Matematika II.
description
Transcript of Matematika II.
Matematika II.
4. előadás
Műszaki térinformatikai 2016/2017. tanévszakirányú továbbképzési szak tavaszi félév
A 4. előadás vázlata
• Gráfelméleti alapismeretek
• Legrövidebb útvonal keresése a gráfban
Gráfok
• Mi a gráf?– Adott n pont a síkban (P = {P1, P2, P3, …, Pn), a P
halmazt nevezzük a gráf csúcspontjainak.
– Élnek nevezzük a gráf két tetszőleges csúcspontját összekötő vonalat (nem feltétlenül egyenes!).
– Jelölje eij azt az élt, amely az i. és a j. csúcspontot köti össze.
– Legyen E = {eij, 1 i, j n} az élek halmaza.
– Az él irányított, ha a csúcsok sorrendje egyben haladási irányt is jelent.
Gráfok
• Mi a gráf?– A G = {P, E} halmazt gráfnak nevezzük.
• Példa gráfra:
Gráfok
• Példa irányított gráfra:
Gráfok
• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányítás nélküli gráfban):
Gráfok
• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányított gráfban):
Gráfok
• Impedancia (súly) hozzárendelése a gráf éleihez:
Gráfok
• Legkisebb súlyú (impedanciájú) útvonal keresése a gráfban a P1 és a P7 csúcsok között:
Útvonalkeresés a gráfban I.
• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa:– A kezdőponthoz 0-t, a többi ponthoz végtelent
rendelünk hozzá.
- A kezdőpontból kiinduló élek súlyát rendre hozzá-adjuk a kezdőpont súlyához, és ha ez kisebb, mint a végpont aktuális súlya, akkor kicseréljük.
- Megjegyezzük, melyik él mentén értük el ezt a legkisebb értéket.
- Az eljárást a többi csúcspontra is elvégezzük, amiből eddig még nem indultunk el.
Útvonalkeresés a gráfban II.
• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa (folytatás):– Az eljárás akkor ér véget, ha az összes csúcspontból
elvégeztük az előzőeket és mindegyik csúcsponthoz végtelentől különböző értéket rendeltünk már hozzá.
- Ekkor a legrövidebb út összesített súlya a végpontban álló szám, az útvonal pedig innen visszafelé haladva, a jelölt élek mentén járható be.
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 1. lépés: induló állapot előállítása
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 2. lépés: a P1-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 3. lépés: a P2-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 4. lépés: a P3-ból kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 5. lépés: a P4-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 6-8. lépés: a P5-ből, a P6-ból és a P8-ból kiin-duló élek végpontjaiban az összegzés elvégzése
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 9. lépés: Miután az összes éllel kiszámoltuk az összegzett súlyt, kapjuk az optimális út súlyára a P7-es csúcsban a 14 értéket, és az útvonalat a nyilak mentén visszafejtve kapjuk a
P1 - P2 - P4 - P6 -P7
végeredményt.
Gyakorló feladat az útvonalkeresésre
A gyakorló feladat megoldása
A gyakorló feladat megoldása
• Az optimális út súlyára a jobb szélső csúcsban leolvashatjuk a 16 értéket, az optimális útvonalat pedig a piros vonalak mentén járhatjuk be.