Dan Fakulteta elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu, 21. studenoga 2014.

Matematička analiza fizikalnih problema

tankih slojevitih struktura i fluida

Igor Velčić (PI), Boris Muha, Maroje Marohnić, Mario BukalFakultet elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu

1. Uvod

Slojeviti materijali

• izraĎeni od dva ili više konstitutivnih materijala (slojeva) različitih

fizikalnih svojstava

• drugačija, često poboljšana, fizikalna i kemijska svojstva od

pojedinih sastavnica (npr. čvršći, lakši, jeftiniji)

• široka primjena u industriji: graĎevinarstvo, brodogradnja,

zrakoplovna industrija, sportska oprema, …

• sveprisutni u prirodi: drvo, kosti, krvne žile, …

Tanke slojevite strukture

• geometrijski oblici slojevitih materijala: štap, ploča, membrana,

ljuska

Fizikalni problemi

• heterogenost (oscilacije) tankih struktura

• meĎudjelovanje slojevitih struktura s okolnim fluidom

2. Opis problema

Matematički modeli fizikalnih problema

• nelinearna 3D teorija elastičnosti

• spregnuti sustav nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

(npr. Navier-Stokesov sustav + elastičnost)

Ciljevi istraživanja

• sustavan (rigorozan) izvod nižedimenzionalnih modela: štap (1D),

membrana, ploča, ljuska (2D), iz 3D teorije elastičnosti

• matematička analiza različitih modela meĎudjelovanja fluida i

struktura

3. Metodologija

1. Simultana homogenizacija i redukcija dimenzije

• tražimo limes niza funkcionala (metode varijacijskog računa)

gdje je:

o – skalirana gustoća energije deformacije

o – skalirana domena

o – debljina strukture

o – deformacija

2. Matematička analiza međudjelovanja elastičnih struktura i fluida

• tražimo rješenja i analiziramo svojstva spregnutog sustava

nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

gdje je:

o – brzina fluida, – tenzor naprezanja

o – elastični operator, – pomak strukture

4. Rezultati

1. Simultana homogenizacija i redukcija dimenzije

• neperiodička homogenizacija i redukcija dimenzije za model

savitljivog štapa [2]

• neperiodička homogenizacija i redukcija dimenzije za von

Kármánov model ploče ( ) [5] – formula limesa, uz

pretpostavku , dana je s

2. Matematička analiza međudjelovanja elastičnih struktura i fluida

• formulacija i konstrukcija slabih rješenja problema meĎudjelovanja

nekompresibilnog viskoznog fluida s elastičnom ljuskom

nelinearne membranske energije [3] – energetska nejednakost

• optimalna regularnost za pojednostavljeni 1D linearni problem

meĎudjelovanja fluida i strukture (tzv. heat-wave system) [4]

5. Reference

[1] Izvor: http://en.wikipedia.org/wiki/Composite_material

[2] M. Marohnić, I. Velčić. Non-periodic homogenization of

bending-torsion theory for inextensible rods from 3D elasticity,

submitted.

[3] B. Muha, S. Čanić, Fluid-structure interaction between an

incompressible, viscous 3D fluid and an elastic shell with

nonlinear Koiter membrane energy, submitted.

[4] B. Muha, A note on optimal regularity and regularizing effects of

point mass coupling for a heat-wave system, submitted.

[5] I. Velčić. On the general homogenization of von Kármán plate

equations from 3D nonlinear elasticity, submitted.

Slika 4: Slojevita struktura u meĎudjelovanju s fluidom [3]

Slika 2: Presjek krvne žile [3]

Zahvala

Ovaj projekt financira Hrvatska zaklada za znanost (9477).

Slika 1: Slojeviti materijal [1]

Slika 3: Periodičke i neperiodičke oscilacije materijala [2]