Matematik Günleri

39
Matematik Günleri 1

description

Matematik Günleri. Matematiğin günlük hayatımızda, bizimle olmadığı alan yoktur. Ancak biz bunun pek farkına varmayız. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Matematik Günleri

Page 1: Matematik Günleri

1

Matematik Günleri

Page 2: Matematik Günleri

2

Matematiğin günlük hayatımızda, bizimle olmadığı alan yoktur. Ancak biz bunun pek farkına varmayız.

Genelde toplum tarafından matematik alışveriş , hareket, havuz problemlerini çözme yollarını öğreten bilim dalı olarak algılanmakta ve üzülerek belirtmeliyim ki, bu yanlış algılama eğitim programlarını düzenleyenlerin düşüncelerini de şekillendirmektedir.

Bu nedenle:

Page 3: Matematik Günleri

3

Programlar hazırlanırken her problem bir alış veriş problemi mantığıyla sunulmaya çalışılmaktadır.

Bu durum matematik öğreticilerinin her matematik problemine, günlük hayattan örnek seçme ve öğrenene kabul ettirme gibi yeni bir problemin doğmasına neden olmaktadır.

Oysa bu gayrete gerek olmadığını düşünüyorum. Çünkü MATEMATİK HAYATIN KENDİSİDİR. Özel olarak matematiği günlük uygulamalarla kabul ettirme gayretine gerek yoktur.

Page 4: Matematik Günleri

4

Öğrencilerimize matematiği sevdirmenin yolunun, matematiğin insanın hayat maratonundaki problemler karşısında sürekli hazır olmasını sağlayan bir antrenman programı olduğunu kabul ettirmekten geçtiğine inanıyorum.

Ancak bu sayede insan düşüncesi üretken bir hale gelir. Aksi taktirde günümüzdeki gibi formül ezberleyen, ezberledikleriyle test çözen ve yorum yapmaya gelince de tıkanan bir grup insan ortaya çıkar. Bu grup insanın eğitildiğini, yetiştirildiğini ise kimse iddia edemez.

Page 5: Matematik Günleri

5

Ben matematikçi değilim. Matematik üretmiyorum. Matematik öğretmeye çalışıyorum. Bunu yaparken de zaman zaman çeşitli problemlere kendimize göre izahlar getiriyor, çeşitli çözümler üretiyoruz.

Bu çözümler genel değil özel çözümler. Ancak çözüm özel de olsa mutlaka ispatı gerekir.

Bu sunum fırsatından faydalanarak üzerinde çalıştığım birkaç konulardan ikisini sunmak istiyorum

Page 6: Matematik Günleri

6

İntegralsiz Limit

Page 7: Matematik Günleri

7

n, mQ+ olmak üzere yukarıdaki limit hesaplamaları genellikle [0,1] aralığında integralle yapılmaktadır. Yaptığımız çalışma bu limit değerinin hesabını integral almadan da yapabilmemize imkan vermektedir.

xn

k 1mx

kLimitinin hesaplanması

x

lim

Page 8: Matematik Günleri

8

Hareket noktamız (n – 1)p+1 ,(pN), ifadesinin Binom açılımıdır. Bilindiği üzere:

Bu açılımdan faydalanarak

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 11 1

0 1 2 1

1 11 1 1

2 1

p p p p p

p p p p p

p p p pn n n n

p

p pn n p n n

p

Page 9: Matematik Günleri

9

11 1 1

( )

1 11 1 1

2 1pp p p p

A n

p pn n p n n

p

ifadesini hesaplayalım

Görüldüğü gibi A(n) derecesi p – 1 olan bir ifadedirve

şeklinde yazılabilir..

11 1 1 ( )pp pn n p n A n

Page 10: Matematik Günleri

10

olarak yazlan ifadede.

n yerine 1 den başlayarak n ye kadar değerler verilir ve taraf tarafa toplanırsa

11( )p 10( ) p

1

1 1 1

2( )

( ) ( )

p

p

p A

11( ) p

1

1 2 2

3( )

( ) ( )

p

p

p A12( ) p 1 3 3( ) ( )

..........

pp A

... ........1 11( ) ( )

........................

( )

p pn n 1( ) ( ) pp n A n

p p pn (n ) (p )n A(n) 1 11 1

Page 11: Matematik Günleri

11

p 1 p p p p

T(n)

n p 1 1 2 3 n A 1 A 2 A 3 A n

1

1

1 ( )n

p p

k

p kn T n

Olur. Burada hesaplanırsa

11

1

1

1 1 1

( ) ( )

pn

p p

k

n T n T nk n

p p n

1n

p

k

k

Page 12: Matematik Günleri

12

olarak bulunur. Buradan da anlaşılacağı gibi yukarıda elde edilen toplam baş katsayısı

1

p 1

ve derecesi p + 1 olan bir ifadedir. T(n) ifadesi A(n) lerin toplamı olduğundan derecesi p – 1 dir. Bu durum göz önüne alınıp her iki taraf np+1 ile bölünür ve limite geçilirse

11

1

1 1

1

1

1( )

11lim lim lim

1 1 1( )

1 11

1

np p

p p p pn n n

p

k

n T n nkp p p

T np

n n n n p

Page 13: Matematik Günleri

13

İfadesi elde edilir.

Limit sonsuz için hesaplanacağından üs olan p nin doğal sayı olması

yerine bir rasyonel sayı değeri de alınabileceği düşünülerek aşağıdaki

sonucu yazabiliriz:

Page 14: Matematik Günleri

14

1 11 1

lim lim1

n np p

k kp px x

ak ka

an n p

pQ+ olmak üzere

sonucu elde edilir.

Page 15: Matematik Günleri

15

değerini alır.

Buna göre genelleme yapacak olursak:Elde edilen ifadenin payının derecesi nQ+, paydasının derecesi mQ+ olmak üzere

1

1

1

1

1

1 0

xn

kmx

xn

kmx

xn

kmx

akm n için lim

x

aka

m n için limx m

akm n için lim

x

Page 16: Matematik Günleri

16

Formülde dir.

m=n+1 olduğundan sonuç

olarak bulunur

3 3 3 3

3

:

1 2 3lim ?x

Örnek

x

x x

1 4

3 3 n ve m

3 3 3 3

3

1 2 3 1 3lim

4 43

x

x

x x

Page 17: Matematik Günleri

17

Verilen ifadede dir.

Burada m > n +1 olduğundan Limitin değeri 0 dır.

3 3 3 3

2

1 2 3lim

2x

x

x

12

3n ve m

Page 18: Matematik Günleri

18

Burada n=2 ve m=3 dür. m=n+1 olduğundan sonuç olarak bulunur

x

xlim ?

x

22 2 2

3

2 4 6 2

x x

x

k

x x

x ( x )lim lim

x x

kx

lim limx x

22 2 2 2 2 2 2 2

3 3

22 2 2 2

13 3

2 4 6 2 2 1 2 3

1 2 34 4

1 443 3

Page 19: Matematik Günleri

19

( ) ( ) ( )

lim ?

2 2 2 2

3x

x x 1 x 2 x x

2x 5

x x

2 2 2

k 0 k 0

x x 33

x2 2

k 03

3

x x

3

x k x 2kx k

522 x

x

x 2kx k

x

x

5

5

1

2x

lim lim

lim lim

Page 20: Matematik Günleri

20

x x x2 2

k 0 k 0 k 03 3 3x

2

x

x 2kx k1

2 x x x

x1

2

lim

lim

x

k 0

3

1

x 2 x

x

k 0

3

k

x

x2

k 03

x x x2

k 0 k 0 k 02 3x

k

x

1 2 k k1

2 x x x

lim

Page 21: Matematik Günleri

21

Yukarıda birincide n=0, m=1, ikincide n=1, m=2 ve üçüncüde n=2, m=3 olduğundan Limitin değeri

olarak bulunur. Paydada çarpan olarak yazılan 2, paydada parantez içinin limitinin değeridir.

1 1 1 1 72

2 1 2 3 6

Page 22: Matematik Günleri

Elips ve Hiperbol için yeni tanımlar

Page 23: Matematik Günleri

Bilinen haliyle Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey + F = 0 ikinci derece

genel denkleminde;A = C ve B = 0 ise denklem çember,

B2 – 4AC < 0 ise denklem elips,B2 – 4AC = 0 ise denklem parabol,B2 – 4AC > 0 ise denklem hiperbol

belirtir. Aşağıda yapılan çalışmayla bu denklemde B = 0 olması durumuna farklı bir boyut

kazandırılmış, çember, elips ve hiperbol tanımına farklı bir bakış açısı getirilmiştir.

Page 24: Matematik Günleri

Düzlemde sabit iki noktadan geçen ve eğimleri çarpımı

sabit olan iki doğrunun kesişme noktasının geometrik yeri bu sabit sayının değerine

göre çember, elips veya hiperbol olarak karşımıza

çıkar.

Page 25: Matematik Günleri

Şöyle ki: “Q(x1, y1), Q’(x2, y2) noktaları herhangi sabit iki nokta olsun. P(x, y) olmak üzere

Eğim(PQ).Eğim(PQ’)=k gibi bir sabit sayı olmak üzere P noktalarının geometrik yeri

k = – 1 ise bir çember,k < 0 ve k≠ – 1 ise elips,

k > 0 ise hiperbolk=0 ise x eksenine paralel iki doğru

belirtir.”

Page 26: Matematik Günleri

İddiamızın İspatı

olup çarpılır ve k sayısına eşitlenirse:

VeBu eşitlik düzenlenirse

1 2

1 2

( ) ( ')y y y y

Eğim PQ ve Eğim PQx x x x

22 1 1 2

22 1 1 2

y y y y y y yk

x x x x x x x

Page 27: Matematik Günleri

kx2 – y2 – k(x1 + x2)x + (y1 + y2)y + kx1x2 – y1y2 = 0

Bulunan bu ifade

Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey + F = 0 ikinci dereceden genel ifade ile karşılaştırılırsa

olduğu görülür. Bu değerler B2 – 4AC

değerinde yerine yazılırsa aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.

1 2 1 2 1 2 1 2, 0, 1, ( ),A k B C D k x x E y y ve F kx x y y

Page 28: Matematik Günleri

k = – 1 olsun:

elde edilir ki bu bir çember denklemidir Bu çemberin merkezi

2 22 1 2 1 1 2 1 2 0x y x x x y y y x x y y

2 22 1 2 1 1 2 1 2 0x y x x x y y y x x y y

1 2 1 2,2 2

x x y yM

Page 29: Matematik Günleri

k ≠ – 1 ve k < 0 ise Yukarıdaki değerler

B2 – 4AC de yerine yazılırsa;

elde edilir ki bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir elipstir.

Yani görüldüğü gibi k<0 olduğunda için geometrik yer bir elipstir.

2 20 4 1 0 4 4 0k dan B AC k

Page 30: Matematik Günleri

k > 0 ise Yukarıdaki değerler B2 – 4AC de yerine yazılırsa

elde edilir ki bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir hiperboldür.

Özel olarak k = 1 ise bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir ikizkenar

hiperbol olacaktır.Yani görüldüğü gibi k>0 olduğunda geometrik

yer bir hiperboldür.

2 20 4 1 0 4 4 0k dan B AC k

Page 31: Matematik Günleri

31

Verilen şartlardaki doğruların eğimleri çarpımı olan sayı

olmak üzere buradaki m sayısı standart merkezcil denklemdeki ve n sayısı ise standart merkezcil denklemindeki değerleridir.Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

Page 32: Matematik Günleri

noktaları veriliyor. Düzlemin bir P noktası için PA ve PB doğrularının eğimleri çarpımı ise P noktasının geometrik yeri nedir.

Çözüm:P(x,y) olsun.

yazılırsa buradan

olur. Bu elips denklemi

' 5,0 5,0A ve A

9

25

0 0

5 5

y yEiğim PA ve Eğim PB

x x

22 2 2 2

2

925 9 225 9 25 225

25 25

yden y x ve x y

x

2 2

125 9

x y

Page 33: Matematik Günleri

33

Oysa bu işlemleri yapmaya gerek yoktu.

Olduğuna göre geometrik yer merkezcil elipstir. Bu elipste olduğundan elips denklemi

Şeklindedir.

Page 34: Matematik Günleri

noktaları veriliyor. Bir ABC üçgeninde [AC] ve

[BC] kenarlarının eğimleri çarpımı ise C noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir.

Çözüm: k>0 olduğundan geometrik yer bir hiperboldür. Bu hiperbolde olup hiperbol denklemi

şeklindedir.

Page 35: Matematik Günleri

35

Verilen örneklerde noktalar x ekseni üzerinde alınmıştır. Yaptığımız çalışmada düzlemin herhangi iki noktası için gerekli ispatlar yapılmıştır. Burada şunu belirtmek isteriz ki düzlemin noktaları olsun bu iki noktadan geçen ve kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı k olmak üzere kesişme noktalarının geometrik yeri bulunurken önce aşağıdaki hesaplamalar yapılır.

Page 36: Matematik Günleri

Eğimlerin çarpımından elde edilen ifade standart hale getirilirse

Değerleri hesaplanır.

Bu durumda geometrik yerin denklemi

1 2 1 2,2 2

x x y yp q

221 2 1 21

2 2

x x y ya

k

221 2 1 2

2 2

x x y yk b

Page 37: Matematik Günleri

37

k<0 için

elipsi,

k>0 için

hiperbolüdür.

Page 38: Matematik Günleri

38

Örnek: noktaları veriliyor. C(x,y) noktası için olduğuna göre C noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir.

Çözüm. olduğundan geometrik yer bir elipstir. olup elips denklemi

şeklindedir.

Page 39: Matematik Günleri

39

Unutmayalım ki

MATEMATİK İKNA DEĞİL İSPATTIR.

Sabır gösterip dinlediğiniz için teşekkür ederim

Son söz