MATEMATIKA II - Strojnícka fakulta TUKE...7. týždeň Matematika II, 1. Bc. FMMR, KM...

MATEMATIKA II

Prednáška na 7. týždeň semestra

1. Bc. FMMR, KM

7. týždeň Matematika II, 1. Bc. FMMR, KM

Obsah prednášky

Funkcia viac premenných.Parciálne derivácie funkcie viac premennýchDotyková rovina a normála ku plocheLokálne extrémy funkcie dvoch premenných


Diferenciálny početfunkcie viac premenných


Pojem funkcie viac premenných

DefiníciaPravidlo (predpis), ktorým každému bodu X ∈ En priradíme najviacjednu hodnotu y ∈ R nazývame funkciou n premenných aoznačujeme

y = f (X ) alebo y = f (x1, x2, . . . , xn).

Množinu všetkých bodov X ∈ En takých, ktorým jeprostredníctvom funkcie f priradené nejaké y ∈ R nazývamedefiničným oborom funkcie f a označujeme Df .

Množinu všetkých hodnôt y ∈ R takých, ktoré sú prostredníctvomfunkcie f priradené nejakému bodu X ∈ En nazývame oboromhodnôt funkcie f a označujeme Hf .


Obor definície funkcie

Nájdime obor definície nasledujúcich funkciíPríklad 1.

f (x , y) =1y+

3x − y + xyx

Príklad 2.f (x , y) =

1y2 − x2

Príklad 3.f (x , y) = ln(x2 + y2 − 4)

Príklad 4.

f (x , y) = arcsiny − 1x



Grafom funkcie f , definovanej na množine Df ⊂ En, rozumiememnožinu G všetkých takých bodov

Y = [x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)] ∈ En+1,

teda prvých n súradníc bodu Y určuje bodX = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Df a (n + 1)-vá súradnica bodu Y jef (x1, x2, . . . , xn).



Poznámka:

Podobne ako pri funkcii jednej reálnej premennej zavádzame pojmyohraničenosť,maximum, minimum,spojitosť,limitu (pre limitu platia analogické vety).


Parciálne derivácie



DefiníciaNech funkcia f (X ), resp. f (x1, x2, . . . , xn) je definovaná na nejakomokolí bodu A = [a1, a2, . . . , an]. Deriváciu tejto funkcie (pokiaľexistuje) v čísle ai , t.j. limitu

limxi→ai

f (a1, a2, . . . , ai−1, xi , ai+1, . . . , an)− f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , an)xi − ai

nazývame parciálnou deriváciou funkcie f (X ) podľa premennejxi v bode A.



Označenie:[∂f

∂xi

]A

alebo∂f (A)

∂xialebo

∂f (a1, a2, . . . , an)

∂xi,

f ′xi (A) alebo f′xi(a1, a2, . . . , an)



Spôsob derivovania:Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie f (X ) podľa premennejxi postupujeme rovnako, ako pri výpočte derivácie funkciejednej reálnej premennej.

Za premennú však považujeme len xi , ostatné premennépovažujeme za konštanty.



Spôsob derivovania:Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie f (X ) podľa premennejxi postupujeme rovnako, ako pri výpočte derivácie funkciejednej reálnej premennej.Za premennú však považujeme len xi , ostatné premennépovažujeme za konštanty.



Špeciálne pre z = f (x , y):

∂f (x , y)

∂x= f ′x ,

∂f (x , y)

∂y= f ′y .



Vypočítajme parciálne derivácie funkcie f (X ) podľa jednotlivýchpremennýchPríklad 1.

f (x , y) = arctg(x2 + y2)

Príklad 2.f (x , y) = 3x3 + 4x2y − 7y4 + y x

Príklad 3.

f (x , y) = sin x · arctgxy+

x2y2

3+ x3y+ (3y + 5)4x

Príklad 4. Dokážme, že funkcia z = y2 sin(x2 − y2) vyhovujerovnici

y2∂z

∂x+ xy

∂z

∂y= 2xz


Parciálne derivácie vyšších rádov

Uvažujme funkciu f = f (x1, x2, . . . , xn). Vo všeobecnosti súparciálne derivácie ∂f∂xi , i = 1, 2, . . . , n opäť funkcie premennýchx1, x2, . . . , xn a môžeme nájsť (ak existujú) ich parciálne derivácie

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)i , j = 1, 2, . . . , n,

ktoré nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie f .



Označenie:

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)=

∂2f

∂xi∂xj= f ′′xixj i , j = 1, 2, . . . , n,

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)=∂2f

∂x2i= f ′′xixi i = 1, 2, . . . , n.



Špeciálne pre z = f (x , y):

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x∂y= f ′′xy ,

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y∂x= f ′′yx ,

∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= f ′′xx ,

∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= f ′′yy .



Vypočítajme všetky druhé parciálne derivácie funkcie f (X )Príklad 1.

f (x , y) = x3 + 4x4y + y6



Podobne môžeme definovať parciálne derivácie tretieho a vyššíchrádov.Napríklad

∂

∂x

(∂2f

∂y∂z

)=

∂3f

∂y∂z∂x= f ′′′yzx ,

∂

∂x

(∂2f

∂y∂x

)=

∂3f

∂y∂x2= f ′′′yxx .

Veta

Nech existujú spojité ∂2f

∂xi∂xj, ∂

2f∂xj∂xi

, potom ∂2f

∂xi∂xj= ∂

2f∂xj∂xi

.



Vypočítajme parciálne derivácie tretieho ráduPríklad 1.

f (x , y) = x3y2 − 4xy4 + x2y


Lokálne extrémy funkcie viac premenných



DefiníciaHovoríme, že funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) nadobúda v bode Alokálne maximum (minimum), ak existuje δ-okolie Oδ(A)bodu A také, že pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , platí

f (X ) ≤ f (A), (f (X ) ≥ f (A)).

Ak pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , X 6= A, platí

f (X ) < f (A), (f (X ) > f (A)),

hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode A ostré lokálnemaximum (minimum).

Body, v ktorých funkcia f nadobúda lokálne minimá a lokálnemaximá, nazývame lokálnymi extrémami funkcie f .



VetaNutná podmienka existencie lokálneho extrémuNech existujú ∂f (A)∂x1 ,. . . ,

∂f (A)∂xn

a nech f nadobúda v bode A lokálnyextrém, potom

∂f (A)

∂x1= · · · = ∂f (A)

∂xn= 0.

Body, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu funkcie frovné nule, nazývame stacionárnymi bodmi funkcie f .



Nech A je bod, v ktorom sú všetky parciálne derivácie druhého rádufunkcie f spojité. Označme

aij = aji =∂2f (A)

∂xi∂xj, i , j = 1, 2, . . . , n,

D1(A) = a11, D2(A) =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22∣∣∣∣ ,

D3(A) =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , . . . , Dn(A) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .



VetaPostačujúca podmienka existencie lokálneho extrémuNech v bode A existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu

funkcie f a nech ∂f (A)∂x1 =∂f (A)∂x2

= · · · = ∂f (A)∂xn = 0. Ak

1 D1(A) > 0, D2(A) > 0, . . . , Dn(A) > 0, tak funkcia fnadobúda v bode A ostré lokálne minimum,

2 D1(A) < 0, D2(A) > 0, D3(A) < 0, . . . (znaky nerovnosti sapravidelne striedajú), tak funkcia f nadobúda v bode A ostrélokálne maximum,

3 pri ľubovoľnej inej kombinácii ostrých znakov nerovnosti, nežsú prípady 1 a 2, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém.



Špeciálne pre z = f (x , y) :1 D2(A) > 0, D1(A) > 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne minimum,

2 D2(A) > 0, D1(A) < 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne maximum,

3 D2(A) < 0, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém.


Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y)Príklad 1.

f (x , y) = 1+ 6x − y2 − xy − x2

Príklad 2.f (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy

Príklad 3.f (x , y) =

2x+

4y+ xy


Dotyková rovina a normála ku grafu funkciedvoch premenných


Dotyková rovina a normála ku grafu funkcie dvochpremenných

A. Plocha v explicitnom tvare z = f (x , y)

Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f (x , y) a bodA = [x0, y0]. Nech existujú parciálne derivácie f ′x(A), f

′y (A). Potom

rovnica dotykovej roviny ku grafu funkcie f (X ) v bode A je

f ′x(A)(x − x0) + f ′y (A)(y − y0)− (z − f (A)) = 0.



Parametrické rovnice normálovej priamky ku grafufunkcie f (X ) v bode A sú

x = x0 + f′x(A) · t

y = y0 + f′y (A) · t

z = f (A)− t, t ∈ R.



Napíšme rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkciez = f (x , y) v danom dotykovom bode.Príklad 1.

z = 3x2 + 2y2 v bode [−1, 2, 11]

Príklad 2.

z =√

19− x2 + 2y2 v bode [1, 3, 6]

Príklad 3.z = exy − 3 v bode [1, 0,−2]



B. Plocha v implicitnom tvare F (x , y , z) = 0

Uvažujme plochu P v E3 danú rovnicou F (x , y , z) = 0 a bodA = [x0, y0, z0], ktorý je bodom plochy P , t.j. F (x0, y0, z0) = 0.Nech existujú parciálne derivácie F ′x(A), F

′y (A), F

′z(A). Rovnica

dotykovej roviny ku ploche P v bode A je

F ′x(A)(x − x0) + F ′y (A)(y − y0) + F ′z(A)(z − z0) = 0.



Parametrické rovnice normálovej priamky ku ploche P vbode A sú

x = x0 + F′x(A) · t

y = y0 + F′y (A) · t

z = z0 + F′z(A) · t, t ∈ R.



Napíšme rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie vimplicitnom tvare F (x , y , z) = 0 v danom dotykovom bode.Príklad 1.

xy + xz + yz + 1 = 0 v bode [1, 2,−1]

Príklad 2.

x2

4+

y2

9− z

2

25= 1 v bode [2, 3, 5]

Príklad 3.

z − y − ln xz= 0 v bode [1, 1, 1]



Poznámka:

Ak je funkcia daná v explicitnom tvare, t.j.

z = f (x , y),

tak ju jednoduchou úpravou vieme prepísať na explicitný tvar

f (x , y)− z = 0F (x , y , z) = 0.


Ďakujem za pozornosť


MATEMATIKA II - Strojnícka fakulta TUKE...7. týždeň Matematika II, 1. Bc. FMMR, KM...

Documents

Transcript of MATEMATIKA II - Strojnícka fakulta TUKE...7. týždeň Matematika II, 1. Bc. FMMR, KM...