Matematika - FSB Online · 1 Integral Putovi i povrsineˇ Relativni put Definicija integrala i...
Transcript of Matematika - FSB Online · 1 Integral Putovi i povrsineˇ Relativni put Definicija integrala i...
Matematika 1Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2012
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 1 / 25
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovna metoda integriranjaNeke osnovne primjene integrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 2 / 25
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
s(b) = polozaj u trenutku bs(a) = polozaj u trenutku arazlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 3 / 25
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
s(b) = polozaj u trenutku bs(a) = polozaj u trenutku arazlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 3 / 25
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
U v − t dijagramu to izgleda ovako:
v
t
∆s
a b
∆t
Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 4 / 25
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v
t∆s1
t1 t2
∆s2
∆s3
∆s4
t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4
v1
v2
v3
v4
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 5 / 25
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:
v
ta b
∑j
dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i
gi∆ti
∑j
dj∆tj . . .donja suma
∑i
gi∆ti . . .gornja suma
s(b)−s(a) . . .prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 6 / 25
Integral Putovi i povrsine
Primjer.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)
72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1
Procjenite prijedeni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 7 / 25
Integral Putovi i povrsine
Rjesenje.Donja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:
72 · 13
+ 78 · 13
+ 90 · 13
= 80km.
Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:
81 · 13
+ 93 · 13
+ 99 · 13
= 91km.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 8 / 25
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?
Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 9 / 25
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 9 / 25
Integral Relativni put
Relativni put
∆s = relativni put
s
U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina
v
t
v1
v2
v3
+
−
+
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 10 / 25
Integral Relativni put
I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.
Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 11 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 12 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 12 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Primjer.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje.2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 13 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Primjer.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje.2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 13 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Primjer.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−0.51
y
xπ2
π 3π2
1
Rjesenje.
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 14 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Primjer.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−0.51
y
xπ2
π 3π2
1
Rjesenje.
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 14 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Zadatak.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−2 2
y = −x2 + 4
4
y
x−4 −2
y = 12x+ 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 15 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Zadatak.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
2
1
y = (x− 1)(x− 2)
2
y
xπ2
π
y = sinx
3π2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 16 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Primjer.
Procjenite integral2∫
1
1x
dx gornjom i donjom sumom.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 17 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje.
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
1
56
57
5859
2
Gornja suma:
55· 15
+56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
=15
+16
+17
+18
+19
= 0.745634921
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 18 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje.
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
1
56
57
5859
2
Donja suma:
56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
+5
10· 15
=16
+17
+18
+19
+1
10= 0.645635
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 19 / 25
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje.Dakle
0.645635 <
2∫1
1x
dx < 0.745634921.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 20 / 25
Integral Osnovna metoda integriranja
OSNOVNA METODA INTEGRIRANJA
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 21 / 25
Integral Osnovna metoda integriranja
OSNOVNA METODA INTEGRIRANJA
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 21 / 25
Integral Osnovna metoda integriranja
Primjer.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
Primjer.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 22 / 25
Integral Osnovna metoda integriranja
Primjer.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
Primjer.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 22 / 25
Integral Osnovna metoda integriranja
Vazno je uociti da vrijedi
b∫a
f (x)dx =−a∫
b
f (x)dx
a∫a
f (x)dx = 0
Npr.0∫
2
f (x)dx =−2∫
0
f (x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 23 / 25
Integral Neke osnovne primjene integrala
Neke osnovne primjene integrala
Primjer.Kolika je povrsina zelenog podrucja?
y
x−1 1
y = −x2 + 2
y = x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 24 / 25