Matematika (Fungsi eksponen)
Transcript of Matematika (Fungsi eksponen)
Fungsi Eksponen
Nama : Titah Arsy Istawa
Kelas: X MIA 4
Fungsi Eksponen
f : x a˟ atau y = f(x) = a˟
•Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis α adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi eksponen y = f(x) = a˟.
• a disebut bilangan pokok atau basis, dengan ketentuan:
a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1)
• Himpunan dari semua bilangan x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis Df = {x | x є R}
• Himpunan dari semua bilangan y disebut daerah hasil atau range fungsi f, ditulis Wf = {y | y > 0 dan y є R}
Grafik Fungsi Eksponen
Menggambar Grafik Fungsi Eksponen dengan
Basis a > 1
Berdasarkan grafik fungsi eksponen diatas, kita
dapat mengetahui beberapa sifat fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ sebagai berikut.
1. Fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ adalah fungsi
monoton naik, sebab semakin besar nilai x maka besar pula nilai y = 2˟. Dapat ditulis: x2 >
x1 = 2˟² > 2˟¹.
2. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ memotong
sumbu Y di titik (0,1).
3. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ tidak pernah
memotong sumbu X. Sumbu X bertindak
sebagai asimtot datar.
Menggambar Grafik Fungsi Eksponen dengan
Basis 0 < a < 1
Berdasarkan grafik fungsi eksponen diatas,
dapat kita ketahui.
1. Fungsi eksponen y = f(x) = (½)˟ adalah fungsi
monoton turun, sebab semakin kecil nilai x maka semakin kecil pula nilai y = ½˟ , dapat
ditulis: x2 > x1 = (½)˟² < (½)˟¹.
2. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = (½)˟
memotong sumbu Y di titik (0,1).
Persamaan Eksponen
Perhatikan persamaan-persamaan berikut ini.
1.2x+1 = 1
2.5x2-2x = 5x
3. (x2-3x+1)x+3 = (x2-3x+1)X-6
Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok atau bagian eksponen yang mengandung peubah x. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan eksponen
Persamaan eksponen adalah bentuk persamaan bilangan berpangkat (eksponen) di mana eksponennya mengandung variabel x. Dalam persamaan eksponen, dimungkinan bilangan basisnya juga mengandung variabel x
• Berikut ini beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesainnya.
Bentuk af(x) = ap
Jika af(x) = ap ( a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p
Contoh soal :
1. 3x-4 = 1 2. 42x-1 = 1
8
3x-4 = 3o 22(2x-1) = 2-3
x – 4 = 0 2(2x-1) = -3
x = 4 4x = -1
x = -1
4
Bentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) ( a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = g(x)
Contoh soal :
1. (1
2)x2-4x-2 = 4x-2
2-(x2-4x+1) = 22(x-2)
-x2+4x-1 = 2x – 4
X2 - 2x-3 = 0
(x-3) (x+1) = 0
x = 3 dan x = -1
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {-1,3}
Bentuk af(x) = bf(x)
Jika af(x) = bf(x) (a > 0 dan a ≠ 1, b > 0 dan b ≠ 1,
dan a ≠ b), maka f(x) = 0
Contoh soal :
1. 23x-6 = 33x-6 2. 65x-5 = 85x-5
3x – 6 = 0 5x – 5 = 0
x = 2 5(x – 1) = 0
Jadi, HP={2} x = 1
Jadi, HP={1}.
Bentuk {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x)
Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya
adalah
a. f(x) = g(x)
b. h(x) = 1
c. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) bernilai positif
d. h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil
atau f(x) keduanya genap
Contoh soal :
1. (x2-3x+1)2x-1 = (x2-3x+1)x+5
dengan keterangan :
h(x) = x2-3x+1, f(x) = 2x-1, dan g(x) = x+5
a) f(x) = g(x) b) h(x) = 1
2x-1= x+5 x2-3x+1 = 1
x = 6 x2-3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0 atau x = 3
c) h(x) = 0
x2-3x+1 = 0
X = 1
2(3+ 5) atau x =
1
2(3- 5), dengan memakai
rumus kuadrat.Kedua nilai tersebut harus diuji
dengan mensubtitusikan ke dalam f(x) dan g(x)
i. Untuk x =1
2(3+ 5)
f(x) = f(1
2(3+ 5)) = 2{
1
2(3+ 5) – 1 = 2 + 5 > 0
g(x) = g (1
2(3+ 5)) =
1
2(3+ 5) + 5 =
1
2(13+ 5) > 0
Jadi, x = 1
2(3+ 5) merupakan penyelesaian
ii. Untuk x = 1
2(3- 5)
f(x) = f(1
2(3- 5)) = 2{
1
2(3- 5)} – 1 = 2 - 5 < 0
g(x) = g(1
2(3- 5)) =
1
2(3- 5) + 5 =
1
2(13- 5) > 0
Tampak bahwa f(x) < 0 dan g(x) > 0 untuk x =1
2(3- 5).
Jadi, x = 1
2(3 - 5) bukan penyelesaian.
d) h(x) = -1
x2-3x+1 = -1
x2-3x+2 = 0
(x – 1) (x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Kedua nilai x ini juga harus diuji dengan cara
mensubtitusikan ke dalam f(x) dan g(x).
i. Untuk x = 1
f(x) = f(1) = 2(1) – 1 = 1 , berarti f(x) ganjil
g(x) = g(1) = 1 + 5 = 6 , berarti g(x) genap
Tampak bahwa f(x) ganjil dan g(x) genap untuk x
= 1.
Jadi, x = 1 bukan penyelesaian.
ii. Untuk x = 2
f(x) = f(2) = 2(2) – 1 = 3 , berarti f(x) ganjil
g(x) = g(2) = 2+5 = 7 , berarti g(x) ganjil
Tampak bahwa f(x) dan g(x) keduanya ganjil
untuk x = 2.
Jadi, x = 2 merupaka penyelesaian
Jadi, hp={0,2,3,1
2(3+ 5), 6}
Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + c = 0
Jika A{af(x)}2 + B{af(x)} + c = 0 ( a > 0 dan a ≠ 1, A,B<
dan C bilangan real dan A ≠ 0 )
Contoh soal :
1. 22x – 12 ∙ 2x + 32 = 0
(2x)2 – 12 ∙ (2x) + 32 = 0
(Misalkan 2x = y)
y2 – 12y + 32 = 0
(y – 4) (y – 8) = 0
y = 4 atau y = 8
i. Untuk y = 4 ii. Untuk y = 8
2x = 4 2x = 8
2x = 22 2x = 23
x = 2 x = 3
Jadi, hp = {2, 3}
Pertidaksamaan Eksponen
Perhatikan pertidaksamaan berikut ini.
• 2x-1 ≤ 43x-2
• 35x-4 > 32x-1
Pertidaksamaan seperti diatas adalah contoh
pertidaksamaan eksponen.
Pertidaksamaan eskponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.
Contoh soal :
1. (1
2)x+1 > (
1
4)2x+4
(1
2)x+1 > (
1
2)4x+8
x + 1 < 4x + 8
3x > -7
x > -7
3
Jadi, penyelesainnya adalah x > -7
3
2. 5-2x+2 + 74 ∙ 5-x - 3 ≥ 0
52(5-x)2 + 74 ∙ (5-x) – 3 ≥ 0
25(1
5x)2 + 74 ∙ (
1
5)x - 3 ≥ 0
Misalkan (1
5)x = y
25y2 + 74y - 3 ≥ 0
25y2 + 75y - y - 3 ≥ 0
25y(y+3) – 1 (y + 3) ≥ 0
(y+3)(25y – 1) ≥ 0
y ≤ -3 atau y ≥ 1
25
i. Untuk y ≤ -3 ii. Untuk y ≥ 1
25
(1
5)x ≤ -3, tidak ada nilai x (
1
5)x ≥
1
25
Yang memenuhi. (1
5)x ≥ (
1
5)2
x ≤ 2
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 5-2x+2 + 74
∙ 5-x - 3 ≥ 0 adalah x ≤ 2.