Matematika 2. Módszertani ajánlások, első...
Transcript of Matematika 2. Módszertani ajánlások, első...
Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné
MATEMATIKA 2.
MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK
ELSŐ FÉLÉV
Módszertani ajánlások
Számok és m¶veletek 0-tól 20-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelé-
se, kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív
következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,
összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 1{6. 1{7. 1{7.
Csak akkor kezdhetjük el az új anyag tanítását, ha alaposan átismételtük és begyako-
roltattuk a szám- és m¶veletfogalomról tanultakat. Törekedjünk arra, hogy legalább a
20-as számkörben minden gyermek
tudja megszámlálni, illetve leszámlálni egy adott halmaz elemeit;
ismerje és tudja alkalmazni a sorszám fogalmát;
tudja a számokat nagyság szerint összehasonlítani, növekv®, illetve csökken® sorrend-
be rendezni, a <, >, = jeleket alkalmazni;
ismerje fel a páros és a páratlan, illetve az egy- és a kétjegy¶ számokat;
találja meg a számokat az egyesével beosztott számegyenesen;
legyen képes meghatározni a számok szomszédait, páros, illetve páratlan szomszédait;
legyen képes tevékenység, kép, szöveg stb. alapján értelmezni az összeadást és a ki-
vonást, ismerje és tudja alkalmazni az összeadás és a kivonás különböz® értelmezéseit,
az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét, a két m¶velet kapcsolatát;
legyen képes két adott számról eldönteni, hogy melyik mennyivel nagyobb, illetve kisebb
a másiknál;
biztosan végezze el az összeadást és a kivonást;
tudjon egyszer¶ szöveges feladatot értelmezni és megoldani.
A szöveges feladatok önálló megoldása nemcsak a szövegértelmez® képesség fejlesz-
tésének egyik legfontosabb módszere, hanem a m¶veletfogalom alakításának, elmélyí-
tésének is. Ezért 2. osztályban (és az alsó tagozatos matematikatanulás során végig)
szinte minden órán találkozzanak a gyermekek szöveges feladatokkal.
Kezdetben egy jól olvasó gyermek hangosan olvassa fel a szöveget, közösen beszéljük
meg, hogy mi adott, és mit kell kiszámítanunk. Tanítsuk meg ®ket a szükséges adatok
kigy¶jtésére, a számolási terv felírásának és a szöveges válasz megfogalmazásának
módjára stb.
Kés®bb, a gyermekek olvasási képességének fejl®dését �gyelembe véve, fokozatosan
hagyjuk el a szöveg hangos felolvastatását, közös elemzését, szoktassuk rá a gyerme-
keket a feladatok néma olvasás alapján történ® önálló értelmezésére, megoldására.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
1
Tk. 4/1. feladat: A képekkel kapcsolatosan beszélgethetünk a nyári élményekr®l.
Kísérjük �gyelemmel az egyes gyermekek meg�gyel®képességének, szám- és m¶velet-
fogalmának, beszédkészségének, illetve aktivitásának alakulását.
Megoldás: 10 7 8 5
Tk. 4/2. feladat: A gyermekek fogalmazzanak meg minél több állítást. A mennyiségi
viszonyokat próbálják meg leírni reláció vagy m¶velet segítségével, illetve mondjanak
történetet leírt relációval, m¶velettel kapcsolatosan.
Megoldás: 6 > 4 3 < 7 5 = 5
Tk. 4/3. feladat: A kép alapján készítsenek gra�kont a tanulók a képen látható él®lények-
r®l, tárgyakról. Elemezzék a gra�konokat: Melyik elemb®l van a legtöbb, a legkevesebb,
ugyanannyi, valamennyinél több, kevesebb stb.
Megoldás: Lány Fiú Fa Virág Csiga Bot Labda Hátizsák
4 6 4 1 0 1 2 3
Tk. 5/4. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését. Minden esetben mondassuk is
el a gyermekkel, hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.
Megoldás: Bal Jobb Összesen:
10 10 10 + 10 = 20
4 5 4 + 5 = 9
6 5 6 + 5 = 11
Tk. 5/5. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését. Minden esetben mondassuk is
el a gyermekkel, hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.
Megoldás: Bal Jobb Összesen:
9 2 9 { 2 = 7
11 3 11 { 3 = 8
20 0 20 { 0 = 20
Tk. 6/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg az analógiát a 0 és 10, illetve
10 és 20 közötti számokkal végzett összeadások között. A továbblépéshez szükséges,
hogy minden gyermek eszközhasználat nélkül, lényegében hibátlanul, begyakorlottan
végezze el az összeadást a 20-as számkörben.
Tk. 6/6. feladat: Összeadás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra
támaszkodva. A számegyenesen történ® lépegetéssel szemléletessé tehetjük a m¶ve-
letvégzést.
Megoldás: 2 + 5 = 7 12 + 5 = 17
Tk. 6/7. feladat: Összeadás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra
támaszkodva. A játékpénzzel történ® kirakás, a pénz leolvasása könnyebbé teheti a
számolást.
2 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megállapodunk abban, hogy matematikaórán továbbra is használunk 1 és 2 forintost,
hiszen ez a legszemléletesebb a gyermek számára.
Megoldás: 2 + 4 = 6 12 + 4 = 16 2 + 14 = 16
Tk. 6/8. feladat: Az analógiát �gyeltethetjük meg a 0 és 10, illetve 10 és 20 között
végzett m¶veletek között ennek a szöveges feladatnak a megoldása során. Figyeljük
meg, milyen fejlett a tanulók szövegértése, szövegértelmezése, meg�gyelése, problé-
mamegoldása, �gyelme.
Megoldás: 4 + 5 = 9 14 + 5 = 19
Tk. 7/2. kidolgozott mintapélda: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül,
analógiákra támaszkodva. A továbblépéshez szükséges, hogy minden gyermek eszköz-
használat nélkül, lényegében hibátlanul, begyakorlottan végezze el a kivonást a 20-as
számkörben. Figyeltessük meg az analógiát a 0 és 10, illetve 10 és 20 közötti számokkal
végzett kivonások között.
Tk. 7/9. feladat: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra tá-
maszkodva. A számegyenesen történ® lépegetéssel szemléletessé tehetjük a m¶velet-
végzést.
Megoldás: 9 { 4 = 5 19 { 4 = 15
Tk. 7/10. feladat: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra
támaszkodva. A játékpénzzel történ® kirakás, a pénz leolvasása könnyebbé teheti a
számolást.
Megoldás: 5 { 2 = 3 15 { 2 = 13 15 { 12 = 3
Tk. 7/11. feladat: Az analógiát �gyeltethetjük meg a 0 és 10, illetve 10 és 20 között
végzett m¶veletek között ennek a szöveges feladatnak a megoldása során. Figyeljük
meg, milyen fejlett a tanulók szövegértése, szövegértelmezése, meg�gyelése, problé-
mamegoldása, �gyelme.
Megoldás: 7 { 4 = 3 17 { 4 = 13
Tk. 8/3. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, mennyire tudják helyesen értelmezni
a szöveget, illetve a rajzot, m¶veletet a tanulók. Ha nem okoz gondot a tíz átlépése, ne
er®ltessük a klasszikus �tízesátlépés" modell alkalmazását. Ha a tanuló nem képes önál-
lóan kiszámolni az eredményt, akkor segíthet ennek a számolási tervnek a megtanulása
és begyakorlása.
Tk. 8/12. feladat: A szemléletre támaszkodva újra és újra felismertethetjük, tudatosíthat-
juk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az összeadás és a kivonás kapcsolatát.
Hasonló feladatokkal elevenítsük fel, ha szükséges, gyakoroltassuk a �tízesátlépés"
modellr®l tanultakat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
3
Megoldás: a) 6 + 5 = 1 1
6z }| {
+ 4 + 1
5 + 6 = 1 1
5z }| {
+ 5 + 1
11 { 5 = 6
11z }| {
{ 1 { 4
11 { 6 = 5
11z }| {
{ 1 { 5
b) 8 + 7 = 1 5
8z }| {
+ 2 + 5
7 + 8 = 1 5
7z }| {
+ 3 + 5
15 { 7 = 8
15z }| {
{ 5 { 2
15 { 8 = 7
15z }| {
{ 5 { 3
Tk. 9/13. feladat: A �tízesátlépés" modellt számegyenesen történ® lépegetéssel tehetjük
szemléletessé. Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a lépéseket.
Megoldás: 6 + 7 = 1 3
6z }| {
+ 4 + 3
7 + 6 = 1 3
7z }| {
+ 3 + 3
13 { 6 = 7
13z }| {
{ 3 { 3
13 { 7 = 6
13z }| {
{ 3 { 4
Tk. 9/14. feladat: Összeadás, kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépésével. Egy-
egy feladat megoldásakor kérdezzük meg a gyermekeket, hogy ki hogyan számolt, ki
számolt másképpen.
Megoldás: 4 + 6 = 10 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13
13 { 3 = 10 13 { 5 = 8 13 { 8 = 8
Tk. 9/15. feladat: A számolást, a képi gondolkodást fejleszthetjük ezzel a feladattal.
Egy úszó kacsa képét kapjuk:
Megoldás:6 + 5
18 4�6 2�
3 + 1
5 + 5
9+
9
8 + 8
8 + 3
106
�
7 + 7
20 4�
13 4�12 5�
18 7�9 + 2
6 + 6
102
3
� �
16
5�3
+3
5 + 2
4 + 4 + 1
5+
1
2 + 7
9 5�
16 3�7 + 5 20 4 1� �
4 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 10/5. kidolgozott mintapélda: A szemléletre támaszkodva újra és újra felismer-
tethetjük, tudatosíthatjuk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az összeadás és a
kivonás kapcsolatát.
Tk. 10/16. feladat: A 10 bontásának felelevenítése. Ismét tudatosítsuk az összeadásban
a tagok felcserélhet®ségét, az összeadás és kivonás közti kapcsolatot.
Megoldás: 2 + 8 = 10 4 + 6 = 10 8 + 2 = 10 6 + 4 = 10
10 { 2 = 8 10 { 6 = 4 10 { 8 = 2 10 { 4 = 6
Tk. 10/17. feladat: A feladattartást, meg�gyel®képességet, képi gondolkodást fejleszt®
feladatsor.
Megoldás:
K
S S
K
S S
S
Z
Z
P P
Z
Z Z
P
S
K
S S
K
S S
S
S
1. 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 0 = 20
2. 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 1 + 0 + 0 = 20
3. 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 21
Gy. 5/1. feladat: Elevenítsük fel az összeadás értelmezését.
Az ábrákról két összeadás leírását várjuk el
Megoldás: 3 + 4 = 7 3 + 6 = 9 4 + 4 = 8 7 + 3 = 10
4 + 3 = 7 6 + 3 = 9 4 + 4 = 8 3 + 7 = 10
Gy. 5/2. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését.
Az ábrákról két kivonás leírását várjuk el.
Megoldás: 5 { 3 = 2 8 { 4 = 4 8 { 2 = 6 5 { 3 = 2
5 { 2 = 3 8 { 4 = 4 8 { 6 = 2 5 { 2 = 3
Gy. 5/3. feladat: Az ábrákról két összeadás és két kivonás leírását várjuk el. Például
a harmadik képen 1 kerékpár szemben áll a többivel. Természetesen a gyermek más
szempont szerint is csoportosíthatja a kerékpárokat. A szemléletre támaszkodva újra
és újra felismertethetjük, tudatosíthatjuk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az
összeadás és a kivonás kapcsolatát. Minden esetben mondassuk is el a gyermekkel,
hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.
Megoldás: 4 + 2 = 6 2 + 3 = 5 4 + 1 = 5 4 + 6 = 10
2 + 4 = 6 3 + 2 = 5 1 + 4 = 5 6 + 4 = 10
6 { 2 = 4 5 { 2 = 3 5 { 1 = 4 10 { 4 = 6
6 { 4 = 2 5 { 3 = 2 5 { 4 = 1 10 { 6 = 4
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
5
Gy. 5/4. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése az összeadás
gyakorlásával.
Megoldás: a) 4 8 2 8 b) 5 8 9 7
2 8 6 8 1 6 9 9
7 8 9 7 5 9 9 9
Gy. 6/5. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése a kivonás
gyakorlásával.
Megoldás: a) 3 1 0 2 b) 2 6 3 3
1 1 6 1 2 4 1 1
3 3 4 3 4 2 0 0
Gy. 6/6. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve kisebbítend®,
kivonandó pótlásával.
Megoldás: a) 5 3 5 3 b) 2 4 6 8
4 2 6 3 2 7 1 8
3 4 2 3 3 1 1 9
Gy. 6/7. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, összeg, illetve a hiányzó
kisebbítend®, kivonandó, különbség pótlásával.
Megoldás: a) 6 2 5 4 b) 1 8 8 3
7 9 1 0 4 3 6 6
3 5 4 7 0 4 0 1
Gy. 6/8. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése a 10 bontásának
felelevenítése céljából.
Vetessük észre, hogy ebben a feladatban nem tudjuk pontosan, hogy hány kék és hány
piros kis autójuk van a gyerekeknek. De ha például a kék autók számát megadjuk, akkor
a pirosak számát is meghatározhatjuk.
Tudatosítsuk, hogy a P és a K bet¶k a piros, illetve a kék autók számát jelentik.
Megoldás: P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
A kitöltött táblázat segítségével válaszolhatunk a táblázat alatt olvasható
kérdésre:
6 piros és 4 kék autójuk van.
Gy. 7/9. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó összeg, illetve a hiányzó különb-
ség, kisebbítend® pótlásával.
Megoldás: a) 18 10 11 b) 15 10 18
10 10 17 16 10 10
13 10 13 20 14 20
Gy. 7/10. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése az összeadás
gyakorlásával.
6 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 8 18 18 b) 6 16 16
5 15 15 8 18 18
9 19 19 9 19 19
Gy. 7/11. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése a kivonás
gyakorlásával.
Megoldás: a) 6 16 6 b) 6 16 6
2 12 2 2 12 2
2 12 2 3 13 3
Gy. 7/12. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok pótlásával.
Megoldás: a) 10 5 1 b) 11 4 4
12 4 4 12 6 10
15 7 1 13 7 12
Gy. 8/13. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve hiányzó kisebbí-
tend®, kivonandó pótlásával. A d és e feladatokat di�erenciált munkára a jobb képesség¶
tanulók számára készítettük.
Megoldás: a) 6 15 1 d) 14 1 2
6 16 2 10 3 2
14 1 5
b) 4 17 4 e) 17 10 18
1 17 1 19 13 19
c) 2 18 19
3 20 15
Gy. 8/14. feladat: A szöveg megértését a rajzok helyes kiegészítése igazolja. Ez
helyettesíti az adatok lejegyzését.
Megoldás:
a) A rajzot 4 körtével, 3 szilvával, 2 almával kell kiegészíteni.
A matematikai modell és a megoldás: 10 + 3 + 4 = 17
Szöveges válasz: 17 gyümölcs van összesen.
b) 4 tulipánt kell sárgára színezni, a többit pirosra.
A matematikai modell és a megoldás lehet:
4 + 1 2 = 16, 1 2 + 4 = 16, 16 { 4 = 1 2 , 16 { 1 2 = 4
Szöveges válasz: 12 piros tulipánt ültetett Jutka.
c) Áginak 7 bélyeget kell rajzolni.
A matematikai modell és a megoldás lehet:
10 3> 7 , 10 { 3 = 7 , 7 <3 10, 7 + 3 = 10
Szöveges válasz: 7 bélyege van Áginak.
Gy. 9/15. feladat: Valamennyivel több, valamennyivel kevesebb fogalmának felelevení-
tése, alkalmazása.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
7
Tudatosítsuk, hogy például a 3 <10 13 összefüggést kétféleképpen olvashatjuk:
Megoldás: 3 <10 13 12 <3 15 15<13 2
3 + 10 = 13 12 + 3 = 15 15 { 13 = 2
13 10> 3 15 3> 12 2 <13 15
13 { 10 = 3 15 { 3 = 12 2 + 13 = 15
Gy. 9/16. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat.
Megoldás: 19 { 9 <2 12 1 4 { 3 <2 13 18 { 5 <2 18 { 3
18 { 0 3> 15 1 4 + 5 3> 16 12 + 4 4> 12 + 0
Gy. 9/17. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyiérték
átlépésével.
Megoldás:
a) b)
3
+ 71 0
+ 21 2
+ 9
16
{ 61 0
{ 28
{ 8
c) d)
5
+ 5
1 0+ 3
1 3
+ 8
17
{ 71 0
{ 19
{ 8
Gy. 9/18. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyiérték
átlépésével.
Megoldás:
a)
5+ 7
1 2
1 0
+ 5 + 2
4+ 9
1 3
1 0
+ 6 + 3
9+ 8
1 7
1 0
+ 1 + 7
b)
1 4{ 6
8
1 0
{ 4 { 2
1 6{ 9
7
1 0
{ 6 { 3
1 2{ 7
5
1 0
{ 2 { 5
Gy. 10/19. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás gyakorlásával helyiérték
átlépésével.
8 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 10 12 13 13 b) 12 12 16 11
11 12 11 14 15 11 15 13
11 11 10 11 14 10 14 12
10 10 12 10 13 13 10 14
c) 15 12 14 16
17 11 13 18
16 10 15 17
10 16 17 18
Gy. 10/20. feladat: Számolási rutin fejlesztése a kivonás gyakorlásával helyiérték átlé-
pésével.
Megoldás: a) 9 4 8 3 b) 6 5 7 9
6 5 3 4 8 8 6 8
7 2 9 5 7 4 9 6
c) 5 8 7 8
7 6 8 9
7 9 9 9
Gy. 10/21. feladat: Számolási rutin fejlesztése a kivonás gyakorlásával helyiérték átlé-
pésével.
Megoldás:
a 4 5 2 1 3 4 2 1 8 8 1 2 0 0
b 3 5 1 6 5 2 2 3 1 1 9 2 10 5
c 3 0 7 3 2 4 6 6 1 1 0 6 0 5
a + b + c = 10 a + c + b = 10 b + a + c = 10 b + c + a = 10
c + a + b = 10 10 { a { b = c 10 { a { c = b 10 { b { c = a
c + b + a = 10 10 { b { a = c 10 { c { a = b 10 { c { b = a
Az utolsó oszlopban más megoldás is lehetséges:
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 3 4 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 4 3 3 1 0
Gy. 11/22. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával
helyiérték átlépésével.
Megoldás: a) 20 15 12 20 b) 12 5 4 10
18 11 11 15 3 6 5 5
18 11 11 20 9 6 9 15
c) 13 7 14 3
13 6 14 7
13 8 12 8
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
9
Gy. 11/23. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve a hiányzó
kisebbítend®, kivonandó pótlásával.
Megoldás: a) 9 9 6 5 b) 8 13 9 6
3 3 6 9 3 14 6 8
4 8 8 8 5 12 8 9
c) 6 + 8 { 5 = 9 9 + 5 { 6 = 8 12 { 4 { 3 = 5
3 + 9 { 4 = 8 7 + 8 { 6 = 9 13 { 5 { 7 = 1
13 { 5 + 8 = 1 6 12 { 6 + 7 = 13 6 + 5 + 3 = 14
Gy. 11/24. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyi-
érték átlépésével.
Megoldás:
a)
9
+ 7
{ 7
1 6
{ 3
+ 3
1 3
+ 7
{ 7
2 0
{ 5
+ 5
1 5
b)
1 8
{ 6
+ 6
1 2
+ 5
{ 5
1 7
{ 8
+ 8
9
+ 3
{ 3
1 2
Gy. 11/25. feladat: Figyeltessük meg a tagok és az összeg, valamint a kivonandó és a
különbség változásait.
Megoldás: 3 + 5<10 3 + 15 7 { 5<10 17 { 5 6 + 6<10 6 + 13
Gy. 12/26. feladat: Következetesen szoktassuk rá a gyermekeket az adatok lejegy-
zésére, a számolási terv megadására, a számolás gondos elvégzésére és a válasz
leírására.
Ismertessük fel, hogy többféleképpen írhatjuk le az összefüggést a matematika nyelvén.
Megoldás: a) Adatok: 4 almát kell még rajzolni, majd 8 almát pirosra,
6-ot sárgára kell színezni.
Terv: p + s = a
Számolás: 8 + 6 = a a = 14
Válasz: 14 alma van összesen.
a) Adatok: 1 almát kell még rajzolni, 6-ot sárgára,
a többit pirosra kell színezni.
Terv: p = 11 { 6, 6 + p = 11, 11 { p = 6, p + 6 = 11
Számolás: p = 5
Válasz: 5 piros alma van.
10 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 12/27. feladat: Következetesen szoktassuk rá a gyermekeket az adatok lejegy-
zésére, a számolási terv megadására, a számolás gondos elvégzésére és a válasz
leírására.
Ismertessük fel, hogy többféleképpen írhatjuk le az összefüggést a matematika nyelvén.
Megoldás: a) Adatok: P = 9 Ft, P < 3 R; R = ?
Terv: P + 3 = R
Számolás: R =9 + 3 R = 12 Ft
Válasz: 12 Ft-ja van Ritának.
b) Adatok: B = 12, B 5> T; T = ?
Terv: T = B { 5, T + 5 = B, T = 12 { 5, T + 5 = 12
Számolás: T = 7
Válasz: Tamás 7 éves.
Gy. 12/28. feladat: Di�erenciált foglalkozásra szánt feladat a metakogníció fejlesztésére.
Megoldás:
3 + 12 + 2 = 1 7 16 { 12 + 5 = 9
+ + + + { + + {
10 + 5 { 13 = 2 11 + 5 { 10 = 6
+ { { { + { { +
1 + 3 + 11 = 1 5 3 + 13 { 4 = 1 2
= = = = = = = =
1 4 { 1 4 + 4 = 4 8 { 4 + 1 1 = 1 5
Óra: 7. 8. 8.
Felmér® feladatsorok: Év eleji tájékozódó felmérés.
Kerek tízesek 100-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, mennyiségi következtetés, re-
lációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás,
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,
kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 8{9. 9{10. 9{10.
1. osztály év végén megismerkedtek a gyermekek a 100-nál nem nagyobb kerek tíze-
sekkel. Ha nem, akkor most ismerkednek meg velük. Felelevenítjük, elmélyítjük és
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
11
kib®vítjük ezeket az ismereteket. A fogalom kialakítása során gondot okozhat annak a
megértése, hogy a 0 és a 100 is kerek tízes.
A gyermekeknek meg kell tanulniuk számolni a kerek tízesekkel.
Számlálás kerek tízesekkel növekv®, illetve csökken® sorrendben.
Tk. 11/Figyeld meg!: A meg�gyelést konkrét játékpénzzel történ® kirakás, számlálás
el®zze meg. Figyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számok és a kerek tízesek
között.
A kerek tízesek nevének és írásának megtanítása mellett a gyermekek ismerjék fel, hogy
például a 30 3 darab tízes, 30 = 3-szor 10.
Íly módon a kerek tízesek fogalmának elmélyítése el®készíti a tízes szorzótábla megta-
nulását.
Tk. 12/1. feladat: Figyeltessük meg, hogy ugyanazt a számot többféle formában is
leírhatjuk, például számjeggyel, bet¶vel, kirakva különféle dolgokkal. Ezzel er®síthetjük,
szilárdíthatjuk meg a számfogalmat. A gyengébb képesség¶ tanulókkal nagyon sokszor
ki kell rakatnunk a számot, csak így lehet biztos számfogalmuk.
Megoldás: Pénztárcában 2 db tízforintos 20 Ft
3 csomag cukorka 30 darab
4 lánc 40 gyöngy
8 db tízforintos 80 Ft
10 db ötforintos 50 Ft
Golyós számoló 100 gömb
Tk. 12/2. feladat: Az egyesek és a kerek tízesek közötti analógiát alkalmazhatjuk
a kerek tízesek számegyenesen történ® ábrázolása során,
a kerek tízesek nagyság szerinti összehasonlításakor (melyik mennyivel nagyobb, illetve
kisebb).
Megoldás: 4 2 5 7
40 20 50 70
Tk. 13/3. feladat: Beszéljük meg, merre lép a nyuszi, ha balra, s merre, ha jobb-
ra lép. Több hasonló feladattal �járjuk" be a 100-as számkört, hogy minél biztosabb
számfogalmuk alakuljon ki a tanulóknak.
Megoldás: A 20-as számon van a káposzta,
a 80-as számon van a répa.
Tk. 13/4. feladat: Az el®z® feladat tapasztalatait felhasználva ismét �gyeltessük meg
a kerek tízesek helyét a számegyenesen, hasonlíttassuk össze melyik kerek tízes a
nagyobb, kisebb. Ismét tudatosíttassuk, hogy a 0 is és a 100 is lehet kerek tízes.
Megoldás: A sün a nyúlhoz jut.
A cica szintén a nyúlhoz jut.
A béka a mókushoz jut.
12 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A mókus a békához jut.
Tk. 13/5. feladat: Az el®z® feladatban szerepl® számegyenes segíthet a tanulóknak a
feladat megoldásában. A problémaérzékenységet, képi gondolkodást, relációszókincset,
meg�gyelést, feladattartást fejleszt® feladatsor.
Megoldás: Egy lepke képe alakul ki.
s z z z z z z z s
s s z z b z z s s
s s s z b z s s s
z s s s b s s s z
z k k k b k k k z
k k k k b k k k k
k p k z b z k p k
k k z z b z z k k
z z z z z z z z z
Gy. 13/1. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak, a 10 többszöröseinek a
fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít® feladat.
Megoldás: 10 = 1 � 10 = 10 1 darab 10 = 10
1-szer 10 = 10
10 + 10 = 2 � 10 2 darab 10 = 20
2-szer 10 = 20
10 + 10 + 10 = 3 � 10 3 darab 10 = 30
3-szor 10 = 30
10 + 10 + 10 + 10 = 4 � 10 4 darab 10 = 40
4-szer 10 = 40
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 5 � 10 5 darab 10 = 50
5-ször 10 = 50
Gy. 13/2. feladat: A szorzás fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít®
feladat.
Megoldás: 60 = 6 � 10 6 db tízforintost kell kiszínezni.
80 = 8 � 10 8 db tízforintost kell kiszínezni.
50 = 5 � 10 5 db tízforintost kell kiszínezni.
90 = 9 � 10 9 db tízforintost kell kiszínezni.
70 = 7 � 10 7 db tízforintost kell kiszínezni.
100 = 10 � 10 10 db tízforintost kell kiszínezni.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
13
Gy. 13/3. feladat: Gyakoroltathatjuk a pénzhasználatot. Figyeljük meg, mennyire
képesek a tanulók az adott értékeket többféleképpen ki�zetni az adott címlet¶ pénzek-
kel. Játszassuk el a feladatot, hogy a gyengébb képesség¶ tanulóknak is biztosabb
számfogalma alakuljon ki.
Megoldás: 40 10 10 10 10 10 10 20
20 20
60 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20
10 10 20 20 20 20 20
10 50
70 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20
10 10 10 10 10 20 10 10 50
10 20 20 20 20 50
100 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 20
10 10 10 10 10 10 20 20
10 10 10 10 10 50
10 10 10 10 20 20 20
10 10 10 20 50
10 10 20 20 20 20
10 20 20 50
20 20 20 20 20
50 50
M¶veletek kerek tízesekkel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, mennyiségi következtetés, re-
lációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás,
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
�gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 10{12. 11{13. 11{14.
14 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 14/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda alapján több hasonló feladattal �-
gyeltessük meg, gyakoroltassuk az összeadást kerek tízesekkel. Az egyjegy¶ számok
összeadásakor használt algoritmusokat analóg módon alkalmazzuk a kerek tízesekkel
történ® összeadás értelmezésében és elvégzésében.
Ha az analógiát nehezen ismeri fel a gyermek, akkor adjunk a kezébe játék pénzt.
Tk. 14/1. feladat: Rakják ki játék pénzzel is a m¶veletet a tanulók, így szemléletesé
válik a kerek tízesekkel végzett összeadás. Figyeltessük meg, hogy az összeadásban a
tagok felcserélhet®k.
Megoldás: 4 1 + 5 1 = 9 1 4 10 + 5 10 = 9 10
4 + 5 = 9 40 + 50 = 90
5 1 + 4 1 = 9 1 5 10 + 4 10 = 9 10
5 + 4 = 9 50 + 40 = 90
Tk. 14/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶ve-
letvégzést. Ismét �gyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számokkal, illetve kerek
tízesekkel végzett összeadás között.
Megoldás: Nyílra: +5 Nyílra: +50
M¶velet: 3 + 5 = 8 M¶velet: 30 + 50 = 80
Tk. 15/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda alapján több hasonló feladattal �gyel-
tessük meg, gyakoroltassuk a kivonást kerek tízesekkel. Az egyjegy¶ számok kivo-
násakor használt algoritmusokat analóg módon alkalmazzuk a kerek tízesekkel történ®
kivonás értelmezésében és elvégzésében.
Ha az analógiát nehezen ismeri fel a gyermek, akkor adjunk a kezébe játék pénzt.
Tk. 15/3. feladat: Rakják ki játék pénzzel is a m¶veletet a tanulók, így szemléletesé
válik a kerek tízesekkel végzett kivonás. Figyeltessük meg .a kivonandó és a különbség
közti kapcsolatot.
Megoldás: 9 1 { 5 1 = 4 1 7 10 { 3 10 = 4 10
9 { 5 = 4 70 { 30 = 40
9 1 { 4 1 = 5 1 9 10 { 4 10 = 5 10
9 { 4 = 5 90 { 40 = 50
Tk. 15/4. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶ve-
letvégzést. Ismét �gyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számokkal, illetve kerek
tízesekkel végzett kivonás között.
Megoldás: Nyílra: { 5 Nyílra: { 50
M¶velet: 8 { 5 = 3 M¶velet: 80 { 50 = 30
Tk. 16/5. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése, begya-
korlása. A 10 többszöröseinek, illetve a 10-es szorzótáblának az elsajátítását segít®
feladat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
15
A gyermekekkel �gyeltessük meg a kerek tízesek elhelyezkedését a számvonalon.
A táblázat kitöltésekor felismerhetik a szorzás és az osztás kapcsolatát.
Megoldás: 1 5 3 4 9 7 10 2 0 8 6
10 50 30 40 90 70 100 20 0 80 60
Tk. 16/6. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése, begya-
korlása. A 10 többszöröseinek, illetve a 10-es szorzótáblának az elsajátítását segít®
feladat.
Megoldás: 1-szer 10 Ft = 10 Ft 1 � 10 = 10
10 + 10 + 10 = 30
3-szor 10 Ft = 30 Ft 3 � 10 = 30
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50
5-ször 10 Ft = 50 Ft 5 � 10 = 50
Tk. 16/7. feladat: A feladat feldolgozása el®készíti annak felismerését, hogy az osztás
(bennfoglalás) a szorzás inverze.
Szükség esetén oldassunk meg több hasonló feladatot.
Megoldás: 40-ben a 10 4-szer van meg, mert 4-szer 10 = 40,
50-ben a 10 5-ször van meg, mert 5-ször 10 = 50
80-ban a 10 8-szor van meg, mert 8-szor 10 = 80
100-ban a 10 10-szer van meg, mert 10-szer 10 = 100
Tk. 17/8. feladat: Azonos szín azonos számot jelent. Az 1. sor tíz sárga téglalapból áll,
és a beírt számok összege 100. Ezért a sárga téglalapba írandó szám (10) meghatároz-
ható. Így minden sárga téglalapba beírhatjuk a 10-et. A következ® lépésekben mindig
olyan részt kell keresni, amelyben az ismert színek mellett csak egy új szín fordul el®.
Máshonnan is elkezdhet® a feladat. Például a 2. oszlop utolsó két barna hatszögébe írt
számok összege szintén 100, tehát a barna hatszögekbe 50-et kell írnunk.
Kiindulhatunk még például a 2. sor utolsó két téglalapjából, a 3. oszlop els® három
téglalapjából, a 6. oszlop utolsó félköréb®l, illetve a 8. oszlop els® téglalapjából is.
A többféle megoldásmenet keresése fejlesztheti a gyermekek problémaérzékenységét,
ötletgazdagságát, gondolkodásuk rugalmasságát.
Megoldás:
16 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 17/9. feladat: Beszéljük meg, hogy itt a táblázat mellett lév® alakzatokban az azonos
szín¶ téglalapok nem föltétlenül azonos számokat jelentenek, mint az el®z® feladatban.
Megbeszélhetjük azt is, hogyan lehet felírni a 100-at két, három, négy, öt kerek tízes
összegeként. Ezek az összegek mely esetekben állhatnak azonos tagokból.
A kreativitás fejlesztése céljából kerestessük meg az összes megoldást:
Megoldás:
20 20 40 20 80 40 40 90
20 30 30 40 10 10 30 40
20 10 20 70 70 60 40 20
20 80 50 50 80 10 30 50
20 20 40 20 80 40 40 90
20 30 30 40 10 10 30 40
20 10 20 70 70 60 40 20
20 80 50 50 80 10 30 50
20 20 40 20 80 40 40 90
20 30 30 40 10 10 30 40
20 10 20 70 70 60 40 20
20 80 50 50 80 10 30 50
20 20 40 20 80 40 40 90
20 30 30 40 10 10 30 40
20 10 20 70 70 60 40 20
20 80 50 50 80 10 30 50
Tk. 17/10. feladat: A jobb, illetve a bal oldali feladaton belül az azonos szín¶ téglalapok
azonos számokat, a különböz®ek különböz® számokat jelentenek.
Bár a gyermekekt®l els®sorban próbálgatással várjuk el a megoldásokat, a feladatok
következtetéssel is megoldhatók:
Megoldás:
s s s 30
2s 2s s + 30
4s 3s + 30
7s + 30
10 10 10 30
20 20 40
40 60
100
0 10 10 40
10 20 50
30 70100
Tk. 17/11. feladat: A bal és a jobb oldali feladat egymástól független. Az egyes színek
nem ugyanazokat a számokat jelentik a két feladatban.
A bal oldali feladatban az utolsó sort vizsgál-
va meg�gyeltethetjük, hogy a sárga és a kék
téglalapba írt számok összege megegyezik
a rózsaszín téglalapba írt számmal. Ezt az
eredményt az els® sorral összevetve meg-
állapítható, hogy a rózsaszín téglalapba írt
szám 50, illetve a sárga és a kék téglalapba
írt számok összege is 50. A két középs® sor-
ból kiolvasható, hogy a sárga téglalap 30-at,
a kék téglalap 20-at ér.
50 + 30 + 20 = 100
50 + 30 { 20 = 60
50 { 30 + 20 = 40
50 { 30 { 20 = 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
17
A jobb oldali feladatnak több megoldása van.
40 + 60 = 100 30 + 70 = 100
{ { { { { {
10 + 40 = 50 20 + 30 = 50
= = = = = =
30 + 20 = 50 10 + 40 = 50
A megoldás kulcsa lehet annak meg�gyelése, hogy
100 { r = r , tehát a rózsaszín téglalap 50-et ér.
Gy. 14/1. feladat: Egy képr®l két összeadás és két kivonás írását várjuk el a tanulók-
tól. Ismét �gyeltessük meg, hogy az összeadásban a tagok felcserélhet®k, illetve az
összeadás és kivonás kapcsolatát.
Megoldás: 30 + 60 = 90 30 + 70 = 100 80 + 20 = 100
60 + 30 = 90 70 + 30 = 100 20 + 80 = 100
90 { 60 = 30 100 { 30 = 70 100 { 80 = 20
90 { 30 = 60 100 { 70 = 30 100 { 20 = 80
Gy. 14/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶velet-
végzést. Beszéljük meg, mit jelent a jobbra, illetve balra lépés.
Megoldás: 30 + 40 = 70 70 { 50 = 20
40 + 20 + 30 = 90 90 { 40 + 20 = 70
Gy. 14/3. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak, a 10 többszöröseinek a
fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít® feladatok.
Megoldás:
a) 3 <5 8 3 + 5 = 8 30<50 80 30 + 50 = 80
8 5> 3 8 { 5 = 3 80 50> 30 80 { 50 = 30
b) 9 7> 2 9 { 7 = 2 90 70> 20 90 { 70 = 20
2 <7 9 2 + 7 = 9 20<70 90 20 + 70 = 90
Gy. 15/4. feladat: Számítások egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.
Megoldás: a) 7 9 10 b) 7 10 9
70 90 100 70 100 90
c) 10 9 8 d) 3 3 3
100 90 80 30 30 30
e) 3 1 8 f) 4 2 1
30 10 80 40 20 10
Gy. 15/5. feladat: Hiányos összeadásokban a hiányzó tag, kivonásokban a hiányzó
kisebbítend®, kivonandó pótlása egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.
18 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 50 70 50 b) 30 100 60
30 40 40 60 80 70
50 80 20 20 80 90
Gy. 15/6. feladat: Hiányos összeadásokban a hiányzó tag, kivonásokban a hiányzó
kisebbítend®, kivonandó pótlása egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.
Megoldás:
a) 0 3 0 6 0 9 0 80 6 0 4 0 2 0
b) 1 0 4 0 7 0 100 9 0 7 0 50 3 0
c)
40
2 0
7 0
5 0
3 0
8 0
6 0
4 0
9 0
7 0
Gy. 16/7. feladat: A szöveges feladatok megoldásának els® lépése a szöveg elemi
információtartalmának értelmezését jelenti. Vetessük észre, hogy nem elég kiírni a
szövegb®l a számokat, hanem azt is tudnunk kell, hogy mire vonatkoznak ezek az
adatok.
Két-két feladatban ugyanazok a számok fordulnak el®. Fontos, hogy ne csak az adatokat
jegyezzük le, hanem azt is, milyen kapcsolat van az adatok között. Ez alapul szolgálhat
a számolási terv felírásához.
Megoldás: a) Adatok: Volt: 40 Ft. Kapott: 20 Ft-ot + 30 Ft-ot. L = ? Ft
Terv: L = 40 + 20 + 30
Számolás: L = 40 + 20 + 30 L = 90
Válasz: Tibinek 90 Ft-ja van.
b) Adatok: M = 30, M 10> H, H = ?
Terv: H = M { 10
Számolás: H = 30 { 10 H = 20
Válasz: 20 gyerek van a homokozóban.
c) Adatok: L = 30, L <10 F, F = ?
Terv: F = L + 10
Számolás: F = 30 + 10 = 40
Válasz: 40 �ú labdázott az udvaron.
Adatok: L = 30, F = 40, Ö = ?
Terv: Ö = L + F
Számolás: Ö = 30 + 40 Ö= 70
Válasz: 70 gyerek labdázott összesen.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
19
d) Adatok: v = 40, k = 20, a = 30, l = ?
Terv: l = v + k { a
Számolás: l = 40 + 20 { 30 l = 30
Válasz: 30 bélyege lett így Gabinak
Kétjegy¶ számok
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, mennyiségi következtetés, re-
lációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás,
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,
kooperatív és önálló munkavégzés
Óra: 13{15. 14{17. 15{19.
1. osztály év végén megismerkedtek a gyermekek a kétjegy¶ számokkal. Most a kerek
tízesekr®l tanultakra is támaszkodva felelevenítjük, elmélyítjük és kib®vítjük ezeket az
ismereteket.
Tk. 18/Figyeld meg!: A tankönyv szemléltet® ábrája meg�gyeltetésével újra tudatosít-
hatjuk, hogy például 40 = 40 egyes = 4 tízes.
Tk. 18/1. kidolgozott mintapélda: A szemléletb®l kiindulva értelmezhetjük a helyiérté-
kes írásmód lényegét. Újra és újra adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják,
hogyan írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként. Fontos, hogy
minden gyermek megértse ezt az összefüggést.
Tk. 18/1. feladat: Gyakoroltassuk a számok leírását tízesek és egyesek összegére,
illetve bontott alakú számok leírását számjegyekkel.
Megoldás: 3 tízes + 7 egyes = 37
7 tízes + 3 egyes = 73
7 tízes + 0 egyes = 70
Tk. 19/2. feladat: A sokféle szemléltetés el®készíti a számok alakiértékének, helyiérté-
kének és tényleges értékének tudatos megkülönböztetését, e fogalmak kialakítását.
Megoldás: 32 50 50
50 32 32
23 4 23
4 23 4
Tk. 19/3. feladat: Ismét adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják, hogyan
írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként.
20 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 58 36 63 80 8 db 1 színes.
5 db 10 5 db 1 színes.
2 db 10 6 db 1 színes.
6 db 10 2 db 1 színes.
Tk. 20/2. kidolgozott mintapélda: A páros és a páratlan szám fogalmának általánosí-
tása a szemléletre támaszkodva.
A gyermekek megsejthetik a következ®ket: A kerek tízesek páros számok. Mivel a két-
jegy¶ számok felírhatók tízesek és egyesek összegeként, csak az egyesek helyén álló
szám határozza meg azt, hogy a szám páros vagy páratlan-e. (A másodikos gyermek
szintjén ez már bizonyításnak számít!)
Az el®z®b®l következik, hogy pontosan azok a számok párosak, amelyek 0-ra, 2-re,
4-re, 6-ra vagy 8-ra végz®dnek.
Tk. 20/4. feladat: A páros és páratlan számokról tanultakat kiterjesztjük a 100-as szám-
körre. Több szemléletes feladattal tudatosítsuk, hogy a kerek tízesek párosak, így a
kétjegy¶ természetes számoknál az egyesekt®l függ, hogy egy szám páros vagy párat-
lan.
Megoldás: 20 páros 30 páros 24 páros 34 páros 27 páratlan 37 páratlan
Tk. 20/5. feladat: Figyeltessük meg, hogy a számegyenesen végig felváltva követik
egymást a páros, illetve a páratlan számok.
Megoldás: Piros pöttyök: 24, 52, 70, 86
Ezek páros számok.
Kék pöttyök: 7, 35, 41, 59, 91
Ezek páratlan számok.
Tk. 21/3. kidolgozott mintapélda: A számvonalon jelölt számok egyes, tízes, páros
szomszédainak meghatározása a számfogalom elmélyítését segíti. Figyeltessük meg,
hogy a páros számok egyes szomszédai páratlanok, a páratlanoké párosak.
Tk. 21/6. feladat: Több hasonló feladattal gyakoroltathatjuk a számszomszédok meg-
határozását, így egyre biztosabb számfogalom alakulhat ki. Az adott szomszédok meg-
határozásában segíthet a 3. kidolgozott mintapéldában szerepl® számvonal.
Megoldás: 23 < 24 < 25 22 < 24 < 26 23 < 24 < 25 20 < 24 < 30
34 < 35 < 36 34 < 35 < 36 33 < 35 < 37 30 < 35 < 40
69 < 70 < 71 68 < 70 < 72 69 < 70 < 71 60 < 70 < 80
96 < 97 < 98 96 < 97 < 98 95 < 97 < 99 90 < 97 < 100
Tk. 21/7. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, amelyeket a tanulók
gyakran elkövetnek. A hibák megkeresése, kijavítása még szilárdabbá teheti a szám-
szomszédokról tanultakat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
21
Megoldás: 30 és 40 Nem 10-zel kisebb, nagyobb számot kell írni.
38 és 40 A kerek tízesek is páros szomszédok.
35 és 37 Az el®tte és utána lév® páratlan szám kell.
Gy. 17/1. feladat: A sokféle szemléltetéssel gyakoroltathatjuk a számok alakiértéké-
nek, helyiértékének és tényleges értékének fogalmát. A számegyenessel összekötve
�bejárhatjuk" a 100-as számkört, s ez er®síti a számfogalmat.
Megoldás: 37 30 37
25 37 30
30 13 25
8 25 13
13 8 8
Gy. 17/2. feladat: Ismét adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják, hogyan
írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként. Figyeltessük meg, nem
mindegy, hogy például 4 darab tízesünk vagy 4 darab egyesünk van.
Megoldás: 5 tízes 1 egyes = 50 + 1 = 51
7 tízes 4 egyes = 70 + 4 = 74
9 tízes 9 egyes = 90 + 9 = 99
4 tízes 8 egyes = 40 + 8 = 48
8 tízes 4 egyes = 80 + 4 = 84
Gy. 18/3. feladat: Ebben a feladatban bet¶kkel írtuk le a számokat. Fontos a szövegér-
tés, a szövegértelmez® képesség fejlesztése.
Megoldás: 17 50 28
84 75 91
36 63 100
Gy. 18/4. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. A számok
helyének megkeresése a számegyenesen.
Megoldás: 45 53 63
5 db 10 kell. 5 db 10 kell. A számot kell beírni.
Gy. 18/5. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. A számok
helyének megkeresése a számegyenesen.
Megoldás: 80 71 80 78 98
74 74 100 87 89
Gy. 18/6. feladat: Kétjegy¶ számok felírása tízesekre és egyesekre bontott alakból.
Ismét beszéljük meg az alakiérték, helyiérték, tényleges érték fogalmakat.
Megoldás: 53 35 86 79 100 61 44 33
22 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 18/7. feladat: Táblázat kitöltése felismert szabály alapján. Itt is �gyeltessük meg,
hogy egy kétjegy¶ szám felírható egy kerek tízes és egy egyjegy¶ szám összegeként.
Megoldás: Szabály: a + b = c, b + a = c, c { a = b, c { b = a
a 50 60 80 40 70 90 50 60 40 30 50 80
b 2 3 9 2 6 9 7 2 3 9 5 8
c 52 63 89 42 76 99 57 62 43 39 55 88
Gy. 19/8. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. Két össze-
adás írását várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: 50 + 3 = 53 30 + 5 = 35 60 + 6 = 66
3 + 50 = 53 5 + 30 = 35 6 + 60 = 66
Gy. 19/9. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. Két összea-
dás és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól. Újra és újra tudatosítsuk, hogyan írhatók
fel a kétjegy¶ számok egyesek és tízesek összegeként.
Megoldás: 30 + 4 = 34 50 + 6 = 56 60 + 5 = 65
4 + 30 = 34 6 + 50 = 56 5 + 60 = 65
34 { 4 = 30 56 { 6 = 50 65 { 5 = 60
34 { 30 = 4 56 { 50 = 6 65 { 60 = 5
Gy. 19/10. feladat: Kétjegy¶ számok felírása tízesek és egyesek összege alapján. Képi
gondolkodást, kreativitást fejleszt® feladatsor.
Megoldás: 33 35 55 39 99
Gy. 19/11. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján. Kétjegy¶ számokból a
tízesek vagy egyesek elvétele, kerek tízesekhez egyjegy¶ számok, egyjegy¶ számokhoz
kerek tízesek hozzáadása.
Megoldás:
a) 38
{ 8 + 5
5
+ 5 0
3 0 3 5{ 3 0
5 5
b) 79
{ 9 + 4
4
+ 4 0
7 0 7 4{ 7 0
4 4
c) 55
{ 5 + 6
6
+ 6 0
5 0 5 6{ 5 0
6 6
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
23
Gy. 20/12. feladat: A feladat segítségével feleleveníthetjük a páros és a páratlan szá-
mokról tanultakat.
Megoldás: 6 3 7 8 2 4 0 5 1 9 10
Gy. 20/13. feladat: Szemléletre támaszkodva ismét beszéljük meg, hogy csak az
egyesek helyén álló szám határozza meg a szám paritását.
Megoldás: 30 38 53 45 46
Gy. 20/14. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy a számegyenesen végig felváltva
követik egymást a páros, illetve a páratlan számok.
Megoldás:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Gy. 20/15. feladat: Ismét tudatosítsuk, hogyan bontható egy kétjegy¶ szám tízesek és
egyesek összegére.
Megoldás: 6 5 7 9 0 3 5
5 6 8 0 9 1 3
60 + 5 50 + 6 70 + 8 90 + 0 0 + 9 30 + 1 50 + 3
65 56 78 90 9 31 53
Gy. 21/16. feladat: A biztos számfogalomnak egyik feltétele a számok jelölése száme-
gyenesen és a számegyenesen megjelölt számok leolvasása. Ezen túlmen®en fontos,
hogy a tanuló a számok egymás közti kapcsolatait is legyen képes megjeleníteni szám-
egyenesen, illetve le tudja azokat olvasni számegyenesr®l.
A feladattal kapcsolatosan további kérdéseket tehetünk fel:
Hogyan helyezkednek el a páros, illetve a páratlan számok a számegyenesen?
Mit tudunk a páros (páratlan) számok szomszédairól?
Lehet-e egy páros szám szomszédja is páros?
Két-két adott szám közül melyik nagyobb, mennyivel?
Mennyivel kisebb a 9 kisebb páratlan (páros) szomszédja a 9 nagyobb páros (páratlan)
szomszédjánál?
Melyik nagyobb, mennyivel? A 9 kisebb páratlan szomszédja vagy a 8 nagyobb (kisebb)
páratlan szomszédja?
Megoldás: 5 kisebb páratlan szomszédja 3
7 nagyobb páros szomszédja 8
10 nagyobb szomszédja 11
15 szomszédai 14 és 16
20 kisebb szomszédja 19
24 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 21/17. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen, számvonalon,
illetve a számegyenesen jelölt számok meghatározása alkalmas eszköz a számfogalom
elmélyítésére, a korábban tanultak általánosítására.
Kib®víthetjük a feladatokat a számok nagyság szerinti összehasonlításával. Színeztet-
hetjük a páros számokat pirossal, a páratlanokat kékkel.
Megoldás: Pirossal színezett számok: 46, 78
Kékkel színezett számok: 45, 59, 61, 87
Gy. 21/18. feladat: A szemléletre támaszkodva megvizsgáljuk, hogy melyik szám ki-
sebb, melyik nagyobb. Rendeztessük a számokat növekv®, illetve csökken® sorrendbe.
Megoldás: 45 < 46 45 > 40 3 tízes 6 egyes > 2 tízes 9 egyes
78 < 87 45 < 50 5 tízes 4 egyes > 4 tízes 5 egyes
61 > 59 50 > 40 82 egyes < 7 tízes 16 egyes
Gy. 21/19. feladat: Ha szükséges, akkor számegyenesen (számvonalon) �gyeltessük
meg a számok egyes, páros, páratlan, illetve tízes szomszédait, kés®bb általában
elegend® utalnunk a számegyenesre.
Megoldás: Egyes szomszédok: Páros szomszédok: Tízes szomszédok:
4 5 46 4 7 4 4 46 4 8 4 0 46 5 0
5 8 59 6 0 5 8 59 6 0 5 0 59 6 0
6 0 61 6 2 6 0 61 6 2 6 0 61 7 0
7 7 78 7 9 7 6 78 8 0 7 0 78 8 0
Gy. 22/20. feladat: Az egyjegy¶, kétjegy¶ szám; páros, páratlan szám fogalmának
elmélyítése. Számok nagyság szerinti rendezése. Térjünk ki arra, hogy ha egy számso-
rozat jobbról olvasva növekv®, akkor balról olvasva csökken®, és fordítva.
Megoldás: 14 < 41 < 59 < 60 < 95
100 > 60 > 14 > 6 > 0
Gy. 22/21. feladat: Ismét tudatosítsuk, hogyan írhatók fel a kétjegy¶ számok egyesek
és tízesek összegeként.
Megoldás:
a)
3 5z }| {
30 + 5 <
3 8z }| {
30 + 8
4 7z }| {
40 + 7 <
7 4z }| {
70 + 4
6 7z }| {
60 + 7 <
6 0z }| {
67 { 7
b)
9 0z }| {
96 { 6 =
9 0z }| {
95 { 5
8 0z }| {
87 { 7 >
7 0z }| {
78 { 8
4 0z }| {
48 { 8 >
3 0z }| {
38 { 8
c)
6 6z }| {
60 + 6 =
6 6z }| {
6 + 60
5 0z }| {
53 { 3 >
3z }| {
53 { 50
8z }| {
48 { 40 =
8z }| {
38 { 30
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
25
Gy. 22/22. feladat: Di�erenciálásra szánt feladatsor. A táblázat alapján szemléletessé
válik az egyes feladatok megoldása.
Megoldás: Egyjegy¶: 1 0
Kétjegy¶: 9 0
Páratlan: 5 0
Páratlan és kétjegy¶: 4 5
Csak páros számjegyb®l áll: 2 5
Kisebb 30-nál: 3 0
Nem kisebb 30-nál: 7 1
Gy. 22/23. feladat: Di�erenciálásra szánt feladatsor. A táblázat alapján szemléletessé
válik az egyes feladatok megoldása.
Megoldás: A tízesek helyén 5 áll:
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 10 db szám.
Az egyesek helyén 5 áll:
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 84, 95 10 db szám.
Számjegyek összege 5:
5, 14, 23, 32, 41, 50 6 db szám.
Két egyenl® számjegy:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 9 db szám.
Római számírás 100-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 16. 18. 20.
Az új jelek megtanulása után a gyermekek önálló munkával ismerjék fel a római számírás
�logikáját". Kapcsolódhatunk a kerek tízesekkel végzett analóg számításokhoz, illetve a
számok helyiérték szerinti bontásához.
Tk. 22/1. feladat: Ismertessük fel az egyesek és a kerek tízesek írása közti analógiát.
Megoldás: 36 = XXXVI 53 = LIII 84 = LXXXIV
48 = XLVIII 77 = LXXVII 92 = XCII
Tk. 22/2. feladat: Ismét Tasziló összegy¶jtötte a leggyakoribb hibákat, amelyeket a
tanulók elkövetnek. Ezek javításával biztosabbá válik a római számok ismerete, a római
számírás.
26 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 87 = LXXXVII 56 = LVI
49 = XLIX 42 = XLII
Tk. 22/3. feladat: Kreativitást, térlátást, képi gondolkodást fejleszt® feladat. A megoldás
után beszéljük meg, hogy a IV-et tükrözve IX-et kaptunk.
Megoldás:
XXIX XCIX LXVIII L I XLIX XCII
29 99 68 50 1 49 92
LXXIV LXXX C XXXI LV LII X
74 80 100 31 55 52 10
XLV XLIV LXVI XXXIII XIII V VII
45 44 66 33 13 5 7
Gy. 23/1. feladat: Figyeltessük meg az egyesek és a kerek tízesek írása közti analógiát.
Megoldás: I = 1 , V = 5 , X = 1 0 , L = 5 0 , C = 1 0 0
II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20
III = 1 + 1 +1 = 3 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
IV = 5 { 1 = 4 XL = 50 { 10 = 40
VI = 5 + 1 = 6 LX = 50 + 10 = 60
VII = 5 + 2 = 7 LXX = 50 + 20 = 70
VIII = 5 + 3 = 8 LXXX = 50 + 30 = 80
IX = 10 { 1 = 9 XC = 100 { 10 = 90
Gy. 23/2. feladat: Ezzel a feladattal gyakoroltathatjuk az arab számokkal leírt számok
leírását római számjegyekkel.
Megoldás: 23 = XXIII 38 = XXXVIII 82 = LXXXII 52 = LII
41 = XLI 74 = LXXIV 49 = XLIX 54 = LIV
56 = LVI 95 = XCV 67 = LXVII 59 = LIX
Gy. 23/3. feladat: Ezzel a feladattal gyakoroltathatjuk a római számjegyekkel leírt szá-
mok leírását arab számjegyekkel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
27
Megoldás: XI = 11 XV = 15 XIV = 14 XVII = 17
XXI = 21 XXV = 25 XXIV = 24 XXVII = 27
LI = 51 LV = 55 LIV = 54 LVII = 57
XXVI = 26 LXVI = 66 LXXVI = 76 LXXXVIII=88
XLIV = 44 XCI = 91 XLIX = 49 XLVII = 47
XXXIX = 39 LXXII = 72 LV = 55 XCVIII = 98
Gy. 23/4. feladat: Ismertessük fel a tíz és húsz közötti számok és a többi kétjegy¶ szám
írása közti analógiát.
Megoldás: L + XX + V = LXXV L { X + V + II = XLVII
XII + XX = XXXII L + XXX + V { I = LXXXIV
C { X + V { I = XCIV L + XXV { X = LXV
V + V { I = IX L + L { X = XC
Hosszúságmérés centiméterrel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csopor-
tos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 17-18. 19{20. 21{22.
A mérés s ezen belül a hosszúságmérés szoros kapcsolatban van a szám- és a m¶ve-
letfogalom alakulásával.
A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt célszer¶ meggy®z®dnünk arról, hogy a gyerme-
kek tisztában vannak-e a hosszúságméréssel kapcsolatos szavak jelentésével. Ilyenek
például a �hosszú", �rövid", �magas", �alacsony", �mély", �keskeny", �széles", �vastag",
�vékony", illetve �hosszúság", �szélesség", �magasság".
A hosszúságok összehasonlítása, becslése könnyebb, mint más mennyiségé. A mennyi-
ség egy kiterjedését kell szemmel végigkövetni, �gyelembe venni, elképzelni. A hosszú-
ságok összehasonlítása során is vegyük �gyelembe a fokozatosság elvét:
egymás mellé helyezhet® az összehasonlítandó két tárgy;
nem helyezhet® egymás mellé, de mindkett® látható;
az egyik látható, a másikat el kell képzelni;
mindkett®t el kell képzelni.
Elegend® gyakorlással a gyermekek mér®szalag segítsége nélkül is jó közelítéssel meg
tudják mutatni, hogy körülbelül mekkora az 1 cm-es, 5 cm-es, 10 cm-es, 15 cm-
es, 20 cm-es távolság, meg tudják mondani, hogy hány centiméter hosszúságú a
28 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
kisaraszuk, a nagyaraszuk, esetleg a lábfejük. (A gyermek saját testméreteinek ismerete
és �gyelemmel kísérése a természetismeretben is követelmény.)
Végeztessünk mérést alkalmi mértékegységekkel is. Mérés el®tt becsüljék meg a gyer-
mekek, hogy hány arasz, lépés stb. hosszú az adott távolság. Az udvaron járjanak be,
lépjenek ki, becsüljenek meg és hasonlítsanak össze nagyobb (de a számfogalom fej-
lettségének megfelel®) hosszúságokat is. Általában a nagyobb tárgyak magasságának
a becslése a legnehezebb a gyermek számára.
Tk. 23/1. feladat: Az els® osztályban megismerkedtek a gyermekek a centiméter fogal-
mával és a vonalzó vagy mér®szalag használatával. A számfogalom kialakításához is
fontos, hogy minden gyermek tudja használni a mér®szalagot, tudjon összehasonlítani,
megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat.
Megoldás: 1. 6 cm 6. 6 cm
2. 9 cm 7. 8 cm
3. 7 cm 8. 5 cm
4. 8 cm 9. 10 cm
5. 4 cm 10. 3 cm
a) barna c) lila e) 4 cm
b) sötétzöld d) piros
Tk. 23/2. feladat: Ehhez hasonló feladatokkal gyakoroltathatjuk a konkrét méréseket
egyéni, illetve páros, csoportos munkában, hogy minden gyermek tudja használni a
mér®szalagot, tudjon összehasonlítani, megbecsülni, megmérni, kimérni különböz®
hosszúságokat.
Megoldás: zöld szakasz hossza: 4 cm
lila szakasz hossza: 3 cm
barna szakasz hossza: 2 cm
sárga szakasz hossza: 6 cm
piros szakasz hossza: 1 cm
kék szakasz hossza: 11 cm
Gy. 24/1. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, illetve páros, csoportos munkában
oldathatjuk meg, ügyelve arra, hogy minden gyermek használja a mér®szalagot, tudjon
összehasonlítani, megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat. A konkrét
mérést el®zze meg a hosszúság becslése. Beszéljük meg, minél többet gyakoroljuk a
becslést, annál pontosabban határozhatjuk egy adott hosszúság körülbelüli hosszát.
Megoldás: Becs. Becs.
Arasz hossza 12 cm Ceruza hossza 14 cm
Könyv hossza 28 cm Radír hossza 3 cm
Könyv szélessége 20 cm Cip®talp hossza 15 cm
Gy. 24/2. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, munkában oldathatjuk meg, ügyelve
arra, hogy a gyermek helyesen használja a mér®szalagot, tudjon összehasonlítani,
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
29
megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat. A konkrét mérést el®zze
meg a hosszúság becslése.
Megoldás: 15 cm;
4 cm; 5 cm;
10 cm; 6 cm;
8 cm
Gy. 24/3. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, munkában oldathatjuk meg, ügyelve arra,
hogy a gyermek helyesen használja a mér®szalagot.
Megoldás: a) 13 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.
b) 5 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.
c) 4 cm, majd 8 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.
4 cm + 8 cm = 12 cm
d) 8 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.
15 cm-8 cm = 7 cm
Gy. 25/4. feladat: Figyeljük meg, hogy a gyermekek helyesen használják-e a mér®sza-
lagot, tudnak-e kimérni adott hosszúságokat.
Megoldás:
7 cm 8 cm
6 cm
14 cm
9 cm 11 cm
30 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 25/5. feladat: A vonalzó használatát, az irány és a távolság meghatározását
gyakoroltatjuk.
Megoldás:
Gy. 25/6. feladat: A vonalzó használatát, az irány és a távolság meghatározását
gyakoroltatjuk.
Megoldás: Legyen H: a hangya, V: a virág, F: a f¶szál jele.
Összesen 4 megoldás lehet:
H V F
| {z }
6 cm
H F V
| {z }
2 cm
F V H
| {z }
6 cm
V F H
| {z }
2 cm
Hosszúságmérés deciméterrel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,
induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
31
megoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség,
meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munka-
végzések.
Óra: 19{20. 21{22. 23{24.
Tényleges mérésekben alkalmazzuk a decimétert. Fontos, hogy a gyermekek becsüljék
is meg a megmérend® hosszúságot. Jó közelítéssel tudják megmutatni, hogy mekkora
az 1 dm, 2 dm, 5 dm, 10 dm, 15 dm, 20 dm. Legyenek képesek átváltani a 10
dm-nél nem nagyobb értékeket centiméterekbe és a 100 cm-nél nem nagyobb kerek
centimétereket deciméterekbe. A becsült, az összehasonlított, a megmért, illetve a
kimért távolságok különböz® helyzet¶ek legyenek.
A deciméter és a centiméter közti átváltások során a kerek tízesekr®l tanultak elmélyítése
mellett lényegében a 10-zel való szorzást és osztást is gyakorolja a tanuló.
A szabvány mértékegységek alkalmazása mellett különböz® alkalmi mértékegységekkel
is méressünk meg (vagy ki) ugyanakkora hosszúságokat. A gyermekek szerezzenek
tapasztalatot a mértékegység és a mér®szám közötti fordított arányosságról.
Tk. 24/Figyeld meg!: Gyakorlatban �gyeltessük meg, milyen mér®eszközökkel mérhe-
tünk hosszúságot, majd külön foglalkozzunk a centiméterrel, deciméterrel. Keressenek
a tanulók a közvetlen környezetükben olyan tárgyakat, amelyeket centiméterrel, illetve
deciméterrel szoktuk megmérni.
Tk. 24/1. feladat: A tananyag feldolgozását el®zze meg a tanulók környezetében lé-
v® tárgyak hosszúságának (magasság, szélesség, mélység) becslése, megmérése,
adott távolság kimérése deciméteres pontossággal. Csak kell® tapasztalatszerzés után
várható a tanulóktól a feladat helyes megoldása.
Megoldás: Becslés Mérés
Hosszúság 12 dm 12 dm
Szélesség 4 dm 4 dm
Magasság 6 dm 6 dm
Tk. 24/2. feladat: A hosszúságok összegének, különbségének el®állítása a hosszúság
fogalmának jobb megértése mellett a m¶veletfogalom mélyítését is szolgálja.
Megoldás: 6 cm 6 + 4 = 10
4 cm 4 + 6 = 10
10 { 4 = 6
10 cm = 1 dm 10 { 6 = 4
Tk. 24/3. feladat: Minden mérést el®zzön meg becslés.
Megoldás: 13 cm-t tett meg a lepke a kék úton.
14 cm-t tett meg a légy a zöld úton.
15 cm-t tett meg a méh a sárga úton.
32 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 26/1. feladat: A deciméter és a centiméter közti átváltások begyakorlása.
Megoldás: a) 10 cm 30 cm 50 cm
60 cm 90 cm 100 cm
b) 2 dm 5 dm 4 dm
8 dm 7 dm 1 dm
c) 35 cm d) 4 dm 7 cm
46 cm 9 dm 4 cm
58 cm 8 dm 5 cm
e) 5 cm f) 3 dm
2 cm 4 dm
3 cm 8 dm
Gy. 26/2. feladat: A konkrét mérés eredményét kell összehasonlítani az 1 dm-rel. Sok
hasonló feladatot kell megoldatni a tanulókkal ahhoz, hogy minél pontosabban tudjanak
megbecsülni mennyiségeket, jobban megértsék a mértékegységek közti kapcsolatokat.
Megoldás: a) 1 2 cm = 1 dm 2 cm. > 1 dm, 2 cm-rel.
b) 8 cm = 0 dm 8 cm. < 1 dm, 2 cm-rel.
c) 1 3 cm = 1 dm 3 cm. > 1 dm, 1 cm-rel.
d) 7 cm = 0 dm 7 cm. < 1 dm, 3 cm-rel.
Gy. 26/3. feladat: A becslést segíti ez a feladatsor, amelyben egy mennyiség egész
deciméter szomszédait kell meghatározni. Figyeltessük meg, melyik deciméterhez van
közelebb a mennyiség.
Megoldás: a) 1 dm < 15 cm < 2 dm b) 2 dm < 21 cm < 3 dm
3 dm < 37 cm < 4 dm 4 dm < 45 cm < 5 dm
6 dm < 68 cm < 7 dm 8 dm < 86 cm < 9 dm
7 dm < 73 cm < 8 dm 5 dm < 53 cm < 6 dm
Gy. 27/4. feladat: A vonalzó használatának gyakorlása.
Megoldás: A hangya is és a katicabogár is 5 cm utat tett meg.
Gy. 27/5. feladat: A mértékegységekr®l tanultakat gyakoroltathatjuk szöveges feladat-
ban.
Megoldás: Egyik: 20 dm Másik: 50 dm
20 dm + 50 dm = 70 dm
70 dm hosszú csövet kapnak.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
33
Gy. 27/6. feladat: A mértékegységekr®l tanultakat gyakoroltathatjuk szöveges feladat-
ban.
Megoldás: Egyik: 20 cm Másik: 7 dm = 70 cm
20 cm + 70 cm = 90 cm
90 cm hosszú rudat kapnak.
Gy. 27/7. feladat: A hosszúság-mértékegységekhez kapcsolódó fogalmakat és a szöve-
ges feladatok megoldási menetér®l tanultakat mélyítjük el a feladatok megoldása során.
Megoldás: 1 dm = 10 cm
2 cm-t kell pirosra színezni.
12 cm { 10 cm = 2 cm.
2 cm hosszú szalag marad.
Gy. 27/8. feladat: A hosszúság-mértékegységekhez kapcsolódó fogalmakat és a szöve-
ges feladatok megoldási menetér®l tanultakat mélyítjük el a feladatok megoldása során.
Megoldás: Adatok: v = 1 dm 5 cm = 15 cm, m = 7 cm, e = ?
Számolás: 15 cm { 7 cm = 8 cm
Válasz: 8 cm hosszú gyertya égett el.
Gy. 27/9. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat.
Megoldás: Az egyik oldal 6 cm, a másik 4 cm hosszú.
Hosszúságmérés méterrel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,
induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-
megoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség,
meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munka-
végzések.
Óra: 21{22. 23{24. 25{26.
A számfogalom további elmélyítéséhez is szükséges a méter fogalmának kialakítása és
a centiméter-beosztású mér®szalag megismerése és használata.
Sok olyan összehasonlítást kérjünk, amelyben az 1 m-rel, 2 m-rel, 5 m-rel, 10 m-rel
kell összehasonlítani hosszúságokat. Például:
a pad hosszúságát, szélességét, magasságát, a testmagasságukat, lépésük hosszúsá-
gát az 1 m-rel;
az ajtó, az ablak, a szekrény, a tábla szélességét, magasságát az 1 m-rel és a 2 m-rel;
34 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
a tanterem szélességét, magasságát, hosszúságát, egy autó hosszúságát a 2 m-rel,
az 5 m-rel és a 10 m-rel.
Tudják megmondani, hogy körülbelül hány méterre tudják eldobni a kislabdát, hány
centiméter hosszúságú a lépésük stb.
Jó közelítéssel tudjanak megmutatni centiméterrel adott, 1 m-nél kisebb távolságokat.
Így könnyíthetjük meg annak az eldöntését, hogy minek a hosszúságát célszer¶ méter-
rel, deciméterrel, centiméterrel meghatározni. Az erre adott válasz is becslés.
Mikor mérhetünk kétféle mértékegységgel?
1 m < pad hosszúsága < 2 m.
Ennél pontosabbá válik a mérés, ha például méterrel és deciméterrel mérjük meg a pad
hosszúságát:
1 m 2 dm < pad hosszúsága < 1 m 3 dm.
Még pontosabbá tehet® a mérés, ha deciméterrel és centiméterrel mérünk:
12 dm 4 cm < pad hosszúsága < 12 dm 5 cm.
Néhány ilyen méréssorozat végrehajtása és az eredmények megbeszélése azt a sej-
tést is meger®síti a tanulóban, hogy a mérés sohasem lehet pontos. Hosszabb távon
el®készíti a törtszámok, majd a valós számok fogalmát.
A tényleges mérések során adjunk fel olyan feladatokat, amelyek a távolságok össze-
gének, illetve különbségének a meghatározását igénylik. Ezek a komplex feladatok
egyaránt szolgálják az összeadás, a kivonás és a távolság fogalmának elmélyítését,
illetve a méréssel kapcsolatos szöveges feladatok megoldásának el®készítését.
A mértékegységek közti átváltások alkalmat adnak a tízes szorzótábla gyakorlására, illet-
ve a tízzel való maradékos osztás fogalmának kialakítására (a tudatosítás igénye nélkül).
Javasoljuk, hogy a mér®szalag használatának gyakorlását kössük össze statisztikai vizs-
gálatokkal. Például kis csoportos munkaformában megmérethetjük minden tanuló ara-
szának, lábfejének a hosszát, a fejkörméretüket. Csoportosíttathatjuk, sorba rendez-
tethetjük a mérési eredményeket, megállapíttathatjuk a legkisebb, illetve a legnagyobb
értéket.
Tk. 25/Figyeld meg!: Adjunk a tanulók kezébe méterrudat, és csoportokban mérjék
meg a környezetükben lev® néhány tárgy hosszúságát, szélességét, magasságát. Ha-
sonlítsák össze a métert a deciméterrel, centiméterrel. Majd a tapasztalatokat foglaljuk
rendszerbe.
Tk. 25/1. feladat: A feladat feldolgozását el®zze meg a tanulók környezetében lév®
tárgyak hosszúságának, magasságának stb. becslése, megmérése, adott távolságok
kimérése méterrúd, mér®szalag segítségével. Csak ilyen el®zmények után várható el,
hogy a gyermekek megbecsüljék a feladatokban adott egyes távolságokat.
Megoldás: Zsiráf: 5 m Polc: 10 dm Telefon: 10 cm
Tk. 25/2. feladat: Csak konkrét mérések után várható el, hogy a gyermekek megbe-
csüljék a feladatokban adott egyes távolságokat.
Megoldás: Autó: Gyermeklépés: Ház hossza gyermek m.
40 dm 50 cm 8 m 1 m 3 dm
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
35
Gy. 28/1. feladat: Csoportmunkában, párosmunkában mérjenek a tanulók, majd a mért
eredményeket beszéljük meg.
Megoldás: Becslés: Mérés:
H � 8 m H = 8 m 4 dm = 84 dm
Sz � 6 m Sz = 5 m 6 dm = 56 dm
M � 3 m M = 2 m 9 dm = 29 dm
Gy. 28/2. feladat: Csoportmunkában mérjenek a tanulók, majd a mért eredményeket
beszéljük meg.
Megoldás: Tábla szélessége: 1 m
Kislabdadobás: 15 m
20 gyereklépés: 9 m
Személyautó: 5 m
Gy. 28/3. feladat: A deciméter és a méter közti átváltások begyakorlása.
Megoldás: a) 10 dm 43 dm 5 dm
70 dm 56 dm 3 dm
60 dm 38 dm 5 dm
b) 5 m 2 m 7 dm 4 m
4 m 4 m 4 dm 8 m
9 m 7 m 5 dm 3 m
Gy. 28/4. feladat: Mértékegységek ismeretéhez kapcsolódó szöveges feladatok megol-
dásával a szöveges feladatok megoldatását is gyakoroltatjuk.
Megoldás: 3 m + 6 dm = 3 m 6 dm = 36 dm
Gy. 28/5. feladat: Mértékegységek ismeretéhez kapcsolódó szöveges feladatok megol-
dásával a szöveges feladatok megoldatását is gyakoroltatjuk.
Megoldás: 4 m = 40 dm
44 dm { 40 dm = 4 dm
4 dm hosszú szalagot kapunk.
Gy. 28/6. feladat: A becslést segíti ez a feladatsor, amelyben egy mennyiség egész
méter szomszédait kell meghatározni. Figyeltessük meg, melyik méterhez van közelebb
a mennyiség.
Megoldás: 3 m < 36 dm < 4 m 5 m < 55 dm < 6 m
7 m < 72 dm < 8 m 8 m < 81 dm < 9 m
36 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadása, kivonása
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-
lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-
tív és önálló munkavégzés.
Óra: 23{25. 25{28. 27{30.
A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt játék pénzzel szemléltethetjük a m¶veletek el-
végzését. Fontos, hogy az összeadást és a kivonást a tanulók legyenek képesek
számegyenesen való lépegetéssel is értelmezni. Számegyenesként használhatjuk a
centiméter-beosztású mér®szalagot.
Újra és újra �gyeltessük meg az összeadás és a kivonás kapcsolatát.
Tk. 26/1. kidolgozott mintapélda: Játék pénzzel rakassuk ki az összeadást, �gyeltes-
sük meg az összeg változásait.
Tk. 26/1. feladat: A pénzhasználat gyakorlása segíti a feladatmegoldást. Hasonló
feladatokkal gyakoroltassuk be az összeadást. Figyeltessük meg az összeg változásait.
Megoldás: 30 + 50 = 80 32 + 50 = 82 35 + 50 = 85
Tk. 26/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés szemléletessé teszi a m¶velet-
végzést.
Megoldás: 14 + 10 = 24 14 + 20 = 34 14 + 30 = 44 14 + 40 = 54
Tk. 26/3. feladat: Az összeadást kapcsoljuk össze a hosszúságméréssel, mértékvál-
tással, így komplexen gyakoroltathatjuk mindkett®t.
Megoldás: 25 + 50 = 75 75 cm = 7 dm 5 cm
28 + 40 = 68 68 cm = 6 dm 8 cm
Tk. 27/1. kidolgozott mintapélda: Játék pénzzel rakassuk ki a kivonást, �gyeltessük
meg a különbség változásait.
Tk. 27/4. feladat: A pénzhasználat gyakorlása segíti a feladatmegoldást. Hasonló
feladatokkal gyakoroltassuk be a kivonást. Figyeltessük meg a különbségváltozásait.
Megoldás: 70 { 40 = 30 72 { 40 = 32 74 { 40 = 34
Tk. 27/5. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés szemléletessé teszi a m¶velet-
végzést. Figyeltessük meg a kivonandó és a különbség változásait.
Megoldás: 64 { 10 = 54 64 { 20 = 44 64 { 30 = 34 64 { 40 = 24
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
37
Tk. 27/6. feladat: Két összeadást és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: 35 + 40 = 75 43 + 20 = 63 27 + 40 = 67
40 + 35 = 75 20 + 43 = 63 40 + 27 = 67
75 { 40 = 35 63 { 20 = 43 67 { 40 = 27
75 { 35 = 40 63 { 43 = 20 67 { 27 = 40
Tk. 28/7. feladat: A m¶veletvégzés gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok
megoldásával. A szöveges feladat megoldásmenetének lépéseit segíti feladat, ügyeljünk
arra, hogy egy lépésr®l se feledkezzenek meg a tanulók.
Megoldás: a) Adatok: e = 32, t = 20, m = ?
Terv: m = e { t
Számolás: m = 32 { 20 m = 12
Válasz: 12 üveget kell még megtöltenie.
b) Adatok: R = 32, R <20 M, M = ?
Terv: M = R + 20
Számolás: M = 32 + 20 M = 52
Válasz: 52 répát evett meg Mekeg®.
c) Adatok: U = 32, U 20> T, T = ?
Terv: T = U { 20
Számolás: T = 32 { 20 T = 12
Válasz: 12 káposztát evett meg Tapsi.
Tk. 28/8. feladat: A vásárláshoz kapcsolva gyakoroltatjuk a m¶veletvégzést. Ha szük-
séges, játszassuk el a tanulókkal a feladatot. Figyeltessük meg a különbség változásait.
Megoldás: 50 Ft 30 Ft 40 Ft 10 Ft 0 Ft 20 Ft
55 Ft 35 Ft 45 Ft 15 Ft 5 Ft 25 Ft
Gy. 29/1. feladat: Gyakoroltathatjuk a kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadását.
A pénzhasználat segít a számolásban. Figyeltessük meg az összeg változásait.
Megoldás: 35 + 10 = 45 35 + 30 = 65 35 + 50 = 85
44 + 20 = 64 44 + 40 = 84 44 + 50 = 94
Gy. 29/2. feladat: Gyakoroltathatjuk a kétjegy¶ számokból kerek tízesek elvételét. A
pénzhasználat segít a számolásban. Figyeltessük meg a különbség változásait.
Megoldás: 95 { 30 = 65 95 { 50 = 45 95 { 70 = 25
86 { 30 = 56 66 { 30 = 36 46 { 30 = 16
Gy. 29/3. feladat: A szemléletre támaszkodva kétjegy¶ számokhoz kerek tízesek hoz-
záadása, illetve elvétele.
38 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 82 Ft-ot kell rajzolni. 11 Ft-ot kell rajzolni.
32 + 50 = 82 71 { 60 = 11
Gy. 29/4. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának gyakorlása.
Megoldás: a) 36 75 57 35
57 93 52 35
93 49 63 87
b) 86 92 96 87
79 96 58 85
88 71 94 95
Gy. 30/5. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek kivonásának gyakorlása.
Megoldás: a) 56 44 42 22
45 25 57 47
18 21 44 64
b) 34 39 15 5
15 6 6 16
47 13 38 18
Gy. 30/6. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának gyakorlása szám-
egyenesen történ® lépegetéssel.
Megoldás: a) 12 + 10 = 22 b) 12 + 20 = 32 c) 12 + 30 = 42
Gy. 30/7. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek kivonásának gyakorlása szám-
egyenesen történ® lépegetéssel.
Megoldás: a) 91 { 10 = 81 b) 91 { 20 = 71 c) 91 { 30 = 61
Gy. 31/8. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának, kivonásának
gyakorlása, a hiányzó tag, illetve kisebbítend®, kivonandó pótlásával.
Megoldás: a) 20 16 30 20
30 41 30 22
70 43 34 21
b) 50 55 80 49
70 83 60 39
20 88 30 79
Gy. 31/9. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának, kivonásának
gyakorlása, sorozatok folytatása adott szabály alapján.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
39
Megoldás:
a) 8 3 8 1 8 4 8 2 8 5 8 3 8 6 8
b) 63 4 3 7 3 5 3 8 3 6 3 9 3 7 3
c) 24 4 3 4 1 4 4 4 2 4 5 4 3 4
Gy. 31/10. feladat: A függvény szabályának többféle felírása feltételezi, hogy a tanuló
tudatosan alkalmazza az összeadás és a kivonás közti kapcsolatot, illetve az összeadás
felcserélhet®ségét. A táblázat kitöltése során gyakorolja az összeadásról és a kivonásról
tanultakat.
Megoldás: Szabály: a + 40 = b, 40 + a = N, b { 40 = a, b { a = 40
a 6 25 17 9 53 52 12 48 8 31 34 53 41 0 60
b 46 65 57 49 93 92 52 88 48 71 74 93 81 40 100
Gy. 31/11. feladat: A kivonás gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok meg-
oldásával, a mértékváltással.
Megoldás: a) Adatok: r = 65 dm, l = 5 m = 50 dm, m = ?
Terv: 65 dm { 50 dm = 15 dm
Számolás: M = 15 dm
Válasz: 15 dm hosszú rudat kapnak.
Gy. 31/12. feladat: Az összeadás gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok
megoldásával, a mértékváltással.
Megoldás: a) Adatok: v = 34 dm, h = 4 m = 40 dm, l = ?
Terv: 34 dm + 40 dm = 74 dm
Számolás: L = 74 dm
Válasz: 74 dm hosszú szalagot kap Péter.
Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása, kivonása
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-
lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-
ság, kooperatív és önálló munkavégzés.
40 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 26{29. 29{33. 31{36.
A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt játék pénzzel szemléltethetjük a m¶veletek el-
végzését.
A megfelel® számolási rutin kialakításához szükség van az analógiák meg�gyeltetésére,
a különböz® számolási modellek elsajátíttatására, továbbá hosszas gyakorlásra.
Ezért ezzel a témakörrel ne csak ezen a néhány órán keresztül foglalkozzunk, hanem
folyamatos ismétlésként szinte minden órán térjünk vissza rá.
Tk. 29/1. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összeadásának gyakorlása
tízesátlépés nélkül. A játék pénz segít a feladat megoldásában.
Megoldás: 2 + 7 = 9 22 + 7 = 29 42 + 7 = 49
Tk. 29/2. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok kivonásának gyakorlása tízes-
átlépés nélkül. A játék pénz segít a feladat megoldásában.
Megoldás: 7 { 5 = 2 27 { 5 = 22 47 { 5 = 42
Tk. 29/3. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összeadásának és kivonásának
gyakorlása tízesátlépés nélkül, számegyenesen történ® lépegetéssel.
Megoldás: Nyílra: +4 3 + 4 = 7 Nyílra: { 4 7 { 4 = 3
Nyílra: +4 23 + 4 = 27 Nyílra: { 4 27 { 4 = 23
Nyílra: +4 43 + 4 = 47 Nyílra: { 4 47 { 4 = 43
Nyílra: +4 83 + 4 = 87 Nyílra: { 4 87 { 4 = 83
Tk. 30/4. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek
tízes.
Megoldás: a) 16 + 4 = 20 26 + 4 = 30 36 + 4 = 40
b) 13 + 7 = 20 23 + 7 = 30 33 + 7 = 40
c) 18 + 2 = 20 28 + 2 = 30 38 + 2 = 40
Tk. 30/5. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend®
kerek tízes (analóg számítások).
Megoldás: 20 { 9 = 11 30 { 5 = 25
20 { 5 = 15 40 { 9 = 31
30 { 9 = 21 40 { 5 = 35
Tk. 30/6. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának gyakorlása játékos fela-
dattal.
Megoldás: 31 + 9 = 40 51 + 9 = 60 71 + 9 = 80
Tk. 31/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda szemléletesen mutatja be kétjegy¶
és egyjegy¶ számok összeadását tízesátlépéssel. Engedjük meg, hogy a gyermek
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
41
saját gondolatmenete alapján számoljon. A tankönyvben szerepl® számolási modellek
elsajátítása a nehezen számoló gyermekek számára nyújthat segítséget. Fontos az
analógiák felismertetése.
Tk. 31/2. kidolgozott mintapélda: A mintapélda szemléletesen mutatja be kétjegy¶
és egyjegy¶ számok kivonását tízesátlépéssel. Engedjük meg, hogy a gyermek saját
gondolatmenete alapján számoljon. A tankönyvben szerepl® számolási modellek elsajá-
títása a nehezen számoló gyermekek számára nyújthat segítséget. Fontos az analógiák
felismertetése.
Tk. 32/7. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának gyakorlása tízesátlépés-
sel. A játék pénz segít a feladat megoldásában. Figyeljük meg az összeg változásait, az
analógiákat.
Megoldás: 5 + 7 = 12 25 + 7 = 32 45 + 7 = 52
Tk. 32/8. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám kivonásának gyakorlása tízesátlépés-
sel. Az ábra segít a feladat megoldásában. Figyeljük meg a különbség változásait, az
analógiákat.
Megoldás: 14 { 9 = 5 24 { 9 = 15 34 { 9 = 25
Tk. 32/9. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának, kivonásának gyakorlása
tízesátlépéssel. Figyeljük meg a különbség változásait, az analógiákat.
Megoldás: 47 + 6 = 53
47
z }| {
+ 3 + 3
57 + 6 = 63
57
z }| {
+ 3 + 3
77 + 6 = 83
77
z }| {
+ + 3 + 3
53 { 6 = 47
53
z }| {
{ 3 { 3
63 { 6 = 57
63
z }| {
{ 3 { 3
83 { 6 = 77
83
z }| {
{ 3 { 3
Tk. 32/10. feladat: A hármas szorzótábla el®készítése.
Megoldás:
A megoldás kiindulópontja három egyenl® szám összege. A 21; 24; 27; és a 30.
A beírandó számok fölül: 7 8 8 9 10 10
alul: 7 7 8 9 9 10
Tk. 33/11. feladat: Az összeadásnál a helyiérték-átlépést számegyenesen is szemlél-
tetjük.
42 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 6 + 7 = 13
6
z }| {
+ 4 + 3
16 + 7 = 23
16
z }| {
+ 4 + 3
86 + 7 = 93
86
z }| {
+ 4 + 3
Tk. 33/12. feladat: A kivonásnál a helyiérték-átlépést számegyenesen is szemléltetjük.
Megoldás: 15 { 8 = 7
15
z }| {
{ 5 { 3
25 { 8 = 17
25
z }| {
{ 5 { 3
65 { 8 = 57
65
z }| {
{ 5 { 3
Tk. 33/13. feladat: A helyiérték-átlépést számegyenesen is szemléltetjük.
Megoldás: 7 + 3 = 10 17 + 3 = 20
8 + 3 = 11 18 + 3 = 21
9 + 3 = 12 19 + 3 = 22
Tk. 34/14. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a
tanulók gyakran elkövetnek. Keressük meg, és beszéljük meg mikor milyen hibát vétenek
a tanulók.
Megoldás: 37 + 6 = 43 Nem a tízesekhez, hanem az egyesekhez adjuk a 6-ot.
45 + 8 = 53 5 + 8 = 13, így 45 + 8 = 53
73 { 5 = 68 Nem a tízesekb®l, hanem az egyesekb®l veszünk el 5-öt.
Tk. 34/15. feladat: A kreativitás, képi gondolkodás, metakogníció fejlesztésére szánt
feladat.
Megoldás:
Az összeg 24:
9 1 7 7 0 6 9 9
3 5 5 4 2 1 3 3
5 0 7 8 8 4 3 8
8 1 6 4 4 7 6 9
8 8 5 4 5 1 2 7
A táblázat alatt lév® alakzatokban az
azonos szín¶ négyzetek nem föltétle-
nül azonos számokat jelentenek.
Az azonos szín azonos számokat, a
különböz® szín különböz® számokat je-
löl. Egy szakasz mentén a négy szám
összege 25. A megoldás kulcsa lehet
az 1 + z + z + z = 25 egyenlet. z = 8
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
43
Tk. 34/16. feladat: A számolást, képi gondolkodást, feladattartást, meg�gyel®képessé-
get, �gyelmet fejleszt® feladatsor.
Megoldás: Egy mackó képét kapjuk.
p p p
Gy. 32/1. feladat: Kétjegy¶ számokhoz egyjegy¶ hozzáadása helyiérték átlépése nélkül.
A számegyenest eszközként, a számfogalom szilárdítására használjuk.
Megoldás: 3 + 6 = 9 43 + 6 = 49 83 + 6 = 89
Gy. 32/2. feladat: Kétjegy¶ számokból egyjegy¶ elvétele helyiérték átlépése nélkül. A
számegyenest eszközként, a számfogalom szilárdítására használjuk.
Megoldás: 7 { 5 = 2 47 { 5 = 42 67 { 5 = 62
Gy. 32/3. feladat: Ha szükséges, játék pénzzel modellezzék a tanulók a feladat megol-
dását.
Megoldás: a) 23 Ft-ot kell rajzolni. 53 Ft-ot kell rajzolni.
21 + 2 = 23 51 + 2 = 53
b) 31 Ft-ot kell rajzolni. 61 Ft-ot kell rajzolni.
34 { 3 = 31 64 { 3 = 61
Gy. 33/4. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása helyiérték átlépése nélkül.
Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 9 19 99 69
8 28 48 18
9 39 89 59
b) 6 16 66 26
9 29 59 19
8 18 78 58
Gy. 33/5. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása helyiérték átlépése nélkül,
a hiányzó tagok pótlása. Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
44 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 39 38 4 4
77 68 3 4
49 56 6 0
b) 29 77 61 35
67 98 97 60
89 86 72 99
Gy. 33/6. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása helyiérték átlépése nélkül.
Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 3 13 53 93
3 23 63 83
2 32 42 72
b) 12 22 52 62
23 33 93 53
13 23 93 73
Gy. 33/7. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása helyiérték átlépése nélkül,
a hiányzó kisebbítend®, illetve kivonandó pótlása. Számolási rutin fejlesztésére szánt
feladatsor.
Megoldás: a) 73 41 4 4
52 34 1 1
41 93 2 1
b) 32 60 66 50
87 53 59 97
61 91 87 77
Gy. 34/8. feladat: A m¶veletekr®l tanultak tudatosítása.
Megoldás: Annának 38 Ft-ja van.
Béninek 32 Ft-ja van.
A 6> B
Gy. 34/9. feladat: Szöveggel adott függvény szabályának felírása többféle alakban. A
tanulók tudatosan alkalmazzák a m¶veletekr®l tanultakat. (Az összeadás kommutativitá-
sát, az összeadás és kivonás inverz kapcsolatát.)
Megoldás: Szabály: 5 + M = T, M + 5 = T, T { 5 = M, T { M = 5
T (cm) 38 58 98 46 76 86 27 69 95 77 86 85 90 100
M (cm) 33 53 93 41 71 81 22 64 90 72 81 80 85 95
Gy. 34/10. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶velet-
végzést, a mértékváltást
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
45
Megoldás: a) Adatok: Sz = 45 dm, L = 3 dm; M = ?
Terv: Sz { L = M L + M = Sz
Számolás: 45 { 3 = M 3 + M = 45
M = 42 dm = 4 m 2 dm
Válasz: 42 dm = 4 m 2 dm hosszú szalag maradt.
b) Adatok: P = 45 dm, H = 3 dm; K = ?
Terv: P + H = K
Számolás: 45 + 3 = K K = 48 dm = 4 dm 8 cm
Válasz: 48 cm = 4 dm 8 cm hosszú szalagot kaphatott.
c) Adatok: Á = 10 dm = 100 cm, L = 10 cm; M = ?
Terv: M = Á-L L + M = Á
Számolás: M = 100 { 10 10 + M = 100
M = 90 cm = 9 dm
Válasz: 90 cm = 9 dm 0 cm hosszú ág maradt.
Gy. 35/11. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek
tízes, illetve kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend® kerek
tízes (analóg számítások).
Megoldás: a) 20 30 70 50
20 30 60 80
20 30 90 50
20 30 80 60
b) 20 30 60 80
20 30 50 90
20 30 70 50
20 30 90 60
c) 11 21 61 91
16 26 46 96
12 22 82 92
17 27 57 97
d) 18 28 88 68
19 29 79 69
14 24 34 64
Gy. 35/12. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek
tízes, illetve kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend® kerek
tízes (analóg számítások), a hiányzó tag, illetve kisebbítend®, kivonandó pótlása.
46 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 5 5 5 5
3 3 3 3
b) 18 38 48 68
11 51 81 91
c) 15 5 50 80
3 7 90 80
d) 8 2 40 80
11 9 90 80
Gy. 35/13. feladat: A tankönyvi feladatok többféleképpen szemléltetik a hagyományos
tízesátlépés-modellt. Engedjük meg, hogy a gyermek saját gondolatmenete alapján
számoljon.
a) 7+ 4
1 0
+ +
1 1
3 1
2 7+ 4
3 0
+ +
3 1
3 1
5 7+ 4
6 0
+ +
6 1
3 1
Gy. 36/14. feladat: A tankönyvi feladatok többféleképpen szemléltetik a hagyományos
tízesátlépés-modellt. Engedjük meg, hogy a gyermek saját gondolatmenete alapján
számoljon.
c)1 2
{ 3
1 0
{ {
9
2 1
3 2{ 3
2 9
3 0
{ 2 { 1
6 2{ 3
6 0
{ {
5 9
2 1
Gy. 36/15. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása tízesátlépéssel. Számo-
lási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 12 11 16 74
32 41 46 34
b) 23 34 37 31
63 64 67 61
c) 51 83 85 86
91 53 55 56
d) 12 12 14 40
42 22 34 60
Gy. 36/16. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása tízesátlépéssel. Számolási
rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
47
Megoldás: a) 7 9 7 79
27 39 57 29
b) 44 68 38 77
64 28 68 37
c) 83 56 42 59
33 36 72 89
d) 8 8 7 46
68 48 27 66
Gy. 36/17. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása, kivonása tízesátlépéssel.
Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 53 56 55 29
83 36 75 69
b) Részeredm.: 52 Részeredm.: 54 Részeredm.: 75
Végeredm.: 43 Végeredm.: 60 Végeredm.: 66
Gy. 37/18. feladat: A hat szöveges feladatot egy tanórán célszer¶ feldolgozni. Hívjuk
fel a gyermekek �gyelmét az adatok helyes lejegyzésének fontosságára. A fordított szö-
vegezésb®l (lásd b) és d) feladat) ered® nehézségek miatt a lejegyzés el®tt tisztázzuk,
hogy melyik adat nagyobb.
Kerestessünk többféle helyes megoldási tervet.
Tisztázzuk, hogy az F, az L, illetve a Gy bet¶ a �úk, a lányok, illetve a gyermekek
számát jelenti. (Ismerkedés a bet¶szimbólumok alkalmazásával.)
Megoldás: a) Adatok: F = 45, L = 8; Gy = ?
Terv: Gy = F + L
Számolás: Gy = 45 + 8; Gy = 53
Válasz: 53 gyerek fogócskázik összesen.
b) Adatok: F = 45, F 8> L; L = ?
Terv: F { 8 = L
Számolás: 45 { 8 = L; L = 37
Válasz: 37 lány fogócskázik.
c) Adatok: F = 45, F <8 L; L = ?
Terv: F + 8 = L
Számolás: 45 + 8 = L; L = 53
Válasz: 53 lány fogócskázik.
48 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) Adatok: L = 45, L <8 F; F = ?
Terv: L + 8 = F
Számolás: 45 + 8 = F; F = 53
Válasz: 53 �ú fogócskázik.
e) Adatok: Gy = 45, F = 8; L = ?
Terv: Gy { F = L
Számolás: 45 { 8 = L; L = 37
Válasz: 37 lány fogócskázik.
f) Adatok: 8 kivételével �ú, azaz ez a 8 lány.
Válasz: 8 lány fogócskázik.
Óra: 30. 34. 37.
1. tájékozódó felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Óra: 31. 35. 38.
1. felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Hasonlítsd össze! Ugyanolyan alakú?
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következteté-
sek, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás,
�gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.
Óra: 32{33. 36{37. 39{40.
Ebben a részben a hasonlóság, egybevágóság, a kerület és a terület fogalmát készítjük
el® tapasztalatszerzés szintjén, a tudatosítás és a számonkérés igénye nélkül.
A �hasonló" szó helyett az �ugyanolyan alakú" kifejezést használjuk, mivel a mindennapi
életben, illetve a matematikában a �hasonló" szó jelentése igen különböz®. El kell kerülni,
hogy rosszul alapozódjon meg a majd csak a fels® tagozatban de�niált fogalom.
Tk. 35/1. feladat: Az azonos felvételr®l készült képek nagyítások vagy kicsinyítések,
esetleg azonos méret¶ másolatok, vagyis hasonlók. Ugyanolyan alakú két kép akkor is,
ha a másolás közben átfordították a negatívot (lásd például az 1. és a 6. kép egymás
tükörképe).
Megoldás: Azonos felvételr®l készült az 1., a 4. és a 6. kép, valamint a 3. és az 5.
Tk. 35/2. feladat: Beszéljük meg, hogy a képen szekrényeket látunk ugyan, de mégsem
ugyanolyan alakú mindegyik. Figyeljük meg a különbségeket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
49
Megoldás: Ugyanolyan alakú az 1. 4. és 6. szekrény.
Ugyanolyan alakú a 3., 7., 8. és 9. szekrény.
Ugyanolyan alakú és méret¶, azaz egybevágó a 3. és 9. szekrény
Ugyanolyan alakú és méret¶, azaz egybevágó a 4. és 6. szekrény
Ugyanolyan alakú és méret¶, azaz egybevágó a 7. és 8. szekrény
Tk. 35/3. feladat: Beszéljük meg, ha síkban való elforgatásban gondolkozunk, akkor az
els® forgó elforgatásából nem kaphatjuk meg az utolsót. Ha az els® forgót átfordítjuk, a
forgó hátoldalát nézzük, akkor kaphatjuk meg az utolsó forgót.
Megoldás:
Az els® öt forgó esetén az óra járásával megegyez® irányban haladva a színezés sárga,
zöld, piros, kék.
Az utolsó forgónál az óra járásával ellentétes irányban haladva lesz a színezés sárga,
zöld, piros, kék.
Így az els® és az utolsó forgó egymás tükörképei lesznek.
Tk. 36/4. feladat: Figyeltessük meg az egybevágó alakzatokat (ugyanolyan alakú és
méret¶).
Megoldás:
Alulról felfelé haladva kék, piros, sárga és zöld négyzetek kerültek egymás tetejére.
Alulról felfelé haladva zöld, sárga és kék háromszögek kerültek egymás tetejére.
Tk. 36/5. feladat: Figyeljük meg az alakzatokat. Beszéljük meg, miben egyeznek meg,
miben különböznek. A képi gondolkodást, térlátást, meg�gyel®képességet fejleszt®
feladat.
Megoldás:
Két szabályos háromszög, két négyzet, két szabályos hatszög, két kör mindig ugyan-
olyan alakú (hasonló).
A zöld téglalap az alatta lév®vel, a sárga a t®le jobbra lév®vel egybevágó (ugyanolyan
alakú és méret¶).
A fennmaradó két négyszög ugyanolyan alakú és méret¶ (egymással egybevágók).
Tk. 36/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, milyen tévedésekre hívja fel a
�gyelmet Tasziló.
Gy. 38/1. feladat: Figyeljük meg, melyik két-két ábra lehet ugyanolyan alakú, melyik
nem. Próbálják megfogalmazni a tanulók szóban az észrevételeiket.
Megoldás:
Ugyanolyan alakúak a bogarak, a zsiráfok és a del�nek. Nem hasonlóak (nem ugyan-
olyan alakúak) a kutyák.
Gy. 38/2. feladat: Figyeljük meg a következ®ket:
A 2. autó az 1.-nek kétszeres nagyítása.
50 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A 3. és az 1. tengelyesen tükrösek.
Az 5. autó az 1.-nek a felére kicsinyített képe, vagy az 1. az 5.-nek kétszeres nagyítása.
A 7. autó az 1.-nek a felére kicsinyített képe, vagy az 1. a 7.-nek kétszeres nagyítása.
Megoldás:
Pirosra kell színezni a 4. és a 6. autót.
Gy. 38/3. feladat: Próbáljuk szóban megindokoltatni a tanulókkal megoldásukat.
Megoldás:
a) Pirosra kell színezni a 2., 5. és 7. háromszöget.
A 2. háromszög a szürke tükörképe, a 6. háromszög a szürke felére kicsinyítése és
forgatása, a 7. háromszög a szürke kétszeres nagyítása.
Pirosra kell színezni a szürke mellett lev® alsó téglalapot, a legnagyobb és a legki-
sebb téglalapot.
A szürke melletti téglalap a szürke forgatása, a legnagyobb téglalap a szürke két-
szeres nagyítása, míg a legkisebb téglalap a szürke felére kicsinyítése.
Tükrözés
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következteté-
sek, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás,
�gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.
Óra: 34{35. 38{39. 41{42.
A tengelyes tükrözéssel 1. osztályban ismerkedtek a gyermekek. Most sem lépünk
tovább, újabb tapasztalatokat gy¶jtünk, mélyítjük a fogalmat, minél több és minél
sokoldalúbb tevékenységgel er®sítjük, fejlesztjük a tanulók meg�gyel®képességét, képi
gondolkodását, képzel®erejét. A tankönyvi feladatok megoldását el®zzék meg hozzájuk
hasonló, de eszközzel megoldható feladatok (például logikai lapok kirakása, tükrös
alakzatok kivágása összehajtogatott papírlapból).
Tk. 37/1. feladat: Tengelyes szimmetriával, tengelyes tükrözéssel kapcsolatos feladat.
Megoldás: Az 1. ábra tükörképe Tappancsnak, a 2. nem.
Tk. 37/2. feladat: Tengelyes szimmetriával, tengelyes tükrözéssel kapcsolatos feladat.
Megoldás: Az 1., 2. és 4. ábra nem tükörképe Brekinek, a 3. az.
Tk. 37/3. feladat: Tengelyes szimmetriával, tengelyes tükrözéssel kapcsolatos feladat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
51
Megoldás:
Az 1., 2., 3. és 6. ábra, valamint a 4. és 5. ugyanannak a diaképnek a két oldala. (A
számozás az olvasás irányával egyezik meg).
Tk. 38/4. feladat: Tengelyes szimmetriával, tengelyes tükrözéssel kapcsolatos feladat.
Tükörrel vizsgálják meg a tanulók a közlekedési táblák tükrösségét.
Megoldás: 1. ábrának 1
2. ábrának 2
3. ábrának 0
4. ábrának 0
5. ábrának végtelen sok tükörtengelye van.
Tk. 38/5. feladat: Beszéljük meg, hogy mindegyik négyzet, de a színezés miatt nem
mindegyiknek van tükörtengelye.
Megoldás:
1 2 0 4 2 0
Tk. 38/6. feladat: Figyeljük meg, hogy az 1. és a 3., valamint a 2. és a 4. ábrasor
megegyezik.
Megoldás:
P S Z Z S P P S Z Z S P
Tk. 38/7. feladat: Átlátszó papírra rajzolt színes formákat �gyeljünk meg, hogyan látjuk,
ha megfordítjuk a papírt.
Megoldás: K P S Z K
Z K P K Z
K Z P Z K
Tk. 38/8. feladat: Vízszintes és függ®lege tükörtengelyre is tükrözniük kell a tanulók-
nak a rajzot. Figyeljük meg, mennyire képesek a feladattartásra, pontos rajzolásra a
gyermekek.
Megoldás:
52 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 39/9. feladat: Összehajtott papírlapból vágjanak ki különböz® formákat a tanulók,
és �gyeljék meg az így kapott alakzatokat. Csak több konkrét tapasztalat után várható
el ennek a feladatnak a helyes megoldása a gyermekekt®l.
Megoldás: Az 1. papírlapból a 4. alakzatot,
a 2. papírlapból a 2. alakzatot,
a 3. papírlapból a 4. alakzatot,
a 4. papírlapból az 1. alakzatot,
az 5. papírlapból az 5. alakzatot,
a 3. alakzatot egyik papírlapból sem vághatja ki.
Tk. 39/10. feladat: Mindkét tükörtengelyre tükrözniük kell a tanulóknak a megadott
formát, s így alakul ki egy kép.
Megoldás:
Tk. 39/11. feladat: Tükör segítségével ellen®rizzék a tanulók a megoldásukat. Külön
beszéljük meg a 3. és 4. ábra tükrözését. Figyeljük meg a 3. ábra tükrözése után,
hogyan helyezkedik el a tükörkép az eredeti képhez viszonyítva.
Megoldás:
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
53
Gy. 39/1. feladat: Tükör segítségével rajzolják meg a tanulók a cica tükörképét.
Megoldás:
Gy. 39/2. feladat: Tükör segítségével rajzolják meg a kacsa tükörképét a tanulók.
Hasonlítsuk össze a képeket, miben egyeznek meg, miben különböznek egymástól.
Megoldás:
Gy. 39/3. feladat: Beszéljük meg, melyik az eredeti szám, s melyik a tükörképe.
Megoldás: A 4-es, 1-es, 5-ös, 1-es, 9-es és 2-es számok tükörképét rajzoltuk le.
54 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 40/4. feladat: Ügyesebb tanulóknak szánt feladatsor a tengelyes tükrözésr®l gy¶jtött
tapasztalatok alkalmazására.
Megoldás:
Gy. 40/5. feladat: Két alakzat egymás mellé helyezésével különböz® ábrákat kaptunk.
Tükör segítségével �gyeljék meg a tanulók, mely ábrák lettek így tengelyesen tükrösek.
Megoldás: Tengelyesen tükrösek az 1., 4., 5. és 7. ábrák.
Gy. 40/6. feladat: Figyeljük meg az órákat, állapítsuk melyek azok az id®pontok,
amelyekben tükörkép két óra egymással.
Megoldás:
Az els® és az ötödik, a második és a harmadik, illetve a negyedik és a hatodik óra
tükörképei egymásnak. Vizsgáljuk meg, hogy hol helyezkedik el a tükörtengely.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
55
Gy. 41/7. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, térlátást fejleszt® feladat. Di�erenci-
álásra szánt feladatsor.
Megoldás: Néhány megoldás:
Gy. 41/8. feladat: Gyakorlatban végezzék el a négyszögek összehajtását a tanulók
egyéni, páros vagy csoportos munkában, s ez alapján döntsék el, Tasziló mikor rajzolta
le helyesen, mikor helytelenül az összehajtott négyszöget.
Megoldás: 1. négyszöget félbehajtva az 1. és 3. ábrát kaphatjuk.
2. négyszöget félbehajtva egyik ábrát sem kaphatjuk.
3. négyszöget félbehajtva a 2. ábrát kaphatjuk.
4. négyszöget félbehajtva mindhárom ábrát kaphatjuk.
Számolás 2-vel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése,
kombinativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékeny-
ség, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeménye-
z®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló
munkavégzés.
Óra: 36{38. 40{42. 43{46.
A páros és a páratlan számok felismerése, kettesével növekv®, illetve csökken® szám-
sorozat képzése 1. osztályos minimumkövetelmény. Korábban át is ismételtük ezeket az
ismereteket, pótoltuk az esetleges hiányosságokat. Ezért a páros és a páratlan számok-
ról tanultakra támaszkodva megtehetjük az els® lépéseket a szorzással és az osztással
56 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
kapcsolatos ismeretrendszer (fogalmak, elnevezések, számolási rutin stb.) kialakításá-
ra, illetve a 2-es szorzótábla megtanítására. Mivel a 20-as számkörön belül maradunk,
a számolások elvégzése még minimumszinten sem okozhat gondot.
Itt még nem tudatosítjuk a szorzás és az osztás fogalmát, nem vezetjük be a jelöléseket,
erre kés®bb kerül sor.
Nem javasoljuk a 2-es szorzótábla mechanikus megtanítását. A gyermekek különböz®
problémákat megoldva ismerkedjenek meg a 2 többszöröseivel, illetve a 10-nél nem
nagyobb számok kétszeresével, s ennek alapján végezzék el a számításokat.
Mintegy �melléktermékként", a szemléletre támaszkodva kib®vítjük és elmélyítjük a páros
és a páratlan számokról tanultakat:
A páros számok megadhatók a 2 többszöröseiként.
A páros számok megadhatók úgy, hogy egy számhoz önmagát adjuk hozzá.
A páros számok az egész számok 2-szereseként állíthatók el®.
Páros számú elem kettesével csoportosítható (a páros számokban maradék nélkül meg-
van a 2). Ha páratlan számú elemet kettesével csoportosítunk, akkor 1 elem megmarad.
Páros számú elem két egyenl® részre osztható úgy, hogy nem kell elemet kettévágnunk.
Páratlan számú (nem szétdarabolható) dolgot nem tudunk így két egyenl® részre osztani.
Tk. 40/1.kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, hogy a 2 többszöröseit leírhatjuk
ismételt összeadásként, illetve �röviden".
Szükség esetén adjunk fel további, a tankönyvi feladatokhoz hasonló játékos feladatokat.
Tk. 40/1. feladat: Beszéljük meg, hogy a 2 többszöröseit leírhatjuk összeadással és
�rövidebb" formában is.
Megoldás: 1-szer 2cm
1 � 2 = 2
2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm
6-szor 2 cm = 12 cm 6 � 2 = 12
Tk. 40/2. feladat: Lépegetés kettesével a számegyenesen 0-ról indulva. A szorzás
fogalmát készíti el®, és a 2-es szorzótábla szemléleti megalapozását szolgálja.
Megoldás: 2 + 2 = 4 2-szer 2 = 4 2 � 2 = 4
2 + 2 + 2 + 2 = 8 4-szer 2 = 8 4 � 2 = 8
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5-ször 2 = 10 5 � 2 = 10
Tk. 41/3. feladat: Játék pénzzel játsszák is el a tanulók a beváltást. Sok hasonló
feladattal biztosabbá tehetjük a számolást.
Megoldás: 7-szer 2 = 14
7 � 2 = 14
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
57
Tk. 41/4. feladat: Számok 2-szeresét írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".
Megoldás: 9 + 9 = 19 10 + 10 = 20
2-szer 9 = 18 2-szer 10 = 20
2 � 9 = 18 2 � 10 = 20
Tk. 41/5. feladat: Számok 2-szeresét írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".
A tankönyvi feladatokhoz kapcsolódóan további kérdésekkel b®víthetjük a feladatokat.
Például megméretjük vagy meghatározzuk a fehér, rózsaszín¶, világoskék, piros, cit-
romsárga, narancssárga rudak, illetve különböz® hosszúságú szakaszok kétszeresének
a hosszúságát.
Megoldás: 6 cm + 6 cm = 12 cm 2-szer 6 cm = 12 cm
2 � 6 cm = 12 cm
Tk. 41/6. feladat: Kétszerese, fele fogalmak közötti kapcsolat meg�gyeltetése.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 4 6 5 9
2 ugrással 0 2 6 8 12 10 18
Tk. 42/7. feladat: Tapasztalatot szerezhetnek a tanulók arról, hogy a szorzásban a
tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 7-szer 2 = 14 2-szer 7 = 14
7 � 2 = 14 2 � 7 = 14
Tk. 42/8. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának (inverz m¶veletek) el®készíté-
se.
Megoldás: 2-szer 2 = 4 4-szer 2 = 8 10-szer 2 = 20
2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 10 � 2 = 20
Tk. 42/9. feladat: 20-nál nem nagyobb páros számok felének meghatározása tevékeny-
séggel, rajzzal. A �kétszerese" és a �fele" fogalmak közti kapcsolat felismertetése: azt a
számot kell keresni, amelynek kétszerese az adott szám.
Megoldás:
El®ször osszák szét a tanulók a makkot a két mókus között, csak utána pótolják a
hiányzó számokat.
2-szer 3 = 6 2-szer 6 = 12
2 � 3 = 6 2 � 6 = 12
Tk. 43/10. feladat: A fogalom kialakítása érdekében fontos, hogy egy rajzról a kér-
déshez tartozó megfelel® m¶veletet tudják kiválasztani a tanulók. Ezt a feladatot el®zze
meg több hasonló feladat.
Megoldás: Zöld: 3 � 2 = 6 Kék: 4 � 2 = 8
2 � 3 = 6 2 � 4 = 8
58 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 43/11. feladat: Komplex feladat, a számfogalommal és a geometriával kapcsolatos
alapvet® fogalmakat kell alkalmaznia a tanulónak.
A páros és a páratlan, illetve az egyjegy¶ és a kétjegy¶ szám, továbbá a sorszám
fogalmának alkalmazása. Tájékozódás a síkban: a �jobb" és a �bal" fogalma.
Megoldás:
a) Formák azonosítása: 1 2
9 10 15 16 17 18
3
10
4
11
0
7
14
8
5
12
19 20
b) Lépegetés adott irányban, adott lépéssel:
82
102
12 1 62
42
22
0 2 142
162
182
20
52
32
1 2 152
172
19 1 132
112
92
7
Tk. 43/12. feladat: Komplex feladat, amelyben a szorzatokat kell beírni a megfelel®
téglalapba. Ha szükséges, játék kétforintosokkal rakják ki a feladatot a tanulók, és így
írják be a helyes eredményt.
Megoldás: 16 20 12 18
2 14 6 4 8 10
Gy. 42/1. feladat: A 2 többszöröseit írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".
Megoldás: 2 1 darab 2 = 2
2 1-szer 2 = 1 � 2 = 2
2 2 2 darab 2 = 4
2 + 2 = 4 2-szer 2 = 2 � 2 = 4
2 2 2 3 darab 2 = 6
2 + 2 + 2 = 6 3-szor 2 = 3 � 2 = 6
2 2 2 2 4 darab 2 = 8
2 + 2 + 2 + 2 = 8 4-szer 2 = 4 � 2 = 8
2 2 2 2 2 5 darab 2 = 10
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5-ször 2 = 5 � 2 = 10
2 2 2 2 2 2 6 darab 2 = 12
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 6 � 2 = 12
2 2 2 2 2 2 2 7 darab 2 = 14
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 7 � 2 = 14
2 2 2 2 2 2 2 2 8 darab 2 = 16
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16 8 � 2 = 16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 darab 2 = 18
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 9 � 2 = 18
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 darab 2 = 20
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 10 � 2 = 20
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
59
Gy. 42/2. feladat: Kétféle összeadás, illetve szorzás leolvasása ugyanarról a rajzról.
Hasonló jelleg¶ feladatok megoldása során a gyermekek megsejthetik a szorzás egyik
legfontosabb tulajdonságát, a tényez®k felcserélhet®ségét. Az általánosítást ne er®ltes-
sük, ehhez még nem rendelkeznek kell® tapasztalattal a gyermekek.
Megoldás:
5 + 5 = 1 0 3 + 3 = 6
2-szer 5 = 1 0 2-szer 3 = 6
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 0 2 + 2 + 2 = 6
5-ször 2 = 1 0 3 -szor 2 = 6
Gy. 43/3. feladat: A 2 többszöröseit írjuk le a pénzhasználat segítségével.
Megoldás: 10 = 5-ször 2 = 5 � 2 4 = 2-szer 2 = 2 � 2
14 = 7-szer 2 = 7 � 2 16 = 8-szor 2 = 8 � 2
12 = 6-szor 2 = 6 � 2 2 = 1-szer 2 = 1 � 2
20 = 10-szer 2 = 10 � 2 6 = 3-szor 2 = 3 � 2
8 = 4-szer 2 = 4 � 2 18 = 9-szer 2 = 9 � 2
Gy. 43/4. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás értelmezése. A számok kétszere-
sét írjuk le összeadásként.
Megoldás: 3 + 3 = 6 2 + 2 = 4 5 + 5 = 10 0 + 0 = 0
2-szer 3 = 6 2-szer 2 = 4 2-szer 5 = 10 2-szer 0 = 0
1 + 1 = 2 4 + 4 = 8 6 + 6 = 12 8 + 8 = 16
2-szer 1 = 2 2-szer 4 = 8 2-szer 6 = 12 2-szer 8 = 16
Gy. 43/5. feladat: A valamennyinek a kétszerese, fele fogalmak kapcsolatát �gyeltetjük
meg.
Megoldás: 1 kétszerese 2 4 kétszerese 8 2 kétszerese 4
fele fele fele
5 kétszerese 10 9 kétszerese 18 8 kétszerese 16
fele fele fele
3 kétszerese 6 7 kétszerese 14 6 kétszerese 12
fele fele fele
Gy. 44/6. feladat: A valamennyinek a kétszerese, fele fogalmak kapcsolatát �gyeltetjük
meg.
Megoldás:
60 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
8 = 4 -szer 2 12 = 6 -szor 2 20 = 1 0 -szer 2
8 = 4� 2 12 = 6
� 2 20 = 1 0� 2
Gy. 44/7. feladat: Az osztás (megvan benne a kett®) mint a szorzás fordított m¶velete.
Megoldás: Ennyi pár 1 4 2 8 3 7 5 9 6 10
Ennyi darab 2 8 4 16 6 14 10 18 12 20
Gy. 44/8. feladat: 20-nál nem nagyobb páros számok felének meghatározása tevékeny-
séggel, rajzzal. A �kétszerese" és a �fele" fogalmak közti kapcsolat felismertetése: azt a
számot kell keresni, amelynek kétszerese az adott szám.
Megoldás: 6 fele 3 14 fele 7 8 fele 4
Gy. 44/9. feladat: Adjunk több olyan feladatot a tanulóknak, amelyben a kétszerese,
fele fogalmak közötti kapcsolatot �gyeltetjük meg.
Megoldás: A 2 4 6 12 18 16 14 8 20 10 0
B 1 2 3 6 9 8 7 4 10 5 0
Gy. 44/10. feladat: A 2-vel történ® maradékos osztás el®készítése.
A gyermekek ismerjék fel, hogy azokat a számokat nevezzük páros számoknak, ame-
lyekben maradék nélkül megvan a 2. Ebb®l kiindulva azt is beláthatják, hogy a 0 azért
páros szám, mert a 2 megvan benne 0-szor, és 0 marad.
Ha páratlan számú dolgot kettesével csoportosítunk, akkor végül mindig kimarad egy. A
páratlan számokban a 2 nincs meg maradék nélkül.
Megoldás:
Ennyi 1 van 7 10 15 4 11 18 13 12 20 17 2 0
Ennyi 2 lesz 3 5 7 2 5 9 6 6 10 8 1 0
Ennyi 1 marad 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0
Számolás 5-tel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése,
kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
61
Óra: 49{41. 43{45. 47{50.
A szorzás és osztás fogalmának, közelebbr®l az 5-ös szorzótábla tanulásának el®ké-
szítése. Javasoljuk a sokféle szemléltetést, tapasztalatszerzést: lépegetés a száme-
gyenesen, számolás játék pénzzel, a szorzat kirakása színesrudak (vagy az eszköztár
színes lapjai) segítségével. A tankönyvi feladatokat egészítsük ki úgy, hogy újra és újra
feldolgozzuk a teljes 5-ös szorzótáblát.
Tk. 44/1. kidolgozott mintapélda: Az 5 többszörösét írjuk le ismételt összeadásként,
illetve �röviden". Hasonló feladatokat már a 2-vel való számolás során is csináltunk.
Tk. 44/1. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.
Nem kell átlépnünk a tízeseket. Egészítsük ki a feladatokat úgy, hogy az 5 hétszeresét,
kilencszeresét és tízszeresét is értelmezzük.
Megoldás: 5 5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30
1-szer 5 = 5 3-szor 5 = 15 6-szor 5 = 30
1 � 5 = 5 3 � 5 = 15 6 � 5 = 30
Tk. 44/2. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.
Megoldás: 2 citromsárga rúd 5 + 5 = 10
2-szer 5 cm = 10 cm 2 � 5 = 10
4 citromsárga rúd 5 + 5 + 5 + 5 = 20
4-szer 5 cm = 20 cm 4 � 5 = 20
8 citromsárga rúd 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40
8-szor 5 cm = 40 cm 8 � 5 = 40
Tk. 45/3. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete
fogalmát.
Megoldás: 25 = 5-ször 5 = 5 � 5 35 = 7-szer 5 = 7 � 5 45 = 9-szer 5 = 9 � 5
Tk. 45/4. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete
fogalmát. Ha szükséges, pálcikákból rakjanak ki több formát, s így töltsék ki a tanulók a
táblázatot.
Megoldás: 1 2 3 4 0 8 6 5 10 7 9
5 10 15 20 0 40 30 25 50 35 45
Tk. 45/5. feladat: Különböz® színesrudakkal kirakva megsejtethetjük a szorzat tényez®-
inek felcserélhet®ségét.
62 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás:
5 + 5 + 5 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3-szor 5 = 15 5-ször 3 = 15
3 � 5 = 15 5 � 3 = 15
Tk. 46/6. feladat: Számegyenesen történ® lépegetéssel megsejtethetjük a szorzat té-
nyez®inek felcserélhet®ségét.
Megoldás: Béka: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 7 � 5 = 35
Mókus: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 5 � 7 = 35
Tk. 46/7. feladat: A téglalapszer¶ elrendezés ráirányítja a gyermek �gyelmét a szor-
zás tényez®inek felcserélhet®ségére. Oldassunk meg sok hasonló feladatot különböz®
tényez®kkel, hogy a gyermekek többsége jusson el ennek az összefüggésnek a felis-
merésére.
Szemléltethetjük ezt az összefüggést korongok, színesrudak kirakásával, számegye-
nesen történ® lépegetéssel, játék pénzzel stb. is (lásd a 2-es és a 10-es szorzótábla
el®készítésével kapcsolatos ajánlásainkat).
Megoldás: 5-ször 4| {z }
20=
4-szer 5| {z }
20
Tk. 46/8. feladat: A 10-nél nem nagyobb számok 5-szörösének ismételt összeadással
történ® értelmezése.
Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 + 5
5-ször 5 = 25 5 � 5 = 25
2 + 2 + 2 + 2 + 2
5-ször 2 = 10 5 � 2 = 10
Tk. 46/9. feladat: A 10-nél nem nagyobb számok 5-szörösének ismételt összeadással
történ® értelmezése. Külön �gyeljük meg a 0 többszörösét.
Megoldás: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
5-ször 3 = 5 � 3 = 15
0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
5-ször 0 = 5 � 0 = 0
Tk. 47/2. kidolgozott mintapélda: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat
megoldásával. Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is,
illetve �rövidebb" formában.
Tk. 47/10. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat megoldásával.
Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is, illetve �rövidebb"
formában.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
63
Megoldás: Adatok: V = 4, V <�5 Z, Z = ?
Terv: Z = 5-ször V
Számolás: Z = 4 + 4 + 4 + 4 Z = 5-ször 4 = 5 � 4 Z = 20
Válasz: 20 vakondtúrást csinált Zoli.
Tk. 47/11. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat megoldásával.
Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is, illetve �rövidebb"
formában.
Megoldás: Adatok: 1-szer 5 �óka 3-szor ?
Terv: n = 3-szor 5
Számolás: n = 5 + 5 + 5 n = 3 � 5 n = 15
Válasz: 15 �ókát neveltek fel.
Tk. 47/12. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése, a feladatot leírhatjuk ismételt
összeadással is, illetve �rövidebb" formában.
Megoldás: 5 5 + 5 = 10 5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 5 + 5= 20
1 � 5 = 5 2 � 5 = 10 3 � 5 = 15 4 � 5 = 20
Gy. 45/1. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.
Nem kell átlépnünk a tízeseket.
Megoldás: 5 1 darab 5 = 5
5 1-szer 5 = 1 � 5 = 5
5 5 2 darab 5 = 10
5 + 5 = 10 2-szer 5 = 2 � 5 = 10
5 5 5 3 darab 5 = 15
5 + 5 + 5 = 15 3-szor 5 = 3 � 5 = 15
5 5 5 5 5 5 darab 5 = 25
5 + 5 + 5 + 5 + 5= 25 5-ször 5 = 5 � 5 = 25
5 5 5 5 5 5 6 darab 5 = 30
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 6 � 5 = 30
5 5 5 5 5 5 5 7 darab 5 = 35
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 7 � 5 = 35
Gy. 45/2. feladat: Az 5 többszöröseit írjuk le a pénzhasználat segítségével.
Megoldás: 20 = 4-szer 5 = 4 � 5 50 = 10-szer 5 = 10 � 5
40 = 8-szor 5 = 8 � 5 35 = 7-szer 5 = 7 � 5
45 = 9-szer 5 = 9 � 5 0 = 0-szor 5 = 0 � 5
Gy. 45/3. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete
fogalmát.
64 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 5 lépéssel 5 � 5 = 25 50-re 10 lépéssel
6 lépéssel 6 � 5 = 30 15-re 3 lépéssel
2 lépéssel 2 � 5 = 10 45-re 9 lépéssel
4 lépéssel 4 � 5 = 20 35-re 7 lépéssel
8 lépéssel 8 � 5 = 40 0-ra 0 lépéssel
Gy. 46/4. feladat: Az összeadás és a szorzás kapcsolatát, valamint a szorzás kommuta-
tivitását (tényez®k felcserélhet®ségét) megsejtet® feladat. Minden esetben indokoltassuk
meg, hogy miért tartozik egy-egy m¶velet az ábrához.
Megoldás: Fels® ábrához tartozó m¶veletek: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 0
5-ször 2 = 1 0
5 + 5 = 1 0
2 � 5 = 1 0
Alsó ábrához tartozó m¶veletek: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 5
5 � 3 = 1 5
5 + 5 + 5 = 1 5
3-szor 5 = 1 5
Gy. 46/5. feladat: A szorzás értelmezésének tudatosítása mellett a gyermek tapaszta-
latot szerezhet a szorzás tulajdonságairól, a tényez®k felcserélhet®ségér®l, csoportosít-
hatóságáról.
Ezeken túlmen®en a feladat szemléleti alapozást ad a térfogatszámításhoz és fejleszti a
térszemléletet.
Megoldás:
Bár a könyv egy megoldást kér, beszéljük meg, hogy több megoldás lehet.
András tornya: vagy:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15 5 + 5 + 5 = 15
5-ször 3 = 15; 5 � 3 = 15 3-szor 5 = 15; 3 � 5 = 15
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
65
Béla tornya: vagy:
9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 15 + 15 + 15 = 45
5-ször 9 = 45; 5 � 9 = 45 3-szor 15 = 45; 3 � 15 = 45
vagy:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 45
9-szer 5 = 45; 9 � 5 = 45
Nóra tornya: vagy:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 10 + 10 = 20
5-ször 4 = 20; 5 � 4 = 20 2-szer 10 = 20; 2 � 10 = 20
vagy:
5 + 5 + 5 + 5 = 20
4-szer 5 = 20; 4 � 5 = 20
66 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Éda tornya: vagy:
8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 20 + 20 = 40
5-ször 8 = 40; 5 � 8 = 40 2-szer 20 = 40; 2 � 20 = 40
vagy:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 10 + 10 + 10 + 10 = 40
8-szor 5 = 40; 8 � 5 = 40 4-szer 10 = 40; 4 � 10 = 40
Gy. 46/6. feladat: El®készítjük az osztás (részekre osztás) mint a szorzás fordított
(inverz) m¶velete fogalmát.
Megoldás:
Egy virág ára (Ft) 2 5 1 8 3 10 9 4 6 7 0
Egy csokor ára (Ft) 10 25 5 40 15 50 45 20 30 35 0
Gy. 46/7. feladat: A 2-vel, 5-tel, 10-zel végzett ismételt összeadással bejárjuk a 100-as
számkört, egyben el®készítjük a 2-es, 5-ös, 10-es szorzótáblát.
Megoldás: a) 30 60 b) 20 10
15 30 40 50
6 12 8 25
Gy. 47/8. feladat: A 2-vel, 5-tel, 10-zel végzett ismételt összeadással bejárjuk a 100-as
számkört, egyben el®készítjük a 2-es, 5-ös, 10-es szorzótáblát.
Megoldás: a) 50 10 b) 50 10
40 10 25 10
16 4 54 10
Gy. 47/9. feladat: A 2-vel, 5-tel, 10-zel végzett ismételt összeadással bejárjuk a 100-as
számkört, egyben el®készítjük a 2-es, 5-ös, 10-es szorzótáblát.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
67
Megoldás: a) 5 25 85 b) 50 70 60
15 75 45 90 40 10
35 55 65 20 30 80
Gy. 47/10. feladat: M¶veleti tulajdonságok elmélyítésére szánt feladatsor.
Megoldás:
15
+ 5 + 52 0 2 5
+ 1 0
50
{ 5 { 54 5 4 0
{ 1 0
Gy. 47/11. feladat: Szöveggel adott függvény szabályának felírása többféle alakban.
Ismét tudatosítsuk és alkalmazzuk a m¶veletek közti összefüggésekr®l tanultakat. (Az
összeadás kommutativitását, az összeadás és kivonás inverz kapcsolatát.)
M + 5 = N 5 + M = N N { 5 = M N { M = 5
Megoldás: M 15 45 43 60 53 85 80 5 15 62 0
N 20 50 48 65 58 90 85 10 20 67 5
Gy. 47/12. feladat: Ha szükséges, játék pénzzel modellezzék a feladat megoldását a
tanulók.
Megoldás: Flóránál 8 darab 5 kell kiszínezni. F = 8 � 5 = 40 Ft
Gábornál 7 darab 5 kell kiszínezni. G = 7 � 5 = 35 Ft
Szorzás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelé-
se, kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív
következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,
összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 42{44. 46{49. 51{54.
A korábbi hetekben el®készítettük a 2, a 10 és az 5 többszöröseinek, illetve a számok 2-
szeresének, 10-szeresének és 5-szörösének fogalmát. Sok-sok tapasztalatot gy¶jtöttek
a tanulók azzal kapcsolatosan, hogy az egyenl® tagok összeadását hogyan fogalmaz-
hatjuk meg rövidebben. Ezért most már nem okozhat gondot az általánosítás, a szorzás
értelmezése és a szorzás jelének bevezetése.
A szorzás egyik legfontosabb tulajdonsága a tényez®k felcserélhet®sége. Ezért eddig
is több olyan feladatpárral találkozhattak a gyermekek, amelyek eredményét összeha-
68 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
sonlítva konkrét esetekben felismerhették az összefüggést (lásd a 3., a 4. és az el®z®
hét anyagának feldolgozásával kapcsolatos ajánlásainkat). Az eddigi tapasztalatokra
támaszkodva eljuthatnak a tanulók az általánosításhoz, az általános szabály megfo-
galmazásához. Természetesen, a kés®bbiekben újra és újra meg kell er®síteni ezt a
felismerést.
A tényez®k felcserélhet®ségének felismerése és alkalmazása a matematikai gondolko-
dásmód fejl®dése szempontjából is rendkívül jelent®s. A gyermek megtapasztalhatja,
hogy a matematikai törvényszer¶ség alkalmazása megkönnyítheti a munkáját.
Például: 5 � 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 kiszámításakor négyszer okozhat nehézséget a tízesek
átlépése, míg az 5 � 9 = 9 � 5 összefüggés ismeretében esetleg azonnal tudja a
megoldást.
Ne használjuk a �szorzó" és �szorzandó" elnevezéseket. A tényez®k nevének és funkci-
ójának megkülönböztetése gátolhatja a helyes fogalom kialakulását.
Hibásnak tartjuk azt az érvelést, amely szerint nem mindegy, hogy hogyan írja le a
matematika nyelvén a gyermek a következ® képek jelentését:
Ha helyesen alakítottuk ki a fogalmat, akkor a gyermek például az els® képr®l egyaránt
állíthatja, hogy 3-szor osztottunk ki 5-5 gombócot (egymás után töltöttük meg a tálakat),
illetve 5-ször osztottunk ki 3-3 gombócot (minden körben egy-egy gombócot tettünk a
tálakba). Tehát leírhatjuk a kép jelentését 3 � 5 és 5 � 3 alakban is, a kett® ugyanazt
jelenti.
Hasonlóan kétféleképpen írható le a második kép jelentése is.
Mindenképpen el kell jutni a gyermeknek annak a felismerésére, hogy a két képen
ugyanannyi gombóc van.
A fentiek alapján a tényez®k sorrendjének megkötése nemcsak a matematikai fogalomal-
kotás szempontjából, hanem tanuláslélektani szempontból is kifogásolható, hiszen az
értelmes és rugalmas gondolkodás helyett merev és mechanikus gondolkodásra kény-
szeríti a gyermeket.
Tk. 48/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy a képr®l a m¶veletet leír-
hatjuk ismételt összeadásként, illetve szorzásként is. Ismét �gyeltessük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k. Ezt jól szemlélteti a téglalapos elrendezés.
Tk. 48/1. feladat: A tényez®k felcserélhet®ségének meger®sítése.
Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 4 � 5 = 20
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 5 � 4 = 20
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
69
Tk. 48/2. feladat: Az 5-ös szorzótábláról korábban szerzett tapasztalatok alapján kell
beírniuk a tanulóknak az eredményeket, s ez alapján végigmenni a labirintuson.
Megoldás: 0 25 40 20 45
50
15 5 35 10 30
Tk. 49/3. feladat: A 10-es szorzótábla el®készítése, a m¶velet leírása ismételt összea-
dásként is és szorzásként is.
Megoldás: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 6 � 10 = 60
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10=100 10 � 10 =100
Tk. 49/4. feladat: A szorzótáblák tanulása során mindig a teljes szorzótáblát tüntetjük fel
úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük az újonnan tanulandó sort és oszlopot,
illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat.
A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-
mek, hanem újra tudatosíthatja a 10-es szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcse-
rélhet®ségét.
Megoldás: 2 � 10 = 20 10 � 7 = 70
10 � 2 = 20 9 � 10 = 90
5 � 10 = 50 10 � 9 = 90
10 � 5 = 50 1 � 10 = 10
7 � 10 = 70 10 � 1 = 10
Tk. 49/5. feladat: A 10-zel való szorzást, osztást �gyeltethetjük meg a táblázat kitölté-
sével.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 4 6 2 8 10
10 ugrással 0 10 30 40 60 20 80 100
Tk. 50/6. feladat: A 10-es szorzótábla gyakorlása, a m¶velet leírása ismételt összea-
dásként és szorzásként is. Újból �gyeltessük meg a szorzásban a tényez®k felcserélhe-
t®ségét.
Megoldás: 10 + 10 = 20
2-szer 10 = 20
2 � 10 = 20
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
10-szer 2 = 20
10 � 2 = 20
Tk. 50/7. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük fel
úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük az újonnan tanulandó sort és oszlopot,
a 2-es szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat. Hasonlíttassuk össze a
10-es és 2-es szorzótábla megfelel® sorait, illetve oszlopait.
70 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-
mek, hanem újra tudatosíthatja a 2-es szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcserél-
het®ségét.
Megoldás: 5 � 2 = 10 2 � 9 = 18
2 � 5 = 10 1 � 2 = 2
7 � 2 = 14 2 � 1 = 2
2 � 7 = 14 2 � 0 = 0
9 � 2 = 18 0 � 2 = 0
Tk. 50/8. feladat: Figyeltessük meg, hogy egy képr®l több m¶velet is megfogalmazható.
A tényez®k felcserélhet®ségének, az összeadás és szorzás kapcsolatának meger®síté-
se.
Megoldás: Fels® képhez tartozik: 2 szorozva 3-mal = 6
3 � 2 = 6
2-szer 3 = 6
Alsó képhez tartozik: 5 + 5 = 10
2 � 5 = 10
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
2 szorozva 5-tel = 10
5 � 2 = 10
Tk. 51/9. feladat: A feladat megoldásakor a tanuló felismerheti az 5-ös és a 10-es
szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás: Ugrások sz. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mókus 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Nyúl 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tk. 51/10. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük fel
úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük az újonnan tanulandó sort és oszlopot,
az 5-ös szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat. Hasonlíttassuk össze
a 10-es és 5-ös szorzótábla megfelel® sorait, illetve oszlopait.
A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-
mek, hanem újra tudatosíthatja az 5-ös szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcserél-
het®ségét.
Megoldás: 5 � 3 = 15 5 � 9 = 45
3 � 5 = 15 5 � 5 = 25
7 � 5 = 35 1 � 5 = 5
5 � 7 = 35 0 � 5 = 0
9 � 5 = 45 5 � 0 = 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
71
Tk. 51/11. feladat: Újra tudatosíthatjuk az 5-ös és a 10-es, illetve a 2-es és a 10-es
szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás: 10 = 1 � 10 20 = 2 � 10 40 = 4 � 10
10 = 10 � 1 20 = 10 � 2 40 = 10 � 4
10 = 2 � 5 20 = 4 � 5 40 = 8 � 5
10 = 5 � 2 20 = 5 � 4 40 = 5 � 8
Tk. 52/12. feladat: A szorzás és az osztás tulajdonságainak meg�gyelése (tapasztalat-
szerzés szintjén, az általánosítás igénye nélkül):
A tényez®k felcserélése nem változtatja meg a szorzatot.
Nem változik a szorzat értéke, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növelem, és a
másikat ugyanannyiad részére csökkentem.
Hogyan változik a hányados, ha az osztandó nem változik, az osztó változik?
Hogyan változik a hányados, ha az osztó nem változik, az osztandó változik?
Hogyan változik a hányados, ha az osztandó és az osztó is változik?
Megoldás: 2 � 5|{z}
10
= 5 � 2|{z}
10
10 � 5| {z }
50
= 5 � 10| {z }
50
4 � 5|{z}
20
= 5 � 4|{z}
20
Tk. 52/13. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás:
Abból indulhatunk ki, hogy a 10-et és az 50-et hogyan állíthatjuk el® 4 egyjegy¶ szám
szorzataként:
10 = 1 � 2 � 5 � 1; 50 = 2 � 5 � 5 � 1
Tk. 52/14. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás:
A táblázat mellett és alatt lév® alakzatokban az azonos szín¶ négyzetek nem föltétlenül
azonos számokat jelentenek.
A szorzat 20:
3 8 7 2 10 7 6 5
7 9 7 6 8 9 10 4
4 6 8 4 2 2 6 3
5 2 9 6 8 5 7 9
8 7 10 2 3 8 3 2
A szorzat 40:
8 3 7 6 5 9 4 10
5 9 2 4 5 5 6 3
10 7 3 7 10 9 2 7
6 2 2 9 10 5 2 10
8 3 2 5 7 8 9 7
72 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 52/15. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás:
Ha a két ábrát egy feladatnak tekintjük, akkor a feladatnak egy megoldása van.
Az els® oszlopból kit¶nik, hogy 4 egyforma szám összegét írtuk le, így az ötszög
értéke 4.
A középs® oszlop els® sorában csak 2 � 2 = 4 vagy 3 � 3 = 9 állhat. Mivel az ötszög 4-et
ér, így csak az els® szorzás vezet helyes megoldásra.
2�2 = 4 2
�1 0 = 2 0
2�4 = 8 4
�1 0 = 4 0
2�5 = 1 0 5
�1 0 = 5 0
4�5 = 2 0 8
�1 0 = 8 0
8�5 = 4 0 1 0
�1 0 = 1 0 0
Tk. 53/16. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás:
A két ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik. Felismertethetjük az
1-es szám mint tényez® szerepét.
Tk. 53/17. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás:
A három ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik. A feladat megoldása
során a 40 osztópárjairól szereznek tapasztalatot a gyermekek.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
73
A harmadik feladatnak több megoldása van, a sárga és a kék alakzat értéke felcserél-
het®, így 40 = 5 � 8 = 8 � 5, 40 = 2 � 20 = 20 � 2 is lehet.
Tk. 53/18. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás: Érdemes a második szorzatból kiindulni.
Érdemes a második szorzatból kiindulni.
r�
r�
r�k = 5; k = 5, r = 1
Tk. 53/19. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás: A két ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik.
5
2
2 2
2
2
2
4
4
7
1
3
3
1
1
5
5
5
5
3
3
1
1
11
A 2 � 2 � 2 = 8 vagy az 1 � 1 � 2 = 2
szorzat felismerése lehet a megoldás
kulcsa.
A következ® szorzatok egyikének fel-
ismerésével indulhatunk el:
1 � 1 � 5 = 5; 1 � 5 � 5 = 25;
3 � 3 � 5 = 45; 2 � 2 � 5 = 20;
2 � 5 � 5 = 50
Gy. 48/1. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás fogalmának tudatosítása.
Megoldás: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 6 � 2 = 12
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 8 � 5 = 40
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 5 � 10 = 50
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 7 � 2 = 14
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 5 � 1 = 5
74 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 48/2. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás fogalmának tudatosítása.
Megoldás: a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5 � 2 = 10
5 + 5 = 10
2 � 5 = 10
b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 45
9 � 5 = 45
9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45
5 � 9 = 45
c) 5 + 5 + 5 = 15
3 � 5 = 15
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
5 � 3 = 15
c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60
6 � 10 = 60
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 60
10 � 6 = 60
Gy. 49/3. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás fogalmának tudatosítása.
Megoldás: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5 + 5 = 10
5 � 2 = 10 2 � 5 = 10
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50
10 � 5 = 50 5 � 10 = 50
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
10 + 10 = 20
10 � 2 = 20 2 � 10 = 20
Gy. 49/4. feladat: A 10-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 0 � 10 = 0 6 � 10 = 60 10 �0 = 0 10 �6 = 60
1 � 10 = 10 7 � 10 = 70 10 �1 = 10 10 �7 = 70
2 � 10 = 20 8 � 10 = 80 10 �2 = 20 10 �8 = 80
3 � 10 = 30 9 � 10 = 90 10 �3 = 30 10 �9 = 90
4 � 10 = 40 10 � 10 = 100 10 �4 = 40 10 �10 = 100
5 � 10 = 50 10 �5 = 50
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
75
Gy. 49/5. feladat: Problémahelyzetben gyakoroltatjuk a számolást.
Megoldás: 30 = 3 � 10 3 db 10 -t kell kiszínezni.
70 = 7 � 10 7 db 10 -t kell kiszínezni.
100 = 10 � 10 10 db 10 -t kell kiszínezni.
Gy. 50/6. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása sorozat folytatásával.
Megoldás: Mindig 2-vel növekszik a sorozat.
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Mindig 2-vel csökken a sorozat.
20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0
Gy. 50/7. feladat: A 2-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 0 � 2 = 0 6 � 2 = 12 2 � 0 = 0 2 � 6 = 12
1 � 2 = 2 7 � 2 = 14 2 � 1 = 2 2 � 7 = 14
2 � 2 = 4 8 � 2 = 16 2 � 2 = 4 2 � 8 = 16
3 � 2 = 6 9 � 2 = 18 2 � 3 = 6 2 � 9 = 18
4 � 2 = 8 10 � 2 = 20 2 � 4 = 8 2 � 10 = 20
5 � 2 = 10 2 � 5 = 10
Gy. 50/8. feladat: Problémahelyzetben gyakoroltatjuk a számolást.
Megoldás: 10 = 5 � 2 5 db 2 -t kell kiszínezni.
18 = 9 � 2 9 db 2 -t kell kiszínezni.
20 = 5 � 2 10 db 2 -t kell kiszínezni.
Gy. 50/9. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó szorzat,
illetve tényez®k pótlásával.
Megoldás: 14 80 2 10
6 12 8 6
50 50 0 0
16 30 1 9
70 70 10 5
8 40 2 10
Gy. 50/10. feladat: A 2-es szorzótábla gyakorlása.
Megoldás: 12 = 12 10 = 10 12 = 12
14 = 14 8 = 8 14 < 16
Gy. 51/11. feladat: Az 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása sorozat folytatásá-
val.
76 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: Mindig 5-tel növekszik a sorozat.
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
Mindig 5-tel csökken a sorozat.
50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0
Gy. 51/12. feladat: Az 5-ös szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 0 � 5 = 0 6 � 5 = 30 5 �0 = 0 5 � 6 = 30
1 � 5 = 5 7 � 5 = 35 5 �1 = 5 5 � 7 = 35
2 � 5 = 10 8 � 5 = 40 5 �2 = 10 5 � 8 = 40
3 � 5 = 15 9 � 5 = 45 5 �3 = 15 5 � 9 = 45
4 � 5 = 20 10 � 5 = 50 5 �4 = 20 5 � 10 = 50
5 � 5 = 25 5 �5 = 25
Gy. 51/13. feladat: Problémahelyzetben gyakoroltatjuk a számolást.
Megoldás: 30 = 6 � 5 6 db 5 -t kell kiszínezni.
45 = 9 � 5 9 db 5 -t kell kiszínezni.
50 = 10 � 5 10 db 5 -t kell kiszínezni.
Gy. 51/14. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó szorzat,
illetve tényez®k pótlásával.
Megoldás: 10 30 5 0
14 80 5 8
20 40 2 5
40 60 10 1
25 30 2 10
35 0 2 10
Gy. 51/15. feladat: Az 5-ös szorzótábla gyakorlása.
Megoldás: 8 4 1
6 4 2
Osztás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése,
kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
77
Óra: 45{47. 50{53. 55{58.
Csak egyféle osztást értelmezünk, és (jelenleg) csak egyféle jelölést célszer¶ bevezet-
nünk.
Ezt az álláspontot a következ® érvek támasztják alá:
Sohase tanítsunk olyat (még kisiskolás korban sem!), ami ellenkezik a tudományosság
követelményével. Az osztás a szorzás fordított (inverz) m¶velete. Mivel a szorzás ténye-
z®i felcserélhet®k, a matematika (ebben az értelemben) csak egyféle osztást ismer.
Ezért elhibázottnak tekintünk minden olyan módszertani törekvést, amely ezzel ellen-
tétes irányba tereli a gyermek fogalomalkotását. Természetesen a gyermek a fogalom
kialakítása során találkozik az osztással mint a szorzás fordított m¶veletével, egyes szö-
veges feladatokban az osztás mint bennfoglalás, másokban mint részekre osztás jelenik
meg. A fogalom kialakításának éppen az a legfontosabb célja, hogy a gyermek ismerje
fel a közös matematikai modellt ezekben a különböz®nek látszó feladatokban. Ezek-
ben az esetekben az osztás különböz® értelmezéseir®l, de nem többféle osztásról van
szó. (Els® osztályban sem tanítunk háromféle összeadást és négyféle kivonást, pedig
ott is megtanítjuk a m¶veleteknek a különféle értelmezéseit.) Ráadásul csak a szöve-
ges feladatok megoldásakor lehetne értelmezni a kétféle osztást, számfeladat esetén a
kétféle jel megkülönböztetése nem értelmezhet®. Sohase tanítsunk olyat, amit kés®bb
másképpen kell tanítanunk. Esetleg pillanatnyilag egyszer¶bbnek t¶nhet a hibás foga-
lom kialakítása, kés®bb sokkal nehezebb ezt a hibát kijavítani, mint eredetileg helyesen
megtanítani.
A matematikai fogalmak kialakításakor fontos, hogy a szemléletre is támaszkodjunk. A
részekre osztást eszközzel csak egyes speciális esetekben tudjuk direkt módon végre-
hajtatni, szemléltetni (például papírszalag hajtogatásával vagy színesrudakkal történ®
kirakással). Az esetek többségében a részekre osztást a tárgyi tevékenység szintjén is
bennfoglalással végezzük el. (Lásd 56. oldal feladatai.) Éppen erre a szemléleti alapra
támaszkodva ismerheti fel a gyermek, hogy mindkét esetben ugyanarról a matematikai
m¶veletr®l van szó.
Esetleg megbeszélhetjük, hogy az osztást háromféleképpen szokták jelölni ( �:", � / ",
��
�
"), és ezen jelölések közül mi az els®t fogjuk használni.
Tk. 54/1. kidolgozott mintapélda: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Szükség
esetén adjunk még hasonló feladatokat, s csak ezután vezessük be a jelölést.
Minden esetben ellen®riztessük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás
közti kapcsolatot.
Tk. 54/1. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Ha szükséges játék
pénzzel rakják is ki a tanulók a megadott értéket, és 5-5 forintot tegyenek egy kupacba.
Megoldás: 30 forint 6 ötforintosra váltható, mert 6 � 5 forint = 30 forint
30 forintban az 5 forint megvan 6-szor, 30 : 5 = 6
Tk. 54/2. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Ha szükséges rakják is ki
a zöld rudat rózsaszín rudakkal a tanulók.
Megoldás: 12 : 2 = 6
78 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 54/3. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.
Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a feladatot páros, vagy csoportos munkában.
Megoldás: Ennyi 1 0 2 4 6 10 8 16 18 12 14 20
Ennyi 2 0 1 2 3 5 4 8 9 6 7 10
Tk. 55/4. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése számegyenesen történ®
lépegetéssel.
Megoldás: 45-ben az 5 megvan 9-szer, mert 9 � 5 = 45 45 : 5 = 9
Tk. 55/5. feladat: Az 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.
Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a feladatot páros, vagy csoportos munkában.
Megoldás: Ennyi 1 0 5 10 20 15 40 35 30 45 25 50
Ennyi 5 0 1 2 4 3 8 7 6 9 5 10
Tk. 55/6. feladat: Az osztás tulajdonságainak meg�gyelése.
Megoldás: 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1
5 kosár kell. 2 kosár kell. 1 kosár kell.
Tk. 55/7. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-
függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.
Megoldás: A három ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik.
2 0 : 2 = 1 0
: : :
1 0 : 2 = 5
= = =
2 � 1 = 5
Megállapodunk abban, hogy a háromjegy¶ szám 100, így a feladatnak két megoldása
van:
2 � 5 � 1 0 = 1 0 0 5 � 2 � 1 0 = 1 0 0
� �
� : � � � :
5 � 2 � 1 = 1 0 2 � 5 � 1 = 1 0
� : : : � : : :
2 : 2 � 5 = 5 5 : 5 � 2 = 2
= = = = = = = =
2 0 : 5 : 2 = 2 5 0 : 2 : 5 = 5
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
79
A második sorból vagy a második oszlopból indulhatunk ki.
2 0 : 2 : 5 = 2
: � � �
2 � 2 � 2 = 8
: � : :
2 � 2 � 2 = 2
= = = =
5 � 8 : 5 = 8
Tk. 56/2. kidolgozott mintapélda: Az ábra azt szemlélteti, hogy a részekre osztást
hogyan hajthatjuk végre bennfoglalással. Szükség esetén adjunk fel olyan feladatokat,
amelyekben konkrét tárgyakat (korongokat, pálcikákat stb.) kell 2, 5, 10 egyenl® részre
osztani. Az osztás és a szorzás közti kapcsolat tudatosítása céljából minden esetben
ellen®riztessük a megoldást.
Tk. 56/8. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléltetése szétosztással.
Megoldás: 18 : 2 = 9 mert 9 � 2 = 18 9 szem málnát kaptak.
Tk. 57/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás gyakorlása. Beszéljük meg, mit jelent
a �tizedrész" kifejezés.
Megoldás: Egy részbe 3 eper kerül.
30 : 10 = 3 mert 10 � 3 = 30 30 eper tizedrésze 3 eper
Tk. 57/10. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyelése, tudatosítása.
Megoldás: 10 fele 5 10 fele 5 10 ötödrésze 2kétszerese kétszerese ötszöröse
20 ötödrésze 4 10 tizedrésze 1 20 tizedrésze 2ötszöröse tízszerese tízszerese
Tk. 57/11. feladat: A bennfoglalás és a részekre osztás meg�gyelése, összehasonlítá-
sa.
Megoldás: 35-ben az 5 = 7 35 ötödrésze 7
35 osztva 5-tel = 7
35 : 5 = 7
Gy. 52/1. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése pénzhasználathoz kap-
csolva. Szükség esetén adjunk még hasonló feladatokat. Minden esetben ellen®riztes-
sük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás közti kapcsolatot.
Megoldás: 6 : 2 = 3 10 : 2 = 5 18 : 2 = 9
3 � 2 = 6 5 � 2 = 10 9 � 2 = 18
80 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 52/2. feladat: A 2-es bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 2 = 0 mert 0 � 2 = 0 12 : 2 = 6 mert 6 � 2 = 12
2 : 2 = 1 mert 1 � 2 = 2 14 : 2 = 7 mert 7 � 2 = 14
4 : 2 = 2 mert 2 � 2 = 4 16 : 2 = 8 mert 8 � 2 = 16
6 : 2 = 3 mert 3 � 2 = 6 18 : 2 = 9 mert 9 � 2 = 18
8 : 2 = 4 mert 4 � 2 = 8 20 : 2 = 10 mert 10 � 2 = 20
10 : 2 = 5 mert 5 � 2 = 10
Gy. 52/3. feladat: Az osztás mint bennfoglalás gyakorlása pénzhasználattal.
Megoldás: 15 : 5 = 3 25 : 5 = 5 30 : 5 = 6
3 � 5 = 15 5 � 5 = 25 6 � 5 = 30
Gy. 52/4. feladat: Az 5-ös bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 5 = 0 mert 0 � 5 = 0 30 : 5 = 6 mert 6 � 5 = 30
5 : 5 = 1 mert 1 � 5 = 5 35 : 5 = 7 mert 7 � 5 = 35
10 : 5 = 2 mert 2 � 5 = 10 40 : 5 = 8 mert 8 � 5 = 40
15 : 5 = 3 mert 3 � 5 = 15 45 : 5 = 9 mert 9 � 5 = 45
20 : 5 = 4 mert 4 � 5 = 20 50 : 5 = 10 mert 10 � 5 = 50
25 : 5 = 5 mert 5 � 5 = 25
Gy. 53/5. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése pénzhasználathoz kap-
csolva. Szükség esetén adjunk még hasonló feladatokat. Minden esetben ellen®riztes-
sük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás közti kapcsolatot.
Megoldás: 30 : 10 = 3 50 : 10 = 5
3 � 10 = 30 5 � 10 = 50
Gy. 52/6. feladat: A 10-es bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 10 = 0 mert 0 � 10 = 0 60 : 10 = 6 mert 6 � 10 = 60
10 : 10 = 1 mert 1 � 10 = 10 70 : 10 = 7 mert 7 � 10 = 70
20 : 10 = 2 mert 2 � 10 = 20 80 : 10 = 8 mert 8 � 10 = 80
30 : 10 = 3 mert 3 � 10 = 30 90 : 10 = 9 mert 9 � 10 = 90
40 : 10 = 4 mert 4 � 10 = 40 100 : 10 = 10 mert 10 �10 = 100
50 : 10 = 5 mert 5 � 10 = 50
Gy. 53/7. feladat: Az osztás mint bennfoglalás gyakorlása pénzhasználattal.
Megoldás: 20 : 2 = 10 20 : 5 = 4 20 : 10 = 2
10 � 2 = 20 4 � 5 = 20 2 � 10 = 20
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
81
Gy. 53/8. feladat: Figyeltessük meg az osztó és a hányados változásait.
Megoldás: Ági: 10 : 2 = 5 Éva: 10 : 5 = 2
5 � 2 = 10 2 � 5 = 10
Gy. 54/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-
ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást,
ezzel is tudatosítjuk az osztás és szorzás közötti inverz kapcsolatot, valamint a szorzás
kommutativitását (felcserélhet®ségét).
Megoldás: 12 fele 6, 18 fele 9,
12 osztva 2 egyenl® részre, 18 osztva 2 egyenl® részre,
12 : 2 = 6, mert 2 � 6 = 12 18 : 2 = 9, mert 9 � 2 = 18
Gy. 54/10. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-
ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást,
ezzel is tudatosítjuk az osztás és szorzás közötti inverz kapcsolatot, valamint a szorzás
kommutativitását (felcserélhet®ségét).
Megoldás: 8 : 2 = 4 14 : 2 = 7 16 : 2 = 8
2 � 4 = 8 2 � 7 = 14 2 � 8 = 16
Gy. 54/11. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-
ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást.
Megoldás: 6 fele 3, 10 fele 5,
6 osztva 2 egyenl® részre, 10 osztva 2 egyenl® részre,
6 : 2 = 3, mert 2 � 3 = 6 10 : 2 = 5, mert 2 � 5 = 10
20 fele 10, 20 osztva 2 egyenl® részre,
20 : 2 = 10, mert 2 � 10 = 20
16 fele 8, 16 osztva 2 egyenl® részre,
16 : 2 = 8, mert 2 � 8 = 16
Gy. 55/12. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-
ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást.
Megoldás: 15 ötödrésze 3, 30 ötödrésze 6,
15 osztva 5 egyenl® részre, 30 osztva 5 egyenl® részre,
15 : 5 = 3, mert 30 : 5 = 6
5 � 3 = 15 5 � 6 = 30
10 : 5 = 2 35 : 5 = 7
5 � 2 = 10 5 � 7 = 35
Gy. 55/13. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-
ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást.
82 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 20 : 5 = 4 25 : 5 = 5 40 : 5 = 8
5 � 4 = 20 5 � 5 = 25 5 � 8 = 40
Gy. 55/14. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Minden
esetben ellen®rizzük a megoldást.
Megoldás: 4 kis négyzetet kell kiszínezni.
20 ötödrésze 4, 20 osztva 5 egyenl® részre,
20 : 5 = 4, mert 5 � 4 = 20
5 kis négyzetet kell kiszínezni.
25 ötödrésze 5, 25 osztva 5 egyenl® részre,
25 : 5 = 5, mert 5 � 5 = 25
Gy. 56/15. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Minden
esetben ellen®rizzük a megoldást.
Megoldás: 1 kis négyzetet kell kiszínezni.
10 tizedrésze 1,
10 osztva 10 egyenl® részre,
10 : 10 = 1, mert 10 � 1 = 10
2 kis négyzetet kell kiszínezni.
20 tizedrésze 2,
20 osztva 10 egyenl® részre,
20 : 10 = 2, mert 10 � 2 = 20
Gy. 56/16. feladat: Beszéljük meg a �fele", �ötödrésze", �tizedrésze" fogalmakat,
valamint a mértékegységek közti kapcsolatot.
Megoldás: 1 méter tizedrésze 1 deciméter, mert 1 méter = 10 deciméter
Gy. 56/17. feladat: Gyakoroljuk a számok felének meghatározását.
Megoldás: 0 : 2 = 0 mert 2 � 0 = 0 12 : 2 = 6 mert 2 � 6 = 12
2 : 2 = 1 mert 2 � 1 = 2 14 : 2 = 7 mert 2 � 7 = 14
4 : 2 = 2 mert 2 � 2 = 4 16 : 2 = 8 mert 2 � 8 = 16
6 : 2 = 3 mert 2 � 3 = 6 18 : 2 = 9 mert 2 � 9 = 18
8 : 2 = 4 mert 2 � 4 = 8 20 : 2 = 10 mert 2 � 10 = 20
10 : 2 = 5 mert 2 � 5 = 10
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
83
Gy. 56/18. feladat: Gyakoroljuk a számok ötödrészének meghatározását.
Megoldás: 0 : 5 = 0 mert 5 � 0 = 0 30 : 5 = 6 mert 5 � 6 = 30
5 : 5 = 1 mert 5 � 1 = 5 35 : 5 = 7 mert 5 � 7 = 35
10 : 5 = 2 mert 5 � 2 = 10 40 : 5 = 8 mert 5 � 8 = 40
15 : 5 = 3 mert 5 � 3 = 15 45 : 5 = 9 mert 5 � 9 = 45
20 : 5 = 4 mert 5 � 4 = 20 50 : 5 = 10 mert 5 � 10 = 50
25 : 5 = 5 mert 5 � 5 = 25
Gy. 56/19. feladat: Gyakoroljuk a számok tizedrészének meghatározását.
Megoldás: 0 : 10 = 0 mert 10 � 0 = 0 60 : 10 = 6 mert 10 � 6 = 60
10 : 10 = 1 mert 10 � 1 = 10 70 : 10 = 7 mert 10 � 7 = 70
20 : 10 = 2 mert 10 � 2 = 20 80 : 10 = 8 mert 10 � 8 = 80
30 : 10 = 3 mert 10 � 3 = 30 90 : 10 = 9 mert 10 � 9 = 90
40 : 10 = 4 mert 10 � 4 = 40 100 : 10 = 10 mert 10 � 10 = 100
50 : 10 = 5 mert 10 � 5 = 50
A szorzás és az osztás gyakorlása
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-
ság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 48{50. 54{56. 59{62.
Csak azután tanulják meg és gyakorolják be a gyermekek a szorzótáblákat, ha kialakult
és kell®en megszilárdult a szorzás és az osztás fogalma. Enélkül csak mechanikus
tanulás jöhetne szóba.
A kettesével, ötösével, tízesével történ® soralkotás nemcsak a szorzótábla tanulását
készíti el®, hanem a számfogalmat is elmélyíti, a számok oszthatósági tulajdonságairól
szereznek tapasztalatot a gyermekek.
A szorzat hiányzó tényez®jének meghatározása az osztást (mint a szorzás fordított m¶-
veletét) is el®készíti. A szorzást és az osztást együtt célszer¶ gyakoroltatni.
A tankönyv és a gyakorló rész b®séges feladatanyagot nyújt a di�erenciált foglalkozta-
táshoz.
Tk. 58/1. kidolgozott mintapélda: Fordított szövegezés¶ szöveges feladat megoldás-
menetét mutatja be a mintapélda, mely az osztásra mutat példát. Beszéljük meg, hogy
84 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
az adatok lejegyzésekor jelölnünk kell az adatok közti kapcsolatot, s ez sokat segíthet a
feladat megoldásában. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Tk. 58/2. kidolgozott mintapélda: Fordított szövegezés¶ szöveges feladat megoldás-
menetét mutatja be a mintapélda, mely szorzásra mutat példát. Beszéljük meg, hogy
az adatok lejegyzésekor jelölnünk kell az adatok közti kapcsolatot, s ez sokat segíthet a
feladat megoldásában. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Tk. 58/1. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-
zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 5 perc 30 cm 1 perc ?
Terv: x = 30 cm : 5
Számolás: x = 6 cm
Ellen®rzés: 5 � 6 cm = 30 cm
Válasz: 6 cm-t tett meg 1 perc alatt Csiga Biga.
Tk. 59/2. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-
zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 1 perc 5 m 3 perc ?
Terv: x = 3 � 5 m
Számolás: x = 15 m
Ellen®rzés: A tényez®k felcserélésével ellen®rizhetjük.
Válasz: 15 m-re lakott t®le Fürgi.
Tk. 59/3. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-
zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: T = 10, T � 5 > M, M = ?
Terv: M = T : 5
Számolás: M = 10 : 5 M = 2
Ellen®rzés: 5 � 2 = 10
Válasz: 2 banánja van Makinak.
Tk. 59/4. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-
zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: F = 10, F + 5 > E, E = ?
Terv: E = F { 5
Számolás: E = 10 { 5 E = 5
Ellen®rzés: 5 + 5 = 10
Válasz: 5 vödör vizet locsolt szét Elek.
Tk. 59/5. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-
zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
85
Megoldás: Adatok: G = 2, G < � 5 F, F = ?
Terv: F = 5 � G
Számolás: F = 5 � 2 F = 10
Ellen®rzés: Pl: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Válasz: 10 �ókája van Fridának.
Tk. 60/6. feladat: Meg�gyeltethetjük a következ®ket:
Az ismételt összeadás hogyan írható fel szorzatként.
A szorzásban a tényez®k felcserélhet®k.
A szorzás és az osztás milyen kapcsolatban van.
Milyen kapcsolat van az osztások között.
Tapasztalatot szerez a gyermek annak felismerésére, hogy az osztásnak két inverz
m¶velete van, egy szorzás és egy másik osztás.
Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 4 � 5 = 20 20 : 5 = 4
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 5 � 4 = 20 20 : 4 = 5
Tk. 60/7. feladat: Tasziló ismét bemutat néhány �típushibát", ezek megbeszélése
szilárdíthatja a fogalomalkotást.
Megoldás: 10 fele nem 2, 10 ötödrésze nem 5, 10 tizedrésze nem 10,
hanem 5. hanem 2. hanem 1.
10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1
2 � 5 = 10 5 � 2 = 10 10 � 1 = 10
Tk. 60/8. feladat: Táblázatból adatokat kell leolvasni a tanulóknak, és ebb®l kell a
megfelel® m¶veletet leírni.
Megoldás: Alfonz. 7 � 2 = 14
Barna: 5 � 5 = 25
Cecília: 3 � 10 = 30
Donát. 6 � 5 = 30
Elemér: 4 � 2 = 8
Tk. 61/9. feladat: A számolási rutint, kreatív gondolkodást fejleszt® feladat.
Megoldás:
86 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 61/10. feladat: A kreatív gondolkodást fejleszt® feladat.
Megoldás: Ári: 6 � 5 = 30 Bogi: 6 � 5 = 30
Mindkét gyerek �szélkakasa" 30 kis négyzetb®l áll.
Gy. 57/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a szorzás gyakorlására.
Megoldás: a) 6 12 10 16 b) 16 18 8 20
20 30 45 0 35 15 25 90
50 70 60 14 90 20 80 40
c) 2 5 4 14 d) 18 40 0 30
80 0 12 10 30 6 15 40
10 70 40 60 20 5 50 20
e) 35 8 50 40
0 2 0 0
10 50 20 100
Gy. 57/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tényez®k
pótlásával.
Megoldás: a) 9 5 5 5 b) 3 8 3 1
6 2 10 10 2 7 3 5
2 10 10 2 0 6 2 10
2 6 8 10 1 4 5 5
Gy. 57/3. feladat: A kétszerese, fele fogalmak gyakorlása méréshez kapcsolva.
Megoldás: 5 cm kétszerese = 10 cm = 1 dm 0 cm
7 cm kétszerese = 14 cm = 1 dm 4 cm
Gy. 58/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az osztás gyakorlására.
Megoldás: a) 10 10 5 6 b) 7 5 2 9
8 10 7 8 6 5 1 3
6 4 4 0 9 3 2 0
c) 0 8 2 10
3 4 9 2
1 1 7 5
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
87
Gy. 58/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó osztó, illetve
osztandó pótlásával.
Megoldás: a) 5 5 10 5 b) 30 45 20 70
10 10 5 2 14 6 0 15
2 2 2 10 80 50 10 8
c) 0 8 2 10
3 4 9 2
1 1 7 5
Gy. 57/6. feladat: A fele fogalom gyakorlása méréshez kapcsolva.
Megoldás: 6 cm fele 3 cm 4 cm fele 2 cm 2 cm fele 1 cm
Gy. 58/7. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.
Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a feladatot páros, vagy csoportos munkában.
Megoldás: Ennyi 1 6 10 14 2 4 8 16 18 12 20 0
Ennyi 2 3 5 7 1 2 4 8 9 6 10 0
Gy. 59/8. feladat: Ismét �gyeltessük meg a szorzás és az osztás tulajdonságait. A
szorzás kommutatív, azaz a tényez®k felcserélése nem változtatja meg a szorzat értékét.
Növekszik a hányados, ha az osztandó nem változik, és az osztó csökken. Növekszik a
hányados, ha az osztandó n®, és az osztó nem változik.
Megoldás:
a)
1 5z }| {
3 � 5 =
1 5z }| {
5 � 3
2 0z }| {
4 � 5 <
4 0z }| {
4 � 10
3 0z }| {
6 � 5 =
3 0z }| {
3 � 10
b)
1 0z }| {
50 : 5 >
5z }| {
50 : 10
3z }| {
30 : 10 =
3z }| {
15 : 5
6z }| {
30 : 5 =
6z }| {
60 : 10
c)
4 0z }| {
5 � 8 =
4 0z }| {
10 � 4
2z }| {
20 : 10 <
6z }| {
30 : 5
0z }| {
0 � 5 =
0z }| {
0 : 5
Gy. 59/9. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyeltetése, tudatosítása.
Megoldás:
a)10
� 2 : 5
: 2
2 0
� 5
4 45
: 5 � 2
� 5
9
: 2
1 8
88 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 6
� 5 : 10
: 5
3 0
� 1 0
3 35
: 5 � 10
� 5
7
: 1 0
7 0
Gy. 59/10. feladat: A megoldás során �gyeltessük meg a 2-es, 5-ös és 10-es szorzó-
táblák közötti összefüggéseket.
Megoldás:
a)
3
� 2 � 56 3 0
� 1 0
4
� 2 � 58 4 0
� 1 0
b) � 5
5
� 21 1 0
� 1 0
� 2
6
� 53 3 0
� 1 0
c)
20
: 2 : 51 0 2
: 1 0
10
: 5 : 22 1
: 1 0
d) : 2
2
� 104 2 0
� 5
� 10 : 5
84 4 0
� 2
Gy. 60/11. feladat: Egy képr®l két szorzás és két osztás írását várjuk el a tanulóktól.
Ismét �gyeljük meg a tényez®k felcserélhet®ségét, a szorzás és osztás kapcsolatát.
Megoldás: 3 � 5 = 15 2 � 5 = 10 4 � 5 = 20 5 � 7 = 35
5 � 3 = 15 5 � 2 = 10 5 � 4 = 20 7 � 5 = 35
15 : 3 = 5 10 : 2 = 5 20 : 4 = 5 35 : 5 = 7
15 : 5 = 3 10 : 5 = 2 20 : 5 = 4 35 : 7 = 5
Gy. 60/12. feladat: A megoldást tervszer¶ próbálgatással várjuk.
Megoldás:
0 10 20 30 40 50
4 ugrás után lesz a nagy tücsök 20 cm-rel a kis tücsök el®tt.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
89
Gy. 60/13. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: a) Adatok: A = 5 Ft, A 4-szer B B = ?
Terv: B = 4 � 5 Ft
Számolás: B = 20 Ft
Válasz: 20 Ft-ja van Beának.
b) Adatok: G = 30 db, Egy unoka : 5 db, E = ?
Terv: E = G : U
Számolás: E = 30 : 5 E = 6
Ellen®rzés: 6 � 5 = 30
Válasz: 6 unokája volt a nagymamának.
Gy. 61/14. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: a) Adatok: Egy nap 2 Ft, 1 hét = 7 nap
Terv: v = 7 � 2 Ft
Számolás: v = 14 Ft
Ellen®rzés: Pl: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 2 � 7 = 14
Válasz: 14 Ft-ja van Annának.
b) Adatok: m = 8 l, m <�2 v, v = ?
Terv: v = 2 � m
Számolás: v = 2 � 8 l v = 16 l
Ellen®rzés: 16 : 2 = 8
Válasz: 16 l méz volt a bödönben.
c) Adatok: p = 18, t = 2, gy = ?
Terv: gy = p : t
Számolás: gy = 18 : 2 gy = 9
Ellen®rzés: 9 � 2 = 18
Válasz: 9 gyerek vett részt a kiránduláson.
d) Adatok: 1 nap 10 búza 5 nap ?
Terv: x = 5 � 10
Számolás: x = 50
Válasz: 50 búzaszemet ehetett meg Cincogó.
e) Adatok: 5 nap 10 ki i, 1 nap ?
Terv: x = 10 : 5
Számolás: x = 2
90 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 5 � 2 = 10
Válasz: 2 ki icsücsköt rágott el naponta Surranó.
Gy. 62/15. feladat: Feladatok a tanult szorzótáblák gyakorlására.
Megoldás: 10 Ft tizedrésze 1 Ft 30 Ft tizedrésze 3 Ft
20 Ft tizedrésze 2 Ft 40 Ft tizedrésze 4 Ft
80 Ft tizedrésze 8 Ft
Gy. 62/16. feladat: Feladatok a tanult szorzótáblák gyakorlására.
Megoldás: 10 cm = 1 dm 0 cm 20 cm = 2 dm 0 cm
25 cm = 2 dm 5 cm 45 cm = 4 dm 5 cm
Gy. 62/17. feladat: Feladatok a tanult szorzótáblák gyakorlására.
Megoldás: 1 m = 10 dm = 2 lépés 2 m 5 dm = 25 dm = 5 lépés
3 m = 30 dm = 6 lépés 3 m 5 dm = 35 dm = 7 lépés
2 m = 20 dm = 4 lépés 1 m 5 dm = 15 dm = 3 lépés
4 m = 40 dm = 8 lépés 4 m 5 dm = 45 dm = 9 lépés
Gy. 62/18. feladat: Kreatív gondolkodást, problémamegoldó képesség fejlesztését
segít® feladatsor.
Megoldás: 5 { 5 + 5 = 5 5 : 5 � 5 = 5 5 : 5 + 5 = 6
5 + 5 { 5 = 5 5 � 5 : 5 = 5 5 � 5 + 5 = 30
5 � 5 { 5 = 20 5 + 5 + 5 = 15
Gy. 62/19. feladat: Kreatív gondolkodást, problémamegoldó képesség fejlesztését
segít® feladatsor.
Megoldás: 2 2 2
5 5 2
5 5 10
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
91
Gy. 63/20. feladat: Gra�konkészítés, elemzés, tapasztalatszerzés az egyenes ará-
nyosság körében. Figyeltessük meg, hogy az ugrások számának változásával hogyan
változik a lépcs®fokok száma.
Megoldás:
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ugrás
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
lépcs®fok
Ugrások száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lépcs®fok 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Gy. 63/21. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése.
Megoldás:
a) Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Magasság (dm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
b) Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Magasság (dm) 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20
92 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Maradékos osztás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-
tív és önálló munkavégzés.
Óra: 51{53. 57{59. 63{66.
Az osztás fontos tulajdonsága, hogy nem végezhet® el minden esetben a természetes
számok körében. Az osztás fogalmának kialakulásához szükséges, hogy a gyermekek
felismerjék ezt. Ezért célszer¶ minél hamarabb foglalkoznunk a maradékos osztással.
A maradékos osztás korai tanulása mellett szól, hogy elvégzésekor az egyes szorzótáb-
lákat összetett feladathelyzetben alkalmazzuk, ezért sokkal hatékonyabban fejlesztjük a
számolási rutint, mint a szorzótáblák direkt gyakoroltatása során. A maradékos osztás a
számolási rutin mellett a számfogalmat is elmélyíti. A számok oszthatósági tulajdonsága-
iról további ismereteket szerez a tanuló. Például szétválogathatják a számokat aszerint,
hogy oszthatók-e maradék nélkül 2-vel, 5-tel vagy 10-zel.
Igaz vagy hamis állításokat fogalmazhatnak meg a tapasztaltakkal kapcsolatosan.
A maradékos osztás fogalmát el®készíthetjük konkrét tevékenységgel, például tárgyak,
ábrák csoportosításával, számegyenesen való lépegetéssel.
Tk. 62/1. feladat: A 2-vel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az
eredmény helyességét mindig ellen®riztessük.
Már korábban is meg�gyelhették a gyermekek, hogy a páros számok maradék nélkül
oszthatók 2-vel, a páratlan számok 2-vel osztva 1-et adnak maradékul.
Megoldás: Citromsárga rúd nem rakható ki.
Sötétkék rúd nem rakható ki.
Narancssárga rúd kirakható.
Zöld rúd kirakható.
Tk. 62/2. feladat: A 2-vel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az
eredmény helyességét mindig ellen®riztessük.
Meg�gyeltethetjük, ha páros számról indul a nyuszi, akkor mindig hazaér, ha páratlan
számról indul, akkor az 1-re jut. A páros számokat 2-vel osztva 0 a maradék, a páratlan
számokat 2-vel osztva 1 a maradék.
Megoldás: Honnan indul? 10 9 13 5 16 19 20 14 17 12
Hányat ugrik? 5 4 6 2 8 9 10 7 8 6
Hova érkezik? 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
93
Tk. 62/3. feladat: A 2-vel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az
eredmény helyességét mindig ellen®riztessük.
Megoldás: Ennyi makkjuk van 10 8 11 15 18 7 16 13 16
Ennyi makk jut egynek 5 4 5 7 9 3 8 6 8
Ennyi makk marad 0 0 1 1 0 1 0 1 0
Tk. 63/1. kidolgozott mintapélda: Az 5-tel való maradékos osztás (bennfoglalás) fo-
galmát el®készít® feladatok.
Tk. 63/2. kidolgozott mintapélda: Az 5-tel való maradékos osztás (részekre osztás)
fogalmát el®készít® feladatok.
Tk. 63/Figyeld meg!: Beszéljük meg, hogy a maradékos osztásnál hova kerül a mara-
dék, hogyan ellen®rizhetjük a feladat megoldását.
Tk. 63/4. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: 32 : 5 = 6 6 � 5 + 2 = 322
6 zacskó telik meg, 2 narancs marad.
Tk. 64/3. kidolgozott mintapélda: Tasziló ismét összegy¶jtötte azokat a típushibákat,
amelyeket a tanulók gyakran elkövetnek. Beszéljük meg ezeket, ez segíthet a fogalom,
megoldási menet biztosabb kialakításában.
Tk. 64/5. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 18 : 2 = 9 15 : 2 = 7 20 : 2 = 100 1 0
9 � 2 + 0 = 18 7 � 2 + 1 = 15 10 � 2 + 0 = 20
9 : 2 = 4 19 : 2 = 9 2 : 2 = 11 1 0
4 � 2 + 1 = 9 9 � 2 + 1 = 19 1 � 2 + 0 = 2
Ha páros számot osztunk, akkor a maradék 0.
Ha páratlan számot osztunk, akkor a maradék 1.
Tk. 65/6. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 41 : 5 = 8 35 : 5 = 7 19 : 5 = 31 0 4
8 � 5 + 1 = 41 7 � 5 + 0 = 35 3 � 5 + 4 = 19
23 : 5 = 4 7 : 5 = 1 40 : 5 = 83 2 0
4 � 5 + 3 = 23 1 � 5 + 2 = 7 8 � 5 + 0 = 40
0-ra vagy 5-re végz®dik az a szám, amelyet 5-tel osztva 0 a maradék.
94 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 65/7. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: Innen indul 11 15 18 24 27 20 36 49 43 32 34
Ennyit ugrik 2 3 3 4 5 4 7 9 8 6 6
Ide érkezik 1 0 3 4 2 0 1 4 3 2 4
5-tel osztva a maradék 0, 1, 2, 3, 4 lehet.
5-tel osztva 3 a maradék: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, . . .
Tk. 65/8. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: Ennyi 1 van 25 48 72 93 61 7 56 64 99 100
Ennyi 10 -t kap 2 4 7 9 6 0 5 6 9 10
Ennyi 1 marad 5 8 2 3 1 7 6 4 9 0
10-zel osztva a maradék 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lehet.
10-zel osztva 3 a maradék: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, . . .
Gy. 64/1. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 9 Ft: 16 Ft: 13 Ft:
9 : 2 = 4 16 : 2 = 8 13 : 2 = 61 0 1
4 � 2 + 1 = 9 8 � 2 + 0 = 16 6 � 2 + 1 = 13
Gy. 64/2. feladat: 2-vel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden
esetben ellen®riztessük.
Megoldás: 19 : 2 = 9 15 : 2 = 71 1
9 �2 + 1 �
1 7 �2 + 1 �
1
14 : 2 = 7 11 : 2 = 50 1
7 �2 + 0 �
1 5 �2 + 1 �
1
Gy. 64/3. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 10 : 2 = 5 17 : 2 = 8 7 : 2 = 30 1 1
5 � 2 + 0 = 10 8 � 2 + 1 = 17 3 � 2 + 1 = 7
19 : 2 = 9 9 : 2 = 4 18 : 2 = 91 1 0
9 � 2 + 1 = 19 4 � 2 + 1 = 9 9 � 2 + 0 = 18
15 : 2 = 7 5 : 2 = 2 12 : 2 = 61 1 0
7 � 2 + 1 = 15 2 � 2 + 1 = 5 6 � 2 + 0 = 12
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
95
Gy. 65/4. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 16 Ft: 24 Ft: 20 Ft:
16 : 5 = 3 24 : 5 = 4 20 : 5 = 41 4 0
3 � 5 + 1 = 16 4 � 5 + 4 = 24 4 � 5 + 0 = 20
Gy. 65/5. feladat: 5-tel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden
esetben ellen®riztessük.
Megoldás: 19 : 5 = 3 15 : 5 = 34 0
3 �5 + 4 �
1 3 �5 + 2 �
1
37 : 5 = 7 38 : 5 = 72 3
7 �5 + 0 �
1 7 �5 + 3 �
1
Gy. 65/6. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 17 : 5 = 3 23 : 5 = 4 30 : 5 = 62 3 0
3 � 5 + 2 = 17 4 � 5 + 3 = 23 6 � 5 + 0 = 30
34 : 5 = 6 41 : 5 = 8 18 : 5 = 34 1 3
6 � 5 + 4 = 34 8 � 5 + 1 = 41 3 � 5 + 3 = 18
39 : 5 = 7 40 : 5 = 8 48 : 5 = 94 0 4
7 � 5 + 4 = 39 8 � 5 + 0 = 40 9 � 5 + 3 = 48
Gy. 66/7. feladat: A 10-zel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az
eredmény helyességét mindig ellen®riztessük. Oldassunk meg több hasonló feladatot.
Figyeltessük meg:
(1) mely számok oszthatók maradék nélkül 10-zel;
(2) ha 10-zel osztunk, milyen maradékokat kaphatunk;
(3) hogyan olvasható le egy számról, hogy 10-zel osztva mennyit ad maradékul.
Megoldás: 48 Ft: 70 Ft 63 Ft:
48 : 10 = 4 70 : 10 = 6 63 : 10 = 68 0 3
4 � 10 + 8 = 48 7 � 10 + 0 = 63 6 � 10 + 3 = 63
Gy. 66/8. feladat: 10-zel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden
esetben ellen®riztessük.
96 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 19 : 10 = 1 28 : 10 = 29 8
1 �10 + 9 �
1 2 �10 + 8 �
1
37 : 10 = 3 60 : 10 = 67 0
3 �10 + 7 �
1 6 �10 + 0 �
1
Gy. 66/9. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 26 : 10 = 2 36 : 10 = 3 45 : 10 = 46 6 5
2 � 10 + 6 = 26 3 � 10 + 6 = 36 4 � 10 + 5 = 45
54 : 10 = 5 74 : 10 = 7 80 : 10 = 84 4 0
5 � 10 + 4 = 54 7 � 10 + 4 = 74 8 � 10 + 0 = 80
Óra: 54. 60. 67.
2. tájékozódó felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Óra: 55. 61. 68.
2. felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
A 3-as szorzótábla, osztás 3-mal
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-
ság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 56{59. 62{66. 69{74.
A 3-as szorzótábla felépítését, a szorzás és osztás fogalmának b®vítését szemléleti
megalapozással (például számegyenesen való lépegetéssel, színesrudakkal történ® ki-
rakással, rajzok kiegészítésével) készíthetjük el®. Fontos a sokféle feladathelyzet, a
matematikai tartalom minél sokoldalúbb megközelítése. A tanulók ismerjék fel újra és
tudatosítsák az összeadás és a szorzás, illetve a szorzás és az osztás kapcsolatát, a
szorzás tényez®inek felcserélhet®ségét, �gyeljék meg, hogy a tényez®k változtatásá-
val hogyan változik a szorzat értéke. A szorzótábla megtanulása és alkalmazása során
hasznosítsák a felismert összefüggéseket. A színesrudak kirakásával nemcsak a szor-
zás fogalmát, a tényez®k felcserélhet®ségét szemléltetjük, hanem a hosszúságmérésr®l
tanultakat is elmélyíthetjük.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
97
A fejezet végén lév® számrejtvények a problémamegoldó képesség, a kreativitás fej-
lesztését segítik el®.
Tk. 66/1. feladat: 3 többszöröseinek, illetve a számok 3-szorosának képzése szám-
egyenesen való lépegetéssel. A feladatok eredményeinek összehasonlításával újra fel-
fedezhetik a gyermekek a szorzat tényez®inek felcserélhet®ségét.
Ha a 0-tól kezdve hármasával lépegetünk a számegyenesen, akkor a 3 többszöröseit
�gyeltethetjük meg. Lehetséges meg�gyelési szempontok:
Hová jutunk el valahány lépéssel?
Hány lépéssel juthatunk el valahová (a 3 valamelyik többszöröséhez)?
Mely számokhoz jutunk el és mely számokhoz nem?
Meg�gyeltethetjük, hogy az egyik tényez®nek a megkétszerezése hogyan változtatja
meg a szorzat értékét.
Megoldás: A 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 számokat jelöltük meg.
Tk. 66/2. feladat: 3 többszöröseinek, illetve a számok 3-szorosának képzése színesru-
dakkal való kirakással.
Megoldás: 3 1 � 3 cm = 3 cm
3 + 3 = 6 2 � 3 cm = 6 cm
3 + 3 + 3 + 3 = 12 4 � 3 cm = 12 cm
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 8 � 3 cm = 24 cm
Tk. 66/3. feladat: Ha szükséges, akkor pálcikákból rakassuk ki a formákat.
Megoldás:
Formák sorszáma: 0 1 3 5 10 9 2 4 6 8 7
Pálcikák száma: 0 3 9 15 30 27 6 12 18 24 21
Tk. 66/4. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyeltetése mellett a
szorzás tényez®inek a felcserélhet®ségét is szemléltethetjük az ábrával.
Megoldás: 3 emeleten 3 � 3 = 9 21 ablak 7 � 3 = 21
6 emeleten 6 � 3 = 18 15 ablak 5 � 3 = 15
9 emeleten 9 � 3 = 27 30 ablak 10 � 3 = 30
Tk. 67/5. feladat: A feladatok feldolgozása azért is fontos, mert a természetes számok-
kal mint mér®számokkal végezzük a m¶veletet. Ez egyaránt er®síti és elmélyíti a szám-
és a m¶veletfogalmat, illetve a hosszúságmérés fogalmát. A rudak, illetve a kirakott
hosszúságok megmérésével gyakoroltathatjuk a hosszúságmérést.
Megoldás: 3 � 1 cm = 3 cm 3 � 3 cm = 9 cm 3 � 5 cm = 15 cm
3 � 2 cm = 6 cm 3 � 10 cm = 30 cm
98 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 67/6. feladat: A 3-mal való szorzás osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 4 6 7 8 9
3 ugrással 0 3 9 12 18 21 24 27
Tk. 67/7. feladat: Felismerhetik a gyermekek, hogy pontosan akkor lesz a szorzat
páratlan, ha mindkét tényez®je páratlan.
Megoldás: 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9 5 � 2 = 10 3 � 5 = 15 3 � 4 = 12páros páratlan páros páratlan páros
2 � 10 = 20 3 � 10 = 30 3 � 6 = 18 7 � 3 = 21 1 � 3 = 3páros páros páros páratlan páratlan
9 � 2 = 18 3 � 9 = 27 4 � 10 = 40 5 � 5 = 25 8 � 3 = 24páros páratlan páros páratlan páros
Tk. 68/8. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük fel
úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 3-as szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük
a korábban tanultakat.
A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-
mek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®ek. Fi-
gyeltessük meg, hogy melyek azok a szorzatok, amelyeket már korábban is ismertek,
melyek azok, amelyeket most kell megtanulniuk.
Megoldás: 2 � 3 = 6 3 � 9 = 27
3 � 2 = 6 3 � 1 = 3
7 � 3 = 21 3 � 3 = 9
3 � 7 = 21 0 � 3 = 0
9 � 3 = 27 3 � 0 = 0
Tk. 68/9. feladat: Ebben a feladatban is azt �gyeltethetjük meg, mely számok bonthatók
fel többféleképpen két szám szorzatára.
Megoldás: 12 = 2 � 6 = 4 � 3 = 3 � 4 = 6 � 2
15 = 5 � 3 = 3 � 5
18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 6 � 3 = 3 � 6
Tk. 68/10. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladatsor.
Megoldás: Ugyanaz a szín ugyanazt a számot jelenti a két ábrában.
2�2 = 4 2
�2
�2 = 8 5
�5 = 25
2�3 = 6 2
�2
�3 = 12 2
�5
�5 = 50
3�3 = 9 2
�3
�3 = 18 3
�3
�2 = 18
2�5 = 10 3
�3
�3 = 27 3
�3
�5 = 45
3�5 = 15 2
�3
�5 = 30 2
�5
�3 = 30
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
99
Tk. 68/11. feladat: Ebben a feladatban is azt �gyeltethetjük meg, mely számok bontha-
tók fel többféleképpen két szám szorzatára.
Megoldás: 10 � 3 9 � 2 1 � 10 4 � 5 6 � 2
6 � 5 6 � 3 2 � 5 10 � 2 4 � 3
Tk. 69/12. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák számainak ismerete a feladat problé-
mahelyzetben. Több hasonló feladattal tudatosulhat a tanulókban, mely számok mely
szorzótáblák számai között szerepelnek. Kés®bb meg�gyelhetik azt is, melyek azok a
számok, amelyek egyik szorzótábla számai között sem szerepelnek.
Megoldás: A 2-es szorzótábla számai között nem szerepel az 5.
A 3-as szorzótábla számai között nem szerepel a 14.
Az 5-ös szorzótábla számai között nem szerepel a 9.
A 10-es szorzótábla számai között nem szerepel az 1.
Tk. 69/13. feladat: A szorzótáblák gyakorlása komplex feladatban.
Megoldás: a3
b5
c2
d2 0
e4 0
f3 0
g9
h2 7
i1
j2
k1 8
1 5
l6
Tk. 69/14. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladatsor.
Megoldás: A szorzat 12:
3 5 2 7 2 6 3 6
4 4 8 5 8 9 5 4
7 9 6 2 7 6 5 3
2 8 6 4 9 3 5 7
2 3 5 3 8 2 2 8
A szorzat 18:
3 6 9 6 7 4 6 9
7 9 5 2 9 3 5 8
8 5 8 8 3 2 2 7
2 6 4 2 7 9 7 5
3 3 7 6 5 8 6 3
Tk. 69/15. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladatsor.
Megoldás: Célszer¶ a második szorzatból kiindulni: z � z � z � z = 16; z = 2
100 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 70/16. feladat: Az osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése
rajzzal, számítással. A számolás során, illetve az eredmény ellen®rzésekor tudatosítsuk
az osztás és a szorzás kapcsolatát. Hívjuk fel a �gyelmet az ellen®rzés fontosságára.
Figyeltessük meg az osztó és a hányados változását.
Megoldás: 30 : 10 = 3 30 : 3 = 10
3 � 10 = 30 10 � 3 = 30
3 tányér kell. 10 tányér kell.
Tk. 70/17. feladat: Az osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése
rajzzal, számítással. A számolás során, illetve az eredmény ellen®rzésekor tudatosítsuk
az osztás és a szorzás kapcsolatát. Hívjuk fel a �gyelmet az ellen®rzés fontosságára.
Megoldás: 18 : 3 = 6, mert 6 � 3 = 18 15 : 3 = 5, mert 5 � 3 = 15
6 csokrot készít. 5 csokrot készít.
Tk. 70/18. feladat: A képr®l több szorzást, illetve osztást várunk el a tanulóktól. Írat-
hatunk (a füzetbe) összeadásokat is, ezzel mélyítjük az összeadás és a szorzás közti
kapcsolatot.
Megoldás: 6 � 2 = 12 12 : 2 = 6 6 � 4 = 24 24 : 4 = 6
2 � 6 = 12 12 : 6 = 2 4 � 6 = 24 24 : 6 = 4
3 � 4 = 12 12 : 4 = 3 12 � 2 = 24 24 : 2 = 12
4 � 3 = 12 12 : 3 = 4 2 � 12 = 24 24 : 12 = 2
3 � 8 = 24 24 : 8 = 3
8 � 3 = 24 24 : 3 = 8
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12
6 + 6 = 12
4 + 4 + 4 = 12
3 + 3 + 3 + 3 = 12
Tk. 71/19. feladat: Az osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzé-
se rajzzal, számolással. Új mozzanat a harmadrész megjelenítése rajzzal. Ismét hívjuk
fel a tanulók �gyelmét az ellen®rzés fontosságára.
Megoldás: 21 harmadrésze 7 , 21 osztva 3-mal = 7 ,
21 : 3 = 7 , mert 3 �7 = 21. 7 salátát kap.
Tk. 71/20. feladat: Az osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzé-
se rajzzal, számolással. Ismét hívjuk fel a tanulók �gyelmét az ellen®rzés fontosságára.
Megoldás: 18 harmadrésze = 6 15 harmadrésze = 5
18 : 3 = 6, mert 3 � 6 = 18 15 : 3 = 5, mert 3 � 5 = 15
6 makkot kap. 5 makkot kap.
Tk. 71/21. feladat: Szorzás, osztás 3-mal. Tudatosítsuk a két m¶velet közötti inverz
kapcsolatot.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
101
Megoldás: Ennyi van 0 3 9 6 15 12 18 24 27 21 30
Ennyi lesz 0 1 3 2 5 4 6 8 9 7 10
Tk. 72/22. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. A fel-
adatsorokat akkor célszer¶ feldolgoztatni, amikor már megbízhatóan tudják a hármas
szorzótáblát a tanulók. Ugyanakkor a maradékos osztás gyakorlása továbbfejleszti a
gyermekek számolási képességeit. Ismertessük fel, hogy ha 3-mal osztjuk a számot,
akkor a maradék 0, 1 vagy 2.
Megoldás: Ennyi gomb volt 7 8 5 23 22 21 28 30 27
Ennyi blúzra elég 2 2 1 7 7 7 9 10 9
Ennyi gomb maradt 1 2 2 2 1 0 1 0 0
Tk. 72/23. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása.
Megoldás: Répa van 6 11 12 23 3 4 16 19 24 25 26
Egynek jut 2 3 4 7 1 1 5 6 8 8 8
Marad 0 2 0 2 0 1 1 1 0 1 2
Tk. 72/24. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. Ismét
�gyeltessük meg, hogy 3-mal osztva a maradék 0, 1, 2 lehet.
Megoldás: Innen indul 10 9 13 14 15 20 24 25 26 17 18
Ennyit ugrik 3 3 4 4 5 6 8 8 8 5 6
Ide érkezik 1 0 1 2 0 2 0 1 2 2 0
Tk. 72/25. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: F = 9, F <�3 D, D = ?
Terv: D = 3 � F
Számolás: D = 3 � 9 D = 27
Ellen®rzés: 9 � 3 = 27
Válasz: 27 halat fogott Del�n Dini.
Tk. 72/26. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: r = 9, r � 3 > d, d = ?
Terv: d = r : 3
Számolás: d = 9 : 3 d = 3
Ellen®rzés: 3 � 3 = 9
Válasz: 3 kagylót gy¶jtött délben Vidra Vidor.
102 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 72/27. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: h = 18, m = 1 + 2 = 3, e = ?
Terv: e = h : m
Számolás: e = 18 : 3 e = 6
Ellen®rzés: 3 � 6 = 18
Válasz: 6 hal jutott egy mackónak.
Tk. 72/28. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-
tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 1 perc 3 m, ? perc 12 m
Terv: x = 12 : 3
Számolás: x = 4 perc
Ellen®rzés: 4 � 3 m = 12 m
Válasz: 4 perc alatt érnek oda.
Gy. 67/1. feladat: A hármasával növekv®, illetve csökken® sorozatok képzése során
a tanulók gyakorolják a kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadását, kivonását a tízesek
átlépésével. Ez egyrészt a hármas szorzótábla tanulását készíti el®, másrészt a számok
3-mal való oszthatóságával kapcsolatosan gy¶jtenek tapasztalatokat a gyermekek. A
feladatot kiegészíthetjük igaz vagy hamis állítások logikai értékének meghatározásával.
Megoldás: A sorozat mindig 3-mal növekszik.
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
A sorozat mindig 3-mal csökken.
30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0
29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, esetleg (-1)
28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, esetleg (-2)
Gy. 67/2. feladat: Ha szükséges, akkor pálcikákból rakassuk ki a formákat.
Megoldás: 1 � 3 = 3 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9
4 � 3 = 12 5 � 3 = 15 6 � 3 = 18
7 � 3 = 21 8 � 3 = 24
9 � 3 = 27 10 � 3 = 30
Gy. 67/3. feladat: Figyeltessük meg, hogy a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 3 � 4 = 12 3 � 5 = 15 3 � 7 = 21
4 � 3 = 12 5 � 3 = 15 7 � 3 = 21
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
103
Gy. 68/4. feladat: A 3-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: a) 0 � 3 = 0 3 � 3 = 9 6 � 3 = 18 9 � 3 = 27
1 � 3 = 3 4 � 3 = 12 7 � 3 = 21 10 � 3 = 30
2 � 3 = 6 5 � 3 = 15 8 � 3 = 24
b) 10 � 3 = 30 8 � 3 = 24 6 � 3 = 18 9 � 3 = 27
7 � 3 = 21 5 � 3 = 15 3 � 3 = 9 1 � 3 = 3
0 � 3 = 0 4 � 3 = 12 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9
Gy. 68/5. feladat: A 3-as szorzótábla gyakorlása.
a)
0 10 20 30
3 � 1 = 3
3 � 7 = 2 1
b)
0 10 20 30
3 � 2 = 6
3 � 4 = 1 2
c)
0 10 20 30
3 � 3 = 9
3 � 6 = 1 8
d)
0 10 20 30
3 � 5 = 1 5
3 � 1 0 = 3 0
e)
0 10 20 30
3 � 8 = 2 4
3 � 9 = 2 7
Gy. 68/6. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák gyakorlása.
Megoldás: a) 35 16 30 18
25 8 4 3
12 20 30 40
b) 27 16 18 18
10 21 16 20
24 14 15 9
Gy. 69/7. feladat: Osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése
rajzzal, számítással.
Megoldás: 12 : 3 = 4 24 : 3 = 8 18 : 3 = 6
4 � 3 = 12 8 � 3 = 24 6 � 3 = 18
104 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 69/8. feladat: A 3-es bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 3 = 0 mert 0 � 3 = 0 18 : 3 = 6 mert 6 � 3 = 18
3 : 3 = 1 mert 1 � 3 = 3 21 : 3 = 7 mert 7 � 3 = 21
6 : 3 = 2 mert 2 � 3 = 6 24 : 3 = 8 mert 8 � 3 = 24
9 : 3 = 3 mert 3 � 3 = 9 27 : 3 = 9 mert 9 � 3 = 27
12 : 3 = 4 mert 4 � 3 = 12 30 : 3 = 10 mert 10 � 3 = 30
15 : 3 = 5 mert 5 � 3 = 15
Gy. 69/9. feladat: Osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése
rajzzal, számítással.
Megoldás: 5 fa színes. 3 fa színes. 7 fa színes.
15 : 3 = 5 9 : 3 = 3 21 : 3 = 7
3 � 5 = 15 3 � 3 = 9 3 � 7 = 21
Gy. 69/10. feladat: Gyakoroljuk a számok harmadrészének meghatározását.
Megoldás: 0 : 3 = 0 mert 3 �0 = 0 18 : 3 = 6 mert 3 � 6 = 18
3 : 3 = 1 mert 3 �1 = 3 21 : 3 = 7 mert 3 � 7 = 21
6 : 3 = 2 mert 3 �2 = 6 24 : 3 = 8 mert 3 � 8 = 24
9 : 3 = 3 mert 3 �3 = 9 27 : 3 = 9 mert 3 � 9 = 27
12 : 3 = 4 mert 3 �4 = 12 30 : 3 = 10 mert 3 � 10 = 30
15 : 3 = 5 mert 3 �5 = 15
Gy. 70/11. feladat: Az eddig tanult bennfoglalótáblák gyakorlása.
Megoldás: a) 4 6 3 8
10 2 0 9
7 5 10 1
b) 6 7 4 8
2 5 9 6
9 3 5 5
c) 8 3 2 7
6 1 9 4
8 6 10 4
d) 3 21 3 3
24 18 3 3
12 0 3 3
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
105
Gy. 70/12. feladat: A feladat megoldása során tudatosítja a tanuló az összeadás és a
szorzás, illetve a szorzás és az osztás fogalmát és kapcsolatát.
Megoldás: t 3 9 6 15 0 12 18 21 27 24 30
cs 1 3 2 5 0 4 6 7 9 8 10
Gy. 70/13. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy egy képhez több m¶velet is tartozhat.
A fels® képhez tartozik: 3 � 2 = 6 2 + 2 + 2 = 6
2 � 3 = 6 6 : 2 = 3
3 + 3 = 6 6 : 3 = 2
6 : 3 = 2
Az alsó képhez tartozik: 2 + 2 = 4 2 � 2 = 4
4 : 2 = 2
Egyik képhez sem tartozik: 3 + 3 + 3 = 9 3 � 3 = 9
Gy. 70/14. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 26 28 10 3
70 82 6 5
b) 94 38 70 7
76 53 18 8
Gy. 71/15. feladat: Az öt szöveges feladatot egy tanórán célszer¶ feldolgozni. Ismerjék
fel a gyermekek, hogy nagyon fontos az adatok helyes lejegyzése. Ez csak úgy lehetsé-
ges, ha képesek helyesen értelmezni a szöveget. Vetessük észre, hogy többféle helyes
lejegyzés lehetséges. Ennek alapján a megoldás tervét is többféle formában írhatjuk le
számfeladattal. Mindig tisztázzuk, hogy az alkalmazott bet¶k vagy egyéb szimbólumok
mit jelentenek az adatok lejegyzésekor. Például az a) feladatban a H és a K bet¶ nem
a hétf®, illetve kedd rövidítése, hanem a hétf®n, illetve kedden olvasott lapok szá-
mát jelenti. Ily módon az adatok lejegyzésekor a bet¶szimbólumok alkalmazásával is
ismerkednek a gyermekek. A fordított szövegezés esetén (lásd c) és d) feladat) sokkal
nehezebb az adatok helyes értelmezése, ezért mindig tisztázzuk, hogy a két adat közül
melyik nagyobb. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: a) Adatok: h = 9, h <+3 k, k = ?
Terv: k = h + 3
Számolás: k = 9 + 3 k = 12
Válasz: 12 oldalt olvasott el kedden Jutka.
b) Adatok: K = 9, K <3 L, L = ?
Terv: L = 3 � K
Számolás: L = 3 � 9 L = 27
Válasz: 27 bélyege van Lacinak.
106 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: M = 9, M �3> N, N = ?
Terv: N = M : 3
Számolás: N = 9 : 3 N = 3
Ellen®rzés: 3 � 3 = 9
Válasz: 3 képeslapja van Noéminek.
d) Adatok: G = 9, p :3> G, p = ?
Terv: p = 3 � G
Számolás: p = 3 � 9 p = 27
Válasz: 27 palacsintát sütött édesanya.
e) Adatok: b = 9, b :3> F, F = ?
Terv: F = b : 3
Számolás: F = 9 : 3 F = 3
Ellen®rzés: 3 � 3 = 9
Válasz: 3 barackot evett meg Feri.
Adatok: v = 9, F = 3, m = ?
Terv: m = v { F
Számolás: m = 9 { 3 m = 6
Ellen®rzés: 6 + 3 = 9
Válasz: 6 barack maradt.
Gy. 72/16. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 11 : 3 = 3 15 : 3 = 5 23 : 3 = 7
2 0 2
3 � 3 + 2 = 11 5 � 3 + 0 = 15 7 � 3 + 2 = 23
Gy. 72/17. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. Ismét
�gyeltessük meg, hogy 3-mal osztva a maradék 0, 1, 2 lehet.
Megoldás: Lap van 9 10 15 20 16 26 14 28 18 24 22 8
Kunyhó lett 3 3 5 6 5 8 4 9 6 8 7 2
Maradt 0 1 0 2 1 2 2 1 0 0 1 2
Gy. 72/18. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt komplex fel-
adatsor. A problémamegoldó képesség, kreativitás, metakogníció fejlesztésére szánt
feladat.
Megoldás:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
107
a) Az adott ábrák a következ® sorszámoknál vannak:
3., 6., 9., 12., 15., 18., 21., 24., 27., 30.
1., 4., 7., 10., 13., 16., 19., 22., 25., 28., 31.
b) Az adott sorszámoknál a következ® ábrák vannak:
6. 10. 12. 14. 17. 18. 19. 25. 29.
Az ellen®rzést el®ször szóban kérjük, majd jegyeztessük is le (lásd 145/1. feladat).
Gy. 73/19. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 14 : 3 = 4 22 : 3 = 7 15 : 3 = 52 1 0
4 � 3 + 2 = 14 7 � 3 + 1 = 22 5 � 3 + 0 = 15
7 : 3 = 2 26 : 3 = 8 19 : 3 = 61 2 1
2 � 3 + 1 = 7 8 � 3 + 2 = 26 6 � 3 + 1 = 19
1 : 3 = 0 27 : 3 = 9 13 : 3 = 4
1 0 1
0 � 3 + 1 = 1 9 � 3 + 0 = 27 4 � 3 + 1 = 13
Gy. 73/20. feladat: Figyeljük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot. Például ha
egy számot 4-gyel szorzunk, majd 2-vel osztunk, az annyit jelent, mintha csak 2-vel
szoroztuk volna.
Megoldás:
3
� 4 : 21 2 6
� 2
3
� 6 : 21 8 9
� 3
� 3 � 3
273 9
� 9
� 2
6
� 5
3 3 0
� 1 0
108 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 73/21. feladat: A szorzásról és osztásról tanultak alkalmazása összetett feladatok-
ban.
Megoldás: 9 � 2 = 6 � 3 18 : 3 = 2 � 3 18 : 2 = 2 7 : 3
6 � 5 = 3 � 10 9 : 3 = 3 � 1 27 : 3 = 1 8 : 2
2 � 6 = 3 � 4 12 : 2 = 2 � 3 15 : 3 = 2 5 : 5
Gy. 73/22. feladat: A szorzásról és osztásról tanultak alkalmazása összetett feladatok-
ban.
Megoldás: a)
2 7z }| {3 � 9 =
1 8z }| {2 � 9 + 9
2 1z }| {7 � 3 =
1 4z }| {7 � 2 + 7
b)
1 8z }| {3 � 6 =
2 4z }| {4 � 6 { 6
9z }| {18 : 2 =
6z }| {18 : 3 + 3
c)
5z }| {15 : 3 =
3z }| {15 : 5 + 2
4z }| {12 : 3 =
3z }| {12 : 4 + 1
Kétjegy¶ számok kétszerese
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-
se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelé-
se, kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív
következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,
összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 60{61. 67{68. 75{76.
A szorzótáblák közti összefüggések felismeréséhez szükséges, hogy a gyermek ki tudja
számolni az 50-nél kisebb kétjegy¶ számok kétszeresét. A kétjegy¶ számok kétszere-
se visszavezethet® két egyenl® tag összegére, illetve a tízesek kétszeresének és az
egyesek kétszeresének összegére. Így ezek a feladatok el®készítik a kétjegy¶ számok
összeadását és szorzását is.
Tk. 74/1. feladat: Egyjegy¶ számok, illetve kétjegy¶ kerek tízesek kétszerese. A
feladatok megoldásához játék pénzt használunk modellnek.
Megoldás: 1 + 1 = 2 2 + 2 = 4 5 + 5 = 10
2 � 1 = 2 2 � 2 = 4 2 � 5 = 10
10 + 10 = 20 20 + 20 = 40 50 + 50 = 100
2 � 10 = 20 2 � 20 = 40 2 � 50 = 100
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
109
Tk. 74/2. feladat: Egyjegy¶ számok, illetve kétjegy¶ kerek tízesek kétszerese. A
feladatok megoldásához számegyenesen való lépegetést használunk modellnek.
Megoldás: 3 + 3 = 6 30 + 30 = 60
2 � 3 = 6 2 � 30 = 60
4 + 4 = 8 40 + 40 = 80
2 � 4 = 8 2 � 40 = 80
Tk. 74/3. feladat: A szorzásról tanultak alkalmazása játékos feladatban.
Megoldás:
0 2 � 1 40 2 � 3 6 10 2 � 50 100
2 2 � 10 2 � 20 2 � 30 2 � 40 80 2 � 5
2 � 0 20 2 � 2 4 60 2 � 4 8
Tk. 75/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, hogy egy kétjegy¶ szám kétsze-
rese visszavezethet® a tízesek és az egyesek kétszeresének összegére.
Tk. 75/2. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, hogy egy kétjegy¶ szám kétsze-
rese visszavezethet® a tízesek és az egyesek kétszeresének összegére.
Tk. 75/4. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása. Az ábra segít a megol-
dásban.
Megoldás: a) b)2 � 10 = 20
2 � 6 = 12
)2 � 16 = 32
2 � 20 = 40
2 � 5 = 10
)2 � 25 = 50
c) 2 � 20 = 40
2 � 8 = 16
)2 � 28 = 56
Tk. 76/5. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat megol-
dása során. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: D = 34, D <�2 B, B = ?
Terv: B = 2 � D
Számolás: B = 2 � 34 B = 68
Válasz: 68 szem málnát talált Brumi.
Tk. 76/6. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat megol-
dása során. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási kész
Megoldás: Adatok: 1 ugrás 49 dm, 2 ugrás ?
Terv: x = 2 � 49 dm
Számolás: x = 98 dm
Válasz: 98 dm-re távolságra jut 2 ugrással Gida.
110 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 76/7. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása alapján a helyes ered-
mény megkeresése.
Megoldás: 12 17 23 28 39
Tk. 76/8. feladat: Ismét �gyeltessük meg az ismételt összeadás és a szorzás közti
kapcsolatot.
Megoldás:
Ny 15 14 13 6 16 26 18 20 50 40 37 19 24 25
S 15 14 13 6 16 26 18 20 50 40 37 19 24 25
E 30 28 26 12 32 52 36 40 100 80 74 38 48 50
Lehet együtt 44 almájuk, mert, 22 + 22 = 44
Nem lehet együtt 45 almájuk, mert egy szám kétszerese mindig páros szám.
Tk. 77/9. feladat: El®ször számolják ki a tanulók a szorzások eredményét, majd rajzol-
ják a képrészletet a megfelel® helyre. Képi gondolkodást, térszemléletet, kreativitást,
feladattartást fejleszt®
Megoldás: Beírandó eredmények: 32 52 48 18
20 36 21 28
66 98 90 50
40 24 56 70
Egy Mikulás képe alakul ki.
Gy. 74/1. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása ismételt összeadásként,
illetve szorzásként.
Megoldás: a) 10 + 10 = 20 2 � 10 = 20
3 + 3 = 6 2 � 3 = 6
13 + 13 = 26 2 � 13 = 26
b) 20 + 20 = 40 2 � 20 = 40
4 + 4 = 8 2 � 4 = 8
24 + 24 = 48 2 � 24 = 48
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
111
c) 30 + 30 = 60 2 � 30 = 60
5 + 5 = 10 2 � 5 = 10
35 + 35 = 70 2 � 35 = 70
Gy. 74/2. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.
Megoldás:
2 � 12| {z } = 2 4
2 � 10| {z }2 0
+ 2 � 2| {z }4
2 � 34| {z } = 6 8
2 � 10| {z }6 0
+ 2 � 4| {z }8
2 � 46| {z } = 9 2
2 � 10| {z }8 0
+ 2 � 6| {z }1 2
2 � 18| {z } = 3 6
2 � 10| {z }2 0
+ 2 � 8| {z }1 6
2 � 38| {z } = 7 6
2 � 10| {z }6 0
+ 2 � 8| {z }1 6
2 � 25| {z } = 5 0
2 � 10| {z }4 0
+ 2 � 5| {z }1 0
Gy. 74/3. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.
Megoldás:
a) 2 � 10 = 2 0 2 � 20 = 4 0 2 � 40 = 8 0 2 � 30 = 6 0
2 � 4 = 8 2 � 3 = 6 2 � 1 = 2 2 � 2 = 4
2 � 14 = 2 8 2 � 23 = 4 6 2 � 41 = 8 2 2 � 32 = 6 4
b) 2 � 30 = 6 0 2 � 10 = 2 0 2 � 20 = 4 0 2 � 10 = 2 0
2 � 2 = 4 2 � 5 = 1 0 2 � 6 = 1 2 2 � 8 = 1 6
2 � 32 = 6 4 2 � 15 = 3 0 2 � 26 = 5 2 2 � 18 = 3 6
Gy. 75/4. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.
Megoldás: a) 10 � 2 = 20 b) 10 � 2 = 20
2 � 2 = 4 6 � 2 = 12
12 � 2 = 24 16 � 2 = 32
c) 10 � 2 = 20
7 � 2 = 14
17 � 2 = 34
112 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 75/5. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.
Megoldás:
21 � 2| {z } = 4 2
20 � 2| {z }4 0
+ 1 � 2| {z }2
27 � 2| {z } = 5 4
20 � 2| {z }4 0
+ 7 � 2| {z }1 4
31 � 2| {z } = 6 2
30 � 2| {z }6 0
+ 1 � 2| {z }2
19 � 2| {z } = 3 8
10 � 2| {z }2 0
+ 9 � 2| {z }1 8
39 � 2| {z } = 7 8
30 � 2| {z }6 0
+ 9 � 2| {z }1 8
45 � 2| {z } = 9 0
40 � 2| {z }8 0
+ 5 � 2| {z }1 0
Gy. 75/6. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.
Megoldás:
a) 10 � 2 = 2 0 20 � 2 = 4 0 30 � 2 = 6 0 40 � 2 = 8 0
1 � 2 = 2 4 � 2 = 8 3 � 2 = 6 2 � 2 = 4
11 � 2 = 2 2 24 � 2 = 4 8 33 � 2 = 6 6 42 � 2 = 8 4
b) 30 � 2 = 6 0 20 � 2 = 4 0 10 � 2 = 2 0 20 � 2 = 4 0
6 � 2 = 1 2 9 � 2 = 1 8 7 � 2 = 1 4 8 � 2 = 1 6
36 � 2 = 7 2 29 � 2 = 5 8 17 � 2 = 3 4 28 � 2 = 5 6
c) 40 � 2 = 8 0 17 � 2 = 3 4 2 � 11 = 2 2 2 � 16 = 3 2
5 � 2 = 1 0 19 � 2 = 3 8 2 � 12 = 2 4 2 � 15 = 3 0
45 � 2 = 9 0 18 � 2 = 3 6 2 � 13 = 2 6 2 � 14 = 2 8
Gy. 76/7. feladat: A �kétszerese" fogalmának sokoldalú megalapozása. Szükség ese-
tén, különböz® eszközök (játék pénz, mér®szalag, színesrúd) segítségével további
feladatokat is célszer¶ megoldatni.
Megoldás: Szabály: M � 2 = L, 2 � M = L, L : 2 = M, L : M = 2
Madarak száma 1 10 12 20 16 13 14 15 21 18 50
Lábak száma 2 20 24 40 32 26 28 30 42 36 100
Gy. 76/8. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat
méréshez kapcsolva.
Megoldás: a) A papírcsík hossza 25 cm.
2 � 2 5 cm = 5 0 cm = 5 dm 0 cm
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
113
b) A papírcsík hossza 19 cm.
2 � 1 9 cm = 3 8 cm = 3 dm 8 cm
c) A papírcsík hossza 33 cm.
2 � 3 3 cm = 6 6 cm = 6 dm 6 cm
Gy. 76/9. feladat: A feladat az, hogy 2-szer 12 területegységnyi terület¶ téglalapot
rajzoljunk.
Megoldás: A 24-et négyféleképpen tudjuk két szám szorzatára bontani, így összesen 4
megoldás van.
1 � 24 = 24, 2 � 12 = 24, 3 � 8 = 24, 4 � 6 = 24
Tk. 77/10. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat meg-
oldása során. Fontosnak tartjuk, hogy minden témakörhöz kapcsolódóan oldjanak meg
elegend® szöveges feladatot a gyermekek. A feladatok egy része a kés®bbi folyamatos
ismétlés keretében is megoldatható. Amennyiben még nem rögzült a szöveges feladatok
megoldási menete, hívjuk fel a tanulók �gyelmét: Gy¶jtsék ki az adatokat! Írjanak a szö-
vegr®l egyenletet! Számítsák ki az eredményt! Válaszoljanak a kérdésre! Szövegértés,
szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: a) Adatok: J = 16 Ft, J <�2 K, K = ?
Terv: K = 2 � J
Számolás: K = 2 � 16 Ft K = 32 Ft
Válasz: 32 Ft-ja van Karcsinak.
b) Adatok: 1 nap 2 oldal, 19 nap ?
Terv: x = 19 � 2
Számolás: x = 38
Válasz: 38 oldalas a történet.
c) Adatok: 1 kancsó 15 dl, 1 vödör 2 kancsó, v = ?
Terv: v = 2 � k
114 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: v = 2 � 15 v = 30
Válasz: 30 dl = 3 l víz lett a vödörben.
d) Adatok: 1 személy 2 sütemény, 18 személy ?
Terv: x = 18 � 2
Számolás: x = 36
Válasz: 36 mézeslepényt sütött Brumi.
e) Adatok: 1 nap 2 káposzta, 17 nap ?
Terv: x = 17 � 2
Számolás: x = 34
Válasz: 34 káposztája volt Mekeginek.
f) Adatok: T = 25 cm, T <�2 P, P = ?
Terv: P = 2 � T
Számolás: P = 2 � 25 cm P = 50 cm
Válasz: 50 cm = 5 dm magas Picur.
A 4-es szorzótábla, osztás 4-gyel
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-
ság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 62-65. 69{73. 77{82.
A 3-as szorzótáblánál elmondottakat a következ®kkel egészítjük ki:
A 4-es szorzótábla elsajátíttatásánál fektessünk súlyt a 2-es és a 4-es szorzótábla közti
kapcsolat felismertetésére és tudatos alkalmazására. Ez nemcsak a matematikai szem-
léletmód fejlesztése szempontjából fontos, hanem a korábban tanult 2-es szorzótábla
gyakorlását, valamint a �fele" és a �kétszerese" fogalmak megszilárdítását is szolgálja.
Tk. 78/1. feladat: A gyermekek ismerjék fel és konkrét esetekhez kapcsolódóan a saját
szavaikkal fogalmazzák is meg, hogy ha az egyik tényez® a 2-szeresére n®, a másik
változatlan, akkor a szorzat is a 2-szeresére n®.
Megoldás: 1 � 4 cm = 4
3 rúd 4 + 4 + 4 = 12 3 � 4 = 12 cm
6 rúd 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 6 � 4 = 24 cm
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
115
Tk. 78/2. feladat: A 4-es szorzótábla tanulásának el®készítésekor sokféleképpen szem-
léltessük a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot. A gyermekek ismerjék fel és
konkrét esetekhez kapcsolódóan a saját szavaikkal fogalmazzák is meg, hogy ha az
egyik tényez® a 2-szeresére n®, a másik változatlan, akkor a szorzat is a 2-szeresére
n®.
Megoldás: 2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 5 � 2 = 10
2 � 4 = 8 4 � 4 = 16 5 � 4 = 20
Tk. 78/3. feladat: Számegyenesen történ® lépegetéssel ismét �gyeltessük meg a 2-es
és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás: Ugrások száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Béka 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Veréb 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Tk. 79/4. feladat: Alkalmazzák a gyermekek a szorzat változásairól korábban felismert
összefüggéseket.
Megoldás: 4 � 4 cm = 16 cm 4 � 8 cm = 32 cm 4 � 6 cm = 24 cm
Tk. 79/5. feladat: A feladat megoldatása el®tt ténylegesen megmérethetünk ugyan-
akkora távolságot (például 12 cm-t, 16 cm-t, 20 cm-t) rózsaszín és piros rudakkal is.
Ezzel további összefüggések felismerését készíthetjük el®. Ha az egyik tényez® a 2-
szeresére n®, a másik a felére csökken, akkor a szorzat változatlan: Az ilyen mérések
végrehajtásával egyúttal megsejtethetjük a mértékegység és a mér®szám közti fordított
arányosságot is.
Megoldás: Rózsaszín rúd 2 0 4 10 6 8 12 14 18 16 20
Piros rúd 1 0 2 5 3 4 6 7 9 8 10
Tk. 79/6. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás és mint részekre osztás) elvégzése a
szemléletre támaszkodva. Felismertethetjük, hogy a negyedrészt ismételt felezéssel is
megkaphatjuk. Hangsúlyozzuk az osztás ellen®rzésének fontosságát. A feladatok ered-
ményének összehasonlításával felfedezhetik a tanulók, hogy ha az osztandó nagyobb,
az osztó ugyanakkora, akkor az eredmény is nagyobb.
Megoldás: 12-re 3 , 24-re 6 , 36-ra 9 , 28-ra 7 , 40-re 1 0
Tk. 79/7. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 2 4 5 6 8
4 ugrással 0 4 8 16 20 24 32
Tk. 80/8. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük
fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 4-es szorzótáblát, illetve kékkel
jelöljük a korábban tanultakat. A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat
116 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
alkalmazását gyakorolja a gyermek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a
tényez®k felcserélhet®ek. Figyeltessük meg a 2-es és 4-es szorzótábla megfelel® sorai,
oszlopai közti összefüggéseket.
Megoldás: 6 � 4 = 24 4 � 9 = 36
4 � 6 = 24 4 � 1 = 4
7 � 4 = 28 4 � 0 = 0
4 � 7 = 28 0 � 4 = 0
9 � 4 = 36 4 � 4 = 16
Tk. 80/9. feladat: Az osztás (bennfoglalás) gyakorlására szánt feladat. Ismét beszéljük
meg az ellen®rzés fontosságát.
Megoldás: 20 : 4 = 5, mert 5 � 4 = 20.
24 : 4 = 6, mert 6 � 4 = 24.
Tk. 80/10. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg a táblázat
kitöltésével.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 2 4 5 6 8
4 ugrással 0 4 8 16 20 24 32
Tk. 81/11. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-
kodva. (A maradékos osztást és a részekre osztást a jelrendszerben és a szóhasz-
nálatban nem különböztetjük meg.) új mozzanat a negyedrész meghatározása rajzzal,
matematikai jelekkel. Fedezzék fel a tanulók, hogy egy mennyiség negyedrészét úgy is
kiszámíthatjuk, hogy a mennyiség felét megfelezzük. Hívjuk fel a �gyelmet az osztás
ellen®rzésének fontosságára.
Megoldás: 20 negyedrésze 5 , 20 osztva 4-gyel = 5 ,
20 : 4 = 5 , mert 4 � 5 = 20; 5 búzaszemet kap.
Tk. 81/12. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-
kodva.
Megoldás: 2 0 negyedrésze 5 , mert 2 4 negyedrésze 6 , mert
4 � 5 = 2 0 4 � 6 = 2 4
Tk. 81/13. feladat: Két szorzás és két osztás írását várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: 3 � 4 = 12 2 � 4 = 8
4 � 3 = 12 4 � 2 = 8
12 : 3 = 4 8 : 2 = 4
12 : 4 = 3 8 : 4 = 2
Tk. 82/14. feladat: A számok csoportosítása aszerint, hogy 4-gyel osztva mennyit
adnak maradékul (tapasztalatszerzés). A gyermekek ismerjék fel, hogy a maradék 0,
1, 2 vagy 3 lehet.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
117
Megoldás: Ennyi pálca van 4 8 16 22 23 31 37 35 25 2
Ennyi négyzet lesz 1 2 4 5 5 7 9 8 6 0
Ennyi pálca marad 0 0 0 2 3 3 1 3 1 2
Tk. 82/15. feladat: A számok csoportosítása aszerint, hogy 4-gyel osztva mennyit
adnak maradékul (tapasztalatszerzés). A gyermekek ismerjék fel, hogy a maradék 0, 1,
2 vagy 3 lehet.
Megoldás: Innen indul 11 12 13 14 24 25 26 27 28 5 9 6
Ennyit ugrik 2 3 3 3 6 6 6 6 7 1 2 1
Ide érkezik 3 0 1 2 0 1 2 3 0 1 1 2
Tk. 82/16. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás értelmezésére szánt feladat. Ha
szükséges apró tárgyakkal (gomb, mag, korong) játsszák is el a tanulók a feladatot.
Megoldás: 9 : 4 = 2 16 : 4 = 41 0
4 � 2 + 1 = 9 4 � 4 + 0 = 16
17 : 4 = 4 22 : 4 = 5 39 : 4 = 91 2 3
4 � 4 + 1 =17 5 � 4 + 2 = 22 9 � 4 + 3 = 39
Tk. 83/17. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: G = 3, G <�4 F, F = ?
Terv: F = 4 � G
Számolás: F = 4 � 3 F = 12
Ellen®rzés: 3 <� 4 12
Válasz: 12 csibéje van Fácán mamának.
Tk. 83/18. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 1 ugrás 4 dm, ? ugrás 24 dm
Terv: x = 24 : 4
Számolás: x = 6
Ellen®rzés: 6 � 4 dm = 24 dm
Válasz: 6 ugrással éri el Béka Ben® a tavat.
Tk. 83/19. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 1 sikló 0 láb, 1 hód 4 láb, hód 20 láb
Terv: h = 20 : 4
118 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: h = 5
Ellen®rzés: 5 � 4 = 20
Válasz: 5 hód él a tóban.
Tk. 83/20. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: m = 2, m <�4 e, e = ?, H = ? a sorban
Terv: e = 4 � m
Számolás: e = 4 � 2 e = 8
Ellen®rzés: 2 <�4 8
Válasz: 9. a sorban Hápi mama.
Tk. 84/21. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte a maradékos osztás során a tanulók
általi leggyakoribb hibákat. Ezek javítása segít a fogalom kialakításában.
Megoldás: Hibás. Hibás. Jó Hibás.
27 : 5 = 5 27 : 4 = 6 20 : 2 = 102 3 0
Tk. 84/22. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.
Megoldás: A két feladatban az azonos színek nem ugyanazokat a számokat jelölik.
A megoldás kulcsa az s � s = 16
(s = 4), illetve a z � z = 4 (z = 2)
szorzatok felismerése.
A 24 osztópárjaiból, majd azok
osztópárjaiból lehet kiindulni.
Tk. 84/23. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.
Megoldás: A két ábrában az azonos színek különböz® számokat jelentenek.
3 6 2 9 4 2 3 2 4� : = � � =
� : � � � � :
4 3 6 2 2 2 1 4� : = � � =
: � : : � � � �
2 2 3 3 2 2 3 3: � = : � =
= = = = = = = =
6 4 4 6 1 6 8 9 1 8� : = : � =
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
119
Tk. 84/24. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.
Megoldás:
Mindkét feladatban a 2 � 2 � 2 � 2 = 16 szorzat felismerése lehet a megoldás kulcsa.
Más kiindulás is lehetséges!
2 2 2 2 = 16
2 4 2 2 = 32
3 2 2 1 = 12
2 1 5 7 = 70
= = = =24 16 40 28
2 3 2 3 = 36
5 1 2 2 = 20
3 3 2 55 = 90
2 2 2 1 = 8
= = = =60 18 16 30
Tk. 84/25. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.
Megoldás:
A különböz® megoldások felkutatása a problémaérzékenységet és a gondolkodás rugal-
masságát fejleszti.
Figyeltessük meg, hogy két páratlan szám szorzata is páratlan szám.
8
2 � 4
4 8
6 � 8
1 2
2 � 6
3 2
4 � 8
1 5
3 � 5
6 3
7 � 9
1 5
3 � 5
6 3
7 � 9
8
2 � 4
4 8
6 � 8
1 2
2 � 6
3 2
4 � 8
2 1
3 � 7
4 5
5 � 9
2 1
3 � 7
4 5
5 � 9
8
2 � 4
4 8
6 � 8
1 2
2 � 6
3 2
4 � 8
2 7
3 � 9
3 5
5 � 7
2 7
3 � 9
3 5
5 � 7
120 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Természetesen további jó megoldásokat kapunk a tényez®k felcserélésével. Például:
1 2
6 � 2
3 2
4 � 8
2 1
7 � 3
4 5
5 � 9
Tk. 85/26. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.
Megoldás: Egy karácsonyi kép a megoldás.
Beírandó számok: 28 50 0
12 48 14
9 21 22
7 24 44
16 1 8
35 26 90
40 45 32
3 2 10
20 27 15
6 18 100
30
36
80
4
70
13
5
25
60
42
Gy. 78/1. feladat: A négyesével növekv®, illetve csökken® sorozatok képzése során
a tanulók gyakorolják a kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadását, kivonását a tízesek
átlépésével. Ez egyrészt a négyes szorzótábla tanulását készíti el®, másrészt a számok
4-gyel való oszthatóságával kapcsolatosan gy¶jtenek tapasztalatokat a gyermekek. A
feladatot kiegészíthetjük igaz vagy hamis állítások logikai értékének meghatározásával.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
121
Megoldás:
a) A sorozat mindig 4 -gyel n®.
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43
b) A sorozat mindig 4 -gyel csökken.
40, 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4, 0
39, 35, 31, 27, 23, 19, 15, 11, 7, 3, esetleg ({ 1)
37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1, esetleg ({ 3)
Gy. 78/2. feladat: A 4-es szorzótábla tanulásának el®készítése számegyenesen történ®
lépegetéssel. Figyeljük meg a szorzat változásait.
Megoldás: 4 � 5 = 20 4 � 2 = 8
4 � 10 = 40 4 � 4 = 16
Gy. 78/3. feladat: Figyeljük meg a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás:
a) 2 nyuszinak: 2 � 4 = 8 3 nyuszinak: 3 � 4 = 1 2
4 nyuszinak: 4 � 4 = 1 6 6 nyuszinak: 6 � 4 = 2 4
b) 16 lába: 1 6 : 4 = 4 12 lába: 1 2 : 4 = 3
32 lába: 3 2 : 4 = 8 36 lába: 3 6 : 4 = 9
Gy. 78/4. feladat: Figyeljük meg a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás: Ennyi darab 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dió 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Szilva 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Gy. 79/5. feladat: A 4-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: a) 0 � 4 = 0 3 � 4 = 12 6 � 4 = 24 9 � 4 = 36
1 � 4 = 4 4 � 4 = 16 7 � 4 = 28 19 � 4 = 40
2 � 4 = 8 5 � 4 = 20 8 � 4 = 32
Megoldás: b) 3 � 4 = 12 4 � 2 = 8 4 � 1 = 4 4 � 4 = 16
4 � 4 = 20 10 � 4 = 40 4 � 8 = 32 4 � 5 = 20
5 � 4 = 28 0 � 4 = 0 6 � 4 = 24 4 � 9 = 36
122 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 79/6. feladat: A tanult szorzótáblák gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a) 21 15 24 50
30 30 9 24
8 24 35 45
15 20 18 6
b) 6 20 0 60
27 18 25 0
20 12 40 36
30 16 4 14
c) 28 10 0 40
0 8 70 36
12 10 16 4
12 40 5 24
32 14 70 60
Gy. 79/7. feladat: A tanult szorzótáblák gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a) 9 8 4 0
5 3 6 5
9 8 9 2
b) 8 8 7 9
7 5 3 6
2 2 5 7
G7y. 80/8. feladat Az osztás (mint bennfoglalás) elvégzése a szemléletre támaszkodva.
Megoldás: 12 golyót 16 golyót 20 golyót
12 : 4 = 3 16 : 4 = 4 20 : 4 = 5
3 � 4 = 12 4 � 4 = 16 5 � 4 = 20
Gy. 80/9. feladat: A 4-es bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 4 = 0 mert 0 � 4 = 0 24 : 4 = 6 mert 6 � 4 = 24
4 : 4 = 1 mert 1 � 4 = 4 28 : 4 = 7 mert 7 � 4 = 28
8 : 4 = 2 mert 2 � 4 = 8 32 : 4 = 8 mert 8 � 4 = 32
12 : 4 = 3 mert 3 � 4 = 12 36 : 4 = 9 mert 9 � 4 = 36
16 : 4 = 4 mert 4 � 4 = 16 40 : 4 = 10 mert 10 � 4 = 40
20 : 4 = 5 mert 5 � 4 = 20
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
123
Gy. 80/10. feladat: Figyeljük meg az osztó és a hányados változásait.
Megoldás: Karcsi Laci Mari
24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6
12 � 2 = 24 8 � 3 = 24 6 � 4 = 24
Marinak fogyott el leghamarabb a bonbonja.
Gy. 80/11. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg.
Megoldás: Autók száma 1 0 2 5 4 9 6 7 10 3 8
Kerekek száma 4 0 8 20 16 36 24 28 40 12 32
Szabály: A � 4 = K, 4 � A = K, K : 4 = A, K : A = 4
Gy. 80/12. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 2 3 0 9
4 5 8 7
6 10 7 1
Gy. 81/13. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-
kodva.
Megoldás: 32 Ft van 36 Ft van
32 : 4 = 8 36 : 4 = 9
4 � 8 = 32 4 � 9 = 36
Gy. 81/14. feladat: Gyakoroljuk a számok negyedrészének meghatározását. Megbe-
szélhetjük, hogy a számok negyedrészét úgy is kiszámíthatjuk, ha a szám felének a
felét vesszük.
Megoldás: 0 : 4 = 0 mert 4 � 0 = 0 24 : 4 = 6 mert 4 � 6 = 24
4 : 4 = 1 mert 4 � 1 = 4 28 : 4 = 7 mert 4 � 7 = 28
8 : 4 = 2 mert 4 � 2 = 8 32 : 4 = 8 mert 4 � 8 = 32
12 : 4 = 3 mert 4 � 3 = 12 36 : 4 = 9 mert 4 � 9 = 36
16 : 4 = 4 mert 4 � 4 = 16 40 : 4 = 10 mert 4 � 10 = 40
20 : 4 = 5 mert 4 � 5 = 20
Gy. 81/15. feladat: A tanult osztások gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: a) 6 6 6 8
3 7 6 9
5 5 6 5
2 1 8 5
124 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 3 3 4 0
3 8 9 1
5 2 2 0
1 7 3 2
c) 9 1 9 10
7 4 4 2
7 4 0 7
8 0 1 9
10 10 10 0
Gy. 82/16. feladat: A tanult osztások gyakorlására szánt feladatsor a hiányzó osztandó,
illetve osztó pótlásával.
Megoldás: a) 2 6 3 10
4 7 7 4
4 9 6 9
4 9 7 8
3 4 9 6
b) 16 70 14 20
28 45 60 5
36 18 40 70
20 10 50 4
12 16 80 25
Gy. 82/17. feladat: A szorzás gyakorlása összetett feladatokban.
Megoldás:
a) 1� 2
2� 2
4 2� 2
4� 2
8 3� 2
6� 2
1 2
b) 1� 4
4� 4
1 6 2� 4
8� 4
3 2 3� 4
1 2� 4
4 8
c) 1� 3
3� 3
9 2� 3
6� 3
1 8 3� 3
9� 3
2 7
Gy. 82/18. feladat: A szorzás, osztás gyakorlása az eredmények összehasonlításával.
Megoldás:
1 6z }| {4 � 4 =
1 6z }| {2 � 8
3 5z }| {5 � 7 >
2 8z }| {4 � 7
4z }| {16 : 4 <
8z }| {16 : 2
8z }| {24 : 3 >
6z }| {24 : 4
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
125
Gy. 82/19. feladat: Ismerkedés a �fele", �harmadrésze" és �negyedrésze" fogalmakkal.
Megoldás: 10 cm fele 5 cm
6 cm harmadrésze 2 cm
12 cm negyedrésze 3 cm
Gy. 83/20. feladat: A négyzet kerületének meghatározása; a 4-es szorzótábla gyakor-
lásának és a hosszúságmérésr®l tanultaknak az összekapcsolása. A számítás tervét a
gyermekek ismerjék fel.
Megoldás: a) 4 � 3 cm = 1 2 cm = 1 dm 2 cm
b) 4 � 4 cm = 1 6 cm = 1 dm 6 cm
c) 4 � 5 cm = 2 0 cm = 2 dm 0 cm
Gy. 83/21. feladat: A négyzet kerületének meghatározása; a 4-es szorzótábla gyakor-
lásának és a hosszúságmérésr®l tanultaknak az összekapcsolása.
Megoldás:
2 m = 2 0 dm, 2 m 8 dm = 2 8 dm, 3 m 2 dm = 3 2 dm
2 0 : 4 = 5 2 8 : 4 = 7 3 2 : 4 = 8
4 � 5 = 2 0 4 � 7 = 2 8 4 � 8 = 3 2
Oldal: 5 dm Oldal: 7 dm Oldal: 8 dm
Gy. 83/22. feladat: A: 4-es szorzótábla gyakorlásának és a hosszúságmérésr®l tanul-
taknak az összekapcsolása.
Megoldás:
a) 4 lépéssel 4 � 4 = 1 6 1 6 dm = 1 m 6 dm
6 lépéssel 6 � 4 = 2 4 2 4 dm = 2 m 4 dm
b) 3 m 6 dm = 3 6 dm 3 6 : 4 = 9 9 lépés
2 m 8 dm = 2 8 dm 2 8 : 4 = 7 7 lépés
Gy. 84/23. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás értelmezésére szánt feladat. Ha
szükséges játék pénzzel játsszák is el a tanulók a feladatot.
Megoldás: 11 : 4 = 2 14 : 4 = 3 16 : 4 = 43 2 0
2 � 4 + 3 = 11 3 � 4 + 2 = 14 4 � 4 + 0 = 16
21 : 4 = 5 26 : 4 = 6 31 : 4 = 71 2 3
5 � 4 + 1 =21 6 � 4 + 2 = 26 7 � 4 + 3 = 31
126 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 84/24. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: a) 12 : 4 = 3 25 : 4 = 6 30 : 4 = 70 1 2
3 � 4 + 0 = 12 6 � 4 + 1 = 25 7 � 4 + 2 = 30
b) 19 : 4 = 4 27 : 4 = 6 3 : 4 = 03 3 3
4 � 4 + 3 =19 6 � 4 + 3 = 27 0 � 4 + 3 = 3
c) 18 : 4 = 4 28 : 4 = 7 33 : 4 = 82 0 1
4 � 4 + 2 =18 7 � 4 + 0 = 28 8 � 4 + 1 = 33
Gy. 84/25. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: Ennyi búza van 9 10 15 20 21 34 14 28 39 24 40
Ennyi jut egynek 2 2 3 5 5 8 3 7 9 6 10
Ennyi búza marad 1 2 3 0 1 2 2 0 3 0 0
Tk. 85/26. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 1 zacskó 4 alma
? zacskó 25 alma ? alma marad
Terv: x = 25 : 4
Számolás: 25 : 4 = 6 x = 6 zacskó, és marad 11
Ellen®rzés: 6 � 4 + 1 = 25
Válasz: 6 zacskó telik meg, és 1 alma marad.
Tk. 85/27. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, feladattartást, metakogníciót
fejleszt® feladatsor.
Megoldás: 16-ot kapunk:
4 3 2 4 5 2 8 3
4 5 5 3 2 3 4 6
2 7 4 2 4 5 6 7
3 5 2 7 5 2 2 4
6 2 5 4 3 3 2 2
24-et kapunk:
3 8 5 2 7 3 2 4
9 1 4 3 6 1 3 5
3 7 4 2 5 8 7 6
2 9 3 5 2 4 7 4
2 6 5 3 2 2 3 5
Tk. 85/28. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt komplex fel-
adatsor. A problémamegoldó képesség, kreativitás, metakogníció fejlesztésére szánt
feladat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
127
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
a) 1., 5., 9., 13., 17., 21., 25., 29., 33., 37., 41., �
2., 6., 10., 14., 18., 22., 26., 30., 34., 38., 42., �
4., 8., 12., 16., 20., 24., 28., 32., 36., 40., 44., �
b)
7. 8. 9. 12. 15. 18. 26. 32. 35. 40.
A 6-os szorzótábla, osztás 6-tal
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-
ság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 66{69. 74{78. 83{86.
A 6-os szorzótábla elsajátításánál tudatosítsuk a 3-as és a 6-os szorzótábla közti, vala-
mint a 2-es, 4-es, 6-os szorzótábla közti kapcsolatot is. Ismételve a már tanult szorzó-
táblákat, tovább szilárdítjuk a fele, kétszerese; harmada, háromszorosa fogalmakat.
Fedeztessük fel, hogy a 6-tal osztható számok oszthatók 2-vel is és 3-mal is, illetve a
2-vel és 3-mal osztható számok oszthatók 6-tal is. Itt az �és" szót matematikai logikai ér-
telemben használjuk. Figyeltessük meg, hogyan változik a szorzat, ha az egyik tényez®t
valahányszorosára növeljük vagy csökkentjük, a másikat pedig nem változtatjuk.
Tk. 86/1. feladat: A 3-as és 6-os szorzótábla közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg a
színesrudakkal való kirakás segítségével.
Megoldás: 2 kék rúd 2 � 3 cm = 6 cm 2 lila rúd 2 6 cm = 12 cm
2 lila rúd 2-szer olyan hosszú, mint 2 kék rúd.
5 kék rúd 5 � 3 cm = 15 cm 5 lila rúd 5 � 6 cm = 30 cm
5 lila rúd 2-szer olyan hosszú, mint 5 kék rúd.
9 kék rúd 9 � 3 cm = 27 cm 9 lila rúd 9 � 3 cm = 27 cm
9 lila rúd 2-szer olyan hosszú, mint 9 kék rúd.
128 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 86/2. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait. A 6-os szorzótábla el®készítése.
Megoldás: 1 � 6 = 6 3 � 6 = 18 6 � 6 = 36
Tk. 86/3. feladat: A 6-os szorzótábla tanítása során minél többféleképpen szemléltessük
a 3-as és a 6-os szorzótábla közti kapcsolatot. Számegyenesen lépegetve, táblázattal
adott függvénnyel.
Megoldás: Ugrások 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cica 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Kutya 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Tk. 87/4. feladat: Meg�gyeltetjük a 2-es és a 6-os szorzótábla közti kapcsolatot: ha
az egyik tényez®t 3-szorosára növeljük, a másikat nem változtatjuk, akkor a szorzat is
3-szorosára n®. Az egymás mellett lév® feladatok esetén az egyik tényez®t 2-szeresére,
4-szeresére növeljük, a másikat nem változtatjuk, így a szorzat is 2-szeresére, 4-
szeresére n®.
Megoldás: 2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 8 � 2 = 16
2 � 6 = 12 4 � 6 = 24 8 � 6 = 48
Háromszorosa a láb a csápoknak.
Tk. 87/5. feladat: A 6-tal való szorzás osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.
Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 6 4 5 8 9
6 ugrással 0 6 18 36 24 30 48 54
Tk. 87/6. feladat: Ismételve a már tanult szorzótáblákat, tovább szilárdítjuk a 2-es, 3-as,
6-os szorzótábla közti kapcsolatot.
Megoldás: 2 � 3 = 6 2 � 6z}|{2 � 3
= 12 4z}|{2 � 2
� 6z}|{2 � 3
= 24
Tk. 87/7. feladat: Ismét kerestessük meg, mely szám nem szerepel az adott szorzótábla
számai között.
Megoldás: 25 18 1 14
Tk. 88/8. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük fel
úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 6-es szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük
a korábban tanultakat.
A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-
mek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®ek. Figyel-
tessük meg a 2-es, 3-as, valamint a 6-os szorzótábla megfelel® sorai, oszlopai közti
összefüggéseket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
129
Megoldás: 6 � 1 = 6 6 � 9 = 54
1 � 6 = 6 6 � 8 = 48
7 � 6 = 42 8 � 6 = 48
6 � 7 = 42 0 � 6 = 0
9 � 6 = 54 6 � 6 = 36
Tk. 88/9. feladat: Az el®z® feladat táblázata alapján �gyeltessük meg, mely számok
szerepelnek több szorzótáblában is.
Megoldás: 18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 3 � 6 = 6 � 3
24 = 3 � 8 = 8 � 3 = 4 � 6 = 6 � 4 = 2 � 12 = 12 � 2
36 = 4 � 9 = 9 � 4 = 6 � 6 = 2 � 18 = 18 � 2
Tk. 88/10. feladat: Tapasztalatszerzés a szorzás asszociatív tulajdonságára. A szorzó-
táblák gyakorlása.
Megoldás: 24 18 36 30 24
36 30 24 36 30
18 24 18 18 30
Tk. 88/11. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják.
Megoldás: A három feladat színezése független egymástól.
Megoldás:24 48 24
6 4 6 8 6 4
3 2 2 3 2 4 2 3 3
3 1 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1
Tk. 89/12. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják.
Megoldás: Az els® szorzatban a 2-es tényez®k felismerése lehet a megoldás kulcsa.
2 3 5 4
Tk. 89/13. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg a számegyene-
sen történ® lépegetéssel.
Megoldás: 16/1. 12-re 2 , 24-re 4 , 36-ra 6 , 48-ra 8 , 60-ra 1 0
Tk. 89/14. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg a táblázat
kitöltésével.
Megoldás: Ennyi lába van 0 6 36 60 30 42 24 48 18 12 54
ennyi lepkének 0 1 6 10 5 7 4 8 3 2 9
Tk. 89/15. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) fogalmának elmélyítése tevékeny-
kedtetéssel. Ismét beszéljük meg az ellen®rzés fontosságát.
130 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 2 4 : 6 = 4 , mert 3 0 : 6 = 5 , mert
4 � 6 = 2 4 5 � 6 = 3 0
Tk. 90/16. feladat: Figyeltessük meg az osztó, illetve a hányados változásait.
Megoldás: 24 : 6 = 4 24 : 4 = 6 24 : 3 = 8
Tk. 90/17. feladat: A 6-tal való osztás mint részekre osztás értelmezése, elvégzése a
szemléletre támaszkodva. Rajzzal megjelenítjük egy mennyiség hatodrészét.
Megoldás: 1 8 hatodrésze 3 , 18 osztva 6 egyenl® részre 3 ,
18 : 6 = 3 , mert 6 � 3 = 18
3 gyöngy kerül egy-egy szalagra.
Tk. 90/18. feladat: A 6-tal való osztás mint részekre osztás értelmezése, elvégzése a
szemléletre támaszkodva. Rajzzal megjelenítjük egy mennyiség hatodrészét.
Megoldás: 2 4 hatodrésze 4 , mert 3 0 hatodrésze 5 , mert
6 � 4 = 2 4 6 � 5 = 3 0
Tk. 91/19. feladat: A következ® összefüggéseket tudatosíthatjuk:
1 Az összeadás és a szorzás kapcsolatát, a szorzást mint ismételt összeadást értel-
meztük,
2 a szorzás tényez®inek felcserélhet®ségét,
3 a szorzás és az osztás kapcsolatát. Több ehhez hasonló feladatot is adhatunk a
tanulóknak.
Megoldás: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 =42
7 � 6 = 42 6 � 7 = 42
vagy
6 � 7 = 42 7 � 6 = 42
Tk. 91/20. feladat: A feladat el®készíti a 2-vel, a 3-mal, illetve a 2-vel és 3-mal, azaz
6-tal való oszthatóságot.
Megoldás: Csak piros: 9, 15, 21
Csak sárga: 8, 14, 20
Piros és sárga: 6, 12, 18, 24
Színezetlen: 11
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
131
Tk. 91/21. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás:
Innen indul 30 31 32 33 34 35 36 44 23 55 22 27 60
Ennyit ugrik 5 5 5 5 5 5 6 7 3 9 3 4 10
Ide érkezik 0 1 2 3 4 5 0 2 5 1 4 3 0
Tk. 91/22. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás:
Ennyi makk van 6 13 16 15 23 24 27 40 57 42 35
Ennyi �gura lesz 1 2 2 2 3 4 4 6 9 7 5
Ennyi makk marad 0 1 4 3 5 0 3 4 3 0 5
Tk. 92/23. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 6 ugrás 18 m
1 ugrás ?
Terv: x = 18 m : 6
Számolás: x = 3 m
Ellen®rzés: 6 � 3 m = 18 m
Válasz: 3 m a csikó egy ugrása.
Tk. 92/24. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: i = 4, i <�6 l, l = ?
Terv: l = 6 � i
Számolás: l = 6 � 4 l = 24
Ellen®rzés: 4 <� 6 24
Válasz: 24 kisbárány legel a réten.
Tk. 92/25. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-
vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: Adatok: 6 malac 30 cs®
1 malac ?
Terv: x = 30 : 6
Számolás: x = 5
Ellen®rzés: 6 � 5 = 30
Válasz: 5 cs® kukorica jut egy malacnak.
Tk. 92/26. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják. A 2. osztályos
gyermek szintjén tervszer¶ próbálgatással megoldható feladat.
132 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: A 2. osztályos gyermek szintjén tervszer¶ próbálgatással megoldható feladat.
A két feladat színezése független egymástól.
2 � 2 � 6 = 2 4 1 8 : 6 � 8 = 2 4
� � � : : � � :
4 � 9 : 6 = 6 9 � 2 : 3 = 6
� : : : � : : :
6 � 3 : 9 = 2 2 � 4 : 4 = 2
= = = : = = = =
4 8 : 6 : 4 = 2 4 � 3 : 6 = 2
Tk. 92/27. feladat: A számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.
Megoldás: Beírandó számok:
10 48 7 36
4 18 60 8
9 54 24 5
30 6 42 12
Gy. 86/1. feladat: 6-tal növekv®, illetve csökken® sorozatokat alkotunk. Gyakoroljuk
a 6-os szorzótáblát. Egy-egy sorozat a 6-tal való osztás egy-egy maradékosztálya. A
maradékosztályok diszjunkt halmazokat alkotnak. Megbeszélhetjük, hogy minden szám-
ról egyértelm¶en el tudjuk dönteni, hogy az itt lév® sorozatok közül pontosan melyikben
fordul el®.
Megoldás: a) A sorozat mindig 6-tal n®.
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65
b) A sorozat mindig 6-tal csökken.
58, 52, 46, 40, 34, 28, 22, 16, 10, 4, esetleg (-2)
57, 51, 45, 39, 33, 27, 21, 15, 9, 3, esetleg (-3)
56, 50, 44, 38, 32, 26, 20, 14, 8, 2, esetleg (-4)
Gy. 86/2. feladat: A 6-os szorzótábla szemléltetése. Ha szükséges pálcikákkal rakják is
ki a tanulók a feladatot.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
133
Megoldás: a) 2 dobozba 2 � 6 = 1 2 3 dobozba 3 � 6 = 1 8
8 dobozba 8 � 6 = 4 8 9 dobozba 9 � 6 = 5 4
b) 24 ceruzát 2 4 : 6 = 4 30 ceruzát 3 0 : 6 = 5
42 ceruzát 4 2 : 6 = 7 36 ceruzát 3 6 : 6 = 6
Gy. 86/3. feladat: A 6-tal való szorzás szemléltetése számegyenesen való lépegetéssel,
táblázattal.
a)
0 10 20 30 40 50
6 � 2 = 1 2
6 � 4 = 2 4
b)
0 10 20 30 40 50
6 � 8 = 4 8
6 � 5 = 3 0
c)
0 10 20 30 40 50
6 � 6 = 3 6
6 � 3 = 1 8
d)
0 10 20 30 40 506 � 7 = 4 2
Gy. 87/4. feladat: A 6-os szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a
szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.
Megoldás: 0 � 6 = 0 3 � 6 = 18 6 � 6 = 36 9 � 6 = 54
1 � 6 = 6 4 � 6 = 24 7 � 6 = 42 10 � 6 = 60
2 � 6 = 12 5 � 6 = 30 8 � 6 = 48
5 � 6 = 30 6 � 6 = 36 1 � 6 = 6 6 � 10 = 60
9 � 6 = 54 7 � 6 = 42 6 � 8 = 48 6 � 7 = 42
6 � 3 = 18 6 � 0 = 0 2 � 6 = 12 6 � 5 = 30
Gy. 87/5. feladat: A szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor, a hiányzó szorzat,
illetve tényez® pótlásával.
Megoldás: a) 24 7 6 6
21 3 6 8
54 9 8 6
b) 12 6 6 9
48 7 1 7
48 3 0 6
134 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 87/6. feladat: Di�erenciált munkára szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás
fejlesztésére.
Megoldás: A szorzat 36:
2 5 7 4 3 3 9 3
2 9 3 8 7 6 5 2
7 0 1 9 0 8 9 6
6 5 2 3 7 2 6 5
6 8 9 2 3 5 4 9
A szorzat 48:
6 2 3 6 6 2 3 2
2 2 9 2 7 4 9 8
7 7 5 4 9 7 5 2
8 3 9 5 7 0 3 2
2 0 7 6 8 1 2 2
További megoldás, a szorzat 36:
2 5 7 4 3 3 9 3
2 9 3 8 7 6 5 2
7 0 1 9 0 8 9 6
6 5 2 3 7 2 6 5
6 8 9 2 3 5 4 9
Gy. 87/7. feladat: Egyenl®tlenségek igazsághalmazának megkeresése.
Megoldás: 6 � 3 < a < 6 � 4 a: 19, 20, 21, 22, 23
7 � 6 < b < 8 � 6 b: 43, 44, 45, 46, 47
Gy. 88/8. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatáról tanultakat mélyít feladatok.
Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a szorzat.
Megoldás: Lapok száma 1 2 5 10 3 6 4 8 7 9 0
Lyukak száma 6 12 30 60 18 36 24 48 42 54 0
Gy. 88/9. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) szemléltetésére, a m¶veletfogalom
szilárdítására szánt feladat.
Megoldás: 12 : 6 = 2 24 : 6 = 4 30 : 6 = 5
2 � 6 = 12 4 � 6 = 24 5 � 6 = 30
Gy. 88/10. feladat: A 6-os bennfoglalótábla gyakorlása.
Megoldás: 0 : 6 = 0 mert 0 � 6 = 0 36 : 6 = 6 mert 6 � 6 = 36
6 : 6 = 1 mert 1 � 6 = 6 42 : 6 = 7 mert 7 � 6 = 42
12 : 6 = 2 mert 2 � 6 = 12 48 : 6 = 8 mert 8 � 6 = 48
18 : 6 = 3 mert 3 � 6 = 18 54 : 6 = 9 mert 9 � 6 = 54
24 : 6 = 4 mert 4 � 6 = 24 60 : 6 = 10 mert 10 � 6 = 60
30 : 6 = 5 mert 5 � 6 = 30
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
135
Gy. 88/11. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladatsor, a hiányzó hányados, illetve
osztandó, osztó pótlásával.
Megoldás: a) 1 4 5 3
6 7 7 2
9 8 8 10
b) 9 4 18 25
8 6 20 12
5 6 0 36
Gy. 89/12. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) szemléltetésére, a m¶veletfogalom
szilárdítására szánt feladat.
Megoldás: 18 : 6 = 3 24 : 6 = 4 6 : 6 = 1
6 � 3 = 18 6 � 4 = 24 6 � 1 = 6
Gy. 89/13. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatáról tanultakat mélyít® feladatok.
Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a szorzat.
Megoldás:
� 6
: 6
�
�
� � � � � �
� � � � � �
: 6
� 6
�
�
�
������
������
������
Gy. 89/14. feladat: Gyakoroljuk a számok hatodrészének meghatározását.
Megoldás: 0 : 6 = 0 mert 6 � 0 = 0 36 : 6 = 6 mert 6 � 6 = 36
6 : 6 = 1 mert 6 � 1 = 6 42 : 6 = 7 mert 6 � 7 = 42
12 : 6 = 2 mert 6 � 2 = 12 48 : 6 = 8 mert 6 � 8 = 48
18 : 6 = 3 mert 6 � 3 = 18 54 : 6 = 9 mert 6 � 9 = 54
24 : 6 = 4 mert 6 � 4 = 24 60 : 6 = 10 mert 6 � 10 = 60
30 : 6 = 5 mert 6 � 5 = 30
Gy. 89/15. feladat: újra és újra meg�gyeltetjük a 2-es, 3-as és a 6-os szorzótábla közti
kapcsolatot.
a)
3
� 2 � 26 1 2
� 4
4
� 2 � 38 2 4
� 6
b)
18
: 2 : 39 3
: 6
30
: 3 : 21 0 5
: 6
136 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 89/16. feladat: Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a
szorzat, illetve az osztandó változásaival hogyan változik a hányados.
Megoldás: 24 = 24 48 6> 42 4 <1 5 6 3> 3
Gy. 90/17. feladat: A maradékos osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése.
Megoldás:
1 6 : 6 = 2
4
2 1 : 6 = 3
3
2 4 : 6 = 4
0
2 � 6 + 4 = 1 6 3 � 6 + 3 = 2 1 4 � 6 + 0 = 2 4
Gy. 90/18 feladat: A maradékos osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése.
Megoldás: Ennyi négyzetlap van 6 9 20 24 27 32 51 40 55 60
Ennyi kocka építhet® 1 1 3 4 4 5 8 6 9 10
Ennyi négyzetlap marad 0 3 2 0 3 2 3 4 1 0
Gy. 90/19. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: a) 15 : 6 = 2 24 : 6 = 4 29 : 6 = 43 0 5
2 � 6 + 3 = 15 4 � 6 + 0 = 24 4 � 6 + 5 = 29
b) 34 : 6 = 5 37 : 6 = 6 38 : 6 = 64 1 2
5 � 6 + 4 =34 6 � 6 + 1 = 37 6 � 6 + 2 = 38
c) 46 : 6 = 7 48 : 6 = 8 55 : 6 = 94 0 1
7 � 6 + 4 =46 8 � 6 + 0 = 48 9 � 6 + 1 = 55
d) 19 : 6 = 3 26 : 6 = 4 42 : 6 = 71 2 0
3 � 6 + 1 =19 4 � 6 + 2 =26 7 � 6 + 0 =42
e) 19 : 3 = 6 26 : 4 = 6 42 : 5 = 81 2 4
6 � 3 + 1 =19 6 � 4 + 2 =26 8 � 5 + 2 =42
Gy. 91/20. feladat: Szöveges feladat megoldása a 6-os szorzótábla gyakorlására.
Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.
Megoldás: a) Adatok: Cs = 8, Cs <�6 K, K = ?
Terv: K = 6 � Cs
Számolás: K = 6 � 8 K = 48
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
137
Ellen®rzés: 8 <� 6 48
Válasz: 48 búzaszemet evett meg Kotkoda.
b) Adatok: 1 mókus 7 db, 6 mókus ?
Terv: x = 6 � 7
Számolás: x = 42
Válasz: 42 mogyorót osztott el a 6 mókus.
c) Adatok: 1 sor 6 db, 9 sor ?
Terv: x = 9 � 6
Számolás: x = 54
Válasz: 54 káposztapalántát ültettek.
d) Adatok: 6 egér 42 búza, 1 egér ?
Terv: e = 42 : 6
Számolás: e = 7
Ellen®rzés: 6 � 7 = 42
Válasz: 7 szem búza jut egy-egy kisegének.
Adatok: ty = 36, ty �6> k, k = ?
Terv: k = ty : 6
Számolás: k = 36 : 6 k = 6
Ellen®rzés: 6 � 6 = 36
Válasz: 6 kacsa van az udvaron.
Gyakorlás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöve-
gértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli
viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-
tív és önálló munkavégzés.
Óra: 70{72. 79{81. 89{90.
A számolási rutint fejleszt®, illetve képi gondolkodást, kreativitást, ötletgazdagságot
feladatsorok.
138 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 94/1. feladat: A számolási rutin fejlesztése a szorzás gyakorlásával.
Megoldás:
Tk. 95/2. feladat: A számolási rutin fejlesztése az osztás gyakorlásával.
Megoldás:
Tk. 96/3. feladat: A számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával.
Megoldás:
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
139
Gy. 92/1. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával.
Megoldás: a) 70 80 60 90
25 34 82 88
48 56 78 68
70 90 60 80
84 92 62 42
b) 30 40 20 20
10 40 7 2
5 4 2 6
5 2 7 6
6 4 7 7
c) 30 30 60 40
20 40 5 5
72 52 4 5
58 53 6 5
67 46 29 32
d) 20 30 20 40
80 70 8 4
43 51 33 22
74 85 66 42
39 25 54 67
e) 40 50 60 40
20 20 2 90
6 3 2 6
3 9 6 6
3 6 4 4
f) 60 40 90 80
46 57 64 98
24 13 45 26
40 70 40 60
44 84 51 33
Gy. 93/2. feladat: Számolási rutin fejlesztése a szorzás, osztás gyakorlásával.
Megoldás: a) 18 24 24 48
35 42 54 45
18 8 15 28
16 60 21 18
80 25 30 14
140 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 4 3 2 6
10 3 4 4
8 5 3 3
2 2 2 4
2 4 6 5
c) 1 6 2 4
8 3 6 5
2 1 3 5
1 0 6 10
9 6 10 6
d) 3 8 2 5
6 6 9 8
6 8 7 10
7 8 9 2
9 9 5 0
e) 6 5 4 10
5 10 3 6
3 4 2 4
4 2 5 3
5 6 6 3
f) 14 9 4 50
12 20 60 2
30 50 3 0
60 12 10 10
4 6 40 0
Gy. 94/3. feladat: összetett feladatokban az eddig tanult m¶veletek gyakorlása. A
számolási rutin fejlesztése. A m¶veletek közötti kapcsolatok elmélyítése.
2 + 37 = 3 9 17 { 2 = 1 5 27 + 2 = 2 9
17 + 22 = 3 9 27 { 12 = 1 5 27 { 22 = 5
17 + 12 = 2 9 27 + 12 = 3 9 37 { 22 = 1 5
27 { 2 = 2 5 7 + 32 = 3 9 37 { 12 = 2 5
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
141
Gy. 94/4. feladat: összetett feladatokban az eddig tanult m¶veletek gyakorlása. A
számolási rutin fejlesztése. A m¶veletek közötti kapcsolatok elmélyítése.
Megoldás:
6
+ 9
{ 9
1 5
+ 3
{ 3
1 8
{ 1 5
+ 1 5
3
+ 1 8
{ 1 8
2 1
1 6
+ 9
{ 9
2 5
+ 3
{ 3
2 8
{ 1 5
+ 1 5
1 3
+ 8
{ 8
2 1
Gy. 94/5. feladat: A m¶veletek és a számfogalomról tanultak gyakorlása. Az egyjegy¶,
kétjegy¶ és a páros, páratlan fogalmakat kapcsoljuk a m¶veletekhez.
k p p p
k f f f
k z z z
k k k k
14 0 6 8
10 9 7 9
28 21 35 47
70 40 50 10
Gy. 94/6. feladat: Hívjuk fel a tanulók �gyelmét, hogy egy négyzetbe csak egy számjegy
kerülhet.a b c
d
e
f g
h i
2 3 5 1
6 1 7
1 0 0
4 0 2
5 5 1 4
Vízszintes: Függ®leges:
a = 23 a = 26
b = 51 c = 17
e = 100 d = 100
h = 55 f = 45
i = 14 g = 24
142 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 95/7. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása.
2 � 2 = 4 28 + 3 = 3 1 45 { 6 = 3 9
4 � 7 = 2 8 12 : 2 = 6 3 � 3 = 9
15 : 3 = 5 21 : 3 = 7 1 � 2 = 2
16 + 16 = 3 2 71 { 7 = 6 4 4 � 2 = 8
3 � 4 = 1 2 23 + 30 = 5 3 76 { 50 = 2 6
7 � 5 = 3 5 3 � 6 = 1 8 52 { 9 = 4 3
36 + 8 = 4 4 9 � 3 = 2 7 26 : 2 = 1 3
36 + 30 = 6 6 92 { 5 = 8 7 74 + 8 = 8 2
8 � 5 = 4 0 73 { 10 = 6 3 57 + 10 = 6 7
5 � 9 = 4 5 8 � 10 = 8 0 90 { 20 = 7 0
4 � 5 = 2 0 100 { 7 = 9 3 69 + 9 = 7 8
40 : 4 = 1 0 6 � 4 = 2 4 5 � 6 = 3 0
60 { 6 = 5 4 86 + 8 = 9 4 93 + 5 = 9 8
12 : 4 = 3 25 + 25 = 5 0 22 : 2 = 1 1
�
79�
16�
1�
39�
28�
0�
100�
99�
89
�
58�
60�
71�
31�
4�
9�6
�
96�
49�
65
�11
�5
�
86�
83�
46
�
51�
62�
73�
50�7
�
77
�
42�
3�
2�
49
�
91�
98�
32� �
23
�
30�
54 14�
8�
12
�
24�
15�
94�
61�
74�64 �
17� 53 �
22
�
10�
20 29�43 �26
�
78�
93� 70 �
76�
84�44 �
18�
35�
1937
�
81
�
21�
48�
80�
27�
47�
36
�
45�
56�
57�
13�
69
�
41�
88�
95�
25�
38
�
67 68�
66
�
55�
63�
92�
97�
87�
52
�
85�
33
72�
34�
90�
40�
82�
75
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
143
Gy. 95/8. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása.
Gy. 96/9. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása játékos feladatban. Beszéljük meg,
hogy minden számot meg kell keresni, amely igazzá teszi az állítást.
Megoldás: 1 � 3 < a < 3 � 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
28 + 7 > 28 + b > 28 + 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 : 5 5 c 5 28 : 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
35 { 32 5 d < 27 { 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 < e � 2 5 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 < f � 10 < 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
40 5 40 + g < 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
19 < 25 { h < 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
21 : 3 > i > 20 : 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
144 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 73. 82. 91.
3. tájékozódó felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Óra: 74. 83. 92.
3. felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
145