MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS...
Transcript of MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS...
![Page 1: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA TEKNIK DASAR-IJENIS-JENIS FUNGSI
SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRATEKNIK PENGAIRAN
![Page 2: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
1. Satuan Sudut Radial
Pada dalil didapatkan kesamaan antara satuan derajat terhadap
satuan panjang busur lingkaran secara geometri.
Bila hasilnya diperluas didapatkanlah keliling lingkaran ~ 360o
Tanda ~ dibaca “ekivalen dengan”
DALIL ILMU UKURBesar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan panjang busur lingkarang yang dihadapinya
![Page 3: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/3.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
TEOREMA
Bila di dalam lingkaran dibuat segi banyak tali busur, maka keliling segi banyak itu < dari 6x jari-jari lingkaran tersebut.
BUKTI
Melalui semua ujung tali busur segi-n ditarik garis // sumbu x
dan sumbu y.
Perhatikan ABB2; didapatkan AB < AB2+BB1
Dalam CBK, BC < B1C1 + B2Cc
Dalam DCL, DC < C1D1 + C2D2
![Page 4: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/4.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Secara ilmu ukur Kochansky mendapatkan cara yang paling mendekati yang betul sebagai berikut. Dengan phytagoras dihitung PR2=PQ2+QR2
𝑃𝑅2 = 𝑃𝑄2 + 𝑄𝑅2𝐴𝑃
𝑟= 𝑡𝑔30𝑜 =
1
33
Jadi, AP= 1
3𝑟 3 dan BR=3r
Jadi, QR = 3𝑟 −1
3𝑟 3 = r 3 −
1
33
∴ PQ = 2r
∴ PR = 4𝑟2 + 𝑟2 3 −1
33
2=
𝑟 4 + 9 − 2 3 +1
3= 𝑟 13
1
3− 2 3 ≈ 3,14𝑟
![Page 5: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/5.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Bilangan 3,14... (biasa dilambangkan dengan ) adalah perbandingan antara k
dengan garis tengah lingkaran, ditulis 𝜋 =𝑘
2𝑟
▪ Sehingga 6,28 < 2 < 44
7
![Page 6: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/6.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
DEFINISI: satu radial adalah besar sudut pusat suatu lingkaran, yang panjang busur yang dihadapinya sama dengan jejari lingkaran.
Akibat: PR =panjang ½ keliling lingkaran = radial. Jadi 180o = radial.
Dengan demikian, terbesar : 1 rad = 7/22 x 180o = 576
22
𝑜= 57o16’;
terkecil : 1 rad = 1
3,14x 180o = 57o14’45”
Untuk diingat, 1 radial 57o
Selanjutnya, busur o akan sama dengan 𝛼
360x 2 rad, atau
𝛼
180x rad.
Jika =30o dalam satuan derajad maka 𝛼 =1
6𝜋 radial. Biasanya istilah ‘satuan radial’
tidak ditulis, jadi, 𝛼 =1
6𝜋
![Page 7: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/7.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
2. Bentuk Elementer
Penyajian Dengan Grafik. Perkembangan nilai fungsi goniometri tersebut di atas lebih jelas, bila kita sajikan dengan f={(x,y)y=nilai fungsi goniometri untuk x} pada bidang kartesius.
Dalam hal ini digunakan ekivalensi derajad pada garis (satuan panjang dalam radial)
![Page 8: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/8.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
X 0 30o 45o 60o 90o 120o 150o 180o
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ½ 0
X 210o 240o 270o 300o 330o 360o
y -½ ൗ−𝟏𝟐 𝟑 −𝟏 ൗ−𝟏
𝟐 𝟑 −½ 0
![Page 9: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/9.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Digambarkan pasangan berurutan (x,y) itu pada bidang.
▪ Untuk menyederhanakan persoalan, kita ambil sudut kelipatan 30o dan 45o
▪ Kemudian dibuat garis lengkung serasi, yang menghubungkan titik yang berurutan
▪ Karena garis sumbu x skalanya satuan panjang, akan lebih baik, bila satuan yang dipakai dalam radial.
diganti dengan
X 0 30o 45o 60o 90o 120o dan seterusnya
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya
X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 dan seterusnya
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya
![Page 10: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/10.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 Τ𝟓 𝟔𝝅 𝝅 𝟏 ൗ𝟏 𝟔𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟒𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟐𝝅𝟏 ൗ𝟐 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟓 𝟔𝝅 𝟐𝝅
y 0 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟓 0 −𝟎, 𝟓− ൗ𝟏 𝟐 𝟑 -1 − ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ−𝟏𝟐 𝟐 0,5 0 0,5 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 1
0,9 0,7 -0,9 -0,9 -0,7
![Page 11: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/11.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Bila wilayah y=tgx ditambah dengan ½ < x < dan - < x < - ½, maka akan terbentuk lagi seperti grafik pada 0 < x < ½ . Perkembangan tangen di kwadran I serupa dengan perkembangannya di kwadran III. Begitu pula di kwadran II dan IV
![Page 12: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/12.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Dengan f(x)=tg x, F(x) = cotg x juga diskontinu pada nilai tertentu. Kita tahu, bahwa cotg x = tg (90o-x); maka asimtot f(x) dan F(x) berselisih ½ ; jadi, x=k. Bila wilayah fungsi ditambah n , nilainya akan berulang (nB)
![Page 13: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/13.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y=sec x dalam wilayah - x 2
![Page 14: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/14.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y = cosec x dalam wilayah - x 2
![Page 15: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Bila diperhatikan, grafik sec x dan cosec x tidak mengisi jajahan -1 < y < 1
▪ Jadi, jajahannya adalah 1 y < ~ atau -~ < y -1; cosec x = sec (90o-x)
▪ Jadi berselisih ½ untuk ordinat yang sama
▪ Periode sec x sama dengan periode cos x, dan periode cosec x sama dengan periode sin x
![Page 16: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/16.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
3. Fungsi Goniometri
Dalam hal ini kita menganggap y = a sin x adalah fungsi bersusun daripada : x z = sin x. Kemudian oleh f : z y = az.
Jadi, y = a sin x mempunyai grafik, dimana ordinatnya adalah a kali ordinat z = sin x untuk setiap x. Periode fungsi y = a sin x tetap sama dengan periode z = sin x.
![Page 17: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/17.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
![Page 18: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/18.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
![Page 19: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/19.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
3. y = sin ax; a 0, a konstanta
Contoh
Periode sin x adalah 2
sin (ax + 2 ) = sin ax; ∴ sin a (𝑥 +2𝜋
𝑎) = sin ax
Dengan demikian periode sin ax adalah 2/a
Bila a > 1, periodenya lebih kecil daripada 2
Bila a < 1, periodenya lebih besar daripada 2
Nilai nol f(x) = sin ax didapat bila sin ax = 0
![Page 20: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/20.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Maka ax = 0 + 2k; jadi x = 2𝑘𝜋
𝑎; atau ax = + 2k.
Dengan demikian, 𝑥 =2𝑘+1 𝜋
𝑎; kB; jadi 𝑥 =
𝑛𝜋
𝑎, n B
![Page 21: MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSIsebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/MATEMATIKA...3-JenisFungsi.pdf · MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013110/5ca7d3da88c993e47d8b8053/html5/thumbnails/21.jpg)
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y=a sin x + b cos x + r. Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut kita berasumsi f(x)= a sin x dan g(x) = b cos x + r. ∴ y = f(x) + g(x)Dengan demikian, xR. Kita jumlahkan f(x) + g(x), berturut-turut kemudian kita susun barisan titiknya.