MATEMATIKA nacionalni ispit za učenike drugoga razreda...
Transcript of MATEMATIKA nacionalni ispit za učenike drugoga razreda...
MATEMATIKA
nacionalni ispit za učenike drugoga razreda gimnazije u školskoj godini
2006./2007.
ispitni katalog za nastavnike
u siječnju 2007.
Struktura ispita Ispit traje 90 minuta i sastoji se od dvaju dijelova. Oba su dijela pismena. Tijekom rješavanja II. dijela ispita dopuštena je upotreba džepnoga računala.
Ispit sadrži tri vrste zadataka: zadatke višestrukoga izbora, zadatke kratkih odgovora i zadatke kratkih odgovora s potpitanjima.
Zadatci višestrukoga izbora nude četiri odgovora. Učenik zaokružuje slovo ispred točnoga odgovora.
Zadatci kratkih odgovora za rješavanje zahtijevaju nekoliko povezanih koraka koje učenik treba prikazati.
Zadatci kratkih odgovora s potpitanjima također zahtijevaju da učenik prikaže postupak rješavanja: sastoje se od više pitanja vezanih uz istu problemsku situaciju. Situacija može biti apstraktna ili iz svakodnevnoga života. Potpitanja ne moraju biti međusobno zavisna.
Detaljna struktura ispita prikazana je u tablici.
Trajanje Tip zadataka Broj zadataka
I. dio 30 minuta zadatci višestrukoga izbora 12 – 16
II. dio 60 minuta zadatci kratkih odgovora 4 – 8
Zadatci kratkih odgovora s potpitanjima 2 – 3
Način bodovanja i određivanje rezultata U I. dijelu (zadatci višestrukoga izbora) boduju se samo točni odgovori. Nema djelomičnoga (polovičnoga) bodovanja. Svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod, a neispravni odgovori ne donose negativne bodove. Učenici bilježe svoje odgovore na posebnome listu koji se potom obrađuje strojno.
U II. dijelu (zadatci kratkih odgovora i zadatci kratkih odgovora s potpitanjima) boduje se učenikovo postavljanje zadatka, prikazani postupak i točni odgovori. Učeničke uratke obrađuju uvježbani ocjenjivači po standardiziranoj shemi za ocjenjivanje.
Uspješnost učenika na ispitu određuje se tako da ostvareni bodovi prvoga dijela u ukupnom rezultatu sudjeluju s jednom trećinom, a ostvareni bodovi drugoga dijela s dvjema trećinama. (Ti su omjeri u skladu s predviđenim vremenom pisanja testa.) Ukupan se rezultat prikazuje kao postotak zaokružen na dvije decimale.
Primjerice: učenik koji na prvom dijelu postigne 8 od ukupno 14 bodova, a na drugom 20 od
ukupno 38 bodova postiže ukupan rezultat: 1 8 2 20 54.14%3 14 3 38⋅ + ⋅ =
Pribor Na nacionalnom ispitu iz Matematike učenici smiju koristiti pribor za pisanje i brisanje. Učenici smiju koristiti i geometrijski pribor (nije obavezan).
Upotreba džepnoga računala na I. dijelu ispita nije dopuštena, a na II. dijelu jest. Za potrebe nacionalnoga ispita iz Matematike za učenike 2. razreda gimnazija potrebno je džepno računalo s kojim je moguće određivati vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Udio sadržaja u strukturi nacionalnoga ispita za 2. razrede gimnazija 2006./2007.
Brojevi i algebra
10% Funkcije
30% Jednadžbe i nejednadžbe
30%
Geometrija 20%
Modeliranje 10%
• razlikovati skupove
, , ,N Z Q R (*) • elementarno računati
( , , , :+ − ⋅ korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati) (*)
• poznavati i koristiti znanstveni zapis realnog broja (*)
• koristiti postotke i omjere (*)
• zapisivati skupove realnih brojeva intervalima i prikazivati ih na brojevnom pravcu (*)
• provoditi operacije s potencijama i korijenima (*)
( )• znati formule za: ;
; ;
2a b±
( )3a b± 2 2a b− 3 3a b± i znati ih koristiti (*)
• znati računati s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima (*)
• iz zadane algebarske formule izraziti jednu
• poznavati pojam
funkcije i načine njezinoga zadavanja
• određivati i tablično prikazivati funkcijske vrijednosti
• poznavati linearnu funkciju i njezin graf (*)
• poznavati funkciju apsolutne vrijednosti (*)
• poznavati kvadratnu funkciju i njezin graf
• znati ulogu vodećega koeficijenta kvadratne funkcije
• poznavati pojam i značenje, te znati odrediti tjeme, diskriminantu i nul-točke kvadratne funkcije
• odrediti minimum/maksimum kvadratne funkcije
• određivati tijek kvadratne funkcije
• prepoznavati svojstva kvadratne funkcije
• rješavati linearne
jednadžbe i nejednadžbe i jednadžbe i nejednadžbe koje se na njih svode (*)
• rješavati i diskutirati kvadratnu jednadžbu
• poznavati pojam diskriminante kvadratne jednadžbe i njezin značaj
• poznavati i primjenjivati Vièteove formule
• prepoznati i rješavati jednadžbe koje se svode na kvadratne (bikvadratne i slične jednadžbe)
• odrediti kvadratnu jednadžbu iz zadanih uvjeta
• rješavati jednostavnije jednažbe s (*)
• rješavati sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi algebarski i
• znati elementarnu
geometriju trokuta, uključujući Pitagorin poučak i njegov obrat (*)
• znati elemente kružnice i kruga (*)
• razlikovati mnogokute i znati njihova svojstva (*)
• odrediti mjere ravninskih likova (duljina, opseg, površina) (*)
• poznavati trigonometriju pravokutnoga trokuta
• koristiti džepno računalo za određivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta i obrnuto
• primjenjivati trigonometriju pravokutnoga trokuta u planimetriji
• koristiti koordinatni sustav na pravcu i u ravnini (očitati koordinate točaka u koordinatnom sustavu)
• prikazivati kompleksne brojeve u Gaussovoj ravnini
• geometrijski interpretirati apsolutnu vrijednost
Rješavati zadatke koji se svode na primjenu kvadratne jednadžbe, kvadratne funkcije ili trigonometrije pravokutnoga trokuta koristeći • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz
veličinu pomoću drugih (*) • poznavati skup
kompleksnih brojeva i kompleksne brojeve zapisane u standardnom obliku
C
• poznavati pojam konjugirano kompleksnoga broja i njegova svojstva
• poznavati pojam apsolutne vrijednosti (modula) kompleksnoga broja
• računati (+, −, ⋅ , :) u skupu C
• znati cjelobrojne potencije broja i
• koristiti džepno računalo za računske operacije
• računati s jedinicama za duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac (*)
zadane u nekom od oblika
20 0
2
1 2
( ) ( )
( )( ) ( )( )
f x a x x y
f x ax bx cf x a x x x x
= − +
= + += − −
• iz zadanih svojstava, elemenata ili grafa moći odrediti kvadratnu funkciju i obrnuto
grafički • rješavati kvadratne
nejednadžbe • rješavati sustave
kvadratnih nejednadžbi • grafički prikaz
interpretirati jednadžbama, nejednadžbama i sustavima
(modul) kompleksnog broja
NAPOMENA: U ispitu će se provjeravati usvojenost sadržaja dijela gradiva drugog razreda gimnazija (cjeline: Skup kompleksnih brojeva,
Kvadratna jednadžba, Polinom drugoga stupnja i njegov graf, Trigonometrija pravokutnoga trokuta), ali se pretpostavlja usvojenost
sadržaja gradiva osnovne škole i prvoga razreda gimnazije. Ti su sadržaji označeni (*).
Nacionalni ispit iz Matematike – I. dio (ogledni primjerak)
Svoje odgovore upišite u poseban list za odgovore. Vrijeme rješavanja: 30 minuta. 1.
Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnog broja 5 2i+ je: A. 7B. 5C. 29 D. 21
2. Ako je jedno rješenje jednadžbe jednako 2, tada je m jednako:
0123 2 =−+ mxx
A. 4
11
B. 25
C. 4
11−
D. 25
−
3. Funkcija ima: 2( ) 3f x x= +
A. nula nultočaka B. jednu nultočku
C. dvije nultočke
D. tri nultočke
4.
4 cm
3 cm5 cm
α
U pravokutnom trokutu sa slike, sinα jednak je:
A. 34
B. 35
C. 43
D. 45
5.
Koja od ovih jednadžbi ima rješenja 1 2x = − i 2 3x = ?
A. 2 6 0x x+ + =B. 2 6 0x x− + =C. 2 6 0x x+ − =D. 2 6 0x x− − =
6.
U kompleksnoj ravnini zadan je broj z. Broj 1z
jednak je:
0 1
1
Im z
Re z
z
A. 3 25 5
i+
B. 3 25 5
i− −
C. 3 213 13
i− +
D. 3 213 13
i−
7.
Jednadžba ima samo jedno rješenje ako je: 22 3x x k− + = 0
A. 6 4 0k− =B. 6 8 0k+ =C. 9 4 0k+ =D. 9 8 0k− =
8.
Na kojoj je slici prikazan graf funkcije 2( )f x x x= − − ?
A.
0
1
1
y
x
B.
0
1
1
y
x
C.
0
1
1
y
x
D.
0
1
1
y
x
9.
Skup , 1 3,−∞ − ∪ +∞ je rješenje nejednadžbe:
A. 2( 1)( 3) 0x x− + >B. 2( 1)( 3) 0x x+ − >C. 2( 1)( 3) 0x x− − + >D. 2( 1)( 3) 0x x− + − >
10.
U pravokutnom trokutu sa slike je b = 10 cm, a za kut α vrijedi 24 7 24sin , cos , tg25 25 7
α α α= = = . Kateta a jednaka je:
a
b
α
A. 24025
cm
B. 7250
cm
C. 2407
cm
D. 7240
cm
11.
Na slici su grafovi funkcije i funkcije g. Funkcija
g zadana je sa:
2( ) 2( 1) 3f x x= − +
0
1
1
y=g (x)
y=f (x)y
x
A. 2( ) 2( 1) 3g x x= − − +B. 2( ) 2( 1) 3g x x= − + −C. 2( ) 2( 1) 3g x x= + +D. 2( ) 2( 1) 3g x x= − −
12.
Ako je z a bi= + kompleksan broj koji nije 0, a njemu konjugiran
broj, tada je :
_z
_z z⋅
A. imaginaran broj B. pozitivan realan broj C. negativan realan broj D. 0
13.
Putanja lopte opisana je funkcijom 21 2 1100 5
h x x= − + + , gdje je h
visina lopte iznad zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima. Visina najvišeg položaja lopte iznad zemlje je:
A. 4.5 m B. 5 m C. 9 m D. 10 m
14. Za graf funkcije 2( )f x ax bx c= + + sa slike vrijedi:
0 x
y
A. a pozitivno c pozitivno diskriminanta pozitivna
B. a negativno c 0 diskriminanta 0
C. a negativno c negativno diskriminanta 0
D. a pozitivno c 0 diskriminanta negativna
Nacionalni ispit iz Matematike – II. dio (ogledni primjerak) Za rješavanje koristite predviđeni prostor uz svaki zadatak. Prikažite čitav postupak rješavanja.
Vrijeme rješavanja: 60 minuta.
1. Izračunajte . 2007 2(1 )i+
Rješenje: Odgovor: __________________
3 boda
2. Riješite jednadžbu . 22 5 12x x+ − = 0Rješenje:
Odgovor: __________________
3 boda
3. Odredite najmanji kut pravokutnoga trokuta kojemu su katete 12 cm i 17 cm. Rješenje: Odgovor: _____°_____'_____''
3 boda
4. Opseg pravokutnika je 15 cm, a površina mu je 14 cm2. Odredite duljine njegovih stranica. Rješenje:
Odgovor: Duljine stranica pravokutnika su _____ cm i _____ cm.
4 boda
5. Izračunajte nultočke funkcije Odredite koordinate tjemena 2( ) 2 6 2.5.f x x x= − +
njezinoga grafa, te nacrtajte graf. Rješenje:
0 1
1
y
x
Odgovor: Nultočke:____________ Tjeme: ______________
6 bodova
6. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije 2( )f x ax bx c= + + čiji je graf prikazan
na slici.
y
x0-2 1
1
Rješenje: Odgovor: a = _____, b = _____, c = _____.
5 bodova
7. Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni dijelovi različiti od 0. Rješenje: Odgovor: ________________________
3 boda
8. NIZ BRDO, UZ BRDO Odmorišta A i B nalaze se na dvama susjednima brežuljcima. Put između njih prikazan je na slici:
27 m
20 m 16 m45°25'
68°
AB
Koliki put treba prijeći da bi se iz mjesta A stiglo do mjesta B? (Zaokružite konačan rezultat na cijeli broj metara). Rješenje: Odgovor:__________m
4 boda
9. DIJAGONALE
Ukupan broj dijagonala konveksnoga n-terokuta dan je formulom ( 3( )2
n nd n −=
) .
Za konveksne mnogokute odredite: a) ukupan broj dijagonala 10-erokuta
Rješenje: Odgovor: __________________
1 bod
b) n-terokut u kojem je ukupan broj dijagonala jednak 119, a zatim n-terokut u kojem je ukupan broj dijagonala jednak 185
3 boda
Rješenje: Odgovor: ______________________________ ______________________________ c) za koje je sve vrijednosti prirodnoga broja nbroj dijagonala konveksnoga 3 boda n-terokuta manji od 50. Rješenje: Odgovor: __________________