UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIKI FAKULTET

SEMINARSKI RADIZ METODIKE NASTAVE MATEMATIKE 2

TEMA: Prava u ravni i prostora (analitiki pristup)

Prof. Zoran Lui

Student:Gordana Vujai 201/99 Beograd, jun 2004.

'' Roena kao neminovna potreba svakodnevnog ivota, matematika je prola period kada je smatrana kao ista umjetnost, ili najsuptilnija vijeba uma (to je jo uvijek tano), da bi u dananje vrijeme zauzela vodee mjesto meu naukama, kao KRALJICA I SLUGA NAUKA'' E.T.Bell

2

SADRAJI Prava u ravni.......................................................................................................4Razni oblici jednaine prave..................................................................................4 Dvije prave.............................................................................................................9 Pramen pravih.......................................................................................................11 Rastojanje izmeu take i prave...........................................................................12 II Prava u prostoru...................................................................................14 Opta jednaina prave...........................................................................................14 Normalni oblik jednaine prave ..........................................................................16 Rastojanje date take od date prave......................................................................16 Ugao izmeu dvije prave......................................................................................17 Uslov normalnosti dveju pravih...........................................................................17 Uslov paralelnosti dveju pravih............................................................................18 Jednaina prave koja prolazi kroz datu taku.......................................................18 Rastojanje izmeu dvije paralelne prave..............................................................19 Presjek dveju pravih............................................................................................20 Jednaina prave kroz dvije take..........................................................................21

3

PRAVA U RAVNIRAZNI OBLICI JEDNAINE PRAVEPojam prave jedan je od osnovnih pojmova elementarne geometrije.U nekim zasnivanjima geometrije prava se uzima kao osnovni pojam(koji se ne definie),a u nekim se definie pomou pojmova ''taka'' i ''izmeu''.U ta pitanja se neemo uputati.Polazimo od injenice da dvije(naravno razliite) take odreuju(definiu) jednu i samo jednu pravu,tj. da postoji jedna i samo jedna prava koja sadri dvije date take.Poloaj prave u ravni u odnosu na neki koordinatni sistem,recimo,pravougli Dekartov,moemo odrediti na razliite naine. Neka su A=( x1 , y1 ) i B=( x 2 , y 2 ) dvije date take u Dekartovom koordinatnom sistemu. Napomena:Umjesto da pisemo taka M koja ima koordinate(x,y),koristiemo oznaku M=(x,y). Kao sto smo ve rekli,tim takama potpuno je odreena prava AB. Izvedimo njenu jednainu. Neka je M=(x,y) proizvoljna taka prave AB.To znai da take M,A,B pripadaju jednoj pravoj liniji,pa je povrina trougla MAB jednaka 0,odakle sledix y 1

(1) tj. (2)

x1 x2

y1 1 y2 1

=0,

(y 1 -y 2 )x + (x 2 -x 1 )y + (x 1 y 2 -x 2 y 1 ) = 0.

Obrnuto,ako taka M=(x,y) zadovoljava jednainu (2),tj. (1),to znai da je povrina trougla MAB jednaka 0,pa take M,A,B pripadaju jednoj pravoj. Prema tome,(1),ili ekvivalentno (2),jeste jednaina prave koja je odreena takama A=(x 1 ,y 1 ) i B=(x 2 ,y 2 ). Ako u (2) stavimo (3) a=y 1 -y 2 , b=x 2 -x 1 , c=x 1 y 2 -x 2 y 1 ,

vidimo da jednaina prave ima oblik (4) ax + by + c = 0 ( a 2 +b 2 > 0),

gdje uslov a 2 +b 2 0 znai da brojevi a i b ne mogu istovremeno biti jednaki 0. Zaista, kada bi bilo a=b=0, imali bismo y 1 = y 2 , x 1 =x 2 , pa take A i B ne bi bile dvije razliite take. Oblik (4) naziva se opti oblik jednaine prave. Razmotrimo sada neke posebne sluajeve. Ako take A i B imaju jednake apscise, tj. ako je x 1 = x 2 , prava AB je paralelna y-osi.Njena jednaina se odmah dobija iz (2) i glasi (y 1 - y 2 )x + x 1 y 2 - x 1 y 1 = 0, tj. (y 1 - y 2 )x (y 1 - y 2 )x 1 = 0. Meutim, iz x 1 = x 2 sledi y 1 y 2 (jer bismo inae imali A=B), pa jednaina prave paralelne yosi glasi

4

x = x1. Neka je x 1 x 2 , tj. neka prava AB nije paralelna y-osi. Tada iz (2), posle dijeljenja sa x 2 - x 1 , dobijamo y =(y 2 - y 1 ) (x 2 - x 1 ) x + (x 2 y 1 - x 1 y 2 ) (x 2 - x 1 ) pa vidimo da u ovom sluaju jednaina prave ima oblik (5) y=kx + n, gdje je k=(y 2 -y 1 ) (x 2 -x 1 ), n=(x 2 y 1 -x 1 y 2 ) Neka je C=(x 2 , y 1 ).Tada je (vidjeti sl.1)

(x 2 -x 1 ).

(x 2 -x 1 ) . tg CAB=(y 2 - y 1 ) Prema tome,broj k koji se pojavljuje u jednaini (5) predstavlja tangens ugla koji prava AB zahvata sa x-osom i naziva se koeficijent pravca(ugaoni koeficijent) prave (5).Broj n odreuje presjek prave (5) sa y-osom,jer je (0,n) jedino reenje sistema jednaina y = kx + n x = 0 ; drugim rijeima,prava (5) sijee y-osu u taki (0,n). Dakle, jednaina proizvoljne prave linije ima oblik (6) x = p (p R) , ako je prava paralelna y-osi,odnosno (7) y = kx + n (k,n R) , ako prava nije paralelna y-osi. Primijetimo da je jednainom (7) obuhvaen sluaj kada je prava paralelna x-osi. Naime,tada je k = 0, i takva prava ima jednainu oblika y = n (n R). Oblici (6) i (7) nazivaju se eksplicitni oblici jednaine prave. Oni su,naravno obuhvaeni optim oblikom (4). Napomena: Mada u optem obliku jednaine prave uestvuju tri konstante a,b,c, kojima je ta prava odreena,to je samo prividno tako.Naime, kako ne mogu biti a i b istovremeno jednaki nuli uvijek moemo podijeliti jednainu (4) sa onim od brojeva a,b koji je razliit od nule,pa, zapravo,dobijamo dvije konstante koje uestvuju u jednaini prave. Na primjer, ako je b 0,tada iz (4) dobijamo y = -( a b)x (c b) , i to je eksplicitni oblik prave (k = a / b, n = c / b ) . Napomena 1: Kada je data jednaina prave u optem obliku ax + by +c = 0 , gdje su a i b razliiti od nule, njen grafik odmah dobijamo na sledei nain. Uvrstimo prvo y = 0, a zatim x = 0 u jednainu prave.Neposredno dobijamo x = - c/a, y = - c/b . Dakle, take (- c/a,0) i (0,-c/b) pripadaju pravoj.Pravu konstruiemo spajanjem ovih taaka. Do sada smo upoznali tri oblika jednaine prave.To su : (i) Jednaina prave kroz dvije take jednaina (2); (ii) Opti oblik jednaina (4);

5

(iii) Eksplicitni oblik jednaina (7),ili (6). Pomenimo jo da se u sluaju x 1 x 2 (tj. kada prava AB nije paralelna y-osi) jednaina (2) moe napisati u obliku y - y 1 =( y 2 - y 1 )/(x 2 - x 1 ) (x - x 1 ), (8) pa se i za oblik (8) kae da predstavlja jednainu prave kroz dvije take (x 1 ,y 1 ) , (x 2 ,y 2 ). Upoznaemo jo neke specijalne oblike jednaine prave. (iv) Segmentni oblik : Prava u ravni se moe odrediti raznim geometrijskim uslovima.Svaki od njih odreuje odgovarajui oblik jednaine prave.Prava je odreena zadavanjem presjenih taaka prave sa osama. To je oblik : (9) x/m + y/n = 1 ( m 0, n 0). Ako u (9) stavimo x = 0,dobijamo y = n, i obrnuto, ako u (9) stavimo y = 0,dobijamo x = m. Prava (9) dakle prolazi kroz take (0,n) i (m,0). (Vidjeti sliku 2).

Primjetimo da se svaka prava koja nije paralelna nijednoj od koordinatnih osa moe napisati u segmentnom obliku. Brojevi m i n odreuju odsjeke na x-osi, odnosno y-osi. Primjer: Svedimo jednainu prave 5x 3y + 15 = 0 na segmentni oblik. Podijelimo datu jednainu sa 5(-3) = - 15. Dobijamo : x / -3 + y / 5 = 1. Pravu konstruiemo tako to na x-osi odredimo taku -3, a na y-osi taku 5.Vidjeti sliku 3.

(v) Normalni oblik : Neka je data prava u segmentnom obliku (9) x/m + y/n = 1 koja sijee koordinatne ose u takama M =(m,0) i N =(0,n). Konstruiimo normalu iz koordinatnog poetka na datu pravu, koja je sijee u taki P i oznaimo sa p rastojanje od koordinatnog poetka do date prave (vidjeti sl.4).

6

Ako sa oznaimo ugao MOP,tada je cos = p/m , sin = p/n , tj. m = p/cos , n = p/sin ,pa jednaina (9) dobija oblik (10) xcos + ysin = p. Oblik (10) naziva se normalni oblik jednaine prave. Primijetimo da taj oblik sadri i specijalne sluajeve kada je data prava paralelna jednoj od koordinatnih osa. Za = 0 ili = , imamo cos = 1 , sin = 0 , i dobijamo jednainu x = p koja pretstavlja pravu paralelnu y-osi. S druge strane, za = /2 ili = 3 /2 imamo cos = 0, sin = 1, i dobijamo jednainu y = p koja pretstavlja pravu paralelnu x-osi. Pokaimo jo kako se opta jednaina prave (4) svodi na normalni oblik. Da bi jednaine (4) i (10) pretstavljale istu pravu,odgovarajui koeficijenti moraju biti proporcionalni ,tj. postoji 0, takvo da je

a = cos , b = sin , c = - p .Iz prve dvije jednaine,posle kvadriranja,dobijamo

2 ( a 2 + b 2 ) = cos 2 + sin 2 = 1 ,tj. (11)

2 = 1 / ( a 2 + b 2 ) .

Kako je p > 0 , mora biti c = - p , pa iz (11) dobijamo

= 1 / (-sgn c)

(a

2

+ b2 .

)

Dakle, jednaina (4) ima normalni oblik ( ax + by + c) / (-sgn c)(vi)

(a

2

+ b2 = 0 .

)

Jednaina prave kroz datu taku

Odredimo jednainu prave koja sadri taku A =(x 1 ,y 1 ). Neka je

7

(12)

y = kx + n zadovoljavaju

prava koja nije paralelna y-osi i koja sadri taku A.Koordinate ove take jednainu (12), pa je (13) y 1 = kx 1 + n ,

i oduzimanjem jednaine (13) od jednaine (12) dobijamo (14) y - y 1 = k( x - x 1 ) , i to je jednaina prave kroz taku (x 1 ,y 1 ) .Postoji beskonano mnogo takvih pravih ( k je proizvoljno ). Poznavanje koeficijenta pravca potpuno odreuje pravu kroz taku A . Formulom (14) nisu obuhvaene sve prave koje sadre taku (x 1 ,y 1 ).Zaista, prava x = x 1 , paralelna y-osi,nije obuhvaena tom formulom.(vii) Parametarski oblik jednaine prave Ponekad je korisno izraziti promijenljive x i y u funkciji neke promijenljive t.Promijenljivu t u tom sluaju nazivamo parametrom ,a jednaine kojima su zadate vrijednosti promijenljivih x i y u funkciji od t , parametarskim jednainama. (Slika 5).

Tako,na primjer,svaka prava kroz taku P =(p 1 ,p 2 ) u pravcu vektora v =(a,b),moe se pretstaviti pomou parametarskih jednaina (15) x = p 1 + at , y = p 2 + bt , gdje brojevi a i b zavise od ugla koji prava zaklapa sa x-osom.Promijenljive x i y mogu biti izraene i u funkciji dveju promijenljivih t 1 i t 2 . Tako prava koja sadri take P =(p 1 ,p 2 ) i Q =(q 1 ,q 2 ) (Slika 6) moe biti pretstavljena pomou parametarskih jednaina : (16) x = t 1 p 1 + t 2 p 2 , t 1 + t 2 = 1 y = t1q1 + t 2 q 2 .

8

Primijetimo da e taka X =(x 1 ,x 2 ) koja pripada dui PQ podijeliti tu du u odnosu t 1 : t 2 ,pa je stoga nazivamo sreditem masa t 1 u taki P, i t 2 u taki Q. Za t (0,1) taka X pripada dui PQ. (viii) Vektorska jednaina prave Prava l se moe jednoznano odrediti i uslovom da sadri taku P i da je normalna na vektor n .

Neka je O centar koordinatnog sistema.Tada taka X pripada pravoj l ako i samo ako je PX normalan na n , odnosno ako jePX * n = 0 . Koristei radijus vektore(vektore poloaja) ovih taaka dobijamo (17) r * n =p,gdje je p konstanta. Jednaina (17) se naziva vektorska jednaina prave. Naimo vezu izmeu vektorske jednaine i opte jednaine prave.Izaberimo ortonormiranu bazu(vektori su ortogonalni i jedinini) (e 1 ,e 2 ) u ravni i neka je tada

OP = p =(p 1 ,p 2 ), i n =(n 1 ,n 2 ). Jednaina (17) dobija oblik (17) x 1 n 1 +x 2 n 2 =p, odnosno dobijamo optu jednainu prave. Napomena 2: Da bismo dokazali da svaka algebarska jednaina prvog stepena Ax+By+C=0 u odnosu na ma koji Dekartov koordinatni sistem predstavlja pravu liniju,dovoljno je pokazati da se data jednaina moe svesti na linearne jednaine prethodnih oblika.

DVIJE PRAVEUzajamni poloaj pravih (1) a 1 x+b 1 y=c 1 , a 2 x+b 2 y=c 2 ispitujemo odreujui njihove zajednike take(ukoliko postoje).Dakle,reavamo sistem jednaina (2) a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 , i na osnovu toga zakljuujemo: 9

(i) Ako je

a1 a2

b1 b2

0 , sistem (2) ima samo jedno reenje.U tom sluaju,prave (1) se sijeku i

njihova presjena taka (x 0 ,y 0 ) je jedino reenje sistema (2),tj. c1 b1 a1 c1 a2 c2 c 2 b2 . (x 0 , y 0 )= , a1 b1 a1 b1 a b a 2 b2 2 2 a b1 c b1 Ako je 1 =0 i 1 0 , sistem (2) je protivrean,tj. prave (1) nemaju u tom a 2 b2 c 2 b2 sluaju zajednikih taaka.One su,dakle,paralelne. a1 b1 c1 b1 a c1 Ako je =0 i =0, tada je i 1 =0, jer iz prve dvije jednakosti a 2 b2 c 2 b2 a2 c2 sledi

(ii)

(iii)

a1 b1 c1 , pa jednaine (1) predstavljaju jednu istu pravu = = a 2 b2 c 2 liniju.Naravno,sistem (2) zadovoljavaju sve take te prave linije on ima beskonano mnogo reenja. a1 b1 Primijetimo da je =0, tj. a 1 b 2 =a 2 b 1 , uslov paralelnosti pravih (1). a 2 b2

Ako su prave date u eksplicitnom obliku: (3) y= k 1 x+n 1 , y= k 2 x+n 2 tada su one paralelne ako je k 1 = k 2 ,a sijeku se ako je . k 1 k 2 .Ako je k 1 = k 2 i n 1 =n 2 oigledno je rije o jednoj istoj pravoj (koja je takoe paralelna sama sebi) , pa je k 1 = k 2 uslov paralelnosti pravih (3). Neka su date prave (4) y= k 1 x+n 1 , y= k 2 x+n 2 koje se sijeku (tj. k 1 k 2 ).Odredimo uglove koje te prave zahvataju. Kao to znamo, k 1 =tg 1 , k 2 =tg 2 , gdje su 1 i 2 uglovi koje date prave zahvataju sa pozitivnim smjerom x-ose. Tada za otar ugao izmeu pravih (4) vai = 2 - 1 pa je (vidjeti sl. 8)

tg =tg( 2 - 1 )= odakle nalazimo

tg 2 tg 1 , 1 + tg 1tg 2

10

k 2 k1 . 1 + k1 k 2 Za ugao izmeu pravih (4) koji je susjedan uglu i suplementan je sa njim,vai tg =tg( - )=-tg , pa dobijamo k k2 (6) tg = 1 . 1 + k1 k 2 Prema tome,uglove izmeu pravih (4) odreujemo pomou formula (5) i (6). Uoimo neke specijalne sluajeve: Ako je k1 =k 2 ,prave (4) su,kao to znamo,paralelne. (i) To se uklapa sa formulom (5) iz koje, u tom sluaju,dobijamo =0. (ii) Lijeva strana jednakosti (5),odnosno (6), nije definisana kad je ,odnosno

(5) tg =

+ k (kZ), a desna za 1+k 1 k 2 =0 , pa treba oekivati da e 2 prave (4) pod uslovom 1+k 1 k 2 =0 biti normalne.To je zaistatako.Naime,ako su te prave normalne,tada je = ,tj. 2 1 = , 2 2 odakle je cos( 2 1 )=cos ,tj. 2 (7) cos 2 cos 1 +sin 2 sin 1 =0, ili posle dijeljenja sa cos 2 cos 1 (to je doputeno, jer im su prave napisane u obliku (4), (kZ)), predpostavlja se da ni 2 ,ni 1 nisu oblika 2k 2 1+tg 2 tg 1 =0 , tj. 1+k 1 k 2 =0. (8) , to Obrnuto, iz (8),posle mnoenja sa cos 2 cos 1 dobijamo (7),odakle je 2 1 =2k 2 znai da su prave (4) normalne.

, jednako

PRAMEN PRAVIHSkup svih pravih u ravni koje prolaze kroz fiksiranu (fiksnu) taku S=( x0 , y 0 ) naziva se pramen pravih. U ovom sluaju, kaemo da je u pitanju pramen konkurentnih pravih, tj. pramen pravih koje se seku u jednoj taki. Ako su prave paralelne, to je onda pramen paralelnih pravih.Kada govorimo o pramenu konkurentnih pravih, taka S naziva se centar pramena. Pramen pravih potpuno je odreen s centrom S=( x 0 , y 0 ). Zaista, bilo koja prava tog pramena, osim prave x= x 0 koja mu oigledno pripada, ima jednainu oblika: y- y 0 = k(x- x 0 ) Pramen pravih je takoe odreen dvijema pravama iz tog pramena. Te dvije prave se sijeku u taki S, pa centar pramena nalazimo kao presjek tih dveju pravih. Neka su (1) a1 x+ a 2 y+ c1 =0 , a 2 x+ b2 y+ c2 =0 dvije prave koje se sijeku u taki S=( x 0 , y 0 ). Pokaimo kako se moe doi do jednaine proizvoljne prave iz pramena definisanog tim pravama, bez odreivanja centra pramena. Posmatrajmo jednainu: (2) ( a1 x+ b1 y+ c1 )+ ( a 2 x+ b2 y+ c2 )=0, gdje su i proizvoljni realni brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli.11

Jednaina (2) ima oblik ax+by+c=0, pa stoga predstavlja pravu liniju. Dalje, kako se prave (1) sijeku u taki S=( x 0 , y 0 ), imamo :

a1 x 0 + b1 y 0 + c1 =0 i a 2 x 0 + b2 y 0 + c2 =0, pa je i : ( a1 x 0 + b1 y 0 + c1 )+ ( a 2 x 0 + b2 y 0 + c2 )=0 to znai da prava (2) za bilo koju vrijednost i (s tim to ne mogu oba broja istovremeno biti 0) sadri taku S, tj. pripada pramenu definisanom pravama (1). Specijalno, za 0, =0, ili =0, 0, dobijamo jednaine polaznih pravih (1). Svakoj drugoj pravoj liniji odgovara jedinstvena vrijednost kolinika = , pa se svaka prava pramena, osim druge prave (1), moe predstaviti u obliku: a1 x+ b1 y+ c1 + ( a 2 x+ b2 y+ c2 )=0. (3) Mada oblik (2) obuhvata sve prave pramena, uglavnom je podesnije sluiti se oblikom (3), kojim nije obuhvaena druga prava iz (1).

RASTOJANJE IZMEU TAKE I PRAVENeka su l1 i l 2 paralelne prave. Izraunajmo rastojanje itmeu njih. Moemo postupiti na sledei nain: neka je P fiksirana taka prave l1 . Konstruiimo iz take P normalu na pravu l 2 , a zatim odredimo presjek S te normale i prave l 2 . Rastojanje d izmeu pravih l1 i l 2 jednako je

PS . Meutim, sledei metod je jednostavniji. Napiimo jednaine pravih l1 i l 2 u normalnom obliku: xcos 1 +ysin 1 - p1 =0 i xcos 2 +ysin 2 - p 2 =0, gdje su p1 i p 2 rastojanja od koordinatnog poetka redom, do pravih l1 i l 2 . Razlikujemo dva sluaja: (i) Prave l1 i l 2 se nalaze sa raznih strana koordinatnog poetka. Tada je d= p1 + p 2 (vidjeti sl. 9).

(ii) Prave l1 i l 2 se nalaze sa istih strana koordinatnog poetka. Tada je d= p1 p 2 . (Vidjeti sl.10)

12

Izloeni metod se moe primijeniti i na problem odreivanja rastojanja izmeu date take M i prave l1 . Kroz taku M konstruiemo pravu l 2 paralelnu pravoj l1 i onda je rastojanje izmeu take M i prave l1 jedako rastojanju izmeu pravih l1 i l 2 . Izvedimo odgovarajuu formulu. Neka je M=( x 0 , y 0 ) i neka je prava l1 data u normalnom obliku: xcos +ysin -p=0 Bilo koja prava l 2 paralelna sa pravom l1 ima jednainu (1) xcos +ysin - p =0 Razlikujemo, kao i ranije, dva sluaja: Prave l1 i l 2 se nalaze sa iste strane koordinatnog poetka. Tada je (1) normalni oblik (i) prave l 2 i za njihovo rastojanje, tj. za rastojanje d izmeu take M i prave l1 dobijamo: (2) d= p p . Meutim, taka M pripada pravoj (1), pa je x 0 cos + y 0 sin - p =0, tj. p = x 0 cos + y 0 sin . Stoga (2) postaje: (3) d= x0 cos + y 0 sin p . (ii) Prave l1 i l 2 se nalaze sa raznih strana koordinatnog poetka. Tada nornalni oblik prave l 2 glasi: (4) -xcos -ysin -(- p )=0 pa za rastojanje izmeu l1 i l 2 , tj.za rastojanje d izmeu take M=( x 0 , y 0 ) i prave l1 vai: (5) d=- p +p.

Taka M pripada pravoj (4), pa je - x 0 cos - y 0 sin =- p , i (5) postaje: (6) d=- x 0 cos - y 0 sin +p. Prema tome, s obzirom da je, po prirodi stvari, d>0, iz (3) i (6) zakljuujemo da je rastojanje d od take M do prave xcos +ysin -p=0 dato sa: d= x0 cos + y 0 sin p , i to bez obzira na poloaj take M u odnosu na datu pravu. Ako je prava data u optem obliku (7) ax+by+c=0, tada, kao to znamo, njen normalni oblik glasi: ax + by + c =0, ( sgn c) a 2 + b 2 pa za rastojanje d od take M=( x 0 , y 0 ) do prave (7) imamo formulu

13

d=

ax0 + by 0 + c a2 + b2

.

PRAVA U PROSTORUOPTA JEDNAINA PRAVEPravu u prostoru uvodimo pomou vektora. Svaka jednaina (1) r a=b , gdje je r promijenljiv vektor, a a i b su stalni i normalni vektori, predstavlja pravu i obrnuto, svaka prava se predstavlja jednainom oblika (1). 1 Kroz proizvoljnu, ali fiksiranu taku O prostora konstruiimo vektore a , b i 2 ( a b ) i kroz a kraj poslednjeg vektora postavimo pravu l paralelno vektoru a . Vekor r koji zadovoljava jednainu (1) jeste vektor poloaja bilo koje take prave l. Znai, jedaina (1) predstavlja pravu 1 koja prolazi kroz taku iji je vektor poloaja vektor 2 ( a b ) i koja je paralelna vektoru a a (vidjeti sl.11).

Dokaimo sada obrnuto: Svaka prava se odreuje jednainom oblika (1). Uzmimo da je pravac neke prave l odreen vektorom a i neka ta prava lei u ravni S koja prolazi kroz fiksiranu taku b O i neka je rastojanje take O od prave fiksirana veliina p= , gdje je b intenzitet vektora b a r , u odnosu na fiksiranu taku O, bilo koje take koji stoji normalno na ravan S. Vektor poloaja prave l dat je onda jednainom oblika (1). Iz te jednaine sledi rasin =b, gdje je ugao b izmeu vektora r i a , i dalje je p=rsin = , gdje je p rastojanje take O od prave l (vidjeti a sl.12).

14

Dakle, prava l je odreena sa a i b i ima jednainu (1). Jednaina r a =0 (2) predstavlja jednainu prave, koja je paralelna vekoru a i prolazi kroz taku O. Sada emo jednainu (1) predstaviti pomou koordinata, tj. nai emo odgovarajue skalarne jednaine koje odgovaraju jednaini (1): Oznaimo sa ( a1 , a 2 , a 3 ), ( b1 , b2 , b3 ), (x,y,z) koordinate vektora a , b i r u odnosu na neki pravougli Dekartov koordinatni sistem. Jednainu (1) moemo tada zamijeniti sledeim skalarnim jednainama: a 3 y- a 2 z= b1

a1 z- a 3 x= b2 a 2 x- a1 x= b3 uz uslov a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 =00 a3 0 a1 a2 a1 =0. 0

(3)

Determinanta ovog sistema je a 3 a2

Moemo nai uvijek jedan minor drugog reda te determinante koji je razliit od nule. Ako bi svi takvi minori bili jednaki nuli, onda bi a bio nula vektor i naa prava ne bi bila odreena. Pretpostavimo da je npr. a1 0 0. a1 0 Elementi ove determinante drugog reda su koeficijenti uz y i z iz druge i tree jednaine. Sistem (3) moemo rijeiti po y i z, jer su jednaine tog sistema saglasne, a to se dokazuje postojanjem sledeeg uslova: a1 b2 0 b3 = a1 ( a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 )=0. a1 0 a3 a 2 b1 Drugi faktor na desnoj strani poslednje jednaine je jednak nuli, jer je a b =0. Prema tome, reenje sistema (3) moemo napisati u sledeem obliku: (4) y=mx+n z=px+q Prva jednaina sistema (4), posmatrana u odnosu na pravougli Dekartov koordinatni sistem OXYZ, predstavlja ravan S1 , koja je paralelna osi OZ (jer je koeficijent uz z jednak nuli). Ovu ravan moemo smatrati cilindrinom povrinom ije su generatrise paralelne osi OZ, a ija je

15

direktrisa prava s1 u ravni OXY, zadata jednainom y=mx+n. Pravu s1 zovemo trag ravni S1 u ravni OXY. Isto tako druga jednaina sistema (4) moe se protumaiti kao ravan S 2 , koja stoji normalno na ravan OXZ i prolazi kroz pravu s 2 . Jednaina traga s2 je jednaina z=px+q posmatrana samo u odnosu na ravan OXZ. Zato jednaine (4) predstavljaju jednainu prave l koja se dobija presjekom ravni S1 i S 2 koje stoje normalno na ravni OXY i OXZ i koje imaju tragove s1 i s2 u pomenutim koordinatnim ravnima. Opte jednaine neke prave l u skalarnom obliku moemo da odredimo pomou optih jednaina dveju ravni (5) Ai x+ Bi y+ C i z+ Di =0, ( i=1,2) iji prijesek daje tu pravu l.

NORMALNI OBLIK JEDNAINE PRAVE U VEKTORSKOM OBLIKUNeka je pravac neke prave l odreen jedininim vektorom n . Ako sa p= N oznaimo rastojanje neke fiksirane take O od prave, onda jednainu te prave moemo da napiemo u obliku (6) r n=N , jer je rsin = N =p. Sa smo oznaili ugao izmeu vektora r i n . Da bismo optu jednainu (1) doveli na normalan oblik, potrebno je da tu jednainu podijelimo sa a : (7)r

a b = . a a

Zaista,

b a je jedinini vektor sa kojim je prava paralelna i to je vektor n . Modul vektora je a a

b b i N su istog pravca i smjera. , a to je N . Vektori a a

RASTOJANJE DATE TAKE OD DATE PRAVENeka je data prava l jednainom (6). Naimo rastojanje d date take M 1 , iji je vektor poloaja r1 , od prave l. Ako je M podnoje normale sputene iz take M 1 na pravu l, onda jeMM 1 =d. Sa r * oznaimo vektor poloaja take M. Oigledno je onda: r * + MM 1 = r1 . (vidjeti

sl.13)

16

Pomnoimo vektorski tu jednainu vektorom n : r * n + MM 1 n = r1 n . Poto se taka M nalazi na pravoj l, imamo r * n = N , i zato je:

MM 1 n = r1 n - N . Ako odredimo modul vektora na lijevoj strani, tj. MM 1 n = MM 1 sin =d, vidimo da se traeno rastojanje take M 1 od prave l rauna po 2 formuli (8) d= r1 n N .Ako je jednaina prave l data u optem obliku r a = b , onda prema (7), odgovarajua formula za rastojanje take M 1 od prave glasi: (9) d= r1 a b . a a

UGAO IZMEU DVIJE PRAVENeka su date dvije prave l1 i l 2 (sl.14).

Ako su a1 i a 2 redom paralelni vektori pravih l1 i l 2 , tj. a1 l1 i a 2 l 2 , onda je ugao izmeu pravih l1 i l 2 jednak uglu = ( a1 , a 2 ), pa je: a a2 . cos = a1 a 2

USLOV NORMALNOSTI DVEJU PRAVIHNeka su prave l1 i l 2 normalne, tj. l1 l 2 (sl.15.).

17

Ako su a1 =( x1 , y1 , z1 ) i a 2 =( x 2 , y 2 , z 2 ) redom paralelni vektori pravih l1 i l 2 , tj. a1 l1 i a 2 l 2 , onda je a1 a 2 , pa je a1 a 2 =0, x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 =0 ili uslov da prave l1 i l 2 budu normalne.

USLOV PARALELNOSTI DVEJU PRAVIHNeka su prave l1 i l 2 paralelne, tj. l1 l 2 (sl.16.).

Ako su a1 =( x1 , y1 , z1 ) i a 2 =( x 2 , y 2 , z 2 ) redom paralelni vektori pravih l1 i l 2 ,tj. a1 l1 i

a 2 l 2 ,onda je a1 a 2 , pa je :

a1 a 2 =0, a1 = k 2 a 2 , a 2 = k1 a1 , ili x1 y z ili = 1 = 1 x2 y 2 z 2 uslov da prave l1 i l 2 budu paralelne.

JEDNAINA PRAVE KOJA PROLAZI KROZ DATU TAKUNeka je prava l data jednainom r a = b , gdje su a i b dati normalni vektori. Razmotrimo sada kakav oblik treba da dobije ta jednaina, ako prava l treba da proe kroz taku M 0 iji je vektor poloaja r0 . Pri ovom uslovu postoji identitet r0 a = b . Eliminacija vektora b izr a = b i r0 a = b daje nam traenu jednainu prave (10) ( r - r0 ) a =0

koja prolazi kroz datu taku M 0 (a paralelna je vektoru a ). Poto su vektori r - r0 i a kolinearni, a to se vidi ili iz (10) ili iz odgovarajue geometrijske predstave, imamo: (11) r - r0 =t a , gdje je t parametar. Jednaina (11) je tzv. parametarska jednaina prave koja prolazi kroz taku M 0 i paralelna je vektoru a . Ako sa (x,y,z), ( x0 , y 0 , z 0 ) i ( a1 , a 2 , a3 ) oznaimo koordinate vektora r , r0 i a , onda jednainu (11) moemo zamijeniti jedanput sa

18

x x0 y y 0 z z 0 = = (=t), a1 a2 a3 a to je tzv. opta dvojna jednaina prave l, a drugi put sa: (13) x= x0 + a1t , y= y 0 + a 2 t , z= z 0 + a3t , a to su tzv. parametarske jednaine prave l. Ako sa , , oznaimo uglove koje prava l, odnosno vektor a zaklapa sa koordinatnim osama, onda imamo oigledne odnose: a1 : a 2 : a3 = cos : cos : cos .

(12)

Ako poemo od normalne jednaine prave r n = N , onda odgovarajua jednaina prave koja prolazi kroz datu taku M 0 ima oblik: (10') ( r - r0 ) n =0. Dalje, slino prethodnom, jer je n =(cos ,cos ,cos ) dobijamo: x x0 y y 0 z z 0 (12') = = , cos cos cos tzv. Dvojnu jednainu normalnog oblika i nov oblik parametarskih jednaina (11') r - r0 = n ili (13') x= x 0 + cos , y= y 0 + cos , z= z 0 + cos . Ako je jednaina prave data u obliku (10), onda dovodei je na normalni oblik a (10'') ( r - r0 ) =0 a lako vidimo da sledea formula(9') d= (r1 r0 ) a a

slui za odreivanje rastojanja take M 1 iji je vektor poloaja r1 od prave ( r - r0 ) a =0.

RASTOJANJE IZMEU DVEJU PARALELNIH PRAVIHNeka su dvije paralelne prave date svojim jednainama normalnog oblika r n = N i , (i=1,2) i na drugoj pravoj uzmimo bilo koju taku M 2 , iji je vektor poloaja r2 . Rastojanje d izmeu ovih paralelnih pravih nije nita drugo nego rastojanje take M 2 od prave (sl.17.).

19

Zato imamo: d= r2 n N 1 , ali taka M 2 je na drugoj pravoj r2 n = N 2 , pa je konano: (14) d= N 2 N 1 . Do obrasca (14) moe se direktno doi vodei rauna da su moduli vektora N 1 i N 2 rastojanja naih paralelnih pravih od jedne fiksirane take. Ako su jednaine posmatranih pravih date u obliku : ( r - r0 ) n =0 i ( r - r1 ) n =0, gdje su r0 i r1 vektori poloaja taaka M 0 i M 1 kroz koje svaka od ovih pravih prolazi, onda se njihovo rastojanje rauna prema obrascu: d= (r1 r0 ) n . Zaista, u ovom sluaju je :N 1 r0 n , N 2 r1 n .

PRESJEK DVEJU PRAVIHUzmimo bilo koje dvije prave (15) r a i = bi , i=1,2 i odredimo uslov, koji vektori a1 , b1 i a 2 , b2 , to odreuju ove dvije prave, treba da zadovoljavaju da bi ove dvije prave imale taku presjeka. Pomnoimo prvu jednainu skalarno sa a 2 i drugu sa a1 i formirajmo zbir novih dobijenih jednaina: [r , a1 , a 2 ] + [r , a 2 , a1 ] = a 2 b1 + a1 b2 , gdje sa r , u optem sluaju, obiljeavamo poloaj bilo koje take jedne i druge prave. Ako postoji taka presjeka ovih dveju pravih, onda vektor poloaja r za tu taku ima jednu istu vrijednost i zadovoljavae istovremeno obje jednaine pravih, pa e ta ista vrijednost figurisati u oba gornja mjeovita proizvoda i zbog toga je : (16) a 2 b1 + a1 b2 =0. I obrnuto, ako je ovaj uslov zadovoljen, onda e se prethodne dvije prave sei. Ako ovaj uslov nije ispunjen, prave se ne sijeku, i ako pri tome nisu paralelne, onda za njih kaemo da su mimoilazne. Ako su jednaine pravih date u obliku ( r - ri ) a i =0, i=1,2 onda , da bi se prave sjekle, treba da bude ispunjen potreban i dovoljan uslov (17) [r2 r1 , a1 , a 2 ] = 0 , do koga se dolazi kada se u uslov (16) stave sledee vrijednosti vektora bi :

bi = ri a iU sluaju presjeka dveju pravih, vektori r2 - r1 , a1 , a 2 su komplanarni. 1 2 3 ( ) Ako sa xi , y i , z i i ai , ai , ai oznaimo koordinate vektora ri i ai ,onda uslov (17) moemo napisati u obliku

(

)

x 2 x1

y 2 y1 a1 2 a22

z 2 z1 a1 3 a23

(17 )

a a

1 1 1 2

= 0.

U sluaju kada je zadovoljen uslov (16) naimo vektor poloaja take presjeka pravih (15). U tu (r a1 ) b2 = b1 b2 svrhu pomnoimo vektorski prvu od jednaina (15) sa vektorom b2 20

i razvijmo dobijeni dvostruki vektorski proizvod a1 (r b2 ) r (a1 b2 ) = b1 b2 . Vektor r koji je do sada figurisao u prethodnim jednainama bio je vektor poloaja bilo koje take prve prave. Ako sada predpostavimo da je to vektor poloaja presjene take naih pravih , onda e biti r b2 = 0 , jer je b2 normalan na svakom vektoru poloaja bilo koje take druge prave , pa e biti normalan i na vektor poloaja take koja istovremeno pripada i jednoj i drugoj pravoj. Zato se vektor poloaja zajednike take pravih odreuje iz:

(18)

a1 b2 ali zbog uslova (16) i iz: b b r= 1 2. (18) a b2 1

r =

b1 b2

Do ove poslednje formule moemo doi i tako to bismo pomnoili drugu od jednaina (15) vektorski sa b1 i dalje primijenili preanji postupak. Ako su jednaine pravih date u obliku (19) (r ri ) ai = 0, (i = 1,2), tada u ovom sluaju imamo bi = ri ai i jednaina (18) dobija oblik (r a ) (r2 a 2 ) r= 1 1 (18) . r2 , a1 , a 2 Ako su jednaine dveju pravih date u obliku: x x1 y y1 z z1 = = 1 2 3 (20) p1 : a a a

[

]

1

1

1

p2 :

x x2 a21

=

y y2 a22

=

z z2 a23 1 2 3

onda , kao to znamo, vektori ai (ai , ai , ai ) odreuju pravce tih pravih , a ri ( xi , y i , z i ) odreuje take M 1 i M 2 kroz koje svaka od njih prolazi. Vektor r2 r1 ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) predstavlja vektor koji spaja te dvije take. Da bi se prave (20) sijekle, potrebno je i dovoljno da tri vektora a1 , a 2 , r2 r1 budu (17) . komplanarna,tj. da bude ispunjen uslov (17) ili

21

JEDNAINA PRAVE KROZ DVIJE TAKENeka prava l prolazi kroz dvije date take M 1 ( x1 , y1 , z1 ) i M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) (vidjeti sl.18).

Vektor M 1 M 2 i svaki njemu kolinearan ne-nula vektor a je tzv. vektor prave l. Znai, paralelni vektor prave l je : a = M 1 M 2 = OM 2 OM 1 = r2 r1 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ( x1 , y1 , z1 ) = ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) i kako je M 1 ( x1 , y1 , z1 ) l , imamo da su jednaine prave (1) l: r = r1 + a

l: r = r1 + (r2 r1 )(2) l: x = x1 + ( x 2 x1 ) y = y1 + ( y 2 y1 )

ili

z = z1 + ( z 2 z1 )(3) l:

ili

x x1 y y1 z z1 , ili = = x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1

l: r (r2 r1 ) = r1 (r2 r1 ) , pa kako je r1 (r2 r1 ) = r1 r2 r1 r1 = r1 r2 , imamo (4) l: r (r2 r1 ) = r1 r2 .

22

Literatura

1. dr. Raajski N.Borivoje: Analitika geometrija, Beograd, Nauna knjiga, 1960. 2. Kekic D.Jovan: Matematika 3, Beograd, 1994. 3. Milenkovi Olivera, ori Mirjana: Zbirka zadataka iz analitike geometrije, Beograd, Matematiki fakultet, 1999. 4. mr. arkovi Radmila, Barot Jozo: Matematika za vie tehnike kole, Beograd, Savremena administracija, 1996.

23