MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ ,...

109
MATEMATIKA 2 2011./2012.

Transcript of MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ ,...

Page 1: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

MATEMATIKA 2 2011./2012.

Page 2: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����������

�� ��� ��� ���� ����������� ���������� ���������� ��������� ��������� ���� �� ������� ������ ���������

MATEMATIKA 2 1

����������

� ����� ���� ������� ���� ���� �� � ������������� ������

� �� ������� �� ���� ��� � ������� �� � !�"�#$%� ����&��

� $� '(��%�� ������� ���� ���� �� ) � * +�,� ������� �� ������ )--��

� ,��%.//��� ���0�"��,�/���� ,��%.//��� ���0�"��,�/���*

� ,��%.//111�%�0"��,�/���� /������� ��/"�� %��/� "�2������� ���%�0

� �� �� 3�� �� �� ����� � ��4�� %� ���� � � 4�������� �� " %� ����� �� ��,� ���� ��(��+�,� ���� ��� �� ������ )--5�

� 6��(���#������ ����� 3�� �7�������������� �� ���� �� ����� ����� ���� ��� 8��"����� �� ������ )--)�

MATEMATIKA 2 2

�� ������ � � ������

MATEMATIKA 2 3

!"! #���������� ������� � ������� � $�������

%�������� ����������� �������

� ����� � ( ���� � � %����(�� 9'����� ���:��� ���� "("��� ���

��� ���� � � ��� �� �� �

� � � �� � � ��� �� �� � � ��

� ����� ��� ���� "("���.

� ;��� �� � � %����� ���� �� �� ����( �������� ���� "("��� ���

��� � � ��� ���

� ;��� �� � � � ����� � �� ��

� ����� �������

9 ���� � ( %� � ��� "����(:�

� ;��� �� � � ���� � � (������"� � � � � �

� � � � � � ��� �

���� ������

� ��

� � � ��� � � �� ��� � �� � � � � ��� �

MATEMATIKA 2 4

1

Page 3: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� +���( � � ��� �� ��� ��� ",� 4��� 9 � %��:� ����( ��� <���( " �

��� # %����� " %#

������ ��� ����� "("���� %� ��������� ��

� ���� ����� � ( ���� � � %����(�� ��� ���� "("��� ���

��� ���� � � ��� �� �� ��� �� "� %� � ���

�# " %�(���� " %����� "

x

yT=(ϕ,ρ)

ϕ

ρ

x

y

O0 1

��� �� ���� ��� <�( '����� ��� , ��� �� %���� ,��� ���� �� �� � � ��� ����� � � � ��

� � � �� � � � ��

��� �

�� ���� � ��

�� ��� <� ����( � �� ��

������ �� � ����(��

%�������( � ��

MATEMATIKA 2 5

&�������� ����������� �������

� ����� � ( %�"��( � %����(�� 9'����� ���:��� ���� "("��� ���

��� ����� ��� � ��� �� �� �� �

� � � �� � � ��� �� �� �� � � � � ��

� � � ��� ��� ��� ���� "("���.

� ;��� �� � � � ���� �� ���� �� �� ��� �����%���� "("��� ���� ���

� ;��� �� � %����� �� %���� ����� � �� � ������ �( � ���� �� �� � ��� ��� ���� "("��������� � � ��� �� �� %����� # �#"��

� + �� �� ( %�"��( ��=� ��� � � ��� ��� ��� ���� "("��� ���� �� �� �

�� � � �� � � �� �� ���

� �� � � � � ��� � � ������� "( � %����� ��� ���� ( "("���(

MATEMATIKA 2 6

���� �� �� �� %����� �� � � ����� � �� ���� �(� � � �� ��� ���� ( "("���( ��� �� �� ��%����� �� � �� ����� � �� %����� ��

x

y

T=(ϕ,ρ,z)

ϕ ρ

x

O

1

zz T''

T'=(ϕ,ρ)

Π

y

� ���� $���������' � ������� � ��' ����������

� ��� �� �� ����

� � � �� � � � ��� � �

�� �� � ���� �� ��

� ���� �� �� ����

� �������

�� ���

� � �

�� �� � ��� �� ��

MATEMATIKA 2 7

� '�� ����� ���� ��

� > '����� ���� ��� ����� "("���( ��� �� �� ��"� ����� �� � ���� ��� ��� �� �� �� %��"������ ���� , ���� �� � � ��� � � �� � � ���

� > � � ��� ���� ��� ����� "("���( ���� �� ������� �� � ��� ��� ��� �� �� "� �� %��"���?��� ���� , ��� ��?.

� � 9%�(���� �� ��� <���� "� �#" �������:�

� � �� 9� �� � � ���� ��� "�� ����� ( %�"��( ����� �� (������"� � �# " ������� ��:

� � �� 9���� ��:

zT0=(ϕ0,ρ0,z0)

ϕ0x

y

z

T0'

T''0

ρ0

ρ =ρ0

z0=z0

ϕ =ϕ0

z0

poluravnina

ravnina

cilindar

MATEMATIKA 2 8

2

Page 4: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� (����� ����������� ������.

� ;��� �� � � � ���� �� ���� �� �� ��� �����%���� "("��� ���� ���

� ;��� �� � %����� �� %���� ����� � �� � ������ �( � ���� �� �� � ��� ��� ���� "("��������� � � ��� ���

� ;��� �� � � �� �� %����� �( �� ���� �( � ������ � � � �� ��

� ;��� ��. � � ���� � � � ��

� � �� �� # �(� ��� <�( ��� �("#����������

��� �

� �� � # �(� ��� <�(��� ��� �("#������

����� ��

� + �� �� ( %�"��( ��=� ��� "0��� ��� ���� "("��� ���� �� �� �

�� � � �� � � �� �� ���

� �� � � � � �� ��� � � ��� �

MATEMATIKA 2 9

x

y

T=(ϕ,θ,r)

ϕρ

x

O

1

zz T''

T'=(ϕ,ρ)

Π

y

θ

i

kr

6� �� � �� %� � ��� ���� �#" ��� "(�� "0���� ��� ���� ��� �� �� � �� ����� ��� #��� �� ��� @",� 4�( � "� %� � ����(�( "0���� ��� #���� ��� �� ��:�

� '�� ����� ���� ��

� > "0���� ��� ����� "("���( ���� �� ������� ����� ��� ��� �� �� "� �� %��"��� ?��� #���� , ��� ��?.

� � 9%�(���� �� ��� <���� "� �#" �������:�

� � �� # "�A�� " ��,� ( ",� 4�( �

� � �� # "0��� "� "��� 4��� ( ",� 4�( � ��� �("� ���

MATEMATIKA 2 10

x y

z ϕ = ϕ0

θ0

θ =θ0

ϕ0

r = r0

T0

poluravnina

sto ac

sfera

� ���� $���������' � ������' ����������

����� � ( %�"��( %����(�� ��� ���� "("������ �� �� �� "0��� "("��� ���� �� �� ��� �� "�%� � ��� � #" %�(���� " %����� " �� �� �"� %�(�����( �#" �A�� ���� � ���� ��� <�(%����(�� , ��� �� �� "0��� , �� �� �� ��� ���� � ���� ����� � .

� � �� �� �� ����

� � � ��� �� � � � ��� ��� � � �� �

�� � ���� �� ���

MATEMATIKA 2 11

� ���� �� �� ��

� �

�� ��

�� ������

����������

� ����������

�� � ��� �� ���

�� ��� <� ����( �(�� � �� ��

������ �� �

����(�� %�������( � , ��� �����

&������" +���� �� ���� �

����

������ ( %��#��(��� ��� ����� "("���( �� ( "0������� ����� "("���( %� ���

�� �

��

��

�� �

���� ��

�� �����

��

� � �

�� � ����� ���

��� � ��� � ���� �����

���

��

��

�� ����� � ��� � ��� �

��� ���

���

� ���� � ��

MATEMATIKA 2 12

3

Page 5: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!"" )��� $��'�

%������ � $�������

��� � # "�� .

� �����"�� ������A�� ���� �� �

�� � ��� � ���� � ��

� ������A�� ���� �� � ��� �� ������������� �� � � �� � � ���� � �� �� � �� �� � ���� � �� �� � �� �� � ��

������ � ��

� ������A�� ���� �� � ����� ����� �� ����� ��� ��� �

���� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��

� % � �� � ������A�� ���� �� � �

�� � �� � �� � � � ��

� 9�����"� :.��� � ��� � � � ��

���� �� ��� � ������� ������ �� ���� �� ��� � ���� ��� ��� � � � � ��� �� �� � �� ������ � � ���� ��� ��� ��� � ��� �� ��

MATEMATIKA 2 13

xy

z

T1

Tr1

rO

n0

� "������� �� � ������A�� ���� �� ��

��

!��

"� ��

&��'� ������ ����;��� �� ( %�"��( ����� %����(�� ��� ���� "("��� ��� �� �� ��� �� $��'�� ������� ���� 9 � ���������: %����(� ����� "�(% "� , ������� � ��� �� �� ( %�"��( �� �� ��� ���� ����������(������A�( ��(��� "�(%���

��������������� � ��� � #���

�$� � %� � &� � ' � ��

" ����� � ��=� ���� �� � � � � � # $ % & ' %� (����� �� �� ����� ����� � � � � � � � # ���� �� � � �(��� �"��� �� ��" ��� ��� "������ ����� ���

MATEMATIKA 2 14

� ������A��

��� ���� � �� � ���

� � �� � ���� � (�

%���"������ ������� $��'� 9 � �����: "� ���������) � ���� ��� ��� $��������� 9 � ���������: ( � ��

� ;�%���� %��"��� �� %�,� ���� �� %��������" ��� ����� ���� �� ��"� � ��(A� �� � �����4� %����� �� "� ��(A� �� ( %�"��( �A� ����� �� %��"��� "0��� ���� ���

xy

z

��� ��

� �� ���� ������ �� �(�#��"����� ! " ������A��

��� ����

��

�� � ����

!��

�� � ����

"�� �

��� <�(�� %�,( ��( ��� ��� ���$������� ;��#��� "( " ("%����� " ��� ���� � " �� ��(�� �� "( � ���� � � �!� �"��

MATEMATIKA 2 15

� ;�%���� �� %" �� %��"��� ���� ���� ("%���#� � " ��� ���� � " �� ��"( � ��(A� �� � �� %"� � ������ �� � ��� � �� ( "�(����( � ! � "�� %" � %"���� "0����

� ;������ ������A��

��

����

!�� ��

"�� �

% "(�� ����������� ���$�� � �� '�$�������� 9$� ��9�::�

� ;���� ��%���� %��"��� ���� ���� ("%���� ��"� �#" ��"( � , %����� � ����� �� "( �(%��"��� ���� ���� ("%���� � " ��#���� ���� %"��

� � �� ��� � ���������

�� �� � � �� � � � � !� !� "� "�

�� ��� ������A�( ? "��? %�,� ( ��(��%�A��( 9�#" �� ?%���4����?:.

��

"����

�� ��

!�� ��

� �4 ����� ����� ������� �� ��� ���#

MATEMATIKA 2 16

4

Page 6: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���A�( 9?%���4����? �� �#":.

��

!����

"�� ��

�� ��

x y

z

x y

z

(a) (b)

��� ��

� ������A��

���

�� ��

!����

"�� �

% "(�� ��������� ���$�� � �� '�$�������� *$� �� 9�::�

� ;���� ��%���� %��"��� ���� �� ("%�����"� �#" ��"� , %����� �� �( �� ��%���� %��"������� �� ("%����� " ��#���� �� � �� %"� � ������

MATEMATIKA 2 17

� � �� ��� �� ����(�( � ��� ���� 9��� �����: �� �� ��� %� %���� ��"����� � !� " �� ��� ���#���A�� ? "��? %�,� ( ���� �� � � %�A�� ��.

���

"�� ��

����

!�� �� � ��

!�� ��

"����

�� ��

x y

z

x y

z

(a) (b)

��� ��

� ������A��

��

����

!�� �

% "(�� %�,( ��( ��� ��� ���$�� � ��� $�����������*$� *� 9�::� !���� ( ���( � � �� � ��� �� ����,� ��� 9�������"� : %�����

� '������� "� ��� %��"��� �� %�,� %� ����� � ����# ���� ��� "( %�������� ��� ���� � ���� ������"( �� %"� � %�������

� B�������( � � � �� ��� � �������� �� ��� �4MATEMATIKA 2 18

�� �� ������A�� ? "��? %�,� ( ���� �� � � %�A�#� ���

� ������A��

��

!�� ��

�� �

��� <�(�� '�$������ � �� $��������� *$� *�9�::�6����� ������� 9 � �� ��� � ���������: �� ���� �� �� %�,��

� ������A��

��

����

!��

��

"�

% "(�� �������� 9 � �������: $��'� *$� C�:� B%��"( ��( �� �4 �� �� 9� �� ����: ��� ������

x

y

z

��� ��

MATEMATIKA 2 19

� ;������ ������A��

��

����

!�� �

��

�� ��

"�� �

� � ��

% "(�( ���� ���$�� � �� '�$������ � �� $������� � ������ � ���� 9 � ������� � ��: $��'� 9$� 5�:� 3���� ��"( ( � � ������A���� ��( �� %� �� "%� ������ �� ���� ������� B�� �������"�� %�,� "( "�� ���%"��� %� ���� 9% ��: �������"�� %�,�

xy

z

x

y

z

xy

z

��� �

MATEMATIKA 2 20

5

Page 7: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

+�,�� ��� !"!" ;��� �� ( ���� � � ���� �� �(��� ���� ���� �� %����� �� %����� �� ���������"�(% "� , %������ ( %�"��( �� " ���( �� �(��( � ("%���� "( " %������ � +��� ���( � "��� %����������� � "�(%� %� %���( 9������(: (� �( ��� #��� ���� � ����� 9 � � � ��� ����: $��'��� �� ����� � �� �� %����� ������� � 9 � �������� "�:� �� ����� ������� � 9��� ����������: �� �������"�� %�,��

�� ���� �� �� %� ���� �������"�� %�,

��

����

!�� �

����� ���� �� ��"� �#" � ������ �� �� �� �� %"�

��

����

!�� �� � � ��

�� � ��� � �� �� "���� ���� �� 9�� � �����: �������"��%�,� 9�� �� �(��( � ����� (��� �������( � %������:�

MATEMATIKA 2 21

;�%��� � � �� "� %�"���� �� �(��� ���"������( %��"���� �� �( %�,��

&������" $� � ��� � ��� * �� <��� %�,���

� � � ��� � �� � ���� � ��

9� ( � ���"� "���A�� ( ������ %�(%�"��(: % "�� �� ( %����(��� � � ��� ���� ��� �����"("���(�

+ ��� * ��� <��� �� %�,��� � � � ��� � ��

9%����� �: � ���� � �� 9"�A�"�� %�,�:�

x

y

z

z=2-x2-y2

z= x2+y2

B���� � %����� �( *�� � ���� * �� ��#���� �(.

MATEMATIKA 2 22

� B���� � %����� �( �� �(��� ��� "� ����� ( %��"#���( %������� , %�,�� �� � ��� �� ����� �� � ��

� � � � ��� � �� � ���� � �� �� ���

�� � � � � � � �� � �� �� � ��

� 3���� ��� � � � � � %� �� �� � �� � �� 3�(� �� ���� �� %��"������ �� �(��� �� ��(A� ��

�� � �� � �� � � ��

%����� �� %��"������ �� �(��� �� ��#���� �( ����(A� �� �� � �� � ��

� +��A��� %����� �� *�� �� ��(�

� ����� �� � �� � �� � �

��

MATEMATIKA 2 23

� >�� � ����� � � ��� �� �� %� %��� � ���( *� ��������� %����� �� � � � ��� �� �� �� ��#���� �( ���%� %���� ��(�( �� � � ����� �� �� ���� �� ��� #���� �� ��� �� � � � � ���� �� � � � ��� ���

� '����� �� �# ��� ���( ����� � � ��� �� �� � *�� ���

��� � �� � � 9����� � ��A ���� "�A�"��

%�,�: � � � �� � �� 9����� � ��A "%� %�,�%����� ��:� 3����

* ����� �� �� � �� � � � �� �

��� ��� � �

��� ���

��� � �� � � � � �� � ��

��

� > � � ��� ���� ��� ����� "("���( ��� ����%����� �� � � � �� �� �� ����� � � �� �� �� � *��� ��A�� ( ��(�( �� ����� �� ���� �� ��� ������ ��� � � � �� � � � � �� >���� �� �#��� ���(��� � �� � � � ������ %����� ( � � � � ����

3����

* ���� �� ��� � � � �� � � � � �� � � � � � ��

��

MATEMATIKA 2 24

6

Page 8: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!"�" ������ ��� � �� ���

�,���� !"" ���� �� � � �� � � � � � � � ��

������

� � � �� �

��� ��� ������ ������� �� � ������ ���������

���� ��� ������� � � ��� � � � ���� ��� ������� � �

9� ���� ��� ����� ������ ���� ��� ������� � ���� ���� � ������A� �� ���� � ���� ���� ��������� � � ���

��� � ������ ���� �������� ������ ��� ���#����� 9������� ������: ��A��� ������ � ���� ������ ��� ����� �� , ����� � � �� ����� ���������� ���

������� ��� �� � � ��� ������

� � � �� �

��� ��� ������� � ��� ���������

��� �� � � ��� � � ���� �� � �

MATEMATIKA 2 25

� � ��� � � � � � � ���� ��� ��� �� � �� � �����������

� �� � � ��� ��� ��������� � � �� ��� ��������

������ ����� �������� � ���������� ������

� � ���� ���

���!� �� � ��� ������� ��� ������ ���������������� ��� �� �� ����� ��������� ���#���� �� �� �� �� ���� ��� ��� � ?��� ������?�

����

�� � � ��� �� ���� ��� � ��� �� � �� � ��

��� ��� "��� ������ � � � �� �� � � ��� #��� ��������� ������� ��� ��� ������

�����" $���� � � ���� � � � � ��=��� ������

� � �� � �� �� � ��� ���� �� � ���� � � � ��

��� ���� �� ��=������ �������� �� ���� ���� ����#��A��� � � � � � ���

�� ����� �� � �� � � �� �

�MATEMATIKA 2 26

y

x

2

20

� ���� �� � � ��� ������� � � �� �

��� ��� ������� ����� ���������

��� �� �� � � ��� � � ���� �� �� � �

� � ��� � � � � � � ���� �� ��� ��� �� �� � �� � �����������

� �� �� � � ��� ��� ��������� � � �� ��� ��������� � � ���� �� �� � ��������� ����� 9����� �� #��������� ������� �� �� �� ���� ��� ��� � ���������:

� "��� ������ � � � �� �� � � �� ���� � � ��� �� �� � ��� �� ��� � ��� �� �� � �� � �

MATEMATIKA 2 27

9� ��A��� ������:

�����" %�� ��� � � ��� ���� � �� � �� � � ��=���������

� � �� � �� �� � ���

��� �� �� �� ���� �� �� � ��� ���� � �� � �� � ��

��� ���� �� ��=������ �������� �� ���� ���� ����#��A���� �� � �� � �� � �� � � �� �����

�� ����� �� �� � �� � � � �� � �� � �� � �

��

#��� �� ������ ��"�!� �� ������ 9���������:���� �� � � �

� & ������� � � ������ �������� ���� ��� ��#"� � �A� �������� �� '� �� �����!� ��������� �������� �� ���� � �������� ��� ��� �� ���� �� �������� � �� ��� � � � 9��������#�� ��#�� ���: ���� �� �������� ��� ���� ������� 9��� �����: ������ � ������ � 9��� "������ :� %� ���� � ��� ���� �� � � ��� ���� ����� ����������� ��� ���� �����A��� ���� �� � ���

MATEMATIKA 2 28

7

Page 9: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

x

y

z

z=z0

z=f(x,y)

z0=f(x,y)

����� � � ���� �������� ��� ���� �� �������� ��������� ���������� ��

�����" �������� "��� � �� ������

���� �� ���� � ��

����� ������!� ��"� � �������� � ���������� �� #���� ��� �� ���� ��������� � �����

� � �� ��� � � � 9�� �� ������ � � � � � � � �(� � �� � � � � �:(

� �� ��� � � � 9�� �� ������ � � � � � � � �(� � �� � � � � �:(

� �� ��� � � � 9�� �� ������� ��� ���� 9���A��:�� � �� � � � � �:�

%���������� �� �� � ���A���� �����

MATEMATIKA 2 29

x

y

z

x2+y2=1, z=1

z= x2+y2

z=1

� ����� �� � ������� � � � � � � � ��� �����

�� � � "� ��� � � ������� ���� � 9��� �����

���� � : ������ � � %����� � ��� �����A��

���� �� �� � ��� �� � � ��� ����� ����� ���� ���� ������� ������� ����� ������ �� � � �������� ��������� ������ ���

�����" )������ ����� �� ������

� � � � �� � � �� ���� �� �� � � � �� �

���� �� �� ��� � ��

��

�� ����������� 9��� ?������?: � ��

��

��� � ��

��

�� � � ����

MATEMATIKA 2 30

x y

z

!"�" �� ����� ��� ���� � ����� ����

�������� ����� ��=����� ��� � �� 9��: ���� ?���� �����?��� ��� !� ���� ?� � ������ ? �� ���� ������� ������

%����A�� !��� �� ��������� ��������!� ��������� ��� ������� ���

� �� � � ��� �� �� � �� � ���� ��� ��� � �� ���������������� ��=����� ��

� ������ ��

��� ���� � �� � ���� � �� � �����

� �� � � ��� �� � �� � ���� ��� � �� ��

� ������ ��

��� ���� � �� � �����

MATEMATIKA 2 31

� ���� �� �� � � ������ � ���� 9������ � � �: � ���� �������� ��������� � �

������� ��

��� ���� � ��� ����

� � ����� � � � ���� ������ � �������� � � �� ������ �� ������� ������ � �� ������ � � �9������ � �� � � ���

�,���� !"�" $� ���� ���� ����� �� � �� � ���� �������� � ����

���� � � �� � �� � � ����� � � � � ��

��� ��� ��� ������ ������ ��������� �������� ���

K(T0,ε)

K(T0,ε)

K(T0,ε)

����)�!� !��� �� �� ���� � � �� ������ ����� �� � ���� ������� ��� � ���� �� �� ��"�� ���� � � � �

MATEMATIKA 2 32

8

Page 10: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

$� ���� � � �� !��� ��!� �� �� ������ ��� �� ������� � ��� � ��� ����� 9������� � ���� �����A� ��� ���� ����� ?����?:� ���� ���� ���� ����A������ ������ ��� ������ 9������� � ���� ����A������ ���� ����� ?����?:�

y

x

otvoren skup neotvoren skup

0

)�!� !��� �� �� ����� �� �������� ����� � ���� ��� ������ �� �� ������ ���� � ����� $� ���� ���A��� �� �� � ����� ��� ����A� � � � ��� "���#����� 9������� � ���� ����A� � � � ����� ?����?:�

��� �� ����� � � � ������� ��� ������ ���� ������� ���� � ��� ��� ��A��� �� �� � ������ � ����� ����� �

���� � � �� �� � ����� ��� �� ��"� ����������� � �� �� �� ��� �����

������ ��!� !��� �� �� ���� � �� ! � ���������� ��� ��"�� ���� "� ����A��

MATEMATIKA 2 33

#����� �������� ����� ������ ��� ���������

*����� � ��=�����

��A��� �� �� �� � � ����� ������ � � ��������������� �� � ���� ��� 9�������� ��=���� �� � : � ������

���������������

���� �� � ���

��� ��������� ���� �� ��A� ����� �� ��� ��� �� ��A������ ���� ��� �

�,���� !"�" ���� �� ��� ������ � � � � �� � �

�� � ����� �� ���� ��� �������� ����� �� ��)�!� !��� �� �� ���� �� � � �� ����� ��� ���������� � � ������ �� ���

�� ����� ����� � � ������������ � � � ���� �� ��� � �

�%���������� �� �� � ��� ��� ���� � � �������� � ���� �� � � ����& ��� ������� ������

������

��� � � �� ��� ������� � � ���

MATEMATIKA 2 34

" ���� !"#" ��� ������ ���� �������� ��������

��������

���� � ��������

���� � � �� ������

���� � ��

����

���������� � ��

���������� �� ��

�������� � ��������

+ ��� �� �������� ���A����� %��� � ���� ,�!�, � ���� ������ ��������� �� ���� �� �� ����� � ����� � ��#��� � �������

" ���� !"$" &������ ��

��������

���������

���� �� � �� � ��������

���������

���� �� � ��

�� �� � �� ���� ���������������

���� �� � �������� + � ��

�������� ���� �� ����� �� ����� � ������� 9�� �� �������� �"� �� ����� �� �������:�

MATEMATIKA 2 35

-20

2

-20

2

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-20

2

-20

2

-�� ���

�� � ��

�����" *�������� "����� �������� ������

���� �� ���

�� � ��

� ����� ��� ���

&������ ��� �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ���� ���� �������� � � � �� �����

�������

���

���� �� � �����

� � ���� � ����

��

� � ��

� ���A�� ����� � ������� ��� �� ��������� � ����������������� ����������

MATEMATIKA 2 36

9

Page 11: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

-4

-2

-0.4 x-0.2

4

2

000.0

-2

y

-4

z2

4

0.2

0.4

���� � ���� � ��� �� � �������

-0.4

-4

-2

-0.2z

x

0.00

0.24

2

0

-2 y-4

0.4

2

4

MATEMATIKA 2 37

�����" ������

� � �� ���� ��� � �� ���� �� � ���� � ��

��� � ��

��� � ����� ��� �� "����� �������� � ����������� �� � ��

&������ ��� �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ���� ���� �������� � � � �� �����

�������

���

���� �� � �����

���������

��������

� �����

������ � ��

������ � ��

� � ��

��� ���� �� ����� ������� � �� �� ����� ��

MATEMATIKA 2 38

- 2

0

2

- 2

0

2

0

0 . 5

1

- 2

0

2

- 2

0

2

.�� � �� ������������

$������ �� ��A� �������� � ���������� � ������ ��#�������� ���!� �� � � � �� � � � � � ������� ��� ��� �� ��� � ���� ��� �� �� *����

�������

�������

������

� �����

� ��

��� ��

���!� �� ���� �� �������� � � ��� � � ��� � ������� ����� ?��������? � ����� ��� ��� ����� � � ��� ���� ���� �� ����� �������� � ����� ��� ��� �������������� ����� ������� � �� �� ����� ��

MATEMATIKA 2 39

'����� � ��������� �������� �� ������ � ��� ���#������

%��� !"&" ���� ��

� � ���������������

� ��� ��

��� ������� �������� ������

�� � ������

�������

� ��� ��

�� �� � ��

����

�������

� ��� ��

���� �� �� � � � ���

%�������� � �������� ��������� ������ �� � ������ ���� ��������� � �������� "����� �����#���� ������ �� � � �� �������� ��"� ���� �������A� ��� ����� ���� ��� � ��� � ���"��� � �����#���� ������ ��

%��������� �� �� �� � �� �� ���� �� ����� � ���������

MATEMATIKA 2 40

10

Page 12: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� !� ���!� �� ��

�� � �����

������

�� �� � �

�� �����

���� � ���

�� � �����

������

�� �� � �

�� �����

� � ��

�� � ������� ����� �������������

�� �� � �

����� � /������ ������!��

�� � �����

������

��

�� � ��

�� �����

� � ��

�� � �����

������

��

�� � ��

�� �����

� � ��

����� �������� ������ ������� � �� ������� �������� � ���� � ������� �����

�������������

��

�� � ���

��� ��� �! ������ � ����� ������ ���������

MATEMATIKA 2 41

�,���� !"'" ���� �� ��� ������ � � �� �� ���� � ��� ��� ��

���������������

���� �� � ����� ���

��A��� �� �� ������ � �������� � �����

���� ��� � �� ���� �� � �������� � � ���� ����� ��� �� � ����A��� �� �� � �������� �������

MATEMATIKA 2 42

�����" ������

���� �� �

��

�� ������������ � ��� �� � ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

�� ��������� 0�� ��

�������������

���� � ��

��� � ��

� � � ���� ���

" ���� " 1���� � ���������� ������ ����� ���#����� �� ����� ��=����

" ���� " $���� � � � ������� � � � ���A��� � � � ������� �

� 9��� "�� �� ��=����: ����������������� ������ ���� �������� ������� �������

MATEMATIKA 2 43

���� ������� � ����

����������� �� �� � � � � �� � � �� � �� ������������ ��� � �� � ���� ��� � �� ����� ��� �������

������ � � �� � ������ � � ���

�������� ���� ��

��� � ��� �� � � � ��� � ��� �� � ��� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ����A� ����� ��� ���� ������� ���

� ���� � �� � ��� � �� �� ��� � � ��� ���

� ���� � �� � ��� � �� �� ��� � � ���� ��

������� �������� �� ����� ����� ���������� ��� ��������� ���� ���������� �� ������� �� ������

f1(x0)=f(x0,y0)

y

z

z=f(x,y0)=f1(x)z=f(x,y)z=f(x0,y)=f2(y)

T=(x0,y0)

x

DDy

0

Dx0

MATEMATIKA 2 44

11

Page 13: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ,��� ���� ���� �� � � � �� �� � � ��� �� ������� ��������� � ���� ��� � �� ��� ������� �����

������

���������� � ����� ��� ����

������� � ������ ���

��� �� � �����

��

����� ��� � �

����� ���

���� � ����� ��� �������� ���� ���������� ����������� � ������� � � ����� ���� ���� ��� ������� �����

������

���������� � ������ �� ����

������� � ������ ���

��� �� � �����

��

����� ��� � �

����� ���

���� � ����� ��� �������� ���� ���������� ����������� � ������� � � ����� ���� ����

��� ��� ������ ������� �� ��� ��� �� � � ������������� �� ��� ���� ���������� � � � � �� �

� ��� �� � ���� � ���� �� � �

���� ��� ������ ������ ��� �� � �� ��

MATEMATIKA 2 45

� � � � � �� �

� ��� �� � ���� � ���� �� � �

���� ��� ������ ������ ��� �� � �� ��

������� �� ��� � �������

� � � �� � ���� � � � �� � ����

����� ��� ��� A����� �� � � �� ���� ��������� �� �������� � ����� ��������� ��� �������� ����������� �� �������!��� ��� ���A��� � �� ���� ����� ���� �� ����"���� � ����� ��������� ��� �������� � ���������� �� ��

MATEMATIKA 2 46

����� ��� #$����������� ���������� ��� ��� ������%������ ��� �� ��� ���� ���&

$�� �� ��� ���� ��������� �� ���%� ����� ���������� ��� �� � ���% �������� � � �� ��� � � ������� ��� ��������� ������� �� ������� ��������� ���������� �� �� �� �� !�� ������� ��� ��������� �� ��� �� � �� !�� ������� ��� �� ��������� ��� ��$����������� ���������� ��� ��� ������% ������ ���� ����� ��� � � ����� ������ � ���= ������ ������ ���!���� �� ��� ������� ���� ��� �� �� ���� ��� ������� �����

xy

α β

z=f(x,y)

(x0,y0)

tx0z Γ1

Γ2

0ty

����� ��

MATEMATIKA 2 47

����� ��� �����!�� �� ��=����� � ��� ������������ ��� �� ��� ��� � ���� ���������� ���� ��� � ���� �� � �����

������

���� ��� ��� ��� ����� ��� ����

� � ����� ��� ��

'��� ��� � ����� ��� ��� � ���� ��� ���(�%���� ����������� ������ ����� ���������� �� ����"����� �� �������� � � � ��� ���������� �� ��������� ���� �� ��

���� �� �� ������ ���� ���� �

��

� � � � �� � � � � �� ����� ������� �����

�������

������ ���� �� �� � �

� ������� �

��

�� � ����� ���� �� � ���� �

��

���

���� ��� ����� �������� ���������� ���������� �������� � ������ �� � � ����� � � � ����� ����� � �� ���� �������� �

��� �� ��� � ��� ��� �� �� ��� ����� ������ ���� ������ ��������� ���� ��A��� �� �� �� ��� �� ������� � ����� ��� ��� �� � ����������� ��������� �� � � �� �������� � � �������� ��������

MATEMATIKA 2 48

12

Page 14: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

'������ �� �� �� ������ �� ��� ����� ��������� ������� ����� ������� ������������ '��� ��� ���������� �� �� ��� ���� ��������� ��� �� ������ �� ��������

��� �� �������� ��� �� �� �� ��� � � �� � �

������ ��������

���� �� �

�����

��

�� ��� ��� �� �� ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

�������� ��� �� ��� �� # �������������

���� �� �� �������&�

��� ��� �� )����� ����������� ��� �� ��� ��� �����

� ���� �� � ������

� �� ��� ��� ���� ����

� ������

��������������

� ���

� ��

� ���� �� �� ����A� �� �� � � ���� �� � ��

*���� ���� ��� ������ ������ ��� ������ �� ��� � ������ �� ����

MATEMATIKA 2 49

� � � �� � �

� ���� �� �

��� �

�� � ����� ����

� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��

� � � � �� � �

� ���� �� �

��� �

�� � ����� ����

� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��

MATEMATIKA 2 50

� ,��� ����� ��� ������� ������������ ����% ���" ������% ������ ��� � ���� �� � � ���� �� #�� � ������ ��� ���� ���������&� �������� ��� ������ ������ �����!�! �����

��

�������

��� � �� � ���� " ��!� ��� ������ ������ ��� �� +

��

�����

��

��� � �� � ����

��

�����

��

��� � �� � ����

���������

" ��!� ��������� ��� ������ ������ ���

��

�������

��� � �� � ���� " ��!� ��� ������ ������ ��� �� ,

��� � ���� �� ��� ���� ����������

��� ������� ������������ ���% �� ��� �������� ����� ������% ������ ��� ��� �! ���� ���������!�� �� ��=����� ��� ������ ������ ��� ����!���� �� ��� �� ��� ��� ���� ����������

MATEMATIKA 2 51

�-���� ��� �� ��!� )�� �� � ��������� ������ ������� �� ��� �� ��� �� ��� � �� � � �� �� )�������������� ��������� �� ��������.� ���� ����� �� �� �� � �� �������/��!���� �� �� ������� ��� �� �������� �������

� �� � ����� *��� ��!�� � �� �" ���� �� ���

� � � � �� � �

��� ����� ����� ������� � ���� �� ��� �� ������������ ��� ������ ������ ��� ����! ���� � � �� �� � ���� ��� ������� ������� ��������� ��� ������������ ��� ��!�! ���� � �� � � �� ���� � ��!� ��������� ��� ������ ������ ��� � �� � � ������������ ��� �� ��� ���� � ��� � ������� ��� ����������

� ������ � ��������

#� ���� ��� ��� � ������#&

����� ��� ' %0����� ������ ��A��� ���� ��� ��� ���� ������ ��� #��� � ����������&� ��� ���� ��������� ������� ������������

MATEMATIKA 2 52

13

Page 15: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� �� �������� ��� ��� ������ ������ ��� ��!�!����� � ��� � ��� ������ ������ ��� �� �� � � � ������ ���� �� �� � � ����� #����� !��� �������& �� �� ��

� � � � �� � � ��� ���� �� � ��� � � ��

*�=�� ����� ����� �� � �� �������� �������������� �� � �� � � � �� � �� ��� � �� ������������

������ ��� ���� ����� ��� �� ��� �� � ��

� ���� �� � ��� � ��

� ���� �� � ��

��

����������� �� � � ���� ��� ������ ������ ��� �����"������ �� ���� ��� �� �� �� ��� � ����� ������������� �� ��

� ����� �� � ��� ������ �� � ��

��

� ����� �� � �� �

�� � ����� �� � �

���

�������� �� ��� �� �� �� � � ����� #�������� �� ��������!� ���& ����������� � �� �� � ������ �� � � �� ������ ���

MATEMATIKA 2 53

��� �� ����������� �� �� � � �� � � �������������

���� �� �

��� �� � �

� � ���� ��

� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��

1�� ��� � �� ����������� �� �� � ��� ��� � ������ ��

� ���� �� � ���� � ���� ��

�����

��� ����

��

� ���� �� � ���� � ���� ��

� �����

��� ����

��

�������� ���� ��� ��� ������ ������ ��� � ������������� ��� #�� �� � ��� ���& � �������

� ����� �� ��� � ���� ��

��

�����

��� ����

�� � ����� ���

��!������� ���� ��� �� � ����������� ��� �� ��� ��2

MATEMATIKA 2 54

3� � �� �� ���� �� � � �� ����� � � � � ���� �� � ��� ����� � � �� �� �� � ����������� � ��� �� �� ���� �� � � � �

���� ��� ����������� �� ��

� ���� �� � �� ����� �� � �� �

���� �� � ��� � ���� �� � ��

�� �� ��!� ��������� ��� ������ ������ ��� �� � ��� �� ���������

� ����� �� � ������

� ���� � ����� ���� ���� �

� ������

��� � ��� � ���

� ����� �� � ������

� ��� ��� ���� ���� ���� �

� ������

��� ��� � ��

*����� �� ��� � �� ����� ������������ 4� )�����5���������5 ��!� ��� ������ ������ ��� � ����� �� �� ����� �� � �� )������ ������ ���2 .����� ������� ��A� ����������� �� ��� � ����� �� ��� �� ��� ���

MATEMATIKA 2 55

$��� ����������� ������ ��� ����� ������2

���� �� ������ � � � � �� �� �� ��������� �

����� ���� ��� � �� �� � ������� �������� ��������� ������ ��� � � ������ ����

���� ������ �� ����� �� �� � A��� ������ ������������� �� �� ����� ������ � � ��� � ���� � ��� ���� ���� ������� �������� ��� � ��� ����� ���

xy

α β

z=f(x,y)

(x0,y0)

tx0z Γ1

Γ2

0ty

����� ���������� �������� � ������ ��� �� ���=���� ������������ �� � �� � ����� �� � ���� ��� �������� ���� �

�� ��� � � �� � � ������ ������ ���� � � ���

�� ���� ������ �� ���

MATEMATIKA 2 56

14

Page 16: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� �������� �������� � ������ ��� �� ���=���� ������������ �� � �� � ����� �� �

�� ��� � � �� � � ������ ����� � ���� � � ���

�� ���� ������ �� ��� � !� � A�� ����� � �=���� �������� �� � �� �� �� ��

� ��� ���� � � ������ ����������� ������ ���������� � �

xy

α β

z=f(x,y)

(x0,y0)

tx0z Γ1

Γ2

0ty

����� ��" ������ ����� ������ ����� ���� ��� � ��� ������ ����� �� �� � A��� ������ ��� ����� ������ � ���� ���� ����� ��� �� ����� � �� � � �������� ������������� ������� � ����� � � ���� ��� ����� ���

MATEMATIKA 2 57

� ��� � # �� ��� �� � A�� ��������� ������ ����� �� �� �������

���� �� � ���� � ��

� ����� �� � �� ����$��� �� � ����� �� � ���� � ����� �� � ���� ����� � ��

� ���� � � �� � � ���� � � ���!� � A�� ��������� ����� �����

� � � ����� �� ��� � ��� ���

� � ���� �� � �

"������� �� � � ����� ������ ����� �� � �����%���� ����� ���� ����������� ������� &������ ������ ��� �� �� ����� � ��

���� �� �� � ������ � ��� ��� � ������

���� �� �� � �� � �� � � �� � � � ���

� ������ �� �� � � ����� �������������

MATEMATIKA 2 58

��,��� ����� '�����

��� �� � ����� ����������� ����������� ������ ���������

����� �� ���� ����� ������ � � ���� ���� �������������

���� �� � ����� ����� ������ ����������� ������ ���������

���� ��� �� �������� � � � ���� ����

����� ������������ ������� ������� ��� �� �������������� �� �� ������ �������� � ���������� � ����������� � � ��

" ���� ������������ �������� ����� ���� � ��� ���� �� ������ ������������� ����� ������ ����% ���� � ��������� ������ � ���������� ������� � ���������� ������ ��� �� � ��� � ������ ����������� ��� ����� �� ���� ��� �������� ���� ���� ������� ������������� ���������� �������

MATEMATIKA 2 59

� ��� � �������� ��� � ������

���� �� �

� ��

�� � ��� ��� �� �� ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

��� �������� �������� � ����� �� � �� � ����� �� � � ������������� � � � ��� �� �����

��� �� � ���� �� � ���� �� � ��� � �� � ��

" ���� ������� ����������� ��� ���� �������������� � � ����� � � ������� ����� � � � ������������ ��� ���� �� � �

� (�� �� ����� � ����� ������� �� � ���

����� � �� �� � ��������� ������)

� �� �� ����� ������ �� � � �� ������������ ������ ���� ����

MATEMATIKA 2 60

15

Page 17: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

&� ������ � �� � ���������� ��������� � ��)

� *�=����� ���

����� � �������������� � � ����� � �������

������� �

� #������ ��

�������� � � �����

+�� �� � ��������� � ��� � � ��

�������

� �������

�������� � � �����

�� � ������� ����� � ��

�� ���� �� � ������� � � ����� ����� �

����� � � ������� � ����

�� ���� � �� ��������� ������ � � �� ����� �

����� � � �������� �� �����������

� ���

� �� �� �������

� ��

MATEMATIKA 2 61

�� ���� ����� � �������

����� �� � ���� ���� �� ����� ����� ���

��A��� ������� ��

��,��� ����� '����� � � � ��� �� �� ������������ ������ � ����� ���� ��� ��� �� �������

�� � ����� �� � � ��� ���� �� ����� � ���� ���

� � �������� � ������

�� � � ������ ��� ��� ��� � � ������ ��� �� � ��� �

� ������ � �����

� �� �� � �� ������� �� ��� �� �

��������� +�� ������� ���� �������� ��������� � � � ��� �� � � ��A��� � �� � � � ��� �� ���������� *����������� ������ � ����� � �����%��������� ��� ������ �� � ��������� �� �� ����������������� �

MATEMATIKA 2 62

��� �� ����� +�� �������� �������� � �� � � �� ���%���� � ������ ����� ���� ��� � ��� �� ������ � � ��������� ��� �� � �� ������ � � � ��� �� ������������������ � ����� ���� ��� �

� ��� � ����A��� � �� ������ ���� �� � ����

������������ � ����� �� � �� �� � � �� ��� ��������� �������������

$��� ��

� ����� �� �

������� � ��� � ������ � ���� �� � �

� ����� �� �

������� � ������ � ���� �� � �

�� ��� � �� �������� �������� ������ � � ��� ���� � � ����� ��� �� �� ���� ��� �� ������ �� ���%����� ������������ ������ � ����� ��� ������������ ������������ ��

��� �� � ��� �� � � ��� � � � �� � �� � � � ��� �� ���� � ��A��� ������

���� �� � ���� � � � � � ��� ��

� ���� ����� ������ ����� � � �� ��� �����

MATEMATIKA 2 63

�������� � �� �� � �

��������� � � � ������������ � �� �� �� �

*����� � �� ������ ������������ � � � ����������� ���� ��� ���� ����� ������ � ���� ���� �����%������� ������ � ����� ���� ��� �

��,��� ����� ������ ��������� �� ���� ��� ������� � ����� ���� ��� �=����� ���

�� ���� ��� � ��� ���� ��� �� � �

�� ���� ��� ��

� �� �� �� � �� ���������� �������� ��������� � � ��

��������� ,� ��� ���� � �� ��� � ��� � � ���%��� ������������ ��A��� �������� ���

���� �� � ��� �� � ����� ��� � ������ ����

MATEMATIKA 2 64

16

Page 18: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������������ ������������ ������� ����������

-������ ��� �� ������ �� � ��������� ����� ��� ��� ��������� ����� � � ������ � ���� ��� �������%������ ��� ������� � ������� ��� ������� �� ���� � ������� �� ������� ������� ��������� � �� ����� ��������� ������ ���������

�� ��� �� � � �� ��� �� �� � ��� ��� �� ��

�� ������� � ��������� ������ ��� ������� ��������� � ���������� ����� �� �������� �������� ����%����� � � � �� �� �� �� � ���

df(x,y)

Δf(x,y)

(x,y)

yx

(x+dx,y+dy)

x

y

z

MATEMATIKA 2 65

� ��� � # �� ��� ������ ��������� ������

���� �� � �� � �� � ���� ���� ����� ����� ��� ��� .����)

����� �� � ��� � ���� � ��� ���������������� ������� ����� �� ��� ������� �������� � � ����� �� � ����� � ������ ����� �� � �� � ����� �� � �� � �����

����� � � �������� �� ��� ���� �� �

����������������� ����� ��������������� � ����� �

����� � � ���������������������������� � ������ ��� � ������� � � ����� �� ��� � � �� ���� ����� ��������� -� � �� �

������� �� �� � ���� � � ����� � �

���� � � � � � �� � ���� � ���� ��

MATEMATIKA 2 66

��������� �������) ������ ������������ � ������ ���������� ������ �� �=����� � �� ������ � ��� � ��(� ���������� ���� �� ���� �� �� ������ �������%����� ��

� ��� �� �� � ��� �� �� � � ���� ��� ��� � � ������ ��� ��� ��� ����� ������ ��� ��� �� � ��� � � ������ ��� ��� �� � ���

� ������ ��������� ���

�� ���� ��� ��� �

� ������ ��� ����� � ������� ��� ����� � �

������ ��� ������

��������� #���� ������� �� ����������� (����� �� ��� �� ������ �� � ���������� ������ ������� �� ������ ��(� ��������� �� �� ����� ������)

��� ���� � ������� � ������� � ��������

��� ��� � ������ � ����� � ������ � ����� � �������

��� ���

����� �

����� � ������� ����� � ������������

�� �� ������ � �������� � �������

MATEMATIKA 2 67

�� � ��� ����� �!�� �"�

���� �� � � �� ������ ���� � � � � � � ��������%���� ��� �� � ���������� ������ �� � � ������ ����� ����� � � ��� �� � �� ��� ��

+�� �� ������ �� ������������� � � ���� � � ���������� �� � � "�� ����� " ���� �"� ������� �����)

��� � � ���� � ��� ���� � �

�����

� � ���� ����� � � �������� � �

�������� � �

���� ����

-�/���� � ���� ����

� � �� �������� � ����� ����

��������

�� � � ��

���

+�� �� ������ ��� ������������ � � � ��� ����� ���(����� �������� 0� �� � � � ������ ��� � "�� ����� � �#�� �"� ������ � �����)

��� � ������� �

� ���� ����

� � �� �������� � ����� ����

��

� � ������ ����� � � ������ ����

� �� � � �������� ����� � � ������ ����

��� � � ��

���

MATEMATIKA 2 68

17

Page 19: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���� ������ � ��� � ���� ������ � ��� � � ���� �������� �������� � ��������� ��� �%����� �� +�� �� ��� �������� �������� ��� �%����� � ������������ � ����� �� � ������ �������������� � � � ������ "�� ����� �$��� �"������� � � ����� � �����)

��� �� � �

���

�� ��

��� �� �

�����

��

� �� �� �

���� ��������� ����� �

�� � ��� ������

��

�������

��

��

��

��� �����

MATEMATIKA 2 69

("'" ����������� ������ �������

��� �������� ���A� � �� ��� �� � �������������� ��� � � � ���� � � � ����� ��� �� � � � ������� ����� � �� ���� � �� ������

��

�����

��� ����

���� ������

������ �"��" ���� �� � � � � � � � � � � � ������� ����� � �� ��� � � � �� ���� � ���� � � � ��� � � � � � ������ ����� � �� ���� ���� � �������= ��� � ���������

� � � � ��� �� � � � �� ���� � ������� ������ � � ��

��� � ������ ����� � � ������

���

�� ����

�� ���

������ ������� �� ��� � � ���� � � � � ����� � ���� �� ���� ������ � �������

���

�� ����

� ��

MATEMATIKA 2 70

���� � ���� �� � ������� ������ � � ���� ��� ����� !� ��� � � ������ ����� � �� ���� �� ��� � ����� � ����"� ������ � � ������

�� � � ���� ���

���� ���� ��

� ��������� � �� ���

��� �� � ���� ����� �� ��� ��� ���� ����� ��� �� �����

�����

� ���� ��

�����

� ���� ��

� �����

������� �� ��

�� �

���� ���� ��� �� ���� ����� �� � ���� ���������� � � � � � ���� ���� � ����� � � #�� �� � � � ������� �$� �� � ��� � �� �� %����

����� � �

������ ���� ��

�����

�� ���� ��

� �����

������� �� ��

�� � �

MATEMATIKA 2 71

� ���� ��

�� �����

���� �� �

���� ����

�� ���� ��

� �����

� �� �� �

���� ����

� �����

� �� � ��

�����

���������

�� ����

�� ����������

��� �������

������ ������

���

�� ����

� �

� � �� � �������

MATEMATIKA 2 72

18

Page 20: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�������" &����� � ����� ��� �

� � �� � �� � � � �� �� � ��� ��

'�����

��� � � �

�� ��� �� �

��� � � �

��� �� ���

(��� � ���� � �� ��� � � ����� �� �

����� �����

���� � � �

����� �������

�� ��� �������

����� � � �

����� �������

��� �� ������ � ��

)��� ������� � �������� �� �� ���

���� � ��� � ��� � � � �� � ��� ��

MATEMATIKA 2 73

������ �"��" ���� � � � � ��� � ������ ����� ��� ��� �� ���������� � � � � ��� �� � � ���� �� � � ���� �� ������ ����� � �� ��� �� ���������� � ��� ��� �

���

�� ����

� �

���

�� ����

� ��

��������

u

x

z

v u v

y

�������" &����� ��

���

����A� � �� ���

� � � � � � �� � ��� � ����

���

������

� �� � ���� �� � � ��� � �������

���

������

� �� � ����� �� � � ��� � �������

MATEMATIKA 2 74

��������" )���� � ������� *�*+ ���� �� ����"������� ��� ����� � � � ��� � �� �� � � � ���� ��� � ��� ��� � � ���� �� � � � ���� �� � �� ��

���

�� ����

� ���

�� ����

�� ��

���

�� ����

� ���

�� ����

�� ���

��������

u

x

w

v u v

y

u v

z

u v

t

�������" ��� �

� � � � ��� � � ����� � ������� � � ��� �� �

������ � ��

�� ���� ��� �� �� � � � �� ���

,����� � ������� �

x

u

y z

r tsr ts r ts

MATEMATIKA 2 75

�� � ��A� � ��������

���

�� ����

� ���

�� ���

� �� � ��� � �� � �� � ����� � � ��� � �� �� ��(��� � ���� �� �� � ����� �� � �� �� � � ��� �� �� �������� � � �� �� � � ���� �� �� � ��� �� �� �� � �� �� � ������

�� � �� ��

���� � � � � � ���� � � � � �� � � � � � � ������� � ����� � � � �� ��� �� �

-��� �� ��� � � � ��� � ��"� � � ���� ���� ������.� � ���� ���� ,�� ��� ����� �� � � � ��� � � ������� � ���� � �� ��� � ����� �� � ��� �� �� ��� ����� � � �� ����� ���� � �� ���� � �� �����

,���� �� ������� *�*/� ����� #�������� �� �� �$

MATEMATIKA 2 76

19

Page 21: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�� �� ����

��

� �� ��

0 � �������

�� �

���

� ����

� � �

&�� ������ ��� � � �� � � ��� � � � ��� � � �

������ � ��= ��� ��� �� ��� �� ��&�� �� ����� ����"�� �����"� ����� ������ ������ � ���� ���������� � �� ��� � �� �� ����� � ��= ����� ��� �� ��� �� ��

������ �"��" ������� � ���������� �������� ����� � ��= ��� � � � ���� �� ����� � � �� �������A� ���� �� � ���� �� � ��� � � ���� �� � � �� � ���� �� �� �� ��� �� � �� � � � ������� � �� ��� � �� ��� �� ��A�� � ��� � � � ������ � ��= ��� ��� �� ��� �� � � ��� ����� � �� �� � ��� ���� ��������

�� ��

��

� � �

MATEMATIKA 2 77

�������" ��

� ��� � � � � �� � �� � �

��= ��� � � ������ � �� ��� ��� �� ��� ��������� � � ��� � ���� � ����� � ���� �� � �#�� � � ��� �� � � � �� �� � ����� � � � � � �� � ��� � � ��

� � � � � � �� � � ������� � �� ��� � � � ��� �� �� �$��������� � �� ��� �

�� ��

��

� � � � � � �

��� � � � � � �� � ��

,���"� � ��� .�� �� ����� � � ��� ������

������ �"��" ������� � ���������� �������� ����� � � � ��� � �� �� ��� ��= ��� � � � ���� ������� � � �

��� ����A� ���� �� � ���� �� ������� � � ���� � �� � ������ �� � � ��� �� � ���� � � �

�� ������� � �� ��� � �� ��� �� ��A��

� ��� � �� � � ������ � ��= ��� �� ��� � � ���� �� ��� ����� � ���� ���� �� � � � ������ ��������� ��

�� ��

��

� ���

� ��

� ���

MATEMATIKA 2 78

�������" &����� � ������ � ���������

���

������ � ���� � �� ���

� ��� � �� � � � � � � �� � � � � ��

!� ��� � ��= ��� � � � �� ���� �� 1���"� ��

� � ��� �� �� � � � �� � � ����� �� �� � � �� �� � � ������ � ���� ��� �� ��� �� �� ��A��� ������ ����� � �� ��� � � ���� ��&������� �0 �������� � �� ����

�� �

����

� �� � � ���

�� � ����� � � �� � � ��

� �

��

�� �� � � � � ��

MATEMATIKA 2 79

�"�" ������ ������ ����������

,���� ��� �� 2���� ������ ������ # ���������� � ����� �� �$ �� �� ��� �� � ���������

������ �"� " ���� � �� ��� � � � � �� � � � ������� � � ����� � ��� �� � � � ��������� � �� ������ ��� �� � ���� ��� �� ���� � � ��� �� ������ �

� ���� � ����� � � � � ��� � � �

2���� ����� ������� � � �� ��A� ������ � � ��0� ��� ��

� ���� � ��� � � � ��� ��� ��� � � �� � � ��� ��� ��� �� � � � � � �

��� �� � � �� � � � �� ���

�� � � ��� ����� � ���� � � � ��� � �������

��� � � � � � ��

MATEMATIKA 2 80

20

Page 22: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��,������ �"��" 3� ���� � � �� ��A��� �� �

�������� ��� � �� ���� ��� ���� ���� ��� � � � �.��� ��� �� ����A� � � �� ��� �

����� �� �� � � �� � �� � � � ��� ��� � �

,���"� � 2���� ������ ������ �� �� ��� ��0��������� �� � � �����"�� ����� ��������� ,��� ������� �� �� ��� ���� ���������

������ �"��" ���� � � � �� � ���� � �� ����� ����� � ���� �� � � � � ��� ���� � �� � � ������ �� ��� � � �� � ��� � � ������� � ������� � �������� � �� � � � � ���� ��� �� ����� � ����� � � �� �� � �� � ���� �� �

� ��� ���� � �� ��� ���� �� � � �� ������� � ���� �

,�� �� � � � ��� � ���� � � �� � �� ���� � ��� �� �

MATEMATIKA 2 81

&�"� � � ������ ����� ���� � ����� �� � �� �� ���� ���������

������ �"�!" ���� � � � �� � ���� � �� ����� ����� � ��

�� ���� ��� � � � � ��

�� ���� ��� � �� ����

�� ��� � � � � � ��� � � ��� ������ ��������� ����� ���� � ��� �� � � ������� ������ ��� �� ���� � � ����� � � �� �� � �� �

���� �� �

� ���� ���� ���� � ���� ���� ��� �

�����

� ��� ��� ��� � ��� �

,�� �� � � � ���� � ��

�� �

�� � ���� �� � � ��� � ����

�� ��� � � ��� �� �

MATEMATIKA 2 82

�"� " ��"����� �����

,���� ��� ��� �� �� ��� �� � �������� ������

���� �� ��� � � � � � � � ��� � � ��������� �� � � �������� �� � ����� ���� � ��� ��� � ��� �� ���� ��� ����� ���� �� ����� � � ��� �������� ��"����� ������

� ��� � � ���� �� ������ ��� ��� � ��� � � ������

�� ��� ���� � � ���

� � ���� ���!��

� ������!� ��� ���! � � ��� �

� ��� �� �������������� ��� ������ �

��� � � � �� � � ��� ��� � � � � � �� � � ����� � �� #2���� ���� �����$ �� �� ���� � ��4��������������

3� �� ��� ���� �������� ��"����� ����� �� � ������"�� ��������

MATEMATIKA 2 83

������ �"�#" ��� �� ��� � � � � �� � � ��� � ��� ����� � " ���� �� � � ���� �� � ���� �� � � ������� � �������� �� �������� �� � ����� ������ �� �� ����� ���� � � ��� � � " ���� �� ��������4������ ��������

� �� � � � ���� ���#��

#�

���� ���

�� � � ��

�#� ����

� � �� � �

��� �

� �� � ��

�� � ���

���� ���

�� � � ��

������� �����

�� � ��� � � ��� ��� � � � � � � ��� � � � � � ��

� ��� ���� ����� ���

�� � � ��

�#� ���� �

#�!��

�#

!

�#� ����

�#�! !��� ���#�! � � ��! �

MATEMATIKA 2 84

21

Page 23: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ����� ��4������ ������� ����� �� �

� �� � � $� �� � �� � � �� � �

��� � $� �� � �� ��4����� ���� �� #�� �� � �� �$�� ��� � �

3� � � ������

� �� � � � ���� ��

��

�� �� ���� ��� ��� � � � ���� � � ��

���

�� ���� ���� ��� ���� � � ��� ���� ��� ��� � � ��

� � �� ���� � � ���� � �� �

��� �

� �� � ��

��

�� ������ ���� ��� ��� � �� ����� ���� ��� ���� � � ��

��� ���� ���� ��� ��� � � ��� � � ��� ���� � � ��

&�������� �� "� �� � �� � �� � �� � � �� � 0 � � ���� � ���A� ���� ���

MATEMATIKA 2 85

5�A� �� ������ � �� ��

� � ��� ��� �

��� ���� � � � ���

�������

����

� �� �

��� ��

0 � � ��� �� �� � �� ��4������ ������� � �� � � ���A� �� ��� �� � �� ���� �� � �� � ����� ��� ��� ��� % ���� �

��� �� ��� � � � � �� � � ��� � ��� ����� �" ���� �� � � ���� �� ������� � �������� ������ ������� ���� � ��� �� �� � ��� � �� � � � ���� � �� � �� ��4������ ������� ������� � ��"�������$

� �� � � � �������#��

#�

���� ���

�� � � ��

�#� ���� �

� ������ �� � ��� �� ��4������ ������� �������%����������� ������� � ��4����� ���%����������� �����"

� ���� � �� ��4������ ������� � ��4����� ��� ���������� � � ��"� � � �� �� ��� � ��������� � ��

MATEMATIKA 2 86

����� ������ � ������ ��- ���������

�,������ ����� $� �1���1 � � & � �� & � �����A��� �� ��� ������ ���� � # ��� � $ 1 ������� � �� ��� ������� �������� ����� �� � � ����� ���� �2����2�� �� ��

� �� � � � ���� � �� �2��1 ����1 � � ����� �� � ����

# � �� � � � ���� � �� �2��1 ����1 � � ����� �������$

&������ ��

� �� � � � ���� � �� �2��� � � �

# � �� � � ���� � �� �2��� � � �$

��� ��A��� �� � ��� ������� ���� � # ��� � $1 ����� �� � ��

��� � �� ���� ������ � �� ���� ��� ����� ���������

MATEMATIKA 2 87

������ ���� ���

���� � � � � � � ���� � �

�� � �

���� ���� �������� � ��������� � ��� �� ��� ���

�������� �� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �������������� ������ � �� ��� � ��� ��� �� �� �� ������� ����� ���� � �� �� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � ���! � ������ � �� �� ������� �� ������ ����� ��� ���� ��� ��

��� ����� *� ��� ��� �� ������� �����"�� ���� ��� � � � � �� � � �

�� �� � ��� ���� � ��� �� � � ������� ����� � ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��

� ��� �� � �� � ��� �� � ��

#�� �� � ����� �� ��� �� ������ ����� ��� ����!������� ������ �� ���������� � ����$�� ������ ��� �� �� �������� �� �������%�� �� ������ ������ ���� ���� ��� � ��� ���������� �� � ����� �� ������ ������ ������ �� ��� � �������� ��� � ��� ��� ��&

MATEMATIKA 2 88

22

Page 24: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� ����� *�������� ��� �� ������� �����'��� �� �� � ��� �� � � ��� ������ ��� �� ���� ���� � � � �� � � �

�� � ���� �� ���� �� ����������� ��� ���� ��� � ��������� �� ����� ������������ �� � �� '��� ��

��� �� � � �� �� � � �� ��� ���� �����

���� � �� �� � �� ��� �� �� ��� ��

���� �#��� ������(

� "�� �� ����� � � � ����� � �� ���� �� � � ��� �� ���� ������� ���� � ���� �

� "�� �� ����� � � � ����� � �� ���� �� � � ��� �� ���� ������� ����� � ���� �

� "�� �� ����� � �� ���� � � ��� �� �� ��� ������

�� ���� "�� �� ����� � � �� �A�� ������� �����!�� � ������� ) ��� ���� ��� �A�� ���������� ��� � �������� ��� ��� #� �� ������� �������������������

MATEMATIKA 2 89

������ *������ ������ ���� ���

��� � � � � � � � � ��

+�����(

� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � �

� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � �

$������

� � � �� �� � � ���� � �

� �� � �

�� ��

� � � �� � � �� � � �� �� ������ ��� $�� ��������� �� ��

�� � ��� ��� �� � ��� ��� �� � ��������

,���� � �� ��

� �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ���

��� � �

������ ���� ��

���� � ����� � ��

���(

MATEMATIKA 2 90

����� �� �

������ � ��

���������

� ���

� ���� ��� � � �� ��� �����-

����� �� �

���������

�����������

� �� � ��� �� � �

� ���� ��� � � �� �� ������� ���� ��� � ���

��������� �

���������

�������������� ��

� ������� � �

� ���� ��� � � �� �� ������� ���� ��� � ���

$��� �� ��� �� ���� ��� �� ���������

��� ������ *� ��� ��� �� ������� �����"�� ���� ��� � � � �� � � �

�� �� � ��� ��� � �� � �� � � ������� ����� � ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��

� �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � ��

MATEMATIKA 2 91

��� ������ *�������� ��� �� ������� �����'��� �� � � �� � �� � � ��� ������ ��� ������ ��� � � � �� � � ��� � ���� �� ���� �� ������� ����� ��� ���� ��� � ��������� �� ����� ����������� �� � �� '��� ��

�� �

������� ��� �

��� �

� ���

� ��� � ��� �

� ���

� � ��� �� ��� �

�� ���

�������� �

���� � ��� � ���

� ��� � ���

���� � �� � � ���

� "�� �� �� � �� �� � � � �� � �� ���� �� � � ��� �� ��� ������� ���� � ��� �

� "�� �� �� � �� �� � � � �� � �� ���� �� � � ��� �� ��� ������� ����� � ��� �

� ) ��� ������ ���� ������ ���� �� �� � �� � ���� �� � ��� ������� �����-

� "�� �� �� � � ��� �������

MATEMATIKA 2 92

23

Page 25: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��������� ��(

� !��� � �� �� ������ ��� �� ������� ����� �������� ��� ��� ��� �� ����� � � ������� � � � ����� ���� � ��� �� � �

� !��� � � �� �� ������� ��� �� ������ ���������� � ���� ������ �����

� #�� �� � � �� �� ���� ������ ���� � ��� ����� ����� ����� ������� ����� � ��� �� ���A� �������� ��� �� �� � � ��� ����� ��� �� �� ����� ��� �� ����� � � � ��� ��� ����� ��A�� ���������� ��� �� � �� ������ ��� �� ������ ����� ���

� $��� ��� ���� ������ �� � ��� ��� ����� � �������� �� ��������� ����� � � ����� ���� �� ���.����� ������ �� � ��"��� ���� �"� � �� �� ��� # "�� ������� �� ��"��� �� ���� � ���� ����

� /� ���� � � �� ��A�� �� � � ���� ���� ���

������� ������� ����� � ��� �� ���� ���A� ������ ����� �� � ������ �� �� ���!�� ������������������ � ����

MATEMATIKA 2 93

�������� ��( "�� �� � ��� �� � � ��������� ��������� ��������� ��������� ��� �� � ���� ��� ���� ������� ����� ���������� ������� � ��������� ����������

��� ���$� "�� �� � � � �� � ��������� ���������� �� 0���� ����� � � ��� ���� �������� ��� �� �� � ��� �� � �� � ��� �� � ����� ��� �������� ����� � ��� �� � �������� ����� ��� �� � ����

#�A���� �������� ������(

�� '� 0�� �� ��� ������ ��� �� �������� ����������� ��� � � ���������� �� � � ����-

�� '� 0�� �� ��� �� ������ �� � �� ��� �� � ����������� �� � � ����-

� #�� �� ����� ������ ������ � ��������� �� � �� ��� �� �� ��� �� ��������� ������� � ��� �� ����������� ������� ��������� �� � �� ��� �� ���������������

MATEMATIKA 2 94

������ ) ����� ��� ���������� ������ ������ �������� ����� �� �������� ����!�� � ����� ����������� � ������ � ��������

/����� �� ��� ������ �!�����- ���A����- ����������

� � � � � �

� ���� ��� � ����� ���� ���

� �� � �� � ��

1� �������� ������ �� � ��� � � �

� �� �����

�A�� ���!��� ��A�� � ����� ���� ���

� �� � � �� � � �

+�����

� �� � ����� � ��

� � ���

� �� � ����� � ��

� � ���

� �� ��� � ��� ������ ��� ��� ���� ����� ������� �� � ��� �������� �� ���!��� ������

MATEMATIKA 2 95

�� � � � ��

�� � � � ��

2�� ���� � � �� � �� ���� � ������� ���� ������������� ���� � � ���

$������ �� �� �� � �� ��� ������ ��� ��� .������������� ���� ������� ���������� ���� ����� ��������.������

� ��� � � � �

� ��

�� �� ������ �������� �� � �� � �� � ��� ��� � ��

��� ���� ���� �A�� ����������� �� ��� ��(

� *������ ����� ���� ��� � �� � �� � � �� ������� �� ��� � �� � � � � � � � � ��

MATEMATIKA 2 96

24

Page 26: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�,������ ���%� 3���� ���� ��� � � ��� � �� �������� � � � ������ �� ������ �������� ����� �

�� ���&

� +����� ����� �A�� ����������� �� ��� ��( ������� ��� � � ��� � ���� �� ����� �� ������� ����� � ��� � � �� ������ �� � �� �������������� � ������ ����� �� ��A��� ������ ������

� ) ��=�� ��� �� �� ��� ������ ��� �� �������� ���� ����� ������ '��� ����� ������� �������� �( ��� � ����� ���� ��� � � ��� � �� �� ���������� � �� � �� ���� � �� � � ���A������ ��������� ����������� ������ ��������

'���A���� ������� ������ ������!� �� �������'�(���(��� ��� ��(

� ���� �� ������� '�(���(��� � ������� �� � �� � ��� � � ���� ��

� '� 0�� �� ��� ������ ��� �� ���� ��� � � ���� �� ����� �� ��� �� ���-

� 1��� ����� �� ���������� ���� ��( ������ � ���������� �� ��� �� ������ ����� �� ��� �� �������� �� ��A��� ������ �����

MATEMATIKA 2 97

������ *������ ����� ���� ��� ��� � � � �� ����� � � � � ��

������� 4��������� ���� ��� ��

� �� � �� � � � ��� � � � �� �

�� ��� ������

� �� � �� � � � � � ��

� �� � �� � � � � ��

� ��� � �� � � � � � � � ��

� ��� �� ��!����� � ��� � �� � �

��

� � �� � � � � ��

��

1��( ������� � �� � ��������� � � � � ������

5��������� �������� ���(

#�� �� ����������� � ����� � �� �� ��� �� �� ��������� ������� ��������

����� � � � � ��� � � � �

���������� ��� ������ ������ � ������� �� ������������ ����� ���������� ��������� ��

MATEMATIKA 2 98

+���� �� �����( ������� ����� ���� ���

� �� � �� � �

�������� �� ����� �� ��

��� � �� � � � � � � � � ��

������ ������� 4��������� ���� ���(

� �� � �� �� � � � � � � � � � � ��

� ������ ������� ��� ������ ��� ��� 6���!�� ������

� �� � �� �� � � � � � �� � ��

� �� � �� �� � � � � � �� � ��

� ��� � �� �� � � � � � � ��

� ��� � �� �� � � � � � � � � ��

6��!���� ��� � � � � � � �� � � ��

�� � �� � �� � � ��� � �

��

/������ ���� �� �� ��A��� ������ ����� ��� � �� �� �� �����A� �� � � � � � � ��

MATEMATIKA 2 99

�� �������� �������

MATEMATIKA 2 100

25

Page 27: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

"!" �������� ���� � � ��,��

�������� ��� �� � �� � ����� ���� ��� ���� �� �������� ��� �� � �� � �� ������ ��� �� ��� �� � � ����� ���� �� � � ��������� �� � ����� �� ������ ��������� � ���

� � �� � �� � � � ������ ��� �

���� ����� �������� ��� ���� � � � � ��=���� �

���

��� � � �����

����

�� � ��� � ��������� ���

� �� �� ��� �� �������� �������

�� � ���

���� ��� ������� ������� ������� � �� � ���� ������� � � ��� �� � � ��� �� � �� �������

���� ���� � � ��������� �

��� � ���� ����� �������

�� �� �!

MATEMATIKA 2 101

�� � �� � � � � ����� ��� ���� ��=������ ��������� ���� ���� �

� � ��� ��� � � � ����� ����� � � � � � �� � � � �

� �� � �� ��� �� �� ��� �� � �� "��� � ��� ���� ������ ����� �� ������A#� � � ��� ��� ������� �� �$����� �����$ ��� ���� � ���� ���� � � ����� ��� ���� ��� ��� %&�� � '!() ��!

� ����� �� �� � �� � ��� �� � �� � � � � ��� ��

��

*��������� ����� � ������ ��

b

d y

x

z

a c

z=f(x,y)

��� ���

�������� +�� ������ ��������� ������� ���� ����������+�� ����� �� +�� ��� ������� ����� ���������+��� ����� �����! &����� ��� �� ���������#��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� � ��� � ���������� ������ ��� ����� � ��������� � ���

� � &����� � � � ������� ��#������ �� � � � �� � � � � � �� � �� � �������MATEMATIKA 2 102

���� ������ ��� ����� � ������� �� � � � �

�����#� �������� ��� �� � � � � ��� ����� �����#����� ���� � � �� ���� ���� �

��� ����� �� � �� � ���� � � � ��� ���� � � � ��

��

� � �� � � � ��� � � �� � � � � �� ����� � ������� ������ ��� ���� ���� � ��� ��#��� ��� � �� � � �

� �

� ����� ����� ��� �� #��� ���� ���� ��� ������� �� � � �

� � ����� ��� � �� � � �

� ������

,�� ����� A� ����� � ��� ������� ������� ����� ����� ��� ����� ���� ���� ��� ����� � ��� ���� ��� ���!

b

d y

x

z

xi-1xi

cyj-1

yj

(x*,y*)i j

Kij

a

z=f(x,y)

����� ���

-��� �� �� ���A��� ����� � ������ � A���� ������� �#��� ���� �� �#������ ��� ��!

� �����

����

�� � � � � ������

MATEMATIKA 2 103

.� � �� +�� ��� ������� ������ � #��� #��� ��� �� �����#� ���� ���� � � =���� ��! ��� �� �� � ��+�� %&�� � '!/)

b

d y

x

z

ac

=f(x,y)z

b

d y

x

z

=f(x,y)z

����� ��

�� ���� A� ����� �� ��

� � ���������

����

����

�� � � � � ������

0��� �� ��� ���� A� �������� � ������ ���� ���� ��������!

MATEMATIKA 2 104

26

Page 28: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��,�� "!" �������� ���� � ��� ���� � � �� �

��� ���� ���� � � �� �� #��

� � ���������

����

����

�� � � � � �����

%�� ��� � � �����) � �� � �����!

�#�������� ��� � ��

� �

���

��� �����

� ���� �

!" &������

����

�� � � � � ����� ������ �� �������

� �� � ��������

� ��� ���� ��������� �������� ��� ���� ��� �!

" 0��� �� .�=������ '!(! ����� ����� � �� �� ��� ���� ����� ����! �� ����� � �� �� ���� ���� ��� ����!

MATEMATIKA 2 105

� ���� � 0� �� � ����� �� ��������

�� ���

���� �� � ���� ��� �� �

���

��� ���� �

���

���� ����

�� ���

��� ���� �

���

��� ����� � ��

� 1 �� ��� �� � ���� �� �� ��� � ��� �� � � ���� �����

��� ���� ���

���� �����

MATEMATIKA 2 106

"" � ��� �� ��������� ���� � �������� �� %�������� �) ��������� ������ ��� ��������� ������#�� ���� ������ ��� �������������� ��=������ ��� ������ ��2���0��#����� ������ ��! ������ ����� ����� ���������! *�������� � ���������� � �� ������ � ��������!

��� ���������� ��� ����� �������� �� ��� ���

������+�� �� �� ������#�� � �������! �������� +��#��� ��� ���� � ������#�� � � �� ��� ����������������+�� � � ������� �����������! �������������� �A� �� �� �������� ������ � ���������

� ��� ���� ���� �� �������� ����� �������� �����������! � ����� �� �� ������� ���! ������ ��������

������ "" %���� �� � �� � � � � ����� ������� ���� ��� ���� �� � � ��� ��� � � � �� ���� ����� ! ,��� ���������

��� ���� �

� �

��

��� ���

�� �

�� �

��� ���

���

�#�������� ����� ��

MATEMATIKA 2 107

� �

��

��� ���

�� �

� �

��� ����

�� �

��� ���

�� �

� �

��� ���

� ���� �A� �� � ������ ����������� � ����������� ��� ���� ���

������" *��������� � �

� ������ � �

��� �� ��� ���� �

���

����� �

� �

� �

���� �

� �

��

���

��������

�� �

� �

���

�� ��

�� �

���

���������

��

���

� ��

��

.� � ���� �� �������� �#��� � � #���� ����������� ������������!

MATEMATIKA 2 108

27

Page 29: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ���� " 3� �������� �� �������� ������� �A� �� �� �������� �� ���������� ������#��� � ��� A� ������������ ����������� � ��A� ������������� �� ����������� �

��������� �

�� �

����

����

�����

��

� ������� ������� �����

����� �

�� �

��

���� �

���

��

����

���������

����

��

��������

��

� ���

MATEMATIKA 2 109

� ���� " . �� 4�#������� ����� �� ��A�� ��� �� � �������� �������� ��� ���� A� ����������������� ������� �����! ���� � �������� ����������� ���� ������ � ��������

��� ��� ���� �� #��

�� �� ����� ������ � ��������+��� ������ �����! . ��������� ��� ������ A� �+�� ��� ������+�� ��� �������! � ��� �������� ���� ���� ��%&�� � '!5!%�)) �� �����

�� ���

�� � � ���

���

3#������� ���� ��� ������ �#��� ��� �������� ������ � �

� �

���

�� ����

��

�� � � ���

�� �

b

d y

x

z=f(x,y)z

b

d y

x

z=f(x,y)z

Vi Vj

(a) (b)

����� ���

MATEMATIKA 2 110

� � �������� �������� �� ��� ���

� � ������

���

��

�� � � ���

� ��

� �� � �

�� �� �

� ��� �

� �

��

��� ���

���

b

d y

x

z=f(x,y)z

b

d y

x

z=f(x,y)z

Vi Vj

(a) (b)

����� ���� ���� �������� ���� ���� �� %&�� � '!5!%#)) �������

�� ��� �

��� � � ��

���

3#������� ���� ��� ������ �#��� ��� �������� ������ � �

� �

���

�� ����

�� �

��� � � ��

�� �

MATEMATIKA 2 111

� � �������� �������� �� ��� ���

� � ������

���

�� �

��� � � ��

� ��

��� ��

�� ��

� ��� �

�� �

��� ���

���

��� ���������� ������ � �� ��� ������� �#���� �� �� ��������

��� ���� �

� �

��

��� ���

��

�� �

��� ���

���

MATEMATIKA 2 112

28

Page 30: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

3� ����� ���� ��� ���� � � � � ��� ���� ��� �� � ���� %&�� � '!6!) �������� �������� ��=����� �+�� �������� ���������� ����� ���

���� �� �

���� �� ��� �� � �� ��� �� � � �

�� �� � ���� ���� � � �!

00-10

z z=f(x,y)

x yDK

a

b

c

d

����� ����

&���� �� �������������� ��������� �������� ��� ������� ������� ����� ���� ����� ��� ���� ���� � ����� ���� ����� ��� ���� � ��� � %���������� � ���� ����� ���� ��� ����) �� ����� � �� ������� �������� ��� ���� ��� � ��=������ ��� ��������� ��� ���� � ��� � %�� �� ���� �� ��� �������� � ����� �� ���� ��#��� ���� ���� �)!

MATEMATIKA 2 113

��,�� " " �� � �� � � � � ����� ������� ���� ��� ���� �� � �� � ���� � ��! �� � ��� �� #�� �� ���� ���� �� ����A� � � ��� ����� � � � � ��������� ��������� ��� ���� ! 1 ����� ���� � �������#���� ��� �������� ���� � ����� � ��=���� ����

���

��� ���� �

���

���� ����� ��

� ���� " 7�������

!"��

���� �� � ���� ����� �

���

��� ����

���

���� ����

"��

� ��� ���� � �

���

��� ����� � � �

" 1 �� � � �� � �� � �� �� � � %������� ��

��� ���� � �) ��� �����

��� ���� �

����

��� �����

����

��� �����

MATEMATIKA 2 114

���#� �� �� ��=������ �������� � ��

� ���� ������� ����� ����� ����� ��� ���� �� �#��� �� ����� %() ��� �����

������ "!" �� � �� � � � � ��� ���� ��� ������ � �

� � ���� ������� ����� ����� ��� ������� �� � ��� ��� � �� � �� %&�� � '!8!%�))! ,��� ��

���

��� ���� �

� �

�� �����

�����

��� ���

��� ��

���� ������ �� �� � �� � ���� �������

����� ����� ��� ���� ��� �� � � � � � � �� � ��%&�� � '!8!%#)) �������

���

��� ���� �

�� �����

�����

��� ���

��� �

a b

c

dy

x

y

x

DD

y=ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

x=ψ1(y) x=ψ2(y)

(a) (b)

����� ����

MATEMATIKA 2 115

����� %') � %/) �#������� �� ���������

��� ���� �

� �

� �����

�����

��� ����

���

��� ���� �

� �����

�����

��� ����

� ���� � � ���� �������� ����������� ������ ����������� �� � � ����� � ���������� ���

������ !" ��������� ����� ����������� � ���������

� �

� �

� ���

��

� ����������� ������ ���������!�������� �����������

� �

�� � � � �� � � � � �

A� �������� � �� ��� ������ � � �� ��� %&�� �'!9!)

MATEMATIKA 2 116

29

Page 31: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

y=2-x

y=x

x

y

1

1

2

D2

D1

����� ����

���� ��

�� � � ��

� � � � �� � � � �

� �� � � ��

� � � � � � � � � �

*�

� �

���

����

����

� �

� �

�� �

� �

� ���

�� �

� �

��

���

��������

�� �

� �

��

���

����������

�� �

� �

���

��

���

� �

��� ���

��

�� � � � � �

MATEMATIKA 2 117

������ " *����������� ��������

���

�� � ��

����

��� ���� �� � � �� � ���� �������� � � �� �

� � ��!���������� �������� � #� ���� � �����������:

MATEMATIKA 2 118

")#) ������� ������� ����� ��� ������

���� �� ��� � �� ������ � ������� � ��� ��

�������� ������������ � � � �

��� ��� ��

��� �� � ���� �� � �� � ���� ��� + � ���� ����

���� �� �� � � � � � ������� � �� ����� ������������ �������� ���������� 9����� ����:�

u

v

x

y

(u,v)=(x=g(u,v),y=h(u,v))Φ(u,v)

ΦY

X

����� ���

������� ��

��� � � � �� ������ +� � �� � ��� +�� � � ��� +��

���� ����������� � ���� ����������� � � �� � ������ ����� �� ��9��������: �� ����������� � �� � ��������� � ��

MATEMATIKA 2 119

���� �� �� ������� � �������

� � ���� �� � �� � � � � � �� � � � � ��

��������� �� ����� ������ � � ��� ��� � ����������� �� � � � � �

��

� � ���� �� � �� � ��� + � ���� �� � ��

� � ������� � � �+#���� �� ��� ����� ����� � �� �

+�� � � �

+�� � � ������ � ��� �� � � # ���

x = 1 - y 214_1

4_

x = y2-1

0 1

1

-1 0 1

2

_

u

v

x

y

A

B

C

D

A'

B'C'

D'

YX

����� ���

������ �� �����

� � ���� �� � � � � � �� � � ������ � � ��� + � �� �� �� � ����� ������ � �

MATEMATIKA 2 120

30

Page 32: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��������� � �����

�� � ���� +� � � � � � �� + � ����� �����

� � ���� �� � � � �� � � � � ������ � � �� ��� + � � 9� � � � �: � ��������� ��� � ����

�� � ���� +� � � � �� �+�� � � + � ��

���� ����� �� �� �� ����� ����� �� � � ���� � ��# �� � � ���� � +# ��� !�� � ��� ������ ������ � � �� ����� � � � 9����� ��"�:�

������� #�� ���������� ����������

���� +� � +

������� � �� � ������ ��� +� � � ������ ��� �� ��� ������� ��� +� � ���� �� �

MATEMATIKA 2 121

���� �� ����� ������� ���� �� ��� ��

� � ���� ��� + � ���� ���

������� ��

��� ��� �� � ���� ����� ���� ��

���

��� � � � ���� � ���� ���� �� � �� ��� ��� ���� ���9� �+#����:� $���� ������ � � ��� ������ � ��� �� �� � ��� �� �� �� ������� ��������� � � ������� ��

u

v

x

y

u0 u0+Δu

v0

u0+Δv

Δu

ΔvS R

x0

y0

a

b

Δvrv'

(u0,v0)Δuru'

����� ����

������� ��

��� � ��� ��� �� ������� ���� ������� � ��� ���� �� ������ ���� ����

MATEMATIKA 2 122

% �&�� � ��� � ������� � � ��� ��� ��������� ��� �&� � ������� �����

������ ���� ��� � ���� ��� �������� �� ��� �

��� �

'���(�� ��

���� ����� ��� � ������

��� ��� �� ������� ���� ����

���� ����� ��� � ������

��� ���� �� ������ ���� ����

������

��� � ��� ��� �� ������� ���� ��� ���� ������ ������� � ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ������ ����

���� ��

���� ����� ��� � ������� ������ ������� ���

��� �

������� ���

��

���

�+���� ���

��

��� �

MATEMATIKA 2 123

���� ����� ��� � ������� ������ ������� ���

��� �

������� ���

��

���

�+���� ���

��

��� �

���� � �&�� � ��� � ������� � � ��� ��� �����#���� ��

� ��� ������ ���� ��� ������ ������ ����� ����� ������ ����� �

�� ���� ������ ������� ������ ���� �#�� ��

��� ������ ������� ������ ��� �

����������

���

���

�����������

�+��������� �

�����������

�+��������� �

������� ������

�����������

�+���������

�����������

�+���������

�������� �

��������������

�����������

���+�������

���+�������

��

�������� �

�� ��

���� ������ ������� ������ ���� �����������

�����������

�����������

�+���������

�+���������

����������

MATEMATIKA 2 124

31

Page 33: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���������

� �

����������

��

��

��

�+

��

�+

��

������������ �� )�� ����� ���������� ��� )�� ���� ����#� ������� � � ������ ��

� ����� +�

���� ���

����������

��

��

��

�+

��

�+

��

���������

��

��

�+

��� ��

��

�+

��

# ��� � �&�� � ������� � � ��� ��� �����������

� ��� �� ����

���� )�� ���� � ����� ����� � � ���� ���� ����

MATEMATIKA 2 125

���� �� ���� ���� � ������� � � �� � ��#����� ����� ������� ���� ��� � � ���� ��� + � ���� ���� �� � ������� � � ��#���� ��������� � � �������� � �� � �+#���� �� ��� �� � � � � � ��������% ������� � ������� � � ��� ������ ��� � ��* ������ � �+#���� ������ � ��� 9����� ��++�:�

u

v

x

yY X

vj

Sij

uj

yj

xj

Rij

����� �����

������ ������� ������� � �� � � ��� ��� ��������� ����

���� +� � ��� �

��� �

����� +��� �����

��� �

��� �

� ������ ���� ����� ����

�������� +����� ��

������

���� �� )�� ���� ���� � � ���� ���� ���� % ������� ������ �������� ���� �� �������MATEMATIKA 2 126

���

� ����� ��� ���� ���

�������� +����� ��

���� � �&� �� ���(���� � ������������ � � ����� ����������

����� ���� ���� �� � � � � � �������� �������� � ������� � � �

� � � � ��� �� � � � � � ��

��� �� �������� �� ����� ������� ����� )�� ���� ��&������� $��� ����

���� +� � + �

���

� ����� ��� ���� ���

�������� +����� ��

���� � ������ �� ,��������� �������

� �

���

+ � +

���� �� � �������� ��� ��� ����� ���� +� � �����+� � � �� � �# �� 9���� �# �� ����� ��"�:�-���� (��� �� ���� ��� �� ����� �������������

� � �� � ���+ � ���

% ������ �� � %������� +� �� �� � ������� ����������� � ��� � ����� � �������

MATEMATIKA 2 127

� � ���� �� � � � � � �� � � � � �� �

���� �� � � � � � ����� ������� ��� ���� ��������#��� � ���

���� �� � �� � �� � ��� + � ����

'���(�� ��

� ����� +�

���� ���

����������

��

��

��

�+

��

�+

��

���������

���� � ��� �

���� � ��� ��� � ��� $� ���� ��.� ����

� �

���

+ � + �

���

��

�������� +����� ��

���� � � �� �

� �

�� � � ��� ��� � � � � � �

�� �

���� ���

� �

� � �

� �

���

�� ��

��

������ �

� �

� � �

� �

�� ���

� � �

��� �

����� �� �

� �

MATEMATIKA 2 128

32

Page 34: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

/ ������ �� ����� ����� � ����� �� �� ��� ����#��������� � ������ 9��������: �� + ������� � #����� � �������� � � �� � � �� ����������� ��

� � ���� �� � � ����+ � ���� �� � � ����

�� )�� ���� � ����

���� +�

���� ���

���������

��

��

��

��

�+

��

�+

��

����������

���� ���� �� �������� � ����

���� � ��

%���� � �����

���� +� � + �

���

��� ����� � ����� � � � ��

�� ������������ � ��� ������������� � ����0 ����� � ������� ���������� � ����������

���� +� � + �

���

���� +� �

�� � ����� ��+��

MATEMATIKA 2 129

ρ2(ϕ)

ρ1(ϕ)dϕ

dρρ

ρ+dρρdϕ

dP

x

y

X

ϕ

����� �����

��� � �� �� ������ � ����

� � ���� �� � ��� � � ��� ����� � � � �������

�������� ������ � �&�� � �� �� ���� ��������� �� ��

� �

��

�� ���� �

����

��� �

�� � � �

� ��� ��

���� ���� � ��� ��������� � ����� �� � � � � ��

���� ��

MATEMATIKA 2 130

���

���� +� � + �

���

���� +� � �

���

��� ����� � ������ � ��

� � ���� � �& �� ��� �������������

��� ���� � & �� �� � � ����� � �������� �#������� � � ����� �� �����

��� ����� � ������ � � �

� ��

��

� �����

�����

��� ����� � ������ ��

���� �� ,��������� �������

� �

���

��� �� � +� � +�

���� �� � � ������ � ,� ������� ��� ��� ������ ���� �

�� +� � �

����� � #���������* � ������ � ������ ���#�������� � �������

MATEMATIKA 2 131

� ����� +� � � � � � �� � � + �

��� ��

�� ����� ������������� � ��������

� ����� �� � � � � � �

� � � � � � ����� �

1

ρ= cosϕ

x

yy= x-x2

X

0 0ϕ

ρ

ρ=cosϕ

π2

Y

1

����� ����

� � ��������� ���������� �� � +� � ������

�� ��� ����������

��� �� � +� � + �

� �

� ���

��� ���� � �

� �

���

��� � ����� ��

������ ���� �

� � �

� �

��

������� ����� ������� ���

�� � �

����

MATEMATIKA 2 132

33

Page 35: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

#������ �� ����� � � ���� �� ���� � 0

� ������ ��� ������� ���������� � ���� � ���� �� � � � � ���� � � ��� � ��

�� � � � �����+ � � � �����

�� )�� ���� � ���� � � �� � �� ��� �� ������ ������� ���������� � �����

� � ���� �� � �� � � � ��� ����� � � � ������

���������

���� +� � + �

���

��� � ����� � ������ � � �

� ��

��

� �����

�����

��� � ����� � ������ ��

#������ � �� � #�������� � � ����� � ����������� ������ �� � ��� �+ � �� � ��� ��� �������� ���� ������ � � �� $ ���� � � ��� +� � ��� ����� � ������ ��� � ������ ��� �� ���� ��

� ����� ��� �+ � ��� �� �

+ �

�� ��

MATEMATIKA 2 133

� ��� ��� ������ ���� � �� �� � +� ��� ����� ����

������ ���������� � �� � � + � �

� ��������� ������ ���������� �� �0�� � �� ����+ � �� ����

�� )�� ���� � ����

���� +�

���� ���

���������

��

��

��

��

�+

��

�+

��

����������

���� � ���� ��� ����� ���� �� ����

���� � ����

%���� � �����

���� +� � + �

���

���� ����� �� ����� � ��� � ��

��� ���� �� �� � � � ����� � ������

��������

�� +�

��� � ������ ������� � � � ��

�� �� �� � �(��� � ���� � ������ �� �

����� � ���� ��� �����������

MATEMATIKA 2 134

� ������ ��� ���� ���� ���������� � ���� � ���� �� � � � � ���� � � ��� � ��

�� � � �� �����+ � � �� �����

���� �� )�� ���� � � ���� � �� ��� �� ����� ���#�������� � � ������� � �����

� � ���� �� � �� � � � ��� ����� � � � ������

���������

���� +� � + �

���

��� �� ����� �� �������� � ��

��� ���� �� ������ � �� � #�������� � � ���#�� � ������ ��� ��������

��� ���

�� �+ � ��

��� ��

��� ��� ��� ���� ������ � � ��

MATEMATIKA 2 135

���� !� ,��������� � �

���

� +� ���� ��

� ����� +� � ���� �� ��+ ��� � ��� + � �� �

1

-3

5AB

O

x

y

polarna osϕA

ϕ

1

ρ=1

= 2sinϕρ

ϕB

����� ����

,������� �� � �����&� ��� ������

��� ����

�+ ���

�� �

9����� ��+1�: � ��� ������ ��

� �

�����

��� ����� � � � �

��� � ��

� � + � �� ������ ���� ��

MATEMATIKA 2 136

34

Page 36: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� � #���������* � ������ � �������� �(���� 9�����������: � ����� � ���������

�� � �� ����+ � � � ����

������ � ����� ��� ���� ����� � � �� � � �� ���#����� ����� + � � � � ������

� ��

�����

������� �#� ������ � ���� � � � ���� � �� �

��� �� �+�� �� ������ �

��� ��

� �

��� �� ���

� ���

��

���� �� � ��������� �� �� ���� � ����� �

����������� � ����������� � ������� � � ����� ���#�������� � �������

� �

���� �� � �

�� � � ��

��

����� � � �

��

,���

� �

���

� + �

���

�� � � � �

� ��

� �

�� ��

� � �

MATEMATIKA 2 137

� ��

���

�������� �

� �� ��

� � � �

� ��

��� �

� �����

� � �

� ��� ��� � ���

MATEMATIKA 2 138

��!� "������ ������ ����� ��� �������

% ������ �� �� �� �� ������� � � � � �� � �

� �������� � ������� �� �������� ������ ������� ����� ���� �� �������� �� ������� ��� ��� �� � �� � � � �� * � �� ���

! ��� �

���

���� +� � +�

%��������� �� � �������� � ����� ����������� +� � � �� ������ ������� ����� � �&�� ���#�� �� ����� � ���

� ��� �

���

� +�

���� �� ,�������� ���� ������ �� ��� � �� #* � , � �� �� � +� � ��� � , � ��

�����&�� � ���� �� *� �� ������� �� +� � �� �� ��� ������� ���������� ����0

� ��� �� +� � �

'���(�� �� �� � � � � �� � ��� +� � � � �� � +� � �� � � �������� ������� ���� ������ � ���� ��������(�� �������0

MATEMATIKA 2 139

! �

���

��� �� � +�

� � + �

���

���

������

������

��� �� � +�

� +�

%������ � � � ���� � �������� � � ����+ � � ����

� ����

! �

� ��

� ���

��� ��

��� � � ������� �

�������

���

MATEMATIKA 2 140

35

Page 37: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

#����� ���$� ���%�� ���&��2��� ������� � � � � � � � ��� �� �� *� � �� �� ����

� � ���� +� ,� � ��� +� � �� , � ���� +�� � ���

/� ��� �� ������� � �������������� ���� �� *������ ������� 9������ ��������� �� *� � �������� ���� � ��� � � � � � ���� � � � � ��&������������ ����3:�/ ���� ������������ � ��������� ������ (�� ���� *� � ��� �* � ����� ��+.�

S1

S3

S4

S2

����� �����

/ ����� �� �� ���� �� *� � �������� � � � #��� ������* �� *� ����� �� ��� �� � � ������?�� ��* �������? � � �� �� ���������� ����9� �����:� �� ���� �� *� ����� �� �� �� �'������� �������

MATEMATIKA 2 141

% ������ �� �� �� ���� ��* � ����� ���� �� *� �� ���� ��� ����������* ���� ?� �&���� ���#����? �� (��� �� � �&�� ������������ �����������������

���� �� �� , � ���� +�� ��� +� � �� ���������� ���#����� ������ �� *� �� ���� ��

� ��� �

���

��

��� ��� +�

��

��

��� ��� +�

�+

�� � +

����� � �&���

%��������� �� � �������� � ����� ����������� +� � " � � � � � ����

� ��� � � ��� �

���

� +�

&� �� ����� � ����� � ��� � � ���� ��!� �� *� � ��� ������ ��� �� �� � �� �������� � ����� ��� ������� ��������� � � ��� � � ?���#�����*? ������* �� *� ��� � � � � �� �� �� ������ �&�� ��� �

� ��� � � ���� � � � � �����

MATEMATIKA 2 142

���� (� ,��������� � �&�� ������ �� ����� �� *�+ � ���� ,� � �� �� ��� ��� ���� � � � + � �

x z

y

S

D

����� �����

%� *� � 9?�����������? +# �: � ��� �� ������� �9���� �� ,� � �: � �,#���� �������� �� � �������+4�

$���� ����������

� ��� �

���

!!"� ������� ,��

��

��

������� ,��

�,

�� � ,�

� ��� �

���

��

�� ��

�� ,�

��

�� ,�

�� ,�

�� � , �

�����,���

� � , �

�����,���

� , ��� ��� �

���

MATEMATIKA 2 143

)*�* �������� ���� � � ��,��

����� ������ ����� ��� ������� �=��� �� ������� �� �������� ���� �� � � � � � �������� ����� ���� ��������� �=���� � ���� � � ��# ��� ��� ��� ��� ������������ ������ ��������

� � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � ��

� � �� � �� � � � � � �� � �

������� �� ��� ��� ��� ��� �� � ��������� ����� ���� � � ��

� � � � ���� � �� � ���

� � ����� ���������� � �������

���� � ��� � �� ��� ���� � ��

��� � � �� ����� � � ����

� � �� � � � � �� � � �� � � � ��� � � �� � � ��� ��� ��#����� ���� ����� ��� ���� ��� �������������� �� � �� �� ������

MATEMATIKA 2 144

36

Page 38: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� �

��� �

��� �

�� � � � � � ���� ��

��� �� � � � � � � �� ���� ���� ������ �� ����� �����

��,�� ���� �������� ���� � � ����� � � � �� �

� � ������ � � � �� ����

� � ����������

��� �

��� �

��� �

�� � � � � � ���� ��

������ � ��������

���������� ����� ��

� �

����

��� � ���� ���

MATEMATIKA 2 145

���� � ��� �� ��������� ���� � � ������ �� �������

���� ��� � ���� �� �� ��� ����

������������� ��� ��� � � � �=����� �����

���������� ���������

���� � �� � � ��� � �� �� � �� � �� �� � �� � � �

� ����� � � ���� ���� ����� � ��� ���A� ���������� �����

��� � ���� �� �

����

���� � ���� �������A��� ��� ������� ����!��! ������� �� ���� ������ ��� ���������

������ ���� ���� �� � � � � � � ����� ��� ���� ��� � �� ��� ��� ��� ��� �� � � ������ "�� ������#���

��� � ���� �� �

� �

�� �

�� �

��� � ����

��

���

?������� � �� ������? ����������� ������� ������������������ ���� ���

MATEMATIKA 2 146

) ���� � $�����#

�����

���� � �� � ��� � ����� �� �����

��� � ���� �� �

����

��� � ���� ���

�����

�� �� � ���� �� � �

����

��� � ���� ��� � � ��

�� %�� �� � � �� ��� � �� ��� � �9���

��������

��� � ���� �� � �: �� ��

����

��� � ���� �� ������

��� � ���� �� �

�����

��� � ���� ���

�� %�� �� ��� � �� � ��� � ��� �� � �� � �� �� ������

��� � ���� �� ����

��� � ���� ���

MATEMATIKA 2 147

������ �� � ���� �� � � � � �� � ����� ��� ���� ��

� �

��� � �� � � � �� ���� � � �����

���� � � � � ���� �

��

��� � ��� �� � ��� �� ������� � ����� 9����� &�'(:�"�� �� ���

��� � ���� �� �

� �

�� ����

����

�� ���� �

���� �

��� � ����

��

���

a

x

b y=ϕ1(x)y=ϕ2(x,y)

z=g1(x,y)

z=g2(x,y)z

y

D

a< x <bϕ1(x)< y <ϕ2(x)

g1(x,y)< z <g2(x,y)

__ _

__ _

��� �����

MATEMATIKA 2 148

37

Page 39: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� ������ ��� ��

� �

��� � �� � � � � �� ��� � � � ��� ��

���� � � � � ���� �

��

��� � ��� �� � ��� �� ������� � ����� 9����� &�'):�"�� �� ���

��� � ���� �� �

� �

�� ��� �

��� �

�� ���� �

���� �

��� � ����

��

�� � �

y=ψ1(x)

y=ψ2(x,y)

z=g1(x,y)

z=g2(x,y)z

x

c

dy

D

c< y <dψ1(y)< x < ψ2(y)

g1(x,y)< z < g2(x,y)

_ __ __ _

��� �����

MATEMATIKA 2 149

��� � �� ����� ��� �������� ���������� �� ������������ 9*: � 9+: ������������

��� � ���� �� �

� �

� ����

����

� ���� �

���� �

��� � ����� �

����

��� � ���� �� �

� �

� ��� �

��� �

� ���� �

���� �

��� � ����� ��

� ������ �������� � ��� ��������� ������� �������� � � ���� �������� � �

MATEMATIKA 2 150

!������ ������ ��������

���� ��

��� �� � � � ��� �� ��������� � �����

���� � � � � � � ���� � ��

� � ��

������� � ��������� ���!� ������� ��!������ �� �� ����� � A ������� �� A��� � � � � � ����� � � �� , �� � ���� � ����� � � � � � � ������� � � � �

�� � � �� �� ��������� ������ �

��� ��� ����A����#

�� � � ������ � � �

��� ��

� � � � � ��

� � �

�����#����

���� �� �

� �

���

� ���������

� ��� �

�� ����� �

� �

���

� ���������

����������

������

�������

�� �

MATEMATIKA 2 151

� �

���

� ���������

��� � �

�� ��� � �����

� �

� �

���

� ���������

� � � � � � � �� � � �

�� �

� �

��

����

� � � � � � �

�� � �

� ������

�������

��������

�� � �

����

���� �

�� ��� � �

���� �

������

�� ��� ��

���� �

���� �

MATEMATIKA 2 152

38

Page 40: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���� " ��� # �� $� � ���������� ���� ������ �� � � �

��� ���� 9 � !#���������� ���� : ���� �� ���������� "� �������������� ��� ���� ��

� ���� � !�� � #��� � !�� � � ���� � !�

���������� ��� ���� $ � � 9 �#���������� ���� :� -������� ������������� �� ���������

%�� � ��

%��� � !��

������%%�

%%

%%!

% %�

% %

% %!

%�%�

%�%

%�%!

������ ������� ��%� ���� �� � $ � � ������� � ������ ��� ��� $ � � �

� ��� #� �� � � $ � �

��� �� ��������� "� ������������� ����� -������� ����������� "�� �����

$

��� � ���� �� �

����

� ����� � !�� #��� � !�� ���� � !��

���� %�� � ��%��� � !�

���� ��� �!�

MATEMATIKA 2 153

� �� ���� ������ ��� �������� �� ������ ������ �������� �� ������ �� ����������� �������� ������������������ ��� �������� , �� � �� ���� �������#����! � ���������! ����������

� � ��&� �� �� � & ����� � #�&� �� �� � & ����� � ��&� �� �� � �

�� �� ������ -�������

%�� � ��

%�&� �� ���

�������%�& ����

%&%�& ����

%�%�& ����

%�%�& � ���

%&%�& � ���

%�%�& � ���

%�%�%&

%�%�

%�%�

������� ����������� �& ���� ����� & ���� �� � �

������ � &�

"��� ������� ���� � ���$

��� � ���� �� �

����

��& ����� & ����� ��&�&����

MATEMATIKA 2 154

!������ $������ �� ������ ������� � ������ ������$

���� ���

��� �� $ � � ��� �� ��������� ������������

���� � � � � � � ���� � ��

� � ������ ���� ����� �������� ������� ���

$

���� �� �

� �

���

� ���������

� ��� �

�� �����

�� ���������� ����������� ����� �� �� �� �� � ���� ��������� �������� ������������ ��� ���� $������� ������������� ��� ����� �

� ����� &� �� � � � � � ��� � � & � �� &� � � � &

��

"��� ����������$

���� �� �

����

��&�&���� �

� ��

��

� �

&�&

� &

&����� �

� ��

��

� �

�������� &

� &�

�&�& �

� ��

��

� �

�&� � &�

�&�& � ��� �

MATEMATIKA 2 155

� �� ���� ������ ��������� � ����� ����������������� ����� � ������

� � ���� '� �� � � ��� ' ���� � #��� '� �� � � ��� ' ����� � ���� '� �� � � ��� '

� ������ -������� ��

%�� � ��

%��� '� ���

��������%�� � � ' ����

%�%�� � � ' ����

%'%�� � � ' ����

%�%�� � � ' � ���

%�%�� � � ' � ���

%'%�� � � ' � ���

%�%�� �� '�

%�%�� �� '�

%'%�� �� '�

%�

���������

��������� ' ���� � ��� ' ���� �� ��� ' ������� ' ���� � ��� ' ���� � ��� ' ������� ' �� ��� ' �

������� �� ��� '�

"��� ��� ����� ���� � ���$

��� � ���� �� �����

��� ��� ' ����� � ��� ' ����� � ��� '� � �� ��� '���'���

MATEMATIKA 2 156

39

Page 41: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!������ ������ ������$

��� � � � � � ���� ���

��� �� $ � ��� � �� � � � � � �� � �� � ��

���������� � ����� ��� � � � � � �� ������

��������� � ���� ��� ����� � ��� '�� � ��� ��#

� ���� ���������� $ �� ������� ������� ��� � ��� ��� ������� ��� ���� ���������� �

� ����� '� �� � � � � � ��� � � ' � �

� � � � � � �� ��� �� ���

$

��� � � � � � ���� �� �

����

� ��� '�� � �� � �� ��� '���'�� �

� ��

��

� �

��� ' � ��� '�'� �

��� � ���� �

MATEMATIKA 2 157

�� ��

��

��� �

��� ' � ��� '�'��� �

��� � ����

��

������ � ��

���

MATEMATIKA 2 158

�� � )������ ����� ���������� ���� � %�� � ����� � � � � � � � ���������� � ��� � ������ � ������ ������� ����� ��� ���

���� �

����

��� � ���� ���

������� � �� ������ � ���� ��� � �� � � 9!�#�������: ������ ������� ����� ��� �� ������ �

( ��� �

����

�� ���

%�� �� ��� ������ � ������� � ��� �� & �����

���� � & � ( ����

!����� �� ������ ��� ��� ������ ��� ���� ��#��������� ������� ���� �� )� � )�� ��� �� � ��� ������������ ��� �� ������������ �������� �������� ����� � ����� �� * � �������� ��

�������# ���� � ��*�)�� �)��

��

MATEMATIKA 2 159

!����� �� ������ ��� ��� �� ������

� ���� � �� � �� � �� � �� � � � � �� � � � �� �

�������# ( �

����

�� �� ���

���

MATEMATIKA 2 160

40

Page 42: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�� �������� ���� �

MATEMATIKA 2 161

�!� �������� ������

���� ��� �� � ��� ������ ����� ������ ������������ �� �� �

�� � �� � ���$ ��$ ���$��� � �� � �� �

�� ����� �� �=����� �������� ��������

� � ����� � ��

� ���A���� �� �������

� � �� �� � ���

�� � � ���$ ��$ ���$��� $ � � ���$ ��$ ���$ ��� � �� �=������

� � � � ��� � ��$ �� � ��$ ���$�� � ��� $

�� � ����$���$ ���$���� $ � � ��

�� �� ���� �������� �� ������� �������� ������ �������� �������� �������� �������

MATEMATIKA 2 162

������ �!� �� � ��� ����� ���$�$ �� ����� ��$�� ���� �������� ��������� ����� ��� � ����������� ������ ��� ����� �������� ������ � ��������� ���� � ���� � �� ��������!

�� "�������������� ��������#�� � �� ����� �� � �� $ �$�$ � � ��

�� "���������� ��� ������#��� � ��� � � � � � � � � �$ � � ��

� "���������� �������� ������#� � � ��� ����� � ��� � � �� � �� � � � �

� "������������� ��������#� � � � � � �$ ��$� � ��

�� "�������������� ���A���� ��� �������������������#% �&�� � �%&��$ �%$ & � �$ �� � ��

�� " ������������� ���A���� ���� �������� � ��#% �� � �� � %� � %�$ �% � �$ ��$� � ��

�� " ������������� ���A���� ���� �������� � �#�% � &�� � %� � &�$ �%$ & � �$ �� � ��

� "����� ������ �� �����#� � � � �$ �� � ��

MATEMATIKA 2 163

$� ������� ��� �� �� ����� ����� � � ��$�$ �$ ���� �=����� �������� �������� ������ ��� � ���A���������� ������� ��� ���� ����� ���� ��� ��������� � � �$ �� � �� �� � ��� ����� ��$�$ ���������� ������ � �������� ����� � �����������������

���� ������ �������� ������!

� � �� � �� � � � �������� ������ ��� ������ �������� � ������� � ������ "� ��#�

� ��� ��� � ��� ��� � �������� ������ ��������� ���� ����� �� ������ � � ����� ��

%� ������� ��!

� &����� ��� ������ �� ������� ������� ��� ������������� ��� ���� �� ����� � ��

���� � ���� � ��� � ���� � � � �� ����� �� ���� �� �� � �� ��

� '�� �� ������ ��� ���� � ���� �� �� � �� � ��� � �� � ���� � �� ������ ��� ������ ������� ����������

MATEMATIKA 2 164

41

Page 43: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ���� ������� ��������� ������ ���� ������� � �� ���� ��������� ������ ��� �� ����� ������ � ��A� �� ��������� �������� ��� ������������������ ������ �� ���� ������� �

� � ���� � ���� � ��� � ����

�� ���� ������ ��� ���� ���

� (��������� ��� ������� ��������� ������ ������ ��������� ������ �� ��� �� �������� ����������

)��� ��������� ������ � � �� ������ ��� �����

����� ����� � � � � ��� �� ������� ����� � ��� ����

� � �� � �

�� � �

�� �

%���� �� ��� �������� �� ���� � �� ���� ��������� ����� ������!

�� � ��� �� ���� �� � �� � ��� �� ���� �� � ��� � �� � ��� �� ���� �� �

�� �� ����� � � ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ���� � ���� � ��� � ���� �

MATEMATIKA 2 165

���� �� � � ���� ��� ���� ��� � � � ���� ��� ���� ��� � ����� ��������� ������ �� �� ���� �=�����!

� ���� � �� ��� ����� ��� ������� �� ���!

�� � �� � ���� � ���� � ��� � ����

� *���� ��� ���� ������ �!

��� ��

�� � �� ����� � ��� � ��� � ���

� *���� ��� ������ "� ��������#!

� ����� � ��� �� ����

�� �� � ���

&������� ����� �� � ����� �� �=����� ����� ���������� �� ���� ����� ��� ���� � ����� ��� �������������� ����� ��� ����� � ����������� � ���

MATEMATIKA 2 166

�� ��������� ������� ��������� ���������$ ������ ������ � ��� ���� �� � ��� ���� ��� ��������� �A��� �� �� �� ��������� ������� �!

��� �

���� � � � ��

��������� �� ����� � ����� ���� ��� ���� ��� �� �

����� � � ��� ���� �

� ���� ���

��,���� �� ��������� ������� ��������� ���������� �� +������� � � � � � ��� ���� ������������ �� � �� �A��� ������ �� �� ����� �� ��� ��,���� �� � � � � �� � �� � � � ����������� �� ��������������!

�� ��� � �� ���� � �� ���

�� � �� ���

�� � � � � � ��

����� ��� � � ���

� � � ���

�� � � ���

�� � � � � � �� �

-� �� +�������!

� � ��� � �� ��� � � ��� � � ���� � ��� �� ��� �����

.������� � ��� � � ��� � � ��� ������ �������� ���������� �������� +������� �� ��� �

MATEMATIKA 2 167

����� � ��� ��� � � ��� � � ���� � � � � � ���

������ ���� �������� +������� �� ��� �/�+ ��������+������� �� ���� � ������ ���� ������� � � ��������

�� ��� � � ���� � � ���

�� � � ���

�� � � � � � �� �

������� ���� �� � ��� ������� ��������� �������

0�� �� ��+��� ���� � �� �������� +�������1

� �� ��� � � � ��� � � � ��

� �� ��� � ��� ��� � ��� � � � ��� �� �

� �� ��� � � � ��� � � ��� ��

�� � ����

�� � � � ��

MATEMATIKA 2 168

42

Page 44: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�������� ��� �=������ � �� ��� � ������� ���������� ��� �� � � �� �� ��� �� ������ ���� � "� �� ����� ������# � �� ���������� � � �� � �������� � � ��� � � ������� �� ��� ���� �������� ������ � ��� �

��,���� � � ���� �� �������� +������� �� ��� �=����� �������� � ���� ��A � � ������ �� � ������ �������� +������� �� ��� � ������ �� �� ����� � �� ���� ���� �

�������� ����� � � ��

� ��� �������� ��2��� � � �����

�� ��� �

$�� �=������ ��A��� �������� �� ���� � �� ������!�� ����� � � � ������� � � � ����� � ��� ��� � ��� ��� � � �� � �� ��� ����� � � ��

������ ��� ���� �� �� ��� �������� +�������

�� ��� � � ���� � � ���

�� � � ���

��

� ����� � � �� � �

�� � �

�� �

-� � �� �����

�� ��� � � ��� � ���� ��� ��

�����

� ��� � �� �����

� ��� � �� �����

� ��� � ��

MATEMATIKA 2 169

������� 3�������� ������ ��� ��� ��

�� ��� � � �� � ��� � ��� �� � ��

�� � ���

��� �

������ ��� %����������� � �� �������� +��������� � ��� � �� � ��� � ������� +������� ��� ������� ������

�����

�� � ��� � � � �����

�� � ��� � �� � �����

��� � ��

-� � ���� �!

�� �����

��� � ������ � ���� � � ��� ��� ��

��� ����� � ��� � �� � ��

���!�� � ��� � !� � ! � ��

� �����

��� � ��� � �� � ���� � � � �� �

� �����

��� � ������ � ���� � � ��� �

��,���� ��� �� �������� +������� �� � � � � ���

��A��� � �� ����� �� � ��!�� �� � � ��� ��

�����

�� ��� � �� ���� �

&������� +������� �� ��� �� ����� �� �� ����"���� ��� �� ������ �� � ������ ������ �������� ��

MATEMATIKA 2 170

4����� �������� +������� �� ������ �� ��� � ������� �� ������� ���������� ������ ��� ������������ ������� � �������� ����A�� ������ �� ��������� +������� ���� � � �� ������ �� +��������

��,���� �#� �� �������� +������� �� � � � � ���

��A��� � �� ��"�$��� � ��!�� �� � � ��� ������������

�� ��

�� ��� � ����� ����

� �

-�� ����� �������� ��"���� "�������� ��������� � ��!�� �� � ����������� �

�� � ���� � ��� ���

��� �� ��

�� ��� � ����� ����

� �

5�A��� � �� ��� ��� �������� �� � ��� �� ���������� ��� �� ��� ��������� � ������ ������ �������� ��%�������� � �� �������� �������� +������� � ������������ +������� ����� ���������

MATEMATIKA 2 171

'�� �� �� � ��� ��������� �� �������� �� �� � ��� �������� �=����� ��� �������� ��� ���������&�2� �������� �=����� �� �������!

�� �� ��� � ��� � ����� � ��� ��� ��� ��� ���� ����� ����� �

�� ����� �������� �������� +�������

�� ��� � � ���� � � ���

�� � � ���

��

��A� �� �������� ���� �� �������� ����� ������������ ��� ���� �!

�� � ��� � �� ���� � �� ���

�� � �� ���

�� �

'������� ��� � �� ������� +������� �=����� ���� ��������� �������� +�������!

��� ��� ���� ���

���� � �� � ��� ��

���� ���

� � �� ���

�� � �� ���

�����

� ��� ����� � ��� ����

�� � ��� ����

�� �

MATEMATIKA 2 172

43

Page 45: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������� �� �������� +��������� ��� � �

� ��� � �

�� � ��

��

� � ���!

� ������ �� �� ��� � !� �� � ��� ��� ��� ���� � �� �� ��� � �� � ��� � " � �� �� ��� �

���� �� ��� �������� +������� �� � ��� � �� � ��� �������� +������� ��� ��������� �� �� -� � �� ������ � � ���� � ���� � �� ��������!

�� ��� � ������ � ����� � �� �� ������ �� ��� ��� � ����� � ����� � ����� �� ��� � � ����� � ��� �� ��� � ��� � �� � ����� � �� �� ��� � �� � ��� ��� � ��� � �� �� ��� �� ��� � ������ � ����� � �� �� ������ � ��� ��� � ������ �� ��� �

�� �� ��� � � � �� � � � �� � ��� � �� � ������!�� � ��� � �� � �� � � � �� ��� � � �� ����

���������� ����� � �

MATEMATIKA 2 173

��,���� �%� &������� +������� �� � � ��� ��

����� #�� �� � �� � �� ���� �� �������� ��������� � �� ��� � ������ ������ �������� � +������� �� ��������� �� ���� ��������� %�2��� �� � #� ��� �

������ �&� ���� �� ��� +�������

� $ �� � #� �$� �

�� ����� �� �$� � � � +��������� � � �

���

�� � #� ��� �

-� � �� �=����� ����������� �� � � #� �$� ����� �!

��� � �� ��� � �� � � ���� � � ��� �

MATEMATIKA 2 174

��,���� �!'� �� +�������

�� ��� � � ���� � � ���

�� � � ���

�� � � � � � �� �

��A��� � �� ������$��� �� �������� � � �� ��� ��������� ���������� � ��� � � ��� � � ��� ������������� � � �� � -� � �=����� �

�� ��� �� � �

� ��� ��

�� �

� ��� ��

��� �

� ��� ��

��� �

("����"� �������� "�������) ��������

�� �

�%�� � ��� � &�� � ���� �� � %

�� � ��� �� � &

�� � ��� ���

�� �

�� ��� �� �

!

�� ��� �� �

!

�� ��� ���

� �

�! � �� ��� �� � �! � �

�� ��� ��� �� ����� �� �!���������� ������

MATEMATIKA 2 175

����� �

�� ��� ��

����� � �

��� ���� �� �

�� '�� �� �� ��� ������ �� �������� +������� � �' �������� ���"�� ������� �� �� ��� ��� �� �������� �

�' � ��� � �� ��� � �� � ��

�� � �� �� � � � � � �

�� ��� �� � �' �����' � � �

������� 3�������� �������� �������� +�������!

� � �

�� � ���

������

��

� �

� � � ��� �

�� � ��

������

MATEMATIKA 2 176

44

Page 46: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�������� � � ���������� ����� ���� �

���� �� ������� � ������ ��� � � � ��� ���������

�� � � �� �� � ���� ��

��� ��� � ����� � � ���

��� � ���

��� � � � �� �� �

��� �� � ������ �� ��� ���

� ��� ��� � � ��� � ���� � �� � � � �� ��

��

�� ����� �� ��� �� ���� ���� ��� �� ������������� ����� � �� � �������� �������� ���� �������#����� ��� ��� � ���������� ����

� ��� ��� ��� � ����� �� ���

��� � ���

��� � � � �� �� �

��� � ����������

� ��� � ��� � � � � ��� � � ��� � � � �� �� �

��� ������A�� ������� ������������� ����������� ��� ��� ��

&��� ��� ������ ���� ������������ ��� ��� ��� ����� �� ������ ���� � � � � ���

MATEMATIKA 2 177

Definicija 3.11. Za krivulju

Γ ... −→r (t) = x (t)−→i +y (t)−→j +z (t)−→k , t ∈ [a, b] ,

kažemo da je jednostavna glatka krivulja iliJordanov luk ako vrijedi:

1. −→r : [a, b] −→ Γ je bijekcija, tj. surjekcija i injekcija( t1 �= t2⇒−→r 1 (t) �= −→r 2 (t) ).

2. Derivacija −→r ′ (t) postoji i neprekidna je za svakot ∈ [a, b] , tj. −→r je klase C1 (krivulja Γ je glatka) .

3. −→r ′ (t) �= −→0 , za svako t ∈ [a, b] .

Tocke A = (x (a) , y (a) , z (a)) i B = (x (b) , y (b) , z (b))zovemo rubne tocke krivulje Γ.

Ako je A = B tj. −→r (a) = −→r (b) , onda krivuljuzovemo zatvorenom krivuljom.

a

b

r(t)r(b)r(a)

tx

y

z

r '(t)

r(t)

MATEMATIKA 2 178

Γ1

Γ2

Γ3r(b)

r(t1)

r(t2)

Krivulja Γ je po dijelovima Jordanov luk (po di-jelovima jednostavna glatka krivulja) ako se sastojiod Jordanovih lukova koji se nastavljaju jedan nadrugi i nema presjecanja. Dakle postoji skup tocakaA, T1, T2, ...Tn, B na krivulji Γ takav da su lukovi:AT 1,T1T 2, ... ,TnB Jordanovi lukovi.

Primjer. Provjerite da li je krivulja

−→r (t) = (a cos t)−→i + (a sin t)−→j + (bt)−→k , t ∈ [0, 2π]

Jordanov luk.

MATEMATIKA 2 179

��,���� � ����� *��� ������ � ���� ������� �� ������� � ������ ��� ��� ��=����� ��� � �� �� � �� ��� �� � ������ �� ���� ��� ��� �� ���� ����� ���������� �� ��� ����� ����� �� ����� ?����� ��� ��? � A � � ��� ������ � ��� ��� � ��� ����� � � ��� ��� � ������ ������������ � � �� ��?

� � � �� ?����� ��� ��? ���� � ����� � � ������ � ������ ��� �������� � � �� ��?�

� ��� �� ���� ��A�� �� ���� ��� ��� � ��� �������� �������� ��������� �� � �� �� ���� ��� ��� � ��� �������� ����� ��������� ��

� ��� 9� ��: �� ���� ��A�� �� �� � � ��� ����� ������ 9��� : � �� �� � � ��� ��� ��� 9�� ������:��������� ��� ��� ��

!���� ����� ���������� ������� � �� � � ���� �� ?�����? � ���� �

� � �� ������ � �� � � ���� �� ?�����? � ���� �

MATEMATIKA 2 180

45

Page 47: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

"��������� ��� ��� ������� ���� 9���#�������: ���� �� ���� � ����� ����������� !������� ��� �� �� ��� ������ �� ���� ������� ��� � �� ��������� �� � �� ���������� ����������

&��� ��� #�

��� � ��� � �� ��� � ��� �

��� � � � �� ��

���� �� ����� ���������� � A���� ��� ����� �#��������� � ��� ������ �������� �� ��� � ��

��� � ��� � � �� ��� � ��� �

��� � � � �� ��

���������� ���� ������ �������� �� ��� �

MATEMATIKA 2 181

���� �� ������ ��� ��� � ��� ������ ���#���A��

��� ��� � ����� � � ���

��� � ���

��� � � � � � ��

#��� ���� ���� �������� �� ������������ ��������� ������� � ������ ��� ��� ����� �� � � �

��� ���� � ������ � � ����

��� � ����

��� �

��=������ ����� ���� � ��

����

��� ��� �������� ����

���

$� �� ��� ���� �� ��� � ��� �� ����� ���� �� ���� ��� ���� �� � ���� ������ � ������ ��� ��

���� ���� � ��� ��� �������� ���� �� ��� � �

%�� ���� �� ���� ����� ������� ���� ��� ��� ��&�� ��� �� ���� ��� ��� �������� ���� ��?�����A���? ���� ����� �������� ����� ����������

��� ���� � ������ � � ����

��� � ����

��� �

MATEMATIKA 2 182

�������� ���� ����� � � � ���� ���� �� �����

����� ��� ������� ���� �������� ����

��� ��� �������� ����

���

' � ��� �� ����� �����

��� ���� � ������

��� ��� �������� ����

��

� ���������� ������� ��� �� ���� �A� ����

�� ���� ����� �������� �� ��� �� � ������� � � ���� � � ���� � ����� �

��,���� � ����� ���� �� ���� ��� ���

� ��� ��� ��� � ����� � � ���

��� � ���

��� � � � �

� ���� �� ��� ��� ����������� (��� ��� ���� 9�� ������� : �� ������ �� ��� �������� �� ���� � ������� � � ���� � � ���� � ����� �

)�����A�� �������� ���

��� ��� � ��� ���� � ���� ���� � � � ��

MATEMATIKA 2 183

��� � ����������

� ���� � � ���� �� � � ���� � � � ���� � � � �� � ���� � � ���� �

��� ������� ����

� ����

�����

� � � ����

� �����

� ����

����� �� � � ��

$� �� ��� ���� �� ��� � ��� ���������� ����

��� ���� �

��� �������� ����� �

������ � � ����

��� � ����

���

����� � � ����

� � �����

������� ����� ���� ������ �������� ����� ��

&��� ��� ����� ������A� �������� �� ��� ��

��� ��� � ��� � ��

��� � ��

��� � � � �

����� � � �� �� �� �

MATEMATIKA 2 184

46

Page 48: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

' � ��� �� �� ������� ��� ���������� ������ �� � �����

�� ������� �A� �� ��������� ��� ����� �����!������ �� ��������

��� ��� � ��� ��� �

������ ������� � �

������

��� ��� � �

��� ���

��� � � �

��� ���

��� ��� ��� �

*��� ����� ������� ��� ���� �� ���� �� ��

������� ���� ��������� % ��� ������� ������� ����� ���� � ���� ����� � ����������� � �

� ��� �

��������� ���

��

�����!�=���� � ������ ����� ������

��� ��� ��

��� ��������� �������

!��������

��� �����

#��� �������� ������ ��� �� �� � � ��

MATEMATIKA 2 185

&����� ���� � ,����� ������������ ���������������� � ������ ��� ��� ����� �� � ��

���� �� ���������� ����� ���� ����� � � ������� ��� � ��� ������ ������A��

��� ��� � ����� � � ���

��� � ���

��� � � � �� �� �

!���� ��� ���� �� �������� ��A��� �� ����� ��� �� ��� ���� ���� ������ �� ���� ��A�� ���� ���� ��������� ��� ��� ����� ������� �����#����� ����� � ��� ��� � � ����� � � �� ��A��� ����� �� ��������� ��������� �������� �������� ��� ���� ��A���� (���

��� ���� ��� �������� ����

��

���� ����� � ������ ����� � ����� ������ ��#������ 9��������� � �/������:� ������� ��������9�����: ������ ����� ��� ��� �

��� ���� � ������

��� ��� �������� ����

��� ��� ����

���� ������ ����� � ����� ������ ���

MATEMATIKA 2 186

��������� � ���������� ����� 9 ��� �� ��: ��=����� �� ��������� ����� � ����� �

��� ���� � ��� ���� � ��� ���� �

MATEMATIKA 2 187

� ��� �� ���� �

! ���� � �� ��� ��� ��=���� ���� ���� ����#����� ������ ? ������? � ��� �� ����� � ���������� ������A�� ��� ��� ��

� ��� � � � � ��� � � ��� � � � �� �� � ��

*����� ����� �������� �� �� �

� ��� � � �� � �� � ��� � ���� � �� � ����� � ��

�� � ����������� � ����� �� ��� �

�� + ������

��� � �� ��� ��� ��� ��� � � � ��� � � ��� � ����

������ ����� � �������� �� �� �� � � ���� ��� ��

� � ��� ���� � � � ��� ���� � � � ��� ���

�� � �� �� ���� �� ,A�� ������ �� �� ? ������?����� ��� �� � *��� ���������� ������ ���#����� �� �� ������ ��������� ������� ! �������������� ������ �� ����� ��� ������� � ����� � ����� ���� -� �� ������ �������� �� �� =���� � �� �

MATEMATIKA 2 188

47

Page 49: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��������� ������ ����� � ����� � ?���� ��������?��� �� ����������� ������ ���� � �� 9� � �� �� �����: ��

� ������ ��� � ���� �������� ������� �

� ����� �������

� � �� ����� � �������� � � ����� �������

����

� � ������ � �� ��

��

"�������� ��� ��������� ������ ���������� � ����� � �� ��� ��� ��

� ���

���

����

� � ������ � �� ��

��

���� � �� 9���� ������� ,��./01����:�� ��������� � �� � ������

� ��

���� � � ���� � ���� � ���� ���� � �

�� �� �� �� � ������ ����������� �� ������� �� ��� ���� � �� ������ �������� �� ���� ������ �

MATEMATIKA 2 189

� � �����

��

���

����

� � ������ � �� ��

���� � � ���� � ���� ���

$� �� ��� ��� � )���� � � ��� �� � �������� ��������� � ����� ������ �������� %��� ��������� ��������� �����

������ ��� � $� �� � )���� � � � �����������#��

��� ��� � ����� � � ���

��� � ���

��� � � � �� �� �

��� �� ������ � �����

� �

���� � � ���� � ���� ���

MATEMATIKA 2 190

)�������� ! ����� � �� ��� ��� �� ���� �����#�������� �� ������ ���������

$� �� � � �� � �� ���� � � � � �� � )������ ��� ���� ��

� ��� � � ���� � � ���� �

��� � ������ � � �� �� � �� �

�� � ��� � ��� � � �� ��� � ��

�� �������� ��� ��� �� �A�� �������� �� ���#��� � �����

��� �� � �� � � ��

��� � �� �� �

$� �� � ���������� � ������ ��� �� � ����� � �� ��

��� �������� �� �� �

� �

�� � � ���� � �

� � � ���� ��

� � �� ��� ������ �� �� �� ,��������� . ����� ����� � ����� � ���

MATEMATIKA 2 191

&��� ��� ����� � ���� � �� ����� ����� ������

��� ��� � �� �� ���� � �� ��� ��

��� � ����

��� � � � �� �� �

��� ��� ��� �� )���� � � ��� �� � ������� ����� ������ ����� �� �� � ����� � ��

� �

��

��� ��� ��� � �� �� ��� � �� ��

��

��� ���� � � �� ��� � � ����

� ���� � ���

MATEMATIKA 2 192

48

Page 50: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�*�* �������� � .�/���� �� �

� ����� ����� �� �� � ��� ����������� ��������� ���� �� � ���� ����� =�������� �������� ����� ������� ����������� � ����������� � � �����������

� ����� �� � ���� ��� ����� � ���� � �� ���� ������� �� � ���� ��� ��������

�,���� � ����� ���� �� � � ��� ��� ������

� �� � ����� ����� ��� �������� ��� ����������� ��

� ���� � ����� ��� ����� ��� ����� �� � � ������ �

� �� �� ��� �� � �� � ��� �� � �

� ����D�� � ���D���� � � �� �� ��� �� � �� � ��� �� � �

� ���� ! � ��� � ! �� �� ��� �� � �� ! ��� �� � �

MATEMATIKA 2 193

�,���� � ����� ���� �� � � ��� ��� ��������� � � �

�� ����� ���� ���� �������� ��� .��

/����� �� �� ����� ��� ����� ���������� ��

��� ��� �� �� � �� ��� �� ����� ��� ��� �� ��

�� ��� ��� �� ��

��

���� � �� � � �� �� � �� � �� ���������� ������ ������� �������! ����� �� ������

� ���� � ���� ���� ����� ��

� � ���������� �������$ ��������� ������

��$ �� �

���

� ����� ����� �������� ���������� ������ �

��� �� �

���

� ��������� �������� � ����� � ���� ���� ���D���� ���

������ ����� �������

� ���� ��� ������� ����� ��� � ������ �� � ���������������� � ������� ������ ���� ���� ������ ���� ��� ���� �� � � ��

���� � ��

�� ��� ��� � ��� ���� � ��� �

�� � �

�� �� ���� ��� �������

�����! ����� � ������"�� � ��� �� �� � �� � �� � �� �� ����� �� ����� � ��

� ������"MATEMATIKA 2 194

� ��� ��� �� � ���� � ���� � ���� �� ���� ��� �����

��� � ������"

� ��� ��� �� �� � ����� � �� � ��

����� � �

�� � �

���

�� ���� ��� ����� � �� � �������

�� ������� �� ������ ���� ���� ����� �� ��=�� �� �������� �������� �� �������� �� �������� ����� �������� ����� ������� �#� � ������! � ���� �� �� �� $������� �� ������ ������� �����������

������

���� ��� ��� � �������

��� ��� ���� ��� ������� ���� ��� �����

� � � � �

������

���� ��� ������ �

�����

���� ��� ����� �

�����

���� ��� �����

������

���� ��� ��� � �������

��� ���� �� ���� ������� ���� ��� �����

� � � � �

���������� ��� ���

��� �

��������� ��� ���

�� �

��������� ��� ���

��

MATEMATIKA 2 195

� �������� �� ��=�� � �������

������

���� ��� ��� � �������

��� ���� ��� �� �������� ���� ��� �����

� � � � �

���������� ��� ���

��� �

��������� ��� ���

�� �

��������� ��� ���

��

���� � �� %� ��� �� ������� �� �������

�� ����� ��� ������ � ��� �� �� � ���� �� ��

�� ���� ���� ������ ��� ��� �� � ������ ��� �

�� �����

�� �

MATEMATIKA 2 196

49

Page 51: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� �/� ��.����� � � �/��� �

%��� D���� ��=�� ��� � � ����� �� ��� ��� �� ����������� ������������ ��������� ��������� =������� ���������� ������� ������ ����� A����� &��� �� ����� ������ ��� ��� ����� �� ��������� ������� �� � �������� $ ����� � ��������� �� ���� �������

�,���� � ����� ���� � � � � � � ��� � � ����

� � ��� ���� ����� �� � ���� ��� ������ �� ���� ���� ���� ������������

� ����� �/� ����� ��� ����� � ������� ���� �������� ���� � �� �

�� ��=�� ��� ���

���� � ���

��

��� �

��

��

�� �

��

��

��

��� �� ���� ��� �� �� � �

���� � ��� �� �� �

�� ��� �� ��

��

��� �

�� ��� �� ��

��

�� �

�� ��� �� ��

��

�� �

MATEMATIKA 2 197

� ��.����� � ���� ���� ����� ��� ������������ �� ����� ��!��� �� � ��=�� ��� ���

��!��� � �����

������

������

��� �� ���� ��� �� �� � �

��!��� ��� �� �� ���� ��� �� ��

������ ��� �� ��

������ ��� �� ��

���

� �/��� � ���� ���� ����� ��� ������� ���� �������� �� ��� �� �

�� ��=�� ��� ���

�� ��� �������� �����

���� �

������� �����

��� �

������� �����

���

��� �� ���� ��� �� �� � �

�� ��� ��� �� �� ����� ��� �� ��

��� ��� ��� �� ��

��

���� �

���� ��� �� ��

��� ��� ��� �� ��

��

��� �

���� ��� �� ��

��� ��� ��� �� ��

��

��� �

MATEMATIKA 2 198

� �������� �� �� ��� ���#�� �� ����� ����� ����� ���� ��������

�� ��� �

���������������

��

��

���� �� ��

�������� �

'������ ������D���� � ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ���

���� ������������ ����� ��� ����� � ����������� ��� ���� ���� �����"

� ��� ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ������� ������������ ���� ���� ����� � ����������� ��� ����� ��� �����"

� ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ��� ���� ��$���������� ���� ���� ����� � ����������� ���������

MATEMATIKA 2 199

���� � ���� %� ��� � ������� ����� ��� �����

� ��� �� �� �

�� �� �

� ������ � ��� �� � �

�� %� ��� ��� ������ � ������ ���� ���� �����

��� ��� �� �� � ������ � ���

�� � ��� �

�� �

�� (�� �� ��� � ���� � �

�� � �

�� ����� ���� ���� �!�

����A� �� ����!��� � � � �� ��� � ��� �

)����� ���� ��� ����� ��� �� �0.�/���� *���������� ���� ���� ��� ����� ����� �� ��������������

��� � ����� ��� ����� ����� �� ��� �������

������� � ������� ���������

MATEMATIKA 2 200

50

Page 52: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

+ �������� ��� ������� � ������� ��� �� ����������� ������ ��� ��� ���,����� �������� �����! ��������� ��� ����/�.��!���� ���� ���/� $ �� ����� ���� �

��� �

������

������

���

+������ �� �� ��� �� ��� ��� ��=�� �� �� ��$�� ���� � ���� ��� ���� ������������ ����� ��� ���� ����! ����� ������� �� ������D�� ���D�������

� � ���� �� ���������� ��� ��� � �� ����� �� ����� �� �

� ��� � ��!��� � ��� ����� ����� �� ���A�� � ���� ���� �������� � �

���� � �� ��� � ��� ����� ���� ��� ���A�� � ���� ���� �������� � �

��A�� �� ���������� �� �� ��� ��� ����� �� ������� �������� ���� � �������� ��� �� ����� ��� ��� ���

MATEMATIKA 2 201

"�� ���#� ����� �� ����� �� ��� ��� � ��� �� �������� �� ���� ����������� ����� �� ����� �� � �� ������ ���� �� ���� ����������� ���� ��� �������� ���� �� �

��� � � �� � ���� ���� �� � ��� �� � � �

������

�� ��� � ��� � �� � ����� �

����� � ����

�� � � � ��� � � �

� � ���

��

������� � ����

�� � ����� � � �

�����

��

���0$ )���A��� �� � � ��� *!�

������ � ����

��

�����������

��

��

��

��

��������� ������� �������

�������� �

� �

���������������

��

��

���� �� ��

�������� � ����������������

��

��

���� �� ��

�������� �

� � ����� � � ������

��

MATEMATIKA 2 202

"�� ���%� ���� � �� � � � �� � � ���

���� ����������� ����� �� ������ �� ���������� ����� �������� # � � �� � ��� � � � �� ���� ������������������ � �� � � �� *��� ���

�� ���� �� ���� "

�� ������� � ��� � � ���� � � � ���� �"

� �������� � � ���� � � � ���� �"

� ������

��� ���� � � � ���� �

��� ���� �� ��� � �� ��"

�� �����# � �� � # ��� ���� � �

���0$ * ���� � �� ��� ���������� ��=������� ��������� � ��������� �� �� � ���� �! ���� #�� �*�� �� *�)- )!�

MATEMATIKA 2 203

"�� ���&� ���� �� # � � � �� ������� ������������� *��� �� � ������� ��������� ����� # ��� �

� ���� � �� � �� � ���� � � �����

����# ��� � # ��� ������

���0$ � � � �������� �� �����

���� � � ������� � �� � ��

��

��� �

�� �

�� �

����� ��� �

�� �� � ��� ����� ��� *�� ��� *�).

����# ��� � # ��� ���� � � # ��� ������

MATEMATIKA 2 204

51

Page 53: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

"�� ����� ���� � ��� ���� � � ���� � � �� �

���� ����������� ���� ��� ������ �� � �� � ���� ��$��������� ����� �� ������ ��� ���������� ���� ��� ������ �� � � �� *��� ��

�� ��!��� � �"�� ��!

����� � ����

�� � ��!��� � � ��!��� "

� ��!���� ���� � � ��� ��� � � ��� ���� � ��� ��� �"

� ��! �� � ��� � � ����� �� � ��� � � ���!��� �"�� ��! �� � ���� �� � ����� �� � ����� �� � ���

� ���� ���� �����������!� � � ���� ��

� ��! ���� � �

��� '�����. ��!���� ���� ���/� �����!� ���

� ��

������

������

����

�� ��!��� ��� � � � ��� ���� ���� ����� ����� ����

���0$ * ���� ������� ����� ���� �� ��=������ ��$� �������� � ��������� �� �� � ���� �� ����� � ����� �� *�� ��� *�)- �!�MATEMATIKA 2 205

,� ����� � ���� �� �� ����� D���� �� ����� ���� ��$��D� ��� ��� � � ����������

��� ����� ����

����� � ���� ���� � � ��� �

���� ���� �/��� �� ���� ��������� ��� ��� � �� ������ �� �� � �� �������� � ���� � �� ������ � ������ � ���� ���$�� ���� ����� �� ���� ��� ��� �� ������� )�����

��!���� ���� � � �

���� ���� �� �

���� ���� � � � ���� ���� ����� � ����� ����� �

�����

����� � �� ��� ���� � �� ��� �

���� ��� � �D� ��������� ������ �� � �� ���������� ��$������ � �� ���#����� � ���� � ������������������� � ��� ���#����� � �����* ���� (� ������� �� ������� ��� � � ���� �� )���A��� ���� �� ������ ������ ����D� ��� �$�� � 0!� )� ������ � ������� ��=������ ��� ������������

MATEMATIKA 2 206

��!�� � ��� � � ������

���������

���������

��

���

���� � �

�����

���

���� � �

�����

���

���� � �

�����

���

�����

�����

��

�� ���� ��� ��� � �

������

������

������

� ����� �� � ��� � � ��!��� �

* ���� �� ������� �� (� �� ��� � ���� ��� � ��������� � ���� �� �� ����� �� ��=������ ������� � ��� �������! � ��� � ��������� ���1� ����� ��� )���A��� ���� ����0!� !� ������ ���������� ��� ����� � ����� ����� �� �������

��!��� ��� � � � ����� � � ��� � ��� � ����

� ��

MATEMATIKA 2 207

���� � (� %� ��� 2������ ����� ��� ����� ������� ��

�� � ��� �� �� � ��� �� ��

�� � ��� �� �� ���� � �� � �� �� � �� ��� ��

��� ������!�

��

�� � � ���� �� �� �

���

������

������

���

����� �� ��

��� ���� �� ��

������ ���� �� ��

������ ���� �� ��

���

�� ���� �� ��

���� ��� �� ��

�����������

��

� ��� �� � � ���

���� ����� �� �����0

MATEMATIKA 2 208

52

Page 54: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��

�� � ���

�� � �� � ���

������ � �� � ��

��������� � �� � ��

��������� � �� � ��

���

��

��

���� � �� � ��

��

��

���� � �� � ��

��

��

���� � �� � ��

��� � ��

��� � �� � �����

��� � ��

��� � �� � �����

��� � ��

��� � �� � �����

���� � �� � ��

���� � �� � ���

��� � �� � ��

��

�� � �� � ���

MATEMATIKA 2 209

���� � �� %�D������ �� � ������� ������� �������# ��� � � �

��� � �� � �� ������

�# ��� � ��! �����# ����*�� *���� ��!

�# ��� �

����

� ��!

�# ����� ����

*�� *��)� C!�

�����

# ����

�� ��� � # ���

����!��� � *�� *���

�# ����

� ������ ��� � �#

����

��# ���� # ���

��� � � �#

����

� # ��� � # ����

MATEMATIKA 2 210

���� � �� ���������� ����� ������ ����� ������������������� ������ � ����#����� ������#� $ ����������� � ��� �� �� �������� �

��� � ���� � �

�� � �

�� � � � ���

������� �� � �

���

��

3� �������� � ������� ��� ����� ��� ����� �

����� �� � ��

�������

��

��

���

�� ���

����� �

� � �

���

��

����� � �

���

����� � ���� �� � �

)����� �� ����� ����� ����� ��������� ���������� ��������� �� � $ ����� ������ � ��� �� �� �����

��� �� � � � ����� �� � �

�� �� ��� �/��� ��� �� �%�D������ �� ���� ��� ����� ��� �� �

�� ��A��� ��

�� �/��� ��� ��� ������� ����� �� ����� �� �

���� �� �� ��� � ���� ��� ��� � � ���� �

MATEMATIKA 2 211

3� �������� � ��� ������ ����� ������ �������� ������

��!��� �� � � ��!

��

���

�������

�����!

��

������

*�� *��) C!�

��

���

�����

��

�� ��� � �

�����!��� �

�*�� *����

��

���

��� ���

����

�� ��� � � �

��

��

���

�� �����

��

�� ��

MATEMATIKA 2 212

53

Page 55: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

"�� ����� ��� ����� � ����������� ��� *�� �� *��)� � ������ � �������� �� ����� ��� ����� ��� � ����� �� ����� � ����� �� �� � ������

�� �� ��� � ��� "

�� �� ����� � ����

�� � �� ��� � � �� ��� "

� �� ���� ���� � � ���!��� ���� � ���!��� ���� �

����� �

���� � ���� ����� �

� � ���� ���� � ��

��� ��

��� ��

��

� ������� ������� � ��� ���� ��������� ��� ��� �"

� �� �� � ��� � � ����� ������ � � �� ��� "

�� �� �� � ���� �� � ����� ��� ����� ���������� �� ����� �� �

��� "

�� �� ��� ��� � � ���� ���!��� ������ �

MATEMATIKA 2 213

���0$ ���#���� ���� �������� �� � ������ ��������� �� �� � ���� �� ���� #�� � � ���� *�� �� *�)- �!� )� ����� �� ��=������ ������� �� ��������� � ������� ���1� ��� ��� ��� ����$���

�� ����� �� ���� �

�� � ���� �� ������� �� (� �� ��� � ���� ��

)������ * ��� �� *�� �� *���� ��A������� ���������

���� ��!��� � �� ��� ��� � ����� �

�� ���� ������ ����� �� ������� #�� �� � ������������ ��� ������ ���� �� ��� ������� ���� ���� ������

MATEMATIKA 2 214

)�����$ )��� ��������� ��� ���

��� � ���

��� ��

��� ��

��

���D���� ��� 4����� 4� �� �� ��A� �������� � ������ ��� � ����� �� ������ 3�����

� ��� �� � ���� ����������� ����� �� ����� ���� ��

���� �� � ����

��� ��

��� ��

��

�� �

� ����

��� ��

��

��� ��

��

��� ��� � ���� �

� ��� ����� ���� ��� ��� ���� ����������� ���� ���

����� ���� ��

���� ����� ����

��� ��

��� ��

��

����� ��� ��� �

� ����� �� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� �

� ���� � ���� ��� ��� � ���� ��� ��� � ���� ��� �

MATEMATIKA 2 215

�����������

��������

�����

� ����������

��������

������

����������

��������

�����

��

� ��

������

������

������

�� ��

������

������

������

��

���

������

������������

������

��� ��

����

��� ��

����

���

MATEMATIKA 2 216

54

Page 56: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

*�� ��� ���.��� � �������� �� �

���� ��� D���� ��=�� ��� ���� �� �� ���������� ��� ����� ���� ����� ���� ��

���� �� � � �� � � � � � ����� �� ������ %��$�� ��� �� � ���� ��� ��� � � � ��! ���������� ���� ���������� ������ ���

��! � !���� �!�

�� �!�

�� �

(�� ��! ���� ���������� ���� ����� ��! � ��!���! ��

���������� ���� ���� ���� � ��! !���� ������ � ��A� �� � ��� ���� ��! �� � E������������ �� � ���� �� ��! � ��� ���� ��

������ � "��! � " � ��

%����� �� # ���� � � � "�

�,���� � ����� ���.��� � �������� �� �� � � � 1 / ���� �� 1 �� �1 .�/�� ��! ��� ������� �������� ��� �������!

���"��

� �� �� � ����"

���

���! ���� �

MATEMATIKA 2 217

3���#��� �� � � � ��� ���������� ���� � ��! � ��� ��$���� ������� �� �

� � ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��

��

���! ���� � ���"��

� ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��� � ���� ��� ���"

���� ������� �� �� �� ������� �� ������ ����� �������� � ���� ����� ������� ������ ������ ���� ������ ������������� �� ��! � �� ����� �!� � !� � �� !� � ��

���"��

� ���� �� � "� ���� � ���� ��� ���"

���

������ ��� ��� �

% ���� ���� D���� ������� ���� �� �� �������� � ��� ������D�� ��� ���

"�� ���(� ���� �� � �� � �� ������� ����� ������� � ��! ���� � *��� ������

��

���! ���� � ���� ����� ���! �

���� �� ��! � ��!���! � ���������� ���� ���� � ��! �

MATEMATIKA 2 218

���0$ ���� �� ��! � !���� �!�

�� �!�

�� � ���! � � ��

���� �� ��$ ����� � �� ���� ��� ����� ��=�� ���

��

��$ ��� � ��� � �!�� �� � �!�� �� � �!�� � � � ��

%� ���� ��� ����� ����� � � � � �� A�� �������� � �� � ��� �� � E���� �� �� � ��! �!&����� ��� ���������� # � � ���$ ����� � �

# ��� � � ��� � �!�� �� � �!�� �� � �!�� � � ��

� ������� � ���� �� �� �� ���� ����������� ������� �����! �� ���������� ��� �������

��

���! ���� � ���"��

# �"�� # ���

"�##

#���� �

���

��

������

� # ��� � �!��#�

������

���

��

������

� # ��� � �!��#�

������

���

��

������

� # ��� � �!��#�

������

MATEMATIKA 2 219

���

������ � !� � ��

������ � !� � ��

������ � !�

� ���� ����� � ��! �

5 �� ���� ����� � ��! �� ����� � �������� ���� ����� ����� �� ���� ��! � � ����� �� � ��������

�� ���� ���

���! ����� � ������ ����� � ���� ���� � ��! �����D�� �� ��

��! � ���� ������

/�� �� ���� ��! ! �� ��� ����� � �������� ��������6/�� �� ��� ����� � �������� ������ ���6/��� �� ���� � ��� ���6 ����� �� �� ��������0!

)����� �� � �������� ��� ��� ������� �� ����� ������� � ���� A� ���� ���� #�� �� �� � E��� ���� � ��������� �� ���� A� ���� ���� #�� �� �� � E���� ���� � �) ��� ��������� ���� � ���01 �� � �� ������ � ����� ���� ����� � � 7���#�� � ������� ������ ��A� � ��� ���� ��� ����

MATEMATIKA 2 220

55

Page 57: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���� � �� 3� �������� �� ����� ����� ���� �����

��� �� �� �� ���� �� �� � �� � ��� � �

������ � � ��� ���� ���� ��! � ��� ��� ��� �

�� *�� �� *��C ��

���� ���� ���� � ��� ��� ������������ � ������ ��� �

��! ���!����! �� �

������������

������� �� �� � �A��� ���� ��� �� �������� ��� ����

���! �������

�� ��� �������! � ����� ���� ����� � ��! �

� ������ �� �������������

�� ����

MATEMATIKA 2 221

"�� ����� ���� �� � � � �� � � �� ���� ����$������� ����� �� ������ *��� �� � ������� ���� ����� ����� ������ �� � ���� ��� ��� ������ �� ������ ���!���� ��� ����� � �� ����� ��� � ������ � �� ���������������� ��������� � ������ ���� ��� �� �������� ���������

���� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ���

������� ��

� � ���� �� ��� �� ���� �� ������ ���! �������� �� �� � ����� ��� ����

���0$ %���� ��� ���� ��� ����� �� � ���� ��� ��� � ��8�����A�� � ������ ������� ����� ������ �� �� � ����� ��� ���� #�� �������

� � #����� ��� ��� �

�� ���� ��� ���

��#� �

�� ���� ��� ���

��#� �

�� ���� ��� ���

��#� �

� ���� ����� ��� ��� � #��� �

� � ���� #��� �������� ����

#���� � #�

�� � #�

�� �#�� #�� #���

MATEMATIKA 2 222

5�D�� �� � ����� ������� �� �������� ����� ��������� �� #��� ������� �������� ��� ��=����������� ����� �������� �������������� ����� � �� ����� ��� � ��������

���� ����� ��� ��� � #��� � �

������ �� �� ���� ����� ��� ��� ������ �� � ����������� ����� ��� �� � ���� �� ������ ���� � �� �������� ������ �� ������ � � ������� �� ������ ���� ����� � ������� ���� ����� ��� ��� � ���� � �� ��

� � ���� ����� ��� ��� � ��� ��

�� *�� �� *��C ��

���� ����� ��� ��� � ��� � ��� ���� ��� ���

���� �

#�� ���� ����

���� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ���

������� ��

MATEMATIKA 2 223

)������ ����D� *�� ��� *��5 ���� �� �� ����������������� �� ����� ���� �� ������ ���� ����� �������� � � ������ �� ��� ����� �� � ���� ��� ��� �����

��� � ����� ����� ��� ���

����� ����� ��� �����

���� � #� 3� �������� ���������� �� ����� ���� ������ � � �� ������ �� � �� �� ���������� � ���������� �� �� � ���� ��� ����� � � ������ ������� ����� ���� �� �� � � ����� ����� �������� � �� �� � � ��� *��� �������

���� �� �� � �� � � � ��

�� ��

���� ��� �� �� � ��� ������������� � ��� ����

�� ��������

��� ����� ����� ��� �� ��

����� ��� �� ��� �����

����� �

�� ���

��

MATEMATIKA 2 224

56

Page 58: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

*�� ��� ���.��� � .�/���� �� �

(������� � �������� ����� ������� ��=�� �� D���� ����� �� �� ����� ���� ���� ����� ���� ��������� ������ � �� ������ ��� � � �������� ���������� ���� �� � � �

� � ��% � � ��� ���� ��� ������

�� � ���� ��� ��� � � �

��! � !���� �!�

�� �!�

�� �

���������� ���� � ��������� ������ ��� �� ���� ��

������ � "��! � " � ��

��� ������ � �� ���� ������ �� � ��� ���� ��!�� � E����� ������� �� � ���� �� ��! ������� �� " �������� ���

�,���� � ����� ���.��� � .�/���� �� ���% � � ��� 1 / ���� �� 1 �� �1 .�/�� ��! ��

� ������� �������� ��� �������!

���"��

��% �� ����% ����"

����%���! ���� �

MATEMATIKA 2 225

��� � ��� ���������� ���� � ��! � ��� ������ ������� ���

� � ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��

���%���! ���� � ���

"��

��% ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!�����% ���� ��� ���"

(������� *�� �� *��C� ��A� �� �������� ���� �� ����� ���� ��� �� ������ ���� ���� ������

"�� ����� ���� ��

��% ��� �� �� � %� ��� �� ����� �%� ��� �� ��

�� �%� ��� �� ��

��

�� ������� ���� ��� ����� �� �� ��! � !���� �!�

�� �!�

��

���������� ���� � �� � �� *��� ������

���%���! ���� �

�!��

���!�

���!�

��

���% ���� �!

� ���! ����% ����

� !����%��

���� �!����%��

���� �!����%��

����

MATEMATIKA 2 226

' ���������� ��� ���� ��� ���� �� ���� ������������ ��� ������ ���� �� ����� �������! ���� �������� ����� �� ������ )����

���%���! �

�!��%����!�

�%����!�

�%���

����

�!��%����!�

�%����!�

�%���

��� �

�!��%����!�

�%����!�

�%���

��� �

(�� ��! ���� ���������� ���� � ���� �� ���� �� �������� ��! ������ ��! � ��!

���! �� )����� �����

���%���! ���� � �

��! ����% ����

���� � %� '���� ��� �� ������ �������� �

��� � ���� � �

�� � �

��

���� ���� ����� ����������� ���� � ��! � !���� �!�

�� �!�

��

���������! � !�

�������!�

�������!�

������

� !���� �!�

�� �!�

�� � ��! �

MATEMATIKA 2 227

���� � �&� 3� �������� �� ����� ���� ����� �����

��� �� �� �� ��% ��� �� �� � ���� ��� ���

������ �� � ������� � ���� ��! � ��� ��� � �� �

5�D�� �� �� ��! � � ������ ��� � �� �� �� *�� ��

*��9 �������

���% ������� ����! � ����! � ����% � ������� � ��

���%��

��

���%��� �

���%��

������� ���

���� �� �� �

���� �� ���

���� �� ��

������� ���

��� � �� � � �� � � �������� ��� �

��� �

�� �

MATEMATIKA 2 228

57

Page 59: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!�! "��� �� ������

� �������� ���� � �� ��� ��� ������������� ����� ���� � ������ ��� �� � � ���� ���� ���� � �� �������� � � � �� ����� � ������� � � ����� ������

� ������ ����� ���� ��������� ���� � �� � �� � � ���� �� � ������� ���� �

MATEMATIKA 2 229

"��� �� ������ ���� �����

��� �� � � ���� �� ��� � ����� �=����� *�))!������ � � ����� �����

��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �

� �� �� ���� � � � �� � �� ����� �"����� !� � �� �� # � �� ��$�� ��=�� ����������

��� ������ �

�� ��

� �� �� ���� ���� � ������� ����� �����

��� �� �� � "����� ���� � ��� $�� ��������� �� � ��� � ���% � �� ����� ���� � ������� ������ ������ � � ��� ����� ��

��� ���� ������� � ������ � ������ � � ��� ���

� �� ���A � "�����

� �� � ���� ���� � ��� ���� %��� �� ������� ����� �����

������ � ������ � ������ � � ��� ���

MATEMATIKA 2 230

�� � "����� ���� � ��� $�� ������ ��� �� � ����,���� !%! ��� �� ���� �� ��� � � � � � ������ �����

��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �

� �� �� ���� � � � �� � �� ����� �"����� !� � �� �� &�� �� �� � "����� ���� � ��� $��

� �� ������� ����� ����������� � ������ � ������ � � ��� ���

���� $�� % �� ���� �� ���� ���� ���� � �

������� ����� ���� ������� � ������ � ����� � �

����� ���� � ��� ���� �

��� �� ������ �� �� ���� �� � ������ � � ���� ���� ��� ������ �� ���� �����! ��� �� � �� �

� �

MATEMATIKA 2 231

Ova posljednja oznaka ima smisla jer za diferencijald elementa luka krivulje vrijedi

d = k 0( )k d

ds

r'(t) dt

Naime, ako su 0 bliske tocke na luku krivuljes radijvektorima ( 0) i ( 0 + ) redom, pri

cemu je dovoljno malen, onda duljinu dijelakrivulje (luka) izmedu 0 i možemo aproksimiratisa ( 0 ) Dakle imamo

( 0 ) = k ( 0 + ) ( 0)k k 0( 0)k

Napomena 1. Krivuljni integral prve vrste možemointerpretirati kao masu krivulje po kojoj je gustocapromjenjiva (nehomogene tanke žice). Ako skalarnopolje predstavlja linijsku gustocu žice, onda djelicžice duljine ima masu

( ) .

MATEMATIKA 2 232

58

Page 60: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

'���� � �� � A��� ��$�� �� �$� � ����� � ������� � �� �� ������ A����

� ��

�������� ��� �� �

(� �� ���� � ��� "������ ���� �� ����� � ��� � ���

' �� ����� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ����� �� � �������� ���� � � "������

���� �� � �

����$�% �� �� � � �� �� �

% � � (� ��� � ���

�������% � ��� ������ ��� �������� � ����� #�����*�)C!�

# ����� ! �������� ���� ���

� � ����� �

�� $� �� � � ����� ���� �������� �% �� ������� �

����� ���� � ��� ���� � � �

���� �� �� � �� ��� � � �

��� ����� �� ���� ������ ���� � ���� ����� �� �� $��� ���� ������� �� � � ����� ���� �� �� &�� �� � � � ��$� �����

MATEMATIKA 2 233

�������� � � � ���������� ��$�� �� � (� �� ����� ��$�� � � �!�

��

� �

��

�� � ���� � � ����� � ����� ���� �������� ��

&��� �� !! )�� ��� ��� �������� ���� � ���� ������

� ��� ����� ��

���� �� � � � �

� � � � ��� �A$ �

� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ���

�� �

������� ����� ����� ��������������������

MATEMATIKA 2 234

�� � ��� � � �� � ���� �

�� � ����� � �����

�� � ��� � ���� � ��

MATEMATIKA 2 235

� ������� � �� � ����� �� � � �� � �� ��������� ���� �� ��� ��� ��������� ����� � �� � ������� !% ������� � � ���� �� ���� ���* ����� ��� � � � ���% ���� �� �������� ���� � ���� ������=�� � � �$���% ��

�� ��"��

��

�� � � � � ���

�� �

+������ � �� �������� ���� � ���� ���� ��=�� ����� ���� ����� �,��� �� ! ���� � % � �� ����� A� � �� ������� ��� ���� �� � ��������

��� � ���� � �

�� � �

�� �

���� �� � �� ��������� ���� �� ���% �� � � �� �

���� $��� "������ � �� � � ��# ����� ! &�� �� � ���� ������� � �� " "������� � � ���� � � ��� �� � �� � ��� $�� � ��A��� ����� � � �� �� # � �� �

��� ��� � ���� � � ����� � � � ��� �� �

� � � ����� ��� �������� � � �������

MATEMATIKA 2 236

59

Page 61: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ��� �� �

� ��� � ����

� � ��� ����� ��

����$� � � � � ��$�� �� ��� � "������ � ������ ��� � ����� ���������

# ����� �! &�� �� � ���� ������� � � � ���� ��� ��� �� ��� �A$�� � � � ���� � � ��� �� ��� � ��� $�� � ��A��� ���� � � � �� � �� # � �� �

��� ��� � � ��� ��� ���� � � ��� ��� ��� � � � ��� �� �

� � � ����� ��� �������� � � ��������

� ��� �� �

� �� ��� ��� �� � ��� ��� ��

�� ����� � ��� �������

-��% � � � � ��$�� �� ��� � "������ � ��������� � ����� �������� � ��� ��� ������ ����� ���

MATEMATIKA 2 237

# ����� �! �.��� �� ��� ��������� ! �� � ������� � � �

� � � �� � � ������� ����� ���* � � �*��� �A$ �

���� �� � � ��

���� �� � � ��

# � ��$ /����� ����� ����� � ��� $��/ ��$����� �A$�

� � ����� � � ��

� ����� �� � �

��� ����� �� � � ��� ��� 0���� ��� �A$� �� ��� �A$������ ���* ���* � ���� ��������� �� ����� �� � � ��������� ����� $��� "������ ��� ��������� ���* ���* �� � ��� (� �� ��� � � � � ����� ��� � � �% � � ����% � ����% � � ��� ��%�������� �% � �� ���� �� �������� ���� � ���� ������A� ��� ��� � �� "�������

� �

���� ����� ������� � ������ � ������ ��

MATEMATIKA 2 238

Pritom u slucaju ravninske krivulje R2

dobivamo 0, pa je tadaZ

d =

Z( ( )) ·

p1 + 0( )2 d

Primjer 2. IzracunajteRd ako je ( ) = 3

i krivulja koja je presjek ploha

= 2 + 2 = 1 ( 0)

x

y

z

1

= 2 + 2

= 1

¾= 2+ 2 = 1 = 1

½= cos= sin

== cos= sin= 1

[0 ]

MATEMATIKA 2 239

����� � � ��� ��� � ��� �� � �

��� � �

��� ��� ��� � ���� ��� � ���� � � �

��

� �

��

��� �

� �

���� � ��� � � � �

MATEMATIKA 2 240

60

Page 62: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

&��� �� ! )�� ��� ��� �������� ���� � ���� �����

�� �� �� ���� �� � �� �� �������� � �

��� � ��� � � �� � �� � � ��� ������ � ��� � � ��� � �� � � ��� ���

'������ � � �$ ������� ������� � �������� ������ � ��� �� � � � ��� ���

(1,0)

(0,1)

O

Y

Xy = -x+1

y=-x2+1

���

��

� �

� �

���� � ��� � ����� � �� �

� �

���� � ���� � � �

���

��

� �

� �

����� � ��� � ������ � � � � � �� �

������ �

-�� ��� ���� � �� $�� �� ����� �� �������� ������ %�� � �������� ���� � ���� ���� � ����� � �� ��� ���� ���� � 1!

MATEMATIKA 2 241

����� ��� ��=�� �� �������� ���� � ����� ������������� �� ���� ����� ���� ������������� �=����� *�)�!�

0� � ������� ����( ���� ����� ����� ������ ��� �� ��$�� 2��$ ����� �� ��A � �� ��$� ������ � ��� ��� �� ��$� ����� � � ��� ��� �� � �� ��� �� ��� $�� � � ��� ��2%

� ���� 2��$ ����� ��% �$� �% �� ����� � �� ������ �� � �� � � � ��� $�� � � ��� ��2�

' ����� ����� �� � A��� � ���� ������� � ��� ����� � ��� ���� � � ���� �% � ������� � ���� ������� � ��� ����� � � ��� � � ���� ��

' ����� �������! ����� �� � A��� � �� � � ��� ����� +��� � ��� ! � � �� � � ��� ��� �� ��� +��� �!������� � �������� ��

MATEMATIKA 2 242

2

1

r(b)

r(t1)

r(a)

Ako je krivulja po dijelovima glatka, njezine sas-tavne glatke krivulje 1 · · · dopuštaju po dvijeorijentacije.

• Reci cemo da je orijentirana cim su 1 · · ·sukladno orijentirane, tj. kraj od jest pocetak od+1, = 1 · · · 1.

Ako je zatvorena po dijelovima glatka krivuljaimamo negativnu i pozitivnu orijentaciju, tj.orijentaciju sukladnu gibanju satne kazaljke iorijentaciju suprotnu gibanju satne kazaljke.

• Orijentiranu krivulju oznacavat cemo say

.

• U posebnom slucaju zatvorene ravninske krivulje,y

ce oznacavati njezinu negativnu orijentaciju, ax

pozitivnu.

MATEMATIKA 2 243

"��� �� ������ ���� �����

��� �� � � ���� �� ��� � ������ � � ����� ������

��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �

� �� �� ������ ��$� ����� � � ��� ��� �� � ��� ��� � &�� �� � ������ ��� ��� � � ���� �% �� �� � ������� �� � ���� � � ��(����

� ��

��� ��� �� � � � �� ���! � �!�� !�� !� � � �

��

�������� ����� � # � �� ��$�� ��=�� �����������

��� ������

��!� ���

� ��� ��! ���� ���� � �!����� ����� !����� ����� !���� ����� �

��� �� ������� "����� ���� � ��� $�� ������� ��� �� � �� 3������ � �� �� � �� ������

��! ���� � � ��� � � ��� ��� ��

MATEMATIKA 2 244

61

Page 63: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ��� ��! ���� ���� � ��� ���� �� !��

��� ���� � ����� � !����� ���� � ����� � !���� ���� � �����

�� � "����� ���� � ��� $�� ������ ��� ���

��,���� ! '! ��� �� � ������� "����� ��! � �!�� !�� !� � � ��� � ��%

��� ��� � ������ ����� ����� � � ��� ������ ��� � � � ��� ��� � �

� � �� ��� ��� �A$ ������� �� ���� �������

� ��

�� � � &�� �� �� � "����� ����� ��� $��

� �� !������� ����� ���� ����� � !������� ����� ���� ������

�!������ ����� ���� ����� � � ��� ��

���� $�� % �� ���� �� ���� ���� ���� �

MATEMATIKA 2 245

� �

�!������� ����� ���� ����� � !������� ����� ���� ������

�!������ ����� ���� ����� �� �

� �

���! ���� ���� � ��� ����� ��

��� �� ������ �� ���������� �� ��! �� ���, ����� �� ���� �

� ��

�� ���� ���� ��� ������ ������ �����! � �� �� � �� � �

��! � ���� �

&��� �� �! )�� ��� ��� �������� ���� � ����� ������

��! � ���� �������� "������

��� �� � �� ��! ��� �� � � �� � � � �� �� ��

�� ��� ��� � � ��� ������� �� ���������

�%

��� ��� � �� ��� �� � ��� �� ���� � � ��� ����

-���� � ������ ���(���� � ��=������� "������

MATEMATIKA 2 246

��$�� ��� ��

��! � ���� �� ��

��� ��� �� ��� � ��� ��� �� � ���� � ��� �� � � ��� ��

��� ��� �� � ��� �� � ���� �� ��

��� � � ��� � � � ��� � � ��� �� ��� ���� � � � � � �����

# ����� �! �������� ���� � ����� ������

��! � ������ �$���� �������� � � � � ��� ����

��" � ��!

��A �� �� ��

� �� ����� � � ��� ��� �� ������ � ��� ��� �

MATEMATIKA 2 247

�������� ���� � ����� ���� ����� � �� $� �� �� ���� � ����� ���� � �� �� ����� �% �� �������

� �

���! ���� ���� � ��� ����� �� � �� �

���! ��� �� � �� ��� �� �� �

��� ����� �� ���� ������ ���� � ���� ����� �� �� $��� ���� ������� �� � � ����� ���� ��

�� -�� ���� �� �� ���� �� ���� ��� � �� ������ �� ���� ��� � � �� � !��� ����� ����% ������* ����� � ���� ������ �������� ����� ���� ��

# ����� #! &�� ���

� �� ��������� �� � �������� % ������� � � ���� �� ���� �� ������� �*�� ��* �������

��� � � � ��

�� ��� � �� �� �� ����� � �����%���� �� �������� ���� � ����� ���� ��=�� �� � ��$���% ���

��! � ���� ��"��

��

��

��! � ���� � � � � ���

��

��! � ���� �

)�� �� �� �=����� *�*� � ����� � ,��� �� ���� � ������� �� � ������

MATEMATIKA 2 248

62

Page 64: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ! !! ��� �� ��! ���# � � ��% � �

�%�������� "������ � ���� $���� ������ ��"����� � % �� � � � �

� ��

�� � ������� ����������� �� � ������� � # � ��

�!�

��

��! � ���� � ��

��

��! � ���� �

��!��

����! � ���# � � ���� � ���

��! � ���� � ���

��# � ���� �

��� �� ������� "����� ��! � � ��% � �

�%� � ������� � ��� $�%�& � � �% �� !� � $ %!� � % � ! � &� ������A��� �� "������ ��! ��"������� �� "����

$�� �%�� �&��

���� � �� � ��% "��� ��% �������� ���� � ��������� ����� � � ���� ��� ����� � ����� ��"������� �� "����% ���

��! � ���� ���

$�� �%�� �&��

���� �� ���� � ��'� � ��' � �'��

MATEMATIKA 2 249

&��� �� �! )�� ��� ��� �������� ���� � ����� ������

�� � ��� � � � ���� � �� � ���

�� ���

� ������� ������� � ��A� �� ��*���( (�� ����� � � ��� �� ���+������ � ��

� ����(� ��A� � � � � � �������

����� � �� � � � �% � �� �� % � � �% � �� �� �%� � ��� �� ������ ��� ��� ��� � � ��� � � �!% � ���

$�� �%�� �&� �

� �

�� � �� � ��� � �� � �� � ��� � �� � �� � ��� � � �

��� � ��

# ����� %! &�� �� � ��������� ���� �� �����

������

��! � ���� ������� � � ���� % �� �

�� �� � �� ��

��! � ����

� ��� �� ���� �� �� ��������� ���� ��! ��� ������ ��������

��

MATEMATIKA 2 250

Primjer 6. Izracunajmo cirkulaciju ravninskogavektorskog polja

( ) = { }) po središnjoj kružnici

y

polumjera (orijentiranojpo volji);

) po rubux

pozitivno orijentiranog trokuta s vrhovima= (2 0), = (1 1) i = (0 0).

=3

1

2

y

Ox

y

Ox

(a) (b)

(1,1)

(2,0)c

c 1

1

) Ovdje jey

zadana parametrizacijom = cos ,= sin , [0 2 ], pa je

Iy

· =

Iy

+ =

=

Z 2

0

[ cos · ( sin ) + cos · sin · cos ] =

2

Z 2

0

(cos cos2 )( sin ) = · · · = 0;

MATEMATIKA 2 251

�� -���� ���

� ������� � �� ��������� ���� ����� ���� �� � � ���� ��

�� ���(�%

�� ����� �

�� �����( � � � ����� ��� � ������!�

� � � �% � � ��� ��% ������� ��� ��� � � ��� ��

� � � �� � �% � � ��� ��% ������� � ���� � ��� ��

� � � �% � � ��� ��% ������� � ��� � � ��� ��

# �� ��$�� ����

��! � ���� ���

��

��! � ���� ���

��

��! � ���� ���

��

��! � ����

� �

�� � � � � � ���� �� �

�� � ���� ����������� �

�� � � � � � ���� � � � � � ���

� �� � �� ������ � �������� � � ����� ��� % ���

MATEMATIKA 2 252

63

Page 65: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� ��� � �� ��� � � ���� � ��� ��� ��

� ��� �

� �% � � ��� ������ � �% � � ���� ��

� ��� �

�������% � � ��� ��� �� �% � � ���� ���� � � % � � ���� ��

������� ��� ��� � � ��� ��

MATEMATIKA 2 253

���� �� �� ��� ����� ���� �� � �����

4 �� � ����� ���� �������� "������ ��� � �����A��� � ��� � � ���������� �$�����

��� � ��� � ��� � ��� � ��� �

���� ����� �������� ����� �� ����� �������� �

� � � � � ����� ����� ��� ��� � -� �� ������� � ��

��� ��� � ��� ��� � ��� � � ��� �

���� ���% ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ����� � ����� ���� �������! � ��������� ���� � �������� �����!�

��" � ��� �

��

��" � ��� �

MATEMATIKA 2 254

������2� �����

:���� ������ ���� �� � ��������� ��� ���� � ������ ���� �������� ��� �� ���� ����������.��#��������� ��� ��� ���� �� � ���� �� ��9����� ��: �������� �� ���������� ���� ��� � � ������ �� 9��� ����: �������� �� �� �� ��

������ � �� *������2 ����������� � "'' � & � � ��������������� ������ ���������� �� � & � �

� �� ���� ���

� � & ����#���� ������������ �������� �� ��������� ������� � ������ ������ ��� ������2� �����

���

������ ��

����� ��� ��

��

�����

��

� ��� ���� ����� �����

��� ���� �� � ���� ���� ��� ����� ��� ���� � ���� � � 9� �� ������ �� � � �� �� :�

MATEMATIKA 2 255

������� ��� ������� ��

����� ��� ��

��� �

9��� �� ��� ����� ���� �� ���� �� ����� � ��� �� � ����:���� ��� ������� ��� �� ���� ��� ������ ��#���� ������� ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��������� �� � ���� ��� ���

� ��� ���� ����!

� �� �

��

���� ��

��

��� � ����

�������� �� ������� �� �� ������ � � � ��� ������������� ������ ����� ��������� ��������������

��� � � ��� ��� ��� �� � �� ��� ��� ���� ��� �

������ ��� � ��A��� �������� � ����!��

������� � ��

����� �

��

��� � ���� �

MATEMATIKA 2 256

64

Page 66: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

Primjer 7. Izracunajmo cirkulacijuIx2( 2 + 2) + ( + )2

po pozitivno orijentiranom rubux

4x

trokuta4 , = (1 1), = (2 2), = (1 3).

3

1

2

Y

OX

1

1 2

2

3

A

B

C

Primijenit cemo Greenovu formulu na

( ) = 2( 2 + 2) i ( ) = ( + )2Ix2( 2 + 2) + ( + )2 =

=

ZZ μ( ) ( )

¶)

=

ZZ(2 2 ) = 2

Z 2

1

μZ +4

( )

¶= · · · = 4

3

MATEMATIKA 2 257

���� 3�� ����

"� ������ ������ ��� ���A�� ���� ����� ������ ������������� �� ��

��

�� ����� 9� � � � � ��� ��� ��������� �����:

��

�� ������ 9� � ��� � � � ��� ��� ��������� ����: �

��

� ����� 9� � � � � ��� ��� ��������� ����:�

����������� �� ��� ��� ������� ������ ��� � ����������� ?�������� ����� ? ��� �� ������ ���� �������� ������ ����� �� ������������� � ���� ������� ������ �������� ������� ?���������? ������� ������ ���������� ��������������

MATEMATIKA 2 258

���2 �� ����!�� �����"� ���� ��

��������� �������� ��� ����� ��������� �� �� ��������� � �� �� ������� �� ���� � ���������������� ��� �� ����� �� ��������� ���� ���� � ����������������� � �������� ������� #��� ���� ������ ���� � �� �������� ����� ����� ��� ���� ��������� ���� ���� �������� � ���� ������������� ��� ����

��,��"� � � � ���� ��

��� � � �� � ��

���������� �������� ������ �� �� ���� �� ��� ��������!�� ���������� ����� ��� �� �2�#� � ����!��"�$ #%�� �� ��� �� ���� ���� ������ ��� � ����� ���� �� ��������� ������ ��� ���

����

�� � ��� ���� � � � � ������������ �� � ����� � �������

��

��� � ���� ���

��

��� � ���� �

$���� ��=������ ������ ������������� ������ ��������!

MATEMATIKA 2 259

������ � &� ���� �� ��� � � � ����������

�������� ����� �� �������� � �������� ���� ��� � �

� ���� �������� ��� ���� �������� �� ���� ��������������� � � ��� � ���� ��� �� ��� ����������������� ��� ��� ������� �������� ����� � � � � ������� �� ���� �� ��

��� � � ���� ��

���� �� �������� ��������� ����� ��� �� ��� ���

� ��� ��� ��� � � ������ � � ���

��� � � ���

�� � � � ��� � �

����������� �� ��������% � ��� � ���������������� � � ���� ��� ��� �

��� ��� � �������� �������� � ���� ��� ��� �

��� ��� ��������

��� � ���� � ���

��� � � ����

� ���

��

���� �

��

���� �

��

����

� �� �

��� ���� ����

��� ����

�� ���� ������

� ������ ���� ����

��� ���

���

MATEMATIKA 2 260

65

Page 67: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� �� �

������� ���� � � ���� ������ ���� ���������� �������� �����

� � ���� � ��� � ����� ��� ���� ����� ��� ����

&� ������ ������ �� � � �� �� ��2�4�� ��� ������ ���� ������ ��� � � ��� ��� ������������������� ����� 9����� ����������� �� � A���:��� ��� ������� �������� ����� ������� ��� ��� ���� ��

���� �� � �������� 9��������:!����� � ���� �� � ��� � ������ �� � �����

����A��� � &����� � ������ �� � ����� ����'� �" ��

�������� ()� ����������� �� ������ '�'( �� ���� ������ ��������� ������ �������� ������� � � � � ������� �� �������� ���� ������ ������������� ��#������� ����� ��� ���������

��� � ���� � ��

#������ �� ����������� ���� ������ ���� ���� ���������#���� �������������� ��������� �������� �� ���� ��� �

MATEMATIKA 2 261

"� ������ �������� ����� ���� ���������� ����������� �� �� ��� ������������ ���� ��� ��� ����� )���������� �������� �� �� ��� ���� �������� ����� ��� �� ��������� ��������� �� ��������� ��������� � � ������ � ����� �� ���� ���� ��������% ����� ���������� ����������� �� �� ��� ������������ ��� ����� & ���� �������� ������ �� �������!

������ � *� ���� �� ��� � � �� ����� ����� �� ��

��������� ���� ��� 9��� ���������� �� �� ������������ ��������� �� ���� ��� :� ���� ����� �������������� ��� � ���� ��� ��

�� ��� ���� �

�� ������

�� ��� ���� ��

��

��� � ���� � �

�� ���� �������� �� ��������� ������� � ��

� � �

MATEMATIKA 2 262

*�� �� ��� ������������ ����� �� ���� ����� � � ��� �

�� ���� �������� ����� � � � �� 9� ����� �����#����� �� ��� :� &����� �������

�� ��� � �� ���� ����� '�++ 9,:

���� �

MATEMATIKA 2 263

��%� �'��'��� �����"� � � 4�'���! �����"� ���!*��42������!� �� � ���+-� ���������� ��������% ����� ��� � � ��� �������� ��������� ��������% ����� 9����������:!

�� � �����

� �� � �����

� �� � �����

���� � � � ���� ��� ��� � � � ��� �� �� � � �������� ���� ���� � ����� �� �������� ����� ��� �������#������ ���� �� ��� ���

�� ���� ����� �� ������ ��������� ��������% � A���

�������

��������

������ ���� � ������

����� ����� � � � � ��� ������ �%��� .���� ���� ��

�� � ��� ��� ��� � �� � ��� �� ��� �

����� ������ '�'( ����� �� �� ��� ��� � � ���� ��� ��� � �

9�� ���� ��A���: ������� �� ��

� ��� � � ��� �� �� � ��

��

��� � ����

� ��������

��� � ���� ���������

��� � ���� ��������

��� � ���� �

MATEMATIKA 2 264

66

Page 68: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

/ � �� �� ��

������ ���

��� � ��� � ���� � ��

��� � ��

�� � � � ���� � �

������� ���

��� � ��� � ���� � �

��� � ��

�� � � � ���� � �

������ ��� ��� � ��� � �

��� � �

��� � �

�� � � � ���� � �

�������

���� �� �� � �� �

��

����� ��� ������

�� �

��

����� �� ������� �

��

����� �� �����

MATEMATIKA 2 265

,��� �� -� -����� �������

��� � ���� ��� ��

��� ��� �� �� � ����� � � � �� ��� � �� �� ��� � � � � �

���

� ���� ���� � � �� � � � � ��� �� �� �� � � ��� �� ��0

���

� ���� ���� ������������ �� ��������� ������ ������#���� �������� ��� ����

�� &����� �� �� �� �������� ����� ��� ���������� ���#

������������ �� ������� ��� / � �� �� ��

���

���

���

���� �� � ���

���

���

���

���� ������

���

���

���

���� ���� � ���

�� �� �� ��� ���� �� �� ��� �������A�� ����� ����� �

������������� #��������

��

��� ����� � ��

��

��� � ����� � ��

��

�� � ���� �� ������� �� ���

MATEMATIKA 2 266

���� �� ���������� � �� ��� ���� ���� ���������9 ����� ���� ��� ��� � ��� �� ��:

���� �� �� � �� �

��

�������� � �� � �����

�� �

��

����� � �� ������� �

��

���� � � � ���� �

�� �

����� �

����� �

���� � � � ���� �

� ����� � �� � �� � �� � ���

����� ������

��� � ���� � ���� �� ��� ���� �� �� � �� � � ���

�� &��� �� ���� � ���� ������ �������A���� ����� �� ������� 1������ '�',��

��� � ���� � ��

MATEMATIKA 2 267

���� ��.�� ��������

����2�� ��� �

����� ����4 � ����� � �� ����� � �������

�� ���������� �����A�� - � � �.( /��

�� � ������� �����A�� � �.� /� -� � ��

�� ���� ������� �����A�� �

. � . ��� �� � / � / ��� �� � - � - ��� �� �

������ ��� �� � . ��� ��

��� � / ��� ��

��� � - ��� ��

��

� � �

���� � � � �� ������� �������� � ������� ����� ��� ������� �

� � �� �

������ ����� �� �� � �� � � ���������� ���������������� �� �� ����

� � ��.� /� -� � �� � - � ��.� /�� �.� /� � ��

� ������ ����� � �������� �� - � � �.� /� ����������� ������� ��� �

MATEMATIKA 2 268

67

Page 69: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�� ���������� �����A�� ����� ������� � � ������� �.� /� -� ��=������ ��

� �.� /� -� � ��.� /�� -�

��� � ������������ ������ ������ ����� �

� �.� /� -� � ��.� /�� - � �

����� ��� ��� �� �� ����� � ������

���� ���

�.

��� �

��

�/

��� ��� �

�� �� �����A�� ����������� ������� � ����� ���� ��� � ����� �� � �.�� /�� -�� �-� � ��.�� /��� ����

�� ���.�.�� /�� �.� .�� � ��

�/ �.�� /�� �/ � /��� �- � -�� � ��

��

����� �����

. � .� � � � ���.�.�� /���/ � /� � � � ���/ �.�� /��� � � ��- � -� � �

MATEMATIKA 2 269

����� �� ��� ��� ���������� ������� ������

�� - � .� � /� �������� ����������!

�� - ��.� � /� ���A�!

�� - ��

�� .� � /� ����� ���������!

"����� � �����A�� ����������� ������� � ��� ����� �������� ���������� � ����� �� � ��� �� � �

� �.� /� -� � .� � /� � - � �

����� ��� �� � � .��� � /

��� � � � ��

��������

� ��� �

��� ��� � ���

��� � ������� �

��� �

��� � �

��

�� ��� �.� �� � �/ � ��� �- � � � �

�� .� �

/ � �

- �

��� �� � � �

����� . � � � �� / � � � �� - � � �� � � �

MATEMATIKA 2 270

"� �����! ���� � � � � � � ������ ����� ���� �������� ����� � � �

� �� ������� ����� �.� /� -� �� ��� � ����� ����� �.� /� -� � � #$��� � ����

� � ��.� /� -� � � � � �.� /� -� � �� ��

������ ����� ����� �! � ����� �����! ��������

����� �.� /� -� � ���.

��� � ��

�/

��� � ��

�-

�����.�/�-

��� �� �� ����������� �������! 4�� �� �� ��� ������A�� �������� ����������� �������! ���# � ������� � �.�� /�� -�� � � �

�� ���. ���� �.� .���

���/ ���� �/ � /���

���- ���� �- � -�� � �

� �����A�� ����� ��� ��� � �� �

�� .� .����. ����

�/ � /����/ ����

�- � -����- ����

� �� � � �

%�A� � �� � �����A�� � �.� /� -� � � ����������4����� �������� ��� � �

MATEMATIKA 2 271

����� �� ���� �

� � �� � �� � �.� /� -� � .� � /� � -� � �

$��� � ����

� � ��.� /� -� � �� � .� � /� � -� � �� � ��

������ ����� �� � �� ����� ����� �.� /� -� � �

����� �.� /� -� � �.� /� -� �� ��� �

��� �� � � ����� ���������� ��������� ����#

���� ���� "��� � � �����! �# ����� ��� � �������� ����� �� � �� ��� �� ���������� �����A��

��- ��

�� .� � /� ����� ���������!

��- � ��

�� .� � /� ���� ���������#

MATEMATIKA 2 272

68

Page 70: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

%�� 4�� ������� � �������� &������& �� ��� ����������� ��� ��� ������ � ����� � ��������� ��������� � ��� ��� �

� ��������� ���� ����!

��� ��� � . ������ � / ���

��� � - ���

�� � � � ��� �� �

���� � � ����� � ����� ���������� ���� ��� &������&�� ���������� ������� � � �� ������� ! ������� !���#! ��� ��� ������# '����! ��� ���� � ������

��� � �� ��� � � ���

��� �� �� ��� ��� �� � . ��� ����� �/ ��� ��

��� �- ��� ��

�� �

��� � ����� �� �� � ����� � ����

� � ���� ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��

����������� 4����� �������� ��� � � ��� ��� ������������ �������

. � . ��� �� � / � / ��� �� � - � - ��� �� �

� ��� <���� ��� ������ � ������ � ���� ������������� �

MATEMATIKA 2 273

����� �� ������ � �����A�� ����� ���� �������������� ������

�� ��� ��� �� � � � � � ���� �� � � ��

��� �� � �

�� �

� � ��� �� � � � ��� �� ������� ���� ��� �� ������ ������������

�� ��� ��� -� � � � ���� �� ��

��� � -

�� � � � ��� �� �

- � ����������� �����! .� � /� � ��� �- � �� ��

�� ��� �.� /� � .��� �/

��� �� �.� /�

�� � �.� /� � � � ��

����� ������� �����A�� ����� ������ � � � � ���

�� ��� ��� �� � ��� � ���� � ���� � �� � � ����

� ���� � �� ���� �������� �������!�������� ���� ����� � ����������� ��� � ��������������� �

��� � ��� �#

(�� ����� ���� ����� �� ���� �������� �����A������� ������ � � ������� �����A�� ��� �����#

MATEMATIKA 2 274

���� � ����� � ������ ��������� �����A��

��� ��� �� � . ��� ����� �/ ��� ��

��� �- ��� ��

�� � ��� �� � ��

��� �� � � ������ ��� � � � �� ����� �� �� �

��������� ������ . ��� �� � / ��� �� � - ��� �� � ������������ ���� �������� �������� �� ��

)������ � �� �������� ����� ����� � � ��� � ���� � � �� ������ � ���� ����� � ������� �� ����� � �

��� ��� � ��� ��� ��� �� �������!��� ��� � ��� ���� �� � � �������!

��� ������� ����� �� � ��� ���� ��� $����������������� �� �� ������� ���� ��

��� � ����� ��� ���

����.

��

��� �

�/

��

��� �

�-

��

���

��������

��� � ����� ���� ��

����.

��

��� �

�/

��

��� �

�-

��

���

��������

�� ����� � ������������ � �� � � ��� ����� ���� �� � � ��������� �������

MATEMATIKA 2 275

��� ��� �� � ��� � ���� � �

����������

��������

�.

��

�/

��

�-

��

�.

��

�/

��

�-

��

�������������

�� ���

� ��������� ���� ��� � ������ ��� ��� ����� � � �����

�� � ��� ���� ���

'����! �����A�� ����������� ������� �� ����� � ������ �� � ��� ���� ��� ���������������

.� .� / � /� - � -��.

��

�/

��

�-

��

�.

��

�/

��

�-

��

����������� �

��� �� � �������� � ����� ������ ������ � � ��������� ���

'����! �� ����� � ������ ���������� �����A�� - � � �.� /�

��� � ��� ��� *#��� ������ ��� ��� �����

��� �.� /� � ��� . ���� / � ��.��� � �/��� �

�� �

MATEMATIKA 2 276

69

Page 71: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�� � �������� ������ ��� ��� ����� ��

���� �.� /� �

��.��� � �/��� ����

� � ��.�� � ��/�

���� ���� 2����� ������ � ������ ������������ ��2���� 4� ������� ��� �4 ������ ��

MATEMATIKA 2 277

������� � �� ����4��� ������ �����! ��� � �������� �������������� �������

�,����� ����� ���� � � � � � �! � � ��!

�������������� ������! � � � � ��������� �������� � � <���� �� ������� � ������ ��������� ������� # ���� � � ����� ������ �����A�� - � ��.� /�! �.� /� � �# $��� ������ ��2� ��! ��=����� � ��� ���

��� �

���

�� � ��. �.� /��� � ��/ �.� /���!.!/ �

���

!�

� ��������� ��=���� ����� !� � ���� ��2� ��#'����! ����4��� � ������ &���������� �����&���������� ���������� ���� ��� ����� ����4���#

%��� �� ������ ��� ��� �� ��� ��� ����4��� !� ���������� ���

*�����++�����#����#��+ ��*+ � �')! ���������! ���#C&! �� ����� ��� '�=���� *#�#,

MATEMATIKA 2 278

� ���� ��� ������ � � ��� ��� � ����� � ������� ����� �����

S 1

S 2

S 3

S 4

S 1

S 2

S 3

������ � �� �� ���� � ����� � ���������� ��������� ������� ����� ��!###! �� ���� �� � ����� �-������ �������- �� ������ ����������� ������� ������ ����#

�� ����� ����� ��A� � �� � �� ����2��� ������!� ���� ����4��� �� ��=���� ��� �����

��� � ���� � � � � � ����

MATEMATIKA 2 279

��� �� ������� ��2 2���

�,����� ���"� ���� � � � � � �! � � ��!

���������� ������ ��������� �����! � � � ������� ����� ������ �����A�� - � ��.� /�!�.� /� � � �

�! �� ��������� ������� �� � <���� �� ������� � ������ ��������� ������� # $��� ��������� ��������

���

��.� /� ��.� /��

�� �

����.� /�

�.

���

����.� /�

�/

��!.!/

������ � ��� ��� ��������� ��2 2��� �������������� � �� ����� � � �������� � �� ���

�!�

���� ���� � �� � ������ � ������ � ��������� ��� ������ #�

MATEMATIKA 2 280

70

Page 72: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� #� .������� � ���4�� �������� ���� ��������

�!�! ��� �

��.� /� -� � . � / � -�

� � ��� �������� �����4�� ����� � .# ������� #

X Y1 1

Z

/��� � �� �

�- � ��.� /� ��

�� .� � /�� .� / � ��

�.� /� � �

�� � / � ��� .�

� � . � ��

�� ����.� /�

�.�

�.��� .� � /�

���.� /�

�/�

�/��� .� � /�

MATEMATIKA 2 281

�� �

� �

����.� /�

�.

���

����.� /�

�/

���

�� .� � /�

��� � �� �!���

�!� �

���

�. � / �

��� .� � /�

� ���� .� � /�

!.!/

������� ��������� �

������

�" � � � " ���

��� "�

���

�� "�"!"!� �

� � � � ���

MATEMATIKA 2 282

$������ ��

*�% 0������ ��� � �� ����� � ������ ������ ��� �� -������� ���� ����� ��� � ��A��� � 4�����-��������! ����� ��A�! ����� �� ��� ��#� ����� ���.� /� -�! ���� �������� ���4�� �������� ���� ����� ��� ��� ���� ������#

*��% 0�� � ����� � �� ������� � ������ � ������������ ������� ���� ������� ����� ��� � � � � �� ������ ����� ���4�� �������� ���� ����� ��=���� ����������� ����! �#��

�!� �

����

�!��� � � � �

����

�!��

�� ���� ������ � ��������� ���������� ���4��� ���������� ���� ������&��� ���'� ���� �� �� � � � � �! � � �

�!���������� ������! � � � �� ������� � ����������� � #� $ � �# $��� ���

�#� � $�� !� � #

���

�!� � $

���

�!�

MATEMATIKA 2 283

��� �� ������� ��!� 2���

%�� 4�� � � ����� ���� ����� ���� ��� ����� ����������! � ����� �� ��������� ����� ���� <�������������� �� �������� �� �������! ���� ����� � � ��������� ���� ��� ���������� ��������� �� �������� ��������� .������� ��������� ���� �� ����� � � ��=������ ������4�� �������� ���� ������

� ���� � � ��=������ �������� ���������� ���� �������#

������ ������ ��������� ��������� ���������� ������� ����������� ��������! ���� ����� ��=������ ��� ��������� �����# ������ ��=������ ���� �� � ��� ��������! �� � � ������ � ����������! �� ��������� � �� � �� ����#

"���������� ����� � � ��=������ �� � � ������������������� ������������ �������! � ������������������ �� � � ������� ��� ����� �������#

� �� ����� ������ ���� � �� ������� � � �2������ �� ���� � ���� ���� <���� ����� ��������������� ��� ����� ������� ��� �! � ����� ����� ���� ���� �#

MATEMATIKA 2 284

71

Page 73: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

)#�����

"������ ���� �� ��� ������! �# ��� ���� ��� � ��� �������� �! �������� � ���� �� ���� ������������� ���������� ��� ������ �������#%�A� � �� � ������ ����� � ���������� ��� � ������������ ����� ����������� ������� � ����� � ��&����������� ����������&! �# � ������ ����� � �������� � �������� ��� ���� �������#

'���� ����� �! ����� � � ������������ ������������ ��� � � ���� ������ � ���� �� ��� � ��������#����� ������������ ��������� ����� ��� �������� ���� ���� ������� 4�� &������& �� �������� ������#

$��� �� ��� ��� ����������! �# ������������� ����������� ����� ������ �����A�� - � � �.� /� ��.� /� � � �� 1���� ��������� ���� �������� ���� ���� �������

MATEMATIKA 2 285

��� ��.� /� �� �.�.� /�

��� � �/�.� /�

��� ����

�� ��.�.� /���� ��/�.� /��

��

��� �������� �� ��������� ����� ��� - 4������ ����������

��! � ����� ��������� ���� ��� ���� ����������� ��.� /�! ��� �������� �� ��������� ����� ��� -���� ��� �������

��#

MATEMATIKA 2 286

2.slikaPrimjer neorijentabilne plohe je Möbiusova vrpca.Promatrajmo pravokutnik pa mu zalijepimostranicu sa stranicom i to tako da smo"preokrenuli" i identificirali s i s . Dobit cemoplohu, tzv. Möbiusovu vrpcu.

Pokažimo da Möbiusova vrpca nije orijentabilna ploha!

• Odaberimo bilo koju njezinu tocku 0 i u njoj nor-malni vektor 0 pa ”krenimo kroz njezine normalnevektore u kontinuirani obilazak” po naznacenoj(crtkanoj) jednostavno zatvorenoj krivulji.

• Vrativši se u polaznu tocku 0 pojavit ce se normalnivektor 0. Primijetimo da pritom nismo napuštali”odabranu stranu” te plohe (tj. nismo prelazili prekoruba), a na kraju-pocetku smo se našli na ”drugojstrani”. To, zapravo, znaci da Möbiusova vrpca imasamo jednu stranu.

MATEMATIKA 2 287

(a ) (b )

*#�����

� 0�� ����� � ��� ������ ��� � �� ������� � ������!�������� � ������������ ������������� �������������� ����� � ������ � <������� ����������! �#���������� ���� ��� ����� ������� ����� ���������� �� �����# ����������� ��� ����� ������� ������ � &������ �������& ���� ���� �2�

� ������� ����� ��� ���������� ��������� �����������! ��� ��� �������� ������# /��� � �� ���!�����! � �� ���� ������! 2����! � !�!��� �!!���� �� � ��������� �! �# ��� ����� ���� ���������������� ��� ����� ������� �������

�� ��� ����� ���� ���� ������4��� �������

��#

MATEMATIKA 2 288

72

Page 74: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�,����� ���'� ���� ���0 � �0.� 0/� 0-� � � � �

�� � � ������������� ������ ���������� �����! � - � ��.� /�!�.� /� � � ��! �����A�� ����������� ������ ������ � �! ��� �� � � � ��������� ������� ��� � ����� ������� � ������ ��������� �������#$��� ��������� ����������

��0.

��

�.� 0/

��

�/� 0-

�.�/��.�/

!.!/

������ � ��� ��� ��������� ��!� 2��� ������������ ���� ��0 �� ����������� �����

� � ��������� � ���

��0 � !��� �����

��0 � ��� �!�

��� ���� � �� �� ������ ����� � ������ � ��=����� �� �

!� �

��� ��.�.� /��

�� ��/�.� /���!.!/

MATEMATIKA 2 289

���� ��.� /� �

� �.�.� /���� � �/�.� /�

��� ����

�� ��.�.� /���� ��/�.� /��

��� ��� � �� �� ���4�� �������� ����� �����

% �

���

��0 � !���

� ��������� �� ������ ����� ���� (!����� ������������ ���� ��0 ���� ����� �#��� �! ��� �� ��0 ���������� ���� ������ ���� ���!���� �������� % �A� � ����� ����� ��� �������������� ���� ��� ��� ������� ���� ����� � � ��������� ���#

� ������ ����������� �� ������� � ������ ������

�!�������� ���������� �� ������������ ������� ������

��� � � � ��

��! ��������� � ���4�� �������� ����� �������=���� � ��� �������� ����! �#��

��0 � !��� � ��

���

��

��0 � !����� � � � �

���

��

��0 � !����

�� ���4�� �������� ����� ����� ������ ��� ����� �

MATEMATIKA 2 290

&��� ���)� ���� �� ��0 ���� � � � ��! � � �

�!���������� ��������� ������! � � � �������������� ������� � ������ ����� � #� $ � �# $��� ���%��

��0 � !��� � ���

��0 � !��� �

�%��

�#��0 �$��� � �!��� � #

���

��0 �!��� �$

���

��� �!��� #

$������ �� �������� � �4 ���� ����� ���4������������ ����� �����# ���� � �� ��� ���� ����������� ���� ������� �� � �� � � ������� ��������� ���!

��� � ���� � & �

��� � ' �

�� � (�

�������� ���4�� �������� ����� ����� � � ��������

��0 � !��� �

���

�0. � & � 0/ � ' � 0- � (�!� �

���

0.!/!- � 0/!-!. � 0-!.!/

� ����� � �� ! ������� � �� �4 ���� ��=���������4��� ��������� ����� �����#

MATEMATIKA 2 291

���� �� ���� ���������� �������� ������

�)�� � � � �� � � ���

� ��������� ����� � � �! �� ����

��� � � � &��� � � '

��� � � (

��

�������� �������� ��� ���� ������ �� �������������� �� ����� � � ���� ��� �����# $��� �� �����������4�� �������� ����� ����� &��=����& ���� ���������

�� !/!- �)!-!. ��!.!/ �

���

� � & �) � ' �� � (�!�

����� � �� �� ����� ������ ���� ���4�� �������� ���������2�

$�������� 0�� � ������������ ������ ����� ������� �����A�� - � ��.� /�� �.� /� � � ������ ��������� ���� <��� ���� �� ��������� ���� ����� �������

MATEMATIKA 2 292

73

Page 75: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� ��.� /� � � �.�.� /���� � �/�.� /�

��� ����

�� ��.�.� /���� ��/�.� /��

/��� � �� �

� ( � ���� ��.�.� /��

�� ��/�.� /����

���� �

!� �!.!/

�� (���� � ��

�� !/!- �)!-!. ��!.!/ �

���

� � & �) � ' �� � (�!� �

���

� � & �) � ' �� � (�!.!/

�� (� ����

� � &

�� (� �)� '

�� (� ��� (

�� (��!.!/

MATEMATIKA 2 293

����� *� .������� � ���4�� �������� ����� ���������

.�!/!- � /�!-!. � -�!.!/�

��� �� � � �� &������& ������ &�����& ��������� �������� �����A�� .� � /� � -� � ��#

X Y

Z

(n 0 ) 1

- (n 0 ) 2 S 2= S 2+

S 1 = S 1+

a aO

�� ���

3������ � &�����& ��������� � �� ���� ������� � �� � ��! ��� �

���� -��� � ���� � ��� � .� � /��

�.� /� � �

� �� � . � �

� � / � ��� � .�

/��� � �� � �� -������ ������-! �� � �� ��

�� ��

��!�� �� $���� � 5#)* ������

MATEMATIKA 2 294

����

��0 � !��� �

���

��

��0 � !�����

���

��

��0 � !����

���

��

��0 � !�������

��

��0 � !����

$��A��� �������� �������� ���

������.� /�

�.�

�.��� � .� � /�

������.� /�

�/�

�/��� � .� � /�

$� � � � ������ ��� ��� �� �� ������������# '����!

����

.�!/!- � /�!-!. � -�!.!/ �

����

�.� � &� � /� � '� � -� � (��!���

���

��

�.� � &� � /� � '� � -� � (��!��

MATEMATIKA 2 295

���

�.�������.

�� /�

������/

�� -�

�!.!/�

���

�.�������.

�� /�

������/

�� -�

�!.!/

���

�.�

.��� � .� � /�

� /�/�

�� � .� � /�

�!.!/ �

������� ���������

�����

�"� � ����� � "��

"� ������ � "�

�"!"!�

� �

��� �� � ���

� � �

"!"��� � "�

�!� � � � � � ��

�+,- 5./ 0-��.��������� ��� ���4�� �������� ����� ����� ����������� � ����� �2

������� "������ �� �� /��� -�����4���� -! � ����4������������ �����A�� / � *�-� .�#�

MATEMATIKA 2 296

74

Page 76: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�$�$�������� ����� � �������

-24�� ���� ��2�� � ������� ���� � �� ��4������* �

� � ������ ���� ��� 4���� 2��� �� ��#��2�� ������� �� ��$�

+* �

������ ����� ������� � �� ���������� ��� ��

��� � � ��� � � ���

2������� ����� �� �� �� � * � � � 2������4������ ��� �4�� �� 4�����2�� �� ��� � 2��������*��

) ��

�* ������� �� 2 ����� ��� � � �# 4 2����4� -����� 4���#�������� ��������

*

��!��� �* �

���

�*

��� ����) � ���

�*

��� ���� � �)��

�������� �� �� ��� � ����������#�������� ��#��� ������� ������ �������� ��������� � �� ��

���( � � �

������� ���� �� �� ������� � ����� ��� ��������* �� ����� � �� �* �� ��� ����� ������ ����� �������� ���� �

MATEMATIKA 2 297

���*

���

��

���

�(

��

������ �

���*

�� ��� � ��� � �( ��� �� �)�

��� �� ��� � ��� � ��� � �������� �� � ������ ��#�� �� ����� �* �

������� �� ���������� ������ ��� ��� ��� ��� ���

)

����� � ����� � �����

�� �� ��

) ��� � � �� � �� � �� � � ��� ������� ����#��� ���������� �� � ��

)

����� � ����� � ����� �

���

)

��� � ���) �

�� �� � � ��� � ��� ��� ��� ��� �� �� � ����� �� �� � �� � ���� �� �� � �� � �� ��� ����� ���� � � � ��� � ������ � ��

MATEMATIKA 2 298

���

)

����� � ����� � ����� �

���

)

��� � ���) �

���*

��!��� �* �

���*

��� � ��� � ���

������ �

������ ���������� �

���*���

��� � �� ��� � � ������ �

� ��

�� �

���� �

� �

����

���

��� � � � � � ����

��

MATEMATIKA 2 299

!��� � � � ��� � ����� ��� � �� ��������� ��#� ���� �� ����� � �������� ��� ���� ?� ������ ? ���������� � "� �� �� ������ ��� ��� ������ �� � � � �� � =����� ��� ��� #���

*

��� �* ����

���*

��* ����

���*

���* ����

���*

���*�

��)

��� ��) � �����)

���)������)

����)������)

����)�

�� ��� ����� ���� � � � � ��� � ����� ���������� � ��� � � #

MATEMATIKA 2 300

75

Page 77: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ��� � � : � �� �� �������� �� ��� ��� ��� � � $�%&� � � �� � ������� ���� � � � �

���� �� �� �� ���� ��� ��

��

���*

���� � �* �

���*

� � ��� � �) �

����

���*

� ��� �) ����

���*

� ��� ��) ����

���*

� ��� ��)�

��

� ���*

��!��� �* �

���*

��� � ��� � �)

��

���*

�� ��� �* �

���*

��� � ���� �)�

��

���*

� �* �

���*

��! ����� �� �* �

��

���*

���� � � ��� ��) �

���*

��

���� �)�

MATEMATIKA 2 301

��!�"�� !��� �����

�� ��� ����� ��� ��� � ���� ������ � '����� #���� �� ���� � =����� �� ������ ������������������ � ���� ������ � =����� � ���������9(�� ��� ��: ���������� �������� )�� � ��� � �# ��� �� ���� �� � �� ��� � ������ ����������� ������� � �� ��� ����� � �� ��� ��#��� ��� � =����� ��� �� �����

������ ���#� � �� � * ��� ����� �� ����� �������� �� � ���� � ������ � � � �� � ) ��� � �* ��� ��#����� �� � 9�� � ���� : � �* ���� ���� � �� * ���� ��� � � �������� ������� ����� �� �� � ) ��� �

*�� � � ������� ���� ���� �� �� * ��� � � ��� � �#����� ���� ���� �� �� * ��� � ���� � #

�� ���� � �� � � ������

� �* ����

��)�

� � ��� � �)

9� ������ �������� ���� �������� �����:+

����� ��!��� �� � � ������

� �* ����

��)�

��� � ��� � �)

9������� �������� ���� � ������� �����:+

MATEMATIKA 2 302

�� �� ��� �� � � ������

� �* ����

��)�

��� � ���� �)

9� ������ �������� ?����? � ������� �����:+

�� � �� � � ������

� �* ����

��)�

��

���� �)�

����� ������ � �� ��� � =����� ��� � ���� ���� �� �� � � �� ��� ���� * ��� �������� ����� ������� * 9��� ����� � : ����� � �� � ������� �� ����� )� � ����� � � � � � ��� ���� ����� �� �� � ������� * ?�� A ? � � ������ � ��� ���� �� �� ��� ���� �� � A� � �����

MATEMATIKA 2 303

$�%������ ��!�����!����� �� ���������

�������� �!��������� ���� ���� � ������ ������� ���� � ������ �� ��� ����� ��� � �������� �� ������ � ���� � � �� � �� ��� � ����A���� �������,������ ����� ) � � ������� � �������� �� ������������� � ������ ���� ��� �� ������ � �������� ���� � ��� �� ��� ����� )� - �� ���� ����� )����� ��� �� �� ���� )�� ����)��

(�������� � ������ ���� ��� ��� ����� )� ��� �� ��� �� � �� � �� "� �� � ���� �� �����#�� �� � )� ���� � ������� �������� � ��������� � � �� �������� �� �� ��� � ���� � �������� � ������� �� ����� )� � ������ �� � )� ���� � ��

��� � ���� � � �)�� � ��� ���� � ��� � ���� � �

�����A�� ���� ��������� � ������ ���� ��� )� ��� �� �� ��� �� )�

���

��� ���� � ��� ���� � ��� � ���� � � �)��

� �����A�� ���� ��������� � ������ ���� � � ������ � # �� �� "� ��� ����� )� - �������� �������� ���

MATEMATIKA 2 304

76

Page 78: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� � � 9 � �)�� � ) � � : ����� ��� � ���� ������� ��� ��� ��� ��� #��

)

���� � ��� � �)

���� ��� ��A �� ���� &���� !���"���� ���� � �������� ������ ���!�&�� ���% ���'� )� !��� ��� ��� � �� �������� !�� ��!������ ����� ���� ��� ����� )�

.������ ���� ���� � ������ ��� �� � ) 9��� �#����� ������� ������: � � �� � ) � )� � )� 9)�

������ :� ��� �� �� ������ � ���� �� �������� � ��� ��� � (�������� � ������ ���� � � ������ � # �� �� "� ��� �� � ) � ����� � ��)

���� ���� � �) �

��)�

���� ���� �� �)��

��)�

���� ���� �� �)��

��� � ������� ����� ��� ������ � )�� �� � ��� ���)� ��)�

���� ���� �� �)� �

��)�

� ���� � �������� ���� �

��)� � ��

9� � ����� ���� �

�� ���:�

� ������ ��� ������ � )�� �� � ��� ��� )�

MATEMATIKA 2 305

��)�

���� ���� �� �)� �

��)�

� ���� � �������� ���� �

��)� � ��

9� � ����� ���� �

�� ���:�

!��� ������ ��� � � ���� ������ �������� � ������ ���� ��� "� �� ) � �� ���� � "� � )� *�� � ������ ���

��)

���� ���� � �)

���

� � ��� � ������ ��� "� # � �� � "� � � ������ � ������ � "� # ������ ��� "� � � ��� � ������ � "� # � �� ��� "� �

/������ �� � � � � � � $�%0����

��! ���� �� � � ������

� �* ����

��)�

���� � ��� � �)�

��� � ) ��� �� � ������� � �� � ���� � ������ ���� ���

��! ���� �� ����

� � � � ����� � � ��� �� ���� �� ����� � � � �����

.������� �� ���� ������� ��� ���� ��������� �� ����� ) ���� ��������� ������ ��

MATEMATIKA 2 306

(�����)*� ���!����!�!�

����� ���� ���� � ������ ����� � ������������ �� � �� �� �� �� � 1��� � ������ � �������� * �� ����� � ���� � ��

� ��� �

���*

� �� �� �� �� �*�

� ����

���

���*)

���� � ��� � �) �

���� � ��������� � ������ ���� � � ������ � ����� "� �� �������� *� ��� ��� �� ��� ������ �� ������ ��� - ��� �� ��� �� ������� ���� � # �� �������� �� ���

����

*

��

���* �

� ������ ��� "� �� * 9��� ��� ������ ���� � �� �� � ����

� ����� ?�?:� ) ��� ���� ����� ��� ����� ������ ���� � ����� � ���� �� * ������� �� �� *��� "� � ������� ��

��

���*

� �*� �

MATEMATIKA 2 307

!��� ���������� ��� � ��� ������� ������ ��� ����� � � ������ � �� ��� ��� �� * #���

*

���� � ��

��

��* �

���*

���� � ��� � �)�� � �����

���*

��! ����� � �*

�� �� � �� ������ � ������� ������ ��� �� � �# � � ��� � ������ ����� �������

� �

���*

��

��� ��! ����� �� ���

�*�

/������ �� �� ��� �� �� ����� ������� * �� ���� ��� ���� � �������� ���� ��

��

��� ��! ����� � � ��� � �

2 ����A�� ��� � ������ ������)*� ���!����!�!� ���� ��A�� ����� � ������������ *�� � � �������� ��������� ��� ��������� ������� � ���� �

��! ���� � � �� �

*�� � �� �� � ���� ���� � �����A�� ��� �� ���� � � ������ � ������ ���� ��

MATEMATIKA 2 308

77

Page 79: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� � � ���������� �

� � ���

� ��� � � ����A�� ������ �������� � ������)*��

*�� ��� � � �� ����� �� ����� � * 9 � �: ����� ����A�� ��� � ���� �

��

��� ��! ����� � � ��

���� �� � �������� � ������ � ���� �

��!��� � ��

MATEMATIKA 2 309

+!����� � �������

)� ��� � � ��� ���� ��!

��

�� ��

��

���� �

��

�!

�� ���

���� � �������� ��� ��� �� �������� ������� ! � ���� �� �������� ��� ��� ��� ��� �� �� �������� )����� �� ��� � ��� � � ������� �� ��� � �#����� �����#��

!

��� ��� ����

���� �

��

�!

��� �������

��!

��� ���� ��"�

)��� ���� ����� �� ���� ������ �� � ��� ��#�� �� ������� � ������ ���� ��� � ����� ) �� ��� ��� �� �)�

�� ����� ������ � �� � =����� �������� ��#� ������� ���� � �� ���� ����

(�� ��� �� � � �� ��������� ����� ) ������� ����A��

� � #�� ��� �� �� � ! ������ ������ � �������� ������ � �����

MATEMATIKA 2 310

��� ��� �� �� #�� ��

��� � #��� ��

��� �����

�� �#�� ����� �#��� ���

��

��� ���������� � �������� ����� ������� ���

���������� ���

) � ��� ������ ���������� ��� �� # ��

)� ��� ������ �� �! 9�� ��� #����� ������ ����� �� �������� �������: ��������! ��������� ��� ���

�! 9?������ � �� �� ? ��� � ����� ��� ����� ��� � ���

��� : �� � ����� ���

��� �������� 9� ������ ��� ��:MATEMATIKA 2 311

�! ��� � ���� � � ����� � � ��� $��

/������ �� � �� �) 9�� ��� ����� ������ ����� ���������: ������ ������� �� �! � ) ���������� ��������

) ��� ��� �� �� � ��� � �

��� � #�� ��

��� � �� �� � !�

�� � ��� ������� ��

�! ?� ����? �� �) 9��������� ��: �������� � ���

�) ���

�) ��� ��� ����� ����� � ��� ��� �

� ������ � ����

��� � #����� ������

��� � � � ��� $��

��� ������ �� �� ������

) � �� ��� ���

�)�������� ������!������

!����� � �������� � ������ ��� ������ �

�! ����#��� ����������� ��� �������� ��

�) �� � ������A � �� �� �����

) � �� ��� ���

�) ����������� ������� ��� ��� �� � � ��� �������� ��� ����������� ?������ � �� �� ? ��� � ����� ��� ���#�� ��� ������ � ����MATEMATIKA 2 312

78

Page 80: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ����� �+!����� !������ � �� � � � ��� ��� � � �

� � ������ �������� ���� �� �� ��

) � � ��� ������ �� ��� ����� ������ ����� ��

�)�������� ��� ��� ������ �� ���� � �� ��� ����� ����������� �� �������� ���� ��� �� +!����� � ���������

)

�� ��� � ���) �

��

�)

��� � ������

��)

��� � ��� ��"�

�������� �� (��� �� � ���� ���� � � ��)��� ���� ����� �� ��� ��� ������� ������ - ������ � �� ��

���( � � �� � � ���

������� ���� �� �� � � ) � � �� ��� ����� ����������� � ��� �) �� ��� ����� ������ ����� ���������� ���� � ������� )��� ���� ����� ��#����� ���� ���� ��#�

�)

�� ��� �(�� �

MATEMATIKA 2 313

��)

��(

��� �

��

���� �

���

��� �(

���� ��

��

�� ��

��

���� ���)�

�� �� � �� ��� ��� � � ��� � �������� �� �������� � ���� �� ����� ) �������� ��� ������ ���� �)�

MATEMATIKA 2 314

������� ,� ���������� ���������� � ������� �����

�� �� �� � ��� �� �� �� � ����� �� ��

��A ��� ������� ����

�) ���� ) ����� � �#���A�� � �

�� � � ���

������ �� ��� � ����A� ���� ��

)���� � #�� �� � �� � � ���

�� �� � ! � ��� �� � � � �� � �� ���

/������ �� �������� ��� ������� 9� ����

�): �� )

�������

) ��� ������ ������ ��� � 9� ����� �� #:��

�#�� ��

��

� �� � � ��

�#�� ��

���

�� �� � � ��

��������

��� ��� �� �� #�� ��

��� � #��� ��

��� �����

�� �#�� ����� �#��� ���

��

MATEMATIKA 2 315

���

��� �

���

��� �

�� � � ���

���

�) �

��� �#�� ���

�� �#��� ������� �

��

�� � � ������

���� ���������

�)

��� � ���� ��

�)

�� � ���� � ������������ ��� �

���

)

�� ��� � ���) �

��)

����

��� ���

��

���� �

���

��� ���

���� � �

����

�� ��

��

���� �

�) �

��!

��� �� �

�� ��� �� ��

��

���� ����� �� � � ���

� ��

�� � � ����� �

MATEMATIKA 2 316

79

Page 81: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ����

!

������������ ���������

��� ��

������ �����

� ��

���

��� � ���

MATEMATIKA 2 317

�� ��� ���� ����������������� ��

MATEMATIKA 2 318

##�" ����

������ ������� �� �������� ���!������A��� ����� � �)� 6� ��� ������

� � % �)� ��

�)� % �)� � � � % �)� �)

�� ����� ������� �# + ������ � �)� �� ���� 3����7�� �� �������� 74 8�� ��� 6�������� �����

�)� �

% �)� �) � �� � � ��

����� "

�� � ��� � �� � ��� �

��� � �� � � � ���� � �

#������ �� ����8��� � ������� ��� � �� $6�������� �������5������ �������5

�� ��� � ��� � ��� � ��� � ���

5�������4 6�������� �������������4 ���8���� ��������

�� ��� � ��� �

MATEMATIKA 2 319

� ������������� �� �� ���� ��6���� ���� ��� ������A� ���� ������������ 6������ ���6 ������6��� ����� 4 ��6���� ������� 6��� ��6�5���� ��������7 � ��������� ����6���� ������#

� 6������������ ������A�� ��6�� �� ������ �������������� �� ��� ��� �� ���� ����6���� ������4 ���������� ����� ��������#

� �� ������� ������������� ������A�� �� ��� ����8���������� ���� �� ����6� ������A��#

� ��"� ����� ������� ������������� ������A�� �5�������� ��

��� �� ��� ���� ���� ��� � ����

�� � ��� �� ��� ���� ���� ����

����� �"�7

�� � � � �� �

�� ������� ������������� ������A�� ���� ���� 6����6����� ��������4 � � � ���� ����6���� ������77

MATEMATIKA 2 320

80

Page 82: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�7��� � ��� � ��

�� ������� ������������� ������A�� �� ��� ���� 6����6����� ��������4 � � � ���� ����6���� ������74

�7

��

��� �

���

�� ���������� ������������� ������A�� 6�� �� ��6�5���� ��������4 � ��� ��� ����6���� ������7#

� ���#���� ������������� ������A�� �5���� ���� ������ ������ ���� �8���� 66������ �� ����������������7 ���������� 6�������� ��� ��������5���� ������A� #

� ����#� � ������������ ������A� 6����� �������� �� ������ 6����������� ��� ����������7 ����4 6������ ������� ����������� ���������� 6��������� ��� ������������ ������A� #

MATEMATIKA 2 321

����� �" 6��� �� ������������� ������A��

��� � � � ��

��������� ��� �� ���� �� ������5

�� ��� � ��� �� �� ��� � ��� �� �� ��� � ��� �� ��� ����8���� ������ ������������� ������A��# �����5

�7�� ��� � ��� � �� ��� ��� � � ��� � �� ���� ��� � � ��� ��

$�8������� ������������ ������A� �������

� ��� �� �� ������

� ��� ��������

� ��� � � ��

�� �� �� ��� � ��� � ���8����#

#������4

�7�� ��� � ��� � �� ��� ��� � ��� � �� ���� ��� � � ��� ��

$�8������� ������������ ������A� �������

MATEMATIKA 2 322

� ����� �� ������

� �����������

� ��� � � ��

�� �� �� ��� � ��� � ���8����#�7

�� ��� � ����� ��� � �� ��� ��� � ��� � � ��� �

�� ���� ��� � � ��� � � ��� ��

$�8������� ������������ ������A� �������

� ���� � ��� �� �� ������

� ����� ��� �� �� ����

� ��� � � ��

�� �� �� ��� � ��� �� ��� � ���8����#

� ��"� ���#���� ������������� ������A�� �5��� ���� ��������� ������

��� �� ��� ��� ���� ��� � �

���� � ��� ��� ���� �� ������ ���������4 ���� ������5������ ������A� 6�������� ����������#

MATEMATIKA 2 323

� ��$���� ���� ��� ��!����� � ���#���� �� ����� �6��8��� ���8���� 6��� ���������7 6� ��������� �����5����� ��������� ��� ��� ���� ��# 6� �� �� ������������ ������� ���8����4 ������� �� ������ ��5����� 6�%����4 �6# ���� �� !��� ����� ��� ���� ���������# 5�� �� ��8�� ���8���� ��6���� ������ �6 �����4 �������� ��������� ����4 ���� �6�������A��� ������� ���8����

����� �" &�8�� ���8���� ������������� ������A��

��� � � � ���

� ��� � �� ��� � � �� ��� ���������5

� ��� � �� ��� � � �� ��� � �� �� ��� � �� ��� �� �� ��� �

�� ��� ��� � ��� ��� �� �� ��� ��

$�8������� ������������ ������A� �������

��� ��� �� �� ��� �� �� �����

� �� ��� � � �� ��� �� �� ���

� ��� � � ��

�� �� ������ ������

� ��� � �� ��� � � �� ��� �

MATEMATIKA 2 324

81

Page 83: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���8���� 6� �� ���������� ��������� �� � ���

�7 "� �� � � � �� � � ������� ������ ����� ���8����

�� ��� � ��� ��

�7 "� �� � � � �� � � ������� ������ ����� ���8����

�� ��� � ��� ��

�7 "� �� � � � �� � �� ������� ������ ����� ���8����

�� ��� � ��� �� ��� ��

� ������� ������� ���8���� ������������� ������A������ �� �� ��� ������ �6 ��8��� ���8���� 66���������� ���������� ��������� ��� ��� ���� ��7� �����8���� ��6���� $���!������ ���#������#

� ��� ���8���� 6������� ������ ��� ��8���7 �� ��6���� ������� ����!��� 6��� ������� �� �������� ����!��� 5 6���8�� ���8����7#

MATEMATIKA 2 325

����� �" &�8�� ���8���� ������������� ������A��

����� � �� � � � ���

��� ��� � �� � �

6��������� �� �� �� ���8����7� )� 3� ��� ������� ���8����

� ��� � � � � ��� � ��

6��������� �� � �� ���8����7 ���� �� �� ��� �������6 ��8��� 6� ��� �������� ��������� ��������� �#6����4 � ��� � � � � ��� � �� � ���� ����� ���8����#

-4 -2 2 4

-2

2

��� ��� � �� � � � � �� � � ��

��� ��8��� ���8���� 6���������� ��� ���7 �� ��������� A���� ��� ��� � �� � � ����� �� � ������ ������98���9 �� ��� �� � ����� ���� �����% ���8���� � ����� � � � � � � ��#

MATEMATIKA 2 326

��� ����� �� ����5

� ���������� ���8����7

� ����A���� ��% ��� ���� ����% ���8����7

� ������������ ���8���� 6 ���� �������� ����#

)� 8���� �� ����� ���� ����� ������� �������% ����5���������% ������A�� �� ��� ���� �� ��� ����4 ��#�������������� ������A���� ������

��� �� ��� � � 6��� �� � ��� ��7�

��� �� ��� ���� � � 6��� ��� � ��� �� ���7#

�"�" ���������� ������������ ���������

"� ��������� =6������% 6������%7 �������� ��������������� ������������ ������ 6������6�����7 ���� � ������ ���� ����� �������������% ������A��# ����8� �������������% ������A�� �� ���� � �������� �������%4 �� ������ ���� ���� ������ � ������� ���� ����8�� �������4 A����� 9���������� � � 8�����9#

MATEMATIKA 2 327

����� �" ������� ������

���� " $ ��6��� ��� ������� �� � ���8���� ������ ��������� ����� �� ��6�� �������� ������5�������� � ������ ���� ���� �������88� # ���# ����6���7 ��� ������ �������������� �� ���� ���� ������ ������4 ��6��� ������� ����������� ���� ���5����������� �� ���� ���� ��������� �� ����4 ����� ���������������� ��������� ��A���� ����4### #

& 6��������� ������������ ��� ������5

�� ���

��� ���

6��# ���# � ���� 5 ���!����$�� �� �� ���7

��������� &��� ��5

� ������ � ��6����� ��������4

� �������� ��� ������ ����6���� ������ � ��� �

� �� ��� � ����

����� ������� 6���� ��� ���7 ��� ������

����� #

MATEMATIKA 2 328

82

Page 84: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

$������5

� ��� �� � � � ���� ����

��� �� 8�� 6����� ��

��� ������ �����4

� ��� �� � � � ���� ����

��� �� 8�� 6����� ��

��� ������ ����#

8��8���� ��

��

��� �� �� ��

�� � ��

�� �� ��� � �� � �� �� � � ���� 6� � ����7#

1������� � ���� 3� ���� ����� ��������� ����� ��� ��# �������� ��� ������ ���� �� �� � �� 9 � 8�� ��� ��� � ��� � �� ���8���� ��

� ��� � ������

��� �� ������ ��5

t t

y y

0 0k>0 k<0

y0 y0

MATEMATIKA 2 329

����������� �� �� ���� 6���7 ��� ������ ������5�������� ���� ���� ��� ��� ������ �� ����� �������� ������� ����# ���# ��� �� ���� � ��� ��������������� ��� A������� �� 6����� �� ���# A����� ����������� ����������4 ���� ��������% ������������4 ��� ��5����� %����4### #

���� �" ������������ �� �� ���� ��� ������ ������5�������� �� ���� ���� ��� ��� ������4 ��� �� ����������� ������ �������� ������� ��� ������� ��������� ��&� ���� ��A��� ������� ����5

� ����� ��� 6� � ������� �����7

� ����

� �� 6� � � ��

)����������� ����� �� ����$ � ��� ������������ �� �� ���5

��

��� ��

��� �

�� � � �

�����4 ��� ��

� � �� � �� ������� ������ ���� ���

�� �� ��#

�� �

�� �� �� ��

��

��� ���

MATEMATIKA 2 330

� � � � ���� ���

�� �� ��# �� �

�� �� �� ��

��

��� ��

&�8�� ���8���� ����������� ������������� ������A�� 6��#���# �� ���# ��# 5 �������7 ��

� ��� ��

� � ������

1������� � ���� 3� ���� ����� ��������� ����� �����# ��������� ���� �� �� � �� 9 � 8�� �� � ��� � �

���������

� � �� �� �� � �

� � ����

��#

� ��� ��

� � ������

�����

��� �� ������ ��5

t t

y y

y0<K, k>0 y0>K, k>00 0

MATEMATIKA 2 331

����� !" 1 �� �� ��������� ������� ��� ���� ���5������4 � ����� ����� �� �������������� ���� ���������#����� ���� ��� ������ �� ����# &������� �6��6 �������� 3� �� ���� ��������� ����� � ����# 1����� �� ��� 5������ ����� � ����:

)����������� ����� �� ��� �������� ������A����

��� ���

&�8�� ���8���� �� ������������� ������A�� ��

� ��� � �����

9 � 8�� �� � ��� � ����� �����

� ��� � ��������

6����4 � � 8�� �� � �� � ����4 �� ��

���� � �������� �� � � �� ��

�� ��� ��� � ������ ��� � ���� � ���

#��� ��

� ��� � ���� � �� � ����

MATEMATIKA 2 332

83

Page 85: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� "" $ ��6��� �� � 8���� ��� ����# ����� ��������� �� ���� ���� ������ ����# &������� ������ 8�� �������� ��6�� ����� � ������4 ��� �� �������� �� ����������� ��6��� ����� ����# "� ������ ������ 8�� �������� ��6�� ������� �� ����

)����������� ����� �� ����������� ������������� ���5���A��

��

��� ��

��� �

��

���� �� � � ����� ��������� ��6���# &�8�� ���8������ ������������� ������A�� ��

� ��� ��

� � ������

�����

� � ������

9 � 8�� �� � ��� � ���� �����

��� ������

� � ����� � � ��

6����4

� ��� ������

� � ������

1��� 6���� �� �� ���� ���� ������ ���� ����� ���������4 �� �� � ��� � ���� �� ��

MATEMATIKA 2 333

��� ������

� � ������� � � ��

��

��� � ��� ��

6����4 ���� ���� ��6�� ����� � ������ ��

� ��� ������

� � ����������

#��� �������� ������ ������ 8�� ���� ���� ��6�� ������� �� ���� �����

��� ������

� � ���������� � �

�� �

��� � �� �

8�� �� ������A�� ������ � �������#

MATEMATIKA 2 334

����� #" �$�%����� &���� '�� (������ ���������������� �� ����� ������ �������������� �� ��6������������ �� ��� ������ � �������# & 6��������������������� ��� ������ ��5

��

��� �� �� � � � � � � ��

���� ��5

� ������ � ��6����� ��������4

� �������� �� ������ ����6���� ������ � ��� �

� �������� �� ������� � #

8��8���� ��

��

��� �� �� � � � �� ��

� � �� �� ��

�� �� �� � � � � ��� � �� �� � � ����� � � 6� � ���7#

1������� � ���� 3� ���� ����� �������� �� ������ �� ���� �� �� � �� 9 � 8�� �� �� � ��� � � 4 ������ ��� � �� � � � ���8���� ��

� ��� � � � ��� � � � �����

MATEMATIKA 2 335

����� )" ������� �������� ���������� ��������������� ���� � ����8��� �� ��� � ��� �� �����#

����� ��������� ���� � � ������ � ���A���� ������ ��������� � ��� � �������� �� ��� �� ���� ��A � ������� �� �� � �� ��� � ��� �� �� ����� �������� ���� �� � � ������ �� ����� ���� � ����A� �����A� �������� � ����� ����� ���� �� ������ ���������� � ��� � � �� ���� ���!�� ��� ������ � ����

���� ���

���� ��� ��� �� ��� ���

���� � �

�� ��� �

!�� �� � "���� �� ����A� ������ ���� #� ������� ����� � �� �� �� ���!�� ������ ��� �� ���� � �� "��� � ��� � ��� ��

MATEMATIKA 2 336

84

Page 86: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� " �*������� '��� + ,���+ ��� �������� �� � ���� ��� � ����� �� � � ������� � � ��������� ��� �� ���#�� ��� � "���� �� ����A� � ��������� � ����� � ����� ��������� ����� ��� ������� ��� �� ����� ���� � � � ��$%���� ����A� � ��� � ������ �� �� �� !� � � � ������ ��� �� �� ����� �

-��.����� %��� �� � � ����A� � ���� %� ��� ��� �� �� ��� !�� �� ����� �������� ��� �� ��� ��� � � ��� ��� ������� ��� �� ��� �� ���� � ��� ������� &���� �����&� ���� ������� �� ������ �� ���� �� '��� �� ��� ��� ��� �����A��

���� ���

���� ��� �� ��� ���

���� ��

!�� �� �� �� � "���� �� ����A� ������ ���� ���� ���!��� ������ � ���� ����� '�� ����

�� ���

���

��� �� � ��� � ���

�� ����� ������ �� ���� (������ � ������ ) ������

MATEMATIKA 2 337

*�� �� � ������� � � � ��� ��� �� ��

�� � �� � � � �� � ���

� ��

�� ���

��� ��� � ��

����� �� ��! ����� ���� �� ��� ����

� ��� � ��

��� � ��� � ���

*�� �� � ������� � � � ����A� � ��� � ��� � ��� �� ��

�� � � ��� � ���

+ �� ��� � ��! � � "���� ��� ����A��� ,��!���� �� ���� ����A� � ��� � �� ���� � �������

� ��� � ��

��� � ��� � ���

-�" �� "��� �� �� ����� � ����� ��� �������� � � �� � �� ��.

MATEMATIKA 2 338

��� !� � � � ���� � ���� ������ ��A��� ����� � ���� ������ � ������� "��� ���

�� ��� � � ��� � �� � � � �����

����� �� ���

� �� � �

���

� �� �

�����

MATEMATIKA 2 339

�"�" $��� ��/��� ������������ ��������� ,���0����

�"�" " ���������� ���.����

%���� ����� ����� �� ��� �� � ���! ���� � "���� ��� ) ����A� !�� ����!��� �� �

�� � ���� ���

�� ����� �� � � � � �� � � ��� � "��� �

��� �������� �� � ���� � ����� �� ��A�����!��� �� ����� "��� � � � ��� ������� ������/������ �A�� ���!�� � "���� ��� ����A��

�� � ���� ��

���� �������� � ������ �����

� � �� � � � ��� ��� � ���� � ���

� � �� 0��)1��� ������� � ������� � ������ � ����� ��

MATEMATIKA 2 340

85

Page 87: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

1���� " ��������� ��� �� �� "��� �� � � � �� � � ��� ����� ���� ��� � �������� ������� �

� � ���� �� ��� ��� ���� �� ��� �� � �� �� � ������ � �� ��� �

� � �� ����� � � 2

� � �������� ���� 3 ���) ����� ������ � ���� ��� �� ������ ��� ����� ���� ��� ��� � �

����� �������� ���� � � ��� � ��� �

+� � "���� �� ����A�� � ������ � ��������

�� � ���� ��� � � ��� � � ���

� ����� ���� ���!��� ���� �� ����� � "��� �

� ��� � �� �� � ��� �� �� � �����

���� �� � � ������ ����

� � ��������� ��� � ��� �� � ���4��� � � ��� 3 ���) ������ ���������

MATEMATIKA 2 341

����#� ����� ������

%�� � �������� ! � �*� � � �� ��� ������� � ����A�

! � ��*� !�� �

��� ������ ������ �*�� !�� � ��� � ���� �� =� ���� � ���� �� �� ������� ! � �*� � ������ �*�� !�������� ����� � �*�� !�� �

��� � ��� �������� � ����A�� ��� �� ��� � ���� � ������ ��� � ������6� ������ ������ �*� !� � ��� �� 5� � � �� ���� �� �� � �� ��� ����� ������� � � ����A� ���� ������ �� �������

%�� ������ &�� �� �� & � ��� ��������������� � =����� ��� � ��� �� �� ���� ����������� �� ��� � �A � ������� ����� ��� �������������� ��� �� ��� �� ����� ��� ��� ������ �� � ���� �� � � ���

,��� ���� � ������ �� 5��� � ���� �� � ������ ��� ������� ����� � � ����� �� =��� ��� �� ����� �� � 6� �� ������ � � ����A�� � �*� !� � �� � � ���� ! � �������� � � �� � ���� ���� ����������� �������� ��

MATEMATIKA 2 342

� ��� ��� ��������� ����� �������� � ������A���

,� ! � * �

�� ! � �*

!�

�� ����� ) ��� ���� �� ����� �������� � ��������������� ������A���

! � * � ! � ! � *� � !� � �

����� ��

MATEMATIKA 2 343

�� ����� � ��� ���� �� ����� �������� � ��������� ��������������� �����A��

�!

��� &!

��� !

�� & � � �

��� ������� ���� ������ �� ������ ����� �� ����� �����& � ��� �� ���� � �� ������� �������� �������� � ���� �� ������� � ����� �� �� ������ � �����)�� �� ������ �������� ���� ������A�� �� �� ���� ���

! ��� �����

� � ���������

� � � �� �� ������ � ���� ) �� �� ������ �������� ������

� ��� �����

�� ��������� �

����� �

MATEMATIKA 2 344

86

Page 88: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ � ����� ����� ��������� � ������ � ����� �� ��� �������

!������������ �� �� ������� �������������� ������A������� ���� � ��� �� �� � � ��A� ������� ��

� � ���� ��� �� � ��� ���

��� ����� �� ����� ���� ��� ����� "��� �� ��� ����������� ��� ���� � ��� ���� �� � �������� ����������� ������A��� ������

���� ��� � ��� � ����

#�� ������� � �������� ��� � �������� � ������������������������ ������A�� �� �� � ���������� ��� ����� ��� ���� � ��� ���� ���� � � � $� ���������� ���� ��%�� �������� ������ �������������� ������A�� ��������� ������ &���� �������� � ������

� �

���� ���

# � �� ������ ��� ��� � � ������ ���� ��� ���������������� ���� �� ��� � ����� �������� � ���� ��� ������� � �� � �������� �������� �� ���

���� � ����� � ��

MATEMATIKA 2 345

� ��� ��� '������� �������������� ������A��

� ���

�� ���� �� �

���� ��

���

��

� �

���

�� ���� � ������� � ��

��� ��� � ��� ���� � � ���

��� ���� �� � � ����� � ������� � �� � � ��# � �� ���� �������� ����� � � �� � � �� ��������������� ��������

����� � ��������

MATEMATIKA 2 346

!���������� ���� ���� ��%�������� �������� ��� ��������������� ������A�� � ��� �� �� � � ��� ������� ����

� � ��� � ����

���� ��� �� ��� ��������� ���� ��������� (����������) �� ��� �� ������ ������A��

��

���� ��� ��� ��� � �� � � � �

*����������%�� ���� ������ �����������

����

���� �� � ��

��� �������� ��%��� ���������� ��� ������ �������� ��� �� ��� ��� ���� ���������� ����� ��� �����������������A����!����� �A��� �� ��� ������ �������������� �������A�� �������� �� ������� � (���� ��� � ) � ������

MATEMATIKA 2 347

� ��� ��� +�������������� ������A��

� � �� � �� � �����

�� � ���������� �������������� ������A��

����� � �� � �� � � ���

��� �� ����� ��

��

� � �

��

��� � ��

( �� �� � � � � � � � � � ���)�'������� ��� ����� ��� ���� ���������� ���������������, *����������%�� ���� ������ ��������

� �� � � � � ��� � � �� � �� � �� � � ��

-���%�� �� �� � �� � � ���� ����� �� � ��� � � �������� �� � � � � �� �� �� �� � ��� � �� �� �����

� �� � � � � ������ � ��� � � � � ����

.������ �� ��%�� �������� ������� ����

� � ����� ���

� � ��� � � ������� ��� � � ������

MATEMATIKA 2 348

87

Page 89: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!�������" ��� �� �������� ��������� �� ������������ ���� � � � � (��������� ���������%�� � � ����� � )�

'��������� ���� ���������� ��� ��� � ���� �� ���������

� � � �������� � � �� �� ���������� � ������������A�� ��������

� � � � � �� � �� � �� �� �

.������ �� �� � ��������� ��� ���� � � � ���������

� ���� ��� � ���� � � � ��� ������� ������A�� ����������� � � � ��� �� � ���� � �������� ��������

!���� ����� ��� �������� �� ���� ��

� � ����� ���

� � �� � � � � � ������ � � � � ����

� � ����� � � � � ��

���������� �� �� � � ����� � ���������� ������������ �� �� ��A��� ������ �������� �������� ��

MATEMATIKA 2 349

�� ����� �� ��� ���� �� ��� � �������� (������ ���)�

10

10

x

y

f-5

f-5 f1

f1 f02

+� �� �� �������� ������� ��������� ��� �������������������� ������ �� � �� �� � �� ����� ���������� �������� � � ������A��

� �� � �

� � � ��

+������� � � �� �� �� ������� ��������

����� ���

� � �� �

�������� � � �� �� � � ���� ���� �� � � ��� ����������� �� ������ ���� �� ��� �� �� ���� �� &������� ��� ��������� ������� ���� ���� &���� ����������������

MATEMATIKA 2 350

������ #���$��� � ����� ����� ���������

+������ �� ������� �������������� ������A�� � ��� �� �� �� ��� &����� �� ����

� � ��

��

�������� � %���$���� ��������������� ������A�������� ����� ����������

�� � �� � �����

�������� �������������� ������A�� � ���������� �������������

���� � ��� � � � �� � ��� � ��

���� ����

��

+� ��� ��%�� �������� ������� ������� � ���� ����

���� �� � ����� � �

�� � � � � ����

MATEMATIKA 2 351

� ��� �&� /�����A��

�� �� � ��� � �� � ��� �� � �

�� ������� �������������� ������A�� ������ ������� ����������� � �� �� ������ �

� � ���

���

�� ��

$������� � � ��� � � � � ��� �������� ������A��

�� � � � �� � ��

�������� ��� �����

� � ��� �

���

�� �� ���

����� � � � � ����� � � � � ����

-���%�� �� �� � � ��� ���A��� ��%�� �������� ����

� � �� ��� � ������ � � � � ����

MATEMATIKA 2 352

88

Page 90: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

!���������� ���� �������������� ������A��� ��� �� �� � � ��� ������� ����

� �

���� � ��� � ����� � ��� � ��

��

# � �� ������������

� �

���� �� ���� ��

���� � ��

���� �������� ������

��� � ��� � �� � ��

��� � ��� � �� � �

��� ������ ����� ��������� ������ ��� �� � ���� ��� � ���������� �� ���� ������

� � �� � �� � � �� � ��

�������� ������� �������������� ������A��

� � ��

� ��� ��������� �� ����� ������� �������

MATEMATIKA 2 353

# � �� �� � � � ���� ������� ���� � � � �� �� �� ����� � ��� � ����� � ����� "��� �������

� � ��� � ���� � � �� � ���

������� ������ ������A�� ��

���� � ��� �

�� � ��

�� � ��

��

� ��� ������ ������� ��������� ��������� � � ��

� ��� �'� '������� �������������� ������A��

� ��� � � �

� � � � ��

.����� ������A��

�� � � � � �� � � � � � � �

��� �������� ��� �� � ��� � � �������

� � � � �� � � � ��

������ �������������� ������A�� ������ � ��������������������� ������A��

� ��� �

� � ��

$������� � � ��� � � � � �� ��������

MATEMATIKA 2 354

� � �� ��� �

� � �� �� �

��� � � � �

� � ��

� � �

��� � � � ��� �

��

���

� � �

��� � � � ��� � � �����

� ��

����� � � � �

�� � � ������ ����� � � � �

�� � � ������� ��� � � � � �

������

0�A��� ������ �� � � � � � ���� � � ��%�� �����������������

� �

�� �

���

� �

�� �� � �

��� ���

�������

�� � �� � �� �� � �� � ��

MATEMATIKA 2 355

����&� ( ����� � ����� ����� ���������

+������������� ������A�� ��� ������� ����

� � ����� � ����

������� � ������ � ����� ������ ���������������� ����� 1�� ����� ������A�� ��������� �� ��� ���� �������� ��� �������� ����)���� (��� %����$���) �������������� ������A��

� � ����� � ��

1���������%�� ��������� ����������

�� ����� ���

�� ���

� � � � ���

�� ��� � � ��

���� ��� � �� ���� �� �� ���� ��� � ����� �����)��)� � (������� �������� � �� ������ ����������� ���� ����) ����� �� ��%��� �������� ������ (��������) ������A��� ������ ������������� �� ��%���������� ���� �

� � ���� � ���

�� ���

��� ����� ����� �������� (�� �� �������� ��������)

MATEMATIKA 2 356

89

Page 91: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

��� ���� � �� ����� � �� ����� �������� ��� � � ��������� � � ������ ������A���

� ��� ���

�� �� � � ��� ���

�� �� � ��� ����� �� �

�� ��� � � ��� ���

�� ��� �� �

� � ��� �

��� ����

� ��� � � ��� ��

�� �� ��

� ��� �

�� ��� �

��� �� �� � ��

!���� ����� ��%�� �������� �������� ��������������������A�� ������ ���� ����

� �

������ � �

��� �� �� � �

���

��� ��� � � ��

MATEMATIKA 2 357

� ��� �*� +������������� ������A��

�� � � � ��

�� � ���������� ������A��

� �

�� � � ����

�� ������ ������� ������ ���������

� �

�� � � �� ��

�� �

��

�� � �

���

�� ��������%�� �������� � ���������� �� �� ��%���������� ���� �

� �����

���

���� ����� �������� ��� ���� � �� ����������

��

��

�� ����

��� ��� �

� ��� � ��� � ���� � �� � �� � � ��

!���� ����� ���A��� ��%�� �������� ����

� � � ��

��� � � ��

��� �� ��A� ������ � ���� ��� � ������� � ��MATEMATIKA 2 358

$����� �� �� � �������� ������ ���������� � � �� � � ����������

� � � ��

��� � � ��

�� �� �������� ������� �������� � � ��

!��������� ����� � �������������� ������A��

� � ����� � ������� � � �� � �

��� ������� +������ ���� ����������� 1���� �������

���� � �

����� �� �������� (�� �) �������������� ������A��

� � ��� ������� � ��� �������

��� �� ����� ������� �� ������� �������

MATEMATIKA 2 359

� ��� �,� /�����A��

� � �� � ����

�������

���� � ��� � ���

��� ��

��

������ � �������� �������������� ������A��

� � ��� � �����

���� �� ��%�� ��������

� �

������ � �

� �� �� � �

���� �� �

��

����

� �������

� �

����

� ����

�����

� � � ��

+� ��� ������ �������������� ������A�� ��� ��%����������

��� �� �

� ����

� � � ��

MATEMATIKA 2 360

90

Page 92: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����'� -$���)�� � ����� ����� ���������

# � �������������� ������A�� � ��� �� �� � � �����������

� ��� �� �� � ���� �� �� � ��

��� ���������

���

��

���

��� � � �� � ��� �� �� � ���� �� �� (�������) �������������� � ��� ���� ��� �� �� � � ��� ��� ���� �������� ���� ���� ��������������� ������A�� ������ �����

0�A� �� �� ���� �� � ��� � �� ���� �� � � ���� ����� ���� ��� �� ���� �

��� �� �

� �

��

� ��� �� �� �

� �

��

����� �� �� � ��

������� �� ��� ����������� ��� � �������������� �������A�� � ���������� ����������� ��� ����

MATEMATIKA 2 361

� ��� �.� +������������� ������A��

�� � ��� �� � ��� � �� �� � �

�� ��� ��� ��� ��

�� ��� ��

���

��� � ���

��� � �

����� � ���

���

����� ��

���

.���� �� ������ ��%�� ��������� �

��

�� � ��� �� �

� �

��

��� � ��� �� � �� ���

��

��������

����

����

�����

����������

�� � �� � � ��

��� �� ��A� �������� �� (� � ������������������)

��� � ���� � �� � ��

$��������� ��� ����������� �� �� � � ���� �� � � ����������� � � �� �� �� �������� ������� ��������

��� � ���� � �� � � ��

MATEMATIKA 2 362

# � �������������� ������A��

� ��� �� �� � ���� �� �� � �

���� ��� ��� � � � ������� ��� ���� ��� �� �� ��� �� �� �� �� �� ��

�� ��� �� �� � ����� �� �� � �

��� ��� �������������� ������A��� ���� �� ��� ��������� (��� ���) �������������� ������A��

����� �� �� � ����� �� �� � �� �� � ��� �� � ���

������ �������� ������ ������A���

2� ��� (��� ����) � ������� �)�$�� ��� � (���-���� �) ���) �� ��)����

� 1��� &������� ��� ���� � ���� ����� ������������(1�%������� ����� �������� �� � ���������� ��������������� ������A��,)

MATEMATIKA 2 363

� # � �� � ��� ���� ���� ����� ��������� (���� � ���� �)���� �� ������� ���� &������� ��������� �� �� ����������������� � �������� ���� � ��A��� �������� �������

�����

����

��

� ��� �

���

� ����

��� �

��

��� �

��

��� �

��

��� �

��

���

���

��� ��

��

�� �

��

��� �

��

���

� � ��� � �� � � ����� ���� ��

��

��� ��

��

���

��

���

�� �������

��� ��

��

��� �

��

��

MATEMATIKA 2 364

91

Page 93: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� � ��� � �� � � ����� ���� ��

��

��� ��

��

���

��

���

�� �������

��� ��

��

��� �

��

��

� ��� �/� '������� �������������� ������A��

��� � ��� ��� � �� � ��

-���%�� ��

��

���

� ���� � ����

��� �� � ��

��

���

� ����

��� ��

�������������� ������A�� ���� ��� ����

MATEMATIKA 2 365

1������� 3������ �������� ��������� � ��

��

��� �

���� �� � ��

��� � ����� �

��

��

��

��� �

���

�� � �

���

1����� �������� ������A���

� � ��

���� �

���� � ��

� �

����

� � ��

��� �

� �

����

� ������ � � � �

�� �

�� ��

MATEMATIKA 2 366

���� !��� �� 0��� � ����� ����� ��������� ��$�$���

1�%������� �������������� ������A��

� ��� �� �� �� � �

������� ������� � � � �� ������

� ��� �� �� �� � �� � � ��

������ � ����� ����� ��������� � ��� �� �� � �

# � �� � ������� ��������������� ������A�� �� ����������� � ��������� �� ��� � � ������A�� ������� ����

� ��� �� �� � ��

���� �������

� � �� � � �

�������� �������������� ������A�� ������ ����

� ��� �� �� � ��

1������� �� ������ �������� � � ����� ��������������������� ���A��� ��������

� �

����� ���

MATEMATIKA 2 367

� ��� ��� '������� �������������� ������A��

� ��� � �� � � � ��

$������� � � ����� � � � �������� ������A��

� ��� � �� � � � ��

"� �� ������A�� ��� ������� ������������� ���������

��

�� � ��

�� � ��

.������

� ��� � ��������� � �

��

����� �����

� � ���� � �

���

�� �� ��%�� ��������

� � ����� ���

�� ���

MATEMATIKA 2 368

92

Page 94: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� � ����� ����� ��������� � ��� �� �� � �

# � �� � ��������������� ������A�� � ��� �� �� �� � ��� ���������� � ��������� � �� ���������� ��� � � ��������A�� ������� ����

� ��� �� �� � ��

���� ����A� �������

� ���

��� � ��� � � �

��

����

����� �

��

����������

�����

� ��� ��� '������� �������������� ������A��

�� � ���� � ��

�� �������� ������� �������� ��� ���������� ����������� �������

�) � � �� � � �� � � �4

�) � � �� � � �� � � �4

�) � � �� � � �� � � �4

�) � � �� � � �� � � �

MATEMATIKA 2 369

$������ � � �� � � ���� � � � ����� �������� ��������

��

���� � �� � �� ��� �

���

��� � �

�� ��

+� ��� ���� ����

� � � �����

��� � � � ��

# � �� � � � � � ���� ��

� � �

# � ����

��� � � � � ���

��

����

��

���� ��

� � � � ��� �� ��

�� �� �� �

.������

� � �������

!���������� �� �� ���� ������� �����%��� ������(�� � �� �� � �)�

�� &���� ���� ���A��� ������� ���������

MATEMATIKA 2 370

(�) !������� ����� � � �� � � �� � � �� ������� �

� � ������ � � � ����

��������

� � �� � � � � �� � � �

(�) !������� ����� � � �� � � �� � � � ��������

� � ����� � � � ��

��� �� ������������� +� ��� �� �� ������� ��������������� ��� �� ���������� ���� ��������� �������

(�) !������� ����� � � �� � � �� � � � ��������

� � ����� � � � �� �� �� � �� �� � �

��

�� � � �����

(�) .������� �������� ����� � � �� � � �� � � ��������

� � ����� � � �� �� �� � � �� � �

��

�� � � �����

MATEMATIKA 2 371

������ �������� ����� ����� �������

6�� �� ������

��� �� ��� ���� � � ��� �� ��� ����

�� ����� �� �������� � �� ��� ���� ��� ��� ��

� ��� ��� ���� ����� � � � ��� �� ��� ����� � �� ���� ����� � ������� �� ������� �� � ������ ����������� ������A��

� ��� �� ��� ���� � �

�� ����

� � ��� �� � � �����

���� � �� ����������� ������A�� ������ ����

���� �

�� �� � � �

�� �� ��� � ��� � �

�� ��� ��

��� ��� ���

� ��� �� �� �� � ��� � ��

��������

� ��� �� �� �� � ��� � �

MATEMATIKA 2 372

93

Page 95: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����� ����������� ������A�� ������� ���� ������ �������� ����� � ��������� �� ��������� � �� ��� ����

������ ��� 3���������� ������A��

��� � ���� � ����� � �

�� �� ����� � � � ��� ��

������ � ����������� ������ � ������ � ���� � ������

�� ���� � ���� �� � � ����� ��� �� ������A��

� � �� � �� � �� � ��

���

� � �� � �

������

� � ���

� ��

�� �� �� � � ��

�� ��� �'��

� �� � ���!���� ������� ������A�� ����

� � ����

� �����'� � ������� ����

MATEMATIKA 2 373

"������ � ��� �� � ���!���� ����������� �������A�� ���� ����

� ��� �� ��� ���� � � � � ��

� � ���� �� ��� ���� � � ��� ��

�� ����� ������� �� ��� �������

��� �������� �� � � �� ������ �� � �

���� ������ ����������� ����������� ������A����� #� ���������� ��������� �� ��������� � � ������� ������

� ���� � ��� �� ���� � ��� ��� ���� � ���

� � �� ���� � � ��� ��

����� � ������� � ����������� ���!���������$��� ������ �� ������A�� ���� ���� ����.������ ���!���� ����������� ������A�� ��� ��������������� ������� ������ ��

"�������� �� ������ ��� � ����$��� ������ ������������ ���!����� � �� � ����� ������ ����� .

MATEMATIKA 2 374

������ �� �� ����� %��� �� ������ � ��=������ ����� ����� � ����� ���� ��� ��� ��� � � ��� ���� ���� ����� ����������� ������

�� ���� �� ��� ���� � � ��� �� ��������� �������

�� ������ � � � ����� �� �������������� ���

������������� ��� ��� �

���� ��

�����

���� ���

���� ������ ������� ��� � ��� � � ��� ����� ���� ���� ������A�� ���

�� � ���� �� ��� ���� ���� �����

� ���������� ���!���� � � � ��� ���� ������������������ ������ ��

�� � � � ����� �� ��������

���� ��� ���� �� � �

������ �� ������ � �� ����� � �����������&������� ����� �� ������� � �� ��������� ���

MATEMATIKA 2 375

������ �� ��� � � ���� ��� � �.

����� ���� ���� ���� # � ����� ����

�������� ��� ��

���� ��� � ���

� � ��� � ��� �

3����� � ����� &��������� ������ �� ������ ��� '�������' �� � ����� � � ������������ ���!��������$����� ������ � �� ��� ������A�� ���������� �A� �� ��������� '��� �����' � �����������

�������� ���������

���

(���� �� �������� ���������� ���!���� ����$����������� �� � ����� �� �������� ������������ ���!��������� ��� ������ ��� �� � ��� � ��� ������� ����������������� ���!���� ���� � �������� ������� ������ ��� ������A��� #���� ���� �� �A��������� �� ������� ������ � ��� �A� ����A���� ���� �������� � �� � ���������

MATEMATIKA 2 376

94

Page 96: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ������ ����� ����� ������� �����!��!�� ���, ���!��

6�� ����������� ������A�� ������� ���� ����!������

��� � ��� � � � ����� �� � �� ��

����� � � �������� ����� ������ ������ �������� ���� � ����!��!�� ���, ���!��� ( �������� � � ����� �

��� � ��� � � � �� �� � �� �

!�� �� ������� ��� �������� �� '����!����'� �������A���

)�A� �� ������� �� ��� ������ ������� ������������ ������A�� � ����� ����� ���!���� �� ��������� ����� � � ��� � � ��� �

� � ��� � �� ������ ����������� "����!� ���###

������ ���� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ������!���� ������� �� ����� ������A�� �*�� ���� ��

� � ������� � �������� ����� � �����!���� �� ������A���

3����. @������ �������� ��� ��

MATEMATIKA 2 377

"�,� �� ���� +� � � �� �� ��� ���!������ � ����� �� � ����� ������� �� ����� ������A���*� ������� ��$������ ��� �

���� � ���� � �

������������ ����� � �� ����� �� � �� � ��

'����� ������� ������������ ��� �� �� � � ����%��������� ������ ����� ,���������

������ ���� 6�� �� ������ �� � ����� �� � ������������ ������ ���� �� ,��������

� ��� �

���� ����� ������ ����� ������

���� � �� �� ���� ��

3����. ���

������ ���� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ��������������� ���!���� ������� �� ����� ������A�� �*����� ��

� ��� �

���� ����� ������ ����� ������

���� �� �� �� ���� ��

MATEMATIKA 2 378

������ ��&� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ���������� �������� ���!���� ������� �� ����� �������A�� �*�� ���� ��

� � ������� � �������� ����� � �������� �� � ���!�����

3����� � �� ���!���� �� ����� ������� ������A���*� ���� �������� ��� �� ������� ���������� ���������

� � �� �� � � �� ���� � ���� � ������ � �����

�� �� � �� � � ������ �������

3������ ������ � � ���� � ������

� � � ���� � ����� � ������

���� ��� �� ������ � � ����������� ������������� �������� �� #���� -�. #���� -�/ ������ �� ������ ��� �� ������� ���!���� � ��������� ������ � ��

� ���������� �������� ���!���� �� ����� �������������A�� �*� ����� ������ ����� �

MATEMATIKA 2 379

������ ��'� "����� ���� �� ������ � �� ������������� �� ��

� � ���

������� ���!���� �� ����� ������� �����������������A�� �*��

3����.

0�� ��� ���!�����

� � ���� �� � ���� ��� � �����

� ������A�� �*� ����� �

������ � �� � � � ��

����� � �� � � ��

!�� �� ���� �����!���! � �� ������� �����������������A�� �*�� ���� �� ����� ��������� ������A�� � ���!���� � � � �� � � ��� � ������� ����� �

���� � ������

�� �

�� �� �� ����� �� ����� ������� ���!���� �������

����� ������A�� �*��

MATEMATIKA 2 380

95

Page 97: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� 1���!�� ��� �� ���� �� �� �� � � ���� ��

� ��� �

���� ���� ����

������ ���

���

���� � ��� � ���������� �� ��

�� �� ������� ������� ���!���� ������� ���������� "� #���� � -�/

� � ������ � ���

���

�� �� � ���!���� ����������� ������A�� �*��

� 6�� ��� ���� �� � �� ���� �� ��� � �� � ����� ������� ���!���� �#���� -�2��

� ������ ������������� ������� ���!���� ���� � �� �������

MATEMATIKA 2 381

������ ��(� 6�� ������������� ������A�� �� ������ ������� ����������� ������A�� �*� � �� ������ ���!����� ��� ��� �� �� � �� � ��

� � � � �� ������� ����� � ����� ������� ���!����

� � �����

1���!�� ���� �� �� ������ � ���� � � ���� �������� ��������� ���� ��

� � ����� � ����

��

�� � ���!���� ����������� ������A�� ���

3����. ���

MATEMATIKA 2 382

( ������� ������������� �������� ���!���� �������������� ������A��� ���

���� � �� ��� �� � � �� � �� ��

�� � ���!���� � � ������ � ���

��� ����� �� �������������� �� ����� ������� ����������� ������A���*� ������� � �����.

� � �������� � ���

����� � ���������� � �������� �

� ���������� ���� ��� ����������������� ����������

� ������� � ��� ��� �� � ���� � ��� ��� ���

� ������ ��� �� ��� ��� ����

�� �� � �� �� � �� ��� � �� �� � �������� � ���

�� ����� ���� �� ������� �� �� ������

� � ��� ��� ��� ��� ��� ��

������� �������� ���� �� � �� � �� ��

MATEMATIKA 2 383

)����� � ��* �� � ���!���� �� ����� ������������������ ������A��

��� � ��� � � � ��

���� ���� ��� ������ !�� ����!���� ���� ���������� � ��.

������ � ���

���� � �� ���� � � �� �� ���

����� � ����

��� � �� �� � �� � � � ��

������ ��� ����� ��� ���� � �� ���� � ���� � �� � �� ��

�� �� � �� ���� ���!���� ������� ������������� �������A�� �� � �� � � ��

������ ��� 3� ������ �������� ������������ �������A�

��� � ��� � �� � �

������ ������������� ������A��

�� � �� � � � ��

����� �� ���!���� �� � �� � �� �� � ���!���� ��� ������� ����������� ������A�� ��� ������

� � ������ � ����

���� ����� � ��

MATEMATIKA 2 384

96

Page 98: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ ��+� 6�� �� ���� ��� ���� ������� ���!����������� ����������� ������A��

��� � ��� � � � ����� �� � �� ������ �� ������ �� � ���!���� ����� ���������� ���� �������� ���!���� �� � ���!���� ������� ����� ����� ������A��

��� � ��� � � � �� �3����. ���

�� � ���!���� � �� ����� ������A�� �*� �������� � ������� �� �� ������ ������ ���� ��������� ����������� ���!���� �� ������A�� �.��

6�� �� �������� ���� � ��� ���� ����� ������������������ ������A�� �.� ������ �����

���� � ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� � �

���� �� � � ���������� �� ��� �� ��� ����� �������� � ������� �� ���� ������� ���!���� �� �A� ��� ����� ������ 4���� ���=������� "����������� ���!���� ���A � � �����

����� � ����� ��� ��� ��� �� � � ��� ��� ��� � �

���� �� �� ��� � ��� ����� � ��������� � ���=����� � ������� � � ��� ��� �� ���� �� � ��������

MATEMATIKA 2 385

������� �� �� ������������� ������A��� ���

� �

�� ��� �� �� ��� ���!���� ������� ������ � � � � ��� �� �� �� ���!���� ������� ����� �

'��=����� ����� � �� ��� � ��� ���� 4���� �� ������ �� ������ �� ������ ����������� ����� ����� ������A�� �.�� 0����� � ��� �5� �������� �� ������� �������� ��� ������ � ������ .

�� ���

��� ��� �����

��� ���� ������

�� ������ ��������

���� � ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� ��� ���

�� ����� ��� ���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ���

� ���� ��� ������� ��� �� ������ ��� ��� �� ��� ���

������ �&� +��! � ������� ����������� �������A�� � ��������� ���=���� �

��� � � � �� � �

����� � ��� ������� ���!���� ���� ����������������� ����� � � �� � � �� �� � ��

MATEMATIKA 2 386

"������ �� ����� ������A�� ��

��� � � � ��

� ������������� ������A�� ��

�� � � � ��

+��!���� ���� � �� ������ �� ��

� � �� � � ���

������� �������� ������� ���!���� �� ����� �������A��� #��� ����� � �� � ���!����

� � ���� � ���

��

�� �� ����� ������A��� ( �������� �������� ������������� ������A� ��

���� � �� � � � �����

����� ������ �������� "� ����� ��� �� � � �� ��������� ���!���� ����� ���� ����� ����� �������

����� � �� � ��

'��=����� � � � ������ �� ����� ����.

MATEMATIKA 2 387

��������� ������ � ����� ����� � �����

3����� � � � � � ��� �� �� ���A��� ����������!���� �� � �� �� %������� �� #���� � -�6 ������� ��

� � ���� � ���

�� � �� �

���A��� �� � ���!�����

"������ ���!���� ���� ����������� ������ ������ � �� � � �� �� � � ����� � ���������� ���!����� �.

��� � ���

� � �� � � �� ��� � ���

� � � � ��

������ �� � �� �� � �� �� �� ���A��� ������� ���!����

� � ��� � �� ��

������ ��,� 6�� �� � ������������ ������A� �.�

���� � ����� � � � � � ������ � � ������ �� ������ ������� ���!���� ����� �� �� �������������� ���!���� ����� ������� ������A��

��� � ��� � � � �!���� ! � �� � � � � ��

MATEMATIKA 2 388

97

Page 99: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������ �'� +��! � ������� ����������� �������A�� � ��������� ���=���� �

��� � �� � �� � ����� � �� ��

"������ ������������� ������A�� �� � � � � � � � ������������� ������� ���!���� ���� � �� � ��� �� �� � ���!���� ������� �� ����� ������A��

� � ������ �� � � �� �� ���

���� �� ��

���� � ����� � �� ��

�� � � �� �������A���� �������� ���!���� �������������A�� ������� ��������� #���� -�-�"�� ����� �� ������ ���� ������� ����������� �������A��.

��� � �� � �� � ������

��� � �� � �� � �� ��

������ �� ������ ������� ���!����� �� ���� �� ��

��� ����� � �� � �

�����

� �� �������� � � �� � � � �� ��

MATEMATIKA 2 389

(��!����� �� ���� ������ � ����� ������� ����� �������A�� ���������� ������������ � ����� �

��� ��

����

����� � ��� � ��

�����

��� ��

� ��� �� � �� ���

���� ��� �� #���� � -�-

�� � ��� � ��� ��

����

����� � ��� � ��

���� �

��

� ��� �� � �� ��

������� ���!���� ������� ����������� ������A���%������� �� #���� � -�6

� � ��� ��� �� � � �� �� �� �

��

����

����� � ��� � ��

���� �

� ��� �� � �� ��

���� �� � ���!���� ����������� ������A��

��� � �� � �� � ����� � �� ��

MATEMATIKA 2 390

-�!�� ����� �� ����!��!(����� ������ � ����� ���� ��� ����� �5� ����� � ����� ������� ����������� %� �� �� � ���!����� �� ����� ������A�� �*�

� � ���� � �����

����� ��� � ������� �� �� ������ ������ ����������� ���!���� �� ������A�� �.�� %���� � ����A� �� ���� �� � �� � ���!���� ������� �� ������ ������A�� � � ���� � ���� ��������� �� ���� ��� � ������ � �� ��� �� ��� � 3���� ���A������!���� �� �����

�� � �� ��� �� � �� ��� ��� ��

���� �� �� ��� �� ��� � �� ����� ��������� �������3������� �� ������ ����� ��������� ������� � ������� ������ ���� � ���� ���� � � 4�� �� �������3�������� ������A�� �/� ����� �

�� � � ���� � � ���� � ����� � ���

���

%��� �� ���� � 4�� ���A�� ������ �

� �� ��� �� � � ���� � ��

@ � �

MATEMATIKA 2 391

�� � ����� � ���

���

��� � � ����� � � ���

�� � ���

��� � ���

��� �

(��!������� ������� ����� � ���� ���� � � ���������� �

��� � ��� � � � � ����� � � ���

�� � ���

��� � ���

����

������� � ���

��� � ����� � ����� �

� �������

�������� ��

������

��� ��� ��� ��

������

��� ���� �����

���� �� �� �� ���!���� �� ����� ������A��� ������ �

� ����� � � ���

�� � � ��� �

"�� � �� � ��������� ������ �� �� �������������������

� ���� � � ���� � �

� ����� � � ���

�� � � ��� �

#� �� ������ ������ �� ���� ��������� ������ � �� � ��� 3���� ����� ���� ������� �� ������

� ��� �

���� �� ����� ���

���� �MATEMATIKA 2 392

98

Page 100: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���� �� ������ �� �� ��� ������� �����������!���� �� ����� ����������� ������A�� �*������ �� � ��� �� �� �� ���� �� �� ������ � ����������� ���!���� � ����� � ������ ���� ��

����� �

�� ����� �� ����� �

�� ����� ���

������ �(� +��!�� ����������� ������A��

��� � � ��

��� ��

�� � ���!���� ������� �� ����� ������A�� ��

� � �� ��� � �� �� ��

"��������� � �� �� ����������� ���!���� ������������ ������A�� �����

� � �� ��� ��� � �� ��� �� ��

)����� ������� ��������� ����� � ������

� �� ��� � � �� �� � � �

� �� �� �� � �� ��� ��

��� ��

@� ��� ������� ����� �

MATEMATIKA 2 393

� �� ��

��� �� � �� �

� ������ �

@���������� ����� �

����� � �� � ���� ����� ���

��� �����

�����

� � ��� � ���� ��� �

��

��� ����

��� � �

�� ��� ��� �� � ���� �

�� �� �

�� ��

�� ��� � ��� � �� �� � ��

�� ��

� �� � � � �� � ��

�� �� � � ���

3�����

� � � � �� � � �� � � � �� � ��

�� �

�� �� � ���!���� ���� ����������� ������A���

MATEMATIKA 2 394

)� ������ ��� �. ������� �� � ���!���� ������������ ������A�.

�� ��� � ��� � �� � ���� ��� � ��� � �� ��

� ��� � �� � �� � ���� ��� � �� � � � �� ���

�� ��� � �� � ���� �

�� ��� � � � ���

�� ������� ����������� ������A�� ����� ����� ��������� ���=���� � � �A� � ����������!���������� ������� � � �� ������������� �������A�� �� 7�������� ��!��8'���� � ���� ������� ����������� �����A�� ������� �� � ����� ������������� ������A�� ����������� ������ ����� �� �� �� �� ��7

MATEMATIKA 2 395

1.1.2. +�-�-���� ����� �� ��� �������

;��5�� ���� ������ ��� �� ���� �� �����������������A�� ������ ���� �� ������� ��� ����!��� ��������� #���� ��� � ���� �� ����5 ���� � ��#�=���� ������ ' " �� ������ � ������� ������9��!����: � ���=����� ��!���� ! " � � �� ������������ ������� ��� � ��� �� ���

;��� �� � ��� ������ ����� �� ����A��� ������� ��������� �� ;� ����� ������� ������ � ���0

MATEMATIKA 2 396

99

Page 101: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� ��� ��!���� ���� �� ������������ ��5�

������

� ��� ���� ������� ������ ��� � 3������� 5����� � ���� �� ������������ ������� ������A��� �������

����� ������� ��� � ���

��� � ����� ;�6������ 5����� ������ ������� ��������� 9��� ���� ����� �����: �� ������#������ �� ���� ������� �� �� ������ 9���� ������A�������� ����

����

���� ����

��� �� � � ���

���

����

���� ���

��� �� � � ��� � ��

� �� �� ������� ����������� ������A�� ������ ����� ��������� ���=���� ��

MATEMATIKA 2 397

( ��������������� ������� ���� �� � � ��!���� �������� ��� ��� �� � ������������ ������ �� ��#����� 9�� �����: ����������� ������A�� ����

����

���� �� � �

;���� ������������� ������A�� ��

� � � �

��

�� �� ���!����

� ��� � �� ����� � �� ������ � �

��

(5 �5����

��

��� � ��

� � ���� ���

� ���� ���

� �

� ��� � ������ ���� � ����� ����� �

��� 9�� ����� ����� �:

� ��� � ��� ���� ��

MATEMATIKA 2 398

( ������� ���� � ��!���� �� �� � ������� ��� ��#����� 9�� �����: ����������� ������A�� ����

����

���� ���

��� �� � �

;���� ������������� ������A�� ��

�� � � � � � ��

�� ��

��� �����

�� � ��

+�5����� � �� �������0

�� ��� �� �� � �� � � ���� �� ���!���� ���� ��

� ��� � ���� � ��

���

� ��� �� �� � �� � � ���� �� ���!���� ���� ��

� ��� � ��� � ���

��

MATEMATIKA 2 399

� ��� �� ��� �� � � ���� �� ��� ����� �

��������� � �

� � �� ���!���� �� ���� ��

� ��� � �� ��� ��� �� � �� ��� ���

( ��� �� ������� ����� ������ � ��� � �� ( ����

������� ��� �� � ��!���� ��5 ������� � ���#�� ������� �A� �� �� ������������ ��������������� ������� ����� ���� ������� ��!������5 ������� � � ��� � ������� �� ��� � ��!��� ������� ��� ����A��� �������A�� �� ��� ����!����������� �� ��� �� ���

MATEMATIKA 2 400

100

Page 102: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

(����� �� ������ ������� ������� ��� � ��� ��� �� �� ������ ��������� � ����������� ������A��

����

���� ���

��� �� � � ���

� ���!����� ��� � �� � �� �

���� �� �� ���!���� ������� �� ����� �����������������A�� � �� ���� ����� ����������� ���!�����;��� �� ���� ������� ��� �������

� ��� � # ��� ��� � � �

:�� !�� � � �� ����� ��� ���!������ ������� ��# ����� ������A�� ��5����� � �� �������� ( ���� ������� ���� �� �� � �� � � ���!���� ������� ��# ����� ������A�� �� ���� ��

�� � ���� � ��

���

� ����������� ���!���� �A� � ������ ����� ������ 4���� ���=������ ����

�� �#

� ������ ���� �� �

MATEMATIKA 2 401

���� �� 9���� �����:

� ���� ��� ����

��� ����� �

���� �� ����

� ���� ���� �

��

� ���

9���� �� � ���!����

� ��� � ���� � ��

�� �#

� ������ ���� ��

�� ������ �� ��� ������ ��� �� ��� �� ��A � ��� ����� � � ��� �� ����������� � ������� �������� 9����� ��� �� �� �������� ������ � ������ � � ��

� ��� ��� ����!���� ������� �� ��� �� ���

;� ����� ���� �� ����� �� � ���!���� � ������������ ������� ���� �� �� � �� � � � �� � �� � ��

MATEMATIKA 2 402

��� ��� � ��! ������ � ����� ������ � ��5��!���� 9� � �: ��� ������A�� ����

����

���� �� � � ��� � # ��� ��� � � � ���

+��!���� ������� �� ����� ������A�� ��

�� � �� ����� � �� ������ � �

��

+�5����� � ��� �������� 0�� �� � �� � ���� �� ���#�������� ���!����

�� �#

� ��� � ������ ���

!�� �5 �5���� ��� ���� ���� �� � ���!����

� ��� � ��� ���� �� �#

� ��� � ������ ��

����� �� ����� ����� ��� ��� � ��������

0�� ���

��

�� � ���� �� �� �������� ������ �

������ � ���

��

��

��

( �������� �� �� ?����� �������� ������?�

MATEMATIKA 2 403

0�� �� � � � ���� �� �� ���������� ��������������� ��� ������� ��� ���!���� �� ����� ���#���A�� ���� ��� ��� ��������� ������� ���� ����������� ��������� �������� ( ��� ������� ���� � ���!���� ������A�� ���� ���� ��

� ��� � ��� ���� �� �# �

�������

#� �� �������� ������ � ������ � � ��� �

�� 4��� ������ �� ��� � 4���� ���� � � � �� � 5� �������� ���� � �� �� ��5������ ���������� ��� ����!���� ������� �� ��� �� ���

(�� � �� �� ���� ��� ��5������ �� �A� �� ������ ������ � ��!�������0//���6���������/6�/#�� ��;����������� ����//������������/��/�������������������

MATEMATIKA 2 404

101

Page 103: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

����//���������������/���� ������� !"��#$ ����//���������������/���� ���%����&��'(�

�� ����� ������ ��) �� �����) � ���� ������ ��*���� �� ���) ��������� ���������� +� )� ����)����� ��) �� �����) � �����,����� ��������� �-���� 9.: ������ ( ��� 9B �: ,���)��� � ���#������� � ���)� 9/: �� ��) )���)� ����������������� ��)� � �������� � ���,�� ����� � � ��� �����90: ����)� � � ��� ������ 91: ��� �� ����

����� B ����� ,����� �� ������ �� ������ )�#��� )� (�� �� ������ �� ,���)�� )���� )� ����� ��� ������ �� �����,����� )���� )� �

� �� �����)� � ����) ��,���� ������ �����,����������� ��� �--���� ,����� ,���) ����� ������)���� )� ������ ��)�� �)� ,��� �� ����

MATEMATIKA 2 405

-�����)���� )���A��

���

��� (� �

�� � ���

@, ��� )���A�� ��A��� ��� ������� -����#�)���� )���A�� ����� ��� �� �� �������$��*�����)�

� ���

���)�

����

���� (

��

���

�� � � ��� �

�� ������)� �)�

����

���� (

��

���

�� � � ���

$����� 2�)�3� ��)� ���� ��� )���A�� � )�#��A��� ��� ,���)����)��� � )� ,���)��� �����#������ � ����� ����� � ��*����� � �����,���� ��������� +��� 2�� ,���)����)��� � ��)���,�� -�,��)�*��)� ������� ,���)����)� ����������� ��� 2�)��� )� ����� ��A�� �� ,�)������)� ��,�����)���������

MATEMATIKA 2 406

&�*� �������� ������������ ������ �� ���� ����-��4�A�4 ��� �4

� ��� � �� �� ��� � �� � ��� ��� ��� ��� ��� � � ���

� ���� �� �������� ������������ ������ �� ��������� 7�� �� "��5 �4 ������ � ��� � �� �4 ���4�A���4A��� �4 �� ���������; ��� �� �4�4 �4��4��4� �� ���5 �4�4 ����54� �4 � ����4�� "��5 �� �� ��� � �� ��� �� ��� � ����4��4��4� ��� � �4�� � "���5 �4�� ���4�A�� ���#��� ���4 � ����4� � ���=5 ��� �4�7�� �� � ��� �� �� ��4 �� ���4�A�4 � � ��A�4� �4� � ��� ��

� � ���� � � ���� � ��

��� �5��� ��

���� � � ���� � ��

��

� �� �� ���� ���

� �� � ��� � �� ���

� ��� � �� ���

� ��� �

� ���

� ����

7�� �� "��5 �� � ��� � � �� �� ���� � � �������� �� ��4 �� �4������� ��� ����� � 54������%�����4 6 9�4 � "� ���� � /�� ���4:� 7���05 �4

MATEMATIKA 2 407

�4�5 �4�� ��� �45 �� � ������ �����4 ��� ������4 �#����4�� ��4��������� ���� �

������ ���� ���

���� ��������

���� ������� ���� ���

���� � ��� ����� ��

� � ��

���� ������ �� ���� ���

���� ��� �� ��� 1��� "��5 �� �4 �� �4������� ���� ������ 54������ ������4� 74�� ���4�A�4 � � �4 ���5����� ���/��� �4 � �� ��� ���� ���5�� ) �����4

���� � �� ���� � �� ��� � � �� ���� � �� �

������ �4����� �� �������� �������� ������������� ������ �� ������ ���� 9� �����4� ����=5 ��� �4:

� ! ��� � # ��� � �� �

7�� �� � � ��4 � �4�� ��4� �4 ���/��4 ������4�A�� 9"��5 �� ���� �� ������5 �4��: �4�4�� � )��4 � �4�4 ���� 45 �4

� #� � � #� �

�4�� 1��� ���/��� )������ ���4�A�� �4 � �� ������ ������ ����4� #� #�� %� �� ��05� ���/���

MATEMATIKA 2 408

102

Page 104: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

� "���5 �4�� ���4�A�� � � � <4A��� �4 "��5 �� � � �4 ����)��� 4���� � ������� �4 �5 � ������������ )������ � � � "� ���4�A�� � � �7�� �4�� ���� ���/��� � "���5 �4�� ���4�A��� � ��4 �� � "���5 �4�� ���4�A�� ��A��� � ��/ � ������� ��� ������ ���� � �4�� � "���5 �4�����4�A�� ���� 05��� ���4�4� 4 ������05�� �� ������

������� ��� =���� ��05� ���/��� � "���5 �4�����4�A��

�� � � � � ��

�� � ��� �� 4��� �� �4 �� � ��� � � �4�� ���4�����/��� ��� ���4�A��� >��� �� ��� "��5 �� "�4�����

" �

��

��

7���05 �4 ��

� "�� � "� � "� � "� � "�

����� �/ �� ��4�� � ��� �4� � "� ���4�A�� ��� �4#���� ���4���

� �

� �

�� � �

MATEMATIKA 2 409

��� �4��"� � " � �

��"� � "� �

��"� � �

����" � " � ��

84�4 � A4�4�� ��� ��� ��� � "���5 �4�� ���#4�A�� �4�����

" � !� ! � ! ��� ��� �4��

�! � ! � � � (!

!� �(�

��

=�4��� ��

"� � ! �#��

�� " � #� �� ��� � #��

�4 ��

��� � �" � #�� �� ��� � #��

��05� ���/��� ���4�� � "���5 �4�� ���4�A���

MATEMATIKA 2 410

9�4� �� �� ���� 4 �4��4��4�� � �4�� � "���5 #�4�� ���4�A�� #��� ���48

� �� �� ��� � �� � ��� ��� ��� ���� ��� � � ��� �

74 "��5 �4 �� �� ���� �4A��� �4 �� ����������������� 4 ����4�� "� 4�� ���45 �4

)� � ��� � )� � ��� � ��� � ) ��� � �� �� � "

����4�5 )� � )� � ��� � ) � ��

:���� �4 "��5 �4 �� �� ���� �� ������ 4�4

� ���� ���� ��� ���� �

���������� � � � ����� � � � ������ ���

����� � � � � ����� �

������������

74 :���� �4 �� ��� ������05�� 74 ��� �����4 �� � � �

� ���� ���� ��� ���� � � � ���� ���� ��� ��� � �� �� � �� ���� ���� ��� ���� �� � � ���� ���� ��� ��� �� �� �� � �

MATEMATIKA 2 411

8���4 �� "��5 �� ��� ��� ���� �� � �4�� ��4� �� 4 ����4�� � 4�� �4�� 4�� ��

� ���� ���� ��� ��� �� ���4 �� � � ��=�05� ���/��� �)������ ���4�A�� � � �4 ��� �

� � � � �

���� �� � ��� �4�� ���4�� ���/��� �� ���4�A��4 � ��05� ���/��� �� �4�� )������ ���4�A���6��/��� )������ �4 ��� �

� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � ���� ���

�� �5��� � �4�� ��4� �� "��5 �� ��� ��� ���� ������� ������������ ���� *���� ���������

>��� �� �4�� ��05� ���/��� )������ ���4�A�����/��� �)������ ���4�A�� ��A��� 405 ������� �4� �45 �� ����4� � 6��/��� �)���������4�A�� �4 ��� �

� ��� � �� ��� �� ��� � ��� � �� ��� �� ��� �

�� �5��� "��5 �� �� ��� �� � �� ���� �� ���� 1������ �

MATEMATIKA 2 412

103

Page 105: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�����4 �4 � ��� �4������4�4 �)������ ���4�A�� ��/ �� ) ���4� ) �����4 9�4 ��� ��� �45 �� �� � �4�� �� ��� � �4� �4�4 "��5 �4 � :�

?��5 �� ��� ��� ��� �4�� �4� ���/��� ����4�4�������������������

����� � ����� ��� � ����� � �

������ � ����

�� � ��� � ����

�� � �

�������

���� � � ����

���� � � ��� � ����

���� � � �

�������� � � ����

���� � � ��� � ����

���� � � ��� �

; ��� � 4�4 ���� ����4�4 ��:���� �4 � ���� ���� ��� �7���05 �4 �� :���� �4 �4�� �5 � �� ��� 9��� ����� ��� ���� �� � �4�� ��4� ��: �� ����)�� ����4�9;�4�����: �4 ��� ����� ���/��� ����� �

��� ���� �

����

@���� �4��05 �� ���/��� ��� �4�� ��4A�� "��5 ���� ��� � ��� � �� ��� �

7�� �� � ���4�A� � � ���=5 ��� �� ��� � �� � ��� � �� �� ���� �� �4�4 �4�� � �4�� � "���5 �4�����4�A�� �#��� ���4 � ����4� � ���=5 ��� �4���� ���/4�4�� 44���� ���5 �4��� ����54�� �����4�A�� �4 � � ��� ��� ��05 ���4� � �

MATEMATIKA 2 413

!�"� #���������� � ���������� ������������74�44 �� "4� � �4 �� ����4 �� �44 ���4�A����� ��� �� �� � �� %�4A �� ���4�A�� "4� � �� �� ����4���� � ���� �4�4� "4� � �� ��� �� � ����� � 9�����4�� �� �� �� ����� � ����� ) "4� � �4 � ���� ����� � � �����:� <� ����� � �� "4� � �� 4� �4������������� 4 �4 � � �� �������������������������� ���4�� "4� � �� �� ����4�������4� ���� 1� �4�4 ���4�A�� "4� � �� ����4� )��4������ �4 ��� �4 �� � ���� �� ���4�48

�� ;4��� �� ����� �� � "���5 �4�� ���4�A��� ��� �� ��� � � ���5��� "4� � ��� =4 �� ��� �4�� � 45 ��� ����4�� � � ����4�4 ���4�A� ������������� ��� �� �� � ��

���� ���� � � � ���

������

������� �� � ��

� 74 ��� � �� 1�� �����4 �� ����4�4 �� ���

��� � �� ��� � ��� ����� � ����� � ���� ����

���� �� �� �� ����� ���� �4���� 4 �� �� �����MATEMATIKA 2 414

�4��4�4�� �4 ��� � � � � ����� �� ��

7�� �� �� ����� ��4��� ��4 ��

��� ���� � ���� � ����

��

� ��� ���� � ���� � ��� ���

� �

� @��4� �4 ��� �4� "��5 �� �� ��� ����� �� � � "���5 #�4�� ���4�A�� "4� � �� �� ����48

� ��� �� ���� � � �

�� ��

��� � ���� � ��� ���

� �� �

� ;�� ��� � "���5 �4�� ���4�A�� "4� � �� ����#4� ) ��4������ �4 � ��/ �� �4�� ��� �4�� ��4A��"4� � �� �� ����4 �� ��� �� �� � ��

MATEMATIKA 2 415

������ 4�� ��4A �� ������4�� ��4������ �����4�� "4� � �� �� ����4 ��4 ������� � � �4��8

� ���

���� � ���� � ����

��

�������� � � ��� ��� � � �

����

�4 ��

�� ��� �

���

� � ��

� "���5 �4�4 ���4�A�4 ��4A�� "4� � �� ������4� )�� ����4�

;4 ������ �� 5 �� �4�4� �� ������4�� ��4������ ��� � �� �� � �� � ��

MATEMATIKA 2 416

104

Page 106: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

������� �$� =���� �� ����� ���� � ���� ��4�� ���4�4���4 � � ��� ��� ��4� � ������

���� ����� �� � "���5 �4�� ���4�A�� ���5���"4� � ��� ;�� � �4��� �� � �4�� �4�4���4� � �

� � ���� �� � �� �� � �

��� �

��

% �� ��� ��� � � "���5 �4�� ���4�A�� ���5���"4� � ��� ; "���5 �4�� ���4�A�� ������4�� "4� � ������4 ��� ��� �4�� 4�� ������� �� ��4� �� � �

���

� �

���

�� ��� � ��

�� �� � �

��

�� � ��

��

� �� � ��

;4��� ��� � ��� "4� � �� �� ��4�

������� %&� =���� "4� � �� ��4������ �4 ���� � �����4�4� "4� � �� ���A 54 �� � �� � �� ��� ����� ����� 9'#() 6*+ ,)'---:

MATEMATIKA 2 417

=�����4�� ��4������ �� � � ��� �� ���

� � 8

@����4�� ��4������ �� 9� � ��: � � �� � � � �� 8

MATEMATIKA 2 418

!�.� /��������� �������� ������������ ������ ������� ����

/��������� �������� � "���5 �4�� ���4�A��

� ��� �� ��� � �

�� �� ���/��� ���� � � ����� ���5� � �4������4�4����� ��� ������� ���/��4� 6 ��/ �� ��� ���4�A���� �� �

�� � � ��� �� �

>���� ��� ������� ���/��4 �4 ��� ���5�� ��� �� � � #54������ ������� � � 05� 4��/� ���� �� �4�5 �4�4

��� �45 �4��

��� ������ � ��� ���5� � ����4 ������� �

��� 5 ��� "��5 � �4 �� ��� �45 �� �� ���

��

������

��� �

��

����

���

=4 �05� ������4� ���� �� �� ���� � ���� �4�����4�����4�54 � 4� � � ���4� �� �

MATEMATIKA 2 419

;4��� � ���4�� ���/��� ��A��� ��� � �4�� ������ ����� ����� 8

0� � ��� �� ��� � �

����

������ �� ��� � � �

��

����� �� ��� �

���������� �� �� � ����� ��� � �� ������� ��� �� � �� ���� �������������� ��������� �������A� ��� ���� ����� ��������� � ��� �� � � ������ ������ ��� � �� � ������ � �� ��� � � � �� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� � A� ���� ������ ������ ������������� �����A���� �� ���� � ��� ����� �������� �������� �������A� ��� ���

������� %0� �� �����A�

����� � �� � � � � ��������

��

���� �� � �

� ����� � � �� �� � ����� �� 9���� �����: ������������ ������������� �����A������� ����� ������ �A�� ����� � ��� �� ����A��� ����� ������� �� �����A�� ��� ���#���MATEMATIKA 2 420

105

Page 107: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

�� � �

�� ���

�� ���� ����������� ������������� �����A��� �#� ��� ����A��� ������ 9�����������: ������������!

��

�� �� � ��� � �� ��

������ � � � � ��

� � ��� �� � �� �

"���� ���� ������ ����� ������� ��� ���� � ���� #����� ������ � � � � � � �� ���� �� ��������� ��� � ��� ���� �� ����� �������

���� ���� ������ ������������� �����A�� � �������� *�������� ������� ���� �� � ��� �� �� � � ������ ������ ������ ������������� �����A����������� ����� ���� ������� ���������� ���� ��� ��� �� �� � � � ���� �� �� ���� �� ��������� ��� � ���� �� �� ������� � ��� �� �� � ��

������� �� � ����� ���� �� ����� ���� ���#�������

MATEMATIKA 2 421

����� 9�� ���� ���� ������: �A�� ����� ����������� ��������� � �� � �����

� ��� �� �� � ���� ��� �� ��

��� ��

#� ������ �� � ����� ������ ���������������������� �� �������� ������ 9 ���� ����:��� ���� �� �� ���� ��� "������������� ���� �� ����� �A� ����A����� � ���� �� �� ���� �� �������� �� �� ������ ������� ���������� ���� �� ���������� ��� ���� �� ���� ��������� �� ����9���������� ����� ���� ������ ������:�

MATEMATIKA 2 422

������� %�� ������� ���� ������� �� A����

�� � �� � ��� ���

���������� ������� � �� � ����� �� � �� � ��� � ��

� �

� �� � �� � ��

�� �� �� �����A�� ������ � � �� � �����#����� ��� �����A� �� � ��� "���� ����������� ������� �� A���� ����� �� � ������� � � �� � � ���$������ ��� ������������ �����A� ���� ������� ������ ������� �� A����� ���������� ����������� � �� � �����

�� � �� � ��� ���

� � � �� � �� �� � ��

������!

�� ���

������

�� � �����

������

� ���� ��� %������ ������ ������ ������������ �����A�

MATEMATIKA 2 423

��� � ��� ����� � ���� � �� � ��

������ ��� %��� �A�� ����� ���� ���� �������&���� �� �� � � ����� �����A�� �� � �� '

��� ���� ������ ������ ������������� �����A���� � � ��� �� �A� ����� � �������� ���������� ��1���� � �� ���� ����� ����� ��� ����� ���� �� ������� ������ ������� #�� �� ����� ������ ���� ��������#��� ���� �� ������ ���� �����A�� ��� ������� �������� �� ������ ��� ���� ���������� ���� �� ����#��� ��������� ��1���

������� %%� �������� ������������� �����A�� ��� ������� ���� ���� ���� ������� � ��� ��!

�� �� ��

��

� �� ��

��

� �� � ����

MATEMATIKA 2 424

106

Page 108: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

0� ����� ������ �� ������������� �����A�� �� � ���

� � � ������� ������� ��� ��������� "���� ����������� ������ ��������� ����������� ���� �� 9���:�� ������������� �����A�� �� � �� ������������ ����� ������ ��� ����� ����� ������� � ��� ������

�� ����� ������ �� ������������� �����A�� �� � ����

� � � ������� ������� �� ������ ������� ��� �������� ������ �������� ���� ����� ����� �� ���� ������ ��� ������� �� �������� ��� ����� ������������ � ��� ������

%� ����� ������ �� ������������� �����A�� ��� � �� � ��

� � � ������� ������������� �� A���� �� ������ ������� � "���� ��� �������� �� ������ ���� �������� �� �� �� ������� �� � �� �������� ���� ���������� � ��� ����� ����� ������� � ��� ������

MATEMATIKA 2 425

!��� /����� �� ����� ���1��� ������������� ������ ��

����� � � ����

� ��� �� �� ��� ��� � ��

���� �� �� ��� ��� � �

� ��� ������� �������������� �����A�� ����� ����� ����� ��������� � ������� �� ���� ������� ���������� � ������ ���� � ����� ����������� ��#���A�� �� �� ���� �� ������ �� ���� �����A�� � ����� ����������� #� ���� ������ ��� ����� �� ����� ���� ���� � ���� ���������#���� �����A�� ����� ��� �� ��� �����

������� %!� ������� � ����

�� � � � ��

�� � �� � ��

"���������� ���� �����A�� � �������� �� �� � ������ ������������ �����A� �� ��� ����

��� � � � �� � �(���� ������ �

� � ���� � ���

�� � �� ��

MATEMATIKA 2 426

�� ���� �����A�� ������ ���A��� � � ����

�� � � � � ����� � ����� � �� �

��� � � �

� � ���� � ����� � �� �

���A�� �� ������ ��� ����� ������ ���������� �� ������ ������� ���

� � �� � � �� � � ��

������ �������� � ����

� � �� � �� � ��

� � �� � �� � ��

������ ���� � �� � � �� � � �� � ���A������� ������

� � �� � � �� � ��� � � �� � � � �� � ����

MATEMATIKA 2 427

!�$� 2����� 1�� *������ �� ���������� ������������������� ��

������� %3� ����� ����� � ������� ���������� ������ ������������� �����A�� � �������� ��#��

�� � � � �� �� � �� �� � ��

�� ������� �� ���

���� ������ � ���� � �� � �� ��

�� ���!

� )�������� �� �� �� ��� ������ ����� ������� � ��*

� ������ ��� ���

�� ��� � ���� �� � � � � � ��

� ������ �� �

� � �� � �� ��� ��� ��� � � � � � ���� ��

� � � � � �

�������� ���� �� � � �� � �� � ����� ����� ��� ����� ���������� ����� ������ �A�� ����������� ����������

MATEMATIKA 2 428

107

Page 109: MATEMATIKA 2MATEMATIKA 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ A ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ Aˇ ˘ A ˇ , !"˚" ˆ ˘ ˘ ˆ) ! ! ˇ % ˘ ˆ ˘ˇ ˘ &˘ ˆ ˇ ˝ MATEMATIKA 2 34 " ˘ ˆ

���� � � � ��

�� ���� ����� ������ ���� � ������ ��������#��� ����� �������� ����� ����� �� �� �� ���� ��� � �� ��� �

10.50

3

1

x

y

10.750.50.250

3

1

x

y

��� � ��

� ������ �� � ����� �� � � ���� ���� �� � ��� �� ���� �� � ��� & � ����� �� � ���������� ����������� ���

����� � �� � � � ��

� �������� ����� ������� ����� ����������� ��

�� � ����� � ���

"������������ �����A�� �� � � � � �� ������������� ��� ���

�� ���� � ����� ��� � �� � �� � �

MATEMATIKA 2 429

�� ���������� ���A��� ������ 9�� � � ��� ��� ���� ������� � ����

���� � �� � ��������� ��� � � � ���

�� ���� ����� ������ �� ������� ��� ������������� ����� ������ � � � � �� �������� ����� ������ ����

� "������ ��������� ���� � ����������� ���������� ������ �� ������� �� �� � & ������ � ������������� ���� �� ���� � ���

� ����� �� ������� �� �� �� ������� ������ ������� ���� �� �� ���� � ��� ���� �������� ��� �� ��� ���������� ���� ����� �������

$���������� �� ��� ��� ����� �� �����4������� ������! �� ������������ �����A� ��������� ����

�� � ���� ��� � � ��� � � ���

����������� ����� ������ �� ������� ��� !� ������ � ��������� ���� ��� %���� �� �������9��� ��� � ������ �� ����� +�:!

MATEMATIKA 2 430

�� ���� � �� � �� � �� � ����� ����� � �� � �� � �� � ����� ���� � � � � ��� � ���� � �� � ���� � ������� �����

0

hG(x0,y0)h

h

hG(x1,y1)

y0

y1

y2

x0 x1 x2

y

x

T0

T1

T2

��� � �,��� � �� ��� ��������� ���� ��� ���������������� ������ ���� � ���� ����� &���� ������ �� �� �� ���� ������� � ����� ��� � ������������ �����

MATEMATIKA 2 431

108