MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS
Transcript of MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS
![Page 1: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS MPM 6202
Oleh : Dra.Mustamina Maulani, M.T
01-September-2021
MODUL
![Page 2: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/2.jpg)
MATERI KULIAH
• KONSEP DASAR• INTEGRAL GARIS CARA
LANGSUNG & TEOREMA GREEN• APLIKASI FLUKS DAN SIRKULASI• KONSEP INTEGRAL PERMUKAAN• APLIKASI FLUKS DAN SIRKULASI
• KONSEP DASAR• INTEGRAL LIPAT TIGA
KOORDINAT KARTESIAN• INTEGRAL LIPAT TIGA
KOORDINAT SILINDER• APLIKASI
• KONSEP DASAR• INTEGRAL LIPAT DUA
KOORDINAT KARTESIAN
• INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR
• APLIKASI
• LUAS DAERAH• VOLUME
BENDA PUTAR• LUAS
PERMUKAAN BENDA PUTAR
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
INTEGRAL LIPAT DUA
INTEGRAL GARIS DAN PERMUKAA
N
INTEGRAL LIPAT TIGA
![Page 3: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/3.jpg)
Buku Ajar
Kreyzig,“AdvancedEngineering
Mathematics”.Edisi5.
Purcel,VarbergdanRigdon“Kalkulusjilid2”.Edisi 8.
JuliaDamayanti&Mustamina Maulani,”Fungsi Dua Peubah &
Apikasinya”
Penilaian
Tugas Mandiri + Kuiz50%
Ujian tengahSemester (UTS) 25%
Ujian Akhir Semester (UAS) 25%
![Page 4: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/4.jpg)
4
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
![Page 5: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/5.jpg)
1 LUAS DAERAH
![Page 6: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/8.jpg)
2 Volume Benda Putar
1. METODA CAKRAM
![Page 9: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/11.jpg)
2. METODA CINCIN
![Page 12: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/13.jpg)
Latihan
![Page 14: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/14.jpg)
3 Luas Permukaan Benda Putar
![Page 15: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/15.jpg)
Latihan
![Page 16: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/16.jpg)
16
INTEGRAL LIPAT DUA
![Page 17: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/17.jpg)
Integral Lipat Dua
17
Sifat Integral Lipat Dua
![Page 18: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/18.jpg)
Integral Lipat Dua
Integral Lipat dua bisa diselesaiakan dengan 2 koordinat :1. Koordinat Cartesian2. Koordinat Kutub
![Page 19: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/19.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinatCartesian
![Page 20: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/20.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinatCartesian
Latihan 1
![Page 21: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/21.jpg)
Latihan 2
Latihan 3
![Page 22: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/23.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinat
Polar
Dalam koordinat Kartesian, persamaan suatu kurva diberikan sebagai hubungan umum antara x dan y , yaitu y = f(x)
Serupa dengan itu, dalam sistem koordinat polar, persamaan suatu kurva diberikan dalam bentuk
1
Kaitan Sumbu Cartesian Dengan Sumbu Polar
2
![Page 24: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/24.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinat
Polar
Grafik yang berhubungan dengan koordinat polar3
![Page 25: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/25.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinat
Polar
Latihan 1
Latihan 2
Diskusi
![Page 26: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/26.jpg)
Integral Lipat DuaKoordinat
Polar
Aplikasi Integral Lipat Dua 4
Diskusi
![Page 27: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/27.jpg)
27
INTEGRAL LIPAT TIGA
![Page 28: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/29.jpg)
Integral Lipat Tiga
Konsep Integral Lipat Tiga
Fungsi F tiga variabel yang didefinisikan atas daerah berbentuk balok R dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinat. Balok R yang dibatasi oleh x=a, x=b, y= c, y=d , z= e dan z= fIntegral lipat tiga pada R sebagai sebuah integral berulang yang berbentuk :
![Page 30: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/30.jpg)
Integral Lipat Tiga
GRAFIK DI RUANG DIMENSI 3
1
2
5
4
3
![Page 31: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/31.jpg)
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Secara umum jika R dipandang sebagai himpunan sederhana ( Gambar 2 ). R dibatasi oleh permukaan –permukaan z= U(x,y) dan z= V(x,y), proyeksi R pada bidang adalah Rxy yang merupakan bidang datar yang dibatasi oleh x= adan x=b serta y=f(x) dan y= g(x)
Gambar Benda B & daerah proyeksi terhadap bidang xoy
![Page 32: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/32.jpg)
Didalam kasus seperti ini maka kita dapat menyatakan integral lipat tiga pada Rsebagai sebuah integral berulang yang berbentuk :
Persamaan diatas mempunyai pengertian sbb
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )g x V x yb
R x a y f x z U x y
F x y z dV F x y z dz dy dx= = =
é ùì üï ï= ê úí ýê úï ïî þë û
ò ò ò ò ò ò
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
1. Pengintegralanpertama terhadap
z denganmenganggap
variable x dan y konstanta
2. Pengintegralankedua dari hasil 1
diintegralkanterhadap y dengan
menganggap x konstanta
3. Ketigadari hasil 2 diintegralkan terhadap x
![Page 33: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/33.jpg)
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Tafisran Integral Lipat Tiga 1:
Tafisran Integral Lipat Tiga 2:
![Page 34: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/34.jpg)
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Latihan 1Tentukan batas-batas integral Lipat tiga dan hitunglah
Jika R adalah bangun ruang dibatasi olehz = x2 + y2 dipotong oleh z = 8 – x2 – y2 di oktanPertama.
Penyelesaian :
òòòR
dxdydzx 2
1.Buatlah kurva z = x2 + y2
lalu kurva z = 8 – x2 – y2
2.Tentukan titikpotong keduakurva tersebut
3.Gambarkan proyeksiR terhadapbidang xoy
Langkah 1dan 2
Langkah 3
![Page 35: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/35.jpg)
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Mengubah Urutan batas Integral
Pandang integral lipat tiga
Daerah batas integral lipat tiga di atas ditulis sebagai
Untuk mengubah urutan batas integral lipat tiga dapat
dilakBatas terluar harus merupakan batas konstanta
ukan dengan cara mengikuti ketentuan berikut:
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) g x V x yb
R x a y f x z U x y
F x y z dV F x y z dz dy dx= = =
=òòò ò ò ò
{( , , ) | , ( ) ( ), ( , ) ( , )}R x y z a x b f x y g x U x y z V x y= £ £ £ £ £ £
Batas terluar harusmerupakan batas
konstanta
Janganmeletakkan dzdiantara dy dan
dx
Batas z dilihat darigambar ruang dimensi 3 &
batas x,y dilihat ariproyeksi pada bidang
datar dimensi 2
![Page 36: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/36.jpg)
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Latihan 2
![Page 37: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/37.jpg)
Diketahui integral Lipat tiga
(a) Gambar daerah batas integral R(b) Ubah urutan batas integral lipat tiga ,jika R
diproyeksikan ke bidang xoz(c) Hitung integral tersebut setelah di ubah
urutan batas pengintegralan.
Integral Lipat TigaKoordinatCartesian
Diskusi1 (3 ) 3 23 2
0 0 0
4xy x x y
x y z
dz dy dx- - -
= = =ò ò ò
Diskusi kelompok dan presentasi
![Page 38: MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051217/6278a09ad4ff94799e15be85/html5/thumbnails/38.jpg)
Ujian Tengah Semester