MATeMATiK Kernebog/web - kontextplus.alinea.dk · Hvilke af følgende opgaver viser, at der først...

8Niels Jacob HaNseN · mette cHristeNseN

beNt liNdHardt · HeNrik tHomseN AlineA

MATeMATiK Kernebog/web

Indhold 4 Tal i det uendelige

30 Former, linje og punkter

56 Beskrivende statistik

78 Formler og ligninger

106 Procent og økonomi

130 Chance og tællemodeller

152 Funktioner og grafer

166 Fra flade til rum

4 At dele

Klassesamtalen • Hvor stort et tal har I navn på?

• Hvad betyder Giga? Hvordan kan et Giga-tal skrives?

• Hvordan skriver man potenstallet 103 på lang form?

• Se filmen Powers of ten.

• Beskriv det, der sker i filmen.

• Beskriv det mindste og største tal, som indgår i filmen.

Klasseaktivitet: Gæt et potenstal

Materialer: Hjælpeark med talkort, lommeregner

Deltagere: 2 personer

Skaf en bunke talkort med potenstal på. Se hjælpeark.

Hver deltager skal desuden have to kort, hvor der står henholdsvis

‘Mindst’ og ‘Størst’.

Læg talkortene med bagsiden opad.

Hver deltager trækker et talkort med et potenstal fx 34 og 43.

Hver deltager tager stilling til, hvilket talkort der er størst,

og hvilket der er mindst.

Begge lægger derefter enten kortet med mindst eller størst.

Kontroller med lommeregneren, hvem der har ret.

Har man ret, får man et point. Det betyder, at begge kan have ret,

en af jer kan have ret eller ingen af jer kan have ret.

Gentag nu spillet, indtil alle kort er trukket.

Vinderen er den, som har fået flest point.

Tal i det uendelige

I dette kapitel skal du lære om• at omskrive tal med mange cifre til videnskabelig skrivemåde.

• at anvende og regne med kvadrat- og kubikrødder.

• at regne med potenstal.

• at regne med og anvende brøker.

• at anvende og regne med negative tal.

• at anvende primtal og primfaktoropløsninger.

5tAl i det uendelige

1

Film Powers of ten, QR 1

6 tAl i det uendelige

Teleskoper Pedro og Sacha er på virksomhedsbesøg i Worldzoom, der fremstiller og

udvikler store teleskoper til at kigge ud i rummet. Petra Lagerholm er

rundviser, og hun viser først gæsterne ind til det store Sternteleskop, der er

firmaets stolthed. Forstørrelserne styres med et særligt tastatur.

”Et tryk på tallet 1 resulterer i, at teleskopet forstørrer 10 gange. Tryk på tallet

2 betyder forstørrelse 10 · 10 gange. Tryk på tallet 3 betyder forstørrelse

10 · 10 · 10 osv.,” forklarer hun.

Opgave 1a. Hvilken tast er der trykket på, når teleskopet forstørrer 10 000 gange?

b. Hvilken forstørrelse er der tale om, hvis der trykkes på tasten 6?

c. Hvilken knap er der trykket på, hvis teleskopet forstørrer 107 gange?

Hvis man først taster 2 og bagefter 4, forstørrer teleskopet i alt 106.

Opgave 2 a. Forklar, hvorfor det kan være rigtigt.

b. Giv et andet eksempel på, hvordan man kan trykke på tasterne for at få en

forstørrelse på 100 000.

Opgave 3a. Hvilke af følgende opgaver viser, at der først er tastet 3 og derefter tastet 2?

1) 103 · 10 2) 103 · 10 · 10 3) 103 · 102 4) 10 · 10 · 10 · 10

b. Hvilke to taster kan man have tastet på for at få en forstørrelse på 108?

Potenstal

101 = 10

102 = 10 · 10


Opgave 4 a. Beskriv, hvorfor 104 · 103 = 107.

b. Gælder det også for andre potenstal fx 53 · 54? Hvorfor?

c. Formuler en regel, som forklarer, hvordan man kan regne 10a · 10b.

”Hvad nu, hvis jeg fortryder min forstørrelse og vil gøre den mindre?” spørger

Sacha.

”Så trykker du på de taltaster, der står minus på,” siger Petra. ”Hvis du fx

har forstørret 10 000 gange, og du vil gøre forstørrelsen 10 gange mindre så

trykker du på –1. Det betyder, at du nu har en forstørrelse på 1000.”

Opgave 5 a. Hvorfor kan man sige, at man ganger med 0,1, når man trykker på

–1 tasten?

b. Hvorfor kan man skrive ændringen i forstørrelsen som 104 · 10–1?

c. Hvad vil forstørrelsen blive, hvis man først taster 7 og bagefter –4?

d. Beskriv med taster, hvordan man først forstørrer 1 000 000 gange og så

formindsker med 1000 gange.

Opgave 6a. Hvilke af disse regneudtryk viser den samme forstørrelse?

1) 10 · 10 · 10 2) 10 · 10 · 100 3) 102 · 10 4) 10 · 10 · 102

b. Hvilke af disse regneudtryk viser den samme forstørrelse?

1) 108 · 10–1 · 10 · 10 2) 109 · 10–6 3) 105 · 10–3 · 10 4) 1010 · 10–6

c. Skriv resultatet af regneudtrykkene i opgave b i lang form.

Opgave 7

105 104 100 10–1 10–2 10–4

100 000 1000 0,01

a. Hvorfor er 1000 : 100 det samme som 1000 · 0,01?

b. Hvorfor er 103 · 10–2 = 103–2?

c. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

UdfordringenUndersøg, hvad der sker, når man bytter om på roden og eksponenten.

Fx er 46 = 1024 og 64 = 625.

a. Er der et mønster, når forskellen mellem tallene for eksponenten og rod

er store fx 310 og 103?

b. Er der et mønster, når forskellen mellem tallene for eksponenten og rod

kun er 1 fx 34 og 43?

Andre potenstal

10–1 = 0,1 = 110

10–2 = 0,01 = 1100

45 Eksponent

Rod


Tuberkulose Tuberkulose er en livstruende og smitsom sygdom, der er meget svær og

slidsom at behandle. En tredjedel af verdens befolkning bærer tuberkulose-

bakterien i kroppen, og af dem udvikler 10 ud af 100 sygdommen. Den har

tidligere været en frygtet sygdom i Danmark, men der er i dag kun få tilfælde.

En tuberkulosebakterie overføres ved dråber af en slags. Når den er inde i

kroppen, vokser den i antal ved at dele sig ca. hver 20. time.

Deling 0 (start) 1 2 3 4 5 6 7

Antal bakterier 1 2 4 8

Potenstal 21 22

Opgave 1a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

b. Hvor mange bakterier vil der være efter 10 delinger? 20 delinger?

c. Hvor mange delinger har der været, når der er 128 bakterier?

Opgave 2a. Brug skemaet til at vise, at 23 · 24 = 27.

b. Undersøg om sammenhængen gælder med andre tal.

c. Forklar, hvorfor man kan opstille regnereglen 2m · 2n = 2m + n.

d. Forklar tilsvarende hvorfor 2m : 2n = 2m – n.

Opgave 3 Man skriver nogle gange 23 som 2^3 (2 hat 3) fx i regneark.

a. Omskriv disse regneudtryk, hvor du bruger ^.

1) 33 · 54 · 22 2) 34 · 75 + 120 3) 55 – 900 + 106.


Deling nr. 0 1 5 10 15 20 25 30 35 40

Antal bakterier 1 2 32 1024 32 768 1,07 E+09

Opgave 4 a. Fremstil en tabel som ovenfor i et regneark.

b. Skriv antallet af bakterier efter 15 delinger som et potenstal.

c. Skriv en formel der beskriver antallet af bakterier efter n delinger.

Opgave 5a. Omskriv antallet af bakterier efter 15 delinger til videnskabelig skrivemåde.

b. Se tabellen. Hvordan skrives 1,07 · 109 i et regneark?

c. Skriv 1,07 · 109 som et tal på lang form.

En tuberkulosebakterie kan have en længde på ca. 0,000002 m eller

ca. 2 · 10–6 m.

Opgave 6a. Hvordan skriver man 10–6 som et decimaltal?

b. Hvordan skriver man 10–6 som et brøktal?

c. Hvordan skriver man 2 · 10–6 som et brøktal?

I et mikroskop kan man forstørre bakterien. Hvis man forstørrer den 10 gange,

ser den ud til at være 2 · 10–5 m.

Opgave 7a. Forklar, hvorfor 10 · 2 · 10–6 = 2 · 10–5.

b. Hvor stor vil bakterien se ud, hvis man forstørrede den 1000 gange?

Skriv det som videnskabelig skrivemåde.

c. Hvor mange gange er bakterien forstørret, hvis den ser ud til at være

0,0002 m?

Opgave 8a. Vis og begrund, hvorfor reglerne fra opgave 2 også fungerer, når n og m er

negative.

Udfordringen Kvadrattallene kan skrives som a2 fx 32 og 72.

Kubiktallene kan skrives som a3 fx 33 og 73.

a. Undersøg, hvilke af disse tal som kan omskrives til et kvadrattal eller

kubiktal eller måske begge dele.

39 211 512 77 88

Bakterier, QR 1

Videnskabelig skrivemåde

3,5 · 105

kaldes ofte for den videnskabelige

skrivemåde.

Det kan også skrives som 3,5 E+05.

1


FliseforretningenEva og Troels har besluttet sig for, at de skal have nyt flisegulv. Gulvet er

kvadratisk og siderne er 6 m lange. De er derfor på besøg hos FliseHans for at

se på mulighederne.

Eva har sagt, at når gulvet er kvadratisk, så skal fliserne også være det.

Hos FliseHans er der en tavle med forskellige størrelser af kvadratfigurer

bygget op af små kvadratfliser. Vælger man kvadratfigur 2, skal man bruge

4 kvadratfliser, kvadratfigur 3 kræver 9 kvadratfliser osv.

Opgave 1a. Beskriv antallet af kvadratfliser, der skal bruges til kvadratfigurerne

fra 1 - 10.

b. Beskriv sammenhængen mellem kvadratfigurens nummer og antallet af

fliser.

c. Hvad sker der med antallet af kvadratfliser, hvis man fordobler side-

længden?

I et andet rum kan man se tre forskellige kvadratfliser: flise A, flise B og flise C.

Kvadratflisernes størrelse er angivet i kvadratcentimeter til venstre.

Opgave 2a. Gæt på længden af siderne og skriv det på en skitse af de tre fliser.

b. Udregn arealet ud fra dit gæt og sammenlign med de angivne arealer til

venstre. Hvem kom tættest på?

c. Find et tal med ca. 2 decimaler, som kommer tæt på arealet af de tre fliser.

Eva og Troels har besluttet sig for, at de skal have nyt flisegulv til deres stue. Gulveter kvadratisk, og siderne er 6 m lange. De er derfor på besøg hos FliseHans for sepå mulighederne.Eva har sagt, at når gulvet er kvadratisk, skal fliserne også være det. Hos FliseHans er der en kvadrattavle, hvor man kan se, hvordan antallet af fliserforøges. Vælger man kvadrat , skal man bruge 4 fliser, kvadrat kræver 9 fliserosv.

OPGAVE 1

a. Beskriv antallet af fliser, der skal bruges til kvadraterne fra 1-10. b. Beskriv sammenhængen mellem kvadratets nummer og antallet af fliser.c. Hvad sker der med arealet af kvadratet, hvis man fordobler sidelængden?

I et andet rum kan man se tre forskellige fliser: flise A, flise B og flise C. Der stårstørrelsen i kvadratcentimeter.

OPGAVE 2

a. Skitser de tre fliser, og skriv arealmålet på.b. Gæt på længden af siderne, og skriv resultatet. c. Beregn længden af siderne ved at bruge kvadratrodstegnet på din lommeregner. d. Sammenlign dit gæt med en anden fra klassen. Hvem er tættest på?e. Aftal med en anden fra klassen et areal på et kvadrat. Gæt sidelængden, og

undersøg med lommeregneren, hvem der er tættest på.

32

1 6 TA L O G S T Ø R R E L S E R

I fliseforretningen

Flise A: 100 cm2

Flise B: 200 cm2

Flise C: 300 cm2

1 2 3 4

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr. 23/09/08 19:55 Side 16

1 2 3 4


Opgave 3a. Beregn længden af siderne på fliserne A, B og C ved at bruge kvadratrods-

tegnet på din lommeregner.

b. Sammenlign resultaterne med dine udregninger i opgave 1. Hvor stor

forskel er der?

Opgave 4a. Der er en flise, hvor udregningen i opgave 3b passer og to fliser, hvor

udregningen ikke passer. Hvad er der særligt ved det tal, hvor det passer?

b. Giv tre eksempler på tal, som altid har ét præcist resultat, når man tager

kvadratroden af tallet.

c. Giv tre eksempler på tal, som aldrig giver et præcist resultat, når man tager

kvadratroden af tallet.

Eva og Troels gætter også på sidelængden af flise B. Eva foreslår 14,2, mens

Troels gætter på 14,8.

Opgave 5a. Undersøg hvilket af tallene, som bedst passer til de 200 cm2.

b. Overvej, om det er muligt at finde et decimaltal for sidelængden, som helt

præcis passer til et fliseareal på 200 cm2.

Opgave 6a. Hvis man tager kvadratet på et helt tal, vil man så altid få et helt tal?

Giv mindst tre eksempler, som underbygger dit svar.

b. Hvis man tager kvadratroden af et helt tal, vil man så altid få et helt tal?

Giv mindst tre eksempler på dit svar.

c. Kan man tage kvadratet af et negativt tal? Giv mindst tre eksempler.

d. Prøv at tage kvadratroden af et negativt tal på lommeregneren.

Hvad sker der?

Opgave 7a. Undersøg kvadratroden af 5, 10, 36, 14 og 169.

b. Hvilke tal fra 1 - 100 kan man tage kvadratroden af, så det bliver et helt tal?


Både Troels og Eva har besluttet sig for flise B, som er 200 cm2.De er dog ikke sikre på, at hele gulvet skal dækkes. Eva lægger et mønster med trefliser ved siden af hinanden.

OPGAVE 7

a. Hvorfor er den ene sidelængde i dette mønster3 · avvvv20vv0vv cm lang?

b. Skriv et regneudtryk for det samledeareal af de tre fliser.

OPGAVE 8

a. Beskriv sidelængden på dette mønster.b. Skriv et regneudtryk for arealet af mønstret.

Eva prøver med et andet mønster,hvor både flise B og C indgår.Hun tegner en skitse og skriver mål på.

OPGAVE 9

a. Tegn en skitse som ovenstående, og skriv sidelængder på.b. Hvorfor er arealet af de hvide rektangler avvvv20vv0vv · avvvv30vv0vv ?c. Beregn arealet af de hvide rektangler.d. Hvorfor kan arealet udregnes som avv6 ·100?e. Beskriv en regel for at gange med kvadratrødder, fx avva · avvb =f. Prøv reglen efter, fx med avv4 · avv9.

OPGAVE 10

a. Undersøg om den samme regel findes, når man lægger kvadratrødder sammen.Er det rigtigt, at a2vvv5vvv + a3vvv6vvv = a6vvv1vvv ?

b. Giv tre andre eksempler, som viser, hvad du har fundet ud af i opgave a.

c. Undersøg, om følgende regel virker:

d. Undersøg, om der er en regel, når man trækker kvadratrødder fra hinanden.


flise C

flise B

flise B

avva abavvb �vvv=

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6 9/17/09 1:18 PM Page 18

Både Troels og Eva har besluttet sig for flise B, som er 200 cm2.De er dog ikke sikre på, at hele gulvet skal dækkes. Eva lægger et mønster med trefliser ved siden af hinanden.

OPGAVE 7

a. Hvorfor er den ene sidelængde i dette mønster3 · avvvv20vv0vv cm lang?

b. Skriv et regneudtryk for det samledeareal af de tre fliser.

OPGAVE 8

a. Beskriv sidelængden på dette mønster.b. Skriv et regneudtryk for arealet af mønstret.

Eva prøver med et andet mønster,hvor både flise B og C indgår.Hun tegner en skitse og skriver mål på.

OPGAVE 9

a. Tegn en skitse som ovenstående, og skriv sidelængder på.b. Hvorfor er arealet af de hvide rektangler avvvv20vv0vv · avvvv30vv0vv ?c. Beregn arealet af de hvide rektangler.d. Hvorfor kan arealet udregnes som avv6 ·100?e. Beskriv en regel for at gange med kvadratrødder, fx avva · avvb =f. Prøv reglen efter, fx med avv4 · avv9.

OPGAVE 10

a. Undersøg om den samme regel findes, når man lægger kvadratrødder sammen.Er det rigtigt, at a2vvv5vvv + a3vvv6vvv = a6vvv1vvv ?



d. Undersøg, om der er en regel, når man trækker kvadratrødder fra hinanden.


flise C

flise B

flise B

avva abavvb �vvv=

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6 9/17/09 1:18 PM Page 18

Både Eva og Troels har besluttet sig for flise B, som er 200 cm2.

De er dog ikke sikre på, at hele gulvet skal dækkes. Eva lægger et mønster

med tre fliser ved siden af hinanden.

Opgave 8a. Hvorfor er den ene sidelængde i dette mønster 3 · √̄200 cm lang?

b. Skriv et regneudtryk for det samlede areal af de tre fliser.

Opgave 9a. Beskriv sidelængden på dette mønster.

b. Skriv et regneudtryk for arealet af mønstret.

Eva prøver et andet mønster, hvor både flise B og flise C indgår.

Hun tegner en skitse og skriver mål på.

Opgave 10a. Tegn en skitse som ovenstående og skriv sidelængder på.

b. Hvorfor er arealet af de hvide rektangler √̄200 · √̄300?

c. Beregn arealet af de hvide arealer.

d. Hvorfor kan arealet udregnes som √̄6 · 100?

e. Beskriv en regel for at gange med kvadratrødder, fx √̄a · √̄b .

f. Prøv reglen fx med √̄4 · √̄9 .

Opgave 11a. Undersøg, om den samme regel findes, når man lægger kvadratrødder

sammen. Er det rigtigt, at √̄25 + √̄36 = √̄61 ?



d. Undersøg, om der er en regel, når man trækker en kvadratrod fra en anden

kvadratrod.

=√̄a√̄b

;ab


Opgave 12a. Gør sådan:

• Klip et kvadrat med siden 16 cm og arealet 256 cm2. Kald det kvadrat 1.

• Afmærk midten i kvadrat 1.

• Fold hvert hjørne indtil midten, så der dannes et nyt kvadrat 2.

• Skriv kvadratets areal og sidelængde.

b. Gentag processen, så langt du kan.

c. Fremstil en tabel med sidelængder og tilhørende arealer.

Kvadrat 1 2 3 4 5 6 7 8

Sidelængde cm 16

Areal cm2 256 128 64

Opgave 13a. Beregn arealet af dine kvadrater ved at bruge den målte sidelængde.

Passer det med tallene fra tabellen?

b. Hvordan kan du ved brug af lommeregner regne dig til en mere præcis

sidelængde?

c. Ved udregning på lommeregner får man sidelængden på kvadrat 2 til

11,3137085. Prøv at tage kvadratet af dette tal og se, hvad der sker.

Udfordringen Den kvadratiske flise med sidelængden 40 cm, har fået skåret et hjørne af

ud fra to midtpunkter.

a. Hvor stor en brøkdel af flisen er tilbage?

b. Hvad er arealet af denne brøkdel af flisen?

40 cm

40 cm


Hofskrædderen Christian d. 5 underskrev i 1683 en lov, som skulle sikre en ensartethed i de

længde- og vægtmål, man brugte rundt i landet. Hofskrædder Ludvigsen er

godt tilfreds. Når han fremover skulle købe stof til tøj, vidste han bedre, hvad

han fik. Især de kostbare stoffer med guld i vævningen og stærke farver, ville

han gerne være helt sikker på, havde den ønskede længde – hverken mere

eller mindre. Nu skulle han blot huske, hvordan de forskellige mål var inddelt.

Opgave 1a. Hvor mange fod svarer til 1 favn?

b. Hvor mange tommer svarer til 1 favn?

Opgave 2a. Hvis Ludvigsen køber 12 alen stof, som koster 12 daler pr. alen, hvor meget

skal han så betale?

Et stykke stof bliver målt til at være 6 alen og et andet til at være 20 fod.

Opgave 3a. Hvor lange er de to stykker stof tilsammen?

b. Hvor stor forskel er der i længden af de to stykker stofs længder?

Længdemål

1 favn = 3 alen

1 alen = 2 fod

1 fod = 12 tommer


Opgave 4a. Tegn en linje (fx 12 cm), som svarer til 1 favn. Inddel linjen i alen og fod.

b. Hvor stor en brøkdel er 2 alen af 1 favn.

c. Hvor stor en brøkdel er en tomme af en favn?

d. Hvor stor en brøkdel er en tomme af en alen?

Opgave 5a. Hvor mange fod svarer til 12 favn stof?

b. Hvor mange fod svarer til 2 12 favn stof?

c. Hvor mange tommer svarer til 13 fod?

Opgave 6a. Hvor meget er tre længder på hver 4 tommer?

b. Hvorfor kan det skrives som regneudtrykket 13 + 13 + 13 ?

Ludvigsen har et stykke stof på 1 favn · 1 favn, hvorfra han skal klippe et stykke

på 5 fod · 4 fod.

Opgave 7a. Hvor stor en brøkdel af 1 favn svarer til 5 fod? 4 fod?

b. Forklar, hvorfor det stofstykke, som skal klippes ud, svarer til 2036 = 59 .

Brug tegningen til højre.

Opgave 8a. Hvor stor en brøkdel af hele stoffet vil et stofstykke på 23 · 13 være?

b. Hvor stor en brøkdel af hele stoffet vil halvdelen af dette stofstykke være?

Ludvigsens kjoler er særligt populære. Ikke mindst hans flotte og farvestrå-

lende pyntebånd vækker interesse, så der er kommet mange bestillinger.

På sit lager kan han se, at der kun er ca. 6 favne tilbage. Han bruger ca. 23 favn

til hver kjole. Så er der til fire kjoler, regner han ud.

Opgave 9a. Fremstil en tegning, som viser, at 6 : 23 = 9.

b. Beskriv, hvordan man kan regne sig til at 6 : 23 = 9.

Opgave 10a. Pyntebåndene på 23 favn klippes op i tre dele. Hvor stor en brøkdel er hver

del?

b. Vis din beregning ved brug af en tegning.

1-10 B


Hoffet kalder Ludvigsen til slottet. Der skal syes en balkjole til dronning

Charlotte Amalie. Han klipper tre forskellige stykker stof af til kjolen.

Opgave 11a. Sammenlign længderne på de tre stykker stof. Hvilket stykke er længst?

b. Hvor stor forskel er der på det korteste og det længste stykke stof?

c. Hvor meget stof har skrædderen i alt målt af til kjolen?

Dronningen ønsker, at balkjolen skal have et slæb på kjolen, der er 2 alen 1 fod

og 4 tommer langt.

Opgave 12a. Skriv længden af slæbet i enheden fod?

b. Hvorfor kan det også skrives som 2 alen + 12 alen + 424 alen?

c. Hvorfor kan det også skrives som 2 23 alen?


Dronningen havde først overvejet, at bestille et slæb, der var 12 gang længere

end 2 23 alen.

Opgave 13a. Vis med en skitsetegning og brøker, hvor langt slæbet så vil være.

b. Vis, hvordan man kan regne sig til resultatet.

Ludvigsen har arbejde for hoffet 16 af sin årlige arbejdstid. Men næste år skal

hoffet spare, og han skal derfor dele sin tid med en frisør.

Opgave 14a. Hvor stor en brøkdel af hans årlige arbejde, vil han nu have ved hoffet?

b. Forklar eller tegn, hvorfor 16 : 2 = 112 .

Man har senere indført metersystemet og forladt længdemålene alen, fod og

tommer til fordel for meter, decimeter og centimeter.

1 alen svarer i dag til ca. 62,8 cm.

Opgave 15a. Hvor stor er en fod skrevet i metersystemet?

b. Hvor stor er 1 tomme skrevet i metersystemet?

c. Hvor langt er 4 alen og 5 tommer i meter?

Opgave 16a. Hvor stor en brøkdel er en alen af 1 m?

b. Omskriv brøken til decimaltal.

Opgave 17a. Omskriv, så præcist som muligt 24 m til gamle mål.

b. Bestem hvilken størrelse, der er længst, 11 m eller 5 favne og 2 alen.

UdfordringenDet var muligt, at måle i mindre enheder end tommer.

En tomme er lig med 12 linjer. Sammenlign størrelsen på en linje og en milli-

meter.


Hvor er du negativ?”De er mærkelige – de der negative tal. Jeg forstår det bare ikke,” siger Victor

til sin klassekammerat Dina. De klarer af og til lektierne i fællesskab. ”Se nu

her,” begynder Dina og tegner en tallinje.

Opgave 1 a. Tegn en tallinje og marker, hvor tallet –5 ligger.

b. Giv et eksempel på et negativ tal, som er mindre end –5.

c. Hvilket tal er det modsatte af –5?

d. Hvilket af tallene –9 og –118 er størst? Begrund hvorfor.

”Ja, ja, det forstår jeg godt, men hvorfor er –(–5) det samme som + 5,”

Victor ser spørgende på Dina.

”Her har jeg nogle røde og nogle blå knapper,” svarer Dina. ”De røde er

negative og de blå er det modsatte – nemlig positive. En rød går derfor ud

med en blå, så man får nul.”

Dina tager nogle røde og blå knapper frem og lægger dem som her.

Opgave 2a. Hvorfor bliver resultatet 0?

b. Tegn eller farv et andet eksempel, som giver 0?

c. Tegn eller farv et eksempel, som er på +3.

d. Tegn og farv et eksempel, som giver –2.

”Lad os prøve at udregne (–3) + (+7). Det kunne se sådan her ud,” siger Dina

og lægger nogle propper.

Opgave 3a. Hvordan vil du vise (–5) + (+6)?

b. Hvilket regneudtryk viser disse knapper?

c. Tegn eller farv regneudtrykket (–4) + (–6)

+

+

+


”Nu kommer vi til (–5) – (–3),” siger Dina. ”Her er de knapper, som indgår i

regneudtrykket.”

Dina peger: ”Der skal altså trækkes 3 røde fra de 5 røde. Det må give 2 røde.

Altså er –5 – (–3) = –2. Dvs. at –5 – (–3) ligner regneudtrykket –5 + 3.”

Opgave 4a. Tegn og farv et eksempel på følgende regneudtryk

1) –6 – (–2) 2) –12 – (–10) 3) –4 – (–4)

b. Hvilket regneudtryk er dette et udtryk for?

”Men hvad nu, hvis der er denne situation –2 – (–5)?” Siger Dina.

”Det klarer vi også med knapperne. Vi kan lægge tre ekstra røde og tre ekstra

blå knapper til –2. Det svarer til at skrive –2 + 0, så det ændrer ikke noget.

Nu ser sådan ud.” Dina peger på knapperne.

”Nu bliver det muligt at fjerne fem røde knapper, så der bliver tre blå tilbage.

Regneudtrykket –2 – (–5) er derfor +3,” fortæller Dina ivrigt.

Opgave 5a. Tegn og farv disse regneudtryk

1) –3 – (–4) 2) 4 – 3 3) 3 – 4

4 ) (–4) – 3 5) (–4) – (–3) 6) 4 – (–3)

Multiplikation med 3 · (–3) kan vises med tre gange tre røde knapper.

Opgave 6a. Hvad er resultatet af regneudtrykkene 3 · (–3) og (–23) · 5?

UdfordringenUndersøg mulige forklaringer på at

1) –5 · 4 = –20 2) –3 · –3 = 9 3) –40 : 5 = –8 4) –100 : –20 = 5

+ +

–

–

–

Negative tal 1, QR 1

Negative tal 2, QR 2

2

1


TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A

Primtal og hemmelige koderPrimtal spiller en vigtig rolle i kryptering,

som er måder til at lave hemmelige koder.

Om primfaktorer

Man kan opløse alle naturlige tal i primfaktorer.

‘At opløse’ et tal betyder, at man finder de primtal, som er divisorer i tallet.

Tallet 525 har 3, 5 og 7 som primfaktorer, idet 525 = 3 · 5 · 5 · 7.

1a. Brug hver af de to metoder til at opløse tallet 294 i primfaktorer.

b. Afgør, hvilken måde I synes bedst om eller om I vil vælge en hel anden metode.

b. Brug jeres valg til at opløse 3465 i primfaktorer.

Fremstil en hemmelig kode

Bogstaverne, i den tekst man vil kryptere, kan oversættes til tal, hvor der indgår store primfaktorer.

Det kan være svært at ‘knække’ den slags koder.

EksempelVi vælger ordet KAT, som skal krypteres.

Bogstavernes nummer i alfabetet kaldes kodetallene, fx a = 1, b = 2 … å = 29.

Når de ganges med et hemmeligt primtal, fås koden, der sendes til modtageren.

Han skal derefter dividere kodetallet med det hemmelige primtal (her 3469)

for at læse koden.

2 a. Hvis bogstavernes kodetal er ganget med 2519.

b. Hvad står der så her? 17633 37785 10076 50380

3 a. Fremstil en bogstavkode ved hjælp af et primtal.

b. Giv tallene til en klassekammerat, som skal knække koden.

K A T

11 1 20

· 3469

38159 3469 69380

525

3 175

5 35

5 7

7 1

525

5

5

3

105

21

7


TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A

Brug digitale værktøjer I skal undersøge digitale værktøjer som kan udregne og reducere regneudtryk.

I kan bruge GeoGebra eller andre programmer, som I finder på nettet.

Vi viser, hvordan det foregår i GeoGebra – I kan undersøge, hvordan det foregår i

det program, I bruger.

CAS som lommeregner

Du vil udregne Skriv Klik på Vist resultat

245 : 5 2455

49

3 + 12,4 + 233 + 12.4 + 2/3 214

53 + 12,4 + 23

3 + 12.4 + 2/3 16.07

CAS og brøker

Du vil udregne Skriv Klik på Vist resultat

Forkort brøken 126412/64 3

16Brøk til decimaltal 1264

12/64 0.19

23 · 47

2/3 · 4/7 821

23 · 47

2/3 · 4/7 ≈ 0.37

2 + 1 + 3 2 + 1 + 1/2 + 3 + 1/4 234

Decimaltal til brøk: 0,35 0.35 720

CAS og primfaktorer

Skriv tallet Tryk på knappen Vist resultat

200 23 · 52

412 22 · 103

1a. Prøv de forskellige opgaver i skemaet.

b. Opfind jeres egne opgaver og prøv dem i jeres CAS program. I kan også prøve disse:

1) Forkort brøken 105135 2) 45 : 78 3) 4.5 : 144) 0,245 til brøk 5) 34 + 5 26 + 3 512 6) 5 13 · 347) Find primfaktorer til 512.

Undersøg CAS, QR 1

1

=

=

=

=

=

153 · 5

153 · 5

153 · 5

12

14

22 tAl i det uendelige22

ViDenoM · ViDen

oM · V

iDen

oM · ViDenoM ·

Talmængder

De naturlige tal

De naturlige tal er 1, 2, 3, 4, … Man bruger bogstavet N

som betegnelse for disse tal. Tallet 0 er ikke et naturligt

tal. En del af de naturlige tal er primtallene. Det er tal,

som er større end 1, og som kun kan deles med 1 og tallet

selv. Det vil sige, at de første primtal er 2, 3, 5, 7, 11 og 13.

De hele tal

De hele er tal er mængden af naturlige tal, nul og de

negative tal.

Man kalder mængden for Z. Det vil sige, at tallene

omkring nul ser sådan ud

… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …

De rationale tal

De rationale tal indeholder alle de hele tal samt de tal,

der er dele af de hele tal som fx brøker som 35 eller – 35

Det vil sige, at decimaltal som 0,4 og procenttal som

14% også indgår.

Ratio er latin og betyder forhold. Derfor betegnes ratio-

nale tal nogle gange som forholdstal. Rationale tal har

betegnelsen Q.

Brøker kan omsættes til decimaltal. Det kan blive:

- endelige decimaltal fx 0,25

- uendelige periodiske decimaltal fx 0,424242 … Her er

perioden 42.

De irrationale tal

De irrationale tal er alle de tal, som ikke er rationale. Det

vil sige alle de tal, der ikke kan skrives som en bestemt

brøkdel eller de decimaltal, som er uendelige og ikke

periodiske. De betegnes med bogstavet I.

Eksempler på irrationale tal er:

√̄2 = 1,4142135…,

√̄5 = 2,2360679…

og π = 3,142857…

De reelle tal

De reelle tal består af de rationale tal og de irrationale

tal. De betegnes med bogstavet R.

Om primtallene

Man kan opløse alle naturlige tal i primfaktorer fx kan

396 opløses i

primfaktorerne 2, 3 og 11,

idet 396 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 22 · 32 · 11.

Om brøker og brøkregning

Brøker skrives med en brøkstreg, en tæller og en nævner

fx 56 .

• Hvis nævneren er større end tælleren, kaldes det en

ægte brøk.

• Hvis tælleren er større end nævneren, kaldes det en

uægte brøk.

• Hvis den uægte brøk 65 skrives som 1 15 , kaldes det for

et blandet tal.

• To brøker som 25 og 13 kan omskrives, så de får samme

nævner. Man kan finde fællesnævneren ved at gange

de to nævnere med hinanden. I dette eksempel bliver

fællesnævneren 3 · 5 = 15. Det vil sige, at 25 ændres til615 og 13 ændres til 515 .

N

�

–2,5

Z

Q

R

53

20 0,53

0

23–9

–34

7%

2

52

43–

tAl i det uendelige 23

Når man dividerer et helt tal med brøktal:

2 : 14 svarer til, at man tæller op hvor mange fjerdedele

der kan være i to hele – altså er svaret 8.

Når man dividerer et brøktal med et helt tal:

14 : 2 svarer til, at man deler en brøk yderligere op – her

i to dele. 14 : 2 er altså 18 .

Fra brøktal til decimaltal

Man kan betragte en brøk som en division fx er 37 det

samme som 3 : 7.

Ved beregning fås det uendelige periodiske decimaltal

0,428571 … .

Ofte vælger man at afrunde sådanne decimaltal fx til 2

decimaler, der i dette tilfælde bliver 0,43. Brøktallet 37 er

derfor ikke præcist det samme som 0,43 men cirka dette

tal.

Når man lægger brøktal sammen: Når man trækker brøktal fra brøktal:

Når man dividerer med brøktal:

14 + 16 = 312 + 2

12 = 512

12 : 14 = 24 : 14 = 2

5 · 23 = 103 = 3 13

16 · 2

4 = 224

14 – 16 = 312 – 2

12 = 112

24

16

12

12

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

18

18

Når man ganger brøktal med et helt tal:Når man ganger brøktal med brøktal:

24 tAl i det uendelige24

ViDenoM · ViDen

oM · V

iDen

oM · ViDenoM ·

Negative tal

De negative tal er de hele tal, som ligger til venstre for 0

på tallinjen.

Når man regner med negative tal, kan minustegnet

betyde to ting.

• Et fortegn for den negative værdi. –3 er det modsatte

af +3.

• Et regnetegn for at ”trække fra”.

Eksempel7 – (–3) kan oversættes til afstanden fra –3 og til + 7,

som er 10.

Dvs. at 7 – (–3 ) = 7 + 3 = 10.

Når man ganger og dividerer med negative tal gælder

følgende fortegnsregler:

+ –

+ + –

– – +

· 3 –5

2 6 –10

–4 –12 20

: 2 –5

10 5 –2

–20 –40 100

Potenstal – en særlig skrivemåde

Et potenstal er en kort beskrivelse af et gangestykke,

hvor det samme tal ganges flere gange fx 3 · 3 · 3 · 3.

Det skrives som 34. Det læses som 3 i fjerde.

På lommeregner og i regneark bruger man nogle gange

^ (hat) så 34 = 3^4.

Tallet 3 i eksemplet kaldes for grundtallet eller roden og

tallet 4 kaldes for eksponenten.

Et særligt tilfælde er a0 = 1.

Eksempel 30 = 1 1390 = 1 100 = 1 10 = 1

Roden kan nogle gange være et negativ tal eller brøktal.

(–3)3 = –3 · –3 · –3 = –9 ( 12 )3 = 12 · 12 · 12 = 18

Eksponenten kan være både negativ og positiv:

Positiv fx 103 = 10 · 10 · 10 53 = 5 · 5 · 5

Negativ fx 10–3 = 11000 = 0,001 5–3 = 15 · 5 · 5

–10 –8 –5 –2–9 –6 –3–7 –4 –1 0 42 6 91 5 83 7 10

Regn med potenser

Der er særlige regler for regning med potenstal.

Eksempel:

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 23 + 2 = 25

24 : 22 = 2 · 2 · 2 · 2 : 2 : 2 = 24 – 2 = 22

Man kalder de potenstal, der kan skrives som a2 (”a i

anden”) for kvadrat tallene fx 52, 92, 102, 452 osv.

Man kalder de positive potenstal, der kan skrives som a3

(”a i tredje”) for kubiktallene fx 53, 93, 103, 453.

Når man dividerer med et potenstal, bruger man en

negativ eksponent.

Eksempel

52 · 5–2 = 1, fordi 5–2 kan skrives som 152 .

5–2 · 5–3 = 152 ·

153 = 1

55


Den videnskabelige skrivemåde

Tal kan blive så store, at de er svære at overskue, når man

skriver dem med alle cifre.

Afstanden til Solen er ca. 150 000 000 km. Det kan skrives

som et tal mellem 1 og 10 ganget med en potens af ti. Det

svarer til 1,5 · 108.

Man skriver det også som 1,5E+08.

Man kalder skrivemåden for ”den videnskabelige skrive-

måde”.

x

x x

x

x

x2

x3

x

x x

x

x

x2

x3

Rødder

Kvadratroden af et tal er det tal, der, ganget med sig selv, giver tallet.

a 4 5 6 7 8 9 10

√̄a 2 ≈2,24 ≈2,45 ≈2,65 ≈2,83 3 ≈ 3,16

Når man udregner kvadratroden af et tal, giver det nogle gange præcise resul-

tater og andre gange findes det præcise tal ikke – det er irrationale tal. I det

sidste tilfælde er der ofte behov for at afrunde tallet fx som i skemaet.

I matematisk sammenhæng vil √̄4 have to løsninger idet både 2 · 2 og –2 · –2

giver fire. I den virkelige verden indgår der oftest kun positive tal, så her er

den sidste løsning ikke interessant.

Kubikroden af et tal er det tal, der, ganget med sig selv tre gange, giver tallet.

a 4 5 6 7 8 9 10

3√̄a ≈ 1,59 ≈ 1,71 ≈1,82 ≈1,91 2 ≈2,08 ≈2,15

Kvadratroden af negative tal er ikke mulig dvs. man kan ikke udregne √̄–4

Kubikroden af et negativt tal er muligt fx er 3√̄–27 = –3

Man kan regne med kvadratrødder:

√̄3 · √̄4 = √̄3 · 4 = √̄12

√̄10 : √̄5 = √̄10:5 = √̄2

Små decimaltal kan også skrives på videnskabelig skrivemåde.

Tallet 0,000005 skrives som 5 · 10–6 eller 5E-06.

Denne skrivemåde anvendes ofte i regneark, når der ikke er

plads til at skrive tallet helt ud i cellen.

Herunder er et eksempel på en række tal, som er udregnet

i femte potens.

BREDDEOPGAVER

tAl i det uendelige26

1

Skriv hele tallet.

a. Seks millioner og femten.

b. Otte hundredetusind firehundrede og fem.

2

Skriv tallene i rækkefølge med det mindste først.

a. 5 –21 –15 –1 7 0

b. –2,8 113 –3,095 1,003 0,5 0,6

c. 0,821 –90,1 –1,005 5½ -8,0 –0,5

3

a. 64 · 40 b. 1300 · 60 c. 5 · 40,2

4

a. 5 · 23

b. 9 · 13

c. 5 · 78

5

Hvor stor er forskellen mellem tallene?

a. 6 og 8 b. –10 og –2 c. –4,3 og 5

6

Afrund til 2 decimaler.

a. 0,734 b. 4,05 c. 2,999

7

a. 13,2 + 43,1 · 2 – 1,3 b. 8,7 – 0,4 · 12 + 1,8

c. 2,8 + 1,4 – 0,8 · 3 d. 0,56 – 0.9 + 7 · 3,2

8

a. 2,8 : 4 b. 0,6 · 8 c. 0,20 · 0,7

d. 100 : 0,10 e. 2,5 : 5 f. 0,09 · 5

9

a. 223 – (–112) b. –522 – 212 c. 734 – (–105)

d. –5000 – (–22) – (–22) – (–7) e. (–32) – (–32) – (–32)

10

a. 4 · –12 b. –5 · –15 c. –7 · 14

11

a. 3 · 3 · –3 · –3 b. 5 · –5 · –5 · –5 c. 3 · –5 · –2 · 2

12

Skriv som potenstal.

a. 100

b. 500 000

c. 12 000 000 000

13

Skriv som potenstal.

a. To millioner

b. Seks tusinde

c. Femogtredive milliarder.

14

Omsæt disse kvadrattal til potenstal.

a. 9 b. 49 c. 625 d. 10 000 e. 62 500

15

a. Hvad er 1 milliard gange 1 million?

b. Skriv opgave a som potenstal.

16

Omskriv til potenstal.

a. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

b. 9 · 9 · 9 · 7 · 7 · 7

c. 10 · 10 · 10 · 10 · 5 · 5

17

a. Skriv et potenstal med roden 5 og eksponenten 4.

b. Omskriv 100 000 til en potens af 10.

c. Hvor mange gange større er 108 end 103?

18

Omskriv til gangestykke og skriv tallet på lang form.

a. 53 b. 84 c. 123

19

Omskriv de store tal til videnskabelig skrivemåde.

a. 755 000 b. 30 000 000 000 c. 3,3 mio.

20

Omsæt decimaltallene til videnskabelig skrivemåde.

a. 0,0006 b. 0,05 c. 0,00000753

27tAl i det uendelige 27

21

Omsæt til decimaltal.

a. 4 · 10–5 b. 1,3 · 10–3 c. 0,5 · 10–4

22

Sæt brøktallene i rækkefølge med det mindste tal først.

a. 14 , 1

12 , 110, 1

30, 16 b. 4

6 , 26 , 14 , 38 , 716

c. 18 , 3

16, 14 , 7

16 d. 23 , 5

12 , 36 , 34

23

Hvilket tal er størst

a. 77,9 eller 77,82? b. 9,02 eller 9,2?

24

Find tre forskellige brøknavne til disse brøktal.

a. 17 b. 5

15 c. 1248

25

Afrund tallene til nærmeste hele tal.

a. 7,88 b. 72,9 c. 8763,6

26

Gør tallet 0,3 større.

a. 6,5 b. 0,9 c. 0,07 d. 9,999

27

Afrund til 2 decimaler.

a. 8,654 b. 34,005 c. 0,590 d. 9,999

28

a. 7,492 + 0,54 b. 0,0017 + 0,8 c. 32,9 – 8,77

d. 0,9 – 0,19 e. 10 – 0,95 f. 3,56 – 0,5

29

Omskriv brøktallene til decimaltal.

a. 35 b. 5

12 c. 37 d. 3

125 e. 2330

a. 53,2 : 10 b. 0,06 : 100 c. 0,067 · 100

d. 0,06 · 100 · 10 e. 151 : 1000 f. 1,5 · 1000

31

a. 15 + 15 + 1

5 b. 29 + 3

9 – 49 c. 3

5 + 75 – 25

32

a. 1 12 + 4 1

4 b. 3 23 + 4 1

2 – 2 16

33

a. 103

10 b. 105

102 c. 103

104

34

a. 10-3

10 b. 10-5

102 c. 10-7

103

35

Forkort brøkerne så meget som muligt

a. 25100 b. 16

64 c. 1981122

36

Skriv tallet med

a. 14 hundrededele + 7 tiendedele + 13 enere.

b. 25 tiere + 5 hundrededele + 4 tusindedele.

37

Beregn 0,3 af

a. 74 kr. b. 2,45 kr. c. 560 kr.

38

Opløs i primfaktorer.

a. 205 b. 184 c. 365 d. 456

39

Opløs tallene i primfaktorer.

a. 5328 b. 42 964 c. 64 033 d. 37 523

e. Var der primtal imellem disse tal?

40

Beregn sidelængden i kvadraterne ved hjælp af lomme-

regnerens kvadratrodstast.

1 cm25 cm2

12 cm2

tAl i det uendelige28

41

Beregn og afrund til 2 decimaler.

a. √̄57 b. √̄63 c. √̄43 d. √̄17

42

a. √̄62 b. √̄ 132 c. √̄78

43

a. Udregn √̄3 + √̄4 og √̄3 + 4. Er der forskel?

b. Udregn √̄12 – √̄7 og √̄12 – 7. Er der forskel?

44

a. Udregn √̄5 · √̄8 og √̄5 · 8. Er der forskel?

b. Udregn √̄5 : √̄8 og √̄5 : 8. Er der forskel?

45

Udregn kubikroden af

a. 8 b. 1000 c. 100 d. 2 46

Et kvadratisk maleri med sidelængden 1,5 m er vurderet

til 10 125 000 kr.

Hvor meget er hver kvadratcentimeter værd?

47

Beregn sidelængden på følgende kvadrater.

a. Et areal på 10 m2

b. Et areal på 40 m2

c. Et areal på 400 m2

48

Sæt uden for kvadratrodstegn

fx:

√̄20 = √̄5 · 4 = √̄5 · √̄4 = √̄5 · 2 = 2√̄5

a. √̄18 b. √̄40 c. √̄24 d. √̄50

49

En æske har målene 40 cm x 35 cm x 15 cm.

Beregn æskens overflade.

50

En pose plænegødning kan række til 200 m2 græsplæne.

Hvor mange gange kan en cirkelformet græsplæne med

en diameter på 7,5 m få gødning?

51

Indsæt tallene på en passende tallinje:

3√̄24 14 √̄12 2,75

52

Hvad er halvdelen af en tredjedel af en fjerdedel?

53

Det er danseaften i den lokale tangoklub. Et dansepar

består af en mand og en kvinde. På et tidspunkt danser 34 af mændene med 45 af kvinderne.

a. Giv et eksempel på hvor mange mænd og kvinder der

kan danse sammen på det tidspunkt?

54

Hvilket brøktallet ligger midt mellem 13 og 14 på

tallinjen?

55

a. 5352 b. 5–3 · 52 c. 53 · 5–2 d. 5–3 · 5–2

56

a. (–7)–2 b. (–0,5)–3 c. (–7)3 d. 90

92

57

To forskellige terninger har tilsammen rumfanget 407 cm3.

Hvor stor kan sidelængderne på de to terninger være?

58

Bogstavet T består af 12 kvadrater.

a. Hvor stor en brøkdel udgør arealet af det røde

område?


EFTERTANKEN

Vis og forklar Beskriv regneregler for, hvordan man ganger potenstal med potenstal som har

samme grundtal.

Fremstil en kort film med jeres begrundelser og eksempler.

En kube bliver større og større

I kender sikkert en centicube.

Forestil jer, at den hver time vokser i antal og bliver til en større

og større terning.

ProblemstillingUndersøg for hver gang, hvad der sker med antallet af centicubes,

med de flader man kan se på terningen og med terningens vægt.

Arbejdsbeskrivelse• Fremstil et regneark eller en tabel som denne. Find ud af, hvordan tallene i tabellen er

fremkommet.

Time Kuber i alt Overflade 0 synlige flader* 1 synlige flade 2 synlige flader 3 synlige flader

0 1 6 0 0 0 0

1 8 24 0 0 0 8

• Tabellæg de første 10 timer. Brug evt. regneark.

• Gør rede for nogle regneregler for, hvordan tallene vokser.

• En lastbil kan have en last, som vejer 25 tons. Hvor mange timer

går der inden terningen vejer så meget? Kan den være i en lastbil?

Mulige hjælpemidler og materialer Hjælpeark, regneark,

Kuben vokser

* 0 synlige flader er det antal centicubes i terningen, hvor der ingen synlige flader er.

MATeMATiK Kernebog/web - kontextplus.alinea.dk · Hvilke af følgende opgaver viser, at der først...

Documents

Transcript of MATeMATiK Kernebog/web - kontextplus.alinea.dk · Hvilke af følgende opgaver viser, at der først...