Matematika SMK semester 2
-
Upload
muhammad-irfan -
Category
Documents
-
view
991 -
download
8
Transcript of Matematika SMK semester 2
1
LOGIKA MATEMATIKA
• Kalimat Terbuka – Tertutup
• Negasi, Kata Penghubung
• Penarikan Kesimpulan
• Soal ‐ Soal
Disusun oleh:
Muhammad Irfan,S.Si
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi
(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar
pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic)
yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan
pertama dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika
matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan
matematik (mathematical Statement). Namun sebelum melangkah
lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian
pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan
definisi suatu pernyataan :
A. Pengertian
Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan
dapat di uji kebenarannya secara matematika.
Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.
Logika Matematika 2010/2011
2
1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai
kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih
bervariabel.
Contoh
a. 2x + 5 = 7
b. x2 + 1 = 10
c. Jarak kota A dan kota B 200 km
d. Usia A lebih muda dari B, dll.
2. Pernyataan
Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi
pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.
Contoh pernyataan
a. 2 x 5 = 10
b. 20 : 2 = 6
c. Toni lebih muda dari Susi
Pernyataan a bernilai benar
Pernyataan b bernilai salah
Pernyataan c bisa benar atau salah
Latihan
1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang
merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan
kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai
kebenarannya.
a. x + 5 > 0.
b. x2 + 5 ≥ 0.
c. Satu windu sama dengan n tahun.
d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan
bulat.
e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan
cacah.
f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.
g. Itu adalah benda cair.
h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap
2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan
real. Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu
pernyataan.
B. Penghubung / Konektif (Connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika
(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),
Logika Matematika 2010/2011
3
Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi,
atau Ekuivalensi (Equivalence).
1. NEGASI
Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari
suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar”
di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau
” bukan” pada pernyataan tersebut.
Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi
p
B S
S B
Contoh
Pernyataan : p Negasi (ingkaran) :
Tiga puluh sembilan adalah Tiga puluh sembilan bukan
bilangan prima
(S)
bilangan prima
(B)
Semua binatang adalah
mahluk hidup
(B)
Tidak semua binatang
adalah mahluk hidup
(S)
2. KONJUNGSI
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan
tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih
pernyataan tunggal yang digabung dan disebut
denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata
penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya berupa
kata “dan”. Kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk
dilambangkan dengan “ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi
didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ̂ dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)
Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah
Logika Matematika 2010/2011
4
Tabel Kebenaran Konjungsi
p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke
dalam wilayah Jawa
Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam
suatu segi tiga selalu
180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
S
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
Dua adalah bilangan
prima (B)
S
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S
3. DISJUNGSI
Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “atau”
dalam menghubungkan dua pernyataan menjadi kalimat
majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan majemuk
dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi
didefinisikan sebagai berikut :
Tabel Kebenaran Disjungsi
p q
B B B
B S B
S B B
S S S
Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah
Logika Matematika 2010/2011
5
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke dalam
wilayah Jawa Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam suatu
segi tiga selalu 180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
B
Dua adalah bilangan ganjil
(S)
Dua adalah bilangan prima
(B)
B
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S
4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)
Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini.
Misalkan Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali
olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku akan
membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku
jika Boby mendapatkan medali olimpiade sains-matematika.
Kalimat yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika
matematika dapat ditulis sebagai berikut :
Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.
Maka q : membelikan sepatu bola
Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau
dilambangkan dengan “ ” suatu pernyataan majemuk
yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p ke
pernyataan q dinyatakan dengan , ” ”, ialah sebuah
pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai
benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut hipotesa
(premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).
Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :
Tabel Kebenaran Implikasi
p q
B B B
B S S
S B B
S S B
Implikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :
” p → q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.
Logika Matematika 2010/2011
6
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke dalam
wilayah Jawa Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam
suatu segi tiga selalu
180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
S
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
Dua adalah bilangan prima
(B)
B
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) B
5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)
Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan
hubungan “Jika dan hanya jika“ Sehingga menjadi suatu
kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q
” atau dilambangkan dengan :
“ p ⇔ q ”
suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi.
Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan
dari:
p ⇔q dan q⇔p
Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔q dikatakan
bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang
sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini :
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q
B B B
B S S
S B S
S S B
Biimplikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :
” p ⇔ q ” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Logika Matematika 2010/2011
7
Contoh
Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan
kebenarannya.
“ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa
Jakarta adalah ibukota Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di
Kabupaten Sragen”
Penyelesaian:
Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol:
p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B)
q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B)
r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)
Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas
yaitu:
(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S
⇔ (B ∧ S ) ∨ S
⇔ S∨ S
⇔ S
Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.
C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar
atau salah kita perlu table kebenaran dari kalimat penghubung
yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang
pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua
penghubung adalah sebagai berikut:
p q
B B S S B S B B
B S S B S S S S
S B B S S S B S
S S B B S B B B
Nilai kebenaran
ABCD adalah persegi ABCD segi empat
yang sisinya sama
B
n adalah bilangan prima n habis dibagi 7 S
SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah
Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta
S
Grafik bukan garis lurus
adalah fungsi yang tidak linier
B
Logika Matematika 2010/2011
8
Contoh
Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan
daerah asal :
1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal
himpunan bilangan bulat.
2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada
tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.
Soal Latihan
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:
a. Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.
b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah
c. Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.
d. 49 adalah bilangan kuadrat.
2. Diberikan pernyataan sebagai berikut:
p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong
q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1
r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan
berikut:
a.
b.
c.
d.
3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah
berikan contoh kesalahannya.
a. Jika x=2 maka 2 5 2 0
b. Jika x = 90 maka sin cos 0
DEFINISI Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.
Logika Matematika 2010/2011
9
D. KUANTOR
1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau
“setiap” disebut pernyataan kuantor universal (umum) ,
sedangkan pernyataan yang menggunakan kata “Beberapa”
atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). Pernyataan untuk
setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x D, maka P(x)
bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai
benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x D sehingga
P(x) bernilai benar.
Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk
simbulik dan memuat penghubung, kita harus menetapkan
daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan
interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang
ada didalamnya.
2. Negasi dari Pernyataan berkuantor
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah
ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p
. Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa:
- Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor
eksistesial.
- Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh:
Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut:
a. , 1 0
b. , 1 0
Jawab:
a. , 1 0 adalah pernyataan yang benar
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.
1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor universal (universal quantifier).
2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).
Logika Matematika 2010/2011
10
, 1 0 , 1 0 bernilai
salah
b. , 1 0 adalah pernyataan yang salah
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
, 1 0 , 1 0 bernilai
benar
3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi
Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers,
invers dan kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi
berikut ini :
i. Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA
Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat
pernyataan baru:
ii. Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa
iii. Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena
tidak lulus SMA
iv. Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan
seorang mahasiswa
Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai
berikut:
i. : disebut implikasi
ii. : disebut konvers dari implikasi
iii. : disebut invers dari implikasi
iv. : disebut kontraposisi dari implikasi
Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan
Kontraposisi.
Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan
bahwa:
- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
- Konvers ekuivalen dengan Invers
Logika Matematika 2010/2011
11
4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Perhatikan contoh kalimat berikut:
p : Markus tidak malas
q : Markus giat berlatih
Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai
berikut:
a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih :
bernilai B
b: Markus malas atau Markus giat berlatih :
bernilai B
Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:
Contoh
Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa
pernyataan ekuivalen dengan pernyataan
Jawab:
p q
B B S B B B
B S S S S B
S B B B B B
S S B B B B
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa
Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada
kolom tersebut selalu bernilai benar untuk setiap
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen
yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi
(benar logis). Tautologi yang berbentuk
disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang
dibaca (a ekuivalen b)
Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan komponen yang bernilai salah pernyataan
majemuk tersebut disebut Kontradiksi.
Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Logika Matematika 2010/2011
12
Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Contoh
Tunjukkan bahwa adalah tautology dan adalah
kontradiksi
Jawab
B S B S
S B B S
Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa adalah
Tautologi dan adalah Kontradiksi.
Contoh
Tunjukkan bahwa pernyataan adalah
tautology
Jawab:
B B B S S B
B S S B B B
S B B S B B
S S B S B B
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan adalah
tautology
Latihan
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataan berikut:
a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya
piala.
b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus
SMA.
c. Jika bilangan ganjil, maka 1 adalah
bilangan genap.
2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor
berikut ini:
a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real.
b. Terdapat bilangan real sehingga 4 0
Logika Matematika 2010/2011
13
c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda.
d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 60 .
3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology:
a.
b.
c.
5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens
Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode
atau cara yang digunakan dalam menarik kesimpulan. Proses
penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa hipotesa yang
diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika diturunkan suatu
kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan ini disebut
dengan argumentasi.
Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu
kesimpulan adalah sebagai berikut :
i. Argumen dikatakan berlaku atau sah:
Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi
dengan kesimpulan
ii. Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b
sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang
berlaku atau sah:
iii. Argumen dikatakan berlaku atau syah:
Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya
juga benar.
iv. Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa -
hipotesanya barus demi baris kemudian dibuat garis
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Logika Matematika 2010/2011
14
mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling
bawah sebagai berikut :
a hipotesa 1
b hipotesa 2
kesimpulan
Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena
itu…”.
1. Silogisme
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:
Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi
tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka
n2+1 genap
2. Modus Ponens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis
menjadi:
Logika Matematika 2010/2011
15
Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk
implikasi tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : n bilangan ganjil.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil
3. Modus Tollens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis
menjadi:
Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk
implikasi tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B B S B S S B
B S B S S S B
S B S B S B B
S S B B B B B
Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah
Modus Tollens adalah dengan mengambil kontaposisi
dari argument sebagai berikut:
Logika Matematika 2010/2011
16
Kontraposisi:
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil
Latihan
1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini:
a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah.
Hipotesa 2 : Aku basah
b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki
akan melakukan selebrasi.
Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol.
c. Hipotesa 1 : Jika 0 maka 0 .
Hipotesa 2 : Jika 0 maka . 0
d. Hipotesa 1 : Jika √ . √ √ maka √ . √ √ .
Hipotesa 2 : Jika √ . √ √ .maka 0
e. Hipotesa 1 : Jika 4 0 maka 0.
Hipotesa 2 : 0
2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut:
a. hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
b. hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
17
MATRIKS
• Macam – macam Matriks
• Operasi pada Matriks
• Determinan dan Invers pada Matriks
• Menyelesaikan Sistem Pers. Linier
• Soal ‐ Soal
Disusun oleh:
Muhammad Irfan,S.Si
A. Macam – macam Matriks
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan elemen – elemen yang berbentuk persegi
atau persegi panjang dengan dibatasi oleh tanda kurung “( )” atau
kurung siku “[ ]”. Elemen – elemen tersebut bias berbentuk bilangan
ataupun huruf. Nama suatu matriks dinotasikan dengan huruf capital,
sedangkan elemen – elemennya menggunakan huruf kecil.
adalah elemen pada baris pertama kolom pertama.
adalah elemen pada baris pertama kolom kedua.
adalah elemen pada baris kedua kolom pertama.
adalah elemen pada baris ke‐m kolom ke‐n.
Matriks adalah matriks A dengan m baris dan n kolom. Mxn
disebut juga dengan ukuran suatu matriks atau biasa dikenal dengan
nama ordo suatu matriks.
Contoh 1
Tentukan ordo dari matriks berikut:
1 32 4 , 2 1 2
Matriks A mempunyai ordo 2x2 karena mempunyai 2 baris dan 2
kolom. Sedangkan B ber‐ordo 1x3.
18
2. Macam – macam Matriks
a. Matiks Nol
Matriks Nol adalah matriks dimana semua elemennya bernilai nol.
Contoh 2
0 00 0 , 0 0 0
0 0 0
b. Matriks persegi (bujur sangkar)
Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris sama dengan
jumlah kolom.
Contoh 3
2 45 0 ,
2 1 46 4 29 7 8
c. Matriks persegi panjang
Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah kolomnya
tidak sama dengan jumlah baris.
Contoh 4
2 3 74 1 9
d. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Contoh 5
321
e. Matriks Baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Contoh 6
3 2 1
f. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya bernilai
nol kecuali pada diagonal utama tidak nol semuanya.
Contoh 7
00 ,
0 00 00 0
g. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada
diagonal utamanya bernilai 1 dan lainnya bernilai 0.
Contoh 8
00 ,
0 00 00 0
19
h. Matriks Segitiga
• Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di
bawah diagonal utama seluruhnya nol.
Contoh 9
4 70 1 ,
1 8 100 6 50 0 11
• Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di
atas diagonal utama seluruhnya nol.
Contoh 10
4 010 1 ,
1 0 010 6 09 8 11
i. Matriks Transpose
Matriks transpose didapat dari menukar baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris.
Contoh 11
Tentukan
2 3 74 1 9 ,
2 1 46 4 29 7 8
2 43 17 9
2 6 91 4 74 2 8
3. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan
elemen‐elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks
tersebut sama.
Contoh 12
4 010 1 , 4 0
10 1 , 0 41 10
Matriks A=B karena ordo dan elemen‐elemen seletak sama. A C
karena elemen – elemen seletaknya tidak sama.
Contoh 13
Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan matriks beerikut!
2 62 , 8 6
2
Penyelesaian:
2 62
8 62
Didapatkan:
• 2 8 … pers.1
• 2
20
2 0
0 di substitusikan ke dalam pers.1 menjadi:
2 8
2 0 8
• 2
4 2
1. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan matriks di bawah ini.
a. 2 3 62 5 30
3 23 30
b. 1 62 0
2 103 0
2. Tentukan nilai a, b, c, d, dan e dari persamaan matriks di bawah ini.
4 1 56 8
2 2 3
2 53 2 2 82 3
3. Jika 0 1 11 0 00 1 1
1 00 3
2 0 1
Tentukan w, x, y, dan z!
B. Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah Matriks dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika kedua
buah matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Hasil jumlah
ataupun selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan elemen‐elemen yang seletak dari kedua matriks
tersebut.
Contoh 14
Diketahui:
5 4 21 6 1 , 2 5 5
6 5 3 , 3 14 1
5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3
3 9 75 11 4
5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3
7 1 37 1 2
tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan, karena ordo
kedua matriks tersebut tidak sama.
LATIHAN
Apakah kita bisa untuk mengemban misi kita? Insya Allah kita bisa, karena Allah Mahatahu, Allah tahu sampai dimana potensi dan kemampuan kita. Jika kita tidak merasa mampu berarti kita
belum benar-benar mengoptimalkan potensi kita.
21
Sifat – sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1. sifat assosiatif
2. sifat komutatif
3. sifat distributive
4.
5. terdapat matriks X sedemikian sehingga A+X=B.
2. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan scalar (k)
Misalkan A merupakan sebuah matriks dan k sebuah scalar, maka
kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan
setiap elemen matriks A dengan scalar k.
Contoh 15
Diketahui 1 36 2 maka
4 4.1 4. 34.6 4.2
4 1224 8
Contoh 16
Tentukan nilai a, b, c jika diketahui
2 41 0 , 2
4 , 4 21 8 sehingga
berlaku P‐2Q=R.
Penyelesaian:
2
2 41 0 2 2
44 21 8
2 24
4 21 8
2 41 0
24
12
2 62 8
24
1 31 4
Dari persamaan matriks di atas didapat:
1; 1; 2 3 1
Contoh 17
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:
2 7 59 1
3 15 1
Penyelesaian:
2 7 59 1
3 15 1
2 3 15 1
7 59 1
2 10 614 0
5 37 0
Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap
scalar k1 dan k2 dan AB terdefinisi, berlaku sifat – sifat perkalian
matriks dengan scalar sebagai berikut:
22
a.
b.
c.
d.
e.
f.
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua buah matriks A dengan ordo mxn dan matriks B dengan ordo
pxq, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A.B yang
berordo mxq, dengan syarat n=p. Didapatkan dengan cara
mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom
matriks B. Dua buah matriks tidak dapat dikalikan jika dan hanya
jika , mengakibatkan A.B tak terdefinisi.
Perhatikan gambar berikut:
Matriks A Matriks B
baris kolom baris kolom
Baris matriks A=kolom matriks B,matriks dapat dikalikan
Hasil kali kedua matriks dengan ordo baris matriks A x kolom matriks B
Contoh 18
Diketahui 1 12 0 dan 1 0 1
2 2 0 Tentukan A.B
Penyelesaian:
Matriks A berordo 2x2 dan B berordo 2x3, maka hasil kali A.B
adalah matriks yang berordo 2x3.
. 1 12 0
1 0 12 2 0
= 1.0 1 . 2 2 adalah elemen baris ke‐1 dan kolom
ke‐2 dari matriks A.B. Diperolah dengan cara mengalikan elemen –
elemen baris ke‐1 matriks A dengan elemen – elemen kolom ke‐2
matriks B, kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya
untuk mengisi kotak kotak tersebut.
. 1 12 0
1 0 12 2 0
. 1.1 1 . 2 1.0 1 . 2 1. 1 1 . 02.1 0.2 2.0 0. 2 2. 1 0.0
. 1 2 12 0 2
Contoh 19
Diketahui 2 12 3 dan 2
2 serta 1 11 2 . Tentukan A.B
dan A.C serta C.A
23
Penyelesaian:
. 2 12 3
22
2.2 1 . 22.2 3. 2
62
. 2 12 3
1 11 2
2.1 1 . 1 2.1 1 . 22.1 3. 1 2.1 3.2
. 3 01 8
. 1 11 2
2 12 3
1.2 1.2 1. 1 1.31 . 2 2.2 1 . 1 2.3
. 4 22 7
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa . . (perkalian tidak
komutatif)
Contoh 20
Ibu Fira berbelanja di Toko “ASA” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp.
7.000,‐ per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp. 8.000,‐ per kg, dan 3 liter
minyak goreng dengan harga Rp. 9.000,‐ per liter. Sedangkan Ibu Ira
berbelanja di Toko yang sama dan barang yang sama dengan kuantitas 10
kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng.
Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan
tentukan jumlah yang harus dibayar oleh ibu Fira dan Ira.
Penyelesaian:
Dari soal di atas, jika disajikan ke dalam benuk matriks sebagai berikut:
5 4 310 8 2
700080009000
ket: F = Ibu Fira, dan I = Ibu Ira.
Jumlah yang harus dibayarkan oleh Ibu Fira dan Ibu Ira adalah
5 4 310 8 2
700080009000
5.7000 4.8000 3.900010.7000 8.8000 2.9000
94.000152.000
Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Fira adalah Rp. 94.000,‐ dan Ibu Ira
adalah Rp. 152.000,‐.
1. Diketahui 2 11 5 , 2 2
1 3 , 3 15 3
Tentukanlah:
a) .
b)
c)
d)
e) Tunjukkanlah bahwa . .
2. Tentukanlah matriks X dari persamaan matriks berikut:
a. 4 3 55 4
1 37 12
b. 4 0 28 4 2 2 4
10 8
LATIHAN
Jadilah orang yang CERDAS. Comperhensive (think) Emphatic (heart) Religius (Views) Dicipline (time) Active (move on) Social (responbility)
24
c. 4 6 7
2 6 40 2 2
20 4 32 0 5
8 2 4
3. Diketahui 4 31 2 , carilah 2 4 5 (I matriks
identitas)
4. Tentukan nilai a,b,c, dan d dari persamaan matriks berikut:
a. 3 2 13 2 2
2 13 2
0 34 5
b. 2 3 2 24 2
5 31 2 2 0 6
4 5
5. Diketahui 6 1 03 5 4 4 1
4
14 1721 2 Tentukanlah x,y, dan z!!!!
6. Kim membeli 8 buku dengan harga @Rp. 3.000,‐, 12 pensil dengan harga
@Rp. 2.500,‐, dan 5 pulpen dengan harga @Rp. 2.000,‐. Sedangkan Okto
membeli barang yang sama dengan kuantitas 1 lusin buku, 8 pensil, dan
2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian
matriks dan tentukan jumlah uang yang harus dibayar oleh Kim dan
Okto.
C. Determinan Suatu Matriks
1. Determinan Matriks ordo 2x2
Misalkan , maka determinan matriks A adalah det
Contoh:
Tentukan determinan dari 2 14 3
Penyelesaian:
det 2 14 3 2. 3 1. 4
6 4 2
Contoh 21
Jika 29 5 2 1 . Tentukanlah nilai x.
Penyelesaian:
29 5 2 1
2 . 5 . 9 2 1
2 1
1
2. Determinan Matriks ordo 3x3
Misalkan maka
det | |
25
Ada banyak sekali cara untuk menghitung determinan matriks ordo
3x3. Akan tetapi, metode yang paling banyak digunakan adalah
dengan aturan Sarrus. Langkah‐langkahnya sebagai berikut:
a. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal
dari determinan.
b. Jumlahkan hasil kali unsur‐unsur yang terletak pada diagonal
utama dengan hasil kali unsur‐unsur yang sejajar diagonal utama
pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur‐
unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.
Perhatikan skema berikut:
det . . . . . . . .
. . . .
Contoh 22
Tentukan determinan 1 2 11 2 12 1 2
.
Penyelesaian:
| |1 2 11 2 12 1 2
1 21 22 1
| | 1.2.2 2.1.2 1.1.1 1.2.2 1.1.1 2.1.2
| | 4 4 1 4 1 4 0
Contoh 23
Jika diketahui determinan matriks 1 1 3
1 2 43 2 5
adalah 5. Tentukan
nilai X.
Penyelesaian:
| |1 1 3
1 2 43 2 5
1 11 2
3 2
| | 1 . 2.5 1.2.5 1. 4 . 3 3. 1 . 2 3.2.3
1 . 4 . 2 1. 1 . 5
| | 1 10 10 12 6 18 1 8 5
| | 12 19
| | 5
12 19 5
12 5 19
2412
2
26
3. Minor, Kofaktor, dan Adjoin
Jika A adalah matriks persegi, maka minor elemen aij dinyatakan oleh
Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal
setelah baris ke‐I dan kolom ke‐j dicoret dari A. Bilangan (‐1)i+j Mij
dinyatakan oleh Cij yang disebut kofaktor elemen aij.
Jika A adalah sembarang matriks persegi dan Cij adalah kofaktor aij,
maka matriks
Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin
dari A dan dinyatakan dengan Adj (A).
Contoh 24
Tentukan minor, matriks kofaktor, dan adj (A) dari 2 15 4 .
Penyelesaian:
Minor matriks A adalah
4 1
5 2
Kofaktor dari matriks A adalah
1 1 4 4
1 1 5 5
1 1 1 1
1 1 2 2
Matriks kofaktornya adalah
4 51 2
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,
sehingga
4 51 2
4 15 2
Contoh 25
Tentukan minor,matriks kofaktor, dan adjoin dari 1 2 12 1 22 1 1
Penyelesaian:
Minor matriks tersebut adalah:
1 21 1 1 . 1 2.1 3
2 22 1 2.2 2.1 2
2 12 1 2.1 2. 1 4
2 11 1 2.1 1.1 1
1 12 1 1.1 2.1 1
1 22 1 1.1 2.2 3
2 11 2 2.2 1 .1 5
27
1 12 2 1.2 2.1 0
1 22 1 1. 1 2.2 5
Kofaktor dari minor‐minor tersebut adalah:
1 3 1 4
1 2
1 1 1 3
1 1
1 5 1 5
1 0
Matriks kofaktornya adalah
3 2 41 1 3
5 0 5
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,
sehingga
3 2 41 1 3
5 0 5
3 1 52 1 0
4 3 5
D. Invers Suatu Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian
sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas, maka B adalah
invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A‐1 atau A = B‐1.
Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:
Contoh 26
Tentukan invers dari
Penyelesaian:
det | |
Minor A adalah
| | | |
| | | |
Kofaktor dari A adalah
Matriks kofaktor sedangkan matriks adjoin adalah
Jadi, invers matriks A adalah
28
Contoh 27
Tentukan invers dari
a. 2 21 2
b. 1 2 12 1 22 1 1
Penyelesaian:
a. Det(A) = 2.(‐2) ‐ 1.(‐2) = ‐4 – (‐2) = ‐2
1det
12
2 21 2
1 112 1
b. 1. 1 . 1 2.2.2 1.2.1 1. 1 . 2 1.2.1 2.2.1
1 8 2 2 2 4 5
1det
15
3 1 52 1 0
4 3 5
35
15
12
51
5 045
35
1
*) matriks adjoin A berasal dari contoh 25
Contoh 28
Dari 4 73 5 5 7
3 4 , tunjukkan bahwa kedua matriks
tersebut saling invers!
Penyelesaian:
. 4 73 5
5 73 4
20 21 28 2815 15 21 20
1 00 1
. 5 73 4
4 73 5
20 21 35 3512 12 21 20
1 00 1
Karena . . maka terbukti bahwa kedua matriks tersebut
saling invers.
Contoh 29
Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular
2 43 6 4 1
2 3
Penyelesaian:
2.6 3.4 12 12 0 (matriks singular)
4.3 2.1 12 2 10 (matriks nonsingular)
NOTE:
a. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai
determinannya 0, matriks seperti ini disebut matriks
nonsingular. Sedangkan matriks yang harga
determinannya = 0 disebut matriks singular.
b. Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, berlaku:
•
•
29
1. Tentukan determinan matriks berikut:
a. 1 22 3
b. 5 29 2
c. 2 80 5
d. √3 2√6 √3
e. 1 1 00 2 11 2 1
f. 1 2 31 0 43 2 4
g. 1 2 31 2 11 2 2
2. Tentukan nilai X dari persamaan berikut:
a. 0 1 22 3
b. 2 35 4 7
c. 1 2
2 1 14 0 5
2 5
d. 2
0 1 10 0 1
2
3. Tunjukkan bahwa kedua matriks di bawah ini saling invers.
a. 3 52 3
3 52 3
b. 3 74 9
9 74 3
c. 4 31 1
1 31 4
d. 6 55 4
4 55 6
4. Tentukan invers dari matriks di bawah ini:
a. 1 22 3
b. 5 29 2
c. 2 80 5
d. √3 2√6 √3
e. 1 1 00 2 11 2 1
f. 1 2 31 0 43 2 4
g. 1 2 31 2 11 2 2
5. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular!
a. 1 22 3
b. 2 21 2
c. 2 33 5
d. √3 3√2 √6
6. Diketahui 1 22 3 , 1 1
1 2 tentukan:
a.
b.
c.
d. .
e. Apakah . ?
f. Apakah . ?
LATIHAN
30
E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dua ataupun tiga variable selain menggunakan
eliminasi dan substitusi juga dapat digunakan invers dan kaidah Cramer
untuk mencari himpunan penyelesaiannya. Langkah – langkah untuk
mencari himpunan penyelesaian system persamaan linier dengan
menggunakan invers adalah sebagai berikut:
• Ubahlah system persamaan ke dalam bentuk matriks.
• Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisien
dengan matriks variabelnya.
Persamaan matriks A.X = C
• Kalikan kedua ruas dengan invers A:
. . .
. .
.
Contoh 30:
Tentukan nilai x dan y dari system persamaan
4 5 2
3 4 4
Penyelesaian:
Sistem persamaan 4 5 2
3 4 4 jika dibuat dalam bentuk matriks
menjadi 4 53 4
24 . Untuk mencari nilai X, maka:
.
14.4 3 . 5
4 53 4
11
4 53 4
4 53 4
4 53 4
24
8 206 16
1210
Jadi, himpunan penyelesaian dari system persamaan tersebut adalah
{12,10}.
Di samping menggunakan cara invers, dapat juga digunakan aturan
Cramer. Jika A.X = C adalah matriks system persamaan linier yang terdiri
atas n persamaan linier dan n variable yang tidak diketahui, sehingga
det 0, maka system tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
(tunggal). Penyelesaian tersebut adalah:
det det
,det det
, … ,det det
Dimana adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti elemen –
elemen di dalam kolom ke‐j dari A dengan elemen elemen di dalam
matriks .
31
Contoh 31:
Gunakan aturan Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian dari
system persamaan berikut:
3 5 11
2 3
Penyelesaian:
Bentuk perkalian matriksnya adalah 3 52 1
113 , dari bentuk ini
didapat:
3 52 1 ; det 3.1 2. 5 13
11 53 1 ; det 11.1 5 . 3 26
3 112 3 ; det 3.3 2.11 13
Sehingga,
detdet
2613
2
det det
1313
1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,‐1}.
Contoh 32:
Tentukan x, y, dan z dari system persamaan dengan aturan Cramer:
7
3 4 6 7
2 3 12
Penyelesaian:
Bentuk perkalian matriknya adalah 1 0 23 4 61 2 3
77
12 ,didapat:
1 0 23 4 61 2 3
, det 12 0 12 8 12 0 44
7 0 27 4 6
12 2 3, det 84 0 28 96 84 0 44
1 7 23 7 61 12 3
, det 21 42 72 14 72 63 88
1 0 73 4 71 2 12
, det 48 0 42 28 14 0 132
detdet
4444 1 ;
detdet
13244 3
det det
8844 2
2 33 5 . 4 0
1 2
Tentukan matriks P dari persamaan:
*) gunakan .
32
Contoh 33:
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,‐. Sedangkan harga 1 baju
dan 3 kaos adalah Rp. 210.000,‐. Tentukan harga 5 kaos dan 6 baju.!!!
Penyelesaian:
Misalkan, harga baju adalah x dan harga kaos adalah y. diperoleh:
3 2 280.000
3 210.000
Dari system persamaan tersebut, jika dibuat dalam bentuk matriks:
3 21 3
280000210000
.
13.3 1.2
3 21 3
17
3 21 3
17
3 21 3
280000210000
17
3 280000 2 2100001 280000 3 210000
17
420.000350.000
60.00050.000
Harga 6 baju, dan 5 kaos = 6x60.000 + 5x50.000 = 550.000
Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp. 550.000,‐.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers:
a. 3 8 7 ; 4 11
b. 8 2 ; 5 3 31
c. 4 19 ; 2 11
2. Gunakan kaidah Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian
berikut:
a. 8 2 ; 5 31 3
b. 3 8 ; 2 2 4
c. 3 10
2 4
4 3 5
d. 1
4
1
3. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:
a. 2 14 3 . 7
1
b. . 6 51 1
3 24 7
c. 2 13 2 . 1 4 0
2 3 5
d. 0 61 2 . 3 24
4. Carilah nilai x dan y berikut:
a. 2 14 3
21
257
b. 4 31 2
2 42
2010
5. Ashanty menjual dua jenis komoditas. Komoditas jenis pertama
merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B.
Komoditas jenis ke‐2 merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan
50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama adalah Rp. 100.000,‐
LATIHAN
33
dan harga komoditas jenis ke‐2 adalah Rp. 170.000,‐. Tentukan harga
masing masing kualitas per kilogramnya.
6. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan
lima kursi berharga $70. Tentukan harga 10 meja dan 9 kursi.
Did You Know??? OTAK
“Otak manusia, seperti mesin yang bisa melakukan perawatannya sendiri, ia bisa menyembuhkan dirinya dari segala kerusakan internal, sambil bergerak ke tingkat kinerja yang lebih tinggi”, Prof. Robert Oates and Gerald Swanson, Ph.D.
Tidak bisa dipungkiri bahwa otak merupakakn organ tubuh kita yang sangat penting. Setiap aktivitas kita, baik sadar maupun tidak sadar, pasti berawal dari otak kita. Para ilmuwan sudah menemukan bahwa otak dibagi menjadi dua ruang, yaitu otak kanan dan kiri. Kedua belah otak tersebut ternyata memiliki karakter yang berbeda.
OTAK KIRI OTAK KANAN• Pemikiran Analitis • Logika • Bahasa • Sains dan Matematika • Verbal, Proporsional • Fokus • Perbedaan • Bergantung Waktu • Segmental
• Pemikiran Holistika • Intuitif • Kreativitas • Seni dan Musik • Nonverbal, imaginative • Difus • Persamaan • Tak bergantung waktu • Global
Jika kemampuan otak kanan‐kiri seimbang, maka kemampuan dirinya pun akan optimal, akan tetapi jika otak kanan‐kiri tidak seimbang / tidak bisa bersatu maka seseorang dalam menjalani hidupnya akan dipenuhi berbagai prasangka. Jika keadaan seperti ini dibiarkan terus menerus, maka orang tersebut akan menyangka bahwa tidak ada hubungan dengan satu sama lain, saling mengalahkan untuk sukses. Akan sangat mirip dengan dunia binatang “survival of the fittest”.
“Tingkat kemampuan berfikir logis dan tingkat kemampuan “berperasaan” bervariasi antara individu (dan) manusia yang dapat mencapai keseimbangan antara keduanya akan berhasil hidup di dunia dan akhirat”,Prof.DR.Dr.H.M. Nurhalim Shahib (ahli Biokimia dan Biologi Molekuler dalam bukunya “Mengenal Allah dengan Mencerdaskan Otak Kanan”.
Oleh karena itu, kita harus selalu membiasakan otak kita untuk “belajar” agar bisa bekerja sama dengan baik antar otak kanan dan otak kiri. Untuk mencapai itu, kita telah diajarkan untuk mengembangkan diri, mau lebih berinteraksi antar satu sama lain.
*) sumber: Quantum Ikhlas: Erbe Sentanu.2007
34
DIMENSI DUA
• Sudut Bangun Datar
• Keliling Bangun Datar
• Luas Bangun Datar
• Transformasi Bangun Datar
Disusun oleh:
Muhammad Irfan, S.Si
2011
A. SUDUT BANGUN DATAR
Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis yang
bertemu pada satu titik. Besarnya sudut dinyatakan dengan
derajat atau radian.
Secara garis besar, sudut dibagi menjadi 3, yaitu:
a. Sudut siku – siku
b. Sudut tumpul
c. Sudut lancip.
Ukuran sudut dalam derajat yang lebih kecil dapat dinyatakan
dalam menit (‘) dan detik (“). 1 derajat = 60 menit.
Contoh:
Nyatakan ukuran sudut dibawah ini dalam derajat, menit, detik.
a. 34,30 b. 79,180
Penyelesaian:
a. 34,30 = 340 + 0,30 = 340 + 0,3 x 60’ = 340 18’.
b. 79,180 = 790 + 0,180
= 790 + 0,18 x 60’ = 790 + 10,8’
= 790 + 10’ + 0,8 x 60” = 790 10’ 48”.
35
r
O r
Contoh:
Ubahlah ukuran sudut 380 25’ 18” ke dalam derajat saja.
Penyelesaian:
380 25’18” = 38.
38 0,4 0,005 38,405
Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya
Pengukuran sudut berdasarkan ukuran radian didasarkan
anggapan bahwa: “satu radian = besarnya sudut pusat lingkaran
yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama
dengan jari jari.”
Perhatikan gambar berikut:
A
B
1 360 2
2 360
180
,
Contoh:
Diketahui ukuran sudut 30 . ubahlah ke dalam bentuk radian,
setelah itu, ubahlah kembali ke dalam bentuk derajat.
Penyelesaian:
3030
57,30,524 . 30.
180 6
616 180 30 . 0,524 57,3 30
Jika OA = OB = r, dan busur AB juga panjangnya r, maka
sebesar 1 radian.
1 putaran lingkaran = 3600 dan keliling lingkaran = 2
Maka berlaku rumus perbandingan pada lingkaran
36
LATIHAN
1. Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam derajat, menit, dan
detik:
a. 39,9 . 45,7
b. 130,8 . 185,42
2. Ubahlah ukuran sudut di bawah ini menjadi derajat saja:
a. 39 6 9 . 45 16 39
b. 139 16 19 . 145 56 59
3. Ubahlah ukuran derajat ini ke radian:
a. 15 . 23,7
b. 315 . 225
4. Ubahlah ukuran radian ini ke derajat:
a. 2,3 radian
b. 0,5 radian
5. Tentukan jenis sudutnya, apakah tumpul, lancip, atau siku –
siku:
a. 123 d. 220 12’ 54”
b.
c. 1
B. KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR
1. PERSEGI
A B
D C
Sifat – Sifat:
• Memiliki 4 sumbu simetri
• Keempat sudutnya siku – siku
• Kedua diagonalnya sama panjang dan saling
berpotongan tegak lurus di tengah – tengahnya
• Keempat sisinya sama panjang
2. PERSEGI PANJANG
A B
D C
• Sisi yang berhadapan sama panjang
• Keempat sudutnya siku siku
• Kedua diagonalnya sama panjang
• Memiliki dua sumbu simetri
Luas persegi = s x s
Keliling persegi = 4s
37
Contoh:
Panjang suatu persegi panjang 2 lebihnya dari lebarnya. Jika
luas persegi panjang 48 cm2, tentukan kelilingnya.
Penyelesaian:
Misalkan : lebar = x, dan panjang = x+2
Maka L = p.l = (x+2).x
48 = x2 + 2x
0 = x2 + 2x – 48
0 = (x + 8) (x – 6)
X = ‐8 (tidak memenuhi)
X = 6.
Lebar = 6cm, dan panjang = 8cm. Sehingga
keliling = 2(p+l) = 28cm.
3. SEGITIGA
Jenis jenis segitiga: A
a. Segitiga sama kaki
b. Segitiga sama sisi
c. Segitiga siku – siku b t c
d. Segitiga lancip
e. Segitiga tumpul C a B
Luas segitiga sembarang jika diketahui panjang sisinya
adalah a, b, dan c:
Dengan,
Contoh:
Tentukan luas segitiga jika diketahui tinggi segitiga 6cm
dan alasnya 7cm.
Penyelesaian:
38
Contoh:
Tentukan luas segitiga jika diketahui sisi sisinya adalah
13cm, 13cm, dan 10cm.
Penyelesaian:
12
12 13 13 10 18
L s s a s b s c
L 18 18 13 18 13 18 10
L √18.8.5.5 60 cm
Untuk segitiga sama sisi, didapat dari aturan sinus.
√ .
4. JAJAR GENJANG
A B
t
D C
Sifat – sifat:
• Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar
• Sudut yang berhadapan sama besar
• Memiliki dua diagonal yang saling membagi dua sama
panjang.
5. BELAH KETUPAT
A
D d1 B
d2
C
Sifat – sifat:
• Keempat sisinya sama panjang
• Sudut – sudut yang berhadapan sama besar
• Memiliki dua diagonal yang saling membagi dua sama
panjang
• Kedua diagonalnya berpotongan dan saling tegak
lurus.
.
39
6. LAYANG – LAYANG
7. TRAPESIUM
a. Trapesium sembarang hanya memiliki sepasang sisi yang
sejajar.
b. Trapesium siku – siku adalah trapezium yang mempunyai
sudut siku – siku.
c. Trapesium sama kaki mempunyai sifat:
• Mempunyai satu pasang sisi sejajar,
• Mempunyai satu pasang sisi sama panjang,
• Mempunyai dua pasang sudut yang sama besar.
8. LINGKARAN
Keterangan:
• O adalah pusat lingkaran
• OA=OB adalah jari – jari lingkaran (r).
• AB adalah diameter (d).
• Garis lengkung CD adalah busur lingkaran.
• CD adalah tali busur lingkaran
• Arsiran POQ adalah juring lingkaran
• Arsiran CSD adalah tembereng lingkaran
• OS adalah apotema.
;
.
.
.
Sifat – sifat:
• Sisi yang berdekatan sama panjang
• Kedua diagonalnya berpotongan saling tegak lurus
40
C. TRANSFORMASI BANGUN DATAR
1. TRANLASI
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di
kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat
yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke
baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari.
Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.
• Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat
berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri
dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−22
• Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan.
Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke
kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−12
• Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada
koordinat Cartesius. Dengan translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−22
, diketahui tempat
duduknya inggu ini pada titik N ’(a‐2,b+2). Kalian dapat
menuliskan translasi ini sebagai berikut
( ) ( )2,2', 22
+−⎯⎯→⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
baNbaN
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ba
T1 maka diperoleh bayangannya ( )byaxP ++ ,' . Secara
matematis, ditulis sebagai berikut.
( ) ( )byaxPyxP ba
T++⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
,, '1
Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh
dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dc
T2
Didapat, ( ) ( )dbycaxPbyaxP dc
T++++⎯⎯ →⎯++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
,, ''' 2
Perhatikan bahwa,
( ) ( ) ( )( )dbycaxPdbycaxP ++++=++++ ,, ''''
41
Ini berarti ( )dbycaxP ++++ ,'' diperoleh dengan
mentranslasikan ( )yxP , dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=dbca
T Translasi T ini
merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis
sebagai 21 TT o
Oleh karena ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ba
T1 dan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dc
T2 maka ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=dbca
TT 21 o
Akibatnya, titik ( )yxP , ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan
dengan translasi T2 menghasilkan bayangan ''P sebagai berikut
( ) ( )dbycaxPyxP dbca
TT++++⎯⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
,, ''21o
Sifat:
• Dua buah translasi berturut‐turut ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ba
diteruskan dengan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dc
dapat digantikan dengan translasi tunggal ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
dbca
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
Contoh:
1. Translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
qp
T1 memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)
a. Tentukan translasi tersebut !
b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut
A(1, 2), B(3, 4), dan C(�5, 6) oleh translasi tersebut.
c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b
ditranslasikan lagi dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=11
2T Tentukan
bayangannya!
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1.
Samakah jawabannya dengan jawaban c?
Penyelesaian
a. ( ) ( ) ( )6,42,12,1 1'1
AqpAA qp
T=++⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3
2+q = 6 sehingga q = 4
Jadi translasi tersebut adalah ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
43
1T
42
b. translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
43
1T artinya artinya memindahkan suatu titik 3
satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan
titiktitik A', B', dan C'�dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian
memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )10,2'46,35'6,5
8,6'44,33'4,3
6,4'42,31'2,1
43
43
43
1
1
1
−=++−⎯⎯ →⎯−
=++⎯⎯ →⎯
=++⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
CCC
BBB
AAA
T
T
T
Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik
A'(4,6), B'(6,8), dan C'(‐2,10)
c. ( ) ( ) ( )( ) ( )5,3''16,14''6,4' 11
2
AAAT
=−+−+⎯⎯ →⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )9,3''110,12''6,4'
7,5''18,16''8,6'
11
11
2
2
−=−+−+−⎯⎯ →⎯
=−+−+⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
AAA
BAA
T
T
Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan
titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(‐3,9)
d. translasi titik ( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+
=32
1413
21 TT o
( ) ( ) ( )5,3'32,21'2,1 32
AAA =++⎯→⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( ) ( )7,5'34,23'4,3 32
BBB =++⎯→⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( ) ( )9,3'36,25'6,5 32
−=++−⎯→⎯−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
CCC
Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik
A'(3,5), B'(5,7) dan C'(‐3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang
kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang
kalian peroleh pada jawaban d.
2. Tentukan bayangan lingkaran (x‐3)2 + (y+1)2 = 4 jika
ditranslasikan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
25
T !
Jawab
Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x‐3)2 + (y+1)2 = 4
sehingga diperoleh (a‐3)2 + (b+1)2 = 4
Translasikan titik P dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
25
T sehingga diperoleh
( ) ( )2,5'', 25
+−⎯⎯→⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
baPbaP
43
Jadi titik P'(a‐5, b+2)
Perhatikan bahwa: a'= a ‐ 5. Dari persamaan (*), didapat a =
a'�+ 5.
b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b =
b' ‐ 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan
Diperoleh (a'�+ 5‐3)2 + (b' ‐ 2+1)2 = 4
(a'�+ 2)2 + (b' ‐ 1)2 = 4
Jadi bayangan dari (a'�+ 5‐3)2 + (b' ‐ 2+1)2 = 4 jika
ditranslasikan dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
25
T adalah (a'�+ 2)2 + (b' ‐ 1)2 = 4
1. REFLEKSI
Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan
bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama?
Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak
bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab
pertanyaan‐pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan
beberapa sifat pencerminan.
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak
setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang
menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku‐
siku.
Sifat‐sifat tersebut merupakan sifat‐sifat refleksi.
Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri
Refleksi Rumus Matriks
Refleksi
terhadap
( ) ( )yxAyxA xsb −⎯⎯→⎯ ,', .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
44
sumbu‐x
Refleksi
terhadap
sumbu‐y
( ) ( )yxAyxA ysb ,', . −⎯⎯→⎯ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
Refleksi
terhadap
garis y=x
( ) ( )xyAyxA xy ,', ⎯⎯→⎯ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
0110
''
Refleksi
terhadap
garis y=‐x
( ) ( )xyAyxA xy −⎯⎯ →⎯ −= ,', ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
0110
''
Refleksi
terhadap
garis x=k
( ) ( xkAyxA kx ,2', −⎯⎯→⎯ =
Refleksi
terhadap
garis y=k
( ) ( kxAyxA ky −⎯⎯→⎯ = 2,',
Refleksi
terhadap
titik (p,q)
( ) ( ) ( )','', , yxAyxA qp⎯⎯ →⎯
Sama dengan rotasi pusat
(p,q) sejauh 180˚
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°°°−°
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
qypx
180cos180sin180sin180cos
''
Refleksi
terhadap
( ) ( ) ( yxAyxA −−⎯⎯→⎯ ,', 0,0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
titik
pusat
(0,0)
Refleksi
terhadap
garis
y=mx,m=
tan α
( ) ( )
αα
co2sin's2cos'
','',
yxyyxxdenganyxAyxA mxy
−=+=
⎯⎯ →⎯ =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
αααα2cos2sin
2sin2cos''
Refleksi
terhadap
garis
y=x+k
( ) ( )
kxykyxdengan
yxAyxA kxy
+=−=
⎯⎯ →⎯ +=
''
','',
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kky
xyx 0
0110
''
Refleksi
terhadap
garis y=‐
x+k
( ) (
kxykyxdengan
yxAyxA kxy
+−=+−=
⎯⎯⎯ →⎯ +−=
''
,'',
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kky
xyx 0
0110
''
SIFAT‐SIFAT
a. Dua refleksi berturut‐turut terhadap sebuah garis merupakan
suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar,
menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
45
Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua
kali jarak kedua sumbu pencerminan.
Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari
sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua
sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling
tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah
lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu
pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak
lures bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang
berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang
bersifat:
Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat
perputaran.
Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut
antara kedua sumbu pencerminan.
Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama
ke sumbu kedua.
2. ROTASI
Rotasi Rumus Matriks
Rotasi
dengan
pusat (0,0)
dan sudut
putar α
( ) ( ) ( )
αααα
α
cossin'sincos'','', ,0
yxyyxxdengan
yxAyxA R
+=−=
⎯⎯ →⎯ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
αααα
cossinsincos
''
Rotasi
dengan
pusat
P(a,b) dan
sudut
putar α
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αα
αα
α
cossin'sincos'
','', ,
byaxbybyaxaxdengan
yxAyxA PR
−+−=−−−−=−
⎯⎯ →⎯ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ba
byax
yx
αααα
cossinsincos
''
Keterangan
α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam
α ‐ : arah putaran searah putaran jarum jam
SIFAT‐SIFAT
Dua rotasi bertumt‐turut mempakan rotasi lagi dengan sudut
putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada
suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
46
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi)
dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama
dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi
jenis ini disebut transformasi isometri.
3. DILATASI
Aini dan teman‐temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka
mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat
terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat
terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk
seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi
diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi
diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan
foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan
diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor
dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil,
misalnya k.
• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Dilatasi Rumus Matriks
Dilatasi
dengan
pusat (0,0)
dan factor
dilatasi k
( ) [ ] ( )kykxAyxA k ,', ,0⎯⎯→⎯ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
kk
yx
00
''
Dilatasi
dengan
pusat
P(a,b) dan
faktor
dilatasi k
( ) [ ] ( )( )( )bykby
axkaxdenganyxAyxA kP
−=−−=−
⎯⎯→⎯
''
','', ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ba
byax
kk
yx
00
''
4. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS
Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri
Transformasi Rumus Matriks
Identitas ( ) ( )yxAyxA ,', 1⎯→⎯ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
Translasi ( ) ( qypxAyxA q
p
++⎯⎯→⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
,',
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛qp
yx
yx''
47
Refleksi
terhadap
sumbu‐x
( ) ( )yxAyxA xsb −⎯⎯→⎯ ,', . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
Refleksi
terhadap
sumbu‐y
( ) ( )yxAyxA ysb ,', . −⎯⎯→⎯ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
Refleksi
terhadap garis
y=x
( ) ( )xyAyxA xy ,', ⎯⎯→⎯ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
0110
''
Refleksi
terhadap garis
y=‐x
( ) ( )xyAyxA xy −⎯⎯ →⎯ −= ,', ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
0110
''
Refleksi
terhadap garis
x=k
( ) ( )yxkAyxA kx ,2', −⎯⎯→⎯ =
Refleksi
terhadap garis
y=k
( ) ( )ykxAyxA ky −⎯⎯→⎯ = 2,',
Refleksi
terhadap titik
(p,q)
( ) ( ) ( )','', , yxAyxA qp⎯⎯ →⎯
Sama dengan rotasi pusat
(p,q) sejauh 180˚
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°°°−°
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
qypx
qypx
180cos180sin180sin180cos
''
Refleksi
terhadap titik
pusat (0,0)
( ) ( ) ( )yxAyxA −−⎯⎯→⎯ ,', 0,0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
1001
''
Refleksi
terhadap garis
y=mx,m=tan α
( ) ( )
αααα
2cos2sin'2sin2cos'
','',
yxyyxxdenganyxAyxA mxy
−=+=
⎯⎯ →⎯ =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
αααα2cos2sin
2sin2cos''
Refleksi
terhadap garis
y=x+k
( ) ( )
kxykyxdengan
yxAyxA kxy
+=−=
⎯⎯ →⎯ +=
''
','',
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kky
xyx 0
0110
''
Refleksi
terhadap garis
y=‐x+k
( ) ( )
kxykyxdengan
yxAyxA kxy
+−=+−=
⎯⎯⎯ →⎯ +−=
''
','',
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kky
xyx 0
0110
''
Rotasi dengan
pusat (0,0)
dan sudut
putar α
( ) ( ) ( )
αααα
α
cossin'sincos'','', ,0
yxyyxxdengan
yxAyxA R
+=−=
⎯⎯ →⎯⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
αααα
cossinsincos
''
Rotasi dengan
pusat P(a,b)
dan sudut
putar α
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αα
αα
α
cossin'sincos'
','', ,
byaxbybyaxax
yxAyxA PR
−+−=−−−−=−
⎯⎯ →⎯ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ba
byax
yx
αααα
cossinsincos
''
Dilatasi
dengan pusat
( ) [ ] ( )kykxAyxA k ,', ,0⎯⎯→⎯ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
kk
yx
00
''
48
(0,0) dan
factor dilatasi
k
Dilatasi
dengan pusat
P(a,b) dan
faktor dilatasi
k
( ) [ ] ( )( )( )bykby
axkaxdenganyxAyxA kP
−=−−=−
⎯⎯→⎯
''
','', ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ba
byax
kk
yx
00
''
Komposisi transformasi
1. komposisi dua translasi berurutan
Diketahui dua translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ba
T1 dan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dc
T2 . Jika translasi 1T
dilanjutkan translasi 2T maka dinotasikan ” 21 TT o ” dan translasi
tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).
2. komposisi dua refleksi berurutan
a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan
terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah ( )','' yxA
yaitu:
x'=2(b‐a)+x
y'=y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan
terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah ( )','' yxA
yaitu:
x'=x
y'=2(b‐a)+y
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan
terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka
bayangan akhir A adalah ( )','' yxA sama dengan rotasi titik
A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut
putar 180˚
c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan
terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah ( )','' yxA
dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar
2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis
g ke h.
49
Catatan
kgarisgradienmlgarisgradienm
mmmm
k
l
lk
lk
==
⋅+−
=1
tanα
d. sifat komposisi refleksi
Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak
komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x
dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak
lurus).
3. rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka
transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi
R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan
R1
4. komposisi transformasi
Diketahui transformasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
srqp
Tdandcba
T 21 maka
transformasi tunggal dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 � T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 � T2) adalah T=T1 . T2
Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih
Contoh: Tentukan bayangan garis ‐4x+y=5 oleh pencerminan
terhadap garis y=x dilanjutkan translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛23
!
Jawab: misal titik P(x,y) pada garis ‐4x+y=5
P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya
P'(y,x)
P'(y,x) ditranslasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛23
. Bayangannya P''(y+3,
x+2)=P''(x'',y'')
Jadi x'' = y +3 → y = x''‐3
y'' = x +2 → x = y'' ‐2
persamaan ‐4x+y=5 → ‐4(y'' ‐2) + (x'' ‐ 3) = 5
‐4y'' + 8 + x'' – 3 = 5
x'' ‐ 4y''= 0
jadi bayangan akhirnya adalah x ‐ 4y= 0
50
6. luas bangun hasil tranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain‐lain)
ditransformasikan maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi :
translasi, refleksi, dan rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi
dilatasi, yaitu jika luas bangun mula‐mula L setelah
didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya
adalah L'=k2 +L
LATIHAN
1. Tentukan bayangan titik A(‐2,8) oleh
a) Translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 32
a) Refleksi terhadap garis x = ‐6
b) Refleksi terhadap garis y = x
c) Refleksi terhadap garis y = 4
d) Refleksi terhadap garis y = ‐x
2. Diketahui garis k : 2x + 3y = 2
Tentukan persamaan bayangan garis k oleh :
a) Translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−3
2
b) Refleksi terhadap garis y = ‐4
c) Refleksi terhadap garis x + y = 0
Soal Olimpiade 2010
Diketahui panjang sisi persegi diatas adalah 14. Tentukan luas yang diarsir.
51
Referensi:
Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen.
Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional
Drs. Sukirman,M.Pd.2006.Logika dan Himpunan.Yogyakarta:Hanggar
Kreator
DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika
SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan Nasional
Drs. Markaban,M.Si.2004.Logika MatematikaDiklat
Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang
Dasar.Yogyakarta:PPPG Matematika
Hamdy Taha. (1996). Riset Operasi. Jilid satu. Jakarta: Binarupa Aksara
To’ali. (2008). Matematika X SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi.
Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional
Penulis
Nama : Muhammad Irfan, S.Si TTL : Sleman, 13 September 1988 Alamat : Jln. Kaliurang Km.12,5 Karangasem Sukoharjo
Ngaglik Sleman Yogyakarta No. HP : 085228380303 Email : [email protected] Riwayat Pendidikan
No. Nama Instansi Tahun Jurusan 1 TK ABA Losari 1993 2 SDN Seloharjo 1994 3 SLTP N 2 Ngaglik 2000 4 SMA N 2 Ngaglik 2003 IPA 5 Universitas Negeri Yogyakarta 2006 Pend. Matematika 6 AndiIT School 2009 Photoshop & 3D
Riwayat organisasi (2007 – 2011)
No. Nama Organisasi Tahun Jabatan 1 Padmakanda 2008-2010 Koord. Diklat 2 Padmakanda 2010 - 2011 Wakil Ketua 3 HIMATIKA UNY 2007 Staf Bid. Pendidikan dan
Penalaran4 HIMATIKA UNY 2008 Direktur Teknologi
Indormasi dan Multimedia 5 HIMATIKA UNY 2009 Dewan Pertimbangan
Organisasi 6 BEM FMIPA UNY 2008 KaDiv. IT KOMINFO 7 BEM REMA UNY 2009 Dirjen IT KOMINFO
52
TRANSLASI, DILATASI, ROTASI
01. EBT-SMP-95-28 Koordinat bayangan titik P (–3, 1) jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah … A. (11, 1) B. (5, 1) C. (–3, 7) D. (–12, 4)
02. EBT-SMP-96-19 Bayangan koordinat titik (–5, 9) jika dicerminkan terhadap garis x = 7 adalah … A. (–5, 5) B. (–5, 23) C. (12, 9) D. (19, 9)
03. EBT-SMP-92-18 Koordinat titik P (–5, 16) jika dicerminkan terhadap garis x = 9, maka koordinat bayangannya adalah … A. P’(23, 16) B. P’(13, 16) C. P’(–5, 34) D. P’(–5, 2)
04. EBT-SMA-98-23 Bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah … A. (1 , 6) B. (1, 10) C. (4, 3) D. (10, 3) E. (3, 9)
05. EBT-SMA-92-37 Koordinat bayangan dari titik A(–1,6) yang dicerminkan terhadap garis x = 1 dilanjutkan terhadap garis x = 4 adalah … A. (1 , 12) B. (5 , 6) C. (5 , 10) D. (6 , 5) E. (12 , –1)
06. EBT-SMA-88-23 Pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan pencermin an terhadap garis x = 5 maka bayangan titik (3,2) adalah A. ( 2 , 3 ) B. ( 3 , 6 ) C. ( 7 , 2 ) D. ( 7 , 6 ) E. ( 6 , 2 )
07. EBT-SMP-97-38 Titik A (–2, 3) dicerminkan pada garis x = 2, bayangan-nya A’. A’ dicerminkan pada garis y = –3, bayangannya A”. a. Buatlah gambar titik A beserta bayangan-bayangan-nya. b. Tentukan koordinat A’ dan A”
08. EBT-SMP-03-25 Titik B (–8, 13) dicerminkan terhadap garis x = 16, kemudian dilanjutkan dengan
translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−59
. Koordinat bayangan titik B adalah …
A. (31, 18) B. (81, 8) C. (–17, 21) D. (1, 14)
53
09. EBT-SMP-99-25
Titik A (–1, 4) dicerminkan terhadap sumbu x dan dilanjutkan dengan translasi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−52
.
Koordinat bayangan dari titik A adalah … A. (3,1) B. (–3, –1) C. (3, –1) D. (–3, 1)
10. EBT-SMP-98-21 Titik A (–3, 5) dicerminkan terhadap garis y = 7, kemudian hasilnya ditranslasikan
dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛32
. Koordinat bayangan akhir titik A adalah …
A. (5, 12) B. (–5,12) C. (–1, 12) D. (1, 12)
11. EBT-SMP-01-24 Diketahui persegi panjang PQRS dengan koordinat titik P (–5, –1), Q (3, –1) dan R
(3, 8). Bayangan S pada translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
32
adalah …
A. {–7, 11} B. {–7, 5} C. {–3, 11} D. {–3, 5}
12. EBT-SMP-94-25
Koordinat bayangan titik P (–2, 6) oleh translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
23
dilanjutkan dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−12
adalah … A. (7, 9) B. (7, 3)
C. (–3, 9) D. (–3, 3)
13. EBT-SMP-96-20
Bayangan koordinat titik A (5, –2) pada translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 23
yang dilanjutkan dengan
translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−35
adalah …
A. A’ (7, –3) B. A’ (2, 0) C. A’ (10, –5) D. A’ (2, –1)
14. EBT-SMP-95-29
Koordinat bayangan titik (3, 4) pada translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛91
dilanjutkan dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−21
adalah
… A. (4, 8) B. (4, 7) C. (3, 9) D. (2, 6)
15. EBT-SMP-00-26
Koordinat titik B (a, –7) jika ditranslasi oleh ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛34
kemudian dilanjutkan dengan
translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−25
menghasil-kan bayangan B’ (–4, b). Nilai a dan b adalah …
A. a = 5 dan b = 2 B. a = –3 dan b = –2 C. a = –8 dan b = –5 D. a = –6 dan b = 4
16. EBT-SMP-94-31 Bayangan titik P (–2, 6) oleh dilatasi (O, –1) adalah …
54
A. P’ (2, –8) B. P’ (–3, 5) C. P’ (–2, 5) D. P’ (2, 7)
17. EBT-SMP-95-35 Dari gambar di samping. OP’ = k OP. Nilai k adalah … A.
34 P
B. 43 P’
C. 31 O
D. 41
18. EBT-SMP-92-31
Koordinat titik P’ (–6, 9) diperoleh dari titik P (2, –3) dengan perkalian/dilatasi (O, k). Nilai k adalah … A. –3
B. 31−
C. 31
D. 3
19. EBT-SMP-93-41 Bayangan titik P pada dilatasi (O, –3) adalah (–12, 15), maka koordinat titik P adalah … A. (–4,5) B. (4, –5) C. (36, –45) D. (–36, 45)
20. EBT-SMP-98-22
Hasil dilatasi ∆ PQR dengan
pusat Q dan faktor skala 21− , A
kemudian direfleksikan P terhadap garis FG adalah … A. ∆ GQF D B. ∆ GBF R C. ∆ AFR F Q D. ∆ PGC B G E C
21. EBT-SMP-97-20 Koordinat titik P (4, 2), Q (9, 4) dan R (6, 8) merupakan titik-titik sudut PQR. Koordinat bayangan ketiga titik tersebut oleh dilatasi (O, 2) berturut-turut adalah … A. (0, 4), (0, 8) dan (0, 16) B. (4, 4), (9, 8) dan (6, 16) C. (6, 4), (11, 6) dan (8, 10) D. (8, 4), (18, 8) dan (12, 16)
22. EBT-SMP-02-24 Sebuah persegi panjang PQRS dengan P (3, 4), Q (3, –4). Dan R (–2, –4) didilatasi dengan pusat O (0, 0) dengan faktor skala 3. Luas persegi panjang setelah dilatasi adalah … A. 40 satuan luas B. 120 satuan luas C. 240 satuan luas D. 360 satuan luas
23. EBT-SMP-03-26 Titik (6, –9) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3, kemudian
bayangannya di translasi dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1810
. Koordinat bayangan P adalah …
A. (–7, 30) B. (7, 6) C. (–8, 15)
55
D. (8, –9)
MATRIKS
24. EBT-SMA-93-03 Diketahui matriks
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
513241652
C , 745
557
B , 2414322
A -
----
-r-q--p
-qr--
ap
Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah … A. 2 , – 3 dan 2 B. 2 , – 3 dan -2 C. 2 , – 4 dan 2 D. 2 , – 3 dan 2 E. 2 , – 4 dan 2
25. EBT-SMA-87-11
Nilai c dari persamaan matriks : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ab
a
c
a
b
322
233
25
adalah …
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10
26. EBT-SMA-87-12
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 10
015213
23427
q p maka p dan q berturut-turut adalah …
A. 2 dan 13 B. –2 dan 13 C. 2 dan –13 D. 7 dan 13
E. –7 dan 13 27. MA-86-09
Jika 3 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛srqp
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− sp1
6 + ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+3
4sr
qp maka harga p, q, r dan s adalah …
A. p = 2 , q = 3 , r = 4 , s = 1 B. p = 2 , q = 4 , r = –1 , s =3 C. p = 2 , q = –4 , r = 1 , s =-3 D. p = 2 , q = –4 , r = –1 , s =3 E. p = 2 , q = 4 , r = 1 , s =3
28. MA-84-02
Jika : 2⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
21211
+ 3404
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+ k213
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= 234
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
maka k adalah …
A. –4 B. –2 C. 2 D. 3 E. 4
29. MD-00-28
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+
7208
23204 2
x
yx maka x + y …
A. 4
15−
B. 4
15
C. 49−
D. 49
E. 421
56
30. MD-99-24
Diketahui persamaan
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 12217
561
2
52
z
yx
Nilai z = … A. –2 B. 3 C. 0 D. 6 E. 30
31. MD-86-15
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− yxy
x2
2 =
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛8246
y, maka nilai y adalah
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8
32.MA-04-05
Oleh matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
112
aaa
A , titik P (1, 2) dan titik Q masing-masing
ditransformasikan ke titik P′(2, 3) dan titik Q′(2, 0). Koordinat titik Q adalah … A. (1, –1) B. (–1, 1) C. (1, 1) D. (–1, –1) E. (1, 0)
33. MD-95-16
Nilai x yang memenuhi persamaan ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
4
3
2
12log
log1loglog z
yzyx
adalah …
A. √3 B. 3 C. √2 D. –3 E. 0
34. MD-89-21
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1log1log
14log22loglog
b a
) (b-)a- ( a x
maka x = ...
A. 6 B. 10 C. 1 D. 106 E. 4
35. MD-99-29
Diketahui A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +xxx
355
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −47
9 x
Jika determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah … A. 3 atau 4 B. –3 atau 4 C. 3 atau –4 D. –4 atau 5 E. 3 atau –5
57
36. MD-97-25
Nilai t yang memenuhi det 0 1432
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
t
t
adalah … (1) –2 (2) 2 (3) 5 (4) 1
37. MD-90-06 Jika 2x + 3y – 3 = 0
4x – y + 7 = 0
dan y =
1432−
a maka a = …
A. –26 B. –19 C. –2 D. 2 E. 26
38. MD-89-24
Jumlah akar-akar persamaan ) (x)(x+
)x-(
22212+
= 0 adalah ...
A. –321
B. –21
C. 0 D.
21
E. 321
39. MD-89-27
Nilai λ 1 dan λ2 untuk λ agar matriks λ
λ
3
4 1 +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ tidak mempunyai invers memenuhi
... A. | λ1 | + | λ2 | = 5 B. | λ1 + λ2 | = 1 C. λ1 λ2 = 6 D. λ1 dan λ2 berlawanan tanda
40. MD-87-21 Bila persamaan garis lurus dinyatakan oleh
ayx
32111
1 = 0 mempunyai gradien 2, maka a = …
A. 0 B. 1 C. –1 D. 2 E.
21
41. MD-85-12
Nilai determinan
0 2 3
2 0 4
3 4 0
−
− −
sama dengan …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
58
42. MD-04-21
Jika matriks :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
524132
aa
aA
Tidak mempunyai invers, maka nilai a adalah … A. –2 atau 2 B. –√2 atau √2 C. –1 atau 1 D. 2 E. 2√2
43. MD-87-22
Persamaan x xx - x
2sinsin2coscos
= 12
, dipenuhi oleh x =
A. 2π
B. 3π
C. 6π
D. 9π
E. 18π
44. MD-04-18
Jika matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
101 pa
A dan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
1021 b
A , maka nilai b adalah …
A. –1 B. –
21
C. 0 D.
21
E. 1
45. MD-99-25
Jika A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3152
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1145
maka
determinan (A . B ) –1 = … A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3
46. MD-98-24 At adalah transpose dari A,
Jika C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
8224
B , 72
71
71
74
, A = C – 1
Maka determinan dari matriks At B adalah … A. –196 B. –188 C. 188 D. 196 E. 212
47. MD-01-24
Jika matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3241
, maka nilai x yang memenuhi persamaan | A – x I | = 0
dengan I matriks satuan dan | A – x I | determinan dari A – x I adalah ... A. 1 dan –5 B. –1 dan –5 C. –1 dan 5 D. –5 dan 0 E. 1 dan 0
59
48. MD-84-14
Diketahui matriks A = 1 24 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ dan I =
1 00 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan | A – x I | = 0 jika | A – x I | determinan dari matriks A – x I A. –1 atau 0 B. 5 atau 0 C. 1 atau 5 D. –1 atau 5 E. –1 atau –5
49. MD-92-19
Matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ baaaa-b tidak mempunyai invers bila …
A. a dan b sembarang B. a ≠ 0 , b ≠ 0 dan a = b C. a ≠ 0 , b ≠ 0 dan a = - b D. a = 0 dan b sembarang E. b = 0 dan a sembarang
50. MD-98-28
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
42
31
uuuu
dan un adalah suku ke-n barisan aritmetik. Jika u6 =
18 dan u10 = 30 maka determinan matriks A sama dengan … A. –30 B. –18 C. –12 D. 12 E. 18
INVERS
51. MA-85-17
Jika b c ≠ 0, invers matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0cba
adalah …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−0
1c
babc
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0
1b
cabc
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− acb
bc01
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛acb
bc01
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛abc
bc01
52.. MD-87-18
Invers matriks A = 86
42
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ adalah …
A. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−41
43
211
B. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−41
43
211
C. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− 143
21
41
60
D. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
143
21
41
E. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
41
43
211
53. MD-92-18
Invers matriks
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
(a+b)(a-b)-
(a+b)(a-b)
21
21
21
21
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ baba
a-ba-b
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛a+ba+b-a+ba-b
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ba-a-b
-a+ba-b
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ baba
a-b-a+b
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ b-aba
a-ba+b
54. MD-83-13
Jika M N = matriks satuan dan N = 5 - 2
3 - 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ maka matriks M =…
A. - 5 3
- 2 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
B. 5 2
- 3 -1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
C. -1 2
- 3 5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
D. -1 - 2
3 5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
E. 1 2
- 3 - 5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
55. MD-82-12
Jika M . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2111
= matriks satuan , maka M = …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1211
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1121
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1112
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2111
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1121
56. MA-84-08
Jika M = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
21
21
21
21 22
maka inversnya yaitu M-1 adalah :…
A. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−21
21
21
21
2
2
B. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
21
21
21
21
2
2
61
C. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
12
12
2121
D. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− 12
12
21
21
E. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
12
12
2121
57. MD-82-29
Jika A = 2 34 5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ dan I = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
(1) A I = 2 34 5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
(2) I A =
(3) I I = I (4) A A = A
58. MD-85-13
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 2334
maka matriks B yang memenuhi A B = I dengan I
matriks satuan ialah …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
4332
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 4332
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 2334
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−4332
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−2334
59. MD-03-21
Jika X adalah invers dari matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2223
, maka X2 adalah matriks …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−3222
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2223
C. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
41
21
21
32
22
D. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
22
23
21
21
41
E. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−21
4121
23
22
60. MD-91-19
Diberikan matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −aaaa
. Himpunan nilai a yang memenuhi hubungan
invers A = A transpose adalah … A. {–√2 , √2} B. { 1 , –1 }
C. (21 √2 , –
21 √2 }
D. { 21 , –
21 }
E. (41 √2 , –
41 √2 }
3 25 4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
62
61. MA-90-04
Jika ad ≠ bc, dan dari sistem persamaan ⎩⎨⎧
+ dy'y = cxby'x = ax' +
' dapat dihitung menjadi
⎩⎨⎧
syy' = rx + = px + qyx'
, maka ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛tmhg
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dcba
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛srqp
= …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−gmht
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−tm
hg
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ghmt
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛tmhg
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−
tmhg
62. EBT-SMA-98-04
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 2326
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−130
51k
dan C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5332
. Nilai k yang
memenuhi A + B = C-1 (C-1 invers matriks C) adalah … A. 1 B.
31
C. 32
D. 1 E. 3
PERKALIAN
63. EBT-SMA-86-02 Bila matriks A berordo 3 × 2 dan matriks B berordo 2 × 1 maka matriks perkalian AB mempunyai ordo … A. 3 × 2 B. 2 × 1 C. 2 × 3 D. 1 × 3 E. 3 × 1
64. MD-86-16
Jika diketahui matriks A = 32⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B =
1 34 3−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ yang benar di antara hubungan
berikut adalah … A. A B = 3A B. A B = 3B C. B A = 3A D. B A = 3B E. 3B A = A
65. MA-79-49
Diketahui matriks P = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zwv
fdb
eca
u = Qdan
Diantara operasi-operasi di bawah ini, mana saja yang dapat dikerjakan ? (1) P × Q (2) P + Q
63
(3) 5 Q (4) Q × P
66. MA-94-10
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
51620
1214
2545
yx
maka …
A. y = 3x B. y = 2x C. y = x
D. y = 3x
E. y = 2x
67. MD-81-44
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2002
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛8765
. Pernyataan di bawah ini mana yang
benar ? (1) A2 = 2A (2) A . B = B . A (3) A . B = 2B (4) B . A . B = 2B2
68. MD-00-26 Hasil kali matriks (B A) (B + A-1) B–1 = … A. A B + 1 B. B A + 1 C. A + B–1 D. A–1 + B E. AB + A
69. MD-84-32 Diketahui matriks A dan B berordo sama, 2 × 2
Berapakah (A + B)2 ? (1) A2 + 2AB + B2 (2) A2 + AB + AB + B2 (3) AA + 2AB + BB (4) A(A + B) + B (A + B)
70. MD-96-15
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛207151
721
314
ba
a- .
a maka b = …
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
71. MD-02-06 Harga x yang memenuhi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −1130
4213
2611
8623
24 x
adalah … A. 0 B. 10 C. 13 D. 14 E. 25
72. MD-87-23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
123412
354
31
acc
-
-
b-
-bd-
maka a = … A. –2
B. –34
64
C. 32
D. 2
E. –32
73. EBT-SMA-01-02
Diketahui ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1112
3412
2354
3241
qp
Maka nilai p+ q = … A. –3 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3
74. MD-03-20 Jika x dan y memenuhi persamaan matriks
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−14
21
2311
yx
maka x + y = … A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8
75. EBT-SMA-95-23
Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡01-21 dan T2 bersesuaian dengan
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡01-21 . Matriks yang bersesuaian dengan T1 o T2 adalah …
A. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡47-61-
B. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 43-141-
C. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −43141
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4761-
E. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −41431-
76. MD-96-21 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−54
2132
yx
. adalah …
A. (1, –2) B. (–1,2) C. (–1, –2) D. (1,2) E. (2,1)
77. MD-94-28
Persamaan matriks : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −43
2332
yx
merupakan persamaan garis-garis lurus
yang … (1) berpotongan di titik (1,1) (2) melalui titik pangkal sistem koordinat (3) berimpit (4) saling tegak lurus
78. MD-93-27
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2413
6451
yx
, maka x dan y berturut-turut …
65
A. 3 dan 2 B. 3 dan –2 C. –3 dan –2 D. 4 dan 5 E. 5 dan –6
79. MD-01-03
Persamaan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 1
55432
yx
merupakan persamaan dua garis lurus yang
berpotongan di titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama dengan ... A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
80. MD-87-16
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−23
6441 -
yx
, maka …
A. x = 1 dan y = –1 B. x = –1 dan y = 1 C. x = –2 dan y = 1 D. x = 2 dan y = –1 E. x = 1 dan y = 1
81. MD-83-12
Pasangan (x , y) yang di dapat dari : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛129
2313
yx
ialah …
A. (3 , 1) B. (1 , 3) C. (2 , 3) D. (3 , 2) E. (1 , 1)
82. EBT-SMA-88-12
Jika ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
maka , 1810-
2-16-1
= …
A. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
737
B. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4-32
C. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
14-
D. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2-18-
E. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
18-2-
83. MA-85-02
Diketahui A = 1 53 5−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , B = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
, C = −−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
42
Apabila A . B = C, maka nilai x dan y
berturut-turut adalah …
A. –2
13 dan 21
B. –23 dan -
21
C. 23 dan –
213
D. –23
dan 21
E. 2
13 dan 21
84. EBT-SMA-03-09
Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5
231
62yx
adalah …
66
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9
85. EBT-SMA-92-03 Matriks X berordo 2 × 2 yang memenuhi persamaan
( )4231
X = ( )810-47-
adalah ……
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
0241
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−0124
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1042
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0241
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−0120
86. EBT-SMA-91-03
Diketahui persamaan matriks ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=19
1210 X
21-32
dengan X adalah matriks bujur
sangkar ordo 2. Matriks X = …
A. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4231-
B. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2441-
C. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2431
D. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2431-
E. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21/9-45
87. EBT-SMA-90-05
Diketahui matrks : A = ( )1 -12 3 , B = ( )-7 -3
11 14 x = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛cbda
dan A . X = B . Nilai d pada
matriks x tersebut adalah … A. –3 B. –2 C. 2 D. 3 E. 4
88. EBT-SMA-89-10
Perkalian dua matriks ordo 2 × 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2182
M = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2142
maka matriks M adalah ……
A. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0021
B. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0012
C. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0031
67
D. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2112
E. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1001
89. MA-89-02
Jika 1 23 4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ . A =
0 11 0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , maka 2A sama dengan …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−3442
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
23
21
21
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−3142
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−6284
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2142
90. MA-79-39
Matriks X berordo 2 × 2 yang memenuhi 1 23 4
32 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ X =
4 , adalah matriks …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0110
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−5465
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
21
21 1
12
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−4556
91. EBT-SMA-87-13
Matriks A berordo 2 × 2 . Jika 87
114 A
1321
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= maka A adalah matriks …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5121
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5211
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5152
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1512
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2115
92. MD-91-20
Jika P . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5432
9876
maka P = …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1223
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1223
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3221
68
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2132
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1223
93. MD-98-25
Diketahui matriks 0123
B , 1
1 A ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=y
x dan
2-1-
01 C ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= . Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB – 2B = C adalah …
A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 E. 10
94. MD-95-28
Diketahui : A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4321
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−4556
.
(A . B) –1 = …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1234
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−4231
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−211
21
21
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
211
21
21
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
211
21
21
95. MD-02-02
Jika A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4331
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3122
, maka
(A B)–1 AT = …
A. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
42
41
42
43
B. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
42
41
42
43
C. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
82
81
82
83
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2123
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2123
96. MD-01-23
A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−spqpp
21
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ts
01 dan C = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1011
. Jika A + B = C2 maka q + 2t
= ... A. –3 B. –2 C. –1 D. 0 E. 1
97. MD-93-13
Matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +ca
ba1 , B = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
dca 01
dan
69
C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1101
. Jika A + Bt = C2 , dengan Bt tranpose dari B, maka d = …
A. –1 B. –2 C. 0 D. 1 E. 2
98. MD-90-15
Jika C adalah hasil kali matriks A dengan matriks B yakni C = A B dan C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛181976
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2134
maka A adalah …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3241
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4231
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3421
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4321
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2431
99. MD-90-21
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx 0110
= 5 merupakan persamaan …
A. lingkaran B. elips C. parabol D. hiperbol
E. dua garis berpotongan
100. MD-88-14
Matrik A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛cb
a324
dan B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛71232
b+aa+bc-
Supaya dipenuhi A = 2Bt , dengan Bt menyatakan transpos matrik B maka nilai c = … A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10
101. MD-87-20 Jika α , β dan γ sudut-sudut segitiga ABC dan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
01 cossin
cossin sin - cos
sin cos
cossin 21 γγ
ββββ
ββαα
maka γ = … A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 1200
102. MD-86-33
Dengan matriks 10
01
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ untuk mentranformasikan titik P(2, 3) bayangannya P′ (2, 3)
SEBAB 10
01
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
23⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =
23⎛⎝⎜⎞⎠⎟
103. MD-81-17
70
Si A berbelanja di toko P: 3 kg gula @ Rp. 400,00, 10 kg beras @ Rp. 350,00 dan di toko Q : 2 kg gula @ Rp. 425,00, 5 kg beras @ Rp. 325,00. Pengeluaran belanja di toko P dan di toko Q dapat ditulis dalam bentuk matriks ...
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛325425350400
52103
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛325350425400
52103
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛325350425400
51023
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛325350425400
51023
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛425400325350
51023
104. EBT-SMA-97-13
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3412
. Nilai k yang memenuhi
k det AT = det A–1 (det = determinan) adalah … A. 2 B. 1
41
C. 1
D. 21
E. 41
105. EBT-SMA-96-02
Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1012
dan I = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
. Matriks (A – kI) adalah matriks
singular untuk k = ... A. 1 atau 2 B. 1 atau –2 C. –1 atau 2
D. –1 atau –2 E. –1 atau 1
UAN-SMA-04-12
Diketahui matriks S = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3002
dan M = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 3021
.
Jika fungsi f (S, M) = S2 – M2, maka matriks F (S + M, S – M) adalah …
A. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 404204
B. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 304204
C. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−38484
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 404204
E. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−364
84
106. EBT-SMA-00-07
Diketahui ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=104
126B,
2132
A dan
A2 = xA + yB. Nilai x y = … A. –4 B. –1 C. –
21
D. 121
E. 2
107. EBT-SMA-99-07
71
Diketahui matrik A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1532
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−3241
,
C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+1836
232 n. Nilai n yang memenuhi
A × B = C + At (At tranpose matriks A) adalah …
A. –631
B. –232
C. 32
D. 2 E. 2
32
108. EBT-SMA-90-04
Diketahui matriks A = ( )2 -13 4 dan B = ( )1 2
-2 1
A2. B = …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−498
413
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−498
413
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−238
413
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
161824
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22192
109. EBT-SMA-95-04
Diketahui matriks A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡221-1 dan B =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡401-1 , X adalah matriks bujur sangkar
ordo dua. Jika X A = B , maka X adalah matriks …
A. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
B. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡12-01
C. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1201
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1-201
E. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2-1-
01
110. EBT-SMA-03-40
Jika x dan y memenuhi persamaan:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
55
41
loglog3loglog2
22
22
xyyx , maka x . y = …
A. 41 √2
B. 21 √2
C. √2 D. 2√2 E. 4√2
111. MA-87-10
Bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai per-kalian matriks (x 1) A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1x
,
A adalah matriks …
(1) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛a
c0
1
(2) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛cba
0
(3) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ab
c 0
72
(4) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛cb
a 0
112. EBT-SMA-01-34
Bayangan segitiga ABC dengan A(2, 1), B(5, 2) dan C(5,4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (O, 90o) adalah … A. A′(–1, –2), B′(–2,-6) dan C′(–4, –5) B. A′(2,1), B′(2,6) dan C′(3,5) C. A′(1, –2), B′(2, –6) dan C′(4, –5) D. A′(–2, –1), B′(–6, –2) dan C′(–5, –4) E. A′(2,1), , B′(6,2) dan C′(5,4)
113. EBT-SMP-02-23 Bayangan sebuah titik M (6, -8) dirotasikan dengan pusat O sejauh 90o adalah M’. Koordinat M’ adalah … A. (–8, –6) B. (–8, 6) C. (8, –6) D. (8, 6)
114. EBT-SMP-99-26 Segi tiga ABC dengan koordinat A (–4, 1), B (–1, 2) dan C (–2, 4) dirotasikan dengan pusat O sebesar 90o. Koordinat titik sudut bayangan ∆ ABC adalah … A. A’ (1, 4), B’ (2, 1), C’ (4, 2) B. A’ (4, 1), B’ (1, 2), C’ (2, 4) C. A’ (–4, –1), B’ (–1, –2), C’ (–2, –4) D. A’ (–1, –4), B’ (–2, –1), C’ (–4, –2)
115. EBT-SMP-01-25 Titik-titik K (–2, 6), L (3, 4) dan M (1, –3) adalah segi tiga yang mengalami rotasi berpusat di O (0, 0) sejauh 180o, Bayangan K, L dan M berturut-turut adalah … A. K’ (6, –2), L (4, 3) dan M (–3, 1) B. K’ (–6, 2), L (–4, 3) dan M (3, –1) C. K’ (–2, –6), L (3, –4) dan M (1, 3) D. K’ (2, –6), L (–3, –3) dan M (–1, 3)
116. MA-88-08
Diketahui suatu transformasi T dinyatakan oleh matrik 0 11 0−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ maka transformasi T
adalah … A. pencerminan terhadap sumbu x B. pencerminan terhadap sumbu y
C. perputaran 21 π
D. perputaran –21 π
E. pencerminan terhadap garis y = x
117. EBT-SMP-93-32 Koordinat titik (3, –4) dicerminkan dengan garis y = x, koordinat bayangan titik A adalah … A. (–4, –3) B. (4, –3) C. (–3, 4) D. (–4, 3)
118. EBT-SMP-03-24
Titik A (5, –3) di translasi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 710
, kemudian dilanjutkan dengan rotasi yang pusatnya
O dengan besar putaran 90o berlawanan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik A adalah … A. (10, –15) B. (–10, –15) C. (10, 15) D. (–10, 15)
119. EBT-SMA-90-30 Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi yang ber kaitan dengan matriks
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2132
dilanjutkan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4321
adalah …
73
A. 13x – 5y + 4 = 0 B. 13x – 5y – 4 = 0 C. –5x + 4y + 2 = 0 D. –5x + 4y – 2 = 0 E. 13x – 4y + 2 = 0
120. EBT-SMA-88-13 Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−10
01
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0110
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −0110
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−0110
121. EBT-SMA-98-24
Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dan
dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1021
.
Persamaan bayangannya adalah … A. x – 2y + 4 = 0 B. x + 2y + 4 = 0 C. x + 4y + 4 = 0 D. y + 4 = 0 E. x + 4 = 0
122. EBT-SMA-94-22 Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasi-kan dengan transformasi yang
berkaitan dengan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
5231 . Persamaan bayangan garis itu adalah ……
A. 3x + 2y – 3 = 0 B. 3x – 2y – 3 = 0 C. 3x + 2y + 3 = 0
– x + y + 3 = 0 D. x – y + 3 = 0
123. EBT-SMA-03-35 Persamaan peta garis 3x – 4y = 12 karena refleksi terhadap garis y – x = 0,
dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1153
adalah …
A. y + 11x + 24 = 0 B. y – 11x – 10 = 0 C. y – 11x + 6 = 0 D. 11y – x + 24 = 0 E. 11y – x – 24 = 0
124. EBT-SMA-02-36 Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … A. y = x + 1 B. y = x – 1 C. y =
21 x – 1
D. y = 21 x + 1
E. y = 21 x –
21
125. EBT-SMA-00-38
Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +90o, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah … A. x + 2y + 4 = 0 B. x + 2y – 4 = 0
74
C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x – y – 4 = 0 E. 2x + y – 4 = 0
126. EBT-SMA-99-37 Garis y = –3x + 1 diputar dengan R(0, 90o), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah … A. 3y = x + 1 B. 3y = x – 1 C. 3y = –x – 1 D. y = –x – 1 E. y = 3x – 1
127. EBT-SMA-91-37 Garis yang persamaanya y = 2x + √2 dirotasikan sejauh 450 dengan pusat O(0,0). Garis yang terjadi persamaan-nya adalah …… A. y + 3x + 2 = 0 B. y – 3x + 2 = 0 C. y + 2x – 3 = 0 D. y + x – 2 = 0 E. 3y + x + 4 = 0
UAN-SMA-04-35 Persamaan peta kurva y = x2 – 3x + 2 karena pencermin an terhadap sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah … A. 3y + x2 – 9x + 18 = 0 B. 3y – x2 + 9x + 18 = 0 C. 3y – x2 + 9x + 18 = 0 D. 3y + x2 + 9x + 18 = 0 E. y + x2 + 9x – 18 = 0
128. EBT-SMA-91-38 M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0. R ada-lah pemutaran sejauh 900 searah jarum jam dengan pusat O(0,0). Matriks transformasi yang bersesuaian dengan (R o M) adalah …
A. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1001
B. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1-001
C. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1001-
D. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
01-1-0
E. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
011-0
129. EBT-SMA-02-40
Diketahui segitiga ABC panjang sisi-sisinya 4, 5 dan 6 satuan terletak pada bidang α.
T adalah transformasi pada bidang α yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
4341 . Luas
bayangan segitiga ABC oleh transformasi T adalah …
A. 165 √7 satuan luas
B. 45 √7 satuan luas
C. 10√7 satuan luas D. 15√7 satuan luas E. 30 √7satuan luas
130. EBT-SMA-97-09 Titik (4, –8) dicerminkan terhadap garis x = 6, dilanjutkan dengan rotasi (O, 60o). Hasilnya adalah … A. (–4 + 4√3, 4 – 4√3) B. (–4 + 4√3, –4 – 4√3) C. (4 + 4√3, 4 – 4√3) D. (4 – 4√3, –4 – 4√3) E. (4 + 4√3, –4 + 4√3)
75
131. EBT-SMA-01-35 Persegi panjang PQRS dengan titik P(1, 0), Q(–1, 0),
R(–1, 1) dan S(1, 1). Karena dilatasi [0, 3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 2π .
Luas bayangan bangun tersebut adalah … A. 2 satuan luas B. 6 satuan luas C. 9 satuan luas D. 18 satuan luas E. 20 satuan luas
132. EBT-SMA-96-23 Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan jari-jari 4. Diputar dengan R(0,90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah … A. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 B. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 C. x2 + y2 + 6x – 6y – 3 = 0 D. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 E. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0
133. EBT-SMA-93-32 Persamaan bayangan dari lingkaran
x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛01-10
adalah …… A. x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 B. x2 + y2 – 6x – 4y + 3 = 0 C. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 D. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 E. x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0
134. EBT-SMA-92-38 Diketahui T1 dan T2 berturut-turut adalah transformasi yang bersesuaian dengan
matriks T1 = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0220
dan
T2 = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1011
. Koordinat bayangan titik P(6, –4) karena transformasi pertama
dilanjutkan dengan transformasi kedua adalah … A. (–8 , 4) B. (4 , –12) C. (4 , 12) D. (20 , 8) E. (20 , 12)
135. EBT-SMA-89-26
Lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛011-0
dan
dilanjutkan oleh matriks ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
maka persamaan bayangan lingkaran itu adalah …
A. x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 B. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0 C. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 D. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 E. x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0
137. EBT-SMA-86-46 Diketahui sistem persamaan : 2x + y = 12 3x – 2y = 25 Selesaikan persamaan itu dengan matriks. a. matriks koeffisien persamaan di atas adalah A = … b. determinan matriks A adalah … c. invers dari matriks A adalah … d. nilai x dan y dari persamaan di atas adalah …
UAN-SMA-04-34
T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o . T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = -x. Bila koordinat peta titik A oleh transfor-masi T1 o T2 adalah A’(8, –6), maka koordinat titik A adalah …
76
A. (–6, –8) B. (–6, 8) C. (6, 8) D. (8, 6) E. (10, 8)
136. MA-93-09
Vektor ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2
1 xxxr diputar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 900 dalam arah
berlawanan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x ,
menghasilkan vektor ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1 yyy
r Jika y A x
rr= , maka A = …
A. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0110
B. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−0110
C. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −0110
D. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
E. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−10
01
138. MD-00-25
Diketahui B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0213
, C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 6320
dan determinan dari matriks B . C adalah K.
Jika garis 2x – y = 5 dan
x + y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah … A. x – 12y + 25 = 0 B. y – 12x + 25 = 0 C. x + 12y + 11 = 0 D. y – 12x – 11 = 0 E. y – 12x + 11 = 0