SESI 2 MATEMATIKASESI 2 MATEMATIKAModul ke:

SESI 2 MATEMATIKA SESI 2 MATEMATIKA BISNISBISNISSesi 2 ini akan membahasTeori Deret Hiutung dan Deret Ukur pada Matematika Bisnis sehingga Mahasiswa mempunyai dasar yang kuat untuk melakukan pengukuran kedua jenis Deret tersebut

Fakultas

P St di

Viciwati STl MSi.EKONOMIBISNIS

tersebut

Program Studi

Manajemen dan Akuntansi

DeretDeret HitungHitung dandan DeretDeret UkurUkurMatematika Bisnis Sesi 2

DERET�HITUNG�(ARITMATIKA)�DAN�

DERET UKUR (GEOMETRI)DERET�UKUR�(GEOMETRI)Sesi�2

Barisan dan DeretBarisan�dan�Deret

A. Barisan AritmetikaD fi i i� Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisihti d k b t t l l k bil t tsetiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap

(konstan).

� Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dandilambangkan dengan b.g g

� Perhatikan juga barisan-barisan bilanganberikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan

A it tikAritmetikac. 30, 25, 20, 15, ...

Contoh :a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari k b l dit b h 3 D t dik t ksuku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan

bahwa beda sukunya 3 atau b =3.b 2 8 14 20b. 2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c.� 30, 25, 20, 15, ...–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5 Dapat dikatakansuku sebelumnya ditambah 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlakub = U – Ub Un Un – 1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut

1dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U1 = aU U b bU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3bU4 U3 b (a 2b) b a 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b...

U = U + b = a + (n – 1)bUn = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-na = suku pertamab = bedan banyak suku

Un = a + (n – 1)bn = banyak suku

Contoh 1 :Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,

12, ....Jawab:

–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = 3 danSuku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b diperoleh :Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.8 ( )Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 :Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Tentukan banyak suku barisan tersebut.J bJawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut diperoleh a = –2 b = 1 – (–2)Dari barisan tersebut, diperoleh a = 2, b = 1 ( 2) = 3,dan Un = 40.Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;n ( ) gg

40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.J di b k k d i b i di t d l h 15Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika• DefinisiMisalkan U1 U2 U3 U merupakanMisalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakansuku-suku dari suatu barisanaritmetika D = U1 + U2 + U3 + + U

• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama

aritmetika. Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Undisebut deret aritmetika, dengan Un = a+ (n – 1)bbarisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D . Dengan demikian D = U1 + U2 + U3 + + U

+ (n 1)b.

Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 :Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:JawabJumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

D = 2 + 5 + 8 + 11 + 14D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 162D5 = 5 x 16

165�D5 = D5 = 40

Jadi jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 402165�

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk D sebagai b ik t Dik t h i k k d iberikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

D = U1 + U2 + U3 + +U 2 + U 1 + UDn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b

kurang dari suku berikutnya.yUn-1 = Un – bUn-2 = Un-1 – b = Un – 2bUn-3 = Un-2 – b = Un – 3b

Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) +

Un…(1)

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:sebagai berikutDn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un

Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a

2Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) + ... + (a + Un)

n sukuDengan demikian, 2Dn = n(a + Un )g n ( n )

Dn = (1/2) n(a + Un )Dn = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :aritmetika adalah

Dn = (1/2) n(a + Un )D = (1/2) n(2a + (n 1)b)

Keterangan:

Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Keterangan:Dn = jumlah n suku pertamaa = suku pertamap mb = bedaUn = suku ke-nn = banyak suku

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

J bJawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

D100 = 1/2 x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}= 50 (202) 50 (202)= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebutjadalah 10.100.

Contoh 3:Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah

3 6 9 12 99 sehingga diperoleh3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

Un = a + (n – 1)b99 = 3 + (n – 1)3( )3n = 99n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah

Dn = n (a + U )n21

D33 = x 33(3 + 99)21

= 1.683Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurangd i 100 d l h 1 683dari 100 adalah 1.683

Contoh�4:Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deretDiketahui suku ketiga dan suku kelima dari deretaritmatika berturut�turut adalah 18 dan 24.J l h t j h k t d l hJumlah tujuh suku pertamanya adalah …..Penyelesaian :a�+�2b�=�18a + 4b = 24 �a� �4b� �24���

�2b�=��6b 3� 12b�=�3�� a�=�12S��=��7/2.(2(12)�+�(7�1)3)=�147

Soal�– soal

1. Carilah suku ke – 20�dari barisan aritmatika,�3,�8,�13 1813,�18,�…

2. Carilah suku ke – 27�pada setiap barisan aritmatikaberikut ini :

a.�3,�7,�11,�… b.�15,�13,�11,�9,�…c.��8,��4,�0,�4,�… d.��6,��1,�4,�9,�…

3 Suku ke 3 dan suku ke 16 dari barisan aritmatika3. Suku ke �3�dan suku ke �16�dari barisan aritmatikaadalah 13�dan 78.�Tentukanlah suku pertama danbedanya.�Berapakah Un dan Dn

d 60 k d l b i i ik4. Terdapat 60�suku dalam barisan aritmatika yang�mana suku pertama adalah 9�dan suku terakhiradalah 27.�Tentukan Un dan Dn

5 Carilah jumlah dari5.�Carilah�jumlah�dari�a.�40�bilangan�bulat�positif�ganjil�yang�pertamab 2 bil b l i ifb.�25�bilangan�bulat�positif�genap�yang�pertamac.�60�bilangan�bulat�positif�yang�pertama

Barisan dan Deret GeometriBarisan�dan�Deret�Geometri

Barisan�dan�Deret�Geometri

Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang�g y gdibentuk menurut urutan tertentu,�di�manasusunan bilangan di�antara dua suku yang�berurutan mempunyai rasio yang tetapberurutan mempunyai rasio yang�tetap(dilambangkan dengan huruf r).Jika a1 adalah suku pertama dan r�adalah rasio yang�1tetap,�maka suku ke 2�dan seterusnya adalaha2 =�a1r

2a3 =�a2r�=�a1r2a4 =�a3r�=�a1r3

Sehingga bentuk umum dari barisan geometriSehingga�bentuk�umum�dari�barisan�geometri�untuk�suku�ke�n�adalah

a = a rn�1 atau S = a rn�1an =�a1rn 1� atau�Sn =�a1rn 1

Di�mana�an =�Sn =�suku�ke�– na1 =�suku�pertamar�=�rasio�yang�tetapy g pn�=�banyaknya�suku

Contoh�

Carilah suku ke delapan darii barisan geometri diCarilah�suku�ke�delapan�darii�barisan�geometri�di�mana�suku�pertama�adalah�16�dan�rasionya�adalah 2adalah�2Jawab:Dik h i 16 2 8Diketahui�:�a1 =�16�,���r�=�2,�n=8Ditanyakan�S8 =�…?S8 =�a1r8�1=�a1r7 =�16(2)7 =�2048

Contoh

••

Deret�Geometri•

R D t G t iRumus�Deret�Geometri••

Contoh

•

Soal�� soal

1.�Carilah jumlah dari 6�suku pertama pada setiapCa a ju a da 6 su u pe ta a pada set apbarisan berikut ini:a. 2,�10,50,�250,�… c.�6,�3,�…b. 3,�9,�27,�81 d.�16,8,�4,�2,�…2.�Carilah enam suku pertama dari barisan geometrip gberikuta. a�=�2;�r�=1/2 d.�a�=�6;�r�=��1/2b. a�=�12;�r�=1/3 e.�a�=�4;�r�=1/3c. a�=�10�;�r�=�1/4

3 Carilah nilai dari deret geometri untuk 43.�Carilah nilai dari deret geometri untuk 4�bilangan pertama dari setiap barisan geometridengan a dan r diketahui di bawah inidengan a�dan r�diketahui di�bawah inia. a�=�4;�r�=1/4 d.�a�=�10;�r�=��2b 4 1/4 15 1/3b. a�=�4;�r�=1/4 e.�a�=�15;�r�=1/3c. a�=�8�;�r�=�3/2

4 Dik t h i d t t i 2 22 23 2n4. Diketahui deret geometri 2�+�22�+�23�+�….�+�2n�=510.�Tentukan nilai n�!

5. Diketahui deret geometri dengan U2�=�6�danU4=54.�Hitung jumlah delapan suku4 g j ppertamanya !

Terima KasihTerima KasihViciwati, STL, MSi.