matematika Teorija grafova Optimizacija - mioc.hr · PDF fileXV Europska unija...

XV
Europska unijaUlaganje u budunost
Projekt je sufinancirala Europska unija iz Europskog socijalnog fonda
Financijska matematika
Teorija grafova
Optimizacija
cb
a
d
r
b
d
a
c
2.226,39
2.235,33
2.244,27
2.253,21
2.262,15
2.271,09
2.280,03
2.288,97
2.297,91
143,06
152
160,94
169,88
178,82
187,76
197,6
205,64
214,58
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Rata Iznos rateKamataGlavnica
4. vjebenicaSadraj ove publikacije/emitiranog materijala iskljuiva je
odgovornost XV. gimnazije

4. VJEBENICA
2

2.226,39
2.235,33
2.244,27
2.253,21
2.262,15
2.271,09
2.280,03
2.288,97
2.297,91
143,06
152
160,94
169,88
178,82
187,76
197,6
205,64
214,58
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3
8. Financijska matematika
8.1. Zatezne kamate
toemoraditi?
Upoznat ete tajne jednostavnoga kamatnog rauna.
Uemujeproblem?
Plinarsko drutvo Plinko svaki mjesec dostavlja raun s navedenom potronjom plina i iznosom novca koji za isporueni plin trebate platiti. Raun za mjesec sijeanj 2016. godine iznosi 1270.30 kn, a na raunu je naveden datum dospijea plaanja (24. veljae 2016.) i zakonska zatezna kamata od 8.05% godinje.
Zakasnimo li s plaanjem rauna dva dana, koliki e nam iznos zateznih kamata uraunati plinara pri sljedeemu mjesenom obraunu?
Sukladno odredbama Zakona o kamatama, zatezna kamata obraunava se primjenom dekurzivnoga jednostavnoga kamatnog rauna na dospjelu glavnicu u sluaju neredovitog podmirenja obveza.

4. VJEBENICA
4
Kakotoizgleda?
Podsjetite se. to je kamata?
Kamata je naknada koju dunik mora platiti vjerovniku (kreditoru) zato to mu je na odreeno vrijeme ustupio pravo raspolaganja nekim iznosom novca ili dobrom.
Osnovni pojmovi:
kapital ili glavnica (poetni iznos) C0
kamatna stopa p (izraena u %)
jednostavne kamate ili interes K
vrijeme (u godinama, mjesecima, danima) n
Kamate: K C p n= 0 100Konani iznos duga (konana vrijednost glavnice) nakon n obraunskih razdoblja (godina, mjeseci, kvartala):
C C C p n C p nn = + = +
0 0 0100
1100
.
Obraun je zateznih kamata dnevni, to znai da je obraunsko razdoblje krae od godinu dana. Pri dnevnom obraunu kamata koristimo englesku metodu pri kojoj se broj dana u mjesecu (godini) odre-uje prema stvarnom kalendaru.
Broj dana oznait emo pomou d. Tada je n d=365
. Rijeite poetni primjer.
Moetelipretpostaviti?
Izgubili ste uplatnicu i raun platili tek 1. svibnja 2016. Koliki je iznos zateznih kamata? Pazite, godina je prijestupna. Kako iznos kamata ovisi o broju dana?
Napravitemodel.
Nacrtajte graf funkcije koja opisuje promjenu konanog iznosa duga u ovisnosti o broju dana dugova-nja. Kakva je to funkcija?
Zapiite funkciju formulom.

2.226,39
2.235,33
2.244,27
2.253,21
2.262,15
2.271,09
2.280,03
2.288,97
2.297,91
143,06
152
160,94
169,88
178,82
187,76
197,6
205,64
214,58
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5
Parametarski odredite poetni iznos rauna i kamatnu stopu zateznih kamata.
Usporedite iznose duga ako je poetni iznos rauna dvostruko manji i ako je za sto kuna vei.
Usporedite iznose duga ako se zatezna kamatna stopa povea za 0.5%, 1.5% te kad se smanji na pola. to uoavate?
Potraitepomotehnologije.
Pri analizi promjena koristite program dinamine geometrije.
Moemolivie?
Koji iznos rauna nismo platili do datuma dospijea 24. 3. 2015. ako je istaknuta zatezna kamata od 35.60 kn na obraunu od 30. 1. 2016. godine?
Primijenitenaueno.
Zadatak1.
Odluili ste kupiti novo raunalo. Iskoristili ste prednosti obrone kupnje te ste iznos od 4130 kn platili kreditnom karticom u est rata bez kamata i trokova.
Datum dospijea prve rate bio je 15. 11. 2015., a svake sljedee petnaestog u mjesecu iduih pet mje-seci.
To vam se inilo nebitnim te ste svoje raune prema kartici podmirivali neredovito i to sljedeom dina-mikom: 19. 11. 2015., 21. 12. 2015., 30. 1. 2016., 29. 2. 2016., 16. 3.2016. i 20. 5. 2016.
Zakonska zatezna kamata tijekom 2015. godine bila je 8.3%, a 2016. narasla je za 0.6%. Koliko ste, zbog zateznih kamata, platili vie svoje raunalo od njegove prodajne cijene?
Kakosmoradiliitosmonauili?

4. VJEBENICA
6
8.2. Novac stvara novac
toemoraditi?
Upoznat etetajne sloenog kamatnog rauna.
Uemujeproblem?
Kao poklon za svoj osamnaesti roendan prikupili ste od roditelja, bake i roaka 1600 kn. Prvotnu sreu i zadovoljstvo pokvarila je injenica da je cijena novog mobitela koji ste tim novcem eljeli ku-piti 2040 kn. Roditelji su predloili da dobiveni novac uloite u banku i tedite za neku buduu i veu investiciju. Stariji brat imao je drugu ideju: da novac posudite njemu (jer mu upravo toliko nedostaje za eljeni bicikl), a on e vam cjelokupni iznos vratiti za godinu dana uz zasluene kamate te s tim uveenim iznosom moete razmiljati to dalje. to uiniti?
Kakotoizgleda?
Prije donoenja bilo kakve odluke treba dobro razmotriti obje ponude i razjasniti pravila igre.
Kao i obino, prvo ste sasluali starijeg brata.
Koji vam podatci nedostaju?
Prisjetite se to su i koliko iznose kamate?1
Brat je bio prilino velikoduan i ponudio 15% jednokratnih kamata na cjelokupni posueni iznos koji e isplatiti zajedno s posuenih 1600 kuna nakon godinu dana.
to nude roditelji? Ne nude nita osim savjeta i pratnje do oblinje banke radi otvaranja tednog rau-na. Trebali biste se savjetovati s bankarskim slubenikom. Na upit o uvjetima tednje, upute slubenika vezane uz kamate bile su ovakve: Kamatna stopa na kratkoronu kunsku tednju (od est mjeseci do godine dana) iznosi 1.3 posto, dok je ona za tednju iznad godine dana 1.8 posto mjeseno.
1 Kamata je naknada koju dunik mora platiti vjerovniku (kreditoru) zato to mu je na odreeno vrijeme ustupio pravo raspolaganja nekim iznosom svog novca.

2.226,39
2.235,33
2.244,27
2.253,21
2.262,15
2.271,09
2.280,03
2.288,97
2.297,91
143,06
152
160,94
169,88
178,82
187,76
197,6
205,64
214,58
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
2.083,33
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7
Moetelipretpostaviti?
Koja je od ponuda prihvatljivija? Postoji li mogunost da u vremenu do dvije godine na svom raunu imate traeni iznos od 2040 kn?
Napravitemodel.
Za poetak izraunajte koji e vam iznos novca isplatiti brat nakon godinu dana.
Razmotrite ponudu roditelja. Vano je znati da se kamate u banci obraunavaju svaki mjesec na ukupni iznos novca koji se trenutno nalazi na vaem raunu.
Pokuajte napraviti tablicu s tonim iznosom svoga novca iz mjeseca u mjesec. Pretpostavimo da je tednja kratkorona do godinu dana.
Period(mjesec) Kamate Ukupninovaniiznosubanci0. 1600 kn1. 1600 1.2% = 19.20 kn 1619.20 kn2.
Razmislite o opoj formuli koja opisuje iznos kojim ete raspolagati nakon n mjeseci.
Potraitepomotehnologije.
Ispunite slinu tablicu u programu za izradu proraunskih tablica za sluaj dugoronije tednje (iznad jedne godine). Koristite formule tog programa.
Nacrtajte grafikon koji opisuje iznos novca u banci po mjesecima.
Na osnovu tablica i grafikona utvrdite koja je vrsta ulaganja isplativija.
Nakon koliko vremena moemo utedjeti dovoljno za kupnju mobitela?

4. VJEBENICA
8
Kakobitorijeilateorija?
Banke obraunavaju kamate posloenomekamatnomraunu.Osnovnipojmovi:
C0 = uloeni iznos (kapital, glavnica)
p = kamatna stopa (izraena u %)
K = kamate
n = broj obraunskih razdoblja
Sloene kamate obraunavaju se za svako razdoblje ukamaivanja od promjenjive glavnice (kamate na kamate). Koristi se dekurzivni obraunkamata to znai da se kamata obraunava na kraju obraunskog razdoblja.
Obrazloite sljedeu formulu sloenoga kamatnog rauna za Cn.
Konana vrijednost Cn uloene glavnice C0 nakon n obraunskih razdoblja:
C C pnn
= +
0 1 100
ili C C rnn= 0 , r
p= +1
100 (dekurzivni kamatni faktor)
Kamate: K C Cn= 0
Moemolivie?
Postoji li mogunost da tedimo dovoljno dugo i od poetnog iznosa 1600 kn postanemo milijuna?

2.226,39
2.235,33
2.244,27
2.253,21
2.262,15
2.271,09
2.280,03
2.288,97
2.297,91
143,06
152
160,94
169,88
178,82
187,76
197,6
205,64
214,58
2.083,33
2.083,33
2.083,33

matematika Teorija grafova Optimizacija - mioc.hr · PDF fileXV Europska unija...

Documents

Transcript of matematika Teorija grafova Optimizacija - mioc.hr · PDF fileXV Europska unija...