Matematika teknik kimia minggu 3
-
Upload
afifah-nur -
Category
Education
-
view
882 -
download
8
description
Transcript of Matematika teknik kimia minggu 3
APAKAH SISTEM?
Sifat sistem: dapat dikontrol dan diamati
Interaksinya dengan lingkungan secara alamiah jatuh pada dua kategori:
• Terdapat variabel yang dihasilkan oleh lingkungan, dan yang mempengaruhi perilaku sistem disebut “input” dari sistem.
• Ada variabel lain yang ditentukan oleh sistem, dan yang pada gilirannya mempengaruhi perilaku lingkungannya disebut “output” sistem.
Pada umumnya, kita harus mampu memberikan nilai pada paling sedikit beberapa “input” dari sistem, dan mengamati perilaku sistem dengan mencatat “output”.
Sebuah sistem adalah sebuah sumber data yang potensial
DESKRIPSI DAN
CONTOH SISTEM
Sistem
Input
Input
Input
output
output
output
Lingkungan
Sistem
Input
output
Batas sistem
Proses pelarutan
Air
(lingkungan)
Garam (sistem)
Batas sistem
Input
APAKAH EKSPERIMEN,
MODEL DAN SIMULASI?
Eksperimen adalah sebuah proses mengekstrak data
dari suatu sistem dengan memberi perubahan pada
inputnya.
Pemodelan berarti proses pengorganisasian
pengetahuan/pemahaman tentang suatu sisem tertentu.
Sebuah model untuk suatu sistem dan sebuah
eksperimen adalah sesuatu dimana sebuah eksperimen
dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan tentang
sistem.
Simulasi adalah eksperimen yang dikerjakan pada
sebuah model.
SKEMA PROSES PEMODELAN DAN
SIMULASI BERDASARKAN EKSPERIMEN
Eksperimen
Data/Pengetahuan Model
•Pengamatan
•Pengukuran
Analisa kualitatif
Sistem
SimulasiAnalisa sistem
Desain
Lebih memahami
perilaku sistem
Memperbaiki metoda
eksperimen
MODEL MATEMATIKA
BERDASARKAN CARA
MODEL DITURUNKAN
a. Model teoritis: dikembangkan menggunakan prinsip kimia dan fisika.
b. Model empiris: diperoleh dari analisa matematika (statistika) data operasi prposes.
c. Model semiempiris: mongkompromikan antara (a) dan (b), dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen. Sebagai contoh, parameter model seperti koefisien kecepatan reaksi, koefisien perpindahan panas, dan persamaan dasar sejenis biasanya harus dievaluasi dari eksperimen fisik atau dari data operasi proses.
• Model ini memiliki keuntungan dalam hal model dapat diekstrapolasi pada rentang kondisi operasi yang lebih luas daripada model yang murni empiris yang biasanya akurat pada rentang yang sangat terbatas.
• Model ini juga memberikan kemampuan untuk mengambil kesimpulan bagaimana variabel proses tak terukur atak tak dapat terukur berubah ketika kondisi operasi proses berubah.
PRINSIP-PRINSIP
FORMULASI
BASIS. Basis untuk pemodelan matematika adalah hukum dasar fisika dan kimia, misalnya: hukum kekekalan masa, energi, dan momentum.
ASUMSI. Asumsi yang dibuat harus secara hati-hati diperhitungkan dan dibuat daftarnya. Asumsi tersebut mengakibatkan batasan pada model yang harus selalu diingat ketika mengevaluasi hasil yang diprediksinya.
KONSISTENSI MATEMATIKA DARI MODEL. Harus diyakinkan bahwa jumlah variabel sama dengan jumlah persamaan. “Derajat kebebasan” sistem (NF = NV – NE) harus nol untuk memperoleh sebuah penyelesaian. Lakukan check untuk melihat bahwa satuan dari semua suku dalam semua persamaan konsisten.
PENYELESAIAN PERSAMAAN MODEL. Perlu diingat teknik dan alat penyelesaian yang tersedia ketika model matematika dikembangkan. Persamaan tanpa suatu cara untuk menyelesaikannya tidak berharga.
VERIFIKASI. Bagian yang penting dari pemodelan matematika adalah membuktikan bahwa model menggambarkan situasi nyata.
HUKUM KONSERVASI
UMUMLaju properties
Masuk ke dalam
sistem-
Laju properties
Keluar dari
sistem+
Laju generasi
properties
didalam sistem
=
Laju akumulasi
properties
didalam sistem
Properties: masa, momentum atau energi
Aliran masuk:
Laju = Fin
Konsentrasi = Cin
Suhu = Tin
Aliran keluar:
Laju = Fout
Konsentrasi = Cout
Suhu = Tout
Volume = V
Suhu = T
Konsentrassi = C
Sistem
Persamaan kontinuitas
HUKUM KONSERVASI
MASA
dt
dVFF oi
dt
dVFF oi
Fi
i
Fo
o
Batas sistemV,
Neraca masa total:
Masuk – Keluar + Generasi = Akumulasi
dt
VdFF ooii
0
Jika konstan: i = o =
Sistem
PROSES PENGENCERAN
dt
dcVcFFci
dt
dccci
F
V
Fi
ci
Fo
co
Batas sistemV, c
Neraca masa komponen (garam):
Masuk – Keluar + Generasi = Akumulasi
dt
cVdFcFc ooii 0
Jika: 1. Konsentrasi garam keluar = konsentrasi garam didalam tangki: co = c
2. dan V konstan
Sistem
Larutan garam
(= Konstanta waktu)
Asumsi
PROSES PENGENCERAN
iccdt
dc
1
Kecce t
i
t
t
i Kecc
icK
Susun ulang diperoleh:
Penyelesaian PD ini adalah:
atau
Kondisi awal: pada t = 0, c = 0
Dari sini diperoleh konstanta integrasi K:
Jadi
t
i ecc 1
Waktu
T -
T0
K ci
0c
TANGKI PEMANAS
panas Akumulasipanas Generasikeluar Panasmasuk Panas
refrefref TTVc
dt
dQTTFcTTFc ppip
Fi
Ti
F
T
Batas sistemV, T
Sistem
Medium pemanas
pada suhu Th
Q
Kenaikan suhu sebagai fungsi waktu?
Asumsi:
• Suhu cairan didalam tangki mula-
mula = T0.
• Volume cairan didalam tangki V
konstan
• Densitas cairan konstan.
• Kapasitas jenis cp konstan.
(1)
TANGKI PEMANAS
dt
dTVcTTUATTFc phip
KTdt
dT
1
UAFc
Vc
p
p
Vc
UATTFcK
p
hip
TTUAQ h
U = koefisien perpindahan panas
A = Luas penampang perpindahan panas
dimana
dan
CdtKeTedtdt
11
(2)
(3)
(4)
(5) dan (6)
Integralkan persamaan (4):
TANGKI PEMANAS
teKTT 10
CdtKeTe tt
tCeKT
CeKTe tt
Kondisi awal: pada t = 0, T = T0
KTC 0
Waktu
T -
T0
K K
0
TANGKI PEMANAS
panas Akumulasipanas Generasikeluar Panasmasuk Panas
dt
dTVcTTUAVkCHTTFc pcAip
refrefref TTVc
dt
dTTUAVkCHTTFcTTFc pcApip
Kenaikan suhu sebagai fungsi waktu?
Asumsi:
• Suhu cairan didalam tangki mula-
mula = T0.
• Volume cairan didalam tangki V
konstan
• Densitas cairan konstan.
• Kapasitas jenis cp konstan.
Batas sistem
Fi
Ti
F
T
V, T
Sistem
Medium pendingin
pada suhu Tc
Q
Reaksi eksothermis:
A B r = kCA
PEMBUANGAN PANAS DENGAN
FIN PENDINGIN
panas Akumulasipanas Generasikeluar Panasmasuk Panas
0 asxxxxx
TThAqAqA
02
axxxxx TT
R
h
x
asl TThAq
T1Ta
x x
x x+x
q|x=xq|x=x+x
Distribusi suhu pada steady state?
Luas penampang = A x
R
Dibagi pR2x 0222 axxxxx
TTxhRqRqR ppp
PEMBUANGAN PANAS DENGAN
FIN PENDINGIN
02
aTTR
h
dx
dq
02
lim0
a
xxxxx
xTT
R
h
x
dx
dTkq
02
aTT
R
h
dx
dTk
dx
d
Ambil limit x 0
Masukkan hukum Fourier:
Untuk harga k konstan:
02
2
2
aTTR
h
dx
Tdk
aTTR
h
dx
Tdk
22
2
aTTkR
h
dx
Td
22
2
Kondisi batas:
1. Pada x = 0, T = T1
2. Pada x = L, dT/dx = 0
(A)
PEMBUANGAN PANAS DENGAN
FIN PENDINGIN
aTT kR
hm
2
02
2
2
mdx
d
mxmx BeAe
Definisikan: dan
Persamaan (A) menjadi:
(B)
Penyelesaian persamaan (B) adalah:
BC 1: pada x = 0, T = T1 atau = T1 - Ta
BATT a 1 ATTB a 1
mx
a
mx eATTAe 1atau
mx
a
mxmx eTTeeA 1
(C)
(D)
PEMBUANGAN PANAS DENGAN
FIN PENDINGIN
mL
a
mLmL meTTmemeA 10
mx
a
mxmx meTTmemeAdx
d 1
mLmL
mL
aee
eTTA
1
mx
amLmL
mxmxmL
a eTTee
eeeTT
11
BC 2: pada x = L, dT/dx = 0 atau d/dx = 0
Turunan persamaan (D) adalah:
Masukkan BC 2 diperoleh:
atau
Substitusi A ke persamaan (D) diperoleh
PEMBUANGAN PANAS DENGAN
FIN PENDINGIN
mLmL
xLmxLm
aee
eeTT1
2
coshxx ee
x
mL
xLmTT a
cosh
cosh1
mL
xLm
TT
TT
a
a
cosh
cosh
1
Susun ulang diperoleh:
Dari rumus Identitas:
(E)
Persamaan (E) bisa dituliskan sebagai:
atau
(F)
PENDINGINAN FLUIDA
YANG MENGALIR
DIDALAM PIPA
T0
Tw
hv0
z
z = 0
Sketsa formulasi model
aliran plug
Asumsi:1. Pipa tidak terlalu panjang.
2. Beda suhu tidak begitu besar.
3. Diinginkan penyelesaian steady state.
4. Sifat fisik (, Cp, k, dll.) fluida tetap
konstan
5. Suhu dinding konstan dan seragam
(tidak bervariasi pada arah z atau r)
pada harga Tw.
6. Suhu masuk konstan dan seragam
(tidak bervariasi pada arah r) pada
harga T0, dimana T0 > Tw.
7. Profil kecepatan berbentuk plug atau
rata, jadi seragam kearah z atau r.
8. Fluida tercampur sempurna (sangat
turbulen), sehingga suhunya seragam
kearah radial.
9. Konduksi panas sepanjang sumbu
kecil relatif terhadap konveksi.
PENDINGINAN FLUIDA YANG
MENGALIR DIDALAM PIPA
wTzThzRQ p2
2
zzTzTzT
zTzTz
0
limVolume kontrol untuk model aliran plug
R
A
Tw
h
z z+z
T(z) T(z+z)
Volume
kontrol
Q Pembuangan panas (hukum Newton
tentang pendinginan:
Hukum kekakalan umum:
Laju masuk – Laju keluar + Laju generasi = Laju akumulasi
PENDINGINAN FLUIDA YANG
MENGALIR DIDALAM PIPA
02
dinding melalui panas kehilanganLaju keluar panasalir Laju
0
masuk panasalir Laju
0 wpp TThzRzzTCAvzTCAv p
020
wp TTRh
z
zTzzTCAv p
020 wp TzTRhdz
dTCAv p
0 wTzTdz
dT
pCAv
Rh
p
0
2
Panas masuk dan keluar elemen hanya oleh konveksi (aliran):
Susun ulang menjadi bentuk yang diperlukan untuk mengambil limit,
kemudian dibagi dengan z:
Ambil limit menghasilkan:
Kelompokkan parameter menjadi suku tunggal:
dimana
PENDINGINAN FLUIDA YANG
MENGALIR DIDALAM PIPA
wTzT
0
dz
d
0 dzd
Kz lnln
Definisikan variabel tak bebas baru:
Maka:
Ini bisa diintegralkan secara langsung dengan pemisahan variabel.
Susun ulang:
Integralkan menghasilkan:
zK expatau
PENDINGINAN FLUIDA
YANG MENGALIR
DIDALAM PIPA
wTTK 0
pw
w
CAv
Rhz
TT
TT
p
00
2exp
Kondisi batas:
Pada z = 0, T(0) = T0 atau (0) = T0 - Tw
Jadi:
Substitusi kembali:
PERSAMAAN TRANSPORT
Hukum Fick untuk perpindahan massa
Hukum Fourier untuk perpindahan panas
Hukum Newton untuk perpindahan momentum
dx
dTkq
dx
dCDJ A
A
dy
dvxyx
PERSAMAAN KEADAAN
Menggambarkan bagaimana sifat-sifat fisika
(terutama densitas dan enthalphy) berubah dengan
suhu, tekanan dan komposisi.
Misalya: Hukum Gas Ideal untuk menyatakan
hubungan antara tekanan, volume, dan suhu.
nRTPV
KESETIMBANGAN
Kesetimbangan kimia
Kesetimbangan fasa
• Hukum Raoult (Liquida ideal)
• Volatilitas relatif
• Harga rasio penguapan kesetimbangan K.
• Koefisien aktivitas
NC
j
Sjj PxP
1P
Pxy
Sjj
j
jj
iiij
xy
xy
xy
xy
11
xx
y11
j
jj
x
yK
NC
jj
SjjPxP
1
Sistem biner:
KINETIKA KIMIA
Persamaan Arrhenius
• k = konstanta kecepatan reaksi
• A0 = faktor preeksponensial
• E = energi aktivasi
• T = suhu absolut
• R = konstanta gas ideal
Hukum aksi massa: Kecepatan reaksi overall
RTEeAk 0
dt
dn
VR
j
j
1