Matematik (formelsamling)
description
Transcript of Matematik (formelsamling)
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Resumé 1. kapitel
Addition
a b c SumAddender
a b b aa (b c) a b c
Addendernes orden er ligegyldig. En paren-tes med fortegn kan hæves og sættes, uden at leddenes fortegn ændres.
Subtraktion
a – b = c Differens
a – (b c) a – b – c En parentes med for-tegn kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.
Multiplikation
a · b c ProduktFaktorer
a · b b · aa · a · a · a a4
a(b c) ab aca(b c) ab ac(a b)(c d) ac ad bc bd(a b)2 a2 b2 2ab(a b)2 a2 b2 2ab(a b)(a b) a2 b2
Faktorernes orden er ligegyldig
Regneregler
"Tre vigtige formler"
Division - Brøkregning
a : b = c KvotientDivisorDividend
ab
c KvotientNævnerTæller
ab
a cb c
=··
ab
a cb c
=::
an
bn
cn
a b cn
Regneregler
ab
ca cb
ab
ca
b c:
ab
cd
a cb d
.
ab
cd
ab
dc
:
Regneregler
Potens
a · a · a · a = a4
0n = 0
a0 = 1
a1 = a
aa
nn
1
ap · aq = ap+q
ab
ab
p
p
P
(a · b)p = ap · bp
ab
ap
qp q
(ap)q = ap · q
Regneregler
Rod
a bn , når bn a
a apnpn
a b a bn n n
ab
ab
n
nn
Regneregler
38
Resumé 2. kapitel
Resumé 2. kapitelRegneregler for løsning af ligninger:
- Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet.
- Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog ikke med 0.
- Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal - dog ikke med 0.
Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0.a b 0 a 0 eller b 0
- Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.
ab
cd
ad bc
- Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet.
2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden
a1x b1y c1
a2x b2y c2
Da ba b a b a b
Da ca c a c a c
Dc bc b c b
y
x
1 1
2 21 2 2 1
1 1
2 21 2 2 1
1 1
2 21 2 cc b
xDD
og yD
Dx y
2
2.gradsligningen
ax2 bx c 0
91
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
har følgende løsningsformel
xb b ac
a
2 42
d b2 4ac
Hvis d 0, har 2.gradsligningen en rod.Hvis d 0, har 2.gradsligningen to rødder.Hvis d 0, har 2.gradsligningen ingen rødder.
Numerisk værdi
aa n r aa n r a,,
åå
00
Regneregler for uligheder:
- Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn.
- Du må gange med samme positive tal på begge sider af uligheds-tegnet.
- Du må dividere med samme positive tal på begge sider af uligheds-tegnet.
- Du må gange med samme negative tal på begge sider af uligheds-tegnet, når du vender ulighedstegnet.
- Du må dividere med samme negative tal på begge sider af uligheds-tegnet, når du vender ulighedstegnet.
92
Teknisk matematik · GEOMETRI
Resumé 3. kapitel
Retvinklet trekant:
I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateternes kvadrater.
c2 a2 b2
ca
bC
B
A
Ensvinklede trekanter
For ensvinklede trekanter gælder:aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
b1
c1 a1 c2
b2
a2
Højder i en trekant
En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.
A
B
C
hb
b
c aha
hc
Medianer i en trekant
En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt.
Medianerne går gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2. A
B
Cmc
ma
mb
Oc a
b
D
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler.
A
B
CVB
VA
VC
Trekantens indskrevne cirkel
Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.
r
128
Resumé 3. kapitel
Trekantens omskrevne cirkel
Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel.
R
Firkanter
Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er rette, og alle sider lige lange. Areal a2
a
a
Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halverer hinanden. Areal a b a
b
Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige lange. De modstående vinkler er lige store. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer rombens vinkler.Areal
1
2 d1 d2
A
B
C
D
d1
d2
Parallellogram: En firkant, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange. De modstående vinkler er lige store, og diagonalerne halverer hinanden. Areal g h
A
B C
D
h
g
Trapez: En firkant, hvor to sider er paral lelle.Areal 1
2 h (BC AD)
A
B C
D
h
129
Resumé 4. kapitel
Resumé 4. kapitel
Den retvinklede trekant
sin vmodst ende katete
hypotenusenå
cos vhosliggende katete
hypotenusen
tan vmodst ende katetehosliggende katete
å
c2 a2 b2
Areal h c a b12
12
A
B
C
a
b
Ah
c
Den vilkårlige trekant
aA
bB
cC
Rsin sin sin
2
a b c b c A2 2 2 2 cos
cos Ab c a
b c
2 2 2
2
Areal a b C12
sin
Areala b c
R4
Areal r s
Areal s s a s b s c
sa b c
2
R: Radius i trekantens omskrevne cirkel.r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.
B
A C
c a
b
A
B C
R
a b
c
rr
r
171
Teknisk matematik · CIRKLEN
Resumé 5. kapitel
Omkreds - buelængder
O d 2 r
br
v2360
d = 2. rr
b
v
Arealer mv.
Cirkel:
Areal r d2 2
4
Cirkelring:
Areal D d4 4
2 2
Areal R r2 2
d = 2 . r
D = 2 . R
194
Resumé 5. kapitel
Cirkeludsnit:
Arealr v2
360
rv
v
Cirkelafsnit:
Arealr v
v2
2 180sin
Korde:
k rv
22
sin
Pilhøjde:
h rv
12
cos
195
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Resumé 6. kapitel
Overflader mv.
Den krumme overflade af en cylinder:
A d h r h2
C
D
h
. d = 2 . . r
C
D
d
A
B
Den krumme overflade af en kegle:
A r s
Vinklen v:
vr
s360
Korden k:
k sv
22
sin
s
A
B Cr
k
vs
Den krumme overflade af en keglestub:
A s R r
Vinklen v:
vR
s360
2
Korden k:
k sv
222 sin
s
r
h
R
s2
v
k
s1
236
Resumé 6. kapitel
Den krumme overflade af en kugle:
A r d4 2 2
Den krumme overflade af en kuglekalot:
A d h
A a h2 2
Den krumme overflade af en kugleskive:
A d h
d = 2r
Kugleafsnit
Kugleskive
a
d = 2r
h
h
237
Teknisk matematik · RUMFANG
Resumé 7. kapitel
Retvinklet prisme Kasse
V G · hG grundarealet
V a · b · h
Cylinder Cylinderrør
V r h d h2 2
4V R r h
V D d h
2 2
2 2
4 4
D ydre diameterd indre diameterR ydre radiusr indre radius
Pyramide Pyramidestub
V G h13
G grundarealet
V h G g G g13
g areal af topfladeG areal af bundflade
Kegle Keglestub
V d h
V r h
12
3
2
2
V h R r R r3
2 2
hG
h
d = 2 . r
h
a b
h
G
A
h
d = 2 · r
h
D = 2 . R
d = 2 . r
G
g
h
r
h
R
260
Resumé 7. kapitel
Guldins 1. regel Guldins 2. regel
A a Lv
2360
V a Av
2360
Kugle Kugleudsnit Kugleafsnit
V d r6
43
3 3 V d h6
2 V h d h6
3 22
V h a h6
3 2 2
a
Lv
a A
v
d = 2r
a
d
hh
d
261
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Resumé 8. kapitel
Plangeometri
AB x x y y( ) ( )2 12
2 12
M x yx x y y
, ,2 1 2 1
2 2
Afstandsformlen
Midtpunkt på et linjestykke
A
x yx yx yx y
12
1 1
2 2
3 3
1 1
12 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3x y x y x y x y x y x y
Determinant-formlen for
areal af trekant
y a
x b
y ax
y ax b
y y1 a(x x1)
Vandret linje gennem punktet (0,a)
Lodret linje gennem punktet (b,0)
Ret linje med stigningstal a, som går gennem (0,0) og (1,a)
Ret linje, som går gennem (0,b) og (1,a b)
Ret linje med stigningstal a som går gennem (x1, y1)
a vy yx x
tan 2 1
2 1
Forhold mellem stigningstal, vinkel mellem vandret og lin-jen og to punkter.
a1 a2Når to linjer har samme stig-ningstal, er de parallelle.
a1 a2 1 Når produktet af to linjers stigningstal er 1, står de vin-kelret på hinanden.
r2 (x a)2 (y b)2 Cirklens centrumsligningCentrum er (a,b) og radius er r.
296
Resumé 9. kapitel
Resumé 9. kapitel
Definition på en funktion
En funktion er en forskrift f, hvor der til et-hvert element x i en mængde A kan knyt-tes et og kun et tal y.
f
x
A B
y
A: DefinitionsmængdeB: Værdimængde
Lineær funktion f(x) a x ba: stigningstal/hældningskoefficientb: konstantled
Funktioner af 2. grad(parabler)
f(x) ax2 Toppunkt: (0,0)
f(x) a(x x0)2 Toppunkt: (x0,0)
f(x) ax2 y0 Toppunkt: (0,y0)
f(x) a(x x0)2 y0 Toppunkt: (x0,y0)
f(x) ax2 bx c Toppunkt: ba
da2 4
,
d b2 4ac
Sammensatte funktioner
Eks.: f(x) 3x 1 og g(x) 2x 5
Den sammensatte funktion
(f o g)(x) 3( 2x 5) 1
Omvendte funktioner Eks.: f(x) 2xDen omvendte funktion
x y eller f x x212
1
335
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Resumé 10. kapitel
Logaritmefunktioner
10-tals logaritmen
f(x) log x , x > 0
Regneregler:log 10 1log a b log a log b
log ab
log a log b
log an n log a
log logan
an 1
Den naturlige logaritme
f(x) ln x , x > 0
Regneregler:ln e 1ln a b ln a ln b
ln ab
ln a ln b
ln an n ln a
In an
In an 1
Eksponentialfunktioner
Eksponentialfunktionen
f(x) ax , a > 0 og x R
Eksponentielle vækstfunktioner
f(x) b ax , b > 0 , a > 0 og x R
Fordoblingskonstant for eks-ponentielt voksende funktion:
Ta2
2loglog
Halveringskonstant for ekspo-nentielt aftagende funktion:
Ta1
2
2loglog
Renteformlen
Kn K(1 r)n
368
Resumé 11. kapitel
Resumé 11. kapitel
Trigonometriske definitioner og grundformler
y
y
y
x
x
x
cos v
cos v:
v
v
v
tan v
tan v:
sin v
sin v:
(cos v)2 + (sin v)2 1
tansincos
vvv
Additionsformlerne
sin(a b) sin a cos b cos a sin bsin(a b) sin a cos b cos a sin bcos(a b) cos a cos b sin a sin bcos(a b) cos a cos b sin a sin b
Formler for den dobbelte vinkel
sin sin cos
cos cos sin
sin
cos
2 2
2
1 2
2
2 2
2
a a a
a a a
a
aa
aa
a
2
2
1
22
1tan
tan
tan
399
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Svingninger
f(t) a sin( t)
a: amplitude: vinkelhastighed i rad/sekund
t: tid i sekunder
Periodetid:
T =2
Frekvens:
fT
= =2
1
400
Resumé 12. kapitel
Resumé 12. kapitel
Symboler for differentialkvotient
x 0
( )( )
dydx
df xdx
f x ylimyx
Regneregler for bestem-melse af differential- kvotienter
Funktion f(x)
Differentialkvotient
- konstant k 0
- potensfunktion a xn n a xn-1
- sum u v u’ v’
- differens u v u’ v’
- produkt u v u’v v’u
- brøk uv
u v u vv
’ ’2
- trigonometriske funktioner
sin x
cos x
tan x
cos x
sin x
112
2(tan )cos
xx
- sammensat funktion dydx
dydu
dudz
dzdx
Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter
1. Løs ligningen f’(x) 02. Fortegnsbestemmelse for f’(x) a) lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til b) lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til c) Vandret vendetangent forekom-
mer, når fortegnet for f’(x) er: “ 0 ” eller “ 0 ”
3. Beregning af ymax og ymin sker ved indsættelse af de fundne x-værdi-er i f(x).
457
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Implicit differentiation
Eksempel: x2 y2 1
dxdx
dydy
dydx
ddx
2 2 1
2 2 0x ydydx
dydx
xy
458
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Resumé 13. kapitel
Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter
Funktion f(x) Differentialkvotient f’(x)
ax ax · ln a
ex ex
ln x 1x
log x 110x ln
Integral - stamfunktionIntegrationsprøven
f x dx F x k( ) ( ) når
F’(x) f(x)
Stamfunktion til Funktionf(x)
StamfunktionF x f x dx( ) ( )
Konstant k k x
Potensfunktionerxn
1 1
xx
xn
n 1
1
ln x
Trigonometriske funktioner
sin x
cos x
tan x
sin2x (sin x)2
cos2x (cos x)2
112
2tancos
xx
cos x
sin x
ln |cos x|
12
( sin cos )x x x
12
( sin cos )x x x
tan x
536
Resumé 13. kapitel
Logaritmitiske funktioner
ex ex k
axa
akx 1
ln
In x x x x kln
log x x xx
klogln10
Regneregler forintegration
Sum:u x v x dx u x dx v x dx( ) ( ) ( ) ( )
Differens:u x v x dx u x dx v x dx( ) ( ) ( ) ( )
Bestemt integral
f x dx F x F b F aa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
Arealberegning
y
b xa
A
f(x)
y
bxa
A
f(x)
g(x)
y
b xa c
A2
A4A3
A1 f(x)
g(x)
A f x dxa
b( )
A f x g x dxa
b( ) ( )
A f x g x dxa
c
1 ( ) ( )
A g x f x dxc
b
2 ( ) ( )
A g x dxa
c
3 ( )
A f x dxc
b
4 ( )
537
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Partiel integration eller delvis integration
u(x v(x) dx U(x v(x U(x v x) dx) ) ) ) (
Rumfangsberegning
Rumfanget af et omdrejnings-le-geme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det farvede areal på figuren.
V f x dxxa
b( )2
x
y
a b
f(x)
Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-ak-sen af det farvede areal på figuren.
V x f x dxya
b2 ( )
x
y
a b
f(x)
Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-ak-sen af det farvede areal på figuren.
V x dyyf(a)
f(b)2
x
y
f(b)
0
f(a)
Længde af en kurve
Ldydx
dx f x dxa
b
a
b1 1
22( )
x
y=f(x)y
a b
L
538
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Resumé 14. kapitel
Vektorkoordinater
axy a y
x
Vektorkoordinater i et koordinatsystem
ABx xy y
2 1
2 1
y y2 1
x x2 1
B(x y )2, 2
A(x y )1, 1
y
x
Multiplikation af skalar med vektor
n an xn y
ay
n . y
n . x
n . a
x
Addition af to vektorer
r a b= +
Hvis
axy og b
xy
1
1
2
2
er
a bx xy y
1 2
1 2
bb
b
a a
r
r
a
P
P
586
Resumé 14. kapitel
Vektorer i ligevægt
a b c d00
d
a
b
c
Subtraktion af vektorer
a b a b− = + −( )
Hvis
axy og b
xy
1
1
2
2 er
a bx xy y
1 2
1 2
a
a
b
b
a b
b
Enhedsvektor
exy
e
e
xx
vog y
y
ve e= = xe
ye
x
y
e
v
Skalarprodukt
a b a b vcos
a b x x y y1 2 1 2
cos vx x y y
a b1 2 1 2
cos v e ea b=
Skalarproduktet a b= 0, når vektorerne står vinkel-ret på hinanden.
v
a
b
a
b
587
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Tværvektor
Hvis axy er
ayx
aa
xx
x
y
y
y
Trekantens tyngdepunkt
T x yx x x y y y
, ,1 2 3 1 2 3
3 3
B(x ,y )2 2
C(x ,y )3 3
x
y
T(x,y)A(x ,y )1 1
Trekantens areal
Arealx yx y
x y x y
12
12
1 1
2 2
1 2 2 1
A
B
C
x
y
Projektion
b b va cos
ba b
aa =
b b ea a a
v
b
a
aba
ba
b
588
Resumé 14. kapitel
Afstand fra punkt til ret linje
zad be c
a b2 2
x
y
ax + by + c = 0z
P(d,e)
589
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
OPGAVE 509
Du har givet koordinaterne til centrum i en kugle (4,1,–2). Kuglen tan-gerer et plan med ligningen 2x 3y – z 8 0.Du skal bestemme kuglens centrumsligning.
Resumé 15. kapitel
Vektorkoordinater og vektorlængde
vxyz
v x y z2 2 2
Givet punkterne A(x1,y1,z1) og B(x1,y1,z1)
ABx xy yz z
AB x x y y2 1
2 1
2 1
2 12
2 1
2
2 12z z
Enhedsvektor
axyz
e
x
x y zy
x y zz
x y z
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Skalarprodukt eller prik-produkt
a a b v x x y y z z vx x y y z z
a bb . .cos cos
.1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
Projektion
ba b
aa =
b
a
v
v
ba
642
Resumé 15. kapitel
Parameterfremstilling af ret linje
xyz
x r ty r tz r t
x
y
z
0
0
0
Vektorprodukt
a b a b v× = . .sin 1 1
2 22 3 3 2
3 33 1 1 3
1 11 2 2 1
2 2
3 3
a ba b
x a b a ba b
a b : y a b a ba b
z a b a ba ba b
= = −× = = −
= = −a b
xyz
Parameterfremstilling af plan
xyz
xyz
s.x xy yz z
0
0
0
1 0
1 0
1 0
t.x xy yz z
2 0
2 0
2 0
Planets ligning på normalform
a x x b y y z z z0 0 0 0
eller
ax by cz d med nabc
0
Afstand e mellem punkt P0(x0,y0,z0) og plan ax by cz d 0
eax by cz d
a b c0 0 0
2 2 2
Afstand mellem punkt P0(x0,y0,z0) og ret linje
er pp
r=× 0
P ( )x ,y ,z00 0 0
v
e
Pr
k
643
Resumé 16. kapitel
Resumé 16. kapitel
Vektorfunktioner
Ret linje
r txy
x a ty b t
0
0
r txy
x t vy t v
0
0
cossin
(x0,y )0
(x,y)
x
y
v
a t
b t
(x0,y )0
(x,y)
x
t
y
v
Cirklen
r txy
a r tb r t
cossin
(x,y)
(a,b)
tr
x
y
Ellipsen
r txy
a tb t
cossin x
y
t
(a,0)
(0,b)(x,y)
Bevægelser
r tx ty t
v t r tx t
y t
v t x t y t2 2
a t v t r tx t
y t
Banekurven
Hastighedsvektor
Farten
Accelerationsvektor
669
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Længde af kurve givet ved vektorfunktion
L x t y t dta
b( ( ( ))2 2
y
x
b
a
L
670
Teknisk matematik · Differentialligninger
Resume 17. kapitel
Differentialligninger Ligningstype Løsning
y’ = g(x) y g x( ) xd∫=
y’ = h(x ) · g(y)1
g y( )----------- yd∫ h x( ) xd∫=
y’ = a · y y = c · eax
y’ = g(y)1
g y( )----------- yd∫ x k+=
y’ = y(b - ay) y
ba---
1 k+ e bx–⋅----------------------------=
y’’ = g(x)y′ g x( ) xd∫=
- herefter som den første type
692