proporsiKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Pengertian proporsi•Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh proporsi• Berikut adalah beberapa contoh proposisi: • a. 2 + 2 = 4 • b. 4 adalah bilangan prima • c. Jakarta adalah ibukota negara

Indonesia. • Kalimat-kalimat diatas adalah proposisi

karena dapat diketahui nilai kebenaranya. • Kalimat (a) dan (c) bernilai benar,

sedangkan kalimat (b) bernilai salah.

• Contoh berikut ini adalah kalimat-kalimat yang bukan merupakan proposisi:

• a. Dimana letak pulau Bali? • b. x + y = 2 • c. Siapa namamu? • d. x > 5

• Tetapi pernyataan berikut ini • “Untuk sembarang bilangan bulat n ≥0,

maka 2n adalah bilangan genap.” • dan • “x + y = y + x untuk setiap x dan y

bilangan riil”• adalah proposisi, karena pernyataan

pertama adalah cara lain untuk menyatakan

• bilangan genap dan pernyataan kedua waalaupun tidakmenyebutkan nilai x dan y,

• tetapi pernyataan tersebut benar untuk nilai x dany berapapun. Bentuk proposisi

• Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p,q,r, . . . • Misalnya, • p : 6 adalah bilangan genap. • q : 2 + 3 = 7 • r : 2 < 5

Mengkombinasikan proporsiKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan(and), atau(or), dan tidak(not). Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasiantersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).

Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan

dalam tabel berikut ini.

contohDiketahui proposisi berikut ini: • p : Hari ini hujan • q : Murid-murid diliburkan dari sekolah • maka • p ∧q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah • p ∨q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah • ∼p : Hari ini tidak hujan • p ∧ ∼q : Hari ini hujan dan murid-murid tidak diliburkandari

sekolah • ∼(∼p) : Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan • p ⇒q : Jika hari ini hujan, maka murid-murid diliburkan dari

sekolah • p ⇔q : Hari ini hujan jika hanya jika murid-murid diliburkan

dari sekolah

Tabel kebenaranKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang

memuat nilai kebenaran proposisi majemuk.Nilai kebenaran dari proposisi majemuk

Ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi

atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh

operator logika

Misalkan p dan q adalah proposisi • Konjungsi p ∧ q bernilai benar jika p dan �

q keduanya benar, selain itu nilainya salah

• Disjungsi p V q bernilai salah jika p dan q �keduanya salah, selain itu nilainya benar

• Negasi p bernilai benar jika p salah, atau �kebalikannya

Berikut ini adalah tabel kebenaran dari operator-operator logika dasar.

Contoh: Buatlah tabel kebenaran proposisi berikut: ∼(∼p ∨ ∼q) Jawab:

DISJUNGSI EKSKLUSIFKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung“atau” Kata hubung“atau” disajikan denganlambang “∨”. Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam “atau“ Yang pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan lambang ”∨”) dan yang kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ”V ”).

DEFINISIa. Suatu disjungsi inklusif bernilai

benarbila sekurang- kurangnyasalah satupernyataan tunggalnya benar.

b. Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu(dan tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

Disjungsi Eksklusif kata “atau” atau “or” dapat digunakan secara

eksklusif (exclusive or) yaitu dalam bentuk “p atau q

tetapi bukan keduanya”. Artinya, disjungsi p dengan q bernilai benar hanya jika salah satu

proposisinya atomiknya benar (tapi bukan keduanya),

misalnya “Ia lahir di Bandung atau di Padang”.

TABEL DISJUNGSI EKSKLUSIF

CONTOHa. Pak Hartono berlangganan

harian Kompas atau KedaulatanRakyat.

b. Anisa pergi ke perpustakaan atau ke kantin.

c. 5 ≤ 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6)

d. A B adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan A atau himpunanB.

p : Kamera adalah alat visualq : Kamera adalah alat audialp V q : Kamera adalah alat visual atau

audial.Pada contoh di atas, Kamera termasuk alat visual, tetapi tidak termasuk alat audial.

Jadi yang benar hanyalah satu dari kedua pernyataan pembentuknya, dan tidak keduanya.

Hukum hukum logika peoporsi

Kelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Hukum hukum logika proporsi

contohTunjukkan bahwa p∨~(p ∨q) dan p ∨~q

keduanya ekivalen secara logika. Penyelesaian �

p∨~(p ∨q) ⇔p∨(~p ∧~q) (Hukum De Mogran)

⇔(p∨~p) ∧(p∨~q) (Hukum distributif) ⇔T ∧(p∨~q) (Hukurn negasi) ⇔p∨~q (Hukum identitas)

Proporsi bersyarat (implikasi)Kelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Pengertian implikasi• Implikasi adalah peryataan majemuk yang

menggunakan kata hubung ”bila …., maka ….”

• Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan yang kedua disebut konsekuen.

• Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p maka q” disebut proposisi bersyarat(implikasi) dan dilambangkan

dengan p →q

Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam

bermacam-macam arti, misalnya: a) Untuk menyatakan suatu syarat: “Bila

kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan

masuk”.b) Untuk menyatakan suatu hubungan

sebab akibat:” Bila kehujanan, maka Tono pasti sakit”.c) Untuk menyatakan suatu tanda:”Bila bel

berbunyi, maka mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah.

definisiSuatu implikasi bernilai

benar bila antesedennya salah atau konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya apabila anteseden benar dan konsekuennya salah).

Tabel implikasi

contoh• Jika saya benar semua dalam �

ujian, maka saya mendapat nilai 100.

• Jika suhu udara mencapai 800c �maka alarm akan berbunyi

• Jika anda tidak mendaftar ulang, �maka anda dianggap mengundurkan diri.

Varian proporsi bersyarat

ada tiga varian proporsi bersyarat yaitu1.Konvers, yaitu sebuah pernyataan yang benar tetapi tidak perlu benar. Hal ini disebabkan nilai kebenaran sebuah pernyataan tidak sama dengan konversnya. jika p → q maka konversnya q → p.2.Invers, yaitu sebuah pernyataan yang diperoleh dengan membentuk sangkalan terhadap anteseden dan konsekuennya. Jika p → q maka invers ~ p → ~ q.3.kontraposisi yaitu sebuah pernyataan yang selalu benar sebab kedua pernyataan ini saling logically equivalent (ekivalen secara logis). jika p → q maka kontrapositifnya ~ q → ~ p.

Adapun tabel kebenarannya sbb;

p q ~p ~q p → q q → p ~ p → ~q ~ q → ~p

T T F F T T T T

T F F T F T T F

F T T F T F F T

F F T T T T T T

Tabel di atas memperlihatkan tabel kebenaran dari ketiga varian proposisi bersyarat tersebut. Dari tabel tersebut terlihat bahwa proposisi bersyarat p → q ekivalen secara logika dengan kontraposisinya, ~ q → ~p. Sedangkan konvers q →p ekivalen secara logika dengan invers ~ p → ~ q. Ekivalen secara yang dimaksud diatas adalah memiliki nilai kebenaran yang sama atau setara.

contoh• Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataaan

berikut “jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”.• Penyelesaian:• · Konvers (kebalikan) : q → p• Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.• · Invers : ~ p → ~ q• Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya.• · Kontraposisi : ~ q → ~ p• Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil.

biimplikasiKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “Bila dan hanya bila” disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata hubung tersebut disajikan dengan lambangnya “ ” Definisi: Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Tabel biimplikasi

contohSuatu segitiga disebut

sama kaki bila dan bila segitiga itumempunyai dua sisi yang sama panjang(maksudnya suatu ekuivalensi:”bila dan hanya bila”)

teorema

inferensiKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Macam macam inferensiAda dua macam inferensi (penarikan kesimpulan), yaitu :

1) Inferensi Induksi2) Inferensi Deduksi

Inferensi induksi Penarikan kesimpulan (inferensi)

dari premisterhadap konklusinya bisa benar

tetapi jugabisa salah, karena premisnya

masih“mungkin”. Inferensi dari premis

menujukonklusi yang hanya berdasarkan

ataskemungkinan saja dinamakan

inferensiinduksi.

Contoh inferensi induksi1) Semua angsa yang saya lihat warnanya

putih2) Saya telah melihat banyak angsa3) Jadi, semua angsa warnanya putihPernyataan (1) dan (2) merupakan premis-

premis, dan sepintas seperti argumen yang baik, karena premis-premisnya memberiakibat yang logis terhadap konklusinya, meskipun baru berupa sesuatu yang “mungkin”

Inferensi deduksiPenarikan kesimpulan (inferensi)

argumenyang tepat tanpa berdasarkan

kemungkinandisebut inferensi deduktif .

Contoh inferensi deduksi1)Semua manusia akan meninggal dunia2) Romianti adalah seorang manusia3) Jadi, Romianti akan meninggal dunia

Pernyataan (1) dan (2) merupakan premis-premis yang benar dan jelaslah bahwakonklusinya juga benar , karena tidak adakemungkinan lain selain “Romianti akan meninggal dunia”.

argumenKelompok 51. Efsi wulandari2. Jela akbar3. Nira puspitasari4. Pitri mei suciati5. Riko agustiawan

Argumen merupakan serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan Penarikan kesimpulan.Dalam argumen terdapat kata-kata seperti : Jadi, maka, oleh karena itu, dsb.

Argumen terdiri dari pernyataan yang terbagi atas 2 kelompok, yaitu ;

Pernyataan sebelum kata “jadi” yang disebut premis dan kelompok lain yang terdiri atas satu pernyataan yang disebut konklusi.

contoh

1) Jika Aljabar dan Logika diperlukan makasemua mahasiswa akan belajar matematika

2) Aljabar dan Logika diperlukan3) Jadi semua mahasiswa akan belajar

matematikaPernyataan (1) dan (2) merupakan premis, sedangkan pernyataan (3) merupakan konklusi