Fakultet prirodoslovno matematikih i odgojnih znanosti, Mostar

Matematika 2 SKRIPTA ZA USMENI DIO ISPITA

(STUDIJ INFORMATIKE)

Nizovi

1. to je niz realnih brojeva? Navedite primjer. Svaku funkciju a : N R nazivamo nizom realnih brojeva.Niz iji je opi lan an=n je niz prirodnih brojeva 1,2,3,4,5,...

2. Kada je niz (strogo) rastui/padajui/monoton? Navedite primjere. Za niz (an) kaemo da je: rastui ako (nN)(anan+1); strogo rastui ako

(nN)(anan+1).an=1

; (strogo) monoton ako je (strogo) rastui ili

padajui.an=3(padajui, rastui, monoton i stacionaran).

3. Opiite aritmetiki niz. Navedite primjer. Niz zadan rekurzivno sa an =an-1 +d; n 2, pri emu su a1 i d zadani realni brojevi nazivamo aritmetikim nizom. Niz je aritmetiki ako je razlika svakog lana i lana ispred njega konstantna: an - an-1 = d.Naziva se aritmetikim, jer je svaki njegov lan (osim prvog)

aritmetika sredina dvaju susjednih lanova: Lako se pokae da je opi lan aritmetikog niza an=a1+(n-1)d. Ako je d0 onda je aritmetiki niz strogo monoton i to za d > 0 strogo rastui, a za d < 0 strogo padajui, a ako je d = 0 onda je stacionaran.

4. Opiite geometrijski niz. Navedite primjer. Niz zadan rekurzivno sa an=q*an-1,n 2,pri emu su a1 i q zadani realni brojevi razliiti od nule nazivamo geometrijskim nizom.Niz je geometrijski ako je kvocijent svakog lana i lana ispred njega konstantan: an /an-1 =q.Naziva se geometrijskim jer je svaki njegov lan (osim prvog)

geometrijska sredina dvaju susjednih lanova:an= Opi lan geometrijskog niza je an=a1*q

n-1.

5. Defnirajte limes niza. Rijeite osnovnu nejednadbu konvergencije za neki konkretan niz. Kaemo da je realan broj a granina vrijednost ili limes niza (an) i piemo lim an = . Ako vrijedi (>0)(n0N)( nN)(nn0Ian-aI< ).

primjer: Za niz iji je opi lan an=(1)2

vrijedi lim (1)2 = 0. Za dani > 0 odredimo rjeenje n0 osnovne nejednadbe konvergencije niza Ian-aI< .Imamo

6. Dokaite da je limes niza jedinstven.

7. Navedite svojstva limesa niza. Neka su nizovi (an) i (bn) konvergentni.Tada vrijedi:

8. Kada kaemo da niz konvergira. Navedite primjer.

Ako limes postoji kaemo da je niz (an) konvergentan odnosno da konvergira prema a.

9. Kada kaemo da niz divergira prema ? Navedite primjere.

10. Kada kaemo da niz divergira u irem smislu? Navedite primjer.

Kaemo da niz divergira u irem smislu kada niz ima vie gomilita.

11. to je gomilite niza? to je limes superior, a to limes inferior?

12. to je podniz? Navedite vezu izmeu podniza i gomilita?

13. Dokaite da je konvergentan niz omeen.

14. Dokaite da je monoton i omeen niz konvergentan.

15. Dokaite da omeeni niz ima konvergentan podniz.

Realne funkcije

1. Opiite naine zadavanja funkcija i navedite primjere.

2. Kada kaemo da je realna funkcija parna/neparna?

3. Kada kaemo da je realna funkcija periodina?

4. Kada kaemo da je realna funkcija omeena?

5. Kada kaemo da je realna funkcija (strogo) rastua/padajua?

6. Kada kaemo da je realna funkcija (strogo) monotona/po dijelovima monotona?

7. Definirajte limes funkcije f u toki x0. Ilustrirajte skicom.

8. Navedite svojstva limesa.

9. Kako definiramo limese s lijeva i zdesna?

10. Kako definiramo limese u beskonanosti i beskonane limese?

11. Kada kaemo da je funkcija f neprekidna u toki x0?

Za funkciju f:AR,A R kaemo da je neprekidna u toki x0A ako je f(x)=f(x0).

12. Kada kaemo da je funkcija f neprekidna na nekom skupu?

Za funkciju f:AR,A R kaemo da je neprekidna na skupu B A ako je neprekidna u svakoj toki tog skupa.

13. Koja su osnovna svojstva neprekidnih funkcija? .

14. Navedite vrste prekida. Ilustrirajte skicama.

15. to su asimptote? Navedite vrste asimptota i ilustrirajte skicama. Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost toke na grafu funkcije od tog pravca tei k nuli kada barem jedna koordinata te toke tei u beskonanost. Postoje tri vrste asimptota:vertikalne, horizontalne i kose.

16. Definirajte vertikalnu asimptotu. Navedite primjer.

17. Definirajte horizontalnu asimptotu. Navedite primjer.

18. Definirajte kosu asimptotu. Navedite primjer.

19. Nacrtajte grafove funkcija f1 (x) = x; f2 (x) = x2; f3 (x) = x

3 i opiite ih.

20. Nacrtajte grafove funkcija i opiite ih.

21. Nacrtajte grafove funkcija i opiite ih.

22. Nacrtajte grafove eksponencijalne i logaritamske funkcije i opiite ih.

23. Nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija i opiite ih.

24. Nacrtajte grafove arkus funkcija i opiite ih.

Derivacije i primjene

1. Definirajte derivaciju funkcije f u toki x0. Ilustrirajte skicom.

2. Kada kaemo da je funkcija f derivabilna na nekom skupu?

3. Objasnite geometrijsku interpretaciju derivacije. 4. Izvedite derivaciju funkcije f (x) = x2. 5. U kakvoj su vezi neprekidnost i derivabilnost funkcije?

6. Izvedite pravila za derivaciju zbroja, umnoka i kvocijenta funkcija.

7. Navedite teorem o deriviranju kompozicije funkcija.

8. Navedite teorem o deriviranju inverzne funkcije.

9. Objasnite postupak deriviranja implicitno zadane funkcije. Navedite primjer.

10. Objasnite postupak logaritamskog deriviranja. Navedite primjer.

11. to je diferencijal? Koja je geometrijska interpretacija? Ilustrirajte skicom.

12. Kako diferencijal moemo koristiti za priblino raunanje?

13. Izvedite pravilo za deriviranje parametarski zadane funkcije.

14. Kako definiramo derivacije i diferencijale vieg reda?

15. Izrecite i dokaite Fermatov teorem. Ilustrirajte skicom.

16. Izrecite i dokaite Rolleov teorem.

17. Izrecite i dokaite Cauchyjev teorem.

18. Izrecite i dokaite Lagrangeov teorem srednje vrijednosti.

19. Kako glasi Taylorova formula i kako ju moemo koristiti za priblino raunanje?

20. Navedite sedam neodreenih oblika koji se mogu javiti prilikom raunanja limesa. Kada se moe koristiti L'Hospitalovo pravilo?

21. Navedite uvjete teorema pod kojima vrijedi L'Hospitalovo pravilo?

22. Dokaite da je derivabilna funkcija f rastua na intervalu (a,b) ako i samo je

23. Dokaite da je derivabilna funkcija f padajua na intervalu (a,b) ako i samo je

24. Definirajte lokalne i globalne ekstreme.

25. to je kritina, a to stacionarna toka?

26. Navedite i dokaite teorem o nunom uvjetu postojanja lokalnog ekstrema.

27. Navedite i dokaite teorem o dovoljnom uvjetu postojanja lokalnog ekstrema pomou promjene predznaka prve derivacije.

28. Navedite i dokaite teorem o dovoljnom uvjetu postojanja lokalnog ekstrema pomou druge derivacije.

29. Kako definiramo konveksnost i konkavnost funkcije? Koja su svojstva grafa konveksne i konkavne funkcije?

30. Kako moemo provjeriti konveksnost i konkavnost funkcije pomou druge derivacije? 31. to je toka infleksije i kada postoji?

32. Kako ispitujemo tok funkcije?

Integrali

1.Definirajte primitivnu funkciju.Dajte primjer.

2.Dokaite da je derivabilna funkcija odreena do na aditivnu konstantu.

3.Definirajte neodreeni integral i dokaite njegova osnovna svojstva.

a)(() = )P'=f(x) (deriviranjem integrala dobivamo integrand); b) (())=f(x)dx (diferenciranje ponitava integriranje); c) () = () + (integriranje ponitava diferenciranje do na konstantu); d) R (neodreeni integral uva(do na aditivnu konstantu)linearnu kombinaciju).

4.to su to tablini integrali.Navedite tabline integrale trigonometrijskih funkcija.

5.to je to neposredno integriranje?

6.Navedite i dokaite Teoreme o supstituciji.

7.Navedite i dokaite Teorem o parcijalnoj integraciji.

8.Napiite izraze za: lijevu integralnu n-sumu Ln,desnu integralnu n-sumu Dn,srednju integralnu n-sumu Mn, i objasnite to one znae ako je f(x) 0. Ilustrirajte skicom.

9.Definirajte odreeni integral neprekidne funkcije f:[,]R.

10.Dajte geometrijsku interpretaciju za f(x)dx ako je f(x)0 na intervalu[,]. 11.Dajte geometrijsku interpretaciju za f(x)dx ako je f(x)0 na intervalu[,]. 12.Dajte geometrijsku interpretaciju za f(x)dx ako f poprima i pozitivne i negativne vrijednosti na intervalu [,].

13.Navedite i dokaite osnovna svojstva odreenog integrala.

14.Objasnite vezu izmeu odreenog integrala i neodreenog integrala().

15. Formulirajte i dokaite Newton-Leibnizovu formulu.

16.Navedite Osnovni teorem rauna.

17.Definirajte neprave integrale:

18.Definirajte nepravi integral f(x)dx,gdje je f neprekidna funkcija na

19. Definirajte nepravi integral gdje je f neprekidna funkcija na

20. Definirajte nepravi integral gdje je f neprekidna funkcija na

21. Kako raunamo povrinu ravninskog lika ako su rubne krivulje zadane: eksplicitno, parametarski?

22. Kako raunamo duljinu luka krivulje zadane: eksplicitno, parametarski?

23. Kako raunamo volumen rotacijskog tijela ako je krivulja koja rotirazadana: eksplicitno, parametarski?

24. Kako raunamo oploje rotacijskog tijela ako je krivulja koja rotira zadana: eksplicitno, parametarski?

25. Objasnite Trapeznu i Simpsonovu formulu numerike integracije.

skripta_naslovnicaNizoviRealne funkcijeDerivacije i primjeneIntegrali