pomôcky pre jednotlivé vyučovacie predmety. Z hľadiska určenia pre výučbu matematiky to boli najmä rôzne stavebnice, modely telies, počítadlá a didaktické spoločenské hry. Za progresívne pomôcky pre geometriu môžeme považovať stavebnice určené na aktívnu tvorbu modelov geometrických telies s požadovanými vlastnosťami konvexity, pravidelnosti, ako sú napr. Platónove telesá, archimedovské telesá, hranoly, antihranoly, ihlany ale aj oválne tvary telies vrátane gule, resp. guľovej plochy. Princíp spájania modelov jednotlivých stien sme mohli už dávnejšie zaznamenať v produktoch anglickej firmy Polydron, v súčasnosti vyrába podobné produkty viacero výrobcov takmer na celom svete. Iný princíp stavebníc je založený na magnetickom princípe uchytávania kovových guličiek (modelov bodov)a tyčiniek z plastu, v koncoch ktorých sú umiestnené tzv. super silné magnety. Ako prvý produkt založený na uvedenom princípe sme mohli už dávnejšie na zahraničnom trhu zaznamenať pod názvom Geomag (www.geomag.it). Podobne ako existujú modifikácie firmy Polydron, má aj Geomag svojich nasledovateľov najmä vo výrobcoch z tzv. “tretieho sveta“. Prednosť práce s uvedenými stavebnicami spočíva v ich flexibilite a pohodlnosti tvorby modelov, ktorá je v protiklade s tradičnými technológiami “rysuj – strihaj – lep“. Pravdou je, že i tá najkvalitnejšia stavebnica bude mať vo výučbe úspech iba vtedy, ak bude v rukách šikovného a vzdelaného učiteľa, preto je vzdelávanie v tejto technológii nezastupiteľné (pozri citovanú literatúru). V podmienkach slovenských škôl môžeme zaznamenať skutočnosť, že niektoré z uvedených stavebníc sa vyskytujú na viac ako 200 školách. Stavebnice typu Geomag sú v súčasnosti na našom trhu dosažiteľné v bežných obchodoch s hračkami. O ich využívaní v didaktickej praxi komplexnejšiu informáciu nevlastníme, mohol by to byť dobrý námet na prieskum.

Medzi exponátmi sme zaznamenali rôzne typy pomôcok určených na rozvoj numerácie a operácii s prirodzenými číslami. Boli to napr. modely mnohostenov s ohodnotenými stenami, ale renesanciu zaznamenali aj vynaliezavé počítadlá s možnosťami ilustrácie výpočtov v jednotlivých etapách výučby.

Obr. 2: Ilustračné obrázky z výstavy WORLDDIDAC 2008 Bude sa v budúcnosti v školách rysovať, alebo nie? Tak znie akademická otázka

vyplývajúca z vývoja v oblasti využívania počítačovej grafiky a príslušného didaktického softvéru. Početné exponáty výstavy určené na tabuľové rysovanie rovných čiar, ale i krivých čiar, najmä kružníc, na moderných plastových tabuliach sú dôkazom


236

toho, že pravdepodobne v najbližších rokoch bude stále aj tradičné rysovanie pretrvávať, samozrejme v kombinovanej modifikácii, t. j. v kombinácii využívania didaktického softvéru a elektronickej tabule. Z naznačeného smerovania vyplýva pre učiteľa úloha naučiť sa zručne používať novodobé rysovacie náčinie určené pre plastovú tabuľu, každý žiak príslušnú dispozíciu nemusí mať.

Z prezentovaných didaktických hier sa javili ako veľmi zaujímavé hry využívajúce kombinatorické myslenie (Pyramída) s veľkou možnosťou variability obtiažností a taktiež hry využívajúce symetriu využívajúcu zrkadlový efekt.

Pozornosť si zaslúži aj rad ďalších pomôcok pre výučbu matematiky, avšak rozsah príspevku neumožňuje upriamiť pozornosť na všetky. Záujemcom o podrobnejšiu a názornejšiu informáciu o opisovanej výstave môžeme odporučiť pozrieť si fotoreportáž zverejnenú na internetových stránkach www.matika.sk, www.webmatika.sk.

Tretia skupina vystavovaných exponátov patrila rôznym vydavateľstvám, ktoré mali príležitosť prezentovať veľké množstvo alternatívnych učebníc matematiky vrátane ďalších exkluzívnych doplnkových didaktických materiálov ako sú napr. rôzne kartičky určené na didaktické hry pre jednotlivé vyučovacie predmety. Aj letný náhľad návštevníka výstavy do prezentovaných textov bol inšpirujúci, avšak táto činnosť predpokladala venovať tejto časti výstavy náležitý čas.

Záverom treba konštatovať, že výstava bola naozaj obohacujúca a jej nasledujúce ročníky je možné potenciálnym návštevníkom odporúčať. Potrebné informácie sa dajú ľahko získať na internete.

Poznámka: Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu VEGA 1/0192/08

Literatúra

1. ŽIDEK, O.: Čo priniesla výstava WORLDDIDAC 2008. In: 40. konferencia slovenských matematikov, zborník abstraktov, Žilina : EDIS, vydavateľstvo Žilinskej univerzity, str. 43-44, 2008, ISBN 978-80-8070-928-0.

2. ŽIDEK, O.: Nové trendy v oblasti tvorby didaktických prostriedkov, pomôcok a učebnicovej literatúry. Trnavská univerzita v Trnave, 2005, ISBN 80-8082-025-2.

3. ŽIDEK, O.: Manipulačná činnosť ako prostriedok pri budovaní geometrických predstáv a poznatkov. Srní: Západočeská univerzita v Plzni, 84 s., 2003. ISBN 80-7082-955-9.

4. ŽILKOVÁ, K.: Webmatika.sk – školská matematika v prostredí IKT. Dostupné na www.webmatika.sk

5. MARCINEK, T.: Matika.sk. Dostupné na www.matika.sk.

Kontaktná adresa

Doc. PhDr. Oliver Židek, CSc. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, 813 34 Trnava E-mail: [email protected]


237

SKLADANIE PAPIERA V DYNAMICKEJ GEOMETRII

Katarína ŽILKOVÁ

Abstrakt Geometrické cvičenia založené na skladaní papiera sú zaujímavé a prakticky

užitočné. Podobne ako sú euklidovské geometrické konštrukcie založené na súbore axióm, má aj skladanie papiera svoje pravidlá a zásady. Pri štúdiu niektorých postupov, ktoré sa pri skladaní papiera používajú môže pomôcť modelovanie skladania papiera v interaktívnom geometrickom systéme. Príspevok ponúka transformačné pravidlá medzi manipulačnou činnosťou skladania papiera a jej simuláciou v dynamickej geometrii založenej na euklidovských postulátoch.

PAPER FOLDING IN A DYNAMIC GEOMETRY ENVIRONMENT

Abstract Geometric exercises in paper folding are interesting and practically useful.

Similarly to Euclidean constructions, which are based on an axiomatic system, the paper folding has its rules and principles. Study of some procedures that are used in paper folding can help modeling the paper folding in an interactive geometrical system. Article offers transformation rules between manual activity of paper folding and its simulation in a dynamic geometry environment, which is based on Euclidean postulates.

Úvod

Skladanie papiera patrí k netradičným spôsobom štúdia niektorých geometrických vlastností, najmä rovinných útvarov. Alton T. Olson v úvode svojej publikácie [1] konštatuje, že významnou zásadou vo vyučovaní matematiky je získavanie „aktívnych matematických skúseností“. Elegantným doplnkom tejto praktickej činnosti v rámci objavovania, skúmania a riešenia problémov môže byť modelovanie skladania papiera prostriedkami euklidovskej geometrie v niektorom z prostredí dynamickej geometrie a vzájomné porovnanie strategických postupov.

Genéza matematickej podstaty skladania papiera

Umenie skladania papiera, známe aj pod názvom origami, sa stalo vo významnej miere objektom záujmu matematikov, zvlášť ako modelovacieho prostriedku niektorých geometrických problémov. V zahraničnej literatúre sa pre činnosť skladania papiera zaužíval aj termín „Paper Folding“, resp. po spresnení „Mathematics of paper folding“ – matematika skladania papiera. Na rozdiel od origami, japonského umenia papierových skladačiek, bolo skladanie papiera predstavené ako matematická metóda geometrických konštrukcií indickým autorom T. Sundara Row's v práci „Geometric Exercises in Paper Folding“ (1917). Ďalším významným bádateľom v uvedenej oblasti bol R. C. Yates, ktorý v roku 1949 vymedzil tri axiómy (A1, A2 a A5 – uvedené nižšie) a ukázal, že „všetky rovinné euklidovské konštrukcie sú založené na týchto troch axiómach“ [5].


238

K najdôležitejším výsledkom matematického skúmania skladania papiera z hľadiska rovinnej geometrie patrí formulovanie súboru základných pravidiel a princípov pod názvom Huzita-Hatori, alebo aj Huzita-Justin axiómy. Zdôvodnenie duplicity názvu súboru axióm spočíva v historickom vývoji. Axiómy boli po prvý krát formulované a uverejnené v roku 1989 a ich autorom je Jacques Justin. Prvých šesť axióm znovuobjavil taliansko-japonský matematik Humiaky Huzita (1991), ktorý ich zverejnil na Prvej medzinárodnej konferencii o „origami v oblasti vzdelávania“. Siedma axióma bola znovuobjavená matematikom menom Koshiro Hatori (2001). Robert J. Lang ukázal, že tento zoznam axióm je úplným axiomatickým systémom origami [6].

Terminologické a iné dohody

Axiómy deklarujú pravidlá súvisiace s matematickými princípmi skladania papiera a opisujú operácie (činnosti, postupy), ktoré sa pri skladaní kusu papiera používajú. V axiómach sa predpokladá, že výsledky všetkých operácií sú prezentované v rovine, modelom ktorej je kus papiera a všetky „sklady“ (záhyby) sú priamkové.

Pre potreby zrozumiteľnosti ďalšieho textu je potrebné uskutočniť terminologickú dohodu o používaní najfrekventovanejších pojmov z uvedenej problematiky. Slovné spojenia skladať papier, zložiť papier, prehnúť papier a preložiť papier budeme považovať za synonymické. Rovnaký význam v zmysle výsledku skladania papiera budú mať pojmy sklad a záhyb.

Teda v geometrii skladania papiera jeho zložením, resp. vytvorením záhybu vznikne model priamky. Namiesto zvyčajného rysovania priamok využijeme zloženie papiera, prípadne aj jeho znovu otvorenie. Preto skladaním rozumieme zobrazenie jednej polroviny na druhú, s hraničnou priamkou definovanou skladom (záhybom).

Sedem axióm skladania papiera

Podľa citovaných zahraničných zdrojov ([1]-[6]) sú axiómy z formálneho hľadiska rôzne. Nasledujúce formulácie sú snahou čo najvernejšie vystihnúť ich podstatu a priblížiť sa terminológii tradičnej geometrie.

A1. Existuje práve jeden sklad, ktorý je spojnicou daných dvoch rôznych bodov.

Poznámka: Axióma je analógiou prvého Euklidovho postulátu.

Obr. 1 Axióma A1- znázornenie, model


239

A2. Dané sú dva rôzne body P1 a P2. Potom existuje práve jeden sklad taký, že sa bod P1 zobrazí do bodu P2.

Poznámka: Tradičná Euklidovská konštrukcia spočíva v zostrojení osi úsečky P1P2.


A3. Dané sú dva rôzne sklady k1 a k2 , potom existuje taký sklad, že k1 sa

zobrazí na k2. Poznámka: V prípade, že sklady k1 a k2 sú reprezentantmi rôznobežných priamok,

tak euklidovská konštrukcia spočíva v zostrojení osi uhla, ktorý zvierajú. Ak sa uvažuje o rovnobežných priamkach, potom hľadaným zložením je sklad, ktorý je modelom osi pásu k1k2.

Obr. 3 Axióma A3- znázornenie, model A4. Existuje práve jeden sklad, ktorý prechádza daným bodom P a je kolmý

na daný sklad k. Poznámka: Euklidovská konštrukcia spočíva v zostrojení kolmice na danú priamku

k prechádzajúcu daným bodom P.



240

A5. Pre dané dva rôzne body P1, P2 a daný sklad k existuje taký sklad prechádzajúci bodom P2, ktorý zobrazí bod P1 na daný sklad k.

Poznámka: Konštrukčný postup riešenia úlohy pomocou pravítka a kružidla je založený na tomto postupe: • Zostrojenie kružnice l, so stredom v bode P2 a polomerom P1P2. • Hľadaný sklad je osou úsečky prechádzajúcej bodom P1 a priesečníkom kružnice

l s daným skladom k (využitie axiómy č. 4). Je zrejmé, že konštrukcia je možná len v prípade, že dĺžka úsečky P1P2 nie je

menšia ako je vzdialenosť bodu P2 od daného skladu k. Preto uvedená axióma nie je všeobecne platná. Bohužiaľ, niektoré internetové zdroje uvedené v literatúre zrejme nebudú dostatočne korektné, a bolo by žiaduce disponovať pôvodným zdrojom. Anglická verzia encyklopédie Wikipedia však uvádza poznámku, že táto axióma môže mať 0, 1, alebo 2 riešenie, pričom nasledujúca axióma A6 môže mať 0, 1, 2, alebo 3 riešenia.


A6. Dané sú dva rôzne body P1, P2 a dva sklady k1, k2. Potom existuje sklad, ktorým sa zobrazí bod P1 na sklad k1 a bod P2 na sklad k2.

Poznámka: Euklidovská konštrukcia pomocou lineáru a kružidla neexistuje.

A7. (Koshiro Hatori) Daný je bod P a dva sklady k1, k2. Potom existuje sklad, ktorým sa zobrazí bod P na sklad k1 a je kolmý na sklad k2.

Obr. 6 Axiómy A6, A7 – znázornenie

Aj keď sa v dostupných zahraničných zdrojoch hovorí o súbore axióm, na základe vyššie uvedených niektorých spresnení, by bolo možno vhodnejšie uvádzať tvrdenia A1 až A7 ako pravidlá, vety, alebo zásady, prípadne preformulovať existenčné vyjadrenie v tvrdeniach A5 a A6.


241

Postup pri skladaní modelu rovnostranného trojuholníka.

Na zloženie modelu rovnostranného trojuholníka z hárku papiera existuje viacero spôsobov. Na vybranej metóde skladania rovnostranného trojuholníka z obdĺžnikového tvaru papiera možno ukázať využitie predchádzajúcich axióm v jednotlivých krokoch skladania. Postup skladania je rozložený do nasledujúcich krokov:

Obr. 7 Postup skladania rovnostranného trojuholníka • Obdĺžnikový papier zložíme na polovicu, rovnobežne s jeho dlhšou stranou a znovu

papier roztvoríme. Poznámka: Dlhšie strany obdĺžnikového papiera sú danými skladmi k1, k2

a aplikovaním axiómy A3 získame model osi pása o určeného priamkami (k1, k2). • Ľavý dolný vrchol papiera orientovaného na výšku premiestnime tak, aby ležal na

osi pása o(k1, k2) a vytvoríme záhyb s tak, aby prechádzal pravým dolným vrcholom obdĺžnikového papiera. Poznámka: Zloženie je ilustrované na obrázku pri axióme A5. Ľavý a pravý dolný vrchol papiera sú danými bodmi P1 a P2, os pása je daný sklad k a hľadá sa teda taký sklad prechádzajúci bodom P2, ktorý zobrazí bod P1 na daný sklad k.

• Ďalej zložíme papier tak, aby sa prekrýval záhyb s so zvyškom pôvodnej strany AD obdĺžnika. (obr. 5) Poznámka: Tento krok možno realizovať aplikovaním axiómy A3, alebo aj axiómy A1, pretože ide o vytvorenie skladu prechádzajúceho dvomi danými bodmi XA’.

• Posledné zloženie je analógiou predchádzajúceho kroku a spočíva v zložení posledného prečnievajúceho vrcholu podľa strany vznikajúceho trojuholníka.

Simulácia postupu skladania modelu rovnostranného trojuholníka v dynamickej geometrii.

Pri implementácii jednotlivých krokov skladania papiera v prostredí interaktívneho geometrického systému je potrebné vychádzať z euklidovských interpretácií jednotlivých axióm. Najskôr je potrebné zostrojiť model obdĺžnikového papiera s možnosťou zmeny jeho rozmerov, (najmä kvôli možnosti využitia interaktivity a ďalšieho experimentovania a skúmania). Často sa využívajú nástroje „os uhla“, „os úsečky“ a zostrojenie priesečníkov.

Najnáročnejším krokom v konštrukcii, podobne ako pri samotnom skladaní papiera, je zrejme uvedomenie si geometrickej podstaty 2. kroku (axióma A5). Pri prezentácii príspevku bude interaktívna konštrukcia a spôsob jej implementácie podrobne vysvetlený.

Samotná konštrukcia je v podstate veľmi jednoduchá, ale prechod z manipulačnej priestorovej činnosti tvorby skladov na hľadanie priamok reprezentujúcich jednotlivé


242

záhyby v rovinnej konštrukcii nie je elementárny. K prednostiam kombinovania oboch metód (skladanie, konštruovanie) patrí nutnosť hlbšie si uvedomiť vlastnosti geometrických útvarov, možnosť získať praktické a teoretické skúsenosti a zručnosti z čítania a dešifrovania obrazových predlôh a tiež sa ponúka možnosť následnej analýzy postupu skladania. To znamená, že sa vytvára priestor pre formulovanie otázok a hľadanie odpovedí napr. o podmienkach existencie hľadaných útvarov, o overovaní ich vlastností a podobne.

Obr. 8 Ukážka interaktívnej geometrickej konštrukcie

Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu s názvom Školská

matematika v prostredí IKT (MŠ SR KEGA 3/6021/08).

Literatúra

1. OLSON, A., T.: Mathematics throuhg paper folding. Dostupné z http://vidyaonline.org/arvindgupta/paperfolding.pdf

2. ROW, T. SUNDARA: Geometric Exercises in Paper Folding. Publisher The Open Court Publishing Co. Year1917, third edition. Dostupné z http://www.archive.org/details/tsundararowsgeo00rowrich

3. http://kahuna.merrimack.edu/~thull/omfiles/geoconst.html 4. http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5372 5. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/index.shtml 6. http://en.wikipedia.org/wiki/Huzita_axioms

Kontaktná adresa

PaedDr. Katarína Žilková, PhD. Katedra matematiky a informatiky, PdF UK v Bratislave Račianska 59, 813 34 Bratislava Telefón: +421 250 222 404 E-mail: [email protected]


243

Vývoj vyučovania matematiky na území Slovenska v období 1777 – 1918 vo svetle učebníc matematiky

Tomáš Lengyelfalusy

Učebnice (nie len matematiky) vždy zohrávali a aj teraz zohrávajú dôležitú úlohu

pri vyučovaní daného predmetu na základných a stredných školách. Sú napísané na základe určitých požiadaviek a sú určené pre danú vekovú skupinu užívateľov – žiakov a študentov. V tomto príspevku sa snažíme hľadať odpoveď na niekoľko vážnych otázok ako:

Kto písal, resp. mohol písať učebnice matematiky? Odkiaľ čerpali jednotliví autori učebníc matematiky? Aké progresívne prvky obsahovali učebnice matematiky v sledovanom období, resp. zlých chýb sa dopustili ich autori pri metodickom spracovaní daného celku?

Prednáška sa člení na 5 hlavných častí: 1. Charakteristika daného obdoba, teda obdoba rokov 1777 – 1918

• Spoločensko-politická charakteristika obdoba • Významné školské dokumenty sledovaného obdoba a ich vplyv na

vyučovanie matematiky • Významné medzníky a ich vplyv na vyučovanie matematiky • Metodika spracovania danej problematik

2. Učebnice matematiky pre jednotlivé typy škôl a ich autori

• Učebnice matematiky pre ľudové školy a ich autori • Učebnice matematiky pre gramatické školy a pre humanitné triedy a ich

autori • Učebnice matematiky pre filozofické triedy a ich autori • Učebnice matematiky pre protestantské gymnáziá a ich autori

3. Zaujímavosti, zvláštnosti a progresívne prvky v horeuvedených učebniciach

• Jazyková rôznorodosť • Zahraničný vplyv na obsah a formu spracovania učebníc • Učebnice písané formou otázok a odpovedí • Príklady z každodenného života v jednotlivých učebniciach • Metódy, axiómy, definície, vety a algoritmy • Vhodné metodické poznámky

4. Obsahová stránka jednotlivých učebníc matematiky

• Budovanie pojmu čísla • Slovné úlohy, rovnice, nerovnice, sústavy rovníc • Kombinatorika a teória čísel • Geometria • Budovanie funkčného myslenia (v zárodkoch) • Stereometria – vzorce, odvodenia, príklady z praxe • Historické poznámky v jednotlivých učebniciach


244

• Komplexný pohľad na obsahovú štruktúru jednotlivých učebníc z hradiska rozsahu a obsahu jednotlivých tematických celkov

• Analýza veľkého množstva učebníc • Úroveň používania symbolického jazyka v jednotlivých učebniciach, resp. u

jednotlivých autoroch • Nedostatky v jednotlivých učebniciach z pohľadu obsahu a metodického

spracovania

5. Učebnice Dr. Františka Močníka a učebnice slovenských autorov • Životná cesta Dr. Fr. Močníka a charakteristika jeho tvorby • Vplyv Fr. Močníka na rozvoj matematického vzdelávania • Charakteristika jeho učebníc • Slovenskí autori učebníc matematiky: Martin Čulen, Ján Galbavý, Gustáv

Kordoš, Otto Petzval, Karol Salva, Ivan Bronislav Zoch a ďalší.

doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Žilinská univerzita v Žiline Univerzitná 1 010 26 Žilina E-mail: [email protected]

245

Názov Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania Druh publikácie Zborník Vydavateľ Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica Tlač BRATIA SABOVCI s.r.o., Zvolen Rok vydania 2009 Náklad 100 ks Počet strán 246 Vydanie 1. ISBN 978-80-8083-742-6

Matematika z poh ľadu primárneho vzdelávania · PDF fileElementary Mathematics...

Documents

Transcript of Matematika z poh ľadu primárneho vzdelávania · PDF fileElementary Mathematics...